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ÉCOLE DE TECHNOLOGIE SUPÉRIEURE
UNIVERSITÉ DU QUÉBEC
MÉMOIRE PRÉSENTÉ À
L’ÉCOLE DE TECHNOLOGIE SUPÉRIEURE
COMME EXIGENCE PARTIELLE
À L’OBTENTION DE LA
MAÎTRISE EN GÉNIE
CONCENTRATION TECHNOLOGIES DE L’INFORMATION
M.Ing.
PAR
Jonathan GAGNON
MODÉLISATION PROCÉDURALE DE STALACTITES DE GLACE
MONTRÉAL, LE 26 MAI 2011
c© Tous droits réservés, Jonathan Gagnon, 2011
c© Tous droits réservés
Cette licence signifie qu’il est interdit de reproduire, d’enregistrer ou de diffuser en tout ou en
partie, le présent document. Le lecteur qui désire imprimer ou conserver sur un autre media une
partie importante de ce document, doit obligatoirement en demander l’autorisation à l’auteur.
PRÉSENTATION DU JURY
CE MÉMOIRE A ÉTÉ ÉVALUÉ
PAR UN JURY COMPOSÉ DE :
M. Eric Paquette, directeur de mémoire
Département de génie logiciel et des TI à l’École de technologie supérieure
M. Richard Lepage, président du jury
Département de génie de la production automatisée à l’École de technologie supérieure
M. Luc Duong, membre du jury
Département de génie logiciel et des TI à l’École de technologie supérieure
IL A FAIT L’OBJET D’UNE SOUTENANCE DEVANT JURY ET PUBLIC
LE 03 MAI 2011
À L’ÉCOLE DE TECHNOLOGIE SUPÉRIEURE
REMERCIEMENTS
Nous remercions le Biological Modeling and Visualization research group, Przemek Prusin-
kiewicz et Steve Longay pour nous avoir fourni plusieurs modèles d’arbre qui ont servi à la
validation de notre algorithme. Nous remercions les artistes de Mokko Studio pour leurs com-
mentaires constructifs tout au long du développement. Nous remercions Nicolas Rous et Fran-
çois Dagenais de l’équipe du laboratoire de recherche chez Mokko Studio pour les discussions
et les suggestions. Nous remercions Danny Bergeron, président de Mokko Studio, pour nous
avoir permis de réaliser ce projet.
MODÉLISATION PROCÉDURALE DE STALACTITES DE GLACE
Jonathan GAGNON
RÉSUMÉ
La formation de stalactite de glace est un phénomène complexe, ce qui rend difficile sa modéli-
sation en image de synthèse. Les algorithmes couramment utilisés en infographie utilisent une
approche basée uniquement sur des simulations physiques et qui demande plusieurs minutes,
voire quelques heures de calcul. Ce mémoire propose une technique procédurale permettant
une modélisation interactive. La modélisation est séparée en quatre étapes. La première calcule
le mouvement de l’eau sur une surface ; la deuxième détermine où les gouttes d’eau chutent; la
troisième calcule les trajectoires des stalactites ; la dernière construit la surface. De plus, une
méthode permettant de créer du verglas est combinée à l’étape de modélisation. Les résultats
obtenus sont non seulement réalistes mais aussi rapides à calculer. C’est la première approche
permettant de créer ce type de glace sur des surfaces complexes et de façon interactive.
Mots-clés : Phénomène naturel, modélisation procédurale, stalactite de glace, verglas
MODÉLISATION PROCÉDURALE DE STALACTITES DE GLACE
Jonathan GAGNON
ABSTRACT
Icicles formation is a complex phenomenon which makes it difficult to model for computer
graphics applications. The methods commonly used in computer graphics to model icicles
provide only minimal control over the results and require several minutes or even hours of
computation. This paper proposes a procedural approach allowing interactive modeling, which
is broken down into four stages. The first computes the water motion on the surface ; the second
determines where the water drips ; the third computes the trajectories of the icicles growth, and
the fourth creates the surface. In addition, the approach allows the creation of glaze ice. The
results are not only realistic but also rapidly computed. This approach provides a significant
increase in control over results and computation speed.
Keywords: Natural phenomena, Procedural modeling, Icicle, Ice modeling, Glaze ice
TABLE DES MATIÈRES
Page
INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
CHAPITRE 1 ÉTAT DE L’ART . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Givre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Verglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Stalactites de glace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Contributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
CHAPITRE 2 DÉFINITION DE LA STALACTITE DE GLACE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
CHAPITRE 3 MODÉLISATION PROCÉDURALE DE STALACTITES DE GLACE. . 10
3.1 Calcul des coefficients d’eau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Point de chute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Définir la trajectoire des stalactites de glace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3.1 Gestion de la collision de la trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Créer la surface des stalactites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4.1 Profil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4.2 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4.3 Base de la stalactite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4.4 Verglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
CHAPITRE 4 RÉSULTATS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
CHAPITRE 5 LIMITATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
CHAPITRE 6 TRAVAUX FUTURS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
CONCLUSION. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
ANNEXE I METABALL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
ANNEXE II L-SYSTEM .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
LISTE DE REFERENCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
LISTE DES FIGURES
Page
Figure 1.1 Utilisation de l’algorithme DLA pour la création de givre.
Image produite chez Mokko Studio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Figure 2.1 Stalactite de glace coupée en deux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Figure 3.1 Étapes de la modélisation interactive des stalactites de glace. . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Figure 3.2 Approvisionnement d’eau sur une théière. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Figure 3.3 Coefficients d’eau sur différentes surfaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Figure 3.4 Critère de chute.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Figure 3.5 Région de chute. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Figure 3.6 Point de chute. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Figure 3.7 Photographie de stalactites rectilignes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Figure 3.8 Photographie d’une stalactite courbée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Figure 3.9 Photographie de stalactites qui fusionnent et qui se divisent. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Figure 3.10 Illustration des règles du L-System. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Figure 3.11 Exemples de dispersion de branches de stalactites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Figure 3.12 Exemples de trajectoires avec différents angles de départ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Figure 3.13 Trajectoires courbées.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Figure 3.14 Plusieurs possibilités de trajectoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Figure 3.15 Résultat d’une trajectoire modifiée par des collisions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Figure 3.16 Photographie d’une stalactite de glace
possédant une surface ondulée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Figure 3.17 Contrôle de la surface de la stalactite de glace.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
VI
Figure 3.18 Comparaison d’une modélisation (droite) avec
une vraie stalactite de glace (gauche). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Figure 3.19 Photographie de plusieurs stalactites ainsi que leur base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Figure 3.20 Bases de stalactites sur différentes surfaces courbées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Figure 3.21 Différents types de verglas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Figure 3.22 Rendu de différents types de verglas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Figure 4.1 Stalactites de glace sur une théière. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Figure 4.2 Stalactites de glace sur une fontaine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Figure 4.3 Stalactites de glace sur le Happy Buddha de Stanford. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Figure 4.4 Stalactites de glace sur le bunny de Stanford. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Figure 4.5 Stalactites de glace sur l’armadillo de Stanford. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Figure 4.6 Stalactites de glace sur le dragon de Stanford. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Figure 4.7 Stalactites de glace sur un arbre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Figure 4.8 Zoom sur des stalactites de glace sur les branches d’un arbre. . . . . . . . . . . . . . . 42
Figure I.1 Différentes interactions entre deux metaballs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Figure II.1 Courbe de Koch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Figure II.2 Utilisation de l’angle d’or. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
INTRODUCTION
Contexte
Au cinéma, comme dans les jeux vidéo, la modélisation de phénomènes naturels est de plus en
plus recherchée. En effet, lors de tournages, la température est hors de contrôle et les échéan-
ciers souvant peu flexibles. Il est donc possible que dans le scénario il doive pleuvoir et qu’il
fasse beau lors du tournage, la pluie doit alors être ajoutée en post-production. Il existe toute-
fois des méthodes pour ajouter de la fausse pluie lors d’un tournage. Par contre, lorsqu’il s’agit
de phénomènes plus complexes comme comme des inondations, des tremblements de terre ou
encore des coulées de lave, il est beaucoup plus difficle des les immiter en production ou même
en post-production.
Ces dernières années, beaucoup de ces phénomènes, longtemps impossibles à recréer de façon
réaliste à l’écran, ont été matérialisés numériquement. Il a été possible de les voir notamment
en 2004 dans le film « The day after tomorow » ou encore plus récemment en 2009 dans le film
« 2012 ».
Lorsqu’il s’agit de phénomènes météorologies complexes, il est nécessaire de posséder une
compréhension du phénomène physique et l’utilisation d’un simulateur, ce qui ne vient pas
sans problème.
Problématique et hypothèse
La matière existe sous différentes phases, en particulier liquide, solide et gazeuse. La dyna-
mique d’un état particulier peut dépendre fortement de son état précédent. Par exemple, la
forme de la glace créée par solidification dépend de la dynamique de l’eau juste avant le chan-
gement de phase. Les règles définissant sa création sont donc basées sur la mécanique des
fluides et la thermodynamique. Il serait ainsi possible, avec une simulation physique, d’avoir
de la glace d’apparence réaliste.
2
L’utilisation de simulation physique pour générer de la glace nécessite souvent un temps de
calcul très long (Kim et al., 2006) ce qui laisse peu de place à l’interactivité. De plus, la ma-
nipulation de plusieurs paramètres qui ne sont pas intuitifs est nécessaire. Lorsqu’un résultat
particulier est recherché par exemple, il faut tester plusieurs combinaisons, ce qui s’avère ardu
et fastidieux. Ce sont ces problèmes qui sont au coeur de ce projet de recherche.
La problèmatique de ce mémoire est donc posée comme suit : comment peut-on procurer à
l’utilisateur une méthode lui permettant de créer des stalactites de glace visuellement réalistes
de façon intuitive et qui laisse place à la créativité ?
L’hypothèse de ce mémoire est par conséquent la suivante : afin de modéliser du verglas et
des stalactites de glace sur des agencements géométriques complexes, un modèle procédural
de glace en plusieurs étapes interactives peut être créé. Il est à noter que ce projet de recherche
portent sur la modélisation géométrique de la stalactite et ne traite pas du rendu graphique.
Organisation
L’organisation de ce mémoire va comme suit. Le chapitre 1 présentera un survol de l’état de
l’art. Le chapitre 2 présentera une définition de la stalactite de glace. Le chapitre 3 présentera
la méthodologie proposée dans ce mémoire. Le chapitre 4 fera état des résultats de la méthodo-
logie. Au chapitre 5, les limitations y seront expliquées. Au chapitre 6, les travaux futurs seront
discutés. Finalement, dans la conclusion, les contributions de ce travail seront résumées.
CHAPITRE 1
ÉTAT DE L’ART
Dans ce chapitre, l’état de l’art sur la modélisation de la glace en infographie sera présenté.
Le chapitre contient trois sections. Chacune des sections représente un type de glace qui a
été étudié en infographie. Ainsi, la première section porte sur la modélisation de givre, la
deuxième section porte sur le verglas et la troisième section porte sur les stalactites de glace.
Dans la section sur les stalactites de glace, un survol de l’état de l’art concernant le phénomène
physique est introduit afin de bien comprendre la complexité du phénomène à reproduire en
infographie.
1.1 Givre
Le givre se crée lorsque l’eau est sous forme de microgouttelettes. Les champs de phase (phase
field) ont été utilisés afin de calculer ce type de solidification par Kim et al. (2003). Cette
approche donne aussi un certain contrôle à l’utilisateur en permettant la spécification d’une
image source qui affectera l’allure du givre. Dans le but d’augmenter le réalisme, un algorithme
hybride a été créé combinant champs de phase, agrégation par diffusion limitée (Diffusion-
limited aggregation, illustrée sur la figure 1.1) et simulation de fluide (Kim et al., 2004a).
Ces méthodes donnent des résultats plausibles pour la création de givre. Toutefois, comme elles
ne gèrent que les couches très minces de glace, il est impossible de créer d’autres formes telles
que du verglas d’une épaisseur suffisante, ou encore des stalactites. Ces techniques traitent des
cristaux tandis que le verglas et les stalactites de glace sont des phénomènes différents.
1.2 Verglas
Le verglas se crée lorsque l’eau est sous forme de goutte. Les surfaces implicites ont été uti-
lisées afin de modéliser des gouttes d’eau statiques sur une surface (Yu et al., 1999). L’une
des contraintes de cette modélisation est la perte de volume. Il est possible d’ajouter la conser-
4
Figure 1.1 Utilisation de l’algorithme DLA pour la création de givre.
Image produite chez Mokko Studio.
vation du volume à l’utilisation de surface implicite (Tong et al., 2002). Par contre, le résultat
manque de réalisme puisque l’eau semble très visqueuse. Un système de ressort a été utilisé
par Fournier et al. (1998) pour la modélisation des gouttes d’eau qui procure un résultat plus
réaliste. La technique proposée permet de séparer la modélisation de la goutte et son mouve-
ment sur le maillage. En effet, afin de simuler le mouvement de la goutte d’eau, une simulation
de particules est utilisée indépendamment de la forme de la goutte. Toutefois, cette méthode
ne gère pas la fusion ou la séparation des gouttes d’eau. Pour régler ce problème, Wang et
al. (2005) proposent une méthode dynamique physiquement correcte. Celle-ci tient compte de
l’angle de contact à l’intersection entre le liquide et la surface. De plus, elle gère les surfaces
qui sont courbées et procure un résultat très réaliste. Cette méthode est très précise mais elle
prend toutefois près d’une semaine de calcul par simulation.
Grâce à ces méthodes, il est possible de calculer le parcours d’une goutte d’eau sur une surface
jusqu’à son point de chute. Cependant, ces méthodes sont plus précises que ce qui est nécessaire
pour la création de stalactites et elles ne permettent pas de calculs en temps interactif.
5
1.3 Stalactites de glace
Ce qui caractérise la stalactite de glace, c’est la solidification de gouttes d’eau qui parcourent la
surface jusqu’à un point de chute. Pour bien comprendre ce qu’implique la création d’une ap-
proche qui traite ce type de phénomène, les modèles théoriques qui existent en glaciologie sont
d’abord présentés. Il existe plusieurs modèles pour la croissance de stalactite de glace. Mak-
konen (1988) propose un modèle de croissance prenant en compte la croissance horizontale
vers l’extérieur, horizontale vers l’intérieur et verticale en direction de la pointe. La convection
et la conduction sont prises en compte notamment pour expliquer le gel de la colonne d’eau
à l’intérieur de la stalactite. Maneo et al. (1994) proposent un modèle incluant la croissance
dendritique à l’extrémité de la stalactite et sur ses côtés en calculant le transfert de chaleur des
couches turbulentes autour de la stalactite. Le modèle de Szilder et Lozowski (1994) permet de
prédire en fonction du temps, la forme, la taille, la fréquence de chute des gouttes d’eau ainsi
que la masse de la stalactite.
Ces modèles sont basés essentiellement sur l’observation empirique faite par les auteurs. Ils
ne fournissent pas de méthodes pour simuler la croissance des stalactites. Toutefois, ils pro-
curent un ensemble complet de règles permettant de comprendre la mécanique de la stalactite.
L’approche proposée dans ce travail s’inspire donc de ces règles pour créer un modèle en info-
graphie qui permet de créer des stalactites. Il suit les observations empiriques de la croissance
de la stalactite en donnant des résultats plausibles sans calculer la dynamique de chaque goutte
d’eau.
La stalactite de glace fut étudiée en infographie par Kharitonsky et Gonczarowski (1993). Ils
proposent un modèle de glace basé sur la thermodynamique utilisant une simulation discrète.
Ce modèle inclut la tension superficielle, la tendance des gouttes d’eau à suivre un emplace-
ment déjà mouillé, l’angle de contact, le transfert de chaleur ainsi que la conductivité. Quoique
le résultat soit réaliste, cette méthode ne peut simuler plusieurs stalactites à la fois. De plus,
le calcul ne se fait que sur la stalactite elle-même. Par conséquent, il faut placer à la main le
résultat de la simulation sur la surface des objets. Kim et al. (2006) se sont attaqués par la suite
6
à la formation de stalactites de glace en proposant une simulation basée sur « le problème de
Stefan » (Stefan problem) qui permet de simuler plusieurs stalactites. Bien que les résultats de
ce travail soient réalistes, ils nécessitent beaucoup de calcul. Il est mentionné qu’une simula-
tion prend entre 5 et 30 minutes. De plus, les surfaces sur lesquelles sont simulés les glaçons
sont simples et l’utilisateur n’a pas de contrôle sur le positionnement des stalactites.
1.4 Contributions
L’approche proposée permet de réduire considérablement le problème des temps de calcul. En
effet, au lieu de passer par une simulation physique comme c’est de le cas pour Kharitonsky et
Gonczarowski (1993) et Kim et al. (2006), le modèle de calcul est procédural. L’approche cal-
cule automatiquement la distribution d’eau sur la surface. Il est ainsi possible de positionner les
points où l’eau se détache de la surface ce qui était impossible avec les techniques précédentes.
L’approche procédurale, contrairement à la simulation physique, permet de répondre à l’ob-
jectif de l’interactivité avec l’utilisateur. De plus, l’approche permet de traiter des objets aux
surfaces complexes, tels que des arbres.
Les travaux antérieurs ne permettent pas de contrôler la forme des stalactites. Il est donc im-
possible de définir trivialement une taille maximale ou de changer le type de croissance de la
stalactite. Par conséquent, l’approche proposée utilise une grammaire formelle permettant de
générer et de contrôler la croissance de la stalactite.
La modélisation des stalactites de l’approche proposée se fait grâce à l’utilisation de surface
implicite comme dans les travaux de Yu et al. (1999) et de Tong et al. (2002) permettant ainsi
une apparence réaliste de la surface.
En résumé, nos contributions les plus importantes sont :
– Une réorganisation de la simulation en étapes permettant l’intervention de l’utilisateur et un
calcul rapide.
– Un modèle procédural de formation de stalactite de glace et de verglas.
7
– Un calcul efficace de coefficient d’eau sur une surface.
– Un placement automatique des chutes de gouttes d’eau pour la fondation des stalactites de
glace.
– Une grammaire formelle permettant de générer différents types de croissance de stalactites
de glace.
– Une gestion de la collision de stalactites de glace.
– L’interactivité sur la modélisation et les trajectoires des stalactites de glace.
CHAPITRE 2
DÉFINITION DE LA STALACTITE DE GLACE
Cette section décrit le processus général de formation des stalactites de glace. Elle met en
évidence le mécanisme de création et de croissance de la stalactite. Par définition, une stalactite
se crée lorsqu’un flot d’eau (ou un autre liquide) coule à la surface d’un objet et se trouve dans
une configuration où il pourrait tomber. Au moment de la chute, si les conditions le permettent,
l’eau encore en contact avec la surface peut se solidifier (Kharitonsky et Gonczarowski, 1993).
Goutte d’eau en suspension
Mince couche d’eau
Vecteur de croissance vers l’extrémité
Vecteur de croissance vers
l’extérieur
Vecteur de croissance vers l’intérieur
Mince cristal de glace
Colonne d’eau
Bulles d’eau
Figure 2.1 Stalactite de glace coupée en deux.
9
Une stalactite croît en augmentant sa longueur et son diamètre selon Maneo et al. (1994).
Lorsque l’eau qui coule à la surface de la glace laisse une trace mouillée et que celle-ci gèle,
cela crée une couche qui affecte le diamètre de la stalactite (Kharitonsky et Gonczarowski,
1993). Cette mince couche d’eau recouvre de façon uniforme la surface de la stalactite à moins
que la quantité d’eau soit très faible (Kharitonsky et Gonczarowski, 1993). Si la quantité d’eau
est assez importante, l’eau se rend jusqu’à la pointe. C’est seulement à ce moment que la
stalactite peu croître en longueur.
À l’extrémité de la stalactite se trouve une goutte d’eau en suspension. Celle-ci grossit jusqu’à
atteindre une certaine taille avant de tomber. La forme de cette goutte peut être approximée par
un hémisphère (Makkonen, 1988).
Comme illustré sur la figure 2.1, qui s’inspire de la figure 1 de l’article de Makkonen (1988), il
y a trois vecteurs de croissance : croissance horizontale vers l’extérieure, croissance horizon-
tale vers l’intérieure et croissance verticale. Ce sont essentiellement le vecteur de croissance
horizontale vers l’extérieure et le vecteur de croissance verticale qui seront utilisés dans la
méthode proposée.
Au centre de la stalactite de glace se trouve une colonne d’eau et des bulles d’eau prisonnières.
Toutefois, puisque ce sont des détails qui ne sont pas forcément visibles lors du rendu, ils ne
sont pas traités dans ce travail. De plus, les bulles d’eau peuvent être facilement ajoutées par
l’utilisateur après le processus de modélisation.
CHAPITRE 3
MODÉLISATION PROCÉDURALE DE STALACTITES DE GLACE
Le principe de la méthode proposée est de décomposer la création de glace en quatre étapes.
Cette décomposition permet à l’artiste d’intervenir sur le résultat entre les étapes et amène donc
un contrôle accru sur les résultats. De plus, la décomposition proposée permet un calcul très
rapide assurant à l’artiste un contrôle interactif. Qui plus est, l’intervention de l’utilisateur n’est
pas nécessaire pour avoir un résultat réaliste : la méthode permet de calculer ce qui est le plus
plausible en fonction de la surface d’entrée.
La première étape consiste à calculer le parcours de l’eau sur une surface définie par un
maillage de polygones. Le résultat est un maillage avec une valeur sur chaque sommet repré-
sentant le coefficient d’eau. La deuxième étape permet de définir l’endroit où se forme la sta-
lactite. Puisqu’elle se forme où les gouttes d’eau chutent, une approche permettant de calculer
les points de chute a été créée. La troisième étape calcule les trajectoires des stalactites à partir
des points de chute en fonction de leur coefficient d’eau. Chaque trajectoire possède comme in-
formation le coefficient d’eau qui définit le taux de croissance. La quatrième étape modélise la
surface des stalactites en fonction de leurs trajectoires. Différents paramètres, comme le rayon
et le taux de croissance, sont fournis afin d’ajuster le résultat final. De plus, entre chacune de
ces étapes, comme illustré sur la figure 3.1, l’utilisateur peut intervenir et ajuster le résultat.
Par exemple, après les calculs des coefficients d’eau, l’utilisateur peut les repeindre. Les points
de chute peuvent être déplacés et les trajectoires peuvent être éditées. Finalement, le maillage
final peut être retravaillé.
3.1 Calcul des coefficients d’eau
Le calcul du parcours de l’eau sur la surface est la première étape de l’approche proposée.
Le but de cette étape est de déterminer, pour chacun des sommets de la surface, si l’eau s’y
écoule et quelle est la quantité d’eau approximative. Les sommets où l’eau peut s’écouler seront
11
��������
����� ���
��
Figure 3.1 Étapes de la modélisation interactive des stalactites de glace.
utilisés pour déterminer les régions où les stalactites peuvent se former. La quantité d’eau
approximative servira à déterminer le taux de croissance de la stalactite.
La répartition de l’eau se base sur deux éléments : l’eau atteint la surface afin de créer un
approvisionnement d’eau et l’eau parcourt la surface jusqu’à ce qu’elle s’immobilise ou tombe
de la surface. Lorsqu’il s’agit de la formation des stalactites, une des sources d’eau principales
est la pluie (Makkonen, 1988). Dans notre implémentation, l’origine de la pluie provient d’une
surface source ss spécifiée par l’utilisateur. Les gouttes de pluie sont calculées grâce à un
lancer de rayon en provenance de ss en fonction du vecteur de gravité. L’origine des rayons est
distribuée aléatoirement sur ss en fonction du nombre de rayon défini par l’utilisateur. Chacun
des sommets se trouvant dans un rayon d’influence rii autour du point d’intersection, sera
considéré comme faisant partie de l’approvisionnement. Afin de visualiser le résultat, la couleur
des sommets est rouge pour ceux faisant partie de l’approvisionnement et blanche pour les
autres. À la figure 3.2, la couleur des polygones représente l’interpolation de la couleur des
sommets.
Avec un approvisionnement d’eau défini, le parcours de la surface peut être effectué afin de
calculer les coefficients d’eau. Pour effectuer ces calculs, il serait possible d’utiliser une simu-
12
Figure 3.2 Approvisionnement d’eau sur une théière.
lation de particules comme pour les approches de Dorsey et al. (1996) et de Fournier et al.
(1998) qui permettrait d’avoir le détail de chaque goutte d’eau sur la surface. Dans l’approche
proposée, l’eau est plutôt propagée de sommet en sommet le long des arêtes du maillage. Cette
méthode est suffisamment précise pour par la suite construire des glaçons et elle a l’avantage
de proposer une simulation de l’écoulement beaucoup plus rapide à calculer.
Les coefficients d’eau peuvent être calculés en imitant la nature : à partir des sommets de
l’approvisionnement, suivre la surface en direction de la gravité jusqu’à trouver un point de
chute. On appelle cette approche vers le bas. Puisque le parcours se fait de sommet en sommet
en utilisant les arêtes, si toutes les gouttes d’eau suivent l’arête la plus basse, il se peut que des
régions restent complètement sèches. Pour éviter ce problème, les gouttes d’eau devraient être
séparées sur plusieurs arêtes, ce qui augmenterait grandement le temps de calcul. De plus, afin
de calculer le verglas, la quantité d’eau qui circule sur chaque sommet doit être connue. Ainsi,
chaque goutte d’eau simulée doit ajuster le coefficient d’eau sur chaque sommet rencontré. Il
en résulte plusieurs écritures mémoire, ce qui réduit l’efficacité de l’approche, en particulier
pour une implémentation en parallèle.
À cause de ces problèmes, une autre approche est proposée dans ce travail : une approche vers
le haut. Elle consiste à calculer la quantité d’eau par sommet en calculant le chemin vers le
sommet le plus haut pouvant être atteint. Ainsi, la quantité d’eau n’est écrite qu’une seule fois
en mémoire, lorsque le sommet le plus haut est trouvé, et il est possible de paralléliser le calcul
13
efficacement. De plus, chaque sommet pouvant atteindre l’approvisionnement d’eau se verra
attribuer une quantité d’eau évitant ainsi le problème de régions sèches de l’approche vers le
bas. Même si de cette manière l’eau peut être éparpillée sur une plus grande région que ce qui
est réaliste, il faut se rappeler qu’au final ce sera les stalactites qui seront visualisées, non pas
la quantité d’eau ou le parcours de l’eau.
Algorithme 1: Calcul des coefficients d’eau.
foreach sommet v provenant du maillage doSommet courant c = vCoefficient d’eau ce = 0
while il y a des sommets voisins plus haut que c doforeach sommet voisin plus haut n do
// Plus haut par rapport à la gravité gcn = vecteur normalisé de c à np = produit scalaire (cn, g)
Selectionner voisin nmin pour lequel p est le plus petit
// Le plus éloigné n par rapport à gif c ou nmin ∈ approvisionnement d’eau then
d = distance entre c et nminMultiplier d par −pif seulement c ou nmin ∈ approvisionnement d’eau then
/* Il y a moins d’eau puisqu’un des sommets n’est pas dans
l’approvisionnement */
Diviser le resultat par 2
ce = ce + resultat
c = nminSauvegarder ce dans le sommet v
L’approche atteint les buts fixés en donnant des résultats très satisfaisants et en étant très rapide
à calculer. Le calcul des coefficients d’eau est décrit dans l’algorithme 1. Lors du calcul itératif
de la valeur du coefficient d’eau, l’objectif est d’accumuler plus d’eau lorsque la surface est
plus grande (pris en compte par le facteur d) et d’accumuler plus d’eau lorsque l’eau se propage
le long d’une arête qui est plus orientée vers le haut (pris en compte par le facteur −p). Il est
ainsi possible de parcourir tous types de maillage, qu’ils représentent une surface plane ou
courbée. Il existe toutefois deux scénarios qui posent problème lors du parcours de l’eau sur
une surface. Tout d’abord, lorsque les objets sont composés de plusieurs sous-ensembles de
14
polygones qui ne sont pas connectés ou qui s’interpénètrent, il n’est pas possible de simplement
parcourir la surface le long des arêtes. Le deuxième scénario s’applique aux maillages qui
possèdent des détails inutiles au calcul de l’écoulement d’eau et qui peuvent augmenter le
temps de calcul. Une solution est d’effectuer un prétraitement sur la surface afin que le parcours
de l’eau s’exécute correctement et rapidement. Cette solution utilise une surface implicite créée
à l’aide de Metaballs. Pour plus d’informations sur les metaballs, voir Annexe I
Pour effectuer le prétraitement sur la surface, cette dernière est donc recouverte de metaballs
qui sont converties par la suite en maillage. Il en résulte une surface continue avec des angles
plus réguliers. C’est sur cette nouvelle surface que le calcul du parcours de l’eau est ensuite
effectué. Finalement, les coefficients d’eau ce sont associés au maillage d’origine en utilisant
les sommets les plus proches.
Afin de permettre à l’utilisateur de modifier les valeurs des coefficients d’eau ce, ceux-ci sont
transformés en code de couleurs pouvant être peintes ou modifiées de toute autre façon. Dans
notre implémentation, des valeurs de rouge à bleu ont été utilisées dans l’espace de couleur
HSV. Comme illustré sur la figure 3.3, le résultat est une surface dont la couleur sur chaque
sommet tend vers le bleu, à mesure que la valeur du coefficient d’eau augmente.
15
��� ���
������
���
Figure 3.3 Coefficients d’eau sur différentes surfaces.
3.2 Point de chute
L’étape précédente a permis de déterminer les endroits où l’eau circule sur la surface et de
calculer une quantité d’eau approximative sur chacun des sommets. C’est avec ces informations
16
qu’il sera possible de calculer les points de chute. Les coefficients d’eau permettent d’identifier
les endroits où l’eau s’est accumulée. Il existe deux types d’accumulation : l’accumulation sur
une surface concave et l’accumulation sur une surface convexe.
L’accumulation sur une surface concave indique les régions où l’eau reste coincée. L’accumu-
lation sur une surface convexe indique quant à elle les régions où l’eau peut se détacher de la
surface. C’est à ces régions que les stalactites peuvent se former. L’eau en général suit les lois
de la gravité et chute s’il n’y a pas d’objet pour la soutenir. Cependant, à l’échelle des gouttes,
l’eau a tendance à rester attachée aux surfaces même lorsque la surface pointe vers le bas. Une
goutte se détache lorsque la quantité d’eau est suffisamment grande et que la surface est suffi-
samment inclinée. La zone à partir de laquelle les gouttes d’eau peuvent chuter est illustrée à
la figure 3.4.
Critère de chute
Seuil de chute
Figure 3.4 Critère de chute.
Le seuil de chute dl est spécifié par l’utilisateur sous la forme d’un angle par rapport au vec-
teur de gravité. Les polygones faisant partie de la région de chute sont ceux pour lesquels
au moins un des sommets a un coefficient d’eau non nul, et dont la normale de chacun des
sommets respecte le critère de chute présenté à la figure 3.4. Le résultat, comme illustré sur
la figure 3.5, est un ensemble de polygones qui représente les régions d’où les gouttes d’eau
peuvent se détacher. La région de chute peut être facilement éditée afin d’enlever certains en-
droits où l’utilisateur ne voudrait pas voir de stalactite. Par exemple il est inutile de calculer
des stalactites au bas d’un objet qui reposera sur un autre, comme au bas de la théière.
17
Figure 3.5 Région de chute.
Si un objet a une forte courbure modélisée avec peu de polygones, il se peut qu’il y ait des zones
où le critère de chute se manifeste, mais où aucun polygone ne respecte le critère d’orienta-
tion des normales pour tous ses sommets. Dans ce cas précis, l’approche proposée permet de
positionner les stalactites sur les sommets et les arêtes où s’opère la transition d’orientation de
normales qui traverse le critère de chute.
En fonction du nombre de stalactites que l’utilisateur indique en entrée, des points sont distri-
bués aléatoirement sur la région de chute. Ces points sont les points de chute, comme illustré à
la figure 3.6, sous la forme de cercles avec une couleur correspondant à la valeur du coefficient
d’eau ce.
Figure 3.6 Point de chute.
18
L’ensemble des points de chute peut être modifié par l’utilisateur. Il est possible de changer la
position des points et de changer le coefficient d’eau associé à chacun d’eux.
3.3 Définir la trajectoire des stalactites de glace
La définition des trajectoires de stalactite est la troisième étape de l’approche proposée. Une
trajectoire est instanciée à chaque point de chute. À partir du coefficient d’eau, la taille finale
de la stalactite est calculée directement. Ceci est un autre avantage du découplage proposé de
la simulation en étapes. Il n’est donc pas nécessaire de simuler itérativement la croissance de
la stalactite, ce qui contribue à l’interactivité de l’approche.
Dans la nature, la croissance d’une stalactite dépend de plusieurs facteurs comme le change-
ment de température, la direction du vent, la quantité d’eau d’approvisionnement, etc. Visuel-
lement, il en résulte différents types :
– rectiligne, voir figure 3.7 ;
– courbé, voir figure 3.8 ;
– divisé, voir figure 3.9.
Il est ainsi possible de rencontrer des stalactites plus ou moins courbées et plus ou moins
divisées ayant une longueur variable selon l’approvisionnement d’eau. Il est aussi possible que
les stalactites fusionnent entre eux. Dans l’approche proposée, la fusion est toutefois traitée
uniquement lors de la création de la surface.
L’étape du calcul des trajectoires propose des règles qui permettent de simuler différents types
de croissance de stalactites. Pour la définition de ces règles, plusieurs images de stalactites
comportant plusieurs branches ont été observées. D’après cette analyse, un L-System (Prusin-
kiewicz et Lindenmayer, 1990) qui reproduit les cas étudiés a été développé.
19
Figure 3.7 Photographie de stalactites rectilignes.
Pour permettre à l’utilisateur de contrôler l’apparence de la stalactite, différents paramètres
sont utilisés :
– angle de roulis de départ e ;
– courbure c ;
– probabilité de division d ;
– angle de dispersion a.
20
Figure 3.8 Photographie d’une stalactite courbée.
Les règles qui donnent des résultats réalistes sont les suivantes :
ω : /(e)FX
p1′ : X 1−d−−→+(c)FFF/(a)X
p1′′ : X d−→ [+(c)+(30◦)F−(30◦)FX ]A
p2 : A → +(c)FFF\(a)X
(3.1)
Le système utilise une prémisse ω et trois règles (p1′, p1′′ et p2 ) qui sont illustrées à la
figure 3.10. Pour plus d’information sur la notation des L-Systems, se référer à l’annexe II.
21
Figure 3.9 Photographie de stalactites qui fusionnent et qui se divisent.
La règle p1′ représente une croissance rectiligne. La règle p1′′ représente la création d’une
nouvelle branche. La règle p2 représente la croissance du tronc après la création d’une branche.
Le paramètre e représente l’angle du roulis de départ. Il détermine la direction que prendra la
croissance de la stalactite. Le paramètre c représente la courbure. C’est l’angle utilisé lors de
chaque pas ainsi que lors de la création d’une nouvelle branche. Le paramètre a représente le
roulis effectué pendant la croissance. Il détermine l’irrégularité lors de la création des nouvelles
branches de la stalactite ainsi que leur dispersion. Le paramètre d représente la probabilité
de division. C’est la probabilité d’avoir une nouvelle branche. Le nombre de générations du
L-System correspond à l’indice de croissance i. Cette valeur vient du coefficient d’eau associé
au point de chute. L’utilisateur a toutefois la possibilité de modifier cette valeur.
22
e°
a°
X
c°
+c°+30°-30°
A
X
X
\
+
/
F
FFF
FFFF
F
a°/
Figure 3.10 Illustration des règles du L-System.
L’angle du roulis a représente l’angle de dispersion. Chaque nouveau roulis est calculé comme
suit : a = au×137,5◦/360◦ où au représente l’angle spécifié par l’utilisateur. La valeur 137,5◦
est un nombre utilisé lors de la création de plantes (Prusinkiewicz et Lindenmayer, 1990) afin
de générer une croissance en spirale avec des proportions naturelles. Pour plus d’information
sur l’utilisation de cette angle, se référer à l’annexe 1, section 5. Ainsi, lorsque au est égale
à 360◦, les branches croissent dans tous les sens de façon égale. Par contre, lorsque au est
bas, les branches croissent plus ou moins dans le même sens. La figure 3.11 illustre plusieurs
exemples de croissance de branches vues du haut avec différentes valeurs de au. Il est possible
de constater que plus la valeur de au augmente, plus les branches sont dispersées. Ce paramètre
permet donc à l’utilisateur de définir à quel point les branches des stalactites peuvent se répartir
dans une direction donnée.
23
Figure 3.11 Exemples de dispersion de branches de stalactites.
L’angle de départ e, comme illustré sur la figure 3.12, affecte la direction que prendront les
stalactites dans le cas ou l’angle de dispersion est petit. Dans les exemples (a), (b) et (c) de la
figure 3.12, l’angle de courbure c est égal à 5 et l’angle de dispersion d est égale à 0.
e = 0° e = 90° e = 180°
(a) (b) (c)
Figure 3.12 Exemples de trajectoires avec différents angles de départ.
L’angle de courbure c est utilisé sur chacune des générations du L-System. Pour créer une
stalactite rectiligne, la variable de courbure doit être très basse de même que la variable de
division (voir figure 3.13(a)). Lorsque c = 0, la stalactite suit une ligne parfaitement droite.
Lorsqu’il y a du vent, cela produit des stalactites courbées qui peuvent être créées en ajustant
la valeur de c, comme c’est le cas sur les figures 3.13(b) et (c).
Ainsi, plusieurs combinaisons sont possibles avec différentes valeurs comme il est possible de
voir sur la figure 3.14.
24
��� ��� ���
�������
� � ���� � ����
�������
� � ��� � ����
�������
� � ��� � ����
��� �� ��� �� ��� ��
Figure 3.13 Trajectoires courbées.
Figure 3.14 Plusieurs possibilités de trajectoires.
La trajectoire résultante est composée de points qui proviennent de chaque pas du L-System.
La trajectoire servira de guide pour la modélisation de stalactites. Elle est paramétrable par
l’utilisateur. De plus, le temps de calcul est presqu’instantané afin d’obtenir des trajectoires très
différentes facilement, procurant ainsi une grande interactivité. La possibilité de visualiser de
façon interactive les trajectoires est un avantage majeur comparativement aux approches basées
sur une simulation physique, dans lesquelles le temps de simulation et le peu de contrôle sur
les résultats gênent la créativité de l’utilisateur.
25
3.3.1 Gestion de la collision de la trajectoire
La stalactite, dans sa croissance, peut entrer en collision avec la surface d’un autre objet. Dans
ce cas, elle suit la surface en direction de la gravité jusqu’à ce qu’elle atteigne la région de
chute ou qu’elle s’arrête dans un creux de la surface. Ensuite, la trajectoire est poursuivie à
partir du point d’entrée dans la région de chute. Il est ainsi possible, comme on peut le voir
sur la figure 3.15, de mettre n’importe quelle surface sur la trajectoire de la stalactite initiale et
d’avoir un résultat réaliste. Le calcul des collisions n’est pas fait lors du calcul des coefficients
de passage. En effet, puisque c’est l’utilisateur qui détermine le nombre de stalactites désiré,
c’est seulement après avoir définit les points de chute qu’il est utile de calculer s’il y a collision.
(a) (b)
Figure 3.15 Résultat d’une trajectoire modifiée par des collisions.
3.4 Créer la surface des stalactites
Le calcul de la surface est la dernière étape de cette approche. Elle consiste à créer une surface
autour de la trajectoire définie à l’étape précédente. La méthode proposée consiste à calculer
le rayon de la stalactite pour chacun des points de la trajectoire. À cet effet, une fonction qui
décrit un profil a été développée.
26
3.4.1 Profil
Afin de déterminer le profil adéquat, l’approche proposée s’inspire des travaux de glaciologie.
En effet, une stalactite de glace croît 10 à 30 fois plus rapidement en longueur qu’en largeur
(Makkonen, 1988) ce qui lui donne la forme d’un tube. Lorsque l’eau qui coule à la surface
de la glace laisse une trace mouillée et que celle-ci gèle, cela crée une couche additionnelle
qui affecte le diamètre de la stalactite (Kharitonsky et Gonczarowski,1993). Ainsi, la couche
additionnelle peut donner une forme conique à la stalactite selon la proportion des gouttes
d’eau qui gèlent avant de se rendre à la pointe. Pour modéliser le tronc, nous avons donc besoin
d’une fonction nous permettant de créer autant un tube qu’un cône. Les expérimentations de
Maneo et al. (1994) ont démontré que le rayon de la goutte en suspend est en moyenne de
2,44 millimètres. La pointe des stalactites sera donc modélisée par un hémisphère de cette
dimension. Il est possible d’avoir des stalactites qui ont une forme plus ou moins conique, mais
aussi plus ou moins ondulée. À cet effet, trois variables sont disponibles pour l’utilisateur :
f o pour la fréquence d’ondulation, ao pour l’amplitude de l’ondulation et t pour le taux de
croissance qui détermine la forme conique. Ces variables sont utilisées dans la fonction de
profil décrite à l’équation I.2.
R(x) = tip+(L− x)× t +ao× sin(x× f o) (3.2)
Pour une position x donnée, de la base de la stalactite (x = 0) jusqu’à la pointe (x = L), R(x)
représente le rayon de la stalactite. Dans l’équation I.2, tip représente le rayon de la pointe de la
stalactite. La variable tip est ajustée à l’équivalent de 2,44 millimètres dans l’environnement
3D. Partant de la pointe et remontant vers la base de la stalactite, le rayon augmente selon
(L−x)× t. Ce deuxième terme est utilisé afin de représenter une forme plus ou moins conique.
Finalement, le terme ao× sin(x× f o) sert à calculer l’ondulation de la surface à l’aide des
paramètres de fréquence et d’amplitude fournis par l’utilisateur.
27
3.4.2 Modélisation
Avec la fonction de profil, il est maintenant possible de générer une surface. La surface est
construite grâce à l’utilisation de metaballs. De plus, ces dernières permettent la fusion entre
plusieurs stalactites. Les metaballs sont positionnées sur les points de la trajectoire et le rayon
des metaballs provient de la fonction de profil. Comme illustrée à la figure 3.17 (a)-(c), il est
possible de générer des surfaces plus ou moins coniques et plus ou moins ondulées.
Tout comme pour l’approche de Kim et al. (2006), l’approche proposée utilise une sinusoïdale
afin de simuler l’ondulation de la surface. L’application de la sinusoïdale donne comme résultat
une surface très régulière. En effet, les ondulations de la stalactite sont symétriques ce qui n’est
pas très réaliste. Comme il est possible de le constater sur la figure 3.16, l’ondulation devrait
être plus aléatoire.
Figure 3.16 Photographie d’une stalactite de glace
possédant une surface ondulée.
Afin de rendre la modélisation plus plausible, l’approche proposée permet d’ajouter du bruit
non pas lors du rendu, comme c’est le cas dans l’approche de Kim et al. (2006), mais lors
de la construction de la surface. Plutôt que de mettre les metaballs uniquement le long de la
28
trajectoire, elles peuvent subir une translation dans le plan perpendiculaire à la trajectoire. Cette
perturbation aléatoire est contrôlée par un paramètre de bruit noté cb. À partir du point de la
trajectoire, le centre de la metaball est déplacé aléatoirement d’une distance d’au plus eb dans
le plan perpendiculaire à la trajectoire. Comme illustrée sur la figure 3.17(d)-(f), le résultat est
moins régulier et plus réaliste. De plus, la forme générale, l’ondulation et le bruit peuvent être
ajustés afin de correspondre assez bien à ce qu’il est possible d’observer sur des photographies
de vraies stalactites de glace (Figure 3.16).
��� ������
�������� �������� ��������
��� ������
������� !�������
"�������������� ��������
"��������������������
"������
Figure 3.17 Contrôle de la surface de la stalactite de glace.
Comme il est possible de le voir sur la figure 3.18, le résultat de la modélisation est très proche
de la réalité.
29
Figure 3.18 Comparaison d’une modélisation (droite) avec
une vraie stalactite de glace (gauche).
3.4.3 Base de la stalactite
La base de la stalactite est l’endroit où elle s’attache à la surface de l’objet. Comme il est
possible de le voir sur la figure 3.19, sa forme est plutôt variable et est influencée par la quantité
d’eau de l’approvisionnement. Il est possible d’observer dans la nature que l’épaisseur de glace
sur la surface augmente considérablement plus celle-ci est proche du point de chute.
Afin de calculer la surface de la base de la stalactite, un ensemble de metaball est distribuée sur
la surface de l’objet autour du point de chute jusqu’à une distance eb spécifiée par l’utilisateur
et qui représente l’étendu de la base. Le nombre de metaball distribuée sur la surface est spécifié
30
Figure 3.19 Photographie de plusieurs stalactites ainsi que leur base.
par l’utilisateur et est noté nbmb. Le rayon de chaque metaball est calculé comme suit :
rb =(eb−d)2
eb2× ce (3.3)
où d est la distance entre la position du point de chute et le point courant et où ce est le
coefficient d’eau. Le résultat, comme illustré sur la figure 3.20, est une base de stalactite qui
s’adapte bien à la surface. Les exemples de la figure 3.20 sont (a) une sphère, (b) un cube après
une rotation et (c) une théière.
31
(a) (b)
(c)
Figure 3.20 Bases de stalactites sur différentes surfaces courbées.
3.4.4 Verglas
Lorsque les stalactites sont combinées avec une surface de verglas, il en résulte un maillage qui
recouvre la surface de départ de glace comme illustré à la figure 3.21. Il est possible d’observer
trois types de solidification :
– l’eau atteint la surface et gèle rapidement, figure 3.21(a) ;
– l’eau atteint la surface et gèle plus lentement, figure 3.21(b) ;
– l’eau tarde à geler sur la surface, figure 3.21(c).
Le verglas se calcule à l’aide des coefficients d’eau et d’un coefficient appelé durée de vie
d’une goutte d’eau, noté dv. Des metaballs sont distribuées aléatoirement sur la surface en
fonction de la dimension de celle-ci. Le nombre utilisé est une variable définie par l’utilisateur
notée nver. Afin de générer les différents types de verglas de la figure 3.21, l’équation 3.4 a été
développée :
rv = minVer+ s× [dHaut ×dv+dBas× (1−dv)] (3.4)
32
(a) Eau gèle rapidement
(b) Eau gèle uniformément
(c) Eau gèle lentement
Verglas Surface
Figure 3.21 Différents types de verglas.
où rv est le rayon de la metaball placée sur la surface, dHaut est la valeur de distance entre le
sommet courant et le sommet le plus haut, dBas est la valeur de la distance entre le sommet
courant et le sommet le plus bas de la région de chute, minVer est l’épaisseur minimum du
verglas, s est le ratio de dimension du verglas. Tel que présenté à la figure 3.22, lorsque la
valeur de dv est égale à 0, le premier type de verglas est obtenu, 0,5 procure le deuxième et 1,
le troisième.
Figure 3.22 Rendu de différents types de verglas.
CHAPITRE 4
RÉSULTATS
L’approche proposée permet de créer avec succès des stalactites et du verglas sur différentes
surfaces complexes. Son utilisation permet un bon contrôle sur l’allure du résultat final. Ce
contrôle se fait à l’aide de plusieurs paramètres présentés au tableau 4.1. Bien qu’il y ait plu-
sieurs paramètres, l’utilisateur n’en manipule typiquement qu’un sous-ensemble. Par exemple,
seuls les six paramètres ns, c, d, f o, ao et cb doivent être ajustés pour produire tous les résultats
présentés dans cette section.
Pour les tests, plusieurs surfaces différentes ont été utilisées. Les résultats se trouvent sur les
figures 4.1 à 4.8 qui ont été générées chez Mokko Studio, et les temps de calcul pour chacune
des phases se trouvent dans le tableau 4.3. Les maillages des figures 4.3, 4.4, 4.5, 4.6
proviennent du Computer Graphics Laboratory de l’Université de Stanford. Le maillage de la
figure 4.7 provient de l’Université de Calgery.
Afin de créer les stalactites plus ou moins ondulées de la théière de la figure 4.1, une faible
amplitude a été utilisée avec un peu de bruit. Pour les stalactites lisses de la fontaine de la
figure 4.2, les valeurs d’ondulation et de bruit sont très faibles. Concernant les stalactites cour-
bées et ondulées du Happy Buddha de la figure 4.3, les valeurs d’ondulation et de bruit sont
plus élevées. De plus, afin de créer un verglas bosselé, le nombre de metaballs a été ajusté
afin qu’elles soient suffisamment distancées entre elles pour réaliser cette effet. Le bunny de
Stanford de la figure 4.4 quant à lui contient une plus faible fréquence d’ondulation et une plus
grande probabilité d’avoir des divisions. Il est ainsi possible de constater que deux stalactites
contiennent des divisions. Pour l’armadillo de la figure 4.5, la fréquence a été ajustée au maxi-
mum afin de créer des glaçons très ondulés. La même amplitude a été utilisée pour le dragon de
Stanford (figure 4.6) mais cette fois-ci avec une fréquence plus petite. L’arbre de la figure 4.7
a été modélisé avec des glaçons lisses utilisant des valeurs semblables à celles de la fontaine.
Les valeurs de test se retrouvent dans le tableau 4.2. Finalement, la figure 4.8 représente un
34
Tableau 4.1 Paramètres de contrôle
Description Domaine Valeurtype
Coefficients d’eauss Surface source - -
g Vecteur de gravité - (0 -1 0)
nr Nombre de rayons ]1..∞[ 500
rii Rayon d’influence ]0..∞[ 1
à l’ intersection
Points de chutens Nombre de stalactites ]1..∞[ 10
dl Seuil de chute ]1..90◦[ 75◦Trajectoirese Roulis de départ [0..360◦[ 0◦c Angle de courbure [0..360◦[ 2◦d Probabilité de division [0..1[ 0,1
au Angle de roulis de croissance [0..360◦] 360◦et de dispersion
Modélisation de la surfacet Ratio de croissance [0..∞[ 0,05
ao Amplitude de l’ondulation [0..∞[ 0,3
f o Fréquence de l’ondulation [0..∞[ 50
eb Étendu de la base [0..∞[ 1
nmb Nombre de metaballs [1..∞[ 100
à la base
cb Coefficient de bruit [0..∞[ 1
VerglasminVer Rayon minimum [0..∞[ 0
du verglas
nver Nombre de metaballs [0..∞[ 5000
utilisée pour le verglas
s Dimension du verglas [0..∞[ 1
dv Durée de vie [0..1] 0,5
de la goutte d’eau
zoom sur des branches qui ont été modélisées chez Mokko Studio. Les mêmes valeurs que sur
la figure 4.7 ont été utilisées. Le nombre de stalactites visibles peut sembler plus petit que la
valeur ns entrée. La raison en est que plusieurs stalactites peuvent se retrouver très proches
35
Tableau 4.2 Paramètres de contrôle utilisés lors des différents tests
FiguresParamètres (4.1) (4.2) (4.3) (4.4) (4.5) (4.6) (4.7)ns 12 100 30 20 200 200 400
c 0◦ 0,1◦ 0,5◦ 3◦ 10◦ 3◦ 0,8◦d 0,1 0,1 0,1 0,3 0,015 0,075 0
f o 50 100 500 50 500 100 50
ao 1 1,7 1,45 0,3 0,3s 0,3 1,3
cb 0,5 0,1 1,5 0,4 0,4 0,4 0,5
Figure 4.1 Stalactites de glace sur une théière.
36
Figure 4.2 Stalactites de glace sur une fontaine.
les unes des autres et ainsi fusionner. De plus, certaines stalactites peuvent se retrouver tout
simplement de l’autre côté de l’objet et ainsi être cachées.
Les évaluations ont été effectuées sur un Intel Xeon 3,4 Ghz. Afin de créer des images réalistes,
le moteur de rendu Mantra de SideFx a été utilisé pour générer les images qui se trouvent dans
ce mémoire. Comme il est possible de le constater, l’approche proposée est relativement rapide
comparativement aux travaux antérieurs. En effet, à titre de comparaison, la fontaine dans l’ar-
37
Figure 4.3 Stalactites de glace sur le Happy Buddha de Stanford.
ticle de Kim et al. (2006) (figure 5 de leur article) prenait 30 minutes à simuler (sur un Pentium
4 3 GHz) et ici elle prend environ 55 secondes (sur un Xeon 3,4 GHz double coeur). Quoique
les stalactites générées sont de qualité visuelle comparable au travail de Kharitonsky et Goncza-
rowski (1993), l’approche proposée permet en plus de positionner les glaçons automatiquement
sur la surface à des endroits plausibles et génère une surface de glace convaincante qui attache
la stalactite à la surface de l’objet. Par conséquent, il est possible de modéliser des centaines
de stalactites sur des surfaces beaucoup plus complexes, tel un arbre, en un temps raisonnable.
38
Figure 4.4 Stalactites de glace sur le bunny de Stanford.
39
Figure 4.5 Stalactites de glace sur l’armadillo de Stanford.
40
Figure 4.6 Stalactites de glace sur le dragon de Stanford.
41
Figure 4.7 Stalactites de glace sur un arbre.
42
Figure 4.8 Zoom sur des stalactites de glace sur les branches d’un arbre.
Tableau 4.3 Statistiques des résultats
Figures (4.1) (4.2) (4.3) (4.4) (4.5) (4.6) (4.7)Nombre de polygones 2 2 15 4 30 11 6
en entrée (en millier)Nombre de stalactites 12 300 10 20 200 200 400
Nombre de polygones 10 180 750 103 390 245 131
en sortie(en millier)Temps decalcul (secondes)Coefficients d’eau 0,1 0,1 0,5 0,3 5 0,4 0,3
Point de chute 0,1 0,5 0,2 0,1 0,5 0,5 0,5
Trajectoires 0,1 0,2 0,1 0,2 0,5 0,5 1
Modélisation 11 55 60 20 116 19,5 36
de la surfaceTemps total (secondes) 11,3 55,8 60,8 20,6 122 20,9 37,8
CHAPITRE 5
LIMITATIONS
La création de stalactite en forme de lame nécessite la manipulation des glaçons à l’unité. En
effet, puisque la forme de lame dépend essentiellement de la forme de la surface de l’objet,
il est souvent nécessaire à l’utilisateur d’effectuer une rotation une fois que la stalactite est
aplatie, et ce, pour chacune des stalactites affectées, ce qui peut s’avérer redondant.
Afin d’obtenir un temps de calcul rapide permettant une utilisation interactive, certains compro-
mis concernant la précision du phénomène de solidification ont été faits. L’approche n’utilise
pas les équations de simulation de fluide pour calculer le mouvement de l’eau sur les objets.
L’approche proposée permet plutôt une modélisation qui soit proche de la réalité sans toutefois
être basée sur une simulation physique. Le résultat sortant ne peut être considéré comme étant
une représentation physiquement précise. L’approche proposée est un compromis entre fidélité,
et esthétisme, efficacité et contrôle.
CHAPITRE 6
TRAVAUX FUTURS
L’approche proposée est rapide, mais n’est pas instantanée. L’utilisateur peut avoir une bonne
idée du résultat final à partir des trajectoires qui sont calculées en moins d’une seconde. Par
contre, la construction de la surface peut prendre beaucoup plus de temps. Une solution pour
corriger ce problème serait de procurer une prévisualisation de la surface sans l’utilisation des
metaballs qui prend du temps. Le calcul de la surface finale devrait être aussi accéléré. Au lieu
d’utiliser des metaballs, le calcul direct du maillage de la stalactite pourrait être investigué.
La création de la surface verglacée est elle aussi assez lourde en temps de calcul. En même
temps, comme mentionné dans la section 3.1, une surface alternative est parfois requise pour
calculer le parcours de l’eau. Une approche unifiée adaptée à partir de la méthode de recons-
truction de la surface devrait être développée, avec le temps de calcul et le lissage de la surface
en tête.
L’approche proposée traite essentiellement de la modélisation de la surface des stalactites de
glace sans gérer le rendu. Il serait intéressant de développer, à l’instar de la méthode de Kim et
al. (2006), une manière de rendre les stalactites de façon réaliste et rapide. En effet, afin de
générer une image réaliste qui respecte les phénomènes optiques que sont la réflexion et la
réfraction, caractéristiques de la glace, un lancer de rayon doit être utilisé. Malheureusement,
cette technique de rendu est très lourde en temps de calcul. De plus, il existe plusieurs types
de surface de glace : mouillé, sec, sale, etc. Il n’existe aujourd’hui aucune méthode gérant tous
ces types de rendu de façon efficace. Maintenant que la modélisation de stalactite de glace peut
être effectuée rapidement et interactivement, le moment est venu de s’attaquer au rendu.
CONCLUSION
L’approche proposée démontre qu’il est possible de subdiviser un problème complexe, tel que
la simulation de la formation de stalactites de glace, en plusieurs étapes interactives. Dans
l’approche proposée, le processus de glaciation est décomposé en quatre étapes. La première
étape consiste à déterminer comment l’eau parcourt la surface de l’objet. Elle est composée
de deux sous étapes : définir l’approvisionnement d’eau et parcourir la surface en calculant
les coefficients d’eau. L’approche proposée effectue efficacement le parcours de sommet en
sommet et le calcul peut être facilement parallélisé.
La deuxième étape permet de déterminer les points de chute. Elle est composée de deux sous-
étapes : déterminer les régions de chute et positionner les points de chute. Les régions de chutes
sont formées de polygones où les points de chute sont ensuite positionnés aléatoirement.
La troisième étape génère les trajectoires des stalactites de glace. Un L-System a été défini à cet
effet. Il permet de faire une très grande variété de croissance de glace. L’utilisateur peut ainsi
changer la courbure, la probabilité de division, l’angle de roulis de départ et la dispersion des
branches. De plus, la détection de collision entre la trajectoire et d’autres surfaces est supportée.
La quatrième étape est la construction de la surface. Une surface est construite autour de chaque
trajectoire précédemment générée. Le rayon de la surface est défini à l’aide d’une fonction de
profil. Grâce à celle-ci, l’ondulation et la forme conique de la surface peuvent être modifiées
par l’utilisateur. Une perturbation aléatoire est utilisée sur le positionnement des metaballs afin
de créer une ondulation plus plausible. Des metaballs sont ensuite utilisées afin de gérer la
fusion entre plusieurs stalactites. Finalement, la surface peut être recouverte de différents types
de verglas à l’aide d’une équation qui gère l’épaisseur de la glace sur la surface.
L’avantage de cette division en étapes est le contrôle et l’interactivité : l’utilisateur a accès à
plusieurs paramètres et peut voir le résultat de la modélisation en quelques secondes. Chacune
des étapes est relativement rapide. Le temps de calcul total est considérablement plus rapide
46
qu’une simulation basée sur la physique. Le résultat est une modélisation photo réaliste de
stalactites de glace semblable aux résultats d’une simulation physiquement correcte.
ANNEXE I
METABALL
Les metaballs font partie de la famille des surfaces implicites. La forme de la surface composée
de n metaballs est définie par l’équation suivante :
f (x,y,z) =n
∑i=0
qi fi −T0 = 0 (I.1)
où T0 est un seuil constant, qi est la densité maximum et fi est la fonction de densité de la
metaball i. Il existe plusieurs fonction fi dans la littérature. Celle qui est utilisée dans ce travail
est celle de Wyvill et al. (1986) qui est décrite comme suit :
fi(r) =−4
9
(rRi
)6
+17
9
(rRi
)4
− 22
9
(rRi
)2
+1 (I.2)
où r est la distance entre le point (x,y,z) et le centre de la metaball. Ri est le rayon d’unfluence
de la metaball i.
Comme il est possible de le voir sur la figure I.1, l’utilisation de metaballs, possédant ici des
rayons identiques, permet de déformer les surfaces de deux sphères et même de les fusionner
en fonction de la distance qui le sépare. Pour plus d’information sur les metaballs, se référer à
l’article de Wyvill et al., (1986).
48
Figure I.1 Différentes interactions entre deux metaballs
ANNEXE II
L-SYSTEM
1 Définition d’un L-System
Un L-system (ou système de Lindenmayer ) est une grammaire formelle permettant de décrire
le processus de croissance d’êtres vivants. Il a été conçu à l’origine comme une théorie ma-
thématique du développement des plantes. Le concept central des L-System est la réécriture.
Le but est de générer une chaîne de caractère et ensuite de l’interpréter comme une suite de
commande qui contrôle une tortue. Pour de plus amples informations, il est suggéré au lecteur
le livre de référence Algorithmic beauty of plants de Prusinkiewicz et Lindenmayer (1990). Les
figures qui se trouvent dans cette annexse ont été produites chez Mokko Studio.
2 Les variables
Un L-System est défini par une prémisse ω et un ensemble de règles de réécriture du système
notée P. Une production est noté a −→ b. a est appelé le prédécesseur et b le successeur.
50
3 Interprétation de la tortue
Afin de créer un résultat graphique, la chaîne caractère générée par le L-System doit être inter-
prétée. À cet effet, plusieurs symboles sont utilisés afin de dessiner le résultat à l’aide de ce qui
est appelé une tortue. Ces symboles sont les suivants :
a : angle utilisée lors des déplacements de la tortue
d : longueur des pas de la tortue
n : nombre de génération
F : se déplacer d’un pas d’une distance de d en dessinant une ligne
f : se déplacer d’un pas d’une distance de d sans dessiner de ligne
+ : tourner à gauche de l’angle a
- : tourner à droite de l’angle a
& : pivoter vers le bas d’un angle a
∧ : pivoter vers le haut d’un angle a
\ : roulis à gauche de l’angle a
/ : roulis à droite de l’angle a
| : tourner sur soi-même de 180◦
[] : création d’une branche
Lorsque l’utilisateur veut utiliser un angle autre que l’angle a, il lui faut utiliser des paranthèses
à la suite de l’opération. Par exemple, pour tourner à gauche de 90◦, il faut écrire +(90).
51
4 Courbe de Koch
Afin de visualiser ce qu’il est possible de créer à l’aide d’un L-System, voici l’exemple de la
courbe de Koch :
a : 90◦
ω = F
p1 : F −→ F +F −F −F +F
Le résultat de la réécriture après zéro génération de la règle P1 est le suivant :
n = 0 : F
Après une génération de la règle P1 :
n = 1 : F+F-F-F+F
Après deux générations de la règle P1 :
n = 2 : F+F-F-F+F + F+F-F-F+F - F+F-F-F+F - F+F-F-F+F + F+F-F-F+F
Et ainsi de suite :
n = 3 : F+F-F-F+F+F+F-F-F+F-F+F-F-F+F-F+F-F-F+F+F+F-F-F+F + F+F-F-F+F+F+F-F-
F+F-F+F-F-F+F-F+F-F-F+F+F+F-F-F+F - F+F-F-F+F+F+F-F-F+F-F+F-F-F+F-F+F-F-F+F+F+F-
F-F+F - F+F-F-F+F+F+F-F-F+F-F+F-F-F+F-F+F-F-F+F+F+F-F-F+F + F+F-F-F+F+F+F-F-
F+F-F+F-F-F+F-F+F-F-F+F+F+F-F-F+F
Lorsque les symboles sont générés, il est maintenant possible de les interpréter afin d’avoir un
résultat graphique. L’interprétration des symboles par la tortue est illustrée sur la figure II.1.
Pour plus d’exemple sur l’interprétation graphique de la tortue, voir Prusinkiewicz et Linden-
mayer (1990), chapitre 1.
52
#����
#���
#���$
#���!
Figure II.1 Courbe de Koch.
5 Probabilité des règles
Dans le cas où le L-System est composé de plusieurs règles avec le même prédécesseur, une
variable de probabilité peut être affectée à chacune de ces règles. Par exemple, deux règles P1
et P2 notées comme suit :
p1 : a −→ ba
p2 : a −→ ca
53
Lorsqu’il y a plusieurs instances de la même règle, il est possible de spécifier la probabilité que
chacune d’elles soient utilisées à chaque génération. Par exemple, pour P1′ et P1′′ ayant une
probabilité de 33% et de 66% respectivement, la notation est la suivante :
p1′ : a .33−→ ba
p1′′ : a .66−→ ca
6 L’angle d’or
L’angle d’or 137,5 est très souvent utilisé dans les L-System afin d’avoir une croissance répartie
de façon homogène dans l’espace. Par exemple, pour la création de pétales, le L-System suivant
peut être utilisé :
ω : a(0)
P1(n) : a(n)−→+(137.5) f (n∧0.5)Ja(n+1)
où J est la variable permettant de dessiner un cercle. Grâce à l’utilisation de l’angle d’or, il est
possible de constater que l’évolution de la création des pétales (en bleu sur la figure II.2) donne
un résultat naturel.
Figure II.2 Utilisation de l’angle d’or.
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