[ Correction devoir surveillé 3 \

23 janvier 2013

EXERCICE 1 4 points

Le nénuphar

Dans cette exercice toute trace d’étude ou de recherche même non fructueuse sera

prise en compte dans l’évaluation.

Dans un lac, un nénuphar mesure 1100 de la taille du lac. Chaque jour, sa taille double.

Dans combien de jours le lac sera trop petit pour héberger le nénuphar ?On modélise la situation par une suite géométrique (un ) de raison q = 2 et de pre-

mier terme u0 =1

100.

un =2n

100.

Pour résoudre notre problème on cherche les solutions de l’inéquation : un > 1, quiest successivement équivalente à :2n

100> 1

2n > 100ln(2n )> ln(100)n ln(2)> ln(100)

n >ln(100)

ln(2)≃ 6.64.

Donc entre le sixième et le septième jours, le lac sera trop petit pour le nénuphar.

Exercice 2 4 points

1. Résoudre dans R les équation est inéquation suivantes :

a. ex+1 = e2x−3

Cette équation est successivement équivalente à :x +1 = 2x −34 = x

b. ex+1 > 12.Cette inéquation est successivement équivalente à :ln

(

ex+1)

> ln(12)x +1 > ln(12)x > ln(12)−1.L’ensemble S des solutions est S=] ln(12)−1 ; +∞[

2. Sans justification répondre aux questions suivantes :

a. Donner la dérivée de la fonction f définie sur R par :

f (x) = ex2+1 + x2.

La dérivée f ′ de la fonction f est définie sur R par :

f ′(x) = 2xex2+1 +2x.

b. Donner une primitive de la fonction g définie sur R par :

g (x) = 2e3x+1.

Une primitive G de la fonction g est définie sur R par :

G(x) =2

3e3x+1.

Baccalauréat STI2D Lycée Don Bosco

c. Soit la fonction h définie sur R∗ par :

h(x) = ex+1 +1

x2.

Déterminer les limites suivantes :

i. limx →−∞

h(x) = 0

ii. limx →+∞

h(x) =+∞

iii. limx → 0

h(x) =+∞

Exercice 3 4 points

1. Résoudre l’équation 2X 2 −X −1 = 0.On calcul de discriminant ∆= b2 −4ac = (−1)2 −4×2× (−1) = 9.Les solutions de cette équation sont alors données par :

x1 =−b −

p∆

2a=

−(−1)−p

9

2×2=

−2

4=−

1

2

et x2 =−b +

p∆

2a=

1+3

4= 1.

2. On souhaite résoudre l’équation (E) : 2e2x−ex−1 = 0. Pour cela on pose X = ex .

a. Vérifier que l’équation (E ) s’écrit sous la forme (E ′) : aX 2+bX +c = 0, oùa, b et c sont trois réels qu’on précisera.L’équation (E ) s’écrit : 2(ex )2 −ex −1= 0, en ayant posé X = ex on déduitqu’elle est équivalente à 2X 2 − X −1 = 0. D’où sous la forme (E ′) : aX 2 +bX +c = 0, avec a = 2, b =−1 et c =−1.

b. Résoudre alors l’équation (E ′).Équation résolue à la question 1.

c. Résoudre les équations ex = 1 et ex =− 12 .

ex = 1 est équivalente à x = ln(1) c’est-à-dire x = 0.ex =− 1

2 n’admet pas de solutions car une exponentielle est toujours stric-tement positive.

d. en déduire les solutions de l’équation (E ).On déduit que la solution de l’équation (E ) est x = 0.

Correction devoir surveillé n°3 2 23 janvier 2013

Baccalauréat STI2D Lycée Don Bosco

Problème 8 points

Partie A : La courbe Cg ci-dessous est la représentation graphique d’une fonctiong définie et dérivable sur ]0 ; +∞[. Cette courbe passe par le point A(1 ; 3) et satangente au point d’abscisse 1

2 est parallèles à l’axe des abscisses.

1

2

3

4

5

6

7

0.5 1.0 1.5 2.0

Cg

bA

b

B

1. a. À partir des informations sur Cg , donner les valeurs de g (1) et g ′( 1

2

)

.g (1) = 3 et g ′

( 12

)

= 0

b. Par lecture graphique, faire une conjecture sur le signe de g (x) pour toutx de l’intervalle ]0 ; +∞[.Graphiquement, on conjecture que pour tout x de l’intervalle ]0 ; +∞[,g (x)> 0.

2. On admet que la fonction g est définie sur ]0 ; +∞[ par g (x) = a+b ln(x)+2x2.En utilisant les résultats de 1.a., déterminer a et b.g ′(x) = b

x+2×2x = b

x+4x.

g (1) = 3

⇔ a +b ln(1)+2×12 = 3

⇔ a +b ×0 = 1

⇔ a = 1

g ′(

1

2

)

= 0

⇔b12

+4×1

2= 0

⇔ 2b +2 = 0

⇔ 2b =−2

⇔ b =−1

Dans la suite, on vient de démontrer, que pour tout x de ]0 ; +∞[, g (x) = 1−ln(x)+2x2.

Correction devoir surveillé n°3 3 23 janvier 2013

Baccalauréat STI2D Lycée Don Bosco

3. a. Calculer g ′(x), puis étudier son signe pour tout x de l’intervalle ]0 ; +∞[.

g ′(x) =−1

x+4x =

−1+4x2

x=

(2x −1)(2x +1)

x.

Le signe de la dérivée g ′ est négatif sur]

0 ; 12

]

et positif sur[ 1

2 ; +∞[

.

b. Dresser les tableau de variation de g (on ne demande pas les limites auxbornes de l’intervalle de définition).

x

g ′(x)

g (x)

0 12 +∞

− 0 +

32 + ln(2)32 + ln(2)

g( 1

2

)

= 1− ln( 1

2

)

+2×( 1

2

)2= 1+ ln(2)+ 2

4 = 32 + ln(2) > 0

c. Justifier alors la conjecture émise à la question 1.b..D’après le tableau de variation, on constante que le minimum de cettefonction est atteint lorsque x = 1

2 et est strictement positif(

g( 1

2

)

= 32 + ln(2)

)

Partie B : Soit la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par :

f (x) =ln x

x+2x.

On appelle C f sa courbe représentative dans un repère orthogonal d’unités gra-phique 5 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée.

1. Déterminer les limites de f aux bornes de son intervalle de définition. En don-ner une interprétation graphique s’il y a lieu.

limx → 0

f (x) =−∞

Donc la droite d’équation x = 0 est asymptote verticale à la courbe C f .lim

x →+∞f (x) =+∞

2. On désigne par f ′ la fonction dérivée de la fonction f .

Montrer que, pour tout x de ]0 ; +∞[, f ′(x) = g (x)x2 .

f ′(x) =1x× x − ln(x)×1

x2+2 =

1− ln(x)

x2+

2x2

x2=

1− ln(x)+2x2

x2=

g (x)

x2.

3. a. À l’aide de vos résultats de la Partie A ? en déduire le signe de f ′(x) pourx de l’intervalle ]0 ; +∞[.Dans la Partie A, on démontrer que pour tout x dans l’intervalle ]0 ; +∞[,g (x) est toujours positive.De plus, x 7−→ x2 est également positive. Donc la dérivée f ′ de la fonctionf est positive pour tout x dans l’intervalle ]0 ; +∞[.

b. Dresser le tableau de variation de f .

Correction devoir surveillé n°3 4 23 janvier 2013

Baccalauréat STI2D Lycée Don Bosco

x

f ′(x)

f (x)

0 +∞

+

−∞

+∞+∞

4. a. Calculer f (1) et f ′(1).

f (1) =ln(1)

1+2×1 = 2.

f ′(1) =g (1)

12= 3.

b. Construire la tangente à C f au point d’abscisses 1, puis construire C f .

1

2

3

4

5

−1

−2

1 2

C f

y = 3x −1

Correction devoir surveillé n°3 5 23 janvier 2013