co_ts_2

Haute Ecole dIngnirie et de Gestion ducanton de Vaud (HEIG-Vd)

Dpartement de la formation en emploiFilire Electricit

Filire Tlcommunications (RS et IT)

Traitement de Signal(TS)

Corrig des exercices

Ai

iutomatisation

n s t i t u t d '

n d u s t r i e l l e

Prof. Michel ETIQUE, janvier 2006,Yverdon-les-Bains

HEIG-Vd Traitement de Signal (TS)

Corrig des exercices, v 1.16 2 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006


Table des matires

1 Analyse des signaux priodiques 51.1 Corrig des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Exercice SF 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Exercice SF 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.3 Exercice SF 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.4 Exercice SF 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.5 Exercice SF 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.1.6 Exercice SF 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.1.7 Exercice SF 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.1.8 Exercice SF 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.1.9 Exercice SF 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.1.10 Exercice SF 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.1.11 Exercice SF 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.1.12 Exercice SF 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2 Analyse des signaux non priodiques 532.1 Corrig des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.1.1 Exercice TF 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.1.2 Exercice TF 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.1.3 Exercice TF 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.1.4 Exercice TF 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.1.5 Exercice TF 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.1.6 Exercice TF 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.1.7 Exercice TF 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.1.8 Exercice TF 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.1.9 Exercice TF 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.1.10 Exercice TF 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.1.11 Exercice TF 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.1.12 Exercice TF 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.1.13 Exercice TF 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.1.14 Exercice TF 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.1.15 Exercice TF 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.1.16 Exercice TF 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70



2.1.17 Exercice TF 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.1.18 Exercice TF 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.1.19 Exercice TF 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.1.20 Exercice TF 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.1.21 Exercice TF 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.1.22 Exercice TF 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.1.23 Exercice TF 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.1.24 Exercice TF 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.1.25 Exercice TF 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.1.26 Exercice Corr 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.1.27 Exercice Corr 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3 Echantillonnage des signaux analogiques 813.1 Corrig des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.1.1 Exercice ECH 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.1.2 Exercice ECH 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.1.3 Exercice ECH 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.1.4 Exercice ECH 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.1.5 Exercice ECH 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.1.6 Exercice ECH 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.1.7 Exercice ECH 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.1.8 Exercice ECH 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.1.9 Exercice ECH 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.1.10 Exercice ECH 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.1.11 Exercice ECH 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.1.12 Exercice ECH 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.1.13 Exercice ECH 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.1.14 Exercice ECH 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.1.15 Exercice ECH 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.1.16 Exercice ECH 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.1.17 Exercice ECH 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.1.18 Exercice ECH 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91



Chapitre 1

Analyse des signaux priodiques

1.1 Corrig des exercices

1.1.1 Exercice SF 1

Considrant les 2 signaux suivants pour lesquels f0 = 1 [kHz]

x1 (t) = 6 2 cos (2 pi f0 t) + 3 sin (2 pi f0 t)x2 (t) = 4 + 1.8 cos

(2 pi f0 t+ pi3

)+ 0.8 sin (6 pi f0 t)

1. dessinez leurs spectres damplitude et de phase unilatraux et bilatraux ;

2. crivez x1 (t) et x2 (t) sous forme de srie de Fourier complexe.

Corrig

x1 (t) = 6 2 cos (2 pi f0 t) + 3 sin (2 pi f0 t) :Pour x1(t), en comparant la relation gnrale du dveloppement en sriede Fourier,

x (t) =a02

+k=1

ak cos (2 pi k f0 t) +k=1

bk sin (2 pi k f0 t) (1.1)

on a :

1. Une composante continue a02= 12

2= 6

2. Une harmonique 1 (fondamental) f0 = 1 [kHz], avec a1 = 2 etb1 = 3

Pour la reprsentation des spectres unilatraux et bilatraux, il faut calculerla srie de Fourier en cosinus ainsi que la srie de Fourier complexe. On atout dabord pour la srie en cosinus :



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4x 103

2

4

6

8

10Signal temporel

x(t)

temps

0 1000 2000 3000 4000 50000

2

4

6Spectre unilatral

A k

k f0

0 1000 2000 3000 4000 50001

0.5

0

0.5

1

k

/ pi

k f0

5000 0 50000

2

4

6Spectre bilatral

|X(jk)

|

k f0

5000 0 50001

0.5

0

0.5

1/X

(jk) /

pi

k f0f_ex_SF_1_1_1.eps

Fig. 1.1 Spectres unilatral et bilatral de x1(t) (fichier source).

A0 =a02

=12

2= 6

A1 =a21 + b

21 =

(2)2 + 32 = 3.6056

1 = arctan

(b1a1

)= arctan

(32)

= 2.1588 [rad] = 123.6901 []

On peut donc crire :

x1 (t) = 6 2 cos (2 pi f0 t) + 3 sin (2 pi f0 t)= A0 + A1 cos (2 pi f0 t+ 1)= 6 + 3.6056 cos (2 pi f0 t 2.1588)

x2 (t) = 4 + 1.8 cos(2 pi f0 t+ pi3

)+ 0.8 sin (6 pi f0 t) :

Pour x2(t), on a en se rfrant au dveloppement en srie de Fourier (1.1 ) :1. Une composante continue a0

2= 8

2= 4



2. Des harmoniques f0 = 1 [kHz] et 3 f0 = 3 [kHz], avec a1 et b1 calculer, a3 = 0, b3 = 0.8

Pour la reprsentation des spectres unilatraux et bilatraux, il faut calculerla srie de Fourier en cosinus ainsi que la srie de Fourier complexe. On apour la srie en cosinus :

A0 =a02

= 4

A1 = 1.8

(=a21 + b

21

)1 =

pi

3

A3 =a23 + b

23 =02 + 0.82 = 0.8

3 = arctan

(b3a3

)= arctan

(0.80

) pi

2

On peut donc crire :

x2 (t) = 4 + 1.8 cos(2 pi f0 t+ pi

3

)+ 0.8 sin (6 pi f0 t)

= 4 + 1.8 cos(2 pi f0 t+ pi

3

)+ 0.8 cos

(6 pi f0 t pi

2

)= A0 + A1 cos (2 pi f0 t+ 1) + A3 cos (6 pi f0 t+ 3)

Dans le cas gnral, il aurait fallu calculer a1 et b1 selon les relations :

ak =2

T +T

2

T2

x (t) cos (2 pi k f0 t) dt k 0

bk =2

T +T

2

T2

x (t) sin (2 pi k f0 t) dt k 1

En tenant compte des identits trigonomtriques

cos () cos () = 12 cos (+ ) + 1

2 cos ( )

sin () cos () = 12 sin (+ ) + 1

2 cos ( )



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4x 103

0

2

4

6

8Signal temporel

x(t)

temps

0 1000 2000 3000 4000 50000

1

2

3

4Spectre unilatral

A k

k f0

0 1000 2000 3000 4000 50001

0.5

0

0.5

1

k

/ pi

k f0

5000 0 50000

1

2

3

4Spectre bilatral

|X(jk)

|

k f0

5000 0 50001

0.5

0

0.5

1

/X(jk

) / pi

k f0f_ex_SF_1_2_1.eps

Fig. 1.2 Spectres unilatral et bilatral de x2(t) (fichier source).



on a donc :

a1 =2

T +T

2

T2

1.8 cos(2 pi f0 t+ pi

3

) cos (2 pi 1 f0 t) dt

=2

T 1.8

+T2

T2

[1

2 cos

(4 pi f0 t+ pi

3

)+

1

2 cos

(pi3

)] dt

=2

T 1.8 1

2 cos

(pi3

)[t]

+T2

T2

= 0.9

b1 =2

T +T

2

T2

1.8 cos(2 pi f0 t+ pi

3

) sin (2 pi 1 f0 t) dt

=2

T 1.8

+T2

T2

[1

2 sin

(4 pi f0 t+ pi

3

)+

1

2 sin

(pi3

)] dt

=2

T 1.8 1

2 sin

(pi3

)[t]

+T2

T2

= 0.9 3

On vrifie que lon a bien :

A1 =a21 + b

21 =

0.92 +

(0.9

3)2

= 1.8

1 = arctan

(b1a1

)= arctan

(0.9 3

0.9

)= 1.047 =

pi

3


HEIG

-Vd

Traitem

entdeSignal(TS)

Pour x1(t) :

x1 (t) = A0 + A1 cos (2 pi f0 t+ 1)= A0 +

A12 (e+j(2pif0t+1) + ej(2pif0t+1))

= A0 +A12 (e+j2pif0t e+j1 + ej2pif0t ej1)

= X1(j 0) A0

+X2(j 1) A12e+j1

ej2pif0t +X2(j 1) A12ej1

ej2pif0t

Pour x2(t) :

x2 (t) = A0 + A1 cos (2 pi f0 t+ 1) + A3 cos (6 pi f0 t+ 3)= A0 +

A12 (e+j(2pif0t+1) + ej(2pif0t+1))+ A3

2 (e+j(6pif0t+1) + ej(6pif0t+1))

= A0 +A12 (e+j2pif0t e+j1 + ej2pif0t ej1)+ A3

2 (e+j6pif0t e+j3 + ej6pif0t ej3)

= X1(j 0) A0

+X2(j 1) A12e+j1


ej2pif0t +X2(j 3) A32e+j3


ej6pif0t

Corrigdes

exercices,

v1.16

10MEE\co_

ts.tex\19

mai

2006


1.1.2 Exercice SF 2

Utilisez les formules dEuler pour montrer que la srie de Fourier du signal suivant

x (t) =(1 + cos

(2 pi f0 t+ pi

6

)) cos (10 pi f0 t)

est dcrite par les harmoniques 4, 5 et 6. Pour ce faire :

1. remplacez chaque fonction cosinus par deux phaseurs ; effectuez le produit ;2. crivez x (t) sous la forme dune somme de phaseurs ;3. que valent les coefficients X (j k) non-nuls ?4. dessinez les spectres bilatraux et unilatraux damplitude et de phase.


HEIG

-Vd

Traitem

entdeSignal(TS)

Corrig

x (t) =(1 + cos

(2 pi f0 t+ pi

6

)) cos (10 pi f0 t)

=(1 + 0.5

(ej(0.5pif0t+

pi6 ) + ej(2pif0t+

pi6 ))) 0.5 (ej10pif0t + ej10pif0t)

= 0.5 (ej10pif0t + ej10pif0t)+ 0.5 (ej(2pif0t+pi6 ) + ej(2pif0t+pi6 )) 0.5 (ej10pif0t + ej10pif0t)= 0.5 (ej10pif0t + ej10pif0t)+ 0.25 (ej(2pif0t+pi6 ) + ej(2pif0t+pi6 )) (ej10pif0t + ej10pif0t)

= 0.5 (ej10pif0t + ej10pif0t)+ 0.25

(ej(2pif0t+

pi6 ) ej10pif0t + ej(2pif0t+pi6 ) ej10pif0t + ej(2pif0t+pi6 ) ej10pif0t + ej(2pif0t+pi6 ) ej10pif0t

)= 0.5 (ej10pif0t + ej10pif0t)+ 0.25 (ej(12pif0t+pi6 ) + ej(8pif0t+pi6 ) + ej(8pif0tpi6 ) + ej(12pif0t+pi6 ))

= X(j 4)ej8pif0t+X(j 4)ej8pif0t+X(j 5)ej10pif0t+X(j 5)ej10pif0t+X(j 6)ej12pif0t+X(j 6)ej12pif0t

avec

X(j 4) = 0.25 ejpi6X(j 4) = 0.25 ejpi6X(j 5) = 0.5X(j 5) = 0.5X(j 6) = 0.25 ejpi6X(j 6) = 0.25 ejpi6

Corrigdes

exercices,

v1.16

12MEE\co_

ts.tex\19

mai

2006


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 42

1

0

1

2Signal temporel

x(t)

temps

0 2 4 6 80

0.5

1Spectre unilatral

A k

k f0

0 2 4 6 81

0.5

0

0.5

1

k

/ pi

k f0

5 0 50

0.5

1Spectre bilatral

|X(jk)

|

k f0

5 0 51

0.5

0

0.5

1

/X(jk

) / pi

k f0f_ex_SF_2_1.eps

Fig. 1.3 Spectres unilatral et bilatral de x(t) (fichier source).



1.1.3 Exercice SF 3

Considrant un signal priodique de priode T = 20 [ms] dcrit par son spectrebilatral X (j k) :

k 0 1 2X (j k) 2 3 j 2 +1 j 3|X|6 X

retrouvez sa description temporelle en cosinus aprs avoir rempli les cases libresdu tableau.

Corrig

k 0 1 2X (j k) 2 3 j 2 +1 j 3|X| 2 32 + 22 = 3.6056 12 + 32 = 3.162366 X 0 2.5536 [rad] = 146.3099 [] 1.2490 [rad] = 71.5651 []

x (t) = A0 +A1 cos (2 pi f0 t+ 1) +A2 cos (4 pi f0 t+ 2)= X(j 0)

A0

+ X(j 1) A12e+j1

ej2pif0t +X(j 1) A12ej1

ej2pif0t + X(j 2) A22e+j2

ej4pif0t +X(j 2) A22ej2

ej4pif0t

On en dduit

A0 = X(j 0) = 2 0 = 0 [rad]A1 = 2 |X(j 1)| = 2 3.6056 = 7.2111 1 = 2.5536 [rad]A2 = 2 |X(j 2)| = 2 3.16236 = 6.3246 2 = 1.2490 [rad]

et finalement :

x (t) = A0 + A1 cos (2 pi f0 t+ 1) + A2 cos (4 pi f0 t+ 2)= 2 + 7.2111 cos (2 pi 50 [Hz] t+ 2.5536) + 6.3246 cos (4 pi 50 [Hz] t+ 1.2490)

1.1.4 Exercice SF 4

partir des spectres damplitude et de phase dune SIR vus au cours,

1. calculez les spectres complexes des deux signaux de la figure 1.4 page ci-contre ;

2. esquissez leurs spectres bilatraux damplitude et de phase.



0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

0

2

4

6

8

10

x 1(t)

[V]

Ex. SF4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 184

2

0

2

4

6

x 2(t)

[V]

t [ms]f_exgraphes_7.eps

Fig. 1.4 Exercice SF 4 (fichier source).

Corrig

Le premier signal est une SIR damplitude A = 10 de priode T = 1f0

=

10 [ms], de largeur t = 2 [ms], retarde dune dure td = t2 = 1 [ms]. On endduit :

X (j k) = A tT sin (k pi f0 t)

k pi f0 t ej2pikf0td

= 10 210 sin (k pi 100 [Hz] 2 [ms])

k pi 100 [Hz] 2 [ms] ej2pik100 [Hz]1 [ms]

= 2 sin (k pi 0.2)k pi 0.2 e

j2pik100 [Hz]1 [ms]

= 2 sin(k pi 1

5

)k pi 1

5 0 pour k = 5, 10, 15, . . .i.e. pour

f = 500 [Hz], 1000 [Hz], 1500 [Hz], . . .

ej2pik100 [Hz]1 [ms]

Les rsultats (spectres bilatraux damplitude et de phase) sont donns sur lafigure 1.5 page 17. Sur la mme figure, on trouve la synthse de x(t) base sur les



N = 10 premiers termes X(j k) du dveloppement en srie de Fourier complexe :

x10 (t) =+10

k=10X(j k) e+j2pikf0t



1000 500 0 500 10000

0.5

1

1.5

2

f [Hz]

|X(j k)|

1000 500 0 500 10001

0.5

0

0.5

1

f [Hz]

arg{X(jk)}pi

0 0.005 0.01 0.015 0.02

0

2

4

6

8

10

t [s]

xN(t),x(t)

Fig. 1.5 xN(t) est la synthse du signal x(t) base sur les N = 10 premierstermes de la srie de Fourier complexe : x10 (t) =

+10k=10X(j k) e+j2pikf0t.

On remarque bien sr la trs forte ressemblance avec x(t) tel quil apparat surle haut de la figure 1.4 .



Le second signal est une SIR damplitude A = 9 de priode T = 1f0

= 10 [ms],de largeur t = T

2= 5 [ms], retarde dune dure td = t2 = 2.5 [ms] laquelle on

a soustrait un offset de 3. On en dduit :


k pi f0 t ej2pikf0td

= 9 5 [ms]10 [ms]

sin (k pi 100 [Hz] 5 [ms])k pi 100 [Hz] 5 [ms] e

j2pik100 [Hz]2.5 [ms]

ce quoi il faut soustraire loffset de 3 pour k = 0.Les rsultats (spectres bilatraux damplitude et de phase) sont donns sur la

figure 1.6 page ci-contre. Sur la mme figure, on trouve la synthse de x(t) basesur les N = 10 premiers termes X(j k) du dveloppement en srie de Fouriercomplexe :

x10 (t) =+10

k=10X(j k) e+j2pikf0t

Un code MATLAB permettant de calculer X2(j k) et tracer les spectres bila-traux de gain et de phase est donn ci-dessous.

(fichier source)%I n i t i a l i s a t i o nclc ; clear a l l ; close a l l ;

%ParametresA=9;T = 10e3;delta_t = 5e3;td = 2.5e3;

%numeros des harmoniques a c a l c u l e rN = 10 ;k = [N:N ] ;

%k0X = Adelta_t /T s i n c ( k /2 ) .exp( j kpi /2 ) ;%k=0X(8)=3+Adelta_t /T;

%Tracagefiguresubplot (211)stem( k/T, abs (X) )xlabel ( kf_0 [Hz ] )ylabel ( |X_2( jk ) | )gridsubplot (212)stem( k/T, angle (X)/pi )xlabel ( kf_0 [Hz ] )ylabel ( arg {X_2( jk )} )grid



1000 500 0 500 10000

1

2

3

f [Hz]

|X(j k)|

1000 500 0 500 10001

0.5

0

0.5

1

f [Hz]

arg{X(jk)}pi

0 0.005 0.01 0.015 0.02

4

2

0

2

4

6

t [s]

xN(t),x(t)

Fig. 1.6 xN(t) est la synthse du signal x(t) base sur les N = 10 premierstermes de la srie de Fourier complexe : x10 (t) =

+10k=10X(j k) e+j2pikf0t.

On remarque bien sr la trs forte ressemblance avec x(t) tel quil apparat surle bas de la figure 1.4 (fichier source).



0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

A k [V

]

Ex. SF5

0 1 2 3 4 5

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

k

/ pi

f [kHz]f_exgraphes_6.eps

Fig. 1.7 Exercice SF 5 (fichier source).

1.1.5 Exercice SF 5

Considrant les spectres unilatraux (figure 1.7) dun signal x (t) :1. donnez lexpression de x (t) ;2. dessinez son spectre bilatral ;3. calculez sa puissance et sa valeur efficace.

Corrig1. Au spectre unilatral est associ directement le dveloppement en srie en

cosinus. On a donc :

x(t) = 4+4cos(2pi1 [kHz]t)+2cos(2pi3 [kHz]t+0.2pi)+1cos(2pi5 [kHz]t0.45pi)

2. Les spectres damplitude et de phase sont reprsents sur la figure 1.8.3.

P = A20 +1

2k=1

A2k = 42 +

42

2+

22

2+

12

2= 26.5 [V2]

Xeff =P =

26.5 = 5.15 [V]



4000 2000 0 2000 40000

1

2

3

4

f [Hz]

|X(j k)|

4000 2000 0 2000 40001

0.5

0

0.5

1

f [Hz]

arg{X(jk)}pi

Fig. 1.8 Ex SF 5.



k 0 1 2 3 4x1 (t) ak +2 +5 -2 +1 0

bk +4 +3 1 0k 0 1 2 3 4

x2 (t) Ak 1 3 0 2 0k 0 pi3 0 +pi2 0k 0 1 2 3 4

x3 (t) X (j k) 5 4 j 3 0 2 j 0

Tab. 1.1 Exercice SF 6.

1.1.6 Exercice SF 6

Considrant les trois signaux x1 (t), x2 (t), x3 (t) de priode T = 1 [ms] dcritspar leurs spectres respectifs (tableau 1.1) :

1. donnez lexpression temporelle des trois signaux ;2. crivez ces expressions laide de cosinus seulement ;3. dessinez leurs spectres damplitude et de phase uni- et bilatraux.


HEIG

-Vd

Traitem

entdeSignal(TS)

Corrig

1. Expressions temporelles de x1(t), x2(t) et x3(t) :

x1(t) =a02

+k=1

ak cos (2 pi k f0 t) +k=1

bk sin (2 pi k f0 t)

=2

2+ 5 cos (2 pi 1 f0 t) + 4 sin (2 pi 1 f0 t) 2 cos (2 pi 2 f0 t) + 3 sin (2 pi 2 f0 t)

+ 1 cos (2 pi 3 f0 t) 1 sin (2 pi 3 f0 t)= 1 + 5 cos (2 pi f0 t) + 4 sin (2 pi f0 t) 2 cos (4 pi f0 t) + 3 sin (4 pi f0 t)+ 1 cos (6 pi f0 t) 1 sin (6 pi f0 t)

x2(t) = A0 +k=1

Ak cos (2 pi k f0 t+ k)

= 1 + 3 cos(2 pi 1 f0 t pi

3

)+ 2 cos

(2 pi 3 f0 t+ pi

2

)

Corrigdes

exercices,

v1.16

23MEE\co_

ts.tex\19

mai

2006

HEIG

-Vd

Traitem

entdeSignal(TS)

x3(t) =

k=X(j k) ej2pikf0t

= X(j 3) ej2pi3f0t +X(j 1) ej2pi1f0t +X(j 0) ej2pi0f0t +X(j 1) ej2pi1f0t +X(j 3) ej2pi3f0t= (2 j) ej2pi3f0t + (4 j 3) ej2pi1f0t + 5 + (4 + j 3) ej2pi1f0t + (2 + j) ej2pi3f0t

=

(2)2 + (1)2 ejarctan (12) ej2pi3f0t +

42 + (3)2 ejarctan (34 ) ej2pi1f0t

+ 5 +42 + 32 ejarctan ( 34) ej2pi1f0t +

(2)2 + 12 ejarctan ( 12) ej2pi3f0t

=5 ejarctan (12) ej2pi3f0t +

25 ejarctan (34 ) ej2pi1f0t + 5 +

25 ejarctan ( 34) ej2pi1f0t +

5 ejarctan ( 12) ej2pi3f0t

=5 ej2.6779 ej2pi3f0t + 5 ej0.6435 ej2pi1f0t + 5 + 5 ej0.6435 ej2pi1f0t +

5 ej2.6779 ej2pi3f0t

= 5 + 2 5 e

j2.6779 ej2pi3f0t + ej2.6779 ej2pi3f0t2

+ 2 5 ej0.6435 ej2pi1f0t + ej0.6435 ej2pi1f0t

2

= 5 + 2 5 cos (2 pi 3 f0 t+ 2.6779) + 10 cos (2 pi 1 f0 t+ 0.6435)

2. Expressions de x1(t), x2(t) et x3(t) laide de cosinus seulement. partant des rsultats ci-dessus, on a :

x1(t) = 1 + 5 cos (2 pi f0 t) + 4 sin (2 pi f0 t) 2 cos (4 pi f0 t) + 3 sin (4 pi f0 t)+ 1 cos (6 pi f0 t) 1 sin (6 pi f0 t)= 1 +

52 + 42 cos

(2 pi f0 t+ arctan

(45

))+

(2)2 + 32 cos(4 pi f0 t+ arctan

(32))

+

12 + (1)2 cos(6 pi f0 t+ arctan

((1)1

))= 1 +

41 cos (2 pi f0 t 0.675) +

13 cos (4 pi f0 t 2.16) +

2 cos

(6 pi f0 t+ pi

4

)= A0 + A1 cos (2 pi 1 f0 t+ 1) + A2 cos (2 pi 1 f0 t+ 2) + A3 cos (2 pi 1 f0 t+ 3)

Corrigdes

exercices,

v1.16

24MEE\co_

ts.tex\19

mai

2006

HEIG

-Vd

Traitem

entdeSignal(TS)

x2(t) = A0 +k=1


= 1 + 3 cos(2 pi 1 f0 t pi

3

)+ 2 cos

(2 pi 3 f0 t+ pi

2

)= A0 + A1 cos (2 pi 1 f0 t+ 1) + A3 cos (2 pi 3 f0 t+ 3)

x3(t) = 5 + 10 cos (2 pi 1 f0 t+ 0.6435) + 2 5 cos (2 pi 3 f0 t+ 2.6779)

= A0 + A1 cos (2 pi 1 f0 t+ 1) + A3 cos (2 pi 3 f0 t+ 3)

3. Spectres unilatraux et bilatraux damplitude et de phase de x1(t), x2(t) et x3(t) :

x1(t) Le spectre unitlatral correspond directement lexpression de x1(t) en cosinus :

x1(t) = 1 +41 cos (2 pi f0 t 0.675) +

13 cos (4 pi f0 t 2.16) +

2 cos

(6 pi f0 t+ pi

4

)= A0 + A1 cos (2 pi 1 f0 t+ 1) + A2 cos (2 pi 1 f0 t+ 2) + A3 cos (2 pi 1 f0 t+ 3)

Le spectre bilatral sen dduit facilement :

k 0 1 2 3

Ak A0 = 1 A1 =41 A2 =

13 A3 =

2

k 0 = 0 1 = 0.675 2 = 2.16 3 = +pi4k 0 1 2 3

X(j k) X(j 0) = A0= 1

X(j 1) = A12 ej1

=412 ej0.675

X(j 2) = A22 ej2

=132 ej2.16

X(j 3) = A32 ej3

=22 ejpi4

La reprsentation graphique des spectre uni- et bilatraux est donne sur la figure 1.9.

Corrigdes

exercices,

v1.16

25MEE\co_

ts.tex\19

mai

2006

HEIG

-Vd

Traitem

entdeSignal(TS)

x2(t) Le spectre unitlatral correspond directement lexpression de x2(t) en cosinus :

x2(t) = A0 +k=1


= 1 + 3 cos(2 pi 1 f0 t pi

3

)+ 2 cos

(2 pi 3 f0 t+ pi

2

)= A0 + A1 cos (2 pi 1 f0 t+ 1) + A3 cos (2 pi 3 f0 t+ 3)

Le spectre bilatral sen dduit facilement :k 0 1 2 3Ak A0 = 1 A1 = 3 A2 = 0 A3 = 2k 0 = 0 1 = pi3 2 = 0 3 = +pi2k 0 1 2 3

X(j k) X(j 0) = A0= 1

X(j 1) = A12 ej1

= 32 ejpi3 X(j 2) = 0

X(j 3) = A32 ej3

= 22 ejpi2

= ejpi2

La reprsentation graphique des spectre uni- et bilatraux est donne sur la figure 1.10.x3(t) Le spectre unitlatral correspond directement lexpression de x3(t) en cosinus :

x3(t) = 5 + 10 cos (2 pi 1 f0 t+ 0.6435) + 2 5 cos (2 pi 3 f0 t+ 2.6779)

= A0 + A1 cos (2 pi 1 f0 t+ 1) + A3 cos (2 pi 3 f0 t+ 3)Le spectre bilatral a ddj t obtenu au prcdemment : on avait :

x3(t) =

k=X(j k) ej2pikf0t

= X(j 3) ej2pi3f0t +X(j 1) ej2pi1f0t +X(j 0) ej2pi0f0t +X(j 1) ej2pi1f0t +X(j 3) ej2pi3f0t=5 ej2.6779 ej2pi3f0t + 5 ej0.6435 ej2pi1f0t + 5 + 5 ej0.6435 ej2pi1f0t +

5 ej2.6779 ej2pi3f0t

Corrigdes

exercices,

v1.16

26MEE\co_

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mai

2006

HEIG

-Vd

Traitem

entdeSignal(TS)

Si lon rpte nanmoins la mme opration que pour x1(t) et x2(t), on a :k 0 1 2 3

Ak A0 = 5 A1 = 10 A2 = 0 A3 = 2 5

k 0 = 0 1 = 0.6435 2 = 0 3 = 2.6779

k 0 1 2 3

X(j k) X(j 0) = A0= 5

X(j 1) = A12 ej1

= 102 ej0.6435

= 5 ej0.6435X(j 2) = 0

X(j 3) = A32 ej3

= 25

2 ej2.6779

=5 ej2.6779

La reprsentation graphique des spectre uni- et bilatraux est donne sur la figure 1.11.

Corrigdes

exercices,

v1.16

27MEE\co_

ts.tex\19

mai

2006


0 1000 2000 3000

0

2

4

6

fHz

Ak

0 1000 2000 3000

0.6

0.4

0.2

0

0.2

fHz

kpi

3000 2000 1000 0 1000 2000 30000

1

2

3

fHz

|X(j k)|

3000 2000 1000 0 1000 2000 3000

0.60.40.2

0

0.2

0.4

0.6

fHz

arg{X(jk)}pi

2 1 0 1 2

5

0

5

10

t [ms]

x(t)

Fig. 1.9 (fichier source).

0 1000 2000 3000

0

1

2

3

f [Hz]

Ak

0 1000 2000 3000

0.2

0

0.2

0.4

f [Hz]

kpi

3000 2000 1000 0 1000 2000 30000

0.5

1

1.5

f [Hz]

|X(j k)|

3000 2000 1000 0 1000 2000 3000

0.4

0.2

0

0.2

0.4

f [Hz]

arg{X(jk)}pi

2 1 0 1 24

2

0

2

4

6

t [ms]

x(t)




0 1000 2000 3000

0

2

4

6

8

10

f [Hz]

Ak

0 1000 2000 3000

0

0.2

0.4

0.6

0.8

f [Hz]

kpi

3000 2000 1000 0 1000 2000 30000

1

2

3

4

5

f [Hz]

|X(j k)|

3000 2000 1000 0 1000 2000 3000

0.80.60.40.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

f [Hz]

arg{X(jk)}pi

2 1 0 1 210

0

10

20

t [ms]

x(t)




1.1.7 Exercice SF 7

Calculez la puissance de chacun des trois signaux de lexercice 1.1.6 page 22.

Corrigx1(t) :

P = A20 +1

2k=1

A2k

= A20 +1

2 (A21 + A22 + A23)

= 12 +1

2[

52 + 422+

(2)2 + 322 +

1 + (1)22]

= 1 +1

2 [41 + 13 + 2]

= 29 [V2]

x2(t) :

P = A20 +1

2k=1

A2k

= A20 +1

2 (A21 + A22)

= 12 +1

2 [32 + 22]

= 7.5 [V2]

x3(t) :

P =

k=|X(j k)|2

= |X(j 0)|+ 2 k=1

|X(j k)|2

= 52 + 2 (

42 + 322+22 + 12

2)

= 85 [V2]



1.1.8 Exercice SF 8

Considrant le signal x (t) = 2 + sin (2 pi f0 t) + 0.25 cos (6 pi f0 t)1. crivez x (t) dans les formes cosinus et complexe ;2. donnez les composantes spectrales dans les trois reprsentations :

{ak, bk} {Ak, k} {X (j k)}

3. vrifiez que la puissance de ce signal calcule laide des trois reprsenta-tions donne le mme rsultat ;

4. comment calculeriez-vous la puissance dans lespace temps ? voyez-vous desmoyens de simplifier ce calcul ? Si oui, le rsultat est immdiat.


HEIG

-Vd

Traitem

entdeSignal(TS)

Corrig

1. On a pour la srie en cosinus :

x (t) = 2 + sin (2 pi f0 t) + 0.25 cos (6 pi f0 t)= 2 + cos

(2 pi f0 t pi

2

)+ 0.25 cos (6 pi f0 t)

= A0 + A1 cos (2 pi f0 t+ 1) + A3 cos (6 pi f0 t+ 3)

Partant de la srie en cosinus, on obtient facilement la srie complexe en faisant usage des formule dEuler :

x (t) = 2 + cos(2 pi f0 t pi

2

)+ 0.25 cos (6 pi f0 t)

= 2 +1

2 e+j(2pif0tpi2 ) + 1

2 ej(2pif0tpi2 ) + 0.25 1

2 e+j(6pif0t) + 0.25 1

2 ej(6pif0t)

= X (0) +X (+j 1) e+j2pif0t +X (j 1) ej2pif0 +X (+j 3) e+j6pif0t +X (j 3) ej6pif0t

= 2 +1

2 ejpi2 e+j2pif0t + 1

2 e+jpi2 ej2pif0t + 0.25

2 e+j6pif0t + 0.25

2 ej6pif0t

2. Srie en cosinus :

A0 = 2

A1 = 1 1 = pi2

A3 = 0.25 3 = 0

Corrigdes

exercices,

v1.16

32MEE\co_

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mai

2006

HEIG

-Vd

Traitem

entdeSignal(TS)

Srie de Fourier :

a0 = 2 A0 = 2 2 = 4a1 = +A1 cos (1) = cos

(pi2

)= 0

b1 = A1 sin (1) = sin(pi2

)= 1

a3 = +A3 cos (3) = 0.25 cos (0) = 0.25b3 = A3 sin (3) = 0.25 sin (0) = 0

Srie complexe :

X(j 0) = 2X(j 1) = 0.5 ejpi2X(j 3) = 0.125 ej0

3. Srie de Fourier :

P =(a02

)2+

1

2k=1

(a2k + b

2k

)2=(a02

)2+

1

2 [a21 + b21 + a23 + b23]

=

(4

2

)2+

1

2 [02 + 12 + 0.252 + 02]

= 4.52125 [V2]

Corrigdes

exercices,

v1.16

33MEE\co_

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mai

2006

HEIG

-Vd

Traitem

entdeSignal(TS)

Srie en cosinus :

P = A20 +1

2k=1

A2k

= 22 +1

2 [A21 + A23]

= 22 +1

2 [12 + 0.252]

= 4.52125 [V2]

Srie complexe :

P =+

k=|X (j k)|2

= |X (j 3)|2 + |X (j 1)|2 + |X (j 0)|2 + |X (j 1)|2 + |X (j 3)|2= 0.1252 + 0.52 + 22 + 0.52 + 0.1252

= 4.52125 [V2]

4. La puissance dans lespace temps se calcule comme :

P =1

T +T

2

T2

x2 (t) dt

=1

T +T

2

T2

[2 + sin (2 pi f0 t) + 0.25 cos (6 pi f0 t)]2 dt

Corrigdes

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mai

2006

HEIG

-Vd

Traitem

entdeSignal(TS)

La fonction intgrer peut tre mise sous la forme :

[2 + (sin (2 pi f0 t) + 0.25 cos (6 pi f0 t))]2

= 22 + 2 2

sin (2 pi f0 t) R

T=0

+0.25 cos (6 pi f0 t) R

T=0

+ (sin (2 pi f0 t) + 0.25 cos (6 pi f0 t))2Pour la somme de sinus au carr, on a :

(sin (2 pi f0 t) + 0.25 cos (6 pi f0 t))2= sin2 (2 pi f0 t) + 2 sin (2 pi f0 t) 0.25 cos (6 pi f0 t) + 0.252 cos2 (6 pi f0 t)= sin2 (2 pi f0 t) + 0.5 sin (2 pi f0 t) cos (6 pi f0 t)

12sin (2pif0t+6pif0t)+ 12 sin (2pif0t6pif0t)

+0.252 cos2 (6 pi f0 t)

= sin2 (2 pi f0 t) + 0.25 (sin (8 pi f0 t) + sin (4 pi f0 t)) R

T=0

+0.252 cos2 (6 pi f0 t)

Pour le calcul de la puissance dans le domaine temporel, il suffit donc dvaluer :

P =1

T +T

2

T2

x2 (t) dt

=1

T +T

2

T2

[2 + sin (2 pi f0 t) + 0.25 cos (6 pi f0 t)]2 dt

= . . .

=1

T +T

2

T2

[22 + sin2 (2 pi f0 t) + 0.252 cos2 (6 pi f0 t)

] dt

Corrigdes

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HEIG

-Vd

Traitem

entdeSignal(TS)

Autrement dit, il suffit de sommer les carrs des valeurs efficaces de 2, sin (2 pi f0 t) et 0.25 cos (6 pi f0 t), soit :

P = 22 +

(12

)2+ 0.252

(12

)2= 4.53125 [V2]

Corrigdes

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mai

2006


1.1.9 Exercice SF 15

Considrant une SIR centre de priode T = 100 [s], de largeur t = 20 [s] etdamplitude A = 10 [V],

1. calculez le pourcentage de puissance comprise dans le premier lobe du sinuscardinal ;

2. admettant que cette SIR est applique un filtre passe-bas dordre 1 dontla fonction de transfert est

H (j f) = 11 + j f

fc

fc = 10 [kHz]

que valent lamplitude et la phase des composantes 10 [kHz], 40 [kHz] et150 [kHz] ?

CorrigLa srie de Fourier complexe dune SIR a t calcule dans le cours. On a :


k pi f0 t

= 10 [V] 20 [s]100 [s]

sin(k pi 1

100 [s] 20 [s])

k pi 1100 [s] 20 [s]

= 2 [V] sin (k pi 0.2)k pi 0.2

Le spectre damplitude sannule pour la premire fois pour k = 5 (figure 1.12 pagesuivante). Le premier lobe du spectre est donc constitu des raies (pour mmoire,on a |X(j k)| = |X(j k)|)

X(j 5) = 0X(j 4) = 0.4677X(j 3) = 1.0091X(j 2) = 1.5136X(j 1) = 1.871X(j 0) = 2X(j 1) = 1.871X(j 2) = 1.5136X(j 3) = 1.0091X(j 4) = 0.4677X(j 5) = 0



100 50 0 50 1000

0.5

1

1.5

2

f [kHz]

|X(j k)|

100 50 0 50 1001

0.5

0

0.5

1

f [kHz]

arg{X(jk)}pi

Fig. 1.12 f0 = 1100 [s] = 10 [kHz] (fichier source).



1. La puissance correspondante est ainsi :

P5 =+5

k=5|X (j k)|2 = X (0)2 + 2

+5k=1

|X (j k)|2

= 22 + 2 (1.8712 + 1.51362 + 1.00912 + 0.46772) = 18.05756 [V2]La puissance totale du signal se calcule aisment dans le domaine temporel :

P =1

T +T

2

T2

x2 (t) dt

=1

100 [s] + 100 [s]

2

100 [s]2

x2 (t) dt

=1

100 [s] + 10 [s]

2

10 [s]2

(10 [V])2 dt

=1

100 [s] (10 [V])2

+ 10 [s]2

10 [s]2

dt

=1

100 [s] (10 [V])2 [t]+

10 [s]2

10 [s]2

=1

100 [s] (10 [V])2

[+10 [s]

2 (10 [s]

2)

]=

20 [s]100 [s]

(10 [V])2

= 20 [V2]

La puissance contenue dans le premier lobe de X(j k) reprsente doncP5P

=18.05756 [V2]

20 [V2] 90%

de la puissance totale du signal.2. Il suffit dinjecter dans H (j f) = 1

1+j ffc

les harmoniques de x(t) corres-

pondant 10 [kHz], 40 [kHz] et 150 [kHz], soit X(j 1), X(j 4) et X(j 15),et dextraire le module et largument du rsultat Y (j k) :

Y (j 1) = 11 + j ffc

X(j 1) = 11 + j 10 [kHz]10 [kHz]

1.871 = 0.9355 0.9355 j = 1.323 ejpi4

Y (j 4) = 11 + j ffc

X(j 4) = 11 + j 40 [kHz]10 [kHz]

0.4677 = 0.0275 0.1100 j = 0.1134 ej1.3258

Y (j 15) = 11 + j ffc

X(j 15) = 11 + j 150 [kHz]10 [kHz]

0 = 0



On remarquera le cas particulier o f = fc = 10 [kHz], i.e. celui o la fr-quence du signal dexcitation x(t) concide avec la frquence caractristique(ou frquence de coupure) du filtre H(j f) :

(a) Le dphasage est dexactement arg {H(j fc)} = pi4 ;

(b) Lattnuation est de |H(j f)| = 1.3231.871

= 0.7071 =22

= 3 [dB].


Un filtre passe-bas RC ralis avec R = 1 [k] et C = 0.1 [F] est excit parun signal carr u1 (t) de priode T = 1 [ms] et damplitude comprise entre 0 et20 [V] :

1. esquissez le signal de sortie u2 (t) et le courant i (t) ;

2. pour chacun des 3 signaux u1 (t), u2 (t), i (t), calculez leurs valeurs DC,efficace totale et efficace AC.

Corrig

On a pour la tension de sortie u2(t) ainsi que le courant i(t) :



0 1 2 3 4 5

0

5

10

15

20

t [ms]

u1(t) [V]

0 1 2 3 4 5

0

5

10

15

20

t [ms]

u2(t) [V]

0 1 2 3 4 5

0.02

0.01

0

0.01

0.02

t [ms]

i(t) [A]


HEIG

-Vd

Traitem

entdeSignal(TS)

Puissance du signal u1(t) La valeur DC nest autre que la valeur moyenne X (j 0) du signal. Partant de la dfinitionde X(j k)

X (j k) = 1T +T

2

T2

x (t) ej2pikf0t dt < k < +

on a, pour k = 0 :

U1 (j 0) = 1T +T

2

T2

x (t) ej2pi0f0t dt

=1

T +T

2

T2

x (t) dt

=1

1 [ms] + 1 [ms]

2

1 [ms]2

x (t) dt

=1

1 [ms] + 1 [ms]

2

0

20 [V] dt= 10 [V]

La puissance AC se calcule par dduction de la puissance DC Pdc = |U1 (j 0)|2 = 100[V2]de la puissance totale

Corrigdes

exercices,

v1.16

42MEE\co_

ts.tex\19

mai

2006

HEIG

-Vd

Traitem

entdeSignal(TS)

P . La puissance totale scrit :

P =1

T +T

2

T2

x2 (t) dt

=1

1 [ms] + 1 [ms]

2

1 [ms]2

x2 (t) dt

=1

1 [ms] + 1 [ms]

2

0

(20 [V])2 dt

=1

1 [ms] (20 [V])2 [t]+

1 [ms]2

0

=1

1 [ms] (20 [V])2

[+1 [ms]2 0]

= 200[V2]

La valeur efficace est donc :

U1eff =P =

200

[V2]= 10

2 [V]

On dduit de la puissance totale P et de la puissance DC Pdc la puissance AC :

P1,AC = P1 P1,DC = 200[V2] 100 [V2] = 100 [V2]

La valeur efficace AC est :

U1effAC =P1,AC = 10 [V]

Puissance du signal u2(t) La valeur DC sera gale celle de u1(t) puisque lon a affaire un filtre passe-bas. Par calcul,

Corrigdes

exercices,

v1.16

43MEE\co_

ts.tex\19

mai

2006

HEIG

-Vd

Traitem

entdeSignal(TS)

on aurait :U2 (j 0) = H(j f) U1(j 0)

=1

1 + j 2 pi 0 f0 U1(j 0)= 1 U1(j 0)= 10 [V]

Pour la puissance totale, on peut procder selon Parseval dans le domaine frquentiel ou temporel. On peut aussinoter que si le rapport des amplitudes de la sortie et de lentre est donn par

U2(j k)U1(j k) = H(j f)|f=kf0

celui des puissances est par suite donn par :

P2(j k)P1(j k) =

|U2(j k)|2|U1(j k)|2

= |H(j f)|2f=kf0Il sensuit que

P2 (j k) = |H(j k f0)|2 P1(j k)=

1

1 + (2 pi k f0 )2 P1(j k)

Pour la puissance DC de u2(t) on a donc :

P2 (j 0) = 11 + (2 pi 0 f0 )2

P1(j 0)

= 1.0 P1 (j 0)= 1.0 |U1 (j 0)|2= 100

[V2]

Corrigdes

exercices,

v1.16

44MEE\co_

ts.tex\19

mai

2006

HEIG

-Vd

Traitem

entdeSignal(TS)

La puissance totale est plus facilement calcule dans le domaine temporel :

P2 =1

T T0

u22 (t) dt

=1

T T

2

0

(U0

(1 e 1RC

))2 d + 1

T TT2

(U0 e 1RC (T2 )

)2 dt=T

2

=U20T T

2

0

(1 e 1RC

)2 d + 1

T T

2

0

(e

1RC t

)2 dt

=U20T T

2

0

(1 e 1RC

)2 d + U

20

T T

2

0

e21

RC t dt

=U20T T

2

0

(1 2 e 1RC + e2 1RC

) d + U

20

T T

2

0

e21

RC t dt

=U20T[t 2 1 1

RC e 1RC t + 12 1

RC e2 1RC t

]+T2

0

+U20T[

1

2 1RC e2 1RC t

]+T2

0

=U20T[t 2 1 1

RC e 1RC t + 2 12 1

RC e2 1RC t

]+T2

0

=U20T[+T

2 0 2 1 1

RC(e

1RC T2 e 1RC 0

)+ 4 12 1

RC(e2

1RC T2 e2 1RC 0

)]=U20T[+T

2 2 1 1

RC(e

1RC T2 1

)+ 4 12 1

RC(e2

1RC T2 1

)]=U20T[+T

2 2 1 1

RC e 1RC T2 + 4 12 1

RC e2 1RC T2

]= U20

[1

2+ 2 R C

T e T2RC 2 R C

T e TRC

]T=1 [ms]RC=1 [k]0.1 [F]=0.1 [ms]

12 U20

12 (20 [V])2

200 [V2]

Corrigdes

exercices,

v1.16

45MEE\co_

ts.tex\19

mai

2006

HEIG

-Vd

Traitem

entdeSignal(TS)

La puissance AC de u2(t) est ds lors :

P2,AC = P2 P1,DC = 200[V2] 100 [V2] = 100 [V2]

La valeur efficace AC est :U2effAC =

P2,AC = 10 [V]

Puissance du signal i(t) Suite du corrig en prparation.

Corrigdes

exercices,

v1.16

46MEE\co_

ts.tex\19

mai

2006


R

Cx(t) y(t)



Soit un filtre RC passe-bas dont la constante de temps est mal connue. On luiapplique une SIR x (t) damplitude A = 10 [V], de priode T = 20 [ms] et delargeur t = 1 [ms].

1. que valent les composantes continues des signaux dentre et de sortie ?2. quelle est la fonction de transfert H (j ) du circuit ;3. que valent les spectres bilatraux X (j k) et Y (j k) ?4. admettant que la constante de temps est de lordre de 2 [ms], esquissez les

signaux dentre x (t) et de sortie y (t) ; estimez la valeur maximum de y (t) ;5. pour la frquence f = 5 f0, lanalyseur spectral du signal de sortie fournit

le coefficient complexe Y (j 5) = 0.0659 j 0.154 ; calculez lamplitudeet largument de la fonction de transfert pour cette frquence ;(Rp. : |H| = 0.37,6 H = 68 [])

6. que valent la constante de temps et la frquence de coupure du filtre ?(Rp. : = 1.6 [ms], fc = 100 [Hz])

Corrig1. Comme il sagit dun filtre passe-bas (figure 1.13), la composante continue

X(j 0) de lentre x(t) se retrouve telle quelle la sortie :Y (j 0) = X(j 0)

2. Sous lhypothse de rgime sinusodal permanent, la fonction de transferten j sobtient en raisonnant avec des impdance complexes et en faisantusage de la rgle du diviseur de tension :

Y (j k) =1

jCR + 1

jCX(j k)



do :

H(j ) = Y (j k)X(j k) =

1

1 + j R C =1

1 + j =1

1 + j ffc

fc=

12pi

3. Pour X(j k), cest le spectre bien connu dune SIR :

X(jk) = AtTsinc(k f0 t) = 10 1 [ms]

20 [ms]sinc

(k 1

20 [ms] 1 [ms]

)= 0.5sinc(0.05 k)

avec f0 = 1T . Y (j k) est donc simplement :

Y (j k) = H(j )|=2pif=2pikf0 X(j k) =1

1 + j k f0fc

0.5 sinc(0.05 k)

Graphiquement, les rsultats se prsentent comme indiqu sur la figure 1.14.

4. La figure 1.15 montre le signal de sortie, obtenu ici non par calcul analytique(rsolution de lquation diffrentielle rgisant le circuit de la figure 1.13)par synthse partie des N = 41 premiers termes de Y (j k), i.e. par :

yN (t) =+N

k=NY (j k) e+j2pikf0t

5. On a :

H(j )|=2pi5f0 =Y (j 5)X(j 5)

=0.0659 j 0.1540.5 sinc(0.05 5)

= 0.1464 0.3421 j= 0.3721 ej113.1671 []

6. Du point prcdent, on tire :

|H(j )|=2pi5f0 = 0.3721

=

11 + j ffc

=

11 +

(ffc

)2Corrig des exercices, v 1.16 48 MEE \co_ts.tex\19 mai 2006


2000 1000 0 1000 20000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

f [Hz]

|X(j k)|

2000 1000 0 1000 20000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f [Hz]

|H(j k)|

2000 1000 0 1000 20000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

f [Hz]

|Y (j k)|




0.04 0.02 0 0.02 0.04

0

1

2

3

4

t [s]

yN(t)

Fig. 1.15 Signal de sortie y(t) y41(t), obtenu par synthse partie desN = 41 premiers termes de Y (jk), i.e. par : y41 (t) =

+41k=41 Y (j k) e+j2pikf0t

(fichier source).

Do :

1

0.37212= 1 +

(f

fc

)2

1

0.37212 1 = f

fcf1

0.37212 1

= fc

5 f01

0.37212 1

= fc

5 50 [Hz]1

0.37212 1

= fc

100.22 [Hz] = fc

On en dduit :

=1

c=

1

2 pi fc =1

2 pi 100.22 [Hz] = 1.59 [ms]




Un circuit non linaire de type parabolique est modlis par la caractristique detransfert suivante :

u2 (t) = u1 (t) + u21 (t)Sachant quon lui applique une tension sinusodale u1 (t) = A sin (0 t) :

1. dterminez les composantes spectrales que lon obtient la sortie ;

2. quelle est la puissance normalise P2 du signal de sortie ?

3. que vaut-elle par rapport celle du signal dentre P1 ?

4. faites lA.N. avec A = 10 [V], = 2 pi 100 [ rads ], = 1, = 0.2 [V1]5. esquissez u2 (t) ; quel est son taux de distorsion harmonique ?

Corrig

1. u2(t) a pour expression :

u2 (t) = u1 (t) + u21 (t)= A sin (0 t) + (A sin (0 t))2

= A sin (0 t) + A2 1 2 cos (2 0 t)2

= A2

2+ A sin (0 t) A

2

2 cos (2 0 t)

Pour obtenir rapidement le spectre U2(j k de u2(t), on peut dans ce casfaire usage des relations dEuler :

u2 (t) = A2

2+ A e

j0t ej0t2 j

A2

2 e

j20t + ej20t

2

= A2

2+ A2 j e

j0t A2 j e

j0t A2

4 ej20t A

2

4 ej20t

= 0.2 102

2+

1 102 j e

j0t 1 102 j e

j0t 0.2 102

4 ej20t 0.2 10

2

4 ej20t

= 10 + 5 ejpi2 ej0t + 5 e+jpi2 ej0t + 5 ejpi ej20t + 5 ejpi ej20t= U2(j 0) + U2(j 1) + U2(j 1) + U2(j 2) + U2(j 2)

2. La puissance du signal dentre est donne par le carr de sa valeur efficace,soit

P1 = U21eff =

A2

2

=A2

2=

102

2= 50

[V2]



Pour le signal de sortie u2(t), on a en faisant usage de Parseval :

P2 =+

k=|X (j k)|2

= |U2 (j 2)|2 + |U2 (j 1)|2 + |U2 (j 0)|2 + |U2 (j 1)|2 + |U2 (j 2)|2

=5 ejpi2 + 5 ejpi2 2 + 102 + 5 e+jpi2 2 + 5 ejpi2

= 52 + 52 + 102 + 52 + 52

= 200[V2]

3. On a :P2P1

=200

[V2]

50[V2] = 4

4. cf ci-dessus5. Le taux de distortion harmonique (TDH) est donn par :

TDH =Xeff (k > 1)

Xeff (k = 1)=

X2 (2) +X2 (3) +X2 (4) + . . .

X2 (1)

On a donc :

TDH =

U22 (2)

U22 (1)=

52

52= 100%



Chapitre 2

Analyse des signaux nonpriodiques


2.1.1 Exercice TF 1

partir de la seule observation du signal temporel de la figure 2.1, prcisez ce quevaut sa densit spectrale en f = 0 [Hz] puis calculez et esquissez sa transformede Fourier.

CorrigSelon la proprit de la transforme de Fourrier

X(0) =

+

x(t) dt

on a :X(0) = 1 2 [ms] + 2 2 [ms] + 1 2 [ms] = 8 [ms]

Le signal de la figure 2.1 page suivante est constitu de 3 impulsions rectangulairesdcales et pondres. Si y(t) est une impulsion rectangulaire dfinie comme

y(t) =

{0 si |t| > t

2

1 si |t| t2

dont la transforme de Fourier est

Y (j f) = F{y(t)} = t sinc(f t)alors x(t) peut tre exprim comme suit :

x(t) = y (t+ 4 [ms]) + 2 y (t) + y (t 4 [ms])



8 6 4 2 0 2 4 6 8

0

0.5

1

1.5

2

temps [msec]

x(t)

Fig. 2.1 Exercice TF1.

En faisant usage des proprits de linarit

a x(t) + b y(t) a X(j f) + b Y (j f)et de dcalage

x(t+ td) X(j f) e+j2pif tdde la transforme de Fourier, on a :

X(j f) = F{x(t)}= Y (j f) e+j2pif 4 [ms] + 2 Y (j f) + Y (j f) ej2pif 4 [ms]= t sinc(f t) e+j2pif 4 [ms] + 2 t sinc(f t) + t sinc(f t) ej2pif 4 [ms]= t sinc(f t) [e+j2pif 4 [ms] + 2 + ej2pif 4 [ms]]= t sinc(f t) [2 cos (2 pi f 4 [ms]) + 2]= 2 2 [ms] sinc(f 2 [ms]) [cos (2 pi f 4 [ms]) + 1]= 4 [ms] sinc(f 2 [ms]) [1 + cos (2 pi f 4 [ms])]

2.1.2 Exercice TF 2

Partant de la TF dune impulsion rectangulaire et de la proprit dintgration,calculez les TF de x(t) et y(t) (figure 2.2). Aprs calculs, vous remarquerez queY (j f) peut scrire sous la forme dun sinc2.



400 200 0 200 400 6001

0

1

x(t)

400 200 0 200 400 6000

0.5

1

y(t)

400 200 0 200 400 6000

0.5

1

temps [msec]

z(t)

Fig. 2.2 Exercices TF2 et TF3.

Corrigx(t) est constitue la superposition de 2 impulsions de largeur t = 200 [ms],

lune avance de td1 = 100 [ms] = t2 et lautre retarde de td2 = 100 [ms] = t2et de polarit ngative (figure 2.1.2). On a donc :

X(j f) = F{x(t)}= A t sinc(pi f t) e+j2pif t2 A t sinc(pi f t) ej2pif t2= A t sinc(pi f t)

[e+j2pif

t2 ej2pif t2

]= A t sinc(pi f t) 2 j sin (pi f t)= j 2 A t sinc(pi f t) sin (pi f t)

Application numrique :

X(j f) = j 2 A t sinc(f t) sin (pi f t)= j 2 1 200 [ms] sinc(pi f 200 [ms]) sin (pi f 200 [ms])= j 400 [ms] sinc(pi f 200 [ms]) sin (pi f 200 [ms])


HEIG

-Vd

Traitem

entdeSignal(TS)

+

=

t

0.4 0.2 0 0.2 0.4

1

0.5

0

0.5

1

t [s]

u (t)

t

0.4 0.2 0 0.2 0.4

1

0.5

0

0.5

1

t [s]

u(t+ t

2

)

t

0.4 0.2 0 0.2 0.4

1

0.5

0

0.5

1

t [s]

u(t t

2

)

0.4 0.2 0 0.2 0.4

1

0.5

0

0.5

1

t [s]

x (t) = u(t+ t

2

)+ u

(t t

2

)

0.4 0.2 0 0.2 0.4

1

0.5

0

0.5

1

t [s]

1

t

t

u( + t

2

) d

0.4 0.2 0 0.2 0.4

1

0.5

0

0.5

1

t [s]

1

t

t

u

( t

2

) d

0.4 0.2 0 0.2 0.4

1

0.5

0

0.5

1

t [s]

y(t) = 1t

t

x () d

Fig. 2.3 En traitill lintgrale sans prise en compte du facteur 1t.

Corrigdes

exercices,

v1.16

56MEE\co_

ts.tex\19

mai

2006


y(t) correspond, un facteur 1t

prs, lintgrale de x(t) (figure 2.1.2) :

y(t) =1

t t

x() d

Connaissant la proprit de la TF t

x() d 1j 2 pi f X(j f) +

1

2X(0) (f)

avec X(0) = + x(t) dt, lon peut ainsi crire :

Y (j f) = F{y(t)}

=1

t

1j 2 pi f X(j f) +

1

2

R+ x(t)dt=0 X(0) (f)

=

1

t 1j 2 pi f X(j f)

=1

t 1j 2 pi f A t sinc(f t) 2 j sin (pi f t)

= A t sinc(f t) sin (pi f t)pi f t

= A t sinc2(pi f t)Application numrique :

Y (j f) = A t sinc2(pi f t)= 1 200 [ms] sinc2(pi f 200 [ms])

2.1.3 Exercice TF 3

Partant de la TF dune impulsion et dun saut unit, trouvez celle de z(t) (figure2.2). Est-il possible de trouver Z(j f) partir de Y (j f) ? Vous pouvez vrifiervotre rsultat en calculant Z(j f = 0) qui doit tre gal t

2.

Corrig1. z(t) correspond la somme (figure 2.4 ) de

(a) lintgrale dune impulsion rectangulaire v(t) de largeur t, retardede t

2et damplitude 1

t:

(b) et dun saut unit (t)



t

0.4 0.2 0 0.2 0.4

5

4

3

2

1

0

1

t [s]

v (t)

0.4 0.2 0 0.2 0.4

1

0.5

0

0.5

1

t [s]

t

v () d

0.4 0.2 0 0.2 0.4

1

0.5

0

0.5

1

t [s]

(t)

0.4 0.2 0 0.2 0.4

1

0.5

0

0.5

1

t [s]

z (t) =

t

v () d + (t)

Fig. 2.4



z(t) =

t

v() d + (t)Do :Z(j f) = F{z(t)}

Z(j f) = F{ t

v(t) dt

}+ F{(t)}

=1

j 2 pi f V (j f) +1

2

R+ v(t)dt=1

V (0) (f) + 1j 2 pif +

1

2 (f)

=1

j 2 pi f 1

t t sinc(f t) ej2pif t

2 +12 (f) + 1

j 2 pif +1

2 (f)

=1

j 2 pi f [sinc(f t) ejpif t + 1]

2. On voit quey(t) = z(t) + z(t)

Comme y(t) est paire, on sait que ={Y (j f)} = 0. On a :Y (j f) = Z(j f) + Z(j f) = 2 < {Z(j f)}

Si on connat Y (jf), on ne peut dduire que

HEIG

-Vd

Traitem

entdeSignal(TS)

CorrigLa srie de Fourier complexe dun signal carr priodique (figure 2.5) de priode T = 1

f0, de valeur moyenne nulle (pas

doffset) se calcule comme suit :

X (j k) = 1T +T

4

T4

(+A) ej2pikf0t dt+ 1T + 3T

4

T4

(A) ej2pikf0t dt

=A

T( +T

4

T4

ej2pikf0t dt + 3T

4

T4

ej2pikf0t dt)

=A

T( 1j 2 pi k f0

(ej2pikf0

T4 e+j2pikf0T4

) 1j 2 pi k f0

(ej2pikf0

3T4 ej2pikf0T4

))

=A

TT

2 sin

(k pi f0 T2

)k pi f0 T2

1j 2 pi k f0 e

j2pikf0T2 1k

(ej2pikf0

T4 e+j2pikf0T4

)=A

T(T

2 sin

(k pi f0 T2

)k pi f0 T2

(1)k 1j 2 pi k f0

(ej2pikf0

T4 e+j2pikf0T4

))

=A

T(T

2 sin

(k pi f0 T2

)k pi f0 T2

(1)k T2 sin

(k pi f0 T2

)k pi f0 T2

)

=

{0 pour k = 0 et k paire

A sin(kpi2 )

kpi2

= sinc(k pi

2

)pour k impaire

Ce rsultat est reprsent sur la figure 2.6.

Corrigdes

exercices,

v1.16

60MEE\co_

ts.tex\19

mai

2006


4 2 0 2 4

1

0.5

0

0.5

1

t [s]

x(t)

Fig. 2.5

Le signal carr priodique x(t) sexprime partant de sa srie de Fourier com-plexe X(j k) :

x (t) =

k=X (j k) e+j2pikf0t

La transforme de Fourier de x(t) scrit alors, en appliquant la dfinition et entenant compte de la transforme de Fourier dun phaseur :

X(j f) = +

x(t) ej2pif t dt

=

+

k=

X (j k) e+j2pikf0t ej2pif t dt

=

k=

+

X (j k) e+j2pikf0t ej2pif t dt

=

k=X (j k)

+

e+j2pikf0t phaseur

ej2pif t dt

=

k=X (j k) (f k f0)

On obtient donc bel et bien un spectre de raies, reprsentes par des impulsionsde Dirac pondres par X(j k) (figure 2.7).



10 5 0 5 100

0.2

0.4

0.6

f [Hz]

|X(j k)|

10 5 0 5 101

0.5

0

0.5

1

f [Hz]

arg{X(jk)}pi

Fig. 2.6

10 5 0 5 100

0.2

0.4

0.6

f [Hz]

|X(j f)|

10 5 0 5 101

0.5

0

0.5

1

f [Hz]

arg{X(jf)}pi

Fig. 2.7



2.1.5 Exercice TF 5

Considrant le signal x(t) = ea|t|, calculez et esquissez x(t) et X(j f), puisvrifiez les 2 galits suivantes :

X(0) =

+

x(t) dt

x(0) =

+

X(j f) df

Corrig

En prparation.

2.1.6 Exercice TF 6

frquence temps1 la partie relle de X(j f) est

nulle2 la partie imaginaire de X(j f)

est nulle3 il existe un dcalage t0 tel que

ej2pif t0 X(j f)

est rel4 X(j f) est continu

1. Considrant les quatre proprits frquentielles du tableau ci-dessus, expri-mez leur quivalent temporel dans la colonne de droite.

2. Pour chacun des signaux temporels de la figure 2.8, quelles sont les propri-ts du tableau qui sy appliquent ?

3. Construisez un signal qui ne possde aucune des quatre proprits mention-nes dans le tableau.

Corrig

En prparation.



6 4 2 0 2 4 61

0.5

0

0.5

1 (a)

6 4 2 0 2 4 60

0.5

1 (b)

6 4 2 0 2 4 61

0.5

0

0.5

1 (c)

6 4 2 0 2 4 61

0.5

0

0.5

1 (d)

6 4 2 0 2 4 60

0.5

1 (e)

6 4 2 0 2 4 61

0.5

0

0.5

1 (f)




5.2 1 0 1 2 3 4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x(t

)

temps [msec]


2.1.7 Exercice TF 7

Soit X(j f) la transforme de Fourier du signal x(t) de la figure 2.9. Sans calculerexplicitement X(j f), recherchez :

1. la densit spectrale de phase de X(j f) ;2. la valeur de X(f = 0) ;3. la valeur de

+ X(j f) df ;

4. la valeur de + |X(j f)|2 df .

CorrigEn prparation.

2.1.8 Exercice TF 8

Connaissant la TF dune sinusode amortie x(t) = A eat sin(2 pi f0 t) (t) :1. calculez la transforme de Fourier dune sinusode dmarrant linstant

zro :y(t) = A sin(2 pi f0 t) (t)

2. esquissez les spectres X(j f), Y (j f) et celui dune sinusode permanente ;3. discutez les diffrences existant entre ces trois spectres.




2.1.9 Exercice TF 9

On applique une exponentielle dcroissante u1(t) = U0eat(t), damortissementa = 100 [s1] un filtre passe-bas de constante de temps = 1 [ms] ;

1. calculez la TF U2(j f) de la tension de sortie u2(t) du filtre ;2. utilisez le tableau des transformes pour dduire lexpression temporelle de

u2(t).

Corrig1. La fonction de transfert du filtre, exprime dans le domaine frquentiel, est :

H(j f) = U2(j f)U1(j f) =

1

1 + j 2 pi f On a donc, en tenant compte du fait que la transforme de Fourier de u1(t)a t calcule au 2.3.1 :

U2(j f) = H(j f) U1(j f)=

1

1 + j 2 pi f U1(j f)

=1

1 + j 2 pi f U0 1

a+ j 2 pi f=U0 11+ j 2 pi f

1

a+ j 2 pi f

2. La transforme de Fourier inverse fournit directement u2(t) (annexe 2.A) :

u2(t) =U0 1a 1

(e

t eat

) (t)

=U0

a 1 (e

t eat

) (t)

=U0

1 a (eat e t

) (t)

2.1.10 Exercice TF 10

Soit un message m(t) = A cos(2 pi f1 t) modul en amplitude par une porteusesinusodale p(t) = sin(2 pi f0 t) :



1. calculez la TF du signal modul x(t) = m(t) p(t) = A sin(2 pi f0 t) cos(2 pi f1 t) ;

2. esquissez le spectre du signal modul |X(j f)| si f1 = 10 [kHz] et f0 =800 [kHz] ;

3. idem que le point 2) lorsque le signal m(t) possde un spectre continu|M(j f)| triangulaire et non-nul entre 2 [kHz] et 10 [kHz].



Soit le signal :

u(t) =

{U0 cos(2 pi f0 t) si |t| t0

0 si |t| > t01. esquissez u(t) ;2. calculez sa TF U(j f) ;3. esquissez |U(j f)| pour U0 = 1 [V] T = 1f0 = 1 [ms] t0 = 10 [ms].

Ce signal correspond lobservation dune fonction sinusodale pendant une durefinie 2 t0. On remarquera, une fois le calcul effectu, que lanalyse spectrale dunesinusode pendant une dure finie revient remplacer les raies spectrales situesen f = f0 par la fonction sinus cardinal.

CorrigOn sait que1.2. On peut exprimer u(t) comme

u(t) = rect (t, 2 t)U0cos(2pif0t) = rect (t, 2 t)U0ej2pif0t + ej2pif0t

2

o la fonction rect (t,t) est dfinie comme suit :

rect (t,t) ={

0 si |t| > t2

1 si |t| t2

Sa TF est (2.2.1)t sinc (pi f t)



Sachant que (2.1.4, proprit de modulation)

x(t) e+j2pif0t X (j (f f0))

on peut crire :

U(j ) = U0 2 t sinc (pi t (f f0))+U0 2 t sinc (pi t (f + f0))

3.


Soit la fonction :

u(t) =

{12 [1 cos(2 pi f0 t)] si |t| T2

0 si |t| > T2

1. esquissez u(t) ;2. calculez sa TF U(j f) ;3. esquissez U(j f) et la TF dune impulsion rectangulaire de mme dure ;4. observez les diffrences.



Connaissant la transforme E(j f) dun saut unit (t), calculez la transformeS(j f) de la fonction signe s(t).



Montrez quun produit simple dans lespace des frquences correspond un pro-duit de convolution dans lespace temps :

Y (j f) = X(j f) H(j f) y(t) = x(t) h(t) = +

x() h(t ) d



Pour dmontrer ce rsultat important et bien connu, vous pouvez dabord expri-mer la TFI de Y (j f) :

y(t) =

+

Y (j f) e+j2pif t df = +

H(j f) X(j f) e+j2pif t df

puis y introduire la TF de x(t) :

X(j f) = +

x() ej2pif d

Corrig

En prparation.


Considrant la rponse dun filtre h(t) dont le spectre est le suivant :

H(j f) ={

1 si |f | 100 [Hz]0 sinon

1. esquissez H(j f) ;2. calculez, puis esquissez h(t) ;

3. ce signal correspond la rponse impulsionnelle du filtre dcrit par H(j f);ce filtre est-il ralisable ? Justifier la rponse.

Indication Le calcul de la transforme de Fourier inverse (TFI) peut se faireen appliquant la dfinition telle quelle ; mais il est immdiat si lon se souvientque

F {x(t)} = X(j f) F1 {x(j f)} = X(t)

Corrig

1. H(j f) est une fentre frquentielle rectangulaire de hauteur 1 et de largeur2 fc = 2 100 [Hz] (figure 2.10). On peut donc crire :

H(j f) = (f + fc) (f fc)



2 fcA

300 200 100 0 100 200 3000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f [Hz]

|X(j f)|

Fig. 2.10 (fichier source)

A 2 fc

1

2fc

0.03 0.02 0.01 0 0.01 0.02 0.03100

0

100

200

t [s]

x(t)


2. La TFI de H(j f) est, en tenant compte de la proprit de symtrie de latransforme de Fourier

F {x(t)} = X(j f) F1 {x(j f)} = X(t)h(t) = A 2 fc sinc (pi t 2 fc)

= 200 [Hz] sinc (pi 200 [Hz] t)Cest un sinus cardinal (sinc) en fonction de t (figure 2.11).

3. h(t) est la rponse impulsionnelle du filtre, i.e. la rponse une impulsionde Dirac (t) ; celle-ci intervenant en t = 0 [s], on voit (figure 2.11) que larponse h(t) existe pour t < 0 [s]. Le systme "filtre passe-base idal" estdonc non causal et par suite irralisable.


Considrant un signal u(t) dont le spectre est le suivant :

U(j f) ={

1 si 100 [Hz] |f | 200 [Hz]0 sinon



1. esquisser U(j f) ;2. calculer puis esquissez u(t) ;

3. que vaut sa puissance ?

Corrig

1.

2. En profitant de la proprit de symtrie

F {x(t)} = X(j f) F1 {x(j f)} = X(t)

et en expimant X(j f) sous la forme de 2 impulsions dcales dans ledomaine des frquences,

X(j f) = rectf + f0

150 [Hz]

, f100 [Hz]

+ rect (f f0,f)on a :

x(t) = f sinc(pi f (t)) ej2pif0t +f sinc(pi f (t)) e+j2pif0t= 2 f sinc(pi f t) cos (2 pi f0 t)

3. La puissance de x(t) est avantageusement calcule dans lespace des fr-quences :

Wx =

+

Sx(f) df

=

+|X(j f)|2 df

= 1 f + 1 f= 2 f


Utiliser la transformation de Fourier pour trouver le courant circulant dans uncircuit RC srie sachant que le signal appliqu est un saut de tension damplitudeE.



Corrig

Le circuit est dcrit par lquation diffrentielle (conditions initiales nulles) :

u(t) = R i(t) + 1C t

i() d

La transforme de Fourier des 2 membres de cette quation diffrentielle donne :

U(j f) = R I(j f) + 1C(

1

j 2 pi f I(j f) +1

2 (f) I(0)

)

= R I(j f) + 1C

I(j f) +

0f 1

2 (f) I(0) j 2 pi fj 2 pi f

= R I(j f) + 1

C I(j f)j 2 pi f

=

(R +

1

C 1j 2 pi f

) I(j f)

=j 2 pi f R C + 1

j 2 pi f C I(j f)

On en dduit :

I(j f) = j 2 pi f C1 + j 2 pi f R C U(j f)

=j 2 pi f

1 + j 2 pi f R C (

1

j 2 pi f E +1

2 (f) E

)

=C

1 + j 2 pi f R C

j 2 pi fj 2 pi f E + j 2 pi f

1

2 (f) E

0

=

C

1 + j 2 pi f R C E

De faon tre compatible avec les formes de prsentation des transformes deFourier utilises dans la tables, on sarrange pour que les coefficients des plushaute puissance de j (ici 1 au dnominateur, 0 au numrateur) soient uni-



taires :

I(j f) =CRC

j 2 pi f + 1RC E

=1R

j 2 pi f + 1RC E

=1

R 1j 2 pi f + 1

RC E

En se rfrant lannexe 2A, on a, avec a = 1RC :

i(t) = F1 {I(j f)} = ER e 1RC t (t)


On applique une fonction signe u1(t) damplitude E un filtre RC passe-bas.

1. utilisez la transformation de Fourier pour trouver la tension de sortie ;

2. esquissez u1(t) et u2(t).

Corrig

En prparation.


On applique une exponentielle symtrique u1(t) = U0 ea|t| un filtre passe-basde constante de temps .

1. avant de vous lancer dans les calculs, esquissez u1(t) et imaginez ce quepeut tre u2(t) ;

2. calculez la tension de sortie du filtre.

La marche suivre est la mme que celle utilise avec la transformation de La-place : dcomposition en somme de fractions simples puis recherche des coeffi-cients par identification avec des transformes connues.

Corrig

En prparation.




On applique une exponentielle dcroissante u1(t) = U0 eat (t) un filtrepasse-bas idal de frquence de coupure fc.

1. exprimez U1(j f) et U2(j f) ; esquissez leur module ;2. en admettant U0 = 10 [V] et a = 1000 [s1], calculez les nergies E1 et E2

des signaux dentre et de sortie lorsque :

(a) fc = 1 [kHz](b) fc = a2pi

Corrig

En prparation.


On applique un filtre passe-bas de constante de temps = 1 [ms] un signal u1(t)dont le spectre est dfini par :

U1(j f) ={

1[ VHz

]si 100 [Hz]


1. esquissez u1(t) et u2(t) ;2. calculez les nergies contenues dans les signaux dentre et de sortie.1



On applique une impulsion de Dirac (t) un filtre passe-bande dont la fonctionde transfert vaut :

H(j f) = D0 jff0

1 +D0 jff0 +(jff0

)2 D0 = 1Q01. esquissez les spectres des signaux dentre et de sortie ;2. exprimez lnergie du signal de sortie contenue dans la bande passante f

sachant que :

f0 =1

2 pi LC = 1 [kHz] D0 =1

Q0= 0.1

fi,s =f

2[1 +

1 + 4 Q20

]f = f0 D0



Considrant le spectre X(j f) de la figure 2.12 constitu dun sinus cardinaldamplitude X(0) = 2 103 et de 2 impulsions de Dirac de surface 1

2, trouvez

puis esquissez le signal x(t) correspondant.1Si le calcul de lintgrale dfinie ncessaire pour obtenir lnergie vous parat trop difficile,

essayez la dmarche suivante :

(a) esquissez la fonction intgrer ;(b) estimez des limites raisonnables pour la valeur de lnergie ;(c) laide dun petit programme (une douzaine de lignes), intgrez numriquement la densit

spectrale dnergie. Si le nombre de pas est suffisant, le rsultat obtenu sera tout faitsatisfaisant.



4 3 2 1 0 1 2 3 45

0

5

10

15

20 x 104

frquence [kHz]

X(jf)

1/21/2




A partir du signal x(t) = eat (t), trouvez le spectre de y(t) = sgn(t).


2.1.26 Exercice Corr 1

Considrant le signal x(t) dfini comme suit :

x(t) =

A si t < t < 00 si t = 0

+A si 0 < t < t0 si |t| t

on demande :1. esquissez x(t)2. calculez sa fonction dautocorrlation pour les valeurs particulires suivantes

= 0 = t = 2 t3. esquissez la fonction rxx() < < +.



Corrig

1. Lesquisse de x(t) est prsent la figure 2.13(a).2. Pour = 0 [s], la fonction dautocorrlation est

rxx(0) = Wx =

+

x(t) x(t) dt = +

x2(t) dt

On a :rxx(0) = 2 A2 t

Pour = t, la situation est dcrite sur la figure 2.13(b), avec en grisla surface dfinie par le produit x(t) x(t+ ). Comme, par dfinition, lafonction dautocorrlation est lintgrale de ce produit, i.e.

rxx() =

+

x(t) x(t+ ) dt

on a :rxx(t) = A2 t

Pour = 2 t, la situation est dcrite sur la figure 2.13(c). On a claire-ment :

rxx(2 t) = 03. Comme les surfaces dfinies par le produit x(t)x(t+) voluent linairement

avec et que lon dispose des valeurs de rx() pour = 0 [s], = t et = 2 t, on peut facilement esquisser rx() (figure 2.14).



tt

+A

A

1 0.5 0 0.5 1

4

2

0

2

4

t [s]

x(t)

(a) x(t)

tt

A

1 0.5 0 0.5 1

4

2

0

2

4

t [s]

x(t), x(t + )

(b) = t

tt

A

1 0.5 0 0.5 1

4

2

0

2

4

t [s]

x(t), x(t + )

(c) = 2 t

tt

A

1 0.5 0 0.5 1

4

2

0

2

4

t [s]

x(t), x(t + )

(d) = 0.33 [s]

Fig. 2.13 (a) : signal x(t).(b) : dcalage de = t. (c) : dcalage de = 2 t.(d) : dcalage de = 0.33 [s] (fichier source).



1 0.5 0 0.5 1

2

1

0

1

2

t [s]

x(t)

A2t A2 t

2 A2 t

t +t

1 0.5 0 0.5 12

1

0

1

2

3

[s]

rx()




2.1.27 Exercice Corr 2

Considrant les 3 signaux suivants : x(t) = une exponentielle dcroissante damplitude A et de constante detemps 1

y(t) = une impulsion rectangulaire centre en t = 0, damplitude A et delargeur t

z(t) = une impulsion triangulaire centre en t = 0, damplitude A et debase 2 t

on demande :1. esquissez ces 3 signaux ;2. calculez des valeurs particulires de leur fonction dautocorrlation ;3. calculez leur fonction dautocorrlation pour compris entre + et ;4. esquissez ces fonctions.

Remarque Le calcul de la troisime fonction nest pas simple ; sans entrer dansle dtail des calculs, imaginez comment vous devriez vous y prendre pour le faire.




Chapitre 3

Echantillonnage des signauxanalogiques


3.1.1 Exercice ECH 1

Considrant un signal dont le spectre est reprsent la figure 3.1, dterminezla frquence dchantillonnage minimum pour quil ny ait pas de recouvrementspectral. Admettant fe = 16 [kHz],

1. dessinez le spectre du signal chantillonn pour f compris entre 16 [kHz] ;2. que faut-il faire pour viter le recouvrement spectral ?

3. dessinez le nouveau spectre ; quel en est lavantage ?

Corrig

On constate que le spectre propos est born par fmax = 10 [kHz] ; la frquencedchantillonnage devrait donc tre suprieure 2 fmax = 20 [kHz].

1. Cependant, comme on propose fe = 16 [kHz], il y aura invitablement durecouvrement spectral pour f > fe fmax = 6 [kHz].

2. En filtrant analogiquement le signal temporel avant de lchantillonner, onpourra supprimer les frquences suprieures fN = fe2 = 8 [kHz] et viterainsi tout recouvrement jusqu la frquence de Nyquist fN .

3. On a ainsi gagn 2 [kHz] de bande passante non perturbe par le recouvre-ment spectral.



20 15 10 5 0 5 10 15 20

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

f [kHz]

X(jf)

[V/H

z]

f_xechant1_1.eps

Fig. 3.1 Exercice 1 (fichier source).


On chantillonne un signal xa(t) = cos(2 pi 1000 t) ;1. esquissez xa(t) sur 3 priodes T au moins puis chantillonnez xa(t) avec

(a) Te = T4 ;(b) Te = T2 ;(c) Te = 3 T4 ;

2. esquissez Xa(j f) ;3. esquissez les 3 spectres Xe(j f) correspondant aux 3 chantillonnages ;

analysez et commentez.



On considre une SIR damplitude A = 10 [V], de priode T0 = 1 [ms] et delargeur t = T0

4que lon chantillonne avec Te = T020 ;

1. esquissez x(t) et xe(t) ;2. esquissez X(j f) et Xe(j f) ;3. que valent X(j f) et Xe(j f) pour f = 3 [kHz] ?

Rp. : Xe(+j 3) = X(+j 3) +X(j 17) +X(+j 23)



Corrig

1. En prparation.

2. La densit spectrale damplitude dune SIR a t calcule au chap.1 :


k pi f0 tComme les raies spectrales des sries de Fourier complexes X(j k) de-viennent des impulsions de Dirac lorsque lon passe la transforme deFourier (cf.ex.TF4), on a pour X(j f) :

X (j f) =+

k=A t

T sin (k pi f0 t)

k pi f0 t (f k f0)

Par suite de lchantillonnage, cette densit spectrale va se rpter et accu-muler tous les fe, i.e. dans le cas particulier tous les fe = 20 f0 = 20 [kHz].

Xe (j f) =+

m=X(j (f m fe)) (3.1)

Comme X(j f) nest pas bande limite, il y aura recouvrement spectral,i.e. on retrouvera dans la bande de base fe

2. . . + fe

2= 10 [kHz] . . . +

10 [kHz] des raies spectrales correspondant des frquences du spectre ori-ginal X(j f) suprieures fe

2= 10 [kHz].

3. Pour la raie spectrale de Xe(j f) situe f = 3 [kHz], on aura : La raie originale de X(j f), correspondant m = 0 et k = 3 danslexpression (3.1) ci-dessus ;

La raie de Xe(j f), correspondant m = 1 et k = 17 de (3.1) ; La raie de Xe(j f), correspondant m = 1 et k = +23 de (3.1) ;On aura donc, en ngligeant le recouvrement pour |m| > 1 :

Xe(j 3 [kHz]) = X(j 3 [kHz]) +X(j 17 [kHz]) +X(+j 23 [kHz])


Soit un signal en dents de scie damplitude A = 5 [V], de priode T0 = 1 [ms] quelon chantillonne avec la frquence fe = 8 [kHz] ;

1. esquissez x(t) et xe(t) ;

2. sachant que X(j k) = (1)k+1 Ajkpi , esquissez X(j f) et Xe(j f) ;

3. que valent X(j f) et Xe(j f) pour f = 1 [kHz] ?



Corrig

En prparation.


Considrant le signal analogique

xa(t) = 2cos(100pit)+5sin(250 pi t+ pi

6

)4cos(380pit)+16sin

(600 pi t+ pi

4

)1. quelle valeur minimum faut-il choisir pour fe si lon veut respecter le tho-

rme dchantillonnage ?

2. soit fe = 3 fe min, esquissez les spectres damplitudes et de phases du signalxe(t).

Corrig

1. Ce signal comporte quatre composantes spectrales situes en f = 50, 125, 190, 300 [Hz].La frquence dchantillonnage devra donc valoir au moins 2fmax = 600 [Hz].

2. En choisissant fe = 3 fe,min = 1800 [Hz], il ny aura pas de recouvrementspectral. Dans la bande de base, il ny aura donc pas dautres raies spectralesque celles donnes au point 1.


Un signal analogique

xa(t) = cos(2 pi 240 t) + 3 cos(2 pi 540 t+ pi

6

)est chantillonn raison de 600 chantillons par seconde.

1. que vaut la frquence de Nyquist fN = fe2 ?

2. si elles existent, que valent les frquences replies fr ?

3. si x[n] est restitu laide dun convertisseur NA suivi dun filtre passe-basidal tel que fc = fe2 , que vaut le signal reconstruit ya(t) ?

Corrig

1. Comme lon a fe = 600 [Hz], la frquence de Nyquist vaut fN = fe2 =300 [Hz]. On constate que le thorme dchantillonnage nest pas respectet quil y aura du recouvrement spectral.



2. Les frquences replies vaudront fr = fe fmax = 600 540 = 60 [Hz]dans la bande de base. Le cosinus de frquence 540 [Hz] sera donc perucomme un cosinus de frquence 60 [Hz].

3. Le signal reconstruit et suivi dun filtre passe-bas idal vaudra donc

ya(t) = cos(2 pi 240 t) + 3 cos(2 pi 60 t pi

6

)Le changement de signe de la phase provient du fait que la composante+60 [Hz] est due la raie 540 [Hz] dont la phase vaut pi

6.


Considrant quun signal est chantillonn 40 [kHz] et numris avec 16 bits,quelle est la dure denregistrement que lon peut stocker dans 1 Moct ?



Un filtre numrique est constitu des lments suivants : un convertisseur AN 12 bits avec un temps de conversion de 5 [s], un processeur DSP de 16 bits avec un cycle dhorloge de 50 [ns], un convertisseur NA 12 bits avec un temps dtablissement de 0.5 [s].

Calculez la bande passante maximum que peut traiter ce filtre sachant que pourchaque valeur chantillonne le DSP calcule le signal de sortie avec lquationsuivante :

y[n] =19

m=0

h[m] x[nm]

en effectuant une multiplication et une addition en un seul cycle dhorloge.

Corrig


Un signal sinusodal damplitude 6 [V] est numris laide dun convertisseur16 bits. Sachant que celui-ci travaille entre 10 [V] et quil est entch dunenon-linarit de 1

2LSB, calculez :

1. sa rsolution et son pas de quantification ;2. les valeurs efficaces du signal et du bruit de quantification ;3. le rapport signal sur bruit du signal numris.





On chantillonne un signal sinusodal damplitude 5 [V] avec un CAN 16 [bit]10 [V] en-tch dune de non-linarit de 1

2LSB. Est-il possible de garantir un SNR dau

moins 90 [dB] ?



On chantillonne un signal analogique

x(t) = 4 cos(2 pi 300 t) + 2 cos(2 pi 900 t) [V]avec un convertisseur AN 16 bits travaillant entre + et 5 [V] qui possde une nonlinarit de 1

2LSB. Les valeurs numriques du CAN sont transmises travers

une ligne dont le dbit est de 104[oct

s

]. On demande :

1. y a-t-il repliement spectral ?2. que valent la rsolution et le pas de quantification du convertisseur ?3. que vaut la puissance du signal x(t) ? quelle est sa valeur efficace ?4. que vaut le rapport signal sur bruit de conversion AN?



On utilise un filtre analogique passe-bas de Butterworth dordre 6 et de frquencede coupure 4 [kHz] comme filtre antirepliement. Considrant que le signal chan-tillonn est perturb par une composante spectrale damplitude A = 5 [V] et defrquence f0 = 8 [kHz], on demande :

1. quelle frquence dchantillonnage chosissez-vous pour que le repliement dela perturbation se fasse en f fc ?

2. quelle sera lamplitude Ar du signal repli en f = fc ?





On utilise un filtre analogique passe-bas de Butterworth dordre 3 (sa frquencede coupure fc est fixe par lapplication) comme filtre antirepliement en amontdun convertisseur AN 12 bits avec 1

2LSB de non linarit.

1. quelle est la rsolution du convertisseur comprenant la quantification et lanon-linarit ;

2. esquissez la rponse frquentielle du filtre et celle cause par le repliementspectral ;

3. calculez la frquence dchantillonnage ncessaire pour que laffaiblissementdu repliement spectral en f = fc soit infrieur la rsolution du convertis-seur.Rp. : fe = 13.7 fc



Un signal x(t) sinusodal damplitude A = 10 [V] de frquence f = 1 [kHz] estchantillonn trs rapidement ( 1 [MHz], par exemple) laide dun convertisseuranalogique-numrique 4 bits travaillant entre + et 10 [V].

1. esquissez les signaux x(t), xe[n], xq(t) ;2. esquissez lerreur de quantification e(t) ;3. quelle est la valeur efficace de ce bruit de quantification ?4. que vaut le SNR?

Corrig1. Voir figure 3.2 page suivante2. Voir figure 3.2 page suivante3. Selon le cours, la puissance du bruit de quantication est donne par :

PQ =Q2

12



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1x 103

10

5

0

5

10

temps

Ampl

itude

Quantification dun signal analogiqueoriginalcodageBruit

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1x 103

1

0.5

0

0.5

1

temps

Ampl

itude

Quantification dun signal analogique. Qeff=0.34541[V]

Bruit

f_ex_ECH_14_3.eps




La valeur efficace du bruit est par dfinition :

Qeff =PQ =

Q12

En tenant compte des valeurs numrique, on a :

Qeff =Q12

=Umax2n112

=10 [V]24112

= 0.3608

A noter que si lon calcule effectivement la puissance de e(t) puis sa va-leur efficace sur la base de ses valeurs numriques successives telles quellesapparaissent sur la figure 3.2 page ci-contre par la formule

Px =1

T t0+Tt0

x2(t) dt Px 1NN1n=0

x2[n]

on obtient PQ = 0.1193 et donc

Qeff =PQ = 0.3454

qui est trs proche de la valeur calcule plus haut.4. Le rapport signal-sur-bruit (SNR) se calcule comme suit :

SNR =XeffQeff

=

10 [V]2

0.3608 [V]= 18.56

= 25.37 [dB]


On remplace le signal sinusodal de lexercice prcdent par un signal triangulairede mmes amplitude et frquence. Quest ce qui change ?





On dit quun signal ne peut pas avoir simultanment une dure temporelle finieet une bande passante frquentielle finie. Jusitifiez cette affirmation au travers dequelques exemples bien connus. Du point de vue de lchantillonnage, quest-ceque cela implique ?

Corrig

En prparation.


Considrant une exponentielle dcroissante x(t) = eat(t) que lon chantillonneavec une frquence fe, montrez que le spectre du signal chantillonn vaut :

Xe(j f) = 1a+ j 2 pi f +

+k=1

2 (a+ j 2 pi f)(a+ j 2 pi f)2 + (2 pi k fe)2

Corrig

La densit spectrale damplitude de x(t) = eat (t) vaut (chap.2) :

X(j f) = 1a+ j 2 pif

Lchantillonnage avec une frquence fe conduit la recopie de ce spectre en tousles multiples de m fe de fe. On a donc :

Xe(j f) =+

m=

1

a+ j 2 pi (f m fe)

=1

m=

1

a+ j 2 pi (f m fe) +1

a+ j 2 pif ++

m=+1

1

a+ j 2 pi (f m fe)

Considrant deux termes symtriques (m < 0 et m > 0) de chaque som

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