(2) ( , ) Corrigé Exercice 1 : AVEC HYPOTHÈSE …stephane.genouel.free.fr/FT/0%20TD/TD%2026%20... · NB : Avec l'hypothèse problème plan , la forme des différents torseurs n’est

TD 26 corrigé - PFS Résolution analytique (Loi entrée-sortie statique) Page 1/12

MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 07/05/2012

Corrigé Exercice 1 : BRIDE HYDRAULIQUE AVEC HYPOTHÈSE PROBLÈME PLAN.

Question 2 : Réaliser le graphe de structure, puis compléter le en vue d’une étude de statique.

Pivot d’axe

( , )K z

1, 2, 6, 13,

14, 15

(2)

Fluide

(1)

7, 8, 9 4

Pivot d’axe

( , )K y

Pivot glissant

d’axe ( , )I y

Sphère-plan de point de contact I

et de normale y

(2)

(2)

(1)

10, 11, 12

Ressort 5

(connu)

Pièce (F=4000N)

Question 3 : Donner la suite d’isolement à effectuer pour pouvoir déterminer la pression p d’alimentation du vérin de la bride hydraulique.

Isoler {7, 8, 9} 4 7AM et 10 7AM

Isoler {4} 2 4AM et 4fluideAM

Question 4 : Résoudre vos différents isolements, et exprimer p en fonction de l’effort presseur F , de la

raideur k et des dimensions du système.

1) Isolons {7, 8, 9}.

2) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {7, 8, 9}.

- Action mécanique de la pièce sur 8 (sphère-plan de point de contact J et de normale y )

- Action mécanique de 10 sur 7 (pivot d’axe ( , )K z )

- Action mécanique de 4 sur 7 (sphère-plan de point de contact I et de normale y )

3) Modélisables avec l’hypothèse problème plan ( , , )J x y par :

8

( , )

.

0pièce

P J y

F y

T 10 7 10 710 7

0K

X x Y y

T 4 74 7

( , )0

P I y

Y y

T

NB : Avec l'hypothèse problème plan ( , , )J x y , la forme des différents torseurs n’est valable uniquement pour

des points du plan de symétrie. C’est pourquoi le torseur de la pivot n’est valable qu’au point K et non pas

( , )P K z .

NB : Rigoureusement, il ne faudrait pas faire ce graphe dans la position particulière du dessin. Ainsi les ponctuelles en I et J ne seraient plus

suivant y .



4) Résolution :

Comme on souhaite 4 7 ( )Y f F , il faut ne pas faire apparaître les inconnues de liaison indésirables de la

liaison pivot. C'est à dire appliquer le théorème du moment statique en K en projection sur z .

,{7,8,9} {7,8,9}0

KM

,{7,8,9} {7,8,9}0

KM z

, 8 ,10 7K pièce KM z M ,4 7 0Kz M z

4 7( . ?. ) . ( . ?. ) . 0a x y F y z b x y Y y z

4 7( . ?. ) . ( . ?. ) . 0a x y F y z b x y Y y z

4 7. . 0aF bY

4 7.a F

Yb

1) Isolons {4}.

2) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {4}. - Action mécanique du fluide sur 4 - Action mécanique du ressort sur 4

- Action mécanique de 2 sur 4 (pivot glissant d’axe ( , )I y )

- Action mécanique de 7 sur 4 (sphère-plan de point de contact I et de normale y )

3) Modélisables avec l’hypothèse problème plan ( , , )J x y par :

4

( , )

. .

0fluide

P I y

p S y

T 04

( , )

.( ).

0ressort

P I y

k L L y

T

2 42 4

,2 4( , ) IP I y

X x

N z

T 7 4

( , )

.

0P I y

a Fy

b

T

4) Résolution :

Comme on souhaite ( )p f F , il faut ne pas faire apparaître les inconnues de liaison indésirables de la

liaison pivot glissant. C'est à dire appliquer le théorème de la résultante statique en projection sur y .

4 40R

4 40R y

4 4 2 4 7 4 0fluide ressortR y R y R y R y

0.

. .( ) 0a F

p S k L Lb

0.

.( )a F

k L Lbp

S

Question 5 : Faire l’application numérique.

2

2

32.400010.(20 16)

33 1,4 / 1,4 14.30

p N mm MPa bar



Corrigé Exercice 2 : TABLE ÉLÉVATRICE.

(Selon le concours Mines Albi, Alès, Douai et Nantes filière PCSI)

Question 1 : En isolant {2}, déterminer 5 2R , puis 4 2R en fonction de m, g, et des données

géométriques a et L.

1) Isolons {2}.

2) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {2}.

- Action mécanique de 5 sur 2 (cylindre-plan de ligne de contact ( , )I z et de normale y )

- Action mécanique de 4 sur 2 (pivot d’axe ( , )C z )

- Action mécanique de la pesanteur sur 2

3) Modélisables avec l’hypothèse problème plan ( , , )A x y par :

5 25 2

( , )

.

0P I y

Y y

T 4 24 2

0C

R

T 2

( , )

. .

0pes

P G y

m g y

T

NB : Avec l'hypothèse problème plan ( , , )A x y , la forme des différents torseurs n’est valable uniquement

pour des points du plan de symétrie. C’est pourquoi le torseur de la pivot n’est valable qu’au point C et non

pas ( , )P C z .

4) Résolution :

Pour se débarrasser de 4 2AM et donc déterminer 5 2R en fonction du poids, il faut appliquer le

théorème du moment statique en C en projection sur z :

,2 20

CM

,2 20

CM z

,5 2 ,4 2C CM z M , 2 0C pesz M z

,5 2BM 5 2 , 2G pesCB R M 2 0pesCG R z

5 22. cos . . ( . . ) ( . . ) 0a x Y y L x H y m g y z

5 22. cos . . . 0a Y L mg

5 2. .

2. cos

L m gY

a

donc 5 2

. ..

2. cos

L m gR y

a

Pour déterminer 4 2R , il faut appliquer le théorème de la résultante statique :

2 20R

5 2 4 2. . . 0Y y R m g y

4 2. .

. .2. cos

L m gR m g y

a



Question 2 : En isolant {4}, déterminer 6 4R (norme et sens) en utilisant le théorème du moment

statique et en calculant les moments par la méthode du bras de levier (on mesurera les dimensions utiles sur le schéma).

1) Isolons {4}.


- Action mécanique de 2 sur 4 (pivot d’axe ( , )C z )

- Action mécanique de 6 sur 4 (sphérique de centre F )

- Action mécanique de 3 sur 4 (pivot d’axe ( , )O z )

- Action mécanique de 5’ sur 4 (pivot d’axe ( , )D z )


2 42 4

0C

R

T 6 46 4

0F

R

T 3 43 4

0O

R

T 5' 45' 4

0D

R

T

NB : Avec l'hypothèse problème plan ( , , )A x y , la forme des différents torseurs n’est valable uniquement

pour des points du plan de symétrie.

4) Résolution :

Le bras 4 est soumis à l’action de quatre glisseurs 2 4R , 6 4R , 3 4R et 5' 4R .

Pour se débarrasser de 43AM dont on ne connaît rien, il faut appliquer le théorème du moment statique en O :

,4 40

OM

, puis de calculer ces moments avec la méthode du bras de levier :

,2 4 ,6 4 ,3 4 ,5' 4 0O O O OM M M M

2 4 1 6 4 2 5' 4 1. . . 0R d z R d z R d z où mm250d1 et mm95d2

2 4 5' 4 1

6 42

52630R R d

R Nd

et 6 4R dirigée vers le haut

1d 1d

2d

2 4

2 4 3333

R

avec R N

5' 4

5' 4 16666

R

avec R N

Droite d'action

(support) de 6 4R = (EF)



Question 3 : En isolant le piston {6}, exprimer la pression p de l’huile à envoyer dans le vérin en fonction

6 4R et du diamètre D du piston.

1) Isolons {6}.

2) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {6}. - Action mécanique de 4 sur 6 (sphérique de centre F) - Action mécanique du fluide sur 6 (pression du fluide) - Action mécanique de 7 sur 6 (pivot glissant d’axe (EF))


4 64 6

0F

R

T avec 4 6R suivant l’axe du piston

66

( )0

fluidefluide

P EF

R

T avec 6fluideR suivant l’axe du piston (car la pression est uniforme)

7 6 7 67 6

,7 6 ,7 6( )

. 0

. 0P PP EF

R R EFavec

M M EF

T

4) Résolution :

Il faut appliquer le théorème de la résultante statique suivant (EF) : 6 6

0R

, pour se débarrasser de

7 6AM :

4 6 6 7 6. . . 0fluideR EF R EF R EF

4 6 6. . 0fluideR EF R EF

Or 4 6R et 6fluideR sont suivant (EF).

Donc 4 6 6fluideR R avec 6 .fluideR pS

D’où 4 6 4 6

2

.4

R Rp

S D



Corrigé Exercice 3 : LANCEUR DE ROULEAUX DE PAPIER D'IMPRIMERIE.

(Selon le concours Mines Albi, Alès, Douai et Nantes filière PCSI)

Question 1 : On suppose qu’au démarrage le rouleau 1 est en équilibre statique, sous l’action de 4 sur 1,

de 3 sur 1, et du couple résistant .r rC C z . Donner l’expression de la résultante tangentielle

4 1T en fonction de rC et R. Faire une application numérique.

1) Isolons {1}.

2) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {1}. - Action mécanique de 4 sur 1

- Action mécanique de 3 sur 1 (pivot d’axe ( , )A z )

- Action mécanique de la résistance sur 1 (couple résistant)

3) Modélisables avec l’hypothèse problème plan ( , , )E x y par :

4 1 4 14 1

. .

0E

T x N y

T 3 13 1

0A

R

T 1

0

.r

rPC z

T

4) Résolution :

Pour se débarrasser de 3 1AM , il faut appliquer le théorème du moment statique en A : ,1 1

0A

M

:

,4 1 ,3 1 , 1 0A A A rM M M

,4 1 4 1 . 0E rM AE R C z

4 1. . . 0rRT z C z

4 1rC

TR

AN : 4 1176

2930,6

T N

Question 2 : En déduire l’expression de la résultante normale 4 1N en fonction de et 4 1T . Faire une

application numérique.

A la limite d’adhérence : 4 1 4 1.aT N avec tana

Donc 4 1

4 1tan

TN

AN : 4 1

293508

tan30N

donc 4 1 508N N

Question 3 : En supposant que L est la largeur de la courroie et que la répartition de pression p entre la

courroie 4 et le rouleau 1 est uniforme (schéma ci-contre), déterminer l’expression de 4 1N

en fonction de p , , L et R .

24 1 4 1 4 1 0

, 2

. . . . . . .(cos . sin . ) . . . sin . cos . 2. . . .sin .2

LN dN dN n p ds n p R d d y x p R y x p R L y



Question 4 : En prenant 30 , calculer la largeur L de la courroie, pour que la pression de contact 1p

ne dépasse pas 21 .daN cm .

AN : 5

50016,1

2.10 .0,6.sin15L mm

Question 5 : Isoler {6, 7} et en déduire une relation entre 6 5X , 6 5Y et des données géométriques c et

d.

1) Isolons {6, 7}.

2) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {6, 7}.

- Action mécanique de 5 sur 6 (pivot d’axe ( , )F z )

- Action mécanique de 0 sur 7 (pivot d’axe ( , )H z )


6 5 6 55 6

. .

0F

X x Y y

T 0 70 7

0H

R

T

NB : Avec l'hypothèse problème plan ( , , )E x y , la forme des différents torseurs n’est valable uniquement

pour des points du plan de symétrie.

4) Résolution :

Pour se débarrasser de 0 7AM , il faut appliquer le théorème du moment statique en H : ,

0H S S

M

:

,5 6 ,0 7 0H HM M

,5 6 5 6 0FM HF R

6 5 6 5( . . ) ( . . ) 0c x d y X x Y y

6 5 6 5. . 0cY d X

Question 6 : En précisant le système isolé, déterminer une 2ème

relation entre 6 5X , 6 5Y , 4 1T , 4 1N et

des données géométriques a, b, et .

1) Isolons {4, 5}.

2) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {4, 5}.

- Action mécanique de 6 sur 5 (pivot d’axe ( , )F z )

- Action mécanique de 0 sur 5 (pivot d’axe ( , )G z )

- Action mécanique de 1 sur 4


6 5 6 56 5

. .

0F

X x Y y

T 0 50 5

0G

R

T 1 4 1 41 4

. .

0E

T x N y

T



4) Résolution :

Pour se débarrasser de 50AM , il faut appliquer le théorème du moment statique en G : ,

0G S S

M

:

,6 5 ,0 5 ,1 4 0G G GM M M

,6 5 6 5 ,1 4 1 4 0F EM GF R M GE R

6 5 6 5 1 4 1 4( . . ) ( . . ) ( . . ) ( . . ) 0a x b y X x Y y x y T x N y

6 5 6 5 1 4 1 4. . . . 0aY b X N T

Question 7 : En déduire 6 5X , 6 5Y et 6 5R . Faire une application numérique.

Ainsi en reprenant les 2 équations trouvées : 6 5 6 5 1 4 1 4

6 5 6 5

. . . . 0

. . 0

aY b X N T

cY d X

On détermine facilement 1 4 1 46 5

.( . . )

. .

c T NX

a d b c

et 1 4 1 4

6 5

.( . . )

. .

d T NY

a d b c

AN : 6 5 963X N et 6 5 181Y N

2 26 5 6 5 6 5R X Y AN : 6 5 980R N

Question 8 : Sachant que la pression d’huile hp est de 6 bars, calculer la section utile uS du vérin.

1) Isolons {6}.


- Action mécanique de 5 sur 6 (pivot d'axe ( , )F z )

- Action mécanique du fluide sur 6 (pression du fluide) - Action mécanique de 7 sur 6 (pivot glissant d’axe (HF))


5 65 6

0F

R

T avec 5 6R suivant l’axe du piston

66

( )0

fluidefluide

P HF

R

T avec 6fluideR suivant l’axe du piston (car la pression est uniforme)

7 6 7 67 6

,7 6 ,7 6( )

. 0

. 0P PP HF

R R HFavec

M M HF

T

4) Résolution :

Il faut appliquer le théorème de la résultante statique suivant (HF) : 6 6

0R

, pour se débarrasser de 7 6AM :

5 6 6 7 6. . . 0fluideR HF R HF R HF

5 6 6. . 0fluideR HF R HF

Or 5 6R et 6fluideR sont suivant (HF).

Donc 5 6 6fluideR R avec 6 .fluide hR p S d’où 5 6 2980

16300,6h

RS mm

p



9

1 Pivot d’axe ( , )O u

7i

Sphère-plan de

centre iM et de

normale u 2

Pivot glissant

d’axe 1( , )iM x

Pivot d’axe

1( , )O x

Fluide

Cmoteur

Ressort 8i

Corrigé Exercice 4 : POMPE À PISTONS AXIAUX DU PILOTE HYDRAULIQUE DU LABORATOIRE.

Fonctionnement.

Question 1 : Quel est le rôle de la butée à billes 9 ?

La butée à bille 9 évite le glissement des pistons sur le plateau incliné :

limitation de l’usure des pièces en contact,

augmentation du rendement car moins de résistance au déplacement.

Modélisation.

Question 2 : A partir du schéma cinématique de la pompe, et de la modélisation de quelques actions, donner le graphe de structure de la pompe (pour seulement un piston).

Détermination du couple moteur en fonction de la pression.

Étude du piston 71.

Question 3 : Par une étude « statique » sur le piston 71, exprimer l’action mécanique du corps 9 sur le piston 71 en fonction de la pression P1 (pression au niveau du piston 1).

1) Isolons {piston 71}.

2) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) sur {piston 71}.

- Action mécanique de 9 sur 71 (sphère-plan de centre M1 et de normale u )

- Action mécanique de 2 sur 71 (pivot glissant d’axe 1( 1, )M x )

- Action mécanique du ressort 81 sur 71 - Action mécanique du fluide sur 71

Attention un couple moteur (qui est une action magnétique) s’exerce toujours sur 2 pièces !!!



3) Modélisables par :

9 719 71

( 1, )

.

0P M u

X uT

1

2 71 2 71 12 71

,2 71 ,2 71 1( 1, )

. 0

. 0P PP M x

R R xT avec

M M x

1

1 0 181 71

( 1, )

. .

0P M x

k xT

1

1 171

( 1, )

. .

0fluide

P M x

P S xT

Attention, ici ce n'est pas un problème plan, les pistons tournent autour de l'axe 1x !!!!

4) Résolution :

Pour se débarrasser de 2 71AM , il faut appliquer le théorème de la résultante statique suivant 1x :

71 710R

9 71 1 2 71 1 81 71 1 71 1. . . . 0fluideR x R x R x R x

9 71 1 0 1.cos . . 0X k P S

1 1 09 71

. .

cos

P S kX

Étude de l’ensemble {piston 71, barillet 2, ressort 81, fluide}.

Question 4 : Par une étude « statique » sur l’ensemble {piston 71, barillet 2, ressort 81, fluide} les autres pistons n’étant pas pris en compte, exprimer le couple Cm1 (couple moteur minimum

nécessaire à l’entraînement du piston 1) en fonction de P1 et 1.

1) Isolons {piston 71, barillet 2, ressort 81, fluide}.

2) Bilan des Actions Mécaniques Extérieures sur {piston 71, barillet 2, ressort 81, fluide}.

- Action mécanique de 9 sur 71 (sphère-plan de centre M1 et de normale u )

- Action mécanique du moteur sur 2

- Action mécanique de 1 sur 2 (pivot d’axe 1( , )O x )

3) Modélisables par :

9 719 71

( 1, )

.

0P M u

X uT

1 21

0

.

moteur

mP

TC x

1

1 21 2 ,1 2 1

,1 2( , )

. 0P

PP O x

RT avec M x

M

4) Résolution :

Pour se débarrasser de 1 2AM , il faut appliquer le théorème du moment statique en O en projection sur 1x :

,0

O S SM

,9 71 1 1 ,1 2 1,1 2. . . 0moteur

O OOM x M x M x

1 9 71 1 1. . 0mOM X u x C

9 71 1 1 1. . 0mX u x OM C (voir partie 74 produit mixte dans l'annexe 5 calcul vectoriel)

9 71 1 2 1 1 1.sin . . . . 02

mD

X z y x C

9 71 1 1. .sin .cos 02 2

mD

X C



1 9 71 1. .sin .sin2

mD

C X

1 1 01 1

. .. .sin .sin

cos 2m

P S k DC

avec 1 1. tan . 1 cos2

D

1 1 1 0 1. . . tan . 1 cos . . tan .sin2 2

mD D

C P S k

1 1 0 1 1. . . tan . . tan .cos . . tan .sin2 2 2

mD D D

C P S k k

2 21

1 1 1 0 1

. . tan .sin 2.. . . tan .sin . tan . . . tan .sin

2 2 2 8m

k DD D DC P S k

Relation globale.

Question 5 : Calculer la valeur moyenne, Cm1moyen, du couple Cm1(1) sachant que :

- P1 = Pmax si le piston est en phase de refoulement ( ,01 ),

- P1 = 0 si le piston est en phase d’admission ( 2,1 )

2

1 1 1 1

0

1( ).

2m moy m moyC C d

2 221

1 max 1 1 0 1 1

0 0

. . tan .sin 2.1. . . tan .sin . . tan . . . tan .sin .

2 2 2 2 8m moy

k DD D DC P S d k d

1 max 10

1. . . tan .cos

2 2m moy

DC P S

max1

. . . tan

2.m moy

P S DC

Question 6 : En déduire la valeur moyenne Cmmoyen du couple nécessaire à l’entraînement de la pompe à six pistons.

On en déduit couple moyen de la pompe à six pistons : max . . . tan

6.2.

m moy

P S DC

Question 7 : Faire l’application numérique puis tracer la fonction Cmmoyen(Pmax) pour : 0 < Pmax < 25

bars (on prendra 11 ).

7

max10 .m moyC P



0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0 5 10 15 20 25

Pression (bars)

Couple moyen en N.m

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