Chapitre XII

7/28/2019 Chapitre XII

1/55

Chapitre XII Fonctions spciales

250

Chapitre XI I

XII.1 Dtermination de la fonction Gamma

La fonction Gamma est trs simple dduire partir de l'intgrale d'Euler:

0

1px .dxxe

Cette intgrale est une fonction de paramtre p ; elle est reprsente par le symbole

)p( et s'appelle la fonction Gamma.

L'intgrale d'Euler est une intgrale non propre, car la borne suprieure est infinie,

l'intgrale est gale 1px pour 0x et par consquent toutes les expressions sous intgraletendent vers zro pour p


2/55


251

tant donn que e-x xp-1 > 0, avec la croissance de b,

b

a

1p

2

x

dxxe augmente.

Donc:

b

a

1px

b2

dxxelim existe .p

Considrons lintgrale ,1

0

1 a

px dxxe pour 1p . Pour ;1e,0x x et la fonction

sous intgrale sera de l'ordre 1px pour 0x , et 1

0

1

a

p dxx existera pour les mmes valeurs de

p pour lesquelles existe lintgrale 1a

0

1pxdxxe .

Cependant:

).a(limp

1

p

xlimdxxlimdxx

pp

10

a ap

0

1p

0

a

0

1p1 11

On peut remarquer que: si 0,0p p et l'intgrale existera; si p,0p

et l'intgrale existera. Si 0p , on aura:

a1

0

a11

00

1 ,lim/lim

a

xLnxdxdxx

c'est--dire que l'intgrale n'existe pas.

Donc,

0

1px dxxe

existe pour p>0. Par consquent pour p>0, on a :

0

1px.dxxe)p( (XII.1)

A titre d'exemple calculons )1( et )2( :

0

0

x0x ;1edxxe)1(

0

12/1x

.dxxe)2/1(


3/55


252

Posons .zx;dxx2/1dz;zx 22/12/1 Donc:

0

z .dze2)2/1(2

Pour calculer cette intgrale posons:

dzeA0

z2

On peut crire que:

.dteA0

t2

Prenons

0 0

tz2 .dte.dzeA22

Le facteur dze z2 est une constante qu'on peut inclure dans l'intgrale.

Donc:

0 0

)tz(2 .dtdzeA22

Le calcul est plus simple raliser si lon utilise les coordonnes polaires.

et (fig XII.1). On connat que : p = tz 22 et llment de surface est gale

d pd .

Donc :

.22

1,

2

;42

1

2

1

;2,

2

1

2

0

0

2

0

2

2

0 00

2

0

2 2

AA

dedA

dduuo

dudedeedA

u

up

e

Le calcul ralis ci-dessus montre, que le calcul de p p par lintgrale dEuler est

compliqu.

Fig XII.1


4/55


253

XII.2 Proprits de la fonction Gamma

Proprit 1.

.pp1p (XII.2)Exemple

.3

1

3

1.

3

4

13

1

3

4

3

4

3

41

3

4

3

7

Dmonstration : reprsentons 1 p par lintgrale dEuler et intgrons par parties :

0

1px

0

xpp

0

x ,dxxepexdxxe1p

o

.ev,dxedv;dxpxdu,xu

xx

1pp

Or

0e

xlimexlim

x

p

x

xp

x

Par consquent :

.ppdxxep1p 1p0

x

Corollaire 1.

Si p est nombre entier, on a .!1pp Ainsi, on a :

!.1p11.2...2p1p....

2p2p1p1p1pp

Donc, de ce corollaire, on peut remarquer comment la fonction gamma croit rapidement :

5040!786!34720!672!23

36288010120!5612

40320!8924!4511

La fonction gamma peut tre utilise pour rduire la reprsentation du produit

,pp1p2...p1mpm o m- entier et .1p0 .. Si lon ajoute ,p on obtient

1pm , do lon peut crire :

(m + p) (m -1 + p) ... (1+ p) p=(p)

1)+m+(p

.


5/55


254

Corollaire 2.

Dtermination de la fonction gamma pour les valeurs ngatives et non entires de p.

Soit p donn sur lintervalle 0,1 . Donc p+1 sera trouv sur lintervalle (0, 1) et 1p

peut tre calcul par la formule dEuler (XII.1).

Posons :

p

)1p(p

pour 0p1 (XII.3)

Pour p = -1, la formule donne linfini, et donc :

0et01p

Par consquent 1 nexiste pas.

La transition dun intervalle un autre ...etc2,3,1,2.0,1 , peut tre

dtermine par la formule (XII.3). La fonction gamma nexiste pas pour les p ngatifs entiers.

Exemple :

.3

2

4

9

3

1

3

4

3

2

3

4

3

1

3

4

La valeur de

3

2est trouve partir de la table.

Proprit 2 :

np...2p1pp

n!nlimP

p

n

.

Cette formule est utilise pour le calcul approximatif de la fonction gamma.

Pour la dmonstration, considrons la fonction :

.dxxnx

1p,nf

1p

n

0

n

On peut facilement voir que :

pp,nflimn

. Evidemment :

.pdxxedxxn

x1lim

dxxn

x1limp,nflim

1p

0

x1p

n

0

x

x

n

n

1p

n

0

n

nn


6/55


255

Dune autre part, en intgrant par parties, on obtient pour f (n, p) une expression sous la

forme :

.,

;1

11

,)1(1

11,

1

1

0

1

0

1

0

p

xvdxxdv

dxnn

xndu

n

xu

o

dxxn

x

p

p

x

n

xdxx

n

xpnf

pp

nn

p

n

n

npn

p

n n

On obtient lexpression :

dxxn

x1

p

1p,nf

n

0

p

1n

En lintgrant par parties encore une fois en posant :

1

1 , v .

n

pxu d x dxn

do du1p

xv;dx

n

x1

n

1n 1p2n

On obtient :

( ) [

|

( )

]

( )( )

Ou encore aprs intgration par parties n fois, on obtient :

1

0

0

1 2 ... 1

, 11 2 .... 1

!.

1 2 ... 1

! !

1 ... 1 ...

n nn

n p

n

n pn

n

n p p

n

n n n n n x

f n p x dxnn p p p p n

n x

n p p p p n n p

n n n n

n p p p n p p p n

Par consquent :

.

np....1pp

!nnlimp

p

n


7/55


8/55


257

o 1C et 2C sont des constantes ; et y1 et y2 sont les solutions linaires et indpendantes de

lquation.

On va chercher la solution de lquation sous la forme de la srie :

0i

pi

i

i

i

2

210

p ,xa...)xa...xaxaa(xy

En posant .0a 0 Le problme sera de trouver les coefficients ...,2,1i,a i et le nombre

p. La fonction :

pi

0i

i xay

, sera introduite dans lquation. Trouvons les drives :

.x1pipiay

;pixay

2pi

0ii

0i

1pii

En les remplaant dans lquation, on trouve :

.0xax

1

xpiax1pipia

pi

0i

i

2

2pi

0i

i

2pi

0i

i

Lidentit peut tre crite sous forme :

.xax)pi(a pi0i

i

2pi22

0i

i

On peut dduire que :

)2(2

ipi

aa ii

En tenant compte que :

,0a...,,0a,0a,0a 1k2531 cest--dire que les coefficients ayant des indices impairs

sont nuls. Sur la base de la formule de rcurrence, on peut crire :

.. .................................................................................

;3p2p1p3.2.2

a)1(

6p26

aa

;2p1p2.2

a)1(

4p24

aa

;1p2

a

2p22

aa

6

034

6

4

0224

00

2

....21!21 20

2kpppk

aa kK

k


9/55


258

On remarque que tous les coefficients pairs sont exprims en fonction 0a , on peut crire

alors :

1p21

ap0

En tenant compte de ,1kpkp)...2p(1p1p

...etc,3p2p2p;2p1p1p

on peut crire pour simplifier que :

,

1!2

1)1(

22

kPka

pk

k

k

La solution de lquation peut tre reprsente sous forme :

2

0

( / 2 )

( 1) ! 1

k pk

k

x

y k p k

o .vp La solution de lquation pour p = est note par J (x) et elle est appele

quation de Bessel de premire espce dordre v . La solution pour p = v est note par J-v (x)

et elle appele quation de Bessel de premire espce dordre v .Par consquent :

2

0

2

0

2( 1) .

! 1

2( 1)

! 1

k v

k

v

k

k v

k

v

k

x

j xk k

x

j xk k

Pour non entier xJ,xJ sont des fonctions linairement indpendantes

et par consquent : xJCxJCy 22

est la solution gnrale de lquation de Bessel.

Si est un entier gal n, xJ,xJ nn seront linairement dpendantes.Pour confirmer celui-ci, considrons la srie pour xJ n , et transformons la :

2

0

2( 1)

! 1

k n

k

n

k

x

J xk n k

On connat que la fonction gamma pour les nombres entiers ngatifs et nul elle est gale

linfini. Par consquent, pour 1kn,1nk et la srie sera nulle. La

sommation peut tre dbute de k = n :


10/55


259

2

2( ) ( 1)

! ( 1)

k n

k

n

n

x

J xk k n

.

Si m= k-n, on aura :

!12

)1()1(

1!

2)1(

2

0

2

0

mnm

x

mnm

x

xJ

nm

m

mn

nm

nm

m

n

!nm1nm,alors,!m1mquedonnttan . La dernire srie dtermine la

fonction xJ n . Par consquent : xJ)1(xJ n

n

n

Donc, xJetxJ nn sont linairement dpendantes

Considrons :xJetxJ 10

.. .!52

x

!42

x

!32

x

!22

x

2

x1

)!k(

2

x

)1(1k!k

2

x

)1(xJ

210

10

28

8

26

6

24

4

2

k2

0K

k

k2

0k

k

0

(avec 0 != 1).

Par consquent :

xJxJ 00 et la fonction est paire. Pour .1xJ,0x 0 Si pour xJ 0 , on prend la somme

des cinq membres de la srie :

28

8

26

6

24

4

2

2

!42

x

!32

x

!22

x

2

x1 ,

lerreur sera infrieure ,7

10

210

10

10

x

!52

x La srie converge alors principalement pour .1x Le

graphe de la fonction xJ0 est reprsent par la figue XII. 2. Ce graphe peut tre construit en

relevant de la table une srie des valeurs de xJ0 :


11/55


260

...!4!32

x

!3!22

x

32

x

2

x

1k!k

2

x

)1(2k!k

2

x

)1()x(J

7

7

5

5

3

3

0k

1k2

k

1k2

0k

k

1

Pour .0xJ,0x 1 De plus, on a xJxJ 11 et par consquent xJ1 est

impaire.

La relation 0 0J x J x et xJxJ 11 permet de dresser la table pour .0x

x xJ 0 xJ 0 x cJ 0 xJ1

0,0

0,5

1,0

1,5

1,0000

0,9385

0,7652

0,5118

00,000

0,2423

0,4401

0,5579

2,00

2,5

3,0

0,2239

-0,0484

-0,2601

0,5767

0,4971

0,3391

Fig XII.2

XII.4 Fonction de Bessel de deuxime espce

En qualit de deuxime solution on prend :

sin

xJxJcoslimxY

nn

Pour n , on a : xJxJ)1(et)1(ncos,0sin nnnn

et on obtient une

indtermination 00 . Utilisons la rgle de lHospital :


12/55


261

sin

xJxJcos

limxYn

n.

On obtient :

21

0

2

0 1 1

2 1( ) ln

2 1 2

( 1)1 1 12

1 1

k nn

n n

k

n k

k

n k k

k m m

n kx xY x J x C

k

x

k n k m m

o C est la constante dEuler. La solution gnrale est :

.21 xCxJC Ynn

La fonction xYn sappelle quation de Bessel de deuxime espce dordre n ou

fonction de Neumann.

Ecrivons la srie pour xY0

.0:

....3

1

2

11

6422

11

42

21

2ln[

212

)!(

2)1(

1

2ln

2

0

222

6

22

4

2

0

1

02

2

00

xpourxYdonc

xx

xC

xxJ

mm

k

x

Cx

xJxY

k

m

k

k

k

XII.5 Equation diffrentielle conduisant lquation de Bessel. Fonction de Bessel du

troisime espce

Soit lquation :

0yx

yx

1y

2

22

(XII.5)

Transformons cette quation en introduisant une nouvelle variable xt . Exprimons la

drive de y en fonction de t :


13/55


262

2

22

2

2

dt

yd

dx

dt

dt

yd

dx

dx

dyd

y

;dt

dy

dx

dt.

dt

dy

dx

dyy

Les expressions trouves sont remplaces dans (XII.5) :

simplifions par 2

0yt

1dt

dy.

t

1

dt

yd2

2

2

2

Cest donc lquation de Bessel. Ses solutions seront

.J t et J ou J x et J x

Considrons lquation.

.0yx

1y

x

1y

(XII.6)

Si lon introduit le signe (-) sous la parenthse et lon pose 1i2 , lquation (XII.6)

devient : 0yx

iyx

1

y2

, qui est un cas particulier de lquation (XII.5), quand

i . La solution de lquation (XII.5) sera : xiJetxiJ

on a utilis .1)1(et,)1(ik2kk2

0ytdt

dy

tdt

yd2

222

2

22

;

1k1k

2

x

i

1k1k

i2

x

)1(xiJ

;1k1k

2

x

i

1k1k

i2

x

)1(xiJ

0k

k2

k2

k2

0k

k

0k

k2

k2

k2

0k

k


14/55


263

Etant donn que lquation diffrentielle est homogne, donc quelque soit C1 et quelque

soit C2 les fonctions )xi(JC1 et )xi(JC2 seront ses solutions.

En posant iCet,iC 21 , on obtient la solution sous forme :

,1k!k

2

x

xiJi

;)1k(!k

2

x

1k!k

2

x

iixiJi

0k

k2

0k 0k

k2k2

Posons

.xI

1k!k

2

x

,xI1k!k

2

x

0k

k2

0k

k2

Les fonctions xI et xI sont les fonctions de Bessel du troisime espce. Dans le

cas de fractionnel, xI et xI sont linairement dpendants et xICxICy 21

sera la solution gnrale de (XII.6).

Dans le cas = n (entier), .xIxI nn

Vrifions :

nk

nk2

0k

nk2

n1nk!k

2

x

1nk!k

2

x

xI

(tant donn que ,1nk le nombre 01nk et par consquent 1nk , et les

membres correspondants de la srie sont nuls). Introduisons un nouveau indice de sommation

m, en posant k = m + n. Do :

.xI!m1nm

2

x

1m!nm

2

x

xI0m

n

nm2

0m

nm2

n

Dans le cas o est un entier, la nouvelle solution linairement indpendante avec xIn :

nsin xIxI2xKnnn


15/55


264

et la solution gnrale de (XII.6) scrira sous forme :

xKCxICy n2n1

XII.6 Fonction gnratrice de la fonction Bessel

Considrons la fonction

t1t

2z

et,zu quon dcompose en srie :

On peut crire, que

.!m!k

t2z)1(

t,zu0k 0m

mk

mk

m

ou

.tAt,zu nn

Le coefficient nA est :

.

1nm!m2

z

)1(!m!nm

2

z

)1(A

nm2

0m

m

nm2

0m

mn

Pour z = x, le coefficient An devient xJn et

nnt1

t2

x

txJet,xu

. (XII.7)

La fonction u (x, t) sappelle la fonction gnratrice de la fonction de Bessel d e

premire espce dordre entier n.

Si lon pose z = ix, on a :

.,

1!

2

1!

2)1(

12

0

2

2

2

0

nn

nttix

n

m

n

nm

n

nm

nm

m

mn

txIietixu

et

xIinmm

x

i

nmm

ix

A

(XII.8)

.!m

t2

z

!k

2

zt

eet,zu0m

m

0k

k

t2

z

2

zt


16/55


265

La fonction u (ix, t) sappelle la fonction gnratrice de la fonction de Bessel de

troisime espce.

XII.7 Proprits de la fonction de Bessel de premire et troisime espces

1. Formule de rcurrence .xJ)x(J

x

n2xJ 1nn1n

Cette formule joue un rle important dans la thorie des fonctions de Bessel. Elle

permet de rduire le calcul des fonctions dordre suprieur des fonctions de premier et

deuxime ordre, cest dire .xJetxJ 01 Exemple :

.xJ1x

24xJ

x

8

x

48

xJxJx

8xJ

x

24x

x

48xJ

xJx

2xJ

x

6xJxJ

x

2

x

24

)x(J)x(Jx

2xJxJ

x

4

x

6

xJxJx

6xJxJ

01

01030

11012

0112

23134

La formule de rcurrence permet pour la fonction de Bessel dordre entierde se limiter

ltablissement des tables pour .xJetxJ 10

Dmonstr ation :prenons la relation (XII.7) et calculons

t

u

par deux mthodes :

a)1

2 1(1 ) ( )2 2

xt

nt

n

u x xe J x t

t t

;t)x(J

2

x 2nn

b) .ntxJt

u 1nn

Les deux parties droites des deux diffrentes expressions doivent tre gales pourt

u

.

Egalisons les coefficients pour 1nt . On obtient :

xJ2xxJ

2xxJn 1n1nn

Do :


17/55


266

.. .etc,xJxJx

n2xJ

x

n2xJ 1nnn1n .

2. Formule pour la drive .xJxJ2xJ 1n1nn

Pour la dmonstration calculons par deux mthodes

a)

1n

n

t

1t

2

x

t)x(J2

1

t

1t

2

1e

x

u 1 ;nnJ x t

b) .txJx

u nn

galisons les coefficients pour t

n

. On obtient : .etc)],x(J)x(J[

2

1x'J 1n1nn

La formule montre, que par les tables ,xJetxJ 10 on peut calculer .x'Jn

Dans le cas particulier pour n = 0, on obtient :

.xJxJxJ2

1xJxJ

2

1x'J 111110

3. Prenons la formule (XII.8). Drivons par rapport t comme fonction exponentielledabord puis comme srie :

.nt)x(Iit

u

2

xit)x(Ii

t)x(Iit

11e

2

xi

t

u

1n

n

n

2n

n

n

n

n

n

2

t

1t

Egalisons les coefficients pour tn-1

. On obtient :

)x(Ii)x(I2

xi

)x(Ii)x(Ii2

xin)x(Ii

1n

2

1n

n

1n

1n

1n

1n

n

n

ou :

.xIxI2

xnxI 1n1nn

do :

xIxIx

n2xI 1nn1n


18/55


267

la formule rcurrente pour la fonction de Bessel de troisime espce.

4. Si lon calculex

u

de la formule (XII.8) par deux mthodes et on galise les

coefficients dans les deux expressions trouves pour nt , on obtiendra la drive de la fonction

de Bessel du troisime espce :

1

12

1

1

2 2

.

xit

n ntn

n n

n

u i ie t i I x t

x t

i I x t

Dune autre part,

xIixI2

i

xIixIi2

ixIi

;txIix

u

1n

2

1n

n

1n

1n

1n

1n

n

n

n

n

n

o :

)x(I)x(I2

1xI 1nnn etc

Pour n = 0

,xI)x(I)x(I21xI 1110

avec :

xIxI nn

Des formules analogues peuvent tre obtenues pour .xKetxY nn

XII.8 Formules intgrales de la fonction de Bessel de premire et troisime espces

Afin de dduire les formules pour xJ n , on prend la relation :

kkt1

t2

x

txJe

(XII.7)

et on pose iet . Do.

ikkiii

i

et;sini2

ee

2

e

1e

2

t

1t

et la relation (XII.7) devient :

.exJe ikksinxi

(XII.9)


19/55


268

La fonction ike a la proprit telle que, k2

0

ik0de pour 0k , donc :

222 0

00

10,

ikiK kiee d e e

ik ik

avec.1k2sinik2coseet1e k20

Pour k = 0, on a :

.2dde2

0

2

0

ik

Donc, pour trouver les fonctions pour xJn , il faut multiplier lgalit (XII.9) par

in

eet intgrer par rapport surlintervalle 20 .

.dexJde2

0

nki

k

2

0

insinix

On obtient enfin :

.xJ2dexJ2

0n

0

n

En transformant la partie gauche par la formule dEuler, on obtient :

.xJ2dnsinxsininsinxcos n2

0

Pour les valeurs relles de x, la fonction xJ n prendra des valeurs relles et lgalitsera possible si :

.0dnsinxsin20

Par consquent :

.dnsinxcos2

1xJ

2

0n

Dans le cas particulier pour n = 0, on a

.d)sinx(cos2

d)sinx(cos1

dsinxcos2

1x

2

0

0

2

00J

(XII.10)

Afin de trouver la formule intgrale pour xJ n , prenons la fonction gnratrice pour la

fonction de Bessel de troisime espce :

kkkt1

t2

ix

txIie


20/55


269

et effectuons les mmes transformations en posant iet , do

.et;sinx

isinxi2

eexi

t

1t

2

xi

ikk

ii

et .exIieik

k

ksinx

Multiplions par ine et intgrons de o 2:

.dexIide2

0

)nk(i

k

k

2

0

insinx

Une seule intgrale est 0 pour k= n dans la partie droite, do :

.2xIide nn2

0

insinx

Pour n = 0, on a :

.xI2de 02

0

sinx

XII.9 Intgrale de Weber-Lipchitz

On rencontre souvent en gophysique les intgrales de Weber-Lipchitz :

,rz

1dxzxc osrxK

2

rz

1dxrxJe

220

0

220

0

zx

Montrons la premire formule. Pour rxJ 0 prenons la formule intgrale (XII.10) :

.d)sinrx(cos2rxJ2

0

0

En remplaant cette expression dans la partie gauche de cette quation, on obtient :

.dxdsinrxcose2dxrxJe2

00 0

zx

0

zx

l'expression cos rx sin j est gale : sin sin

2

ir x ir xe e .

Do :


21/55


270

2

sin sin0

0 0 0

1zx zx irx zx irxe J rx dx d e e dx

2 sin sin

0 0

1

sin sin

zx irx zx irxe ed

z ir z ir

2

0

1 1 1

sin sind

z ir z ir

En rduisant en un mme dnominateur, on a :

2

0

2

0

220

0

zx

sinrz

dz2d

sinrz

z21dxrxJe

Posons ;dsecdt;ttg 2

.t1

t

sec

tgsin

;t1

dt

tg1

dt

sec

dtd

Lintgrale cherche sera :

220 0

2

0

0

2 2

1

1

2 2

2 1

2

z dt z dt

z z r ttt z r

t

z dt z z r

zz r z r ztz r

t z rarc tg

z z r z r

Dans le cas particulier pour z = 0 : r

1dxrxJ

0

0

XII. 10 Orthogonalit de la fonction de Bessel :

La valeur est la racine de ,xJ si .0J Montrons que si et deux racines

diffrentes de la fonction xJ , on aura :

.0dxxJxJx1

0


22/55


271

Lgalit zro de lintgrale est une proprit dorthogonalit de la fonction de Bessel.

Pour la dmonstration, posons 1yxJ et 2yxJ , donc conformment

(XII.6), on a :

0yx

yx

1y

,0yx

yx1y

22

2

22

12

2

11

Afin de trouver la fonction sous intgrale ,yxy 21 multiplions la premire quation par

2xy et la deuxime par 1xy et retranchons la deuxime galit de la premire. On obtient :

0yxyyyyyyyyyx 2112211221

quon peut crire sous forme :

.0yxy)()yyyy(xdx

d21

22

1221

Lintgrale de 0 1 donne :

1

1

1 2 2 1 1 200

( ) 0.x x y y y y xy y dx (XII.11)

En considrant que est une variable :

1 1 1

2 2 1

, 0;

, 0;

x

x

y J x y J

y J x y J

1 1 1; .x

dJ x dJ x d xy J x y J

dx d x dx

En remplaant lexpression trouve, on trouve :

1

1 2 2 10

.x y y y y J J

Do :

JJlim

yyyyxlimdxxJx

1

01221

1

0

En appliquant le thorme dHspital la partie droite, on a :

21

0

lim .2 2

JJ J x J x dx

do :


23/55


272

21

2

0

.2

v

Jx J x dx

Dcomposition de la fonction xf en srie par la fonction de Bessel

Les fonctions xJ possdent une infinit de solutions ...,,...,,..., k21 .

Reprsentons f(x) par :

f(x) = ...xJc...xjcxJc kk2211

Afin de trouver les constantes ,,, 21 kccc utilisons laproprit dorthogonalit

...dxxJxC

...dxxJxJxCdxxJxfx

1

0

k

2

k

k

1

0

11

1

0

k

On obtient :

.dxxJxcdxxJxfx k1

0

kk

Do :

1

1

0

1

2 0

0

2.

[ ]

k

k k

k

v

x f x J x dx

c x f x J x dx

J xx J x dx

(XII.12)

Exemple: Dcomposer x)x(f sur intervalle (0, 1) en srie par la fonction de Bessel dupremier ordre.

Solution : soit :

1k

k1kk1k212111 ).x(Jc...)x(Jc...)x(Jc)x(Jc)x(f

Les coefficients de la srie sont dtermins par la formule (XII.12)

dxxJx

J

2c k1

1

0k1

k

On pose n = 1, do :

.xJxdttJt 21x

0

2 On pose ,xt k donc : dxdt k , on peut crire :

.111

2

0

22

313

1

0

1

1

0

k

k

kk

kk

k

k

k

k

JJdttJt

dttJ

tdxxJx

k

v

Donc :


24/55


25/55


274

Fig XII.3

On va considrer que la temprature U la surface est nulle, do 0U R

(Condition initiale).

Lquation de conductibilit thermique est :

.Uat

U

L'oprateur de Laplace est plus simple prendre en coordonnes cylindriques :

.z

U

U1U1U

Des conditions du problme, on a U qui ne dpend pas de et de z, do :

0

U

et 0

z

U

.

Lquation de conductibilit thermique prend la forme :

U

U1a

U1a

t

U

ou

.U1

Ua

t

U

(XII.13)

Ainsi, il faut rsoudre lquation (XII.13) si 0U R et fU 0t . On va utiliser

alors la mthode de Fourier pour la rsolution sous forme :

.tTt,U

Donc :

,tT

U

,tTU

,tTtU

Lquation (XII.13) prend la forme :

.1tTatT

quon peut crire sous forme :


26/55


275

1

tTa

tT

Pour que U soit solution de (XII.13), il faut :

2 ; (XII.14)

1 0 . (XII.15)

T t a T t

Lquation (XII.14) peut scrire sous forme :

.dtaT

dT

En lintgrant, on obtient :

.

lnln

CeT

ouCtaT

ta

Lquation (XII.15) est lquation de Bessel dordre 0 et dargument . Sa solution

sera la fonction :

.J 0

La fonction :

0ta JeCt,U

sera la solution de lquation diffrentielle (XII.13) . Cependant la fonction t,U

doit satisfaire la condition aux limites. Par consquent :

2

0 0 ,a tC e J R

do :

.0RJ0

Les valeurs R sont les racines de la fonction .xJ 0 Si les racines sont dsignes par

,...,...,,, k21 donc pour , on a :

,...R

,...,R

,R

kk

22

11

Pour les donnes on a :

,...3,2,1k,JeCt,U k0tkakk

qui est une solution de (XII.13). k sont les nombres caractristiques du problme. k0J

sont les fonctions caractristiques ou propres du problme.


27/55


276

Aucune fonction t,U k ne satisfait les conditions aux limites, tant donn que pour t =0 :

,JCU k0kk et non f( ).

Afin de trouver la solution, prenons :

k

1k

0

ta

k JkeC)t,(U

pour t=0, U= f( ) et par consquent :

1kk0k .

RJc)(f

La dernire srie est la dcomposition de )(f par la fonction de Bessel dordre 0 :

1

0

k02

k0

kR

dR

J)(fR)('J

2c

donc :

1

0

k022

k0

k d)(J)(fR

1.

)('J

2c .

La fonction :2 2

0

1

( , ) ( )ka t

k k

k

U t c e J

est la solution du problme pos.

Problme 2. Problme de Dirichlet pour un cylindre

Soit un cylindre z = 0, z =H, R=1. Trouver la fonction harmonique lintrieure du cylindre,

si lon connat ses valeurs sur la surface.

Il faut rsoudre le problme 0U , avec les conditions aux limites :

).(fU

,0U

,0U

0z

1

Hz

Puisque U ne dpend pas de 0U

,2

2

et lquation devient :

01

2

2

2

2

z

UUU

Posons )z(Z)()z,(U . Do :

).z(Z)(zU);z(Z)(U);z(Z)(U2

2

2

2


28/55


277

En les remplaant dans lquation, on obtient :

.0)z(Z)()z(Z)](1

)([

Dcomposons les variables :

2

)z(Z

)z(Z

)(

)(1

)(

Pour trouver )( et Z(z), obtenons les quations :

0)z(Z)z(Z 2 (XII.16)

0)()(1

)( 2

(XII.17)

Lquation (XII.16) est une quation linaire et homogne du deuxime ordre. Pour sa

rsolution, tablissons lquation caractristique :

.k,0k 22

Sa solution gnrale sera :

.eCeC)z(Z z2z1

Lquation (XII.17) est une quation de Bessel dont la solution est ).(DJ 0

La fonction :

)(J)eCeC(D),z(U 0z

2

z

1

sera la solution de lquation de Laplace.

Afin que pour z =H, on a U=0, il faut que :

0eCeC H2H

1

Lgalit sera satisfaite si :

.2

eC,

2

eC

H

2

H

1

Do :

),zH(sh2

eeeCeC

)zH()zH(z

2

z

1

et la fonction )(J)zH(Dsh),z(U 0 satisfera la premire condition aux limites. Afin

de satisfaire la deuxime condition aux limites, il faut que :


29/55


278

,0)(J,1 0

C'est--dire : .0)(J0

Si ...,...,,, k21 sont les racines de ),(J0 donc ,...,2,1k on a :

)(J)zH(shDU k0kkk

qui satisfera les deux premires conditions aux limites.

En qualit dune nouvelle solution, prenons la fonction :

1k

k0kk ).(J)zH(shD)z,(U

Choisissons les coefficients de faon que pour z =0, on a :

1k

k0kk ).(J)H(shD)(f

Les conditions de la srie sont dtermines par la formule (XII.12). Par consquent :

1

0

k02

k0

kk .d)(J)(f.)](J[

2)H(shD

La fonction :

1k

k0kk ),(J)zH(shD

sera la solution du problme pos.

Problme 3. Considrons le problme de Dirichlet avec les conditions suivantes :

).(),(,0),(

,0),(

1

0

zfzUzU

zU

Hz

Z

Posons :),z(Z)()z,(U

On trouve :

)z(Z

)z(Z

)(

)(1

)(

ou encore :

0)()(1

)( 2

et

0)z(Z)z(Z 2

La premire quation est une quation diffrentielle pour la fonction de Bessel du

troisime espce dordre 0 et dargument . Sa solution sera la fonction :


30/55


279

).(I)( 0

La deuxime quation est linaire coefficients constants. Les racines de lquation

caractristique 0k 22 sont i .

La solution gnrale de cette quation sera :

zsinDzcosC .

La fonction :

)()sincos(),( 0 IzDzCzU

sera la solution de lquation de Laplace.

Pour que z=0, on U=0, il faut que :

,00sinD0cosC

chose possible que pour C=0.

Pour que pour z=H, on a U=0, il faut que 0HsinD , chose possible que pour :

.kH

Par consquent ,H

kk

o k=1,2,3,

La fonction :

H

kzsin

HID)z,(U

k

0kk

Satisfait les deux conditions aux limites. Afin de trouver la fonction satisfaisant la

troisime condition aux limites, prenons :

zH

ksin

H

kID

1k

0k

et considrons que :

1k

0k ).z(fH

zksinHkID

Cette srie est la srie de Fourier pour la fonction )z(f .

Par les formules de Fourier, on trouve :

H

0

0k .dzH

kzsin)z(f

H

2

H

kID

La fonction :

HkzsinHkID)z,(U 0k


31/55


280

sera la solution du problme pos.H

kk

sont les valeurs propres et

H

kzsin

sont les

fonctions propres.

Exercices.1. Sachant

2

1, trouver

2

3k,

2

3,

2

1o k est entier.

2. Montrer que :

;xcosx

2)x(J,xsin

x

2)x(J

2

1

2

1

Ecrire lquation diffrentielle pour )x(J2

1et )x(J

2

1

.

3. Vrifier que x

xsinet x

xcossatisfont lquation diffrentielle :

0yx4

11y

x

1y

2

4. Trouver les expressions pour :)x(J

2

3et )x(J

2

5.

5. Trouver )5,0(J 4 et )5,0(J 2 .

6. Montrer que:

...)3sin)x(J2sin)x(J2(i

...)4cos)x(J2cos)x(J(2)x(Je

31

420

sinix

7. En utilisant l'exercice 6, montrer que:

2

0

2 ,2cos)sin(cos2

1)( dnxxJ n

2

0

1n2 .d)1n2(sin)sinx(sin2

1)x(J

8. Montrer que:

x

0

10 )x(xJdt)t(tJ .

9. Dcomposer la fonction f(x) =1 sur (0,1) en srie par fonctions de Bessel d'ordre 0.

Rponse: .)(J

2c

k0k

k

10. Montrer que :

x

0

1n

1n

n

1n ).x(Jxdt)t(Jt


32/55


281

XII.12 Dtermination des polynmes de Legendre

Les polynmes de Legendre sont plus simples dduire des fonctions potentielles 1/R,

o R est la distance entre les points M0 et M (fig XII.4).

Fig XII.4

Si le point M0 est situ sur l'axe or une distance de l'origine des coordonnes gale

l'unit, on a:

2rcosr21R ,

o r et sont les coordonnes sphriques du point M.R

1est dtermine en fonction de

),(cosPn appelepolynme de Legendre. Donc:

0nn

n .r)(cosPR

1

(XII.18)Pour r =1 et =0, ,0cosr2r1 2 et par consquent la fonction 1/R a un point

critique. La srie converge seulement pour r


33/55


282

.x)x(P1

Analogiquement par la drive du second ordre par rapport R

1, on peut obtenir )x(P2

etc.

La diffrentielle de (XII.19) donne:

0n

1n

n nr)x(Pdr

R

1d

ou

0n

1n

n2

.nr)x(P)rrx21(

rx

En multipliant les deux parties de la dernire galit par ),rrx21( 2 et remplaant

2rrx21

1

par la srie (XII.19), on obtient:

0n 0n

1n

n

2n

n .r)x(nP)rrx21(r)x(P)rx(

Egalisons les coefficients pour rn :

)x(P)1n()x(nxP2)x(P)1n()x(P)x(xP 1nn1n1nn

ou.0)x(nP)x(xP)1n2()x(P)1n( 1nn1n (XII.20)

C'est la formule de rcurrence pour les polynmes de Legendre.Trouvons ).x(P),x(P),x(P 432

1. Posons n=2 dans la formule de rcurrence. D'o:

0)x(P)x(xP3)x(P2 012 ou .2

1x

2

3)x(P

2

2

2. En posant n=2, on obtient:0)x(P2)x(xP5)x(P3 123

ou

.x23x

25)x(P 33

3. Si n=3, on aura:0)x(P3)x(xP7)x(P4 234

ou

.8

3x

4

15x

8

35)x(P 244

Ainsi, )x(Pn sont des polynmes. Les graphes de Legendre sont reprsents par la

figure XII.5. (1) 1, ( 1) ( 1) 0, 1, 2, 3.nn nP P si n


34/55


283

Fig XII.5

XII.13 Equation diffrentielle pour les polynmes de Legendre

La fonction potentielleR

1satisfait l'quation de Laplace, c'est--dire

R

1=0. Ecrivons

l'quation de Laplace en tenant compte de .0R1

2

2

Par consquent:

.0R

1

sinsin

1

r

R

1

rr

2

Au lieu deR1 , prenons

0n

nn ,r)(cosP conformment la formule (XII.19), d'o en

diffrenciant:

0)(cosP

rsinsin

1

)](cosPnrr[r

0n

nn

0n

n

1n2

En diffrenciant encore une fois, on obtient:

.0)(cosP

sinrsin

1)(cosPnr)1n(

0n 0n

nn

n

n

qu'on peut crire sous forme:

0)(cosP

sinsin

1)(cosnP)1n(r

0n

nn

n

Soit enfin:

0d

)(cosdPsind

d

sin

1)(cosnP)1n(

nn

(XII.21)

Cest l'quation diffrentielle pour les polynmes de Legendre.


35/55


284

Trouvons l'quation diffrentielle pour ).x(Pn Donc

dx

dsin

d

dx

dx

d

d

d

Et l'quation (XII.21) devient:

0dx

)x(dP)x1(

dx

d)x(nP)1n(

,0dx

)x(dPsindx

dsinsin

1)x(nP)1n(

n2

n

n2

n

En diffrenciant, on obtient:

,0)x(P)1n(n

dx

)x(dPx2

dx

)x(Pd)x1( n

nn

22

Par consquent, )(xPn satisfait l'quation:

,0y)1n(nyx2y)x1( 2 (XII.22)

qui est une quation linaire et homogne du second ordre coefficients constants.

XII.14 Proprit dorthogonalit des polynmes de Legendre

Montrons que les polynmes de Legendre sont orthogonaux sur l'intervalle (-1,1), c'est--dire:

1

1

nm .nmpour0)x(P)x(P

Posons 1m y)x(P et .y)x(P 2n Ecrivons les quations diffrentielles pour y1 et y2:

,0y)1m(myx2y)x1( 1112

.0y)1n(nyx2y)x1( 2222

Multiplions la premire quation par y2 et la seconde par y1 et calculons:

0yy)1n(n)1m(m)yyyy(x2)yyyy)(x1(

21

21122112

2

ou

.0yy)1n(n)1m(m)yyyy)(x1(dx

d212112

2

En intgrant par rapport x sur l'intervalle (-1,1), on obtient:

1

1

21

1

121122 .0dxyy)1n(n)1m(m)yyyy)(x1(


36/55


285

Puisque nm , on a:

.0dxyy

1

1

21

ou

1

1

nm .0dx)x(P)x(P

Calculons:

1

1

2

n .dx)x(P

Pour cela, on utilise la formule de rcurrence (XII.20). En remplaant n par n-1, on

obtient :

.0)x(P)1n()x(xP)1n2()x(nP 2n1nn

On peut crire l'intgrale sous forme:

1 1

2

1 21 1

1 1

1 2

1 1

2 1 1

( ) ( ) ( ) ( )

2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) .

n n n n

n n n n

n n

P x dx P x xP x P x dxn n

n nxP x P x dx P x P x dx

n n

La deuxime intgrale est nulle selon la proprit d'orthogonalit des polynmes de

Legendre. La premire intgrale se transforme, en exprimant )x(xP n partir de l'quation

(XII.20). Donc :

1

1

2

1

1

1

1

11

1

111

1

1

2

.)(12

12

)()(12

112)(

12

)(12

1)(

12)(

dxxpn

n

dxxpdxxPn

n

n

ndxxp

n

n

xpn

nxp

n

ndxxp

n

nnn

nnn

La premire intgrale est de nouveau gale 0, et par consquent:

1

1

1

1

2

1

2.)(

12

12)( dxxP

n

ndxxP nn

Analogiquement:


37/55


286

1

1

1

1

1

1

2

0

2

1

1

1

1

1

23

2

2

1

1

1

1

22

21

.3

2

3

1)(

3

1)(

....................................................................

.)(32

52)(

,)(12

32)(

dxdxxPdxxP

dxxPn

ndxxP

dxxPn

ndxxP

nn

nn

D'o on peut dduire:

1

1

2

n .1n2

2dx)x(P

Dcomposition d'une fonction arbitraire )(xf en srie par le polynme de Legendre.

Soit dterminer les coefficients cn de:

...)x(Pc...)x(Pc)x(Pc)x(f nn1100

Multiplions les deux parties de l'galit par )(xPn et intgrons:

1 1

0 0

1 1

1 1

2

1 11 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ... ( ) ...

nn

n n n

f x P x dx c P x x dxP

c P x P x dx c P x dx

Selon la proprit d'orthogonalit, toutes les intgrales dans la partie droite sauf

1

1

2

n ,dx)x(P sont nulles.

Par consquent:

1

1

1

1

n

2

nnn ,1n2

2cdx)x(Pcdx)x(P)x(f

1

1

nn .dx)x(P)x(f2

1n2c (XII.23)

XII.15 Application des polynmes de Legendre la rsolution des problmes limites

Problme 1. Problme de Dirichlet pour une sphre

Il faut trouver une fonction harmonique l'intrieur d'une sphre si l'on connat ses

valeurs sur la surface. Supposons que la fonction cherche U ne dpend pas de la cordonne


38/55


287

sphrique . Le centre de la sphre est confondu avec l'origine des coordonnes. Le rayon de

la sphre est R. Ainsi la condition aux limites est:

).(f),r(URr

La fonction ),r(U doit satisfaire l'quation de Laplace .0U On a ,0/U 22 et

par consquent:

ou

.0)U

(sinsin

1

r

Ur2

r

Ur

0)U

(sinsin

1)

r

Ur(

r

2

22

2

On va chercher la solution par la mthode Fourier. Ecrivons la fonction sous forme

).(T)r(),r(U Trouvons la drive et remplaant la dans l'quation :

.0)](T[sind

d)r(

sin

1)(T)]r(r2)r(r[

;)(T)r(r

U

;)(T)r(r

U;)(T)r(

r

U

2

2

2

Afin que )(T)r(),r(U soit la solution de l'quation de Laplace, il faut que la

dernire galit soit une identit.

Sparons les variables:

.)(T

)](T[sind

d

sin

1

)r(

)r(r2)r(r2

Etant donn que r et sont indpendants, l'galit sera possible que si les parties gauche

et de droite sont gales une constante . On obtient:

0)()(2)(2 rrrrr

et

.0)(T)](T[sind

d

sin

1

Donc pour ),1n(n on dduit que:

).(cosPc)(T nn

La premire quation prend la forme:

.0)r()1n(n)r(r2)r(r2


39/55


288

a solution sera cherche sous forme de .r)r( k D'o:

.r)1k(k)r(,kr)r( 2k1k

En la remplaant dans l'quation, on obtient:

ou

.r)r(,nk,0)]1n(n)1k(k[r

0r)1n(nkr2kr)1k(

nk

kkk

Pour chaque nombre n, la solution de l'quation de Laplace s'crit sous la forme:

,r)(cosPc),r(U nnn

Cependant cette fonction ne satisfait pas la condition aux limites du problme.

L'quation de Laplace est une quation homogne. Prenons la fonction ),( rU sousforme :

0n

nnn r)(cosPc),r(U

Choisissons les coefficients cn pour que r =R, la srie sera gale ),(f c'est--dire:

).()(cos0

fRPn

n

nnc

En posant ,cosx on trouve que, sin var ie 0 , ' :dx d et de d o

.dsin)(cosP)(f2

1n2

R

1

c 0nnn

Par consquent:

0n 0

n

n

n ).(cosPR

r.dsin)(cosP)(f

2

1n2),r(U (XII.24)

Problme 2. Trouver la distribution stationnaire de la temprature dans une sphre de

rayon R. Une partie de la surface S1 a une temprature constante T0, alors que le reste a une

temprature nulle (fig.XII.6).

Fig XII.6


40/55


289

Solution: L'quation de conductibilit thermique est:

,Uat

U 2

o U est la temprature.

Dans le cas d'une rpartition stationnaire, on a .0U La condition aux limites est:

).(fU Rr

Donc, le problme 2 est un cas particulier du problme 1 et sa solution est donne par la

srie (XII.24). On peut crire:

.dx)x(PTdsin)(cosPTdsin)(cosP)(f

1

acos

n0

a

0

n0

0

n

Pour n=0, l'intgrale sera gale ).cos1(0 T

Pour n=1, l'intgrale sera:.

2

cos11

cos

2

00

TdxxT

Pour calculer l'intgrale pour n arbitraire, on peut utiliser la formule:

).()()()12( 11 xPxPxPn nnn (XII.25)

Evidemment,

1 1

00 1 1

cos cos

101 1 cos

01 1

( ) [ ( ) ( )]2 1

[ ( ) ( )] .2 1

[ (cos ) (cos )].2 1

n n n

n n

n n

TT P x dx P x P x dx

n

TP x P x

n

TP P

n

La solution du problme est sous la forme:

01

1

1

( , ) 1 cos [ (cos )2

(cos )] (cos ) .

n

n

n

n n

TU r P

rP PR

Afin de dmontrer la formule (XII.25), on utilise l'galit (XII.19), donc:

.)rrx21(

r

x

R

1

;)rrx21(

rx

r

R

1

3232

En multipliant la premire galit par r, et la deuxime par rx et en retranchant la

deuxime galit de la premire, on obtient:

.0x

R

1

)rx(r

R

1

r

(XII.26)


41/55


290

D'une autre part:

0n

n

0n

n

1n

n .r)x(Px

R

1

,r)x(nPr

R

1

En remplaant les expressions trouves dans lquation (XII.26), on obtient :

n

0n 0n

n

1n

n r)x(p)rx(r)x(npr

En galisant les coefficients pour r:

)x(PPx)x(nP 1nnn (XII.27)

La diffrentielle de la formule (XII.20), donne:

.0)x(Pn)x(Px)1n2()x(P)1n2()x(P)1n( 1nnn1n

En remplaant nPx par la formule (XII.27), on obtient:

).x(nP)]x(P)x(nP)[1n2()x(P)1n2()x(P)1n( 1n1nnn1n

En simplifiant par n+1, on obtient la formule (XII.25).

XII.16 Fonctions successives de Legendre

Les fonctions successives de Legendre sont dsignes par )x(P mn et sont dtermines

par:

m

n

m

2

m

2m

ndx

)x(Pd)x1()x(P

n- est la puissance suprieure des fonctions et m- caractrise la succession.

Les fonctions Pm1(x), Pm

2(x), ..., Pm

n(x), ..., sont orthogonales sur l'intervalle (-1,1),c'est--dire:

1

1

m

n

m

k ,nk,0dx)x(P)x(P et

1

1

2mn

)!mn()!mn(

1n22dx)]x(P[

La fonction Pmn(x) satisfait l'quation diffrentielle:

.01

)1(2)1(2

22

y

x

mnnyxyx

Pour Pmn(cos ), l'quation prend la forme:

.0sin

)1(sinsin

12

2

ym

nnd

dy

d

d

XII.17 Fonctions sphriques volumiques superficielles


42/55


291

La fonction sphrique volumique satisfait l'quation de Laplace:

.0z

U

y

U

x

U2

2

2

2

2

2

Le polynme homogne de degr n peut s'crire sous forme:

,zyxaUnqpm

qpmmpqn

o m pqa est un coefficient.

Le polynme homogne de degr 2 peut s'crire sous forme:

.yzaxzaxyazayaxaU 0111011102

002

2

020

2

2002

Sa drive partielle d'ordre 2 est:

.a2z

U,a2

y

U,a2

x

U0022

2

2

02022

2

20022

2

U2 satisfait l'quation de Laplace si:

.0aaa 002020200

Le systme de coordonnes sphriques est reprsent par la figure )XII.7(.

Fig XII.7

Lquation de Laplace en coordonnes sphriques scrit sous forme:

.0U

sin

1)

U(sin

sin

1

r

Ur(

r 2

2

2

2

Avec:

.cosrz

,sinsinzy

,cossinrx

Le polynme homogne prend la forme:


43/55


292

nqpm

qpmpm

m pq

n

nqpm

qpmpmqpmm pqn

.cossincossinar

cossincossinraU

Il peut aussi s'crire sous forme:

).,(YrU nn

n

XII.18 Equation diffrentielle pour les fonctions sphriques superficiellesLa fonction U satisfait l'quation de Laplace. Exprimons sa drive en fonction de

:),(Yn

.),(

,),(

sin)(sin

,),()1(

),(

2

2

2

2

1

nn

nnn

n

n

nnn

Yr

U

Yr

U

Yrnnr

Ur

r

Ynr

r

U

En la remplaant dans l'quation, et on mettant r en facteur on peut obtenir:

;0]),(Ysin

1)),(Y(sinsin

1),(Y)1n(n[r2

n

2

2

n

n

n

tant donne que ,0rn on a:

.0),(Y

sin

1

)),(Y

(sinsin

1),(Y)1n(n

2

n

2

2

n

n

(XII.28)

C'est l'quation diffrentielle en coordonnes sphriques.

On peut facilement s'apercevoir que:

U

sin

1)

U(sin

sin

1

est l'oprateur de Laplace d'une fonction donne sur une sphre de rayon 1, qu'on dsigne par

.U*

Donc la fonction sphrique satisfait l'quation :

.0U)1n(nU* L'quation 0aUU* a une solution, seulement pour a=n(n+1).


44/55


293

Si Y ne dpend que de , on aura:

,0

Y n

L'quation prend la forme alors:

0)

Y

(sinsin

1Y)1n(n

nn

qui est l'quation diffrentielle du polynme de Legendre. La fonction sphrique ne

dpendant pas de , est gale ).(cosCp n

XII.19 Reprsentation de la fonction sphrique par le polynme de Legendre

On a:

nqpm

qpmpm

mpqn cossincossina),(Y

Etant donn que :

,2

2cos1sin

.2

2cos1cos

Aprs regroupement membre membre, on a:

.sin)(cos)()(),(1

0 mmaaY bnmn

m

nmnn

Dterminons les coefficients an0 )( , a nm )( , bnm )( , m=1,2,...

En calculant les drives, on a:

0

1 1

1

sin sin

sin cos sin sin ;

( ( ) cos ( ) sin ).

n n

n n

nm nm

m m

n

nm nm

m

Y dad

d d

da dbd dm m

d d d d

Ya m m b m m

En les substituant dans l'quation diffrentielle, on obtient:

.0msinbsin

m

d

dbsin

d

d

sin

1

)(b)1n(n[mcosasin

m

d

dasin

d

d

sin

1

)(a)1n(nd

dasin

d

d

sin

1)(a)1n(n

nm

nm

n

1m

nmnm

nm

n

1m

nm

0n

n0


45/55


294

Les coefficients pour )n,...,1,0m(mcos,msin sont nuls:

.0bsin

m)1n(n

d

dbsin

d

d

sin

1)3

,0asin

m)1n(n

d

dasin

d

d

sin

1)2

0a)1n(n)d

da(sin

d

d

sin

1)1

nmnm

nm

nm

0n

0n

La premire quation est un polynme de Legendre, d'o:

).(cosPa)(a 00n

Pour a nm( ) et bnm( ), on a:,)(cosPb)(b,)(cosPa)(a nmnm

m

nmnm

o a nm( ) et bnm( ) sont des constantes.

On peut crire alors la fonction sphrique sous forme:

).(cosP]msinbmcosa[)(cosPa),(Ym

n

n

1mmmn0n

XII.20 Orthogonalit des fonctions sphriquesPour montrer l'orthogonalit, on utilise la formule de Green:

.dv)UVVU(dsdn

dUV

dn

dVU

VS

Soit une sphre de rayon r (fig.XII.8). On a:

).,(YrV,),(YrU mm

n

n

et.0V;0U


46/55


295

Fig XII. 8

La partie droite de la formule de Green sera nulle et par consquent:

,0dsdn

)Yr(dYr

dn

)Yr(dYr[

S

n

n

m

mm

m

n

n

La normale est dirige suivant le rayon de la sphre, d'o:

).,(Ymr)Yr(dr

d)Yr(

dn

dm

1m

m

m

m

m

Analogiquement, on a:

).,(Ynr)Yr(dn

dn

1n

n

n

Pour une sphre .dsinrds

Aprs remplacement, on obtient:

.0ddsinYY)nm(rS

mn

1mn

En faisant sortir rn+m+1

(m-n) en dehors de l'intgrale et en simplifiant, on obtient:

S

mn .mnpour,0ddsin),(Y),(Y

ce qui exprime l'orthogonalit des fonctions sphriques.

La fonction ),(f peut tre dcompose en srie par les fonctions sphriques:

...),(Y...),(Y),(Y),(f n10

Exercices

1. Trouver )x(P5 et )x(P6 par la formule de rcurrence.


47/55


296

2. Trouver par la formule de rcurrence ).0(Pn

Rponse :

n...6.4.2

)1n...(5.3.1)1()0(P 2

n

n

pour n- pair.

et

)0(Pn pour n impair.

3. Dcomposer en srie par les polynmes de Legendre:

;10,1

01,0)(

x

xxf

Rponse :

...xP!2!32

!4.11)x(P

2

7)x(P

2

3

2

1)x(f 36241

4. Trouver les coefficients de la srie de Legendre pour x

).0(P)2k)(1k(

1k2a kk

5. Exprimer ),(Y4 par la fonction de Legendre.

XII.21 Dtermination des polynmes dHermiteLes polynmes d'Hermite sont dduits d'habitude l'aide de la fonction

2( 2 )( , ) txtx t e appele fonction gnratrice des polynmes. On a:

;t!n

)x(He)t,x(

0n

nntx2t

(XII.29)

o les fonctions )x(H n s'appellent les polynmes d'Hermite.En posant dans l'galit (XII.29) 0t , on a .1)x(H0 La diffrentielle par rapport t

donne:

.nt!n

)x(H)x2t2(e

t 0n

1nntx2t

En posant t=0, on trouve ).x(Hx2 1

De la mme manire, on peut trouver les expressions pour )x(H 2 etc...

En comparant les expressions pour )t,x( et ,t on trouve:


48/55


297

.0)t,x()x2t2(t

En remplaant dans cette quation la srie correspondante, on trouve:

0n 0n 0n

nn1nn1nn .0t!n

)x(Hx2t

!n

)x(H2nt

!n

)x(H

Les coefficients puissance t sont nuls. Ainsi:

0!n

)x(Hx2

)!1n(

)x(H2)1n(

)!1n(

)x(H n1n1n

ou;0)x(nH2)x(xH2)x(H 1nn1n (XII.30)

c'est la formule de rcurrence du polynme d'Hermite.

En posant n=1, on trouve:

.2x4)x(H2)x(xH2)x(H 012

En posant n=2, on trouve:

.x12x8)x(H4)x(xH2)x(H3

123

XII.22 Equation diffrentielle pour les polynmes dHermite

Considrons l'quation (XII.30) et calculons sa diffrentielle:

0)x(Hn2)x(Hx2)x(H2)x(H 1nnn1n (XII.31)

On a aussi :

.!

)(22

1

0

2

n

n

ntxtt

n

xHte

x

et

.!

)(

0

n

nn tn

xH

x

Egalisons les coefficients pour tn+1. On obtient :

.!

)(2

)!1(

)(1n

xH

n

xH nn

o

).x(H)1n(2)x(H n1n Do)x(nH2)x(H 1nn

et


49/55


298

1( ) 2 ( )n nH x nH x

En remplaant )x(H 1n et )x(H 1n dans (XII.31), on obtient :

0)x(H)x(Hx2)x(H2)x(H)1n(2 nnnn ou

;0)x(nH2)x(Hx2)x(H nnn

Ainsi, les polynmes dHermite satisfont lquation diffrentielle :

0ny2yx2y

XII.23Orthogonalit des polynmes dHermiteMontrons que :

0dx)x(H)x(He mnx2

Posons .z)x(Hetz)x(H 2m1n Donc :

,111 0nz2zx2z

.0mz2zx2z 222

Multipliant la premire quation par2

2( )xe z et la seconde par2

1( ).xe z Donc :

.0zze)mn(2)zzzz(edx

d

;0zze)mn(2

)zzzz(xe2)zzzz(e

21

x

1221

x

21

x

1221

x

1221

x

22

2

22

Intgrons par rapport x de :

.0dxzze)mn(2])zzzz(e[ 21x

1221

x2 Do :

0dxzze 21x

ou

.0dx)x(H)x(Hxe mn2x

On peut crire que :

.!n2dx)x(He nnx

Les fonctions ...),x(H),x(H 1 peuvent tre utilises pour dcomposer les fonctions

)(xf en srie.


50/55


299

XII.24 Sparation des variables en coordonnes cartsiennes dans la rsolution delquation de Laplace

Il faut trouver lintgrale de :

0z

U

y

U

x

UU222

(XII.33)

Ecrivons )z,y,x(U sous forme :

,)z(Z)y(Y)x(X)z,y,x(U (XII.34)

Aprs avoir substitu (XII.34) dans (XII.33), et divis par )z,y,x(U , on trouve :

0

Z

Z

Y

Y

X

X

(XII.35)

Posons :

; ; X Y Z

X Y Z

.

Donc (XII.33) devient : 0 ; 0 ; ,X X Y Y Z Z

o. (XII.36)

Lintgrale sera :

.;; zyizi eZeYeX

Donc, lintgrale partielle (XII.34) est :

i z i y z

U e

(XII.37)

Qui dpend de , et de x, y, z la solution gnrale de lquation (XII.33) sera :

2

1, , ,

4

yz ix iyU x y z U e d d

(XII.38)ze),(U

~ est la transforme de Fourier de U(x, y, z) par rapport x et y ; la coordonne z

est considre comme un paramtre. Lintgrale double est calcule de sur tout le

plan spectral () . Par consquent, lquation prend la forme dune transforme inverse deFourier :

( )

( ) (XII.39)La fonction spectrale ),(U

~ doit tre dtermine partir des conditions aux limites.

En posant z = 0 dans lquation (XII.39), on obtient :

.ddz,,Uee,U~ iiz

(XII.40)


51/55


300

Les quations (XII.38) et (XII.40) rsolvent les problmes de prolongement du champ.

XII.25 Problme de Dirichlet pour Z > 0

En remplaant lexpression (XII.40) dans la relation (XII.38), on obtient :( ) ( )

2

1( , )

4

i x i y zU U d d e d d

Posons

;4

1),,(

'

2

ddezyxG zYyixi (XII.41)

dd),(U)z;y,x(G)z,y,x(U (XII.42)

La premire quation montre que :2

e)z,,(G~

est la transforme de fourrier de la fonction G (x, y,z) dans le plan x, y );( z- est un

paramtre. Lquation (XII.42) exprime la fonction harmonique de U (x, y, z) comme une

convolution de U(x, y) donne sur le plan z = 0, avec G( x, y, z).

Donc :).,(),,(),,( yxUzyxGzyxU (XII.43)

Pour calculer G (x, y, z), on utilise les coordonnes polaires :

.sin;cos

;siny;cosx

On a aussi :

.ddd);(cosiyixi

Lintgrale (XII.41) sera :

2

( cos )

2

0 0

1( , , )

4

z iG x y z d e d z

On trouve :

.

)zyx(

z

2

1)z,y,x(G

2

3

222

(XII.44)

La transforme de Fourier de cette fonction par rapport x et y est ze avec donn

de (XII.36) ; alors :

2

3

222)(

2

1

zyx

zdyzdee

Iixiv

(XII.45)


52/55


301

Si lon remplace lexpression (XII.44) dans (XII.42), on trouve la formule de

prolongement vers le haut :

3),(21

),,(r

dzdUzyxU

(XII.46)

o.)0z(z)y()x(r 2222

XII.26 Sparation des variables en coordonnes cylindriques

Lquation de Laplace en coordonnes cylindriques scrit :

.0z

UU1U1U22

2

22

2

(XII.47)

On va chercher la solution sous forme :).z(Z)()(RU

En remplaant ce produit dans lquation (XII.47), on obtient :

.1Z

Z1

R

R1

R

R2

Cette quation conduit aux trois quations diffrentielles suivantes :

2 2

22

2

; 0 ;

10 .

Z Z n

nR R R

o n- est un entier et )z,,(U est priodique. Donc :

....,2,1,0,1,2...., ne in

La solution de la dernire quation pour 0 est la fonction de Bessel de premire espce :

)(JR n .Donc la solution particulire est :

).(jeU ninz

la solution plus gnrale est :

0)(

.)()(),,( djeCezU nz

n

n

in(XII.48)

Lquation (XII.48) satisfait les conditions aux limites. Si )0,,(U),(U est

donne sur le plan , la relation (XII.48) devient :


53/55


302

0)(

.)()(),( djCeU nnn

in

Ainsi, la fonction est dcompose en srie de Fourier, dont les coefficients sont les

transformes de Hankel )(Cn :

0

n

2

0

in

n .d)(j),(Ude2

1)(C (XII.49)

Les quations (XII.47) et (XII.49) sont les solutions du problme de Dirichlet pour un

demi espace .0z Elles peuvent tre utiles pour le prolongement vers le bas. En posant 0 ,

on obtient la formule (XII.48) sous forme :

.de)(C)z,0,0(U z

0

0

(XII.50)

Avec

2

0 0

0 0

1( ) ( ) ( , ) .

2C j d U d

(XII.51)

XII.27 Prolongement vers le bas

Les quations (XII.38) et (XII.40) rsolvent le problme de plongement vers le bas.

Afin de pouvoir facilement utiliser ces formules, posons z = -h, o .0h Donc, lquation

(XII.38) devient :

.dde),(U~

4

1)h,y,x(U iyixh

2

(XII.52)

Lintgrale (XII.52) possde un sens dans certains cas particuliers, dont on peut citer par

exemple :

La transforme de Fourier ),( U diminue en exponentielle, quand et

augmentent et cette diminution est plus rapide que celle de he . La composante verticale du

champ due une certaine source de densit est :

2/3222

)y()x(

ddd),,()y,x(g (XII.53)


54/55


303

Considrons que la source est dans le volume dont la section horizontale transversale

estmS (fig.XII.9).

Fig.XII.9

Le prolongement du corps vers le bas peut tre infini, cependant les masses doivent tre

localises une profondeur suprieure h = H.

La densit est nulle )0( lextrieur du volume dsign et est gale m lintrieur.

Donc de lexpression (XII.53), on a :

Do :

H

Sg mm

(XII.54)

Montrons maintenant comment lexpression (XII.52) diminue pour Hh . Dans notre cas :

2 2

3

2 2

( , ) ( , , ) , ( )

( )

i i y d d dyg e dxdy r xr

y

En changeant x et y respectivement par x et y , on obtient :

.)(

),,(),(~2/3222

yx

dxdyedddeg yixiii

Le module sera :

.2

2),(~

Hmm

H

mm eS

deSg

(XII.55)

Donc, la fonction spectrale diminue en exponentielle et surtout quand H est important.

Lquation (XII.52) scrit donc :

,dd),(g~e4

1)h,y,x(g iyixh

2

(XII.56)

Ainsi lintgrale est calculable si :

.2

SH

m ddd

g


55/55


hH

S)h,y,x(g mm

(XII.57)

Donc, le prolongement vers le bas est possible jusqu' une profondeur ne dpassant pas

la profondeur minimale de la source sous la surface z = 0.

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Chapitre XII