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Cours de physique gnrale I Mcanique Prof. J.-Ph. Ansermet

28 novembre 2012

Corrig Srie 9 : Cinmatique du solide

1. Hypocyclode

a) La vitesse vMdun point quelconque Mdu petit cylindreest donne par

vM= vA+ AM , (1)

o est le vecteur axial de rotation propre du petit cy-clindre. Dans le cas particulier du point de contactP (i.e.M=P), la condition de roulement sans glissement,

vP = 0 , (2)

et lexpression de la vitesse du centre de masse du petitcylindre

vA= OA , (3)

impliquent que lquation (1) se rduit ,

OA+ AP= 0 . (4)

La projection des deux termes de lquation (4) dans le repre cylindrique (e, e, ez)donne

OA=

R R

ez e=

R R

e ,

AP= R ez e= R e .

Ainsi la projection de lquation (4) selon laxe e donne,R R

+ R= 0 . (5)

b) Le vecteur OM est exprime en coordonnes cartsiennes comme, i.e.

OM=

xMyM

= OA +AM=

R R

cos sin

+ R

cos sin

. (6)

Les quations paramtriques de lhypocyclode sont donc de la forme,

xM=

R R

cos + R cos ,

yM =

R R

sin + R sin .(7)

Les angles et sont coupls. On peut dfinir leur couplage en intgrant la condition (5) deroulement sans glissement par rapport au temps. Il y a donc un seul degr de libert : ou .

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2. Virage davion

a) En vol horizontal, lhlice a un mo-ment cintique L (dirig dans le sensdu mouvement sur le schma ci-contre). Pour tourner gauche, le

pilote peut actioner soit les palon-niers (pdales) pour provoquer unlacet (rotation de lavion selon unaxe vertical) soit le manche balaipar provoquer un roulis (rotation delavion selon un axe horizontal lon-gitudinal). Sur le schma, on consi-dre uniquement le cas du lacet. Laforce arodynamique externe F quiagit sur la drive (partie mobile dela queue) exerce sur lappareil, donc

sur lhlice, un moment de force ex-terne M, suppos constant, orientvers le haut.

Le thorme du moment cintique,

dL

dt = M = x F , (8)

intergr sur un intervalle de temps t donne

L= L (t + t) L (t) = Mt= (xF) t . (9)

Par consquent, la variation du moment cintique L est colinaire au moment externe M etsoriente vers le haut dans ce cas. Ainsi, si le pilote ne compense pas, lavion aura tendance

monter lors dun virage gauche. Par un raisonement analogue, on peut montrer que lavion auratendance descendre lors dun virage droite.

Il est important de mentionner que la rotation vers la gauche de lavion dans le plan horizontal(lacet vers la gauche) provoque une rotation de laxe de lhlice vers la gauche. Par consquent, lemoment cintique de lhlice, qui est solidaire de lavion, se dplace galement vers la gauche ce quignre sur lhlice un moment de force dans le plan horizontal dirig vers la gauche. Ce momentde force tend provoquer un tangage (rotation de hlice selon un axe horizontal transverse). Cemoment de force est un moment de force interne au systme (constitu de lavion et de lhlice)puisquil nest pas directement le rsultat de la force arodynamique externe F agissant sur ladrive, mais quil est d la rotation de lavion. Puisquil est interne, et que la somme des momentsinternes un solide indformable est nulle, il doit tre compens par un moment interne gal et

oppos qui agit sur lavion.En ralit, pour effectuer une modlisation plus raliste, il faudrait galement tenir compte deseffets arodynamiques lis au lacet. Lors dun lacet, lasymtrie de lcoulement de lair le long duprofil dune aile par rapport lautre gnre une asymtrie de portance des ailes qui provoque unroulis et incline le plan des ailes. On ne peut donc pas dissocier le lacet du roulis en pratique. Deplus, linclinaison de lavion rduit sa portance et il aura ainsi tendance descendre quelle que soitla direction du virage. Exprimentalement, on constate que cet effet est dominant ! Un problmedapparence relativement simple peut donc en cacher un autre nettement plus compliqu...

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3. Thormes du centre de masse et du moment cintique

a) En drivant la relation de transfert du moment cintique

LO = OG MvG+ LG , (10)

par rapport au temps on obtient,

dLO

dt =

dOG

dt MvG+ OG M

dvG

dt +

dLG

dt . (11)

De plus, en utilisant le thorme du centre de masse,

Fext =M

dvG

dt , (12)

et la dfinition de la vitesse du centre de masse,

vG= dOG

dt , (13)

la drive par rapport au temps du moment cintique (11) devient,

dLO

dt = vG MvG

=0

+OGF ext +dLG

dt = OG F ext +

dLG

dt . (14)

La dfinition de la rsultante des moments de forces par rapport lorigine M extO implique que,

Mext

O =

OP Fext

=

(OG+GP) Fext

= OG Fext +M extG . (15)

Le thorme du moment cintique appliqu lorigine O snonce comme,

Mext

O = dLO

dt . (16)

Finalement, lidentification des quations (14) et (15) donne alors immdiatement le thorme dumoment cintique appliqu au centre de masse G, i.e.

Mext

G = dLG

dt . (17)

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