Cinématique 2009

Cours : Sciences naturelles Informaticiens 1 / JAC / juin 2009

Physique

La cinématique

1 Notions de base ....................................................................................................................................21.1 Définitions ......................................................................................................................................31.2 Chemin parcouru ...........................................................................................................................31.3 Vitesse ...........................................................................................................................................41.4 Vecteur vitesse ..............................................................................................................................41.5 Exercices – série 1 ........................................................................................................................5

2 Mouvement rectiligne uniforme MRU ...................................................................................................62.1 Définition........................................................................................................................................62.2 Loi des espaces.............................................................................................................................72.3 Diagramme espace - temps .........................................................................................................72.4 Diagramme vitesse - temps..........................................................................................................72.5 Somme de vecteurs vitesse ..........................................................................................................82.6 Exercices - série2 ..........................................................................................................................9

3 Mouvement rectiligne uniformément accéléré MRUA ....................................................................... 103.1 Définition..................................................................................................................................... 103.2 Accélération ................................................................................................................................ 103.3 Loi des vitesses et loi des espaces ............................................................................................ 113.4 Mouvement uniformément accéléré avec une vitesse initiale.................................................... 123.5 Mouvement uniformément accéléré sans vitesse initiale. .......................................................... 123.6 Mouvement uniformément décéléré........................................................................................... 133.7 Mouvement uniformément décéléré jusqu'à l'arrêt..................................................................... 133.8 Chute libre des corps.................................................................................................................. 143.9 Exercices – série 3 ..................................................................................................................... 15

4 Le mouvement circulaire uniforme MCU ........................................................................................... 164.1 Définitions ................................................................................................................................... 164.2 La vitesse circonférentielle [v] .................................................................................................... 164.3 La vitesse angulaire [] (oméga)............................................................................................... 174.4 Application 1 : vitesse de coupe................................................................................................. 194.5 Application 2 : poulies solidaires du même arbre....................................................................... 194.6 Application 3 : transmission poulie – courroie ............................................................................ 194.7 Exercices – série 4 ..................................................................................................................... 20

5 Solution des exercices....................................................................................................................... 226 Annexe............................................................................................................................................... 23

Cours : Sciences naturelles - Cinématique / JAC Page 2

1 Notions de base

Objet de la cinématique :La cinématique décrit les mouvements des corps sans en chercher leurs causes. Elle étudie, en fonctiondu temps, la position, le chemin parcouru, la vitesse et l’accélération de ces corps.

1) Un corps occupe un certain volume dans l’espace. Pour simplifier l’étude de ses mouvements, onimagine que le corps est concentré en un seul endroit situé à son centre de gravité : le point matériel.

2) Quand on dit d’un corps qu’il est immobile ou en mouvement, cela n’a de sens que par rapport à unsystème de référence choisi : le référentiel.

Exemple :

Les passagers de ce TGV circulent, pour l’observateur arrêté le longdes voies, à une vitesse approchant les 300 km/h !

Pour un passager du train, son voisin assis dans le compartimentd’en face a une vitesse nulle.

On en déduit que le mouvement constaté d’un corps dépend du pointde vue d’où on l’observe. La notion de repos ou de mouvement estdonc relative.

Exemples de référentiels :

Dans l’exemple ci-dessus, par rapport au référentiel Terre, le passager du train possède unevitesse de 300 km/h.

La lune tourne autour de la terre en 28 jours par rapport au référentiel Terre La terre tourne autour du soleil en 365,25 jours par rapport au référentiel Soleil. Sur la fraiseuse ci-dessous, la pièce à usiner est immobile par rapport au référentiel de la table.

Les mouvements de la pièce ne sont pas les mêmes, selon qu’on les observe du porte outil, oudu bâti de la fraiseuse.


Lorsqu’un corps se déplace dans l’espace, il décrit une trajectoire, qui correspond à la courbe tracée parson mouvement. On peut voir par exemple

Trajectoire des skis sur la neige Trace d’une balle mouillée sur le sol Traînée de condensation d’un avion

L’étude de la trajectoire d’un corps est souvent très complexe. Si l’on veut par exemple étudier lemouvement de la valve d’un pneu du vélo, on obtient les figures suivantes :

Par rapport au référentiel du cadre du vélo, la valve décrit un cercle Par rapport au référentiel de la terre, la valve décrit une cycloïde : Par rapport au référentiel de la terre, le vélo décrit une trajectoire rectiligne. :

Exemples de trajectoires : Un enfant sur un carrousel aura une trajectoire circulaire. Les planètes décrivent une trajectoire elliptique autour du soleil. L’outil d’un étau limeur a une trajectoire alternative.

1.1 Définitions

A retenir :

Le point matériel d’un corps est le corps réduit à son centre de gravité. le mouvement est le déplacement d'un corps par rapport à un point fixe de l'espace (référentiel)

et à un moment déterminé. Le référentiel du mouvement d’un corps est le repère par rapport auquel on étudie ce

mouvement. La trajectoire d’un point matériel est la ligne décrite par les positions successives occupées par

ce point au cours du temps.

1.2 Chemin parcouru

Définition : Le chemin parcouru s est la somme des distancesparcourues par un mobile entre deux points de sa trajectoire.

Un mobile se déplaçant de A à C en passant par B parcourt unchemin égal à AB + BC :

AB

Ct0

t2

t1


1.3 Vitesse

Un mobile passant en A au temps t1 et en B au temps t2 a pour vitesse moyenne entre ces 2 instants lequotient de la distance parcourue par le temps mis à la parcourir t2 - t1.

AB

2 1

=m

s mv

t t s

Si l’intervalle de temps t2 - t1 devient très petit, en mathématique on dit qu’il tend vers 0. La vitesse à uninstant donné

est appelée vitesse instantanée et se définit comme suit:

La vitesse instantanée est celle que prendrait un mobile si à partir de cet instant, son mouvementdevenait uniforme (exemple: indicateur de vitesse d’une voiture).

1.4 Vecteur vitesse

La vitesse d’un mobile est représentée par un vecteur caractérisé par : son point d’application (position du mobile) sa direction (orientation de la trajectoire, droite d’action) son sens (celui du mouvement) son intensité ou module (valeur absolue de la vitesse)

Voir Fortec p41

A B

t2t1

s

t

svt


1.5 Exercices – série 11 Effectuer les transformations suivantes :

a) 20 m/s

b) 40 m/min

c) 60 km/h

d) 3,42 h

e) 2h 10 min 15 s

en

en

en

en

en

km/h

m/s

m/min

h min s

h

m/min

km/h

km/s

km/s

2 Déterminer la grandeur inconnue :

a) v = 60 km/hb) v = 12 m/sc) t = 50 min

t = 2 h 15 mins = 5,12 kms = 70 km

s =? [km]t=? [h min s]v =? [m/s]

3 Un véhicule passe au km 25 à 18 h 16 et au km 150 à 19 h 04. Quelle est sa vitesse

moyenne en km/h ?

4 Un mobile se déplace à la vitesse de 10 m/s. Tracer le graphique espace - temps pourdes temps compris entre 0 et 10 s.

5 Tracer la graphique espace - temps selon les données suivantes:Temps [s] 0 10 20 30 40 60Espace [m] 0 25 100 225 400 900Quelle remarque peut-on faire?

6 Combien faudra-t-il de temps à un lift de garage pour élever une voiture à une hauteur de1,5 m si la plate-forme se déplace à une vitesse de 0,09 m/s?

7 Calculer la distance entre les villes A et B, étant donné qu'un train roulant à 90 km/h la

franchit en 3 h 15 min.

8 Une automobile met 6 h 40 min pour parcourir une distance de 400 km. Quelle a été sa

vitesse moyenne?

9 La vitesse de la lumière est de 3108

m/s. Combien lui faut-il de temps pour aller du Soleil

à la Terre située à 1,51011

m de distance?

10 Une auto parcourt un trajet dans les conditions suivantes:

10 min à 40 km/h

15 min à 60 km/h

5 min à 80 km/h

10 min à 30 km/h

Calculer la vitesse moyenne pour le trajet complet.

11 Une grue soulève une charge à une hauteur de 18 m en 20 s. On demande:

a) La vitesse de levée en m/s et m/min,

b) Le temps pour lever la charge à une hauteur de 10 m

c) La hauteur atteinte après 7 s.

12 Un moteur d'automobile tourne à 4000 tr/min. La course d'un piston (aller et retour) est de

120 mm. Calculer le chemin parcouru par le piston en 1h.


2 Mouvement rectiligne uniforme MRU

2.1 Définition

On appelle mouvement uniforme, le mouvement dans lequel le quotient du chemin parcouru par le tempscorrespondant (vitesse) est constant, quel que soit l’intervalle de temps choisi.

A B

t3t1

s1

t2t1

s2

L’unité pratique de la vitesse varie, selon les applications de la mécanique.

Exemples :

Vitesse de coupe d‘une machine

s

m

Vitesse d‘un véhicule :

h

kmou

s

m

Technique spatiale

s

km

Expression graphique de la vitesse du mouvement uniforme en fonction du temps.

v

t

v = 2 m/s

La vitesse constante du mouvement uniforme est exprimée par une droite horizontale

13

21

23

2

12

1

tt

ss

tt

s

tt

s

constant

v

t

svt


2.2 Loi des espaces

Considérons un mobile se déplaçant sur une trajectoire T du point B au point C.

B C

tt=0

s

T

2.3 Diagramme espace - temps

B

C

tt=0

s

v*

t

t2

s2

s1

t1

2.4 Diagramme vitesse - temps

t

v

v

t

Supposons un mouvement uniforme de vitesse v. Pour un temps t : s = v t.

Nous remarquons que v t correspond à l’aire du rectangle compris sous la courbe des vitesses auxéchelles près.

Cette façon de calculer l’espace peut être appliquée pour résoudre tout problème dans lequel la courbedes vitesses est connue.

tvs

m

m ss


2.5 Somme de vecteurs vitesse

Considérons le cas d’un avion qui doit aller de A à B. Le vent agit perpendiculairement à la trajectoiredésirée. Que se passe-t-il ?

Le mouvement global de l’avion va dépendre de savitesse propre et de celle du milieu environnant (levent).

Remarque : pour aller vers B, le pilote devra doncorienter sa machine contre le vent (Wind CorrectionAngle). La vitesse en direction de l’objectif (B) estdonc réduite.

Exemple: Le courant d’une rivière de 50 m de largeur atteint en moyenne une vitesse de 11,5 km/h. Pourtraverser, un baigneur se propose de nager perpendiculairement à la berge avec une vitesse moyennede 4,7 km/h. On demande de calculer:

1. la vitesse résultante du mouvement2. le temps de la traversée3. la distance parcourue dans le sens du courant4. la distance effective parcourue par ce baigneur

Solution

Situation

vC

vB

vR

réponses :1. après construction du triangle des vitesses vC, vB et vR, on peut mesurer graphiquement que cette

dernière vitesse a une valeur de 3,5 m/s .

2. La traversée est uniquement obtenue par le vecteur composant vB. Nous avons :

3. Le courant a emporté le nageur pendant 38,5 s, par conséquent

4. Pour calculer la distance effective, nous pouvons composer géométriquement les 2 espaces de50 m et 123,2 m. Ceux-ci étant perpendiculaires, nous avons:

vB

vC

11,5 km/h 3,2 m/sCv

4,7 km/h 1,3 m/sBv

5038,5

1,3 /B

B

s ms v t t s

v m s

3, 2 38,5 / 123, 2C Cs v t m s s m

2 2123, 2 50 15178 2500 132,96meffectifs


2.6 Exercices - série2

1 Un mobile passe au kilomètre 8 à 13 h 56 et au kilomètre 12 à 14 h 04. Quelle est sa vitessemoyenne en m/s ?

2 Un mobile est animé d'un mouvement rectiligne à la vitesse de 20 m/s.a) Tracer le diagramme position-temps, pour des temps compris entre 0 et 5 s.b) Quelle distance a-t-il parcouru en 3 s

3 Un étau limeur marche à la vitesse de 30 m/min à l'aller et50 m/min au retour. Il s'agit d'usiner une pièce de 1,50 mde longueur et 60 cm de largeur. Le burin se dégage àchaque bout de 80 mm. On demande:a) le temps pour une course productive;b) le temps pour une course retour (improductive);c) le temps d'usinage si l'avance est de 0,4 mm.

4 Un piéton qui se rend de A à B part de A à 12 h, à la vitesse de 70 m/min. Un autobus qui suit lamême route part de A à 12 h 20 et se dirige vers B à la vitesse de 600 m/min.A quelle heure et à quelle distance de A rejoint-il le piéton?

5 Une masse de 500 kg se déplace avec une vitesse de 0,8 m/s le long d'un plan incliné à 30°.

Calculer:a) le chemin parcouru après 12 s;b) la vitesse verticale de la charge en m/s.

6 Un avion, dont la vitesse aérodynamique est de 400 km/h, est sollicité par un vent arrière de 120km/h. Combien lui faut-il de temps pour parcourir 1000 km par rapport au sol?

7 Un véhicule l se trouve à 4 km de A, entre A et B. Il se dirige vers B à 8 km/h. Un autre véhicule IIpart de B une heure plus tard en direction de A à la vitesse de 10 km/h. Quand et où serencontreront-ils, la distance entre A et B étant de 35 km ?

Chercher la solution

a) par un graphique;b) par calcul

8 Un canot se déplace perpendiculairement au courant d'une rivière avec une vitesse propre de 2,1m/s. Sachant que la vitesse du courant est de 0,5 m/s et que la largeur du cours d'eau est de 410m, calculer:

a) la durée de la traversée;

b) la distance dont le canot sera déporté;

c) la vitesse du mouvement résultant du canot;

d) la distance réellement parcourue par le canot.

9 Un bateau se déplaçant à 5 km/h s'apprête à traverser une rivière où le courant est de 3 km/h.Dans quelle direction doit se diriger le bateau pour atteindre le point de la rive opposée situé justeen face de son point de départ?


3 Mouvement rectiligne uniformément accéléréMRUA

3.1 Définition

Le mouvement d'un mobile est uniformément accéléré lorsque sa vitesse augmente ou diminue dequantités égales dans des temps égaux, quel que soit l'intervalle de temps choisi. La constante dumouvement est son accélération.Le mouvement est uniformément accéléré si sa vitesse augmente en fonction du temps et uniformémentdécéléré si sa vitesse diminue.On dit aussi : mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV)

3.2 Accélération

On appelle accélération moyenne entre deux instants donnés le quotient de la variation de vitesse parl'intervalle de temps correspondant.

tt=0

v

t2

v2

v1

t1

v4

v3

t3

t4

L'accélération est positive si la variation de vitesse est positive (a (1, 2)), elle est négative si la variation dela vitesse est négative (a (3, 4)).

Exemple :

Un mobile passe au temps t1 = 5 s à la vitesse v1 = 36 km/h et au temps t2 = 8 s à la vitesse v2 = 25 km/h.

On demande de calculer l'accélération moyenne entre ces 2 instants.

Solution :v2 = 25 km/h = 6.94 m/s v1 = 36 km/h = 10 m/s.

On peut écrire: la décélération est de 1,02 m/s2

t

v

tt

vva

12

122,1

t

v

tt

vva

12

344,3 2

/m s ma

s s

2

12

12 /02.1/

3

06.3

3

1094,6sm

s

sm

tt

vva


Expression graphique de la vitesse.

Supposons un mobile partant du repos animé d'un mouvement uniformément accéléré d'accélérationdonnée a. Cherchons les points de la courbe des vitesses.

Nous avons la formule ∆v= a ∆t

t0 = 0 => ∆v0 = a 0 = 0t1 = 0 => ∆v1 = a 1 = at2 = 0 => ∆v2 = a 2 = 2at3 = 0 => ∆v3 = a 3 = 3a, et,

en reportant ces points et en les rejoignant, nous obtenons la ligne droite v = f(t).

3.3 Loi des vitesses et loi des espaces

t

v

t

v

v0

v

Supposons un mobile animé d'un mouvement uniformément accéléré d'accélération a.Au temps 0, origine des temps et origine de l'analyse de notre problème, il passe devant nous avec unevitesse initiale vo.Au temps t, fin de l'analyse du mouvement, sa vitesse est v. Le but que nous poursuivons est d'exprimer :

1. la loi des vitesses: v = f1 (t)2. la loi des espaces: s = f2 (t)

Pour cela, nous allons travailler sur le diagramme qualitatif des vitesses dans lequel nous faisons figurerles conditions initiales:

tt=0

v

t2

v

1

t1

t3

v=

f(t)

v

2

v

3


3.4 Mouvement uniformément accéléré avec une vitesse initialeConditions : vo ≠ 0, a positive.

Loi des vitesses :

d’où nous tirons : unités :

Loi des espaces:

Nous calculerons l'espace en planimétrant la surface sous la courbe des vitesses.

s A rectangle + A triangle

En résumé :2

2

0

tatvs

unités :

Autres formules :

t

vva 0

s

vva

2

2

02

savv 22

0t

svm

20 vv

vm

Pour définir la loi générale des vitesses et celle des espaces, nous avons défini les conditions initiales ducas général; à savoir v0 ≠ 0 et a positive.Il existe d'autres conditions que nous nous proposons d'analyser ci-après pour en déterminer les loisparticulières.

3.5 Mouvement uniformément accéléré sans vitesse initiale.Conditions : v0 = 0, a positive.

Les lois générales sont:

et2

2

0

tatvs

Pour v0 nulle et a positive, les lois particulières deviennent:

Autres formules :2

2

a ts

2

v ts

2

2

vs

a

t

svm

2m

vv

t

vv

t

va 0

tv 0rectangleA

22A triangledoncmais

2A triangle

2attattav

vt

2

2s

s

ms

s

mm

tavv 0

v a t

t

v

tv

v

tavv 0 ss

m

s

m

s

m

2


3.6 Mouvement uniformément décéléréConditions: v ≠ 0, a négative.


et2

2

0

tatvs

Les lois particulières pour a négative deviennent:

et

2

02

a ts v t

Autres formules :

t

vva 0

s

vva

2

2

02

20 2v v a s

t

svm

20 vv

vm

3.7 Mouvement uniformément décéléré jusqu'à l'arrêt.Conditions: v0 ≠ 0, a négative, v ≠ 0


et2

2

0

tatvs

Les lois particulières pour a négative deviennent:

2 22

02 2

a t a ts v t a t

2

2

a ts

Autres formules :2

0

2

va

s

0

2

v ts

t

svm

0

2m

vv

t=0

v

t

v

v0

v

tavv 0

tavv 0

0 00 v a t v a t

t

v

tv0

v

0v v a t


3.8 Chute libre des corps

Il s’agit d’une application du mouvement uniformément accéléré (MRUA)

Il est connu que chaque corps libre dans l'espace subit, au voisinage de la terre, une accélérationmoyenne g = 9.81 m/s

2.

Le vecteur représentant cette accélération a pour point d'application le centre de gravité du corps etcomme direction et sens, la verticale vers le centre de gravité de la terre.L'accélération g étant constante, les lois qui régissent la chute libre sont celles du mouvementuniformément varié dans lesquelles g remplace a.

Loi des vitesses:

Loi des espaces:

Remarque :Les résultats obtenus en appliquant les relations précédentes sont réels (à quelques %), par exemple surdes hauteurs d'une trentaine de mètres au maximum. Dans tout autre cas, les valeurs obtenues sontmodifiées dans des proportions considérables par la résistance de l'air.

Autres formules :2

2

g th

2

v th

v g t

2v g h t

svm

2m

vv

0v v g t 2

02

g ts v t


3.9 Exercices – série 3

1 Un motocycliste passe de 0 à 100 km/h en 8 s. Quelle est la valeur de l'accélération moyenne?

2 Une automobile partant d'une position de repos atteint la vitesse de 40 m/s en 10 s.

a) Calculer la valeur de l'accélération moyenne,

b) Construire le graphique espace - temps,c) Si l'accélération reste la même, quelle est la vitesse après 15 s ?

3 Une automobile qui roule à une vitesse de 36 km/h accélère afin d'atteindre une vitesse de 108km/h. Le temps nécessité est de 10 s. Calculer:

a) La valeur de l'accélération,b) L'espace parcouru pendant ces 10 s,c) La vitesse moyenne sur ce parcours.

4 Les freins d'une automobile la ralentissent de 60 km/h à 40 km/h en 2 s.

a) Quelle est la valeur de la décélération?

b) Quelle est la distance parcourue durant ces 2 s ?c) Combien de temps faudrait-il à l'automobile pour s'arrêter à partir de 25 km/h en supposant la

décélération constante?

5 Les freins d'une automobile produisent une décélération de 6 m/s2. Calculer:

a) Le temps d'arrêt à partir d'une vitesse de 108 km/h,

b) La distance de freinage correspondante.

6 On lâche une pierre depuis le haut d'un barrage. Elle met 4 s pour arriver en bas.a) Quelle est la hauteur du barrage?

b) A quelle vitesse la pierre arrive-t-elle en bas?

7 Depuis quelle hauteur faut-il laisser tomber un objet pour qu'il arrive au sol avec une vitesse de100 km/h?

8 Deux cyclistes partent en même temps d'un même point pour couvrir une distance de 200 m. Lepremier se meut à la vitesse constante de 4 m/s. Le second, qui démarre avec une vitesse de 1m/s, parcourt la distance de 200 m d'un mouvement uniformément accéléré dont l'accélération estde0,2 m/s

2. Calculer:

a) Le point de rencontre des deux cyclistes,b) L'avance prise par le second coureur à l'arrivée.

(Résoudre le problème graphiquement)


4 Le mouvement circulaire uniforme MCU

4.1 Définitions

Le mouvement d'un mobile est circulaire uniforme lorsqu'il se déplace sur un cercle à une vitesse devaleur constante. Ce mouvement se fait à un certain rythme appelé fréquence de rotation.

Période : on appelle période [T] la durée d'un tour. Elle s'exprime en secondes.

Fréquence de rotation: on appelle fréquence de rotation [n] le nombre de tours par seconde.

Pour plus de clarté on l'indiquera en [tr/s]. En mécanique on l'exprime plutôt en [tr/min]

Dans le mouvement circulaire, on considère deux sortes de vitesses:a) La vitesse circonférentielle : elle représente l'espace parcouru par un point pendant une seconde.

b) La vitesse angulaire: elle représente l'angle au centre balayé en une seconde par le rayon du cercle.

4.2 La vitesse circonférentielle [v]

Dans le mouvement circulaire uniforme, la vitesse circonférentielle est égale à l'espace parcouru pendantl'unité de temps.

sv

t

Lorsque le point M fait un tour, le chemin parcouru est égal à la circonférence: s d

et le temps vaut: t = T

Alors, la vitesse devient:d

vT

En remplaçant le temps T par la fréquence de rotation:1

dv d n

n

v d n

Règle

Pour une fréquence de rotation déterminée, la vitesse circonférentielle d'un point est proportionnelle audiamètre du cercle décrit.

[m/s] [m/min] = vitesse

[m] [m] = diamètre

[tr/s] [tr/min] = fréquence de rotation

v

d

n

-111/s ou sn

T

n [tr/s] M v [m/s]

d [m]


Exemple 1 :

Une mèche de 35 mm de diamètre tourne à 300 tr/min, Quelle est la vitesse de coupe ?

Solution : 0,035 300 32,986 m/min 33 m/minv d n

Exemple 2 :

Calculer la vitesse circonférentielle d'une roue de véhicule de 14 pouces, en mètre par minute et en

mètre par seconde, si elle tourne à 120 tours par minute.

Solution1 pouce = 25.4 mm => 14 pouces = 355.6 mm

0,3556 120 134,05 m/min

0,3556 1202, 234 m/s

60 60

v d n

d nv

4.3 La vitesse angulaire [] (oméga)

Dans le mouvement circulaire uniforme, la vitesse angulaire est égale à l'angle au centre balayé par unrayon quelconque pendant l'unité de temps.

Cette vitesse est la même pour tous les points du rayon, quelque soit sa longueur.

Angle au centre: (thêta)

Unité : radian [rad]

Vitesse angulairerad

t s

Rappel géométrique

Un radian est l'angle au centre qui intercepte sur la circonférence un arc égal au rayon.

1 tour complet = 360 2 rad

1 rad360

57 17 '45 '' 57,32

t=0

0

1'

12

2'

t

r

A

B


Formule

Pour un tour, 2 :

22 n

t T

rad/s = vitesse angulaire

n tr/s ou tr/min = fréquence de rotation

Remarque: il y a lieu de toujours accorder l'unité de temps.

Règle

Pour une fréquence de rotation déterminée, la vitesse angulaire est indépendante du diamètre du cercledécrit.

Exemple

Quelle est la vitesse angulaire d'un maneton de vilebrequin ayant une fréquence de rotation de 4200

tr/min?

Solution:4200

2 2 439,8 rad/s60

n

3.4 Relation entre la vitesse circonférentielle et la vitesse angulaire

2n

2 2

dv d n d r

On obtient la vitesse circonférentielle en multipliant la vitesse angulaire par la valeur du rayon :

/ = vitesse circonférentielle

rad/s = vitesse angulaire

r m = rayon

v m s

Exemple

Quelle est la vitesse circonférentielle du maneton de l'exemple précédent s'il décrit une circonférence de320 mm de diamètre?

Solution:320

1602 2

dr

439,9 0,16 70, 4 /v r m s

2 n

v r


4.4 Application 1 : vitesse de coupe

Pour l'usinage circulaire. la vitesse de coupe est la vitesse circonférentielle de la pièce à usiner si l'outilest fixe (tournage) ou la vitesse circonférentielle de l'outil, si la pièce est fixe (perçage, fraisage).

La vitesse de coupe s'exprime en m/min.

Tournage Perçage

4.5 Application 2 : poulies solidaires du même arbre

Si les poulies 1 et 2 sont solidaires du même arbre. On a :

1 2

1 2

1 2

v v

R R

Les vitesses circonférentielles sont proportionnelles aux rayons correspondants.

4.6 Application 3 : transmission poulie – courroie

1 2

v

Le glissement étant nul, on a :

1 2v v v

1 1 2 2R R

1 1 2 22 2n R n R

1 1 2 2n d n d

1 1

2 2

v R

v RA

R 2

R1

1 2


4.7 Exercices – série 41 La fréquence de rotation d'un moteur électrique est de 1400 tr/min. Sur son arbre est fixée une

poulie de 150 mm de diamètre.Calculer la vitesse circonférentielle, en m/s, de cette poulie.

2 La vitesse de coupe d'une scie circulaire doit être de 120 m/s. Si cette scie a un diamètre de 420mm, quelle doit être sa fréquence de rotation en tr/min?

3 La fréquence de rotation des roues d'une voiture est de 884 tr/min à la vitesse de 100 km/h.Calculer le diamètre des roues en mm.

4 Un volant a un diamètre de 860 mm. Il est entraîné de 0 à 1000 tr/min, par saut de 100 tr/min (0,100, 200, …, 1000).a) Déterminer les vitesses circonférentielles tous les 100 tr/min,b) Représenter graphiquement les vitesses circonférentielles en fonction des fréquences derotation.

5 Quelle est la vitesse de coupe d'une fraise de 12 mm de diamètre et qui a une fréquence derotation de 1500 tr/min?

6 Calculer la fréquence de rotation de la broche d'un tour pour usiner une pièce de 180 mm dediamètre si l'on admet une vitesse de coupe de 88 m/min.

7 Calculer la fréquence de rotation de la meule ci-contre pour unevitesse de coupe de 22 m/s.

Calculer également la vitesse de la courroie, en m/s.

Comparer ensuite la valeur de la vitesse de coupe avec celle dela courroie.

Les cotes sont indiquées en mm.

8 On s'intéresse à un magnétoscope à cassette. La bande dure 60 min et défile à une vitesse de4,75 cm/s. La bobine pleine a un diamètre de 50 mm et la bobine vide un diamètre de 1,8 cm.

a) Calculer la longueur de la bande,b) Calculer le diamètre moyen d'enroulement,c) Calculer la longueur enroulée pour un tour sur le diamètre moyen,d) Déduire des résultats précédents, le nombre de tours nécessaires pour remplir une bobine,e) Calculer l'épaisseur de la bande.

9 Une roue de 60 cm de diamètre tourne régulièrement à raison de 120 tr/min. Calculer la vitessecirconférentielle, en m/s, et la vitesse angulaire, en rad/s, d'un point situé à la périphérie de laroue.

10 La vitesse angulaire d'une poulie est de 15,22 rad/s et son diamètre 800 mm. Calculer la vitessecirconférentielle, en m/s, et la fréquence de rotation de cette poulie, en tr/min.

11 Trouver la vitesse angulaire d'une voiture qui roule à 54 km/h dans un virage dont le rayon decourbure est de 8 m.

12 L'extrémité d'un pendule de 1,2 m de longueur décrit un arc de 30 cm. Trouver l'angle balayé parle pendule en radians et en degrés.

250

12

5


13

Un tapis roulant servant à l'acheminement du gravier travaille à la vitesse de 1,5 m/s. Latransmission de la puissance du moteur tournant à 1440 tr/min au tapis est assurée par 2 trainsde poulies chaussées de courroies. Connaissant d1, d2 et d4, on demande de calculer:

1) le diamètre de la poulie 3 à caler sur l'arbre B,

2) les vitesses linéaires des 2 courroies v1 et v2

Remarques

L'épaisseur du tapis et celle des courroies sont négligeables. Le glissement est nul.


5 Solution des exercices

Série 1

1a) 72 km / h 1b) 0, 6 m / s

1c) 1000 m / min 1d) 3h 25min 12s 1e)

2,1708 h

2a) s 135 km 2b) t 7 min 6, 6 s

2c) v 23, 3 m / s

3) 156, 25 km/hmoyv

4) la courbe est une droite, le temps t est enabscisse, l’espace s est en ordonnée.5) la courbe est une parabole

6) t 16, 6 s

7) s 292,5 km

8) 60 km/hmoyv

9) t 8 min 20 s

10) 50 km/hmoyv

11a) 0,9 m / sv 11b) t 11, 1 s

11c) s 6,3 m

12) s 28,8 km

Série 2

1) 8, 3 m/smoyv

2a) la courbe est une droite, le temps t est enabscisse, l’espace s est en ordonnée.

2b) s 60 m

3a) 1t = 3,32 s 3b) 2t 1,992 s

3c) t = 2 h 12 min 48 stot

4) t 2 h 22 min 40 s5a) s 9,6 m 5b) 0, 4 m / sv

6) t 1 h 55 min 23 s7) t 2 h 16 min 40 s s = 22,2km

8a) t = 195, 2 s 8b) s 97,6 m

8c) 2,16 m/srésv 8d) s 421 mtot

9) par rapport à la direction transversale, de 36,9°contre la direction d’où vient le courant.

Série 3

1)23, 47 m/sa

2a)24 m/sa

2b la courbe est une parabole 2c) 60 m/sv

3a)22 m/sa 3b) s 200 m

3c) 20 m/smoyv

4a)22,78 m/sa 4b) s 27,78 m

4c) t = 2,5 s

5a) t = 2,5 s 5b) s 75 m

6a) s 78,48 m 6b) 39,24 m/sv

7) s 39,33 m

8a) s 120 m 8b) t = 10 s

Série 4

1) 11 m/sv 2) 5456,7 tr/minn

3) 600,1 mmv 4) tableau des réponses :

et graphique…

5) 0,942 m/sv

6) 155,6 tr/minn

7a) 1680,7 tr/minn 7b) 2 11 m/sv 7c) 1/2x

8a) 171ml 8b) 34mmmd 8c) 1 106,8mml

8d) 1600,9 trn 8e) 0,01 mme

9) 3,77 m/s 12,57rad/sv

10) 6,09 m/s n 145,3tr/minv

11) 1,875rad/s

12) 0, 25rad ou 14,32°

13a) 3 102, 25 mmd

13b) 1 27,54 m/s 1, 29 m/sv v

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Cinématique 2009