Ch 1 Cours Cinématique Du Point Matériel_modifié

Pr. B.SAMOUDI

Physique II

Cours de Mécanique du point

1

2013-2014

Quelques règles à savoir….

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1. Le module appelé Physique II est constitué de trois matières, mécanique du point(50 %), optique géométrique et ondulatoire (50 %).

2.Deux contrôles (de deux heures) seront programmés pendant le deuxième semestre.

3.Une seule session de rattrapage sera organisée après le dernier contrôle.

Quelques règles à savoir….

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Comment appréhender le cours de la mécanique du point ?

Programme du cours

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1. Travailler régulièrement.

2. Ne jamais apprendre une formule par cœur et l’appliquer directement aux problèmes physiques.

3. Le cours et les TDs ne suffisent pas pour comprendre la mécanique.

Programme du cours

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Introduction générale

CH 1. Cinématique du point matériel CH 2. Composition du mouvement CH 3. Dynamique Newtonienne du point matériel CH 4. Travail, puissance énergie CH 5. Mouvement d’un point matériel dans un champ central CH 6. Oscillations mécaniques

Organisation du cours :

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Quel est l’intérêt d’étudier la mécanique du point ?


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- La mécanique permet de décrire et comprendre le mouvement des points matériels.

- La mécanique du point permet de prédire le mouvement d’un point matériel à partir de sa position et vitesse initiale.


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- L’étude du mouvement du point matériel est limitée à la mécanique classique. Dans ce cas, le temps est absolu et on peut parfaitement définir la position de l’objet dans l’espace.

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- Le mouvement d’un mobile est un phénomène relatif. En effet, la trajectoire d’un mobile dépend de l’observateur, qui constitue le système référentiel.

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Chapitre 1 : Cinématique du point matériel

1. Calcul vectoriel 1. 1 Produit Scalaire

On appelle produit scalaire de deux vecteurs et une loi de composition externe dans qui associe à ces deux vecteurs un nombre réel (dit scalaire) noté :

u w

u w⋅

3 produit,scalaire

V W R V W R∀ ∈ → ⋅ ∈

3R

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1. Calcul vectoriel 1. 2 Produit Vectoriel

On appelle produit vectoriel de deux vecteurs et une loi de composition interne dans qui associe à ces deux vecteurs un vecteur noté tel que :

u w3R

u w∧

' ' '' ' '' ' '

a a bc cbu w b b ca ac

c c ab ba

− ∧ = ∧ = − −

Propriété importante du double produit vectoriel :

( ) ( ) ( )u v w u w v u v w∧ ∧ = ⋅ − ⋅

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Chapitre 1 : Cinématique du point matériel 1. Calcul vectoriel 1. 3 Produit mixte On appelle produit mixte de trois vecteurs , et pris dans cet ordre, le nombre réel défini par :

u wv

( )u v w⋅ ∧

Il est facile de montrer que :

( ) ( ) ( )u v w v w u w u v⋅ ∧ = ⋅ ∧ = ⋅ ∧

On dit que le produit mixte est invariant par permutation circulaire.

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Chapitre 1 : Cinématique du point matériel 1. Calcul vectoriel 1. 4 Moment d’un vecteur par rapport à un point

Le moment d’un vecteur par rapport à un point est donné par :

F

( )OM F OP F= ∧

P

O

Fd ( )OM F F d= ×

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1. Calcul vectoriel 1. 4 Moment d’un vecteur par rapport à un axe

Le moment d’un vecteur par rapport

à l’axe (Δ) est donné par : F

( )( , ) ( ) ( )u OM F M F u OP F u∆ = ⋅ = ∧ ⋅

u est le vecteur unitaire de l’axe (∆).


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u

P

O

F

( )∆

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2. Quelques définitions 2. 1 La cinématique

La cinématique permet de décrire de manière générale l’évolution d’un objet sans s’intéresser aux causes de mouvement.

Quels sont les paramètres qui rentrent en jeu dans la cinématique ?


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2. Quelques définitions 2. 2 Notion du point matériel

Il s’agit d’un point géométrique associé à un système matériel dont la position est parfaitement déterminée par la donnée de trois coordonnées.


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2. Quelques définitions 2. 3 Notion de référentiel

Un référentiel est un système d’axes définissant un espace donné, lié à un observateur muni d’un horloge.

En mécanique classique, le temps s’écoule de la même manière dans tous les référentiels.


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Un référentiel est un système d’axes définissant un espace donné, lié à un observateur muni d’un horloge.

En mécanique classique, le temps s’écoule de la même manière dans tous les référentiels.


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On distingue plus particulièrement les référentiels de Copernic, géocentrique et terrestre : Le référentiel de Copernic :

Origine : Centre de système solaire

Axe dirigés vers les étoiles de directions fixes par rapport au soleil.


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Le référentiel géocentrique :

Origine : Centre de la terre

Axes parallèles à ceux du référentiel de Copernic


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Le référentiel terrestre :

Origine : point de la surface de la terre

Axes fixes par rapport à la terre


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2. Quelques définitions 2. 4 Repère et coordonnées

Pour tout observateur, 3 coordonnées suffisent à positionner un point dans l’espace.

En général, on distingue trois systèmes de coordonnées : système cartésien, système cylindrique et système sphérique.


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Système cartésien :

x

y

z

x

y

z

M(x,y,z)

x y zOM xe ye ze= + +

, et x y ze e e

xe yezeSont immobiles par rapport au référentiel d’observation

0yx zdede dedt dt dt

= = =


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2. Quelques définitions 2. 3 Repère et coordonnées Système Cylindrique :

x

y

z z

M r zOM re ze= +

reeθ

θ r

eθ

re

ze

ze

Le vecteur position s’écrit :

Les coordonnées cylindriques du point M sont : ( , , )r zθ

Les composantes du vecteur position dans la base cylindrique sont :

OM

( , , )r ze e eθ


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( , , )r zθ

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2. Quelques définitions 2. 3 Repère et coordonnées Système Cylindrique :

x

y

z z

M

reeθ

θ r

eθ

re

ze

ze

cos sin

sin cosr x y

x y

e e ee e eθ

θ θ

θ θ

= +

= − +

0zd edt

=

, r rd de e e edt dtθ θθ θ= = −

Relations importantes :


Pr. B.SAMOUDI 25

2. Quelques définitions 2. 3 Repère et coordonnées Système Sphérique :

x

y

z z M(x,y,z) re

eϕ

ϕ r

eθθ

eϕ

rOM re=

Le vecteur position s’écrit :

Les coordonnées sphérique du point M sont : ( , , )r θ ϕLes composantes du vecteur position dans la base sphérique sont :

OM

( , , )r ze e eθ ( , , )r θ ϕ


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Système de Frenet :

M

M

M

TeNe

Te

NeTe

Ne

: Vecteur normalNe

: Vecteur tangentTe

Est dirigé dans le sens du mouvement Te

Est dirigé selon la concavité de la trajectoire

Ne

La base de Frenet est donnée par :

( ), ,T N Be e e

Avec : B T Ne e e= ∧


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M

M

M

TeNe

Te

Ne Te

Ne

O

Abscisse curviligne s

La distance algébrique mesuré sur la trajectoire entre le point O et le point M.


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3. Cinématique 3. 1 Cinématique dans le repère cartésien 3.1.1 Vecteur déplacement élémentaire

O

( )M t

'( ')M t

Vecteur déplacement :

'( ') ( )OM t OM t∆ = −

Vecteur déplacement élémentaire :

∆

O

( )M t'( ')M t

d

' 0lim '( ') ( )

t td OM t OM t dOM

− →= − =


Pr. B.SAMOUDI 29

3. Cinématique 3. 1 Cinématique dans le repère cartésien 3.1.1 Vecteur déplacement élémentaire

' 0lim '( ') ( )

t td OM t OM t dOM

− →= − =

A partir de l’expression précédence :

Nous avons : x y zOM xe ye ze= + +

Donc : x x y y z zdOM dxe xde dye yde dze zde= + + + + +

Ainsi : x y zd dxe dye dze= + +


Pr. B.SAMOUDI 30

3. Cinématique 3. 1 Cinématique dans le repère cartésien 3.1.2 Vecteur vitesse

Nous avons : ( ) dv Mdt

=

Donc : ( ) x y zdx dy dzv M e e edt dt dt

= + +

( ) x y zv M xe ye ze= + +

Ou :

Ou : ( )x

v M yz

=


Pr. B.SAMOUDI 31

3. Cinématique 3. 1 Cinématique dans le repère cartésien 3.1.3 Vecteur accélération

Nous avons : ( ) ( )da M v Mdt

=

Donc : 2 2 2

2 2 2( ) x y zd x d y d za M e e edt dt dt

= + +

( ) x y za M xe ye ze= + +

( )x

a M yz

=

Ou :

Ou :


Pr. B.SAMOUDI 32

3. Cinématique 3. 2 Cinématique dans le repère cylindrique 3.2.1 Vecteur déplacement élémentaire


Nous avons : r zOM re ze= +

r r z zdOM dre rde dze zde= + + +

Donc :

Ainsi : r r zd dre rde dze= + +


Pr. B.SAMOUDI 33

3. Cinématique 3. 1 Cinématique dans le repère cylindrique 3.1.1 Vecteur déplacement élémentaire

r r zd dre rde dze= + +

?rdeNous avons : rde e

d θθ=

Ceci implique rde d eθθ=

Par conséquent : r zd dre rd e dzeθθ= + +


Pr. B.SAMOUDI 34

3. Cinématique 3. 2 Cinématique dans le repère cylindrique 3.2.2 Vecteur vitesse

Nous avons : ( ) dv M

dt=

Donc : ( ) r zdr rd dzv M e e edt dt dtθ

θ= + +

( ) r zv M re r e zeθθ= + + Ou :

Ou : ( )r

v M rzθ

=


Pr. B.SAMOUDI 35

3. Cinématique 3. 2 Cinématique dans le repère cylindrique 3.2.3 Vecteur Accélération


=

Donc : ( ) ( ) ( )( ) r zd d da M re r e zedt dt dtθθ= + +

(1) (2) (3)


Pr. B.SAMOUDI 36

3. Cinématique 3. 2 Cinématique dans le repère cylindrique 3.2.3 Vecteur accélération

Terme (1) :

( )r r r rd dr dre e r e re r edt dt dt θθ= + = +


Pr. B.SAMOUDI 37


Terme (2) : ( )d d dr e r e r edt dt dtθ θ θθ θ θ = +

( )d dr e r e r e edt dtθ θ θ θθ θ θ θ = + +

( ) ( )2r

d r e r e r e edt θ θ θθ θ θ θ= + −


Pr. B.SAMOUDI 38


Terme (2) :

( ) ( )2r

d r e r e r r edt θ θθ θ θ θ= − + +


Pr. B.SAMOUDI 39


Terme (3) :( )z z

d ze zedt

=


Pr. B.SAMOUDI 40


Conclusion :

( ) ( )2( ) 2r za M r r e r r e zeθθ θ θ= − + + +


Pr. B.SAMOUDI 41

3. Cinématique 3. 3 Cinématique dans le repère sphérique 3.3.1 Vecteur déplacement élémentaire


Nous avons : rOM re=

r rdOM dre rde= +

Donc :

Ainsi : r rd dre rde= +


Pr. B.SAMOUDI 42



Pr. B.SAMOUDI

En effet : cos sinr z pe e eθ θ= +

cos sin (cos sin )r z x ye e e eθ θ ϕ ϕ= + +

sin cos sin sin cosr x y ze e e eθ ϕ θ ϕ θ= + +

D’autre part :

sin cosx ye e eϕ ϕ ϕ= − +

z M(x,y,z) re

eϕ

ϕ

eθθ

eϕ

reze

pe

H

θ

x

y

43



Pr. B.SAMOUDI

Finalement :

sin sin cos cos coscos sin sin cos sin0 cos sin

re e eθ ϕ

ϕ θ ϕ ϕ θϕ θ ϕ θ ϕ

θ θ

−= ∧ = ∧ =

−

z M(x,y,z) re

eϕ

ϕ

eθ

eϕ

ze

pe

Hx

y re

θ

44

3. Cinématique 3. 3 Cinématique dans le repère sphérique 3.3.2 Vecteur vitesse


Pr. B.SAMOUDI

On obtient finalement :

sinrd dre rd e r d eθ ϕθ θ ϕ= + +

sinrde d e d eθ ϕθ θ ϕ= +

Soit :

45

3. Cinématique 3. 3 Cinématique dans le repère sphérique


Pr. B.SAMOUDI

3.3.2 Vecteur vitesse ( ) dv M

dt=

sin( ) r zdr rd r dv M e e edt dt dtθ

θ θ ϕ= + +

Donc :

Ou : ( ) sinr zv M re r e r eθθ θϕ= + +

Ou : ( )sin

rv M r

rθ

θϕ

=

46

3. Cinématique 3.3 Cinématique dans le repère sphérique 3.3.3 Vecteur accélération


Pr. B.SAMOUDI


=

Donc : ( ) ( ) ( )( ) sinr z

d d da M re r e r edt dt dtθθ θϕ= + +

(1) (2) (3)

47


Terme (2) : ( )d dr e r e r e edt dtθ θ θ θθ θ θ θ = + +

( ) ( )d dr e r r e r edt dtθ θ θθ θ θ θ= + +

Déterminer ?d edt θ


Pr. B.SAMOUDI

Terme (1) : ( )r r rd dr dre e r edt dt dt

= +

48

3. Cinématique 3. 3 Cinématique dans le repère sphérique 3.3.3 Vecteur accélération

Terme (2) :

( )d dr e r e r e edt dtθ θ θ θθ θ θ θ = + +

( ) ( )d dr e r r e r edt dtθ θ θθ θ θ θ= + +

Déterminer ?d edt θ

Pr. B.SAMOUDI


49


Terme (2) :

Nous avons :

cos cos cossin sinx y ze e e eθ θ ϕ ϕ θ= + −

Donc : cosrd e e edt θ ϕθ ϕ θ= − +

(à vérifier )


Pr. B.SAMOUDI 50


Terme (3) :

( )sin sin sind d dr e r e r edt dt dtϕ ϕ ϕθϕ θ ϕ θ ϕ = +

sin sin cosd r r rdt

θ θ θ θ= +

d de e edt dtϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ= +

?d e

dt ϕ

Pr. B.SAMOUDI


51


re e eϕ θ= ∧

Nous avons :

Donc :

0 0 1 1 0 0

sin 0 0 co s

sin cos

rr

r

de dede e edt dt dt

e e

ϕ θθ

θ

θθϕ θ ϕ θ

ϕ θ ϕ θ

= ∧ + ∧

−= ∧ + ∧

= − −


Pr. B.SAMOUDI 52


Terme (3) :

( ) ( )( )( )

sin sin cos

sin sin cosr

d r e r r edt

r e e e

ϕ ϕ

ϕ θ

θϕ θ θ θ ϕ

θ ϕ ϕ ϕ θ ϕ θ

= +

+ + − −


Pr. B.SAMOUDI 53


Conclusion :

( )( )( )

2 2 2

2

sin

2 sin cos

2 cos 2 sin sin

ra r r r e

r r r e

r r r e

θ

ϕ

θ ϕ θ

θ θ ϕ θ θ

ϕθ θ ϕ θ ϕ θ

= − −

+ + −

+ + +


Pr. B.SAMOUDI 54

3. Cinématique 3.4 Cinématique dans le repère de Frenet 3.4.1 Vecteur déplacement élémentaire

O( )M t

d

Te

NeTd dse=

?ds


Pr. B.SAMOUDI 55

3. Cinématique 3.4 Cinématique dans le repère de Frenet 3.4.1 Vecteur déplacement élémentaire

O( )M t

d

Te

Ne

Td dse=

( )

( ) ( ) ( )

2 2 2

22 2

2 22

(repère cartésien)

= (repère cylindrique)

= sin repère sphérique

ds dx dy dz

dr rd dz

dr rd r d

θ

θ θ ϕ

= + +

+ +

+ +


Pr. B.SAMOUDI 56

3. Cinématique 3.4 Cinématique dans le repère de Frenet 3.4.2 Vecteur vitesse

( ) Tdsv M edt

=


Pr. B.SAMOUDI 57

3. Cinématique 3.4 Cinématique dans le repère de Frenet 3.4.3 Rayon de courbure

La courbure (scalaire ) au point M est définie de la manière suivante :

dCdsψ

=

Le rayon de courbure est donné par :

1 dsRC dψ

= =


Pr. B.SAMOUDI 58

3. Cinématique 3.4 Cinématique dans le repère de Frenet 3.4.3 Rayon de courbure

O

( )M t

'( ')M tTe

'Te

'Te

dψ TdeTe

T N Ndsde d e eR

ψ= =

NT ededs R

=

'lim ( ( ') ( ))T T T

M Md e e M e M

→= −

Nedψ

( )sin( )d dψ ψ=


Pr. B.SAMOUDI 59

3. Cinématique 3.4 Cinématique dans le repère de Frenet 3.4.4 Vecteur accélération Nous avons : ( ) ( )da M v M

dt=

( ) Tdsv M edt

=

et

Donc : 2

2( ) TT

ded s dsa M edt dt dt

= +

NT ededs R

=

?Tdedt

Donc : 1T

Nde ds edt dt R

=

Ainsi : 22

2

1( ) T Nd s dsa M e edt dt R

= +


Pr. B.SAMOUDI 60

3. Cinématique 3.4 Cinématique dans le repère de Frenet 3.4.4 Vecteur accélération

( ) dsv Mdt

=

Puisque :

Alors : 2( ) ( )( ) T N

d v M v Ma M e e

dt R= +


Pr. B.SAMOUDI 61

3. Cinématique 3.5 Exemples de mouvement simples 3.5.1 Mouvement rectiligne

Mouvement rectiligne uniforme

xeye

x

y

O

MOM ( )v M

( )v M cte=

( ) 0a M =

La courbure

Soit : 0C =

R = ∞


Pr. B.SAMOUDI 62

3. Cinématique 3.5 Exemples de mouvement simples 3.5.2 Mouvement Circulaire Mouvement circulaire uniforme

xeye

x

y

O

OM( )v M cte≠

( )a M cte≠

La courbure 1CR

=

( )v M

( )v M cte=

( )a M cte=

, 0, , 0 Cte r R rθ θ= = = =


Pr. B.SAMOUDI 63

3. Cinématique 3.5 Exemples de mouvement simples 3.5.2 Mouvement Circulaire

Mouvement circulaire uniforme

xeye

x

y

O

OM

( )v M

reeθ

rOM re=

( )v M r eθθ=

2( ) ra M r eθ= −


Pr. B.SAMOUDI 64

3. Cinématique 3.5 Exemples de mouvement simples 3.5.2 Autres types de mouvement

Mouvement hélicoïdal : Mouvement de rotation uniforme dans le plan et un mouvement de translation uniforme suivant l’axe (Oz).

( , )re eθ

À étudier de préférence dans le repère cylindrique.


Pr. B.SAMOUDI 65

3. Cinématique 3.5 Exemples de mouvement simples 3.5.2 Autres types de mouvement Mouvement hélicoïdal :

M

Hre

eθ

z

θ

r zOM re ze= +

Mouvement translation uniforme suivant (Oz) : zz v t=

Donc : 2

( )

( )z z

r

v M r e v e

a M r eθθ

θ

= +

= −


Pr. B.SAMOUDI 66

3. Cinématique 3.5 Exemples de mouvement simples 3.5.2 Autres types de mouvement Mouvement de spiral : Mouvement de rotation dans le plan avec une variation de la coordonnée r.

( , )re eθ

À étudier de préférence dans le repère cylindrique.


Pr. B.SAMOUDI 67


Mouvement de spiral :

rOM re=

( ) ( )2

( )

( ) 2r

r

v M re r e

a M r r e r r eθ

θ

θ

θ θ θ

= +

= − + +

reeθ

θ

d


Pr. B.SAMOUDI 68


Mouvement cycloïdal :

Mouvement de rotation uniforme dans un plan accompagné d’un mouvement rectiligne uniforme.

À étudier de préférence dans le repère cartésien.

(Trajectoire de la valve d’une vélo en circulation)


Pr. B.SAMOUDI 69

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