7/24/2019 Controle Continu Final Automne 2010 Math i Analyse Correction

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Universit Claude Bernard Lyon 1

Licence STS

Anne 2010-2011

Math I Analyse

Interrogation crite, le 21 janvier 2011, de 8heures 10 heures

Question de coursEnoncer le thorme des accroissements finis (Thorme de Lagrange).

Correction

Soit une fonction [ ] , avec . On suppose queest continue sur [ ]et drivable sur] [. Alors il existe ] [tel que

Exercice

Trouver lunique fonction

drivable telle que

et telle que

Pour tout .

Correction exercice

Il faut dabord rsoudre lquation homogne

||

La solution gnrale de lquation homogne est:

Ensuite on cherche une solution particulire de lquation avec second membre de la forme

On drive

Ce que lon remplace dans

Comme prvu, les termes en sliminent

Puis on simplifie par

Comme on cherche une solution particulire

Ce que lon remplace dans

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La solution gnrale de lquation avec second membre est la somme de la solution gnrale de

lquation homogne et dune solution particulire:

Il reste dterminer la constante laide de la condition initiale

La solution recherche est

Problme

Soit un entier naturel suprieur ou gal .On dfinit la fonction [[ par En particulier on a , et .

1. Etudier les variations de

sur

[].

2.

(Question indpendante de la suite de lexercice) Montrer que est une bijection de []dans[ ]et montrer que [ ] []est drivable.3. Dmontrer quil existe un unique rel ][tel que .4.

Calculer et .5. Dmontrer que, pour tout et pour tout ][, on a

6. En dduire que et que la suite est strictement dcroissante.7. Montrer que est convergente.8. Notons

la limite de la suite

. Montrer que

.

Dans la suite du problme on va calculer la valeur de la limite . On dfinit la fonction [[ par : 9. Montrer que 10.Montrer que et en dduire que, pour tout [[, on a :

11.Sachant que , pour tout , calculer

12.Dmontrer que est racine de lquation .13.Calculer la valeur de .

Correction du problme

1. est dfinie, continue et drivable sur [], pour tout Doncest strictement croissante sur []

2. est strictement croissante donc elle est injective, son ensemble darrive est [ ]donc elleest surjective, par consquentest une bijection de []dans [ ].Comme

est strictement positif, la bijection rciproque de

est drivable.

3. et En fait peu importe la valeur de , lessentiel est de sapercevoir que , commeest une

bijection de ][dans ] [et que ] [, admet un unique antcdant ][cest--dire tel que : .

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4.

Admet comme racine et donc

5.

Donc

[] 6.

Daprs 5. Comme ][: On en dduit que

Car Pour tout ,est strictement croissante donc, pour tout : On en dduit que est strictement dcroissante.

7. est strictement dcroissante et minore par , converge.8.

La suite est dcroissante donc pour tout , , on en dduit que . Dautre part donc .9. Pour tout , ce qui est le cas puisque [[.

10.Pour tout [[

On en dduit que

11. Il sagit, chaque fois, de forme indtermine, mais cest la fonction puissance qui lemporte sur (et . On rappelle aussi que entraine que

12.Ce qui montre que : vrifie 13.

pour discriminant

()Les solutions sont

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Et

Comme , , on vrifie facilement que , donc