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UE 4TPM102U
L1 MISIPCG
Physique et Ingénierie
Mécanique du point et du solide
– Cours –
Année 2020 – 2021 Resp. : A. Meziane – S. Villain-Guillot
Table des matières
Première partie – Mécanique du point 1 Cinématique du point : études de trajectoires
1.1 Vecteur position et trajectoire ................................................................................. 1 1.2 Le repère cartésien ................................................................................................ 2 1.3 Le vecteur vitesse instantanée ............................................................................... 4 1.4 Le vecteur accélération .......................................................................................... 5 1.5 Mouvement circulaire ............................................................................................. 6 1.6 Annexe 1: approche numérique de la cinématique (Hors-programme).................. 8 1.7 Annexe 2 : l’abscisse curviligne (Hors-programme) ............................................... 9
2 Dynamique I : les lois de Newton – des forces aux trajectoires 2.1 Les lois de Newton ............................................................................................... 10 2.2 L’invariance galiléenne ......................................................................................... 11 2.3 La dynamique en référentiels galiléens : étude des forces et des trajectoires ..... 13 2.4 Forces usuelles en mécanique ............................................................................. 14 2.5 Annexe 1 : La Poussée d’Archimède (Hors-programme) ..................................... 26 2.6 Annexe 2 : Force de frottement fluide (Hors-programme) .................................... 26
3 Dynamique II : les lois de conservation - bilan d'énergies 3.1 Energie cinétique, théorème de l’énergie cinétique ............................................. 29 3.2 Mouvement le long d’un axe et force constante : calcul du travail. ...................... 30 3.3 Forces conservatives. .......................................................................................... 32 3.4 Energie potentielle ................................................................................................ 36 3.5 Energie mécanique ............................................................................................. 37
Deuxième partie – Mécanique du solide
4 De la mécanique du point à la mécanique du solide ................................................... 39 5 Cinématique de la rotation
5.1 Translation vs rotation .......................................................................................... 41 5.2 Mouvement de translation pure ............................................................................ 42 5.3 Mouvement de rotation pure ................................................................................ 42 5.4 Relation entre le vecteur vitesse et le vecteur vitesse angulaire .......................... 48 5.5 Rotation autour d’un axe de direction fixe : exemple du roulement ..................... 51
6 Moment d’une force 6.1 Introduction de la notion de moment d’une force ................................................. 56 6.2 Exemples simples ................................................................................................ 58 6.3 Définition vectorielle du moment d’une force ....................................................... 59 6.4 Notion de couple .................................................................................................. 60
7 Centre de masse d’un solide 7.1 Pourquoi s’intéresser au centre de masse ? ........................................................ 62 7.2 Centre de masse de deux masses ponctuelles rigidement liées ......................... 63 7.3 Généralisation à un solide constitué d’un grand nombre de particules ................ 64
8 Statique des solides 8.1 Principe fondamental de la statique ..................................................................... 66 8.2 Méthode de résolution d’un problème de statique de solides .............................. 67 8.3 Exemple 1 – La balance ....................................................................................... 67 8.4 Exemple 2 – Equilibre d’une échelle .................................................................... 68
9 Bibliographie ................................................................................................................ 70
Première partie : Mécanique du point
1 Cinématique du point : études de trajectoires
1 Cinématique du point : études de trajectoires
kinêma, en grec κίνημα, désigne le mouvement. L’objet de la cinématique du point est
d’étudier le mouvement d’un point matériel au cours du temps, indépendamment des causes
qui produisent ce mouvement. Elle cherche à déterminer à partir des équations horaires1 du
mouvement d’un point sa trajectoire ainsi que ses vecteurs vitesse et accélération le long de
celle-ci.
L’étude du mouvement d’un corps implique un point d’observation, ou un référentiel. Par
exemple, un voyageur assis à bord d’un train est immobile par rapport au référentiel lié au
train ; au contraire d’une personne assise sur le quai qui voit passer le train, et donc le
voyageur, avec une vitesse finie dans le référentiel lié à la gare. Souvent il existe un choix
naturel pour le référentiel : la trajectoire d’une balle sera étudiée dans le référentiel lié à la
surface de la terre, le mouvement des planètes dans celui lié au soleil.
Les objectifs principaux de ce premier chapitre sont ainsi de décrire la position d’un point
matériel dans un repère d’espace, en particulier dans un repère cartésien, et de déterminer
sa trajectoire et ses vecteurs vitesse et accélération.
1.1 Vecteur position et trajectoire
La position d’un point matériel M à un instant t est
donnée par rapport à un point , appelé origine.
Le sens, la direction et la longueur (ou norme) du
bi-point (OM) définit le vecteur position ou
rayon vecteur . Ce rayon vecteur
peut aussi s’écrire : .
C’est le produit d’un scalaire par un vecteur : le scalaire , longueur ou norme de
, par le vecteur direction défini par :
.
Le vecteur ainsi défini est un vecteur de longueur unité qui a la même direction et
le même sens que le rayon vecteur .
Longueur et direction de peuvent évoluer continument en fonction du temps.
L’ensemble des points aux différents instants définit la trajectoire. C’est la courbe
continue, en un seul morceau, dessinée au cours du temps par l’extrémité du vecteur
position . Un point matériel ne peut « sauter » d’une partie de la trajectoire à une autre
: avant de passer par le point , il doit nécessairement être sur la trajectoire à un instant
proche de , par exemple à l’instant - ∆ en prenant ∆ suffisamment petit.
1 Équation horaire du mouvement : ou en coordonnées cartésiennes , , .
2 Cinématique du point : études de trajectoires
Nous sommes libres de choisir n’importe quel point comme origine. Le passage à une
description à partir d’un autre point origine ’ se fait en utilisant la relation de Chasles :
′
La forme de la trajectoire ne dépend pas du choix de l’origine si est un vecteur
constant.
1.2 Le repère cartésien
Un repère dans l’espace tridimensionnel est défini par une origine et trois vecteurs, dit
vecteurs de base. Un repère cartésien (Figure 2) est associé à une base fixe, indépendante
du temps, constituée de trois vecteurs orthonormés : ils sont de norme unité et orthogonaux
deux à deux. Ils définissent par leurs directions fixes les axes de référence cartésiens ,
et .
Le vecteur position d’un point à l’instant dans le repère , , , s’écrit
alors :
, où , et sont les coordonnées ou
composantes cartésiennes de dans le repère
, , , . Cela revient à dire que pour aller du point
au point , il faut marcher sur une distance dans la
direction , une distance dans la direction et une
distance dans la direction .
En notation matricielle (ou colonne) :
Ces coordonnées peuvent dépendre du temps.
Le produit scalaire de deux vecteurs et est défini par : . cos ,
Les vecteurs de la base cartésienne satisfont alors . 1, . . 0, relations
que l’on résume par ⋅ , où la fonction delta de Kronecker est définie par
1 et 0 .
Les coordonnées du point M sont obtenues par la projection du vecteur position sur les
trois vecteurs orthonormés de la base cartésienne , et , en utilisant le produit scalaire :
.
Ou bien, en notant , l’angle entre et , et en se souvenant que par
construction ‖ ‖ 1, ce produit scalaire s’écrit :
cos ,
Figure 2 : repère cartésien
en 3 dimensions
3 Cinématique du point : études de trajectoires
, ou en coordonnées cartésiennes , , , définit les équations
horaires du mouvement. Une conséquence de la continuité d’une trajectoire est que toutes
les composantes seront des fonctions continues : pour aller de à ,
on passera nécessairement par tous les points ∈ , à un certain instant ∈ , .
Comme une coordonnée est obtenue par le résultat du produit scalaire de
avec le vecteur de base et puisque ⋅ , le produit scalaire entre deux vecteurs
et
peut s'exprimer à l'aide de leurs composantes cartésienne par la relation :
.
On peut définir la norme de , c’est à-dire la distance à l’instant t du point M à
l’origine :
.
Notons l’angle , . En remarquant que , , cette définition donne
bien pour un mouvement à deux dimensions dans le plan (xOy) :
cos cos2
cos sin
Alors que les coordonnées , , sont des composantes algébriques, positives ou
négatives, la norme d’un vecteur est la racine carrée du produit scalaire de ce vecteur avec
lui-même : c’est une quantité positive et définie (i.e. qui est nulle si et seulement si 0 ,
soit confondu avec ).
Le vecteur ainsi qu’un produit scalaire, comme par exemple . , sont
indépendant du choix du repère, bien qu’individuellement, les composantes ne le soient pas.
La notation vectorielle, outre sa concision, permet d’exprimer les lois de la Physique
indépendamment des repères ou systèmes de coordonnées. Elle permet aussi d’exprimer
simplement l’invariance des lois de la Physique par rapport aux translations et aux rotations,
soit des repères, soit des expériences elles-mêmes (invariances par symétries).
Exemple 1-1. Exemples de calculs de produits scalaires
1- Calculons le produit scalaire entre deux vecteurs colinéaires et
A. B ab qui est négatif si A et B sont orienté en sens opposés.
2- Si cos sin et cos sin , alors
.
3- Faisons tourner de :
cos sin = sin cos
Alors . cos sin sin cos 0 donc et sont bien orthogonaux.
4 Cinématique du point : études de trajectoires
1.3 Le vecteur vitesse instantanée
La vitesse instantanée de à l’instant dans le référentiel est un vecteur ; c’est la
dérivée temporelle du vecteur position :
, ,
c’est-à-dire : , lim → lim →∆ lim →
La figure ci-contre montre le vecteur position aux temps et et la trajectoire ;
pendant l’intervalle , le point se déplace de
Δ Δ , ∆ .
Pendant , parcourt donc la distance
∆ ∆ ‖ , ‖∆
Pour un intervalle de temps ∆ quelconque mais fini, ∆
définit la vitesse moyenne sur
une fenêtre temporelle ∆ . Lorsque ∆ → 0, le déplacement est dit infinitésimal et
lim∆ → ∆, . Le vecteur vitesse , est donc le déplacement instantané de
par unité de temps. C’est la vitesse locale instantanée, ou vitesse moyenne calculée sur un intervalle de temps très court.
Le déplacement infinitésimal Δ est alors porté par la tangente à la trajectoire au point
. C’est donc cette direction du déplacement infinitésimal qui sera aussi la direction du
vecteur vitesse. Cette direction est donnée par le vecteur tangent , vecteur de norme unité
défini par :
∆
∆
,‖ , ‖
La vitesse peut être obtenue à partir de la décomposition de dans le repère
, , , : . Les trois vecteurs de base du repère
cartésien , , , étant indépendant du temps, on a :
, .
En coordonnées cartésiennes, les composantes du vecteur2 vitesse sont donc les
dérivées des composantes du vecteur position.
La dérivée temporelle d’une fonction g(t) est indiquée par un point : ⁄ . Ainsi :
, ,
2 Notons que dans cette expression, la vitesse est un bi-point qui a pour origine le point .
Or sur le dessin, la vitesse est le vecteur représenté par une flèche épaisse qui a pour origine le point .
Un vecteur, tel que , représente donc plusieurs bi-points équivalents, ou une famille de bi-points équivalents.
5 Cinématique du point : études de trajectoires
ou en notation colonne ou matricielle : , .
Le déplacement élémentaire est Δ Δt Δ Δ Δ . Cela revient à dire
que pour aller du point au point Δt , il faut marcher sur une distance Δ dans la direction , une distance Δ dans la direction et une distance Δ dans la direction .
La direction du vecteur , est donnée par le vecteur tangent défini par :
,‖ , ‖
⁄
⁄
⁄
Les composantes du vecteur vitesse sont des fonctions continues du temps. Nous
verrons en effet que l’on ne peut pas faire varier instantanément ni la norme de la vitesse, ni
sa direction (sauf éventuellement lors d’une explosion ou lors d’une collision avec un objet
de masse infini, comme un mur).
1.4 Le vecteur accélération
L’accélération , d’un point dans le référentiel à l’instant est la dérivée
temporelle du vecteur vitesse , | :
, ,
En coordonnées cartésiennes le repère , , , , les trois vecteurs de base étant
fixes, on obtient directement : , .
ou en notation colonne ou matricielle, ,
Son origine est en (cf note 2). Le vecteur accélération est toujours dirigée vers l’intérieur de la trajectoire.
L’accélération ne correspond pas uniquement à une « augmentation » de la vitesse mais
à un changement du vecteur vitesse : de sa norme et/ou de sa direction.
Une valeur positive du produit scalaire . , donc de . ou de la projection de
l’accélération sur la vitesse, va bien correspondre à une augmentation de la norme de la
vitesse ‖ ‖. En effet3 :
3 On rappelle la dérivée d’une fonction composé :
= ′ ′ où = ′
Ici, il s’agit de la dérivée de la fonction composée : = où = = .
que l’on peut aussi noter , , . La dérivée de la norme carrée de la vitesse s’écrit donc
6 Cinématique du point : études de trajectoires
. 2 . 2 . 2‖ ‖ ‖ ‖cos ,
(i)
Ainsi, si . 0, alors est croissant et le mouvement est dit accéléré.
Au contraire, une valeur négative . de traduit un ralentissement du
mouvement ou décélération.
Nous allons voir dans le chapitre suivant que l’autre composante de l’accélération,
perpendiculaire à et , et donc appelée accélération normale, correspond au changement
de direction du vecteur vitesse .
1.5 M ouvement circulaire
Si un point matériel M se déplace sur un cercle de rayon dont le centre est choisi comme origine du repère cartésien et la base est choisie de sorte que le mouvement soit dans le plan , la position de est alors donnée par :
cos sin .
On vérifie que . . Le vecteur vitesse est alors donnée par
sin cos (cf dérivée d’une fonction composé3)
La norme de ce vecteur est ‖ ‖ | | et sa direction définit la tangente à la
trajectoire : /| | sin cos
On vérifie que . 0 : la vitesse dans le cas d’un mouvement circulaire est
perpendiculaire à (sa direction, tangente au cercle, est bien perpendiculaire au rayon).
On appelle vitesse angulaire le rapport entre la norme de la vitesse | | et la
norme du rayon vecteur . La vitesse angulaire sera positive si le mouvement de
rotation est dans le sens trigonométrique.
1.5.1 Mouvement circulaire uniforme et accélération normale
Si cette vitesse angulaire est constante, on définit la pulsation : .
La période du mouvement est donnée par et sa fréquence par .
La vitesse s’écrit alors = sin cos , de norme constante . L’accélération est alors donnée par
cos sin
Le vecteur accélération a pour norme ‖ ‖ .
Cette accélération est dite centripète (elle est dirigée vers le centre du cercle); elle est dans la direction
dite normale, c'est à dire orthogonale à la tangente.
,
ce qui donne =2 2 . = 2 .
7 Cinématique du point : études de trajectoires
Comme . . 0, d’après la relation (i) du chapitre 1.4, 0.
Ce mouvement norme de la vitesse est constante.
Le vecteur accélération normale correspond au changement de direction du vecteur vitesse,
là où l’accélération tangentielle correspondait au changement de la norme de la vitesse.
1.5.2 Mouvement circulaire : accélération normale et tangentielle
Dans le cas d’une vitesse angulaire quelconque, l’accélération est alors donnée par3
sin cos cos sin
La première partie correspond à l’accélération tangentielle . et caractérise le
changement de la norme de la vitesse : ‖ ‖
. Une valeur positive, 0,
correspond à . 0 , donc à une augmentation de la norme de la vitesse ‖ ‖, tandis que 0 indique un ralentissement du mouvement : . 0. Dans le cas d’un mouvement à vitesse uniforme : 0 (lorsqu’un conducteur de voiture a enclenché le régulateur de vitesse)
La deuxième partie est la composante normale de l’accélération qui n’influe pas sur la norme (t)=‖ ‖, mais caractérise la variation de la direction du vecteur vitesse (et donc de ) Cette composante est nulle dans le cas d’un mouvement rectiligne. Sinon elle est orientée
selon la direction cos sin , perpendiculaire à , et elle est reliée au
rayon du cercle par la relation / , ou encore / (relation qui définit le rayon de courbure de la trajectoire)
‖ ‖
Si l’accélération tangentielle est la conséquence de l’action d’un conducteur sur les pédales ou les freins, l’accélération normale / correspondra à son action sur le volant : elle sera plus importante si le virage est « serré » ou si la vitesse y est élevée.
8 Cinématique du point : études de trajectoires
(t+Δt)
M(t)(t‐Δt)
1.6 Annexe 1: approche numérique de la cinématique (Hors-programme)
De même que pour une photo, une image est nécessairement découpée en pixels ou
grains élémentaires, de même une trajectoire continue sera discrétisée lors de son
enregistrement. Les positions successives d’un point matériel seront alors données par une
série de coordonnées , , , pour une suite croissante d’instants . Généralement, ∆ où ∆ est le pas de temps. 1/∆ est alors la fréquence
d’échantillonnage. A partir de cet échantillonnage du mouvement, il est possible, pour tous les instants de calculer numériquement de manière approchée la composante de la vitesse
selon à l’aide de l’équation aux différences finies (i) :
,∆ ∆
∆
Notez que cette définition est symétrique par rapport à .
En effet, si on approxime localement la loi horaire pour la
coordonnée par sa tangente en , son coefficient directeur
sera et son équation sera t t , alors :
∆ ∆ et ∆ ∆ .
La différence entre ces deux relations donne alors
∆ ∆ 2 ∆ 2∆
D’un point de vue géométrique, la tangente à la trajectoire en est approximée par la
corde reliant et , donc par la tangente moyenne sur l’intervalle [ , ]
de centre . Cette approximation sera d’autant plus proche de la définition de la vitesse
instantanée (chapitre 1.3) que le pas de temps ∆ sera petit.
Ces formules pour les vitesses correspondent toujours à des vitesses moyennes locales,
calculées pendant des intervalles de temps 2∆ (ou ∓∆ lorsque
0 ou ). Elles sont bien équivalentes à la définition de la vitesse lorsque et
tendent vers t (donc lorsque ∆ tend vers zéro).
Notons que, par cette procédure symétrique, la vitesse ne peut pas être calculée pour
le premier et le dernier point de l’échantillonnage. Pour ces deux points, on prendra donc la
formule approchée (non symétrique par rapport à )
, ∆
∆ et ,
∆
∆ (ii)
Remarquons que pour ces extrémités
, et
, .
Ces formules sont donc symétriques par rapport à = ∆ et non plus par rapport à
9 Cinématique du point : études de trajectoires
1.7 Annexe 2 : l’abscisse curviligne (Hors-programme)
L’abscisse curviligne mesure la longueur du chemin parcouru par le point
jusqu’au temps . C’est la distance mesurée le long de la trajectoire, par exemple à l’aide
d’un lacet posé le long de cette trajectoire dont on mesure ensuite la longueur en l’allongeant
le long d’une règle. L’abscisse curviligne permet de définir une coordonnée intrinsèque selon
la trajectoire, indépendamment du choix d’un repère.
Dans le cas particulier d’un mouvement uniforme, la longueur du chemin parcouru par
vaut ∆ ‖ ‖ car la norme de la vitesse est constante. Dans le cas d’un
mouvement quelconque, ∆ où est la vitesse moyenne de le long de la
trajectoire. Celle-ci s’obtient en calculant la moyenne des normes des vitesses au cours
du temps : 1∆
′ ,
où est la norme de la vitesse instantanée : et où ∆ .
La longueur du chemin parcouru par vaut donc :
∆ ′. Cette longueur correspond à la variation d’abscisse curviligne entre et . Cette
coordonnée intrinsèque est donc définie comme la primitive, ou l’intégrale de la norme de la
vitesse instantanée :
′ de sorte que .
Réciproquement, la norme de la vitesse instantanée est donnée par la dérivée de :
= . Donc l’abscisse curviligne est donc aussi définie par une équation
différentielle :
.
Notez que la norme de la vitesse et l’abscisse curviligne sont des quantités
positives. Notez aussi que est une expression vectorielle
alors que est une expression scalaire.
