C. R. Acad. Sci. Paris, t. 332, Série I, p. 913–916, 2001Géométrie algébrique/Algebraic Geometry

Cohomologie relative des applications polynomialesPhilippe BONNET

Laboratoire de topologie, UMR 5584, Université de Bourgogne, B.P. 47870, 21078 Dijon cedex, FranceCourriel : pbonnet@topolog.u-bourgogne.fr

(Reçu le 24 janvier 2001, accepté le 29 janvier 2001)

Résumé. Soit F une application polynomiale dominante deCn dansC

q avecn > q. Dans cetteNote, nous étudions la cohomologie de de Rham des fibres deF , ainsi que ses groupes decohomologie relative. On se donne un degré quasi homogène à poids strictement positifssur C [x1, . . . , xn]. À partir des termes dominants des fonctions coordonnées deF , nousconstruisons une fibre deF dite « à l’infini ». Nous introduisons les groupes de cohomologieà l’infini de F . Ces groupes, notésHk(F−1(∞)), permettent d’étudier tous les autresgroupes de cohomologie deF . Par exemple, si la fibre à l’infini a une singularité isoléeà l’origine, nous montrons que toute base quasi homogène deHn−q(F−1(∞)) forme unebase de tous lesHn−q(F−1(y)), ainsi que du(n − q)ème groupe de cohomologie relativedeF . De plus le cardinal d’une telle base est égal à un nombre de Milnor global deF , quine dépend que des termes dominants fonctions coordonnées deF . 2001 Académie dessciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

Relative cohomology of polynomial mappings

Abstract. Let F be a polynomial dominating mapping from Cn to C

q with n > q. We study thede Rham cohomology of the fibres of F , and its relative cohomology groups. Let us fixa strictly positive weighted homogeneous degree on C [x1, . . . , xn]. With the leading termsof the coordinate functions of F , we construct a fibre of F that is said to be “at infinity”. Weintroduce the cohomology groups of F at infinity. These groups, denoted by Hk(F−1(∞)),enable us to study all the other cohomology groups of F . For instance, if the fibre at infinityhas an isolated singularity at the origin, we prove that any quasi-homogeneous basis ofHn−q(F−1(∞)) provides a basis of all groups Hn−q(F−1(y)), as well as a basis of the(n − q)-th relative cohomology group of F . Moreover the dimension of all these groupsis equal to a global Milnor number of F , which only depends on the leading terms ofthe coordinate functions of F . 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques etmédicales Elsevier SAS

Soit Ωk(Cn) l’espace desk-formes différentielles à coefficients polynomiaux. Par convention, nousposeronsΩ−1(Cn) = 0. Si I est un idéal deC [x1, . . . , xn], unek-forme polynomialeω est congrue àzéro moduloI (ω ≡ 0 [I]) si ω appartient àIΩk(Cn). Par la suite nous désignerons parV (I) l’ensemblealgébrique des zéros deI, c’est-à-direV (I) =

x ∈ Cn; for all P ∈ I, P (x) = 0

.

Rappelons queI est de hauteurr si V (I) est de dimension(n − r). Enfin, I est radical s’il est égalà sa racine, c’est-à-dire à l’ensemble des polynômes qui s’annulent surV (I). Soit F = (f1, . . . , fq) uneapplication polynomiale deCn dansCq avecn > q. Nous la supposerons toujours dominante, ce qui signifie

Note présentée par Étienne GHYS.

S0764-4442(01)01884-5/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés 913

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que son image est dense dansCq pour la topologie de Zariski. Dans le cas qui nous intéresse, ceci revientà dire que ses fonctions coordonnées sont algébriquement indépendantes. Par commodité nous poserons :

C [F ] = C [f1, . . . , fq] = F ∗(C [t1, . . . , tq]

).

Soit deg un degré quasi homogène attribuant des poidsp1, . . . , pn > 0 aux variablesx1, . . . , xn dansC [x1, . . . , xn]. Par la suite, on dira quedeg est un degré quasi homogène strictement positif. On lui associele champ de vecteurs eulérien :

X =∑

pi∂

∂xi.

Le terme dominant d’un polynômeP est notéP . On étend ce degré àΩk(Cn) en attribuant le degrépi

àdxi : unek-forme polynomialeω = P (x1, . . . , xn)dxi1 ∧· · ·∧dxikest quasi homogène de degrér siP est

quasi homogène de degré(r− pi1 − · · ·− pik). Par analogie avec les polynômes, on désigne parω le terme

dominant de lak-forme polynomialeω. Dans cette Note, nous allons décrire les groupes de cohomologie dede Rham deF , ainsi que ses groupes de cohomologie relative. De nombreux auteurs ont étudié ces groupesdans le cadre local, c’est-à-dire pour les germes d’applications holomorphes. Pour une étude complète surle sujet, on pourra se reporter au livre de Looijenga [7]. On se donne un germe d’application holomorpheF : (Cn,0)→ (Cq,0) définissant une singularité à l’origine. SiΩk désigne l’espace des germes dek-formesanalytiques définies à l’origine deCn, on lui associe son complexe de de Rham relatif :

0 → Cf1, . . . , fq → Cx1, . . . , xn→Ω1F → · · ·→Ωk

F → Ωk+1F · · · ,

défini à partir des espaces de formes relativesΩkF = Ωk/

∑dfi ∧ Ωk−1, et munis des flèchesdF : Ωk

F →Ωk+1

F induites par la différentielle extérieure. Ses groupes de cohomologie sont appelés les groupes decohomologie relative deF , et notésHk(Ω∗

F ). Ils ont été introduits par Hamm et Brieskorn afin d’étudierla topologie des singularités isolées définies par les germes de fonctionsf : (Cn,0) → (C,0) [5,2]. Leursrésultats ont été étendus par Lê Dung Trang, Greuel et Malgrange au cas des singularités d’intersectioncomplète [6,4,8].

THÉORÈME [8,4]. – Soient F : (Cn,0) → (Cq,0) un germe d’application holomorphe et Sing(F )l’ensemble des singularités de F . Alors Hk(Ω∗

F ) = 0 pour tout k < n− dimSing(F ).

THÉORÈME [10,4]. –Soit F : (Cn,0) → (Cq,0) un germe d’application holomorphe définissant unesingularité isolée d’intersection complète. Alors Hn−q(Ω∗

F ) est un module libre de type fini et de rang égalau nombre de Milnor de F .

Ces résultat ont été étendus au cas global, pour les polynômesF : Cn → C satisfaisant de bonnesconditions à l’infini [3,1]. Par « bonnes conditions », on sous-entend que le polynômeF est semi-quasihomogène, c’est-à-dire que son terme dominant définit une singularité isolée à l’origine. Étant donné uneapplication polynomialeF = (f1, . . . , fq) et un pointy = (y1, . . . , yq), unek-forme polynomialeω est dite :

– fermée surF−1(y) si dω ∧ df1 ∧ · · · ∧ dfq ≡ 0 [f1 − y1, . . . , fq − yq] ;– exacte surF−1(y) si ω appartient àdΩk−1(Cn) + (f1 − y1, . . . , fq − yq)Ωk(Cn).Le kème groupe de cohomologie de de Rham algébrique de F−1(y) est le quotientHk(F−1(y))

desk-formes fermées surF−1(y) par lesk-formes exactes surF−1(y). Cette définition présente deuxavantages. Premièrement, ces groupes ont un sens pour tout pointy dansCq. Deuxièmement, en vertu duthéorème de Grothendieck, ils coïncident avec les groupes de de Rham classiques siy n’est pas une valeurcritique deF . Pourk > 0, unek-forme polynomialeω est :

– relativement fermée si dω ∧ df1 ∧ · · · ∧ dfq = 0 ;– relativement exacte si ω appartient àdΩk−1(Cn) +

∑Ωk−1(Cn)∧ dfi.

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Cohomologie relative des applications polynomiales

Ces définitions s’étendent au cask = 0, en posant qu’une0-forme polynomialeR est relativementfermée sidR ∧ df1 ∧ · · · ∧ dfq = 0, et relativement exacte siR appartient àC [F ]. Le quotientHk(F )desk-formes relativement fermées par lesk-formes relativement exactes est appelé lekème groupe decohomologie relative deF . Pour les germes d’applications holomorphes, la théorie repose en grande partiesur l’étude de la topologie des fibres deF [7]. Elle utilise essentiellement les résultats sur les fibrationsde Milnor et leur monodromie. Dans le cas des applications polynomiales, nous introduisons une « fibrespéciale » qui va jouer le même rôle que la fibre singulière dans le cas local. Sous de bonnes conditions,cette fibre nous restitue la cohomologie de toutes les fibres deF , ainsi que sa cohomologie relative.

DÉFINITION 1. – Soitdeg un degré quasi homogène strictement positif surC [x1, . . . , xn]. F est uneintersection complète à l’infini si l’idéalI = (f1, . . . , fq) est radical de hauteurq.

La fibre à l’infini de F est l’ensembleF−1(∞) = V (I). Soit J l’idéal engendré par lesq-mineursdesdfi. L’ensemble des singularités deF−1(∞) est l’ensembleSing

(F−1(∞)

)= V (I +J). Unek-forme

polynomialeω est :– fermée à l’infini si dω ∧ df1 ∧ · · · ∧ dfq ≡ 0 [f1, . . . , fq] ;– exacte à l’infini si ω appartient àdΩk−1(Cn) + (f1, . . . , fq)Ωk(Cn).Le kème groupe de cohomologie à l’infini est le quotientHk

(F−1(∞)

)desk-formes fermées à l’infini

par lesk-formes exactes à l’infini.

THÉORÈME 2. – Soit F une intersection complète à l’infini pour un degré quasi homogène stric-tement positif. Si dimSing(F−1(∞)) < n − q − k, alors Hk(F−1(y)) = 0 pour tout y dans C

q . SidimSing

(F−1(∞)

)= 0, alors Hn−q

(F−1(∞)

)est de dimension µ = dimC [x1, . . . , xn]/(I + J). De

plus, toute base quasi homogène ω1, . . . , ωµ de Hn−q(F−1(∞)

)forme une base de Hn−q(F−1(y)) pour

tout y dans Cq . En particulier, tous les Hn−q(F−1(y)) sont isomorphes.

Si dimSing(F−1(∞)

)= 0, on peut interpréter la réunion de tous lesHn−q(F−1(y)) comme un fibré

vectoriel surCq , dont le groupeHn−q(F ) serait l’espace des sections globales. Il est alors naturel de penserque toutes ces sections sont engendrées par la baseω1, . . . , ωµ, et c’est d’ailleurs ce qui se passe comme lemontre le résultat suivant.

THÉORÈME 3. – Soit F une intersection complète à l’infini pour un degré quasi homogène strictementpositif. Si dimSing

(F−1(∞)

)< n− q− k, alors Hk(F ) = 0. Si dimSing

(F−1(∞)

)= 0, alors Hn−q(F )

est un C [F ]-module libre de type fini et de rang µ. Plus précisément, si ω1, . . . , ωµ est une base quasihomogène de Hn−q

(F−1(∞)

), alors toute (n− q)-forme polynomiale ω s’écrit :

ω =∑

ai(F )ωi + dΩ +∑

ηj ∧ dfj,

où les polynômes ai sont uniques, et où les degrés des termes de cette somme satisfont les inégalitéssuivantes pour tous i, j : deg(ai(F )) deg(ω)− deg(ωi), deg(Ω) deg(ω), deg(fjηj) deg(ω).

La démonstration de ces théorèmes commence par l’étude de la cohomologie à l’infini. Elle repose surle lemme de de Rham de division des formes [11], sur le calcul de la dimension deHn−q

(F−1(∞)

)donné

par Greuel [4], et sur les résultats de Malgrange [8]. Pour passer de la cohomologie à l’infini aux autresgroupes de cohomologie, nous montrons un lemme de réduction des degrés, qui peut s’énoncer de la façonsuivante :«Soient F une intersection complète à l’infini et ω une k-forme polynomiale. Si ω est fermée sur F−1(y),alors ω est fermée à l’infini. Si ω est exacte sur F−1(y) et que dimSing

(F−1(∞)

) n− q − k, alors ω

est exacte à l’infini ».Ce résultat permet de démontrer les théorèmes 2 et 3 par récurrence sur le degré quasi homogène desk-

formes polynomiales, et de transférer les propriétés de la cohomologie à l’infini vers celle des autres fibres.Reste à trouver une base de la cohomologie à l’infini, ce qui n’est pas toujours évident. La proposition

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suivante nous permet au moins d’en trouver un système générateur. La contraction le long du champ devecteurs eulérienX définit un C [x1, . . . , xn]-morphismeiX : Ωn−q(Cn) → Ωn−q−1(Cn), ω → iX(ω),dont le noyau est un module de type fini par noethérianité.

PROPOSITION 4. – Soit F une intersection complète à l’infini telle que dimSing(F−1(∞)

)= 0. Soit

Pk une base de l’algèbre C [x1, . . . , xn]/(I + J), et ω un système de générateurs de ker iX . AlorsPkωk, forme un système générateur de Hn−q

(F−1(∞)

).

En particulier, siq = 1, alorsker iX est engendré par la(n− 1)-forme :

ω0 =∑

i

(−1)ipi dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn.

Dans ce cas, le systèmePkω0k forme une base deHn−q(F−1(∞)

), ce qui nous redonne la proposition 2

de [1]. Pour terminer, nous souhaitons attirer l’attention sur le fait que les théorèmes 2 et 3 permettentde déterminer la cohomologie de certaines courbes planes qui ne sont pas données par des intersectionscomplètes à l’infini. Le principe consiste à plonger une telle courbe dans un espace affine de dimensionn > 2, où elle apparaîtra comme la fibre d’une intersection complète à l’infini. Considérons par exemple lacourbe planeCλ d’équation :

x4 + x2y2 − λ = 0.

Quel que soit le degré quasi homogène> 0 que l’on attribue aux variablesx et y, ce polynôme ne définitjamais une intersection complète à l’infini puisque son terme dominant n’est pas réduit : il ax2 commefacteur. Cependant, pourλ = 0, la fonctionx est inversible surCλ. Si l’on posez = 1/x, alorsCλ devientisomorphe à la courbe dansC3 définie par les équations :

xz = 1, x2 + y2 − λz2 = 0

et ceséquations définissent une intersection complète à l’infini pour le degré homogène classique surC [x, y, z]. Avec les résultats précédents, on montre sans problème queCλ est un tore pointé quatre fois.Reste à savoir maintenant si l’on peut toujours plonger une courbe plane irréductible dans un espace affineoù elle apparaîtra comme la fibre d’une intersection complète à l’infini.

Références bibliographiques

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