Cinématique - laurent.granjon.free.fr

Cinématique CH-2 PH-112

L.G. 3 24 octobre 2000

Cinématique

1. DéfinitionDéfinition : La cinématique est l’étude des systèmes matériels à chaque instant (t) de leur existence dupoint de vue de leur mouvement dans l’espace indépendamment des causes qui provoquent cesmouvements.

2. Espace, référentiel et repèreRappelons que l’espace physique est représenté par un espace réel aff ine euclidien de dimension 3

(E3). Unité de longueur le mètre (m). Pour les opérations sur les vecteurs, nous lui associerons un espacevectoriel (R3) de dimension 3, sur le corps des réels.

Choix d’un référentiel : Lorsque nous parlons des mouvements d’un point matériel, nous parlonsde mouvements par rapport à quelque chose. Pour décrire ces mouvements, il nous faut donc dire parrapport à quoi i ls ont lieu, il nous faut choisir un référentiel. Ce référentiel sera en général défini par unsolide, par un système concret, dont on peut parler. Exemple : Référentiel lié à la terre.

Choix d’un repère : un repère est un système de coordonnées. Ex : choix d’un axe fixe dans leréférentiel, il sert à décrire les mouvements. Il a un rôle mathématique. Dans la figure ci-dessous, nous pouvons choisir la roue de vélo comme référentiel. Cela ne nous

empêche pas de choisir comme repère le repère ( )O x y1 1 1, ,

ou le repère ( )O x y2 2 2, ,

ou alors le repère

( )I x y, ,

3 3 Mathématiquement, la formes des résultats sera différente, physiquement, les résultats

représenteront la même chose, ici, en particulier, tout point de la roue sera fixe dans ces repères,puisqu’ils sont liés au référentiel « roue ».

y3

x3

y1

x1O1

y2

x2

O2

I

Figure 1

Le repère ( )I x y, ,

3 3 par exemple peut être lié au référentiel « terre », auquel cas les points de la roue

seront en mouvement par rapport à ce repère lié au référentiel « terre », (ils décriront une cycloïde). Cemême repère pourrait être lié au référentiel « roue » auquel cas les points de la roue seront fixes dansce repère. Ce même repère pourrait être lié au point I, point de contact instantané entre la roue et lesol. Ce point est un « point libre » puisqu’ il n’est fixe par rapport à aucun solide. La trajectoire d’un



point de la roue, mis en équations dans ce repère lié au point I, point de contact roue/sol, serait alorsun cercle

3. TempsLe temps est représenté par un espace aff ine réel de dimension 1, orienté du passé vers l’avenir,

muni d’une unité de durée, la seconde (s).

Le temps de la mécanique classique est indépendant de l’observateur. Deux événements quiparaissent simultanés à un observateur le paraissent aussi pour tout autre. Quelque soit le référentiel danslequel on se trouve, le temps sera le même, s’écoulera de la même façon (ce ne serait plus vrai enmécanique relativiste).

4. Systèmes de coordonnéesIl existe différents systèmes de coordonnées, que nous adapterons au problème à traiter. Nous

allons étudier les plus courant :

4.1. Coordonnées cartésiennes

k

ij

M

x

y

z

OQ

P

R

Figure 2

OM x i y j z k →

= ⋅ + ⋅ + ⋅

eq. ( 1)

(x,y,z) forment un trièdre direct

i j k

j k i

k i j

∧ =

∧ =

∧ =

eq. ( 2)

On note )eou eement (respectiv e ou )ket jement (respectiv i zyx

le vecteur unitaire dans la direction x

(respectivement y et z). e e ex y z (respectivement et ) est perpendiculaire au plan x x=constante

(respectivement y et z) et montre la direction des x (absisses) croissants (resp. y : ordonnée, z : cote)

Les composantes x,y,z ne sont autres que les abscisses sur les axes des projections P,Q et R du point M.

La correspondance des points de l’espace géométrique avec les éléments (x,y,z) de

est bijective. Les

trois axes jouent un rôle symétrique. Ceci fait qu’ il est souvent plus simple de travailler avec lescoordonnées cartésiennes, ce qui fait que nous les utiliserons de manière préférentielle si nous n’avonspas de raisons particulières de choisir un autre système de coordonnées.



4.2. Coordonnées cylindriques

e

e M

x

yO

z

P

ez

Figure 3

Les coordonnées du point sont définies par :

OP = ≥ρ 0

( ) π⋅<θ≤θ= 20 avec OP,Ox eq. ( 3)

z

Ce système de coordonnées permet de recouvrir tout l’espace une fois et une seule, en respectant les

intervalles définis pour et . Un triplet de nombres, [ ]ρ θ, ,z correspond à un point de l’espace et un

seul ; cependant la réciproque n’est pas vraie, car pour les points de l’axe Oz ( =0) l’angle resteindéterminé.

Base locale des coordonnées cylindriques eρ est un vecteur unitaire perpendiculaire au cylindre d’axe Oz passant par M, indiquant la direction

des croissants. ez est un vecteur unitaire porté par Oz

eθ est un vecteur unitaire normal au plan défini par eρ et ez , et tel que ( ) e e ezρ θ, , forme un trièdre

direct.

( ) e e ezρ θ, , forme un trièdre direct local..

Correspondance avec les coordonnées cartésiennes :

ρθ

ρ θρ θ

z

x

y

z

x

y

z z

→

= ⋅= ⋅

=

:

cos( )

sin( ) eq. ( 4)

près k àqu' définiest n' attention,

zzxy

arctan

yx

:

zz

y

x22

π⋅θ

=

=θ

+=ρ

θρ

→

eq. ( 5)

Attention, cette dernière équation peut poser des problèmes, la valeur de θ est à moduler en fonction dusigne de x et de y



4.3. Coordonnées sphériques

Figure 4

Les coordonnées du point sont définies par :

OM r= ≥ 0

( ) π⋅<ϕ≤ϕ= 20 avec OP,Ox eq. ( 6)

( ) π≤θ≤θ= 0 avec OM,Oz

Ce système de coordonnées permet de recouvrir tout l’espace une fois et une seule, en respectant les

intervalles définis pour r, et . Un triplet de nombres, [ ]r, ,θ ϕ correspond à un point de l’espace et un

seul ; cependant la réciproque n’est pas vraie, car pour les points de l’axe Oz ( =0, ou = ) l’angle reste indéterminé.

Coordonnées sphériques et plan méridien

Une façon «plus parlante» pour certains de visualiser les coordonnées sphérique consiste à tracer unesphère d’origine O, de rayon r, (donc passant par M). Le schéma est le suivant

Plan parallèle θ = cte

Plan méridien ϕ = cte

plan équatorialθ

π=

2

Figure 5

Le plan méridien est le plan défini par( )OM,Oz . Il correspond au plan =constante.

Le plan parallèle est le plan défini par ( )OM,Ox . Il correspond au plan =constante.

( )OM,Ox=ϕ est appelé longitude ou azimut

( )θ = Oz OM, est appelé colatitude



Remarques : En géographie, les coordonnées sphériques sont utilisées pour désigner la position d’un point du

globe (à l’exception du «rayon vecteur» inutile dans ce cas précis). Toutefois, la latitude

est utiliséeen lieu et place de la colatitude, la latitude étant le complément de la colatitude.

[- /2, /2], avec > 0 pour les latitudes nord, <0 pour les latitudes sud [- , ], avec

> 0 pour les longitudes est,

<0 pour les longitudes sud

Méridien d’origine = Méridien de Greenwich (village proche de Londre) ou de Paris

Choix de la colatitude : le physicien préfère employer la colatitude car, lorsque le problème ne dépendpas de

, on retrouve les coordonnées polaires dans le plan méridien.

Base locale des coordonnées sphériqueser est un vecteur unitaire tel que rerOM

⋅=

eθ est dans le plan méridien de M, directement perpendiculaire à re

. θe

est donc un vecteur tangent au

cercle passant par M de centre O, ou méridien passant par Meϕ est un vecteur unitaire tel que le trièdre ( )

e e er , ,θ ϕ soit un trièdre direct, donc e e er ∧ =θ ϕ .

Propriété : eϕ est un vecteur tangent au parallèle passant par M.

Figure 6 Figure 7

Correspondance avec les coordonnées cartésiennes :

( ) ( )( ) ( )( )

x r

y r

z r

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅= ⋅

sin cos

sin sin

cos

θ ϕ

θ ϕθ

eq. ( 7)



π⋅

=ϕ

++=θ

=

y)et x de signesaux (attention près k à ours touj xy

arctan

zyx

zarccos

r

222eq. ( 8)

4.4. Dérivée d’un vecteur unitaire par rapport à un angle

Figure 8

( ) ( ) ( )

θ

θ−θ+θ=

θρρ

→θ

ρ

d

edelim

d

ed0d

est égale à la dérivée de ρe

par rapport à ,

( )θρ

d

ed

.

Ecrivons ρe

dans le repère (O,x,y) :

( ) ( ) jsinicose

⋅θ+⋅θ=ρ eq. ( 9)

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) jcosisinjd

sindi

dcosd

d

ed

⋅θ+⋅θ−=⋅θ

θ+⋅θ

θ=θρ eq. ( 10)

Remarquons que ( ) ( ) jcosisine

⋅θ+⋅θ−=θ eq. ( 11)

( )θ

ρ =θ

ed

ed

eq. ( 12)

De la même façon, nous remarquons ( ) ( ) ( ) ρ

θ −=⋅θ−⋅θ−=θ

ejsinicosd

ed

eq. ( 13)

Théorème : La dérivée d’un vecteur unitaire par rapport à un angle est le vecteur unitaire directementperpendiculaire.

4.5. Vecteur rotationdéfinition : Le vecteur rotation,

r/OMΩ ou vecteur vitesse de rotation instantanée du vecteur OM par

rapport au repère r est le vecteur défini par :

sa direction est porté par l’axe de rotation instantané de OM par rapport à r

sa norme est proportionnelle à la vitesse angulaire de OM par rapport à r



Dans le cas du schéma précédent kr/OM

⋅θ=Ω eq. ( 14)

Si nous calculons ρ∧Ω er/OM

:

( )

( )( )

( )

( )( )

( )k,j,ik,j,ik,j,i

r/OM

0

cos

sin

0

sin

cos

0

0

e

θ⋅θθ⋅θ−

=

θθ

∧

θ=∧Ω ρ eq. ( 15)

Nous constatons alors que ρρ ∧Ω= e

dt

edr/OM

eq. ( 16)

.

Nous pouvons généraliser ce résultat pour tout vecteur unitaire lié à M.

5. Trajectoires5.1. Point matérielDéfinition : Un point matériel est le modèle d’un objet (un objet idéalisé) suff isamment petit pour êtreconsidéré comme ponctuel. Il est affecté d’une masse. Sa position est parfaitement définie dans l’espaceaff ine euclien par la connaissance d’un triplet de nombres caractérisant le vecteur position dans un repèredonné.

Exemples : Si on s’ intéresse au mouvement de la lune ou d’un satell ite autour de la terre, considérer la terre et la

lune comme des points matériel est généralement suffisant. S’ intéresser au mouvement d’un ballon de football en considérant ce dernier comme un point matériel

n’est généralement pas suff isant (cette modélisation ne permet pas de prendre en compte « l’effet » duballon)

Si on s’ intéresse au mouvement de la terre autour du soleil, il peut être judicieux de considérerl’ensemble terre + lune comme un ensemble de points matériels. On s’ intéresse alors au barycentredes points matériels considérés, affectés de la masse totale.

Figure 9

On remarque, dans ces exemples, que la taille de l’objet doit être « petite » relativement aux distancesmises en jeu dans les phénomènes étudiés pour pouvoir utiliser la modélisation de type « pointmatériels ». Cette modélisation ne doit pas non plus empêcher la prise en compte de certains phénomènesparticuliers (mouvements de rotation de l’objet modélisé en particulier).


L.G. 10 24 octobre 2000

5.2. TrajectoireDéfinition : Courbe décrite par un point matériel en fonction du temps dans un référentiel donné.

Figure 10

La trajectoire peut être décrite dans un repère donné par 3 équations paramétriques x=f(t), y=g(t) etz=h(t).

La position à l’instant t est donnée par :

eq. ( 17)

s = abscisse curviligne

s = fonction croissante du temps

s(t) est l’équation horaire du mouvement.

5.3. Trièdre de Frenet Tangente à la courbe :

Figure 11

M’ est un point voisin de M

'MM est la corde.

La position limite de la corde lorsque M’ tend vers M est la tangente en M à la courbe

T est le vecteur tangent, unitaire. Il est porté par la tangente à la courbe en M. T peut être défini de lafaçon suivante.

=

→ 'MM

'MMlimT

M'Meq. ( 18)

Note : Pour que la définition soit valable (que T « pointe dans le bon sens »), il faut que, M étant le pointdéfini à s(t), M’ soit le point défini à s(t+dt). Plan osculateur

Soit T le vecteur tangent à la courbe en M, et M’ un point proche de M défini de la même manière que ci

dessus. Le plan osculateur est le plan défini par ( )'MM,T lorsque M’ tend vers M.


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Figure 12

( )'MM,TlimosculateurPlan M'M →

=

Dans ce plan, un seule droite D est perpendiculaire à T .

Figure 13

En M’ on trace le vecteur 'T , et le plan P perpendiculaire à 'T . L’ intersection de la droite D et du plan Pforme le point O.

Figure 14

La position limite de O quand M’ tend vers M est le centre de courbure de la trajectoire au point M,appelé C. CM=R rayon de courbure de la courbe au point M

NRMC ⋅= eq. ( 19)

N est un vecteur unitaire porté par (MC) et dirigé vers C.

Figure 15


L.G. 12 24 octobre 2000

N est le vecteur normal.

Le trièdre est complété avec B vecteur Binormal : NTB ∧= eq. (20)

( )B,N,T est un trièdre local : le trièdre de Frenet

Remarque :

Figure 16

eq. ( 21)

α⋅== dR'MMds eq. ( 22)

NdTd =α

(voir 4.4 ) eq. ( 23)

R

N

R

1N

ds

d

d

Td

ds

Td =⋅=α⋅α

= eq. ( 24)

6. Vecteur vitesseDans un référentiel donné, soit M la position du mobile à l’ instant t, et M’ sa position à l’ instant t+dt. Pardéfinition, la vitesse du mobile à l’instant t est donnée par le vecteur :

t'MM

lim)M(v0t ∆

=→∆

eq. ( 25)

Soit O un point fixe par rapport au référentiel OM'OM'MM −= . Par définition,

( )dtOMd

tOM'OM

limMv0t

=∆−=

→∆eq. ( 26)

Si le problème considéré utilise plusieurs référentiels différents, il est souhaitable de préciser par rapportà quel référentiel cette vitesse est exprimée :

( )dtOMd

Mv rr/ = eq. ( 27)


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6.1. Composantes de la vitesse en coordonnées cartésiennes position : kzjyixrOM

⋅+⋅+⋅== eq. ( 28)

vitesse : kzjyixdtrd

dtOMd

v

⋅+⋅+⋅=== eq. ( 29)

vitesse, écrite autrement : v

x

y

z

→=

eq. ( 30)

Si le problème comporte plusieurs points et plusieurs bases, nous écrirons :

position OM x i y j z kr r r

→= ⋅ + ⋅ + ⋅

eq. ( 31)

vitesse rrrr

R/ kzjyixdtOMd

)M(V

⋅+⋅+⋅== eq. ( 32)

vitesse, écrite autrement ( ) ( )rrr k,j,i

r/

r

r/

z

y

x

MVou

z

y

x

MV

=

= eq. ( 33)

Remarque : Nous verrons plus tard qu’ il est aussi possible de calculer la vitesse d’un point M par rapportà une base r en écrivant les coordonnées de OM dans une base s, mais la dérivation n’est plus aussisimple.

6.2. Composantes de la vitesse en coordonnées cylindriques

Figure 17

zezeOM

⋅+⋅ρ= ρ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )dted

zedtzd

dt

ede

dtd

dt

ezed

dtOMd

V zz

z

⋅+⋅+⋅ρ+⋅ρ=⋅+⋅ρ

== ρρ

ρ

( )zz ezee0ez

dtd

d

edeV

⋅+⋅θ⋅ρ+⋅ρ=+⋅+θ⋅θ

⋅ρ+⋅ρ= θρρ

ρ

( )ze,e,e

z

z

ezeeV

θρ

θ⋅ρ

ρ=⋅+⋅θ⋅ρ+⋅ρ= θρ


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Remarque, dans le cas de problèmes plan en coordonnées polaire (z=0) θρ ⋅θ⋅ρ+⋅ρ= eeV

ρ ρ⋅

e est la composante radiale

ρ θ θ⋅ ⋅

e est la composante orthoradiale

6.3. Composantes de la vitesse en coordonnées sphériquesNous avons vu qu’en coordonnées sphériques, rerOM

⋅=

( ) ( ) ( ) ( )dted

rerdted

redtrd

dterd

dtOMd

V rr

rr

r

⋅+⋅=⋅+⋅=⋅==

Projetons

er sur les vecteurs de base

u k et

Figure 18

( ) ( )

e k ur = ⋅ + ⋅cos sinθ θ

( ) ( ) ( ) ( )d e

dt

d

dtk

d

dtu

du

dtr

= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅θ

θθ

θ θsin cos sin

Sachant que du

dt

du

d

d

dt

d

dte

= ⋅ = ⋅ϕ

ϕ ϕϕ et que ( ) ( )

e k uθ θ θ= − ⋅ + ⋅sin cos

( ) ( )d e

dt

d

dte

d

dter

= ⋅ + ⋅ ⋅θ

θϕ

θ ϕsin donc ( )v r e r e r er

→= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

sin θ ϕ θθ ϕ

Nous aurions pu remarquer que

( )( )

( )ϕθ

θθ⋅ϕθ⋅ϕ

=⋅θ+⋅ϕ=Ω ϕ

e,e,e

r/OM

r

sin

cos

ek

.

en appliquant le résultat vu précédemment :

( )rr/OMr

rr erer

dted

rerV

∧Ω⋅+⋅=⋅+⋅=

nous trouvons :

( ) ϕθ ⋅θ⋅ϕ⋅+⋅θ⋅+⋅= esinrererV r

6.4. Composantes de la vitesse en coordonnées intrinsèques

Tdtds

dtds

dsOMd

dtOMd

V ⋅=⋅==

v v T= ⋅ vds

dt=


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7. Vecteur accélérationLe vecteur accélération du mobile M est, par définition la dérivée par rapport au temps du vecteur

vitesse.

2

2

dtOMd

dtVd ==γ

Le vecteur accélération peut aussi être défini comme la limite suivante :

t)t/M(V)tt/M(V

lim)t/M(0t ∆

−∆+=γ→∆

Si le problème comporte différents référentiels, il faut préciser par rapport à quel référentiell’accélération est calculée :

dt)M(vd

)M( R/rR/ =γ

7.1. Composantes de l’accélération en coordonnées cartésiennes vitesse : kzjyixV

⋅+⋅+⋅=

accélération : kzjyixdtVd

⋅+⋅+⋅==γ

=γ

z

y

x

Cas d’un problème comportant plusieurs bases

( ) rrrr/ kzjyixMv

⋅+⋅+⋅=

rrrr/r

r/ kzjyixdt

)M(vd)M(

⋅+⋅+⋅==γ ( ) ( )rrr k,j,i

r/

r

r/

z

y

x

Mou

z

y

x

M

=γ

=γ

Notons qu’ il nous sera possible d’écrire la position, la vitesse et l’accélération d’un point M relativementà un référentiel « r » en projection dans une base « s » pas forcément liée à « r ». Nous écrirons alors :

( )

( )

O M

x

y

z

x i y j z k

v M

V

V

V

V i V j V k

M i j k

r

s

s s s

r

x

y

z s

x s y s z s

r

x

y

z s

x s y s z s

→

→

→

=

= ⋅ + ⋅ + ⋅

=

= ⋅ + ⋅ + ⋅

=

= ⋅ + ⋅ + ⋅

/

/γγγγ

γ γ γ

Référentiel par rapport auquella position, la vitesseet l’accélération sont calculées

Repère dans lequel est projetéle résultat du calcul


L.G. 16 24 octobre 2000

Notons aussi, que, dans le cas général,

V

V

V

x

y

z

V

V

V

X

y

z s

X

y

z s

X

y

z s

≠

≠

s

et, de même,

γγγ

, sauf si la base « s »

est liée au référentiel « r ».


L.G. 17 24 octobre 2000

7.2. Composantes de l’accélération en coordonnées cylindriques vitesse zezeeV

⋅+⋅θ⋅ρ+⋅ρ= θρ

accélération : zezdtd

ded

eedtd

d

ede

dtVd

⋅+θ⋅θ

⋅θ⋅ρ+⋅θ⋅ρ+⋅θ⋅ρ+θ⋅θ

⋅ρ+⋅ρ==γ θθθ

ρρ

z2 ezeeeee

⋅+⋅θ⋅ρ−⋅θ⋅ρ+⋅θ⋅ρ+⋅θ⋅ρ+⋅ρ=γ ρθθθρ

( ) ( ) z2 eze2e

⋅+⋅θ⋅ρ+θ⋅ρ⋅+⋅θ⋅ρ−ρ=γ θρ

( )ze,e,e

2

z

2

θρ

θ⋅ρ+θ⋅ρ⋅

θ⋅ρ−ρ=γ

7.3. Composantes de l’accélération en coordonnées sphériqueLe calcul s’effectue en dérivant la vitesse en coordonnées sphériques par rapport au temps.

( ) ϕθ ⋅θ⋅ϕ⋅+⋅θ⋅+⋅= esinrererV r

( ) ( )

( ) ( )dt

edsinrecosr

.....esinresinrdted

rererdted

rer rr

ϕϕ

ϕϕθ

θθ

⋅θ⋅ϕ⋅++⋅θ⋅θ⋅ϕ⋅+

+⋅θ⋅ϕ⋅+⋅θ⋅ϕ⋅+⋅θ⋅+⋅θ⋅+⋅θ⋅+⋅+⋅=γ

notons que

du

dt

du

d

d

dte

= ⋅ = ⋅ϕ

ϕϕ ϕ

( )dedt

e er

= ⋅ + ⋅ ⋅

sin

θ θ ϕθ ϕ

( ) ( )

e u kθ θ θ= ⋅ − ⋅cos sin donc ( ) ( ) ( )dedt

u kdudt

θ θ θ θ θ θ= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅

sin

cos cos

( )dedt

e er

θϕθ θ ϕ= − ⋅ + ⋅ ⋅

cos

( ) ( )de

dt

de

dddt

u e er

ϕ ϕθϕ

ϕϕ ϕ θ ϕ θ= ⋅ = − ⋅ = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

cos

sin

Tout calculs faits, nous obtenons :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r

222

r2

r

esinrecossinrecosresinr....

....esinrecosrerereresinrerer

⋅θ⋅ϕ⋅−⋅θ⋅θ⋅ϕ⋅−⋅θ⋅θ⋅ϕ⋅+⋅θ⋅ϕ⋅+

⋅θ⋅ϕ⋅+⋅θ⋅ϕ⋅θ⋅+⋅θ⋅−⋅θ⋅+⋅θ⋅+⋅θ⋅ϕ⋅+⋅θ⋅+⋅=γ

θϕϕ

ϕϕθθϕθ


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Regroupons les calculs en fonction des différents vecteurs unitaires :

( )( )( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ϕ

θ

⋅θ⋅ϕ⋅θ⋅⋅+θ⋅ϕ⋅⋅+θ⋅ϕ⋅+

⋅θ⋅θ⋅ϕ⋅−θ⋅+θ⋅⋅+

⋅θ⋅ϕ+θ⋅−=γ

ecosr2sinr2sinr

ecossinrrr2

esinrr2

r222

( )( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )ϕθ

θ⋅ϕ⋅θ⋅⋅+θ⋅ϕ⋅⋅+θ⋅ϕ⋅θ⋅θ⋅ϕ⋅−θ⋅+θ⋅⋅

θ⋅ϕ+θ⋅−=γ

⋅

e,e,e

2

222

r

cosr2sinr2sinr

cossinrrr2

sinrr

7.4. Composantes de l’accélération en coordonnées intrinsèques (trièdre deFrenet)

Tdtds

V

⋅=

dsd

dTd

dtds

Tdt

sddtds

dsTd

dtds

Tdt

sddtTd

dtds

Tdt

sddtVd

2

2

2

2

2

2

2 α⋅α

⋅

+⋅=⋅⋅+⋅=⋅+⋅==γ

dT

dN

d

ds R

αα

= = et 1

Donc NRv

Tdtdv

NR1

dtds

Tdt

sd 22

2

2

⋅⋅+⋅=⋅⋅

+⋅= γγ

8. Quelques mouvements simplesRemarques concernant la nature du mouvement : un mouvement est accéléré si la norme du vecteur vitesse croît, décéléré si cette norme décroît :

mouvement accéléré : 0dtVd

V0dtVd

0dt

Vd0

dt

Vd 22

>⋅⇒>⇒>⇒>

donc 0V >γ⋅

mouvement décéléré : de la même façon, nous trouvons 0V <γ⋅

mouvement uniforme : 0V =γ⋅

Dans tous les cas, l’accélération se décompose en NRv

Tdtdv 2

⋅⋅+⋅=γ

dv

dt indique si le mouvement est accéléré, décéléré ou uniforme (note Vv = )

v

R

2

nous donne des indications sur le changement de direction de V


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8.1. Mouvements rectilignesLa trajectoire est une droite. Nous prenons un point origine O sur cette droite, et un vecteur unitaire

i lié

à cette droite. Le mouvement étant rectiligne, i)t()t(

⋅γ=γ . En intégrant l’accélération de manière àretrouver la vitesse, nous pouvons obtenir la loi horaire :

exemples : Mouvement uniformément varié : γ ( )t = =Γ0 constante (à t=0 v=v0 et x=x0)

d x

dt

2

2 0= Γ vdx

dtdt t v= = ⋅ = ⋅ +∫ Γ Γ0 0 0 ( )x t v dt t v t x= ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ +∫ Γ Γ0 0 0

20 0

1

2 Oscillateur harmonique : γ ( ) ( )t k x t= − ⋅ (à t=0 v=v0 et x=x0)

d x

dtk x t

2

2 = − ⋅ ( )

On ne peut intégrer simplement ici, il faut résoudre l’équation différentielle d x

dtk x

2

2 0+ ⋅ =

La solution est de la forme ( ) ( )x A k t B k t= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅cos sin .

nous en déduisons ( ) ( )vdx

dtA k k t B k k t= = − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅sin cos .

A t=0 ( ) ( )x x A B A= = ⋅ + ⋅ =0 0 0cos sin A x= 0

A t=0 ( ) ( )v v A k B k= = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅0 0 0sin cos Bv

k= 0

8.2. Mouvements circulairesLe mobile M se déplace sur un cercle de rayon R, de centre C et d’axe

. Il est pratique, dans ce cas, de

choisir d’utiliser les coordonnées cylindrique, centre O=C, axe z tel que z soit un vecteur unitaire de

.

Figure 19 Figure 20

Etant donné que, pour tout point de la trajectoire z=0, le problème est plan, et les coordonnées polairessuffiront.


L.G. 20 24 octobre 2000

( )( )

( )k,j,i0

sinR

cosR

OM

θ⋅θ⋅

= ( )ze,e,e

0

R

OM

θρ

θ= R=Constante,

=

(t)

Remarque, la connaissance de la loi =

(t) suff it à définir le mouvement de M. Le mouvement n’a qu’un

seul degré de liberté. Calcul de la vitesse

En coordonnées cylindriques (cas général) zezeeV

⋅+⋅θ⋅ρ+⋅ρ= θρ .

Ici θ⋅θ⋅= eRV

En coordonnées intrinsèque : Tdtds

V

⋅= .

Ici s(t)=R (t) donc TRV ⋅θ⋅= Remarque : L’expression est identique en

coordonnées polaires et intrinsèque (car T e= θ ).

Remarque : la trajectoire est un cercle de centre O :

k,cteROM ⋅θ=Ω== ( ) ( ) θρ ⋅θ⋅=⋅∧⋅θ=∧Ω== eReRkOM

dtOMd

V

Calcul de l’accélération

En coordonnées polaires ( )

ρθ ⋅θ⋅−⋅θ⋅=⋅θ⋅

=γ θ eReRdt

eRd 2

En coordonnées intrinsèques ( )

γθ

θ θ θ θ →

=⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅d R T

dtR T R

dT

dtR T R N

2

Nous pouvons décomposer NRTR 2

⋅θ⋅+⋅θ⋅=γ l’accélération ainsi trouvée en

une accélération T tangentielle, qui indique si le mouvement est accéléré, uniforme ouretardé : γ θT R= ⋅ . Cette accélération est portée par le vecteur tangent T

une accélération N normale, qui permet le changement de direction du vecteur V :γ θN R= ⋅ 2 . Cette accélération est portée par le vecteur normal N

8.3. Mouvement rectiligne sinusoïdalReprenons le mouvement du point M décrit au 8.2 et intéressons nous au point P, projection du point M

sur l’axe ( )O i,


L.G. 21 24 octobre 2000

Figure 21

θ ω ω= ⋅ t avec = constante. ( )( ) ( )j,i

tsinR

tcosROM

⋅ω⋅⋅ω⋅

=( )

( )j,i0

tcosROP

⋅ω⋅=

( )( )j,i

0

)tsin(RPv

⋅ω⋅ω⋅−= ( )

( )j,i

2

0

)tcos(RP

⋅ω⋅ω⋅−=γ

La projection de M sur l’axe ( )O i,

a un mouvement rectiligne sinusoïdal d’amplitude R. Ce type de

mouvement est appelé oscillations harmoniques.

8.4. Mouvement hélicoïdal( )( )

( )k,j,ih

sinR

cosR

OM

θ⋅θ⋅θ⋅

=

( )ze,e,eh

R

OM

θρ

θ⋅θ= R et h sont des constant

Exemples : - escalier en colimaçon

- vis

- systèmes de transformation de mouvement de rotation en mouvement de translation.........

Figure 22


L.G. 22 24 octobre 2000

Pas de l’hélice : MM’=2 h Vitesse : zezeeV

⋅+⋅θ⋅ρ+⋅ρ= θρ ici =R=constante et z=h zeheRV

⋅θ⋅+⋅θ⋅= θ

Accélération z2 eheReR

⋅θ⋅+⋅θ⋅+⋅θ⋅−=γ θρ

Calcul de l’angle alpha. Plaçons nous dans le cas du parcours de l’hélicoïde dans le sens des croissants.

θ est donc supérieur à 0.

définition : alpha est l’angle entre l’horizontale et la tangente à la courbe.

( ) ( )α⋅=

α−π⋅⋅=⋅⋅=⋅ sinv

2cos1ve,VcoseVeV zzz

.

Mais c’est aussi, par définition, la projection de V sur l’axe z, donc la coordonnée suivant z.nous en déduisons que : ( )v h⋅ =sin α θ

( ) ( )v R h R h= ⋅ + ⋅ = ⋅ + θ θ θ2 2 2 2 et ( )v h⋅ =sin α θ

Donc ( )

sin

θ α θ⋅ + ⋅ =R h h2 2 ( )R h h2 2+ ⋅ =sin α ( )sin α =+

h

R h2 2

l’angle ne dépend que de h et de R. Le vecteur vitesse fait donc un angle constant avecl’horizontale.

La tangente à la courbe fait un angle =constante avec l’horizontale. Soit P la projection de M sur le plan (O,x,y) et Q la projection de M sur l’axe (O,z).

P décrit un mouvement circulaire Q décrit un mouvement uniforme

Cas particulier : si θ ω= = constante alors P décrit un mouvement circulaire uniforme Q décrit un mouvement rectiligne uniforme

8.5. Mouvements à accélération centrale définition : On appelle mouvement à accélération centrale un mouvement tel qu’à chaque instant

l’accélération du point M passe par un point fixe O. Ceci peut se traduire, sous forme d’équations, de

la manière suivante : 0OM =γ∧

Figure 23

Ce type de mouvement est courant, en effet, il a lieu dès qu’un point sera en mouvement sous l’effetd’une force passant par un point fixe (force centrale). (cf chapitre 11)

Ce mouvement possède des propriétés remarquables que nous allons examiner.


L.G. 23 24 octobre 2000

Introduisons le vecteur « vitesse aréolaire » VOMC ∧=

Calculons sa dérivée temporelle : 0OMVVdtVd

OMVdtOMd

dtCd =γ∧+∧=∧+∧=

Nous remarquons que la dérivée temporelle de C est nulle (dans le cas d’un mouvement à forces

centrales), donc que C est une constante du mouvement.

Conséquences :

C étant un vecteur constant, il « pointe » toujours la même direction de l’espace. Puisque

VOMC ∧= , Vet MO appartiennent à un plan perpendiculaire à C . Le mouvement est donc unmouvement plan.

Figure 24 Plaçons nous en coordonnées polaires dans le plan P :

eθ

eρV

γ

O

x

M

Figure 25 Vecteurs position, vitesse et accélération

ρ⋅ρ= eOM θρ ⋅θ⋅ρ+⋅ρ= eeV

( ) ρ⋅θ⋅ρ−ρ=γ e2

La forme du vecteur accélération est liée à la définition du mouvement à accélération centrale : il estporté par eρ

( ) ( ) ( )zzz e,e,e

2

e,e,ee,e,e

0

0

00

0VOMC

θρθρθρ

θ⋅ρ=

θ⋅ρ

ρ∧

ρ=∧= ρ θ2 ⋅ = =

C Constante


L.G. 24 24 octobre 2000

Loi des aires

Figure 26

Soit dS l’aire balayée par OM pendant le temps dt.

ρ ρ ρθ θ θ

→ +→ +

d

d

OM

MM

=

= ⋅

ρ

ρ θ' dS

dt

C= ⋅ ⋅ = =

1

2 22ρ θ

constante

Le rayon vecteur OM →

balaie des aires égales pendant des temps égaux. Cette loi des aires s’écrit

2⋅ =dS

dtC

Formules de Binet : Ces formules s’appuient sur la relation Cd

dt= ⋅ρ

θ2 pour éliminer le temps des

expressions de v2 et de .

θρθρ

θ⋅ρ+θ⋅θρ=⇒θ⋅ρ+ρ= e

dtd

edtd

dd

Vedtd

edtd

V sachant que d

dt

Cθρ

= 2

θρ ρ⋅ρ+

ρ⋅

θρ= e

Ce

Cdd

V22

On en déduit la première formule de Binet : v Cd

d2 2

2 21 1

=

+

ρ θ ρ

ρ⋅

θ⋅ρ−ρ=γ e

dtd

dtd

2

2

2

d

dt

d

d

d

d

d

dt

d

dt

d

d

d

d

C C C d

d

d

d

C d

d

d

d

2

2 2 2

2

2 2

2

2

11

ρθ

ρθ

θ θθ

ρθ ρ ρ ρ θ ρ

ρθ ρ θ

ρθ

= ⋅

⋅ = ⋅

⋅ = ⋅ ⋅

= ⋅ −

d

dt

C d

d

2

2

2

2

2

2

1ρ

ρρ

θ= − ⋅

− ⋅ = − ⋅

= −ρ

θρ

ρ ρd

dt

C C2

2

2 2

3


L.G. 25 24 octobre 2000

On en déduit la seconde formule de Binet : ρ⋅

ρ+

θ

ρ⋅ρ

−=γ e1

d

1d

C2

2

2

2

Remarque importante : Moment d’un vecteur par rapport à un point :

Soit M un point et O un autre point. On appelle moment du vecteur V passant par M par rapport au point

O le vecteur ( )( ) ( )MVOMMVM O/ ∧= . Par définition, le moment ( )( )MVM O/ est un vecteur

perpendiculaire aux vecteurs OM et )M(V .

Le vecteur VOMC ∧= est le moment de la vitesse du point M relativement au point O.

Définition : Le vecteur quantité de mouvement du point M affecté de la masse m est le produit de cettemasse m par le vecteur vitesse instantanée de M

vmp ⋅=

Définition : Le moment cinétiqueσ du point M affecté de la masse m, par rapport au point O est le

produit vectoriel du vecteur OM et de p , vecteur quantité de mouvement de M

vOMmpOM ∧⋅=∧=σ

9. Changement de référentielIl est souvent utile de pouvoir déterminer la vitesse et l’accélération d’un point par rapport à un

référentiel donné, alors que vitesse et accélération sont déjà connues dans un autre référentiel. L’objet dece paragraphe sera donc d’apprendre à transférer vitesse et accélération d’un référentiel vers un autre.

Prenons un exemple : Soit la voiture représentée ci-dessous, en mouvement de translation par rapport ausol. Intéressons nous au mouvement d’un point de la roue par rapport

à la roue (référentiel « 2 » et repère « 2 » lié au référentiel « 2 »

à la voiture (référentiel et repère « 1 »

au sol (référentiel et repère « 0 »

Figure 27

Nous remarquons immédiatement que le point M est fixe par rapport à la roue (il est « lié » à la roue),qu’ il décrit un cercle par rapport au véhicule (il a un mouvement de rotation, dont l’axe de rotation est


L.G. 26 24 octobre 2000

celui de la roue), et que son mouvement par rapport au sol est beaucoup plus compliqué. (nous verronsqu’il s’agit d’une cycloïde).

9.1. Point Coïncidant

Figure 28

Soit M le point dont on étudie la trajectoire Soit "0" le repère lié au référentiel fixe

Soit "1" le repère lié au référentiel mobile

On appelle point coïncidant le point P du référentiel mobile qui, à l’ instant t, coïncide (est confondu)avec le point M

Remarques :

P appartient au référentiel mobile, il est fixe par rapport à ce référentiel

M n’appartient pas au référentiel mobile il n’est pas fixe par rapport à ce référentiel

M et P n’ont pas la même trajectoire et ne sont donc pas confondus à l’instant t+ t.

9.2. Vecteur vitesseOn se base sur les notations du schéma ci dessus.

Position 0000000 kzjyixMO

⋅+⋅+⋅= 1111111 kzjyixMO

⋅+⋅+⋅=

Connaissant MO1 , cherchons MO0 : 111111101100 kzjyixOOMOOOMO

⋅+⋅+⋅+=+= Vitesse : Dérivons la relations précédente par rapport au temps. Par définition, cela nous donne la

vitesse de M par rapport à "0"

rV

kdtdz

jdtdy

idtdx

eV

dtkd

zdtjd

ydtid

xdt

OOd

aVdt

MOd1

11

11

111

11

11

100 ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+=

Intéressons nous maintenant au point coïncidant P :

111111101100 kzjyixOOPOOOPO

⋅+⋅+⋅+=+= Ici, le point P est fixe par rapport à "1", donc

x1,y1,z1 sont des constantes.

e1

11

11

1100 V

dtkd

zdtjd

ydtid

xdt

OOddt

POd =⋅+⋅+⋅+=

Nous remarquons que la vitesse du point

coïncidant P est égal à la vitessed’entraînement Ve.


L.G. 27 24 octobre 2000

Théorème : La vitesse instantanée à l’ instant t du point M par rapport a un référentiel R0 est égale à lavitesse du point M par rapport à un référentiel R1 ajoutée de la vitesse par rapport au référentiel R0 dupoint P, appartenant au référentiel R1 et coïncidant avec M à l’instant t.

( ) ( ) ( )t/MVt/MPVt/MV100 R/R/R/ +==

( )t/MV0R/ est appelée, par abus de langage, vitesse absolue :

aV

( )t/MPV0R/ = est appelée vitesse d’entraînement :

eV

( )t/MV1R/ est appelée vitesse relative :

rV

rV

eV

aV +=

Cas particulier :

R0 et R1 sont en translation relative : dt

OOdV 10

e = e

V est la même partout

Figure 29 R0 et R1 sont en rotation relative :

Figure 30


L.G. 28 24 octobre 2000

Nous avions défini le vecteur rotation d’un vecteur OM par rapport à un repère, nous pouvons étendrecette définition au vecteur rotation d’un repère R1 par rapport à un repère R0 :

Le vecteur rotation, 0R/1RΩ ou vecteur vitesse de rotation instantanée du repère R1 par rapport au repère

R0 est le vecteur défini par : sa direction est porté par l’axe de rotation instantané de R1 par rapport à R0 ; sa norme est égale à la vitesse instantanée de rotation de R1 par rapport à R0.

Nous avons vu au 4.5 que ρρ ∧Ω= e

dt

edr/OM

. Si on remplace OM par R1, et r par R0 nous obtenons

1R/R1 i

dtid

01

∧Ω= , 1R/R1 j

dtjd

01

∧Ω= , 1R/R1 k

dtkd

01

∧Ω=

Nous avons un mouvement relatif de rotation de R1 par rapport à R0 donc dtkd

zdtjd

ydtid

xV 11

11

11e

⋅+⋅+⋅= .

En remplaçant les dérivées des vecteurs unitaires par leurs valeurs, nous obtenons : MOe

V 10R/1R ∧Ω=

9.3. Vecteur accélération

( )

c

dtkd

dtdz

dtjd

dtdy

dtid

dtdx

2

r

kdt

zdj

dtyd

idt

xd

e

dtkd

zdt

jdy

dtid

xdt

OOd

a

dtMOd

M

11111112

12

121

2

121

2

21

2

121

2

121

2

1210

2

20

2

0

γ

⋅+⋅+⋅⋅+

γ

⋅+⋅+⋅+

γ

⋅+⋅+⋅+=

γ

=γ

Nous remarquons que l’accélération de M par rapport au référentiel R0 est égale à l’accélération de M parrapport au référentiel R1 dite accélération relative, à laquelle s’ajoute l’accélération du point coïncidant Pappartenant au référentiel R1 relativement au référentiel R 0, dite accélération d’entraînement et un termesupplémentaire qui est l’accélération dite de coriolis.

Si nous appelons :

aγ l’accélération de M par rapport au référentiel R0 (par abus de langage « accélération absolue ») ;

rγ l’accélération de M par rapport au référentiel R1 dite « accélération relative » ;

eγ l’accélération du point coïncidant P appartenant au référentiel R1 par rapport à R0, dite

« accélération d’entraînement » ;

cγ l’accélération complémentaire ou « accélération de corioli s » (qui correspond aux termes croisés

de la dérivation) ;


L.G. 29 24 octobre 2000

Nous obtenons : cera γ+γ+γ=γ

avec :

12

12

121

2

121

2

kdt

zdj

dtyd

idt

xdr

⋅+⋅+⋅=γ

21

2

121

2

121

2

1210

2

dtkd

zdt

jdy

dtid

xdt

OOde

⋅+⋅+⋅+=γ

⋅+⋅+⋅⋅=γ

dtkd

dtdz

dtjd

dtdy

dtid

dtdx

2c

111111

9.4. Expressions de l’accélération d’entraînement et de l’accélération deCoriolis

Etudions d’abord deux cas particuliers premier cas : R0 et R1 sont en translation relative

Figure 31

210

2

21

2

121

2

121

2

1210

2

dtOOd

edtkd

zdt

jdy

dtid

xdt

OOd =γ⋅+⋅+⋅+=

→=γ

⋅+⋅+⋅⋅=γ 0

cdtkd

dtdz

dtjd

dtdy

dtid

dtdx

2c

111111

second cas : R0 et R1 sont en rotation relative :


L.G. 30 24 octobre 2000

Figure 32

21

2

121

2

121

2

1210

2

dtkd

zdt

jdy

dtid

xdt

OOde

⋅+⋅+⋅+=γ

0dt

OOd2

102

= L’accélération d’entraînement se ramène donc à l’expression suivante :

⋅+

⋅+

⋅=⋅+⋅+⋅=γ

dtkd

dtd

zdtjd

dtd

ydtid

dtd

xdt

kdz

dtjd

ydt

idxe

11

11

112

12

121

2

121

2

1

Sachant que 1R/R1 i

dtid

01

∧Ω= , 1R/R1 j

dt

jd01

∧Ω= , 1R/R1 k

dtkd

01

∧Ω=

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1R/RR/R11R/RR/R11R/RR/R1

1R/R

11R/R

11R/R

1

1R/R1

1R/R1

1R/R1

1R/R

11R/R

11R/R

1

1R/R11R/R11R/R1

kzjyix

kdt

dzj

dt

dyi

dt

dx

dtkd

zdtjd

ydtid

x

kdt

dzj

dt

dyi

dt

dx

kdtd

zjdtd

yidtd

xe

010101010101

010101

010101

010101

010101

∧Ω∧Ω⋅+∧Ω∧Ω⋅+∧Ω∧Ω⋅+

∧Ω

⋅+∧Ω

⋅+∧Ω

⋅=

∧Ω⋅+∧Ω⋅+∧Ω⋅+

∧Ω

⋅+∧Ω

⋅+∧Ω

⋅=

=∧Ω⋅+∧Ω⋅+∧Ω⋅=γ

Ici nous avons donc ( )MOMOdt

de 1R/RR/R1

R/R

0101

01 ∧Ω∧Ω+∧Ω

=γ

⋅+⋅+⋅⋅=γ

dtkd

dtdz

dtjd

dtdy

dtid

dtdx

2c

111111

∧Ω⋅+∧Ω⋅+∧Ω⋅⋅=γ 1R/R

11R/R

11R/R

1 kdtdz

jdtdy

idtdx

2c 010101

( )rV2

c 01 R/R ∧Ω⋅=γ


L.G. 31 24 octobre 2000

9.5. Expressions générales de la vitesse et de l’accélération d’entraînement etde Coriolis.

Nous avons calculé la vitesse et l’accélération de Coriolis dans deux cas particuliers :

Cas d’un mouvement de translation de R1 par rapport à R0

Cas d’un mouvement de rotation de R1 par rapport à R0

Remarquons que tous les mouvements d’un repère par rapport à un autre peuvent se ramener à la sommed’un mouvement de translation et d’un mouvement de rotation. Nous aurons donc, dans le cas général : Vitesse :

rV

eV

aV +=

avec :

MOdt

OOde

V 10R/1R10 ∧Ω+=

dtMOd

rV 1=

accélération

cera γ+γ+γ=γ

avec

21

2

dtMOd

r=γ

( )MOMOdt

d

dtOOd

e 1R/RR/R1R/R

210

2

0101

01 ∧Ω∧Ω+∧Ω

+=γ

( )rV2

c 01 R/R ∧Ω⋅=γ

Documents

Cinématique - laurent.granjon.free.fr