Title: livre (1 of 15)

MVA003

Combinatoire, probabilitésordre, calcul booléen

séance n°7

Title: Plan ch8-1 (2 of 15)

1. Épreuves et événements

2. Fréquences et probabilités

3. Lois de probabilité

4. Probabilité conditionnelle et indépendance

5. Essais répétés

MVA003

Chapitre 8

Probabilités combinatoires

Title: issues (3 of 15)

Le calcul des probabilités étudie les phénomènes qui dépendent du hasard ; on les appelle les phénomènes aléatoires.Dans un phénomène aléatoire, l'ensemble des résultats théoriquement possibles s'appelle l'ensemble des épreuves ; on le note .

Un élément de (donc un résultat théoriquement possible) s'appelle une épreuve ou une issue.

Exemple le lancer de 2 dés, un blanc et un noir.

Exemple le lancer de 2 dés indiscernables.

Title: événements (4 of 15)

Avec une issue, il arrive qu'un certain événement se produise.

Exemple

Exemple Avec on a sorti un double.

L'ensemble des doubles est :

D = { , , , , , }

Cette liste remplace la définition en compréhension : sortir deux fois le même numéro, par une définition en extension : on donne la liste des doubles.

D'une façon générale, on appelle événement toute partie de .

A = { , , , , , , }

Avec cette définition, et sont des événements !

On dit que l'issue x réalise l'événement E quand .

Exemple

langage courant :

langage mathématique :

langage des probabilités : l'issue réalise l'événement D.

est un double.

Title: règles de représentation (5 of 15)

Règles de représentation

A est un événement

l'issue x réalise l'événement A

langage mathématique langage des probabilités

A est un singleton A est un événement élémentaire

l'événement A entraîne l'événement B

Ac est la non réalisation de A

A et B est la conjonction de A et B

A et B sont incompatibles

A ou B est la disjonction de A et B

Title: Plan ch8-2 (6 of 15)

1. Épreuves et événements

2. Fréquences et probabilités

3. Lois de probabilité

4. Probabilité conditionnelle et indépendance

5. Essais répétés

MVA003

Chapitre 8

Probabilités combinatoires

Title: proba 1/2 (7 of 15)

On lance une pièce. Elle tombe sur le côté Pile, ou sur le côté Face :

Pile Face

Pourquoi dit-on : " J'ai 1 chance sur 2 de tirer Face " ?

L'idée intuitive est que si on lance un très grand nombre de fois la pièce, on trouvera à peu près autant de fois Pile que Face …

- si on l'a lancée 1 million de fois, est-ce un très grand nombre fois ?

- si on trouve 499703 fois Pile et 500297 fois Face, est-ce à peu près la même chose ?

Et si la pièce est truquée ?

Title: proba-2 (8 of 15)

L'idée va être la suivante :

Quand on reproduit expérimentalement un phénomène aléatoire (je prends une vraie pièce et je la lance vraiment), une probabilité est attachée à chaque événement.

On a une valeur approchée de p(A) avec f(A) la fréquence de l'événement A.

p(A), la probabilité de l'événement A est une grandeur physique (comme la longueur d'une tige, le poids d'une personne, la vitesse d'un mobile …), mesurée par un nombre réel.

Pour obtenir f(A), on reproduit le phénomène N fois et on note a le nombre de fois où l'événement A est réalisé. Alors f(A) = a/N .

Quand N tend vers l'infini, f(A) tend vers p(A) .

Il faut remarquer que p(A) ne dépend que de A et du dispositif expérimental alors que f(A) dépend du hasard … Si on refait l'expérience, on ne retrouve pas exactement la même valeur …

Title: proba-3 (9 of 15)

Propriétés

Puisque est toujours égale à 1, sa limite est égale à 1.

De même :

Puisque on a toujours , le passage à la limite donne :

Si A et B sont des événements incompatibles, on a toujours :

parce que .

Donc :

Title: Plan ch8-3 (10 of 15)

1. Épreuves et événements

2. Fréquences et probabilités

3. Lois de probabilité

4. Probabilité conditionnelle et indépendance

5. Essais répétés

MVA003

Chapitre 8

Probabilités combinatoires

Title: loi (11 of 15)

Loi de probabilité

Quand on reproduit expérimentalement un phénomène aléatoire, une probabilité est attachée à chaque événement. On a donc une application qui a les propriétés suivantes :

quand

D'une façon générale, quand on a un ensemble non vide E , on appelle loi de probabilité sur E toute application telle que :

Exemple

quandet

et

Title: loi-2 (12 of 15)

Propriétés des loi de probabilité

Si sont des événements incompatibles 2 à 2, alors :

Title: loi-3 (13 of 15)

Comment fabriquer des loi de probabilité ?

Théorème

Si la partie A a pour éléments , alors A est la réunion des singletons et ces singletons sont 2 à 2 disjoints, donc :

Pour fabriquer une loi de probabilité on doit associer un nombre compris entre 0 et 1 à chaque partie de façon que ces nombres vérifient des relations. Comment y arriver ?

Pour simplifier, on écrit au lieu de et on appelle ce nombre la probabilité de l'élément .

Pour définir une loi de probabilité sur un ensemble fini non vide

il suffit de se donner une application

telle que :

et de poser :

Title: loi-4 (14 of 15)

Exemple

Pour définir une loi de probabilité sur E, il suffit de se donner le nombre p(F) = a avec 0≤ a ≤1 :

Équiprobabilité

On dit qu'une loi de probabilité est uniforme ou encore, qu'il y a équiprobabilité quand p(e) est le même pour toutes les issues.

Dans ce cas : et

Title: loi-5 (15 of 15)

Équiprobabilité => la probabilité d'un tirage est 1/36

Exemple

Équiprobabilité => la probabilité d'un tirage est 1/21

ce n'est pas pareil !

- dans le premier cas, la probabilité de tirer un 3 et un 2 est 2/36=1/18 , dans le deuxième c'est 1/21.

- dans le premier cas, la probabilité de tirer un double 6 est 1/36 , dans le deuxième c'est 1/21.