Corrigé TD S5 : Image d’un objet par un système …...TD S5 – Formation d’une image par un système optique - corrigé Page 3 sur 11 Exercice 5 : Concentration du flux solaire

TD S5 – Formation d’une image par un système optique - corrigé

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Corrigé TD S5 : Image d’un objet par un système optique

Exercice 1 : Distance focale d’une loupe L’objet est réel x = OA = -4 cm et l’image est virtuelle. Il faut s’attendre à 𝑓’ > 4 𝑐𝑚.

Exercice 2 : Projection à l’aide d’une lentille convergente

Exercice 3 : Focométrie 1. Formule de Descartes : 1

OA′−

1

OA=

1

𝑓′⇒ OA′ =

𝑓′OA

𝑓′+OA.

La distance entre l’objet et l’image est

𝐷 = AA′ = AO + OA′ =−OA

2

𝑓′+OA.

Si cette distance est minimale lorsque

l’objet est en 1A , on a d𝐷

dOA(OA1) = 0.

Or,d𝐷

dOA= −

2𝑓′+OA

(𝑓′+OA)2OA ⇒ OA1 =

−2𝑓′ ⇒ 𝐷min = 4𝑓′ .

2. On a 𝐷 = AO + OA′ ⇒ OA′ = 𝐷 + OA.

Avec la formule de Descartes, on obtient OA′2− 𝐷OA′ + 𝐷𝑓′ = 0.

Avec 𝐷 > 4𝑓′, on obtient deux solutions, qui correspondent à deux positions O1 et O2 de la lentille :

O1A′ =𝐷 + √𝐷2 − 4𝑓′𝐷

2 𝑒𝑡 O2A′ =

𝐷 − √𝐷2 − 4𝑓′𝐷

2


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La distance entre ces deux positions de la lentille est 𝑑 = O1O2 = √𝐷2 − 4𝑓′𝐷.

On en déduit 𝑓′ =𝐷2−𝑑2

4𝐷.

Exercice 4 : Doublet de lentilles 1.

2. AL1→ A1

L2→ A′.

Relation de Newton pour L1 :

F1A ⋅ F′1A1 = −𝑓′12 avec F1A = −2𝑎 et 𝑓′1 = 2𝑎 ⇒ F′1A1 = 2𝑎 .

Relation de Newton pour L2 :

F2A1 ⋅ F′2A′ = −𝑓′22 avec 𝑓′2 = −3𝑎.

Or, F2A1 = F2F′1 + F′1A1 et F2F′1 = −7𝑎 ⇒ F′2A′ =9

5𝑎 .

3. Tous les rayons issus de A passent par A1, puis par A′.


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Exercice 5 : Concentration du flux solaire 1. Le Soleil est considéré à l’infini, son image est donc

dans le plan focal image de la lentille.

On a

tan𝛼

2=𝑑

2𝑓′

Dans les conditions de Gauss, on a donc

𝑑 = 𝛼𝑓′ ⇒ 𝑑 = 0,93mm.

2. La puissance reçue par la lentille est Φ = 𝜑0𝑆, avec

𝑆 = 𝝅(𝐷

2)2

.

Au niveau de l’image, on a

Φ = 𝜑𝑆′, avec 𝑆′ = 𝝅 (𝑑

2)2

⇒ 𝜑 = 𝜑0 (𝐷

𝑑)2

⇒ 𝜑 = 0,18MWm−2.

3. Loi de Stefan : 𝜑 = 𝜎𝑇4 ⇒ 𝑇 = (𝜑

𝜎)1/4

⇒ 𝑇 = 1,3 × 103K.


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Exercice 6 (résolution de problème) : Taille d’une cascade


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Exercice 7 : Lunette astronomique

1.

Grandissement angulaire : 𝐺𝛼 =𝛼′

𝛼.

On a tan 𝛼 = −F′1B1

𝑓′1 et tan 𝛼′ =

F′1B1

𝑓′2.

Conditions de Gauss : 𝛼 ≃ tan𝛼 et 𝛼′ ≃ tan𝛼′.

On en déduit 𝐺𝛼 = −𝑓′1

𝑓′2⇒ 𝐺𝛼 = −5,8.

2. Soit 𝜃r = 1,5′ la limite de résolution angulaire de l’œil. À la limite, on a |𝛼| = 𝜃m et |𝛼′| = 𝜃r.

On en déduit 𝜃m =𝜃r

|𝐺𝛼|⇒ 𝜃m = 0,26′.

3. On a O1(L2)→ O′1.

Formule de Newton pour (L2) : F2O1 ⋅ F2′O1′ = −𝑓′2

2, avec F2 = F1′ ⇒ F2O1 = −𝑓′1.

De plus, F2′O1′ = F2

′O2′ + O2O1

′ = −𝑓2′ + 𝑝1

′ ⇒ 𝑝1′ = 𝑓2

′ +𝑓2′2

𝑓′1⇒ 𝑝1

′ = 23mm.

4. Grandissement : |𝛾2| = |O2O1

′

O2O1| =

𝐷1′

𝐷1 avec O2O1

′ = 𝑝1′ et O2O1 = −𝑓1

′ − 𝑓2′.

On en déduit 𝐷1′ =

𝑝1′𝐷1

𝑓1′+𝑓2

′ ⇒ 𝐷1′ = 7mm.

5. On a A(L1)→ A1 = F2

(L2)→ A′∞.

Formule de Newton pour (L1) : F1A ⋅ F1′F2 = −𝑓1

′2 avec F1′F2 = 𝑑.


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Relation de Chasles : F1A = F1O1 + O1A avec

O1F1 = −𝑓1′.

On en déduit 𝑑 =−𝑓1

′2

O1A+𝑓1′ ⇒ 𝑑 = 0,27mm.

6. On a tan (𝛼

2) =

𝐷′ 2⁄

𝑓1′ .

Conditions de Gauss : tan (𝛼

2) ≃

𝛼

2.

On en déduit 𝐷′ = 𝛼𝑓1′ ⇒ 𝐷′ = 5,0mm.

Exercice 8 (résolution de problème) : Profondeur d’un pont


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Exercice 9 : Lentille mince (ENAC 2016)

1) Troisième proposition

2) 1

𝑂𝐴′−

1

𝑂𝐴=

1

𝑓′ donc 𝑂𝐴 = (

1

𝑂𝐴′−

1

𝑓′)−1

= 20 𝑐𝑚

L’objet est virtuel, situé à 20 cm de O.

3) 𝐺𝑡 =𝑂𝐴′

𝑂𝐴= 2

4) Formule de Newton : 𝛾 = −𝐹′𝐴′

𝑓′ donc 𝑓′ = −

𝐹′𝐴′

𝛾= 20 𝑐𝑚. Et 𝑉 =

1

𝑓′= 5 𝛿

5) 𝑂𝐴 = (1

𝑂𝐴′−

1

𝑓′)−1

= (1

𝑂𝐹′+𝐹′𝐴′−

1

𝑓′)−1

= (1

𝑓′+𝐹′𝐴′−

1

𝑓′)−1

= −30 𝑐𝑚. Objet réel, situé 30 cm

à gauche de O.

6) 휀 = 1′ =1

60° =

𝜋

180×60≈ 3.10−4𝑟𝑎𝑑.

tan 휀 = 휀 =

ℎ𝑚𝑖𝑛

𝑑𝑚 d’où ℎ𝑚𝑖𝑛 = 휀 𝑑𝑚 ≈ 3. 10

−4 × 0,25 ≈ 0,08 𝑚𝑚

Exercice 10 : Motorisation et mise au point autofocus (Centrale-Supélec PSI 2015)

A) Pour l'étude de l'objectif, posons h = 14,9 mm et l = 22,3 mm respectivement la hauteur et la longueur de la matrice du capteur du boîtier de l'appareil photo ainsi que H = 1,80 m la hauteur de l'individu à photographier. On a

𝑂𝐴 = − 𝑑

𝑂𝐴′ = 𝐷 − 𝑑

𝐴′𝐵′ = − ℎ 𝐴𝐵 = 𝐻


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Représentons l'image de l'individu à photographier à travers la lentille mince convergente. Utilisons des rayons particuliers : • le rayon passant par B et par le centre optique O émerge sans être dévié ; • le rayon passant par B et par le foyer objet F émerge parallèlement à l'axe ; • le rayon incident parallèle à l'axe et passant par B émerge en passant par le foyer image F'. L'intersection B' de ces différents rayons est le point image de B. Le point image A' de A est le projeté orthogonal de B' sur l'axe optique. On utilise ensuite le grandissement transversal

𝛾 =𝐴′𝐵′

𝐴𝐵=𝑂𝐴′

𝑂𝐴=𝑓′

𝐹𝐴

On obtient −ℎ

𝐻=

𝑓′

𝑓′ − 𝑑

et donc

𝑑 = 𝑓′(1 +𝐻

ℎ) = 6,09𝑚

De la même manière :

𝛾 =𝑂𝐴′

𝑂𝐴= −

𝐹′𝐴′

𝑓′

On obtient −ℎ

𝐻=𝐷 − 𝑑 − 𝑓′

−𝑓′

et donc

𝐷 = 𝑓′(2 +ℎ

𝐻+𝐻

ℎ) = 6,14𝑚

On remarque que 𝐷 − 𝑑 = 5,04. 10−2 𝑚 = 5,04 𝑐𝑚 = 𝑓′. Pour le système étudié, l'objet est quasiment à l'infini. Afin de déterminer 𝑎, on pose 𝑁𝑝 = 18,7.10

6 le nombre de pixels de l'appareil

photo et 𝑆 = ℎ𝑙 la surface du capteur numérique. On a 𝑆 = ℎ𝑙 = 𝑁𝑝𝑎

2 Ainsi,

𝑎 = √ℎ𝑙

𝑁𝑝= 4,22.10−6𝑚 = 4,22 µ𝑚

B.1) L'énoncé affirme que l'objectif est « assimilable à une lentille mince convergente (L), de

distance focale fixe ». Comme 𝑁𝑂 =𝑓′

2𝑅 la seule façon de modifier No à focale constante est de

jouer sur l'ouverture du diaphragme R.


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B.2) On représente la modification de la position de l'image suite à un léger déplacement de la lentille de l'objectif. D'après les résultats numériques de la question A, le point objet est quasiment à l'infini. Notons 𝑙𝑚𝑝 la distance de mise au point.

tan𝜃 =𝑅

𝐷 − 𝑑=𝑎/2

𝑙𝑚𝑝/2

puis

𝑙𝑚𝑝 =𝑎

𝑅(𝐷 − 𝑑)

Par ailleurs, la formule de conjugaison de Descartes pour une lentille mince s'écrit 1

𝑂𝐴′−1

𝑂𝐴=1

𝑓′

ce qui mène 1

𝐷 − 𝑑+1

𝑑=1

𝑓′

ce qui permet d'obtenir la relation

𝐷 − 𝑑 = 𝑓′𝐷

𝑑≃

𝑓′𝐷

𝐷 − 𝑓′

d'où

𝑙𝑚𝑝 =𝑎

𝑅(𝐷 − 𝑑) =

𝑎

𝑅

𝑓′𝐷

𝐷 − 𝑓′=𝑎𝑓′

𝑅(

1

1 −𝑓′

𝐷

)

Finalement avec 𝑁𝑂 =𝑓′

2𝑅, il vient

𝑙𝑚𝑝 =2𝑁𝑂𝑎

1 −𝑓′

𝐷

On obtient pour 𝑁𝑂 𝑚𝑖𝑛 = 1,2 : 𝑙𝑚𝑝(𝑚𝑖𝑛) = 10 µ𝑚

On obtient pour 𝑁𝑂 𝑚𝑎𝑥 = 16 ∶ 𝑙𝑚𝑝(𝑚𝑎𝑥) = 0,13 𝑚𝑚

Avec une faible ouverture du diaphragme (𝑁𝑂 𝑚𝑎𝑥), la latitude de mise au point est maximale, il est donc plus facile d'obtenir une image nette. A contrario, lorsque le diaphragme est entièrement ouvert, la mise au point doit être plus précise. En pratique, à temps d'exposition constant, le diaphragme règle la quantité de lumière envoyée sur le capteur : il est d'autant plus ouvert que la luminosité est faible. Il est plus facile de faire une image nette dans un environnement lumineux que dans l'obscurité.


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C) Pour réaliser le portrait d'un individu on veut une faible profondeur de champ. En effet, pour mettre en valeur le personnage photographié, on n'a pas intérêt à ce que le paysage à l'arrière soit net. On veut donc un faible nombre d'ouverture 𝑁𝑂. Or, d'après la question I.B.2 :

𝑁𝑂 =𝑙𝑚𝑝

2𝑎(1 −

𝑓′

𝐷) ∝ 𝑙𝑚𝑝

Comme le nombre d'ouverture est proportionnel à la latitude de mise au point, on cherche à minimiser la latitude de mise au point pour minimiser le nombre d'ouverture. On réduit donc la profondeur de champ.

Exercice 11 : Lunette de Galilée

1. Pour commencer : 𝑓1′ =

1

5= 0,2𝑚 = 20 𝑐𝑚 et 𝑓2

′ = −1

20= −0,05𝑚 = −5 𝑐𝑚

On a A∞L1→ F′1 = F2

L2→ A′∞.

On a donc 𝑑 = O1O2 = O1F′1 + F′1F2 + F2O2 avec F′1 = F2 ⇒ 𝑑 =1

𝑉1+

1

𝑉2⇒ 𝑑 = 15cm.

2. On a A∞B∞L1→ A1B1

L2→ A′∞B′∞.

Dans les conditions de Gauss, 𝛼 ≃A1B1

𝑓′1 et 𝛼′ ≃

A1B1

𝑓′2⇒ 𝐺 = −

𝑉2

𝑉1⇒ 𝐺 = 4,0.

3. Pour une lunette astronomique (lunette de visée à l’infini), l’encombrement est plus

important : le foyer image de l’objectif (et le foyer objet de l’oculaire) est situé pour une lunette astronomique entre les lentilles et non après l’oculaire. De plus, la lunette de Galilée permet d’obtenir une image droite, alors que l’image obtenue avec une lunette astronomique est renversée.

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