Correction des exemples

Mathieu EMILY

Novembre 2005

Table des Matières

Exemple_Exercice 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Page 2Exemple_Exercice 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Page 3Exemple_Exercice 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Page 5Exemple_Exercice 4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Page 6Exemple_Exercice 5 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Page 7Exemple_Exercice 6 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Page 8Exemple_Exercice 7 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Page 9Exemple_Exercice 8 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Page 10Exemple_Exercice 9 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Page 11Exemple_Exercice 10 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Page 12Exemple_Exercice 11 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Page 12Exemple_Exercice 12 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Page 13Exemple_Exercice 13 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Page 14Exemple_Exercice 14 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Page 15Exemple_Exercice 15 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Page 16Exemple_Exercice 16 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Page 16Exemple_Exercice 17 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Page 17Exemple_Exercice 18 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Page 17Exemple_Exercice 19 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Page 18Exemple_Exercice 20 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Page 18Exemple_Exercice 21 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Page 19Exemple_Exercice 22 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Page 20Exemple_Exercice 23 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Page 20

1

Exemple_Exercice 1

Dans un bus, 35 personnes pratiquent le ski, 20 le surf, 5 le monoski.

Parmi ces personnes, 10 pratiquent le ski et le surf, 3 le ski et le monoski, 1 le surf et le

monoski et enn 1 personne pratique le ski, le surf et le monoski.

Combien y a-t-il de personnes au total, sachant que les sports de glisse pratiqués se limitent

au ski, au surf et au monoski ?

Correction 1

Soit A1 = L'ensemble des personnes pratiquant le ski.Soit A2 = L'ensemble des personnes pratiquant le surf.Soit A3 = L'ensemble des personnes pratiquant le monoski.Soit N le nombre total de personnes on a :

N = card(A1 ∪A2 ∪A3)

Donc d'après la formule de Poincaré :

N = card(A1) + card(A2) + card(A3)− card(A1 ∩A2)− card(A1 ∩A3)− card(A2 ∩A3)+ card(A1 ∩A2 ∩A3)

Soit

N = 35 + 20 + 5− 10− 3− 1 + 1

N = 47

2

Exemple_Exercice 2

1. Dans un jeu de 32 cartes, on prend 3 cartes successivement sans remise. De combien de

façons peut-on opérer pour obtenir au moins un c÷ur ?

2. Une autoroute, aux abords d'une certaine ville, possède 3 sorties principales. Chacune de

ces sorties possède elle-même 2 sorties secondaires. De combien de façons peut on sortir de

cette autoroute ?

3. 4 pions numérotés de 1 à 4 sont disposés sur 3 cases numérotées de 1 à 3. Une case peut

contenir plusieurs pions. De combien de façons peut-on opérer :

(a) de sorte qu'une case au moins soit vide ?

(b) de sorte qu'aucune case ne soit vide ?

Correction 2

1. Soit E l'ensemble des combinaisons de 3 cartes diérentes. Il y a 32 possibilités pour la 1ère

carte, 31 possibilités pour la 2ème et 30 possiblités pour la 3ème carte.Par conséquent :

Card(E) = 32× 31× 30

Soit A l'évènement "Aucun c÷ur n'est apparu lors de 3 tirages successifs sans remise".Il y a 24 possibilités (8 "carreau", 8 "trèe" et 8 "pique") lors du 1er tirage, 23 possibilitéslors du 2eme tirage, et 22 possibilités lors du 3eme tirage.Donc :

Card(A) = 24× 23× 22

L'évènement B "Au moins un c÷ur a été obtenu lors de 3 tirages successifs sans remise"est le complémentaire de A dans E, d'où :

Card(B) = Card(CEA)= Card(E)− Card(A)= 32× 31× 30− 24× 23× 22= 17616

Il y a 17616 façons d'obtenir au moins 1 c÷ur.

2. Soit A l'ensemble des sorties principales :

Card(A) = 3

Soit B l'ensemble des sorties secondaires :

Card(B) = 2

3

On a donc au total :

Card(A×B) = Card(A)× Card(B) = 6

On peut sortir de l'autoroute de 6 façons diérentes.

3. (a) Notons Ai = le nombre de dispositions laissant vide la case i.

Card(A1 ∪A2 ∪A3) = Card(A1) + Card(A2) + Card(A3)− Card(A1 ∩A2)− Card(A1 ∩A3)− Card(A2 ∩A3)+ Card(A1 ∩A2 ∩A3)

Calcul de Card(Ai) :

Chaque pion est placé sur l'une des 2 autres cases. Par conséquent, pour chaque pion,il y a 2 possibilités, et comme il y a 4 pions en tout :

∀i Card(Ai) = 24 = 16

Calcul de Card(Ai ∩Aj) :Pour chaque pion il n'y a qu'une seule possibilité, et comme il y 4 pions :

∀(i, j), i 6= j Card(Ai ∩Aj) = 14 = 1

Calcul de Card(A1 ∩A2 ∩A3) :Chaque pion doit être est posé sur un case donc :

Card(A1 ∩A2 ∩A3) = 04 = 0

Ainsi :

Card(A1 ∪A2 ∪A3) = 16 + 16 + 16− 1− 1− 1 + 0 = 45

Il y a 45 possibilités pour qu'une case au moins soit vide.

(b) Soit E l'ensemble de tous les évènements.Chaque pion peut se positionner de 3 façons diérentes. Comme il y a 4 pions, on a :

Card(E) = 34 = 81

Or l'évènement B : "Aucune case n'est vide" est le complémentaire de A1 ∪ A2 ∪ A3

dans E, donc :

Card(B) = Card(E)− Card(A1 ∪A2 ∪A3) = 81− 45 = 36

Il y a 36 possibilités pour qu'aucune des cases ne soit vide.

4

Exemple_Exercice 3 (Application du lemme des bergers)

1. Soit n convives autour d'une table circulaire. Combien y a-t-il de dispositions possibles des

convives, sachant que seules comptent les positions relatives des convives ?

2. Une urne contient 6 boules blanches numérotées de 1 à 6 et 5 boules noires numérotées de 1

à 5. On tire successivement 4 boules sans remise. Combien de résultats apportent 3 boules

blanches et 1 boule noire ?

Correction 3

1. Soit E l'ensemble de toutes les dispositions possibles. Il y a n choix pour le 1er convive,n− 1 choix pour le 2ème convive, etc....Donc :

Card(E) = n.(n− 1).(n− 2) · · · 1 = n!

Cependant, dans ce décompte, plusieurs dispositions vont donner les mêmes voisins.Notons p le nombre de dispositions diérentes au sens des positions relatives des convives,et, ∀i ∈ 1, · · · , p, Ai l'ensemble des positions qui ne dièrent de la position i que d'unerotation. Pour une disposition i donnée, il n'existe que n rotations qui laissent les positionsrespectives des voisins inchangées, c'est à dire :

∀i ∈ 1, · · · , p Card(Ai) = n

Or :

E =p⋃

i=1

Ai

Donc d'après le lemme des bergers, on a :

p =Card(E)Card(Ai)

=n!n

= n− 1

Il y a n− 1 dispositions diérentes au sens des voisins relatifs.

Remarque : Dans cet exemple, nous avons d'abord compté le nombre de pattes (Card(E)),puis le nombre de pattes par mouton (Card(Ai)) pour trouver le nombre de moutons.

2. Soit E l'ensemble des résultats amenant à 1 boule noire et 3 boules blanches.La boule noire peut apparaître au 1er, au 2ème, au 3ème ou au 4ème tirage.Notons Ai, l'ensemble des résultats faisant apparaître la boule noire en ième position(1 ≤ i ≤ 4). Il y a 6 possibilités pour la 1ère boule blanche, 5 possibilités pour la2ème boule blanche, 4 possibilités pour la 3ème boule blanche et 5 possibilités pour la boulenoire :

Card(Ai) = 6× 5× 4× 5 = 600

Il y a 4 possibilités pour le rang d'apparition de la boule noire, donc p = 4.On en déduit, d'après le lemme des bergers, que :

Card(E) = p× Card(Ai) = 4× 600 = 2400

5

Il y a 2400 résultats qui amènent à 3 boules blanches et 1 boule noire.

Remarque : Dans cet exemple, nous avons d'abord compté le nombre de moutons (4) puisle nombre de pattes par mouton (600), et on en a déduit le nombre total de pattes.

Exemple_Exercice 4 (Urnes de Laplace)

Soit n urnes U1, ..., Un.

Uk contient "k" boules blanches et "n + 1− k" boules noires (1 ≤ k ≤ n)On choisit une urne au hasard, puis on tire une boule au hasard dans l'urne choisie. On note

Ak l'évènement "On choisit l'urne Uk".

Montrer que (A1, ..., An) est un système complet d'évènements.

Correction 4

Ω = (k, b), k ∈ 1, · · · , n ∪ (k, n), k ∈ 1, · · · , n

où k désigne le numéro de l'urne, b (pour blanche) ou n (pour noire) la couleur de la boule.

∀k ∈ 1, · · · , n Ak = k, b ∪ k, n

Donc :

∀(i, j) ∈ 1, · · · , n2 tels que i 6= j Ai ∩Aj = Ø

et :

A1 ∪ · · · ∪An =n⋃

k=1

(k, b ∪ k, n)

= (k, b), k ∈ 1, · · · , n ∪ (k, n), k ∈ 1, · · · , n= Ω

(A1, ..., An) est un système complet d'évènements.

6

Exemple_Exercice 5

1. On tire au hasard un ensemble de 5 cartes dans un jeu de 32 cartes.

Quelle est la probabilité que la main contienne au moins un As ?

2. Une urne contient a boules blanches et b boules noires. On extrait au hasard une poignée

de n boules.

Quelle est la probabilité que cette poignée contienne k boules blanches (0 ≤ k ≤ n) ?

Correction 5

1.Ω = ensemble de 5 cartes dans un jeu de 32 cartes

A = La main contient au moins un As

doncA = La main ne contient pas d'As

Comme le tirage se fait au hasard, il y a équiprobabilité pour le tirage d'une carte, on a :

P (A) =Card(A)Card(Ω)

=C5

28

C532

et donc :

P (A) = 1− C528

C532

P (A) = 1− C528

C532

2. L'extraction d'une poignée se faisant au hasard, il y a équiprobabilité.Nous allons donc compter, d'une part, le nombre de poignées au total, et d'autre part lenombre de poignées contenant k boules blanches.

Au total, il y a a + b boules et on en extrait n. Il y a donc Cna+b poignées possibles.

Si une poignée contient k boules blanches, elle contient n−k boules noires. Par conséquent,il y a k choix possibles parmi a pour les boules blanches, et n− k choix possibles pour lesboules noires parmi b. Donc au total, il y a Ck

aCn−kb poignées contenant k boules blanches.

Donc :

P ("La poignée contienne k boules blanches.") = CkaCn−k

bCn

a+b

7

Exemple_Exercice 6

Une urne contient a boules blanches et b boules noires. On en tire successivement n, en re-

mettant, à chaque fois, la boule tirée.

Quelle est la probabilité que le nombre de boules blanches obtenues soit pair ?

Correction 6

On pose A = "La boule tirée est blanche".Pour un tirage, on a :

P (A) =a

a + b

Notons ∀k ∈ 1, · · · , n Bk = "k boules blanches ont été tirées sur n tirages."Si, sur n tirages, on a obtenu k boules blanches, alors on a également obtenu n− k boulesnoires.Ainsi :

∀k ∈ 1, · · · , n P (Bk) = Ckn(

a

a + b)k(

b

a + b)n−k

Remarque : Bk suit une loi binomiale B(n, aa+b).

Or :

P ("Le nombre de boules blanches est pair") = P (B0 ∪B2 ∪ · · · ∪B2×bn2c)

= P (bn

2c⋃

k=0

B2k)

=bn

2c∑

k=0

P (B2k)

=bn

2c∑

k=0

Ckn(

a

a + b)k(

b

a + b)n−k

P ("Le nombre de boules blanches est pair") =∑bn

2c

k=0 Ckn( a

a+b)k( b

a+b)n−k

8

Exemple_Exercice 7

Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On tire les boules une à une avec remise.

Quelle est la probabilité que, sur m tirages, le plus grand des numéros tirés soit k ?

Correction 7

Notons Ak l'évènement "Le numéro tiré est plus petit que k", Bk l'évènement "Sur m tirages, le plus grand numéro tiré est inférieur à k", B′

k l'évènement "Sur m tirages, le plus grand numéro tiré est supérieur à k", Ck l'évènement "Sur m tirages, le plus grand numéro tiré est égal à k".

Comme le tirage se fait au hasard, il y a équiprobabilité, donc :

P (Ak) =k

n

Donc :

P (Bk) = P (”tous les numéros tirés sont inférieurs à k”)= P (Ak)m

= (k

n)m

P (B′k) = 1− P (Bk)

= 1− (k

n)m

D'où :

P (Ck) = P (”Le plus grand numéro tiré est inférieur à k et supérieur à k − 1”)= P (”Le plus grand numéro tiré est inférieur à k”

∩” le plus grand numéro tiré est supérieur à k − 1”)= P (Bk ∩B′

k−1)= P (Bk) + P (B′

k−1)− P (Bk ∪B′k−1)

=((

k

n

)m)+

(1−

(k − 1

n

)m)− 1

=km − (k − 1)m

nm

P ("Sur m tirages, le plus grand numéro tiré est égal à k") = km−(k−1)m

nm

9

Exemple_Exercice 8

On répartit au hasard 8 pions de 1 à 8 sur 4 cases numérotées de 1 à 4. Plusieurs pions

peuvent être placés sur une même case.

Quelle est la probabilité qu'une case au moins soit vide ?

Correction 8

On note Ai (i = 1 · · · 4), l'évènement "la case i est vide", B l'évènement "au moins une caseest vide".

∀i ∈ 1, · · · , 4 P (Ai) =(

34

)8

∀(i, j) ∈ 1, · · · , 42, i 6= j P (Ai ∩Aj) =(

24

)8

∀(i, j, k) ∈ 1, · · · , 43, i 6= j 6= k (2 à 2); P (Ai ∩Aj ∩Ak) =(

14

)8

P (A1 ∩A2 ∩A3 ∩A4) = 0

D'où

P (B) = P (A1 ∪A2 ∪A3 ∪A4)

=4∑

k=1

(−1)k

∑1≤i1<···<ik≤4

P (Ai1 ∩ · · · ∩Aik)

= P (A1) + P (A2) + P (A3) + P (A4)

−P (A1 ∩A2)− P (A1 ∩A3)− P (A1 ∩A4)−P (A2 ∩A3)− P (A2 ∩A4)− P (A3 ∩A4)+P (A1 ∩A2 ∩A3) + P (A1 ∩A2 ∩A4)+P (A1 ∩A3 ∩A4) + P (A2 ∩A3 ∩A4)−P (A1 ∩A2 ∩A3 ∩A4)

= 4 ∗(

34

)8

− 6 ∗(

24

)8

+ 4 ∗(

14

)8

P (B) ≈ 0.377

10

Exemple_Exercice 9

Un dé à 6 faces non pipé est lancé une innité de fois de façons indépendantes. Calculer la

probabilité pour que le 1 n'apparaisse jamais.

Correction 9

Notons : A l'évènement "Le 1 n'est pas apparu suite au lancer d'un dé." Bn l'évènement "Le 1 n'est pas apparu suite à n lancers d'un dé". C l'évènement "Le 1 n'est pas apparu suite à une innité de lancers d'un dé".Le dé est non pipé donc les évènements sont équiprobables, d'où :

P (A) =56

De plus, par indépendance des lancers :

∀n ∈ IN P (Bn) = P (A)n =(

56

)n

(Bn)n∈IN est une suite croissante d'évènements et :

+∞⋃n=0

Bn = C

donc,

P (C) = limn→+∞

P (Bn)

= limn→+∞

(56

)n

= 0

P (C) = 0 (C est quasi-impossible)

11

Exemple_Exercice 10

Une urne U1 contient 3 boules blanches et 5 boules noires. Une urne U2 contient 4 boules

blanches et 4 boules noires. On choisit une urne au hasard, puis on tire simultanément 2 boules

dans l'urne choisie.

Quelle est la probabilité d'obtenir une boule blanche et une boule noire sachant que l'urne

choisie est U1 ? est U2 ?

Correction 10

Notons bn l'évènement "Un boule blanche et une boule noire ont été obtenues" et U1

(resp. U2) l'évènement "l'urne U1 (resp. U2) a été choisie".Comme le choix s'eectue au hasard, il y a équiprobabilité :

P (bn | U1) =C1

3C15

C28

=1528

P (bn | U2) =C1

4C14

C28

=47

Exemple_Exercice 11

Un jeu de cartes comprend 32 cartes. On distribue au hasard 5 cartes à chacun des 2 joueurs

X et Y .

1. Calculer la probabilité que X ait au moins un As.

2. Sachant que Y a exactement un As, calculer la probabilité que X ait au moins un As.

Correction 11

Notons A l'évènement "X a au moins un As", et B l'évènement "Y a exactement un As".

1.P (A) =

C528

C532

donc :

P (A) = 1− P (A) ≈ 0.512

2. Si on sait que Y a exactement un As, il reste 32− 5 = 27 cartes disponibles pour X dont3 sont des As.D'où :

P (A | B) =C5

24

C527

12

On en déduit :

P (A | B) = 1− P (A | B) ≈ 0.473

Exemple_Exercice 12

On place 8 pions numérotés de 1 à 8 sur 5 cases numérotées de 1 à 5.

Sachant que la case 1 est vide, calculer la probabilité que les cases 2 ou 3 le soient aussi.

Correction 12

Notons Ai l'évènement "La case i est vide".On cherche à calculer P (A2 ∪A3 | A1), soit :

P (A2 ∪A3 | A1) = P (A2 | A1) + P (A3 | A1)− P (A2 ∩A3 | A1)

Si la case 1 est vide, on est conduit à placer les pions sur les cases 2 à 5.Il y a 48 façons d'opérer dont 38 laissent la case 2 vide, 38 la case 3 vide et 28 les case 2 et 3,

d'où :

P (A2 ∪A3 | A1) =38

48+

38

48− 28

48

P (A2 ∪A3 | A1) ≈ 0.196

13

Exemple_Exercice 13

On considère 3 urnes U1, U2 et U3. La première contient initialement 2 boules blanches, 3

boules rouges. La deuxième contient 2 boules vertes et 4 boules blanches. La troisième contient 5

boules noires et 2 boules rouges.

On tire au hasard une boule dans U1 que l'on place dans U2. Puis on tire au hasard une boule

dans U2 que l'on place dans U3. Enn on tire une boule dans U3.

Quelle est la probabilité pour que les boules tirées soient toutes de couleurs diérentes ?

Correction 13

Il faut énumérer l'ensemble des types de tirages qui amènent à l'évènement C : "Les 3 boulessont diérentes".

On tire une boule blanche dans U1, une verte dans U2 et une noire dans U3. On note cetévènement "B1 ∩ V2 ∩N3".

On tire une boule blanche dans U1, une verte dans U2 et une rouge dans U3. On note cetévènement "B1 ∩ V2 ∩R3".

On tire une boule rouge dans U1, une verte dans U2 et une noire dans U3. On note cetévènement "R1 ∩ V2 ∩N3".

On tire une boule rouge dans U1, une blanche dans U2 et une noire dans U3. On note cetévènement "R1 ∩B2 ∩N3".

On a :

C = (B1 ∩ V2 ∩N3) ∪ (B1 ∩ V2 ∩R3) ∪ (R1 ∩ V2 ∩N3) ∪ (R1 ∩B2 ∩N3)

Calculons, à l'aide de la formule des probabilités composées, les probabilités des 4 évènementsci-dessus :

P (B1 ∩ V2 ∩N3) = P (B1)P (V2 | B1)P (N3 | B1 ∩ V2) =25× 2

7× 5

8=

114

P (B1 ∩ V2 ∩R3) = P (B1)P (V2 | B1)P (R3 | B1 ∩ V2) =25× 2

7× 3

8=

135

P (R1 ∩ V2 ∩N3) = P (R1)P (V2 | R1)P (N3 | R1 ∩ V2) =35× 2

7× 5

8=

328

P (R1 ∩B2 ∩N3) = P (R1)P (B2 | R1)P (N3 | R1 ∩B2) =35× 4

7× 5

8=

314

Ainsi :P (C) =

114

+135

+328

+314

P (C) ≈ 0.421

14

Exemple_Exercice 14

Deux joueurs X et Y s'entraînent au tir à la cible. L'un des joueurs, X, est adroit et lorsqu'il

tire, il atteint la cible 9 fois sur 10. L'autre, Y , est débutant et n'atteint la cible que 6 fois sur

10. X laisse Y s'entraîner et n'eectue qu'un tir sur 3.

Un des joueurs tire et la cible est atteinte. Quelle est la probabilité que ce soit par Y ?

Correction 14

Notons : X l'évènement "X a eectué le tir", Y l'évènement "Y a eectué le tir", C l'évènement "La cible a été atteinte".Remarque ! X = Y .On cherche P (Y | C).Or, d'après l'énoncé, on sait que :

P (C | Y ) =610

, P (C | X) =910

et P (Y ) =23

Nous allons donc utiliser la formule de Bayes :

P (Y | C) =P (C | Y )P (Y )

P (C | Y )P (Y ) + P (C | X)P (X)

=610 .23

610 .23 + 9

10 .13

=4

4 + 3

P (Y | C) = 47

15

Exemple_Exercice 15

Reprenons l'exemple précédent.

Quelle est la probabilité d'atteindre la cible ?

Correction 15

Reprenons les mêmes notations que dans la correction précédente.Nous cherchons à calculer P (C).D'après la formule des probabilités totales, on a :

P (C) = P (C | X)P (X) + P (C | Y )P (Y )

=910

.13

+610

.23

P (C) = 710

Exemple_Exercice 16

Une pièce amène pile avec la probabilité p et face avec la probabilité q = 1− p (0 < p < 1).On la lance n fois de suite. Soit X le nombre de fois où pile apparaît au cours de ces lancers.

Cherchons la loi de X.

Correction 16

Il est impossible d'obtenir un nombre négatif de "pile" (X ≤ 0), et il est impossible d'obtenirplus de "pile" que de lancers (X ≥ n). Comme X est à valeurs dans IN , on a :

X(Ω) = 0, · · · , n

Supposons que k "pile" ait été obtenus, n−k "face" ont également été obtenus. Par conséquent∀k ∈ X(Ω) :

pk = P (X = k) = Ckn.pk.(1− p)n−k (Loi binomiale de paramètres (n,p))

16

Exemple_Exercice 17

On lance deux dés. X désigne la somme des numéros obtenus.

Correction 17

Ω = 1, · · · , 6 × 1, · · · , 6

X(Ω) = 2, · · · , 12

Comme les dés sont non pipés, il y a équiprobabilité des évènements donc :

P (X = 2) = 136 P (X = 3) = 2

36 P (X = 4) = 336

P (X = 5) = 436 P (X = 6) = 5

36 P (X = 7) = 636

P (X = 8) = 536 P (X = 9) = 4

36 P (X = 10) = 336

P (X = 10) = 236 P (X = 12) = 1

36

Exemple_Exercice 18

Une urne contient a boules blanches et b boules noires (a ≥ n, b ≥ n). On tire simultanément

n boules et X désigne le nombre de boules blanches tirées.

Correction 18

X(Ω) = 0, · · · , n

P (X = k) = Cka .Cn−k

bCn

a+b

(Loi hypergéométrique de paramètres

(a + b, n, a

a+b

))

17

Exemple_Exercice 19

A quelle condition portant sur α, pn = αλn

n! , n ≥ 0 sont-ils les coecients d'une loi de

probabilité, pour λ > 0 ?

Correction 19

Supposons que (pn)n∈IN sont les coecients d'une loi de probabilité. D'après le cours, cescoecients doivent vérier 2 propriétés :

1. ∀n ∈ IN , pn ≥ 0.2.

∑+∞n=1 pn = 1

Ainsi :1. pn ≥ 0 ⇔ α ≥ 0

2.

+∞∑n=1

pn = 1 ⇔+∞∑n=1

αλn

n!= 1

⇔ α+∞∑n=1

λn

n!= 1

⇔ αeλ = 1⇔ α = e−λ

Comme e−λ ≥ 0, ∀λ

(pn)n∈IN sont les coecients d'une loi de probabilité si α = e−λ.

Exemple_Exercice 20

Une urne contient N jetons numérotés de 1 à N . On eectue n tirages successifs avec remise.

La variable aléatoire X représente le plus grand des numéros tirés.

Déterminer, si c'est possible, la loi et la fonction de répartition de X.

Correction 20

Notons Y la variable aléatoire représentant le résultat d'un tirage.

P (Y = k) =1N

et P (Y ≤ k) =k

N

Si le plus grand des numéros tirés lors de n tirages est plus petit que k, alors tous les numérostirés sont plus petits que k. On obtient donc directement :

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P (X ≤ k) = (P (Y ≤ k))n =(

kN

)n

Et,

P (X = k) = P (X ≤ k ∪X ≥ k − 1) = kn−(k−1)n

Nn

Remarque : On constate, pour cet exemple, qu'il est plus facile de calculer la fonction derépartition que la loi de la variable X.

Exemple_Exercice 21

On lance 3 fois une pièce truquée pour laquelle P (Face) = 23 et P (Pile) = 1

3 . X indique le plus

grand nombre de "face" obtenus.

Quelle est l'espérance de X ?

Correction 21

Utilisons la formule de l'espérance, pour une variable aléatoire discrète :

E(X) =+∞∑n=0

xnP (X = xn)

∀i < 0, P (X = i) = 0 et ∀i > 3, P (X = i) = 0

P (X = 0) =(

13

)3

P (X = 1) = 3.23.

(13

)2

P (X = 2) = 3.

(23

)2

.23

P (X = 3) =(

23

)3

Ainsi :

E(X) = 0.(13)3 + 1.3.

23.

(13

)2

+ 2.3.

(23

)2

.23

+ 3.

(23

)3

E(X) = 2

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Exemple_Exercice 22

Une urne contient a boules blanches et b boules noires. On tire successivement sans remise

2 boules de l'urne et l'on note Xi la variable aléatoire réelle égale à 1 si la ième boule tirée est

blanche, et 0 sinon.

Déterminons la loi conjointe de (X1, X2)

Correction 22

On a :

P (X1 = 0, X2 = 0) = P (X1 = 0)P (X2 = 0) | X1 = 0) =b

a + b× b− 1

a + b− 1

P (X1 = 1, X2 = 0) = P (X1 = 1)P (X2 = 0) | X1 = 1) =a

a + b× b

a + b− 1

P (X1 = 0, X2 = 1) = P (X1 = 0)P (X2 = 1) | X1 = 0) =b

a + b× a

a + b− 1

P (X1 = 1, X2 = 1) = P (X1 = 1)P (X2 = 1) | X1 = 1) =a

a + b× a− 1

a + b− 1

Exemple_Exercice 23

Reprenons l'exemple avec a boules blanches et b boules noires. On eectue 2 tirages successifs

sans remise.

Cov(X1, X2) ?

Correction 23

Par dénition, on a :

Cov(X1, X2) = E(X1X2)− E(X1)E(X2)

Or

E(X1X2) = 1× 1× P (X1 = 1, X2 = 1) + 1× 0× P (X1 = 1, X2 = 0)+0× 1× P (X1 = 0, X2 = 1) + 0× 0× P (X1 = 0, X2 = 0)

=a(a− 1)

(a + b)(a + b− 1)

De plus :

E(X1) = E(X2) =a

a + bDonc :

Cov(X1X2) = −ab(a+b)2(a+b−1)

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