MODULE P243:CALCUL DES STRUCTURES II Notes de cours Bton Arm Sommaire 2 Chapitre1:Formulaire des poutres.....................................................................................................4 Chapitre 2: Caractristiques gomtriques des sections....................................................................13 Chapitre 3: Contraintes dans une poutre section htrogne.........................................................17 Chapitre 4: Rglements de calcul du bton arm ...............................................................................35 Chapitre 5: Bton et Aciers: caractristiques rglementaires ...........................................................53 Chapitre 6: Etat limite ultime de rsistance (ELUR) .........................................................................60 Chapitre 7: Section rectangulaire l'ELUR en flexion simple..........................................................73 Chapitre 8: Section en forme de "T" l'ELUR en flexion simple ....................................................85 Chapitre 9: Section rectangulaire l'ELUR en flexion compose ....................................................90 Chapitre 10: Etat limite ultime de rsistance l'effort tranchant ......................................................104 Chapitre 11: Adhrence entre une armature et le bton......................................................................114 3 Chapitre 12: Etat limite ultime de poinconnement des dalles .............................................................126 Chapitre 13: Etat limite de service.........................................................................................................128 Chapitre 14: Dispositions rglementaires de ferraillage ......................................................................144 Chapitre 15: Calcul des panneaux de dalles rectangulaires sous chargement modr.....................149 Chapitre 16: L'ELS vis vis des dformations.....................................................................................153 CHAPITRE 1: 4 Formulaire des poutres 1. But Rappelerdanslecasdespoutresdroitesaplanmoyenetchargeesdansceplan(casdela Ilexion plane) les Iormules permettant de calculer directement en Ionction du cas de charge et des conditions aux limites: - les actions aux appuis; - l'eIIort tranchant; - le moment de Ilexion; EnparticulieronrappelleraaussilesvaleursmaximalesdeceseIIortsquiiouentunrle primordial dans le probleme de dimensionnent. 2. Notations et conventions Lesnotationsetconventionsutiliseessontextrmementimportantes.CertainesIontmme l'obiet de normes ISO. AFNOR. etc. 2.1 Notations: La liste presentee ci-dessous n'est pas exhaustive. Elle cependantsuIIisamment generale pour couvrir une grand partie des besoins de ce cours de beton arme. Ainsi on notera: A:appui de gauche; B:appui de droite; AB:travee s'appuyant sur les appuis A et B; x x :ligne moyenne continue passant par les centres geometriques des sections le long de la poutre; q:intensite d'une charge uniIormement repartie; P:intensite d'une charge concentree; C. D:points d'application des charges P. Q; a:distance de la charge concentree a l'appui considere; AR . BR :actions des appuis A et B sur la poutre AB; AV. BV:eIIorts tranchants aux appuis A et B; x:abscisse d'une section courante de la poutre ; 5 xM. M:moment de Ilexion dans la section d'abscisse x; 0M:moment de Ilexion maximal en travee; 0x :abscisse ou s'exerce le moment maximal 0M dans la travee AB; xV. V: eIIort tranchant dans la section d'abscisse x; xN. N:eIIort normal dans la section d'abscisse x; xw. w :Ileche de la section d'abscisse x; I:Ileche maximale en valeur absolue; Ix :abscisse ou la Ileche est maximale en valeur absolue; L:portee libre de la poutre; H :moment statique; I:moment d'inertie; 2.2 Conventions de representation: Considerons le croquis suivant (Iigure 1.1) d'une poutre chargee sur appuis simples: Figure 1.1. Ce cas de charge sera schematise de maniere "conventionnel" sous la Iorme de la Iigure 1.2: Poteau 1 Poteau 2 L baxqQ Py xA B D C Q PqbaL xx6 Figure 1.2. 2.2.1 Representation des charges charge uniIormement repartie charge concentree couple concentre 2.2.1 Representation des appuis simple ou libre articulation encastrement poutre continue a plusieurs travees 3. Diagrammes des efforts A B A B A B AAAC A B 7 3.1 Convention de signe des sollicitations Les sollicitations sont les elements de reduction des Iorces exterieures du troncon de gauche. au centre G de la section normale S. Le sens positiI des elements de reduction{ } M . N . Vest indique sur la Iigure 1.3 suivante: Figure 1.3. Remarques: l'eIIort tranchant est compte positivement vers le haut; le moment de Ilexion est compte positivement dans le sens des aiguilles d'une montre; l'eIIort normal est compte positivement vers la droite (la compression est positive). 3.2 Consequences de la convention de signe a)Si0 M : Si0 M : - la Iibre inIerieure est tendue;- La Iibre inIerieure est comprimee; - la Iibre superieure est comprimee;- la Iibre superieure est tendue; - la courbure est positive;- la courbure est negative; - la deIormee est convexe.- la deIormee est concave. b) Iorme de la relation eIIort tranchant/moment de Ilexion: M V N y xdx dx A B 8 dxdMV + = c) Iorme de la loi de comportement elastique en Ilexion: 22dxw dEI M + = I:moment d'inertie de la section; E: module d'elasticite (module d'Young). d) le repere indique le signes de la Ileche et de l'eIIort tranchant. Il n'indique pas le signe du moment de Ilexion. 3.3 disposition des diagrammes des eIIorts a) moment de Ilexion: Par convention le diagramme de M est dispose du cte de la Iibre tendue de la poutre. b) eIIort tranchant: A AR V =et B BR V = . Le diagramme de V est dispose vers le haut si V ~ 0. vers le bas si V 0. 3.4 Exemple de determination des diagrammes ConsideronsunepoutresurappuissimplesetchargeeuniIormementcommelemontrela Iigure1.4.Lapoutreestelastiquedemoduled'YoungEetadmetunmomentd'inertie constant I. A B qL 9 Figure 1.4. La determination des diagrammes des eIIorts internes suit les etapes suivantes: Etape 1:calcul des reactions 2qLR RB A= = Etape 2:calcul du moment de Ilexion 0 ) x L ( x2q) x ( M Mx = = x Etape 3:calcul de l'eIIort tranchant ) x 2 L (2qdxdMVxx = = Etape 4:diagrammes des eIIorts - moment de Ilexion 8qLM20=2Lx0= - eIIort tranchant L AB 10 2qLR VA A= =2qLR VB B = = Etape 5:Ileche ( )222x LxEI 2qEIMdxw d = =( ) x L Lx 2 xEI 24q) x ( w3 3 4 + =0 ) L ( w ) 0 ( w = = EI 384L q 5) 2 / L ( w I4= = 4. Formulaire des poutres 4.1 Poutre sur deux appuis simples et poutre encastree a chaque extremite cI. page 11 4.2 Poutre encastree a une extremite et libre a l'autre et poutre en console cI. page 12 L AB 11 12 CHAPITRE 2: 13 Caractristiques gomtriques des sections 1. But Determinerlescaracteristiquesgeometriquesquiinterviennentdansl'etudedel'equilibre d'une section sous l'eIIet des sollicitations. 2. Moment statique il sert a trouver le centre de gravite (cdg.) d'une surIace donnee S par rapport a un axe situe dans son plan; la Iibre moyenne d'une section est l'axeGZ passant par le centre de gravite G. 2.1 DeIinition Le moment statique (unite 3cm) d'une surIace plane par rapport a un axe passant dans son plan est egal au produit de l'aire de cette surIace par la distance de son centre de gravite (ou centre geometrique de la surIace) a l'axe considere. Iigure 2.1. On a donc G Oyy . S H =G Ozz . S H = Figure 2.1. Si Oz passe par le cdg..0 HOz= . 2.2 Principe de calcul du cdg. pour une section homogene O GzGyOy Oz GY GZ S G 14 ConsideronslasectionenIormede"I"representeesurlaIigure2.2.Cettesectionpeuttre decomposee selon le tableau ci-dessous Figure 2.2. Aire elementaired(G.Oz)Produit 1A 1y 1 1 1y A H =2A 2y2 2 2y A H =3A 3y 3 3 3y A H = On a: = == = =31 ii i G31 ii Ozy A y S H H D'ou 3 2 13 2 1GA A AH H Hy+ ++ +=3. Moment quadratique (ou d'inertie) 3A 2A 1A 3y 2y1y Y z O 15 3.1 DeIinition Le moment quadratique d'un element de surIace plane par rapport a un axe Oz. situe dans son plan. est egal au produit de l'aire de cet element dS par le carre de sa distance a l'axe considere Oz. Le moment quadratique de la surIace plane S par rapport a un axe Oz. situe dans son plan. est =maxminyy2OzdS y I(en 4cm) 3.2 Moment d'inertie d'une surIace rectangulaire par rapport a sa base 3h bdS y I3 h02Oz= = 3.3 Theoreme de Huyghens Si Oz // Gz et si) Oz . G ( d yG= : 2G GZ Ozy S I I + = GzIest appele moment d'inertie propre. Il est minimal pour une direction donnee. Cette relation est souvent utilisee dans le sens suivant dy y h b Y Z O z G 16 2G Oz GZy S I I = Elle montre en particulier dans le cas du rectangle que: 12h bI3Gz= 4. Rayon de giration Par deIinition le rayon de giration est: SIrz ' zz ' z= 5. Tableau des caractristiques des sections courantes Forme de la sectionAireCentre de graviteMoment quadratique h b S = 2hw v = = 12h bI3GZ= 2bhS = 3h 2v=3hw= 36bhI3Gz= (a partir d'un rectangle) 4DS2= 2Dw v = = 64DI4GZ= CHAPITRE 3: Z w v b Z h G w v b Z h G w v D G 17 Contraintes dans une poutre section htrogne 1. But EtablirlesrelationsentreleseIIortsinternesetlescontraintesdansunepoutrerectilignea plan moyen chargee dans ce plan lorsque sa section est heterogene. 2. Quelques dfinitions Fibre movenne:ligne passant par les centres de gravite geometriques des sections de la poutre; c'est une caracteristique geometrique de la poutre; ligne (O. X) de la Iigure 3.1 Plan de flexion:plan moyen plan de symetrie vertical; c'est une caracteristique geometrique de la poutre plan (O. X. Y) de la Iigure 1 Flexion pure:etat uniIorme de Ilexion d'une poutre. appele aussi Ilexion cylindrique ou N 0. V 0. M est constant Flexion simple:etat de Ilexion sans eIIort normal N 0. M quelconque. V dM/dx Flexion composee:etat de Ilexion en presence de l'eIIort normal N et M quelconques. V dM/dx Fibre neutre:ligne passant par les points ou la deIormation axiale est nulle; c'est une caracteristique mecanique;ligne Iictive dans certains cas de la Ilexion composee Figure 3.1 3. Hypothses simplificatrices OM V N Y Y ZX G0 18 (H0)Petites deIormations et petits deplacements; (Hypotheses des Petites Perturbations HPP) (H1)l'etat de contrainte dans la poutre a la Iorme suivante: 0; seules les Iibres longitudinales sont sollicitees et les contraintes normales suivant les directions transversales sont donc nulles; Les contraintes sont alors planes dans le plan de symetrie de la poutre; (Hypothese de poutre plane a plan moyen chargee dans ce plan) (H2)Chaque section droite reste plane au cours de la deIormation; sa position actuelle se deduit donc de sa position initiale par la somme: - d'une translation de vecteurG G0 de composantes[ ]tY X) 0 . X ( u ) 0 . X ( u . - d'une rotation autour de G d'angleet d'axe Gz. (Hypothese de Navier-Bernoulli) (H3)Chaque section droite reste plane et orthogonale a la Iibre moyenne au cours de la deIormation. C'est un cas particulier de (H2). (Hypothese d'Euler-Bernoulli) Figure 3.2 O Y P P0 uX uY x G G0 X 19 Soit 0P un point quelconque de la section droite de coordonnees (X.Y) dans le reIerentiel Iixe (O. X. Y). Par application de l'hypothese (H2). son transIorme au cours de la deIormation est le point P dont les coordonnees s'obtiennent par + +cos Y usin Y u XPYXPYX0 Mais l'hypothese (H0) entrane: sin .1 cos .x X .y Y . x Xu u =et y Yu u = D'ou + +y uy u xPyxPyx0 avec xu . yuetne dependant que de la seule variable de position x. Il vient alors en utilisant la deIinition du tenseur des petites deIormations ) 0 . x ( ) u (21yy u (x ) u (21) y . x (y ) 0 . x ( y ux) y u () y . x (yxyxx = = += = = = et les autres deIormations sont toutes nulles. On en deduit que les deIormations sont lineaires sur toute section droite de la poutre. La traduction de l'hypothese (H3) qui est un cas particulier de (H2) avec usage de (H0) permet d'ecrire y2yyu) u ( 1utan += 20 Posons:) x ( ) 0 . x (0 = et yu ) x ( = . Les deIormations deviennent 0 ) y . x ( ; ) x ( y ) x ( ) y . x (0= = . ) x (0est la deIormation axiale de la Iibre moyenne et) x ( est la courbure de la deIormee de la Iibre moyenne. Ces deux quantites deIinissent les deIormations generalisees de la poutre aplanmoyenchargeedansceplan.EllessuIIisentpourdecrirecompletementl'etatde deIormation dans une section droite donnee de la poutre. Remarques: L'hypothesed'Euler-Bernoullientraneunglissementidentiquementnuldanstoutesles sectionsdelapoutre.Cettehypothesesemblecontradictoireavecl'hypothese(H1)quielle prevoitunecontraintedecisaillemententrelesIibreslongitudinalesdelapoutre.Cette contradictionn'estbiensrpaspresentelorsqu'onsecontentedel'hypothesedeNavier-Bernoulli. Maisremarquonsl'intertconsiderablequepresentecettehypothesepuisqu'ellepermet d'elimineraprioril'inconnue duprobleme.Parailleurs.commeonleverradanslasuite. l'evaluationdelacontraintedecisaillementpeutseIaireparl'expressiondel'equilibred'un domaine convenablement choiside la poutre. Parconsequent.ilneIaudraitpasmalinterpreterlaconsequencedel'hypothesed'Euler-Bernoulli sur le cisaillement. Il Iaut entendre que cette hypothese montre que la deIormation decisaillementestnegligeablesansIourniraucuneinIormationsurlacontraintede cisaillementquielleestevalueedanscecaspardesconsiderationsd'equilibre.L'usagede l'hypothese plus correcte et moins Iorte qui celle de Navier-Bernoulli ne Iait que compliquer le probleme car elle introduit l'inconnue supplementaire yu . Dansl'expressiondeladeIormationaxiale.lesderiveesdesdeplacementsn'interviennent pasaummeordre.Ledeplacementaxialestderiveaupremierordrealorsquele deplacement transversal est derive au second ordre. Ceci a des consequences importantes sur le comportement de la poutre. le phenomene de Ilambage par exemple est directement lie a ce Iait. 21 4. Reprsentation des dformations dans une section droite de la poutre 4.1 Cas ou0 ) x (0= Dans ce cas le seul parametre mesurant la deIormation de la poutre est la courbure yu ) x ( = . DeuxsituationssepresententselonquelesignedelacourbureestpositiIoubiennegatiI. Danslasuite.onanalyseralaconcavitedeladeIormeedelapoutreetl'etatdesIibres extrmes en Ionction du signe de) x ( au voisinage de x. 0 ) x ( ) x ( y ) x ( = et0 uy - la Iibre superieure ( 0 y ) subit un raccourcissement - la Iibre inIerieure ( 0 y ) subit un allongement - la deIormee est convexe - diagramme des deIormations allongementraccourcissement 0 ) x ( ) x ( y ) x ( = et0 uy - la Iibre superieure ( 0 y ) subit un allongement - la Iibre inIerieure ( 0 y ) subit un raccourcissement - la deIormee est concave - diagramme des deIormations

allongement raccourcissement Attention: le diagramme des deIormations choisi par convention n'est pas le graphe de) x ( en Ionction de y. Section avant deIormation Position actuelle de la G point neutre G point neutreSection avant deIormation Position actuelle de la section 22 4.2 Cas ou0 ) x (0 et0 ) x ( = Dans ce cas le seul parametre mesurant la deIormation de la poutre est la deIormation) x (0 . L'etat de deIormation est uniIorme sur la section. 0 ) x (0 ) x ( ) x (0 = - toutes les Iibres subissent le mme allongement - diagramme des deIormations

allongementraccourcissement 0 ) x (0 ) x ( ) x (0 = - toutes les Iibres subissent le mme raccourcissement - diagramme des deIormations

allongement raccourcissement Section avant deIormation Position actuelle de la section Section avant deIormation Position actuelle de la 23 4.3 Cas ou0 ) x (0 et0 ) x ( LesdiagrammesdedeIormations'obtiennentdanscecasparsuperpositiondesdiagrammes precedents. Il y a huit diagrammes diIIerents suivant les signes de) x (0 .) x ( et leur valeurs relatives. Section entierement allongee 0 ) x (0 et0 ) x ( Section partiellement allongee 0 ) x (0 et0 ) x ( Section entierement allongee 0 ) x (0 et0 ) x ( Section partiellement allongee 0 ) x (0 et0 ) x ( Section entierement raccourcie 0 ) x (0 et0 ) x ( Section partiellement raccourcie 0 ) x (0 et0 ) x ( Section entierement raccourcie 0 ) x (0 et0 ) x ( Section partiellement raccourcie 0 ) x (0 et0 ) x ( 24 Remarques Remarque 1 Danslescas4.1et4.2.ilsuIIitdeconnatreladeIormationaxialed'unpointdelasection pour determiner entierement l'etat de deIormation de toute la section. Par contre. dans le cas 4.3 les deIormations de deux points diIIerents de la section sont necessaires pour caracteriser l'etat de deIormation sur toute la section. Remarque 2 Le point neutre de la section concide avec le centre de gravite de la section dans le cas 4.1 Le point neutre se trouve a l'inIini dans le cas 4.2 Lepointneutreestsoitunpointmaterieldelasection.soitunpointIictiIsetrouvanten dehors de la section dans le cas 4.3. La recherche de la position du point neutre peut alors se Iaire si l'on connat au moins la deIormation d'unpoint de la section par simple application du theoreme de Thales. 5. Contraintes dans une section homogne forme d'un matriau lastique linaire 5.1 Contrainte normale Lacontraintedecompressionestsupposeepositiveparconvention.Laloidecomportements'exprime alors par:) x ( E ) x ( = . D'ou: [ ] ) x ( Ey ) x ( E ) x ( y ) x ( E ) x (0 0 + = = CommeEestsupposeconstant.l'etatdescontraintesestaussilineairesurlasection.SoitS l'airedelasection.eneIIectuantuneintegrationde) x ( .puisde ) x ( y surlasection.on obtient ) x ( ES dS ) x ( Ey dS ) x ( E dS ) x ( ) x ( N0S S0S = + = = ) x ( EI dS ) x ( Ey dS ) x ( Ey dS ) x ( y ) x ( MS2S0S = + = = 25 D'ou EI ) x ( M) x (ES) x ( N) x (0= = Finalement. il vient yI) x ( MS) x ( N) x ( + = La convention sur la representation du diagramme des deIormations permet de choisir une representation similaire du diagramme des contraintes Diagramme des deIormationsDiagramme des contraintes allongementraccourcissement tractioncompression 5.2 Contrainte de cisaillement L'hypothese(H2)impliquel'existenced'unecontraintedecisaillement .Lecalculdecette contrainte par la loi de comportement elastique n'est pas possible dans le cadre de l'hypothese d'Euler-Bernoulli (H3). Celle-ci montre en eIIet que le gauchissement de la section est nul. VularemarquesurlaIacond'interpreterceresultat.cequ'onnegligeenIaitc'estl'eIIetde l'eIIorttranchantsurladeIormeemaispaslasollicitationresultantdel'eIIorttranchant. Comment calculer alorsdans ce cas? On revient aux equations d'equilibre. Remarquons qu'il suIIit de considerer le cas de la Ilexion simple (N 0). 26 Soitunelementdelapoutredelimiteparlessectiondroitess i et 1 1s i .Sousl'actionde 0 M . les contraintes normales s'appliquant sur l'elements s i i1 1 sont celles representees sur la Iigure 3.3. Figure 3.3. Considerons l'equilibre de l'element hachureI I i i1 1 et Iaisons l'hypothese qu'aucune Iorce ne s'exerce sur 1I I . L'equilibre axiale de cet element entrane 0 dy ) y ( b ) y . dx x ( dy ) y ( b ) y . x (0 0ywyw=+ Or yIdM ) x ( M) y . dx x ( yI) x ( M) y . x (+= + = D'ou 0 dyI) y ( b ydM0yw= 0 dM = Mconstant On est donc necessairement en Ilexion pure. L'hypothese d'absence de Iorce s'appliquant sur1I In'est donc valable qu'en absence d'eIIort tranchant. G z yy x I1I s1 s i1i dx MdM M w v 27 Supposonsmaintenantqu'ilyapresenced'unecontraintedecisaillementuniIormesur 1I I . Dans ce cas l'equilibre de l'elementI I i i1 1 s'ecrit: 0 ) y ( b dy ) y ( b ) y . dx x ( dy ) y ( b ) y . x (0ywyw0 0= + D'ou il vient ) y ( b IV ) y ( HdxdM) y ( b Idy ) y ( b y00 Gz0yw0== Formulediteducisaillementou) y ( H0 Gzestlemomentstatiquedel'airehachureepar rapport a l'axeGz . Enappliquantlareciprocitedescontraintesquiexprimesimplementl'equilibrelocaleen rotation.onobtientladistributiondelacontraintedecisaillementsurlasectiondroite.La contrainte exprimeaussibienlecisaillementquis'exerceentrelesdiIIerentescouches voisines de la poutre que celle qui s'exerce au mme point entre les sections droites voisines. Introduisonsmaintenantlanotiondesectionreduiteenremarquantquelacontraintede cisaillement peut aussi s'ecrire sous la Iorme = ) y ( H) y ( b IV0 Gz0 ou le denominateur admet la dimension d'une surIace.Par deIinition cette quantite s'appelle section reduite de cisaillement en 0yet l'on pose =) y ( H S) y ( b IMin k0 Gz0y0 qui s'appelle Iacteur de correction de cisaillement de la section. Ce Iacteur permet de calculer la contrainte tangente maximale s'exercant sur la section. Remarque: La distribution de la contrainte de cisaillement dite aussi contrainte tangente resulte de trois choses: 28 - hypothese de poutre plane a plan moyen chargee dans ce plan; - hypothese sur la deIormation de la poutre (H1) ou (H2); - elasticite lineaire. Il existe des theories plus exactes obtenues par les equations de l'elasticite. Mais elles ne sont valables que dans certains cas particuliers telle qu'une section carree par exemple. On montre dans ce dernier cas que la contrainte de cisaillement maximale exacte est 1.13 Iois plus grande que la contrainte de cisaillement maximale calculee dans le cadre de la theorie de la coupure. 6. Contraintes dans une section htrogne o chaque couche est lastique linaire Danslecadredugeniecivil.onrencontresouventdespoutrescomposeesdeplusieurs couches: poutre bimetallique. poutre sandwich. poutre renIorcee par des armatures. Il est donc tres important de savoir determiner les contraintes dans ce cas plus general que le precedent et desavoircommenthomogeneiserlasectionaIindeconduiredescalculsrapidesqui transcrivent de certaine maniere les Iormules vues pour une section homogene. 6.1 Section multi-couche en Ilexion simple

DeIormationsContraintes Figure 3.4. Consideronsunbi-coucheconstituededeuxphaseselastiqueslineairesethomogenes. Supposonsparexempleque 2 1E E .LediagrammedesdeIormationspasseparlepoint neutre qui sera determiner dans la suite et qui n'a a priori rien a voir avec le centre de gravite geometriquedelasection.LadeIormationestsupposeecontinuesurlasection.cequi 2 G 1 29 impliquequelaconditiond'adherencedoittresatisIaiteauniveaudel'interIaceentreles deuxcouches.ToutglissementrelatiIestdoncecarteparcettehypothese.Lacontrainte normalepresenteunediscontinuiteal'interIace.cettediscontinuiteestequilibreeparune contrainte tangente localisee au niveau de l'interIace qui resulte de l'adherence. LepointneutrepardeIinitionestlepointouladeIormationaxialeestnulle.Ilcorrespond donc au point ou la contrainte axiale est nulle. Exprimons d'abord l'equilibre axiale de la section en utilisant comme origine des ordonnees le centre de gravite geometrique de la section. Il vient alors 0 dS ) y . x ( dS ) y . x (2 1S2S1= + Compte tenu du Iait que y ) x ( E ) x ( E ) y . x (y ) x ( E ) x ( E ) y . x (2 G 221 G 11 + = + = . on obtient 0 dS y ) x ( E ) x ( S E dS y ) x ( E ) x ( S E2 1S2 G 2 2S1 G 1 1= + + soit ) x (dS y E dS y ES E S E) x (GS 2 S 12 2 1 12 1++= d'ou 0 ) y . x ( = 0 y ) x ( ) x (G= 2 2 1 1S 2 S 1GNS E S EdS y E dS y E) x () x (y y2 1++== = Finalement l'axe neutre est donne par son ordonnee 2 2 1 12 2 1 1NH E S EH E H Ey++=30 Remarque Si au lieu de choisir le point G comme origine. on avait choisi un autre point de reIerence. la Iormule ci-dessus reste valable a condition de calculer les moment statiques de 1S et 2Spar rapport au nouvel axe horizontal passant par la nouvelle origine. Choisissons maintenant comme origine le point neutre et calculons le moment de Ilexion. ) x ( ) I E I E ( dS y ) y . x ( dS y ) y . x ( M2 2 1 1S2S12 1 + = + = d'ou 2 2 1 1I E I EM) x (+= et la contrainte normale est donnee par les relations 1 2 1 222 1 2 11I ) E / E ( IMy) y . x (I ) E / E ( IMy) y . x (+= += appelees Iormules de Ilexion dans une poutre composite. En posant 2 1E E = . on recupere bien sr le cas la Iormule d'une poutre a section homogene. IlestIaciledegeneralisercesrelationslorsquelasectionestunmulti-couchesousIlexion simple. Dans ce cas. on a pour la position de la Iibre neutre ===Nc1 ii iNc1 ii iNS EH Ey et pour la contrainte dans la ieme couche += =Nci i . 1 ii i i iiI ) E / E ( Iy M) y . x (31 6.2. Notion de section homogeneisee (dite aussi section transIormee) Nous ne nous interessons dans la suite qu'au cas du bi-couche. Posons 12EEn = appelepardeIinitioncoeIIicientd'equivalencedumateriau2pararapportaumateriau1ou simplement rapport modulaire. Alors 2 12 1NS n SH n Hy++=et e2e1Iy MnI y M= = ou 2 1 eI n I I + =est par deIinition le moment d'inertie equivalent de la section. L'homogeneisationdelasectionbi-coucheenlemateriau1permetdoncd'utiliser.pourle calculdelacontraintedanslemateriau1.lammeexpressionquedanslecasdelasection homogene mais a condition d'utiliser la grandeur homogeneisee:moment d'inertie equivalent. Lecalculdelacontraintedanslemateriau2seIaitparmultiplicationdel'expression precedente par le coeIIicient d'equivalence n. Tout se passe en Iait dans ce dernier cas comme si l'on avait multiplie au droit du materiau 2 la largeur de la section par n. Uneoperationd'homogeneisationpeuttresbientreeIIectueedemaniereanaloguepar rapportaumateriau2.Danslapratique.onpreIerecependanthomogeneisertouiourspar rapport au materiau de plus Iaibles perIormances. Dans le cas particulier ou le materiau 2 est Iragile (ne supportant aucune traction). n 0 et on veriIie simplement par les Iormules ci-dessus que02= alors que l'expression de 1 n'est pas aIIectee par l'homogeneisation du Iait que la participation du materiau 2 est negligeable. 32 7. Contraintes principales Les contraintes principales s'obtiennent par resolution de l'equation caracteristique 0 =

D'ou 0240242 212 21 + + = + = Entoutpointdelapoutre.ilexistedoncunecontrainteprincipaledetraction 1etune contrainte principale de compression 2. Les directions principales s'obtiennent par les angles qu'elles Iroment avec l'horizontale respectivement 1 et 2determines par + = + + = 24) tan(24) tan(2 222 21 expressionsquirestentvalablesmmelorsque0 = cardanscecas21 = et02 = s'obtiennent par passage a la limite. Cas remarquables: contrainte normale nulle (Iibre neutre par exemple) 0 = { }{ } 4 ; 4;2 12 1 = = = = 33 contrainte de cisaillement nulle (Iibres extrmes par exemple) 0 = { }{ } 0 ; 2; 02 12 1= = = = Nousnousproposonsmaintenantd'analyserl'etatdecontrainteendiIIerentspointsdela poutre e la Iigure 3.5 supposee ici soumise a la Ilexion simple avec un moment0 M . Figure 3.5. Letableausuivantdonnel'etatdecontrainteselonlesaxesdurepereetdanslereperedes contraintesprincipales.OnrepresenteraunecontrainteparuneIlechelaquellelorsqu'elleest dirigee vers la Iacette represente une compression et lorsqu'elle Iuit la Iacette representera une traction. Les resultats sont qualitatiIs et ne tiennent pas compte de l'intensite des contraintes. Point sPoint 1IPoint NPoint 2I Point i Facettes parallelesaux axes Facettes principales i s x I1 N I2 34 Il est possible de determiner les traiectoires des contraintes deIinies comme etant les lieux des pointsd'egalescontraintesprincipalesanalytiquement.maislediagrammeci-dessuspermet de les obtenir qualitativement de maniere tres rapide. Figure 3.6. Compression Traction 35 CHAPITRE 4: Rglements de calcul du bton arm 1. But - Presenter les regles de calcul (reglements) du beton arme actuellement en usage au Maroc; - Presenter les combinaisons d'actions; -PresenterquelquesreglesproIessionnelles(DocumentsTechniquesUniIies)etquelques normes (Normes Francaises) permettant le calcul des actions. 2. Rgles de Calcul 2.1 Un peu d'histoire C'est en 1848 qu'on a imagine en Allemagne d'associer intimement un reseau de barres d'acier et du beton de ciment; ainsi un nouveau materiau est ne. En 1897 on a donne a l'Ecole Nationale des Ponts et Chaussees le premier cours concernant ce materiau.Lebetonarmedisposealorsdespremieresbasesdecalculpermettantl'utilisation rationnelle de ce materiau. Signalons a titre de comparaison que dans la mme decennie on a decouvert l'electron en 1894 et la radioactivite en 1898.En 1906 est apparu le premier reglement oIIiciel Irancais sur le beton arme.Avantl'avenementdubetonarmeonsavaitparIaitementmatriserlesconstructionsen charpentemetalliqueouenmaconneriecommeentemoignentlesdiIIerentsmonuments historiques:TourEiIIel.Pyramides...Maislebetonarmearevolutionnelatechnologiede construction en apportant legerete et robustesse. 2.2 Principe du bton arm Danslaplupartdesstructures.certainespartiessontsoumisesadescontraintesde compressionetd'autresadescontraintesdetraction.Orlebetonestunmateriauquiresiste Iortbienencompressionmaistresmalentraction.alorsquel'acieryresistetresbien.D'ou l'ideedeplacerdesbarresd'acierdansleszonesouseproduisentdeseIIortsdetraction 36 dirigees dans le sens de ces eIIorts; on pourra donc voir apparatre dans ces zones des micro Iissuresdubetonsousl'eIIetdescontraintesdetractionmaislesaciersempcherontles Iissuresdes'ouvriretprendrontseulsaleurcompteleseIIortsdetraction.Lebtonarmtravaille en tant fissur! 2.3 Fonctionnement du bton arm a) Flexion ConsideronslapoutreaporteaIauxenbetonnonarmedelaIigure4.1quisoumisea l'actiondedeuxIorcesconcentrees 1P et 2P.Lapoutresubitlarupturetotalecommele montre la Iigure 4.2. Figure 4.1.: Poutre aporte aIaux Figure 4.2: Rupture totale de la poutre en beton non arme Considerons a present la mme poutre mais arme par des barres disposees longitudinalement comme le montre la Iigure 4.3. Les armatures empchent l'ouverture des Iissures et travaillent en traction pour equilibrer le moment de Ilexion. Iigure 4.4. Figure 4.3: Mme poutre armeeFigure 4.4: Les armatures empchent les Iissures de s'ouvrir Il en resulte que pour reprendre la Ilexion. il suIIit de disposer des armatures longitudinales. P2 P1 P2 P1 P2 P1 P2 P1 37 b) EIIort tranchant ConsideronslapoutredelaIigure4.5armeepardesbarreslongitudinalessupposees suIIisantespourreprendrelatractionduealaIlexion.LeIaitquelemomentdeIlexionsoit constant dans la zone entre les deux appuis permet de choisir des barres de section constante. Figure 4.5: Poutre a deux porte aFigure 4.6: Des Iissures inclinees Iaux a o45se developpent Lorsqueaucunearmaturen'estprevuepourreprendrelatractiondueal'eIIorttranchantqui apparat dans les deux porte a Iaux. il y a rupture a cause des Iissures qui se developpent selon desdirectionsorthogonalesalacontrainteprincipaledetraction.LaIigure4.6montreles Iissures creees et la rupture par detachement des porte a Iaux.Une Iacon pour reprendre cette traction consiste a disposer des armatures transversales; on dit que l'on realise la couture de la section.Lorsquelesdeuxtypesd'armaturessontdisposesparexempledanslecasd'une poutre isostatique aIin de supporter un chargement uniIorme. on obtient le plan de Ierraillage de principe de la Iigure 4.7. Figure 4.7: Schema de principe de Ierraillage d'une poutre Remarque Les exemples precedents permettent de voir que les armatures ne sont pas choisies au hasard. Leurdispositionn'estpasquelconque.LestechniquesdeIerraillageontatteintactuellement P P P P Armatures de montage Armatures transversales Armatures longitudinales 38 l'etat de l'art. Elles repondent de maniere satisIaisante au probleme Iondamental de calcul des structures en beton arme qui peut se Iormuler de la Iacon suivante:Commentdimensionnerlecoffrageousection dubtonet calculerla sectiond'armatures pour reprendre les efforts appliqus en assurant la scurit et la durabilit de l'ouvrage? 3. Le calcul aux tats limites Pourquoi? 3.1 Le CCBA 68 LeCCBA68utiliselecalculauxcontraintesadmissibles.Unecontrainteadmissibleestla contrainte de rupture du materiau aIIectee d'un coeIIicient de securite.Ce mode de calcul ou l'on procede par limitation des contraintes dans le beton et dans l'acier utiliselatheoriedel'elasticite.Sonusageestapparuaudebutdu20emesiecleetils'est prolonge iusqu'au debut des annees 80. Le CCBA 68 limite les contraintes de la Iacon suivante: beton100 28x la resistance moyenne de rupture a 90 iours acier100 60x la limite elastique Lescontraintesdecomparaisonsontcalculeesensupposantlecasdechargeleplus deIavorable pour l'element concerne. On suppose que les charges sont exactement prevues. La notion de scurit estlie la rsistance intrinsque des matriaux. 3.2 Les BAEL 80.83 et 91 Ce qui caracterise les BAEL par rapport aux reglements anterieurs de beton arme c'est le Iait quelanotiondesecuriteaevolueetonchercheaintegrerd'autresIacteursd'insecuritetels que: - la valeur la plus probable des charges permanentes; - la valeur des charges variables avec une probabilite de depassement; - l'aspect deIavorable ou Iavorable des ces charges; - l'approximation du calcul des sollicitations; 39 - les deIauts geometriques; - la Iissuration plus ou moins preiudiciable... OnappliqueindividuellementuncoeIIicientdesecurite1 > achaquetypedecharge.Le coeIIicientvarie en sens contraire du degre de Iiabilite avec laquelle la charge est connue. Il depend de l'etat limite considere. Un etat limite est par deIinition celui pour lequel une condition requise d'une construction (ou d'undesseselements)eststrictementsatisIaiteetcesseraitdel'treencasdemodiIication deIavorable d'une action. On distingue: - les tats limites ultimes qui correspondent a la valeur maximale de la capacite portante vis a visdel'equilibrestatique.delaresistancedelastructureoud'undeseselementsetdela stabilite de Iorme; -lestatslimitesdeservicequiconstituentlesIrontieresaudeladesquelleslesconditions normalesd'exploitationetdedurabilitedelaconstructionoudel'undeseselementsnesont passatisIaitesconcernantparexemplel'ouvertureexcessivedesIissures.lesdeIormations excessives des elements porteurs. les vibrations inconIortables pour les usagers. etc... Lanotiondescuritestmatriseparuneapprochesemi-probabilisteduproblme travers les tats limites. 3.3 Les Eurocodes Les Eurocodes ont ete edites par la commission de reglementation de l'union europeenne dans uneIIortd'harmonisationdesdiIIerentsreglementsenvigueurdanslesetatsmembres.Le BAELversion83aevolueunepremiereIoisen1991puisilaetemodiIieen1998pour devenir conIorme aux directives europeennes. La collection complete des Eurocodes structuraux comprend actuellement neuI volumes: - Eurocode 1: bases du calcul et actions sur les structures; - Eurocode 2: calcul des structures en beton; - Eurocode 3: calcul des structures en acier; - Eurocode 4: calcul des structures mixtes acier-beton; - Eurocode 5: calcul des structures en bois; 40 - Eurocode 6: calcul des structures en maconnerie; - Eurocode 7: calcul geotechnique; - Eurocode 8: resistance des structures aux seismes; - Eurocode 9: calcul des structures en Aluminium. L'Eurocode 1 (1991) deIinit les principes generaux de la conception et du calcul des ouvrages et impose ces regles aux autres Eurocodes. Il deIinit: - les concepts d'etats limites ultime et de service; - la notion de situation de calcul; -lesprincipesdedeterminationdesvaleursdecalculdeschargesetdesproprietesdes materiaux; - le vocabulaire commun a tous les Eurocodes. Les autres Eurocodes sont en principe independants les uns des autres. sauI le 8. qui complete les Eurocodes de 2 a 9 pour la iustiIication des ouvrages en zone sismique. L'interaction sol-structure Iait aussi intervenir le 7 avec un autre Eurocode. Parmi les points de demarcation par rapport aux BAEL. il Iaut citer: - l'interaction sol-structure; - le calcul non lineaire (notion de reserve plastique et degre d'imperIection); - la possibilite d'utiliser la methode de elements Iinis. 3.4 Motivations pour le choix du BAEL 91 Au Maroc il y a une circulaire (6019 TPC72) qui date de 1972 et qui dit que tout reglement en vigueurenFranceestapplicableauMaroc.Cettecirculairedonnedonclechoixd'utiliserau Maroc l'un des diIIerents reglements adoptes en France. En ce qui nous concerne. les Eurocodes sauIle 3 sont encore en phase experimental et n'ont pas un caractere obligatoire mme dans les pays ou il devraient rentrer en vigueur. C'et top tt pour les appliquer au Maroc a l'exception touteIois de l'Eurocode 3 car l'ancien reglement de calcul en constructionmetallique (le CM66) a ete reconnu insuIIisant et dangereux! ParailleursleCCBA68nepermetpasd'apprehenderlanotiondesecuritedemaniere satisIaisante comme il a tendance aussi a privilegier l'economie de l'acier par rapport au beton. C'etait vrai avant les chocs petroliers ou le ciment ne cotait pas cher; auiourd'hui les choses sont diIIerentes. 41 Dansunsoucid'tremoderneeteIIicace.onaIixedanslecadredececourslechoixsurle dernierreglementenvigueurenFranceleBAEL91modiIie99carilintegredemaniere complete et Iiable la notion de securite et il n'est pas vraiment tres diIIerent dans le Ionds des Eurocodes qui representent le Iutur proche!

4. Domaine d'application du BAEL 91 LeBAEL91s'appliqueauxouvragesenbetonarmeoulebetonestconstituedegranulats naturels normaux et dont le dosage en ciment est au moins de 300 a 400 3m / Kg . On distingue: -lesconstructionscourantes:chargesd'exploitationmoderees 2m / kN 5 et g 2 q ;casdes btiments ou le BAEL seul suIIit; -lesconstructionsindustrielles:usines.entrepts....2m / kN 5 ou g 2 q > pourlesquelsle BAEL est associe aux regles generales telles que celles concernant les eIIets dynamique et les vibrations; - les constructions speciales: ponts. barrages. reservoirs.... pour lesquels le BAEL est associe aux regles generales et ou un degre de specialisation avance est exige. 5. Le calcul des sollicitations 5.1 Textes deIinissant les actions Lesactionsousollicitationsquis'appliquentsurunouvragesontdeIiniespardestextesqui Iontl'obietdenormes.dereglesproIessionnellesousimplementderecommandations.On donne ci-dessous les textes qui deIinissent les actions les plus courantes: - Charges permanentes:Norme NFP06-004. - Charges d'exploitation:NormeNFP06-001pardeIautouCPT(cahierdes prescriptions techniques) du matre d'ouvre. - Seismes:Reglementparasismiquemarocain(RPS2000)(decret 22/02/2002) - Actions climatiques:CPCmarocain;cahierdesprescriptionscommunespour le calcul des surcharges dues au vent; DTU Regles NV 65 (revision N84). 42 - Temperature:DTU 23-1 (510= ). - Retrait:DTU 22-1. - Action d'un incendie:DTU 80 (revision 1987). - Charges diverses:Methodesd'execution(Etaispoursupporterdes planchers) DTU 21; Charges d'epreuve; Explosion; Impact d'un avion (Centrale Nucleaire); Reservoirs sous pression; - Action du sol et de l'eau:Regles proIessionnelles. - Vibrations:Regles proIessionnelles machines tournantes; Regles proIessionnelles surcharges routieres. 5.2 Nature des actions: (A3) a) Actions permanentes (svmbole G) 1G:poids propre des elements porteurs (BA maconnerie); 2G:poids des autres elements de la construction; 3G:Iorce exercee par la poussee des terres; 4G:deIormations diIIerees dans le temps (retrait. Iluage). b) Actions variables (svmbole Q) 1Q:charges d'exploitation dite de base (notees BQ pour les planchers btiment et rQ pour les ponts. Fascicule 61. titre II); 2Q:charges climatiques - action du vent (W) - action de la neige (Sn); 3Q:action de la temperature climatique (T uniIorme. 510= coeIIicient de dilatation); 4Q:actions appliquees en cours de construction (dept de materiaux); 43 prcQ :action 4Q connue; praQ :action 4Q aleatoire; prQ :action 4Q exceptionnelle; :gradient thermique; AF:action accidentelle. 5.3 Evaluation des charges permanentes cI. extrait NFP06-004 5.4 Evaluation des charges d'exploitation cI. extrait NFP06-001 6. Principe de calcul des sollicitations pour les lments courants des structures BA ( B1-B9) - Isoler l'element de structure BA considere; - Faire l'inventaire des actions permanentes et variables; - Calculer les sollicitations dans les sections critiques; N. V. MMu M=aux ELU etMser M=aux ELS. On designe parmaxG :l'ensembledesactionspermanentesdontl'eIIetestdeIavorablepourlaiustiIication d'un element donne; minG :l'ensemble des actions permanentes dont l'eIIet est Iavorable. Remarques: le poids propre d'une poutre continue est pris en compte sur toute sa longueur. Ce poids ne peut pas tre partage entre maxGet minG ; danslecasd'unmurdesoutenementonpartagel'actionduremblaienpoidsduremblai (minG ) et poussee des terres (maxG ). 44 6.1 Combinaisons Iondamentales aux ELU La combinaison Iondamentale Iait intervenir les actions permanentes et variables a l'exclusion des actions accidentelles. Sous Iorme symbolique. elle s'ecrit: + + +ii oi 1 Q min maxQ 3 . 1 Q G G 35 . 11 5 . 11Q= danslecasgeneral.35 . 11Q= pourlatemperature.lesconvoismilitaireset exceptionnels. les btiments agricoles. LescoeIIicientsrelatiIsauxchargesd'exploitationsontIixesparl'annexe1alanorme NFP06-001. = e temperatur la de uniIormes aitions var 60 . 0archives et ent stationnem de parcs 90 . 0neige et vent . parkings . archives des exception ' l a locaux les tous 77 . 0*0 * a multiplier par 1.1 si l'altitude ~ 500 m et l'action de base et la neige. 6.1.1 Cas des batiments (D2.2.1) a) situation d'execution (8 cas en general) C1: ( )praprc minprc maxQ 5 . 1Q GQ G 35 . 1+++ C2: ( )W 3 . 1 Q 5 . 1Q GQ G 35 . 1praprc minprc max+ +++ C3: ( )W 5 . 1Q GQ G 35 . 1prc minprc max+++ C4: ( )praprc minprc maxQ 3 . 1 W 5 . 1Q GQ G 35 . 1+ +++ 45 b) situation d'exploitation (38 cas en general) C1: T 8 . 0 0Q 5 . 1GG 35 . 1Bminmax+ + C2: T 8 . 0 0W Q 5 . 1GG 35 . 1Bminmax+ + + C3: T 8 . 0 0Sn Q 5 . 1GG 35 . 1Bminmax+ + + C4: T 8 . 0 0Sn W Q 5 . 1GG 35 . 1Bminmax+ + + + C5: T 8 . 0 0W 5 . 1GG 35 . 1minmax+ + C6: T 8 . 0 0Q W 5 . 1GG 35 . 1Bminmax+ + + C7: T 8 . 0 0Sn W 5 . 1GG 35 . 1minmax+ + + C8: T 8 . 0 0Q Sn 5 . 1GG 35 . 1Bminmax+ + + C9: T 8 . 0 0W Sn 5 . 1GG 35 . 1minmax+ + + C10: BminmaxQ W T 5 . 1GG 35 . 1+ + + 46 6.1.2 Planchers (B6.1.21-B6.1.23) a) Charges permanentes charges d'exploitation sans porte-a-Iaux travees chargeestravees dechargees 1er cas BQ 5 . 1 G 35 . 1 + 1.35 G 2eme cas BQ 5 . 1 G + G poutre prolongee par unporte-a-Iaux 1er cas 2eme cas 3eme cas 4eme cas 5eme cas BQ 5 . 1 G + GBQ 5 . 1 G 35 . 1 +BQ 5 . 1 G 35 . 1 +G 35 . 1 BQ 5 . 1 G 35 . 1 +BQ 5 . 1 G 35 . 1 + G 35 . 1GBQ 5 . 1 G +47 b) Charges permanentes charges d'exploitation vent travees chargeestravees dechargees 1er cas BQ 5 . 1 G 35 . 1 + 1.35 G 2eme cas BQ 5 . 1 G + G 3eme casW Q 5 . 1 G 35 . 1B+ + 1.35 G W 4eme casW Q 5 . 1 GB + + G W 5eme cas B 0Q 3 . 1 W 5 . 1 G 35 . 1 + + 1.35 G 1.5 W 6eme cas B 0Q 3 . 1 W 5 . 1 G + + G 1.5 W c) Charges permanentes charges d'exploitation neige Remplacer W par Sn dans le tableau precedent. 6.1.3 Poteaux. charges permanentes charges dexploitation vent (B8.2.12) 1er cas BQ 5 . 1 G 35 . 1 +2eme cas*W Q 5 . 1 G 35 . 1B+ +3eme cas* B 0Q 3 . 1 W 5 . 1 G 35 . 1 + +4eme cas*W 5 . 1 G + * uniquement si le poteau Iait partie d'un systeme de contreventement. 6.2 Combinaisons accidentelles aux ELU (A3.3.22) Sous Iorme symbolique ces combinaisons s'ecrivent: + + + +ii i 2 1 11 A min maxQ Q F G G AF: est une action accidentelle qui peut tre un seisme par exemple; i 2 11. :correspondent respectivement aux valeurs Irequentes et quasi-permanente d'une autre action. 48 Dans le cas des btiments courants soumis a un seisme. on prend la combinaison: Sn 10 . 0 Q 77 . 0 E G + + + G:poids propre et actions permanentes de longue duree; E:action du seisme y compris le cas echeant l'action dynamique laterale des terres. 6.3 Combinaisons d'actions aux ELS Les sollicitations resultent de la combinaison: + + +ii i 0 1 min maxQ Q G G Dans le cas des btiments (D2.2.2). on distingue: a) situation d'execution (16 cas en general) C1: W0QQ GQ Gpraprc minprc max+ +++ C2: pra prc minprc maxQ 3 . 10WQ GQ G+ +++ C3: pra prc minprc maxQ 3 . 10TQ GQ G+ +++ C4: pra prc minprc maxQ 3 . 10Q G) Q G ( 35 . 1+ +++ 49 b) situation d'exploitation (16 cas en general) C1: BminmaxQGG+ C2:W 77 . 0 QGGBminmax+ + C3:WGGminmax+ C4: BBminmaxQ 90 . 0Q 77 . 0WGG+ + C5:SnGGminmax+ C6: BBminmaxQ 90 . 0Q 77 . 0SnGG+ + 6.4 Combinaisons a l'ELUES On etudie l'equilibre statique avec: BQ 5 . 1 G + G 9 . 050 6.5 Degression des charges d'exploitation en Ionction du nombre d'etages (n ~ 5) Cette degression est applicable pour le calcul des element porteurs de la structure: Iondations. murs. poteaux. etc. Charges identiques Q ... Q Q2 1= = =0 0Q = Q Q0 1+ = Q 9 . 1 Q0 2+ = Q 7 . 2 Q0 3+ = Q 4 . 3 Q0 4+ = 5 n Q2n 3Q0 n ++ = Charges diIIerentes iQ0 0Q = 1 0 1Q Q+ = ) Q Q ( 95 . 0 Q2 1 0 2+ + = ) Q Q Q ( 90 . 0 Q3 2 1 0 3+ + + = ) Q Q Q Q ( 85 . 0 Q4 3 2 1 0 4+ + + + = 5 n Qn 2n 3Qn1 ii 0 n ++ = = 0Q: valeur de reIerence de la charge d'exploitation pour le toit ou la terrasse iQ :valeurdelacharged'exploitationpourleplancherdel'etagei.lanumerotationetant eIIectuee du haut vers le bas. 0Q 1Q2Q 3Q 4Q nQ 51 52 53 CHAPITRE 5: Bton et Aciers: caractristiques rglementaires 1. But Indiquerlescaracteristiquesdubetonetdesacierstellesqu'ellessontnecessairespour l'application des regles de calcul BAEL 91 (ce n'est pas un cours de materiaux). 2. Le bton 2.1 Resistance caracteristique en compression 2.1.1 Cas ou lon effectue des essais de controle sur chantier Laresistancecaracteristiqueestdetermineeapartird'essaiseIIectuessurdeseprouvettes cylindriques de diametrecm 16 = et de hauteurcm 32 h= . Les eprouvettes sont conIormes a la norme NFP18-400. Elles sont conIectionnees et essayees suivant le mode operatoire des normes NFP18-404 et NFP18-406. L'essai est un ecrasement en compression centree. La plus grosse dimension des granulatsmm 40 cg (Si40 cg > . alorscg 25 > ). L'exploitationdesessaispourevaluerlaresistancecaracteristique ciI estdeIiniedans l'instructiontechnique relative au contrle de la qualite des betons (15 ianvier 1979). Dans les cas les plus courants. cette instruction se resume de la Iacon suivante: Soient n:le nombre de prelevements (la valeur pour un prelevement etant la moyenne de trois eprouvettes); min cI : la plus Iaible valeur trouvee pour les n prelevements; ciI :valeur moyenne des n prelevements; la regle de conIormite est la suivante: si3 n . alors{ } ) MPa ( 3 I ; 7 . 2 I inI Imin c ci ci+ si15 n . on calcule l'ecart type 1 n) I I (2ci ci= et { } ) MPa ( 3 I ; 2 . 1 I inI Imin c ci ci+ 54 SauI stipulation du contraire l'ge Iixe pour les essais de contrle est Iixe a i 28 iours. 2.1.2 Cas ou lon neffectue pas dessais de controle On admet a priori le valeurs approximatives suivantes: Qualite du betonDosage en ciment 28 cI(MPa) 28 cI(MPa) 28 tI(MPa) Beton Iaible resistance 300 3m / Kg20 a 25161.6 Beton courant 350 3m / Kg25 a 3020 1.8 Beton de haute resistance 400 3m / Kg30 a 35252.1 Beton de resistance exceptionnelle400 3m / Kg adiuv. 35 a 40302.4 Remarque: On estime en Iait que l'ecart type est situe entre 2 et 5 MPa. 2.1.3 Resistance a un ageiours 28 i (A.2.1.1.1) si i 28 iours.28 c ciIi 83 . 0 76 . 4iI+=pour MPa 40 I28 c28 c ciIi 95 . 0 40 . 1iI+=pour MPa 40 I28 c> (BAEL modifie 99) si28 i 60 iours. 28 c ciIi 83 . 0 76 . 4iI+= si i(i ~ 60 iours). 28 c cI 1 . 1 I = 55 2.2 Resistance caracteristique en traction (A.2.1.1.2) Elle est deIinie conventionnellement pour les valeurs deMPa 60 Ici a l'age i iours par: ci tiI 06 . 0 6 . 0 I + = (MPa) 2.3 Contraintes limites a l'etat limite ultime (ELU) La contrainte limite ultime du beton en compression est: cibbuI85 . 0I= avec5 . 1b = en general et 15 . 1b = dans le cas de combinaisons accidentelles.est le coeIIicient d'application de la charge: 1 = si la duree est> 24 h; 9 . 0 = sih 24 duree 1 ; 85 . 0 = sih 1 duree . La contrainte ultime de cisaillement est. avec des armatures transversales droites: { } 5 ; I 13 . 0 inIci u= (MPa)cas normaux { } 4 ; I 10 . 0 inIci u= (MPa)en Iissuration preiudiciable et tres preiudiciable 2.4 Contrainte limite a l'etat limite de service (ELS) ci bcI 60 . 0 = 56 2.5 Diagramme contraintes-deIormations ELS (modele elastique lineaire) ELU (diagramme parabole-rectangle) 2.6 Modules d'elasticite (A.2.1.2) 1.6.1 Sous charges instantanees ( 24 h) ( )3 / 1ci iiI 11000 E = (MPa) 1.6.1 Sous charges differees (de tres longue duree) ( )3 / 1ci viI 3700 E = 2.7 Retrait Pour les pieces de dimensions courantes a l'air libre: 4 410 . 5 a 10 . 4 r ==regions tres seches ou desertiques 410 . 3 r==regions mediterraneennes 2 0/00 3.5 0/00 Ibu bc bc bcbE bc bc bc 57 2.8 CoeIIicient de Poisson (A2.1.3) 0 = a l'ELU et20 . 0 = a l'ELS. 3. Les aciers (A.2.2) Les valeurs de limite elastique sont les mmes en traction et en compression. Deuxgrandstypesd'armaturessontdisponiblessurlemarche:lesrondslisses(RL)etles armatures a haute adherence (HA). QuandlesarmaturessontsoudeesentreellessousIormedequadrillageellesIormentle panneau de treillissoude. voir documentation Association technique pour le Developpement de l`Emploi du Treillis Soude (ADETS). 3.1 diametres des armatures Les diametres normalises d`armatures courantes sont : (HA):6810121416202532 40 |mm| (RL):681012 Sections totale d'acier en cm2Diamtres Masse kg/m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 106 0,222 0,28 0,57 0,85 1,13 1,41 1,70 1,98 2,26 2,54 2,838 0,395 0,50 1,01 1,51 2,01 2,51 3,02 3,52 4,02 4,52 5,0310 0,617 0,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28 7,07 7,8512 0,888 1,13 2,26 3,39 4,52 5,65 6,79 7,92 9,05 10,18 11,3114 1,210 1,54 3,08 4,62 6,16 7,70 9,24 10,78 12,31 13,85 15,3916 1,580 2,01 4,02 6,03 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 18,10 20,1120 2,466 3,14 6,28 9,42 12,57 15,71 18,85 21,99 25,13 28,27 31,4225 3,850 4,91 9,82 14,73 19,63 24,54 29,45 34,36 39,27 44,18 49,0932 6,313 8,04 16,08 24,13 32,17 40,21 48,25 56,30 64,34 72,38 80,4240 9,864 12,57 25,13 37,70 50,26 62,83 75,40 87,96 100,53 113,09 125,66

3.2 Nuances Ilexiste4nuancesprincipalesquicorrespondentadesqualitesdelimiteelastiqueetde resistancediIIerentes.C'estlalimiteelastiquegarantie eI quisertdebaseauxcalculs iustiIicatiIs selon le BAEL 91. 58 Nuance eI(MPa)Contrainte de rupture R(MPa) Allongement de rupture FeE215215330 a 49022 RL FeE235235410 a 49022 FeE40040048014 HA FeE50050055012 3.3 Diagramme deIormations-contraintes (A.2.2.2) 3.4 Module d'elasticite MPa 200000 Es= 3.5 Contraintes limites 3.5.1 ELU sesuII= avec15 . 1s = (cas courants) et1s = (combinaisons accidentelles) -fsu 10 0/00 fe s s fEes-10 0/00 fsu Courbe caracteristique Courbe de calcul 59 3.5.2 ELS e sI = Iissuration peu preiudiciable = ti e sI 110 ; I32inI (MPa)Iissuration preiudiciable = ti e sI 90 ; I21inI (MPa)Iissuration tres preiudiciable ( 8 > ) est le coeIIicient de Iissuration:1 = pour les RL.6 . 1 = pour les HA ( mm 6 ) et 3 . 1 = pour les HA ( mm 6 < ). 3.6 Jonction des barres Les ionctions entre barres peuvent se realiser par recouvrement. par manchonnage (aciers HA seulement)ouparsoudage(enboutparrecouvrement);danscederniercaslesarmatures doivent presenter certaines caracteristiques de "soudabilite" (AFNOR A35-18). 60 CHAPITRE 6: Etat limite ultime de rsistance (ELUR) 1. But Determiner l'armature longitudinale selon le principe des iustiIications du BAEL 91 (article A4.3) 2. Hypothses de calcul (BAEL A 4.3.2) (H1)Le diagramme de deIormation est lineaire; les deIormations normales (allongements ou raccourcissements) sont donc proportionnels en chaque point d'une section donnee a la distance de ce point a l'axe neutre. (H2)La resistance du beton a la traction est supposee nulle. (H3)Chaque armature subit la mme deIormation normale que la gaine de beton qui l'entoure; il n'y a pas de glissement relatiI et l'adherence est parIaite. (H4)Le raccourcissement ultime du beton est: 5 . 3bu= en Ilexion 2bu = en compression centree (H5)L'allongement ultime des armatures est limite a 10su = . (H6)Le diagramme des deIormations limites d'une section passe par l'un des trois pivots A. B ou C; les deIormations a l'ELUR suivent "la regle des trois pivots" . 61 Remarque: Les hypotheses precedentes sont de nature reglementaire. Il n'y a pas lieu de les iustiIier par des considerations theoriques ou mme des correlations experimentales. Sil'onveutmaintenantcomprendreceshypotheses.ilIautsavoirqu'al'ELUR.onlimite volontairement la deIormation en compression du betonet la deIormation des armatures. Ce qui rend la securite plus sr. En eIIet. les courbes de comportement reel presentent des paliers de contrainte et il est moins sr de limiter cette derniere. D'autre part. la distinction entre un etat de Ilexion et de compression centre provient du Iait que dans le premier le diagramme des deIormationsestlineaireettouslespointsdelasectionnesontpassoumisalamme deIormation ( il y' a donc une certaine reserve) alors que dans le deuxieme cas tous les points delasectionsubissentlammedeIormationnormale(situationpluscritiquequela precedente). L'hypothese(H3)esttresimportantecarleprincipemmed'unestructureenbetonarme suppose l'existence d'un etat parIait d'adherence entre le beton et les armatures. On verra plus loin que des dispositions speciales concernant l'ancrage des armatures doivent tre prises pour assurer la validite de cette hypothese. 2. Rgles des trois pivots (BAEL A 4.3.3) Danslecalculal'ELUR.lesdiversespositionsquepeutprendrelediagrammedes deIormations de la section passent par l'un des pivots A. B ou C; a l'interieur ou a la Irontiere des domaines reperes (1). (2). (3) sur la Iigure 9.1. Les notations utilisees sont: h:hauteur totale de la section d:hauteur utile de la section en Ilexion simple sA:section des aciers tendus Dans la suite. on designera paruY. la distance entre la Iibre superieure et la Iibre neutre et on posera: dYuu= 62 Figure 6.1: Diagramme des trois pivots 3. Analyse du diagramme des dformations limites d'une section 3.1 Pivot A - domaine (1) Caracterisation ooost/ 10 = etooobc/ 5 . 3 0 l'ELUR est atteint par les armatures Modes de sollicitations et tvpe delements concernes traction simple (tirant) section entierement tendue en Ilexion composee (tirant) section partiellement comprimee en Ilexion simple ou composee (poutre ou tirant) C Section avant deIormation (3) (2) (1) C' As B' B A' A d h 4h / 7 3h / 7 Raccourcissement Compression Allongement Traction 63 On distingue trois sous domaines: (1a)-lediagrammededeIormationconcideaveclaIrontiereAA'.auquelcaslebetonest entierement tendu sous la traction simple; (1b)-lediagrammededeIormationestsitueentrelesIrontieresAA'etOO'pourlequella section est dans un etat de Ilexion composee et le beton est entierement tendu; (1c)-lediagrammededeIormationestsitueentrelesIrontieresOO'etABpourlequella section est dans un etat de Ilexion simple et le beton est partiellement comprime. IlestutilededeterminerenIonctionde *ulalimiteentrelesdomaines(1b)et(1c).Le theoreme de Thales permet d'ecrire: 10Y d5 . 3Y*u*u= soit en divisant les deux membres par d et apres rearrangement. 2593 . 02775 . 3 105 . 3*u =+= d 2593 . 0 Y*u= b 1A ) / 5 . 3 ( Booo OO ) / 10 ( Aooo *uY d ha 1 1 64 Il vient alors la caracterisation des trois sous domaines precedents sous la Iorme:

= ule domaine actiI est le domaine (1a) 0u le domaine actiI est le domaine (1b) 2593 . 0 0*u u= le domaine actiI est le domaine (1c) Le pivot A correspond donc a2593 . 0u . 3.2. Pivot B - domaine (2) Caracterisation CedomainecorrespondaundiagrammededeIormationquisatisIaitsimultanementa 5 . 3bu= dans la Iibre superieure de la section et 10su dans les aciers tendus. Modes de sollicitations et tvpe delements concernes L'ELUR est atteint par le beton en Ilexion est la section est partiellement comprime en Ilexion simple ou en Ilexion composee (cas general des poutres) *uY 2 b 2) / 5 . 3 ( Booo OO ) / 10 ( Aooo d ha 2c 265 On distingue la aussi trois sous domaines remarquables: (2a) - la deIormation dans les aciers tendus depasse la deIormation correspondant a la limite d'elasticite.LebetonestpartiellementcomprimeetlasectionestdansunetatdeIlexion simple ou composee; (2b)-ladeIormationdanslesacierstendusestunallongementquiresteinIerieurala deIormationcorrespondantalalimited'elasticite.Lebetonestpartiellementcomprimeetla section est dans un etat de Ilexion simple ou composee; (2c) - les aciers tendus subissent un raccourcissement. Les aciers ne iouent pas vraiment leur meilleur rle dans ce cas ou l'axe neutre passe dans l'enrobage (partie inutile d'un point de vue mecanique de la section). Comme dans le cas precedent. on caracterise en termes de uces trois domaines. La Irontiere entre le domaine (2a) et (2b) correspond a un allongement des armatures tendues egal a l'allongement) E ( Is s e = qui est Ionction de la nuance d'acier utilise et pour lequel = u. secalculeparl'applicationencoreuneIoisdutheoremedeThales.sousla Iorme 5 . 35 . 3+ =

L'autreIrontierecorrespondalalimited'unesectionentierementcomprimeedubeton.pour laquelle la deIormation de la Iibre inIerieure est nulle. Dans ce cas dhc u= = . D'ou la caracterisation suivante des trois domaines: u*u2593 . 0 le domaine actiI est le domaine (2a) 1u le domaine actiI est le domaine (2b) d h 1u le domaine actiI est le domaine (2c) 66 3.3. Pivot C - domaine (3) Caracterisation DanscedomaineladeIormationdecompressiondubetonaupointCdoittouioursveriIier 2bu b= = . Modes de sollicitations et tvpe delements concernes L'ELUR est atteint par compression du beton et la section est entierement comprimee. C'estlecasdelacompressionsimpleoudelaIlexioncomposeeavecsectionentierement comprimee (cas general des poteaux et des poutres). La position du point C est localisee par l'application du theoreme de Thales et on a: 2Y h2 5 . 3 Yc c=h73Yc= On distingue pour ce pivot. le cas de la compression simple correspondant a la Irontiere CC' et le cas de la Ilexion composee avec une section entierement comprimee qui correspond au domaine (3). La caracterisation en termes de uest immediate et on obtient: + ud hle domaine actiI est le domaine (3) + = ule domaine actiI est la Irontiere CC' ) / 2 ( CoooCh74 h73 ) / 5 . 3 ( Booo OO h3 67 4. Diagramme des contraintes Pour le calcul a l'ELUR. on adoptera pour le beton le diagramme contraintes-deIormationsen parabole-rectangle.LadeIormationaugmentantlineairementverslehautapartirdel'axe neutre. la contrainte augmente egalement mais en suivant la courbe parabole rectangle. EnIlexionsimple.lediagrammeparabole-rectangleestremplaceeparlediagramme rectangulaire simpliIie. 5. Recommandations du BAEL e28 tIId b 23 . 0 ;1000Bmax Asou B est la section de beton. La section d'armatures tendues As est au moins egale a la valeur minimale Iixee par la regle du millieme et la condition de non Iragilite Lacontrainte sdanslesarmaturestenduesnedoitpastreinIerieurea seI(sinonles armatures sont mal utilisees) la deIormation stdes armatures tendues doit veriIier ooosu sts se/ 10EI= = la part du moment de Ilexion equilibre par les aciers comprimes doit tre inIerieure a 40 du moment total. soit:Mu 4 . 0 ) d d ( As s< pourempcherleIlambementdesarmaturescomprimees.celles-cidoiventtreentourees de cadres tous les 15 diametres au maximum 6. Diagramme contraintes-dformations simplifi du bton 6.1 Diagramme rectangulaire simpliIie (Pivot B) Pour le calcul a l'ELUR en Ilexion simple lorsque le pivot est en B. le diagramme parabole-rectangle peut tre remplace par le diagramme rectangulaire simpliIie. 68 Le diagramme parabole-rectangle est complet dans ce cas. Figure 6.2. bF : resultante des contraintes de compression dans le beton; sF :resultante des contraintes de traction dans les armatures ( > =s su s ssi I A F ); Rappelons.carnousenauronsbesoindanslasuite.leresultatutilesuivantquidonnela positionducentredegravitedanslecasd'unsecteurdelimiteparunarcdeparaboleet admettant une tangente verticale comme l'indique la Iigure 6.3: Figure 6.3. La surIace de ce secteur est:b a32Sp= . Lediagrammeparabole-rectangleestdecomposeensapartieparaboliqueetsapartie rectangulaire comme le montre la Iigure 6.4 Point neutre Mu Diagramme des contraintes rectangulaire simpliIie Diagramme des contraintes parabole rectangle Diagramme des deIormations x xbu bcI = bu bcI = ooobu bc/ 5 . 3 = = *uZ *uY uZ *bF sFbFsFuY hdstG abb53b52 a85 a83 69 Figure 6.4. La regle de Thales appliquee au diagramme des deIormations permet de montrer que: uY5 . 32a= u uY 5714 . 0 Y74a = L'expression de l'equilibre des Iorces permet d'ecrire: *b bF F = *2 1S S S = + Sachant que: bu u bu u bu 1I Y 3810 . 0 I Y218I a32S = = bu u bu u bu u 2I Y 4286 . 0 I Y73I ) a Y ( S = = Il vient: bu u bu u bu u bu u 2 1*I Y 8 . 0 I Y 81 . 0 I Y 8096 . 0 I Y2117S S S = + =D'ou u u*uY 8 . 0 Y2117Y =Diagramme rectangulaire simpliIieDiagramme parabole rectangle *uY buIauY buI1S 2S *S 70 L'expression de l'equilibre des moments entrane 2 12 2 1 1u*uS SZ S Z SZ Z++= = Sachant que u u u 1Y 6429 . 0 d Y149d a85Y d Z = + = u uu2Y 2143 . 0 d Y143d2a Yd Z = = il vient u u u u*uY 4 . 0 d Y 416 . 0 d Y23899d Z Z = = C'est ce dernier resultat qui Iait que le diagramme rectangulaire simpliIie marche de maniere coherente et qui iustiIie son usage. Ainsipourlecalculal'ELURenIlexionsimplelediagrammeparabole-rectanglepeuttreremplace par le diagramme rectangulaire simpliIie. Maiscediagrammen'estiustiIiequelorsquelediagrammedesdeIormationspasseparle pivot B. Autrement dit lorsque2593 . 0 27 / 7u . 6.2 Diagramme rectangulaire simpliIie Iaisant intervenir le coeIIicient de remplissage (pivot B) C'estlecasoulediagrammeparabole-rectangleesttronqueparlehaut.Soit b la deIormation de la Iibre la plus comprime du beton bu b < . Suivant le cas. on obtient l'un des deux diagrammes suivants. 71 Premier cas. uY a Deuxieme cas. uY a et ooob/ 2 On veut calculer: - la surIace equivalente du rectangle. c'est-a-dire appele coeIIicient de remplissage; - le bras de levier par rapport aux armatures tendues. c'est-a-direSoitaladistanceentrel'axeneutreetlepointdelasectionouladeIormationestegalea ooo/ 2 . alors l'application du theoreme de Thales permet d'ecrire ub Y2a= bu bI = bu bI = abu b < Mu Diagramme des contraintes Rectangulaire Diagramme des contraintes Diagramme des deIormations x xuY d uY uZ bFsFbFs s sA F =uY hds bu bI bu bI Diagramme des contraintes Rectangulaire Diagramme des contraintes Diagramme des deIormations auY bu b < Mu x xuY d uY uZ bFsFbFs s sA F =hds 72 Premier cas. uY a OnmontrepardecompositiondelasurIaceenunepartierectangulaireetunepartie parabolique que: bu ub1I Y34S=bu u ubub1I Y Y45Y d34H+ = bu ub2I Y21 S =bu ubu ub2I YY2Yd21 H+ = bu u b 2 1I Y ) ( S S S = + =u b2 12 1uY ) ( dS SH HZ =++= avec bbb32 3) ( = et b2bb2bb4 62 4 3) ( + = Deuxieme cas. uY a et ooob/ 2 On montre dans ce cas par integration de l'equation de la parabole tronquee: yYIyY 4I) y (ub bu 22u2b bu+ = que bu u bI Y ) ( S = et u b uY ) ( d Z = avec 126) (2b bb = et bbb4 248) ( = 6.3 Diagramme rectangulaire simpliIie Iaisant intervenir le coeIIicient de remplissage (pivot C) cI. Chapitre 9 73 CHAPITRE 7: Section rectangulaire l'ELUR en flexion simple 1. Position du problme Le probleme qui se pose dans la pratique est celui du calcul de la section. Ce probleme revt les trois aspects suivants. -onconnatdeialecoIIrageetlesarmaturesetoncherchesimplementaveriIierquela section passea l'ELUR; -onconnatlecoIIrageestonchercheacalculerlessectionsdesarmaturesaIindeveriIier l'ELUR; - on cherche a dimensionner de maniere economique le coIIrage et les armatures. Le premier probleme est un probleme de veriIication dont l'issue est soit l'ELUR est veriIiee oul'ELURn'espasveriIiee.Ledeuxiemeproblemeestunpetitpeupluscompliquequele premiercarils'agitdetrouverledimensionnementdesarmatures.Sonissuenormaleestle calcul des sectionsdes armatures a disposer aIin de veriIier l'ELUR. Le troisieme probleme est le probleme le plus utile en pratique car il s'agit d'un probleme de conception. Mais. en plus du Iait qu'il Iaut savoir exercer ses talents de concepteur. il Iaut le resoudre de maniere economique. L'economie a ici un double sens: il Iaut trouver la solution leplusrapidementpossibleetcettesolutiondoittrequasioptimalequandonconsiderele cot. EntreunHommeduMetierquisaitproieteraprioridessolutionsditesdepre dimensionnementqu'ilchercheraaameliorerpardesmethodessimpleseteIIicaceset l'Homme de Science qui lui deIinira le probleme dans le cadre de la theorie de l'optimisation souscontrainte.ilexisteunemargequelesdebrouillardsexploitentaleurproIit!Cette troisieme voie s'est revelee la plus interessante dans la pratique. Signalons aussi l'existence de logiciels de calcul automatique qui sont souvent presentes sous IormedeIeuilledecalculExceloudesIentresVisual.CeslogicielsIacilitentbiensrla resolution du probleme de dimensionnement economique comme on l'entend ici sans touteIois dissiper toutes les zones d'ombre. L'exploitant. doit donc tre capable d'interpreter les resultats et savoir les exploiter de maniere utile. Pour atteindre cet obiectiI. il n'y a pas mieux que de commencerpar pratiquer le calcul manuel en s'aidant d'organigrammes precis! 74 2. Dimensionnement l'ELUR sans armatures comprimes 2.1 Recapitulation des resultats obtenus a l'ELUR Laregledestroispivotsetlesdiagrammesdecalculdubetonetdel'acieral'ELUR permettent d'ecrire: bu u bu u b bI Y b I Y b ) ( F = = s s sA F = u u bY d Y ) ( d Z = = avec 6 / 1 0u 27 / 7 6 / 1u u27 / 7 d / hu d / hu> ooob/ 2 ooob ooo/ 5 . 3 / 2 ooob/ 5 . 3 = ooob/ 5 . 3 = 2u2u u) 1 ( 340 15 = uu151 16 = 2117= 2117= uu32 129 4 = u2uu2u20 3201 22 171 + = 23899= 23899= ooos/ 10 = ooos/ 10 = ooob/ 10 < b su sI = su sI = su sI = su sI < Remarquons enIin que lorsque le pivot est en A uub110 = et lorsqu'il est en B uus2) 1 ( 7 = Pivot CPivot B Pivot A Flexion composee 75 2.2 Equations de base Equilibre des forces s s bu u s bA I b Y F F = = (1) Equilibre des moments ) Y d ( I b Y Z F Muu bu u b = = (2) Compatibilite des deformations buus1 = ooobuusuub ooos/ 5 . 3 et2) 1 ( 7ou110et / 10= = = = (3) Condition de bonne utilisation des armatures s(su sI = )(4) Les inconnues principales du probleme sont: uY. sA ou bien u. sA. Les equations sont (1) et (2). 2.3 Methode de calcul Posons: bu2I d b Mu= .appelemomentreduit. bu2I d b representedeuxIoislemoment maximal que peut reprendre le beton seul. L'application de l'equation (2) entrane: = ) 1 (u u(5) ou u est la seule inconnue du probleme. 76 On eIIectuera dans la suite la resolution par domaine. Premier cas. pivot B u277 Le diagramme parabole rectangle simpliIie peut tre utilise. Dans ce cas8 . 0 et4 . 0 . L'equation (5) devient: 0 8 . 0 32 . 0u2u= + (6) D'ou 0 ) 25 . 1 ( 64 . 0ddu> = Donc est une Ionction croissante de u. u277 ) 4 . 0 1 ( 8 . 0 1859 . 0 = Le tableau suivant donne les valeurs de et en Ionction de la nuance de l'acier et de s . 15 . 1s = 1s = FeE2150.7890.4290.7650.422 FeE2350.7740.4250.7490.418 FeE4000.6680.3910.6360.379 FeE5000.6170.3710.5830.358 Le discriminant de l'equation (6) est:0 ) 2 1 ( 16 . 0 > = D'ou les deux racines: 77 ) 2 1 1 ( 25 . 11 u = ) 2 1 1 ( 25 . 12 u + = a ecarter car [ ] ; 27 / 72 u Donc la seule racine qui a un sens physique est: ) 2 1 1 ( 25 . 1u = (7) L'equation (1) permet maintenant d'ecrire: subu usu sII d bA A= = avec u u8 . 0 = Deuxieme cas. pivot A27761u Les expressions de eten Ionction de u et l'equation (1) permettent d'ecrire: 2u u1005750571007 + = (8) D'ou 0 ) 1 (5057ddu> = Donc 27 / 7 6 / 1u 1859 . 0 1042 . 0 48 / 5 La resolution de l'equation (8) conduit a la racine utile 78 = 2 1 9366 . 0 1 ) 2 1 (57501u D'ou subu usu sII d bA A= = avec 151 16uu = Troisieme cas. pivot A610u Dans ce cas les expressions de etainsi que l'equation (1) conduisent a 1 24 12 345u2u2u3u4u+ + = (9) On veriIie apres un long calcul (mais Iacile) que 0ddu> Donc 6 / 1 0u 1042 . 0 48 / 5 0 L'equation (9) se reecrit aussi sous la Iorme 0 4 8 ) 4 20 ( 60 15u2u3u4u= + + (10) 79 L'equation(10)quiestdequatriemedegreadmetunesolutionuniquedansl'intervalle [ ] 6 / 1 ; 0 .UneIoiscettesolution uestcalculee.l'equation(1)permetdetrouverlasection d'armature suivante subu usu sII d bA A= = (11) avec 2u3u2uu) 1 ( 340 15 = Quatrieme cas.d / hu

Ce cas est identique au premier cas si486 . 0 594 / 289 et2 . 1 99 / 119 d / h < . On peut adopter comme solution = 2895941 199119u ou ( ) = 2 1 1 25 . 1u Mais la condition d'utilisation economique des aciers n'est pas veriIiee = uus2) 1 ( 7 et mme dans le cas oud / h 1u . on a:0 1hd27s ! Le calcul de la section d'armature donne dans ce cas subu usII d bA=80 avec ) 1 ( 14734E 21I 17u2us ssu uu == Ainsi0 As si1u ( 472 . 0 294 / 139 ). mais sAquand1u . Remarques: Danslequatriemecas.Onasoitlasolutionquin'estpasphysiquementacceptable.soit lorsqu'elle est possible elle n'est pas economique. Il Iaut donc Iaire quelque chose pour reduire . On procede en general suivant les cas par eIIectuer: - une augmentation de d ou ce qui revient au mme h; - une augmentation de b; - une augmentation de buI ; - une introduction d'une section en "T"; - une introduction des aciers comprimes. Lorsque1042 . 0 lebetonestmalutilise.IlIautreduirelasectiondebeton.Maisceci n'estpastouiourspossibledanslecasdesdallesparexempleoulorsquelesconditions d'isolation thermique et acoustique imposent d'utiliser de Iortes epaisseurs. Lorsque lesacierssontmalutilises.IlIautmodiIierlasectionouintroduiredes armatures comprimees. 3. Pr dimensionnement de la section de bton Mu est donne. 28 cIet eIsont choisis. on cherche dans le domaine 2 1 lorsque la largeur b est supposee connue. On supposera aussi que:h 9 . 0 d= . 2bu21I bdMu 1 2475 . 1h475 . 1 avec c28MubI = D'ou le tableau de pre dimensionnement suivant 81 FeE400FeE500 pivot B avec aciers comprimes[ ] 2360 ; 1829 h [ ] 2423 ; 1877 hpivot B sans aciers comprimes[ ] 3423 ; 2360 h [ ] 3423 ; 2423 hpivot A104 . 0 > [ ] 4572 ; 3423 h [ ] 4571 ; 3423 h Dans ce tableau les unites utilisees sont les suivantes:Mu est en MN.m. 28 cIen MPa et b en cm. On trouvera h en cm. 4. Dimensionnement l'ELUR avec des armatures comprimes Ce cas n'est envisage que lorsque:472 . 0 correspondant au pivot en B (le beton est insuIIisant).On pose dans ce cas dd= 4.1 Equations de base Equilibre des forces bFsFsFyY 4 . 0dd82 s s bF F F = + s s s s bu uA A bI Y 8 . 0 = + (12) Equilibre des moments ) d d ( A ) Y 4 . 0 d ( bI Y 8 . 0 Mus s u bu u + =(13) Compatibilite des deformations ooob/ 5 . 3 = uus2) 1 ( 7 = uus2) ( 7 = Utilisation economique des aciers s s Ce qui se traduit par += 2 77uet + 2 72 7 Recommandation du BAEL Mu 4 . 0 ) d d ( As s (3) 4.2 Methode de calcul Lasolutionn'estpasunique.Cellequiestcourammentutiliseeetquiconduitaunesection totale d'armatures s sA A +tres proche du minimum consiste a prendre = u. Dans ce cas si la mme nuance d'acier est utilisee pour les armatures tendues et comprimees. on a: su s sI = = si + 2 72 7; qui est Iacile a veriIier lorsqu'on eIIectue un choix ded . 83 L'equation (2) permet d'ecrire subu2sI ) d d (I bd ) (A = puis l'equation (1) donne subus sII d b 8 . 0A A+ = EnIin l'equation (3) impose 35 Remarques: On a intert a choisirle plus petit possible mais avec un enrobage suIIisant. en general 11 . 0 = convient On montre que0) A A (us s> + si > ; donc si l'on ne tient pas compte des armatures de ceinturage necessaire en cas de presence d'armatures comprimees la solution ci-dessus est optimale pour = u La condition + 2 72 7 correspond a: 33 . 0 pour FeE400 et23 . 0 pour FeE500. Donc veriIiee en particulier si11 . 0 = . 84 85 CHAPITRE 8: Section en forme de "T" l'ELUR en flexion simple 1. Introduction Lorsquela resistanced'unesection rectangulaireest insuIIisanteonpeutrecourirquandcela est possible a une section en "T". Iigure 8.1. CetteIormedesectionestrencontreesouventdanslesplanchers(poutreavectablede compression. ponts....) Figure 8.1. La partie (1) s'appelle la table de compression; la partie (2) s'appelle la nervure; la partie (3) s'appelle les ailes de la table de compression. Cette Iorme permet de reduire la masse de beton tendu qui est inutile et d'augmenter la masse de beton comprime. Lesdimensionsdelatabledecompressionnepeuventpastrequelconques.Lalargeura considererdepartetd'autredesnusdelasectionnedoitpasdepasserlapluspetitedes valeurs suivantes. Iigure 8.2: a) la moitie de la distance entre les Iaces voisines de deux nervures consecutives; b) le 1/10 de la portee de la travee; 0b b0hdh1 2 0b b0h33 86 c) les 2/3 de la distance de la section consideree a l'axe de l'appui de bout le plus poche; d) le 1/40 de la somme des portees encadrant l'appui intermediaire le plus proche plus les 2/3 de la distance de la section a l'appui. Figure 8.2. Deux cas sont a distinguer dans l'etude d'une section en "T" selon que la zone comprimee de hauteur uY est situee uniquement dans la table ou s'etend a la nervure. 2. Moment de comparaison Par deIinition le moment de comparaison 0M est calculee pour00uh 25 . 18 . 0hY = = . Donc ) 2 / h d ( bI h ) Y 4 . 0 d ( bI Y 8 . 0 M0 bu 0 u bu u 0 = = Premier cas: 0M Mu Appui de bout Appui intermediaire3 / x 2x40 / ) L L (2 1 +40 / ) L L (2 1 +10 / L1 10 / L1 10L2 10L2 2L 1L 87 La compression n'interesse qu'une partie de la table. On calcule la section comme une section rectangulaire de hauteur utile d et de largeur b (celle de la table). Les aciers sont donc calcules comme dans le chapitre 7. Deuxieme cas: 0M Mu (vraie section en T) La compression interesse la table et une partie de la nervure. On decompose la section en T en deux parties. Iigure 8.3: Figure 8.3. Soit 1Fla resultante des eIIorts de compression dans les ailes de la table. 1M le moment d a 1Fet reduit au centre de gravite des aciers tendus. Soit 2Fla resultante des eIIorts de compression dans la nervure avec son prolongement. 2M le moment d a 2Fet reduit au centre de gravite des aciers tendus.On a: ) b b ( h I F0 0 bu 1 = ) 2 / h d )( b b ( h I ) 2 / h d ( F M0 0 0 bu 0 1 1 = = bu 0 u 2I b Y 8 . 0 F = ) Y 4 . 0 d ( I b Y 8 . 0 ) Y 4 . 0 d ( F Mu bu 0 u u 2 2 = = dsA uY 0b b0h2 1 88 s s sA F = L'equilibre de la section s'ecrit: 0 I b Y 8 . 0 ) b b ( h I Abu 0 u 0 0 bu s s= (1) 0 ) Y 4 . 0 d ( I b Y 8 . 0 ) 2 / h d )( b b ( h I Muu bu 0 u 0 0 0 bu= (2) On avait obtenu pour une section rectangulaire: 0 I b Y 8 . 0 Abu 0 u s s= 0 ) Y 4 . 0 d ( I b Y 8 . 0 Muu bu 0 u= Posons alors dans (1) et (2): M ) 2 / h d )( b b ( h I Mu0 0 0 bu= s s 0 0 bu s sA ) b b ( h I A = Formellement. on se ramene au cas d'une section rectangulaire sous le moment de IlexionM ou l'on calcule sA. Une Iois le calcul est eIIectue. on a: ss s 0 0 busA ) b b ( h IA + = (3) si > . on a recours a des aciers comprimes. Attention. ici on a pose: bu20I d bM= (attention a 0b au denominateur) 3. Section en T avec des armatures comprimes89 L'introduction des armatures comprimees entrane les equations d'equilibre suivantes: 0 I b Y 8 . 0 ) b b ( h I A Abu 0 u 0 0 bu s s s s= (4) 0 ) d d ( A ) Y 4 . 0 d ( I b Y 8 . 0 ) 2 / h d )( b b ( h I Mus s u bu 0 u 0 0 0 bu= (5) On avait dans le cas d'une section rectangulaire avec armatures comprimees: 0 I b Y 8 . 0 A Abu 0 u s s s s= 0 ) d d ( A ) Y 4 . 0 d ( I b Y 8 . 0 Mus s u bu 0 u= Posons alors dans (4) et (5): M ) 2 / h d )( b b ( h I Mu0 0 0 bu= s s 0 0 bu s sA ) b b ( h I A = Une Iois les sections sA et sA sont calculees conIormement a l'organigramme du chapitre 7. sAest la section d'aciers comprimes a disposer et subu0 0 s sII) b b ( h A A + = (6) il Iaut bien sr s'assurer comme dans le chapitre 7 que: Mu 4 . 0 ) ' d d ( A Is su 90 CHAPITRE 9: Section rectangulaire l'ELUR en flexion compose 1. But DeterminerdanslecasdelaIlexioncomposeeal'ELURlesarmatureslongitudinalesa disposer dans la section conIormement aux principes de iustiIication du BAEL 91. 2. Noyau central d'une section homogne 2.1 DeIinition Le noyau central d'une section soumise a l'action (N. M) est la zone de la section telle que si l'eIIort normal equivalent y passe. il existe dans toute la section soit un etat de traction ou bien un etat de compression. 2.2 EIIort normal equivalent a (N. M) L'eIIort normal equivalent est l'eIIort applique au centre de pression C situe a une distance algebriqueN / M e=du centre de gravite de la section G. 2.3 Noyau central G GeN N M91 LadeterminationdunoyaucentralseIaitplusoumoinsIacilementenIonctiondela geometriedelasectionetdessollicitationspresenteseneIIectuantl'analysedescontraintes danslesIibresextrmes.Danslecasdespoutresplanesaplanmoyenetchargeesdansce plan. on a: IMySN+ = D'ou IMvSNs+ = IMwSNi = vr;wre 0 .2 2i s avecS / I r=rayon de giration. Le domaine trouve ne depend que de la geometrie de la section. si vr;wre2 2. alors0 .i s et la section est partiellement comprimee. Exemple: Section rectangulaire de largeur b et de hauteur h. On montre que 12hr22= . 2hw v = =h6 / h6 / hy s i w vhG G 92 Le noyau central est donc: y [ ] 6 / h ; 6 / h . Remarque La notion de noyau central telle qu'elle a ete introduite ci-dessus n'et pas adaptee a une section en beton arme car les contraintes ne sont pas lineaires et le comportement en traction diIIere ducomportementencompression.DanslasuitedesdeIinitions"empiriques"vontservira caracteriser l'etat de la section en BA lorsqu'elle est soumise a la Ilexion composee. 3. Section entirement tendue en flexion compose Une section en BA est entierement tendue si l'eIIort normalNuest une eIIort de traction dont le centre de pression C est compris entre les armatures theoriques 1A et 2A. 0 e car0 Mu . d2he d2h [ ]2 1A ; A C NuMu2hd e2hd a + = + = 0 a L'equilibre des Iorces et des moments permet d'ecrire: bMu hd dea Nu2F1F 1A 2A 93 0 A A Nu F F Nu2 2 1 1 2 1= + + = + + 0 ) d d ( A a Nu ) d d ( F a Nu2 2 2= + = + En pratique (pour des raisons d'economie). on choisit: su 2 1I = = D'ou ) d d ( Ia NuAsu2 = 2su1AINuA = On montre que 0 A2 d d a ( ce qui est touiours vraie) Le critere de la section entierement tendue s'exprime en Ionctions des sollicitations sous la Iorme: 2hd a 0 [ ] ) d 2 / h ( Nu M ; 0 Mu1 = Remarque Dans le cas de la section entierement tendue. le beton ne participe pas a la resistance. Seules les armatures reprennent l'eIIort de traction Nu. Les deux nappes d'armatures (inIerieures et superieures) sont necessaires sauI dans le cas theorique a 0( d d a =si0 Mu ) 4. Section partiellement comprime en flexion compose 94 Une section est partiellement comprimee lorsqu'on se trouve dans l'un des deux cas: a) le centre de pression C est situe a l'exterieur de l'intervalle limite par les aciers theoriques 1A et 2A. l'eIIort Nu peut tre une compression ou une traction; b) le centre de pression C est situe a l'interieur de l'intervalle precedent avec Nu un eIIort de compression veriIiant la condition suivante: ( )0 3N ) d 81 . 0 h 337 . 0 ( d 2 / h Nu M Mu = Remarque Dans le cas de la section partiellement comprimee. l'equivalence du diagramme parabole-rectangle avec le diagramme rectangulaire simpliIie reste valable. Nu e Mu= . a: bras de levier de Nu par rapport au cdg. des aciers 1A. e2hd a + = . donc0 a si et seulement si 0 Nu . L'equilibre des Iorces et des moments permet d'ecrire: 0 A F ) A Nu ( F F F Nu2 2 b 1 1 2 b 1= + = + (1) 0 ) d d ( A ) Y 4 . 0 d ( F a Nu ) Y 4 . 0 d ( F ) d d ( F a Nu2 2 b b 2= = (2) 2A axe neutre bF2F1F0.4 Y Nu a Yd0.8 Y d hsA 1A95 Posons: 1 1 1 1A A Nu = +2 2 2 2A A = 0 M a Nu = Les equations precedentes se reecrivent: 0 A F A2 2 b 1 1= 0 ) Y 4 . 0 d ( F ) d d ( A Mb 2 2= Cesequationssontcellesquel'onobtiendraitenconsiderantlammesectionsoumiseala Ilexion simple sous l'action du momentM et pour laquelle les aciers calcules sont: 1A et 2A. IlsuIIitdoncdecalculerlammesectionrectangulaireensupposantqu'elleestsoumisea a Nu M = ;dedeterminer 1Aet 2Aetdeprendrecommearmaturesreellespourlasection soumise a la Ilexion composee les sections suivantes: 2 2A A = su1 1INuA A = 5. Section entirement comprime en flexion compose Ce qui caracterise le cas de la section entierement comprimee des autres cas deia etudies c'est leIaitquelaregled'equivalencedudiagrammeparabole-rectangleaveclediagramme rectangulaire simpliIie n'est plus valable car le premier diagramme est tronque dans sa partie parabolique. On tiendra compte de cette troncature par l'introduction d'un coeIIicient dit coeIIicient de remplissage. A l'ELUR dans le cas de la section comprimee. c'est le pivot C qui est actiI. 96 LesdeuxremarquesprecedentesIontquelecasdelasectionentierementcomprimeese distingue clairement des cas precedents. La section est entierement comprimee si et seulement si: -Nuest un eIIort de compression; - le centre de pression C est situe entre 1A et 2A; -( )0 3N ) d 81 . 0 h 337 . 0 ( d 2 / h Nu M Mu = avec bu 0bhI N = . ) Mu . Nu ( ) Mu . Nu (*( ) 2 / h d ( Nu Mu Mu* + = 5.1 Expression des eIIorts de compression dans le beton bu 1I7h 3S = bu1bI b h73F = Un long calcul montre que bu222bhbI) 3 7 ( 21) 1 126 147 ( 4F + = ou b14 / h 32I1FC 7 / h 47 / h 3ooo/ 21b1s2s2baxe neutre IictiI 2FNuYdd h1bF 2bF sA sA*Mu97 hY= D'ou bu2b1b bhbI F F F = + = avec 22) 3 7 ( 21125 882 1029 + = 3) 3 7 ( 3128dd = donc0dd> si 73> (ce qui est touiours vrai carh Y > ) + < 1 ) ( lim 1 ) 1 (2117 = =+ h143d Z1 = 2 2I h73d Z = Un autre long calcul montre que 3 713 21h71I2 = h dFZ F Z FZb22b 11b =+= avec 98 125 882 1029185 2058 2401143145 1222+ + = = 0dd> si 73> (ce qui est touiours vraie car1 > ) + < 1 ) ( lim214160 . 023899) 1 ( = < = + 5.2 Calcul des armatures Les equations d'equilibre sont: 0 bhI A A Nubu 2 2 1 1= (3) 0 ) d d ( A ) h d ( bhI Mu2 2 bu*= (4) La compatibilite des deIormations s'exprime par: 3 7) h / d ( 147 / 3h / d21s = = ) (1 3 7) h / d ( 147 / 3h / d22s = = ) (2 3 7) 1 ( 147 / 3121b = = 3 7147 / 322b = = On remarque en particulier que: 2s1s < et ( 1 01b> > ). Il y a au total trois inconnues principales) . A . A (2 1 pour deux equations. Il y a donc une inIinite de solutions possibles. Peut-on alors Iaire travailler les aciers de maniere economique? c'est-a-dire pouvons nous nous arranger pour avoir 1s. 99 Supposons queh 9 . 0 d= .h 1 . 0 d= .15 . 1s = (hypotheses qui sont malgre tout tres generales et non restrictives). On trouve alors pour que 1s les conditions suivantes: FeE500FeE400FeE235FeE215 iamais car < 1s 04 . 4 > 39 . 1 > 31 . 1 > et mme 2s dans le cas de la nuance FeE500 que lorsque2 . 4 > . La reponse est donc non. On cherche alors une solution approximativement optimale. D'apres les equations (3) et (4). il vient: ) d d () h d ( N MuA20*2 = 2101AN NuA = Supposons que.0 2 1 = = Les equations (3) et (4) entranent alors 0002 1N Nu 0N NuA A = + 2 1A A+est minimale si et seulement1 = . soit+ = Yet ooo 2s1s/ 2 = = (etat de compression simple). Dans ce cas. on a: 2 / 1 = 2 1 su 0I = = = si la nuance de l'acier est diIIerente du FeE500 2 1 ooos 0/ 2 E MPa 400 = = = = pour la FeE500 100 La solution theorique s'ecrit alors: ) d d (Mu ) h 5 . 0 d )( N Nu () d d () h 5 . 0 d ( N MuA0000*2 + = = ) d d (Mu ) d h 5 . 0 )( N Nu (AN NuA002001 = = Cette solution theorique est pratique si et seulement si:0 A1 et0 A2 . Soit = ) d h 5 . 0 )( N Nu ( M Mu 00 N Nu0 20(5) Si cette condition (5) n'est pas satisIaite. cherchons la solution correspondant a 0 A1 = . Les equations (3) et (4) deviennent 0 N A Nu0 2 2= 0 ) d d ( A ) h d ( N ) h 5 . 0 d ( Nu Mu2 2 0= + Dans ce systeme les inconnues principales sont et 2A (2 se calcule en Ionction de 2sdonc de). Exprimonsen Ionction de et eliminons 1A entre les deux equations. on obtient: d h 8571 . 0Mu ) d h 5 . 0 ( Nu h N 3574 . 00 += Cette solution theorique est pratique si et seulement si: 101 0 N Nu 0 A1 8095 . 00 2 Soit = = = ) Nu N ( h 3571 . 0 M Mu h / Mu 8 . 2 N N NuN ) d 810 . 0 h 337 . 0 ( ) d h 5 . 0 ( Nu M Mu0 4 0 10 3(6) Dans ce cas. on montre que + + = 1 ) h / d 019 . 8 437 . 3 ( 2h 4h 8 1 21 ) d 7 h 3 (2s En general on a 2s et su 2I = . sinon 2s s 2E = . Les armatures sont alors 0 A1 = 202N NuA = Silacondition(6)n'estpassatisIaite.onrecuperesoitlecasdelasectionpartiellement comprimee8095 . 0 soitlecas0 A2= (quipeutluiaussitreconsiderecommeIaisant partie du cas de la section partiellement comprimee). 6. Mthode de calcul pratique d'une section rectangulaire l'ELUR en flexion compose On suppose0 Mu (sinon il suIIit de permuter les armatures apres avoir eIIectue le calcul avec -Mu).On supposera aussi que:0 d h 5 . 0 et0 h 5 . 0 d . L'analyse des diIIerents cas deia vus permet d'envisager la methode de calcul suivante: (D1): 0 Nu et 1M Mu (section entierement tendue) 102 (D2):0 Nu et 1M Mu (section partiellement comprimee) (D3): 0N Nu et 2M Mu (section entierement comprimee et le calcul se Iait sous l'hypothese d'un etat de compression simple) (D4): 0N Nu et 2M Mu (section entierement comprimee avec1 8091 . 0 ) (D5): 0 1N Nu N et 3M Mu (section entierement comprimee avec1 8091 . 0 ) (D6): 1N Nu 0 (section partiellement comprimee) (D7): 0 1N Nu N et 3M Mu (section partiellement comprimee) 103 104 CHAPITRE 10: Etat limite ultime de rsistance l'effort tranchant 1. But - Determiner si besoin en est les armatures transversales pour reprendre les eIIorts de traction dus a l'eIIort tranchant; - JustiIications complementaires concernant les appuis des poutres; - Dispositions constructives concernant les armatures transversales. 1. Contrainte de cisaillement (tangente) conventionnelle (A 5.1) Pour la iustiIication de l'me d'une poutre. le BAEL prend pour la contrainte tangente: d bV0uu= uV:valeur de l'eIIort tranchant dans la section consideree 0b :largeur de l'me (largeur tout court dans le cas d'une section rectangulaire;largeur de la nervure dans le cas d'une section en Iorme de T) d :hauteur utile u :contrainte tangente conventionnelle (dite de comparaison) Remarque OnpeutcomparerlavaleurdelacontraintetangenteconventionnelleadopteeparleBAEL avec la valeur exacte vue dans le chapitre 2. L'ecart reste dans tous les cas courants pratiques tres limite. 105 2. Contrainte tangente limite ultime LeBAELconsiderepourladeterminationdel'etatlimiteultimedubetondel'med'une section courante les deux cas suivants: 2.1 Armatures transversales droites ( 2 / = ) a) Fissuration peu preiudiciable = MPa 5 ;I20 . 0 Minbciu b) Fissuration preiudiciable ou tres preiudiciable = MPa 4 ;I15 . 0 Minbciu 2.2 Armatures transversales inclinees a 45o ( 4 / = ) = MPa 7 ;I27 . 0 Minbciu 2.3 Pieces dont toutes les sections droites sont comprimees(poteau) = MPa 5 . 1 ;I06 . 0 Minbciu Remarques: 106 pour les armature inclinees avec un angle[ ] 90 ; 45 . on procede par interpolation sur les valeurs precedentes; IlyadesdiIIerencesentreleBAEL83et91:parexemplepour 4 / = .le83admet = MPa 5 . 5 ;I27 . 0 Minbciu; il est donc plus severe que le 91. 3. Vrification du cisaillement du bton de l'me On doit veriIier dans tous les cas: u u 4. Armatures transversales d'une poutre 4.1 Comportement local de l'me sous l'action de l'eIIort tranchant Soit un parallelepipede elementaire de la poutre dont les Iaces sont paralleles aux axes et dont la longueur est egale a la largeur de la section. Iigure 10.1; Figure 10.1. Lorsqu'on choisitdx dy= . l'equilibre de ABCD en rotation permet de retrouver le principe de reciprocite des contraintes tangentesVdV V dy hdxbA D B C dx + d + d + dDC B A 107 = Exprimons les contraintes principales associees a un etat de contrainte de pur cisaillement en supposant0 = . Iigure 10.2. Figure 10.2. La diagonale BD subit des contraintes de compression. La diagonale AC subit des contraintes de traction. 4.2 Theorie de la poutre treillis de Ritter-Mrsh Apres Iissuration resultant de l'action de l'eIIort tranchant. la poutre est assimilee a un treillis de Ritter-Mrsh. Iigure 10.3. constitue par: - une membrure comprimee (1) correspondant a la zone du beton comprime avec eventuellement des aciers comprimes; - une membrure tendue correspondant aux aciers tendus; - des diagonales tendues correspondant aux cours ou aux barres relevees inclinees d'un angle a partir de l'horizontale; - des diagonales comprimees qui correspondent aux bielles de beton d'angle 45 par rapport a l'horizontale. D C B A dxdxD B dxdxC A dxdx108 Figure 10.3. Prenons une maille du treillis. Iigure 10.4.et introduisons une coupure Iictive selony y . alors les equations d'equilibre donnent: =sinVNut ou tN est l'eIIort de traction dans les cours. Figure 10.4. Soit tsl'espacement des cours d'armatures transversales entre A et B. le nombre de cours est: ) g cot 1 ( z +4 3 2 1 45 zcN tN 45 1 1y yy yC BAVu109 ts) g cot 1 ( zn +=Soit t