Coniques

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Coniques

Plan du chapitre

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 22 Les coniques par foyer, directrice et excentricit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 2

2.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 2

2.2 Intersection dune conique avec son axe focal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 23 La parabole (e= 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 3

3.1 D fi n i t i o n d u n e p a r a b o l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p a g e 33.2 Equation rduite dune parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 33.3 Paramtrisation dune parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 53.4 Tangente en un point de la parabole et et ou . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 53.5 Construction de la parabole par points et tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 5

4 Lellipse (0 < e < 1) et lhyperbole (e > 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 64.1 Notations et calculs communs lellipse et lhyperbole .................................................page 6

4.1.1 Position relative des points O, A, F et K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 64.1.2 Equation rduite de lellipse et de lhyperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 6

4.2 Lellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 74.3 Lhyperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 10

4.4 Paramtrisation de lellipse et de lhyperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 134.5 Dfinition bifocale de lellipse et de lhyperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 134.6 Tanegente en un point dune ellipse ou dune hyperbole .................................................page 14

5 Les coniques en polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 156 Les courbes du second degr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 18

c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits rservs. 1 http ://www.maths-france.fr

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1 Introduction

Cest Menechme qui a dcouvert les sections coniques. Il a dabord tudi lintersection dun cne circulaire droit(cest--dire un cne de rvolution dont langle au sommet est droit) avec un plan perpendiculaire une gnratrice dece cne. La courbe obtenue est une parabole (mot imagin par Archimde). Puis, Menechme a fait varier langle ausommet du cne (en coupant toujours par un plan perpendiculaire une gnratrice) et obtenu tantt une ellipse quandlangle au sommet tait aigu, et tantt une hyperbole, quand langle au sommet tait obtus.

Cest semble-t-il Apollonius de Pergequi a donn leurs noms lellipse, la parabole et lhyperbole, mais ce nestpas lui qui les a imagins. Il a systmatis ltude des sections coniques en coupant un cne de rvolution quelconquepar un plan quelconque, dans nimporte quelle direction. Il a dgag les notions dexcentricitet de directrice.

Le suffixe grec boleutilis dans les mots parabole et hyperbole est le mme que celui des mots discobole et symbole. Il

signifie lancer, jeter . Cest clair pour le discobole mais moins pour le symbole : on a jet ( bole) ensemble (sym) deuxobjets (la colombe et la paix par exemple). Le mot parabole se traduit quant lui littralement par jeter ct ou unpeu plus clair placer lun ct de lautre pour comparer . Ce que lon compare, cest, comme on va le voir plus loin,les distances dun point M un point F et une droite (D).

Il y a de multiples prsentations des coniques. Dans ce chapitre, on commence par la description partir dun foyer,dune directrice et dune excentricit. Cette description ne fournit pas toutes les sections coniques. On voit ensuite quelellipse et lhyperbole peuvent tre construites partir de deux foyers et deux sommets par exemple. Nous tudions en finde chapitre les courbes du second degr, qui fournissent toutes les sections possibles dun cne de rvolution par un planet mme un peu plus. Mais vous devrez admettre ce dernier rsultat, car nous ne fera pas ltude des sections coniques endimension3.

Un des intrts majeurs des coniques est que les quations diffrentielles du second ordre rgissant les trajectoiresdes plantes ont pour solutions des courbes du second degr, et une analyse plus fine montre que ces plantes, comtes,. . . doivent se dplacer, soit sur des ellipses, soit sur des paraboles, soit sur des branches dhyperboles.

2 Les coniques par foyer, directrice et excentricit

2.1 Dfinition

F

()

(D)

HM

K

On se donne un point F, une droite (D)ne passant pas par F et un rel strictementpositife. La conique de foyer F, dedirectrice (D)et dexcentricit e est lensemble

()des points du plan tel que MF

d(M, (D)) =e. Ainsi, en notant H le projet orthogonal

du point M sur la directrice (D),

MP, (M() MF= eMH).

La droite perpendiculaire (D)et passant par F sappelle laxe focalde la conique(). On le notera dornavant (). Laxe focal est un axe de symtrie de la conique ().En effet, si M est un point du plan, en notant M son symtrique par rapport (),H son projet sur (D)et H le projet de M sur (D), H est alors le symtrique de Hpar rapport ()de sorte que M H = MH (une symtrie orthogonale conservant lesdistances). Dautre part, F est son propre symtrique. Par suite,

M() MF= eMH M F= eM H M ().Le point dintersection de la directrice(D)et de laxe focal ()sera dornavant not K.

2.2 Intersection dune conique avec son axe focalOn cherche maintenant les points du plan qui sont la fois sur la conique () et sur laxe focal (). On note que le

projet dun point de ()sur (D)est systmatiquement le point K. Dans cette situation particulire, les points M, F et Ktant aligns, les galits de distance vont se traduire par des galits de vecteurs.Soit M un point du plan.

M() () M()et MF = eMK MF= eMKouMF= eMK MF +eMK=0 ouMF eMK=0 .


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Les deux dernires galits sinterprtent en termes de barycentre, pour autant que la somme des coefficients considrssoit non nulle. La somme 1+e lest systmatiquement, mais la somme 1e est non nulle si et seulement si e= 1. Il sedgage donc deux cas :

Si e=1, () ()est constitue de deux points, les points A = bar(F(1), K(e))et A = bar(F(1), K(e)). Le pointAappartient au segment [F, K]contrairement au point A . Nous verrons deux paragraphes plus loin que cest le cas delellipse et de lhyperbole. Les points A et A sont les futurs sommets de lellipse ou de lhyperbole. Si e = 1, lquationMF+eMK =0 (dinconnue M) scrit plus prcismentMF+ MK =0 et admet une et une

seulesolution, lemilieuS de [F, K](Spour sommet de la parabole que nous allons tudier au paragraphe suivant). LquationMF e

MK=

0 scrit quant elle

MF

MK=

0 ou encore

KF=

0. Cette quation na pas de solution car F /(D).

3 La parabole (e= 1)

3.1 Dfinition dune parabole

Dfinition 1. Soient F un point et (D) une droite ne passant pas par F. La parabole (P) de foyer F et de directrice (D)est la conique de foyer F, de directrice (D) et dexcentricit 1 ou encore lensemble des points gale distance de F et de(D).

La parabole sera note (P). Laxe focal de la parabole sera comme prcdemment not () : cest la droite passant parF et orthogonale (D). () est un axe de symtrie de la parabole. Lintersection de () et de (P) est note S : S est lesommet de la parabole. Cest le milieu du segment [F, K], o K est le point dintersection de ()et de (D).

Commentaire . Une parabole est donc un objet trs prcis, rgi par des contraintes gomtriques trs strictes, et une courbequi a lallure dune parabole (comme par exemple, les graphes des fonctionsx x4 oux ch(x)) nest pas forcment une parabole.On doit alors donner un sens prcis un abus de langage usuel : quand on parle de branche parabolique pour un graphe de

fonction, on ne dit pas quune partie de son graphe est un morceau de parabole, mais que cette mme partie a lallure dun morceau

de parabole.

3.2 Equation rduite dune parabole

Fp/2p/2 ()

(D)

HM

K S

La tradition veut que lon tudie la parabole quand celle-ci est place horizon-talement et tourne vers la droite . Cette description ne correspond donc pas ce quoi on est habitu au lyce avec lquation y = ax2 + bx + c.

On pose p= FK . p sappelle le paramtrede la parabole. Cest ce paramtre qui

donne la parabole sa forme plus ou moins vase.

On choisit un repre orthonorm (S, i , j ), dorigine S le sommet de la pa-rabole, daxe des abscisses laxe focal (), tel que le point F a pour coordonnes(p/2, 0). Dans ce repre, labscisse de F est strictement positive et le point K a pourcoordonnes(p/2, 0).

SoientM(x, y) un point du plan et H(p/2, y) son projet orthogonal sur (D).

M(P) MF2 =MH2 (x p2

)2 +y2 = (x+p

2)2 y2 =2px.

Dans le repre ci-dessus,

la parabole a pour quation y2 =2px (quation rduitede la parabole).

Lgality2 =2px quivaut y = 2pxou y = 2px. La parabole est donc ici pense comme la runion des graphesdes fonctions x 2pxet x 2px. On doit noter que labscisse p

2du foyer est le quart du coefficient 2p de x.

Inversement, la courbe dquation y2 = 2px, p > 0 donn, est une parabole et on lit dans lquation la valeur duparamtrep et donc la distance FK et finalement les coordonnes de F et de K.Cette quation a t fournie dans unrepre prcis, et on doit savoir adapter notre lecture si notre repre nest pas celui envisag ci-dessus.

Considrons par exemple, lquationy2 = 2x. Si on remplace x parXetyparY, cest--dire si on change lorientationde laxe des abscisses, la parabole dquation y2 = 2x dans le repre initial, a maintenant pour quation Y2 = 2X. Enrfrence au cours ci-dessus, on lit les lments de la parabole : son paramtre vaut 1et dans lenouveau repre, son foyer

a pour coordonnes(1/2, 0)et sa directrice a pour quationX = 1

2, ou encore dans lancien repre,F a pour coordonnes

(1/2, 0) et (D) a pour quation x = 1/2. De mme, si dans lquation x2 =2y, on remplace x par Y et y par X, ce qui


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correspond un change des axes de coordonnes, lquation scrit Y2 =2X. Dans ce cas, laxe focal est (OX) = (Oy), lefoyer est sur (Oy)et a donc une abscisse nulle dans le repre initial. . .

Dans la pratique, il nest pas ncessaire deffectuer explicitement ces changements de repre et vous pouvezdonc oublier les remarques ci-dessus. On adapte simplement notre lecture de lquation par la lecture dun dessin, en ayantconscience que le foyer est sur laxe focal et toujours lintrieur de la parabole et la directrice est lextrieur.On a rsum dans un tableau les situations usuelles.

Equationy2 =2kx, k > 0(parabole de direction(Ox)tourne vers les x > 0).

SommetS(0, 0), axe focal (Ox) p = k, foyer F(k/2, 0), directrice(D) : x= k

2.

Equationy2 =2kx, k < 0(parabole de direction(Ox)tourne vers les x < 0).

SommetS(0, 0), axe focal (Ox), p = k, foyer F(k/2, 0), directrice(D) : x= k

2.

Equationx2 =2ky, k > 0 (parabole de direction (Oy)tourne vers les y > 0).

SommetS(0, 0), axe focal (Oy), p = k, foyer F(0, k/2), directrice(D) : y= k

2.

Equationx2 =2ky, k < 0 (parabole de direction (Oy)tourne vers les y < 0).

Sommet S(0, 0), axe focal (Oy), p = k, foyer F(0, k/2), directrice(D) : y= k

2.

Equation(yy0)2 =2k(x x0), k > 0.

SommetS(x0, y0), axe focal () : y= y0, p = k,

foyer F(x0+ k/2, y0), directrice(D) : x= x0k

2.

Exercice 1. Le plan est rapport un repre orthonorm.Equation de la parabole (P1)de foyer F(1, 2) et de directrice (D) : x= 3et de la parabole (P2)de foyer F(0, 0)et de directrice (D) : y= x + 1.

Solution.1) Soit M(x, y) P.

M(x, y)(P1)

MF2 = (d(M, (D))2

(x 1)2 + (y 2)2 = (x+ 3)2

y2 4y 8x4 = 0.

2) Soit M(x, y) P.

M(x, y)(P1) MF2 = (d(M, (D))2 x2 +y2 = xy+ 12

2 x2 + 2xy+y2 2x + 2y 1= 0.

Exercice 2. Le plan est rapport un repre orthonorm.Nature et lments caractristiques de la courbe dquation :

1) y2 =2x, 2)y2 = x, 3) y = x2, 4) y = x2

2, 5) y = x2 +3x +2, 6) y2 + 6y+4x 3= 0.

Solution. Toutes ces courbes sont des paraboles.1) Sommet O, axe focal (0x), paramtre p = 1, foyer F(1/2, 0) et directrice (D) : x= 1/2.

2) Sommet O, axe focal (0x), paramtre p = 1/2, foyer F(1/4, 0) et directrice (D) : x= 1/4.3) Sommet O, axe focal (0y), paramtre p = 1/2, foyer F(0, 1/4) et directrice (D) : y= 1/4.4) Sommet O, axe focal (0y), paramtre p = 1, foyer F(0, 1/2)et directrice (D) : y= 1/2.

5) y = x2 + 3x+ 2 (x + 32

)2 = (y+1

4). Parabole de sommet S(3/2, 1/4), daxe focal () : x= 3/2, de

paramtrep = 1/2, de foyer F = S+ (0,p/2) = (3/2, 0) et de directrice (D) : y= ySp/2 = 1/2.6) y2 + 6y+4x 3= 0 (y+ 3)2 +4x 12= 0 (y+ 3)2 = 4(x 3). Parabole de sommet S(3, 3), daxe focal() : y= 3, de paramtre p = 2, de foyer F = S (p/2, 0) = (2, 3) et de directrice (D) : x= xS+p/2 = 4.


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Commentaire . En 2), puisque lon doit avoir x = y2 0, la parabole est tourne vers les x < 0. Le foyer a donc uneabscisse strictement ngative. En 3) et 4), les quations doivent tre crites avec le carr isol en premier membre (x2 = y et

x2 = 2y). En 6), on doit prendre garde au fait quun changement dorigine scrit

x= xO +X

y= yO + Y . En consquence, lquation

ne doit pas tre crite sous la forme (y+ 3)2 = 4x+ 12, mais sous la forme (y+ 3)2 = 4(x 3)( Y2 = 4X2). Sinon, pourbien voir, construisez chacune des paraboles prcdentes avant de rpondre.

3.3 Paramtrisation de la parabole

Soit (P) une parabole. Il existe un repre dans lequel (P) admet pour quation cartsienne y2 =2px. La parabole est

alors lensemble des ( t2

2p, t),tR. On a choisi y comme paramtre. On peut galement choisir x mais cest plus maladroit

car apparaissent des cas de figure superflus et des

inutiles.

Une paramtrisation de la parabole dquationy2 =2px :

x= t

2

2p

y= t, t R.

Il existe un autre repre dans lequel la parabole admet pour quation x2 = 2py et une autre paramtrisation est x= t

y= t2

2p

, t R.

3.4 Tangente en un point de la paraboleSoit (P) la parabole de foyer F et de directrice (D). Soit p le paramtre de (P). Il existe un repre dans lequel (P)

admet pour reprsentation paramtrique

x= t

2

2p

y= t, t R.

Soient y0 un rel puis x0 = y202p

. Le vecteur driv en y0 est

dM

dt (y0) = (

y0

p , 1). Ce vecteur est non nul et donc, (P)admet

une tangente (T0)en M(y0). De plus,

M(x, y)(T0)

x x0 y0/p

yy0 1

=0

(x x0)

y0

p (yy0) =0

y0(yy0) =p(x x0)

y0y= p(x x0) +y20 y0y= p(x x0) + 2px0 y0y= p(x+ x0).La tangente la parabole (P)dquation y2 =2px en le point M0(x0, y0) admet pour quation cartsienne :

y0y = p(x+ x0).

On verra en fin de ce chapitre (voir page 22) que cette quation sobtient partir dune rgle trs gnrale appelergle de ddoublement des termes.

3.5 Construction de la parabole par points et tangentes

Dmontrons maintenant une proprit remarquable de la tangente (P)en M0, aux consquences pratiques varies.

Thorme 1.Soit(P)une parabole de foyer F et de directrice(D). SoientM0 un point de (P)et H0 le projet orthogonal

de M0 sur (D). La tangente (T0)en M0 (P) est la mdiatrice du segment [F, H0], et donc aussi la bissectrice de langleFM0H0.

Dmonstration . On note p le paramtre de (P). On choisit un repre orthonorm dans lequel (P) admet pour quationy2 =2px. Daprs le paragraphe prcdent, (T0) admet pour quation dans ce repre : y0y= p(x+x0).

Soient alors(d)la mdiatrice du segment [F, H0]etI le milieu du segment [F, H0]. On aF(p/2, 0),H0(p/2, y0)et doncI(0, y0/2).Ainsi,

M(x, y) (d) IM.H0F= 0 p(x0) y0(y y02

) =0 y0y= px + y202

=p(x+x0).

(d)et (T0)sont donc effectivement une seule et mme droite. Maintenant, puisqueM0F= M0H0, le triangle (FM0H0)est isocle

en M0 et la mdiatrice du segment [F, H] est galement la bissectrice de langle FM0H0.


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F

(D)

I

H

M

On peut alors fournir une construction de la parabole par points et tangentes, partir de sa directrice (D)et de son foyer F.

Donnez vous donc une droite (D)et un point F non sur (D). Construisez ()et donc le point K. Placez le sommet S de la parabole, qui est le milieu de [FK].Donnez vous ensuite un point H sur la directrice (D). Tracez (en trait lger) laperpendiculaire (D)passant parH(le pointMde(P)dont le projet orthogonalestH est sur cette droite). Tracez aussi (en trait lger) la mdiatrice du segment[F, H]. Le point M est lintersection de ces deux droites, et de plus, la tangenteenM (P) est la mdiatrice qui a servi construire M. En recommenant avecsept ou huit autres pointsH, vous voyez surgir votre parabole avec ses tangentes.

Une consquence pratique de ce rsultat est la suivante : un rayon incident(sonore ou lumineux) arrive parallle laxe de la parabole. Il tape sur la parabole en un point M puis se rflchit. Onsait que langle incident (cest--dire plus prcisment, langle que fait le rayon avec la tangente la parabole) est gal langle rflchi. Ce rayon part donc au foyer. Inversement, un rayon issu du foyer et qui se rflchit sur la parabole, repartparalllement laxe de la parabole.

F M

Nous utilisons surtout cette proprit gomtrique en dimension 3. On faittourner une parabole autour de son axe et on obtient un parabolode de rvolu-tion, encore appel abusivement parabole dans la vie courante.

Si les rayons du soleil viennent taper sur le parabolode pourvu dun revte-ment rflchissant, ceux-ci vont se reconcentrer au foyer et une feuille de papierplace en ce point senflammera. Cest dailleurs l lorigine du mot foyer. Lefour solaire dOdeillo (dans les Pyrnes) utilise ce principe (les dimensions dumiroir parabolique sont environ 100m de large pour 20m de haut). Les paraboles

qui nous permettent de recevoir les missions de tlvision galement, mais il nest alors plus question denflammer quoique ce soit. Les phares paraboliques des voitures utilisent cette prorit en sens inverse : lampoule est place au foyer duparabolode et le phare claire donc droit devant lui (heureusement).

4 Lellipse (0 < e < 1) et lhyperbole (e > 1)

4.1 Notations et calculs communs lellipse et lhyperbole

On revient la fin du paragraphe 1. Quand e]0, 1[]1, +[, lintersection de la conique () et de son axe focal ()est constitue de deux points distincts. Les points A = bar(F(1), K(e))et A = bar(F(1), K(e)). On note alors O le milieu

de [A, A ] (on a doncOA =

OA). On pose a = OA et c = OF.

4.1.1 Position relative des points O, A, F et K.

A= bar(F(1), K(e))A = bar(F(1), K(e))

AF+ eAK=0A F e

A K=

0 OF + eOK= (e+ 1)OA

OF eOK= (1 e)

OA = (e 1)

OA

2OF = 2eOA (+)2e

OK= 2

OA ()

OF= e

OA

OK=

1

e

OA

.

Une consquence de ces calculs est que OF = eOA et OK= 1e

OA. Ainsi,

OF= eOA et c = ea ou aussi e = ca ,OK=

1

e

OAet OK =

a

e =

a2

c .

On peut noter que, puisque e=1, on a c=a.

4.1.2 Equation rduite de lellipse et de lhyperbole.

On choisit un repre orthonorm (O,i ,

j ), dorigine O et daxe des abscisses (Ox) tel que A ait pour coordonnes

(a, 0). Le pointFa alors pour coordonnes(c, 0)et la directrice(D)a pour quation x = a2

c. Le calcul qui suit est commun

lellipse et lhyperbole.


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M(x, y)() FM2 =e2(d(M, (D))2 (x c)2 +y2 = c2a2

(xa2

c )2 (puisquee =

c

a)

x2 2cx+ c2 +y2 = c2a2

x2 2cx+a2 a2 c2a2

x2 +y2 =a2 c2

x2a2

+ y2

a2 c2 =1 (aprs division par le rel non nula2 c2)

Ainsi, dans le repre ci-dessus, ()admet pour quation

x2

a2 + y

2

a2 c2 =1

.

On doit noter que le point O est centre de symtrie de (). En effet,

M(x, y)() x2a2

+ y2

a2 c2 =1 (x)2

a2 +

(y)2

a2 c2 =1 sO(M)().

Pour cette raison, lellipse et lhyperbole sont appelesconiques centre.

De mme, nous savons dj que laxe focal de () (qui est ici laxe des abscisses) est un axe de symtrie, ce que lonredcouvre dans lquivalence (x, y)()

(x, y)(). Mais laxe des ordonnes de notre repre est galement axe de

symtrie de () (car (x, y)()

(x, y)()). Ce deuxime axe de symtrie ( ) est laxe non focal de la conique().

Par symtrie soit par rapport O, soit par rapport ( ), on peut alors dfinir F le symtrique du foyer F, (D ) lasymtrique de la directrice(D) et K le point dintersection de (D ) et de (). Il est clair par symtrie que la conique defoyer F, de directrice (D) et dexcentricit e est aussi la conique de foyer F , de directrice (D ) et dexcentricit e. Ainsi,une ellipse ou une hyperbole ont deux foyers et deux directrices allant par paires (et aussi deux axes et un centre).

4.2 Lellipse

Dfinition 2.Une ellipse est une conique dexcentricite]0, 1[.

O A

F

K

(D)

()

( )

Dans ce cas, OF = eOA < OAet OK= 1

eOA > OA. Les points O, F,

Aet K sont donc disposs comme le montre la figure ci-contre.

Les formules OF = eOA

et OK =

1

eOA

signifient alors pour lellipseque, partir du point O,

le foyer F est e fois plus prs

que le point A et

le point K est 1

e fois plus loin

que le point A.

Cest dans le cas de lellipse que le mot excentricitprend tout son sens : si OA = 1 (cest--dire si OA est lunitde longueur) alors e = c est lcartement du foyer par rapport au centre, ce centre tant lui-mme pens comme centredun cercle (de centre O et de rayonOA) qui sest petit petit aplati au fur et mesure que le foyer, initialement en O,

scartait de O pour se diriger vers le point fixe A.Le cercle, qui nest pas apparu dans la description des coniques par foyer, directrice et excentricit, peut dailleurs tre

pens conventionnellement comme une ellipse dexcentricit 0 et de directrice linfini. Par exemple, dans le cas limitee= 0 qui fournit c = 0, lquation de ()obtenue dans le paragraphe prcdent scrit : x2 +y2 =a2.

Equation rduite dune ellipse. Puisque 0 < e < 1, on a c < a. Par suite, a2 c2 > 0et on peut poser b =

a2 c2

ce qui scrit encore

a2 =b2 +c2

(on verra plus loin linterprtation gomtrique du nombre b et de lgalit de Pythagore a2 =b2 + c2). Dans le repredfini au paragraphe prcdent, lellipse admet pour quation :


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x2

a2 +

y2

b2 =1 (quation rduite dune ellipse)

Etude de lquation rduite et construction de lellipse.

Tout dabord, si M(x, y) est un point de lellipse, x2

a2 = 1

y2

b2 1 avec galit si et seulement si y = 0. Par suite,

labscisse x de M vrifie |x| a ou encore a x a avec galits effectivement obtenues pour les points A(a, 0) etA (a, 0). De mme, byb avec galits effectivement obtenues pour les points B(0, b) et B (0, b). Les points A,A ,B et B sont lesquatre sommetsde lellipse. A et A sont sur laxe focal et B et B sont sur laxe non focal. Ici, on aOB= OB =b =

a2 c2 < a= OA = OA . Pour cette raison, le segment [A, A ] est appel le grand axe de lellipse

et le segment [B, B ], le petit axe de lellipse. Par abus de langage, lexpression grand axedsigne parfois laxe focal ouaussi la longueur AA . On parle par exemple de lellipse de demi-grand axe a et de demi-petit axe b.

Pour (x, y) R2, lgalit x2

a2 + y

2

b2 =1 quivaut y =

b

a

a2 x2 ou y =

b

a

a2 x2. Lellipse est donc la runion

des graphes des fonctions f1 : x baa2 x2 et f2 = f1. Ltude de f1 est simple et le graphe est ais construire. Lgalit de Pythagore a2 =b2 + c2 fournit une construction du foyer quand on a les sommets A et B.Nous rsumons maintenant le cours sur lellipse. Ltude de la tangente en un point de lellipse sera traite plus loin.

O AA

B

B

FF

K K

(D ) (D)

b

c

a

()( )

a= OA = OA , b = OB = OB , c = OF = OF .a2 =b2 +c2, a > b et a > c.Axe focal (Ox)et axe non focal (Oy).

Equation rduite

x2

a2 +

y2

b2 =1.

e= c

a, OF = OF = eOA,

FoyersF(c, 0) et F (c, 0).

OK= OK = a

e =

a2

c ,

Directrices(D) : x= a2

c et (D ) : x= a

2

c .

Dans le cours qui vient de dfiler, avoir choisi pour axe focal laxe (Ox) a eu pour consquence de tracer lellipse

lhorizontale ce qui est quivalent lingalit a > b. Si on doit faire face une quation du type x2

a2 +

y2

b2 = 1 avec

b > a, la dmarche consiste priori se ramener la situation prcdente par un changement de repre : on pose x = Y

ety = X, ce qui correspond un change des axes de coordonnes, de sorte que le plus grand des deux nombres a2

oub2

, savoir b2 est maintenant sous X2 dans lquation

X2

b2 +

Y2

a2 =1 . . . Mais comme pour la parabole, il nest pas besoin

de faire ce changement de repre, et on adapte nos formules par simple lecture dun dessin.

O AA

B

B

F

F

K

K

(D )

(D)

bc

a

()

( )

a= OA = OA , b = OB = OB , c = OF = OF .b2 =a2 +c2, b > c et b > aAxe focal (Oy)et axe non focal (Ox).

Equation rduite x2

a2 +

y2

b2 =1.

e= c

b, OF= OF = eOB,

FoyersF(0, c) et F (0, c).

OK= OK = b

e =

b2

c ,

Directrices(D) : y= b2

c et (D ) : y=

b2

c .


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Appliquons ce rsultat la dtermination de la projection orthogonale dun cercle de lespace sur un plan.

(P)

(P )(D)

(E)

(C)

i

i

i

(C) est un cercle de lespace de dimesion 3, de centre O et de rayonR > 0. (P) est le plan de ce cercle. On veut projeter orthogonalement (C)sur un plan (P ), scant (P) en une droite (D)et non perpendiculaire

(P). On note langle entre (P) et (P )(]0,2

[).

On se donne un repre orthonormR = (O, i , j ) de (P) o de plusi dirige (D). Le repre orthonorm (O,

i ,

j ) de (P) se projette sur

(P ) en un repre orthogonal (O ,i ,

j 1) oj 1 = cos(). Si on pose

R = (O ,

i ,

j ) o

i =

i et

j =

1

cos()

j 1, alorsR est un

repre orthonorm de (P ). Comme les vecteursi etj se projettentrespectivement en

i =

i et

j 1 =cos()

j , un point M = O + x

i +

yj de (P) se projette en le point M = O + x

i +y

j 1 = O

+ xi +

y cos()j de (P ). En particulier, le point courant M(t) = O+ R(cos(t)

i +sin(t)

j ) de (C) est projet en le point

O +R cos(t)i + R cos() sin(t)

j de (P ). Le sous-ensemble de (P ) cherch est donc limage du cercle de centre O et

de rayonR par laffinit orthogonale de rapport cos()et daxe (O ,i ): on sait quil sagit dune ellipse.

En tenant compte des cas limites o(P )est parallle (P)et dans ce cas, le projet de Cest un cercle de mme rayon,et o (P ) est perpendiculaire (P) et dans ce cas, le projet de Cest un segment ou encore une ellipse de demi-petitaxe nul , on peut noncer :

Thorme 2. Le projet orthogonal dun cercle sur un plan est une ellipse.

4.3 Lhyperbole

Dfinition 3.Une hyperbole est une conique dexcentricit e]1, +[.Dans ce cas, OF = eOA > OA et OK =

1

eOA < OA. Cest donc le contraire de lellipse et les points O, F, A et K sont

maintenant disposs comme le montre la figure ci-dessous.

O A

F

K

(D)

()

( )

Les formules OF = eOA et OK = 1

eOA signifient pour lhyperbole

que, partir du point O,

le foyer F est e fois plus loin

que le point A et

le point K est 1

e fois plus prs

que le point A.

Equation rduite dune hyperbole.Puisque e > 1, on a c > a. Par suite, c2 a2 > 0et on peut poser b =

c2 a2

ce qui scrit encore

c2 =a2 + b2 ou aussi a2 c2 = b2.

Dans le repre dfini au paragraphe prcdent, lhyperbole admet pour quation :

x2

a2

y2

b2 =1 (quation rduite dune hyperbole)

Etude de lquation rduite et construction de lhyperbole.

Tout dabord, si M(x, y) est un point de lhyperbole, x2

a2 1 =

y2

b2 0 avec galit si et seulement si y = 0. Par suite,

labscisse x de M vrifie |x|a ou encore (xaou xa) avec galits effectivement obtenues pour les points A(a, 0)et A (a, 0). La courbe construire ne possde donc aucun point dabscisse dans ] a, a[.

/noindentA et A sont sur laxe focal : ce sont les sommetsde lhyperbole.

Pour (x, y) R2, lgalit x2

a2

y2

b2 = 1 quivaut y =

b

a

x2 a2 ou y =

b

a

x2 a2. Lhyperbole est donc la

runion des graphes des fonctionsf1 : x

b

a

x2 a2 et f2 = f1.


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Ltude de f1 est simple. Il nous faut nanmoins la dtailler en +. Pour x[a, +[,f1(x)

b

ax=

b

a(

x2 a2 x) = abx2 a2 +x

.

Cette dernire expression tend vers 0 quand x tend vers + et donc, la droite dquation y = ba

x est asymptote la

courbe. Par symtrie, il en est de mme de la droite dquation y = b

ax. On doit noter que les deux asymptotes

lhyperbole dquation x2

a2

y2

b2 =1 sont obtenues mcaniquement en remplaant 1 par 0 :

x

2

a2 y

2

b2 =0 x

a y

b

)

xa

+ yb

=0 (y= b

axou y = b

ax).

Lgalit de Pythagore c2 = a2 +b2 fournit une construction du foyer quand on dispose de lhyperbole et de lunede ses asymptotes. a est labscisse de A. b est lordonne du point de la droite dquation y =

b

axdabscisse a. c qui est

lhypothnuse dun triangle rectangle de cts a et b, peut donc tre lu sur lasymptote, puis rabattu au compas surlaxe (Ox) comme le montre le dessin qui suit.

Nous rsumons maintenant le cours sur lhyperbole. Ltude de la tangente en un point de lhyperbole sera traite plusloin.

O AA FF K K

(D ) (D)

bc

a ()

( )

y=

(b/a

)x

y=

(b/a)x

a= OA = OA , c = OF = OF

c2 =a2 + b2, c > a et c > b.Axe focal (Ox)et axe non focal (Oy).SommetsA(a, 0)et A (a, 0).

Equation rduite x2

a2

y2

b2 =1

e= c

a, OF = OF = eOA.

FoyersF(c, 0) et F (c, 0).

OK= OK = a

e =

a2

c ,

Directrices(D) : x= a2

c et (D ) : x=

a2

c .

Asymptotes dquations y = b

ax et y =

b

ax.

Contrairement lellipse, dans la situation de rfrence expose ci-dessus, on peut avoir a > b, a = b ou a < b. Fairepasser lhyperbole la verticale , cest--dire prendre laxe(Oy)pour axe focal, ne consiste plus en un change des rles

de a et b mais en un changement de signe. Cest lquation : x2

a2

y2

b2 = 1 ou encore

x2

a2 +

y2

b2 =1, qui correspond

un change de coordonnes et donc un change daxes.Comme dhabitude, on neffectue pas explicitement le changement de repre x = Y et y = X, mais on adapte nos

formules par simple lecture dun dessin.

O

B

B

F

F

K

K

(D )

(D)

( )

()

y=

(b/a

)x

y=

(b/a)x

b

a

c

b= OB = OB , c= OF = OF

c2 =a2 + b2, c > a et c > bAxe focal (Oy)et axe non focal (Ox).SommetsB(0, b) et B (0, b).

Equation rduite x2

a2 +

y2

b2 =1

e= c

b, OF= OF = eOB.

FoyersF(0, c) et F (0, c).

OK= OK = b

e =

b2

c ,

Directrices(D) : y= b2

c et (D ) : y=

b2

c .

Asymptotes dquations y = b

ax et y =

b

ax.


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4.4 Paramtrisation de lellipse et de lhyperbole

Lellipse.Soit Eune ellipse. Il existe un repre orthonorm dans lequel Eadmet pour quation cartsienne x2

a2+

y2

b2 =1.

Un pointM de coordonnes(x, y)est sur lellipse si et seulement si il existe un rel t tel que x

a =cos(t)et en mme temps

y

b =sin(t). Lellipse est donc lensemble des (a cos(t), b sin(t))o t dcrit R. Une paramtrisation de lellipse de centre O

et de demi-axesa et b est x= a cos(t)y = b sin(t)

.

Plus gnralement, une paramtrisation de lellipse de centre (x0, y0) et de demi-axesa et b est x= x0+ a cos(t)y= y0+ b sin(t)

.

En posant u= tan(t

2), t]

2,

2[, on obtient une paramtrisation rationnelle de lellipse de centreO et de demi-axesa

et b prive du point A (a, 0) :

x= a

1u2

1+u2

y= b 2u1+u2

, uR.

Lhyperbole.Puisque pour tout rel t, ch2(t) sh2(t) = 1 et que dautre part, la fonctiont sh(t)est une bijection deR sur R, une paramtrisation de la branche dhyperbole dquation

x2

a2

y2

b2 =1, x0, est

x= a ch(t)y= b sh(t)

.

4.5 Dfinition bifocale de lellipse et de lhyperbole

Avec les notations des paragraphes prcdents,

O aa FF

MH H

a2

ca2

c

Thorme 4. Tout point M de lellipse vrifie MF + MF = 2a.

Dmonstration . Soit M un point de lellipse (E). Alors,

MF+MF

=eMH + eMH

=e(MH+ MH

) =eH H

=eKK

=e 2 ae

=2a .

Thorme 5 (Dfinition bifocale de lellipse). Lellipse est lensemble des points M tels que MF + MF = 2a.

Dmonstration . On sait dj que lellipse (E) est contenue dans lensemble () ={M P/ MF+MF =2a}.Soit M(x, y)

P.

MF+ MF

=2a p(xc)2 +y2 + p(x+c)2 +y2 =2a (xc)2 +y2 + (x+c)2 +y2 +2p(xc)2 +y2p(x+c)2 +y2 =4a2p(xc)2 +y2p(x+c)2 +y2 =2a2 x2 y2 c2 ((xc)2 +y2)((x+c)2 +y2) = (2a2 x2 y2 c2)2 et2a2 x2 y2 c2 0 ((x2 +y2 +c2) 2cx)((x2 +y2 +c2) + 2cx) = ((x2 +y2 +c2) 2a2)2

et2a2 x2 y2 c2 0

et donc


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MF+MF

=2a 4c2x2 = 4a2(x2 +y2 +c2) + 4a4 et2a2 x2 y2 c2 0 (a2 c2)x2 +a2y2 =a2(a2 c2)et 2a2 x2 y2 c2 0 x2

a2 +

y2

a2 c2 =1 et 2a2 x2 y2 c2 0

x2a2

+ y2

b2 =1 et x2 +y2 a2 +b2

x2

a2 +

y2

b2 =1,

ce qui montre linclusion de () dans (E) et achve la dmonstration. Nanmoins, on peut se convaincre directement de lquiva-

lence : (x2

a2 +

y2

b2 =1) (I) ( x2

a2 +

y2

b2 = 1 et x2 +y2 a2 +b2) (II). (II) (I) est clair. Rciproquement, si (I) est vrifie, on a

vu que x2 a2 ety2 b2, et on a donc bien x2 +y2 a2 +b2.

Ce rsultat fournit laconstruction du jardinier. On veut planter un parterre de fleurs de forme elliptique et dabordle dessiner au sol. On plante deux pieux, distants lun de lautre de 2c, puis on attache chacun des deux pieux une cordede longueuer 2a > 2c. A laide dun troisime bton, on tend la corde et on dplace ce bton, la corde restant tendue.Dans son dplacement, ce bton dessine sur le sol une ellipse de foyers les deux pieux et de grand axe 2a. Si on trouve

lellipse trop aplatie, on rapproche les deux pieux (ce qui rapproche e = c

ade0) et si on la trouve trop ronde, on les carte

(ce qui rapprochee de 1).

On montre de manire analogue le rsultat suivant concernant lhyperbole.

Thorme 6 (dfinition bifocale de lhyperbole).Lhyperbole est lensemble des points M tels que |MF MF | = 2a.Plus prcisment, la branche de lhyperbole qui est plus proche de F que de F est lensemble des points M tels queMF MF= 2a, et lensemble des points Mtels que MF MF = 2a est lautre branche.

4.6 Tangente en un point dune ellipse ou dune hyperbole

Il existe un repre orthonorm dans lequel lellipse (E) admet pour quation cartsienne x2

a2 +

y2

b2 = 1 et donc aussi

pour reprsentation paramtrique

x= a cos(t)y= b sin(t)

. Soit M0(x0, y0) un point de E, puis soit t0 lunique rel de ] , ]

tel que x0 = a cos(t0)et y0 =b sin(t0). Le vecteur driv en t0 est

dMdt

(t0) = (a sin(t0), b cos(t0)) = (a

by0,

b

ax0).

Puisque les fonctions sinus et cosinus ne sannulent pas simultanment, ce vecteur nest jamais nul et lellipse admet unetangente (T0) en M0. De plus, pour M(x, y)point donn du plan,

M(x, y)(T0)

x x0 a

by0

yy0b

ax0

=0 ba x0(x x0) + aby0(yy0) =0 x0

a2(x x0) +

y0

b2(yy0) =0 (aprs division par ab)

x0xa2

+y0y

b2 =

x20a2

+y20b2 x0x

a2 +

y0y

b2 =1.

Ainsi,


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Thorme 7. La tangente lellipse dquation x2

a2 +

y2

b2 =1 en le point M0(x0, y0)admet pour quation cartsienne :

xx0

a2 +

yy0

b2 =1

.

De nouveau, cette tangente peut tre obtenue partir de la rgle trs gnrale, dite rgle de ddoublement des termesexpose page 22.

Thorme 8. La tangente lellipse en M0 est bissectrice extrieure de langle de vecteur

M0F,

M0F

.

Dmonstration. Nous pouvons comme pour la parabole dterminer une quation cartsienne de cette bissectrice intrieure

pour constater que lon retrouve lquation prcdente. Nous allons nanmoins nous y prendre autrement en utilisant la dfinitionbifocale de lellipse (thorme 5, page 13).

On choisit une paramtrisation drivable t M(t), t R, de lellipse (par exemple, x = a cos(t) et y = b sin(t)). On sait quepour tout rel t, on a FM(t) +F M(t) = 2a. Daprs la thorme 3, page 10 du chapitre Courbes paramtres 1re partie etpuisqueFM(t) et F M(t) ne sont jamais nuls, en drivant cette fonction constante, on obtient pour tout rel t :

1

FM(t)

FM(t).

dM

dt (t) +

1

F M(t)

F

M(t).

dM

dt (t) =0,

ou encore

1

FM(t)

FM(t) +

1

F M(t)

F

M(t)

.

dM

dt (t) =0.

Comme dMdt

(t) dirige la tangente en M(t), que 1FM(t)

FM(t) + 1F M(t)

F M(t) dirige la bissectrice intrieure de langleFM(t),

F M(t)

, on a montr que la tangente est la perpendiculaire enM(t) la bissectrice intrieure de langle

FM(t),

F M(t)

ou encore, est la bissectrice extrieure de ce mme angle.

Commentaire . Ainsi, si un rayon sonore ou lumineux part de lun des foyers et tape sur lellipse, il se rflchit vers lautrefoyer.

On montre de mme le rsultat suivant concernant lhyperbole.

Thorme 9.

La tangente lhyperbole dquation x2

a2 y

2

b2 =1 en le point M0(x0, y0) admet pour quation cartsienne

xx0a2

yy0b2

=1

.

La tangente en M0 est bissectrice intrieure de langle de vecteur

M0F,M0F

.

5 Les coniques en polaires

() est la conique de foyer F, de directrice (D) et dexcentricit e]0, +[. On se place cette fois-ci dans un repreorthonorm direct dorigine le foyer F, daxe des abscisses laxe focal () de (), tel que le point K ait une abscissestrictement positive. Si M est un point du plan, on note [r, ] un couple de coordonnes polaires de M. On note d la

distance du foyer F la directrice (D) puis on pose p=ed (p sappelle le paramtre de la conique).

Dans le repre considr, |r|= FM, xK = d et xM = r cos(). Par suite,

M() FM= e d(M, (D)) |r|= e|r cos() d| r= e(r cos() d)ou r = e(r cos() d) r= ed

1 e cos()our =

ed

1+ e cos() r= p

1 e cos()our =

p

1+ e cos().

()est donc la runion des courbes (1) et (2)dquations polaires respectives r = p

1+ e cos() =f1()et

r = p

1 e cos() = f2(). On note M1() (resp. M2()) le point de coordonnes polaires [f1(), ] (resp. [f2(), ]).

M1()(resp. M2()) est le point courant de (1) (resp. (2)). On note alors que


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infinies obtenues pour cos() = 1

2) ou aussib

a =

3. Ce sont les droites dquations (y

2

3) =

3x.

11

1

2

1

2

Exercice 6. Construire les courbes dquations polaires respectives

1) r = 1

1+sin(), 2) r =

1

2cos() 3) r =

1

2+cos() +sin().

Solution.

1)Notons(1)la courbe dquation polaire r = 1

1+sin() =f1(). Pour /

2+ 2Z,

1

1+sin() =

1

1+cos( 2 ).

Soit alors (2)la courbe dquation polaire r = 1

1+cos() =f2(). Pour /

2 + 2Z,

M1(+

2) = [f1(+

2), +

2] = [f2(), +

2] = rO,/2(M2()).

Donc,(1)est limage de (2)dans le quart de tour direct de centre O. (2)est une parabole (construite plus haut) etil en est de mme de (1).

112

1

2

1

2

2) Notons (1)la courbe dquation polaire r = 1

2cos() =f1()et (2)la courbe dquation polaire

r= 1

2+cos() =f2(). Pour R,

M1( +) = [f1(+ ), + ] = [f2(), + ] =sO(M2()).

Donc,(1)est limage de (2)dans la symtrie centrale de centre O. (2)est une ellipse (construite plus haut) et il enest de mme de (1).

11

1

1

3) Notons (1)la courbe dquation polaire r = 1

2+cos() +sin() =

1/2

1+ 12

cos( 4

)=f1() et (2)la courbe

dquation polaire r = 1/2

1+ 12

cos()=f2(). Pour R,


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M1(+

4) = [f1(+

4), +

4] = [f2(), +

4] =rotO,/4(M2()).

Donc, (1)est limage de (2)dans la rotation de centre O et dangle

4. (2)est une ellipse et il en est de

mme de (1).

11

1

1

Exercice 7. Dterminer limage du cercle unit par la fonction f : z 1z2 + z+ 1

.

Solution. Pour zC,

z2 +z+ 1 = 0 z= j ou z= j2.Posons donc D = U\ {j, j2}(o U dsigne lensemble des nombres complexes de module 1). D est lensemble des ei

o dcrit = R \(23

+ 2Z). Pour ,

f(ei) = 1

(ei)2 + ei +1 =

ei

1+ ei +ei =

1

1+ 2 cos()ei.

Ainsi, pour , f(ei) = 11+2 cos()

ei, ou encore le point M()daffixe f(ei)vrifie

OM() =

1

1+ 2 cos()u.

M()est le point de coordonnes polaires[ 1

1+ 2 cos(), ]. Lensemble cherch est lensemble des points de coordonnes

polaires [ 11+ 2 cos()

, ], o dcrit : cest lhyperbole dquation polaire r = 11+ 2 cos()

construite plus haut.

6 Les courbes du second degr

Le plan est rapport un repre orthonorm directR= (O, i , j ). On va tudier lensemble ()dquation :ax2 + 2bxy+ cy2 + 2dx+ 2ey+ f= 0 (E),

o a, b, c, d, e et f sont six rels tels que (a ,b,c)= (0,0,0). Commentaire .

Les nombresa, b, . . . , ne sont pas uniquement dfinis, car si on multiplie les deux membres de(E) par un rel non nul et distinctde 1, on obtient une autre quation de().

On ne peut mme pas dire que a, b, . . . , sont uniquement dfinis une constante multiplicative prs puisque x2 +y2 +1 = 0,x2 +y2 +2 = 0, 2x2 +4x + y2 +30 = 0 ou x2 +2xy +y2 +1 = 0 sont quatre quations de lensemble vide, sans aucun rapport deproportionnalit entre les coefficients.

Nous connaissons dj des exemples de tel les quations : x2 +y2 1= 0 (cercle) ou plus gnralement x2

a2+

y2

b2 1= 0 (ellipse),

x2

a2

y2

b2 1 = 0, xy 1 = 0 (hyperboles), x2 y = 0 (parabole), x2 y2 =0 (runion des droites dquations respectives y= x et

y= x) . . . .


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Thorme 11. Dans tout repre (orthonorm direct ou pas), () a une quation de ce type.

Dmonstration .

SiR est un autre repre, on sait que les formules de changement de repre sont du type

x= x +y +

y= x + y + avec

= 0. DansR , () admet pour quation a(x +y +)2 +. . . = 0 qui est du type a x 2 +2b x y +. . . = 0 oa = a2 +2b + c2 , . . . Maintenant, on ne peut avoir (a , b , c ) = (0, 0, 0) car, par le changement de repre inverse, on

obtiendrait alors a= b = c = 0 ce qui nest pas.

Rduction de lquation (E) par changement(s) de repre(s). Le but de tous les calculs qui vont suivre jusquautableau rcapitulatif page 21, est double :

trouver tous les types de courbes ayant une quation du type (E) et les classer ; dgager un plan dtude dune courbe du second degr pour pouvoir construire une telle courbe dont on a explicite-

ment une quation.

Nous allons maintenant chercher un repre orthonorm directR dans lequel le terme x y est affect dun coefficient gal 0. Le problme est immdiatement rsolu si b = 0. Dans ce qui suit, on suppose donc b=0.

On se donne un rel puisR = (O, i , j )oi = cos()i + sin()j etj = sin()i + cos j (le repreRse dduit du repreRpar rotation de centre O et dangle ). Les formules de changement de repre scrivent

x = cos()x sin()y

y= sin()x +cos()y

o (x, y)(resp. (x , y )) sont les coordonnes dun point M donn dansR(resp.R). Il est clair que le coefficient de x y est issu des termes de degr deux uniquement. Or, pour tout couple de rels (x, y),

ax2 + 2bxy+ cy2 =a(cos()x sin()y )2 + 2b(cos()x sin()y )(sin()x +cos()y )

+ c(sin()x +cos()y )2

=a x 2 + 2b x y + c y 2 ()

o on a pos a = a cos2() +2b cos() sin() + c sin2(), 2b = (2a+ 2c) cos() sin() +2b(cos2() sin2() etc =a sin2() 2b cos() sin() + c cos2().

Lemme.On a a c b 2 =ac b2

Dmonstration .

a c b 2 = [ a+ c2

+ ( ac2

cos(2) +b sin(2))][ a+c2

( ac2

cos(2) +b sin(2))]

[ac

2 sin(2) +b cos(2)]2

=a+c

2

2 (b sin(2) +

ac

2 cos(2))2 (b cos(2)

ac

2 sin(2))2

=

a+c

2

2

a c

2

2(cos2(2) +sin2(2)) b2(sin2(2) + cos2(2))

=

a+c

2

2

a c

2

2b

2=ac b

2.

Dfinition 5 (Discriminant dune courbe du second degr). Le discriminant de la courbe dquation ax2 + 2bxy +

cy2

+ 2dx+ 2ey+ f= 0 dans le repreR est le nombre = ac b2

.Thorme 12. Le signe de (< 0, =0 ou > 0) ne dpend pas deR. Commentaire .

Le lemme prcdent montre dj que ce nombre ne change pas si on effectue un changement de base orthonorme sans autremodification.

Si on multiplie tous les coefficients de lquation initiale par un rel non nul, il est clair que est multipli par 2 > 0. Dansce cas, la valeur de change mais pas son signe.

Il est clair quun changement dorigine naffecte pas les termes de degr 2, et donc naffecte pas. On peut montrer que quand () nest pas vide, le signe de est indpendant de quelque repre que ce soit, mais ne dpend quede la courbe (). Cette constatation nous permettra de classer plus loin les coniques en trois genres.


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Le signe du discriminant de lensemble vide peut quant lui prendre plusieurs valeurs (malheureusement), comme on le verraplus loin.

Revenons lgalit () en cherchant annuler le coefficient b .Le coefficient 2b de x y vaut (2a+ 2c) cos() sin() + 2b(cos2() sin2()) = (c a) sin(2) + 2b cos(2). Puisqueb=0,

2b =

(ca)2 +4b2(cos(0) cos(2) +sin(0) sin(2)) =

(c a)2 +4b2 cos(2 0),

o0 est un rel tel que cos(0) = 2b

(c a)2 +4b2et sin(0) =

ca

(ca)2 +4b2. En prenant =

0

2 +

4, le coefficient

de x y est nul.

Un cas particulier important pour la pratique est le cas a = c (les coefficients de x2 et de y2 sont les mmes). Dans ce

cas, on peut prendre 0 = 0 et donc =

4.

Thorme 13. Soit () lensemble dquation ax2 +2bxy+cy2 +2dx+2ey+f = 0, (a ,b,c)= (0,0,0) dans le repreorthonorm direct (O,

i ,

j ). Il existe un repre orthonorm direct (O,

i ,

j )(de mme origine) dans lequel () a une

quation de la forme a x 2 + b y 2 + 2c x + 2d y + e =0, avec a =0 ou b =0.Cherchons maintenant faire disparatre le plus possible de termes de degr1 par un nouveau changement de repre.

Le discriminant de la courbe vaut maintenant = a b 02 =a b .

Cas : Si = a b = 0, le changement dorigine

x = c

a + X

y = d

b + Y

nous amne une nouvelle quation du type

a X2 + b Y2 =K o K est un rel, dans laquelle on ne trouve plus de termes de degr 1.Cas : Sinon, on a a b = 0. Quite commencer par un change de x et y , on peut supposer que a = 0 et b =0. le

changement dorigine

x = X

y = d

b + Y

nous amne alors une nouvelle quation du type Y2 =KX+L o K et L sont

des rels.

Etude du cas . ()a pour quationa X2 + b Y2 =K, K R.Si K=0, lquation scrit X

2

a /K+

Y2

b /K =1. ()est alors lensemble vide si a /K < 0et b /K < 0, une hyperbole si

(a /K)(b /K)< 0 et une ellipse (ventuellement un cercle) si a /K > 0et b /K > 0. Si K = 0, lquation scrita X2 +b Y2 =0. Cet ensemble est un point si a b > 0 (le point X = 0 et Y= 0).Si a b < 0, a X2 + b Y2 =0 Y2 ( b

a )2X2 =0 (Y b

a X)(Y+

b

a X) = 0. Cet ensemble est une

runion de deux droites scantes.

Etude du cas . ()a pour quationY2 =KX + L, (K, L)R2. Si K=0, lquation scrit encoreY2 =K(X+ L

K), et on reconnait lquation dune parabole de sommet (L/K, 0).

Si K = 0, lquation scritY2 =L. ()est donc soit vide si L < 0, soit la droite dquation Y= 0 si L = 0, soit larunion des deux droites strictement parallles dquations respectives Y=

L et Y=

L si L > 0.

Thorme 14 (les diffrentes courbes du second degr).La courbe dquationax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f = 0,(a ,b,c)= (0,0,0) peut tre : une ellipse (voire un cercle, voire un point), une parabole, une hyperbole, une runion dedeux droites (scantes, strictement parallles ou confondues) ou lensemble vide.

Dans ltude prcdente, nous avons class ces diffrents cas. Le cas = 0 tait le cas . Le cas tait quant lui le cas

=0 pouvant se subdiviser en les deux sous-cas > 0 ce qui quivaut a et b non nuls et de mme signe et < 0,ce qui quivaut a et b non nuls et de signes contraires. En distinguant ces deux sous-cas dans la discussion faite plushaut, on peut noncer la dfinition et les tableaux ci-dessous.

Dfinition 6 (genre dune conique).Une conique de discriminant strictement positif est une conique du genre ellipse.Une conique de discriminant nul est une conique du genre parabole.Une conique de discriminant strictement ngatif est une conique dugenre hyperbole.


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Classification des courbes du second degrConiques du genre ellipse Coniques du genre parabole Coniques du genre hyperbole

= ac b2 > 0 = ac b2 =0 = ac b2 < 0

ellipse parabole hyperbole cercle runion de deux droites runion de deux droites point strictement parallles scantes

ensemble vide une droiteensemble vide

Les courbes du second degr sappellent aussi coniques, la quasi totalit dentre elles rsultant de lintersection dunecne de rvolution et dun plan. Les coniques qui ont pu tre dfinies par foyer, directrice et excentricit, ( savoir lellipse,la parabole et lhyperbole) sappelent les coniques propres. Les autres sont dites coniques impropres.

Exemples dquations deconiques du genre ellipse coniques du genre parabole coniques du genre hyperbole

= ac b2 > 0 = ac b2 =0 = ac b2 < 0

2x2 +y2 =1 y2 =x x2 y2 =1 ou xy = 1 x2 +y2 =1 x2 =1 x2 y2 =0

x2 +y2 =0 x2 =0

x2 +y2 = 1 x2 = 1

Plan dtude dune courbe du second degr.Dans un repre orthonorm donn, ()est la courbe dquationax2 + 2bxy+ cy2 + 2dx+ 2ey+ f= 0, (a ,b,c)= (0,0,0).

Calculer = ac b2 puis conclure sur le genre de ()et sur le type de courbe envisageable.

Si b=0, faire tourner le repre autour de O dun angle tel que, dans le repre (O, i , j ),le coefficient 2b cos(2) + 2(c a) sin(2)de x y soit nul.

Plus particulirement, si b=0 et a = c, tourner de 4

.

a) Si lquation est du type a x2 + b y2 + 2c x + 2d y+ e = 0, a b =0,faire deux transformations canoniques, une en x et une en y, puis changer dorigine.

On tombe sur a X2

+ b Y2

=K. Conclure.

b) Si lquation est du type a x2 + b y2 + 2c x +2d y+ e = 0, a b = 0,faire une transformation canonique (en x ou en y).

On tombe sur Y2 =KX + L ou X2 =KY+ L.Si K = 0, conclure et si K=0, mettre K en facteur, puis changer dorigine et conclure.

Exercice 8. Le plan est rapport un repre orthonormR.Aprs en avoir dtermin la nature et les lments caractristiques, construire la courbe()dquation cartsienne x2 2xy+y2 +x +y+ 1= 0. En donner une paramtrisation.

Solution. = ac b2 =1.1 (1)2 =0. () est une conique du genre parabole et donc, soit une parabole, soit unerunion de deux droites strictement parallles, soit une droite, soit lensemble vide.

On tourne le repreRde 4

autour de O. Pour cela, on pose

x= x y

2

y= x +y

2

, ou encore

x = x +y

2

y = x +y

2

. On note

R le nouveau repre.

M(x, y)R() (x y)2 + (x+y) + 1= 0 2y 2 + 2x + 1= 0 y 2 = 12

(x + 1

2).

() est donc une parabole de paramtre p = 1

2

2.


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91x2 + 18

3xy +73y2 = (91 cos2() + 18

3 cos() sin() + 73 sin2())x 2

+ (91 sin2() 18

3 sin() cos() + 73 cos2())y 2

=100x 2 + 64y 2.

On pose donc

x= 1

2(

3x y )

y= 1

2(x +

3y )

. On noteR le nouveau repre.

M(x, y)R() 100x 2 + 64y 2 + (32 503)(3x y ) (50+ 323)(x + 3y ) 1436 = 0 100x 2 + 64y 2 200x 128y 1436 = 0 25x 2 + 16y 2 50x 32y 359= 0 25(x 1)2 + 16(y 1)2 =400 (x 1)2

16 +

(y 1)2

25 =1.

() est donc une ellipse dquation rduite X2

16 +

Y2

25 =1.

Construction de ().

1 2 3 4 51234

1

2

34

5

6

1

2

3

4

Rgle de ddoublement des termes.

Le plan est rapport un repre orthonorm (O,i ,

j ).

On considre la courbe ()dquationax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f= 0. On suppose avoir choisia,b, . . . de sorte quecette courbe soit une conique propre (ellipse, parabole ou hyperbole). On se donne une paramtrisation t (x(t), y(t)),drivable sur R et rgulire (cela est possible dans tous les cas de figure), de la courbe (). Ainsi, pour tout rel t, on a

ax2(t) + 2bx(t)y(t) + cy2(t) + 2dx(t) + 2ey(t) + f= 0.

Drivons cette galit. On obtient aprs regroupement des termes

x (t)(2ax(t) + 2by(t) +2d) +y (t)(2bx(t) +2cy(t) +2e) =0 ().Donnons nous alors un rel t0, puis posons x(t0) = x0, y(t0) =y0 et M0(x0, y0). Le vecteur

dM

dt (t0) ntant pas nul, il

dirige la tangente ()en (x0, y0). La relation()montre alors que le vecteurn (ax0 + by0 + d,bx0 + cy0 + e)est normal la tangente (T0) ()en M0. On peut donc dterminer une quation de (T0) :

M(x, y)(T0) M0M.n =0 (ax0+ by0+ d)(x x0) + (bx0+ cy0+ e)(yy0) =0 axx0+ b(xy0+yx0) + cyy0+ dx+ ey ax20 2bx0y0 cy20dx0ey0 = 0 axx0+ b(xy0+yx0) + cyy0+ dx+ ey+ dx0+ ey0+ f = 0

axx0+ b(xy0+yx0) + cyy0+ d(x+ x0) + e(y+y0) + f= 0.


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Cette dernire quation se dduit de lquation de la courbe de manire tout fait mcanique grce la rgle ditergle de ddoublement des termes. Cette rgle marche pour toutes les courbes du second degr et se gnralise en deuximeanne au plan tangent une surface du second degr (sphres, parabolodes, ellipsodes, hyperbolodes, . . . ).

Rgle de ddoublement des termesx2 =x x xx0

y2 =y y yy02xy= x y +y x xy0+ yx0

2x= x +x

x + x0

2y= y +y

y+y0

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