Corrigé UPSTI 2015 - lycee-champollion.fr · Concours CCP MP Session 2015 Corrigé UPSTI Page 6 d) A partir de ces analyses, en justifiant votre réponse, donner l’allure de la

Concours CCP MP Session 2015 Corrigé UPSTI

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Question 1 : Exprimer la vitesse maximale 𝑉𝑀𝑥 en fonction de 𝑥𝑀

𝑚𝑎𝑥 et 𝑇𝑎. La position est donnée par l’aire sous la courbe de vitesse, on en déduit :

x x max

max x x xa M a M MM M a a M a M

a

T V T V xx V T T T V T T d 'où V

2 2 T T

Question 2 : a. Par application du théorème de l’énergie cinétique sur l’ensemble des pièces en

mouvement, exprimer le couple moteur 𝐶𝑚 en fonction de 𝑉𝑥, 𝑇𝑎, 𝐽𝑒 et 𝜆 durant les trois phases du mouvement.

b. Préciser à quel(s) instant(s) t la puissance fournie par le moteur est maximale (𝑃𝑚𝑎𝑥). c. Exprimer cette puissance 𝑃𝑚𝑎𝑥en fonction de 𝑉𝑀

𝑥, 𝑇𝑎, 𝐽𝑒 et 𝜆. d. Donner alors l’expression de 𝑃𝑚𝑎𝑥 en fonction de 𝑥𝑀

𝑚𝑎𝑥, 𝑇, 𝑇𝑎, 𝐽𝑒 et 𝜆. a) On isole l’ensemble des pièces en mouvement, l’inertie cinétique de l’ensemble est :

2

x

e m

1Ec(S / R) J

2

Les puissances intérieures sont nulles (pas de frottement)

Le puissance extérieure est donnée par : x

m mC

Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à l’ensemble isolé donne :

2

x

xe mx x x x

int ext S/R e m m m m e m m e m

1d J

V2P (S) P J C J C J C

dt

Pour la 1er phase (t compris entre 0 et Ta) : xx

Mm e e

a

VVC J J

T

Pour 2eme phase (t compris entre Ta et T-Ta) : Cm=0

Pour la 3eme phase (t compris entre T-Ta et T) : xx

Mm e e

a

VVC J J

T

b) La puissance est maximale quand Cm et x

m sont maxi donc pour t=Ta

c)

2x xx

x x x eM Mmax m m e m e m

a a

JV VVP C J J

T T

d) Avec le résultat de la 1er question, on obtient :

2max

M 22 maxxMe e a eM

max 22

a a a a

x

xJ J T T JVP

T T T (T T )


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Question 3 : A partir de cette expression, montrer que 𝑃𝑚𝑎𝑥 est minimale pour un réglage du temps d’accélération 𝑇𝑎 tel que 𝑇𝑎 = 𝑇/3. On exprime la dérivé de Pmax

22 2 2

max max max a aM e M e Mmax e a

2 2 22 2 2 2a a a aa a a

a a

dT (T T )

x J x J xdP J dTd d 1

dT dT T dT(T T ) T (T T ) T (T T )

2 2 2 2 2

a a a a a a a a a

a

2 2 2

a a a a

a

dT (T T ) (T T ) 2T ( 1)(T T ) T 2TT T 2T T 2T

dT

dT (T T ) T 4TT 3T

dT

2 2

a a a a a a

T TT 4TT 3T (T )( 3T 3T) 3(T )(T T )

3 3

Ta 0 T/3 T

(Pmax)’

- 0

+

0 -

Pmax

La puissance est bien minimale pour Ta =T/3 sur l’intervalle [0 ;T]

Question 4 : Déterminer la vitesse de rotation maximum 𝜔𝑚𝑎𝑥

𝑥 que doit atteindre le moteur. Le choix de celui-ci est-il validé ?

D’après la question 1, max

x MM

a

xV

T T

.

On a aussi : x max

x x x M Mp poulie p m m max

p p a

V x1V R R k

R k R k T T

Avec Rp= 20 mm, k=0.1, T=1s, Ta=1/3s, max

Mx 0,55m

x 1 1

m 3max

1 0.55412rad.s 3940tr.min

120.10 .0,11

3

Ce qui est bien inférieur à la vitesse maximale de rotation du moteur (4150 tr.min-1).

Le choix du moteur est donc validé pour la vitesse de rotation

Question 5 : En exprimant la condition de roulement sans glissement en 𝐼, déterminer 𝜔𝑏 et 𝑣, les composantes du torseur cinématique en 𝐺 de la bille par rapport au rail 0, en fonction de 𝜃 et 𝑅.

La condition de roulement sans glissement en I entre la bille et le rail (0) donne :

b 0 b 1

V(I bille / 0) V(G bille / 0) (bille / 0) GI 0

V(G bille / 0) (bille / 0) GI y r r x


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On a aussi : 1 11

0 0 0

d(R r)z dzdOGV(G bille / 0) (R r) (R r) x

dt dt dt

On en déduit : b 1 1 b

(R r)r x (R r) x

r

et v (R r)

Le torseur cinématique caractérisant le mouvement de la bille par rapport au rail (0) est donc :

b 00

b 1A1A

(R r)yy

(bille / 0) : rr x

(R r) x

V

Question 6 : En justifiant clairement la démarche et les théorèmes utilisés :

- Montrer que les efforts normal 𝑁𝐼 et tangentiel 𝑇𝐼 du rail sur la bille sont liés à l’angle 𝜃 par les équations suivantes :

𝑁𝐼 = 𝐹(𝑡) sin 𝜃 + 𝑚𝑔 cos 𝜃 + 𝑚(𝑅 − 𝑟)�̇�2

𝑇𝐼 =2

5𝑚(𝑟 − 𝑅)�̈�

On isole la bille, on applique le principe fondamental de la dynamique et on écrit le théorème de la

résultante dynamique en projection sur 1z (le bilan des actions mécaniques est fait dans l’énoncé)

1 211 1 1

00

d (R r) x dx(G bille / 0) (R r) x (R r) (R r) x (R r) z

dt dt

2

0 1 0 1 1

2

1

2

1

m(R r) mgz .z F(t)x .z N

m(R r) mg cos F(t)sin N

N F(t)sin mg cos m(R r)

On isole la bille, on applique le principe fondamental de la dynamique et on écrit le théorème du

moment dynamique au point G en projection sur 0y (le bilan des actions mécaniques est fait dans

l’énoncé)

2

1 1

2 R r 2rT mr T m(r R)

5 r 5

On isole la bille, on applique le principe fondamental de la dynamique et on écrit le théorème de la

résultante dynamique en projection sur 1x (le bilan des actions mécaniques est fait dans l’énoncé)

v 1 0 1 0 1

v 1 1

v

v

m(R r) f (R r) T mgz .x F(t)x x

2m(R r) f (R r) T mgsin F(t) cos avecT m(r R)

5

2m(R r) f (R r) m(r R) mgsin F(t) cos

5

2F(t) cos m(R r) f (R r) m(r R) mgsin

5

F(t)

v

v

2cos f (R r) mgsin m(R r) m(R r)

5

7F(t) cos f (R r) mgsin m(R r)

5


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Question 7. 𝜃 étant petit, linéariser l’équation du mouvement puis en déduire la fonction de

transfert (p)

H(p)F(p)

. Mettre (𝑝) sous la forme canonique d’un système du second ordre dont on

donnera les expressions du gain statique 𝐾s, de la pulsation propre non amortie 𝜔0 et du coefficient d’amortissement 𝜉 en fonction de 𝑓𝑣, R, r, m et g. En linéarisant au premier ordre l’équation de mouvement devient :

v

7F(t) f (R r) mg m(R r)

5

En supposant les conditions initiales nulles, on obtient dans le domaine symbolique :

2

v

2

v

s

2 2vv 2

0 0

7F(P) f (R r)p (p) mg (p) m(R r)p (p)

5

7F(p) mg f (R r)p m(R r)p (p)

5

1

K(p) 1 mgH(p)

7 f (R r) 2 17(R r)F(p)mg f (R r)p m(R r)p 1 p p1 p

5 mg 5g

Par identification, on obtient :

s 0

v v v

0

1 5gK

mg 7(R r)

f (R r) f (R r) f2 1 5g 5g(R r)

mg 2 mg 7(R r) 2mg 7

Question 8. On prendra les valeurs numériques suivantes pour cette question :

𝜔0 = 21,8 rad·𝑠−1; 𝐾𝑠 = 25 N-1; 𝜉 = 4 ·𝑓v. Tracer, sur le document réponse, le diagramme asymptotique de Bode en gain, ainsi que l’allure du diagramme réel pour les valeurs suivantes du coefficient de frottement visqueux 𝑓𝑣 :𝑓𝑣 = 0,005; 𝑓𝑣 = 0,05; 𝑓𝑣= 0,2


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Question 9. La sollicitation des bobines est sinusoïdale : F(t)= F0 sin (ωbob.t) Préciser, en justifiant votre réponse, la valeur à laquelle il faut régler la pulsation ωbob pour pouvoir observer, au mieux, l’évolution du coefficient de frottement 𝑓v. Il faut régler ωbob sur ω0 . La valeur de ωo ne dépend pas de la valeur du coefficient de frottement contrairement à ωr. Question 10. a) Exprimer, pour un système du second ordre, en fonction de 𝜉, le rapport des amplitudes

de sortie à 𝜔 → 0 et 𝜔 = 𝜔0 pour une même amplitude du signal d’entrée.

Pour un système du second ordre de la forme s

2

2

0 0

KS(p)H(p)

2 1E(p)1 p p

quand 𝜔 → 0, on a S0 = Ks E0

quand 𝜔 = 𝜔0 ,

0 s s s0

20

0 02

0 0

S( j ) K K KH(j )

2 1E( j ) j2 21 j j

0

H (0)2

H( j )

b) Les figures 13 a, b, c, d (pages 10 et 11) représentent, avec 𝑓v constant, l’évolution de la position de la bille 𝜃 [°] en fonction du temps t [s] pour différentes valeurs de pulsation 𝜔bob . A partir de ces courbes et des résultats précédents, déterminer la valeur du coefficient d’amortissement 𝜉. D’après les figures a et c, et des résultats de la question précédente, on a :

0 3

0 0

F H(0) 0.06 0.032 2 4,44.10

F H(j ) 6.75 6.75

c) En déduire la valeur numérique du coefficient de viscosité 𝜂 du sang correspondant.

D’après l’énoncé le coefficient de frottement visqueux vaut : v vf 6. .r. et 4f

On en déduit : vv

ff 6. .r.

6. .r 24 .r

il manque à priori le rayon de la bille r pour faire l’application numérique


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d) A partir de ces analyses, en justifiant votre réponse, donner l’allure de la courbe 𝜃 en fonction de t obtenue à la pulsation 𝜔0 lorsque la viscosité du sang varie au fur et à mesure de la coagulation (si l’on suppose que 𝑓𝑣 augmente avec la coagulation).

Lorsque la coagulation augmente, le coefficient de frottement augmente, le coefficient

d’amortissement augmente aussi, les

oscillations de la bille vont donc être de plus en plus faibles Partie informatique (programme réalisé en Python) Question 11 : Donner la relation de récurrence qui lie 𝑌𝑖+1 à 𝑌𝑖, 𝐹(𝑡𝑖, 𝑌𝑖) et le pas de calcul ℎ.

𝑌𝑖+1 = 𝑌𝑖 + 𝐹(𝑡𝑖, 𝑌𝑖). ℎ Question 12 : Écrire une fonction 𝒇𝒊(𝑡𝑖, 𝑌𝑖), qui prend pour arguments 𝑡𝑖 la valeur du temps discrétisé

et 𝑌𝑖 la valeur du vecteur 𝑌 au temps discrétisé 𝑡𝑖 et qui retourne la valeur de 𝐹(𝑡𝑖, 𝑌(𝑡𝑖)).

Pour l’ensemble des fonctions de ce corrigé, on suppose que les valeurs de m, r, R, F0, wbob, fv et g sont définies de manière globale. def fi(ti,Yi):

thetapoint=Yi[1]

thetapointpoint=5/(7*m*(R-r))*(F0*sin(wbob*ti)*cos(Yi[0])-fv*(R-

r)*Yi[1]-m*g*sin(Yi[0]))

return [thetapoint,thetapointpoint]

Question 13 : Écrire une fonction 𝑬𝒖𝒍𝒆𝒓(𝑌𝑖𝑛𝑖, ℎ, 𝑇𝑚𝑎𝑥𝑖, 𝐹) qui prend en paramètres 𝑌𝑖𝑛𝑖 un tableau à 2 dimensions (ou une liste de listes) contenant la condition initiale 𝑌0, ℎ le pas de calcul, 𝑇𝑚𝑎𝑥𝑖 le temps final de calcul et 𝐹 la fonction du problème de Cauchy. Cette fonction renverra le tableau 𝑆𝑌. L’appel à cette fonction dans le programme se fera par la commande 𝑆𝑌 = 𝑬𝒖𝒍𝒆𝒓(𝑌0, ℎ, 𝑇𝑚𝑎𝑥𝑖, 𝑓𝑖). def Euler(Yini,h,Tmaxi,F):

SY=[[0,Yini[0],Yini[1]]]

n=floor(Tmaxi/h)

Yi=Yini;ti=0;

for i in range(n):

ti=ti+h

Yprime=F(ti,Yi)

Yi[0]=Yi[0]+Yprime[0]*h

Yi[1]=Yi[1]+Yprime[1]*h

SY.append([ti,Yi[0],Yi[1]])

return SY

Question 14 : Donner la complexité de la fonction Euler pour 𝑇𝑚𝑎𝑥𝑖 fixée. En déduire comment évolue le temps de calcul quand le pas ℎ est divisé par 10. Si on note n la partie entière de 𝑇𝑚𝑎𝑥𝑖/ℎ , la complexité de la fonction Euler est en 𝑂(𝑛), correspondant aux n itération de la boucle for (la complexité de la fonction 𝐹 (𝑓𝑖) est en 𝑂(1)).

t

θ


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Question 15 : Écrire une fonction 𝑽𝒆𝒓𝒊𝒇𝑹𝑺𝑮(𝑆𝑌, 𝑓) qui prend pour argument le tableau 𝑆𝑌 et 𝑓 (coefficient d’adhérence de la bille sur le rail) et qui renvoie True si le critère d’adhérence est vérifié

(c’est-à-dire si |𝑇𝐼

𝑁𝐼| ≤ 𝑓, ∀𝑡𝑖), False sinon.

def VerifRSG(SY,f):

n=len(SY)

RSG=True

i=0

while (RSG==True and i<n):

ti=SY[i][0]

theta=SY[i][1]

thetap=SY[i][2]#d(theta)/dt

thetapp=fi(ti,[theta,thetap])[1]#d²(theta)/dt²

NI=F0*sin(wbob*ti)*sin(theta)+m*g*cos(theta)+m*(R-r)*thetap**2

TI=2/5*m*(r-R)*thetapp

if abs(TI/NI)>f:

RSG=False

i=i+1

return RSG

Question 16 : A partir de ces résultats, conclure quant aux hypothèses précédentes (validation de la linéarisation, hypothèse de roulement sans glissement).

D’après la figure 15, |TI

NI| ≤ 0,1 ∀t il y a donc bien adhérence et roulement sans glissement.

Pour ce qui est de comparer le modèle linéarisé et non linéarisé :

Pour 𝜔𝑏𝑜𝑏 = 20 𝑟𝑎𝑑. 𝑠−1(figures 13b et 14a) et 𝜔𝑏𝑜𝑏 = 24 𝑟𝑎𝑑. 𝑠−1 (figures 13d et 14b), les courbes sont très similaires.

Pour 𝜔𝑏𝑜𝑏 = 21,8 𝑟𝑎𝑑. 𝑠−1(figures 13c et 14b) : les allures sont similaires. Si on compare les amplitudes à 30 secondes :

o 6,75 ° avec le modèle linéarisé o 8° avec le modèle non linéarisé o Soit une erreur de 16% sur les valeurs des amplitudes.

Le modèle linéarisé est donc valide, il permet bien d’observer l’amplification des oscillations autour de 𝜔𝑏𝑜𝑏 = 21,8 𝑟𝑎𝑑. 𝑠−1. Question 17 : Écrire la fonction 𝑽𝒂𝒍𝒆𝒖𝒓_𝒆𝒇𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒆(𝑇, 𝑎, 𝑏), qui prend pour argument un tableau 𝑇, les entiers 𝑎 et 𝑏 et renvoie la valeur efficace des 𝑏 éléments consécutifs du tableau à partir de l’indice 𝑎. On supposera pour cette question que 𝑎 et 𝑏 sont tels qu’il n’y a pas de débordement d’indice possible. Donner la complexité de la fonction 𝑽𝒂𝒍𝒆𝒖𝒓_𝒆𝒇𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒆. def Valeur_efficace(T,a,b):

S=0

for i in range(b):

S=S+T[a+i]**2

S=sqrt(1/b*S)

return S Question 18 :

Quelle est la complexité de la fonction 𝑻𝒆𝒎𝒑𝒔_𝒄𝒐𝒂𝒈𝒖𝒍𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏(𝑀, 𝑇𝑒, 𝑁) ?

On propose de modifier la ligne 7 de la façon suivante :

𝑋𝑒𝑓𝑓 ← √𝑋𝑒𝑓𝑓. 𝑋𝑒𝑓𝑓 + 𝑀[𝑖 + 𝑁]. 𝑀[𝑖 + 𝑁] − 𝑀[𝑖]. 𝑀[𝑖]

Comparer les deux solutions en termes de temps d’exécution. Justifier.

Initialement, la complexité de 𝑻𝒆𝒎𝒑𝒔_𝒄𝒐𝒂𝒈𝒖𝒍𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏(𝑀, 𝑇𝑒, 𝑁) est en 𝑂((𝑁𝑚𝑎𝑥𝑖 − 𝑁) × 𝑁) soit un en 𝑂(𝑁𝑚𝑎𝑥𝑖 × 𝑁).


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En remplaçant la ligne 7, la complexité est désormais en 𝑂(𝑁𝑚𝑎𝑥𝑖 × 1). La seconde solution sera donc bien plus rapide en temps d’exécution. Question 19 : Pourquoi ne peut-on pas utiliser de structure de type pile pour gérer le tampon ? Il n’est pas judicieux d’utiliser une structure de type pile, car pour déstocker la plus ancienne de mesure (positionnée tout en bas de la pile), il faudra au préalable, dépiler toutes les autres mesures. Question 20 : Écrire, en n’utilisant que la fonction 𝑴𝒆𝒔𝒖𝒓𝒆(𝑇𝑒) et les fonctions spécifiques aux files, la fonction 𝑰𝒏𝒊𝒕_𝒕𝒂𝒎𝒑𝒐𝒏(𝑁, 𝑇𝑒) qui crée une file d’attente 𝑇, réalise 𝑁 mesures successives à la période 𝑇𝑒 et stocke celles-ci dans 𝑇. Elle renvoie 𝑇. def Init_tampon(N,Te):

T=creer_file()

for i in range(N):

enfiler(T,Mesure(Te))

return(T) Question 21 : En n’utilisant que la fonction 𝑴𝒆𝒔𝒖𝒓𝒆(𝑇𝑒) et les fonctions spécifiques aux files, compléter, sur votre copie, les lignes 7 et suivantes de l’algorithme de mesure modifié. defiler(T)

enfiler(T,Mesure(Te))

Xeff=Valeur_efficace(T) Question 22. Déterminer l’expression de l’inertie équivalente 𝐽𝑒q, ramenée à l’arbre moteur, de S, l’ensemble des pièces en mouvement par rapport au référentiel galiléen Rg, définie par :

2

c g eq m

1E (S / R ) J

2

L’énergie cinétique de l’ensemble est donnée par :

c g c g c g c g

2 2 2 2 2 2

c g m m r m p p r m m r p p r m eq m

E (S / R ) E (moteur / R ) E (reduc / R ) E (élémentsen trans. / R )

1 1 1 1 1E (S / R ) J J m (r k ) (J J m (r k ) ) J

2 2 2 2 2

On en déduit : 2

eq m r p p rJ J J m (r k )

Question 23. A partir d’un théorème d’énergie-puissance, écrire l’équation du mouvement liant cm(t)et les efforts extérieurs.

Mettre celle-ci sous la forme : m r eq mc (t) c (t) J

Donner l’expression de cr(t) en fonction de 𝑐res, 𝐹r(t), mp, 𝑔, 𝑅𝑝 et 𝑘r. On isole l’ensemble des pièces en mouvement.

La somme des puissances extérieures est donnée par : ext S/Rg m m p r m R p r mP C mgR k F R k

La somme des puissances intérieures est données par i res m resP C avecC 0

Le théorème de l’énergie-puissance donne :

2

m r p p r m m m m p r m R p r m res m

2 2

m m r p p r m p r R p r res m r p p r m R p r res

(J J m (r k ) ) C mgR k F R k C

C (J J m (r k ) ) mgR k F R k C (J J m (r k ) ) (mg F )R k C

On a bien : m r eq mC (t) c (t) J avec r p r R p r resc (t) mgR k F R k C


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Question 24. En tenant compte des notations précédentes, compléter sous forme littérale, sur le document réponse, le schéma-bloc de l’asservissement en position.

Question 25. Déterminer l’expression de 𝐾adap pour que l’écart calculé (𝑡) soit proportionnel à l’erreur 𝑧(𝑡) − 𝑧(𝑡).

On doit avoir cdadap

p R

KK

R K

Question 26. Déterminer les expressions de

0

m

cr 0

(p)

U(p)

et de

0cr 0

I(p)

U(p)

. Mettre celles-ci

sous forme canonique.

0

eqm

2 2eq eq 2eqcr 02 2

eq

K 1R Lp J p(p) K K

RJ LJKU(p) R Lp J p K1 1 p p

R Lp J p K K

0

eq

2eqm

eq eq eq eq2 2mcr 02 2 2 2

pJ1pJ(p)I(p) I(p) K K.

RJ LJ RJ LJU(p) (p) U(p) K1 p p 1 p p

K K K K

Question 27. Pour cette question, vous justifierez vos résultats à l’aide des tracés nécessaires sur le document réponse.

a) A partir de ces courbes et des résultats de la question 26, indiquer si l’hypothèse d’une inductance négligeable est pertinente. Justifier la réponse.

Sur le document réponse, la courbe donnant l’évolution de la vitesse de rotation en fonction du temps lorsque le système est soumis à un échelon de tension présente une pente de tangente non nulle à l’origine. Ce qui est une caractéristique de la réponse d’un système du 1er ordre. On peut donc négliger l’inductance du moteur devant les autres grandeurs

physiques et écrire la fonction de transfert sous la forme :

0

m

eqcr 02

1(p) K

RJU(p)1 p

K

Kadap Hcor(p) Kh

Kcd

K

K

Cr(p)

1

eqpJ

1

p

1

R LpRpKR


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Idem pour la courbe donnant l’intensité

0

eq

2

eqcr 02

pJ

I(p) KRJU(p)

1 pK

b) Dans cette hypothèse d’une inductance négligeable et à partir des équations (4), (5), (6) et (7), déterminer les expressions de 𝑖0, 𝑖∞ et 𝜔∞ en fonction de 𝑢0, 𝑐𝑟0, R et K.

D’après (5) : 0 0 0u Ri e avec 0 0e K 0 d’où 00

ui

R

D’après (4) et (7) : rom ro eq ro

cc c J c Ki i

K

D’après (5) et (6) :

ro0

0 0 0 0 ro

2

cR u

u e u K Ri u u RcKiR R K K K K

c) Déduire de cette étude les valeurs numériques de K et R.

Graphiquement sur le document réponse on relève :

1575rad.s , 0i 0.42A i 0.075A

On en déduit :

0

0

u 24R 57

i 0.42

1 10 0u K Ri u 57.0,075 24i K 0.034V.s.rad ou Nm.A

R 575

d) Déterminer la valeur numérique du couple résistant ramené à l’arbre moteur 𝑐𝑟0

et de l’inertie équivalente ramenée à l’arbre moteur 𝐽eq.

On a 3

ro roc Ki c 0,034.0,075 2,57.10 Nm


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D’après (4) et (7) : m0 ro 0 roeq eq

0 0

c c Ki cJ J

Graphiquement à partir de la figure du document réponse, on a 1

0

600rad.s

0.03

On en déduit 3

7 2

eq

0,034.0,42 2,57.10J 5,8.10 kg.m

600

0,03

Question 28. Déterminer l’expression de la fonction de transfert en boucle ouverte

bo

Z(p)H (p)

(p)

ainsi que la fonction de transfert cr

r Zc 0

Z(p)H (p)

c (p)

La fonction de transfert en boucle ouverte est donnée par

p 11

bo cor

m m

K KKZ(p)H (p) H (p)

(p) p(1 T p) p(1 T p)

1 1p 2 r p 2 r

m m

p 1 1 2r

m m

21 2

pm 1 2cr

p 1 mr m p 1Zc 0

p 1m

K KZ(p) K (p) K C (p) K ( Z(p)) K C (p)

p(1 T p) p(1 T p)

K K K KZ(p)(1 ) C (p)

p(1 T p) p(1 T p)

KK K

Kp(1 T p) K KZ(p)H (p)

K K p(1 T p)c (p) p(1 T p) K K1(1 )

K Kp(1 T p)

Question 29. Déterminer l’erreur statique pour une entrée de type échelon d’amplitude 𝑍co dans l’hypothèse d’une perturbation nulle (𝐶𝑟0 = 0). Déterminer ensuite l’erreur due à une perturbation constante 𝐶ro, définie comme la valeur finale de la position (𝑡) dans le cas d’une consigne de position nulle (𝑧𝑐 = 0). En déduire la valeur de 𝐾p pour satisfaire le critère de précision du cahier des charges. L’erreur statique par rapport à une entrée échelon, la perturbation étant nulle, est égale à 0, car il y a une intégration dans la chaine directe Dans le cas d’une perturbation constante égale à Cro, d’après la question précédente on peut écrire :

2 2

p p ror

m m

p 1 p 1

K K

K K CZ(p) c (p)

p(1 T p) p(1 T p) p1 1

K K K K

En utilisant la propriété du gain statique, on en déduit 2 ro

p

K Cz

K , l’erreur vaut donc

2 ro

p

K C

K .


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Pour répondre à l’exigence de précision, on doit avoir 2 ro

p

K C1mm

K . On en déduit

2 332 ro 2 ro

p p p3 3

p

K C K C 2,78.10 .2,3.1010 m K K K 0,075

K 10 10

Question 30. Les diagrammes de Bode en gain et en phase de 𝐻bo(p)sont donnés sur le

document réponse pour Kp=1 . Pour la valeur de 𝐾p déterminée précédemment, indiquer si le

critère de stabilité est satisfait en justifiant votre démarche par les tracés nécessaires sur le

document réponse.

Avec Kp=0.075, on translate vers le bas le courbe de gain de 20log0.075=-22dB la courbe de

phase restant inchangée.

On obtient une marge de phase de 80°>60°, le critère de stabilité est vérifié

Question 31. Justifier le choix de ce correcteur. Déterminer le coefficient 𝐾𝑝 pour satisfaire

au cahier des charges. Justifier vos calculs par les tracés nécessaires sur le document

réponse.

Le correcteur PI permet d’apporter un intégrateur avant la perturbation ce qui permet de respecter le critère de précision. Sans modifier la valeur de Kp, la marge de phase est de 55°<60° le critère de stabilité n’est pas respecté.

Pour obtenir une marge de phase de 70°, on doit avoir AdB=0 pour 15rad.s . On doit donc

translater vers le bas la courbe de gain d’environ 12dB.

On prend donc Kp tel que 3

5p p20log K 12 K 10 0,25

22dB

80°


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Question 32. La figure 16 (page 19) donne la réponse à un échelon de position de 50 mm avec le correcteur précédemment réglé. Vérifier qu’elle est conforme au cahier des charges. Justifier clairement vos réponses en donnant les valeurs numériques pour chaque critère.

La valeur en régime permanent vaut 50mm, l’erreur statique est nulle le critère de précision

est respecté.

Le temps de réponse à 5% vaut environ 0,18s <0,2s le critère de rapidité est respecté

Le premier dépassement vaut 1%

0.0525 0.05D 5%

0.05

<10%. Le critère d’amortissement est

donc respecté.

55°


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Question 33. Calculer les erreurs de mesure de Z0 dues à l’échantillonnage d’une part et à la conversion analogique numérique du codeur incrémental d’autre part. En déduire l’erreur maximale de position notée Δ𝑍𝑚es cette erreur est-elle compatible avec le cahier des charges ? Erreur due à l’échantillonnage :

3 3 3

mes1 e e e m p r mes1

4150.2 1Z T V T R k Z 10.10 . .10.10 . 2,26.10 m

60 19,2

Erreur due à la conversion analogique numérique :

3 6

mes2 p r mes2

2 2 1Z R k Z 10.10 1,6.10 m

2000 2000 19.2

L’erreur totale est supérieur à 1 mm donc incompatible avec l’exigence de précision du cahier des charges.

Question 34. Calculer la nouvelle erreur maximale de position Δ𝑍’𝑚 avec l’application de cette nouvelle procédure. Donner l’erreur de volume correspondante. Erreur due à l’échantillonnage :

' 3 3 3

mes1 e e e m p r mes1

1500.2 1Z T V T R k Z 10.10 . .10.10 . 0,82.10 m

60 19,2

Erreur due à la conversion analogique numérique : 6

mes2Z 1,6.10 m

Δ𝑍’𝑚 <1 mm l’exigence de précision est maintenant respecté.

On obtient une erreur de volume de 2 2

' 3fmes

D .15V Z V 0,82. 144mm

4 4

Question 35. Faire une synthèse des choix qui ont été faits pour satisfaire le critère de précision du volume prélevé. Dans un premier temps choix d’un correcteur PI pour respecter la précision de positionnement de l’aiguille. Dans un second temps, utilisation d’un moteur permettant d’avoir une vitesse d’approche rapide puis une vitesse de descente lente

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Corrigé UPSTI 2015 - lycee-champollion.fr · Concours CCP MP Session 2015 Corrigé UPSTI Page 6 d) A partir de ces analyses, en justifiant votre réponse, donner l’allure de la