Cours - Comparaison Des Suites

c Christophe Bertault - MPSI

Comparaison des suites

Grce la notion de limite, nous avons pu distinguer le comportement asymptotique des suites dune faon assez satisfaisante :selon la valeur de leur limite quand elles en ont une, les suites peuvent tre ranges dans des tiroirs diffrents.

Pourtant nous navons pas t assez loin : car par exemple, nous avons mis les suites (n2)nN et (2n)nN dans le mme tiroir

. Or ces suites ont des comportements trs distincts : intuitivement linfini de 2n est bien plus grand que linfini de n2. Onpourrait donner des exemples analogues en cas de limite nulle.

Comment valuer la taille dun infini ou dun zro ? Comment comparer deux infinis ou deux zros ? Cest ces quelquesquestions que nous allons rpondre prsent.

1 Ngligeabilit

1.1 Dfinition

Dfinition (Ngligeabilit) Soient (un)nN et (vn)nN deux suites. On dit que (un)nN est ngligeable devant (vn)nN silexiste une suite (n)nN de limite nulle et un rang partir duquel un = nvn.Cette relation se note un =

no(vn) et se lit un est un petit o de vn .

Si (vn)nN ne sannule pas partir dun certain rang, dire que un =n

o(vn) revient dire que limn

un

vn= 0.

En pratique Dans les exercices, on travaillera presque toujours avec des suites qui ne sannulent pas. Cest donc

la dfinition particulire limn

un

vn= 0 que nous utiliserons.

Explication Puisque limn

n = 0, lgalit un = nvn partir dun certain rang signifie que un est petit par rapport

vn, de plus en plus petit mesure que n grandit. Do la terminologie : (un)nN est ngligeable devant (vn)nN.

Cette notion de ngligeabilit est surtout intressante quand on veut comparer deux infinis ou deux zros : on peut ainsi direque tel infini est plus petit que tel autre, etc.

Exemple n2 =n

o(n4) car limn

n2

n4= 0. n3 =

no(n4) car lim

n

n3

n4= 0.

1

n2=

no

1

n

car limn

1

n2

1

n

= 0.

$ $ $ Attention ! un =n

o(0) un = 0 partir dun certain rang.Or on ne travaille jamais avec la suite nulle quel intrt ? Cest pourquoi vous ne rencontrerez certainement jamais lexpression un =

no(0) en mathmatiques. Banissez-la de vos copies !

1.2 Oprations sur les petits o

Thorme (Oprations sur la ngligeabilit) Soient (un)nN, (vn)nN, (wn)nN, (u

n)nN et (v

n)nN des suites et R.(i) La multiplication par un rel non nul ne compte pas :

si un =n

o(vn) et si 6= 0, alors un =n

o(vn) et un =n

o(vn).

(ii) La somme de deux suites ngligeables devant une mme suite est ngligeable :

si un =n

o(vn) et si u

n =n

o(vn), alors un + u

n =n

o(vn).

(iii) La relation tre ngligeable est transitive :

si un =n

o(vn) et si vn =n

o(wn), alors un =n

o(wn).

1


(iv) Avec le produit, tout va bien :

(

si un =n

o(vn) et si u

n =n

o(vn), alors unu

n =n

o(vnv

n).

si un =n

o(vn), alors unwn =n

o(vnwn).

(v) Si : N N est strictement croissante et si un =n

o(vn), alors u(n) =n

o

v(n)

.

$ $ $ Attention ! Avec les petits o, deux oprations sont formellement interdites.

Somme des deux cts : si un =n

o(vn) et si u

n =n

o(vn), on na pas forcment un + u

n =n

o(vn + v

n).

Par exemple, on a n 1 =n

o(n2) et 1 =n

o(1 n2), mais pourtant n =n

o(1).

Composition : si un =n

o(vn), on na pas forcment f(un) =n

o

f(vn)

.

Par exemple, on a n =n

o(n2), mais pourtant, si on compose gauche par x 7 1x,

1

n=

no

1

n2

.

Dmonstration

(i) Montrons que un =n

o(vn). Par hypothse, il existe une suite (n)nN de limite nulle et un rang N

partir duquel un = nvn. Alors un =n

(vn) partir du rang N et lim

n

n

= 0. Do le rsultat.

Montrons que un =n

o(vn). Reprenons les notations prcdentes. On a un = (n)vn partir du rang

N et limn

n = 0. Do le rsultat.

(ii) Par hypothse, il existe une suite (n)nN de limite nulle et un rang N partir duquel un = nvn, ainsiquune suite (n)nN de limite nulle et un rang N

partir duquel un =

nvn. Alors un + u

n = (n +

n)vn

partir du rang maxn

N,N o

et limn

(n +

n) = 0. Do le rsultat.

(iii) Par hypothse, il existe une suite (n)nN de limite nulle et un rang N partir duquel un = nvn, ainsiquune suite (n)nN de limite nulle et un rang N

partir duquel vn =

nwn. Alors un = (n

n)wn partir

du rang maxn

N,N o

et limn

n

n = 0. Do le rsultat.

(iv) et (v) Dbrouillez-vous. Pour (v), il faut utiliser le thorme sur les limites de suites extraites.

Nous avons jusquici introduit la notation petit o sous sa forme la plus lmentaire (mise en relation de deux suites). Cettenotation existe en ralit sous des formes assez diverses en mathmatiques. Par exemple, vous rencontrerez souvent des expressionsdu genre un =

nvn + o(wn) . En loccurrence, cette expression signifie simplement que un = vn + xn o xn =

no(wn) ;

bref : un et vn ne diffrent que dun petit o de wn.

Explication

Partons de laffirmation : 1n + 1

=n

1

n 1

n2+

5

n3+ o

1

n2

. Peu importe ici pourquoi cette affirmation est vraie.

Grosso modo, cette proposition affirme que lorsque n est assez grand,1

n + 1 1

n 1

n2+

5

n3. Or une approximation na

de sens que si lon peut mesurer lerreur commise. Ici il nous est dit que1

n+ 1 1

n 1

n2+

5

n3 un o

1

n2

prs. Le

o

1

n2

reprsente le niveau de prcision de lapproximation. Cest un peu comme quand on dit que pi 3, 14 102 prs.

Imaginez justement quon vous dise : pi est gal 3,14012 102 prs . Vous rpondrez naturellement : Pourquoine pas se contenter de lapproximation 3,14, puisquon raisonne 102 prs ? Et vous aurez raison : raisonner 102

prs, cest ngliger tout ce qui est plus petit que 102. Ainsi lapproximation pi 3, 14 102 prs est aussi prcise quelapproximation pi 3, 141592 102 prs, bien quon ait deux dcimales correctes dans un cas et six dans lautre.

Le mme phnomne se produit avec les petits o. Ainsi, puisque5

n3=

no

1

n2

, la quantit5

n3est inutile dans la relation

1

n+ 1=

n

1

n 1n2

+5

n3+o

1

n2

; nous pouvons donc lui couper la tte et affirmer que1

n+ 1=

n

1

n 1n2

+o

1

n2

.

Cette nouvelle proposition nest ni plus ni moins prcise que la prcdente, mais elle est plus lisible.

Vous devez vous habituer penser les petits o comme des niveaux de prcision ou encore comme des seuils de visibilit, etpenser de vous-mmes nettoyer les formules que vous crivez comme nous venons de le faire ci-dessus.

2


Thorme (Limites et petits o) Soient (un)nN une suite et ` R. Alors : limn

un = ` un =n

`+ o(1).

En particulier : limn

un = 0 un =n

o(1).

En pratique Il est trs important davoir en tte le fait quun o(1) nest rien dautre quune suite de limite nulle.

Dmonstration

limn

un = ` limn

un `1

= 0 un` =n

o(1) un =n

`+o(1).

1.3 Exemples fondamentaux

Thorme (Exemples fondamentaux de petits o)

(i) Soient , R tels que < . Alors n =n

o(n). (ii) Soient a, b R tels que 0 < a < b. Alors an =n

o(bn).

(iii) Soient , R avec > 0. Alors lnn =n

o(n). (iv) Soient a, R avec a > 1. Alors n =n

o(an).

(v) Soit a R. Alors an =n

o(n!).

Explication Ce thorme explique, dans la langue des petits o, que la factorielle est plus infinie que les exponentielles,que les exponentielles le sont plus que les puissances, qui le sont elles-mmes plus que les puissances de logarithmes.

Dmonstration

(i) Puisque < , alors < 0, donc limx

x = 0 (rsultat sur les fonctions puissances). Par composition,

limn

n = 0, i.e. lim

n

n

n= 0, i.e. enfin n =

no(n).

(ii) Puisque 0 < a < b, alors b 6= 0 et

a

b

< 1, donc limn

a

b

n

= 0, et donc an =n

o(bn).

(iii) Petit exercice. . .

(iv) et (v) Dj vu : ce sont respectivement la comparaison exponentielles/puissances et la comparaison expo-nentielles/factorielle.

Exemple Nous avons dj montr que limn

n!

nn= 0. Par consquent n! =

no(nn).

2 Equivalence

2.1 Dfinition

Dfinition (Equivalence) Soient (un)nN et (vn)nN deux suites.On dit que (un)nN est quivalente (vn)nN sil existe une suite (n)nN de limite 1 et un rang partir duquel un = nvn.Cette relation se note un

nvn.

Si (vn)nN ne sannule pas partir dun certain rang, dire que un n

vn revient dire que limn

un

vn= 1.

3


En pratique Dans les exercices, on travaillera presque toujours avec des suites qui ne sannulent pas. Cest donc

la dfinition particulire limn

un

vn= 1 que nous utiliserons.

Explication Puisque limn

n = 1, lgalit un = nvn partir dun certain rang signifie que un est presque gal

vn, de plus en plus proche mesure que n grandit. Do la terminologie : (un)nN est quivalente (vn)nN.

Cette notion dquivalence est surtout intressante quand on veut comparer deux infinis ou deux zros : on peut ainsi dire quedeux infinis ont la mme taille, i.e. quils ont le mme ordre de grandeur, etc.

Exemple n2 + n+ 5 n

n2 car limn

n2 + n+ 5

n2= 1.

1

n+

1

n2

n

1

ncar lim

n

1

n+

1

n2

1

n

= 1.

$ $ $ Attention ! un n

0 un = 0 partir dun certain rang.Or on ne travaille jamais avec la suite nulle quel intrt ? Cest pourquoi vous ne rencontrerez certainement jamais lexpression un

n0 en mathmatiques. Banissez-la de vos copies !

Thorme Soient (un)nN et (vn)nN deux suites. un n

vn un =n

vn + o(vn).

Dmonstration Par dfinition, dire que un n

vn cest dire quil existe une suite (n)nN de limite 1 et un

rang N partir duquel un = nvn. Cest donc dire quil existe une suite (n)nN de limite nulle et un rang N partir duquel un = (1 + n)vn, i.e. un vn = nvn. Cest, enfin, exactement dire que un vn =

no(vn).

$ $ $ Attention ! Les propositions limn

un

vn= 1 et lim

n(un vn) = 0 ne sont en aucun cas quivalentes ;

cest mme pire : aucune de ces deux propositions nimplique lautre. Le thorme prcdent nous explique pourquoi : dire quelimn

(un vn) = 0, cest dire que un vn =n

o(1), et non pas un vn =n

o(vn).

Par exemple n+ 1 n

n, mais pourtant (n + 1) n n

0 ; inversement limn

1

n 1

n2

= 0, mais pourtant1

n

n

1

n2.

2.2 Oprations sur les quivalents

Thorme (Oprations sur les quivalents) Soient (un)nN, (vn)nN, (wn)nN, (u

n)nN et (v

n)nN des suites.

(i) La relation tre quivalentes est rflexive : un n

un.

(ii) La relation tre quivalentes est symtrique : si un n

vn, alors vn n

un.

(iii) La relation tre quivalentes est transitive :

si un n

vn et si vn n

wn, alors un n

wn.

(iv) Dans les petits o, on peut remplacer toute suite par une suite quivalente :

si un =n

o(vn) et si u

n n

un et v

n n

vn, alors u

n =n

o(vn).

(v) Deux suites quivalentes ont le mme signe partir dun certain rang :

si un n

vn et si un > 0 partir dun certain rang, alors vn > 0 partir dun certain rang.

(vi) Avec le produit, tout va bien :

si un n

u

n et si vn n

v

n, alors unvn n

u

nv

n.

(vii) Avec linverse, tout va bien :

si un n

vn et si un 6= 0 partir dun certain rang, alors 1un

n

1

vn.

4


(viii) Avec les puissances, tout va bien :

si un n

vn et si un > 0 partir dun certain rang, alors un n

vn pour tout R.

(ix) Si : N N est strictement croissante et si un n

vn, alors u(n) n

v(n).

$ $ $ Attention ! Avec les quivalents deux oprations sont formellement interdites.

Somme : si un n

vn et si u

n n

vn, on na pas forcment un + u

n n

vn + v

n.

Par exemple, n+ 1 n

n et 3 n n

n+ 1, mais 4 n

1.

Composition : si un n

vn, on na pas forcment f(un) n

f(vn).

Par exemple, n n

n+ lnn, mais si on compose gauche par x 7 ex, en n

nen.

Dmonstration

(i) Posons n = 1 pour tout n N. Alors un = nun pour tout n N et limn

n = 1, donc un n

un.

(ii) Par hypothse, il existe une suite (n)nN de limite 1 et un rang N partir duquel un = nvn. Comme

limn

n = 1, il existe un rang N partir duquel n > 0. Posons alors

n = 1 pour tout n < N et

n =1

n

pour tout n > N . Alors vn =un

n= nun partir du rang max

n

N,N o

et de plus limn

n = 1, donc

vn

un.

(iii) Par hypothse, il existe une suite (n)nN de limite 1 et un rang N partir duquel un = nvn ; de mme ilexiste une suite (n)nN de limite 1 et un rang N

partir duquel vn =

nwn. Posons alors

n = n

n pour

tout n N. Alors un = nvn = nnwn = nwn partir du rang maxn

N,N o

et limn

n = 1 par produit.

Finalement un n

wn.

(iv) Puisque un =n

o(vn), il existe une suite (n)nN de limite 0 et un rang N partir duquel un = nvn.

Puisque un n

un, alors u

n n

un via (ii), donc il existe une suite (

n)nN de limite 1 et un rang N

partir duquel un =

nun. Enfin vn n

vn, donc il existe une suite (

n)nN de limite 1 et un rang N partir

duquel vn =

nv

n. Posons

n = n

n

n pour tout n N. Alors un = nun = nnvn = nnnvn = nvn partir du rang max

n

N,N , N o

, et de plus limn

n = 0, donc u

n =n

o(vn).

(v) Par hypothse, il existe une suite (n)nN et un rang N partir duquel un = nvn. Comme limn

n = 1,

n > 0 partir dun certain rang N. Alors un et vn ont le mme signe partir du rang max

n

N,N o

, do

le rsultat.

(vi) Par hypothse, il existe une suite (n)nN de limite 1 et un rang N partir duquel un = nu

n ; de mme ilexiste une suite (n)nN et un rang N

partir duquel vn =

nv

n. Posons

n = n

n pour tout n N. Alorsunvn = nu

nnvn = nunvn partir du rang maxn

N,N o

et de plus limn

n = 1, donc unvn n

unv

n.

(vii) (ix) Au travail !

Thorme (Limites et quivalents) Soient (un)nN et (vn)nN deux suites.

(i) Si un n

vn, alors soit (un)nN et (vn)nN ont toutes les deux une limite et limn

un = limn

vn, soit aucune de ces

deux suites ne possde de limite.

(ii) Si limn

un = ` o ` est un rel non nul, alors un n

`.

$ $ $ Attention !

La rciproque de lassertion (i) est fausse : on peut avoir limn

un = limn

vn sans avoir un n

vn. Ne pas comprendre ceci,

cest ne rien comprendre ce chapitre, car justement les quivalents permettent de distinguer des suites qui ont pourtantla mme limite.

Par exemple, limn

2n = limn

n = mais 2n n

n ; de mme limn

1

n= lim

n

1

n2= 0 mais

1

n

n

1

n2.

Quand (un)nN possde une limite, on a limn

un+1 = limn

un. Cela dit, en gnral, un+1 n

un considrer un = 2n.

5


Dmonstration

(i) Par hypothse, il existe une suite (n)nN de limite 1 et un rang N partir duquel un = nvn. Du coup,si (un)nN possde une limite, alors (vn)nN en possde une aussi et ces limites sont gales ; et si (un)nN nepossde pas de limite, alors (vn)nN ne peut pas en possder non plus.

(ii) Si limn

un = ` R, alors comme ` 6= 0, limn

un

`= 1, et donc on a bien un

n`.

2.3 Exemples fondamentaux

Thorme (Exemples fondamentaux dquivalents) Soient (un)nN une suite de limite nulle et R.

1) Logarithme, exponentielle, puissances :

ln(1 + un) n

un, i.e. ln(1 + un) =n

un + o(un).

eun 1

nun, i.e. e

un =n

1 + un + o(un).

(1 + un) 1

nun, i.e. (1 + un)

=n

1 + un + o(un).

2) Fonctions trigonomtriques circulaires :

sin un n

un, i.e. sin un =n

un + o(un).

cosun n

1, i.e. cosun =n

1 + o(1) et cos un 1 n

u2n

2, i.e. cos un =

n1 u

2n

2+ o(u2n).

tanun n

un, i.e. tan un =n

un + o(un).

3) Fonctions trigonomtriques circulaires inverses :

Arcsin un n

un, i.e. Arcsin un =n

un + o(un).

Arccos un n

pi

2, i.e. Arccos un =

n

pi

2+o(1) et Arccos unpi

2

nun, i.e. Arccos un =

n

pi

2un+o(un).

Arctan un n

un, i.e. Arctan un =n

un + o(un).

4) Fonctions trigonomtriques hyperboliques :

sh un n

un, i.e. sh un =n

un + o(un).

ch un n

1, i.e. ch un =n

1 + o(1) et ch un 1 n

u2n2, i.e. ch un =

n1 +

u2n2

+ o(u2n).

th un n

un, i.e. th un =n

un + o(un).

$ $ $ Attention !

Lhypothse limn

un = 0 nest pas l pour dcorer.

Ne mlangez jamais les petits o et les quivalents ! Par exemple, (1+un) n

1+un+o(un) est une erreur classique.

Soucieux de lviter, certains dentre vous criront du coup (1 + un) n

1 + un. L, cest correct mais idiot, car

1 + un n

1. En dautres termes, crire (1 + un) n

1 + un revient crire (1 + un) n

1. On a donc

crit (1 + un) =n

1 + o(1) (prcision o(1)) alors quon voulait crire (1 + un) =n

1 + un + o(un) (prcision

o(un) bien meilleure).Bref : apprenez bien et distinguez bien les formules du thorme prcdent, autant leur version quivalents que leurversion petits o .

6


Dmonstration

Sauf cas particulier, la technique gnrale est la suivante. On part dune fonction f dfinie au voisinage de0 et drivable en 0 ici x 7 ln(1 + x), x 7 ex, x 7 (1 + x), sin, cos, tan, Arcsin, Arccos, Arctan, sh,ch ou th. Par dfinition du nombre driv, on sait quon a lim

x0

f(x) f(0)x 0 = f

(0). Composant avec la

limite limn

un = 0, on obtient limn

f(un) f(0)un

= f (0) ou encoref(un) f(0)

un=

nf (0) + o(1),

ce qui scrit aussi f(un) =n

f(0) + f (0)un + o(un). Cette formule est notre rsultat.

En ralit, cette technique nest pleinement convaincante que dans le cas o un ne sannule pas partir dun

certain rang. Si ce nest pas le cas, on commence par rcrire la limite limx0

f(x) f(0)x 0 = f

(0) sous la

forme f(x) =x0

f(x)+ f (0)x+ o(x) nous dfinirons proprement cette notation ultrieurement puis

on remplace x par un.

Pour cos et ch, une formule lordre 2 est nonce, i.e. dont la prcision nest pas seulement en o(un),mais carrment en o(u2n), ce qui est plus fin.

Pour cos, il faut se souvenir que : x R, cos(2x) = 1 2 sin2 x.Pour x =

un

2, cela donne : cosun = 1 2 sin2 un

2=

n1 2

u2n4

+ o

u2n4

=n

1 u2n

2+ o(u2n).

Pourquoi ? On a sinun

2

n

un

2car lim

n

un

2= 0 via le point prcdent relatif au sinus. Passant au carr

on obtient : sin2un

2

n

u2n4, i.e. sin2

un

2=

n

u2n4

+ o

u2n4

comme annonc.

On raisonne de la mme faon avec ch, aprs avoir montr la formule : x R, ch (2x) = 1 + 2sh2x.

En pratique Pour = 1 et = 12dans le thorme prcdent, on obtient les formules :

1

1 + un=

n1un+o(un)

et

1 + un =n

1 +un

2+ o(un). Il est utile de connatre bien ces deux cas particuliers.

Exemple ch en cos pin

n

pi2

2n2.

En effet Comme limn

en = lim

n

pi

n= 0, on dispose via le thorme prcdent des formules suivantes :

ch en 1 n

e2n

2, i.e. ch en =

n1 +

e2n

2+ o

e2n

,

et cospi

n 1

n pi

2

2n2, i.e. cos

pi

n=

n1 pi

2

2n2+ o

1

n2

,

Mais devons-nous travailler avec les versions quivalents ou les versions petits o de ces formules ? Parcequil est interdit dadditionner des quivalents, nous navons pas le choix : nous devons travailler avec despetits o. Du coup :

ch en cos pin

=n

e2n

2+ o

e2n

pi2

2n2+ o

1

n2

=n

o

1

n2

pi2

2n2+ o

1

n2

car e2n =n

o

1

n2

=n

pi2

2n2+ o

1

n2

comme voulu.

Les concepts dvelopps dans ce chapitre sont trs utiles pour calculer des limites.

Exemple limn

n

pi

2e

1

n Arccos 1n

=pi

2+ 1.

En effet La limite cherche se prsente initialement comme une forme indtermine. Mais limn

1

n= 0. Du

coup :

n

pi

2e

1

n Arccos 1n

=n

n

"

pi

2

1 +1

n+ o

1

n

pi

2 1

n+ o

1

n

#

=n

n

pi

2n+

1

n+ o

1

n

=n

pi

2+ 1 + o(1). Cest bien notre rsultat.

7


3 Domination

La notion de domination introduite ci-aprs est trs utile en mathmatiques, mais il faut bien avouer que vous lutiliserezmoins que les notions de ngligeabilit et dquivalence en MPSI. En deuxime anne, elle vous rendra de prcieux services quandvous tudierez la notion de srie.

3.1 Dfinition

Dfinition (Domination) Soient (un)nN et (vn)nN deux suites. On dit que (un)nN est domine par (vn)nN sil existeK R+ et un rang partir duquel |un| 6 K|vn|.Cette relation se note un =

nO(vn) et se lit un est un grand O de vn .

Si (vn)nN ne sannule pas partir dun certain rang N , dire que un =n

O(vn) revient dire que la suite

un

vn

n>N

est borne.

$ $ $ Attention ! La domination nimplique ni la ngligeabilit, ni lquivalence mais nous verrons dans un instantque le rsultat est vrai dans lautre sens. Soit (un)nN la suite dfinie par :

n N, u3n = 9n et u3n+1 = n et u3n+2 = 1.

Alors pour tout n N :8

0 via le premier point pour x =1

n + 1.

Montrons que (vn)nN est dcroissante. Pour tout n N :

vn+1 vn =n+1X

k=1

1

k ln(n+ 1)

nX

k=1

1

k+ lnn =

1

n + 1+ ln

n

n + 1

= 1n+ 1

+ ln

1 +1n + 1

6 0 via le premier point pour x =1n + 1

.

9


Enfin : vn un = ln(n + 1) lnn = ln

1 +1

n

n

0 par composition.

Nous avons finalement montr que (un)nN et (vn)nN sont adjacentes. Elles convergent donc vers un relque nous notons et qui vrifie : u1 6 6 v1. Or u1 = 1 ln 2 > 0 et v1 = 1, donc [0, 1].

Nous avons montr que : limn

"

nX

k=1

1

k lnn

#

= . Cela revient dire que :

nX

k=1

1

k=

nlnn+ + o(1).

Or puisque =n

o(lnn), on a aussi

nX

k=1

1

k=

nlnn+ o(lnn), ou encore

nX

k=1

1

k

nlnn comme voulu.

Exemple limn

3

r

1 +1

n 5r

1 +6

n

ln

1 +1

n

3 sin 1n

=13

30. Etudiez attentivement la dmonstration suivante.

En effet On a ici affaire une forme indtermine 0

0. Pour lever lindtermination, nous devons tudier

la taille des zros du numrateur et du dnominateur : lun des deux est-il plus grand que lautre ? Nous allonseffectuer cette comparaison grce laide des quivalents et des petits o. Nous utiliserons librement le thormerelatif aux oprations sur les petits o et les quivalents, sans toujours prciser quelle rgle vient dtre utilise.

3

r

1 +1

n=

n1 +

1

3n+ o

1

n

5

r

1 +6

n=

n1 +

6

5n+ o

6

n

=n

1 +6

5n+ o

1

n

9

>

>

=

>

>

;

Par diffrence :3

r

1 +1

n 5r

1 +6

n=

n

1

3n 6

5n+ o

1

n

.

=n

1315n

+ o

1

n

.

ln

1 +1

n

=n

1

n+ o

1

n

3 sin1

n=

n

3

n+ o

1

n

9

>

>

=

>

>

;

Par diffrence : ln

1 +1

n

3 sin 1n

=n

1

n 3n

+o

1

n

=n

2n

+o

1

n

.

Remarquez bien que, parce quon souhaitait faire des additions, on na pas eu recours aux quivalents, mais auxpetits o. En revanche, prsent, on souhaite diviser les deux rsultats partiels obtenus ci-dessus. Comme il estpratique de diviser avec des quivalents (et non avec les petits o), on abandonne les petits o.

8

>

>

>

:

3

r

1 +1

n 5r

1 +6

n=

n 13

15n+ o

1

n

donc 3r

1 +1

n 5r

1 +6

n

n 13

15n

ln

1 +1

n

3 sin 1n

=n

2n

+ o

1

n

donc ln

1 +1

n

3 sin 1n

n

2n

donc

3

r

1 +1

n 5r

1 +6

n

ln

1 +1

n

3 sin 1n

n

1315n

2n

n

13

30, et donc lim

n

3

r

1 +1

n 5r

1 +6

n

ln

1 +1

n

3 sin 1n

=13

30.

Exempleln(n+ 1)

n lnn

n+ 1

n

lnn

n2.

En effet

ln(n + 1)

n lnn

n+ 1=

ln(n + 1) lnnn

+ lnn

1

n 1

n+ 1

=1

nln

1 +1

n

+lnn

n(n+ 1)=

1

nln

1 +1

n

+lnn

n2 1

1 +1

n

=n

1

n

1

n+ o

1

n

+lnn

n2

1 1n

+ o

1

n

=n

1

n2+ o

1

n2

+lnn

n2 lnn

n3+ o

lnn

n3

=n

lnn

n2+

1

n2+ o

1

n2

carlnn

n3=

no

1

n2

.

A ce stade, nous avons obtenu un rsultat meilleur que celui que nous cherchions. En effet, nous voulions montrer

queln(n+ 1)

n lnn

n+ 1

n

lnn

n2, i.e. que

ln(n+ 1)

n lnn

n+ 1=

n

lnn

n2+ o

lnn

n2

. Mais nous avons

russi obtenir un dveloppement asymptotique plus prcis :ln(n+ 1)

n lnn

n+ 1=

n

lnn

n2+

1

n2+ o

1

n2

. Ce

dveloppement est plus prcis car1

n2=

no

lnn

n2

.

10


Exemple Soit (un)nN la suite dfinie par u0 = 0 et par : n N, un+1 =un + n + 1. Alors un =

n

n+

1

2+o(1).

En particulier mais cest moins prcis un =n

n +O(1).

En effet

Par dfinition, (un)nN est positive.

Montrons que : n N, n 6 un 6 n + 1.1) Initialisation : On a bien

0 = 0 6 u0 = 0 6 1 =

0 + 1.

2) Hrdit : Soit n N. Faisons lhypothse que n 1 6 un1 6n 1 + 1. Ajoutons n.

n 6n 1+n 6 un1+n 6

n 1+n+1 = (n1)+n 1+1+1 6 (n1)+n 1+n 1+1 6

n 1+1

2

.

Et un petit coup de racine carre :n 6

un1 + n = un 6

n 1 + 1 6 n + 1. Cest fini.

Montrons que : un n

n.

Nous venons de montrer que pour tout n N : n 6 un 6 n+ 1, donc : 1 6 unn6 1 +

1n. On

en dduit que limn

unn

= 1 via le thorme des gendarmes, i.e. que un n

n comme voulu.

Montrons que : un =n

n +

1

2+ o(1).

Partons de lgalit un n = un1 + nn = nr

1 +un1

n 1

vraie pour tout n N.

Remarquons ensuite que :un1

n=

un1n 1

n 1n

n

0 car un n

n et lim

n

n 1n

= 0.

Du coup :

r

1 +un1

n 1

n

un1

2n

n

n 12n

n

n

2n

n

1

2n.

Il ne nous reste plus qu multiplier parn : un n = n

r

1 +un1

n 1

n

n 1

2n

n

1

2.

Ce rsultat signifie exactement que un =n

n +

1

2+ o(1) comme voulu.

Explication Avant de clore ce chapitre, ajoutons une dernire couche dintuition la notion dquivalent. Dans les

deux derniers exemples, nous avons montr queln(n+ 1)

n lnnn+ 1

=n

lnn

n2+

1

n2+o

1

n2

et que un =n

n+

1

2+o(1).

Ces deux exemples prsentent une analogie structurelle que lon peut prsenter ainsi :

ln(n+ 1)

n lnn

n+ 1=

n

lnn

n2|{z}

Lquivalent

+1

n2+ o

1

n2

| {z }

Le reste, ngligeabledevant lquivalent

et un =n

n

|{z}

Lquivalent

+1

2+ o(1).

| {z }

Le reste, ngligeabledevant lquivalent

Lquivalent apparat ainsi comme terme dominant dans les dveloppements asymptotiques on devrait en fait parler dunquivalent. Il est, de par sa taille, ce quon voit en premier ; tout le reste est bien l, mais ngligeable. Cest un peu comme quandvous pntrez dans une pice : vous voyez dabord que vous entrez dans une cuisine ; vous ne prtez attention la couleur desrideaux quensuite.

11

Documents

Cours - Comparaison Des Suites