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Correction TD 6 : LES TESTS NON
PARAMETRIQUES
Exercice 1
C’est un test d’ajustement
H0 : L’ancienne répartition des ventes est encore valable
H1 : L’ancienne répartition des ventes n’est plus valable
Effectifs
observés
ni
Probabilité
théorique
Effectifs
théoriques
npi
Calcul de X²
ni - npi (ni - npi)²/ npi
Petit P 100 0,65 130 -30 6,923
Moyen M 60 0,25 50 10 2
Grand G 40 0,10 20 20 20
n = 200 1 X²c = 28,923
X² (3 – 0 – 1)
α = 5% X² α = 5,991
X²c = 28,923 > X² α = 5,991 donc on rejette Ho
Exercice 2
C’est un test d’ajustement d’une loi de poisson.
H0 : Le nombre d’accidents par semaine suit une loi de poisson
H1 : Le nombre d’accidents par semaine ne suit pas une loi de poisson
Nombre Effectifs Probabilité Effectifs Calcul de X²
1
d’accidents
par semaine
observés
ni
théorique théoriques
npi
ni - npi (ni - npi)²/ npi
0 8 0,082 4,264 9,128 5,6
1 16 0,204 10,608
2 8 0,256 13,312 - 5,312 2,12
3 3 0,214 11,128 - 8,128 5,94
4 6 0,136 7,072 -1,072 0,16
5 5 0,067 3,484 5,84 6,07
6 3 0,028 1,456
7 2 0,010 0,52
8 et + 1 0,003 0,156
n = 52 1 52 X²c = 19,89
Les probabilités théoriques sont obtenues en appliquant la loi de
probabilité de la loi de poisson.
P(X=X) = e-
n’est pas donné, il faut l’estimer. Nous savons que pour une loi de poisson
E(X) = . Ainsi nous allons estimer par .
= = = 2,5
X² (5 – 1 – 1)
α = 1% X² α = 11,345
X²c = 19,89 > X² α = 11,345 donc on rejette Ho
La variable nombre d’accidents par semaine ne suit pas
vraisemblablement une loi de poisson.
Exercice 3
2
24 14,872
11 5,616
C’est un test d’ajustement d’une loi binomiale.
H0 : Le nombre de pièces défectueuses suit une loi binomiale
H1 : Le nombre de pièces défectueuses ne suit pas une loi binomiale
Nombre de
pièces
défectueuses
Effectifs
observés
ni
Probabilité
théorique
Effectifs
théoriques
npi
Calcul de X²
ni - npi (ni - npi)²/ npi
0 44 0,276 27,6 16,4 9,74
1 20 0,363 36,3 -16,3 7,31
2 15 0,231 23,1 -8,1 2,84
3 12 0,095 9,5 8 4,92
4 5 0,028 2,8
5 et + 4 0,007 0,7
n = 100 1 100 X²c = 24,81
Les probabilités théoriques sont obtenues en appliquant la loi de
probabilité de la loi binomiale.
P(X=x) = px q(n – x) n = 30
p n’est pas donné, il faut l’estimer. Nous savons que pour une loi binomiale
E(X)= np donc p = E(X)/n
Ainsi, on estime p par / n
= 1,26
p = 1,26/30 = 0,042
X² (4 – 1 – 1)
α = 5% X² α = 5,991
X²c = 24,81> X² α = 5,991 donc on rejette Ho
La variable nombre de pièces défectueuses ne suit pas
vraisemblablement une loi binomiale.
3
21 13
Exercice 4
C’est un test d’ajustement d’une loi binomiale.
H0 : Les quantités de pluie suivent une loi normale N(2,4 , 1,1)
H1 : Les quantités de pluie ne suivent pas une loi normale N(2,4 , 1,1)
Quantité de
pluie
Effectifs
observés
ni
Probabilité
théorique
Effectifs
théoriques
npi
Calcul de X²
ni - npi (ni - npi)²/ npi
Moins de 0 0 0,01463 0,93632 3,472 1,847
[0,1[ 10 0,08737 5,59168
[1,2[ 12 0,2537 16,2368 -4,2368 1,105
[2,3[ 22 0,3531 22,5984 -0,5984 0,016
[3,4[ 13 0,21767 13,93088 1,3632 0,01
[4,5[ 7 0,06439 4,12096
Plus de 5 0 0,00914 0,58496
n = 64 1 64 X²c = 2,978
Le calcul de probabilité théorique d’une loi normale X quelconque (càd
quelque soit ses paramètre m et σ) passe d’abord par le changement de
variable qui la ramène à la loi normale centrée et réduite en d’autre
terme il faut faire (-m) et sur σ.
Ainsi les intervalles dont nous cherchons la probabilité théorique selon
une loi normale N(2,4 , 1,1) deviendrons :
Quantité de
pluie
Z1= (a-2,4)/1,1 Z2= (b-2,4)/1,1
4
10 6,528
2018,6368
Moins de 0 -2,18
[0,1[ -2,18 -1,27
[1,2[ -1,27 -0,37
[2,3[ -0,37 0,55
[3,4[ 0,55 1,45
[4,5[ 1,45 2,36
Plus de 5 2,36
T est la loi normale centrée et réduite. T = (X-m) / σ
P (X< 0) = P (T < -2,18)
P (0<X< 1) = P (-2,18<T <-1,27)
P (1<X< 2) = P (-1,27<T <-0,37)
P (2<X< 3) = P (-0,37<T <0,55)
P (3<X< 4) = P (0,55<T <1,45)
P (4<X< 5) = P (1,45<T <2,36)
P (X> 5) = P (T > 2,36)
Ces probabilités sont trouvées sur la table de la loi normale centrée et
réduite.
X² (4 – 0 – 1)
α = 5% X² α = 7,815
X²c = 2,978 < X² α = 5,991 donc on accepte Ho
La variable Quantité de pluie suit vraisemblablement une loi normale
N(2,4 , 1,1)
Exercice 5
C’est un test d’indépendance entre deux variables.
5
H0 : Age du consommateur et type de chocolat préféré indépendant
H1 : Age du consommateur et type de chocolat préféré dépendant
Effectifs observés
.
Effectifs théoriques
Les effectifs théoriques sont obtenus en faisant à chaque fois la somme
en ligne fois la somme en colonne sur le total.
Exemple : 81,261 =
X²c = +………………….+ = 165,27
Il faut comparer cette valeur calculée à celle de la loi de X² (( 3-1)(3-1))
avec α = 5% donc avec X² α = 9,488
X²c = 165,27> X² α = 9,488 donc on rejette Ho
Ainsi les deux variables « age du consommateur » et « type de chocolat
préféré » sont dépendantes.
Chocolat Blanc
Chocolat au Lait
ChocolatNoir
0-20 ans 130 70 20 22020-40 ans 50 60 40 15040 ans et 25 40 120 185
205 170 180 555
Chocolat Blanc
Chocolat au Lait
ChocolatNoir
0-20 ans 81,261 67,387 71,35120-40 ans 55,405 45,946 48,64940 ans et 68,333 56,667 60
6
