Modélisation 2D de l’écoulement visqueux autour d’un

Distribution des pressions autour d’un cylindre circulaire

Résultats issus du calcul par la méthode SPH-ALE mon-trent des différences maximales de 10% avec des résul-tats obtenus par différents auteurs et /ou méthodes.

Distribution des pressions autour d’un cylindre triangulaire

A

B

C

A B C A Position

A B C D A Position Distribution des vites-

ses des particules flui-des

2. Méthode SPH -ALE

● Domaine de calcul discrétisé en particules fluide.

● Quantités physiques portées par une particule sont évaluées en interpolant les propriétés physiques sur une longueur de lissage donnée autour de la particule.

● Repose sur une formulation faible et conservative des équations d’Euler et de l’équation d’état de Tait.

1. Contexte et objectif

Objectif :

● Etude préliminaire permettant de fixer les paramètres numériques et les lois de comportement pour étudier l’écoulement autour d’obs-tacles fixes et leur éventuel arrachage.

● Etude des caractéristiques de l’écoulement d’un fluide visqueux au-tour d’un cylindre fixe en 2D.

Moyen :

Un code SPH-ALE en mode eulérien qui nécessite d’être validé pour une utilisation dans ce contexte particulier.

6. Conclusion

Discrétisation des équations par les operateurs SPH - ALE (Vila, J.P. 1999; Marongiu, J.C. 2008) :

Terme visqueux proposé par Morris (1997) : ( )( )

∑ ∈+

∇+=∆

iDj ij

ij

ijij

ji

jiji v

x

Wxmv

22

.

ηρρµµ

υ

( )Eij

Eij v,ρ est la solution du problème de Riemann au point milieu des paires de particules fluide i et j

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )∑ ∈ ∇−=

=

iDj ijiijjii

ii

Wxvxvdt

d

txvxdt

d

00

0 ,

ωωω

( ) ( )( )( ) ( )( )[ ] gWptxvvvv

dt

d

Wtxvvdt

d

iiDj ijiEijij

Eij

Eij

Eijjiiii

Dj ijijEij

Eijiii

i

i

ρωρωωρω

ρωρω

∑

∑

∈

∈

=∇+−⊗+

=∇−+

.,2

0.,2

0

0

Re = 40 CDp

Méthode SPH-ALE Autres simulations numériques Droge, M. (2007)

1.14

1.02

Re = 100 CDp CLrms St

Méthode SPH-ALE Autres simulations numériques Rajani, B. N. et al. (2009) Expérience Tritton (1959) Henderson (1995)

1.07

1.00

1.00

0.19

0.18

0.173

0.157

0.165

Re = 1000 CDp CLmax St

Méthode SPH-ALE Autres simulations numériques Mittal, S. (1997) Ghias et al. (2007) Expérience Thom (1928)

1.52

1.40

1.39

1.37

0.242

0.245 0.243

0.210

2

0

21

v

ppCp

ρ

−=

v

DfSt

.=Dv

dAnpC

xDp

..2

1

.

2ρ

∫=Dv

dAnpC z

L..

2

1

.

2ρ

∫=

Re = 40 Re = 100 Re = 1000 Distribution des vitesses des particules fluides

3. Écoulement autour d’un cylindre circulaire pour Re = 40, 100 et 1000

(a)

(d) (e) (f) Re = 40 Re = 100 Re = 1000 Distribution des pressions des particules fluides

Distribution des pressions autour d’un cylindre carré

4. Écoulement autour d’un cylindre carré pour Re = 100

Re =100 CDp CLrms St Méthode SPH-ALE Autres simulation numériques Sahu et al. (2009) Bao et al. (2012) Expérience Norberg (1993)

1.576

1.441

0.173

0.188 0.180

0.165

0.149 0.145

0.143

5. Écoulement autour d’un cylindre triangulaire pour Re = 100

Re =100 CDp CLrms Méthode SPH-ALE Autres simulation numériques De A. K. and Dalal A. (2006) Srikanth S. et al. (2010)

1.391

1.3

0.232

0.297

St 0.216

0.198 0.200

Distribution des vites-ses des particules flui-

des

● Validation du code basé sur la méthode SPH-ALE a été réalisée pour démontrer sa capacité à modéliser un écoulement visqueux 2D autour d'un cylindre isolé fixe.

● Modèle visqueux de Morris adapté à la métho-de SPH-ALE convient pour l’écoulement lami-naire avec Re < 2300.

● Étude de l’écoulement visqueux autour d’un cy-

lindre carré et triangulaire est apportée pour tester la capacité de méthode SPH-ALE à trai-ter des géométries complexes.

● Cylindre carré a une traînée bien supérieure au

cylindre circulaire ou triangulaire car l’écoule-ment à l’avant du carré est dévié à 90°sur une grande distance.

A

B C

D

Résultats issus du calcul par la méthode SPH-ALE mon-trent des différences maximales de 8% avec des résultats obtenus par différents auteurs et /ou méthodes.

● Re = 40 => écoulement laminaire avec point de décollement fixe et tourbillons symétriques. ● Re = 100 => écoulement laminaire avec formation d’un sillage périodique non-stationnaire. ● Re = 1000 => écoulement laminaire mais des phénomènes 3D apparaissent et doivent être pris en compte dans la modélisation pour approcher les résultats expérimentaux.

● Coefficient de traînée dû à la seule contribution de la pression (CDp), coefficient de portance (maximum CLmax ou valeur efficace CLrms) dû à la seule contribution de la pression, coefficient de pression moyenne autour d’un cylindre (Cp) et nombre de Strouhal (St) issu du coefficient de portance

0° 180° θ0° 180° θ 0° 180° θ

Re = 40 Re = 100 Re = 1000

Modélisation 2D de l’écoulement visqueux autour d’u n cylindre fixe par la méthode SPH -ALE

Jessica Sjah 1, Eric Vincens 1, Francis Leboeuf 2, Marie Chaze 1 1Université de Lyon, LTDS, UMR CNRS 5513, Ecole Centrale de Lyon, 36 avenue Guy de Collongue, 69134 Ecully Cedex

([email protected], [email protected], [email protected]) 2Université de Lyon, LMFA, UMR CNRS 5509, Ecole Centrale de Lyon, 36 avenue Guy de Collongue, 69134 Ecully Cedex

([email protected])

« Hole Erosion Test » en labo Principe d’un simulation numérique 2D

du « Hole Erosion Test »

Modélisation 2D de l’écoulement visqueux autour d’un cylindre fixe par la méthode SPH-ALE

Jessica SJAH1, Eric VINCENS1, Francis LEBOEUF2, Marie CHAZE 1

1 Université de Lyon, LTDS, UMR CNRS 5513, Ecole Centrale de Lyon, 36

avenue Guy de Collongue, 69134 Ecully CEDEX ([email protected]; [email protected]; [email protected])

2 Université de Lyon, LMFA, UMR CNRS 5509, Ecole Centrale de Lyon, 36 avenue Guy de Collongue, 69134 Ecully CEDEX ([email protected])

RÉSUMÉ. Une méthode SPH-ALE est utilisée pour étudier l'écoulement visqueux autour d’un cylindre fixe de forme diverse. Les résultats sont comparés à d'autres méthodes numériques ou des résultats expérimentaux. On étudie la réponse du système selon le nombre de Reynolds et la géométrie du cylindre. L'écoulement autour d'un cylindre circulaire avec un nombre de Reynolds 1000 est utilisé comme référence pour étudier l'influence de la dimension et de la discrétisation du domaine de calcul sur les résultats. Les simulations numériques 2D de l'écoulement visqueux autour d'un cylindre circulaire pour Re= 40, 100, 1000 et carré pour Re= 100 sont examinés pour valider cette méthode.

ABSTRACT. A method SPH-ALE is used to study the viscous flow around a fixed cylinder. The results are compared with other numerical methods and experimental results. The study of the system is performed considering the Reynolds number and the cylinder’s geometry. The flow around a circular cylinder with Reynolds number 1000 is used as a benchmark to investigate the influence of the dimension and the discretisation of the computational domain on the results. The 2D numerical simulations of viscous flow around a circular cylinder for Re= 40, 100, 1000 and square cylinder for Re= 100 are examined to validate this method.

MOTS-CLÉS: méthode SPH, fluide visqueux, cylindre, coefficient de traînée, coefficient de portance, nombre de Strouhal.

KEY WORDS: SPH method, viscous fluid, cylinder, drag coefficient, lift coefficient, Strouhal number.

31èmes Rencontres de l’AUGC, E.N.S. Cachan, 29 au 31 mai 2013 2

1. Introduction

L’étude des caractéristiques de l’écoulement d’un fluide visqueux autour d’un objet est essentielle pour l’industrie automobile, aéronautique, pétrolière mais aussi pour le génie civil. Notamment, elle est une prémisse à la compréhension des phénomènes d’érosion dans les barrages en terre, qu’ils soient interne ou externe. Ces deux phénomènes sont liés à l’arrachement et la migration de particules de la structure sur de grandes distances. L'écoulement autour d'un cylindre est un problème classique de la dynamique des fluides et sert de cadre à la validation de nouvelles méthodes numériques. On peut noter que ce problème académique a suscité un regain d’intérêt durant la dernière décennie qu’il soit expérimental [HEN 95, ZDR 97, GRO 06] ou numérique [BEH 95, DRÖ 07, POS 07] dû à l’émergence de nouvelles méthodes de résolutions des équations de la dynamique.

Le code ASPHODEL basé sur une méthode « Smoothed Particle Hydrodynamics » (SPH) et développé par la société ANDRITZ en partenariat avec le LMFA, a été choisi dans cette étude. Il repose sur une formulation faible et conservative des équations d’Euler et sur une description « Arbitrary Lagrangian- Eulerian » (ALE) de l’écoulement munie de l’équation d’état de Tait. Ce formalisme est connu pour être plus conforme à la description d’un milieu continu fluide [MAR 07]. Le terme visqueux est introduit ici sous la forme du modèle dit de Morris [MOR 97]. Les méthodes SPH sont généralement bien adaptées à la résolution de problèmes d’écoulement de milieux biphasiques ou d’écoulement non contraint tel que la simulation de jets impactant un plan [MAR 07]. Plus de détails sur la méthode SPH-ALE peut être trouvée dans [MAR 07, LED 10].

La capacité du code ASPHODEL à simuler précisément les forces visqueuses autour d’un obstacle fixe a été évaluée. Le chapitre 2 présente ainsi la calibration des paramètres (dimension et discrétisation du domaine de calcul) pour l’écoulement autour d’un cylindre circulaire fixe avec un nombre de Reynolds (Re) de 1000. La validation du code ASPHODEL est faite par des simulations numériques 2D de l’écoulement visqueux autour d’un cylindre circulaire fixe pour Re= 40, 100 et 1000. Les forces de traînée et de portance ainsi que le nombre de Strouhal sont comparés aux résultats issus de la littérature (expérimentaux ou numériques). Le chapitre 3 élargit la validation du code à une géométrie de cylindre carrée pour Re= 100. Le chapitre 4 est consacré à la conclusion de ce travail.

2. Ecoulement autour d'un cylindre circulaire

Un cylindre circulaire fixe et isolé de diamètre D est modélisé en 2D comme un disque dans un domaine de calcul rectangulaire en utilisant ASPHODEL avec la description eulérienne (Fig. 1). La distribution des particules fluides reste constante et fixe tout au long de la simulation en choisissant le mode eulérien. Les conditions aux limites non-réfléchissantes sont appliquées à l'entrée et à la sortie du système avec une vitesse variant en fonction du nombre de Reynolds (Re) dépendant du

Couplage fluide solide dans les milieux granulaires. Application à l’érosion interne 3

diamètre du cylindre et de la viscosité cinématique de l’eau. Des conditions périodiques sont appliquées aux frontières inférieures et supérieures du système.

H

Li Lo

D

x

z

Condition limite périodique

Condition limite périodique

Entrée Sortie

Ecoulement

Figure 1. Système modélisé pour l’écoulement autour d’un cylindre circulaire.

2.1. Calibration des paramètres

Dans un premier temps, l’étude des paramètres liés à la dimension ou à la discrétisation du domaine de calcul a été réalisée. Elle se base sur un compromis entre qualité des résultats et coût de calcul. La littérature est porteuse d’études similaires entreprises sur la base d’autres méthodes de résolution des équations de la dynamique des fluides. L’influence des dimensions du domaine de calcul sur les coefficients de trainée peut ainsi être trouvée dans [BEH 95], celle impliquant la discrétisation du domaine de calcul dans [DRÖ 07, POS 07]. Dans ce travail, un nombre de Reynolds de 1000 est d’abord utilisé car classiquement choisi que ce soit dans des études expérimentales ou numériques [ZDR 97, MIT 97, GHI 07, RAJ 09]. En particulier, la distribution du coefficient de pression moyenne autour du cylindre sera comparée à celle obtenue lors d’expériences (Re= 1240) [ZDR 97] ou par une méthode numérique autre que la méthode SPH-ALE [GHI 07].

Ensuite, la validation du code ASPHODEL est effectuée pour deux autres nombres de Reynolds (Re= 40, 100). Certains résultats sans dimension ont été définis et comparés avec des résultats issus de la littérature : coefficient de traînée moyenne due à la seule contribution de la pression (CDp), coefficient de portance (maximum CLmax ou valeur efficace CLrms) due à la seule contribution de la pression, coefficient de pression moyenne autour d’un cylindre (Cp) et nombre de Strouhal (St) issu de l’étude du coefficient de portance.

2.1.1. Influence de la dimension du domaine de calcul

Le choix de la dimension du domaine de calcul est l'un des aspects préliminaires aux simulations numériques. Les conditions aux limites doivent être mises à une distance suffisante du cylindre pour qu’elles n’influencent plus la qualité des résultats. Les caractéristiques suivantes définissent la géométrie du domaine de calcul rectangulaire : distance d'entrée (Li), de sortie (Lo) et hauteur du domaine (H) (Fig. 1). Les quantités Li/D, Lo/D, H/D ont été utilisées dans cette étude.


La Fig. 2a montre l’influence de Li sur le coefficient de pression moyenne Cp pour θ= 60°-300°. Li est successivement pris à 5D, 10D et 16D pour Lo égal à 16D et H à 8D. La valeur Li= 5D semble suffisante pour obtenir un résultat de qualité tout en minimisant les coûts de calcul. On a pu montrer que la valeur prise par Lo influençait peu Cp ; elle est choisie néanmoins suffisamment grande pour permettre de visualiser la formation du sillage derrière le cylindre. Le choix de Li= 5D et Lo= 10D, utilisé par ailleurs dans [LAS 09], est considéré comme optimal dans ce travail.

(a) (b)

Figure 2. Coefficient de pression moyenne autour d’un cylindre comparé à des résultats issus de la littérature pour l’étude de l’influence de Li et de H.

La Fig. 2b présente l’influence de la hauteur du domaine de calcul H sur le coefficient de pression pour des valeurs de H de 8D, 16D et 32D pour des valeurs de Li et Lo fixées précédemment Le choix de H influence le résultat de Cp essentiellement au point d’arrêt du cylindre. L’optimum est trouvé pour H égal 16D confirmant le travail de Behr et al. [BEH 95].

2.1.2. Influence des paramètres de discrétisation du domaine de calcul

Deux paramètres de discrétisation sont à étudier : la taille de la discrétisation des particules fluides (r0) et le facteur de raffinement (RR). Le domaine fluide est discrétisé par des particules fluides ayant leur volume unitaire cubique (carré en 2D) avec la taille de discrétisation r0. Le raffinement de la taille des particules fluides autour de la paroi est fait pour compenser une insuffisance de précision des calculs autour des obstacles, ici le cylindre. D’abord, le domaine de calcul est pavé uniformément avec des particules fluides de taille identique. Ensuite, la taille des particules fluides est réduite au voisinage du cylindre en prenant en compte un facteur de raffinement RR [COL 12].

La Fig. 3 montre l’influence des paramètres de discrétisation r0 et RR en fixant la dimension du domaine de calcul. Le choix de r0= D/40 et RR= 0.50 a permis d’obtenir un coût de calcul raisonnable tout en retrouvant le résultat obtenu par Ghias et al. [GHI 07].


Figure 3. Coefficient de pression moyenne autour d’un cylindre comparé avec les résultats obtenus dans la littérature : étude des paramètres de discrétisation.

2.2. Validation pour des Re différents

Différents régimes d'écoulement peuvent être observés en fonction du nombre de Reynolds. Trois nombres Reynolds sont considérés et les résultats comparés avec ceux issus de la littérature. Les champs de vitesse associés obtenus pour les différents Reynolds sont donnés Fig. 4.

Pour Re= 40, l’écoulement est laminaire avec un point de décollement fixe et des tourbillons symétriques. La solution stationnaire est obtenue à partir de t=150s et montrée en Fig. 5(a,b). La distribution de Cp moyenne autour du cylindre circulaire donné par ASPHODEL est plus éloignée par rapport à la référence pour l’intervalle 60° - 140° (Fig. 5c). ASPHODEL surestime aussi la valeur de Cp de 13% au point d’arrêt du cylindre circulaire ce qui donne une valeur de CDp stabilisée plus grande de 12% par rapport à une simulation numérique par la méthode des volumes finis [DRÖ 07]. Une analyse plus poussée laisse conclure aux limites du modèle visqueux de Morris [MOR 97] utilisé ici.

Pour Re= 100, l’écoulement est laminaire avec la formation d’un sillage derrière du cylindre qui donne la solution non-stationnaire et périodique (Fig. 6(a,b)). La Fig. 6c montre que la distribution de Cp moyenne obtenue par ASPHODEL est proche de celle obtenue par Rajani et al. par la méthode des volumes finis [RAJ 09] sauf au point d’arrêt (surestimation de 16%). Les résultats sont synthétisés dans le Tab. 1 et montrent en général des écarts de l’ordre de 5% à 8% avec d’autres études.

Pour Re= 1000, l’écoulement est laminaire mais des phénomènes 3D apparaissent et doivent être pris en compte dans la modélisation pour approcher finement les résultats expérimentaux. Ce dernier aspect ne sera pas pris en compte ici et les simulations resteront 2D. La solution est non-stationnaire et oscille avec une grande amplitude (Fig. 7(a,b)). La Fig. 7c montre que la distribution de Cp moyenne autour du cylindre circulaire obtenu par ASPHODEL est proche de celle obtenue par Ghias et al. [GHI 07] qui ont utilisé la méthode des différences finies, sauf au point d’arrêt (surestimation de 16%). Dans le Tab. 1, on constate que les


résultats issus d’ASPHODEL s’écartent des valeurs issues de la littérature avec un écart maximum de 9%.

Re= 40 Re= 100 Re= 1000

(a) (b) (c)

Figure 4. Distribution des vitesses des particules fluides pour Re (a) 40 ; (b) 100 et (c) 1000.

Tableau 1. Résultats d’écoulement visqueux autour d’un cylindre circulaire

Re= 40 CDp Cp-0° Cp-180°

Méthode SPH-ALE (Asphodel) Autres simulations numériques Méthode des volumes finis [DRÖ 07] Méthode d’élément spectral [POS 07] Expérience Grove et al. (1964) [GRO 06]

1.14

1.02 0.98

1.33

1.18

1.17

-0.56

-0.50

-0.50

Re= 100 CDp CLrms Cp-0° Cp-180° St

Méthode SPH-ALE (Asphodel) Autres simulations numériques Méthode des volumes finis [RAJ 09] Expérience Henderson (1995) [HEN 95] Homann (1936) [ZDR 97] Tritton (1959) [ZDR 97]

1.07

1.00

1.00

0.19 0.18

1.22

1.05

1.04

-0.72

-0.72

-0.65

0.173

0.157

0.165 Re= 1000 CDp CLmax Cp-0° Cp-180° St

Méthode SPH-ALE (Asphodel) Autres simulations numériques Méthode aux éléments finis [MIT 97] Méthode des différences finies [GHI 07] Expérience Thom (1928) [ZDR 97]

1.52

1.40

1.39

1.37

1.16

1.00

1.00

-1.66

-1.67

-0.80

0.242

0.245 0.243

0.210


(c)

Figure 5. Résultats de : (a) CDp ; (b) CL ; (c) Cp moyenne autour d’un cylindre circulaire comparé aux résultats issus de la littérature pour Re= 40.

(c)


(c)



3. Ecoulement autour d'un cylindre de géométrie carrée

Pour les géométries complexes, la traînée augmente tout comme la largeur du sillage car l’écoulement à l’avant du carré est dévié à 90° sur une certaine distance. Les résultats de CDp et CL au cours du temps sont montrés en Fig. 8(a,b). La Fig. 8c montre que la distribution de Cp moyenne autour du cylindre carré obtenu par ASPHODEL est proche de celle obtenue par Bao et al. [BAO 12] (méthode éléments finis), sauf au point d’arrêt (surestimation de 23%). Les résultats issus du calcul par ASPHODEL sont donnés dans le Tab. 2. Les illustrations des champs de vitesses et pression des particules fluides autour d’un cylindre carré pour Re= 100 sont montrées en Fig. 9.

(c)

Figure 8. Résultats de : (a) CDp ; (b) CL ; (c) Cp moyenne autour d’un cylindre carré comparé aux résultats issus de la littérature pour Re= 100

(a) (b)

Figure 9. Distribution des : (a) vitesse des particules fluides et (b) pression des particules fluides pour l’écoulement autour d’un cylindre carré de Re= 100

Tableau 2. Résultats d’écoulement visqueux autour d’un cylindre carré

Re=100 CDp CLrms Cp-0° St

Méthode SPH-ALE (Asphodel) Autres simulation numériques Méthode aux éléments finis [BAO 12] Méthode des volumes finis [SAH 09] Expérience Norberg [NOR 93]

1.576

1.441

0.173

0.180 0.188

1.23

1.00

0.165

0.145 0.149

0.143


4. Conclusion

La validation du code ASPHODEL basé sur la méthode SPH-ALE a été réalisée pour démontrer sa capacité à modéliser un écoulement visqueux 2D autour d'un cylindre isolé fixe. L’étude de choix de paramètres est abordée pour trouver un jeu assurant un bon compromis entre la précision et les temps de calculs. La dimension de la position entrée et sortie du domaine de calcul est pris 5D et 10D comme dans [LAS 09] et la hauteur du domaine à 16D confirmant le travail de Behr et al. [BEH 95]. Les tailles par défaut des particules fluides et le raffinement utilisé proche des obstacles sont pris respectivement à r0= D/40 et RR= 0.25.

Les valeurs des coefficients de traînée due à la seule contribution de la pression (CDp), coefficient de portance (maximum CLmax ou valeur efficace CLrms) due à la seule contribution de la pression, de pression moyenne autour d’un cylindre (Cp) et le nombre de Strouhal (St) issu du coefficient de portance sont donnés. ASPHODEL donne respectivement pour CDp un écart relatif avec des études antérieures de 12%, 7% et 8.6% pour Re= 40, 100 et 1000. ASPHODEL donne respectivement pour CLrms et CLmax un écart relatif égal à 5.5% et 1.5% pour Re= 100 et 1000 par rapport à une étude antérieure. Pour St, les écarts relatifs sont au maximum de 8% pour Re= 100 mais peuvent atteindre 15% pour Re= 1000. Dans ce cas-là, un modèle 3D serait nécessaire pour approcher la réalité des phénomènes expérimentaux. Il semble que l’erreur au point d’arrêt du cylindre vient du modele visqueux implementé dans ASPHODEL, ce point devra être traité dans les versions ultérieures du code de calcul. L’étude d’écoulement visqueux autour d’un cylindre carré est apportée pour tester la capacité d’ASPHODEL à traiter des géométries complexes. Les écarts trouvés sont du même ordre de grandeur que obtenus pour le cylindre circulaire.

5. Remerciements

Les auteurs tiennent à remercier Jean-Christophe MARONGIU de ANDRITZ Hydro R&D et Joëlle CARO du LMFA pour la qualité des échanges autour de ce travail et leur support tant scientifique qu’informatique.

6. Bibliographie

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Documents

Modélisation 2D de l’écoulement visqueux autour d’un