(Corrigé) Cinématique Du Point

8/10/2019 (Corrig) Cinmatique Du Point

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USTHB Facult de Physique Anne 2011-20121re anne ST Corrig de la srie cinmatique Sections 16 30

Hachemane Mahmoud ([email protected])

Monsieur A. Dib et Mademoiselle R. Yekken sont remercis pour leurs remarques et corrections.

Exercice 1

Le diagramme des espacesx(t)utilis dans cette solution est lgrement diffrent de celui de lnonccar lexercice est qualitatif, la mthode compte plus que les rsultats numriques.1. Description du mouvement : Le mobile dmarre de lorigine des espaces dans le sens ngatif ( v 0

4. d= d (0; 10) +d (10; 30) +d (30; 60) = |50 0|+ 0 + |100 (50)| = 200m.5. Sur le diagramme des espaces, on voit que vm(0s; 40s) =

040

= 0m/s.

t(s)

x(m)

10 20 30 40 50 60

50

50

v(m/s)

t(s)

10

20 40

10

1
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Exercice 2

1. vA(t) =vB(t) t = 6 103h.2. La distance parcourue par la voiture B est la surface du rectangle A (0, 0.006, vB) (Fig.1). Ladistance parcourue par A est la surface du triangle A (0, 0.006, vA) (Fig.2). La voiture B et doncen avance dune distance correspondant la surface du rectangle au-dessus de la diagonale D =A (0, 0.006, vB) A (0, 0.006, vA) = 0, 120km (Fig.3).

Fig.1 Fig.2 Fig.3

3. Entre t = 6 1 03h et t = 0, 01 h = 102h, la voiture A prend une avance dune distancecorrespondant au trapze entre ces deux instants et les vitesses des deux voitures (Fig.3), soit

d= (4+1)10320

2 = 0.050 km. La voiture B est toujours en avance de D d= 0.070 km

4. La voiture A doit rattraper les 0.070 km aprst = 102h. On doit avoir0.070 km = (t 102h)20 km/hce qui donnet = 0.0135 h. On peut calculer partir de lorigine des temps et crire xA(t) =

xB(t), donc [t+(t9103 h)]60 km/h

2 =t 40 km/h, ce qui donne le mme rsultatt= 0.0135 h.

Exercice 3

2 4 6 8 10

2

0

2

t(s)

v(m/s)

Donne x (0s) = 0m1. Acclration a= dv/dt. Le graphique de v (t) est compos de droites. Lacclration est constante

pour chaque droite et correspond la pente. Par exemple, entre t = 0sett = 10s, on aa = v(1)v(0)10 =2m/s2. On dduit le tableau suivant :

t (s) [0, 1] [1, 2] [2, 4] [4; 5] [5; 10]a (m/s2) 2 +2 0 +1 1

t (cm) [0, 1] [1, 2] [2, 4] [4; 5] [5; 10]a (cm) 4 +4 0 +2 2

2


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a(m/s2)

t(s)

2. On calcule les positions par la mthode des aires :x (1) x (0) =A (0, 1, v) x (1) =A (0, 1, v) = 1mcar x(0) = 0m.De mme, x(2) x(0) =A(0, 2, v) = 2m x (2) =A (0, 2, v) = 2m.x(4) =x(3) =x(2) = 2mcar le mobile est au repos.Maintenant, on utilise x (6) x (4) = A (4, 6, v) o A (4, 6, v) = 2m est laire du triangle hachur.Comme x (4) = 2m, alors x (6) = 0m.En calculant de cette faon tous les instants, on aura le tableau suivant :

t (s) 0 1 2 4 5 6 7 8 9 10x (m) 0 1 2 2 1.5 0 2.5 5 6.5 7

On trace sachant que, quand la vitesse est une droite, la position est une portion dune paraboledont la tangente est horizontale aux instants o v = dx

dt = 0 (dans cet exercice, v = 0 pour t = 0s,

t [2s, 4s] et t= 10s).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

1

2

x(m)

t(s)v= 0

Mthode des intgrales : Le graphique de v a pour fonction,

3


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v(t) =

2t si 0 t 12t 4 si 1 t 2

0 si 2 t 4t 4 si 4 t 7t+ 10 si 7 t 10

On calcule les intgrales par lune des deux mthodes suivantes (on prendra comme exemple 4st

7s) :

Mthode 1 : x (t) x (4) = t4vdt= t4(t 4) dt= 12t2 4t+ 8. La mthode des aires nous donnex (4) = 2m, donc x (t) = 1

2t2 4t+ 6.

Mthode 2 :x (t)x (1) = t1vdt=

21

(2t 4) dt +43

0dt +t4

(t 4) dt= 12

t24t + 7. La mthodedes aires nous donne x (1) = 1m, donc x (t) = 1

2t2 4t+ 6.

On trouve :

x (t) =

t2 si 0 t 1t2 4t+ 2 si 1 t 2

2 si 2 t 40.5t2 4t+ 6 si 4 t 7

0.5t2 + 10t 43 si 7 t 103. d= d (0, 2) +d (4, 10) =

22

2 + 63

2 = 11m.4. Description du mouvement o labrviation MRUA (+) signifie "mouvement rectiligne uniform-ment acclr dans le sens positif".

t (s) [0, 1] [1, 2] [2, 4] [4; 5] [5; 10]

Mouvement MRUA (-) MRUR (-) Repos MRUA (+) MRUR (+)

Justification a= C,av >0, v


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1. On calcule les vitesses dans chaque repre en drivant les coordonnes (x,y,z) et (x, y, z):La vitessevM/O par rapport

O,i,j, k

: vx = 2t 4, vy = 8t et vz = 6t.

La vitessevM/O par rapport

O,i,j, k

: v x= 2t+ 1, v y = 8t et v z = 6t.On dduit que vx = v

x 5, vy =vy et vz =v z.

2. Les acclrations sont obtenues en drivant (vx, vy, vz)et

vx, vy, vz

. On obtient :

LacclrationaM/O par rapport O,i,j, k : ax = 2, ay = 8et az = 6.

LacclrationaM/O4 par rapport

O,i,j, k

: ax= 2, ay = 8et az = 6.On dduit que ax = a

x, ay =a

y et az =a

z.

3. Pour dfinir le mouvement dentranement de (R)par rapport (R), il faut calculervO/O = vO/O ainsiqueaO/O = aO/OOr vM/O =vM/O+vO/O vO/O =vM/OvM/O = 5iet aM/O =aM/O+aO/O aO/O =aM/OaM/O =0.Le repre (R)est en mouvement rectiligne et uniforme dans le sens positif avec une vitesse vO/O = 5m/s.

Exercice 20

Donnes : x (0) = 4m et y (0) = 1m.1. Les composantes de lacclration sont constantes (pentes) ax=

1m/s2 etay = 0m/s

2. Les composantes

du vecteur position sobtiennent par la mthode des aires :x (5) x (0) = 50 vxdt= A (0, 5, vx) = 12.5m x (5) = 16.5my (5) y (0) = 50 vydt= A (0, 5, vy) = 6m y (5) = 7mx (10) x (0) = 50 vxdt= A (0, 10, vx) = 0m x (10) = 4my (10) y (0) = 50 vydt= A (0, 10, vy) = 16m y (10) = 17mOn a :

t (s) x (m) y (m) vx(m/s) vy(m/s) ax

m/s2

ay

m/s2

5 16.5 7 0 2 1 010 4 17 5 2 1 0

2.vA/O =vA/B+ vB/O avecvB/O =vB = 2i+ 4j,vA/O =vA etvA/B =vxi+vyj

On dduit quevA/B =vA vB vx = vx 2 etv y =vy 4.Le graphe dev x sobtient en dcalant celui de vx de2 vers le bas. Le graphe de v y sobtient en dcalant celuide vy de 4 vers le bas.

5 10 5 10

2

4

24

2

4

24

00

vxvy

vx

vy

Exercice 21

DonnesvN/E = vP/S = 1m/s, vE/S = vc = 0.5m/s,

vc 0.

DoncTP < TN, cest--dire que le piton arrive en premier. Application numrique : TP= 300setTN= 600s.2. On avN/P =vN/S+ vS/P =vN/S vP/Smais les expressions de vN/S etvP/Sdpendent des phases allerou retour du piton et du nageur. Il faut calculer les temps correspondants :Aller du piton LvP/S =

TP2 = 150s.

Aller du nageur Lvc+vP/S = 100s.On aura le tableau suivant :

[t1, t2] (s) [0, 100] [100, 150] [150, 300]

vN/Svc+ vP/Si vc vP/Si vc vP/Si

vP/SvP/Si vP/Si vP/Si

vN/P vci= 0.5i vc 2

vP/Si= 1.5i vci= 0.5i

vN/P(m/s)

t(s)100 200 300

t1 t2

A t = 0s, le nageur et le piton dmarrent de la mme abscisse xP/S = xN/S = 0, donc xN/P (0) =xN/S xP/S = 0. Les instants de rencontre correspondent xN/P(t) = 0 que lon peut dduire du graphede vN/P.Le premier instant de rencontre t1 correspond au cas o le piton est dans la phase aller et le nageur dansla phase retour (100s < t1< 150s). Il vrifie xN/P(t1) =A

0, t1, vN/P

+xN/P(0) = 0

0.5 100 (t1 100) 1.5 + 0 = 0 t1 = 133.33sLe deuxime instant de rencontre t2 correspond au moment ou le piton rattrape le nageur quand il sonttous les deux dans la phase retour (t2 > 150s). Il vrifie xN/P(t2) =A

0, t2, vN/P

+xN/P(0) = 0

0.5 100 (150 100) 1.5 + (t2 150) 0.5 = 0 t2= 200s.

O

y

x

30

30 60

Exercice 22

Donnes : At= 0s, on a(xR = 20m, yR= 0m),(xS= 100m, yS= 0m),(xT = 0m, yT = 30m), (xB = 40m, yB = 0m)Le courant entrane le ballon doncvC=veau= vB = 0.4ien (m/s).

Lindice B sera utilis la place de Cet de eau dans les vitesses,on crira par exemplevR/B = vS/B = vT/B = 1m/s.

1. Dans un repre li au ballon, les trois nageurs ont un mouvementrectiligne et uniforme avec des vitesses gales

vR/B = vS/B=vT/B, mais des positions initiales diffrentes rR/B(0) =rR(0) rB(0), rS/B(0) = rS(0) rB(0) et rT/B(0) = rT(0) rB(0). Leplus proche arrivera le premier. DR/B = |xR xB | = 60m,DS/B =|xS xB | = 60m et DT/B =

(xT xB)2 + (yT yB)2 = 50m.

Le nageur T arrivera en premier. Les temps correspondants sont : TR = DR/B/vR/B = 60s, TS =

DS/B/

vS/B

= 60s et TT =DT/B/

vT/B

= 50s.2. La formule vT/O = vT/O +vO/O o vT/O =vT et vT/0 = vT/B, car vO/O = vB/O = vB , montre bien

que le mouvement est rectiligne et uniforme dans les deux repres (xOy) et (xOy), car tous les vecteursvitesses sont constants. La trajectoire du nageur Test un segment de droite entre la position initiale de Tet sa position finale quand il arrive au ballon t = 50s.A t = 0s, on a (xT = 0m, yT = 30m).

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A t = 50s, on a (xT, yT) = (xB, yB) = (vBt+xB(0) , yB) = (60m, 0m).

La distance est D =

[xT(50) xT(0)]2 + [yT(50) yT(0)]2 = 67.08m3. Le vecteur vitesse vT/B a la mme pente que la trajectoire du nageur T dans le repre li au ballon

tg () = vyT/BvxT/B

= yT/B (50)yT/B (0)xT/B (50)xT/B (0) =

3040 =

34 . On trace un vecteur de pente

34 et de longueur 5cm carvT/B= 1m/s. Le vecteur vB = 0.4i a une longueur de 2cm. Le vecteur vT =vT/B+ vB est la rsultante

des deux.

vT

vB

vT/B

droit

edep

ente

3/4

vers

le

haut

de

3

vers la droite de 4

La longueur mesure de vT est 6.7cm, doncvT= 1.34m/s. Dune autre faon, on avT= DT = 67.0850 =1.34s.
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