NOMBRES ET CALCULS

Compte-rendu de la matinée d'échanges de pratiques du 9 novembre 2011

CYCLE 2

Ces échanges alimenteront le travail qui sera réalisé au sein de l'école concernant l'harmonisation des progressions.

A quoi servent les nombres ? Mémoriser une quantité, un rang et anticiper

Il s'agit de mémoriser la suite des nombres, associer à l'écriture chiffrée, comparer des quantités et résoudre des problèmes sur des quantités.

INTRODUCTION

Pour dénombrer, il faut :

- recompter

- surcompter (point de divergence entre Ermel et Brissiaud)

- subitizing (reconnaissance immédiate de la quantité)

Pour résoudre des problèmes, on peut:

- schématiser la situation

- simuler l'écriture arithmétique (6 +6 +6)

- Utiliser la procédure experte (3X6)

Complexité de la relation entre :

- la résolution de problèmes

- l'acquisition d'automatismes qui vont être mis en mémoire et utilisés

Difficultés des élèves :

Le passage au symbolique : mise en correspondance de quantités avec des systèmes de symboles

Si on bouge une collection, si on déplace les éléments : la collection ne change pas

Si on effectue des opérations sur les quantités : la collection change

Pour l'enseignant, il s'agit de comprendre pourquoi l'élève ne réussit pas.

Besoin de connaissances de la didactique et des difficultés des élèves.

L'élève a besoin d'abandonner ce qu'il sait, ce qu'il maîtrise pour accéder à de nouvelles connaissances.

Difficultés du système de numération :

- les système écrit

- le système en base 10

- le système de position

- Le zéro

- les irrégularités : 11-16 et 70, 90

- lecture de gauche à droite avec retour à la ligne

- La lecture du nombre qui ne garantit pas la compréhension du dénombrement

Il s'agit de travailler en parallèle la connaissance de la file numérique et les opérations sur les petites quantités.

Perception, estimation globale- relation cardinal/ordinal- décomposition du nombre-complément à

Savoir au début du CP où chaque enfant en par rapport au 3 éléments suivants :

- Associer le mot nombre à la quantité comptée

- Séparer le « compté » du « non-compté »

- l'ordre du pointage est indifférent : la quantité ne change pas

Difficultés langagières :

- difficultés de compréhension du terme « pareil » : la couleur n'est pas la même, la forme n'est pas la même

- langage à installer : autant que ….

- L'ordinal et le cardinal : différence entre la quantité et le rang (3ème personnages/ 3 personnages)

L’apprentissage des mathématiques développe l’imagination, la rigueur et la précision ainsi que le goût du raisonnement.

La connaissance des nombres et le calcul constituent les objectifs prioritaires du CP et du CE1. La résolution de problèmes fait l’objet d’un apprentissage progressif et contribue à construire le sens des opérations. Conjointement une pratique régulière du calcul mental est indispensable. De premiers automatismes s’installent. L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification.

LES PROGRAMMES

Nombres et calculNombres et calcul

Les élèves apprennent la numération décimale inférieure à

1000. Ils dénombrent des collections, connaissent la suite des nombres, comparent et rangent.

Ils mémorisent et utilisent les tables d’addition et de multiplication (par 2, 3, 4 et 5), ils apprennent les techniques opératoires de l’addition et de la soustraction, celle de la multiplication et apprennent à résoudre des problèmes faisant intervenir ces opérations. Les problèmes de groupements et de partage permettent une première approche de la division pour des nombres inférieurs à 100.

QUESTIONNEMENT échange de pratiques

CALCUL MENTAL

1- Quelle analyse critique faites-vous du guide pédagogique que vous utilisez ?

2- Quelles situations pédagogiques vous semblent les plus efficaces pour : - développer les automatismes ?- développer les procédures mentales ? Décrivez les brièvement en précisant les outils utilisés.

3- Quelles sont les difficultés rencontrées par les élèves ?

4- Quels sont les points qui ont fait débat entre vous ?

APPRENDRE LE NOMBREConnaissance de la comptine numérique et

dénombrement

1- Quelle analyse critique faites-vous du guide pédagogique que vous utilisez ?

2- Quelles situations pédagogiques mettez-vous en œuvre pour : - développer la connaissance de la suite numérique ?

- permettre aux élèves d'acquérir les principes de la numération décimale ? Décrivez les brièvement en précisant les outils utilisés.

3- Quelles sont les difficultés rencontrées par les élèves ?

4- Quels sont les points qui ont fait débat entre vous ?

TECHNIQUES OPERATOIRES et RESOLUTION DE PROBLEMES

1- Quelle analyse critique faites-vous du guide pédagogique que vous utilisez ?L'apprentissage des techniques opératoires

L'apprentissage de la résolution de problèmes

2- Quelles situations pédagogiques mettez-vous en œuvre pour : - donner du sens et développer les techniques opéra toires ?

- apprendre à résoudre des problèmes ? Décrivez les brièvement en précisant les outils utilisés.

3- Quelles sont les difficultés rencontrées par les élèves ?

4- Quels sont les points qui ont fait débat entre vous ?

LES OUVRAGES PEDAGOGIQUESCP-CE1

Beaucoup de manipulations proposées, les jeux sont bien détaillés. Régularités dans les problèmes, difficultés progressives, proposition de situations de réinvestissement, explicitation des procédures. Beaucoup de matériel à fabriquer (cf. fichier photocopiable)Situations de découverte intéressantes car elles permettent de donner du sens mais la méthode reste difficile et rapide pour les élèves en difficultéLivre du maître très completSi utilisée en CP, le niveau des élèves est meilleur en CE1Le + :anticipation des difficultés que peuvent rencontrer les élèves (livre du maître) Certaines notions sont traitées trop rapidementBeaucoup de temps de préparation si on suit le livre du maître et les temps indiqués sont difficiles à respecterEn CE1 : mauvaise répartition sur l'année pour les techniques opératoires (la Soustraction arrive trop tard dans l'année par rapport aux évaluations CE1Les temps de manipulation sont difficiles à mettre en place dans les doubles niveauxDico Maths est inutile car imprécis et incompletLa partie géométrie

LES ++

LES --

CAP MATHShttp://www.capmaths-hatier.com/cp.php

ERMEL Hatierhttp://www.ermel-hatier.com/

Situations très concrètesMultitude d'activités préparatoiresLes situations problèmes ne font pas toujours appel à des données numériquesIntéressant pour le travail de la construction du nombre

LES ++

LITCHI istrahttp://sed.hachette-education.com/siteseducation/SiteSED?controlerCode=CtlPresentationInteractive&requestCode=afficherPageAccueil&idArticle=368720

Le système d’échange 1 calot=10 billes est peu pertinent car il n'y a pas de retour possible pourvérifierPeu d'activités préparatoires réellement faisables (beaucoup en EPS)

Fichier pas suffisamment structuré pour les élèves

LES --

Les techniques opératoires sont abordées tôt dans l'annéeLES ++

Pour comprendre les maths Hachettehttp://www.enseignants.hachette-education.com/elementaire/pages/catalogue/fiche-livre/pour-comprendre-les-mathematiques-cp-fichier-eleve-ed-2009-1174507.html

Beaucoup d'activités préparatoires (photofiches)Situations problèmes en 2 phases :- Recherche individuelle- Procédure experte

Additions à 3 nombres (CP)Représentation des dizaines et des unites (CP)Une progression est rédigée en calcul mental

Problème d'autonomie face aux fiches en CPPartie calcul mental parfois insuffisante

LES --

LES ++

� J'apprends les maths Retz http://www.editions-retz.com/J_apprends_les_maths_CP_avec_Picbille-9782725628813.html

Les techniques opératoires arrivent tard dans la progression

Beaucoup de manipulations proposéesAdditions à retenue dès le début de l'apprentissageTous les jours une situation est proposée pour introduire une notionPas à pas très dirigé.Les notions sont retravaillées Bonne décomposition de la comptine numérique mais le vocabulaireest parfois difficile à comprendre. La partie calcul mental quotidienne est organisée dans la cadre d’une progression. Nécessite beaucoup de préparation matérielle

LES ++

LES --

THEVENET Bordashttp://thevenetplus.editions-bordas.fr/category/ressources/9782047324226

Beaucoup d'activités préparatoires comportant des situations problèmesDémarches progressives. Fiches de préparation bien construitesAtelier de résolution de problèmes avec repérage des mots-cles

Permet de donner du sens aux techniques opératoiresGroupements variés des dizaines N'utilise pas le mot retenue mais « nouveau groupe de 10 »

LES ++

Dans le guide pédagogique, il n'y a pas toujours des supports : nécessité pour l'enseignantde fabriquer son matériel.

LES --

� Tous en maths Nathanhttp://www.nathan.fr/manuels-videoprojetables/demo_mvpi/viewer.asp?ean=9782091220826

� Euro mathshttp://www.euromaths-hatier.com/presentation.php

Activités diversifiées en calcul mental

LES ++

� Vivre les maths http://www.nathan.fr/vivrelesmaths/

LES ++

Très pauvre sur les procédures et les démarches.Très peu d’éléments dans le guide du maître pour la mise en place des situations.

LES --

� Maths tout terrain http://mtt.editions-bordas.fr/

LES ++

Très pauvre sur les procédures et les démarches.Très peu d’éléments dans le guide du maître pour la mise en place des situations.

LES --

Bien pour le calcul réfléchiBeaucoup de situations de découverte avant le travail sur fichier.Travail intéressant sur la schématisationNécessite beaucoup de préparation

APPRENDRE LE NOMBRE

� Situations pédagogiques� Outils� Difficultés des élèves� Points qui font débat

EN COURS DE REDACTION

CALCUL MENTAL

CALCUL MENTAL

� Son utilité: avancer avec moins de freins dans le traitement des situations impliquant des nombres.

� Une aisance calculatoire réduit le nombre d’erreurs sur la reconnaissance de l’opération arithmétique nécessaire pour résoudre un problème.

CALCUL MENTAL

� L’apprentissage s’articule en trois temps:� Se représenter mentalement les

nombres� Établir et mémoriser des faits

numériques élémentaires� Enrichir les stratégies de calcul

(différentes de celles utilisées en calcul posé)

CALCUL MENTALQu’entend-on par : Calcul mental ? Calcul automatisé ? Calcul réfléchi ? - Le calcul mental englobe le calcul automatisé et le

calcul réfléchiL’expression de « calcul mental » signifie qu’entre l’énoncé du problème et l’énoncé du résultat , on n’utilise aucune opération posée (technique opératoire usuelle).

Cela n’implique pas qu’aucun support écrit ne puisse intervenir dans la consigne ou dans la formulation du résultat (pour l’expliciter)Il convient de distinguer ce qu’il faut mémoriser ou automatiser et ce qu’il faut être capable de reconstruire.

CALCUL MENTAL

- Il y a calcul automatisé quand :

- on fait appel à un résultat mémorisé (ex : 3 X 7 = 21 sans réfléchir)

- on utilise un algorithme mémorisé (pour calculer 857 – 438, on peut poser une opération puis effectuer les calculs)

Le « calcul automatisé » délaisse l’intuition des nombres, l’ordre de grandeur. Il met un algorithme uniforme sur des chiffres et c’est le coeur de son efficacité. Les algorithmes sont immédiatement disponibles car mémorisés.

- Il y a calcul réfléchi lorsqu’on est amené à élaborer une procédure à un calcul particulier dont on ne connaît pas de suite le résultat. Il ne s’agot plus de récupérer une procédure ou un résultat en mémoire.

Les expressions « calcul réfléchi » et « calcul raisonné » sont équivalentes et préférables à l’usage du terme « calcul rapide ». Elles insistent sur l’importance donnée à la méthode plutôt qu’à la rapidité d’exécution.

Chaque individu choisit ou utilise un procédé de calcul en fonction de ses connaissances. Aucune procédure ne s’impose à priori. Certaines peuvent être pointées comme souvent efficaces (procédures expertes).

Par le calcul réfléchi, on montre l’intérêt du calcul automatisé et on donne un sens à la mémorisation.

CALCUL MENTAL

� Situations pédagogiques considérées comme efficaces� situations diversifiées qui présentent du sens et qui

peuvent être matérialisées� Utilisation de la monnaie, situations et matériels de la vie

quotidienne (billes, âges, temps, distances, points gagnés dans un jeu, …)

� Utilisation de matériel varié en grand groupe (jetons, boites, dominos, panier, buchettes, …)

CALCUL MENTAL

� Une des conditions essentielles : � La mémorisation réside dans la

compréhension des opérations en jeu. L’élève est capable de calculer 4+3 parce qu’il est capable d’évoquer 4 objets réunis avec 3 objets ou parce que le résultat est le nombre qui est situé « 3 après 4 » sur la bande numérique, donc parce que l’addition a du sens pour lui.

CALCUL MENTAL� Les points d’appuis pour le réinvestissement:

Capacité à utiliser ce qu’on sait pour obtenir d’autres résultats : � 4+3 c’est un de plus que 3+3.� 4X7 c’est le double de 2X7

Les points d’appuis :

L’utilisation de la suite numérique par surcomptage (pour 5+3, on part de 5 puis on ajoute 1+1+1)

La connaissance des doubles,

Les décomposition pour le nombre cinq

Les compléments à dix

Les tables de 2 et de 5

L’utilisation de la commutativité (7+2 c’est comme 2+7)

Quelques situations concrêtesD’après un travail très riche de Sébastien Moisan CPC Angoulême sud

http://ww2.ac-poitiers.fr/ia16-pedagogie/IMG/pdf/Calcul_mental_CP_CE1_compresse_anonyme.pdf

Des modes de représentationshttp://ww2.ac-poitiers.fr/ia16-pedagogie/IMG/pdf/Calcul_mental_CP_CE1_compresse_anonyme.pdf

CALCUL MENTAL

� Difficultés des élèves:� La représentation mentale des nombres� Passage à l’abstraction� Connaissance de la suite numérique� Vocabulaire mathématique et nom et écriture des

nombres� « blocages » même après manipulation (inumérisme)� Les élèves ont besoin de temps pour comprendre� Difficultés indépendantes des élèves : l’harmonisation

parfois difficile entre les enseignants et l’importance des attendus en CE1

CALCUL MENTAL� Points qui ont fait débat:

� L’enfermement dans une « méthode »� Comment qualifier l’automatisme ?� Peut on parler de calcul mental au CP ?

Quelques sites sur le thème du calcul mental :* http://netia59a.ac-lille.fr/douaiwaziers/calcul_mental/c2.htm

* http://www.ien-morlaix1.ac-rennes.fr/Pedago/Ressource%20p%E9da/Calcul%20mental.htm

* http://www.ia49.ac-nantes.fr/54542718/0/fiche___pagelibre/&RH=49ped_maths

* http://pagesperso-orange.fr/jean-luc.bregeon/Page%203-12.htm

* http://ww2.ac-poitiers.fr/ia16-pedagogie/IMG/pdf/Calcul_mental_CP_CE1_compresse_anonyme.pdf

* http://www.ien-sannois.ac-versailles.fr/spip.php?article334

TECHNIQUES OPERATOIRES

La soustraction

Calculer des différences avant la soustraction posée :

- le calcul « en reculant » si on retire peu

- le calcul en « surcomptant » si on retire beaucoup

- la file numérique

Il y a au moins 3 techniques possibles :

- Ces techniques ne reposent pas sur les mêmes connaissance

- La justification d'une technique utilise plusieurs propriétés

- Il est plus difficile de trouver le complément à un nombre que d'additionner

- Choisir une technique et s'y tenir

METHODE DE L'ADDITION A TROU

85-12 = ? revient à 12+?= 85

on a une transformation négative : J'avais 41 billes J'en ai ??J'en ai perdu 12

Mais l'addition à trou est plus difficile

Elle est basée sur l'addition qui n'est pas une technique nouvelleAu niveau du sens elle se justifie quand :

? roses50 tulipes73 fleurs on a une combinaison d'états

J'avais ? billesJ'en ai 41J'en ai gagné 10 On cherche l'état avant l'action

Ne peut pas servir quand on aborde la technique de la division

ET

METHODE ANGLO-SAXONNE

La plus simple à comprendre, car elle est fondée sur la seule connaissance des principes de la numération décimale, élaborée dès le CP Mais elle nécessite une technique avancée quand il y a des zéros dans le premier nombreEt Ne peut pas servir au moment de l'apprentissage de la technique de la division sans soustraction posée .

Emprunter à l'unité supérieure

METHODE CLASSIQUE EN FRANCE

S'appuie sur la conservation des écarts

On ajoute 10, 100 ou … à chacun des nombresNécessite la connaissance de la numération car 10 est ajouté à l'un et une dizaine à l'autreElle « va bien » avec la division « dépouillée » ( sans soustraction posée)

Elle nécessite un travail préalable sur la conservation des écarts

Comment donner du sens à l'apprentissage des techniques opératoires ?

Propositions des groupes de travail

- Mettre en situation le quotidien, utiliser des supports variés

- Ritualiser

- Élaboration d'un lexique commun

- Affichage, sous-main et traces écrites dans un cahier outil

RESOLUTION DE PROBLEMES

CP : résoudre des problèmes simples à une opérationCE1 : résoudre des problèmes relevant de l'addition, de la soustraction et de la multiplication

Difficultés des élèvessynthèse des échanges de pratiques

Difficultés liés au langage, au vocabulaire employé

Difficulté à saisir l'implicite dans les énoncés

Le passage à l'abstraction

Savoir expliquer sa démarche

QUELLE OPERATION ?L'opération à utiliser est facilement trouvée par l es élèves :

Combien ?12 roses 15 tulipes

J'avais 30 cartes J'en ai combien maintenant ?

J'en ai perdu 15

J'avais 30 cartes J'en ai combien maintenant ?J'en ai gagné 15

L'opération à utiliser est plus difficilement trouv ée par les élèves :

12 rosesCombien de tulipes ?

42 fleurs

J'avais 30 cartes

J'en ai 58 maintenant

J'en ai gagné combien ?

J'en avais combien ? J'en ai perdu combien ?

J'en ai 58 maintenant

COMMENT AIDER LES ELEVES ?

1/ Poser la question chronologiquement : Pierre a perdu 12 billes pendant la récréation,

maintenant il en a 45. Combien en avait-il

avant la récréation?

- Avant la récréation Pierre avait des billes. Il a

joué pendant la récréation et il en a perdu 12.

Maintenant il en a 45. Combien avait-il de

billes avant la récréation?

2/ Clarifier le contexte et les références culturelles support de l'énoncé

3/ Pour un problème donné, des échanges verbaux, le recours au mime, au jeu de rôles, production de dessin ou schéma

4/ Construire différents niveaux, étapes de représentation : passer progressivement, pour certains élèves, du dessin figuratif de la situation (dessiner des salades) à la production d'un schéma plus ou moins épuré (un trait pour une salade)

5/ Schématiser et classifier les cas, après avoir traité un certain nombre de problèmes du même style permet aux élève de replacer le problème donné dans une catégorie et de mettre en œuvre des procédures adaptées

On peut faire une affiche ou noter dans un cahier

PROPOSITION DE MISE EN OEUVRE : le nombre au cycle 2 (page 61)http://media.eduscol.education.fr/file/ecole/00/3/Le_nombre_au_cycle_2_153003.pdf

Les différentes catégories de problèmes additifs et soustractifs (le nombre au cycle 2)

1. Recherche de l’état final connaissant la transfo rmation positive et l’état initial.

« Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné 5 billes. Combien de billes a maintenant Léo ? »

2. Recherche de l’état final connaissant la transfo rmation négative et l’état initial.

« Léo avait 8 billes. Puis il a donné 5 billes à Juliette. Combien de billes a maintenant Léo ? »

3. Recherche de l’état initial connaissant la trans formation positive et l’état final.

« Léo avait des billes. Puis Juliette lui a donné 5 billes. Maintenant Léo a 9 billes. Combien de billes avait Léo ? »

4. Recherche de l’état initial connaissant la trans formation négative et l’état final.

« Léo avait des billes. Puis il en a donné 5 à Juliette. Maintenant Léo a 3 billes. Combien avait–il de billes ? »

5. Recherche de la transformation positive connaiss ant l’état initial et l’état final.

« Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné des billes. Léo a maintenant 9 billes. Combien de billes Juliette a–t–elle données à Léo ? »

6. Recherche de la transformation négative connaiss ant l’état initial et l’état final.

« Léo avait 9 billes. Puis il a donné des billes à Juliette. Maintenant Léo a 4 billes. Combien de billes Léo a–t–il données à Juliette ? »

7. Recherche de la composée de deux états.

« Léo a 3 billes. Juliette a 7 billes. Combien de billes ont Léo et Juliette ensemble ? »

8. Recherche d’un état connaissant un second état e t la composée des deux états.

« Léo et Juliette ont 17 billes ensemble. Juliette a 8 billes. Combien Léo a–t–il de billes ? »

9. Recherche de l’état à comparer connaissant l’éta t comparé et la comparaison positive.

« Léo a 3 billes. Juliette a 5 billes de plus que lui. Combien de billes Juliette a–t–elle ? »

10. Recherche de l’état à comparer connaissant l’ét at comparé et la comparaison négative.

« Léo a 9 billes. Juliette a 5 billes de moins que lui. Combien de billes Juliette a–t–elle ? »

11. Recherche de l’état comparé connaissant l’état à comparer et la comparaison positive.

« Léo a 9 billes. Il en a 7 de plus que Juliette. Combien de billes Juliette a–t–elle ? »

12. Recherche de l’état comparé connaissant l’état à comparer et la comparaison négative.

« Léo a 9 billes. Il en a 5 de moins que Juliette. Combien de billes Juliette a–t–elle ? »

13. Recherche de la comparaison positive connaissan t les deux états.

« Léo a 3 billes. Juliette en a 9. Combien de billes Juliette a–t–elle de plus que Léo ? »

14. Recherche de la comparaison négative connaissan ce les deux états.

« Léo a 8 billes. Juliette en a 6. Combien de billes Juliette a–t–elle de moins que Léo ? »

http://media.eduscol.education.fr/file/ecole/00/3/Le_nombre_au_cycle_2_153003.pdf

MULTIPLICATION

Deux sens pour la multiplication :

- Addition réitérée : achat de 4 cahiers par élève de CP. Il y a 8 élèves de CP.

-produit de deux mesures : 7 rangées de 5 salades

EN CE1 des propriétés a acquérir : - La commutativité : 3X5=5X3 indispensable pour la multiplication posée- La distributivité à droite et à gauche - commencer un répertoire des produit calculés par addition réitérée puis établir les tables de manière systématique

Les cartes recto-verso de Ermel

J'apprends les Maths CP

Cap Maths

EN CE1 la technique de la multiplication posée par un nombre à un chiffre :

La technique repose sur : - les tables de multiplication - La numération décimale pour la gestion des retenues- la règle des 0 : passage du résultat de la multiplication d'un nombre par 3 à la multiplication de ce même nombre par 30, 300 ..- distributivité de la multiplication sur l'addition

LA DIVISION

Particularités de la division

• Le résultat de la division est composé de deux nombres: le quotient et le reste

- 47 divisé par 5 a pour quotient 9 et pour reste 2

• alors que le résultat de toute autre opération est composé d’un seul nombre

On va donc séparer deux cas :

• Le cas ou le reste est nul

- c’est la division exacte;

- L’opération est la réciproque de la multiplication;

• Le cas ou le reste n’est pas nul

Propositions des groupes de travail :

- Mettre en situation le quotidien

- Donner du sens par la résolution de problèmes : album de jeunesse, travail sur les énoncés, défi maths (1 défi par jour), création de problème par les élèves

- Faire verbaliser les réussites et les échecs

- Permettre la validation du résultat par retour à une « collection témoin » (en CP)

- Travail en aide personnalisée

BIBLIOGRAPHIE

EN COURS DE REDACTION