Continuité, dérivabilité et convexité A) Fonction dérivée ...scf0e512586f6de82.jimcontent.com › download › version › 14476109… · Exercice n°7 : On considère la fonction

1

Lycée Français de DOHA TES

Année 2019 – 2020 M. Evanno

Continuité, dérivabilité et convexité

A) Fonction dérivée et sens de variation.

1. Fonction dérivée.

Définition :

Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle 𝐼 et telle que, en toute valeur 𝑥 ∈ 𝐼 , le nombre

dérivée 𝑓′(𝑥) existe.

La fonction 𝑓′, qui à tout réel 𝑥 ∈ 𝐼, associe le nombre dérivé, est la fonction dérivée de 𝑓 sur

l'intervalle 𝐼.

Remarque : Dire que 𝑓 est dérivable en a signifie que le nombre dérivé 𝑓′(𝑎) existe donc que la

tangente à la courbe 𝐶𝑓 en 𝐴(𝑎 ; 𝑓(𝑎)) existe. Sur 𝐼, en chaque point, la courbe a une tangente.

2. Sens de variation et dérivée.

Théorème :

Soit 𝑓 une fonction dérivable sur un intervalle 𝐼.

• Si la dérivée est positive sur 𝐼, alors la fonction est croissante sur 𝐼.

• Si la dérivée est négative sur 𝐼, alors la fonction est décroissante sur 𝐼.

• Si la dérivée est nulle en toute valeur de 𝐼, alors la fonction est constante sur 𝐼.

Remarque : De l’étude du signe de la dérivée, on déduit le sens de variation d'une fonction grâce à ce

théorème. Mais aussi, réciproquement, le sens de variation d'une fonction dérivable indique le signe

de sa fonction dérivée.

Exemple :

On considère une fonction 𝑓 dont on connaît le signe de la dérivée et quelques valeurs.

Alors, on peut dresser le tableau de variations de cette fonction.

• Sur [𝑎 ; 𝑐] la dérivée est positive, donc la fonction est croissante.

• Sur [𝑐 ; 𝑑] la dérivée est négative, donc la fonction est décroissante.

2



Propriété :

Soit 𝑓 une fonction dérivable sur un intervalle [𝑎 ; 𝑏] et 𝑐 ∈ [𝑎 ; 𝑏]. Si la dérivée s'annule en changeant de signe en 𝑐 alors la fonction 𝑓 admet, en 𝑐, un extremum

sur l'intervalle [𝑎 ; 𝑏].

Exercice n°1 :

On considère une fonction 𝑓 définie sur l'intervalle [−2 ; 4] de courbe représentative 𝐶𝑓.

La courbe 𝐶𝑓 passe par les points 𝐴(−1 ; 2,7) et 𝐵(0 ; 2).

Elle admet au point 𝐴 une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

La tangente (𝑇) à la courbe 𝐶𝑓 au point 𝐵 passe par le point 𝐷(2 ; 0).

1) Calculer le nombre dérivé de 𝑓 en −1.

2) Déterminer l’équation de la tangente (𝑇).

3) Calculer 𝑓′(0).

4) Déterminer le signe de 𝑓′(2).

5) Déterminer le signe de 𝑓′(𝑥) sur [−2 ; 4]. 6) Dresser le tableau de variations de 𝑓 sur [−2 ; 4].

Exercice n°2 :

On donne la courbe représentative 𝐶′ de la dérivée d’une fonction 𝑓 dérivable sur ℝ. Construire

le tableau de variations de la fonction 𝑓.

3



B) Calcul de dérivées.

1. Dérivées des fonctions usuelles.

Théorème :

Fonction 𝒇 Fonction dérivée 𝒇′ Ensemble de dérivabilité

𝑓(𝑥) = 𝑘 𝑓′(𝑥) = 0 ℝ

𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑓′(𝑥) = 1 ℝ

𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 ℝ

𝑓(𝑥) = 𝑥3 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 ℝ

𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛

n entier non nul 𝑓′(𝑥) = 𝑛 × 𝑥𝑛−1 {

ℝ 𝑠𝑖 𝑛 > 0ℝ∗ 𝑠𝑖 𝑛 < 0

𝑓(𝑥) = √𝑥 𝑓′(𝑥) =1

2√𝑥 ]0 ; +∞[

𝑓(𝑥) =1

𝑥 𝑓′(𝑥) =

−1

𝑥2 ℝ

2. Dérivées d’une fonction somme et produit par un réel.

Propriétés :

Soient 𝑢 et 𝑣 deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle 𝐼 et 𝑘 un réel.

Fonction 𝒇 Fonction dérivée 𝒇′ Ensemble de dérivabilité

𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) + 𝑣(𝑥)

𝑓′(𝑥) = 𝑢′(𝑥) + 𝑣′(𝑥)

𝐼

𝑓(𝑥) = 𝑘 × 𝑢(𝑥)

𝑓′(𝑥) = 𝑘 × 𝑢′(𝑥)

𝐼

3. Dérivées d’un produit ou d’un quotient.

Propriétés :

Soient 𝑢 et 𝑣 deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle 𝐼.

On suppose de plus que 𝑣(𝑥) ≠ 0 sur 𝐼.

Fonction f Fonction dérivée f ’ Ensemble de dérivabilité

𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) × 𝑣(𝑥)

𝑓′(𝑥) = 𝑢′(𝑥)𝑣(𝑥) + 𝑣′(𝑥)𝑢(𝑥)

𝐼

𝑓(𝑥) =1

𝑣(𝑥)

𝑓′(𝑥) =−𝑣′(𝑥)

(𝑣(𝑥))2

𝐼

𝑓(𝑥) =𝑢(𝑥)

𝑣(𝑥)

𝑓′(𝑥) =𝑢′(𝑥)𝑣(𝑥) − 𝑣′(𝑥)𝑢(𝑥)

(𝑣(𝑥))2

I

4



Exercice n°3 :

Dériver chacune des fonctions suivantes sans vous soucier du domaine de dérivation :

1) 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 4𝑥2 − 3𝑥 + 7

2) 𝑓(𝑥) = 2𝑥4 + 3𝑥 + √𝑥

3) 𝑓(𝑥) = (3𝑥2 + 𝑥 − 1)(2𝑥 + 3)

4) 𝑓(𝑥) = 𝑥√𝑥 + 10

5) 𝑓(𝑥) =𝑥2 + 1

2𝑥 + 3

6) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 5 −10

2𝑥2 + 3

Exercice n°4:

Le coût, en euros, de 𝑥 ∈ [40 ; 160] repas préparés dans un restaurant peut s’écrire :

𝐶(𝑥) = 0,1𝑥2 − 𝑥 + 640

On note 𝐶𝑀(𝑥) le coût moyen de x repas, en euros par repas.

On rappelle que : pour tout 𝑥 ∈ [40 ; 160] on a :

𝐶𝑀(𝑥) =𝐶(𝑥)

𝑥

1) Justifier que 𝐶 est croissante sur [40 ; 160]. 2) Calculer le coût moyen de 40 puis de 100 repas.

3) Etudier les variations du coût moyen 𝐶𝑀.

4) Dresser le tableau de variations de 𝐶𝑀 sur [40 ; 160]. 5) Quel est le nombre de repas à servir pour que le coût moyen par repas soit minimal ?

Exercice n°5 :

Dans le Périgord, un producteur de truffes noires cultive, ramasse et conditionne de 1 à 45𝑘𝑔

de truffes par semaine durant la période de production de la truffe.

Chaque kilo de truffes est vendu 950€.

On désigne par 𝑓(𝑥) le coût moyen, en euro par 𝑘𝑔, pour 𝑥 𝑘𝑔 de truffes traitées en une

semaine.

On estime que la fonction 𝑓 est définie sur [1 ; 45] par :

𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 60𝑥 + 1250

On rappelle que pour tout 𝑥 ∈ [1 ; 45] on a :

𝑓(𝑥) = 𝐶𝑀(𝑥) =𝐶(𝑥)

𝑥

1) Justifier que le coût de production total 𝐶(𝑥) pour 𝑥 𝑘𝑔 de truffes est donné, en euro, par :

𝐶(𝑥) = 𝑥3 − 60𝑥2 + 1250𝑥

2) Exprimer le bénéfice, 𝐵(𝑥), en euros, réalisé par ce producteur pour 𝑥 𝑘𝑔 de truffes

conditionnés et vendus.

3) Etudier les variations de 𝐵 sur [1 ; 45]. 4) Dresser le tableau de variations de 𝐵 sur [1 ; 45]. 5) Pour quelle quantité de truffes le bénéfice du producteur est-il maximal ?

Arrondir le résultat à 100𝑔 près.

6) Quel est alors ce bénéfice maximal à 100€ près ?

5



C) Continuité et équation.

1. Notion intuitive de continuité.

Définition :

Une fonction 𝑓 est continue sur un intervalle 𝐼 si elle est définie sur cet intervalle et si sa courbe

𝐶𝑓 se trace d’un « trait continu », sans le ver le crayon.

Exemples :

Théorème :

• Une fonction obtenue par opérations sur les fonctions usuelles est continue sur chaque

intervalle où elle est définie. Ainsi, les fonctions polynômes, rationnelles et irrationnelles

sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition.

• Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.

Remarque : Une fonction peut être continue mais pas dérivable.

La représentation graphique ci-contre est celle d’une fonction 𝑓

continue en 2 mais non dérivable en 2.

2. Théorème des valeurs intermédiaires.

Théorème :

Soit 𝑓 une fonction définie et continue sur un intervalle

[𝑎 ; 𝑏] et 𝑘 un nombre réel compris entre 𝑓(𝑎) et 𝑓(𝑏) alors

l’équation 𝑓(𝑥) = 𝑘 admet au moins une solution sur [𝑎 ; 𝑏].

Théorème :

Soit 𝑓 une fonction définie, continue et strictement monotone

sur un intervalle [𝑎 ; 𝑏] et 𝑘 un nombre réel compris entre 𝑓(𝑎)

et 𝑓(𝑏) alors l’équation 𝑓(𝑥) = 𝑘 admet une unique solution

sur l’intervalle [𝑎 ; 𝑏].

6



Exercice n°6 :

Indiquer parmi les courbes représentées celles qui correspondent à une fonction continue sur [−6 ; 4] et celles qui sont dérivables sur [−6 ; 4].

Exercice n°7 :

On considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ par : 𝑓(𝑥) = {2𝑥 − 1 si 𝑥 < 1𝑥2 si 𝑥 ≥ 1

.

1) Représenter la courbe de cette fonction 𝑓.

2) Emettre une conjecture quant à sa continuité.

3) Justifier la conjecture sur la continuité.

Exercice n°8 :

Soit 𝑓 la fonction définie sur [−4 ; 7] dont le tableau de variations est donné ci-dessous :

Déterminer le nombre de solutions des équations : 𝑓(𝑥) = −8 ; 𝑓(𝑥) = 15 et 𝑓(𝑥) = 2.

Exercice n°9 :

On cherche à résoudre l’équation (𝐸) : 2𝑥3 + 3𝑥2 − 36𝑥 + 10 = 0 sur [−6 ; 4]. 1) Etudier les variations de la fonction, 𝑓 définie sur [−6 ; 4] par :

𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 3𝑥2 − 36𝑥 + 10

2) Dresser le tableau de variations de 𝑓 sur [−6 ; 4]. 3) En déduire le nombre de solutions de l’équation (𝐸).

4) Donner une valeur approchée à 0,01 près de chacune de ces solutions.

Exercice n°10 :

On considère la fonction 𝑓 définie sur [0 ; 5] par :

𝑓(𝑥) = 𝑥2 +10

𝑥 + 1

1) Montrer que pour tout réel 𝑥 ∈ [0 ; 5] :

𝑓′(𝑥) =2𝑥3 + 4𝑥2 + 2𝑥 − 10

(𝑥 + 1)2

2) Soit 𝑔 la fonction définie sur [0 ; 5] par : 𝑔(𝑥) = 2𝑥3 + 4𝑥2 + 2𝑥 − 10.

a) Montrer que 𝑔 est strictement croissante sur [0 ; 5]. b) Montrer que 𝑔 s’annule en une seule valeur ∈ [0 ; 5]. c) Donner une valeur approchée de à 0,01 près et en déduire le signe de 𝑔 sur [0 ; 5].

3) En déduire les variations et dresser le tableau de variations de 𝑓 sur [0 ; 5].

7



D) Convexité et point d’inflexion.

1. Convexité : approches graphiques.

Définition : Fonction convexe

Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle 𝐼 de ℝ.

On note 𝐶𝑓 la courbe représentative de la fonction 𝑓 sur 𝐼.

Soient 𝐴(𝑎 ; 𝑓(𝑎)) et 𝐵(𝑏 ; 𝑓(𝑏)) deux points de 𝐶𝑓.

Si tous les points de [𝐴𝐵] distincts de 𝐴 et 𝐵 sont au dessus de 𝐶𝑓

entre 𝐴 et 𝐵 alors on dit que la fonction 𝑓 est 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒙𝒆 sur 𝐼.

Définition : Fonction concave

Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle 𝐼 de ℝ.

On note 𝐶𝑓 la courbe représentative de la fonction 𝑓 sur 𝐼.

Soient 𝐴(𝑎 ; 𝑓(𝑎)) et 𝐵(𝑏 ; 𝑓(𝑏)) deux points de 𝐶𝑓.

Si tous les points de [𝐴𝐵] distincts de 𝐴 et 𝐵 sont en dessous de 𝐶𝑓

entre 𝐴 et 𝐵 alors on dit que la fonction 𝑓 est 𝒄𝒐𝒏𝒄𝒂𝒗𝒆 sur 𝐼.

Propriétés :

Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle 𝐼 de ℝ et 𝐶𝑓 sa représentative graphique.

• 𝑓 est convexe sur 𝐼 si et seulement si sa représentation graphique 𝐶𝑓 est située entièrement

au dessus de chacune de ses tangentes.

• 𝑓 est concave sur 𝐼 si et seulement si sa représentation graphique 𝐶𝑓 est située entièrement

en dessous de chacune de ses tangentes.

Exemples :

• La fonction carrée 𝑥 ↦ 𝑥2 est convexe sur ℝ.

• La fonction inverse 𝑥 ↦1𝑥

est concave sur ] − ∞ ; 0[ et convexe sur ]0 ; +∞[.

8



2. Convexité : approches algébriques.

Propriété : Admise

• 𝑓 est une fonction 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑒 sur un intervalle 𝐼 si et seulement si sa dérivée 𝑓′ est croissante

sur l’intervalle 𝐼.

• 𝑓 est une fonction 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑒 sur un intervalle 𝐼 si et seulement si sa dérivée 𝑓′ est

décroissante sur l’intervalle 𝐼.

Conséquences :

On note 𝑓′′ la dérivée seconde de la fonction 𝑓, c'est-à-dire la dérivée de la dérivée de 𝑓.

• Si 𝑓′′ est positive sur un intervalle 𝐼 alors 𝑓 est 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑒 sur l’intervalle 𝐼.

• Si 𝑓′′ est négative sur un intervalle 𝐼 alors 𝑓 est 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑒 sur l’intervalle 𝐼.

3. Point d’inflexion.

Définition :

Un point d’inflexion est un point où la représentation graphique d’une fonction traverse sa

tangente en ce point.

Attention : Dans les deux cas suivants, 𝑀 n’est pas un point d’inflexion.

9



Conséquence :

Si une fonction 𝑓 définie sur un intervalle [𝑎 ; 𝑏] change de convexité en 𝑐 ∈ [𝑎 ; 𝑏] alors 𝐶𝑓

admet un point d’inflexion au point d’abscisse 𝑐.

Conséquence :

Si la dérivée seconde, notée 𝑓′′, d’une fonction 𝑓 définie sur un intervalle [𝑎 ; 𝑏] s’annule et

change de signe en 𝑐 ∈ [𝑎 ; 𝑏] alors 𝐶𝑓 admet un point d’inflexion au point d’abscisse 𝑐.

Exercice n°11 :

Pour chacune des courbes des fonctions ci-dessous, par lecture graphique, indiquer :

• La convexité de la fonction.

• L’existence d’un ou plusieurs points d’inflexion.

Exercice n°12 :

On considère la fonction 𝑓 dérivable sur [−2 ; 5] et telle que la dérivée 𝑓′ admet le tableau de

variations suivant :

Indiquer la convexité de la fonction 𝑓 sur [−2 ; 5] et l’existence, pour la courbe 𝐶𝑓 de points

d’inflexions.

Exercice n°13 :

On considère la fonction 𝑓 dérivable sur [−1 ; 3] telle que sa dérivée 𝑓′ soit dérivable sur [−1 ; 3] et dont la courbe de sa dérivée seconde 𝑓′′ est donnée ci-dessous.

Indiquer la convexité de 𝑓 sur [−1 ; 3] et l’existence, pour la courbe 𝐶𝑓 de points d’inflexions.

10



Exercice n°14 : Bac ES Doha 2013


𝑓(𝑥) =−𝑥2 + 10𝑥 − 16

𝑥2

On note 𝐶𝑓 la courbe représentative dans un repère.

1) Montrer que pour tout réel de l’intervalle [2 ; 8], on a :

𝑓′(𝑥) =−10𝑥 + 32

𝑥3

2) Etudier le signe de 𝑓′(𝑥). sur l’intervalle [2 ; 8]. 3) En déduire le tableau de variations de 𝑓 sur l’intervalle [2 ; 8]. 4) Déterminer l’équation de la tangente à 𝐶𝑓 au point d’abscisse 2.

5) On appelle 𝑓′′ la dérivée seconde de 𝑓 sur [2 ; 8]. a) Montrer que, pour tout réel 𝑥 ∈ [2 ; 8], on a :

𝑓′′(𝑥) =20𝑥 − 96

𝑥4

b) Montrer que 𝑓 est une fonction convexe sur [4,8 ; 8]. c) Montrer que le point de 𝐶𝑓 d’abscisse 4,8 est un point d’inflexion.

Exercice n°15 : Bac ES Centre étrangers 2011

On considère la fonction 𝑓 définie et dérivable sur un intervalle 𝐼 et on note 𝑓′ sa dérivée sur

cet intervalle. En utilisant un logiciel de calcul formel on a pu établir les informations ci-

contre. A la lecture de ces informations, répondre aux questions suivantes :

1) Quelles sont les valeurs approchées de 𝑓(0,2), 𝑓(1) et 𝑓(1,2), ?

2) Quelle est l’expression de 𝑓′(𝑥). ?

3) Donner la solution de l’équation : 𝑓′(𝑥) = 0.

4) Donner une valeur approchée à 0,01 près de la solution l’équation : 𝑓(𝑥) = 1,9.

Exercice n°16 :

Partie A :

Soit 𝑓 la fonction définie pour tout réel 𝑥 par :

𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 7,5𝑥2 + 20𝑥 + 8

On note 𝐶𝑓 sa courbe représentative dans le plan.

1) On note 𝑓′ la dérivée de la fonction 𝑓.

a) Calculer 𝑓′(𝑥).

b) Étudier les variations de la fonction 𝑓 sur ℝ.

2) Étudier la convexité de la fonction 𝑓 sur ℝ.

3) La courbe 𝐶𝑓 a-t-elle un point d’inflexion ? Si oui, déterminer ses coordonnées ?

11



Partie B :

La fonction 𝑓 modélise sur l’intervalle ]0 ; 6,5] le coût total de production exprimé en milliers

d’euros, où 𝑥 désigne le nombre de milliers d’articles fabriqués par une entreprise. La courbe

représentative de la fonction coût total, sur ]0 ; 6,5], est donnée ci-dessous :

Le prix de vente d’un article est fixé à 13,25€. On suppose que toute la production est vendue.

1) Déterminer graphiquement, avec la précision permise par le graphique :

a) l’intervalle dans lequel doit se situer la production x pour que l’entreprise réalise un

bénéfice positif ;

b) la production 𝑥0 pour laquelle le bénéfice est maximal.

2) On considère la fonction 𝐵 définie sur ]0 ; 6,5] par : 𝐵(𝑥) = 13,25𝑥 − 𝑓(𝑥).

a) Étudier les variations de la fonction 𝐵 sur ]0 ; 6,5]. b) En déduire le nombre d’articles qu’il faut fabriquer et vendre pour obtenir un bénéfice

maximal. Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal ?

3) Le coût marginal de fabrication pour une production de x milliers d’articles est donné par

𝑓′(𝑥) où 𝑓′ est la dérivée de la fonction 𝑓. Vérifier que si le bénéfice est maximal alors le

coût marginal est égal au prix de vente d’un article.

Partie C :

Le coût moyen de production 𝐶 mesure le coût en euro par article produit. On considère la

fonction 𝐶 définie sur l’intervalle ]0 ; 6,5] par :

𝐶(𝑥) =𝑓(𝑥)

𝑥

On désigne par 𝐶′ la dérivée de la fonction 𝐶.

1) Montrer que

𝐶′(𝑥) =(𝑥 − 4)(2𝑥2 + 0,5𝑥 + 2)

𝑥2

2) Étudier les variations de la fonction 𝐶 sur ]0 ; 6,5]. 3) En déduire le prix de vente minimal, arrondi à l’euro près, d’un article pour que l’entreprise ne

travaille pas à perte ?

12



Exercice n°17 :

Soit 𝑓 la fonction définie sur [−5 ; 5] par :

𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏

où 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels et 𝐶𝑓 sa courbe représentative.

𝐶𝑓 passe par les points 𝐴(1 ; −1).

La droite (𝐴𝐵) est tangente en 𝐴 à 𝐶𝑓 et les coordonnées de 𝐵 sont : 𝐵(3 ; 3).

Partie A :

1) Donner 𝑓(1) en justifiant votre réponse.

2) Déterminer, sur ce graphique, le nombre de solutions de l’équation 𝑓′(𝑥) = 0.

3) L’affirmation 𝑓′(−0,5) > 0 est-elle exacte ? Pourquoi ?

4) Déterminer l’équation réduite de (𝐴𝐵) et en déduire la valeur de 𝑓′(1).

5) La courbe 𝐶𝑓 semble-t-elle admettre un point d’inflexion ?

Si tel est le cas, donner une valeur approchée de l’abscisse de ce point.

6) En utilisant les résultats des questions 1) et 4) déterminer les valeurs de 𝑎 et 𝑏.

Partie B :

Soit 𝑔 la fonction définie sur [−5 ; 5] par :

𝑔(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑥2 − 6𝑥 + 2

On note 𝐶𝑔 sa courbe représentative.

1) Calculer la dérivée, 𝑔′, de 𝑔 sur [−5 ; 5]. 2) En déduire les variations de 𝑔 sur [−5 ; 5] et dresser son tableau de variations.

3) Montrer que l’équation 𝑔(𝑥) = −2 admet une unique solution sur [−5 ; 5]. 4) Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une valeur approchée de à 0,01 près.

5) Justifier que l’équation 𝑔(𝑥) = −2 n’admet aucune solution sur [−2 ; 5]. 6) Déterminer l’équation de la tangente à 𝐶𝑔 au point d’abscisse –1.

7) Calculer la dérivée seconde, 𝑔′′, de 𝑔 sur [−5 ; 5]. 8) Etudier la convexité de la fonction 𝑔 et démontrer que la courbe représentative 𝐶𝑔 de 𝑔

admet un point d’inflexion dont on déterminera les coordonnées.

13



Exercice n°18 :

Soit 𝑓 une fonction deux fois dérivable sur ℝ.

On note 𝑓′ sa dérivée et 𝑓′′ sa dérivée seconde.

La courbe représentative de la fonction dérivée notée 𝐶𝑓′ est donnée ci-dessous.

La droite 𝑇 est tangente à la courbe 𝐶𝑓′ au point d’abscisse 0.

1) Par lecture graphique :

a) Résoudre 𝑓′(𝑥) = 0.

b) Résoudre 𝑓′′(𝑥) = 0.

c) Déterminer 𝑓′(0).

2) Une des quatre courbes 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3 et 𝐶4 ci-dessous est la courbe représentative de la fonction

𝑓 et une autre la courbe représentative de la dérivée seconde 𝑓′′.

a) Déterminer la courbe qui représente 𝑓 et celle qui représente 𝑓′′. b) En déduire l’équation de la tangente à 𝐶𝑓 au point d’abscisse −2.

14



Interrogation de mathématiques

Exercices préparés à la maison

Niveau : TES

Thème : Continuité, dérivabilité et convexité

Exercice n°1 :

On considère une fonction 𝑓 définie sur ℝ et deux fois dérivable.

On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction 𝑓′′, dérivée seconde de la fonction

𝑓, dans un repère orthonormé. 𝐴(−2 ; 0) et 𝐵(3 ; 0) appartiennent à la courbe.

Chaque réponse sera justifiée.

1) La courbe représentative de la fonction 𝑓 admet-elle des points d’inflexion ? Si tel est le cas

combien ? Justifier votre réponse.

2) Sur quels intervalles, la fonction est-elle convexe ? Est-elle concave ?

3) On note 𝑓′ la dérivée de la fonction 𝑓. Donner le tableau de variations de 𝑓′. 4) Une des deux courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction 𝑓 et l’autre

celle de 𝑓′. Déterminer, en justifiant votre réponse, la courbe qui représente la fonction 𝑓 et celle qui

représente la dérivée 𝑓′.

15



Exercice n°2 :


𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 20 +𝑏

𝑥

où 𝑎 et 𝑏 sont des réels et 𝐶𝑓 sa courbe représentative.

On admet que 𝑓 est dérivable sur [1 ; 6] et on note 𝑓′ sa dérivée sur cet intervalle.

• 𝐶𝑓 passe par 𝐶(1 ; 0) et admet une tangente horizontale en 𝐴(2 ; 4).

• La droite (𝐸𝐷) est tangente en 𝐵(4 ; 0) à 𝐶𝑓 où 𝐸(3 ; 3) et 𝐷(5 ; −3).

Partie A :

1) Déterminer, graphiquement, les valeurs de 𝑓(1) et 𝑓′(2).

2) Les affirmations 𝑓′(1,5) > 0 et 𝑓′′(4) ≥ 0 sont-elles exactes ? Pourquoi ?

3) Déterminer la valeur de 𝑓′(4).

4) 𝐶𝑓 semble-t-elle admettre un point d’inflexion sur [1 ; 6] ? Justifier votre réponse.

5) En utilisant les résultats de la question 1), déterminer les valeurs de 𝑎 et 𝑏.

Partie B :

Soit 𝑔 la fonction définie sur [1 ; 6] par :

𝑔(𝑥) =−4𝑥2 + 20𝑥 − 16

𝑥

On note 𝐶𝑔 sa courbe représentative.

1) Montrer que la dérivée, 𝑔′, de 𝑔 sur [1 ; 6] est :

𝑔′(𝑥) =16 − 4𝑥2

𝑥2

2) En déduire les variations de 𝑔 sur [1 ; 6] et dresser son tableau de variations.

3) Montrer que l’équation 𝑔(𝑥) = −2 admet une unique solution sur [4 ; 5]. 4) Déterminer, graphiquement, un encadrement d’amplitude 0,5 de .

5) Déterminer l’équation de la tangente à 𝐶𝑔 au point d’abscisse 1.

6) Montrer que la dérivée seconde, 𝑔′′, de 𝑔 sur [1 ; 6] est :

𝑔′′(𝑥) =−32

𝑥3

7) Etudier la convexité de la fonction 𝑔 sur [1 ; 6]. 8) Quelles sont les positions relatives de 𝐶𝑔 et de ses tangentes ? Justifier.

16



Exercice n°3 : Bac ES Liban 2015

Pour chacune des situations suivantes, déterminer si elle est vraie ou fausse justifier la réponse.

Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée

n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

1) On donne ci-dessous le tableau de variations d’une fonction 𝑓 définie sur [−3 ; 1].

Proposition 1 : l’équation 𝑓(𝑥) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle [−3 ; 1].

2) On considère une fonction 𝑔 définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 13] et on donne ci-

dessous la courbe représentative de la fonction 𝑔′, fonction dérivée de la fonction 𝑔 sur

l’intervalle [0 ; 13].

Proposition 2 : la fonction 𝑔 est strictement décroissante sur l’intervalle [0 ; 4]. Proposition 3 : la fonction 𝑔 est concave sur l’intervalle [0 ; 13].

3) La courbe représentative 𝐶𝑓 d’une fonction 𝑓 définie sur l’intervalle [−2 ; 4] est donnée

ci-dessous. La tangente 𝑇 à la courbe au point d’abscisse 0 traverse la courbe en ce point.

Proposition 4 : la fonction 𝑓 est convexe sur l’intervalle [0 ; 4].

Documents

Continuité, dérivabilité et convexité A) Fonction dérivée ...scf0e512586f6de82.jimcontent.com › download › version › 14476109… · Exercice n°7 : On considère la fonction