Conférencier : Claude MAURINProfesseur à l’IUFM d’Aix-Marseille sur le site

d’AvignonMembre de la COPIRELEM

Membre de l’équipe d’auteurs de la collection« Pour Comprendre Les Maths » (PCLM)

Editée par HACHETTE

AIX-EGUILLES - Mercredi 12 Janvier 2011 –

GRANDEURS et MESURES

CYCLE 2 et CYCLE 3

PLAN DE LA CONFERENCE Introduction1) Quelques précisions théoriques.2) Les principales étapes d’une progression sur une grandeur.3) Le chapitre « Grandeurs et mesures » dans les programmes de

20084) Etude des différentes grandeurs au programme :

A) La taille d’une collectionB) La longueurC) La masseD) La ContenanceE) Les duréesF) Les aires G) Les angles

5) Les grandeurs dans la collection PCLM

INTRODUCTION

A la suite de la publication des résultats de PISA 2009 -

Extrait du monde de l’éducation (dec 2010) :

…« Près de la moitié des élèves se montrent incapables de mener un raisonnement et de manipuler les notions de durée, de longueur et de volume. 15% semblent ne pas avoir tiré bénéfice des enseignements du collège… »

Rôle fondateur des grandeurs mesurables Citation extraite de la conférence prononcée par Catherine HOUDEMENT, Maître de conférence en didactique des mathématiques, lors des journées académiques de l’IREM de LILLE le 26 janvier 2006 :« L’apprentissage des grandeurs joue un rôle important dans les mathématiques que ce soit pour le développement du raisonnement, le renforcement de l’esprit critique ou l’épanouissement de la vie citoyenne.Il construit un chemin entre les insuffisances du perceptif, l’intérêt des instruments de mesure (qu’il est nécessaire d’apprendre à utiliser) et la puissance du raisonnement (dont le calcul).Il prépare un terrain d’expérience pour d’autres concepts mathématiques : nombres non entiers, preuves géométriques.C’est un domaine prétexte à l’interdisciplinarité, un croisement des sciences, de l’histoire, de la géographie. »

Les grandeurs mesurables : un tremplin vers les mathématiques.

Les mathématiques se caractérisent par leur fonction d’anticipation sur le réel qu’elles cherchent à modéliser pour mieux pouvoir le prévoir.

Dans cette recherche, lors de certaines expériences concrètes, les grandeurs apparaissent comme un des aspects essentiels des objets impliqués dans l’expérience. Apprendre à les identifier, à les comparer, à les mesurer, permet d’avancer vers une représentation du monde dans laquelle les mathématiques vont pouvoir s’appliquer et permettre la prévision, puis la décision.

Quelques questions « naïves » :

Une grandeur est-ce concret ou abstrait ?

Comment distinguer le monde des objets et celui des grandeurs ?

Comment distinguer une grandeur et sa mesure ?

• Ne pas confondre l’objet qui est le support de plusieurs grandeurs et la grandeur qu’on étudie. La grandeur est abstraite !

• Ne pas confondre une grandeur et sa mesure qui est un nombre.

• Toutes les mesures sont des nombres qui « masquent » les grandeurs qu’ils sont censés représenter

Exemples de confusion entre mesure et grandeur :

Au cycle 2 : De nombreux enfants sont capables de déclarer que : « 15 cm c’est plus que 3 m parce que 15 c’est plus que 3 »Au cycle 3 : On a découvert que l’introduction des décimaux à partir des conversions décimales du système métrique avait provoqué des confusions profondes dans la conception d’un nombre décimal : De la conversion : 1254 m = 1,254 km les enfants déduisaient que

1254 = 1,254 !

Que les enseignants doivent se méfier de l’effet « Canada Dry » !

Les élèves peuvent nous laisser penser qu’ils maîtrisent une notion alors qu’ils ne donnent pas du tout la même signification que nous aux symboles qu’ils semblent pourtant manipuler correctement.

Que faut-il retenir de ces remarques ?

Quel remède ?

• Le seul chemin possible est celui de la construction du sens.

• Nos élèves sont tous intelligents, si nous leur donnons l’occasion de construire un parcours cohérent, sans en précipiter les étapes, ils y adhèrent, se l’approprient et deviennent autonomes.

1. QUELQUES PRECISIONS THEORIQUES.

Objet physique Grandeur Mesure associée

à une unité

Segment, baguette, corde

Longueur Nombre

Objet pesant Masse Nombre

Récipient Contenance Nombre

Surface Aire Nombre

Moment Durée Nombre

Extrait d’une communication de Viviane DURAND-GUERRIER Maître de conférence en didactique des mathématiques, au colloque national de la COPIRELEM de DOURDAN en 2006 :

« La notion de grandeur est liée à la mise en place d’un protocole expérimental qui permet des comparaisons lorsque les contrôles sensoriels, en particulier perceptifs ne suffisent pas. Ce protocole doit être en accord avec les résultats obtenus par le contrôle sensoriel lorsque celui-ci fournit des informations non ambiguës. De ce fait, la première rencontre avec la notion de grandeur passe par la manipulation d’objets sensibles et l’élaboration de protocoles permettant les comparaisons, directes ou indirectes. »

• La même idée est explicitée dans les documents d’accompagnement des programmes de 2002, dans le paragraphe intitulé : « Les grandeurs avant leur mesure » :

« Les premières activités visent à construire chez les élèves le sens de la grandeur indépendamment de la mesure et avant que celle-ci n’intervienne.

Le concept s’acquiert progressivement en résolvant des problèmes de comparaison, posés à partir de situations vécues par les élèves, suivi de moment d’institutionnalisation par le maître ».

Quelques remarques à retenir :

Le caractère fondateur du protocole expérimental de comparaison dans la conceptualisation d’une grandeur par les élèves.

La construction de la grandeur-somme, essentielle pour atteindre la mesure, nécessite la mise au point d’un protocole précis qu’il ne faut pas négliger avant d’aborder la mesure.

La mesure d’une grandeur a pour but de remplacer les manipulations sur les objets par des opérations sur des nombres (comparaison, addition, rapport…), elle reste donc un objectif essentiel de notre enseignement.

Mais lorsqu’elle est abordée trop tôt ou trop rapidement, elle s’érige en obstacle à la perception de la grandeur qu’elle est censée représenter.

Le protocole expérimental de comparaison des objets permet de définir l’égalité et une relation d’ordre sur une grandeur. L’utilisation d’un objet de référence pris comme étalon permet d’initier le processus de mesurage grâce à la notion de grandeur-somme puis de produit par un nombre, mais certains élèves confondent repérage et mesurage

• Le repérage consiste à associer un nombre à une grandeur de telle sorte que cette correspondance conserve l’ordre et l’égalité, alors que la mesure nécessite.

• La mesure implique une condition supplémentaire qui est l’additivité.

2.Les principales étapes que devrait respecter une progression sur une grandeur :

I)  Construction de la grandeurA. Comparaison directe et protocole de

comparaisonB. Comparaison indirecteC. Grandeur-somme et rapport entre deux

grandeursII) MesureA. Etalon ou unité localeB. Les unités de référence. Conversions.

I)  Construction de la grandeur

A) Comparaison directe et protocole de comparaison Faire émerger la grandeur à partir d’objets divers en définissant avec précision le protocole expérimental de comparaison directe de ces objets selon la grandeur choisie. C’est au cours de cette étape que les élèves commencent à conceptualiser la grandeur.

• B) Comparaisons indirectes :

Comparer les grandeurs d’objets éloignés dans le temps ou dans l’espace amène à procéder à des comparaisons indirectes faisant intervenir un objet intermédiaire.

L’utilisation d’un objet intermédiaire transportable permet de comprendre qu’on peut déplacer la grandeur sans forcément déplacer l’objet qui la porte. Cette étape fait aussi intervenir la transitivité de la relation d’ordre.

C) Grandeur-somme et rapport entre deux valeurs d’une même grandeur:

Construire une grandeur-somme :

- Comment construire un segment dont la longueur est la somme des longueurs de deux autres segments ? (nouveau protocole)

Etablir un rapport entre deux valeurs d’une même grandeur (combien de fois plus ?)

- « Ma règle est cinq fois plus longue que ma gomme.»

• II) Le mesurage. • A) Etalon et unité locale :Un objet va être choisi

arbitrairement comme étalon, le rapport qu’entretient sa grandeur (qui devient une unité locale) avec celles de différents autres objets devient la mesure de la grandeur de ces objets.

C’est un moyen de reproduire des objets de même grandeur, de fabriquer des grandeurs-sommes ou de multiplier une grandeur par un entier. Les opérations sur les objets sont remplacées par les opérations sur les nombres.

• B) Les unités de référence : Comprendre que pour des besoins de communication une unité de référence doit être choisie. L’histoire du système métrique peut opportunément être évoquée.

On s’efforcera d’associer les unités de référence à des objets familiers ou à des parties du corps qui seront, au début, la référence de l’enfant. On découvre aussi la nécessité d’adapter l’unité de mesure à la grandeur à mesurer ( Voir PCLM). Des conversions peuvent devenir nécessaires.La construction et l’utilisation d’instruments de mesure, la nécessité d’utiliser des sous-unités, entrent aussi dans cette dernière étape accompagnant les calculs.

• Cette dernière étape occupe souvent 95% du temps consacré à l’étude d’une grandeur au détriment du peu de temps consacré à sa construction conceptuelle.

• Il faut oser réparer cette erreur !

• 3. Le chapitre « Grandeurs et mesures » dans les programmes de 2008 :

• Au cycle 2 : « Les élèves apprennent et comparent les unités usuelles de longueur (m et cm ; km et m), de masse (kg et g), de contenance (le litre) et de temps (heure, demi-heure), la monnaie (euro, centime d’euro). Ils commencent à résoudre des problèmes portant sur des longueurs, des masses, des durées ou des prix. »

• Au cycle 3 : «  Les longueurs, les masses, les volumes : mesure, estimation, unités légales du système métrique, calcul sur les grandeurs, conversions, périmètre d’un polygone, formule du périmètre du carré et du rectangle, de la longueur du cercle, du volume du pavé droit.

• Les aires : comparaison de surfaces selon leurs aires, unités usuelles, conversions ; formule de l’aire d’un rectangle et d’un triangle.

• Les angles : comparaison, utilisation d’un gabarit et de l’équerre ; angle droit, aigu, obtus.

• Le repérage du temps : lecture de l’heure et du calendrier.• Les durées : unités de mesure des durées, calcul de la durée

écoulée entre deux instants donnés.• La résolution de problèmes concrets contribue à consolider

les connaissances et capacités relatives aux grandeurs et à leur mesure, et à leur donner du sens. A cette occasion des estimations de mesure peuvent être fournies puis validées. »

4. ETUDE DES DIFFERENTES GRANDEURS

A. Un exemple naïf : la « taille » d’une collection finie (GS/CP) :

Les objets que l’on considère sont les collections finies d’objets distincts.La grandeur mise en jeu est la « taille » de la collection.Le protocole expérimental de comparaison est la correspondance terme à terme.Le mesurage est la technique du dénombrement.La mesure de la collection est le cardinal de la collection

Certaines opérations sur les collections seront traduites par des opérations arithmétiques sur leur cardinal.

B. La Longueur

C’est une « grandeur première ». Il faut donc en profiter pour bien initialiser le processus.

Le vocabulaire qui lui est associé est assez large :

Hauteur, altitude, largeur, épaisseur, taille d’un enfant….

- Le protocole de comparaison doit être étendu aux objets non rectilignes.

- La construction de longueurs sommes de plusieurs longueurs doit être abordé avant la mesure.

- Le rapport entre deux longueurs, puis le choix d’une longueur de référence permet de construire une règle graduée. Sa construction permet de mieux en comprendre le fonctionnement et d’éviter d’en faire un instrument de repérage.

• L’introduction de la première unité de référence est laissée au choix de l’enseignant : centimètre ou mètre. Il est souhaitable que chaque unité soit mise en rapport avec une partie du corps de l’enfant : le mètre est la longueur d’un « pas de géant » », le centimètre est à peu près la largeur d’un doigt d’enfant.

• Les élèves devront assez vite comprendre que le choix de l’unité dépend de la longueur à mesurer : la longueur de la cour ou celle de la trousse ne se mesurent pas avec la même unité. La combinaison des deux unités peut s’avérer pertinente.

• Des conversions peuvent devenir nécessaires mais il faut que les élèves en comprennent la nécessité : elle permettent de comparer des longueurs en comparant leurs mesures ou bien d’additionner des longueurs en additionnant leurs mesures.

La longueur est une « grandeur-mère » : elle est la plus facile à graduer, ce qui permet de l’utiliser dans la plupart des instruments de mesure servant à mesurer d’autres grandeurs plus complexes : masse, contenance, durée…

Elle est aussi la grandeur de base dans les calculs d’aire ou de volume, ce qui en fait une grandeur de base dans le système métrique.

Dans certains problèmes, les segments de droite et leur longueur servent à schématiser d’autres grandeurs.

Au cycle 3 les élèves devront aussi apprendre à se libérer des mesures effectives de longueurs pour apprendre à lire des schémas à main levée ou des schémas côtés.

• Exercice donné dans une évaluation nationale de 6° :

Enoncé : Ceci est un schéma à main levée.

ABCD est un rectangle, sa longueur est 6 cm, sa largeur est 4 cm. A est le centre du cercle qui passe par B. Le cercle coupe le côté AD au point E.

Quelle est la longueur du segment DE ?

B C

AD

E

4 cm

6 cm

Réponses relevées :

A) DE = 3 cm

B) DE = 2 cm 3mm

C) DE = 2 cm

Comment les interpréter ?

C. La masse

- A l’école on acceptera de confondre la masse et le poids.

- Il faut aider les élèves à ne pas confondre masse et volume.

- Le premier protocole expérimental de comparaison des objets selon leur masse va s’appuyer sur l’action de soupeser les objets. Celui-ci se révélant rapidement incertain, on introduit la balance de Roberval pour lever les doutes sans omettre d’établir le lien entre le fonctionnement de la balance et les sensations kinesthésiques perçues lors de la comparaison de deux objets de masses très différentes.

La brochure « Grandeurs et Mesures au cycle 3 » éditée par l’IREM de LILLE propose la construction d’une balance porte-manteau.

• Des comparaisons indirectes utilisant un fluide facile à doser (sable par exemple) permettront de comparer les masses d’objets distants dans le temps ou dans l’espace et aideront les élèves à distinguer la masse de la forme de l’objet qui la porte.

• Elles favoriseront aussi un travail sur la transitivité, qui est une propriété fondamentale des raisonnements logiques, lorsqu’il faudra effectuer des rangements d’objets selon leur masse à l’aide d’une balance de Roberval.

• Le mesurage avec une masse de référence arbitraire (unité locale) comme par exemple des billes de terre censées avoir toutes la même masse, permet de faire des comparaisons et de s’approprier l’idée de mesure à l’aide de la balance de Roberval.

• La pesée à l’aide de masses marquées devrait précéder les pesées avec une balance graduée ou à affichage digital, même si le rapport entre ces deux types de mesures doit être établi.

La définition du kilogramme comme masse-unité de référence sera mise en rapport avec la masse d’une bouteille contenant un litre d’eau. Le rapport entre le gramme et le Kilogramme ne devra pas se limiter à : 1 Kg = 1000 g , il faut aussi que les élèves soient capables de prévoir quels sont les objets dont la masse se mesure en grammes et ceux dont la masse se mesure plutôt en kilo (I) (Voir PCLM)

• Au cycle 3, un travail expérimental sur l’égalité des moments d’une force par rapport à un point fixe pourra permettre de comprendre le fonctionnement d’une balance romaine.

La brochure « Grandeurs et Mesures au cycle 3 » éditée par l’IREM de LILLE propose la construction d’un pèse-cheveu qui permet de développer un travail intéressant au cycle 3.

• En règle générale les conversions de longueurs ou de masses devraient être reliées à des situations de proportionnalité et s’appuyer aussi bien sur le coefficient de proportionnalité :

«  une mesure en grammes est 1000 fois plus grande que la mesure de la même masse en kilo. »

que sur les propriétés de conservation des rapports entre deux mesures de masses dans la même unité :

« Une masse qui pèse 3 Kg est trois fois plus lourde qu’une masse de 1 Kg, une masse de 1 Kg pèse 1000 g, donc une masse de 3 Kg pèse trois fois plus : 3000 g. »

Il s’agit des propriétés associées à la linéarité multiplicative encore appelées conservation des rapports scalaires.

D. La contenance

- Le protocole expérimental de comparaison des contenances de deux récipients est fondé sur le transvasement.- Le travail expérimental de rangement de plusieurs récipients selon leur contenance est encore une bonne occasion de faire intervenir la transitivité.- Les verres-doseurs utilisés dans les recettes font apparaître un risque de confusion entre masse et volume (ou contenance), il n’est donc pas inutile de faire remarquer qu’un même récipient n’a pas la même masse selon qu’il est rempli de farine, de sucre ou d’eau.La contenance ne se distingue du volume intérieur d’un récipient que par le choix des unités : pour la contenance le litre et ses multiples et sous-multiples sont construits sur la base dix, pour le volume les unités déduites des unités de longueur vont de mille en mille : 1m3 = (10 dm) 3 = 1000 dm3

E. Repères chronologiques et Durée :

- Les repères chronologiques : La première perception est celle du temps qui passe, notre vie s’inscrit dans l’écoulement chronologique du temps. Les « dates » ou les « instants » sont des repères qui s’ordonnent de façon naturelle en fonction de leur ordre d’apparition.

Les « dates » ne sont pas des grandeurs mesurables.

La lecture de l’heure est un repère chronologique, elle entre dans la catégorie des « dates ». Les mots « heure », « demi » ou « minutes » que prononcent les élèves en disant l’heure, n’expriment pas encore pour eux des durées, ils permettent seulement de mieux repérer la position de certains moments dans le déroulement d’une journée.

Le temps est d’abord perçu comme linéaire avant d’être perçu comme cyclique (alternance jour/nuit, semaine, années…).

Cette dernière perception est avant tout sociale.

• Quelques repères réalistes :- Tous les enfants devraient parvenir à bien se repérer dans le déroulement d’une journée de classe en fin de maternelle (GS).

- Ils parviennent à se repérer correctement dans une semaine en fin de CP ou de cycle 2.

- Ils doivent savoir lire l’heure en début de cycle 3- Le repérage sur l’année prenant appui sur un

calendrier n’est effectif qu’au cours du cycle 3 même si on commence à l’aborder au cycle 2.

• Le vocabulaire employé dans le langage courant n’aide guère les enfants à distinguer les notions de repères chronologiques et celle de durée :«  Il est 10 heures, j’ai dormi 10 heures »« Il y a dix ans j’avais trente ans »

• La durée ne doit pas être confondue avec le repérage chronologique. C’est une grandeur mesurable qui mérite d’être construite pas à pas, mais sa construction est particulièrement délicate et semble difficile avant le cycle 3.

Elle est souvent représentée par la longueur d’un segment, les extrémités du segment se plaçant sur l’axe du temps qui passe. temps qui passe

8 h 9 h 10 h 8 h 40 9 h 20

Le temps vécu n’est pas perçu comme uniforme..

Ceci doit être ouvertement abordé avec les enfants

• Le protocole expérimental permettant de comparaison directe des durées de deux moments nécessite que les deux moments débutent au même instant (simultanéité). Quand ce n’est pas le cas, on peut « emprisonner » la durée du premier moment dans un sablier pour pouvoir la comparer à celle du second moment (comparaison indirecte).

• La durée d’un sablier peut aussi être utilisée comme durée de référence et permettre d’établir les premières mesures de durées : « La récréation du matin a duré 8 sabliers, celle de l’après-midi a duré 9 sabliers, elle est donc plus longue ».

• Ce genre de travail amène les élèves à mieux comprendre ce qu’est une mesure de durée et à distinguer durée et repères chronologiques.

• La seconde est l’unité légale de mesure des durées.

Elle est souvent associée au temps séparant deux mots-nombres successifs de la comptine numérique. Pour ne pas que la récitation soit trop rapide il vaut mieux énoncer un mot bref entre chaque mot nombre : 1 « toc », 2 « toc », 3 « toc »…

La minute La minute va apparaître comme un groupement de 60 secondes facilitant la mesure des durées dont la mesure en secondes devient trop importante. On va constater que le chronomètre utilisé en EPS mesure les durées en minutes et secondes.

L’heure n’apparaît que pour les durées longues comme un moyen d’exprimer une durée de 60 minutes.

Quand les élèves ont assimilé ces différentes relations la connexion avec la lecture de l’heure peut être faite et les calculs de durées peuvent prendre du sens. Cela ne peut fonctionner efficacement qu’en fin de cycle 3.

• F. L’aire• L’aire est une grandeur mesurable associée à l’objet

« surface ».

• Elle ne possède guère de synonymes fidèles, on la compare souvent à l’étendue d’une surface ou à la place qu’occupe une surface, or cela est souvent associé par les élèves à « l’encombrement » : un rectangle de 10 cm de long sur 4 cm de large sera souvent considéré comme plus « étendu » qu’un carré de 7 cm de côté alors que son aire est inférieure à celle du carré.

• C’est le protocole expérimental de comparaison des surfaces qui va le mieux permettre aux élèves de comprendre ce qu’est l’aire d’une surface. Ce protocole n’est pas simple !

Le cas de comparaison directe le plus simple est celui où l’une des deux surfaces (A) est entièrement contenue dans l’autre surface (B), on déclare alors que l’aire de A est inférieure à l’aire de B.

A

B

A

Les choses se compliquent quand l’une des deux surfaces dépasse le contour de l’autre sans la recouvrir entièrement.

A

B

A

Il faut alors procéder à des découpages pour comparer la partie de A qui dépasse de B à la partie de B qui dépasse de A.En réitérant éventuellement plusieurs fois l’opération.

• Ce n’est que lorsqu’on parvient à une exacte superposition sans chevauchement des différentes parties de A avec les différentes parties de B qu’on peut affirmer que l’aire de A est égale à l’aire de B.

• Si toutes les parties de A finissent par être

entièrement contenues dans les parties de B alors l’aire de A est déclarée inférieure à l’aire de B.

• Pour faciliter la compréhension de ce procédé complexe, on utilise généralement des parties polygonales de forme simple nourrissant entre elles d’évidentes relations de complémentarité. Exemple :

Les trois formes fabriquées à partir des deux triangles jumeaux ont nécessairement la même aire.Les pièces du Tangram se prêtent particulièrement bien à ce travail de décomposition/ recomposition de formes de même aire. Elles peuvent aussi permettre d’établir des rapports entre leurs aires qui préfigurent la mesure des aires.

• Avant d’adopter les unités déduites du système métrique pour mesurer certaines aires (mètre carré : m² ; décimètre carré : dm² ; centimètre carré : cm²) il est recommandé d’insister sur le fait que chacune de ces unités est une aire qui ne dépend pas de la forme qu’on lui donne, cette forme n’étant pas nécessairement carrée !

• Voici par exemple trois surfaces de forme différentes représentant chacune une aire d’un décimètre-carré.

1 dm² 1 dm² 1 dm²

• Un autre écueil que rencontrent les élèves au cycle 3 est de considérer qu’une même surface étant porteuse de deux grandeurs géométriques différentes : son périmètre qui est une longueur, et son aire ; ces deux grandeurs varient forcément de la même façon. Si l’une augmente, l’autre aussi.

• Or cette idée est fausse et il est souhaitable de le faire réaliser

aux élèves :

AB

L’aire de A est supérieure à l’aire de B car on a enlevé une partie de A pour fabriquer B.Par contre le périmètre de A est inférieur au périmètre de B car un segment de droite est le plus court chemin pour rejoindre deux points.

• L’aire est une grandeur mesurable, mais il n’existe aucun instrument pour la mesurer, il faut la calculer, ce qui n’est pas toujours facile.

• La première « formule de calcul d’aire »  est celle du rectangle. Dans cette formule les élèves découvrent qu’on peut multiplier des longueurs par des longueurs pour obtenir une aire. C’est un aspect de la multiplication qui entre en rupture complète avec la multiplication conçue comme addition réitérée. C’est l’aspect « produit de mesure ».

• Exemple :

Un rectangle qui a pour longueur 5 côtés de carreau et pour largeur 3 côtés de carreau, a une aire égale à l’aire de 15 carreaux.

Dans cette étape il ne faut pas confondre le côté du carreau qui est une unité de longueur avec le carreau dont l’aire devient l’unité d’aire, c’est ce qui permettra aux élèves de comprendre que 5 m 3 m = 15 m² et non pas 15 m.Un abus de langage du maître peut entraîner des confusions lourdes de conséquences chez les élèves.

• Depuis les programmes de 2008, on étudie aussi au cycle 3 l’aire du triangle que l’on déduit de celle du rectangle. Cela peut se justifier par le fait que tout polygone étant triangulable, si on connaît un moyen de calculer l’aire d’un triangle, on peut arriver à calculer l’aire de n’importe quel polygone.

• Toutefois il ne faut pas tomber dans l’inflation de formules car au cycle 3 un élève doit d’abord penser à décomposer et recomposer une aire avant de penser la calculer. Exemple :

Quelle est l’aire de cette figure ? La même que celle de la figure ci-contre que je sais calculer !

G. Les angles

Le support de la grandeur « angle » est le couple de demi-droites de même origine. Chaque couple de demi-droites est associé à deux régions du plan : un secteur angulaire saillant et un secteur angulaire rentrant. Généralement c’est le secteur saillant qui est pris en compte. L’introduction souvent trop rapide du mot « angle » ne facilite pas sa compréhension.

O

x

y

• Les élèves de cycle 3 confondent angle et longueur des côtés du secteur angulaire, ou bien angle et surface comprise entre les côtés d’un triangle qu’ils ferment par un troisième côté imaginaire.

Pour éviter ces confusions il faut clarifier le protocole expérimental de comparaison qui fait appel au papier calque : si les sommets et les deux côtés du secteur angulaire coïncident au moins partiellement on déclare que les deux angles sont égaux.

• On vérifie avec un calque que ces deux angles sont égaux.A

S

• La mesure des angles n’est pas au programme du cycle 3 et c’est une bonne chose car cela permet aux élèves de mieux s’approprier la grandeur angle avant d’apprendre à la mesurer au collège.

• En comparant différents angles à un angle droit on aboutit à la différence entre angles aigus et angles obtus.

• Toutefois il est souhaitable d’aborder la construction de la somme de deux angles en faisant coïncider leur sommet, un de leur côté et en plaçant les autres côtés de part et d’autre de leur côté commun.

• Il n’est pas interdit alors de constater que les trois angles d’un triangle ont pour somme un angle plat quelle que soit la forme du triangle, ou que les trois angles d’un triangle équilatéral sont égaux et représentent donc chacun un tiers d’angle plat.

• La comparaison des angles de certains polygones nécessitera fréquemment de prolonger les côtés du polygone au-delà de leur longueur initiale, c’est un geste auquel il ne faut pas hésiter à habituer les élèves de CM2 afin qu’ils se libèrent de la relation entre valeur de l’angle et longueur des côtés.

5.Grandeurs et Mesures dans la collection PCLM ( « Pour comprendre les maths » de Hachette)

Au cycle 2 :

Sommaire du fichier de CP :

Leçon 25 : Ranger du plus petit au plus grand.

Leçon 34 : Utiliser la monnaie. Procédures personnelles.

Leçon 45 : Utiliser la monnaie. Vers une procédure experte.

Leçon 48 : Se repérer dans le temps.

Leçon 65 : Comparer des longueurs (1)

Leçon 79 : Comparer des longueurs (2)

Leçon 93 : Compter avec la monnaie

Leçon 94 : L’heure (1).

Leçon 99 : Les jours et les mois de l’année.

Leçon 104 : Mesurer une longueur par report d’unité.

Leçon 117 : Utiliser la règle graduée.

Leçon 124 : L’heure (2)

Leçon 133 : Plus lourd, plus léger.

Leçon 134 : Utiliser la règle graduée.

Leçon 139 : Vers le CE1. Se repérer dans le mois.

Soit 15 leçons consacrées au thème « Grandeurs et mesures » sur l’année de CP

Sommaire du fichier de CE1

Leçon 30 : Mesure des longueurs (1)

Leçon 54 : Mesure des longueurs (2)

Leçon 64 : Le calendrier (1)

Leçon 78 : L’heure (1)

Leçon 79 : L’heure (2)

Leçon 82 : Mesure des longueurs (3)

Leçon 83 : Mesure des longueurs (4)

Leçon 99 : Jour, heure et minute

Leçon 106 : Le calendrier (2)

Leçon 112 : Mesure des longueurs (5)

Leçon 113 : Mesure des longueurs (6)

Leçon 122 : Comparaison des masses.

Leçon 123 : Mesure des masses :g et kg.

Leçon 125 : Mesure des contenances : Le litre.

Leçon 133 : Le calendrier (3)

Soit à nouveau 15 leçons consacrées au thème « Grandeurs et Mesures » au CE1.

Au cycle 3 :

Sommaire du fichier de CE2 :

Leçon 3 : Comparer des longueurs.

Leçon 14 : Mesurer des longueurs avec la règle graduée.

Leçon 15 : La monnaie.

Leçon 29 : Unités de longueur (1)

Leçon 48 : Unités de longueur (2)

Leçon 49 : Lire l’heure (1)

Leçon 59 : Ajouter ou retrancher des longueurs.

Leçon 93 : Périmètre d’un polygone.

Leçon 68 : Lire l’heure (2)

Leçon 72 : Unités de temps.

Leçon 76 : Mesurer une masse.Leçon 80 : Le calendrier.Leçon 91 : Unités de masse.Leçon 95 : Construire et utiliser un calendrier.Leçon 98 : Mesurer une contenance.Leçon 101 : Utiliser des instruments de mesure.

Sommaire du fichier de CM1 :

Leçon 7 : Du mètre au millimètre. Leçon 9 : Lire l’heure. Leçon 23 : Calcul de durées (1) Leçon 27 : Du mètre au kilomètre. Leçon 33 : Calcul de durées (2).

Leçon 37 : Le calendrier.

Leçon 47 : Les masses.Leçon 48 : Les angles.Leçon 52 : Les aires : comparaisonLeçon 56 : Mesure des aires.Leçon 60 : Aire et périmètre.Leçon 68 : Contenances.Leçon 83 : Unités de mesure et système décimal.Leçon 86 : Périmètre du carré et du rectangle.

Sommaire du fichier de CM2 :

Leçon 10 : Mesure des longueurs (1)Leçon 24 : Mesure des aires : unité arbitraire.

Leçon 38 : Mesurer des aires : encadrement.

Leçon 44 : Comparer et tracer des angles.Leçon 47 : Périmètre du carré et du rectangle.Leçon 48 : Mesure des longueurs (2).Leçon 49 : Aire et périmètre.Leçon 53 : Mesure des masses.Leçon 59 : Angles et triangles particuliers.Leçon 60 : Périmètre du disque.Leçon 62 : Calcul des durées.Leçon 64 : Mesure des aires : unités usuelles.Leçon 65 : Aire du triangle.Leçon 71 : Mesure des contenances.Leçon 75 : Sport et mathématiquesLeçon 80 : Vers la sixième : Volume du pavé droit.

Conclusion

Les grandeurs mesurables ne sont pas aussi évidentes à percevoir au travers des objets qui les portent qu’un adulte instruit peut le penser.

Le protocole expérimental de comparaison des objets relativement à une grandeur donnée est ce qui permet le mieux aux élèves de concevoir la grandeur mise en jeu, il ne faut donc pas le négliger.

La mesure d’une grandeur ne doit pas être présentée de façon trop précoce sous peine de masquer la grandeur qu’elle est censée représenter.

L’apprentissage s’étalant toujours dans la durée, il faut offrir plusieurs occasions aux élèves de revenir sur les notions abordées comme la collection PCLM s’efforce de le faire.

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• FABRIQUER UN MILLIGRAMME : Quand on utilise du papier pour photocopieuse de format A4 de 80 g cela signifie qu’un mètre carré de ce papier pèse 80 g.

Or une feuille de format A0 a une aire de 1 m², elle pèse donc 80 gLe format normalisé vérifie la propriété qu’en pliant une feuille de format An en deux suivant un pli parallèle à sa largeur, on obtient deux feuilles de format An+1

A0 = 2 A1 = 4A2 = 8A3 = 16A4

On en déduit qu’une feuille de format A4 pèse 5 g Retour

Ses dimensions étant 21 cm sur 29,7 cm, il devient possible de la diviser en 5, puis en 10, puis en 10042 mm 297 mm pèse 1 g 42 mm 29,7 mm pèse 1dg42 mm 2,97 mm pèse 1cg 4,2 mm 2,97 mm pèse 1 mg