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Comportement mécanique du béton Bilan de six années de recherche
Jean-Michel Torrenti
ÉTUDES ET RECHERCHES DES LABORATOIRES DES PONTS ET CHAUSSÉES
Laboratoire Central des Ponts et Chaussées
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Comportement mécanique du béton Bilan de six années de recherche
Jean-Michel Torrenti
Octobre 1996
Laboratoire Central des Ponts et Chaussées 58, bd Lefebvre, F 75732 Paris Cedex 15
Jean-Michel TORRENT! Ingénieur des Ponts et Chaussées Docteur de !'École Nationale des Ponts et Chaussées Division bétons et ciments pour ouvrages d'art Laboratoire Central des Ponts et Chaussées
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Laboratoire Central des Ponts et Chaussées Bureau de diffusion de l'IST 58, boulevard Lefebvre, F 75732 Paris Cedex 15 T€1. 0140435226 ·Télécopie 01404354g5
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Prix : 100 F
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SOMMAIRE
Résumés
Présentation
Introduction
1 Comportement du béton au jeune âge
L1 Position du problème 1.2 La modélisation des effets thermiques - le module TEXO 1.3 La modélisation des effets mécaniques - le module MEXO 1.4 Applications
II Le problème de la localisation en compression simple
11.1 ~osition du problème 11.2 Etude expérimentale 11.3 Conclusions
III Comportement multiaxial du béton
111.1 Position du problème 111.2 Aspects expérimentaux 111.3 Aspects modélisation III.4 Conclusions
IV Séchage et comportement différé du béton
IV.1 Position du problème IV.2 L'expérimentation IV.3 La modélisation IV.4 Conclusion
Conclusion générale
Références
Annexe 1 Annexe 2 Annexe 3 Annexe 4
3
4
5
7
7
7 8
14 33
51
51 55 65
72
72 72 76 77
78 78 79 82 88
89
90
101 104 106 109
Comportement mécanique du béton
Jean-Michel TORRENT!
Ce travail est un bilan des recherches menées au LCPC par l'auteur dans l'objectif d'améliorer la modélisation du comportement mécanique du béton. Il se compose de quatre parties :
- le comportement du béton au jeune âge, où, après une recherche expérimentale. est présentée une modélisation intégrée au code par éléments finis CESAR-LCPC. Cette modélisation porte sur la simulation des champs des températures et d 'avancement de l'hydratation puis sur le calcul des champs de contraintes. De nombreuses applications à des ouvrages du Génie Civil sont présentées.
- la localisation des déformations en compression. Cette recherche, essentiellement expérimentale, a permis de montrer grâce à l'utilisation de la stéréophotogrammétrie que, lors d'un essai de compression, Je champ de déformation ne restait pas homogène. Lorsque l'effort maximum est atteint il y a bifurcation vers un mode localisé. Ce résultat maintenant admis par la communauté scientifique a été établi pour plusieurs types de conditions aux limites.
- le comportement multiaxial du béton. Par une expérimentation originale, le comportement du béton sous une sollicitation biaxiale de compression a été étudié. Ceci a permis notamment de mettre en évidence le comportement particulier des bétons de fibres sous ce type de sollicitations.
- le comportement différé du béton. La cormaissance des déformations différées du béton est très importante pour le calcul des structures. Nous avons simulé ici le retrait d'une poutrG en ambiance extérieure par modélisation de son séchage et du couplage entre la dessiccation et le retrait.
M echanical behaviour of concrete
Jean-Michel TORRENT!
This work is an assessment of research conducted at the LCPC by the author with the aim of improving models of the mechanical behaviour of concrete. It consists of four parts:
- Behaviour of e arly age concrete . This part first reviews some experimental research before describing a mode! incorporated in the CESAR-LCPC finite-element code. This mode! covers the simulation of temperature fields and hydration progress, and then the calculation of stress fields. Many applications to civil engineering structures are presented.
- Location of compressive s trains . This essentially experimental research made it possible to show. through the use of stereophotogrammetry that, during a compression test, the deformation field did not remain homogeneous. When the maximum force is reached, there is a shift to a local mode. This result, now acknowledged by the scientific community, was established for several types of boundary conditions.
- Multi-axial behaviour of concrete. In an original experiment, the behaviour of concrete was investigated under biaxial compression. This revealed the particular behaviour of fibre concrete under this type of loading.
- Deferred behaviour of concrete. An understanding of the deferred behaviour of concrete is very important for the design of structures. We simulated here the shrinkage of a beam in an extemal environment by modelling its drying and the coupling between desiccation and shrinkage.
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PRESENT A TION
Roben CHAUSSIN Ingénieur en Chef des Ponts et Chaussées
Directeur Technique Ouvrages d'An
les travaux présentés ici par Jean-Michel Torrenti constituent une part importante du thème de recherche « Comportement mécanique du béton » (OA. 01) qu 'il a monté en 1991, puis dirigé de 1992 à 199./.
Dans le domaine des ouvrages d 'art, il s 'agit bie11 sûr d'un thème essentiel, que .!MT a voulu largemelll orie11té par les besoins de / 'e11semble de la professio11. C'est ainsi qu'il a pu montrer, au cours d 'une vaste enquête auprès des praticie11s, / 'illlérêt que pourrait avoir, notamment pour le soutien aux entreprises qui répondent à des appels d 'offre internationaux, le développement et la mise à dispositio11 d 'outil\· robustes de simulation numérique. Ainsi, par exemple. la simulation du comporteme11t des ouvrages au jeune âge est souvent dema11dée dans certains appels d 'offre, du fait de la gravité des effets mécaniques que peut i11duire la chaleur d 'hydratatio11 du cime11t dans les ouvrages (ou les parties d 'ouvrage) massifs.
le thème co11duit par .!MT a fait intervenir plusieurs équipes du LCPC et du réseau des LRPC. dont toute la productio1111 'est pas rendue da11s ce mémoire, celui-ci ne regroupalll que celle à laquelle .!MT a perso1111elleme111 co11trib11é (ce qui en fait d 'ailleurs u11 ensemble cohérent). JI faudrait signaler 110/amment les travaux de Dimy (publiés e11 deux articles du BI,), travaux qui co11stituent, en quelque sorte, une validation expérimentale solide de toute / 'analyse physique qui sous-tend/ 'approche torrentie1111e de la modélisatio11 du béton.
la démarche prése11tée ici est exemplaire e11 ce qu 'elle met en œuvre les différentes composa11tes de la recherche, et exploite à fo11d leurs complémentarités: - / 'approche expérimentale, qui a des objectifs multiples et imbriqués : mise en évidence des phénomènes et de mécanismes prépondéra11ts, acq11isitio11 de do11nées permetta11t d 'extraire des caractéristiques de matériau, validation de modèles 11umériques ou explicatifs, ... - /'approche théorique et 11umérique, qui sert à la fois à co11cevoir la démarche expérimentale, à optimiser les corps d'épreuves, à lester plusieurs scé11arii, mais aussi à analyser et à i11terpréter / 'essai, puis enfin à concrétiser le rés1tltat de la recherche sous la forme d'un modèle utilisable par/ 'inKé11ie11r comme, par exemple, les modules de ('f,"SAR-1.lPC ...
Un thème de recherche, a11 LCPC. co11stitue 1111e structure de projet qui associe plusie11rs équipes. Da11s 11n tel cadre, la multiplicité de ces fo11ctions el leur articulatio11 nécessite11t clarté et hon11èteté dans la démarche. /,a qualité des produits qui e11 résultent (logiciels, méthodes d'essai, ba11ques de do11nées d.e caractéristiques) se mesure aussi dans la richesse des informatio11s que / '011 peul trouver da11s la tra11scriptio11 de la démarche complète (et qui, plus concrètement, se retrouve aussi dans ce qui constitue/ 'expertise q11i accompagne la mise ell œuvre de ces produit.\).
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Introduction
Ce texte reprend l'essentiel du mémoire écrit en vue d'obtenir une habilitation à diriger des recherches [Torrenti, 1994]. Il repose sur différents travaux de thèse encadrées par l'auteur et donne un aperçu des recherches menées au Laboratoire Central des Ponts et Chaussées dans le domaine de la Mécanique des bétons. Il est composé de quatre parties concernant différents aspects du comportement et de la vie de ce matériau : son comportement au jeune age, en compression simple, en compression biaxiale et son comportement différé.
Ces recherches ont été menées en grande partie au LCPC dans le cadre du thème de recherche "Comportement mécanique du béton". Le but de ce thème était l'cibtention (ou des progrès en vue de l'obtention) d'outils d'aide à la conception quantitativement performants, capables de répondre à des problèmes industriels du Génie Civil. Pour cela ces outils doivent être fondés sur des lois de comportement pertinentes : "ces lois doivent rendre compte, sur les aspects qui précisément sont déterminants dans les choix de conception, des spécificités des comportements des divers matériaux." [Acker, 1994].
La connaissance de ces lois de comportement qui sont souvent non linéaires et en dehors de la modélisation strictement règlementaire des structures en béton permet de traiter différents aspects de ces structures comme l'expertise (comprendre un cas pathologique), l'aide à la décision (choisir le matériau approprié) ou la prévision du comportement.
Outre les modèles, la recherche menée au LCPC comprend aussi une grande partie expérimentale. Celle-ci est au service de la modélisation et a 2 fondements : la mise en évidence des phénomènes majeurs qui devront être modélisés (avec la mesure des paramètres nécessaires au modèle) et la qualification du modèle (l'expérience indépendante qui vient valider l'applicabilité du modèle). C'est cette philosophie qui sera présentée dans les exemples qui suivent.
Comme cela apparaîtra dans la suite, ces développements ont également bénéficié de l'existence Greco Géomatériaux, qui a souvent permis à ces recherches de prendre une dimension supplémentaire par la confrontation des idées, des approches, des matériels ...
1 Comportement du béton au jeune âge
1.1 Position du problème
L'hydratation du ciment est une réaction très exothermique ( 400 à 600 J/g). Ceci induit, dans les heures qui suivent la fabrication du béton, des élévations de température qui peuvent atteindre 50 à 60°C dans les structures massives. La prise du béton se fait alors à chaud, d'où un retrait thermique, accompagné de gradients lors du refroidissement.
Ce retrait induit des contraintes que l'on appellera par la suite contraintes thermiques. Celles-ci sont d'une intensité telles qu'elles peuvent conduire à la fissuration des pièces. Cette fissuration affecte la durabilité, voire le comportement des structures en béton. Il n'est pas besoin de souligner à quel point la réparation de ces fissures peut coûter cher.
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Depuis plusieurs années, la modélisation du comportement du béton au jeune âge est un problème industriel majeur et un sujet de recherche en France et à l'étranger [Acker, 1983, 1985, 1986, 1988, Bournazel, 1992, Torrenti, 1992, Emborg, 1984, Singh, 1985, Bogert, 1987 ... ].
Les problèmes rencontrés en préfabrication furent à l'origine de ces recherches [Laperna, 1982]. De nos jours ce sont plutôt des impératifs de productivité (nécessité d'une résistance précoce pour une mise en tension de la précontrainte, pour un poussage de l'ouvrage, pour la rotation des coffrages ... ), ou des contraintes environnementales qui conduisent à des projets exceptionnels par la dimension des pièces (semelles du Pont de Normandie, piles du pont de !'Elorn, projets Bouygues à Hong Kong ... ) qui rendent nécessaires l'étude des températures et contraintes générées dans le béton au jeune âge.
La modélisation de ces phénomènes a pour objectifs de disposer d'outils:
•d'expertise (pour comprendre après coup un incident sur un-chantier) • d'aide à la décision (pour comparer différentes solutions: choix de béton, de durée de
coffrage, etc.) • de prévision (pour savoir à l'avance s'il faut chauffer Je béton, comment optimiser le
chauffage, s'il faut calorifuger le chauffage, couler le béton en une ou plusieurs phases, etc.)
Nous présenterons des exemples réels pour chacun de ces ob{ectifs. Auparavant intéressons nous aux équations constitutives de notre problème.
Il y a beaucoup de phénomènes (et de paramètres associés) qui interviennent dans le comportement au jeune âge. Par chance tous n'ont pas la même incidence. Une première tache consiste donc à les hiérarchiser afin de focaliser notre modélisation sur les plus influents.
L'analyse des phénomènes nous permet également de découpler l'aspect thermique de l'aspect mécanique. Nous allons donc d'abord étudier la modélisation des effets thermiques.
1.2 La modélisation des effets thermiques - le module TEXO
Le module TEXO, qui fait partie du programme CESAR-LCPC [Humbert, 1989, Dubouchet, 1992], permet de connaître l'évolution des champs de température et de l'avancement de la réaction d'hydratation dans les premières heures après le coulage d'un béton.
Nous devons résoudre l'équation de diffusion de la chaleur avec un terme source représentant l'exothermie de la réaction d'hydratation du ciment. La formulation de cette équation (qui fait l'objet dans TEXO d'une discrétisation spatiale selon la méthode des éléments finis et d'une discrétisation temporelle selon un schéma du type Cranck-Nicholson) est:
dT . pc- = -div(-kgradT) + Q
dt
où pc désigne la capacité calorifique du béton (produit de la masse volumique par la capacité thermique massique du béton) ;
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k le tenseur de conductivité de chaleur ;
Q le taux de chaleur généré par l'hydratation du ciment ; T la température et t le temps.
Examinons maintenant les données nécessaires pour résoudre notre problème. Elles peuvent être classées en :
•données endogènes telles que les paramètres thermiques et la chaleur d'hydratation; •données exogènes caractérisant les échanges thermiques entre la pièce et son
environnement.
Données endogènes:
0 la conductivité thermique:
La conductivité thermique d'un béton dépend de nombreux paramètres qui ne sont pas toujours constants: la teneur en eau du béton, le type de granulats, la porosité, la température, le degré d'avancement de l'hydratation ... Il existe différentes formules pour tenir compte de ces paramètres (voir par exemple [Hamfler et al, 1992)). Mais des calculs sur des structures montrent qu'en faisant varier ces paramètres cela n'entraîne que des différences marginales sur les températures calculées. Notre choix est donc de garder constante la valeur de la conductivité thermique.
Il est cependant un paramètre à considérer dans le calcul de la conductivité thermique, c'est le pourcentage d'armatures. En effet, l'acier est beaucoup plus conducteur que le béton et dans les structures très ferraillées il importe d'en tenir compte.
Une étude effectuée au moyen de la technique d'homogénéisation [Acker, 1990] nous permet de définir des bornes de variation pour la conductivité thermique en fonction de la quantité d'armatures. L'art du modélisateur consistera ensuite à "choisir", selon son expérience, la valeur de p.
0 la capacité calorifique
Elle est égale au produit de la masse volumique par la capacité thermique massique du béton. Elle dépend donc de la composition du béton et notamment du type de granulats, mais aussi de la teneur en eau, du degré d'avancement de la réaction d'hydratation, de la température [Waller, 1993].
Pour les besoins de la pratique on peut la considérer constante, égale à 2,4 J/cm3 °C ou bien la calculer à partir de la composition du béton. Le tableau 1 rassemble les capacités thermiques massiques de chaque composant, issues de différentes sources.
ciment eau irranulats norme NF P 15-436 0.75 3.76 0.75 Smeolass et Maaf!e 0.8 4.2 0.8
US Bureau ofrecJarn. 0.8 4.18 0.7 à 0.9
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tableau 1 : capacités thenniques massiques des composants du béton (J/°C/g) [Waller, 1993)
D la chaleur d'hydratation
Il faut ici s'intéresser à 2 aspects du problème: la quantité finale Q(oo) de chaleur dégagée et Q(t) qui donne la cinétique de dégagement de chaleur.
La quantité finale dépend de nombreux facteurs [Waller, 1993). Les principaux sont:
Q la composition du clinker. Tous les constituants du ciment n'apportent pas la même contribution en tenne de dégagement de chaleur. On notera l'influence du C3A et du C3S. En général, ce dernier étant prépondérant dans les ciments, la chaleur d'hydratation en sera largement dépendante.
Chaleur d'hydratation J/g C3S 500 C2S 260 C3A 900
C4AF 420
tableau 2: chaleurs d'hydratation des composants purs [Neville, 1981]
Q les ajouts. Lorsque l'on remplace une partie du clinker par des fillers inertes, une' cendre volante, des fumées de silice etc. la chaleur finale en est modifiée. La valeur de Q(oo) doit alors être estimée en tenant compte des différentes réactions, qui de plus peuvent être couplées [Schutter, 1992, Waller, 1993)
Q la composition du béton, le e/c notamment. Dans le cas des bétons à faible e/c, l'hydratation peut être incomplète, ce qui réduira la quantité de chaleur dégagée. Il convient de noter ici l'ambiguïté de la nonne NFP-15 318 (ancien agrément COPLA pour les ciments utilisables dans les ouvrages précontraints). Celle-ci limite la chaleur dé~agée à 12h par le ciment, mais évidemment on peut avoir un béton fortement dosé (450 kg/m ) d'un ciment agréé qui dégagera plus de chaleur qu'un béton dosé à 350 kg/m3 d'un ciment non agréé.
Q le pourcentage d'armatures. pour des pièces très ferraillées la quantité de chaleur dégagée peut être réduite de manière significative.
La cinétique de réaction est quant à elle fonction:
Q de la composition du clinker: tous les composants ne réagissent pas à la même vitesse. On notera cependant que C3S et C3A qui réagissent le plus rapidement sont également les hydrates dont la réaction dégage le plus de chaleur [Copeland et al, 1960).
Q de la surface spécifique du ciment. Plus cette surface est importante plus le ciment sera réactif. \
10
Q des ajouts. Les réactions pouzzolaniques sont plus lentes que l'hydratation du ciment. On a donc une modification de la cinétique de dégagement de chaleur. La fumée de silice seule a tendance à accélérer la cinétique (effet de site) [Buil, 1984). ' '
Q des adjuvants. Sans parler des accélérateurs et retardateurs de prise, les fluidifiants, par exemple, ont un effet d'écran vis à vis de l'hydratation du ciment (figure 1) [Buil, 1984].
<JO I dl (cal/ 9) I h 7
6
3
2
0 10
• . , ' '
20 30
__ sp te~o%
.... ..... .. sp /C•0,8 % ------· sp t e~ 1,6% ___ sp t c.2.• % ....... . . sp / e • 3.2%
50 60 T~(ll)
figure 1: évolution du flux de chaleur dans un essai isotherme à 20°C en fonction du dosage en fluidifiant [Buil et al, 1984]
Q de l'avancement de la réaction r(t) et de la température absolue T(t). Cette dépendance s'exprime au moyen de la loi d'Arrhénius qui traduit le caractère thermo-activé de la réaction [Regourd, 1980, Byfors, 1980, Uchida, 1987]:
Ea r(t) = f(r(t)) exp( - R T(t) )
où Ea est l'énergie d'activation de la réaction et R la constante des gaz parfaits.
On suppose ensuite que nous avons une relation de proportionnalité entre la chaleur dégagée et l'avancement de la réaction (degré d'hydration) :
Q(t) = f(t). Q( OO)
La loi d'Arrhénius est fondamentale dans notre modélisation. Elle a deux conséquences. La première est que le paramètre Q ne peut pas être éliminé entre l'équation de la chaleur et la loi d'Arrhénius. En d'autres termes, l'état thermique du béton ne peut être décrit uniquement à l'aide de la température. On a besoin de connaître la quantité de chaleur dégagée Q(t) ou le degré
li
d'hydratation r(t)1 . La loi d'Arrhénius est une véritable loi d'évolution de ce paramètre. Le degré d'hydratation est calculé, au même titre que la température, par TEXO.
La seconde conséquence est qu'il suffit d'effectuer un essai calorimétrique, qui nous donnera f(Q), pour prédire le taux de chaleur générée sous différentes conditions.
Il existe plusieurs méthodes expérimentales calorimétriques (comparées notamment dans [Wainwright et al, 1992) et [Livesey et al, 1991)) pour la détermination de l'évolution du dégagement de chaleur pendant l'hydratation. Les plus courantes sont :
• la mesure des chaleurs de solution d'échantillons de ciment hydraté et anhydre respectivement dans de l'acide : la chaleur d'hydratation est déduite par soustraction de celle de l'échantillon anhydre. Cette méthode _est délicate et peu fiable.
• la mesure du flux de chaleur sur un échantillon de pâte s'hydratant à température constante (calorimétrie isotherme) ; la chaleur totale dégagée est calculée par intégration temporelle de ce flux. Cet essai est parfois coûteux et le flux de chaleur est souvent trop faible (surtout à 20°C) pour la précision des équipements de mesure.
• la calorimétrie adiabatique ; elle repose sur le fait que, en conditions parfaitement adiabatiques (tout échange de chaleur est empêché vers le milieu extérieur, dont la température est maintenue, par asservissement, égale à la température au coeur de l'éprouvette), la quantité de chaleur dégagée est déductible de l'élévation de température par simple multiplication par la capacité thermique du béton (en supposant celle-ci constante). Le LCPC dispose d'un calorimètre adiabatique pour béton mis au point au Cerilh [Alegre, 1961). La quantité de béton mise enjeu dans cet essai est d'environ 2 litres.
• les essais semi-adiabatiques; L'essai adiabatique étant impossible à mettre en oeuvre sur chantier, on a développé des essais semi-adiabatiques (principe de la norme NF P 15-436 et de l'essai Quasi-AdiaBatique, dit QAB, élaboré au LCPC). On suit au long de l'hydratation la température d'une éprouvette de béton, de diamètre 16 cm et de hauteur 32 cm, placée, dès sa fabrication, dans une boîte calorifugée, dont on connaît les déperditions thermiques; il est dès lors possible de revenir à une courbe adiabatique théorique en corrigeant la courbe des températures mesurées des pertes du calorimètre et en traduisant la thermo-activation à l'aide de la loi d'Arrhénius (figure 2) [Acker, 1988). La comparaison d'essais au calorimètre adiabatique et QAB montre cependant que, même après correction, il existe une différence entre les résultats obtenus à partir des 2 appareils. Cela peut provenir de la réaction elle-même: les températures atteintes ne sont pas les mêmes dans les 2 appareils et il est possible que la quantité Q(oo) dépende de la température. De manière plus probable, c'est plutôt la manière de corriger les résultats (qui suppose un régime permanent de pertes) qui est à incriminer [Sedran, 1993). Selon l'épaisseur des pièces à étudier, on pourra donc utiliser ou pas l'essai QAB: pour les pièces très massives on lui préférera l'essai adiabatique.
1on parle ici d'un degré d'hydratation alors qu'il y a en fait plusie urs réactions; 1 'expérience montre toutefois que cette simplification n'est pas outrancière. On discutera plus loin de la relation entre ce degré d'hydratation et certaines caractéristiques mécaniques comme l a résistance du béton.
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Température (°C) 60 ,.----------------------.....
c --==-=~--------8 ____ _ -----
40 ---------- ................ _
-----------~--------20 D
••• ••••••••• • •••••••'•••••oo••uo•• " ' •••••''••••• •• •••• •••••••••''' ••••000000••-••••• •••••• • ••oo•o••• •••• ooo••'
0 ~------_.._ _________________ _.._~----------------'
0 48 120
Age (heures)
A) mesures brutes. B) courbe corrigée des pertes, C) courbe adiabatique (déduite de B en tenant compte de la therrno-activation par la loi d'Arrhénius), D) température extérieure
figure 2: exemple de résultats d'un essai semi-adiabatique (QAB)
La loi d'Arrhénius est également à la base du concept de temps équivalent. Le temps équivalent te est celui qu'il aurait fallu à la réaction d'hydratation pour atteindre, à 20°C. son état actuel (mesuré par exemple par le degré d'hydratation r = Q(t)/Q(co)):
i t - Ea Ea k = ex + d~
o p(RT(~) R(273+20))
Suivant ce concept, on peut, à partir d'une courbe maîtresse (résistance-temps équivalent) prévoir les résistances au jeune âge du béton [Byfors, 1980, Carine, 1983, Torrenti, 1992, Daloia, 1993]. C'est ce principe qui est utilisé sur chantier dans les maturomètres ou par le programme de prévision des résistances BISTRE [Lemasson, Monachon, 1993].
Dans la loi d'Arrhénius le paramètre fondamental est l'énergie d'activation. Ea dépend d'abord du ciment [Bresson, 1982], sans doute aussi de l'adjuvantation, de la température (si elle est inférieure à 20°C, [van Breugel, 1991 ], de l'avancement de la réaction d'hydratation [van Breugel, 1991, Daloia, 1993].
Dans un premier stade de modélisation nous nous contentons de ne considérer que sa dépendance par rapport au ciment utilisé. Sa valeur est alors soit donnée par le cimentier, soit mesurée au travers de la résistance à 2 jours sur mortier normalisé grâce à un abaque [Bresson, 1982), soit
13
déduite d'une comparaison des évolutions des résistances pour des éprouvettes de béton conservées à 2 températures de cures différentes [Daloia, 1993]. Cette dernière méthode a aussi l'avantage de fournir la courbe maîtresse résistance-temps équivalent (mais est assez lourde au plan expérimental).
Données exogènes
Les caractéristiques du traitement thermique éventuel s'offrent comme conditions aux limites du problème ; elles sont de deux types:
ou Q=-À(Ts-T exV
où T s est la température de surface et Text celle de l'étuve ou du milieu ambiant.
Le coefficient À modélise globalement le processus d'échange avec le milieu extérieur, en caractérisant la plus ou moins grande isolation du béton en fonction du type de coffrage choisi (bois, métal, bâche isolante, surface libre) et des données climatiques (surface ventilée ou abritée). TEXO utilise des valeurs constantes (bien qu'en toute rigueur, ces coefficients d'échange varient dans le temps lors du traitement) que Lapema s'est attaché à déterminer expérimentalement en régime établi [Lapema, 1982).
Pour des structures très élancées (comme les dalles de ponts par exemple), une estimation correcte de la valeur des coefficients d'échange est primordiale et un calage de ces paramètres par rapport au chantier souvent nécessaire2 •
1.3 La modélisation des effets mécaniques - le module MEXO
Le module MEXO est en cours de développement au sein de CESAR-LCPC. Il permet à partir de la connaissance des champs de température et du degré d'hydratation le calcul des contraintes existant dans le béton jeune.
Ces contraintes sont de 2 types. On peut avoir des contraintes liées à un gradient de température, qui se traduiront éventuellement par une fissuration de peau qui aura tendance à se refermer lors du refroidissement. Mais on peut également rencontrer, si les conditions aux limites le permettent, un retrait gêné (par exemple dans le cas de levées successives, le retrait du béton le plus jeune est gêné par la levée précédente qui a déjà fait une grande partie de son retrait) qui se traduira, si l'intensité des contraintes est suffisante, par une fissuration traversante, qui ne se refermera pas lors du refroidissement.
2 il peut exister un écart très important entre la valeur théorique d'un coefficient d'échange et sa valeur réelle, notamment à cause de la mi se en oeuvre sur chantier : du polystirene maintenu par des poutres métalliques t ous les 20cm ne pourra pas être aussi isolant que prévu .. .
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Nous allons maintenant voir au travers de la loi de comportement utilisé nos hypothèses et la manière dont les calculs s'enchaînent.
Loi de comportement
De manière classique, on décompose la déformation incrémentale ~ij en 4 termes:
ê ij
où Eifl est la déformation élastique (éventuellement endommageable) Eij th est la déformation thermique Ei{ est la déformation de retrait Ei}l est la déformation de fluage.
Passons en revue la manière dont sont traités chacun des termes par différents auteurs et dans MEXO.
~ la déformation élastique
La déformation élastique s'exprime à l'aide de la relation:
c .. el _ c. IJ -
1 +V V CTij - - CTkkÔij
E E où O'ij est le tenseur de contrainte, Ûij le tenseur de Kronecker, v le coefficient de Poisson et E le module d'élasticité.
Bien sur, dans notre problème, on doit tenir compte de l'évolution des caractéristiques élastiques:
- on peut faire varier le coefficient de Poisson, mais très peu de données sont disponibles [Byfors, 1980] et dans MEXO nous l'avons choisi constant.
- il est impératif de suivre l'évolution du module d'élasticité E avec le degré d'hydratation (élasticité viellissante)3 et l'on peut également le faire varier avec l'endommagement du matériau [Bournazel, 1992].
C'est cette variation du module qui explique l'existence de contraintes de traction irréversibles lorsqu'une pièce en béton dont le retrait est gêné va être refroidie (si le module était constant les contraintes seraient réversibles} .
15
TEXO nous donne accès au degré d'hydratation r = Q(t)/Q(oo). Or, il existe une relation quasilinéaire entre ce degré d'hydratation et la résistance à la compression du béton Rc(t) (Byfors, 1980, Torrenti, 1992]. La figure suivante illustre cette relation.
15 Re en Mpa
13
11
9 •
7
5
3 degré d'hydratation r
----· ~~~~-1-~~~~-t-~~~-t~ ~----1
-1 0 0, 1 0,2 0 ,3 0,4 0 ,5 0,6
figure 3: relation résistance-degré d'hydratation pour le béton du Pont sur la Loire à Nevers.
On notera que la courbe (Re, r) ne passe pas par l'origine. Ceci est dû à un dégagement initial de chaleur avant que le béton ne présente une résistance (notion de seuil de percolation [Acker, 1988]). Dans MEXO nous avons retenu la relation suivante:
si r < 0.15 sir > 0.15
alors Rc(t) = Rc(oo). r / 10 Rc(t) = Rc(oo) . (0.985. r - 0.135) / 0.85
La figure 4 donne l'allure de cette relation, qui est assez semblable a la courbe expérimentale de la figure 3.
16
• 0,9 Re / Re fin a 1 • 0,8
• 0,7
0,6 • 0 ,5 • 1
0.4 1
• 0,3 • 0,2
1 • o.~ l degré d'hydratation r
• • •
0 0,2 0.4 0,6 0,8
figure 4: relation résistance degré d'hydratation utilisée dans MEXO.
On relie ensuite le module à la résistance grâce à la relation donnée par Byfors [Byfors, 1980):
_ Re ( t )2.675 E(t) - E(oo). 9.93e3. 2204 (1 + 1.37 Rc(t) · )
où E(oo) est le module final. Rc(t) étant une fonction der, on traduit ainsi l'évolution du module d'élasticité avec l'hydratation. On trouvera d'autres lois d'évolution dans la littérature [Rostasy, 1993].
~ la déformation thermique
Elle s'exprime par:
E ij th = a .1 T 8 ij
où a est le coefficient de dilatation thermique. Ce coefficient dépend de nombreux facteurs dont le volume de pâte, la nature des granulats mais aussi l'avancement de la réaction. Des résultats récents [Laplante, 1993) montrent cependant que ce coefficient se stabilise très vite à sa valeur finale (figure 5). Nous avons donc choisi de le prendre constant.
17
û !.. .§ E 3-.. " ~ E ... ~ c .= ;; .. ;; ...: .. 0 u
22 21 20
19 18 17 16 15 14 13 12 11 10
6
1 Béton ordinaire 1
8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
Age équivalent à 20°C (heures)
figure 5: évolution du coefficient de dilatation thennique au jeune age [Laplante, Boulay, 1993]
~ la défonnation de retrait
La défonnation liée au retrait4 peut s'exprimer de différentes façons (voir par exemple [Bournazel, 1992]). Dans MEXO, nous avons choisi de l'exprimer comme une fonction linéaire du degré d'hydratation:
f; i/ ~ r 8 ij où p représente Je retrait endogène final.
Cette hypothèse découle des travaux de Buil [Buil, 1979] et des résultats expérimentaux récents de Parott [Parott, 1990]. On peut en effet constater (figure 6) la quasi-linéarité de la relation degré d'hydratation-retrait endogène.
4 nous ne considérons ici que le retrait endogène (ou d • autodessiccation) . Nous ne prenons pas en compte le retrait de dessiccation. La c inétique du séchage est en effet telle que , sur la période qui nous intéresse, l e retrait de dessiccation ne se traduira que par un effet de peau (qui de plus, selon le fascicule 65, devrait être trait é par la cure du béton ... ) .
18
figure 6: évolution du retrait endogène en fonction du degré d'hydratation mesuré par QXRD (quantitative Xray diffraction analysis) [Parott, 1990)
140 " ~30 ;. 20 ~-=+-ff--+--+I
o~-~~-~-~-~
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
DEGREE~ HYOflATION BY OXRO
remarque: lors de mesures récentes du retrait endogène sur béton [Boulay, Patiès, 1993) nous nous sommes aperçus qu'il pouvait exister une première phase dans laquelle il y avait un gonflement, interprété par Vernet comme une poussée exercée par la croissance cristalline d'hydrates massifs comme la portlandite [Vernet, 1992]. De même, on peut penser que le phénomène de retrait d'auto-dessicccation ne se fait sentir que lorsque l'hygrométrie interne descend en dessous de 100% d'humidité relative [Wittmann, 1993). Enfin, la mesure du retrait endogène demande énormément de précautions dans l'expérimentation et dans l'interprétation des résultats [Boulay, Patiès, 1993 ]. Il est donc clair que notre modélisation est simpliste. Cependant l'intensité du retrait endogène (de 20 à 80 10-6 à 7 jours à 20°C) est telle que ce phénomène est bien moins important que la déformation d'origine thermique (80 10-6 correspondent à une élévation de température de 8°C).
~ la déformation de fluage [Guenot et al, 1994)
Elle n'est pour l'instant pas prise en compte dans MEXO. Nous allons montrer que cela entraîne des différences quantitativement importantes avec la réalité.
remarque: lorsque l'on est en présence de gradients, la non prise en compte du fluage conduit à une surestimation des contraintes. Pour les problèmes de retrait gêné, cela est moins évident car les contraintes, lors du refroidissement des pièces, changent de signe, passant de la compression à la traction. Dans cette phase, les contraintes de traction du calcul élastique peuvent alors être plus faibles que dans la réalité. La figure 7, qui reprend le principe des essais au banc de fissuration [Springenschmidt, 1988), illustre notre propos.
19
T
t
figure 7: évolution des contraintes au jeune age dans le cas d'un retrait totalement gêné, avec et sans fluage.
Pour discuter de la modélisation du fluage il convient de faire un rappel sur les notions utilisées et les méthodes de calcul.
notions fondamentales
Lorsqu'une charge est appliquée sur le matériau visco-élastique qu'est le béton, la déformation causée par cette charge peut être divisée en deux parties, à savoir :
• une déformation instantanée ou élastique qui survient immédiatement ; • une déformation différée (retrait déduit), appelée fluage, qui commence aussi
immédiatement mais qui se poursuit dans le temps à un taux décroissant tant et aussi longtemps que la charge est appliquée.
On distingue deux sortes de fluage : •le fluage de dessiccation •le fluage propre obtenu en l'absence d'échange hygrométrique avec le milieu ambiant ;
c'est le seul qui nous préoccupe dans notre étude du béton au jeune âge (la cinétique de la dessiccation étant très lente, celle-ci est négligée) des structures massives (au coeur desquelles le séchage ne s'effectue pas).
Le fluage propre dépend de nombreux facteurs qui concernent d'une part le matériau luimême (type et diamètre maximal des granulats, type du liant, quantité de pâte de ciment...), d'autre part et surtout le comportement structurel du béton. Il varie en effet notanunent en fonction:
* du point de la structure où on le calcule (la maturité du béton, et de là ses caractéristiques physiques et mécaniques, sont différentes en tout point de la structure);
20
* de la contrainte appliquée * de l'âge et de la durée de chargement.
méthodes de calcul du.fluage
A partir d'~ne loi de fluage (réponse du béton sous une sollicitation unité à différents âges), il existe plusieurs approches pour calculer la déformation de fluage sous une histoire de sollicitation quelconque. Nous allons en évoquer deux, qui sont le principe de superposition et la méthode du temps équivalent (pour d'autres se référer à [Emborg, 1993)).
le principe de superposition (ou modèle visco-élastique linéaire VEL de Boltzmann)
Il s'énonce comme suit : la réponse globale en déformation visco-élastique d'un béton soumis à une histoire de chargement quelconque s'obtient par l'addition algébrique des réponses en déformations visco-élastiques de chacun des chargements ou déchargements élémentaires. Il est illustré par la figure 8:
cr2-al ___ _
O' 1 al ~-----+ <t>
'fi <2 ,, ;2 'fi 'f2
Fig. 8 : Illustration du principe de superposition
La loi de comportement est donnée sous la forme du noyau d'une fonctionnelle linéaire appelée "noyau de fluage" qui est une simple fonction <p(t-tO) dans le cas non vieillissant ou une fonction de deux variables <p(t,tO) dans le cas vieillissant, où tO représente l'instant de chargement et t l'instant actuel.
Ce principe présente l'avantage de la simplicité mais bien sur aussi quelques limites:
® il implique une symétrie des cas de chargement et de déchargement qui n'est pas représentative de la réalité du matériau. En pratique, la contrainte résiduelle après déchargement est toujours plus élevée que celle prédite par le principe de superposition.
® il ne permet pas de prendre en compte un paramètre d'influence non uniforme comme l'hygrométrie, la température et/ou le degré d'hydratation, ce qui est une limitation forte à la résolution des grands problèmes industriels que sont le traitement de la fissuration thermique et celui des problèmes mécaniques dus au séchage naturel (le temps de chargement ne peut pas permettre de modéliser à lui tout seul la multiplicité des valeurs de température et d'hygrométrie).
® du point de vue numérique, il implique de conserver les valeurs des incréments de contrainte à chaque pas de temps, ce qui occasionne des problèmes en termes de taille des mémoires et de convergence de calculs.
21
la méthode du temps équivalent (modèle incrémental [Acker, Lau, Collet, 1989])
Cette méthode repose sur le calcul d'un temps équivalent, qui est la durée a qu'aurait mis l'élément de volume considéré dans les conditions actuelles et sous une contrainte égale à la contrainte actuelle pour atteindre la déformation de fluage &fluage actuelle. Elle est illustrée par la figure 9:
cr2
<D cri cri
+ <D
Tl t2 Tl< t <Û T2--o. T2< t
Fig. 9 : Illustration de la méthode du temps équivalent
Dans Je cadre de ce modèle, Je taux de fluage est défini comme suit :
ë fluage = f (cr' s fluage ' T, r, ro)
où cr est la contrainte actuelle ; T la température, r la maturité, ro la teneur en eau au point considéré ; &fluage la déformation de fluage déjà effectuée
Les deux méthodes coïncident sur le domaine des contraintes constantes et appliquées en un seul palier. En revanche, l'un des avantages du modèle incrémental sur Je VEL est qu'il peut tenir compte des paramètres non uniformes qui influent sur le comportement du béton.
® Dans sa première version, la méthode du temps équivalent posait des problèmes en cas de déchargement total, voire seulement important : dans ce cas, l'équation fournissant le temps équivalent n'a pas de solution physique acceptable (sa résolution donnerait un temps équivalent "négatif'). Afin de contourner le problème, on considérait dès lors un taux de déformation de fluage nul. Si le problème était contourné, il n'était pas résolu pour autant puisque cette hypothèse ne permettait pas de retranscrire les cas de recouvrance (retour de fluage). Aucune amélioration n'était apportée par rapport au principe de superposition quant à l'approche de la réalité du matériau par la modélisation.
© Ce problème a été résolu par R. Eymard [Acker, Eymard, 1992], qui a étudié l'évolution des courbes &fluagefcr en fonction de l'âge du matériau. Observons la figure 10: le domaine A est limité par le noyau de fluage limite correspondant à un temps équivalent nul. Lorsque la contrainte cr augmente, &fluage/cr diminue et l'on passe sur une courbe inférieure (accélération du phénomène). En revanche, lorsque cr diminue, &fluage/cr augmente (décélération du phénomène) et l'on se retrouve dans le domaine B. L'amélioration du modèle incrémental tient alors à l'alimentation de ce domaine par des résultats expérimentaux de retour de fluage.
22
8 ??
8
E /cr
Maturité
Fig. 10 : Courbes intégrales du modèle incrémental
Nous allons maintenant comparer différentes lois de fluage aux essais de fluage au jeune âge réalisés au LCPC par P. Laplante [Laplante, 1993]. Ces lois seront testées de manière uniaxiale afin de ne pas compliquer l'interprétation des résultats.
lois de fluage
Il existe dans la littérature un grand nombre de lois de fluage pour le béton au jeune âge (voir par exemple [Emborg, 1984, Bogert, 1987, Ballardini, 1988]). Dans la comparaison que nous allons effectuer nous utiliserons les noyaux de fluage du modèle du CEB qui est repris par les Eurocodes [CEB, 1993] et des modèles récents développés par Laplante (Laplante, 1993], Bournazel [Bournazel, 1992] et Le Roy [Le Roy, 1993]. Ces modèles sont présentés plus en détail dans [Guenot, 1993]. Le BPEL qui ne prévoit pas de fluage sans séchage n'est pas utilisable dans notre problème.
Les différents noyaux de fluage testés sont représentés graphiquement pour le béton ordinaire en annexe 4. On peut y voir que le fluage propre spécifique est d'autant plus élevé que le chargement est précoce (ce qui est en accord avec ce que l'on trouve dans la littérature).
les essais de Laplante [Laplante, 1993]
L'essai de validation a consisté en la confection de poteaux de diamètre 30cm et de hauteur I 20cm, respectivement en béton ordinaire (BO) et en béton très haute performance (BTHP), instrumentés de thermocouples et de jauges de déformation noyés dans le béton ; ces poteaux ont subi au jeune âge une histoire de chargement et de température un peu complexe : ils ont été sollicités en compression uniaxiale à l'aide d'une presse hydraulique complètement asservie, de capacité en compression de 5000 kN ; les historiques respectifs sont présentés à la figure 11. Au démoulage, les éprouvettes ont été revêtues de feuilles d'aluminium adhésives, afin d'empêcher tout échange hygrométrique avec le milieu ambiant.
23
u 0
c ~
i ~ o. E ~
Béton ordinaire
IO 9 8 7
~i------!.--.1. 6 5 4 3 2
5 + 1 1 0 _. -'-~-~~-+--+--+--+-'-+--'-: 0 00000000000
N V \0 OO 0 N V \0 OO 0 - --- - N Age réel du béton (en heures)
Béton THP
40
~ 35 c 30 ~ 25
-:-1 ~ :~ + Q t 14 ~-~
- "t-----l-..:r 12 g : ï j ~ o. E ~
20 10 3 i>
15 ru 8 -;...-10 6 ~ ~
[
~ 4 ë) 5 ~. 2 -=-~ o .~ .. , , ....___i_...__.l. o 00000000000
N V \000 0 N V \0 000 -- - - -N Age réel du béton
Fig. 11 : Historique de température et de contrainte appliquée
Analyse et discussion des résultats obtenus
Simulations TEXO
Nous ne revenons pas ici en détail sur ces simulations, réalisées par Laplante. Rapportons toutefois la comparaison entre expérience et simulation de la température au point situé sur l'axe central du poteau, 10 cm au-dessus du centre : c'est à partir des données de la jauge située en ce point (nous le noterons par la suite 0 ) à coeur du poteau que nous avons effectué nos calculs.
~
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~ . -o. E ;:
Jl ),( JJ 32 )l )0 29 21 27 26 lS l4 Il 22 21 20 19 li
I » T cmptnwro 80 •u COCU< 1
Mod&TE.XO
0 ' 12 u 24 30 " •2 0 l• 60 66 72
A'c r.fd d• Wtoa ca bcurt:S
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21
26
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22
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·.
11 -r.,-.,.-...,.....-,~ ....... T""..,.........,.....,.. ........ ~..........i 0 6 12 u 2• 30 36 •2 0 , . 60 66, 72
Ace rffl du bitoo ca bcurti
Fig. 12: Comparaison simulations TEXO / mesures de température réalisées au point 0
24
Simulations MEXO
Les simulations MEXO que nous avons effectuées5 nous ont permis de nous assurer du fait que l'hypothèse d'uniaxialité avec laquelle nous avons choisi de travailler est convenable vis-à-vis du comportement du béton des poteaux ; l'analyse des contraintes principales au point 0 montre en effet qu'elles se situent dans la direction longitudinale, les contraintes engendrées dans la direction transversale étant négligeables. Les résultats de ces simulations MEXO seront repris sous le dénomination "sans fluage" dans les études comparatives des déformations totales prenant en compte les différents modèles de fluage.
Simulations uniaxiales: evolution comparée des déformations totales selon les modèles de fluage
Les évolutions comparées des déformations totales (dans le cas du BO et du BTHP), calculées à partir des différents modèles de fluage et selon les différentes méthodes évoquées plus haut sont présentées aux figures 13 à 16.
Une première observation entre les résultats expérimentaux et la courbe "sans fluage" donne déjà une idée de l'imprécision des simulations MEXO : l'écart entre les deux passe en valeur absolue d'environ 50 10-6 à la fin du premier palier de chargement à plus de 150 10-6 avant le palier de retour à une contrainte nulle (différences similaires constatées dans le cas du BO et du BTHP). Donc, même au tout jeune âge, les simulations MEXO sont quantitativement assez mauvaises.
De façon générale, on constate que les difféts modèles donnent des estimations correctes des déformations totales. La comparaison entre les méthodes de superposition et du temps équivalent appliquées aux modèles Laplante et CEB montre que la MTE ne donne en tout cas pas de plus mauvais résultats que le principe de superposition (figures 17 et 18).
Notons que le modèle du CEB (qui pourtant considère une cinétique constante du phénomène de fluage et n'était pas particulièrement destiné à traiter le béton au très jeune âge) donne de très bons résultats pour les deux bétons et les deux méthodes de calcul utilisées.
Conclusions
Le comportement mécanique du béton au jeune âge dépend de phénomènes physiques que l'on peut modéliser assez simplement par:
- l'équation de la chaleur avec terme source - la loi d'Arrhénius - une loi de comportement viellissante
s Les hypothèses de calcul ont été les suivantes : Efina1=35000 MPa (BO) et 45000 MPa (BTHP) ; v=O. 2 ; 13=30 .10-6 ; et=12 .10-6 (valeurs tirées des résul tats expérimenta ux
prés entés dans la thèse de Laplante) .
25
C'est dans cette dernière que nous avons identifié le phénomène supplémentaire à introduire dans le module MEXO et qui permettra un gain quantitatif important, le fluage au jeune âge. Nous avons montré que des lois simples pouvaient rendre assez bien compte du phénomène. On pourra ensuite envisager une prise en compte explicite de la fissuration, puis une modélisation plus fine de l'évolution des paramètres avec l'hydratation, les gains étant ici plus réduits.
26
Evolution comparée des déformations totales (BO ; Ef=35000 MPa) Principe de superposition
g -100 li e .E -200 -G>
~ 0 ~ -300
-400
-500
-600
0 CO 8 ~ .-ia@IJI-·
Age réel du béton (en heures)
-- Sans fluage
--o- Avec fluage Laplante
- •- Avec fluage CEB
~ AvectluageLEROY
-....--- Données expérimentales
~ Avec fluage Bournazel
Figure 13: Evolution comparée des déformations totales - BO - Principe de superposition
27
Evolution comparée des déformations totales (BO ; Ef=35000 MPa) Méthode du temps équivalent
-500
Age équivalent du béton (en heures)
--- Sons fluage
--<r- Avec fluage Laplante lnc
-- Avec fluage CEB lnc
~ Données expérimentales
Figure 14: évolution comparée des déformations totales - BO - méthode du temps équivalent
28
Evolution comparée des déformations totales (BTHP ; Et = 45000 MPa) Principe de superposition
200 T ~ 100 ~ ~
0 jJ_ . 1
0 ~ 0 8 0 0 ~ 0
1 a:> N '<; a:>
-100 _L
c 1
0 1
'6 1
E -200 1
T .!?. •G> 1
"8 -300 1 -r
0 1
~ -400
-500
-700
Age réel du béton (en heures)
--Données expérimentales
----o- Sans fluage
-•- Avec fluage Laplante
--o--- Avec fluage CEB
-- Avec fluage LEROY
Figure 15: évolution comparée des déformations totales - BTHP - principe de superposition
29
Evolution comparée des déformations totales (BTHP - Ef=45000 MPa) Méthode du temps équivalent
200
100
-100 c:: .2 '5 e -200
~ ~ -300 .2 :::E
-400
-500
-700
Age équivalent du béton (en heures)
--Données expérimentales
--o-- Sons fluage
- -- Avec fluage Laplante lnc
~ Avec fluage CES lnc
~ 'l'""iil"l"!illlllllll l
•
Figure 16: évolution comparée des déformations totales - BTIIP - méthode du temps équivalent
30
Evolution comparée des déformations totales (80 ; Ef=35000 MPa)
200
100
0
8 -100
l ,g -200 .. l J.! ~ -300
-500
-600
~
Age réel du béton (en heures)
___. Avec fluage Loplante
--o-- Avec fluage CEB
Données expérimentales
~ Avec fluage Loplonte lnc
--- Avec fluage CEB lnc
Figure 17: comparaison des méthodes (VEL et MTE) à l'aide des modèles CEB et Laplante - BO.
31
-700
Figure 18:
Evolution comparée des déformations totales (BTHP - Ef=45000 MPa)
Age équivalent du béton (en heures)
--Données expérimentales
--o- Avec fluage Laplante
--+---- Avec fluage CEB
~ Avec fluage Lapiante inc
-- Avec fluage CEB inc
•• -
comparaison des méthodes (VEL et MTE) à l'aide des modèles CEB et Laplante - BTHP.
32
1.:/ Applications [Torrenti et al, 1994]
Est-ce parce que l~s problèm~s ?e ~roductivité ont été rendus plus aigus par la crise économique ou. parce que la p~1se en cons1derat10n des problèmes d'environnement conduit à des projets plus pomtus, ou plus simplement parce que nos outils sont arrivés à maturation, toujours est-il que la demande en calculs pour des problèmes de comportement au jeune âge s'est accrue ces dernières années. Le tableau 5 récapitule les travaux récents que nous avons effectués au LCPC sur ce sujet:
Problèmes de productivité demandeur viaduc du Piou choix du ciment maîtrise d'oeuvre
HPouHPR voussoirs du pont de Normandie évaluation des gradients entreprise Carnpenon Bernard
thermiques pont sur le Lignon choix du ciment Laboratoire Régional des P&C
HPouHPR pont sur la Loire à Nevers prévision des résistances, maîtrise d'oeuvre et SETRA
contraintes finales revêtements de tunnels analyse de la fissuration Cetu
Pièces massives enceintes de centrale nucléaire choix d'une formule de EDF-SEPTEN
(Civaux) béton pylônes du pont de !'Elorn optimisation du cycle de maîtrise d'oeuvre
coffrage semelles du pont de Normandie déformations des pieux entreprise Carnpenon Bernard
sous semelle piles du oont de Rena Bianca analvse de la fissuration maîtrise d'oeuvre
Nous allons voir pour 3 exemples les possibilités offertes par TEXO et MEXO.
D le pont de Normandie [Torrenti et al, 1993, Guenot et al, 1993]
Dans le cadre de ce projet nous nous sommes intéressés, avec l'entreprise Carnpenon-Bernard SGE, aux semelles sous pylônes et aux voussoirs de la partie poussée de l'ouvrage.
Situons en quelques mots le projet. Le pont de Normandie, dans l'estuaire de la Seine, est sur plusieurs points une innovation technologique majeure [Deroubaix et al, 1993]. Grâce à sa travée centrale de 800m de long, il constituera le record mondial des ponts à haubans. Les pylônes supportant les haubans, d'une hauteur supérieure à 200m, reposent sur des semelles massives: parallélépipède de dimensions 3m50 de haut par 21 m60 de long et l 6m60 de large (figure 19).
Plusieurs questions se posaient à propos du coulage de cette semelle: quels seraient les gradients de température entre la peau et le coeur, quels seraient les déplacements imposés par la semelle aux pieux de fondations? Pour répondre à ces questions le laboratoire de l'Est Parisien Le Bourget a effectué une campagne de mesures de températures [V anhoove, 1991] dont il ressortait les points suivants: élévation de température importante (près de 50°C à coeur), refroidissement lent
33
(plusieurs semaines), rôle d'accumulateur joué par le sol situé sous la semelle (ce rôle ne pouvant être modélisé par une simple condition d'échange).
figure 19: vue schématique de la semelle sous pylône.
Nous avons ensuite réalisé une simulation numérique à l'aide du logiciel TEXO afin de comparer la simulation à l'expérience. Le calcul était tridimensionnel (figure 20) avec prise en compte du phasage de bétonnage et du sol. Dans cette simulation nous avons utilisé, vu la taille de la pièce, le résultat de l'essai adiabatique comme donnée. Les coefficients d'échange étaient ceux classiquement pris pour les coffrages et celui donné par l'entreprise pour la bâche posée en partie supérieure jusqu'au décoffrage (il n'y a donc pas eu de calage). Les résultats comparés sont donnés à la figure 21. On y note la bonne corrélation entre l'expérience et la simulation; particulièrement, pour les sondes près du sol.
figure 20: le maillage de la semelle.
34
70.00
60.00
50.00
40.00
30.00
20.00
Temperature (°C)
0 50
à coeur
près de la surface
points noirs = expérience
points blancs = simulation
100 150
Temps (heures)
200
figure 21: comparaison expérience - simulation.
250
Nous avons enchaîné au calcul thermique un calcul mécanique. Il nous a donné les résultats suivants: les contraintes générées dans la semelle sont liées à des problèmes de gradients de température. Les contraintes les plus élevées se trouvent donc en surface, sur les faces latérales. Au début du refroidissement ces contraintes dépassent largement la résistance en traction du béton (figures 22 et 23): on peut donc prévoir une fissuration qui sera plus intense sur la plus grande face. Ces contraintes diminuent ensuite lorsque la semelle revient vers un équilibre en température. On peut donc prévoir une tendance à la refermeture des fissures. C'est exactement ce qui a été constaté sur l'ouvrage.
Le calcul MEXO nous donne également les déplacements des têtes de pieux (les pieux n'ont pas été modélisés dans le calcul car nous avons supposé que leur rigidité transversale était négligeable devant celle de la semelle; de plus, cela revient à majorer les déplacements, ce qui va dans le sens de la sécurité). L'amplitude des déplacements obtenus par le calcul reste faible (inférieure à 0.2mm) et donc les efforts imposés par le retrait de la semelle aux pieux sont faibles et ne mettent pas en péril l'ouvrage.
Le pont comprend aussi 2 viaducs d'accès en béton précontraint réalisés par poussage. Les voussoirs de ces viaducs présentent des variations d'épaisseur importantes, dues à une poutre de rive massive (figure 24), qui pouvaient laisser craindre des problèmes de gradients thermiques.
Le calcul thermique a été effectué en 2 dimensions (2D) puis en 3 dimensions (3D) et comparé à des mesures sur chantier [Guenot, Torrenti, 1993]. Du point de vue thermique, le calcul 3D
35
n'apporte pas beaucoup d'enseignements supplémentaires, sauf aux reprises entre 2 voussoirs successifs (figure 25). Par contre d'un point de vue mécanique, il est indispensable de faire un calcul 3D. En effet, un calcul 2D avec hypothèse de sections planes n'est pas du tout réaliste car les voussoirs sont relativement courts par rapport à leur largeur. Le calcul fait alors apparaître une flexion de la poutre de rive qui est plus chaude que Je reste du voussoir. Cette flexion engendre des contraintes de traction pouvant atteindre 5MPa et donc pouvant conduire à de la fissuration (figure 26). Une visite sur le chantier nous a effectivement montré qu'une telle fissuration pouvait exister (pas sur tous les voussoirs, sans doute à cause du rôle des conditions extérieures) mais qu'elle était très limitée et se refermait. Le calcul nous indiquait d'ailleurs (figure 27) que la zone où l'on dépassait la résistance en traction (interprétée comme une zone fissurée) était peu profonde et que donc la fissuration serait répartie et peu ouverte car l'espacement des fissures principales est du même ordre de grandeur que leur profondeur (ceci sans tenir compte des armatures qui répartissent également la fissuration).
L'étude des semelles et des voussoirs du pont de Normandie nous a finalement permis:
q de valider le module TEXO par des comparaisons entre le chantier et le calcul, sans calage des paramètres
q d'expliquer la fissuration constatée sur l'ouvrage et de prévoir son évolution
q de garantir l'intégrité de la structure par la connaissance des contraintes et déformations dues aux effets thermiques.
36
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figure 22: évolution des contraintes de traction en peau (petite face latérale)
37
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• 1.1
• '1
figure 23: évolution des contraintes de traction en peau (grande face latérale)
38
figure 24: maillage 2D
19 • . 43. • 24. • 48. • 28. • 53. • 33. • 57.
• 38. • 62. • 43. • 67.
figure 25: exemple d'isovaleurs de température
39
Contrainte en MPa. 5 ftj 4 • 3 • 2 • cryy
0
10 30 50 70 90 110
Age réel du béton (en heures)
figure 26: comparaison entre évolution de la résistance en traction et contrainte de traction
maximale de peau sur la poutre de rive.
-- -- ----- --
--------- ----------- -------- --- ------- ------- --
---------- -----.... __ _
-----------
--- --------
figure 27 : estimation de la zone fissurée (en fait microfissurée vue sa profondeur).
40
0 ks ponts mixtes [Kretz. 1993)
Les ponts mixtes sont des ponts composés en général de 2 poutres métalliques sur lesquelles est connectée une dalle en béton. Les statistiques récentes montrent que ces ponts occupent actuellement une part importante du marché des ouvrages d'art (ils sont moins chers que des ponts en béton précontraint pour des portées de 40 à 80m dès lors que la charpente métallique peut être lancée de manière économique [Virlogeux, 1992]).
Récemment il a été constaté sur plusieurs OU\'rages une fissuration de la dalle. même en zone de moment positif ou pourtant le béton est théoriquement comprimé en service [Kretz. 1993. 13erthellcmy et al. 1993. Flourens et al. 1993). Les principales causes de la fissuration sont les actions mécaniques extérieures. pendant la construction et en service. mais aussi le retrait du béton au jeune âge (retrait gêné par la charpente). On a constaté de plus que la fissuration était tra\'ersante (ce qui cohérent avec le fait que le retrait est gêné). La fissuration en moment positif n'est évidemment pas prévue par le règlement et de manière générale pose les problèmes suivants:
- la protection des armatures n'est plus assurée (compte tenu des ouvertures constatées) - la durabilité du béton, puis de la chape d'étanchéité, au droit d'une fissure est affectée - le fonctionnement mécanique en dalle est perturbé [Kretz, 1993).
La maîtrise de la fissuration n'est cependant pas un problème nouveau dans l'association du métal et du béton. Aussi. à condition de connaître les contraintes dans l'ouvrage, il est possible de prévoir un ferraillage passif de la dalle suffisant pour maîtriser la fissuration. C'est ici qu'intervient une modélisation du type TEXO/MEXO. Nous allons en présenter une application au cas du pont mixte sur la Loire à Nevers.
Ce nouveau pont sur la Loire est un pont mixte avec une charpente constituée d'un caisson à âmes inclinées (figure 28). Il fai t partie de la déviation de la RN7 à Nevers.
Figure 28: vue du maillage de l'ouvrage.
41
Il doit être réalisé dans un délai très court car il permettra le passage des matériaux de remblais nécessaires à la déviation. Ceci implique pour l'entreprise de bétonner 2 plots de 20m par semaine. Pour cela elle doit décoffrer l 5h après le coulage du béton. De plus, une grue de 70T circulant sur la charpente métallique pour la mise en oeuvre du ferraillage et du béton et induisant des efforts dans la dalle, le béton devait avoir une période donnante de 5h au moins (durée du bétonnage) et une résistance de 15 MPa au décoffrage. Dans un souci de limitation de la fissuration, le LCPC et le SETRA ont conseillé l'emploi d'un ciment moins nerveux que le ciment HPR prévu à l'origine. Les Ciments Français ont alors repris la formule du béton (l'ensemble de cette réflexion est détaillé dans [Poineau et al, 1993]).
A partir des données fournies par les Ciments Français (courbe adiabatique, évolution des résistances en fonction du temps équivalent) nous avons pu faire l'étude des effets thermiques, dans un objectif de prévision des résistances et des contraintes.
Le premier travail a consisté à caler les valeurs des coefficients d'échanges sur les premières mesures in-situ (le calcul pour une dalle peu épaisse, 27 cm en moyenne, est en effet très dépendant de ces valeurs) et varient selon les conditions de mise en oeuvre. La figure 29 montre que l'on arrive alors à simuler correctement l'amplitude des températures mais avec un écart sur la cinétique. Cette différence ne peut s'expliquer que par un temps de latence du béton plus court sur chantier qu'en laboratoire. Les calculs présentés par la suite tiennent compte de cet écart.
38 f Température (°C) 36
34 T 32 T
~~ f 26
24
22 t 20 - - ---'!"-
0 5
calcul
10 15 20 25 temps (h)
figure 29: comparaison mesure in situ - simulations (Text=l3°C; Tini=22°C)
30
A l'aide du degré d'avancement de la réaction d'hydratation, nous pouvons estimer la résistance du béton. La relation degré d'avancement r fonction de la résistance est déduite de la courbe résistance fonction du temps équivalent. C'est celle qui était présentée à la figure 3.
Avec cette courbe nous pouvons estimer la résistance du béton au moment du décoffrage. Grâce à TEXO, on peut voir (figure 30) l'évolution du degré d'avancement de la réaction d'hydratation jusqu'au moment du décoffrage, pour des conditions de températures extérieure et initiale du béton correspondant à la réalité.
42
Degre d hydratation EN FONCTION DU TE:J.'!PS -A-
--•--······ v ······
Noeud 8 Noe•.1d 410 Nceuè 742
.. ·· ·· ·~·<~~
.J
.2
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V // . / : ' . /
:' I .: I
:' I .: I
.: I .: I
.: I .: I
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8 . 9. 10.
..... V
.. ...- ,r .· / . /
.... · // /
/ /
11. 12 . Temps
!J.
Figure 30: évolution du degré d'hydratation (Text=J3°C; Tini=22°C) on notera qu'il passe de 20 à 80% entre 8h et l 6h.
43
14 . lS. 15 . 6
En faisant varier les conditions de températures extérieures et initiale du béton, en considérant un chauffage à l'intérieur du caisson et sous bâche en face supérieure de la dalle, nous pouvons maintenant prévoir les effets sur le béton et espérer optimiser les cycles de fabrication. Il ne faut cependant pas oublier dans cette optimisation la prise en compte des contraintes thermiques.
Nous avons effectué le calcul des contraintes d'origine thermique dans le pont de Loire avec les hypothèses suivantes:
- dimensions des parties métalliques moyennes - calcul en hypothèse de section plane (cf figure 31) - connection acier-béton dès le début du calcul (une connection qui se ferai t sur un béton
chaud conduirait à des contraintes finales plus fortes)
Déformation longitudinale imposée par un champ
de température: Ez =a [T(x,y)-To]
Champ linéaire équivalent (résultante normale +grndient efficace) El = A.x + B.y + C
Les constantes A, B et C s'obtiennent en écrivant
figure 31 : hypothèse de sections planes (Acker, 1988].
Champ résiduel correspondant aux auto-contraintes
La figure 32 présente l'évolution des contraintes dans le sens perpendiculaire à la section. Lorsque le béton est refroidi toute la dalle est pratiquement en traction. Ces tractions sont de l'ordre de 1 MPa (et allant jusqu'à 1.5 MPa). Comparés à la résistance en traction du béton ces valeurs ne sont pas négligeables et de plus se superposent à des contraintes d'origine mécanique.
Nous avons ensuite utiliser les simulations pour optimiser le cycle de fabrication, en visant une résistance au jeune âge, tout en tenant compte des contraintes thermiques générées.
Le tableau suivant récapitule pour diverses conditions de température les résultats obtenus. Il doit servir de guide à l'entreprise afin de prévoir un chauffage éventuel du béton ou du coffrage.
44
Temp. initiale Temp. ext. et conditions analyse des résultats du béton (°C) ini. de l'acier suoolémentaires.
22 13 (0 C) oas de chauffaue résistance atteinte sans ob; 15 10 pas de chauffage l 5h semble un délai troo court 15 10 chauffage du caisson seul résistance juste atteinte;
pdt 6h; avec Tsup=35°C les contraintes finales ont Tinf=20°C tendance à augmenter
10 5 pas de chauffage le décoffrage à l 5h est exclu 10 5 chauffage du caisson seul résistance toujours insuffisante
pdt 6h; avec Tsup=35°C à 15h Tinf=20°C
15 5 idem ci dessus résistance toujours insuffisante chauffage du à 15h
béton 15 5 idem ci dessus + la résistance est pratiquement
chauffage du chauffage partie sup. à atteinte; les contraintes béton 20°c odt 6h dépassent 2 MPa
10 5 chauffage caisson + sup résistance insuffisante dans pendant 15h certaines parties
Temp. initiale Temp. ext. et conditions analyse des résultats du béton (0 C) ini. de l'acier supplémentaires.
chauffage du caisson la résistance a 15h est presque 15 0°C avec Tsup=30°C suffisante; les contraintes
(chauffage du Tinf= l5°C + dépassent 3 MPa. béton) chauffage partie sup. à
J5°C odt 15h 17 0 chauffage du caisson la résistance a l 5h est presque
avec Tsup=30°C suffisante; les contraintes sont Tinf= l 5°C pdt 6h + un peu plus faibles (2.5 MPa) chauffage partie sup. à I5°C odt 15h
tableau 3: récapitulatif des résultats des calculs effectués pour le pont sur la Loire à Nevers.
Au vu de ce tableau nous avons donné les conseils suivants à l'entreprise:
• si la température extérieure moyenne est égale à 5°C, pour pouvoir atteindre la résistance souhaitée au décoffrage il convient d'avoir au moins 16 à 17°C de température initiale du béton et de le chauffer pendant sa période dormante (6h environ) dans le caisson et en partie supérieure.
• les contraintes finales seront plus fortes lorsque la température extérieure va baisser; en effet, un chauffage du béton (initial ou par chauffage sous bâche) conduit à augmenter la différence de température entre la partie métallique et le béton.
45
• si la température extérieure moyenne est égale à 0°C, il convient:
1) de chauffer Je béton 2) de chauffer le caisson pendant la période dormante (6h) (au-delà cela ne sert à rien et conduit à des contraintes plus fortes) 3) de chauffer la partie supérieure de la <lai.le jusqu'au décoffrage.
Toutes ces prévisions doivent bien sur être confrontées à l'expérience et être ajustées selon les résultats. Elles indiquent cependant clairement les directions à suivre.
. "
Contra. i nt.e s i qrri.a :: EN FONCTION OU TEMPS
_,._ ······ '7 ······
- -- · -·--o-
Noeud 868 Noeud 656 Noeud 428 Noe "d 269 Noeud 1 4 0 Noeud 28
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>O. 100. l !O . 200. 250 . JOO. lSO. o. te~u ~OO .
Figure 32: évolution des contraintes longitudinales (Text=l3°C; Tini=22°C)
46
0 les revêtements de tunnels en béton coffré non armé ( thèse de S. Aggoun. [Aggoun. 1992))
L'util_isation de revêtements en béton coffré non armé apparaît actuellement comme la meilleure solution aux plans technique et économique dans les tunnels percés dans le rocher. Le revêtement en béton n'y joue pas de rôle de soutènement. Il ne nécessite donc pas la présence d'armatures. Il J~Ue p~ ~ontre un rôle d'étanch~ité_ (protection vis à vis de venues d'eau) et un rôle pendant 1 explo1tat1on (une bonne explo1tat1on d'un tunnel routier exige de ces derniers un aspect agréable).
Néanmoins ce type de structure présente très rapidement une fissuration systématique (figure 33): - transversale, qui démarre à la base des pieds droits, au milieu d'un plot de bétonnage - longitudinale, en clé de voûte
/---~~- ·
.\ . -·- ·- · - . ----
T .~.
figure 33 : relevé de fissuration du tunnel des Chavants (vue en plan)
En l'absence de tout chargement extérieur, cette fissuration ne peut s'expliquer que par l'existence de retraits gênés, le revêtement étant coulé sur un radier plus vieux. La principale composante de ce retrait est le retrait thermique. Aggoun a effectué des mesures pendant l'hydratation du béton, au tunnel des Chavants, ainsi que des simulations numériques. La figure 34 montre l'emplacement des sondes de température. La figure 35 présente une comparaison entre mesures et simulations pour 3 sondes. Compte tenu du choix d'une condition aux limites simplifiée (température extérieure constante), les résultats numériques sont en bon accord avec l'expérience.
Ces calculs ont montré notamment : - le rôle des hors profils (surépaisseur locale liée au mode de percement du tunnel); une
surépaisseur de 50cm se traduisant, pour les bétons testés, à une augmentation du pic de
température de 5°C. - le rôle du dosage en ciment; un calcul effectué avec pour support le cas réel du tunnel de
la Baume indiquait qu'un passage de 280kg de ciment/m3 à 350 kg/m3 conduisait à une augmentation de 6°C de la température maximale ... et sur le terrain à une fissuration marquée.
47
coffrage rocher
Figure 34: emplacement des sondes de température.
température (0 C) s = sonde
n ~noeud
~ =--~<:'-<:~--:-+~-----------------i
35 - '·•---+-- - ,,,.--'"v,--"'·· ... ""/. ',, 7~---------_. ·-....,,
....... _
temps (heures)
Figure 35 : comparaison entre expérience et simulation [Aggoun, 1992].
Aggoun a ensuite effectué un calcul mécanique en déformations planes (on suppose que le retrait est totalement gêné). La figure 36 donne l'évolution de la contrainte longitudinale (parallèle au sens du tunnel). On constate que ces contraintes dépassent rapidement la résistance en traction du béton. De plus, ce dépassement a lieu partout en même temps dans la section, ce qui se traduira par une fissuration traversante. Le fait que dans la réalité la fissure transversale s'arrête à mihauteur des anneaux indique que l'hypothèse de déformations planes est trop pénalisante (cette hypothèse est sévère, surtout pour la partie supérieure d' anneaux qui font 1 Om de long pour un rayon d'environ 5 m). On notera enfin que le retrait ne peut expliquer la fissuration longitudinale. Il faut donc chercher ailleurs les causes de cette fissuration (flexion de la voûte lors du bétonnage, décoffrage trop précoce, défaut de bétonnage?).
48
L'analyse des effets thermiques au moyen de TEXO et MEXO nous a donc pem1is de mettre en é,·idence les facteurs aggravants dans la fi ssuration des revêtements de tunnel en béton non armé. de montrer que la fissuration longitudinale avait une autre cause. que la fi ssuration transversale était tra\\::rsante. L'application de ces modules. al liée à une géométrie maîtrisée et à une formulation de béton adaptée. devrait permettre à terme de minimiser ce problème.
CONTRAINTES DE TRACTION élzz béto~ des Chavant s {petite section)
c Cl)
Cl) ., c .... <l 1-< ., c: 0 u .··· ........ ····
- 5 --··----- - ·- - ·-- - --· 1 -----·-·---·--·--·--.. 1
- lC +----....----..--~--,-----......,----;1 0 5 0 10 0 150 200 250 300 )50
temps en heures
- - n77(0cm ) -Rt - - n833 (32cm) -·-·-·-·· n2023 (5 4cm)
figure 36 : évolution de la contrainte longitudinale comparée à la résistance en traction du béton.
!. 5 Conclusions
Le problème du comportement des structures en béton au jeune age est un problème majeur actuellement en Génie Civil : on rappellera par exemple la nécessité pour gagner des marchés dans le sud-est asiatique (Hongkong notamment pour Bouygues) de maîtriser cette phase de la construction.
L'expérience acquise sur l'utilisation des outils développés au LCPC par une entreprise extérieure (Bouygues) permet de dégager les enseignements suivants [Torrenti et al, 1995) : il y a trois niveaux d'utilisation :
49
- l'expertise. Les exemples des tunnels ou du pont de Nonnandie montrent l'apport de la modélisation pour comprendre les phénomènes (à condition de bien connaître les conditions aux limites et que l'aspect fissuration au jeune âge soit bien le phénomène prépondérant).
- la prévision. La prévision des températures (avec le bémol déjà indiqué de la connaissance des conditions aux limites) est maintenant tout à fait opérationnelle et pennet une prévision quantitative. Après introduction du fluage, puis de la fissuration, le calcul des contraintes sera très prochainement à ce niveau. Il faut noter que pour ce dernier également la qualité des prévisions dépendra beaucoup de la maîtrise des conditions aux limites : il est apparu au récent congrès sur
- la comportement du béton au jeune âge [Springenschmidt, 1994) que les lois de comportement étaient maintenant suffisamment sophistiquées et qu'il fallait, pour gagner de la précision, s'intéresser au problème des conditions aux limites (décollement du béton au reprise de bétonnage par exemple).
- l'aide à la décision. En faisant varier les modes de réalisation (le béton, le coffrage, les températures initiale et extérieure ... ) nous pouvons maintenant effectuer des analyses comparatives. L'exemple du pont de Nevers est une première approche de cette démarche.
La modélisation du comportement du béton au jeune âge au moyen des modules TEXO et MEXO de CESAR-LCPC nous a donc pennis de traiter divers problèmes industriels en apportant des réponses aux questions posées qui étaient d'ordres divers (expertise, prévision, aide à la décision). Ces modules sont maintenant suffisamment mûrs pour être appliqués de manière plus systématique dès la conception des ouvrages afin de pouvoir jouer sur la fonnulation du béton ou de disposer des armatures la où cela est nécessaire pour répartir la fissuration et ainsi limiter ses effets ou pourquoi pas, dans un futur plus lointain, d'optimiser les fonnes des structures.
50
II Le problème de la localisation en compression simple (thèse de E.H. Benaïja, [Benaïja, 1992))
II. l Position du problème
Lorsque l'on réalise un essai de compression sur du béton, par un pilotage adéquat de l'essai, on ~ut ob~erver que la courbe effort-déplacement passe par un maximum puis est décroissante (on dtt aussi radoucissante) dans sa partie post-pic (figure 37).
c <1.1
.... 0 -w
0 0,2 0,1,. 0,6 O,S Dép lac ement moyen en mm
Figure 37: exemple de courbe effort-déplacement incluant la partie radoucissante, obtenue dans un essai de compression.
Ce comportement radoucissant est pris en compte de manière implicite par la réglementation. En effet, dans la loi de comportement du béton comprimé, dans une section fléchie, la fameuse parabole rectangle, la partie rectangle est là pour tenir compte, de manière simplifiée, de ce comportement radoucissant du béton [V irlogeux, 1986] (et aussi pour prendre en considération l'influence des armatures (frettage) sur le comportement du béton).
Prenons l'exemple d'une poutre sur deux appuis soumise à une flexion simple et de section:
51
d = 50 cm
At= 6.9 cm2
I , b = 21 cm 1 -J<;;----- -*-
Figure 38 : la section de calcul
Faisons un calcul réglementaire en supposant que les aciers sont plastifiés. A partir de la loi de comportement, en écrivant les équations d'équilibre, on peut déduire, en fonction de la déformation du béton comprimé en fibre supérieure, la position de l'axe neutre et le moment repris (le calcul complet se trouve en annexe 1). On constate (figure 39) que le moment augmente alors que le béton est sur son palier plastique. Cette augmentation reste cependant faible .
.135
134,5 ~---------E z 134
~
i 133,5 ë
~ 0 :E
133
132,5
132 2 2.2 2A 2.6 2.8 3 3.2 3A
Déformation de Io fibre sup. • 10-6
Figure 39 : évolution du moment repris par la section en fonction de la déformation du béton en fibre supérieure; on utilise ici la loi BPEL (parabole-rectangle).
Un calcul du même type peut être effectué avec une loi de comportement radoucjssante (ceci est d'ailleurs autorisé par le BPEL). L'annexe 2 présente un exemple de calcul utilisant la loi proposé par Desayi (1964). Les résultats sont très voisins avec toutefois une légère décroissance du moment après un certain niveau de déformation du béton (figure 40). La différence observée sur le moment maxi entre la loi parabole-rectangle et une loi plus sophistiquée reste minime. C'est cela qui justifie l'utilisation d'une loi simplifiée.
135
134.5
E 134 z
.:.t
i 133.5 ë
~ 133 0
:E
132.5
132 2 2.2 2A 2.6
-- loi radoucissante de Desayi
-o-- loi parabole rectangle
2.8 3 3.2
Déformation de la fibre sup. • 10-6
3.4
Figure 40 : évolution du moment repris par la section en fonction de la déformation du béton en fibre supérieure; comparaison entre la loi BPEL et la loi radoucissante de DESA YI.
Cependant, dans le cas des bétons à hautes ou très hautes performances (BHP et BTHP), expérimentalement, on constate que la partie post-pic a une pente, en valeur absolue, très élevée (figure 41) (de Larrard, 1992). Pour ce béton la courbe effort-déplacement est pratiquement celle d'un matériau élastique-fragile. Peut-on alors passer du comportement d'une l'éprouvette à celui d'une poutre fléchie? Doit-on supprimer la partie rectangle de la loi réglementaire pour ces bétons? L'utilisation d'une loi de comportement ayant une pente post-pic plus forte (en valeur absolue) conduit en fait à une décroissance du moment dès lors que le pic d'effort du béton est franchi. L'annexe 3 présente le calcul effectué avec une loi élastique-fragile. On constate (figure 42) que le moment maxi est très voisin de ceux obtenus précédemment (nous n'avons pas changé la résistance du béton car nous voulions comparer uniquement les effets de la loi de comportement) mais que par contre il chute plus rapidement avec Ebc. De plus, l'axe neutre redescend après que le moment maxi eut été atteint et la déformée des armatures reste très faible. Dans le cas d'un essai piloté en force la rupture serait donc frngik.
Or, l'expérience prouve que cela n'est pas le cas. Lorsque l'on pratique une flexion sur une poutre en béton THP armée de manière à atteindre la ruine par écrasement du béton (pivot B), on constate que les déformations du béton en fibre supérieure dépassent largement la déformation au pic de l'essai de compression et que la charge ultime est correctement prévue à l'aide d'une loi de type parabole rectangle [Marro, 1987]. De plus le comportement global de la poutre est ductile6 •
L'effet de confinement lié aux cadres d'effort tranchant joue certainement un rôle [Bazant et
6 Ceci a permis d'étendre le règlement BPEL au bétons hautes performances sans changer la loi de comportement du béton .
53
Burrow, 1980. de Larrard, 1992]. Mais il ne peut tout expliquer. Il faut donc que la rupture par compression telle qu'elle survient dans cet essai ne soit pas la même que celle survenant dans l'essai de compression simple. En fait, la fissuration ne s'organise pas du tout de la même manière dans les deux cas. La simulation numérique d'un tel essai doit donc être capable de rendre compte de ce phénomène, doit être capable de capturer la localisation des déformations.
1.S
Forc:e en MN
0 0.6 1.2 Otplacement enue ~aceaux en mm
Figure 41 : courbe complète effort-déplacement pour un béton hautes performances.
135
130
125 E
120 z ~
i 115
1 110
0 105 ~
100
95
90 2 22. 2A 2.6 2.8
--- loi parabole rectangle
-- loi de Desayi
-- loi élastique fragile
3 32. 3A
Déformation de la fibre sup. • 10-6
Figure 42 : évolution du moment repris par la section en fonction de la déformation du béton en fibre supérieure; comparaison entre la loi BPEL et une loi triangulaire (élastique-fragile).
54
Il existe un grand nombre de voies théoriques dans cc but: les approches non locales (Pijaudier et B~t, 1987], les approches faisant intervenir une viscosité du matériau (Sluys, 1991], des m1heux de Cosserat (de Borst, 1991], des gradients de déformation d'ordre élevé dans la loi de comportement [de Borst, 1992], ou enfin la perte d'ellipticité combinée à une loi élasto-plastique non associée [Bigoni, 1992]. Le travail réalisé au LCPC est expérimental et se situe en amont par rapport à la modélisation: il s'agissait d'étudier l'apparition de la localisation des déformations dans l'essai de compression simple afin de donner aux modélisateurs les éléments nécessaires à l'élaboration des modèles. Deux exemples pour illustrer notre propos:
a) les modèles non locaux font intervenir une longueur caractéristique le qui est liée à la largeur de la zone localisée; le dépend certainement de différents paramètres et notamment de la taille des granulats. Nous verrons plus loin que nos expériences permettent d'éclairer ce point.
b) la capture de la localisation au moyen des milieux de Cosserat n'est efficace que lorsque le matériau se fissure surtout en mode II [Sluys, 1992]. Grâce aux techniques mises en oeuvre dans nos expériences nous dirons ce qu'il en est dans le béton.
Enfin la position du problème ne serait pas complète si nous n'abordions pas les moyens disponibles pour le résoudre. Dans ces moyens le Greco Géomatériaux occupe une place prépondérante. En effet, comme cela va être développé, ce Greco a été le cadre de collaborations extrêmement fructueuse ayant permis des transferts de technologie (la stéréophotograrnmétrie utilisée auparavant pour les sables), des développements technologiques concertés (logiciel de traitement des fissures pour la stéréophotograrnmétrie, granularitron de !'ENS de Cachan), des études communes utilisant différentes techniques pour étudier la localisation.
II 2 Etude expérimentale
Notre étude expérimentale a consisté à soumettre des éprouvettes en mortier ou béton à une compression simple. L'étude des champs de déformations a été rendue possible grâce à une technique jusqu'alors utilisée par Desrues pour les sables [Desrues, 1983, 1984]: la stéréophotogrammétrie. Le principe de la méthode, sâ comparaison aux autres techniques utilisées dans le cadre du Greco Géomatériaux a déjà été plusieurs fois décrit (voir par exemple [Torrenti, Benaïja, 1990, 1992]). La figure 43 donne un exemple des résultats que permet d'obtenir cette méthode.
L'approche développée initialement par Desrues étant adaptée aux sables, ne prenait pas en compte de manière explicite la fissuration du matériau. Dans le cadre d'un contrat LCPC-IMG, Desrues a développé un traitement spécifique des fissures: les fissures sont alors traitées comme des discontinuités et la stéréophotograrnmétrie permet de mesurer l'ouverture de ces fissures puis d'en déduire la part de mode I et celle de mode II [Desrues, 1992]. La figure 44 donne un exemple de résultat obtenu.
55
- 0.1 mm
LCPC lc3 iso-dx (mm)
a)
0 -0.002
D 0.002
LCPC lc3
·o•a • •DD aga D D • o o Q QODO• •
00•0· · 0• • • • o a c • •
b)
D 0003
LCPC l c3 vsvO LCPC l c3 dist
d) - 0.255mm
a)
e)
b)
o .0.127mm c 0.127mm
Figure 44 : exemple de relevé de fissuration
a) vecteurs déplacements des lèvres de fissures b) carte des ouvertures en mode I c) carte des ouvertures en mode II
56
-0.225
-0.180
-0.090
-0.04 5 t:::;;===:::::;;;::i LCPC lc3 iso-dy (mm)
c)
c)
Figure 43 : résultats obtenus par stéréophotograrnmétrie
a) vecteurs déplacements b) isovaleurs du déplacement horizontal c) isovaleurs du déplacement vertical d) carte des variations de surface e) carte des distorsions
o -0.127mm c 0.127mm
L'influence des conditions aux limites
Dans les premiers essais que nous avions réalisés afin d'évaluer si la stéréophotogrammétrie était utilisable avec un matériau comme le béton [Torrenti et al, 1990), l'essai était piloté à l'aide de la moyenne de 3 capteurs de déplacements placés autour de l'éprouvette (figure 45). Le signal de chaque capteur étant enregistré nous avons pu constater que d'importantes rotations du plateau supérieur pouvait survenir (figure 46) et que ces rotations étaient voisines du pic d'effort au moment où il y avait localisation des déformations (apparition de zones dilatantes et à forte distorsion). La question qui se posait alors était la suivante: quelle est l'influence des conditions aux limites sur l'apparition de la local isation·J
LVDT n ° 1
LVDT n·0 _l
figure 45 : schéma de l'expérimentation
' .
spheri cal seating
top platen
LVDT n ° 2
Concrete
lower platen
LVDT n ° 3
Concrete
LVDT n ° 2
57
rotation
degrees
.s
0
-.s
-1 0
I
.s 1.5 2
Mean D isplacement mm
figure 46 : rotation du plateau supérieur; cette rotation est déduite de la mesure effectuée à l'aide des capteurs de déplacements.
Différents auteurs ont montré que les conditions aux limites influaient sur la partie radoucissante des courbes efforts-déformations [Kotsovos, 1983, Vonk et al, 1989), un des paramètres les plus influents semblant être Je frottement existant entre l'éprouvette et l'appui de chargement (frettage). Nous avons donc étudié l'influence du frettage et de la rotation (possible) d'un appui sur la localisation. Les essais ont été réalisés sur un mortier (diamètre du plus gros granulat= 1 mm).
Les résultats obtenus ont déjà été présentés par ailleurs [Torrenti et al, 1991, 1993). Nous nous contenterons ici d'en rappeler les conclusions:
- dans tous nos essais, quelles que furent les conditions aux limites, nous avons observé une localisation des déformations au pic d'effort. Les figures 47 à 50 montrent pour 4 essais avec des conditions aux limites différentes, les champs de déplacements et de déformation "autour" du pic d'effort (autour signifiant que l'on a effectué la stéréocomparaison de photos prises juste avant et après Je pic).
- le comportement de l'éprouvette après le pic est fortement dépendant des conditions aux limites
- après le pic nous n'observons plus directement la loi de comportement du matériau. Il n'est donc pas possible de déduire directement de l'essai la loi de comportement du béton. Pour identifier la loi de comportement il sera nécessaire de prendre en compte explicitement la localisation des déformations. Ceci a été fait par exemple par Baz.ant [1989) ou par Ortiz [1989).
58
0 0.004 0
- .004 0 0.003
a) déplacements b) carte des distorsions c) carte des variations de surface Figure 47: essai N3 ; pas d'antifrettage et rotation libre; stéréocomparaison de photos prises avant et après le pic d'effort.
' ' ' ••• ' 1
' ' ' .
0 0.003
0 - .004 0 0.003
a) déplacements b) carte des distorsions c) carte des variations de surface Figure 48 : essai B 1; pas d'antifrettage et rotation bloquée; stéréocomparaison de photos prises avant et après le pic d'effort.
' ' ' f I I
0 0 0. 003 -. 003
a 0.002
a) déplacements b) carte des distorsions c) carte des variations de surface Figure 49 : essai A3; antifrettage et rotation libre; stéréocomparaison de photos prises avant et après le pic d'effort.
59
... ___ ------------------------- -- -- -- ... --- ...... _ ................
0 0.004
0 - .004
0 0.004
a) déplacements b) carte des distorsions c) carte des variations de surface Figure 50 : essai AB 1; ami frettage et rotation bloquée; stéréocomparaison de photos prises avant et après le pic d'effort.
Ces résultats ont été confirmés grâce à une étude effectuée en commun au sein du Greco Géomatériaux avec Y Berthaud. En utilisant la technique de granularité laser nous avons également mis en évidence que la localisation survenait très tôt (sans doute même avant le pic d'effort) dans le béton comme dans des roches [Bascoul et al, l 993a, l 993b].
Evolution de la fissuration
Dans chacun des essais considérés plus hat:t, nous avons procédé aux dépouillements stéréoscopiques nécessaires pour Je suivi de la fissuration. Les résultats semblant se répéter, nous nous limiterons ici à la présentation des résultats des essais AB 1 (antifrettage et rotule bloquée) et B 1 (pas d'antifrettage et rotule bloquée).
Les traitements stéréophotogrammétrique;; permettent d'accéder aux déplacements relatifs des deux lèvres d'une fissure donnée. Nous pouvons ensuite déterminer leurs composantes normale et tangentielle. Ces composantes caractérisent l'ouverture (mode I) et Je glissement (mode Il) des lèvres de fissure.
Nous allons considérer différents couples de photographies ayant servies à la stéréocomparaison. Pour chaque couples seront représentés les vecteurs déplacements relatifs d'une lèvre par rapport à l'autre et leurs composantes normales et tangentielles. Les figures 51 à 53 donnent ces résultats pour l'essai AB 1 et les figures 54 à 56 pour l'essai B 1.
60
abl_3c5
~
0 . 097
.; .. ... C>
" ., c C> E C> u .. ... o. Cl ,,
ôl_3c5 -.048
D 0 . 048
c;. c .. ., ., c z C> u .. ... Q,
~
1
;J~ ~ ...4)
J~
abl 3c5 o-- .0 48
D
~ 0 . 048
\ \~ ~ g
0 c ., c
! u • ... o. ~
Figure 51 : ouverture des fissures
Essai ABI
couple 3c5
61
abl_4c6 -0.151
.; • .... Cl .. ., c: 1 .. 0 • .... Q, .. ,,
- . 075
D 0.075
~ • ., ., c: 1 • u • ... Q,
~
~et ~1~ -©
abl 4c6 o--.075
D 0. 075
\( ~ 0 c: ., c:
' 1 Cl u • .... Q, • ,,
Figure 52 : ouverture des fissures
Essai ABl
couple 4c6
62
-0 . 392
Ab1_6c8 depl•cement relatif
0 -.196
D 0 . 196
0 - . 196
D 0.196
J
Ab1_6c8 deplacement normal
63
Figure 53 : ouverture des fissures
Essai ABl
couple 6c8
~~\~ @+\ t.(Q
bl_Sc7 deplacement rela ~
0.083
o-
Sc7 deplace.ment tan9
-.041
D 0.041
deplacement norm o-5c7
-. 041
D
~i 0.041
,~
Figure 54 : ouverture des fissures
Essai Bl
couple 5c7
64
bl_6c8 o-6c8
~ -.062
0.124
D "' ~ ..... G) 0.062 ... ,.,
\ c: e C)
e C) 0 0 c:
"' ,., ..... o. c: C)
G)
~ "d e C)
\ 0 ., ..... o. C) "d
u6c8
-.062
0 0.062
Figure 55 : ouverture des fissures
Essai BI
couple 6c8
65
--------- --
bl_7c9 07c9
~
0.200 - . 100
~l\ D
l\ .,
..... Il)
0.100 ... ... c ©-\ ~ Il) () .,
5 ..... Q, Il) ©+\ ~ 0 "O c
... c l Cl () .,
..... Cl, Cl ,,
~
07c9
-.100
0
l\ 0.100
"' c ., .., .., c Figure 56: ouverture des fissures
~ 41 () Essai Bl ., ..... Cl, Cl
"O couple 7c9
"1 )
66
Analysons de plus près ces résultats. Pour cela nous allons séparer les fissures en fissures courtes (de longueur inférieure à 10 mm) qui nous donneront des informations relatives à la création des fissures et fissures longues qui permettront d'analyser la propagation. C'est la résolution de la s~éré~photogram~étrie qui ne permet p~s d'accéder aux microfissures (par contre elle permet d avoir une vue d ensemble de la fissuration sur toute la face d'une éprouvette; en ce sens elle se complète avec une méthode comme la granularité laser).
Dans le tableau suivant sont reportés pour l'essai AB 1 des renseignements relatifs aux fissures courtes de cet essai et le rapport moyen déplacement tangentiel sur déplacement normal.
couple n° de fissure lornrneur (mm) déol. tangentiel/dépl. normal 6c8 2 6,2 0,08 6c8 3 4,4 0,01 3c5 5 8,5 0,4 3c5 6 8,1 0,3 3c5 7 5,8 0,02 6c8 7 10,6 0,01
tableau 4: mode d'ouverture des fissures de longueur inférieure à 10 mm
Les fissures 5 et 6 de l'essai AB 1, couple 3c5 donnent des déplacements tangentiels plus importants que les autres. Sur la figure 52 nous pouvons constater que ces fissures sont branchées: il y donc interaction entre les deux. Si nous ne tenons pas compte de ce cas particulier on voit que le déplacement tangentiel est faible vis à vis de la composante normale. En restant très prudent, compte tenu de la résolution de notre méthode, et en extrapolant nos résultats aux microfissures, nous pouvons avancer que l'ouverture des fissures se fait surtout en mode /.
Qu'en est-il de la propagation? En première observation, il semble que les extrémités de la plupart des fissures présentent un déplacement tangentiel supérieur au déplacement normal. On peut donc penser que la propagation des fissures se fait essentiellement en mode II. Cependant, les déplacements au droit de ses extrémités sont très faibles et sont comparables aux incertitudes de mesure de la méthode. Il est donc imprudent de se baser uniquement sur de telles données pour déterminer le mode de propagation des fissures. Pour avoir une idée plus précise sur ce problème, considérons le tableau suivant qui donne pour chaque couple traité les rapports minimal (rmin), maximal (rmax) et moyen (rmoy) (pondéré par les longueurs des fissures) des déplacements tangentiel et normal ainsi que les longueurs des fissures correspondantes (Lrmin, Lrmax et Lrmoy)· Toutes les fissures dont la longueur ne dépasse pas IO mm ne sont pas prises en compte ici. Sur ce tableau, on constate que les valeurs des différents rapports calculés ont une valeur aléatoire qui n'est pas forcément inférieure à 1. Par conséquent la propagation des fissures se fait en mode mixte I el II avec, en général, un certain avantage pour le mode 1. L'emplacement géométrique et l'orientation d'une fissure donnée conditionnent totalement son mode d'ouverture. En effet une fissure orientée perpendiculairement ou parallèlement à l'axe de chargement se ferme ou s'ouvre exclusivement en mode 1. Par contre, si elle est inclinée par rapport à ce dernier axe, elle peut engendrer des déplacements tangentiels très importants. Comme les fissures doivent contourner les points les plus durs du matériau, elles ne peuvent, en aucun cas, suivre, dans leur propagation, des lignes droites. Cela explique la complexité des réseaux de fissures observés dans nos essais.
67
•
Essai couple Lrmin (mm) Lrmax (mm) Lrmoy (mm) rmin rmax rmoy 3c5 25.3 14 16 0.1 2.09 0.53
ABl 4c6 12.3 15.6 21.5 0.2 0.65 0.33 6c8 14.1 23.4 13.7 0. 17 7.8 1.92 5c7 17.2 15.5 13.6 0.03 1.53 0.82
BI 6c8 16.6 28.6 18.5 0.17 0.78 0.54 7c9 17.8 22 19.8 0.43 1.5 0.88
Tableau 5: mode d'ouverture des fissures de longueur supérieure à 10 mm.
A la fin des essais AB 1 et B 1, les éprouvettes testées étaient divisées en deux parties séparées par une macrofissure. En tenant compte de tous les schémas de fissuration correspondant à des stades de chargement antérieurs, nous pouvons affirmer que cette macrofissure est simplement le résultat de la rencontre de plusieurs fissures. La zone qui entoure la macrofissure est évidemment très endommagée car elle contient toutes les fissures. Elle ne peut être assimilée à une bande de cisaillement: les critères cinématiques d'écoulement ne sont pas vérifiés; en particulier, les déformations seraient homogènes à l'intérieur d'une bande de cisaillement.
Largeur de la zone endommagée influence de la taille des hétéro~énéités
Même si notre zone endommagée n'est pas identique à une bande de cisaillement il peut être utile de tenter de mesurer sa largeur. Notamment, cela sera intéressant pour des modèles d'endommagement non locaux qui utilisent une longueur caractéristique dont on peut penser qu'elle est physiquement liée à notre largeur de zone endommagée. Une question actuellement posée concernant cette longueur caractéristique est sa dépendance vis à vis de la taille des granulats du béton [Bazant et Pijaudier, 1989, Fokwa et Berthaud, 1993].
Toujours dans le cadre du Greco Géomatériaux7 , nous avons lancé, avec Y. Berthaud, une étude sur ce sujet. A partir de 3 bétons formulés au LCPC par Benaïja avec des granulats de diamètre maxi égaux à 1, 4 et 10 mm, nous avons effectué une série d'essais de compression pendant lesquels des photos étaient prises en vue d'un traitement stéréophotograrnmétrique. Une imprégnation par un colorant volatile nous permettait également de suivre directement la zone endommagée. Ces photos sont actuellement en dépouillement et je me contenterai ici d'en donner un exemple (figure 57).
7 on voit ici clairement l'apport du Greco Géomatériaux qui a permis a cette recherche de prendre une ampleur qu'elle n ' aurait pas eu si elle était resté confiné au sein du LCPC, d'être fertilisée par des échanges d'idées, de techniques, des recherches en commun ...
68
figure 57 : détermination de la zone endommagée par la technique d'imprégnation (granulats de lOmm).
Les figures 58, 59 et 60 présentent les premiers résultats obtenus grâce à la stéréophotogrammétrie (la encore l'analyse est en cours). On peut constater quali1a1ivemen1 que la zone endommagée est bien une fonction croissante du diamètre des hétérogénéités. Pour les petits granulats elle est manifestement supérieure au double de leur diamètre tandis qu'elle s'approche de cette valeur pour des granulats plus grands.
69
11.3 Conclusions
L'anlyse du comportement de structures en béton, même simples, fait apparître que l'on ne peut comprendre leur fonctionnement sans tenir compte du phénomène de localisation des déformations.
L'apport d'une technique expérimentale originale pour le béton, la stéréophotogrammétrie, nous a permis dans le cadre du Greco Géomatériaux, d'apporter aux modélisateurs des éléments sur:
- la localisation des déformations dans le cas de la compression simple, son apparition, son évolution ...
- l'influence des conditions aux limites sur le phénomène - l'évolution de la fissuration - le rôle des granulats
Ces résultats expérimentaux, qui sont renforcés par des études utilisant des techniques complémentaires réalisées dans le cadre du Greco Géomatériaux, ont apporté la preuve que cette localisation survenait toujours en compression et qu'il fallait donc considérer avec précaution la partie radoucissante des courbes effort-déplacement. Ils sont maintenant clairement accepté par la communauté scientifique, ce qui n'était pas forcément le cas il y a 5 ou 6 ans.
0 ABOVE Cl.Dt)
D o.oog - o.o-o D o.oœ - Q.009
li:! 0.007 - o.oœ • Q.006 - 0.007 il o.oos - o.oœ • 0.004 - o.oos • o.oo3 -<>.004 • OJl02 -o.oo3 • 0.()()1 - 0Jl02
- 0.000 - 0.001 • ee.ow o.ooo
Figure 58 : carte des variations de surface pour l'éprouvette Cl (section 1 OO* 150 mm2, taille des plus gros granulats 1 mm; la zône localisée est au moins égale à 10 fois ce diamètre).
70
DABOVE 0.00 D Wl09-o.oo D o.oœ-Wl09 c:::::i 0.007 -o.oœ • 0006 -O.OCl7 li!!!I D.005 -o.oœ • Q.004 -D.005 • Cl.003-Q.004 • Q.002 -Cl.003 • OJl01 -0.002
- 0.000 - 0Jl01 - BELOW 0.000
Figure 59: carte des variations de surface pour l'éprouvette C3 (section 100 * 150 mm2, taille des plus gros granulats l 0 mm; la zône localisée est environ égale à 5 fois ce diamètre).
D ABOVE O.Otl D Wl09 - o.oti D o.oœ-Wl09 l:J 0Jl07 -o.oœ • o.oœ -0Jl07 li!'il 0.005 -0006 • 0.004 -0.005
- Cl.003 -Q.004 • Q.002 -Cl.003 • OJl01 -Q.002
- 0.000 - OJl01 - BELOW 0.000
Figure 60: carte des variations de surface pour un béton (section 140 * 240 mm2, taille des plus gros granulats 20 mm; la zône localisée est égale à 2 à 3 fois ce diamètre).
71
III Comportement multiaxial du béton (thèse de B. Djebri, [Djebri, 1992))
Ill 1 Position du problème
Quelle que soit la structure en béton que l'on considère, le béton est pratiquement toujours sollicité de manière multiaxiale et au moins biaxiale. Cela est très clair dans le cas des enceintes de centrales nucléaires pour lesquelles la précontrainte est biaxiale (figure 61). Connaître Je comportement du béton sous ce type de sollicitation, savoir le modéliser est donc une nécessité.
figure 61 : exemple de structure précontrainte biaxialement: les enceintes internes de centrales nucléaires. La précontrainte verticale y est du même ordre de grandeur que l'horizontale.
Modéliser un comportement de matériau implique de savoir réaliser des essais sur ce matériau pour, au moins, trois raisons: la première est la nécessité de connaître et comprendre le comportement avant de le modéliser, la seconde est de déterminer les paramètres de calage du modèle, la troisième est de comparer le modèle avec des essais autres que ceux ayant permis le calage. La maîtrise expérimentale, la fiabilité des résultats obtenus sont donc des conditions sine qua non. Vient ensuite le temps de la modélisation.
lll2 Aspects expérimentaux
Influence du matériel d'essai [Torrenti, Djebri, Bascoul, Granju, 1991)
72
Tester du béton sous chargement biaxial nécessite un appareillage particulier. Le Greco Géomatériaux nous a permis de mettre en commun les deux presses existant en France: celle du Laboratoir
0
e Matériaux et Durabilité de~ Constructions (LMDC) (figure 62, [Bascoul, 1974)) et celle de 1 ENTPE (figure 63, [Torrent1, 1987]). Nous avons pu ainsi comparer les résultats obtenus su; chacun des appareillages (il ~st très important de connaître l'effet de chaque presse sur les resultats obtenus pour pouvoir ensuite comparer objectivement des modèles à l'expérience).
fig. 62 : l'appui à peignes de la presse du LMDC. Il permet de tester des plaques de 16* 16* 3 cm
fig. 63 : l'appui à brosses de la presse de l'ENTPE. il permet de tester des cubes de 10 cm d'arête.
Nos essais ont montré que les résultats expérimentaux sur chaque machine étaient très peu dispersés. Au contraire la comparaison des résultats entre presses a montré des différences significatives (figure 64).
Influence de l'histoire des sollicitations [Torrenti, Djebri, Bascoul, 1993]
Connaissant bien nos appareils d'essais nous avons ensuite pu étudier l'influence de l'histoire des sollicitations sur les déformations du béton. Cette étude est importante dans l'optique d'une modélisation car elle permet de déterminer le degré de sophistication nécessaire aux modèles.
Les résultats obtenus indiquent que cette influence est très limitée en biaxial (elle est moindre que les effets liés aux presses) quel que soit le chemin de sollicitation (figures 65 et 66). Des modèles simples (élasticité non linéaire par exemple) sont donc suffisants pour représenter le comportement du béton sous chargement biaxial monotone.
73
• Q. :::E c • 6 ~ ~ 8
essai radial
al= cr2
al
-3.00 -2.50 -2.00 -1.50 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00
t. 10-3
---ENTPE
--0-- ENTPE
--+-ENTPE
--<>-LMDC
LMDC
---LMDC
Figure 64 : comparaison des déformations mesurées au LMDC et à l'ENTPE. Le chemin de sollicitation est tel que le rapport des contraintes reste égal à 1.
70
60
50
40
30
20
10
0 -2 -1 0 1
déformations • 1 o-3
-a- séquentiel haut ~ sé uentiel bas
10
1 -a- séquentiel haut -?- s uentiel bas
oœ-~-e.e:;..--&-....e--A-~~~~~~~--1
Figure 65 : Comparaison séquentiel haut/bas. 0 10
74
20 30 40 contrainte 01 en MPa
50 60
.. Cl. ~ c .. 6 Ë ~ ë 8
70
60
50
«>
30
20
10
0 -2 -1 0 1
déformations • 10-3
Figure 66 : comparaison radial/séquentiel.
Le cas du béton de fibres [Djebri, Torrenti, 1992]
~ 30 !! c ~ ë 8 20
10
10
-a- sé~uentiel -v- radial
20 30 40 contrainte 0"1 en MPa
50 60
Le béton de fibres, ou plutôt les bétons de fibres ont été très peu étudiés sous sollicitations biaxiales. Nous avons profité de la double compétence formulation (LCPC, Rossi, 1991) expérimentation (ENTPE) pour tester deux bétons de fibres à l'aide de la presse biaxiale de l'ENTPE. Les résultats obtenus mettent en évidence les points suivants:
- l'ajout de fibres rend le matériau beaucoup plus ductile, l'effet étant très sensible en biaxial. La non linéarité des déformations est très marquée surtout dans la direction non chargée.
- le gain de résistance: le couplage entre fibres et chargement biaxial conduit à un gain substantiel de résistance. Ce gain est indiscutable en biaxial (figure 67).
- l'effet de l'anisotropie: la bonne connaissance de l'orientation des fibres par rapport au sens de coulage est nécessaire pour exploiter pleinement la capacité de résistance des bétons de fibres métalliques.
Il nous semble que ces résultats devraient ouvrir des perspectives d'emploi pour ces bétons, par exemple pour les structures à précontrainte biaxiale : on peut imaginer des structures concues de manière à pleinement tirer profit du matériau, par exemple en sollicitant biaxialement le béton dans le sens favorable vis à vis de son anisotropie.
75.
1.2 Ol/fc
•
0.8
--Béton de fibres
0.6 --o-- béton classique
Figure 67: Critère de rupture du béton de fibre en biaxial comparé à celui d'un béton classique. On note la nette différence des valeurs à la rupture lorsque crl = cr2.
1113 Aspects modélisation
La lecture des articles dans lesquels sont présentés les modèles doit souvent laisser rêveur l'ingénieur de bureau d'études. En effet, les modèles "collent" toujours parfaitement à l'expérience et l'on peut se demander s'il y a encore un besoin en matière de modélisation! En fait, ces modèles sont calés sur un jeu d'essais (très souvent les mêmes) et pour un type de sollicitations. Il est donc très difficile de connaître leurs domaines d'emploi, leurs possibilités, leurs limites.
Nous avons donc essayé, à partir d'un échantillon représentatif des concepts existants (élasticité non linéaire, élasticité incrémentale, plasticité, endommagement...) de tester des modèles existants par rapport aux essais de la littérature mais aussi par rapport aux essais réalisés dans le cadre du Greco Géomatériaux (ainsi, aux essais biaxiaux déjà cités, le Laboratoire de Mécanique
76
et Technologie de !'ENS de Cachan (LMT) a ajouté des essais de compression triaxiale selon des chemins de sollicitation sortant des sentiers battus [Ramtani, 1990)).
Les modèles ont été programmés à partir des données disponibles dans les articles les présentant: ceci a déjà permis d'en éliminer certains (dont il est étonnant qu'ils aient pu donner les résultats publiés!). Les principaux résultats de notre étude, trop volumineux pour être reproduits ici in extenso, [Torrenti, Djebri, 1990] montrent que:
- sous contrainte biaxiale, la plupart des modèles (même les plus simples comme les modèles élastiques non linéaires) donnent des résultats satisfaisants. Ceci n'est pas étonnant compte tenu de nos résultats expérimentaux (la faible influence du chemin de sollicitation sur les déformations);
- sous contrainte triaxiale, les simulations sont un peu moins bonnes. Cependant la dispersion des résultats expérimentaux est grande et la conclusion quant au choix des modèles reste difficile. La combinaison d'un modèle élastoplastique et d'un modèle d'endommagement peut-être une solution [Ramtani, Berthaud, Maz.ars, 1992].
11! 4 Conclusions
Les modèles de comportement du béton sous sollicitations multiaxiales sont qualifiés à partir d'essais réalisés sur certaines presses et considérés comme étant la référence. Notre étude, réalisée grace au Greco Géomatériaux, a fait apparaître que le facteur matériel d'essai est fondamental dans la réponse d'une éprouvette et que donc la qualification des modèles n'est que relative à un matériel donné. La comparaison de différents essais biaxiaux réalisés selon des chemins de contrainte assez différent n'a donné que des différences plus faibles que celles constatées entre machines.
A partir de cette connaissance que nous avons acquise du comportement expérimental du béton nous avons défini les besoins en terme de modélisation (choix dans les modèles existants, développement d'un modèle spécifique par le LMT). La confrontation des modèles à l'expérience nous a donné une bonne indication sur les capacités et les limites des divers modèles et des concepts sur lesquels ils sont fondés. Ceci permet, pour un problème donné, de choisir un modèle de comportement du béton en connaissant ses possibilités.
Enfin, l'étude d'un matériau au comportement multiaxial différent, le béton de fibres métalliques, a montré qu'il pouvait y avoir dans l'avenir une interaction entre le choix de la formulation et le type de sollicitation (et donc de structure).
77
IV Séchage et comportement différé du béton (thèse de L. Granger, [Granger, 1995])
JV.1 Position du problème
Dans les bétons courants, pour des raisons de mise en oeuvre facilitée, on met beaucoup plus d'eau que celle qui est strictement nécessaire à l'hydratation du ciment. Outre la porosité du béton qui se trouve ainsi accrue, ce qui contribue à diminuer la résistance, le départ de cette eau par séchage naturel va conduire à des déformations différées d'amplitude très importante. Dans sa thèse, L. Granger [Granger, 1995] a étudié les déformations différées d'enceintes de centrales nucléaires, structures pour lesquelles la prévision de ces déformations différées est particulièrement importante vis à vis de la sécurité. L'étude qui est présentée ici est, en quelque sorte, une retombée de son travail.
Nous distinguerons dans ce qui suit le cas où le béton est soumis à un chargement extérieur (fluage) de celui où il ne l'est pas (retrait). Lorsque le béton n'est pas soumis à un chargement extérieur, ce séchage entraîne un retrait dit de dessiccation. Expérimentalement, c'est la part supplémentaire de retrait par rapport à un béton n'ayant aucun échange hygrométrique (qui ne subit donc que le retrait endogène). Diverses explications physiques ont été avancées pour expliquer ce retrait: dépression capillaire, variation de tension superficielle, variation de pression de disjonction (eau adsorbée entre 2 faces solides) .. . [Baron, 1982, Bazant et Wittmann, 1982]. Pour simplifier, disons que l'évaporation de l'eau s'accompagne d'une augmentation des tensions internes et provoque ainsi un retrait8 .
La cinétique du phénomène de séchage est très lente et on peut considérer que pour une structure de dimension courante on est toujours en régime transitoire [Acker, 1988]. La figure 68 donne un exemple de suivi du séchage pour une éprouvette représentative d'un mur de 30 cm d'épaisseur. le suivi est réalisé à l'aide d'un garnmadensimètre mesurant une perte de densité [Attolou, 1985].
En laboratoire on mesure le retrait de dessiccation sur éprouvette conservée à température et hygrométrie constante. Dans les ouvrages réels, le béton est bien sûr soumis à des variations climatiques importantes. Or, ces variations climatiques peuvent avoir des conséquences majeures sur les ouvrages de génie civil, les ponts en particulier pour lesquels on mesure sur le terrain des redistributions d'effort, des variations de réactions d'appui et de flèche que l'on ne sait pas toujours imputer à une cause physico-chimique précise. Par ailleurs, au stade de la conception, il est de première importance que le projeteur puisse prendre en compte d'une façon réaliste les phénomènes différés dans les conditions réelles de fonctionnement des ouvrages.
8 un peu de physique amusante: pour sentir le retrait de dessiccation, l a prochaîne fois que vous vous savonnerez la figure, oubliez de vous rincer. Vous verrez alors que le retrait de dessiccation n'est pas seulement une vue de l'esprit ...
78
0
-0,5 t=---- 3 Jours .,. C: c: -1 C: --o--- 8 Jours i -1,5 ~ • 14 Jours
• ~ --o-- 28 Jours 'O -2 :::
~ ~- 62Jours ~ -2,5 -
_3
:_: --o-- 107 Jours c:
_3
•5 E - 224 Jours
E --o--- 350 Jours -4
0 20 40 60 80
Epaisseur en mm
100 120 140 160
figure 68: suivi par gammadensimétrie du séchage d'un mur de 30 cm d'épaisseur à différentes échéances (mesure sur éprouvette de 15 cm de haut ne séchant que par la face supérieure).
Les ·mesures de déformations différées en ambiance variable sont rares. Hansen [Hansen, 1960] a été l'un des premiers à se pencher sur la question. Par des essais de laboratoire réalisés sur des poutres (2 x 5 x 40 cml), il montre que le fluage sous hygrométrie cyclique, 50 % < h < 70 % est de l'ordre de 20 % supérieur à celui mesuré sous hygrométrie moyenne hmoy = 60 % d'humidité re lative (HR). En ce qui concerne le retrait, il constate une bonne adéquation entre le retrait sous hygrométrie variable et le retrait mesuré sous hygrométrie moyenne. Ces résultats ont été confirmés dernièrement par Müller (Müller et Pristl, 1993], comme l'indiquent leurs premiers résultats après 98 jours de séchage, sur des éprouvettes cyljndriques de diamètre 50 et 100 mm et pour des hygrométries variant périodiquement, sur un cycle de 14 jours, entre 40 et 90 % HR. Remarquons au passage que les essais présentés dans la littérature sont principalement des essais de laboratoire, sur des spécimens de tailles réduites et donc guère représentatifs des structures réelles du génie civil (poteaux de bâtiment, poutre de pont) et pour des fonctions d'humidité cycliques simples (du type fonction créneau), connues très précisément certes mais peut-être trop régulières et sur des fréquences trop faibles pour modéliser une humidité extérieure réelle.
/V2 L'expérimentation [Diruy, 1993)
Par chance, nous disposons au LCPC des résultats expérimentaux très complets obtenus par Diruy sur une poutre en béton de section 1 m par 30 cm et de longueur 3 m, placée en ambiance extérieure à l'abri de la pluie depuis septembre 1979 au laboratoire régional de Trappes. La poutre est suspendue par deux crochets et comporte dans sa section centrale 21 témoins sonores Télémac Cl IO et IO extensomètres de surface (figure 69). D'autre part, 31 sondes de températures au platine sont associées aux mesures de déformation. Cette instrumentation exceptionnelle permet
79
de séparer avec une grande précision les déformations d'origine thermique de celles dues au retrait de dessiccation du béton. Enfin, une station météorologique, située à 200 m du lieu d'expérimentation nous fournit avec précision les variations de température et d'hygrométrie extérieure.
Les principaux résultats obtenus par Diruy dans l'étude précédemment citée sont les suivants :
1. Dans la section de mesure, il y a conservation des sections planes (Hypothèse de Navier Bernoulli) que se soit sous l'influence des variations de température ou sous celle de la dessiccation.
2. La mesure du coefficient de dilatation thermique du béton, effectuée grâce à des mesures rapprochées (où l'on peut supposer que les variations d'hygrométrie à l'intérieur de la poutre sont négligeables), montre que la température n'a que très peu d'influence sur la valeur du coefficient de dilatation.
3. Ces mesures étant poursuivies à long terme, des vanatlons annuelles importantes du coefficient de dilatation thermique sont observées : de 11 ,2 10-61°c l'hiver lorsque l'hygrométrie est la plus élevée à 12,6 10-61°c l'été ou elle est la plus basse. Elles ne peuvent être expliquées que par une variation de la teneur en eau de la poutre, le coefficient de dilatation thermique dépendant fortement de l'humidité [Neville, 1981).
4. Il existe une relation linéaire entre les variations du coefficient de dilatation thermique et les variations de retrait. Ce qui vient conforter le résultat indiqué précédemment au point 3.
5. La déformation totale peut être considérée comme la somme de deux composantes : la première, d'évolution monotone, correspcmd à un retrait sous hygrométrie constante de l'ordre de 80 % HR, la seconde composante, alternative, n'est autre que la partie du retrait dont les variations cycliques sont essentiellement dues à celles de l'hygrométrie.
6. En raison de la lenteur des phénomènes de diffusion de l'humidité dans le béton, ce n'est pas l'hygrométrie journalière (extrêmement variable d'un jour sur l'autre) qui est responsable des oscillations observées sur le retrait. Par contre, les variations de la moyenne de l'hygrométrie ambiante au cours des trois mois précédant l'instant considéré sont pratiquement en phase (figure 70) avec les variations cycliques du retrait de dessiccation qui sont alors globalement proportionnelles aux variations de Hmoy(t) défini par :
1 Ii=90 . Hmoy(t)=- . h(t-1) 90 1=1
Bien entendu, compte tenu des effets d'échelle inhérents aux phénomènes de diffusion, cette relation n'est valable que pour la poutre considérée et pour la composition de béton étudiée.
80
tnsuumentabOn :
• 21 1emoens sonores T~érnae C 110
0 10 exien~tres de surf~• LCPC 31 sondes de température P1 1 OO (aS$0Clées 6 Chaque po4nt de mesure)
·~,..-----"-,· l~~I lm
1 1 1
,,> - ----~ ~L- ------
Jm Co1es en em
Poutre de retrait bétonnée en septembre 1979
Sect<>n A
6191 9( '
ri5h5r 1
• 1
30
Figure 69 : la poutre de retrait du LR TRappes [Diruy, 1993].
10
20
20
20
20
10
Une question importante qui ressort de cette expérimentation est la modélisation des oscillations cycliques du retrait de dessiccation en fonction des variations de la moyenne de l'hygrométrie extérieure. Nous allons montrer qu'un modèle classique de diffusion transitoire non linéaire développé au LCPC [Mensi, 1988] et calé sur le séchage du béton permet d'expliquer, avec un jeu de données réaliste, une grande partie des variations constatées [Granger et al , 1994]. le modèle nous permettra ensuite d'étendre les résultats expérimentaux obtenus pour une seule géométrie à n'importe quelle structure.
figure 70 : variations de l'hy2rométrie moyenne et de la composante cyclique du retrait, (moyenne glissante sur 90 jours) Diruy [1 993].
81
IV. 3 La modélisation
Nous avons choisi une approche découplée comme dans le cas des effets thermiques au jeune âge9•
Comme de nombreux auteurs [Wittmann, 1982, Verbeck, 1968], nous supposons que le retrait Er d'un élément de volume est proportionnel à sa perte en poids. Il y a plusieurs raisons à cela : les paramètres physiques que l'on peut facilement mesurer sont les variations de densité donc de teneur en eau (garnmadensimétrie) et la perte en poids (pesée). D'autre part, utiliser l'hygrométrie h nécessite, pour revenir à la teneur en eau C, de connaître l'isotherme de sorption désorption du béton considéré ce qui représente un travail considérable. Dans notre cas, le coefficient de proportionnalité, que l'on peut appeler coefficient de contraction hydrique par analogie avec le coefficient de dilatation thermique, sera noté k. Remarquons au passage que la perte en poids ne peut découler que de la baisse de teneur en eau C(x,t) (au point x et l'instant t). Il vient donc :
Er(x,t) = k (C(x,t)-C0 )
Le retrait total de la structure étudiée s'obtient en intégrant sur une section "S" de la structure la loi ci-dessus; les sections restant plaoes et les contraintes étant auto équilibrées sur une section, il vient:
E(x.,t) = <J(x.,t)/E + Er(x.,t)
Comme la section est auto-équilibrée on a: fJ .a.n dS = 0 d'où :
E(t) = k/S If (C(x.,t)-C0 ) dS
soit, en notant Af>(t) la perte en poids de la section considérée :
E(t) = k ôP(t) = K ôP(t)/P
Le retrait total est alors proportionnel à la perte en poids globale de la structure. Nous avons tenté de vérifier cette relation et de mesurer le facteur "K" sur des bétons d'une étude en cours. Les courbes que nous obtenons ont pratiquement toutes la même allure (figure 71): K(t) présente une valeur plus faible au début du séchage que nous attribuons à la fissuration de peau qui apparaît dans les premiers jours (diminution de la section effective à prendre en compte), puis se stabilise. Sur le long terme, la valeur de K a tendance à diminuer sensiblement; ceci pourrait être causée par une non refermeture de micro-fissures.
9 une approche plus ambitieuse, prenant en.compte les couplages dès l'écriture de la loi de comportement est également développée au LCPC par Lassabatère et Coussy.
82
450 ,, 400
~· ~-Ê 350
... ... l 300
. .. .. .. i 250
.. . ·· 0 . ï 200
. • ,,
150 "' .. i 100 oc
50
0
0,00 0.50 LOO 1.50 2.00 Perte en poids (%1
figure 71: retrait de dessiccation en fonction de la perte en poids [Granger, 1995)
La constante de temps des phénomènes de diffusion étant en t/D2 (D diamètre moyen de la pièce), le retrait de dessiccation présente un fort effet d'échelle. Enfin, le fort gradient de déformation imposé (proportionnel à la variation d'humidité) dans l'éprouvette entraîne une fissuration de peau très fine par déformation empêchée. Il en résulte des contraintes, auto équilibrées certes, mais non uniforme sur une section de l'éprouvette [Wittmann. 1982, Bazant, 1986). A ce titre, l'essai de retrait de dessiccation ressemble plus à un essai "de structure" qu'à un essai "matériau". Nous y reviendrons plus loin, lorsque nous aborderons le problème du fluage de dessiccation.
Pour la modèlisation du séchage, nous avons à résoudre un phénomène de diffusion non linéaire io (la constante de diffusion dépend fortement de la teneur en eau : D(C)) en régime transitoire puisque l'équilibre n'est pratiquement jamais atteint (il faudrait au minimum un siècle pour sécher entièrement une poutre de la taille de celle étudiée). Nous reprenons ici les fonctions de Mensi [Mensi, 1988]:
div (D(C) grad C) = dC/dt
D(C) = a exp(0,05 C) (m/s2)
"a" est une constante à déterminer et la teneur en eau C est exprimée ici en Vm3.
io même si l'on sait que cette approche n'est que purement phénoménologique, la réalité physique étant plus subtile, ainsi que cela a été montré par les travaux de Daian et Quenard notamment .
83
Les conditions aux limites sont des conditions de type flux avec un coefficient d'échange non linéaire :
J = h(C) (C-Ceq) (mis)
h(C) = 3,36 10-9 ((2C0-Ceq) - C)
avec Ce valeur de la teneur en eau à l'équilibre. Le calcul par éléments finis de notre poutre nous permet Jonc d'obtenir (en fonction des conditions aux limites choisies), la perte en poids globale de la section à chaque instant. Le retrait peut ensuite être calculé.
Application
Le béton testé contient 206 1 d'eau pour 400 kg de ciment. La quantité d'eau évaporable se calcule en écrivant que l'hydratation utilise une quantité d'eau égale à environ 19% du poids de ciment soit:
C0 = 206 - O, l 9x400 = 1301
Enfin, l'hygrométrie annuelle moyenne sur le lieu d'expérimentation varie, suivant les années, dans une fourchette de 75 à 85 %. Sa moyenne sur 10 ans est de l'ordre de 80 %. Ne disposant pas de l'isotherme de sorption désorption du béton, nous avons utilisé des résultats de Pihlajavaara [Pihlajavaara, 1982] (figure 72). Nous supposerons que l'isotherme de désorption de notre béton est voisine de ces résultats. Par ailleurs, pour des raisons de simplicité, nous ne différencierons pas la sorption de la désorption.
100
90 • / .. -70
"'
«> -
JO
10 JO "' eo 70 .. 90 100
Figure 72 : isotherme de désorption [Pihlajavaara, 1982].
84
L'eau évaporable correspondant à une hygrométrie de 80 % est de 85 1. Par la suite, nous avons deux inconnues à déterminer : la valeur du paramètre "a" et la valeur de "K". Ces deux valeurs ont été calées de manière à obtenir un retrait de 400.10-6 sous hygrométrie constante à 6 ans et à partir de l'allure de la courbe de retrait moyen observée entre 10 et 11 ans. Cette valeur de 400. I0-6 correspond au retrait moyen mesuré sur la poutre lors de sa sixième année. Pour ce faire, nous imposons une hygrométrie extérieure constante de 80% HR (Ceq=85 1) dans les 9 premières années, puis, dans la 10 et 11 ème année, nous imposons des conditions aux limites en humidité variant entre 65 et 95 %, ce qui correspond à des teneurs en eau équivalentes variant entre 58 et 125 1 (toujours déduites de l'isotherme de sorption désorption). Nous obtenons les résultats suivants:
a= 0,52 10-13 m/s1
K = 355.10-6
On peut alors évaluer le retrait potentiel &rpot à 80% HR en écrivant :
Erpot = K (l 30 - 85) * 1 OO = 688.1 o·6
p
Cette valeur du retrait potentiel à 80 % HR est certes un peu forte mais on travaille ici avec un rapport e/c relativement fort et certains auteurs [Acker, 1988] donnent des valeurs de l'ordre de 1000 à 1200 1 o-6 pour le retrait potentiel à 50% HR. D'autre part, compte tenu de la forme de la courbe de sorption désorption (figure 72), plus aplatie autours de 50% et plus raide au voisinage de la saturation, il est normal d'avoir, proportionnellement plus de retrait quand on passe de l OO à 80 % que de 100 à 50% HR.
La simulation réalisée sur 11 ans et la comparaison retrait calculé / retrait réel mesuré sont reportés aux figures 73 et 74. On constate que l'on explique une bonne partie des oscillations mesurées. Il est cependant certain que le fait de faire une moyenne glissante sur 90 jours a pour conséquence inévitable "d'écraser" les périodes (relativement courtes) où l'hygrométrie est maximale i.e. 1 OO % et qui correspondent à un temps de pluie. Or ces courtes périodes jouent en revanche, via l'isotherme de désorption et via le coefficient de diffusion qui sont non linéaires, un rôle relativement important que nous ne pouvons pas prendre en compte dans notre approche. Une meilleure prise en compte de ce phénomène permettrait sûrement de coller avec encore plus de précision avec la réalité. Par ailleurs, nous pensons expliquer le léger décalage entre les deux courbes par cette même définition de l'hygrométrie (moyenne de l'hygrométrie dans les 90 jours précédents) qui fait que le retrait calculé est en retard de 1,5 mois sur le retrait mesuré.
85
600 re tra it ( 10-6)
500
400
300
200
100
0
0 20 40 60 80 100 120 140
temps en mois
figure 73 : simulation du retrait sur 11 ans. Pendant les 9 premières années, la poutre sèche sous humidité extérieure constante égale à 80% HR, puis, pendant les deux dernières années sous humidité variable.
On a de même reporté les courbes de teneur en eau en fonction du temps et suivant une coupe pour permettre de se faire une idée plus précise de la profondeur touchée par le séchage et l'imbibition (figure 75). Cette profondeur est de l'ordre de 5 cm de part et d'<!,utre pour une épaisseur de la poutre de 30 cm. On constate bien que le centre de l'éprouvette n'est pas atteint par les variations de l'humidité, sa teneur en eau décroît régulièrement en fonction du temps; elle est responsable de la composante monotone correspondant à un retrait sous hygrométrie moyenne constante.
100,0
80,0
60,0
40,0
20,0
re tra it ( 10-6)
0,0 ..... --+--4---<H.-l--~fi-.lf'l=-+
-20,0
-40,0
-60,0
-80,0
temps [mois)
-- Retrait calc ulé
--o-- Re tra it me su ré
Figure 74: Comparaison retrait calculé/retrait mesuré sur les 2 dernières années.
86
••r ... lJO. OO r--r-.--r--r--r--i-r-r--0-.,-,----,--,.---,--,-.--...-.,...--.--.-~-
120. OO t--t--+-+-t--11-~it--+-+++-+~-j~l---+-+--i--i--+--+.:..:::J
110.00--.. --Cà centre .. ... 100.00 ..... .., .. \
• 90. OO f.-:--J .l-t-t--l---f++-+--+--+-1llo,.,_+-f----+-1!f4-l--l!.,lol,..-..+---I---+---+~ ,, ..
DCI • • distance de la surface
., ... [J -6- !Sem 7
'70 . OO +---f-jH--+--lf--.,l-l-+-+--+--'*'-l----+----lli--l-l-+---l.4-+--+.-1--+~ --•-- San ..... • · ···· · 3cm -·-•-· - 1 an a -a- oan 1
surface
figure 75: variations de la teneur en eau en fonction de la profondeur.
Il est à noter que dans notre étude, nous ne prenons pas en compte la fissuration de peau du matériau. Son effet sur Je séchage est négligé, en effet, les fissures étant très fines, la perméabilité à travers la fissure, proportionnelle au cube de l'ouverture (loi de Poiseuille) sera donc très faible [Bazant, 1987). Enfin, son effet sur Je calcul mécanique du retrait n'est pas prise en compte. Pour une vérification rapide, nous avons simulé 2rossjèrement les contraintes à 9 ans dans la poutre en prenant arbitrairement un module différé égal au 1/3 du module instantané pour le béton et en faisant un calcul élastique. Les contraintes obtenues en peau sont de l'ordre de 4 MPa, la partie tendue de la poutre couvre le 1/3 de la section. La faible contrainte mesurée, de l'ordre de la résistance en traction nous assure donc une fissuration peu profonde, diffuse et peu ouverte, ce qui est Je plus souvent constaté sur les éprouvettes de laboratoire [Sicard et al, 1992). Dans notre cas, aucune fissuration visible n'a été observée sur la poutre elle-même. Ceci nous conforte donc dans notre analyse.
87
IV.4 Conclusion
Les hypothèses qui sont à la base de notre analyse sont de deux types :
- le séchage du béton peut se modéliser par éléments finis en faisant un calcul de diffusion non linéaire en régime transitoire. Les fonctions de diffusion D(C) et d'échange non linéaire h(C) sont maintenant connues avec une précision suffisante pour permettre ce type de calcul.
- le retrait de dessiccation du béton est localement proportionnel à la variation de teneur en eau au sein du matériau; au niveau global, il en découle que le retrait de la structure est proportionnel à la perte en poids totale.
La modélisation présentée ci-dessus montre que ces deux hypothèses sont suffisantes pour simuler d'une façon réaliste et retrouver la plus grosse partie des oscillations cycliques du retrait de dessiccation en fonction des variations moyenne d'humidité extérieure.
Nous retiendrons enfin que la profondeur de béton touchée par les variations de l'humidité est de l'ordre de 5 cm pour nos climats et qu'un calcul prenant en compte la moyenne de l'hygrométrie sur les 3 mois précédents donne des résultats satisfaisants pour une poutre de 30 cm d'épaisseur. Pour une géométrie différente, notre modélisation permettra de déterminer la période sur laquelle la moyenne devra être faite.
Lorsque le béton est soumis à une contrainte, il ~ubit des déformations différées supplémentaires: le fluage. Dans le cas d'un béton soumis à un séchage naturel, ce fluage est bien plus important que lorsqu'on empêche les échanges. La part supplémentaire de fluage, qui n'existe que si le béton sèche, est appelée fluage de dessiccation.
L'interprétation physique de ce fluage de dessiccation a donné lieu à une controverse qui dure depuis plus de 50 ans! [Pickett, 1942). Il y a ceux qui penchent plutôt pour un fluage intrinsèque, proportionnel à la contrainte appliquée [Bazant, 1986), mais qui invoquent des phénomènes physiques difficiles à admettre. Il y a ceux qui penchent pour un effet de structure: lors du séchage d'une éprouvette de béton, le retrait de dessiccation entraîne des tractions en peau qui conduisent à une fissuration de l'éprouvette, ce qui réduit le retrait (on peut parler alors de retrait apparent); si l'on superpose à cet état de contrainte une contrainte extérieure l'éprouvette est moins sujette à la fissuration et le retrait de dessiccation est alors plus fort (Wittmann, 1982, Acker, 1988).
Nous avons récemment essayé, avec un modèle élastique-fragile prenant en compte une éventuelle non refermeture des fissures, de modéliser cet effet de structure: il faut avouer que nous n'avons pas retrouvé l'ordre de grandeur du fluage de dessiccation.
88
Alors, l'effet de structure existe-t-il? Sans doute, car nous l'avons rencontré11 . Dans le cadre de la thèse de L. Granger, nous essayons en effet de modéliser le comportement des enceintes de centrales nucléaires. Ces enceintes, qui sont fortement précontraintes dans 2 directions (cf figure 61 ), subissent des déformations différées qu'il est important de prévoir. Evidemment, dans ce cas, selon l'option choisie, fluage intrinsèque ou effet de structure, la modélisation ne conduit pas au même résultat. En fait, il s'avère que l'on ne peut pas retrouver les résultats des mesures de déformation des enceintes en supposant que le fluage est intrinsèque (à moins de supposer des coefficients de Poisson négatifs!).
Pour expliquer les déformations mesurées sur structure, il est nécessaire de partager le fluage de dessiccation en une partie intrinsèque, proportionnelle à la contrainte, et une partie non proportionnelle qui résulte de l'effet de structure [Granger et al, 1993]. Nous avons donc à la fois une preuve indirecte de l'existence d'un effet de structure et une voie pour la modélisation.
La modélisation de cet effet de structure est sans nul doute un pas important qu'il faudra franchir bientôt12 .
Conclusion générale ou "Ingénierie du matériau : pourquoi plus de science?" [Acker, 1992)
Comme cela a déjà été indiqué les travaux présentés ici ont souvent été inspiré par ceux de P. Acker et sont sous tendus par ce qu'il appelle l'ingénierie du matériau béton. Que se cache-t-il derrière cette appelation?
Souvent, par le passé, nous partions d'une formulation donnée de béton et de là nous déduisions ses caractéristiques physiques et mécaniques. Ensuite, à partir de ces éléments on obtenait le comportement de structures utilisant ces matériaux. Ces deux déductions pouvaient utiliser des modèles empiriques.
De nos jours, le problème se pose très souvent de manière exactement inverse : pour un type d'ouvrage (enceinte de centrale nucléaire par exemple) nous devons déterminer le phénomène physique majeur limitant (pour sa durée de vie, vis à vis d'une innovation ... ). Dans l'exemple de l'enceinte, dont nous voulons garantir l'étancheïté à l'air, la fissuration au jeune âge est ce phénomène majeur. Lorsque celui-ci est identifié nous formulons le béton adapté face à ce problème : c'est le béton HP très particulier formulé par F. de Larrard pour l'enceinte de Civaux. La résolution de ce problème inverse ne peut se satisfaire de modèle empirique : elle exige une identifcation des phénomènes physiques et une modélisation au travers de lois de comportement.
L'objectif de ce mémoire était d'illustrer cette approche et de montrer les progrès accomplis au LCPC , avec le Greco Géomatériaux, dans la connaissance du comportement mécanique du béton. Nous espérons que ces objectifs ont été atteints.
i1 z.P. Bazant aussi qui a très r écemment [Bazant, 1993) publié des résultats expérimentaux prouvant que cet effet existe ... 12 dans un dével oppement récent de sa thèse L. Granger a entrepris cett e modélisation, qui permet de passer des résultats de fluage sur éprouvettes au fluage des enceintes.
89
, fi' re erences
J.M. TORRENT! "Comportement mécanique du béton : bilan de 6 années de recherche" mémoire d'habilitation, Université de Mârne la Vallée, 1995.
Partie I
P. ACKER, C. FOUCRIER, P. DELUDE "Simulation des températures dans les éléments en béton en cours de fabrication - Progamme BITEX", Bull. de liaison des LPC, n°126, juillet 1983.
ACKER, P., FOUCRIER, C., MALIER, Y. "Temperature-related mechanical effects in concrete elements and optimisation of the manufacture process" ACI symposium on Properties ofConcrete at Early Ages, Chicago, PP. 33-47, 1985.
P. ACKER "Effets thermiques dans les bétons en cours de fabrication et application aux ouvrages d'art de nouveaux outils pour une optimisation simultanée du coût et de la qualité" Annales de l'ITBTP, n°442, février 1986
ACKER, P. "Comportement mécanique du béton: apports de l'approche physico-chimique" rapport de recherche LPC n°152, 1988.
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S.AGGOUN "Etude du comportement du béton coffré non armé vis à vis de la fissuration - Application aux revêtements de tunnels", thèse de l'INSA de Lyon, 1992.
90
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100
Annexe 1
Nous allons déterminer pour la structure suivante la relation entre le moment et la déformation de la fibre supérieure.
La section étudiée est la suivante:
d = 50 cm
At= 6.9 cm2
b = 21 cm
avec fe=SOO MPa d'où crst = fel ys = 434.8 MPa fcj=25 MPa, d'où crbc = 0.85 fcj /Yb = 14.2 MPa
Nous faisons l'hypothèse que les aciers sont plastifiés
(cela restera vrai si Est ~ % ys = 2.2 10·3
.
La loi de comportement du béton est la suivante:
si !':be ~ 2 -10-3 alors CJbc = O. 25 · CJbc · êbc · ( 4 - ê bc)
C'est la fameuse loi "parabole-rectangle" :
0
<Ti.c _____ """"' __ ......,
2 ' ·· 3 .5 i. fàc,
101
L'hypothèse des sections planes nous donne:
;!(. l éb~ :X. •
1 / ~ Il V
/ 1,._ -E
-...., €.ot
L'équation d'équilibre s'écrit :Nst = Nbc soit:
f Y _ 1 2.yt rlx: _ Ebc Ebc = CTbc· b ·dx+ 0.25-CTbc ·- ·X·(4--·x)·b·dx
2.y l &bc 0 y y
En développant, on obtient finalement :
A t • (J st = _}!__ • (J be • b · ( ê.bc - 2 / 3) ê.bc
soit :
A,· cr sr y= .ê.bc
(Jbc . b . ( ê.bc - 2 / 3)
On peut alors calculer le moment par rapport à l'axe neutre qui s'exprime par :
M = J: b ·CTbc(X) ·X ·dx + Àt · CJst-{d - y)
M = ~b·crbc Y2
2 +.!.b·crbc Y
2
2 · (Ebc2 -4)+Ar ·crw (d - y)
3 Ebc 2 Ebc .
-Obc.
Ce moment peut être exprimer en fonction de Ebc seul en utilsant la relation entre la position de l'axe neutre y et la déformation du béton. Nous pouvons alors construire le tableau suivant:
102
Défonnation de la Position de l'axe Déformation de Moment M en kNrn fibre supérieure neutre y en cm l'acier &st
2 15.13 4.6 132.97 2.5 13.76 6.58 133.87
2.75 13.32 7.57 134.09 3 12.97 8.56 134.25
3.2 12.74 9.35 134.34 3.3 12.64 9.75 134.38
3.35 12.59 9.95 134.40
et la courbe de variation du moment en fonction de &be
Loi parabole rectangle Moment en kNm
j~~ il-!-===-=--=--=--=-~-=--:_·~~~------·~:~:~_:--_-_··==:==·==~ 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4
Déformation de la fibre sup. *10-6
On constate que lorsque &be dépasse 2 %o, même si J'axe neutre remonte, Je moment continue d'augmenter jusqu'à !'ELU ( &st = 10 %o ). Un essai piloté à partir de la mesure d'&be serait donc stable, ou , dit autrement, la structure n'a pas un comportement fragile.
103
Annexe 2
Nous allons maintenant déterminer la relation moment-déformation de la fibre supérieure pour une loi de comportement radoucissante.
Pour cela nous allons utiliser l'équation de Desayi, qui est une forme simplifiée de l'équation de Sargin donnée en annexe du BPEL:
cbc 0
- - ------~...,...--
Déterminons comme précedemment la position de l'axe neutre en écrivant Nbc=Nst:
D'où l'expression de la position de J'axe neutre :
L'équation du moment nous donne:
104
EbcO 2 Y - ·x
M = A 1 · cr SI" ( d - y)+ f <He . y 2
l + ( Ebco ) • x 2
2·y
·b·dx 0
Après développement on obtient finalement:
- - 4 · y 2 8 · y 2 EbcO
M= Â1·CJs1·(d -y)+b · CJbc·(-----2 arctg-)
EbcO E bcO 2
On peut alors construire Je tableau :
Déformation de la Position de l'axe Déformation de fibre supérieure neutre y en cm l'acier f:st
1.5 16.95 2.92 2 14.55 4.87
2.5 13.4 6.83 2 .75 13.07 7.77
3 12.84 8.68 3.25 12.68 9.55 3.5 12.59 10.39
Moment Men kNm
131.5 133.38
134 134.06 134.02 133.9 133.7
et tracer l'évolution du moment en fonction de i::bc. On constate que le moment passe par un maximum (pour i::bc=2.75%o), puis décroît légèrement. On notera aussi la faible différence avec les valeurs obtenues grâce à la parabole rectangle.
135
134,5
134
Moment en kNm
~133,5 ~--~ 133 1 ;...__------- ~---------~ c ! 132,5 c Ë 132
~ 131,5
131
----...- loi radoucissante de Desayi
--0-- loi parabole rectangle
130,5
130 .i-------+-- ---1-------+-----+--- - --+-- --1------<
2 2,2 2.4 2,6 2,8 3 3,2 3,4
Déformation de la fibre sup. * 10-6
105
Annexe 3
Nous considérons maintenant le cas d'un matériau élastique fragile:
0-bc.
(Ji;, ..__ ____ ..,,,
Séparons notre étude en 2 cas, selon que Ebc soit supérieur ou inférieur à 2%o.
Ier cas: Ebç_ ~_2262. L'équation d'équilibre s'écrit:
A _ Jy b _ €be X dx 1 b _
t . crst = . (Jbe. - . - • = - . . CJbe . €be . y 0 2 y 4
d'où
4·A1 ·cr sr y= -
b · CJbc • cbc
Pour le moment nous avons
y 2
M =At. C5st"(d- y)+ f CJbc· Ebc ·~·b·dx 0 2 y
M = À t · C5st · { d - y)+_!_· b • CJbc • y 2 • Ebc
6
On peut alors construire le tableau suivant :
Déformation de la Position de l'axe Déformation de fibre suoérieure neutre y en cm l'acier
1.8 22.42 2.21 1.9 21.25 2.57 2 20.18 2.95
2nd cas· E~2:_226ii.
106
Moment Men kNm
127.6 128.7 129.8
L'hypothèse de section plane nous donne le diagramme de fonctionnement suivant:
L'équation d'équilibre s'écrit:
yo
A - f b - ê.bc X d b - y t • (J si = · (J be • -- • - · X = · (J be • --
O 2 y ê.be
d'où
y= Â t • CT st • Ebc
b · CTbc
Donc, contrairement aux cas des annexes l et 2, lorsque Ebc va augmenter y aussi : l'axe neutre va redescendre! Mais si l'axe neutre redescend cela implique que les aciers voient leurs déformations diminuer et donc ne travaillent plus à crst. En considérant une loi de comportement élasto-plastique parfaite, nous pouvons déduire la contrainte dans l'acier :
(Jst = crst ·Es· ( ê. max- ê.st) = (Js1 ·Es· ( ê. max- d - Y· ê.be) y
où Emax est la déformation atteint par l'acier lorsque Ebc = 2%o.
107
D'où la nouvelle équation d'équilibre:
b • <3bc · _l_ = Â I • <3s1 = Â 1 · <3s1 - Â t ·Es· (8 max- d - Y· 8bc) Bbc y
ce qui nous conduit à une équation du second degré en y. Cette équation a une solution positive qui donne la position de l'axe neutre. Le moment est alors :
4 - y2 M= Â1 ·crs1· (d-y)+ - · b·O'bc· - 2 3 Ebc
Comme précedemment, on peut construire le tableau suivant :
Déformation de la Position de l'axe Déformation crst MomentM fibre supérieure neutre y en cm de l'acier enMPa enkNm
2.1 20.9 2.92 429.1 125.4 2.25 21.9 2.87 420 119 2.5 23 .5 2.8 406 109.3 2.75 25 2.73 392 100.5
3 26.4 2.67 379.7 92.5
On constate la faible déformations des aciers Guste au dessus de la limite élastique) et la chute de la contrainte dans les aciers. On peut également considérer la courbe moment-déformation:
Moment en kNm
135 Î======~~~~~~----~~~-·~~~~--~="'==="'=i;="'==~ 130
125
120
115 loi parabole rectangle
loi de Oesayi
110 k>i élastique fragile
105
100
2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3.2 3.4 Défonnetion de le fibre sup . ..,0-6
La chute brutale du moment accompagnée par une faible plastification des armatures indique donc, qu'en théorie, un matériau fragile conduit à une structure fragile.
108
Annexe 4 : noyaux de flu age
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Document publié par le LCPC sous le N° 502 254 Dépôt légal 3° trimestre 1996
ISBN 2-7208-2540-9 Impression LCPC
M Mifistère de !'Équipement, du Logement,
- des Transports et du Tourisme
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