Cours 06 - Modélisation cinématique des liaisons_4

7/27/2019 Cours 06 - Modlisation cinmatique des liaisons_4

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Cours 06 - Modlisation cinmatique des liaisons Page 1/24

MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour lIngnieur S. Gnoul 09/03/2010

Modlisation cinmatique des liaisons

1) MODELISATION DES PIECES PAR DES SOLIDES PARFAITS . ............................. 5

2) MODELISATION DES LIAISONS.....................................................................................5

21)MODELISATION DES LIAISONS PAR DES LIAISONS PARFAITES. ...............................................5

22)NOTION DE REPERE LOCAL. ...................................................................................................... 5

23)NOTION DE DEGRE DE LIBERTE DUNE LIAISON. ..........................................................................5

24)LIAISONS NORMALISEES ENTRE SOLIDES. ..................................................................................6Complte ou encastrement......................................................................................................... 6Glissire de direction x

.............................................................................................................. 6

Appui plan de normale z

............................................................................................................ 6Linaire rectiligne de ligne de contact x,O

et de normale z

.................................................. 6

Ponctuelle de point de contact O et de normale z

.................................................................... 6Pivot glissant daxe x,O

.......................................................................................................... 7

Pivot daxe x,O

....................................................................................................................... 7

Hlicodale daxe x,O

et de pas p........................................................................................... 7

Rotule de centre O...................................................................................................................... 7Rotule doigt de centre O et de rotation interdite y,O

........................................................... 7

Linaire annulaire de centre O et de direction x

....................................................................... 7

3) MODELISATION CINEMATIQUE DES MECANISMES : GRAPHE DE LIAISON ETSCHEMA CINEMATIQUE MINIMAL.....................................................................................8

31)ROLE DU SCHEMA CINEMATIQUE. ..............................................................................................8

32)METHODE DE TRACE (UTILISERDELACOULEUR)................................................................8 tape 1 : Prciser la phase dtude............................................................................................ 8tape 2 : Rechercher les Classes dquivalence Cinmatique (CEC)....................................... 8tape 3 : Raliser le graphe de liaison (minimum de liaisons donc sans liaison en parallle). . 8tape 4 : Tracer le schma cinmatique minimal....................................................................... 8

4) LES LIAISONS SUR ELEMENTS ROULANTS................................................................9

41)LES ROULEMENTS A BILLES,A ROULEAUX OU A AIGUILLES. .........................................................9

42)LES BUTEES A BILLES OU A ROULEAUX. ...................................................................................10

43)LES DOUILLES A BILLES OU A ROULEAUX..................................................................................10

44)LES VIS A BILLES OU A ROULEAUX. ..........................................................................................10

45)LES GUIDAGES A BILLES OU A ROULEAUX SUR RAILS. ...............................................................10


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5) GRAPHE DE STRUCTURE ET SCHEMA DARCHITECTURE. .................................... 11

51)DIFFERENCE ENTRE SCHEMA CINEMATIQUE ET SCHEMA DARCHITECTURE. ...............................11

52)EXEMPLE:LIAISON ENTRE UN ARBRE 1ET UN BATI 0REALISEE PAR LASSOCIATION DE 2ROULEMENTS. ..............................................................................................................................11

6) LIAISONS CINEMATIQUEMENT EQUIVALENTES.......................................................12

61)DEFINITION DUNE LIAISON EQUIVALENTE.................................................................................12

62)LIAISONS EN SERIE. ................................................................................................................ 12

0/11/22/30/3Leq VVVVV .................................................................. 12

Exemple : Patin rotule............................................................................................................ 12

63)LIAISONS EN PARALLELE. ........................................................................................................13C

0/1B

0/1A

0/10/1Leq VVVVV ....................................................................13

Exemple : Liaison entre un arbre 1 et un bti 0 ralise par lassociation de 2 roulements. ... 13

7) LOI ENTREE-SORTIE DUN MECANISME. ................................................................... 14

71)CHAINES DE SOLIDES OUVERTE,FERMEE ET COMPLEXE...........................................................14 Chane ouverte.................................................................................................................................. 14

Chane ferme................................................................................................................................... 14

Chane complexe. ............................................................................................................................. 14

72)DEFINITION DUNE LOI ENTREE-SORTIE....................................................................................14

73)DETERMINATION DUNE LOI E/S...............................................................................................14 Chane ouverte.................................................................................................................................. 14

Cours 05 Cinmatique du solide............................................................................................ 14

Chane ferme................................................................................................................................... 14Fermeture gomtrique liant les paramtres de position. ........................................................ 14Fermeture gomtrique liant les paramtres dorientation. ...................................................... 14Fermeture cinmatique ............................................................................................................. 14

8) LES TRANSFORMATIONS DE MOUVEMENTS CLASSIQUES. ..................................15

81)BIELLE-MANIVELLE. ................................................................................................................ 15

82)PIGNON-CREMAILLERE............................................................................................................15

83)VIS-ECROU.............................................................................................................................15

84)CROIX DE MALTE....................................................................................................................16

85)EXCENTRIQUE........................................................................................................................16

86)CAME RADIALE. ...................................................................................................................... 16

87)CAME AXIALE. ........................................................................................................................ 16


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9) LES REDUCTEURS ET MULTIPLICATEURS DE VITESSE. ........................................ 17

91)RAPPORT DE TRANSMISSION,DE REDUCTION ET DE MULTIPLICATION. .......................................17

92)TRANSMISSION PAR ADHERENCE:ROUES DE FRICTION............................................................17

93)TRANSMISSION PAR OBSTACLE:ENGRENAGES........................................................................18 Terminologie...................................................................................................................................... 18

Engrenage, pignon, roue et couronne. ..................................................................................... 18Diamtres primitifs. ................................................................................................................... 18Pas primitifs............................................................................................................................... 18Module. ..................................................................................................................................... 18Rapport de transmission........................................................................................................... 18

Diffrents types dengrenages. ......................................................................................................... 19Engrenage cylindrique extrieur ou intrieur ( denture droite ou hlicodale)........................ 19Engrenage conique ( denture droite ou hlicodale)............................................................... 19Engrenage roue et vis sans fin (appel aussi engrenage vis)............................................ 19

Schmas normaliss......................................................................................................................... 20

Rducteurs ou multiplicateurs de vitesse train simple. .................................................................. 20

Rducteurs ou multiplicateurs de vitesse train picyclodal. ......................................................... 21Inconvnients des trains simples.............................................................................................. 21Inconvnients des engrenages roue et vis sans fin............................................................... 21Dfinitions dun train picyclodal.............................................................................................. 21Trains picyclodaux plan et sphrique. ................................................................................... 21Plantaires, satellites et porte satellite. ....................................................................................21Condition gomtrique entranant une relation sur le nombre de dents des diffrentslments.................................................................................................................................... 21Disposition la plus frquente..................................................................................................... 22

Avantages des trains picyclodaux. ........................................................................................ 22Relation cinmatique : Relation de Willis.................................................................................. 22Exemple du rducteur ATV.......................................................................................................23

94)LES LIENS FLEXIBLES (PIGNONS-CHAINE,POULIES-COURROIE) .................................................24


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Objectif : Donner une image simplifie et symbolique dun mcanisme pour faciliter :- ltude du fonctionnement- ltude des efforts, des vitesses

1) Modlisation des pices par des solides parfaits .Nous supposerons dans nos tudes mcaniques (sauf indication contraire) que les pices mcaniquessont des solides parfaits :

NB : Les pices dformables telles que les ressorts seront exclues de nos calculs lorsque nous utiliseronslhypothse de solide parfait.

2) Modlisation des liaisons.On peut parler de liaison entre 2 pices lorsque celles-ci sont en contact.

21) Modlisation des liaisons par des liaisons parfaites .Nous supposeronsdans nos tudes mcaniques (sauf indication contraire) que les liaisons entre 2 picessont des liaisons parfaites:

Une liaison parfaite est donc une liaison thorique, tant du point de vue gomtrique que du point de vue dela nature physique du contact.

22) Notion de repre local.En gnral, le repre local associ une liaison entre deux solides n'appartient aucun des deux solides.De plus, l'origine sera plutt place en un point caractristique de la liaison et les vecteurs directeurs de sabase correspondent dans la mesure du possible des axes de symtrie, de rvolution, ...Enfin, il sera choisi de sorte que les mouvements lmentaires soient indpendants.

23) Notion de degr de libert dune liaison.Soit z,y,x,0R

le repre local associ la liaison entre deux solides 1 et 2.

On peut dfinir des mouvements relatifs : Tx = libert de mouvement de translation de direction x

,Rx = libert de mouvement de rotation daxe )x,O(

,

Un degr de libert dune liaison est UN MOUVEMENT RELATIF INDPENDANT que la liaisonautorise entre les 2 solides considrs. (Attention la liaison hlicodale)

Il existe donc 6 degrs de libert possibles : - 3 translations Tx, Ty et Tz de 1 par rapport 0,

- 3 rotations Rx, Ry et Rz de 1 par rapport 0.

Par consquent, le nombre de degrs de libert entre deux solides est le nombre de paramtrescinmatiques indpendants DFINIR pour spcifier le torseur cinmatique relatif entre ces deux solides.

- indformables- gomtriquement parfaits- homognes (corps dont les constituants sont de mme nature ; ce

qui nest pas vrai pour le bton par exemple)- isotropes (corps dont les proprits mcaniques sont identiques

dans toutes les directions ; ce qui nest pas vrai pour les matiresfibreuses par exemple)

corps qui ontune masseconstante

- su rfac es de co nt act gomtri qu ement par fait es

-jeu de fonct io nnem en t nu l en tre les su r fac es de con tac t- co nt act su pp ossan s adhren ce


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24) Liaisons normalises entre solides.Parmi toutes les liaisons envisageables, la norme NF EN ISO 3952-1 (mai 95) a retenu les plus courantes.

Nom

Rep rsent ati onspatiale

Rep rsent ati onplane

Validitde laforme

nraledu

Torseur

Forme gnraledu Tor seu r ci nmatiq ue

Complte ouencastrement ou

Tout pointA de

lespace

..)(...,...,.P

1/2

0

0

0

0

0

0

V

Et en plus, les valeurs des composantessont identiques

pour tout point P de l'espace

1 paramtre indpendant= 1 degr de libert

Glissire dedirection x

Tout pointA de

lespace

,...,...)x(

1/2A,x

P

1/2

0

0

v

0

0

0

V


pour tout point P de l'espace

3 paramtresindpendants

= 3 degrs de libert

Appui plande normale z

Tout pointA de

lespace

)z,y,x(

1/2A,y

1/2A,x

1/2,z)z,A(P

1/2

0

v

v

0

0

V


pour tout point P de la normale )z,A(


= 4 degrs de libert

Linairerectiligne

de ligne decontact x,O

et

de normale z

(ou alors cylindre-plan de ligne de

contact x,O

et de

normale z

)

Tout pointA du plan

)z,x,O(

)z,y,x(

1/2A,y

1/2A,x

1/2,z

1/2,x

A

1/2

0

v

v

0

V


= 5 degrs de libert

Ponctuellede point de

contact O et denormale z

(ou alors sphre-

plan de point decontact O et denormale z

)

Tout pointA de la

normale

)z,O(

)z,y,x(

1/2A,y

1/2A,x

1/2,z

1/2,y

1/2,x

A

1/2

0

v

v

V

x y

z

Oy

x

z

O

z

Oyx


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= 2 degrs de libert

Pivot glissantdaxe x,O

ouTout pointA de laxe

)x,O(

,...,...)x(

1/2A,x1/2,x

)x,A(P

1/2

0

0

v

0

0

V


pour tout point P de l'axe )x,A(

1 paramtre indpendant= 1 degr de libert

Pivotdaxe x,O

ou

Tout pointA de laxe

)x,O(

,...,...)x(

1/2,x

)x,A(P

1/2

0

0

0

0

0

V



1 paramtre indpendant= 1 deg rde l iber t

Hlicodaledaxe x,O

et

de pas pou ou

Tout pointA de laxe

)x,O(

,...,...)x(

1/2,x1/2,x

)x,A(P

1/2

0

0 2

p.

0

0

V

Car

2

p.v

2

p.x

)mm(x)rad(

)mm(p)rad(2xx

Pas droite +et Pas gauche -




= 3 degrs de libert

Rotulede centre O

(ou alors sphriquede centre O)

Seulementen O

)z,y,x(1/2,z

1/2,y

1/2,x

O

1/2

0

0

0

V


= 2 degrs de libert

Rotule doigtde centre O et

de rotationinterdite y,O

(ou alors sphrique doigt de centre O

et de rotationinterdite y,O

)

Seulementen O

)z,y,x(1/2,z

1/2,x

O

1/2

0

0

0

0

V

4 paramtres

indpendants= 4 degrs de libert

Linaireannulaire

de centre Oet de direction

x

(ou alors sphre-cylindre de centre O

et de direction x )

Seulementen O

)z,y,x(

1/2O,x

1/2,z

1/2,y

1/2,x

O

1/2

0

0

v

V


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Exemple : schmacinmatique minimal

dun serre-joint

3) Modlisation cinmatique des mcanismes : graphe deliaison et schma cinmatique minimal.31) Rle du schma cinmatique.Cest une reprsentation minimale, simplifie et code du mcanisme, qui ne tient compte ni des formes ni

des dimensions.Il permet de traduire de faon simple le fonctionnement cinmatique (les mouvements) du mcanisme etlagencement des liaisons.

32) Mthode de trac (UTILISER DE LA COULEUR).tape 1 : Prciser la phase dtude.Indiquer dans quelle phase vous tudiez le mcanisme. En effet, certaines pices (ex : vis) nont pas lemme mouvement pendant leur fonctionnement que pendant leur montage ou pendant leur rglage

tape 2 : Rechercher les Classes dquivalence Cinmatique (CEC).CEC : groupes de pices en liaison encastrement entre elles (n'ayant aucun mouvement relatif).

Cette tape se divise en 2 sous-tapes :1) Rechercher et colorier diffremment chaque CECsur le dessin densemble.2) Lister les pices de chaque CECen commenant par la CEC A et la pice 1 puis en continuant

dans lordre croissant :{A}= {1, 3, } {B}= {2, 8, }

Remarques :Toutes les pices qui se dforment sont exclure des CEC (ressorts, joints).Les lments roulants des roulements ne sont pas pris en compte.

tape 3 : Raliser le graphe de liaison (minimum de liaisons donc sans liaison en parallle).1) Placer les CECen faisant en sorte quelles soient environ dans la mme position que sur le dessin.2) Prciser la pice qui est le bti.3) Dterminer les liaisons entre ces CEC en identifiant la gomtrie du contact.

Exemple : graphe de liaisondu serre-joint ci-dessous

tape 4 : Tracer le schma cinmatique minimal.1) Positionner, en respectant les proportions, les centres et les axes des liaisons.

2) Mettre en place les reprsentations symboliques des liaisons lmentairesetdu bti en respectant le code de couleur retenu et lorientation de la liaison parrapport au repre.

3) Relier tous les lments de mme couleuren respectant les proportions et lesformes gnrales du mcanisme schmatiser.

4) Complter ventuellement par quelques traits le schma pour faciliter lacomprhension.

5) Vrifier le schma: pour cela, analyser les mouvements des diffrentes CEC duschma et confronter cette analyse aux mouvements du mcanisme rel.

{A}

{B}

{C}

{D}P

NB : On ne verra JAMAISapparatre de liaison encastrementsur un graphe de liaison.

A

Liaison glissirede direction y

Liaison hlicodale

daxe )y,P(

Rotule decentre P

C

D

B


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4) Les liaisons sur lments roulants.Certaines liaisons dans les mcanismes nutilisent pas le principe du glissement des surfaces de contact,mais celui de linterposition dlments roulants. Des composants mcaniques particuliers permettent alorsde raliser la plupart des liaisons normalises (sauf la liaison encastrement et la liaison rotule doigt).

41) Les roulements billes, rouleaux ou aiguilles.En fonction des indications de comportement fournies par les constructeurs (rotulage maxi), on peutmodliser la liaison entre bague intrieure et bague extrieure des diffrents roulements par des liaisonspivot, pivot glissant, rotule ou linaire annulaire.En effet, si le rotulage maxi > 5 alorson suppose que les rotations suivant les axes secondaires sont possibles.

Roulement billes Roulement deux ranges de billes

Le plus souvent le rotulage > 5 rotuleMais parfois le rotulage < 5 pivot

Le plus souvent le rotulage < 5 pivotMais parfois le rotulage > 5 rotule

Roulement rouleaux cylindriques Roulement aiguilles

Le plus souvent le rotulage > 5 linaire annulaireMais parfois le rotulage < 5 pivot glissant

Le plus souvent le rotulage < 5 pivot glissantMais parfois le rotulage > 5 linaire annulaire

Roulement rotule (billes ou rouleaux) Roulement rouleaux coniques

Le rotulage est toujours > 5 rotuleLe plus souvent le rotulage > 5 rotule

Mais parfois le rotulage < 5 pivot

Bagueintrieure

Bagueextrieure

Cage(pour maintenir

lments roulants)


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42) Les butes billes ou rouleaux.Elles permettent de raliser des liaisons appuis plans.

43) Les douilles billes ou rouleaux.Elles permettent de raliser desliaisons pivots glissants.

44) Les vis billes ou rouleaux.Elles permettent de raliser des liaisons hlicodales.

45) Les guidages billes ou rouleaux sur rails.

Ils permettent de raliserdes liaisons glissires.


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5) Graphe de structure et schma darchitecture.51) Diffrence entre schma cinmatique et schma darchitecture.

Schma cinmatique Schma darchitecture

Permet devisualiser

la cinmatique du mcanisme

(cest dire les mouvements relatifsdes diffrentesclasses dquivalence)

larchitecture du mcanisme

(c'est--dire la disposition des liaisons)il colle la ralit technologique puisquiltient compte du choix des constituants adopts

Est construit partir du

graphe de liaison graphe de structure

52) Exemple : Liaison entre un arbre 1 et un bti 0 ralise parlassociation de 2 roulements.

Utilisation de deux roulements billes situs chaque extrmit de larbre 1,modlisables, lun par une liaison rotule et lautre par une liaison linaire annulaire.

Graphe de liaison : Graphe de structure :

0

Pivot daxe

(AB)

1

0

Rotulede centre

A

1

Linaireannulaire de

centre B et dedirection x

Schma cinmatique minimal : Schma darchitecture

Sur le graphe de structure et le schma darchitecture, figurent toutes les liaisons lmentaires (ou locales)(se situant dans les zones de guidage).

0

Rlt2

Rlt1

1

ABxx

Circlips

Joint


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6) Liaisons cinmatiquement quivalentes.61) Dfinition dune liaison quivalente.Lors d'une approche globale, afin de simplifier la modlisation dun mcanisme, on peut tre amen chercher des liaisons fictives quivalentes un ensemble de liaisons relles.Cette recherche peut se faire analytiquement par les torseurs cinmatiques ou intuitivement avec

l'exprience.NB : La liaison fictive quivalente est une liaison qui a le mme comportement que lassociation des liaisonsrelles, c'est dire quelle transmet la mme action mcanique et quelle autorise le mme mouvement.

Deux types de configuration peuvent se rencontrer : en srie ou en parallle.

62) Liaisons en srie.

00/1L

12

31/2L

2/3L 0eqL

3

condition que la Leq soit normalise

La liaison Leq est identifie partir de son torseur cinmatique associ.

0/11/22/30/3Leq VVVVV

Exemple : Patin rotule

Dessin : Graphe de structure : Schma darchiteture :

0

Liaison appui plande normale z

1

2Liaison rotulede centre O

)z,y,x(1/2,z

1/2,y1/2,x

O

1/2

0

0

0

V

et

)z,y,x(

0/1O,y

0/1O,x

0/1,z)z,O(P

0/1

0

v

v

0

0

V

)z,y,x(

0/1O,y

0/1O,x

0/1,z1/2,z

1/2,y

1/2,x

O

0/2

0

v

v

V

quivalent une liaison ponctuelle de normale z

NB : Technologiquement parlant, il est donc prfrable de raliser une liaison ponctuelle par mise en srie

d'une liaison appui plan et d'une liaison rotule pour limiter la pression de contact. En effet, on passe duncontact ponctuel, o la pression est infinie (F=p.S), un contact surfacique, o la pression devientadmissible pour les matriaux.

par la relation de compositiondes mouvements


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63) Liaisons en parallle.

0

0/1L en A

10/1L en B

0/1L en C

0eqL

1

condition que la Leq soit normalise

La liaison Leq est identifie partir de son torseur cinmatique associ.LC

0/1LB

0/1LA

0/10/1Leq VVVVV

La compatibilit cinmatique des n liaisons en parallle avec la liaison quivalente, s'exprime par uneidentit des composantes de tous ces torseurs rduits au mme point.

Exemple : Liaison entre un arbre 1 et un bti 0 ralise par lassociation de 2 roulements.Dessin : Graphe de structure : Schma darchitecture :

0

Rotulede centre

A

1

Linaireannulaire de

centre B et de

direction x On pose x.aAB

)z,y,x(

LB 0/1B,x

LB0/1,z

LB0/1,y

LB0/1,x

B

LB0/1

0

0v

V et

)z,y,x(

LA0/1,y

A0/1,z

LA0/1,z

LA0/1,y

LA0/1,x

B)z,y,x(

LA0/1,z

LA0/1,y

LA0/1,x

A

LA0/1

.a

.a0

0

00

V

Car le changement de point (transfert au point B) pour la liaison en A donne :

z..ay..a)z.y.x.(x.a0BAVV LA 0/1,yLA

0/1,zLA

0/1,zLA

0/1,yLA

0/1,xLA

0/1LA

0/1ALA

0/1B

Or, comme les liaisons sont en parallle : LA0/1LB

0/10/1Leq VVVV

donc :

)z,y,x(

LA0/1,y

LA0/1,z

LA0/1,z

LA0/1,y

LA0/1,x

B)z,y,x(

LB0/1B,x

LB0/1,z

LB0/1,y

LB0/1,x

B

0/1Leq

.a

.a

0

0

0

v

VV

)z,y,x(

0/1,x

B

Leq

LB0/1B,x

LA0/1,z

LB0/1,z

LA0/1,y

LB0/1,y

LA0/1,x

LB0/1,x

LA0/1,y

LA0/1,z

LB0/1B,x

LA0/1,z

LB0/1,z

LA0/1,y

LB0/1,y

LA0/1,x

LB0/1,x

0

0

0

0

0

0v

0

0

.a0

.a0

0v

V

0Rlt2

Rlt11

ABxx

quivalent une liaison pivot daxe )x,B(


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7) Loi entre-sortie dun mcanisme.71) Chanes de solides ouverte, ferme et complexe.

Chane ouverte. Chane ferme. Chane complexe.

Une chane de solides 0, 1, 2 est

ouverte si les solides des extrmessont diffrents.


ferme si le solide initial est lemme que le solide final.


complexe si elle comporteplusieurs chanes ouvertes oufermes.

0

3

L1

1 L2

2 L3

Lexemple type est le robot :Le premier solide tant le bti et ledernier, la pince.

L43 L3

L5

4

0

1

2

L2

L1

L4

3 L3

L5

4 L7

2

L2

L6

0 L1

1

72) Dfinition dune loi entre-sortie.Une loi "entre-sortie" est la relation entre les paramtres de situation (position et orientation) de lapice d'entre et les paramtres de situation de la pice de sortie du mcanisme ou leurs drives.

Dans l'exemple de la pompe, la pice d'entre est l'arbre, et la pice de sortie le piston.La loi entre-sortie est donc la relation entre la vitesse de rotation de larbre et la vitesse de translation du piston.

73) Dtermination dune loi E/S.Typologie Mthode Obtention Pour aller + loin

Chan

e

ouverte

Cours 05 Cinmatique dusolide.

Cinmatique analytique ou graphique.Exemples : Bras de robot, vrin, mange, presse, lve-glace, hayon de vhicule

Fermeturegomtrique

liant lesparamtres de

position.

crire la relation vectorielle de fermeture de lachane :

0PA...CDBCAB

.

Ce qui nous donne en projetantcette quation :- 3 quations scalaires pour unmcanisme spatial,- 2 quations scalaires pour unmcanisme plan.

Fermeturegomtrique

liant lesparamtres

dorientation.

- 1 quation scalaire pour un mcanisme plan, obtenue par :

0)x,x(...)x,x()x,x( 0n2110 .

- 1 quation scalaire pour un mcanisme spatial, obtenue par l'intermdiaire d'unproduit scalaire :

ttanconsx.x ji (0 si ce sont 2 vecteurs orthogonaux).

Cette quation traduit la valeur dun angle constant entre deux vecteurs de base (engnral ceux qui sont orthogonaux), impos par certaines liaisons (exemple du jointde cardan).

En drivant cesquations, il estpossible dtablir

des relations entre

les vitesses.

Chaneferme

Fermeturecinmatique

crire la relation de composition desmouvements :

0/11/21n/n0/n ... VVVV Il faudra crire en ligne les torseurs

cinmatiques des liaisons.Puis, choisir la bonne quation scalaire pour sedbarrasser des paramtres indsirables

Cette quation torsorielle permetdcrire :- 6 quations scalaires pour unmcanisme spatial (3 lies auxvitesses linaires et 3 lies auxvitesses angulaires).

- 3 quations scalaires pour unmcanisme plan (2 lies auxvitesses linaires et 1 lie auxvitesses angulaires).

En intgrant cesquations, il estpossible dtablir

des relations entreles positions.

(En n'oubliant pas la

constanted'intgration qui sedtermine pour uneposition particulire).


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8) Les transformations de mouvements classiques.Vous pouvez consulter le logiciel STM et le Dossier ressource dans le rpertoire SII Elve sur le rseau.

NB : - Pour tous ces systmes, le mouvement d'entre est gnralement continu, alors que le mouvementde sortie peut tre, continu, altern ou intermittent.

- Lorsque lentre et la sortie peuvent tre permutes, on dit que le systme est rversible.

81)Biell

e-manivelle.

Pice 1 : manivelle (ou maneton ou vilebrequin)

Pice 2 : biellePice 3 : piston (ou coulisseau)

Transformation :Rotation continue en translation alternative (etrciproquement parfois).

Rversibilit : parfois.

Utilisation :Moteurs thermiques, compresseurs, certaines pompes etmoteurs hydrauliques, marteau perforateur

NB : Dans un moteur thermique ou une pompe, le bti auniveau du piston sappelle chemise ou cylindre.

Caractristiques :

eOB LBC

Trs souvent : L>>e (L>5.e suffit en gnral pourpouvoir faire cette hypothse).

Paramtres :

)x,x( 10 )x,x( 20 0x.XOC

82)Pignon-crmaillre

Transformation :Rotation continue en translation continue (et rciproquement).

Rversibilit : toujours.

Utilisation :Porte de TGV, porte de garage, direction de voiture, brasmanipulateur

Caractristiques :Diamtre du pignon.

Paramtres :Angle de rotation du pignon, et position de la crmaillre.

83)Vis-crou.

Pice 1 : visPice 2 : coulisseau (ou crou)

Transformation :Rotation continue en translation continue.

Rversibilit : parfois. Elle dpend des matriaux encontact et de langle de lhlice.Ce systme est toujours rversible lorsque lon ainterposition dlments roulants limitant le frottement.

Utilisation :Vrins lectriques, chariots de machine outil, piloteautomatique, lvateur...

Caractristiques :

Pas de la vis : p (mm) droite

Paramtres : )x,x( 10 0z.AB


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84)Croix

deMalte.

Transformation :Rotation continue en rotation intermittente.

Rversibilit :jamais.

Utilisation :Plateau tournant de machine de transfert, indexage

Caractristiques :Angle entre les diffrentes rainures, et rayon de lergot.

Paramtres :Angle de rotation de lergot, et angle de rotation de lacroix.

85)Excentriq

ue.

Pice 1 : excentrique

Pice 2 : piston (ou coulisseau)

Transformation :Rotation continue en translation alternative.


Utilisation :Pompes hydrauliques, taille haie, certains mcanismesdablocage (blocage dune pice sur une table).

Caractristiques :RBC eOB

Paramtres :

)x,x( 10 0x.XOD 0y.CD

NB : Lexcentrique est une came radiale circulaire

86)Cameradia

le. Mme principe que lexcentrique :

Lexcentrique qui tait un disque est remplace par unepice de forme alatoire (la came).Le schma est identique au prcdent mais avec Rvariable (mais connu).

Utilisation :Pompes hydrauliques, certains mcanismes dablocage,arbre cames de moteur, ferme-porte

87)Cameaxiale.

Pice 1 : came (ici un plateau inclin)

La came peut tre un cylindre sur lequel est usineune rainure de forme quelconque.

Transformation :Rotation continue en translation alternative.


Utilisation : Pompes hydrauliques.

Caractristiques :

ttancons)y,y()x,x( 11 ROD

Le plan )y,x,O( dfinit le plateau.

Paramtres :

)y,y(10

0

x.XCD


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9) Les rducteurs et multiplicateurs de vitesse.91) Rapport de transmission, de rduction et de multiplication.

Le rapport de transmission dun systme est :0/s

0/ei

(avec 0 le bti).

Un rapport de rduction ou de multiplication est toujours suprieur 1. Ainsi, pour un rducteur, le rapportde rduction est i et pour un multiplicateur, le rapport de multiplication est 1/i.

92) Transmission par adhrence : roues de friction.Principe :Deux roues cylindriques (ou coniques) sont en contact sur une gnratrice et soumises un effort presseur.Le frottement au contact des deux roues permet de transmettre une puissance de la roue motrice vers laroue rceptrice.Il faut donc choisir des matriaux ayant un coefficient de frottement important.

Dnomination :

Pice e : roue menante (entre)Pice s : roue mene (sortie)

Utilisation :Transmissions faible puissance (petitsappareils portables comme des baladeurs),ou dans des variateurs de vitesse.

Caractristiques :Les rayons des roues : eR et sR .

Paramtres :

)z,z( e0 )z,z( s0

La condition de roulement sans glissement en I (CIR de e/s) sexprime par : 0V e/sI

soit 0/eI0/sI VV

Donc e0/es0/s R.R. (car les roues ne tournent pas dans le mme sens) (Nb : si es RR alors 0/e0/s )

On en dduit le rapport de transmissione

s

e

s

0/s

0/e

D

D

R

Ri

(avec 0/e et

0/s )

Schmas normaliss :

Cette solution reste limite car elle ncessite des pressions de contact importantes pour assurer leroulement sans glissement en I.Pour pallier cette difficult, on ralise des transmissions par obstacle (voir paragraphe suivant).


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93) Transmission par obstacle : engrenages.

Utilisation :Tous les rducteurs : cela va du

rveil la boite de vitesse devotre future voiture.

Caractristiques :Les rayons des roues dentes :

eR et sR .

Paramtres :Les angles dfinissant lespositions angulaires de la roue etdu pignon.

Terminologie.Engrenage, pignon, roue et couronne.Un engrenage est constitu de deux roues dentes. On appelle la petite le pignon et la grande la roue (oucouronne si cest un engrenage intrieur).

Diamtres primitifs.Lengrnement de dentures assure le roulement sans glissement en I des cercles fictifs de diamtres De etDs. Ces cercles sont appels cercles primitifs. Ils correspondent aux diamtres des roues de friction quiassureraient le mme rapport de transmission.

Pas primitifs.Pour garantir cet engrnement, les pas primitifs respectifs des dentures du pignon et de la roue, quicorrespondent aux longueurs des arcs des cercles primitifs compris entre deux profils de dents conscutifs,doivent tre gaux :

s

s

e

e

z

R.2

z

R.2pas

(o ez et sz sont les nombres de dents des roues de diamtre eD et sD ).

On en dduit que :ss

ee

zR

zR et donc aussi que

ss

ee

zD

zD .

Module.Ce dernier rapport caractrise laptitude lengrnement des diverses roues entre elles. Il est appel module(symbolis m).

Pour une roue donne :z

Dm (unit en mm) et m.pas

Donc deux roues qui nont pas le mme module ne peuvent pas engrener car leur pas est diffrent.

Rapport de transmission.De la relation de roulement sans glissement du paragraphe prcdent, on en dduit :

le rapport de transmissione

s

e

s

e

s

0/s

0/e

z

z

D

D

R

Ri

.

Pignon eze dents

Roue szs dents I De

Ds


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Diffrents types dengrenages.Engrenage cylindrique extrieur ou intrieur ( denture droite ou hlicodale).

Contact extrieur (avec son dessin normalis) Contact intrieur (avec son dessin normalis)

Denture droite Denture hlicodale Jumel avec dentures hlicodales inverses Denture chevrons

Ils transmettent un mouvement entre deux arbres parallles.

Cas particulier pour denture droite : Ce sont les plus simples et les plus conomiques. Comme leurs dents sont parallles aux axes de rotation, ils peuvent admettre

des dplacements axiaux. Ils sont bruyants.

Cas particulier pour denture hlicodale :NB : Les deux roues denture hlicodale doivent avoir leurs hlices de sens opposs pour engrener ensembles. Le nombre de couple de dents en prise tant plus important, lengrnement est donc plus progressif et plus continu : ils sont donc

plus silencieux et peuvent transmettre un effort plus important. Employ seul, cet engrenage gnre des efforts axiaux (pour compenser cet effort, on utilise un jumelage de 2 engrenages

dentures hlicodales inverses ou alors des roues chevrons).

Engrenage conique ( denture droite ou hlicodale).

Denture droite Denture hlicodale Dessin normalis

Ils transmettent un mouvement entre des arbres axes concourants perpendiculairesou non.

Les arbres sont en porte faux. Ils gnrent des efforts axiaux. Les sommets descnes doivent concider.

Engrenage roue et vis sans fin (appel aussi engrenage vis).Vis sans fin

avec roue cylindriqueVis sans fin

avec roue creuseVis globique

avec roue creuseDessin normalis

Vue de cot Vue de face

Avecroue

cylindrique

avecroue

creuse

Transmission entre arbres axes non concourants. Irrversibilit possible scurit anti-retour (utile quand le rcepteur peut

devenir moteur : exemple : appareils de levage). Grand rapport de rduction (entre 5 et 150). Lengrnement se fait avec beaucoup de glissement entre les dentures, donc usure, et rendement faible (60%). La vis supporte

un effort axial important.Afin daugmenter la surface de contact des dentures, on utilise trs souvent des systmes roue creuse. (ou mieux encore unevis globique, mais le cot de la vis est important).


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Schmas normaliss.

NB : Les cerclesreprsents sur leschma cinmatiquecorrespondent auxcercles primitifs desroues.

Rducteurs ou multiplicateurs de vitesse train simple.Pour augmenter le rapport de rduction ou de multiplication, on peut associer plusieurs engrenages en srie.On parle alors de trains dengrenages.Lorsque les axes des diffrentes roues ont tous une position invariable par rapport au bti, on parle de

train simple .On qualifie de train picyclodal une configuration o lun des axes des diffrentes roues a une positionvariable par rapport au bti au cours du fonctionnement (voir paragraphe suivant).

Exemples courants de rducteurs ou multiplicateurs de vitesse train simple :

2 engrenages extrieurs 3 engrenages extrieurs 1 engr. extrieur + 1 engr. intrieur

)z

z).(

z

z(.i

''2

s

e

'2

0/s

0/2

0/2

0/e

0/s

0/e

)

z

z).(

z

z).(

z

z(..i

3

s

''2

3

e

'2

0/s

0/3

0/3

0/2

0/2

0/e

0/s

0/e

)

z

z).(

z

z(.i

''2

s

e

'2

0/s

0/2

0/2

0/e

0/s

0/e

De ces 3 exemples, on peut dduire que le rapport de transmission peut tre dtermin laide de la relationsuivante, o n correspond au nombre de contacts ou engrenages extrieursentre roues :

menantesrouesdesdentsdenombreduoduitPr

menesrouesdesdentsdenombreduoduitPr.)1(i n

0/s

0/e

len

)1( donne le sens de rotation entre les axes dentre et de sortie (il est donc utilis seulement sices axes sont parallles)Dans un engrenage, on qualifie de roue menante une roue motrice, et de roue mene une rouerceptrice. Dans le 2meexemple, on qualifie la roue 3 de roue folle . Cette roue est la fois menante (dela roue s) et mene (par la roue 2), son rle est de changer le sens de rotation.

Pour une roue creuse


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Rducteurs ou multiplicateurs de vitesse train picyclodal.Inconvnients des trains simples.Le rapport de rduction ou multiplication pour un seul couple de roues dentes est gnralement limit 7pour des raisons dencombrement et de vitesses circonfrentielles.De plus, les arbres dentre et de sortie ne sont pas aligns.do la ncessit dutiliser plusieurs tages (train simple) mais cela devient rapidement encombrant et lourd.

Inconvnients des engrenages roue et vis sans fin.Le rapport de rduction ou multiplication d'un engrenage roue et vis sans fin peut atteindre 150,malheureusement son rendement nexcde pas les 60%.De plus, les arbres dentre et de sortie ne sont pas aligns.

Dfinitions dun train picyclodal.Un train picyclodal est compos dorganes rotatifs dont au moins un lment le satellite est susceptiblede prendre deux mouvements de rotation indpendants : une rotation autour de son axe (rotation propre) etune rotation par rapport laxe gnral du systme.

Trains picyclodaux plan et sphrique.Un train picyclodal est dit plan lorsque tous les axes sont parallles : ce sont la majorit des trains (ex :

roue de camion, treuil, motorducteur...).Un train picyclodal est dit sphrique si tous les axes sont concourants (eng. conique) (ex : diffrentiel de voiture).

Plantaires, satellites et porte satellite.Les diffrents types de trains picyclodaux sont prsents ci-dessous. Les lments 1 et 3 sont appelsplantaires, les lments 2 sont les satellites, et 4 est le porte satellite.

Train picyclodal de type Iavec deux satellites 2 Train picyclodal de type Iavec trois satellites 2

Condition gomtrique entranant une relation sur le nombre de dents des diffrents lments.Exemple pour un train pi. de type I: 213 D.2DD 213 z.2zz

Exemple pour un train pi. de type II: 3''2'21 RRRR 3''2'21 zzzz

4

NB : Dans les trainspicyclodaux detype II, IIIet IVle

satellite 2 estappel satellite

double.

Si et seulement si les modulesdes 2 engrenages sont gaux.


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Disposition la plus frquente.Lutilisation de plusieurs satellites (voir exemples prcdents) ne change en rien la cinmatique, maissupprime les efforts radiaux sur les arbres et rduit les efforts sur les dentures. Mais le systme estfortement hyperstatique, il faut donc utiliser des solutions constructives adquates.

Sur un train picyclodal, les plantaires ou le porte satellite peuvent tre larbre dentre ou de sortie.Mais gnralement le rendement dun train picyclodal dont le porte satellite tourne est meilleur, ainsi pour

la majorit des rducteurs train picyclodal, celui-ci sera de type I avec le plantaire intrieur commeentre, le porte satellite la sortie, et le plantaire extrieur fixe.

Avantages des trains picyclodaux.Par rapport aux trains dengrenages simples, les trains picyclodaux ont larbre dentre et de sortie aligns,et des rapports de rduction ou multiplication levs.La mise en srie de plusieurs trains picyclodaux permet dobtenir de plus grands rapports avec unencombrement relativement faible (ex : galet freineur et rducteur du portail au labo).

Relation cinmatique : Relation de Willis.Prenons lexemple dun train de type II:

Les vecteurs rotation sont tous ports par laxe z.Dans la suite nous noterons iz le nombre de dents et iR le rayon primitif de fonctionnement du pignon i.

Traduisons le non glissement au point A : 0V 2/1A

0VVVV 2/4A4/0A0/1A2/1A

avec 40/110/1410/10/1O0/1A x..Rz.y.RAOVV

44/014/0414/04/0O4/0A x..Rz.y.RAOVV

42/4'22/44'22/422/4O2/4A x..Rz.y.RAOVV 2

donc 0x)..R.R.R( 42/4'24/010/11 0.R.R.R 2/4'24/010/11

Traduisons le non glissement au point B : 0V 2/3B

0VVVV 2/4B4/0B0/3B2/3B

avec 40/330/3430/30/3O0/3B x..Rz.y.RBOVV

44/034/0434/04/0O4/0B x..Rz.y.RBOVV

42/4''22/44''22/422/4O2/4B x..Rz.y.RBOVV 2

donc 0x)..R.R.R( 42/4''24/030/33 0.R.R.R 2/4''24/030/33


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On se retrouve avec un systme 2 quations :

0.R.R.R

0.R.R.R

2/4''24/030/33

2/4'24/010/11

Pour supprimer 2/4 (vitesse que lon

ne connat pas), on multiplie la 1requation par

''2

R et la 2mepar'2

R :

0.R.R.R.R.R.R

0.R.R.R.R.R.R

2/4''2'24/03'20/33'2

2/4'2''24/01''20/11''2

Et on additionne : 0).R.RR.R(.R.R.R.R 4/03'21''20/33'20/11''2

Soit : 0).R.RR.R(.R.R.R.R 0/43'21''20/33'20/11''2

En divisant par 1''2 R.R on obtient : 0.R.R

R.R1.

R.R

R.R0/4

1''2

3'20/3

1''2

3'20/1

Dautre part, on peut remarquer (par rapport au schma de la page prcdente) que si on fixe le porte satellite 4,

le train picyclodal devient un train simple, de rapport de transmission :1''2'23

00/30/1

R.RR.R

0/4

.

Posons ce rapport.

Par consquent, on obtient (de notre quation prcdente), la relation de Willis :

0.1. 0/40/30/1 avec00/3

0/1

0/4

En remplaant les repres, cette relation de Willispeut scrire sous 2 formes diffrentes :

0.1.0/Sa.Po0/B.Pla0/A.Pla

avec00/B.Pla

0/A.Pla

0/Sa.Po

(1reforme : la plus pratique)

ou

0/Sa.Po0/B.Pla

0/Sa.Po0/A.Pla avec00/B.Pla

0/A.Pla

0/Sa.Po

(2meforme)

O le paramtre appel raison de base du train est une constante et correspond au rapport detransmission du train dengrenage simple obtenu en immobilisant le porte satellite.

Remarque pour mieux retenir : la somme des coefficients de la 1reforme est nulle : 0)1(1

Exemple du rducteur ATV.Ci-dessous le schma cinmatique du rducteur ATV (avec 170zet,164z,160z,166z 3''2'21 ).

La relation de Willis scrit : 0.1. 0/40/30/1

avec 9991,0z

z.

z

z.)1(

''2

3

1

'20

00/3

0/1

0/4

Or 00/1 , s3 et e4 .

Ainsi la relation de Willis scrit : 0.1.0 0/e0/s

soit : 113310/s

0/e

cest dire un rapport de rduction trs important.


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94) Les liens flexibles (pignons-chane, poulies-courroie)Ils sont particulirement avantageux lorsquil sagit de relier de grands entraxes. Ils sont alors moins coteuxque les transmissions par engrenages.Ils sont utiliss dans tous secteurs de la construction mcanique (machines outils, convoyeurs, engins detravaux publics, moteurs ...).NB : Attention les roues ou poulies tournent dans le mme sens (contrairement aux engrenages).

Pignons-chane.Schma normalis :

PignonChanes

Avantages et inconvnients : Transmission de couples trs importants.

Aucun glissement.Entranement rapport constant (indpendant du couple).Les chanes pouvant sengager sur les pignons par leurs deuxfaces, le sens de rotation peut tre invers en interposant desgalets intermdiaires.

Bruyant et ncessite une lubrification.

Poulies-courroie.Schma normalis :

La transmission de puissance par poulie-courroie se fait par lintermdiaire deladhrence entre la courroie et la poulie.

Avantages et inconvnients : Rigidit en torsion assez faible, ceci permet leur utilisation lorsque les axes des

poulies ne sont pas parallles (possibilit dutiliser des galets intermdiaires).Solution conomique.Fonctionnement silencieux.Amortissement des -coups grce l'lasticit des courroies.

Matriaux des courroies non adapts des conditions difficiles (temprature

leve par exemple).Dure de vie limite.Ncessite une surveillance priodique en vue du remplacement de la courroie.Glissement (sauf pour courroie crante).

Documents

Cours 06 - Modélisation cinématique des liaisons_4