Cours de mathématiquespc.fermat.free.fr/cours/analyse.pdf · 2 Chapitre1. Suitesnumériques Théorème (convergencedessuitesextraites) Soit uune suite à valeurs dans K et ‘∈K.La

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Cours de MathématiquesAnalyse

H. MÉNÉVIS

Table des matières

1 Suites numériques 11.1 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Définitions, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Théorèmes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Comparaison des suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Suites définies implicitement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.1 Suites récurrentes affines du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.2 Suites récurrentes linéaires du deuxième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.3 Suites un+1 = f(un) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Test de compréhension du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.2 Réponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Séries numériques 172.1 Définitions et exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Séries à termes réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.1 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.2 Séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4 Produit de deux séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5 Test de compréhension du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.5.2 Réponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Intégration et dérivation des fonctions numériques 333.1 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.1.2 Accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.1.3 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.1.4 Produit, composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.1.5 Bijection réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 Inégalités classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.1 Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.2 Logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.3 Fonctions puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.4 Sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3 Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3.1 Intégrale d’une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3.2 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3.3 Techniques de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3.4 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.5 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

iii

iv TABLE DES MATIÈRES

3.4 Fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.4.1 Fonctions continues par morceaux sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.4.2 Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment . . . . . . . . . . . 493.4.3 Fonctions continues par morceaux sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50


4 Intégration sur un intervalle quelconque 554.1 Intégrales impropres convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1.1 Définition d’une intégrale impropre convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.1.2 Cas des fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.1.3 Techniques de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.2 Intégrales absolument convergentes ; fonctions intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2.2 Fonctions de carré intégrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3 Comparaison d’une série à une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.4 Test de compréhension du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70


5 Espaces vectoriels normés 735.1 Normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.1.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.1.2 Ouverts, fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.1.3 Suites à valeurs dans E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.1.4 Limites et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.2 Espaces vectoriels normés de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.2.1 Suites et fonctions à valeurs dans E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.2.2 Fonctions continues sur des parties fermées bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.2.3 Continuité des applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90


6 Suites et séries de fonctions 956.1 Suites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.1.1 Convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.1.2 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.1.3 Intégration et passage à la limite : cas d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.1.4 Intégration et passage à la limite : cas d’un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.1.5 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.2 Séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.2.1 Convergence simple, convergence uniforme, convergence normale . . . . . . . . . . 1036.2.2 Continuité d’une série de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.2.3 Intégration terme à terme sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.2.4 Intégration terme à terme sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.2.5 Dérivation terme à terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110


7 Fonctions à valeurs vectorielles ; courbes paramétrées 1157.1 Dérivation des fonctions à valeurs vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

7.1.1 Définitions et caractérisation par les coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.1.2 Compositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7.2 Arc paramétrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.2.1 Paramétrage et trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.2.2 Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.2.3 Plan d’étude d’une courbe paramétrée plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

TABLE DES MATIÈRES v

8 Intégrales à paramètres 1258.1 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1258.2 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1278.3 Fonction Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1298.4 Test de compréhension du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132


9 Séries entières 1359.1 Série entière d’une variable complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9.1.1 Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1359.1.2 Somme, produit de séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1389.1.3 Continuité de la fonction somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

9.2 Série entière d’une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1419.2.1 Régularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1419.2.2 Fonctions développables en série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142


10 Équations différentielles 14910.1 Équations linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

10.1.1 Équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14910.1.2 Équation avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15010.1.3 Raccord de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

10.2 Systèmes différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15310.2.1 Définition et résultats généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15310.2.2 Systèmes différentiels à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

10.3 Équations linéaires du deuxième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15910.3.1 Cas des équations à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16010.3.2 Du second au premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

10.4 Solutions approchées : méthode d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16610.5 Test de compréhension du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168


11 Calcul différentiel à plusieurs variables 17111.1 Dérivées partielles ; fonctions de classe C 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

11.1.1 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17111.1.2 Développements limités ; fonctions de classe C 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17311.1.3 Dérivées d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

11.2 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17611.2.1 Règle de la chaîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17611.2.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17811.2.3 Équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

11.3 Fonctions à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18111.3.1 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18111.3.2 Courbes planes définies implicitement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18211.3.3 Surfaces définies implicitement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18411.3.4 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186


A Primitives usuelles 193

B Développements limités usuels 195

C Développements en série entière usuels 197

Chapitre 1Suites numériques

Dans ce chapitre, nous rappelons, souvent sans démonstration, les définitions et résultats importantsdu cours de première année.

Dans tout le chapitre, K désigne soit R, soit C. Rappelons que l’ensemble des suites à valeurs dans Kest noté KN. Une suite à valeurs dans K est qualifiée de suite numérique (suite de nombres), par oppositionaux suites de fonctions que nous étudierons plus tard.

1.1 Convergence1.1.1 Définitions, exemples

DéfinitionSoit (un)n∈N et ` ∈ K. On dit que la suite converge vers ` si, et seulement si :

∀ε > 0,∃N ∈ N | ∀n > N, |un − `| 6 ε.

Lorsque K = R, |un − `| désigne la valeur absolue ; lorsque K = C, il s’agit du module.

Exemple 1. Démontrons que la suite définie par un = 3n+12n+1 converge vers 3

2 .Soit ε > 0. Pour tout n, on a |un − 3

2 | = 6n+2−(6n+3)2(2n+1) = 1

4n+2 . Choisissons N tel que 4N + 2 > 1ε

(ça existe ; par exemple N =⌈ 1ε−2

4

⌉). Alors, pour tout entier n > N , on a 4n + 2 > 4N + 2 > 1

ε , donc|un − 3

2 | 6 ε.

Dans le cas des suites à valeurs complexes, on a la

PropositionSoit (un)n = (xn + iyn)n une suite à valeurs complexes et ` = `1 + i`2 un complexe. Alors(

un −→n→∞

`)⇐⇒

(xn −→

n→∞`1 et yn −→

n→∞`2).

Remarque 1. Il est sous-entendu dans cet énoncé que les suites (xn)n et (yn)n sont à valeurs réelles, etque `1 = <e(`) et `2 = =m(`).

Théorème (unicité de la limite)Si une suite u converge vers deux limites `1 et `2, alors `1 = `2.

Définition (suite convergente)On dit qu’une suite u ∈ KN est convergente si, et seulement si, il existe un scalaire ` ∈ K tel que lasuite u converge vers `. Dans le cas contraire, on dit qu’elle est divergente.

Un tel scalaire est alors unique ; on l’appelle la limite de la suite u et on le note lim u ou limn→∞

un.

1

2 Chapitre 1. Suites numériques

Théorème (convergence des suites extraites)Soit u une suite à valeurs dans K et ` ∈ K. La suite u converge vers ` si, et seulement si, toutes lessuites extraites de u convergent vers `.

Exemple 2. Ceci permet de prouver que la suite définie par un = (−1)n pour tout n ne converge pas.En effet, si elle convergeait vers une limite `, les suites extraites (u2n)n et (u2n+1)n convergeraient aussivers `, d’où l’on déduirait les égalités ` = 1 et ` = −1, qui sont incompatibles.

Pour prouver la convergence, on peut se contenter de regarder séparément la suite extraite des termesde rang pair et la suite extraite des termes de rang impair :

PropositionSoit u une suite à valeurs dans K et ` ∈ K. Pour que la suite u converge vers `, il suffit que

u2n −→n→∞

` et u2n+1 −→n→∞

`.

PropositionUne suite convergente est bornée ; la réciproque est fausse.

Définition (divergence des suites réelles vers ±∞)Soit u une suite à valeurs réelles. On dit que la suite u– diverge vers +∞ si, et seulement si :

∀M ∈ R,∃N ∈ N | ∀n > N, un >M.

– diverge vers −∞ si, et seulement si :

∀M ∈ R,∃N ∈ N | ∀n > N, un 6M.

Remarque 2. On parle dans ce cas de limite généralisée. Bien que l’on dise encore que un «tend» vers±∞, la suite n’est pas convergente (elle n’est pas bornée).

Théorème (convergence des suites géométriques)Soit a un nombre complexe. La suite géométrique (an)n∈N converge si, et seulement si, |a| < 1 oua = 1.– Si |a| < 1, alors an −→

n→∞0

– Si |a| > 1, alors |a|n −→n→∞

+∞

1.1.2 Opérations sur les limitesSoient u, v ∈ KN deux suites convergentes, de limites respectives `1 et `2, ainsi que λ un scalaire. Alors– un + vn −→

n→∞`1 + `2

– λun −→n→∞

λ`1

– unvn −→n→∞

`1`2.Si de plus la limite `1 est non nulle, il existe un rang N à partir duquel un 6= 0, ce qui permet de

définir la suite ( 1un

)n>N . On a alors 1un−→n→∞

1`1.

On peut énoncer des résultats analogues pour les suites à valeurs réelles avec des limites généralisées,en prenant bien garde aux cas d’indétermination (par exemple, la somme de deux suites qui divergentvers +∞ diverge encore vers +∞, de même que la somme d’une suite bornée et d’une suite qui divergevers +∞. On ne peut en revanche rien dire de la somme d’une suite qui diverge vers +∞ et d’une suitequi diverge vers −∞).

1.1. Convergence 3

Majorations et minorations

Théorème (passage à la limite des inégalités larges)Soient u, v deux suites à valeurs réelles. On suppose que– ∀n ∈ N, un 6 vn (ou du moins à partir d’un certain rang)– les deux suites convergent.Alors lim u 6 lim v.

Attention! Les inégalités strictes ne passent pas à la limite ; elles se transforment en inégalités larges(par exemple, bien que l’on ait 1

n > 0 pour tout n > 1, on a seulement limn→∞1n > 0).

1.1.3 Théorèmes de convergenceLa plupart du temps, on démontre qu’une suite u converge vers le scalaire ` en majorant |un − `| par

une suite qui converge vers 0 :

ThéorèmeSoit u une suite à valeur dans K et ` un scalaire. On suppose trouvée une suite v à valeurs positivestelle que– ∀n ∈ N, |un − `| 6 vn (ou du moins à partir d’un certain rang)– vn −→

n→∞0.

Alors un −→n→∞

`.

Dans le cas des suites à valeurs réelles, la majoration s’écrit encore sous la forme −vn + ` 6 un 6 vn + `,les deux suites (vn + `)n et (−vn + `)n convergeant toutes deux vers `. Plus généralement, on a le

Théorème (encadrement)Soient u, v, w trois suites à valeurs réelles et ` un réel. On suppose que– ∀n ∈ N, un 6 vn 6 wn (du moins à partir d’un certain rang)– les suites u et w convergent vers `.Alors :– la suite v converge– sa limite est `.

Exemple 1. Considérons la suite u définie par :

∀n > 1, un =n∑k=1

n

n2 + k= n

n2 + 1 + n

n2 + 2 + · · ·+ n

n2 + n.

Soit n ∈ N∗. Pour tout k ∈ [[1, n]], on a

n

n2 + n6

n

n2 + k6

n

n2 + 1 ,

d’oùn2

n2 + n6 un 6

n2

n2 + 1 .

Orn2

n2 + n−→n→∞

1 et n2

n2 + 1 −→n→∞1,

d’où un −→n→∞

1.

Attention! Si les suites u et w convergent mais que leurs limites ne sont pas égales, on ne peut mêmepas conclure à la convergence de la suite v ! Par exemple, on a

−1− 1n6 (−1)n 6 1 + 1

n


pour tout entier n > 1, avec

−1− 1n−→n→∞

−1 et 1 + 1n−→n→∞

1,

mais la suite((−1)n

)nne converge pas !

Les théorèmes précédents nécessitaient de connaître à l’avance ` pour démontrer que la suite conver-geait vers `. On dispose aussi de théorèmes permettant de montrer la convergence d’une suite sansconnaître la limite pour autant.

Théorème (limite monotone)Soit u une suite à valeurs réelle croissante. La suite converge si, et seulement si, elle est majorée.– Si elle est majorée, sa limite est ` = supn∈N un– Si elle n’est pas majorée, elle diverge vers +∞.

Démonstration. Commençons par supposer la suite majorée. Notons ` = supn∈N un (qui est, rappelons-le, le plus petit des majorants de la suite u, mais pas nécessairement une valeur atteinte par la suite).Démontrons que la suite u converge vers `, i.e. que :

∀ε > 0,∃N ∈ N | ∀n > N, |un − `| 6 ε.

Soit ε > 0. Le réel `−ε est strictement inférieur à `, donc n’est pas un majorant de la suite u. Choisissonsun entier N tel que uN > `− ε. Alors, pour tout entier n > N , on a (par croissance de la suite) un > uN ,donc

|un − `| = `− un 6 `− uN 6 ε.

`− ε `

ε

uN

Supposons maintenant la suite non majorée et démontrons qu’elle diverge vers +∞, i.e. que :

∀M ∈ R,∃N ∈ N | ∀n > N, un >M.

Soit M ∈ R. Ce réel n’est pas un majorant de la suite. Choisissons un entier N tel que uN > M . Alors,pour tout n > N , on a un >M .

Remarque 1. De même, une suite décroissante converge si, et seulement si, elle est minorée (et sinondiverge vers −∞).

Exemple 2. Considérons la suite S définie par :

∀n > 1, Sn =n∑k=1

1k2 .

Pour tout n > 2, on a1k2 6

1k(k − 1) = 1

k − 1 −1k

d’où, pour n > 2 :

Sn = 1 +n∑k=2

1k2 6 1 +

n∑k=2

( 1k − 1 −

1k

)= 1 + 1− 1

n6 2.

La suite S étant croissante et majorée (par 2), elle converge. De plus, sa limite ` vérifie ` 6 2.

Théorème (suites adjacentes)Soient u, v deux suites à valeurs réelles. On suppose que– la suite u est croissante– la suite v est décroissante– un − vn −→

n→∞0.

Alors– les deux suites sont convergentes– elles ont la même limite.

1.2. Comparaison des suites 5

Démonstration. Commençons par remarquer que, pour tout entier n, on a un 6 vn. En effet, la suite(un−vn)n est croissante d’après les hypothèses, et converge vers 0, donc est à valeurs négatives ou nulles.Par monotonie des deux suites, on a donc

u0 6 un 6 vn 6 v0

pour tout entier n. La suite u est croissante et majorée (par la constante v0), donc elle converge, vers unelimite `1. De même, la suite v converge vers une limite `2. De la propriété un − vn −→

n→∞0, on déduit que

`1 = `2.

Exemple 3. Considérons les suites S et T définies par :

∀n > 1, Sn =n∑k=1

1k2 et Tn = Sn + 1

n.

La suite S est croissante. De plus, pour n ∈ N∗, on a :

Tn+1 − Tn = Sn+1 − Sn + 1n+ 1 −

1n

= 1(n+ 1)2 + 1

n+ 1 −1n

= −1n(n+ 1)2 < 0

donc la suite T est strictement décroissante. Enfin, Tn−Sn = 1n−→n→∞

0. Les suites sont donc adjacentes ;elles convergent vers une limite commune.

1.2 Comparaison des suitesSoient u, v deux suites à valeurs dans K.

Définition (domination)On dit que la suite u est dominée par la suite v si, et seulement si,

∃M ∈ R+,∃N ∈ N | ∀n > N, |un| 6M |vn|.

On note O(v) l’ensemble des suites dominées par la suite v.

Remarque 1. Pour dire que la suite u est dominée par la suite v, on écrit parfois (abusivement) u = O(v)au lieu de u ∈ O(v).

Définition (négligeabilité)On dit que la suite u est négligeable devant la suite v si, et seulement si,

∀ε > 0,∃N ∈ N | ∀n > N, |un| 6 ε|vn|.

On note o(v) l’ensemble des suites négligeables devant la suite v.

Remarque 2. On écrit aussi (abusivement) u = o(v) au lieu de u ∈ o(v).

Définition (équivalence)On dit que la suite u est équivalente à la suite v si, et seulement si,

un = vn + o(vn)

ou, ce qui revient au même :vn = un + o(un).

On note un ∼ vn.


Dans le cas des suites ne s’annulant pas (du moins à partir d’un certain rang), on a les caractérisationssuivantes :

PropositionSoient u, v deux suites à valeurs dans K, la suite v ne s’annulant pas (du moins à partir d’un certainrang). On a les équivalences :– u ∈ O(v)⇐⇒ u

v est bornée– u ∈ o(v)⇐⇒ un

vn−→n→∞

0– un ∼ vn ⇐⇒ un

vn−→n→∞

1.

Théorème (comparaison des suites de référence)Soient α, β deux réels strictement positifs et a > 1. On a

(lnn)α ∈ o(nβ), nβ ∈ o(an) et an ∈ o(n!).

1.3 Suites définies implicitementIl arrive souvent que l’on ait à démontrer l’existence et l’unicité d’une solution xn à une certaine

équation (qui dépend de n), puis à étudier la suite (xn)n ainsi définie (monotonie, convergence...). Lasuite (xn)n n’est alors pas définie explicitement (par une formule, voire une relation de récurrence), maisimplicitement : en tant que solution d’une certaine équation. Cette équation se présente en général sousla forme fn(x) = 0, où fn est une fonction définie sur un intervalle I de R. Souvent, des considérations demonotonie et de position de la courbe de fn par rapport à celle de fn+1 permettent de conclure, commel’illustre la figure 1.1.

fnfn+1

xnxn+1

Figure 1.1 – Suite définie implicitement

Exemple 1. Démontrons que, pour tout entier n > 3, il existe un unique réel xn ∈ [1, 2] tel que xn =n ln(xn) et étudions la suite (xn)n. Pour cela, introduisons la fonction fn : x 7→ x − n ln x, définie surl’intervalle [1, 2]. Cette fonction est dérivable, de dérivée donné par

f ′n(x) = 1− n

x= x− n

x< 0 (car n > 3)

donc la fonction fn est strictement décroissante. Comme elle vérifie fn(1) = 1 > 0 et fn(2) = 2−n ln 2 < 0(car n > 3) et qu’elle est continue, elle s’annule en un unique point. Démontrons maintenant que la suite(xn)n est strictement décroissante. Pour cela, remarquons que, pour tout x ∈ [1, 2] et tout entier n > 3,on a

fn+1(x) = x− (n+ 1) ln x = fn(x)− ln x 6 fn(x),l’inégalité étant même stricte dès que x 6= 1 (la situation correspond donc à la figure 1.1, sur laquelleon voit que la suite est décroissante). Sachant que les fonctions fn sont toutes décroissantes, il suffit demontrer que fn(xn+1) > 0 pour montrer que xn+1 < xn. Or on a

fn(xn+1) > fn+1(xn+1) = 0

1.4. Suites récurrentes 7

d’après l’inégalité précédente. La suite est donc strictement décroissante. Comme elle est égalementminorée ; elle converge. Notons ` sa limite (qui appartient à l’intervalle [1, 2]). Pour tout entier n, on a

xn = n ln xn,

où ln xn−→ ln `. Si ln ` 6= 0, alors n ln xn−→±∞, donc xn−→±∞, ce qui est faux. Donc ln ` = 0, donc` = 1. Autrement dit, on a le développement asymptotique xn = 1 + o(1). En reportant dans l’équationvérifiée par xn, on peut en déduire un renseignement plus précis. Pour cela, posons un = xn−1 (qui tendvers 0). L’équation vérifiée par xn s’écrit 1 + un = n ln(1 + un) = ln(1 + un)n, soit (1 + un)n = e1+un ,d’où finalement un = e

1+unn − 1. De la propriété un = o(1), on tire alors

un = e1+o(1)n − 1 = e 1

n+o( 1n ) − 1 = 1 + 1

n+ o

(1n

)− 1 = 1

n+ o

(1n

),

puis

un = e1n+ 1

n2 +o( 1n2 ) − 1 = 1 +

(1n

+ 1n2

)+ 1

2

(1n

+ 1n2

)2+ o

(1n2

)− 1 = 1

n+ 3

2n2 + o(

1n2

)puis...

1.4 Suites récurrentes

1.4.1 Suites récurrentes affines du premier ordreSoient a, b ∈ K. Pour résoudre la récurrence du premier ordre un+1 = aun + b i.e. trouver l’expression

de un en fonction de u0 et de n (avec a 6= 1, sinon la suite est arithmétique et on sait calculer un), on– résout l’équation a`+ b = `– pose vn = un − `.

Alors la suite v est géométrique de raison a, donc on sait calculer vn en fonction de n, donc un aussi.


u0 = 2 et ∀n ∈ N, un+1 = 2un − 1.

L’unique solution de l’équation ` = 2`− 1 est ` = 1. Posons donc vn = un − 1. Pour tout entier n, on a

vn+1 = un+1 − 1 = 2un − 1− 1 = 2vn,

donc vn = v02n pour tout n. Comme u0 = 2, on a v0 = 1, d’où un = 2n + 1 pour tout n.

1.4.2 Suites récurrentes linéaires du deuxième ordreSoient a, b ∈ K. L’ensemble

Ea,b = u ∈ KN | ∀n ∈ N, un+2 = aun+1 + bun

est un sous-espace vectoriel de KN.

DéfinitionL’équation caractéristique de la récurrence linéaire est l’équation r2 = ar + b.

ThéorèmeNotons r1 et r2 les deux racines (éventuellement confondues) de l’équation caractéristique.– si r2 6= r1, la famille

((rn1 )n, (rn2 )n

)est une base du K-espace vectoriel Ea,b

– si r2 = r1, la famille((rn1 )n, (nrn1 )n

)est une base du K-espace vectoriel Ea,b.


Démonstration (abrégée). On commence par remarquer que l’application linéaire

f : Ea,b −→ K2

u 7−→ (u0, u1)

est un isomorphisme (ce qui résulte du théorème de construction des suites par récurrence : pour toutcouple (x, y) ∈ K2, il existe une unique suite à valeurs dans K vérifiant u0 = x, u1 = y et, pour toutn ∈ N, un+2 = aun+1 + bun). Il s’agit de montrer que

– les deux suites proposées appartiennent bien à Ea,b– elles forment une famille libre. Pour cela, on considère deux scalaires λ, µ tels que, pour tout entier n,

on ait λrn1 + µrn2 = 0 (dans le cas de deux racines distinctes). Cette égalité est vraie en particulierpour n = 0 et pour n = 1, d’où l’on déduit que λ = µ = 0.


u0 = 2, u1 = −3 et ∀n ∈ N, un+2 = un+1 + 2un.

L’équation caractéristique est r2 − r − 2 = 0, qui admet pour racines r1 = −1 et r2 = 2. Il existe doncun unique couple (λ, µ) de réels tels que

∀n ∈ N, un = λ(−1)n + µ2n

En particulier, on a, pour n = 0 et n = 1 : λ + µ = 3 et −λ + 2µ = −3, qui donne λ = 73 et µ = − 1

3 .Ainsi, pour tout entier n, on a

un = 7(−1)n − 2n

3 .


u0 = −1, u1 = 4 et ∀n ∈ N, un+2 = 4un+1 − 4un.

L’équation caractéristique est r2 − 4r + 4 = 0, qui admet pour racine double r1 = 2. Il existe donc ununique couple (λ, µ) de réels tels que

∀n ∈ N, un = (λn+ µ)2n

En particulier, on a, pour n = 0 et n = 1 : µ = −1 et 2(λ + µ) = 4, qui donne λ = 3 et µ = −1. Ainsi,pour tout entier n, on a

un = (3n− 1)2n.

Remarque 1. Le cas où l’équation caractéristique n’a aucune racine n’a pas été traité. Ce cas ne peut seproduire que lorsque K = R. Comme une suite à valeurs réelles est aussi une suite à valeurs complexes,on sait exprimer un en fonction des racines complexes de l’équation caractéristique.

Exemple 3. Considérons la suite u à valeurs réelles définie par

u0 = 1, u1 = −1 et ∀n ∈ N, un+2 = −un.

Son équation caractéristique r2 + 1 = 0 admet deux racines complexes i et −i. Voyons-la provisoirementcomme une suite à valeurs complexes : on sait qu’il existe deux complexes λ et µ tels que, pour tout n,un = λin + µ(−i)n. Le calcul donne λ = 1+i

2 et µ = 1−i2 . On peut alors écrire

un = (1 + i)e inπ2 + (1− i)e−inπ

2

2 =(1 + i)(cos nπ2 + i sin nπ

2 ) + (1− i)(cos nπ2 − i sin nπ2 )

2 = cos nπ2 −sin nπ2 ,

ce qui permet de retrouver l’expression de un sous forme réelle.

1.4.3 Suites un+1 = f(un)Rappelons le théorème de définition des suites par récurrence :

ThéorèmeSoit E un ensemble et f : E −→ E une application. Soit a un élément de E.Il existe une unique suite (un)n à valeurs dans E telle que

u0 = a et ∀n ∈ N, un+1 = f(un).

L’hypothèse que la fonction f est définie sur l’ensemble E à valeurs dans le même ensemble E estindispensable si on veut éviter tout problème de définition de la suite.



u0 = −12 et ∀n ∈ N, un+1 = un

1 + un.

Elle vérifie u1 = −1, mais il est ensuite impossible de définir u2 ! La raison est que la fonction servant àdéfinir la suite est

f : R \ −1 −→ Rx 7−→ x

1+x

pour laquelle l’ensemble de définition n’est pas égal à l’ensemble d’arrivée.

À défaut d’avoir un ensemble d’arrivée égal à l’ensemble de départ, il est possible de trouver unepartie I stable par f , i.e. telle que pour tout x ∈ I, on ait f(x) ∈ I. En choisissant u0 ∈ I, on est assuréque tous les termes de la suite seront définis (et qu’ils appartiendront tous à l’ensemble I).

Exemple 2. Reprenons l’exemple 1. Pour tout réel x > 0, on a 0 6 x < x + 1, donc f(x) ∈ [0, 1] :l’intervalle [0, 1] est stable par f . En choisissant u0 ∈ [0, 1], tous les termes de la suite seront définis, etappartiendront à l’intervalle [0, 1]. Il est souvent fructueux de chercher de tels intervalles stables lors del’étude d’une suite récurrente. Si de plus, la fonction est croissante ou décroissante sur un tel intervalle I,les deux théorèmes suivants nous donnent des renseignements sur le comportement de la suite.

Dans la pratique, nous nous intéresserons au cas où E (noté plutôt I) est un intervalle (ou une réuniond’intervalles) de R. Deux cas particuliers sont importants.

ThéorèmeSoit f : I −→ I une fonction croissante et a ∈ I. La suite définie par

u0 = a et ∀n ∈ N, un+1 = f(un)

est monotone.Il suffit de comparer u0 à u1 pour savoir si la suite est croissante ou décroissante.

Exemple 3. Soit a > −1 un réel et u la suite définie par

u0 = a et ∀n ∈ N, un+1 =√

1 + un.

ϕ1−1

y = xy =√

1 + x

a a′

Figure 1.2 – un+1 =√

1 + un

Commençons par justifier que tous les termes de la suite sont définis. La fonction f : x 7→√

1 + x estdéfinie sur I = [−1,+∞[ à valeurs dans R. Mais l’intervalle I est stable par f (pour tout x, on a mêmef(x) > 0), donc tous les termes sont définis.

La fonction f est croissante (composée de telles fonctions), donc la suite est monotone. Pour savoirsi elle est croissante ou décroissante, il faut comparer u1 à u0, i.e. f(a) à a. Pour a 6 0, on a clairementf(a) > a. Pour a > 0, on a

f(a)− a =√

1 + a− a = 1 + a− a2√

1 + a+ a

(le dénominateur est strictement positif). Le polynôme X2 − X − 1 admet pour racines ϕ1 = 1+√

52 et

ϕ2 = 1−√

52 < 0, donc pour a > 0, le numérateur change de signe en a = ϕ1 uniquement.


– Si a ∈ [−1, ϕ1], alors f(a) > a, donc u1 > u0 : la suite est croissante.– Si a > ϕ1, alors f(a) 6 a ; la suite est décroissante.

Dans le deuxième cas, la suite est minorée (par 0 par exemple), donc elle converge. De l’égalité un+1 =√1 + un, valable pour tout n on tire, par passage à la limite, que sa limite ` vérifie ` =

√1 + `, donc que

` ∈ ϕ1, ϕ2. Comme la suite ne peut pas converger vers ϕ2 < 0 (pour n > 1, on a un > 0), elle convergevers ϕ1.

Dans le premier cas, montrons que la suite converge encore vers ϕ1. Pour cela, il suffit de montrerqu’elle est majorée. Or l’intervalle [−1, ϕ1] est stable par f : en effet, si x ∈ [−1, ϕ1], alors, par croissancede f , on a f(x) ∈ [f(−1), f(ϕ1)] = [0, ϕ1]. Comme u0 appartient à cet intervalle, tous les termes unappartiennent aussi à cet intervalle, donc la suite est majorée par ϕ1. Elle converge donc, et sa limite estencore ϕ1 (même raisonnement que ci-dessus).

ThéorèmeSoit f : I −→ I une fonction décroissante, a ∈ I et u la suite définie par

u0 = a et ∀n ∈ N, un+1 = f(un).

Les deux suites extraites (u2n)n et (u2n+1)n sont monotones, de sens de variations opposés.

Exemple 4. Soit a 6 2 un réel et u la suite définie par

u0 = a et ∀n ∈ N, un+1 =√

2− un.

2−2 1

y = xy =√

2− x

a

Figure 1.3 – un+1 =√

2− un

Cette fois-ci, sans précaution supplémentaire, les termes ne sont pas nécessairement tous définis. Parexemple, en prenant a = −7, on a u1 = 3 et u2 n’est pas défini ! La raison en est que l’intervalle I =]−∞, 2]de définition de la fonction f : x 7→

√2− x n’est pas stable par f . Cependant, l’intervalle J = [−2, 2]

est stable par f (par décroissance de f , si x ∈ [−2, 2], alors f(x) ∈ [f(2), f(−2)] = [0, 2] ⊂ J). Noussupposerons donc que a appartient à l’intervalle [−2, 2] (tous les termes de la suite appartiennent donc àcet intervalle).

Pour tout choix de a les deux suites extraites (u2n)n et (u2n+1)n sont monotones, et bornées (dans J),donc convergent. Par ailleurs, pour tout n, on a

u2n+1 =√

2− u2n et u2n+2 =√

2− u2n+1.

Les limites `1 et `2 de ces deux suites vérifient donc

`1 =√

2− `2 et `2 =√

2− `1.

On en déduit successivement `21 = 2− `2 et `22 = 2− `1, d’où, par différence, (`1 − `2)(`1 + `2) = `1 − `2,puis (`1 − `2)(`1 + `2 − 1) = 0.


– Si `1 + `2 = 1, alors `1 vérifie `21 = 2− (1− `1), d’où `21 − `1 − 1 = 0. On en déduit que `1 = 1±√

52 ,

puis que `1 = 1+√

52 (car on doit avoir `1 > 0). Le même calcul conduit aussi à `2 = 1+

√5

2 , ce quiest incompatible avec l’égalité `1 + `2 = 1.

– On a donc `1 = `2, et ces deux nombres sont racines de l’équation x2 = 2 − x, et positifs. On endéduit `1 = `2 = 1.

La suite converge donc vers 1, et ceci indépendamment du choix de a.

Dans les deux exemples traités, la limite était un point fixe de f . Plus généralement :

ThéorèmeSoit f : I −→ I une fonction continue, a ∈ I et u la suite définie par

u0 = a et ∀n ∈ N, un+1 = f(un).

Si la suite converge vers une limite ` ∈ I, alors ` est un point fixe de f (i.e. vérifie f(`) = `).

Exemple 5. Reprenons l’exemple 4 sans étudier la monotonie des suites extraites.Supposons que la suite u converge. Alors sa limite ` appartient à J = [−2, 2] et est solution de

l’équation x =√

2− x, donc x2 + x− 2 = 0. Comme ` doit être positif, on en déduit que ` = 1.Démontrons maintenant que u converge effectivement vers cette valeur `. Pour tout entier n, on a

un+1 − ` =√

2− un −√

2− ` = (2− un)− (2− `)√

2− un +√

2− `= −1

1 +√

2− un(un − `).

Or on a f<[−2, 2]> = [0, 2] et f<[0, 2]> = [0,√

2], ce dernier intervalle étant stable par f . Par suite,pour tout n > 2, un 6

√2, d’où 1 +

√2− un > 1 +

√2−√

2 = K > 1. Pour n > 2, on a donc|un+1 − 1| 6 1

K |un − 1|. On en déduit que, pour tout n > 2, on a

|un − 1| 6 1Kn−2 |u2 − 1|,

ce qui prouve que un −→n→∞

1 (car K > 1).

Dans la pratique, on commence toujours par dessiner la fonction f et la droite d’équation y = x pour«voir» ce qui se passe ; en particulier chercher les intervalles stables.


1.5 Test de compréhension du chapitre1.5.1 Questions

Certaines questions sont des questions de cours, d’autres sont des applications directes. Pour lesquestions qui ne sont pas des questions de cours, il est demandé de

– démontrer le résultat énoncé s’il est vrai– trouver un contre-exemple s’il est faux.

1. Soit (un)n une suite à valeurs strictement positives qui tend vers 0. Est-elle décroissante, au moins àpartir d’un certain rang ?

2. Soit (un)n une suite réelle qui diverge vers +∞. Est-elle croissante, au moins à partir d’un certain rang ?

3. Soit (un)n une suite réelle telle que les deux suites extraites (u2n)n et (u2n+1)n soient croissantes. Lasuite u est-elle croissante ?

4. Soit (un)n une suite à valeur strictement positives, qui vérifie que un+1un

−→n→∞

` > 1. Est-elle croissante,au moins à partir d’un certain rang ?

5. Si la suite u vérifie un+1 − un −→n→∞

0, la suite u converge-t-elle ?

6. Si un − vn−→ 0, a-t-on lim un = lim vn ? un−→ vn ? un ∼ vn ?

7. Soit (un)n∈N une suite réelle, convergente, à valeurs dans un intervalle I. Quelle hypothèse faut-il sur Ipour être sûr que la limite appartient encore à I.

8. Quelle est la limite de√n2 + n− n ?

9. Si u est une suite et ` un scalaire, est-il équivalent d’écrire un −→n→∞

` et un ∼ ` ?

10. Si u et v sont deux suites qui convergent vers un scalaire `, a-t-on un ∼ vn ?

11. Soient u et v deux suites à valeurs non nulles telles que un ∼ vn. Si un > 0, a-t-on vn > 0, au moins àpartir d’un certain rang ?

12. Soient u et v deux suites à valeurs non nulles telles que un ∼ vn. Si u est croissante, v l’est-elle aussi, aumoins à partir d’un certain rang ?

13. Soient u et v deux suites à valeurs non nulles telles que, pour tout n, un 6 vn. On suppose que vn −→n→∞

`.A-t-on un 6 ` (au moins ultimement) ?

14. Soient u, v et w trois suites à valeurs non nulles telles que, pour tout n, un 6 vn. On suppose que vn ∼ wn.A-t-on un 6 wn (au moins ultimement) ?

15. Soient u et v deux suites à valeurs non nulles telles que un ∼ vn. A-t-on u3n ∼ v3

n ? unn ∼ vnn ?

16. Soit u une suite arithmétique et n > p. Que vaut la somme up + up+1 + · · ·+ un (sans utiliser le premierterme ni la raison). Simplifier en particulier la somme 1 + 3 + · · ·+ (2n− 1).

17. Que vaut la somme 1 + r+ r2 + · · ·+ rn ? (pour calculer une somme géométrique, on se ramène toujoursà cette formule. Par exemple, pour calculer arp + arp+1 + · · · , on commence par mettre arp en facteur).Simplifier par exemple, pour θ ∈ R, la somme

e3iθ + e5iθ + · · ·+ ei(2n+1)θ.

On exprimera le résultat avec des sinus (il est indispensable de bien maîtriser cette manipulation).

18. Trouver une relation de récurrence linéaire à deux pas vérifiée par la suite u définie par

un = (−1)n+1 + 3 · 2n.

Dans les questions qui suivent, f est une fonction continue de R dans R et u une suite vérifiantun+1 = f(un) pour tout entier n.

19. Si f est croissante, la suite u est-elle croissante ?

20. Si f vérifie f(x) > x pour tout réel x, la suite est-elle croissante ?

1.5. Test de compréhension du chapitre 13

21. Quelle est l’hypothèse essentielle pour affirmer que, si la suite converge vers un réel `, il vérifie f(`) = ` ?Trouver un exemple où cette hypothèse n’est pas vérifiée, où la suite converge vers un réel ` qui ne vérifiepas f(`) = `.

22. On suppose l’existence d’un point fixe ` de f et d’un intervalle I contenant `, stable par f , tels que, pourtout x ∈ I, on ait |f(x)− f(`)| 6 k|x− `|, où k ∈ ]0, 1[. Si u0 ∈ I, la suite converge-t-elle ? Que peut-onobtenir comme majoration de |un − `| ?

23. Si f(0) = 0, f(1) = 1 et f(x) < x pour tout x ∈ ]0, 1[, et si u0 ∈ [0, 1], la suite converge-t-elle ?


1.5.2 Réponses1.Non, comme le montre le dessin suivant :

Une «formule» pour cette suite pourrait être un = 1n si n est pair et un = 2

n si n est impair.2.Non : par exemple un = n+ (−1)n (elle vérifie u2n+1 = 2n < 2n+ 1 = u2n).

3.Non (même contre-exemple que pour la question précédente).4.Oui : en choisissant un réel a ∈ ]1, `[, la définition de la limite montre que, pour n grand, on a un+1

un> a > 1,

donc un+1 > un : la suite est même (ultimement) strictement croissante.5.Pas nécessairement : elle peut (par exemple) diverger lentement vers +∞ (un = lnn par exemple).6.Non à la première question : il se peut que la différence tende vers 0 mais qu’aucune des deux suites

ne converge (prendre pour u une suite divergente et v = −u). En revanche, si l’une des deux converge,l’autre aussi et elles ont la même limite.La deuxième question n’a aucun sens : une suite peut tendre vers un scalaire et pas vers une autre suite.Cette écriture est rigoureusement interdite.La réponse à la troisième question est encore non : prendre par exemple un = 1

n et vn = 1n2 .

7. Il faut que l’intervalle soit fermé, car les inégalités strictes se transforment en inégalités larges par passageà la limite.

8. 12 : mettre n en facteur puis faire un développement asymptotique.

9.En général oui, sauf si ` = 0. En effet, si ` 6= 0, la première assetion équivaut à un` −→n→∞

1, ce qui est ladéfinition de un ∼ `. Si ` = 0, l’écriture un ∼ 0 signifie un − 0 ∈ o(0). En particulier, il existe un rang àpartir duquel |un − 0| 6 1 · 0 : la suite u est nulle à partir d’un certain rang (ce qui est bien plus fort quedire simplement qu’elle tend vers 0).

10. Si ` 6= 0, oui : on a alors vn 6= 0 pour n grand, et unvn−→n→∞

`` = 1. Si ` = 0, c’est en général faux : prendre

par exemple un = 1n et vn = 1

n2 .11.Oui : comme on a un

vn−→n→∞

1, on a, à partir d’un certain rang, unvn > 12 (par exemple), donc un et vn de

même signe.12.Non : par exemple n ∼ n+ (−1)n ; la première est croissante, pas la seconde.13.Non : par exemple, avec un = 1

n et vn = 2n , on a vn −→

n→∞` = 0 et un > ` pour tout n.

14.Non : prendre un = 1n 6 vn = 1

n + 1n2 ∼ 1

n −1n2 = wn. On a un > wn pour tout n.

15.Oui pour la première question : on a unvn−→n→∞

1, donc son cube aussi, donc u3n ∼ v3

n. Non pour la seconde :on a par exemple 1 + 1

n ∼ 1, mais(1 + 1

n

)n 6∼ 1n : la première suite tend vers e (rappel : prendre lelogarithme pour le voir), alors que la seconde est constante égale à 1.

16.On aup + up+1 + · · ·+ un = (n− p+ 1)up + un

2(nombre de termes, multiplié par la moyenne entre le premier et le dernier terme de la somme). Enparticulier, on a

1 + 3 + · · ·+ (2n− 1) = n× (2n− 1) + 12 = n2.

Voici d’ailleurs une jolie «démonstration» graphique de ce résultat.


123

n

17.Ça dépend de r : si r = 1, la somme vaut n + 1 ; sinon, elle vaut 1−rn+1

1−r . Dans l’exemple à traiter, oncommence par réécrire la somme sous la forme

e3iθ [1 + (e2iθ) + (e2iθ)2 + · · ·+ (e2iθ)n−1] .Si e2iθ = 1, i.e. si θ ≡ 0 [π], la somme vaut ne3iθ (i.e. n si θ ≡ 0 [2π], −n si θ ≡ π [2π]). Sinon, elle sesimplifie sous la forme

S = e3iθ 1− e2inθ

1− e2iθ .

La factorisation par l’«arc moitié» 1− eia = eia/2(e−ia/2 − eia/2) = −2ieia/2 sin a2 donne ici (appliquée au

numérateur et au dénominateur)

S = e3iθ einθ

eiθ ·e−inθ − einθ

e−iθ − eiθ = ei(n+2)θ sinnθsin θ .

18.La suite u est somme de deux suites géométriques, l’une de raison −1, l’autre de raison 2. Elle est doncsolution d’une récurrence linéaire double, dont l’équation caractéristique est (r + 1)(r − 2) = 0, i.e.r2 = r + 2, donc elle vérifie la récurrence un+2 = un+1 + 2un.

19.Non, pas forcément : elle est monotone.

20.Oui : on a un+1 = f(un) > un pour tout n.

21.C’est l’hypothèse de continuité de f : de l’égalité un+1 = f(un) vérifiée pour tout n on tire, par passageà la limite, que ` = f(`). Pour cela, on utilise que f est continue (en `). En prenant la fonction f définiepar f(x) = x/2 pour x > 0 et f(x) = 1 pour x 6 0 et u0 = 1, on a un = 1/2n pour tout entier n, doncun−→ 0. Pourtant, 0 n’est pas un point fixe de f car f(0) = 1. Le problème vient de la discontinuité de fen 0.

22.Comme f(`) = `, on obtient, par une récurrence immédiate, |un − `| 6 kn|u0 − `| pour tout entier n, cequi prouve que un−→ ` (car 0 < k < 1). La suite converge donc vers `.

23.Pas forcément. Il se peut que certains x ∈ [0, 1] vérifient f(x) < 0. Si u0 est un tel x, alors u1 «sort» del’intervalle [0, 1] et on ne peut rien dire du comportement ultérieur de la suite. En revanche, si l’intervalle[0, 1] est stable par f (ce qui n’est pas une conséquence des hypothèses : tout au plus peut-on affirmer que,pour tout x ∈ [0, 1], on a f(x) 6 1), la suite est à valeurs dans [0, 1]. Comme f(x) < x pour tout x ∈ [0, 1],on a un+1 = f(un) < un pour tout n : elle est décroissante. Étant minorée (par 0), elle converge. Sa limiteest un point fixe de f (car f est continue). Or, pour tout x ∈ ]0, 1[, f(x) < x. Les seules limites possiblessont donc 0 et 1 (qui sont effectivement des points fixes). Si u0 = 1, la suite converge vers 1 ; dans tousles autres cas, elle converge vers 0 (elle ne peut pas converger vers 1 car strictement décroissante).


Chapitre 2Séries numériques

Nous rappelons dans ce chapitre comment on donne un sens à la notion de «somme infinie» et étendonsles résultats étudiés l’an dernier. Nous ne nous occupons dans ce chapitre que de séries de nombres (sériesnumériques) ; nous étudierons plus tard les suites de fonctions. Ici encore, K désigne soit R, soit C.

2.1 Définitions et exemples fondamentauxSoit (an)n∈N une suite à valeurs réelles ou complexes.

Définition

La série de terme général an, notée∑an, est la suite

( n∑k=0

ak)n∈N. Le terme An =

n∑k=0

ak est la somme

partielle d’ordre n de la série∑an.

La série est dite convergente si, et seulement si, la suite (An)n∈N l’est. Dans ce cas,

– sa limite est appelée somme de la série et est notée∞∑n=0

an

– le terme Rn =∞∑k=0

ak −An est appelé reste d’ordre n de la série.

Dans les autres cas, la série est dite divergente.

Parmi les séries dont on sait calculer les sommes partielles figurent les séries géométriques :

Théorème (série géométrique)Soit a ∈ C. La série géométrique

∑an converge si, et seulement si, |a| < 1 ; sa somme est alors

∞∑n=0

an = 11− a.

Rappelons que, si a 6= 1, la somme partielle est

An =n∑k=0

ak = 1− an+1

1− a

(que vaut-elle si a = 1 ?). Rappelons aussi comment on s’y prend pour calculer une somme géométriquedont le premier terme n’est pas 1 : on écrit

n∑k=p

ak = apn−p∑i=0

ak = ap1− an−p+1

1− a .

Rappelons aussi comment on calcule la somme lorsque la raison est plus «compliquée» que a : par exemple,n∑k=p

a2k+1 = a

n∑k=p

(a2)k = · · ·

17

18 Chapitre 2. Séries numériques

Série exponentielle

Théorème (série exponentielle réelle)Pour tout réel x, on a

ex =∞∑k=0

xk

k! .

Démonstration. Notons f la fonction exponentielle. Pour tout réel x, la formule de Taylor avec resteintégral s’écrit

ex = f(x) =n∑k=0

f (k)(0)k! xk +

∫ x

0f (n+1)(t) (x− t)n

n! dt =n∑k=0

xk

k! +∫ x

0et (x− t)

n

n! dt.

Pour démontrer la formule attendue, il suffit de montrer que le reste Rn(x) =∫ x

0 et (x−t)nn! dt tend vers 0

lorsque n tend vers l’infini (le réel x est ici fixé).– Commençons par traiter le cas x > 0. On a alors 0 6 et 6 ex pour tout réel t ∈ [0, x]. Par suite, on a

0 6 Rn(x) 6∫ x

0ex (x− t)n

n! dt =[−ex (x− t)n+1

(n+ 1)!

]x0

= ex xn+1

(n+ 1)! −→n→∞0.

– Traitons maintenant le cas x < 0. Pour tout réel t ∈ [x, 0], on a et 6 1. En remettant les bornesd’intégration dans l’ordre, on obtient :

|Rn(x)| =∣∣∣∣∫ 0

x

et (x− t)n

n! dt∣∣∣∣ 6 ∫ 0

x

∣∣∣∣et (x− t)nn!

∣∣∣∣ dt 6 ∫ 0

x

(t− x)n

n! dt = (−x)n+1

(n+ 1)! −→n→∞0.

Sinus et cosinus

ThéorèmePour tout réel x, on a

cosx =∞∑k=0

(−1)k x2k

(2k)! et sin x =∞∑k=0

(−1)k x2k+1

(2k + 1)! .

Démonstration. La démonstration est en tout point analogue à la précédente. Esquissons-la pour lafonction f = cos. Pour tout entier k et tout réel x, on a

f (2k)(x) = (−1)k cosx et f (2k+1)(x) = (−1)k+1 sin x,

de sorte que f (2k)(0) = (−1)k et f (2k+1)(0) = 0. La formule de Taylor avec reste intégral (à l’ordre 2n)s’écrit cette fois-ci

cosx =n∑k=0

(−1)k x2k

(2k)! +∫ x

0(−1)k+1 sin t (x− t)

2n

(2n)! dt.

On poursuit comme dans la démonstration précédente, en distinguant le cas x > 0 du cas x < 0 et enutilisant la majoration | sin t| 6 1 (faites-le, de même que la démonstration pour la fonction sin).

Séries télescopiquesDans certains cas, on reconnaît dans le terme général un une expression de la forme un = f(n+1)−f(n).La somme partielle est alors facile à calculer par télescopage : pour tout n, on a

n∑k=0

uk =n∑k=0

f(k + 1)− f(k) = f(n+ 1)− f(0),

ce qui facilite l’étude de la série.

2.1. Définitions et exemples fondamentaux 19

Exemple 1. La série de terme général un = ln(1 + 1n ) (pour n > 1) est une série télescopique : pour tout

n > 1, on an∑k=1

uk =n∑k=1

ln k + 1k

=n∑k=1

ln(k + 1)− ln(k) = ln(n+ 1)

donc la série diverge.

À l’inverse, on peut étudier une suite en la voyant comme la somme partielle d’une série.Exemple 2. Démontrons la convergence de la suite s définie par

sn = 1 + 12 + 1

3 + · · ·+ 1n− lnn.

Pour tout n > 2, on pose un = sn− sn−1, de sorte que sn = s1 +∑nk=2 uk. Pour démontrer que la suite s

converge, il suffit de montrer que la série∑un converge. Or, pour tout n > 2, on a

un = 1n− lnn+ ln(n− 1) = 1

n+ ln

(1− 1

n

)∼ − 1

2n2 ,

et nous rappelerons au paragraphe 2.2.1 que cette condition suffit à assurer la convergence de la série∑un (donc de la suite s).

Remarque 1. La limite de cette suite est notée γ : c’est la constante d’Euler. On a donc la propriété

1 + 12 + · · ·+ 1

n− lnn −→

n→∞γ,

ce qui s’écrit encore1 + 1

2 + · · ·+ 1n

= lnn+ γ + o(1).

Retenons donc laPropositionUne suite u est convergente si, et seulement si, la série

∑(un − un−1) est convergente.

Démonstration. Notons δn = un − un−1. Pour tout entier n > 1, la somme partielle de la série∑δn est

∆n =n∑k=1

δk =n∑k=1

(uk − uk−1) = un − u0.

La convergence de la suite (un)n est donc équivalente à la convergence de la suite (∆n)n, i.e. à celle dela série

∑δn.

Proposition (condition nécessaire de convergence)Soit

∑an une série. Si la série converge, alors son terme général an tend vers 0. La réciproque est

fausse.

Démonstration. Supposons la série convergente et notons ` sa limite. Pour tout entier n > 1, on a

an = An −An−1 −→n→∞

`− ` = 0.

L’exemple 1 montre que la réciproque est fausse : bien que ln(1 + 1n ) tend vers 0, la série

∑ln(1 + 1

n )diverge.

Remarque 2. Lorsque le terme général de la série ne tend pas vers 0, la série ne peut donc pas converger.On parle alors de divergence grossière de la série.

Remarque 3. On ne modifie pas la nature d’une série (i.e. son caractère convergent ou divergent) enen modifiant un nombre fini de termes ; en cas de convergence, seule la somme de la série est modifiée.En particulier, si la série

∑an est convergente, il en est de même de la série

∑k>n+1 ak : c’est la série

précédente, dans laquelle on a remplacé les termes a0, . . . , an par 0. La somme de cette série est bien sûrle reste Rn d’ordre n, de sorte que, pour tout entier n, on a

∞∑k=0

ak =n∑k=0

ak +∞∑

k=n+1ak.


Linéarité de la sommeUne série n’étant in fine rien d’autre qu’une suite, leur ensemble forme un espace vectoriel. Du théorèmeanalogue sur les suites résulte immédiatement la

PropositionSoient

∑an et

∑bn deux séries convergentes et λ un scalaire. Alors les séries

∑(an + bn) et

∑λan

convergent et ont pour sommes respectives∞∑n=0

(an + bn) =∞∑n=0

an +∞∑n=0

bn et∞∑n=0

(λan) = λ

∞∑n=0

an.

Autrement dit : l’ensemble des séries convergentes forme un sous-espace vectoriel de l’ensemble des séries,et l’application qui, à une série convergente, associe sa somme, est linéaire.

Soit (an)n∈N une suite complexe, αn et βn les parties réelle et imaginaire de an. Pour tout entier n,on a

n∑k=0

ak =n∑k=0

αk + in∑k=0

βk.

Par suite, la série∑an converge si, et seulement si, les deux séries

∑αn et

∑βn convergent. Si c’est le

cas, on a∞∑n=0

an =∞∑n=0

αn + i∞∑n=0

βn.

Remarque 4. Si la série∑

(an + bn) est convergente, on ne peut pas pour autant écrire

∞∑n=0

(an + bn) =∞∑n=0

an +∞∑n=0

bn.

En effet, il se peut que ces deux nouvelles séries divergent (c’est par exemple le cas si, pour tout n, ona an = 1 et bn = −1...) ! Avant d’écrire cette égalité, il faut donc justifier la convergence de ces deuxnouvelles séries. On peut en fait se contenter de montrer la convergence d’une seule des deux (par exemple,la série

∑an) : en effet, si les séries

∑(an + bn) et

∑an convergent, alors la série

∑bn converge aussi

car bn = (an + bn)− an.

2.2 Séries à termes réels

2.2.1 Séries à termes positifsSoit

∑an une série à termes réels positifs. Alors la suite (An)n∈N de ses sommes partielles est

croissante (pour tout entier n, on a An+1 −An = an+1 > 0). On en déduit le

ThéorèmeSoit

∑an une série à termes réels positifs. La série converge si, et seulement si, la suite de ses somme

partielles est majorée.

Exemple 1. Considérons la série∑ 1

n2 . Pour tout entier k > 2, on a

1k2 6

1k(k − 1) = 1

k − 1 −1k,

d’où, pour n > 2 :

Sn =n∑k=1

1k2 = 1 +

n∑k=2

1k2 6 1 +

n∑k=2

(1

k − 1 −1k

)= 1 + 1− 1

n6 2

donc la série converge (et sa somme est inférieure ou égale à 2).

2.2. Séries à termes réels 21

Plus généralement, on a le

Théorème (séries de Riemann)Soit α un réel. La série

∑n>1

1nα converge si, et seulement si, α > 1.

Démonstration. Si α 6 0, le terme général de la série ne tend pas vers 0, donc celle-ci diverge grossière-ment. Supposons donc α > 0 et notons, pour n > 1, Un =

∑nk=1

1kα .

– Cas α = 1. Pour tout réel x > −1, on a ln(1 + x) 6 x. On en déduit que, pour tout entier k > 1, on a1k > ln(1 + 1

k ) = ln k+1k . Par sommation, on obtient, pour tout entier n > 1, la minoration

n∑k=1

1k> ln(n+ 1),

ce qui prouve que la série∑ 1

n (dite série harmonique) diverge.– Cas α ∈ ]0, 1[. Pour tout entier n, on a 1

nα > 1n d’où, en utilisant la minoration précédente,

n∑k=1

1kα

> ln(n+ 1) :

la série diverge encore.– Cas α > 1. Pour tout entier k > 1 et tout réel t ∈ [k, k + 1], on a 1

(k+1)α 6 1tα , d’où∫ k+1

k

dt(k + 1)α 6

∫ k+1

k

dttα

= 11− α

[1

(k + 1)α−1 −1

kα−1

].

En sommant, on obtient

Un =n∑k=1

1kα

= 1 +n−1∑k=1

1(k + 1)α

6 1 + 11− α

n−1∑k=1

[1

(k + 1)α−1 −1

kα−1

]= 1 + 1

1− α

[1

nα−1 − 1]6 1 + 1

α− 1 .

Les sommes partielles sont majorées par la constante 1 + 1α−1 , donc la série converge.

Comparaison des séries à termes positifs

ThéorèmeSoient

∑un et

∑vn deux séries à termes positifs telles que un ∈ O(vn).

– Si la série∑vn converge, alors la série

∑un converge.

– Si la série∑un diverge, la série

∑vn aussi.

Démonstration. Supposons la série∑vn convergente.

Choisissons un entier N et un réel A > 0 un réel tel que, pour tout entier n > N , on ait un 6 Avn etnotons V la somme de la série

∑vn. Pour tout entier n > N , la somme partielle Un de la série

∑uk

vérifie

Un =n∑k=0

uk =N−1∑k=0

uk +n∑

k=Nuk 6

N−1∑k=0

uk +A

n∑k=N

vk 6N−1∑k=0

uk +A

n∑k=0

vk 6N−1∑k=0

uk +AV

donc, d’après le théorème précédent, la série∑un converge.

La deuxième assertion signifie la même chose (par contraposition).


Exemple 2. Étudions la nature de la série∑

ln(1 + 1n2+n+1 ).

C’est une série à termes positifs ; son terme général vérifie

ln(

1 + 1n2 + n+ 1

)6

1n2 + n+ 1 ∈ O

(1n2

),

donc la série converge.

Remarque 1. Si les séries ne sont à termes positifs qu’à partir d’un certain rang, le théorème s’appliqueencore.

Remarque 2. Attention à la rédaction pour démontrer la convergence de la série numérique. Dans le casde la série

∑sin( 1

n2 ), on n’écrit par exemple pas

∞∑n=1

sin(

1n2

)6∞∑n=1

1n2 ,

donc la série est convergente. En effet, on ne peut parler de la somme de la série que si l’on sait quecelle-ci converge. On écrit donc : pour tout entier k > 1, on a sin( 1

n2 ) 6 1n2 , terme général d’une série

convergente, donc, par comparaison de séries à termes positifs, la série∑

sin( 1n2 ) converge (on peut donc

parler de sa somme, et celle-ci vérifie bien l’inégalité écrite au-dessus).

Dans la pratique, on utilise souvent ce théorème pour comparer la série∑un à une série de Riemann :

ces séries sont très simples et on sait dans quel cas elles convergent. Cela donne la

Proposition (règle «nαun»)Soit

∑un une série à termes positifs (au moins à partir d’un certain rang).

– S’il existe un réel α > 1 tel que nαun soit borné, alors la série∑un converge.

– S’il existe un réel α 6 1 tel que nαun diverge vers +∞, alors la série∑un diverge.

Démonstration. Dans le premier cas, on a un ∈ O( 1nα ) ; la série

∑ 1nα étant convergente, la série

∑un

l’est aussi.Dans le deuxième cas, on a 1

nα ∈ O(un). La série∑ 1

nα étant divergente, la série∑un l’est aussi.

CorollaireSoient

∑un et

∑vn deux séries à termes positifs (au moins à partir d’un certain rang).

Si vn ∼ un, les séries ont même nature.

Autrement dit, la série∑un converge si, et seulement si, la série

∑vn converge.

Démonstration. L’équivalence un ∼ vn implique en particulier les relations un ∈ O(vn) et vn ∈ O(un).Par suite, si la série

∑vn converge, il en est de même de la série

∑un, et réciproquement.

Exemple 3. Étudions la nature de la série de terme général un = ln(1 + 1n )− sin 1

n .On a le développement asymptotique

un =(

1n− 1

2n2 + O(

1n3

))− 1n

+ O(

1n3

)= − 1

2n2 + O(

1n3

).

On a donc l’équivalentun ∼ −

12n2 .

Par suite, le terme un est négatif à partir d’un certain rang, donc on peut appliquer le théorème à la série∑(−un), qui converge. Donc la série

∑un converge.

Remarque 3. Dans la pratique, les théorème s’appliquant aux séries à termes positifs s’appliquent aussiaux séries à termes négatifs pour la même raison que ci-dessus. Il suffit donc de justifier que le termegénéral de la série est de signe constant (du moins à partir d’un certain rang) pour pouvoir les appliquer.

Attention! La condition pour le terme général d’être de signe constant est en revanche indispensable :on peut trouver des suites u et v (de signe non constant) telles que

2.2. Séries à termes réels 23

– un ∼ vn– la série

∑un converge mais la série

∑vn diverge.

Exemple 4. Considérons les suites u et v définies par :

∀n > 1, un = (−1)n√n

et vn = un + 1n.

On a bien un ∼ vn. Le théorème des séries alternées (cf. 2.2.2) montre que la série∑un converge. Comme

la série harmonique∑ 1

n diverge, la série∑vn diverge.

Une autre méthode consiste à comparer la série∑un à une série géométrique. Cela donne le

Théorème (règle de D’Alembert)Soit

∑un une série à termes strictement positifs (au moins à partir d’un certain rang). On suppose

que un+1un

converge vers une limite ` > 0.– Si ` > 1, la série

∑un diverge.

– Si ` ∈ [0, 1[, la série∑un converge.

– Si ` = 1, on ne peut rien conclure.

Démonstration. – Supposons ` > 1. Choisissons un réel r ∈ ]1, `[ (par exemple r = 1+`2 ) : alors, à partir

d’un certain rang N , on a un+1un

> r, d’où l’on tire, par une récurrence immédiate, que

un > uNrn−N = uN

rNrn

pour n > N . On a donc rn ∈ O(un). Comme la série∑rn diverge (car r > 1), la série

∑un diverge

aussi.– Supposons maintenant ` ∈ [0, 1[. Choisissons alors un réel r ∈ ]`, 1[ : à partir d’un certain entier N , ona cette fois-ci un+1

un6 r, d’où l’on tire

un 6uNrN

rn

pour n > N , donc un ∈ O(rn). Cette fois-ci, la série∑rn converge (car r < 1), donc la série

∑un aussi.

– Enfin, dans le cas où ` = 1, la série peut ou non converger, comme le prouvent les séries de Riemann∑ 1nα pour α > 0 : elles vérifient toutes un+1

un−→n→∞

1, mais certaines convergent alors que d’autres di-vergent.

Exemple 5. Soit α un réel et q ∈ ]0, 1[. Étudions la nature de la série∑un, où un = nαqn.

Pour tout n, on aun+1

un= (n+ 1)αqn+1

nαqn=(

1 + 1n

)αq −→n→∞

q < 1,


Remarque 4. Dans cet exemple, il est aussi simple d’utiliser la règle nαun : en effet, pour tout réel β > 1,on a nβun = nα+βqn −→

n→∞0.

Exemple 6. Étudions la nature de la série∑un où, pour tout n, un = (n+1)(n+2)···(2n)

(2n)n .Pour tout n, on a

un+1

un= (n+ 2) · · · (2n)(2n+ 1)(2n+ 2)

(2n+ 2)n+1 × (2n)n

(n+ 1)(n+ 2) · · · (2n) =(

1 + 1n

)−n 2n+ 1n+ 1 −→

n→∞

2e < 1,



2.2.2 Séries alternées

Définition (série alternée)Une série

∑an à termes réels est dite alternée si, et seulement si, elle vérifie anan+1 6 0 pour tout

entier n (ultimement alternée si cette inégalité n’est vérifiée qu’à partir d’un certain rang).

Autrement dit, une série est alternée lorsque deux de ses termes consécutifs sont toujours de signesopposés (ou à partir d’un certain rang). Ou encore si l’on peut écrire an sous la forme an = (−1)nxn,avec xn de signe constant.

Théorème (théorème des séries alternées)Soit

∑an une série alternée. On suppose que

– la suite (an)n∈N converge vers 0– la suite (|an|)n∈N est décroissante.Alors la série

∑an converge. De plus, sa somme

∑∞n=0 an est du signe de son premier terme a0 et

vérifie ∣∣∣∣∣∞∑n=0

an

∣∣∣∣∣ 6 |a0|

Démonstration. Quitte à considérer la série∑

(−an), au lieu de∑an, on peut supposer que an a le même

signe que (−1)n, autrement dit que an = (−1)nxn, où (xn)n est une suite à valeurs positives, décroissantvers 0. Pour démontrer que la série

∑an converge, il suffit de démontrer que la suite (An)n des sommes

partielles converge.Pour tout entier n, on a

A2n+2 −A2n = a2n+2 + a2n+1 = (−1)2n+2x2n+2 + (−1)2n+1x2n+1 = x2n+2 − x2n+1 6 0

donc la suite (A2n)n est décroissante. Un calcul analogue montre que la suite (A2n+1)n est elle croissante.De plus, on a A2n+1 − A2n = a2n+1 −→

n→∞0, donc ces deux suites sont adjacentes. Elles convergent donc

toutes deux vers une limite commune, notée `, ce qui signifie que la suite (An)n converge vers ` : la sérieest convergente (et cette limite ` est la somme totale de la série).

Comme la suite (A2n)n (resp. (A2n+1)n) est décroissante (resp. croissante), on a l’encadrement

A2n+1 6 ` 6 A2n.

Pour n = 0, cet encadrement s’écrit

x0 − x1 = a0 + a1 6∞∑n=0

an 6 a0.

Comme x0 > x1, la somme totale est bien positive et majorée par a0.

Corollaire (reste d’une série alternée)On conserve les hypothèses du théorème précédent.Pour tout entier n, le reste d’ordre n Rn =

∑∞k=n+1 ak est du même signe que son premier terme an+1

et vérifie ∣∣∣∣∣∞∑

k=n+1ak

∣∣∣∣∣ 6 |an+1|.

Démonstration. Le reste d’ordre n est lui-même la somme d’une série qui vérifie les hypothèses du théo-rème des séries alternées ; il suffit de lui appliquer le théorème précédent.

Exemple 1. Considérons la série∑n>1 an avec an = (−1)n

n pour n > 1. C’est une série alternée, dont lavaleur absolue du terme général |an| = 1

n décroît vers 0 (attention ! la convergence vers 0 ne suffit pas ;il faut la décroissance pour appliquer le théorème). Par suite, la série harmonique alternée

∑n>1

(−1)nn

converge. Son reste d’ordre n Rn =∑k>n+1

(−1)kk est du signe de (−1)n+1 et vérifie |Rn| 6 1

n+1 . Lasomme totale S est du même signe que son premier terme a1 (donc négative) et vérifie |S| 6 |a1| = 1.

2.3. Convergence absolue 25

Exemple 2. Considérons la série de terme général xn = (−1)n√n+(−1)n pour n > 2. C’est une série alternée

qui vérifie que |xn| tend vers 0. Mais la suite (|xn|)n n’est pas décroissante (car la suite (√n + (−1)n)n

n’est pas croissante). Nous allons démontrer que la série∑xn ne converge pas. Pour cela, effectuons un

développement asymptotique :

xn = (−1)n√n

11 + (−1)n√

n

= (−1)n√n

[1− (−1)n√

n+ O

(1n

)]

= (−1)n√n− 1n

+ O(

1n√n

)= an + bn,

oùan = (−1)n

net bn = − 1

n+ O

(1√n

)∼ − 1

n.

L’équivalent de bn montre en particulier que bn est négatif pour n grand, et que la série∑bn diverge (par

comparaison de séries à termes négatifs : la série∑− 1n diverge). Par ailleurs, la série

∑ (−1)n√n

convergecar elle vérifie les hypothèses du théorème des séries alternées (la suite 1√

ndécroît vers 0). Par suite, la

série∑xn diverge.

Remarque 1. On voit ici encore que le théorème permettant de remplacer le terme général d’une sériepar un équivalent ne s’applique pas dans le cas où le terme général n’est pas de signe constant : on a

(−1)n√n+(−1)n ∼

(−1)n√n

, et pourtant la série∑ (−1)n√

nconverge, alors que la série

∑ (−1)n√n+(−1)n diverge.

Remarque 2. Si les hypothèses du théorème des séries alternées ne sont vérifiées qu’à partir du rang N(alternance des signes et décroissance de la suite (|an|)n), la série converge toujours, mais la majoration|Rn| 6 |an+1| n’est valable qu’à partir du rang N .

2.3 Convergence absolue

Définition (série absolument convergente)Une série

∑an à termes complexes est dite absolument convergente si, et seulement si, la série

∑|an|

est convergente.

Théorème (la convergence absolue implique la convergence)Soit

∑un une série à termes complexes. Si la série

∑un est absolument convergente, elle est conver-

gente et sa somme vérifie ∣∣∣∣∣∞∑n=0

un

∣∣∣∣∣ 6∞∑n=0|un|.

La réciproque est fausse.

Démonstration. Commençons par traiter le cas où (un)n est une suite de réels. Posons, pour tout entier n :

an = max(un, 0) et bn = max(−un, 0).

On a an, bn > 0 pour tout entier n, ainsi que an + bn = |un| et an − bn = un. En particulier, on a0 6 an 6 |un| pour tout entier n. Comme la série

∑|un| converge, la série

∑an aussi. Pour la même

raison, la série∑bn converge aussi. Par suite, la série

∑(an−bn) converge, i.e. que la série

∑un converge.

Traitons maintenant le cas où la suite u est à valeurs complexes. Notons (xn)n et (yn)n les parties réelleet imaginaire de un. Pour tout entier n, on a |xn| 6 |un|. Comme la série

∑|un| converge, la série (réelle)∑

xn est absolument convergente, donc convergente d’après la première partie de la démonstration. Il enest de même pour la série

∑yn, donc la série

∑un =

∑(xn + iyn) converge.

Montrons enfin que l’on a |∑∞n=0 un| 6

∑∞n=0 |un|. Pour tout entier n, on a∣∣∣∣∣

n∑k=0

uk

∣∣∣∣∣ 6n∑k=0|uk| 6

∞∑0|uk|.


En passant à la limite lorsque n tend vers l’infini, on obtient alors l’inégalité∣∣∣∣∣∞∑k=0

uk

∣∣∣∣∣ 6∞∑k=0|uk|.

Démontrons que la réciproque est fausse. Pour cela, considérons la série∑ (−1)n

n : elle converge (car ellevérifie le critère spécial des séries alternées) mais ne converge pas absolument : la série

∑ 1n diverge.

On utilisera donc souvent le résultat suivant :

PropositionSoit

∑un une série à termes quelconques, et

∑an une série convergente à termes positifs.

Si un ∈ O(an), alors la série∑un converge absolument, donc converge.

Remarque 1. Dans la pratique, lorsque la série∑un n’est pas à termes positifs et que l’on utilise une

comparaison pour montrer sa convergence, il faut dire «converge absolument donc converge» et ne passe contenter de dire «converge».

Remarque 2. On utilise le plus souvent ce résultat avec an = 1nα , où α > 1.

Remarque 3. Lorsqu’une série∑un est absolument convergente, les séries

∑u2n et

∑u2n+1 le sont

aussi, et on a alors∞∑n=0

un =∞∑n=0

u2n +∞∑n=0

u2n+1.

En effet, la série∑|u2n| est à termes positifs et ses sommes partielles sont majorées par la somme totale

de la série∑|un|, donc elle converge (l’argument est identique pour la série

∑|u2n+1|). De plus, pour

tout entier n, on a2n+1∑k=0

uk =n∑k=0

u2k +n∑k=0

u2k+1,

qui donne l’égalité voulue par passage à la limite (licite, puisque toutes les séries convergent). Rappelonsque, si la série

∑un ne converge pas absolument, ce passage à la limite n’est pas possible, puisqu’il est

possible que ni la série∑u2n, ni la série

∑u2n+1, ne converge. C’est par exemple le cas de la série

harmonique alternée : la série∑ (−1)n

n+1 converge, mais ce n’est le cas ni de la série∑ (−1)2n

2n+1 ni de la série∑ (−1)2n+1

2n+2 .

Remarque 4. Le même argument montre que, si la série∑un est absolument convergente, on peut aussi

écrire∞∑n=0

un =∞∑n=0

u3n +∞∑n=0

u3n+1 +∞∑n=0

u3n+2

par exemple, ou encore regrouper les termes selon leur congruence modulo 5...

2.4 Produit de deux séries

Définition (série produit)Soient

∑an et

∑bn deux séries complexes. La série produit est la série

∑cn où, pour tout entier n,

le terme cn est défini par

cn =n∑k=0

akbn−k = a0bn + a1bn−1 + · · ·+ an−1b1 + anb0.

On parle encore de produit de Cauchy ou de produit de convolution de ces deux séries. On n’a pas besoinde supposer que les séries convergent pour pouvoir parler de la série produit !

2.4. Produit de deux séries 27

Remarque 1. Le produit de convolution est commutatif : le terme général dn de la série produit∑bn∑an

est défini pardn =

∑k=0

bkan−k = b0an + b1an−1 + · · ·+ bna0 :

on a bien dn = cn. Ce terme s’exprime aussi sous la forme

cn = dn =∑i+j=n

aibj

(somme indexée par tous les couples d’entiers positifs vérifiant i+ j = n).

Exemple 1. Soient a et b deux nombres complexes non nuls et distincts. Le produit des séries∑an et∑

bn est la série∑cn où, pour tout n, cn est défini par

cn =n∑k=0

akbn−k = bnn∑k=0

(ab

)k= bn

1− (ab )n+1

1− ba

= bn+1 − an+1

b− a.

On constate que, si les deux séries initiales sont convergentes, (i.e. si |a| < 1 et |b| < 1), alors la sérieproduit converge encore, et sa somme est

1b− a

∞∑n=0

bn+1 − an+1 = 1b− a

(b

1− b −a

1− a

)= 1

(1− b)(1− a)

c’est-à-dire le produit des sommes des deux séries initiales. Ce n’est pas toujours le cas !

Exemple 2. Prenons an = bn = (−1)n

(n+1)14. Le terme général cn de la série produit est donné par

cn =n∑k=0

(−1)k

(k + 1) 14

(−1)n−k

(n− k + 1) 14

= (−1)nn∑k=0

14√

(k + 1)(n+ 1− k).

Or, on vérifie facilement que, pour tout réel A > 0 et tout x ∈ [0, A], on a x(A−x) 6 A2

4 (le maximum dece polynôme de degré 2 est atteint en la demi-somme de ses racines). En prenant A = n+ 2, on obtient(k + 1)(n + 1 − k) 6

(n+2

2)2 pour tout k ∈ [[0, n]], ce qui s’écrit encore 1

4√

(k+1)(n+1−k)>√

2n+2 . En

sommant, on obtient |cn| > (n + 1)√

2n+2 , donc |cn| −→n→∞

+∞ : la série produit diverge grossièrement.Pourtant, la série

∑an converge en vertu du théorème des séries alternées.

Cependant :

Théorème (produit de deux séries absolument convergentes)Soient

∑an et

∑bn deux séries absolument convergentes. Alors la série produit

∑cn est absolument

convergente (donc convergente), et

∞∑n=0

cn =( ∞∑n=0

an

)( ∞∑n=0

bn

).

Démonstration (non exigible). Commençons par traiter le cas de séries à termes positifs. Notons An, Bnet Cn les sommes partielles de rang n des trois séries, ainsi que A et B les sommes des séries

∑an et∑

bn. Pour tout entier n, on a, en notant Tn l’ensemble Tn = (i, j) | i, j > 0, i+ j 6 n :

AnBn =(

n∑i=0

ai

) n∑j=0

bj

=∑

(i,j)∈[[0,n]]2aibj ,

C2n =2n∑k=0

ck =2n∑k=0

k∑i=0

aibk−i =2n∑k=0

k∑j=0

aibj =∑

(i,j)∈T2n

aibj


etA2nB2n =

∑(i,j)∈[[0,2n]]2

aibj .

Or les termes de la somme sont tous positifs et on a l’inclusion [[0, n]]2 ⊂ T2n ⊂ [[0, 2n]]2. On en déduitque

AnBn 6 C2n 6 A2nB2n.

Par le théorème des gendarmes, on en déduit que C2n −→n→∞

AB et donc que Cn −→n→∞

AB (car la suite(Cn)n est croissante). La série

∑cn converge donc, et sa somme est AB.

Traitons maintenant le cas des séries à termes complexes. Gardons les notations précédentes et notons

A′n =n∑k=0|ak| et B′n =

n∑k=0|bk|,

ainsi que

c′n =n∑k=0|ak| · |bn−k| et C ′n =

n∑k=0

c′k.

La série∑c′n est le produit de Cauchy des deux séries (à termes positifs)

∑|an| et

∑|bn|. Ces séries

étant convergentes, la série∑c′n l’est encore d’après la première partie de la démonstration. De plus,

pour tout n, on a

|cn| =

∣∣∣∣∣n∑k=0

akbn−k

∣∣∣∣∣ 6n∑k=0|ak| · |bn−k| = c′n,

donc la série∑cn est absolument convergente, donc convergente. Reste à démontrer que sa somme est le

produit des sommes des deux autres séries. Pour cela, notons ∆2n l’ensemble ∆2n = [[0, 2n]]2 \ T2n. Pourtout n, on a ∣∣C2n −AnBn

∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∑

(i,j)∈∆2n

aibj

∣∣∣∣∣∣ 6∑

(i,j)∈∆2n

|ai| · |bj | = C ′2n −A′nB′n.

Cette dernière quantité tend, d’après le cas des séries à termes positifs, vers( ∞∑n=0|an|

)( ∞∑n=0|bn|

)−

( ∞∑n=0|an|

)( ∞∑n=0|bn|

)= 0,

ce qui prouve que C2n−→(∑∞

n=0 an)(∑∞

n=0 bn). Comme on sait que la suite (Cn)n converge, on a bien

∞∑n=0

cn =( ∞∑n=0

an

)( ∞∑n=0

bn

).

Exemple 3. Reprenons le cas des séries géométriques mais avec a = b cette fois-ci (a ∈ C, |a| < 1 pourque la série converge). Le terme général cn de la série produit

∑an∑an est

cn =n∑k=0

akan−k =n∑k=0

an = (n+ 1)an.

La série géométrique étant absolument convergente, de somme 11−a , on obtient l’égalité

∞∑n=0

(n+ 1)an = 1(1− a)2 .

Série exponentielleComme application, nous pouvons étendre la formule calculant l’exponentielle sous forme de série aunombres complexes :

Théorème (série exponentielle complexe)Pour tout nombre complexe z, on a

ez =∞∑n=0

zn

n! .

2.4. Produit de deux séries 29

Démonstration. Nous savons que la formule est vraie lorsque z = x est un nombre réel. Supposonsmaintenant que z = iy soit un imaginaire pur : il s’agit de montrer que

eiy =∞∑n=0

(iy)n

n! ,

soit encore, en séparant parties réelle et imaginaire :

cos y =∞∑n=0

(−1)n y2n

(2n)! et sin y =∞∑n=0

(−1)n y2n+1

(2n+ 1)! .

Ces deux formules ont également été démontrées.Traitons enfin le cas général. Soit z = x+ iy un nombre complexe (x, y réels). On a

ez = exeiy =( ∞∑n=0

xn

n!

)( ∞∑n=0

(iy)n

n!

).

La série produit a pour terme général

wn =n∑k=0

xk

k!(iy)n−k

(n− k)! = 1n!

n∑k=0

(n

k

)xk(iy)n−k = (x+ iy)n

n! .

Les deux séries∑

xn

n! et∑ (iy)n

n! étant absolument convergentes, la série∑wn est convergente, de somme

le produit des deux sommes précédentes. On a donc

ez =∞∑n=0

wn =∞∑n=0

zn

n! .



1. Qu’est-ce que la divergence grossière d’une série ?

2. À quelle condition nécessaire et suffisante la série∑an converge-t-elle ? Comment s’appelle une telle

série ? En cas de convergence, à quoi sa somme est-elle égale ?

3. Soit (un)n une suite. Quelle est une série dont la convergence équivaut à la convergence de la suite (un)n ?

4. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur la suite u pour que la série∑

(un−2un+1+un+2)converge. Quelle est alors sa somme ?

5. Si la suite (un)n converge vers 0, la série∑un converge-t-elle ?

6. Si la suite (un)n converge vers 0 en décroissant, la série∑un converge-t-elle ?

7. Si la série∑un converge, la suite (un)n converge-t-elle vers 0 ?

8. Si les deux séries∑un et

∑vn convergent, la série

∑(un + vn) converge-t-elle ?

9. Si la série∑

(un + vn) converge, les deux séries∑un et

∑vn convergent-elles ?

10. Soit∑un une série convergente et

∑vn une série divergente. La série

∑(un + vn) est-elle convergente ?

11. Qu’est-ce qu’une série de Riemann ? À quelle condition converge-t-elle ? Est-ce une condition nécessaire ?Suffisante ?

12. Soient u et v deux suites telles que un ∈ o(vn). Si la série∑vn converge, la série

∑un converge-t-elle

aussi ?

13. Soient u et v deux suites telles que un ∈ o(vn), la suite u étant positive. Si la série∑vn converge, la série∑

un converge-t-elle aussi ?

14. Soient u et v deux suites telles que un ∈ o(vn), la suite v étant positive. Si la série∑vn converge, la série∑

un converge-t-elle aussi ?

15. Soit u une suite à valeurs réelles. Y a-t-il une implication entrea) la convergence de la série

∑un b) la convergence de la série

∑u2n ?

Même question si la suite u est à valeurs positives.

16. Dans le théorème des séries alternées, quelle majoration obtient-on ? Quel est le signe de Rn ? Quel estle signe de la somme de la série ?

17. Soit∑un une série alternée pour laquelle |un| n’est pas décroissant. Quelle est la méthode décrite dans

le cours pour étudier la nature de la série ?

18. Peut-on appliquer le théorème des séries alternées aux séries suivantes :

a)∑

(−1)n∫ 1

0

xn

2 + xndx b)

∑(−1)n

∫ 1

0

12− xn dx.

19. Une série convergente est-elle absolument convergente ?

20. Une série absolument convergente est-elle convergente ?

21. Soient (un)n et (vn)n deux suites équivalentes. On suppose que la série∑un converge. La série

∑vn

est-elle convergente ?

22. Soient (un)n et (vn)n deux suites équivalentes, avec un > 0. On suppose que la série∑un converge. La

série∑vn est-elle convergente ?

23. Soient∑un et

∑vn deux séries à termes positifs, convergentes, vérifiant un ∼ vn. Les sommes partielles

vérifient-elles Un ∼ Vn ?

24. Soient∑an et

∑bn deux séries absolument convergentes. Est-il vrai que la série

∑anbn est absolument

convergente, et que sa somme vérifie∞∑n=0

anbn =( ∞∑n=0

an

)( ∞∑n=0

bn

)?

25. Soit∑un une série absolument convergente. Pour tout entier n, on pose vn =

∑nk=0 2k−nuk. La série∑

vn converge-t-elle ? Si oui, quelle est sa somme ?


2.5.2 Réponses1.La situation dans laquelle le terme général ne tend pas vers 0 : la série ne peut alors pas converger.

2.C’est une série géométrique ; elle converge si, et seulement si, |a| < 1 et sa somme est alors égale à 11−a .

3.La série∑

(un+1 − un).

4.On calcule facilementn∑k=0

(uk − 2uk+1 + uk+2) = u0 − u1 − un+1 + un+2.

La série converge donc si, et seulement si, un+2 − un+1 tend vers 0, i.e. un+1 − un tend vers 0. Cettecondition est par exemple vérifiée si la suite u converge, mais aussi dans d’autres cas (par exemple, pourun =

√n). La somme de la série est alors u0 − u1.

5.En général non : par exemple, un = 1n .

6.En général non (même exemple).

7.Oui.

8.Oui.

9.En général non : prendre par exemple vn = −un, où∑un est une série divergente.

10.Non, jamais : l’égalité vn = (un + vn)−un ferait apparaître la série∑vn comme la somme de deux séries

convergentes, donc elle serait elle aussi convergente.

11.C’est une série de la forme∑ 1

nα , α ∈ R. Elle converge si, et seulement si, α > 1 (condition nécessaire etsuffisante).

12.En général non : par exemple, un = 1n et vn = (−1)n√

n.

13.Non (même contre-exemple).

14.Oui : c’est le théorème du cours (ou une conséquence directe : si un ∈ o(vn), on a a fortiori un ∈ O(vn)).

15.Aucune des deux assertions n’entraîne l’autre. En effet :– pour un = 1

n , la série∑u2n converge mais la série

∑un diverge.

– Pour un = (−1)n√n

, la série∑un converge mais la série

∑u2n diverge.

En revanche, si la suite u est à valeurs positives et que la série∑un converge, alors la série

∑u2n

converge aussi. En effet, un tend vers 0, donc pour n grand, on a 0 6 un 6 1, d’où 0 6 u2n 6 un, ce qui

assure la convergence de la série∑u2n.

16.On a (sous réserve que toutes les hypothèses du théorème soient vérifiées bien sûr) |Rn| 6 |un+1| (premierterme non utilisé dans le calcul de la somme partielle Sn, qui est aussi le premier terme apparaissantdans le calcul de Rn =

∑∞k=n+1 uk) et Rn est du signe de un+1. En particulier, la somme totale de la

série∑∞k=0 uk peut être vue comme le «reste d’ordre −1», donc elle est du signe de u0 (et est, en valeur

absolue, inférieure à |u0|).

17.On fait un développement asymptotique de un.

18. a) La série est du type∑

(−1)nun, où un =∫ 1

0xn

2+xn dx. Il s’agit de savoir si un décroît vers 0.– La suite converge vers 0 : en effet, pour tout entier n, on a

0 6 un =∫ 1

0

xn

2 + xndx 6

∫ 1

0xn dx = 1

n+ 1 .

– La suite est décroissante : en effet, on a

un =∫ 1

0

2 + xn − 22 + xn

dx =∫ 1

0dx− 2

∫ 1

0

12 + xn

dx.

Or, pour x ∈ [0, 1] et n ∈ N, on a 2+xn+1 6 2+xn, d’où 12+xn 6 1

2+xn+1 , puis un+1 6 un par intégration.b) La série est du type

∑(−1)nvn, où vn =

∫ 10

12−xn dx. On vérifie encore que la suite v est décroissante,

mais elle ne converge pas vers 0 : pour tout x ∈ [0, 1] et n ∈ N, on a 0 < 2− xn 6 1, d’où 12−xn > 1, puis

vn > 1 par intégration.


19.En général non : par exemple, la série harmonique alternée∑ (−1)n

n .

20.Oui : c’est un théorème du cours.

21.En général non : par exemple, un = (−1)nn et vn = un + 1√

n.

22.Oui : si les suites sont équivalentes, on a en particulier vn > 0 pour n grand. C’est donc le théorème ducours.

23. Sauf cas exceptionnel, non. Cela impliquerait en particulier que les sommes des séries soient égales (passerà la limite), ce qui n’a aucune raison d’être (exemple : un = 1

n2 et vn = un + 1n3 ).

24.Non ! Le thèorème concernant la série produit s’applique au produit de Cauchy, pas au produit terme àterme. L’égalité proposée dans l’énoncé est l’analogue «somme infinie» de l’absurdité suivante :

(a1 + a2 + a3)(b1 + b2 + b3) = a1b1 + a2b2 + a3b3.

Il manque beaucoup de termes pour que ce soit vrai...Cependant, la première partie de l’énoncé est correcte : si la série

∑bn est absolument convergente,

on a en particulier |bn| 6 1 pour n grand, donc |anbn| 6 |an| pour n grand. Comme la série∑|an|

converge, la série∑anbn est absolument convergente. Mais on ne peut rien dire de sa somme.

25.On reconnaît dans l’expression de vn le produit de Cauchy de la suite u et de la suite (2−n)n, dont la sérieest absolument convergente. La série produit

∑vn est donc absolument convergente (donc convergente)

et sa somme est égale à 2∑∞n=0 un (car la somme de la série géométrique de raison 1

2 est égale à 2).

Chapitre 3Intégration et dérivation des fonctionsnumériques

Dans ce chapitre, nous rappelons, souvent sans démonstration, les définitions et résultats importantsdu cours de première année sur l’intégration et la dérivation des fonctions à valeurs réelles ou complexes.Nous apportons également quelques compléments.

Dans tout le chapitre, K désigne soit R, soit C.

3.1 Dérivation3.1.1 Définition et premières propriétés

Soit I un intervalle de R et f : I −→ K une fonction.

DéfinitionLa fonction f est dite dérivable en a ∈ I si, et seulement si, la fonction τa : t 7→ f(t)−f(a)

t−a , définie surl’ensemble I \ a, admet une limite finie ` en a. Si c’est le cas, cette limite est notée f ′(a) est appeléenombre dérivé de f en a (ou dérivée de f en a).

En notant J l’ensemble des points de I en lesquels la fonction f est dérivable, la dérivée de la fonction fest la fonction f ′ : J −→ K, a 7→ f ′(a). Cette fonction est aussi notée D(f) ; le nombre dérivé de f ena ∈ J est alors noté D(f)(a). Lorsque la variable est notée x, on note aussi df

dx la fonction f ′.

Proposition (continuité et dérivabilité)Si la fonction f est dérivable en a ∈ I, elle y est aussi continue. La réciproque est fausse.

Il arrive qu’en un point a ∈ I, la fonction τa n’admette pas de limite, mais qu’elle y admette unelimite à droite et/ou une limite à gauche. Ces limites sont alors appelées dérivée à droite (resp. à gauche)de f en a ; elle sont notées f ′d(a) (resp. f ′d(a)). En un point a intérieur à I (pour que cela ait un sens deparler de limite à droite et à gauche), la fonction f est dérivable si, et seulement si, elle l’est à droite età gauche, et que l’on a f ′g(a) = f ′d(a).

Proposition (linéarité de la dérivation)Soient f, g : I −→ K deux fonctions et λ un scalaire. Si f et g sont dérivables en a, alors λf + g l’estaussi, et

(λf + g)′(a) = λf ′(a) + g′(a).

La proposition précédente s’applique évidemment au cas où les fonctions f et g sont dérivables surtout l’ensemble J ⊂ I : il en est alors de même de λf + g, et on a (λf + g)′ = λf ′ + g′. Autrementdit : l’ensemble D1(J,K) des fonctions dérivables de J à valeurs dans K est un sous-espace vectoriel del’espace vectoriel F (J,K) de toutes les fonctions de J dans K, et l’opérateur D de dérivation est linéaire.

Attention! La réciproque est fausse : il est possible que la fonction λf + g soit dérivable, sans que fni g le soit !

33

34 Chapitre 3. Intégration et dérivation des fonctions numériques

Lorsque la fonction f est à valeurs réelles et qu’elle est dérivable en a, sa courbe admet au point(a, f(a)

)une tangente, d’équation y − f(a) = f ′(a)(x− a) ; le nombre dérivé f ′(a) est la pente de cette

tangente.

y − f(a) = f ′(a)(x− a)

a

f(a)

pente f ′(a)

Figure 3.1 – Tangente à une courbe

Définition (fonction de classe C 1)Une fonction f : I −→ K est dite de classe C 1 si, et seulement si, elle est dérivable et que sa dérivée f ′est une fonction continue. On note C 1(I,K) l’ensemble des fonctions de classe C 1 de I à valeurs dans K.

Cet ensemble est un sous-espace vectoriel de l’espace D1(I,K). On définit ensuite par récurrenceles dérivées successives de la fonction f (pourvu qu’elles existent) ; la dérivée d’ordre k est notée f (k),ou Dk(f), ou encore dkf

dxk lorsque la variable est notée x ; la fonction f est dite de classe C k si, et seulementsi, elle est k fois dérivable et que sa dérivée d’ordre k est une fonction continue. La fonction f est dite declasse C∞ (ou indéfiniment dérivable) si, et seulement si, elle est de classe C k pour tout entier k.

3.1.2 Accroissements finisRappelons tout d’abord le théorème liant l’annulation de la dérivée et l’existence d’un extremum.

Théorème (extrema et annulation de la dérivée)Soit f : I −→ R une fonction dérivable à valeurs réelles. Si f admet un extremum local en un point aintérieur à l’intervalle I, celui-ci vérifie f ′(a) = 0. La réciproque est fausse.

Autrement dit, en un point où la fonction (supposée dérivable) admet un extremum local, la tangente esthorizontale. Pour que la conclusion de ce théorème soit vraie, il est indispensable que le point en lequell’extremum local est atteint soit situé à l’intérieur de l’intervalle I (et non en une borne). Si l’extremumest atteint sur la frontière, la tangente n’a aucune raison d’être horizontale, comme l’illustre le dessinsuivant : le maximum de la fonction, définie sur [0, 1], est atteint en 1 ; la tangente n’y est pas horizontale.

Figure 3.2 – Extremum atteint en un point où la tangente n’est pas horizontale

Il est fondamental de se souvenir que la réciproque est fausse : ce n’est pas parce que la fonction admetune tangente horizontale en un point a qu’elle y admet un extremum local :

3.1. Dérivation 35

Figure 3.3 – Tangente horizontale sans extremum

Noter que ce théorème n’a de sens que pour les fonctions à valeurs réelles (parler d’un extremum d’unefonction à valeurs complexes n’a aucun sens : on ne compare pas les nombres complexes).

Comme conséquence de ce résultat, on obtient le

Théorème (accroissements finis)Soit f : I −→ R une fonction dérivable à valeurs réelles et a 6= b deux points de l’intervalle I. Il existeun réel c, strictement compris entre a et b, tel que

f(b)− f(a)b− a

= f ′(c).

Le nombre f(b)−f(a)b−a est appelé taux d’accroissement de la fonction entre a et b ; c’est la pente de la

droite joignant les points (a, f(a)) et (b, f(b)).

Autrement dit : il existe un point c tel que la tangente à la courbe au point d’abscisse c soit parallèleà la corde joignant les deux points d’abscisses respectives a et b. Comme cas particulier, on retrouve lethéorème de Rolle (si f(b) = f(a), il existe un réel c, strictement compris entre a et b, tel que f ′(c) = 0).

b c a

pente f(b)−f(a)b−a

pente f ′(c)

Figure 3.4 – Tangente parallèle à la corde

Noter que le point b peut être inférieur à a (c’est pour cette raison que l’énoncé ne dit pas «c ∈ ]a, b[»).Pour désigner l’intervalle d’extrémités a et b, sans savoir laquelle est la plus petite, on emploie parfois lanotation ˜]a, b[.Noter aussi que le théorème reste vrai si l’on suppose f continue sur le segment ˜[a, b], et dérivable surl’intervalle ouvert ˜]a, b[ (autrement dit, la fonction f peut admettre des tangentes verticales en a et/ou b).

Ici encore, le théorème ne s’applique qu’aux fonctions à valeurs réelles. Pour les fonctions à valeurscomplexes, il est faux, comme le montre l’exemple de la fonction f : t 7→ eit définie sur le segment [0, 2π] :elle vérifie f(2π)−f(0)

2π = 0, mais il n’existe aucun réel c ∈ ]0, 2π[ tel que f ′(c) = 0 (pour tout réel t, on af ′(t) = ieit, qui est de module 1).

Le théorème des accroissements finis permet de répondre à la question suivante : si une fonction f ,dérivable sur l’intervalle ]a, b], se prolonge par continuité en a, ce prolongement est-il encore dérivableen a ? En notant encore f la fonction prolongée, il faut étudier l’existence d’une limite à la quantitéf(x)−f(a)

x−a lorsque x→ a+. À la place, on peut étudier l’existence d’une limite à la quantité f ′(x) lorsquex→ a+.

Théorème (prolongement dérivable, version fonctions réelles)Soit f : I −→ R une fonction– continue– dérivable sur I \ a (a : point de I).On suppose que la fonction f ′ admet une limite ` (finie ou infinie) en a. Alors

f(x)− f(a)x− a

−→x→ a

`.

En particulier,– si ` est fini, la fonction f est dérivable en a et vérifie f ′(a) = ` ;– si ` est infini, la fonction f admet une tangente verticale en a.


Démonstration. Pour tout x ∈ I \ a, il existe un réel, noté cx, strictement compris entre a et x,tel que f(x)−f(a)

x−a = f ′(cx). Comme cx est compris entre a et x, on a cx −→x→ a

a, donc f ′(cx) −→x→ a

`, i.e.f(x)−f(a)

x−a −→x→ a

`.

Bien que le théorème des accroissements finis soit faux pour les fonctions à valeurs complexes, cerésultat reste vrai pour celles-ci :

Théorème (prolongement dérivable, version fonctions complexes)Soit f : I −→ C une fonction– continue– dérivable sur I \ a (a : point de I).On suppose que la fonction f ′ admet une limite ` en a. Alors f est dérivable en a, de dérivée f ′(a) = `.

Démonstration. Il suffit de décomposer la fonction f sous la forme f = f1 + if2 (parties réelle et imagi-naire) et d’appliquer le théorème précédent à ces deux fonctions.

Comme conséquence du théorème des accroissements finis, on obtient aussi l’inégalité des accroisse-ments finis :

Théorème (inégalités des accroissements finis)Soit f : I −→ K une fonction dérivable.S’il existe un réel M tel que, pour tout t ∈ I, on ait |f ′(t)| 6 M , alors on a |f(b) − f(a)| 6 M |b − a|pour tous a, b ∈ I.

Il suffit en réalité que la majoration |f ′(t)| 6M soit vraie pour tout t ∈ ˜[a, b] pour que la conclusion soitvraie.

Remarque 1. Bien que le théorème des accroissements finis soit faux pour les fonctions à valeurs complexes,l’inégalité des accroissements finis est vraie pour ces fonctions. On la démontre par une autre méthode(intégration entre a et b au lieu d’utiliser le théorème des accroissements finis).

Définition (fonction lipschitzienne)Soit f : I −→ K une fonction et M > 0 un réel. On dit que f est M -lipschitzienne si, et seulement si,

∀x, y ∈ I, |f(x)− f(y)| 6M |x− y|.

La fonction est dite lipschitzienne si, et seulement si, il existe un réel K > 0 tel que f soit K-lipschitzienne.

Il est intéressant de montrer qu’une fonction est lipschitzienne : cela permet en particulier de montrerqu’elle est continue (en effet, si |f(x)− f(a)| 6M |x− a|, on a f(x) −→

x→ af(a)).

3.1.3 MonotonieOn parle, dans ce paragraphe, de croissance (ou décroissance) des fonctions. Cette notion n’a de sens

que pour les fonctions à valeurs réelles (les nombres complexes ne pouvant être comparés, dire qu’unefonction à valeurs complexes est croissante ou décroissante n’a aucun sens).Commençons par rappeler la définition de la croissance d’une fonction (souvent confondue avec le théorèmepermettant de caractériser la croissance au moyen de la dérivée).

Définition (croissance)Une fonction f : I −→ R (I : partie quelconque de R, pas nécessairement un intervalle) est ditecroissante si, et seulement si, pour tous réels x 6 y ∈ I, on a f(x) 6 f(y).

Souvent, l’examen attentif de la formule définissant la fonction permet de conclure quant à sa monotonie,plus simplement qu’en ayant recours à la dérivation.

Exemple 1. La fonction f : x 7→ 1ex+1 est décroissante : c’est la composée de la fonction x 7→ ex + 1,

croissante et à valeurs dans R∗+, et de la fonction inverse, décroissante sur l’intervalle R∗+.

3.1. Dérivation 37

Exemple 2. La fonction f : x 7→ ch(√x2 + 1) est croissante sur R+ en tant que composée de trois

fonctions croissantes ; elle est également paire, donc décroissante sur R−.

Parfois, ces considérations élémentaires ne permettent pas de conclure. On peut alors avoir recours àla dérivation grâce au théorème suivant :

Théorème (monotonie et dérivation)Soit f : I −→ R une fonction dérivable définie sur un intervalle I.La fonction f est croissante si, et seulement si, elle vérifie f ′(x) > 0 pour tout x ∈ I. Si on a de plusf ′(x) > 0 pour tout x ∈ I, la fonction est strictement croissante (mais si elle est strictement croissante,on peut avoir f ′(x) = 0 pour certains réels x).

Attention! Ce théorème ne s’applique que dans le cas où l’ensemble I de définition de la fonction estun intervalle. Par exemple, la fonction f : x 7→ −1

x , définie sur R∗, est dérivable, de dérivée donnée parf ′(x) = 1

x2 > 0. La fonction f n’est pourtant pas croissante : en effet, bien que −1 < 1, on a f(−1) > f(1).La raison est que l’ensemble de définition n’est pas un intervalle (il y a un «trou» en 0). En revanche,cette même fonction est bien croissante sur chacun des intervalles R∗− et R∗+ (mais pas sur leur réunion).

On obtient aussi une caractérisation des fonctions constantes :

Théorème (caractérisation des fonctions constantes)Soit f : I −→ R une fonction dérivable définie sur un intervalle I. La fonction f est constante si, etseulement si, sa dérivée est la fonction nulle.

Ici encore, l’hypothèse faite sur l’ensemble de définition I de f (c’est un intervalle) est essentielle. Parexemple, la fonction f : x 7→ Arctg x+ Arctg 1

x , définie sur R∗, est dérivable et de dérivée nulle, mais ellen’est pas constante. Elle est en revanche constante sur chacun des intervalles R∗− et R∗+ (rappelons que,pour x > 0, on a Arctg x+ Arctg 1

x = π2 , alors que la somme vaut −π2 pour x < 0).

Remarque 1. Si parler de la croissance d’une fonction à valeurs complexes n’a aucun sens, on peut enrevanche se poser la question de savoir si c’est une fonction constante ou non. Comme c’est équivalent àexiger que ses parties réelle et imaginaire soient constantes, le théorème précédent s’étend aux fonctionsà valeurs complexes : une fonction dérivable à valeurs complexes, définie sur un intervalle, est constantesi, et seulement si, sa dérivée est la fonction nulle.

3.1.4 Produit, compositionLe produit de deux fonctions dérivables l’est encore :

Théorème (produit)Soient f, g : I −→ K deux fonctions dérivables. Alors la fonction fg est dérivable, de dérivée donnéepar

(fg)′ = f ′g + fg′.

On dispose également d’une version pour les fonctions de classe C n :

Théorème (Leibniz)Soient f, g : I −→ K deux fonctions de classe C n. Alors la fonction fg est encore de classe C n, dedérivée nème donnée par

(fg)(n) =n∑k=0

(n

k

)f (k)g(n−k).

Pour la composition :

Théorème (composition)Soit f : I −→ K une fonction dérivable et ϕ : J −→ I une fonction dérivable (I, J : intervalles de R).Alors la fonction f ϕ : J −→ K est dérivable, de dérivée donnée par (f ϕ)′ = ϕ′ × f ′ ϕ.


Remarque 1. Si les fonctions f et ϕ sont de classe C n, il en est de même de la fonction f ϕ.

En particulier, si f est dérivable, les fonctions g : x 7→ f(−x) et h : x 7→ f(x + a) le sont encore, etvérifient g′(x) = −f ′(−x) et h′(x) = f ′(x+ a). On en déduit immédiatement que

– la dérivée d’une fonction paire est impaire ;– la dérivée d’une fonction impaire est paire ;– la dérivée d’une fonction périodique est périodique de même période.

f(x)

a−a

f ′(a)f ′(−a) = −f ′(a)

f(x)

a

−a

f ′(a)f ′(−a) = f ′(a)

f(x)a T + a

f ′(a) f ′(T + a) = f ′(a)

Figure 3.5 – Dérivées des fonctions paires, impaires et périodiques

3.1.5 Bijection réciproque

Rappelons que, si f : I −→ J est une bijection (I, J : intervalles de R), la courbe de sa bijectionréciproque g = f−1 s’obtient par symétrie de celle de f par rapport à la droite d’équation y = x.

f(x)

f−1(x)

a

b = f(a)

b

a

f ′(a)

(f−1)′(b) = 1f ′(a)

Figure 3.6 – Dérivée d’une bijection réciproque

En particulier, si la courbe de f admet au point d’abscisse a (et d’ordonnée b = f(a)) une tangente, lacourbe de g admet au point d’abscisse b une tangente. Si, de plus, la tangente à la courbe de f n’estpas horizontale, elle admet une pente p 6= 0, et la tangente à la courbe de g a une pente égale à 1

p (sila tangente à la courbe de f est horizontale, la tangente à la courbe de g est verticale donc n’a pas depente).

Ces considérations géométriques rendent évident le théorème suivant (dont vous avez par ailleurs vuune vraie démonstration l’an dernier) :

3.2. Inégalités classiques 39

ThéorèmeSoit f : I −→ J une bijection et a ∈ I. On suppose f dérivable en a. Alors la bijection réciproque gde f est dérivable en b = f(a) si, et seulement si, f ′(a) 6= 0. Si c’est le cas, on a

g′(b) = 1f ′(a) ,

soit(f−1)′(b) = 1

f ′(f−1(b)

) .On en déduit le

CorollaireSoit f : I −→ J une bijection de classe C n. Si la dérivée f ′ ne s’annule en aucun point de I, alors labijection réciproque f−1 de f est dérivable partout ; elle est même de classe C n (de même régularitéque f). Pour tout réel x ∈ J , on a

(f−1)′(x) = 1f ′(f−1(x)

) .

Remarque 1. Outre les considérations géométriques rappelées ci-dessus, on retrouve facilement cetteformule en dérivant l’égalité

f(f−1(x)

)= x,

valable pour tout x ∈ J .

Remarque 2. C’est cette formule de dérivée de la bijection réciproque qui permet de déterminer parexemple la dérivée de la fonction Arcsin. Voir le formulaire pour la liste des dérivées/primitives à connaître.

3.2 Inégalités classiquesSi une fonction f à valeurs réelles est dérivable, la tangente d’équation y = f(a) + f ′(a)(x − a) est

une bonne approximation de la courbe au voisinage du point a. En général, la courbe reste, localement(i.e. lorsque x reste proche de a) située d’un même côté de la tangente. Il arrive même que cette positionrelative reste la même globalement (i.e. pour tout x). On obtient alors des inégalités qu’il faut connaître.Rappelons les principales.

3.2.1 Exponentielle

PropositionPour tout réel x, on a

ex > 1 + x,

avec égalité si, et seulement si, x = 0.

Autrement dit, la courbe de la fonction exponentielle est située, partout, au-dessus de sa tangente àl’origine.

ex 1 + x

Figure 3.7 – L’inégalité ex > 1 + x


Démonstration. Donnons deux preuves de cette inégalité.– Première démonstration : il s’agit de démontrer que, pour tout réel x, on a ex − 1− x > 0. Pour cela,on introduit la fonction f : x 7→ ex − 1− x : elle est dérivable, de dérivée donnée par f ′(x) = ex − 1, quiest du signe de x. La fonction est donc strictement décroissante sur R− et strictement croissante sur R+.Comme elle vérifie f(0) = 0, on a f(x) > 0 pour tout x 6= 0 (et f(0) = 0).– Deuxième démonstration : on part de l’inégalité et > 1, valable pour tout réel t > 0, que l’on intègreentre 0 et x. Il faut cette fois-ci être un peu plus soigneux, car l’implication (f 6 g =⇒

∫ baf 6

∫ bag) n’est

vraie que si a 6 b. Il faut donc distinguer deux cas.– si x > 0, on obtient

∫ x0 et dt >

∫ x0 1 dt, soit ex − 1 > x ;

– si x 6 0, on utilise l’inégalité et 6 1, valable pour tout réel t 6 0. On écrit alors∫ 0xet dt 6

∫ 0x

1 dt,soit 1− ex 6 x, ce qui est encore l’inégalité souhaitée.

Remarque 1. La deuxième démonstration nécessite un peu plus de soin, mais elle est plus intéressantecar elle permet de démontrer une inégalité sans la connaître a priori (pour pouvoir utiliser la premièreméthode, il faut savoir à quoi comparer ex ; dans la deuxième méthode, on part d’une inégalité connue,de laquelle on tire une autre par intégration).

3.2.2 Logarithme

PropositionPour tout réel x > −1, on a

ln(1 + x) 6 x,


ln(1 + x)x

Figure 3.8 – L’inégalité ln(1 + x) 6 x

La démonstration peut se traiter comme pour la fonction exponentielle ; on peut aussi déduire cettenouvelle inégalité de celle concernant l’exponentielle (prendre le logarithme de l’inégalité précédente).

Nous ne détaillerons pas les preuves des inégalités qui suivent, toutes pouvant se traiter sur le mêmemodèle.

3.2.3 Fonctions puissance

PropositionPour tout réel α /∈ [0, 1] et tout réel x > −1, on a

(1 + x)α > 1 + αx,


3.2. Inégalités classiques 41

(1 + x)α

1 + αx

cas α > 1

(1 + x)α

1 + αx

cas α < 0

Figure 3.9 – L’inégalité (1 + x)α > 1 + αx

PropositionPour tout réel α ∈ ]0, 1[ et tout réel x > −1, on a

(1 + x)α 6 1 + αx,


(1 + x)α1 + αx

cas 0 < α < 1

Figure 3.10 – L’inégalité (1 + x)α 6 1 + αx

3.2.4 Sinus

PropositionPour tout réel x ∈ [0, π2 ], on a

2πx 6 sin x 6 x,

la seconde inégalité étant même valable pour tout réel x > 0.

sin x

x

2πx

π2

1

Figure 3.11 – L’encadrement 2πx 6 sin x 6 x


3.3 IntégrationDans tout ce paragraphe, I désigne un intervalle de R, non réduit à un point.

3.3.1 Intégrale d’une fonction continue

Si f : I −→ K est une fonction continue, on peut définir son intégrale∫ baf pour tous a, b ∈ I. Nous ne

revenons pas sur la définition, théorique, de cette intégrale, pour ne rappeler que ses principales propriétéset techniques de calcul.

Théorème (positivité)Soit f : [a, b] −→ R une fonction continue à valeurs positives (a < b). Alors l’intégrale

∫ baf est positive

ou nulle. Elle est nulle si, et seulement si, la fonction f est la fonction nulle.

Attention! La conclusion∫ baf > 0 n’est valide que si a < b ! Si a > b, c’est l’intégrale

∫ abf qui est

positive ou nulle, i.e.∫ baf 6 0. Attention à toujours s’assurer de l’ordre des bornes lorsque l’on intègre

une inégalité.

Démonstration. Contentons-nous de rappeler le principe de démonstration du cas de nullité de l’intégrale.Il est claire que, si f est la fonction nulle, son intégrale est nulle ; il suffit de de démontrer que, si f estcontinue, positive et non identiquement nulle, alors son intégrale est strictement positive. Pour cela, onchoisit un réel c ∈ [a, b] tel que f(c) > 0, puis un voisinage [u, v] de c tel que, pour tout x ∈ [u, v], on aitf(x) > 1

2f(c) (la continuité de f en c implique l’existence d’un tel voisinage : prendre ε = 12f(c)). On en

déduit que∫ baf >

∫ vu

12f(c) = v−u

2 f(c) > 0.

Une autre façon d’exprimer le même résultat :

Théorème (intégration des inégalités)Soient f, g : [a, b] −→ R deux fonctions continues. Si f 6 g, alors

∫ baf 6

∫ bag.

Remarque 1. Ici aussi, il est nécessaire d’avoir a < b pour obtenir la conclusion du théorème. Si a > b,on écrit

∫ baf = −

∫ abf , avec cette fois-ci b < a.

Pour toute fonction f , on a toujours l’encadrement −|f | 6 f 6 |f |. On en déduit le

Théorème (inégalité de la moyenne)Soit f : [a, b] −→ R une fonction continue. On a∣∣∣∣∣

∫ b

a

f

∣∣∣∣∣ 6∫ b

a

∣∣f ∣∣.Ici encore, ne pas oublier de vérifier que a < b avant d’appliquer ce théorème.

Pour les fonctions à valeurs complexes, l’encadrement −|f | 6 f 6 |f | n’a plus aucun sens (on ne peutpas comparer le nombre complexe f(x) au nombre réel |f(x)|). Il est remarquable que le résultat subsistemalgré tout :

Théorème (inégalité de la moyenne pour les fonctions à valeurs complexes)Soit f : [a, b] −→ C une fonction continue. On a∣∣∣∣∣

∫ b

a

f

∣∣∣∣∣ 6∫ b

a

∣∣f ∣∣.

3.3. Intégration 43

3.3.2 PrimitivesL’annexe A contient la liste des primitives à connaître.

DéfinitionSoit f : I −→ K une fonction. Une primitive de f est une fonction F : I −→ K dérivable dont ladérivée est f .

Il n’y a jamais unicité d’une primitive (lorsqu’il en existe) : si F est une primitive de f , alors F + cen est une autre pour toute constante c ∈ K.

ThéorèmeSoit f : I −→ K une fonction continue.

1. Pour tout réel a ∈ I, il existe une unique primitive de f qui s’annule en a : c’est l’application

Fa : I −→ Kx 7−→

∫ xaf(t)dt

.

2. Si F1 et F2 sont deux primitives de f , il existe une constante c ∈ K telle que F2 = F1 + c.

Les primitives sont très utiles pour calculer des intégrales, grâce au

ThéorèmeSoit f : I −→ K une fonction continue et F une primitive de f . Pour tous a, b ∈ I, on a∫ b

a

f = F (b)− F (a).

CorollaireSoit f : I −→ K une fonction de classe C 1 et a un point de I. Pour tout x ∈ I, on a

f(x) = f(a) +∫ x

a

f ′(t)dt.

3.3.3 Techniques de calcul

Théorème (intégration par parties)Soient f, g : I −→ K deux fonctions de classe C 1. Pour tous a, b ∈ I, on a∫ b

a

f ′(t)g(t)dt =[f(t)g(t)

]ba−∫ b

a

f(t)g′(t)dt.

Démonstration. La fonction fg est dérivable de dérivée (fg)′ = f ′g+ fg′, qui est elle-même continue. Enintégrant entre a et b, on obtient ∫ b

a

(fg)′ =∫ b

a

f ′g +∫ b

a

fg′,

ce qui est la formule souhaitée, puisque∫ ba

(fg)′ =[f(t)g(t)

]ba.

Remarque 1. Pour cet énoncé, aucune hypothèse n’est faite sur les bornes : on peut avoir a > b.


Théorème (changement de variable)Soit f : I −→ K une fonction continue et ϕ : J −→ I une fonction de classe C 1 (I, J : intervalles).Soient A,B ∈ I, et α, β ∈ J tels que A = ϕ(α) et B = ϕ(β). Alors∫ B

A

f(t)dt =∫ β

α

f(ϕ(u)

)ϕ′(u)du.

Démonstration. Notons F la primitive de f qui s’annule en A = ϕ(α) : pour tout x ∈ I, F (x) =∫ xAf(t)dt.

Pour tout x ∈ J , on a∫ ϕ(x)ϕ(α) f(t)dt = F

(ϕ(x)

), donc cette fonction de x est dérivable. Par suite, la fonction

Φ : x 7→∫ ϕ(x)

ϕ(α)f(t)dt−

∫ x

α

f(ϕ(u)

)ϕ′(u)du

est dérivable ; pour tout x ∈ J , on a

Φ′(x) = ϕ′(x)F ′(ϕ(x)

)− ϕ′(x)f

(ϕ(x)

)= 0.

La fonction Φ étant définie sur un intervalle, elle est constante. Comme Φ(α) = 0, on a aussi Φ(β) = 0,ce qui est l’égalité à démontrer.

Remarque 2. En pratique, on rédige en écrivant «faisons le changement de variable t = ϕ(u). On a alorsdt = ϕ′(u)du, d’où ...». Attention à ne pas oublier de changer les bornes d’intégration ! Lorsque t = ϕ(u)varie entre A et B, u doit varier entre deux réels α et β tels que A = ϕ(α) et B = ϕ(β)...

Exemple 1. Calculons l’intégrale I =∫ 1

0√

1− x2 dx. La présence de l’expression√

1− x2 incite à penseraux fonctions trigonométriques (qui vérifient 1− cos2 t = sin2 t). Faisons donc le changement de variabledéfini par x = cos t, qui donne dx = − sin tdt. On obtient

I =∫ 1

x=0

√1− x2 dx

=∫ 0

t=π2

√1− cos2 t(− sin t)dt

=∫ π

2

t=0sin t| sin t|dt

=∫ π

2

t=0sin2 tdt

=∫ π

2

t=0

1− cos 2t2 dt =

[t

2 −sin 2t

4

]π2

t=0= π

4

(ce qui est rassurant : on vient de calculer l’aire d’un quart de disque de rayon 1...).

Rappelons enfin que l’on déduit de cette formule de changement de variables, les résultats suivantsconcernant les fonctions paires, impaires et périodiques (utiliser un changement de variable affine pourla démonstration).

Théorème (primitives des fonctions paires)Soit f : I −→ K une fonction continue paire.– Pour tout a ∈ I, on a

∫ a−a f(t)dt = 2

∫ a0 f(t) dt

– La fonction f admet une unique primitive impaire : celle qui s’annule en 0.

Théorème (primitives des fonctions impaires)Soit f : I −→ K une fonction continue impaire.– Pour tout a ∈ I, on a

∫ a−a f(t)dt = 0

– Toutes les primitives de f sont paires.


Théorème (primitives des fonctions périodiques)Soit f : R −→ K une fonction continue T -périodique.– Pour tous a, b ∈ R, on a

∫ a+Ta

f(t)dt =∫ b+Tb

f(t)dt : c’est l’intégrale de f sur une période.– La fonction f admet des primitives T -périodiques si, et seulement si, l’intégrale de f sur une périodeest nulle ; si c’est le cas, toutes les primitives de f sont T -périodiques.

3.3.4 Formules de Taylor

Théorème (formule de Taylor avec reste intégral)Soit f : I −→ K une fonction de classe C n+1 et a un point de I. Pour tout x ∈ I, on a

f(x) =n∑k=0

(x− a)k

k! f (k)(a) + 1n!

∫ x

a

(x− t)nf (n+1)(t)dt.

Démonstration. Pour n = 0, la formule s’écrit

f(x) = f(a) +∫ x

a

f ′(t)dt,

valable pour une fonction f de classe C 1 sur I : elle est vraie. On procède ensuite par récurrence eneffectuant une intégration par parties pour passer du rang n au rang n+ 1.

La fonction polynomiale Tn : x 7→∑nk=0

(x−a)kk! f (k)(a) est appelée polynôme de Taylor d’ordre n

de f en a ; la quantité f(x)−Tn(x) est appelé reste d’ordre n (au point a). La formule de Taylor donnedonc une expression du reste sous forme d’une intégrale. Souvent, on cherche à majorer la valeur absolue(ou le module)

∣∣f(x)− Tn(x)∣∣ de ce reste. Pour cela, on dispose du

Théorème (inégalité de Taylor-Lagrange)Soit f : I −→ K une fonction de classe C n+1 et a un point de I. On suppose qu’il existe un réel Mn+1tel que, pour tout x ∈ I, |f (n+1)(x)| 6Mn+1. Alors, pour tout x ∈ I, on a∣∣∣∣∣f(x)−

n∑k=0

(x− a)k

k! f (k)(a)

∣∣∣∣∣ 6 Mn+1

(n+ 1)! |x− a|n+1.

Démonstration. Soit x ∈ I. On a∣∣∣∣∣f(x)−n∑k=0

(x− a)k

k! f (k)(a)

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∫ x

a

(x− t)n

n! f (n+1)(t)dt∣∣∣∣ .

Il est tentant de majorer la valeur absolue de l’intégrale par l’intégrale de la valeur absolue. Mais cecin’est permis que si a 6 x. Dans le cas a > x, on peut écrire

∣∣ ∫ xa· · ·∣∣ =

∣∣ ∫ ax· · ·∣∣ 6 · · · , puis utiliser que,

pour t ∈ [x, a], on a |x− t| = t− x...Il est aussi simple de traiter les deux cas à la fois grâce au changement de variable t = a + u(x − a)

(qui donne dt = (x− a)du) : on a alors x− t = (x− a)(1− u), d’où∣∣f(x)− Tn(x)∣∣ =

∣∣∣∣∫ 1

u=0

(x− a)n(1− u)n

n! f (n+1)(a+ u(x− a))(x− a)du

∣∣∣∣6∫ 1

0

|x− a|n+1

n! (1− u)n∣∣f (n+1)(a+ u(x− a)

)∣∣ du6∫ 1

0

|x− a|n+1

n! (1− u)nMn+1 du

=[−(1− u)n+1

(n+ 1)!

]1

0Mn+1|x− a|n+1 = Mn+1

(n+ 1)! |x− a|n+1


Remarque 1. Cet énoncé n’est pas au programme ; il faut donc savoir le redémontrer au besoin. Maisil est essentiel de le connaître : c’est l’intérêt principal de la formule de Taylor avec reste intégral depouvoir majorer l’erreur commise lorsque l’on remplace f(x) par Tn(x).

3.3.5 Développements limités

Théorème (formule de Taylor-Young)Soit f : I −→ K une fonction de classe C n. Pour tout point a ∈ I, la fonction f admet un DLn(a)donné par

f(x) =n∑k=0

(x− a)k

k! f (k)(a) + o((x− a)n

).

Démonstration. Écrivons la formule de Taylor avec reste intégral au rang n−1 pour la fonction f . Pourx ∈ I, on a :

f(x) =n−1∑k=0

(x− a)k

k! f (k)(a) + 1(n− 1)!

∫ x

a

(x− t)n−1f (n)(t)dt

=n−1∑k=0

(x− a)k

k! f (k)(a) + 1(n− 1)!

∫ x

a

(x− t)n−1f (n)(a)dt+ 1(n− 1)!

∫ x

a

(x− t)n−1(f (n)(t)− f (n)(a)

)dt

=n∑k=0

(x− a)k

k! f (k)(a) + 1(n− 1)!

∫ x

a

(x− t)n−1(f (n)(t)− f (n)(a)

)dt︸︷︷︸

Rn(x)

.

Soit ε > 0. Choisissons η > 0 tel que, pour x ∈ I tel que |a − x| < η, on ait∣∣f (n)(t)− f (n)(a)

∣∣ 6 ε (untel η existe par continuité de f (n) en a). Pour tout x ∈ I tel que |a − x| < η, on a alors, en faisant ànouveau le changement de variable t = a+ u(x− a) :

∣∣Rn(x)∣∣ = 1

(n− 1)!

∣∣∣∣∫ x

a

(x− t)n−1(f (n)(t)− f (n)(a)

)dt∣∣∣∣

= 1(n− 1)!

∣∣∣∣∫ 1

u=0(x− a)n−1(1− u)n−1

(f (n)(a+ u(x− a)

)− f (n)(a)

)(x− a)du

∣∣∣∣6

1(n− 1)!

∫ 1

0|x− a|n(1− u)n−1

∣∣∣f (n)(a+ u(x− a))− f (n)(a)

∣∣∣ du6|x− a|n

(n− 1)!

∫ 1

0(1− u)n−1εdu = |x− a|

n

(n− 1)!

[−(1− u)nε

n

]1

0= |x− a|

n

n! ε

ce qui prouve que∣∣Rn(x)

∣∣ ∈ o((x− a)n

).

Remarque 1. En pratique, lorsque l’on fait un développement limité en un point a 6= 0, on préfère seramener à une étude en 0 grâce à un changement de variable. Ainsi, le développement limité donné parla formule de Taylor-Young s’écrit-il plutôt sous la forme

f(a+ h) =n∑k=0

hk

k! f(k)(a) + o(hn).

Attention! Le théorème précédent énonce qu’une fonction de classe C n admet un développement limitéà l’ordre n ; la réciproque est fausse : une fonction f peut admettre un DLn(a) (n > 2) sans pour autantêtre deux fois dérivable en a. Par exemple, la fonction f : x 7→ x3 sin 1

x (prolongée par continuité en 0 enposant f(0) = 0) admet le DL2(0) f(x) = 0 + o(x2), mais n’est pas deux fois dérivable en 0.

L’annexe B contient la liste des développements limités usuels à connaître.


Théorème (primitivation d’un développement limité)Soit f : I −→ K une fonction continue admettant en un point a ∈ I le développement limité

f(x) =n∑k=0

λk(x− a)k + o((x− a)n

).

Toute primitive F de f admet alors le DLn+1(a)

F (x) = F (a) +n∑k=0

λkk + 1(x− a)k+1 + o

((x− a)n+1).

Démonstration. Soit ε > 0. Choisissons un réel η > 0 tel que, pour t ∈ [a− η, a+ η], on ait∣∣∣∣∣f(t)−n∑k=0

λk(t− a)k∣∣∣∣∣ 6 ε|t− a|n.

Pour tout réel x ∈ [a− η, a+ η], on obtient, par intégration entre a et x (même changement de variablet = a+ (x− a)u) :∣∣∣∣ F (x)− F (a)−

n∑k=0

λkk + 1(x− a)k+1

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∫ x

t=a

(f(t)−

n∑k=0

λk(t− a)k)

dt

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∫ 1

u=0

(f(a+ u(x− a)

)−

n∑k=0

λk(x− a)kuk)

(x− a)du

∣∣∣∣∣6∫ 1

0

∣∣∣∣∣f(a+ u(x− a))−

n∑k=0

λk(x− a)kuk∣∣∣∣∣ |x− a|du

6∫ 1

0ε|x− a|n+1un du = |x− a|

n+1

n+ 1 ε

Théorème (dérivation d’un développement limité)Soit f : I −→ K une fonction de classe C 1 admettant en un point a ∈ I le DLn(a)

f(x) =n∑k=0

λk(x− a)k + o((x− a)n

).

Si la fonction f ′ admet un DLn−1(a), celui-ci est donné en dérivant celui de f :

f ′(x) =n−1∑k=0

(k + 1)λk+1(x− a)k + o((x− a)n−1).

Démonstration. Notons, s’il existe,

f ′(x) =n−1∑k=0

µk(x− a)k + o((x− a)n−1)

le DLn−1(a) de f ′. La fonction f étant une primitive de f ′, elle admet alors le DLn(a)

f(x) = f(a) +n−1∑k=0

µkk + 1(x− a)k + o

((x− a)n

).

En comparant les deux DLn(a) de f , on obtient, par unicité du développement limité, la relation λk = µkk+1

pour tout entier k ∈ [[0, n− 1]], i.e. µk = (k + 1)λk.


3.4 Fonctions continues par morceaux

3.4.1 Fonctions continues par morceaux sur un segmentDans la pratique, on est parfois amené à intégrer des fonctions présentant quelques discontinuités.

Nous commençons par préciser quelles sont ces fonctions.

Définition (segment)Un segment de R est un intervalle fermé et borné de R, i.e. un ensemble du type [a, b], où a et b sontdeux réels (finis) vérifiant a 6 b (en général, on prendra a < b).

Définition (fonction continue par morceaux sur un segment)Une fonction f définie sur un segment I = [a, b] est dite continue par morceaux si, et seulement si,– elle admet un nombre fini de discontinuités– en chaque point c de discontinuité, la fonction f admet une limite finie à gauche (sauf si c = a) et àdroite (sauf si c = b).

Exemple 1. La fonction partie entière est continue par morceaux sur l’intervalle [0, 2] : il y a un point dediscontinuité en 1 et un autre en 2 ; en chacune de ces points, la fonction admet une limite finie à gaucheet à droite.

Exemple 2. La fonction f : [0, 1] −→ R définie par f(x) = 1x pour x ∈ ]0, 1] et f(0) = 0 n’est pas continue

par morceaux : elle admet une seule discontinuité (en 0), mais elle n’admet pas de limite finie en ce point.

Exemple 3. La fonction f : [0, 1] −→ R définie par f(x) = sin 1x pour x ∈ ]0, 1] et f(0) = 0 n’est pas

continue par morceaux : elle n’admet pas de limite (ni finie ni infinie) en 0.

Il est assez clair que l’ensemble C M ([a, b],K) des fonctions continues par morceaux sur le segment[a, b] est un sous-espace vectoriel de l’espace F ([a, b],K) de toutes les applications de [a, b] dans K : lasomme de deux fonctions continues par morceaux l’est encore, de même que le produit d’une telle fonctionpar une constante. Il est tout aussi clair que le produit de fonctions continues par morceaux l’est encore.

PropositionSoit f : [a, b] −→ K une fonction continue par morceaux. La fonction f est bornée.

3.4. Fonctions continues par morceaux 49

Démonstration. Notons c1 < c2 < · · · cn−1 les points de discontinuité de f , distincts de a et b, et posonsc0 = a et cn = b. Sur chaque intervalle ]ck, ck+1[, la fonction f est continue et admet une limite finie enchacune de ses bornes. Elle se prolonge donc en une fonction continue fk, définie sur le segment [ck, ck+1].Cette fonction fk est bornée ; notons Mk un majorant de |fk|. En posant

M = max(M0, . . . ,Mn−1, |f(c0)|, . . . , |f(cn)|

),

il est clair que l’on a |f(x)| 6M pour tout réel x ∈ [a, b].

3.4.2 Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segmentSoit f : [a, b] −→ K une fonction continue par morceaux. Notons c1 < · · · < cp les éventuels points de

discontinuité de f (distincts de a et b) et posons c0 = a et cp+1 = b. Sur chaque intervalle ]ck, ck+1[, lafonction f est continue et admet une limite finie aux bornes, donc se prolonge en une fonction fk continuesur le segment [ck, ck+1].

Définition (intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment)Avec les notations précédentes, l’intégrale de la fonction f sur le segment [a, b], notée

∫ baf , ou

∫ baf(t)dt,

est ∫ b

a

f =p∑k=0

∫ ck+1

ck

fk.

Autrement dit : on découpe l’intervalle [a, b] en autant de sous-intervalles que nécessaire pour qu’aucunne contienne de discontinuité, et on calcule la somme des intégrales sur chacun des intervalles.

Exemple 1. Calculons l’intégrale∫ 3

0 btc dt.Sur l’intervalle [0, 3], la fonction admet 3 points de discontinuité : 1, 2 et 3. La fonction f est constante(nulle) sur l’intervalle ]0, 1[ ; la fonction f0 est le prolongement par continuité au segment [0, 1]. De même,la fonction f1 est la fonction constante égale à 1 sur le segment [1, 2], et la fonction f3 est constante égaleà 2 sur le segment [2, 3].

f

f0

f1

f2

L’intégrale est donc ∫ 3

0f =

∫ 1

0f1 +

∫ 2

1f2 +

∫ 3

2f3 =

∫ 1

00 +

∫ 2

11 +

∫ 3

22 = 3.

Remarque 1. Dans la pratique, on ne détaille pas autant la rédaction ; on se contente de découperl’intervalle en autant de sous-intervalles que nécessaire. Pour l’exemple précédent, on écrit par exemple∫ 3

0btc dt =

∫ 1

00 +

∫ 2

11 +

∫ 3

22 = 3.

Remarque 2. On voit sur cet exemple que la valeur prise par la fonction f en ses éventuels points dediscontinuité ne joue aucun rôle dans le calcul de l’intégrale. Si l’on définit par exemple une fonction gpar g(t) = f(t) en tout point t de continuité de f , et g(t) = 0 en tout point de discontinuité, alors ona∫ bag =

∫ baf . En particulier, deux fonctions continues par morceaux égales presque partout (i.e. égales

partout, sauf en un nombre fini de points) ont même intégrale.

On a également la

PropositionSoit f : [a, b] −→ R une fonction continue par morceaux. On suppose que f est positive presque partout.Alors

∫ baf > 0.


Démonstration. Rappelons que dire que f est positive presque partout signifie que l’on a f(t) > 0,sauf pour un nombre fini de valeurs de t. Ces valeurs exceptionnelles sont nécessairement des points dediscontinuité de f (si f(t0) < 0 avec t0 : point de continuité de f , la continuité de f en t0 impliquel’existence d’un intervalle non réduit à t0 sur lequel f ne prend que des valeurs strictement négatives, cequi contredit l’hypothèse). Par suite, les différentes fonctions fk de la définition sont toutes positives ounulles, donc d’intégrales positives ou nulles, d’où l’on tire

∫ baf > 0.

Attention! Contrairement à ce qui se passe pour les fonctions continues, le fait d’avoir f > 0 et∫ baf = 0

n’implique pas que f soit la fonction nulle. Par exemple, la fonction partie entière est positive ou nullesur le segment [0, 1], d’intégrale nulle, mais n’est pas la fonction nulle (on a b1c = 1) !

∫ 10 btc dt = 0

Remarque 3. Il est clair que, si dans la subdivision c0 = a < c1 < · · · < cp+1 = b qui permet decalculer l’intégrale par découpage, on introduit des points qui ne sont pas des points de discontinuité dela fonction f , la somme

∑pk=0

∫ ck+1ck

f est inchangée. Par suite, si f et g sont deux fonctions continuespar morceaux, en prenant pour subdivision la réunion de l’ensemble des points de discontinuité de f etde ceux de g, il est clair que

∫ ba

(f + g) =∫ baf +

∫ bag (le découpage permet de se ramener à ne calculer

que des intégrales de fonctions continues sur des segments, pour lesquelles la formule est vraie). Ainsi,l’intégration reste une opération linéaire (il est évident, d’après la définition de l’intégrale d’une fonctioncontinue par morceaux, que

∫ baλf = λ

∫ baf).

Remarque 4. Les découpages utilisés pour la définition de l’intégrale sont la généralisation de la relationde Chasles. Celle-ci reste vraie pour les fonctions continues par morceaux : si a < c < b, on a

∫ baf =∫ c

af+∫ bcf . En convenant, comme dans le cas des fonctions continues, que

∫ ccf = 0 et que

∫ dcf = −

∫ cdf si

c > d, la relation reste vraie dans tous les cas : si u, v, w ∈ [a, b], on a∫ wuf =

∫ vuf+∫ wvf , indépendemment

de l’ordre des trois nombres u, v, w. Attention cependant : comme dans le cas des fonctions continues, onne peut dire «f est positive donc

∫ vuf > 0» que si les bornes u et v vérifient u 6 v ! !

PropositionSoit f : [a, b] −→ K une fonction continue par morceaux. Alors∣∣∣∣∣

∫ b

a

f

∣∣∣∣∣ 6∫ b

a

∣∣f |.

Démonstration. Reprenons les notations utilisées pour la définition de l’intégrale d’une fonction continuepar morceaux : pour tout k ∈ [[0, p]], la fonction fk est continue sur le segment [ck, ck+1], donc vérifie∣∣ ∫ ck+1ck

fk∣∣ 6 ∫ ck+1

ck|fk|. Par suite, on a∣∣∣∣∣∫ b

a

f

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣p∑k=0

∫ ck+1

ck

fk

∣∣∣∣∣ 6p∑k=0

∣∣∣∣∫ ck+1

ck

fk

∣∣∣∣ 6 p∑k=0

∫ ck+1

ck

∣∣fk∣∣ =∫ b

a

∣∣f |(la dernière égalité provient du fait que la fonction |fk| est le prolongement continu au segment [ck, ck+1]de la fonction f |]ck,,[ck+1

, et de la définition de l’intégrale de la fonction continue par morceaux |f |).

Attention! Lors de l’utilisation de cette formule, toujours vérifier, comme dans le cas des fonctionscontinues, que l’on a a 6 b ! Si ce n’est pas le cas, il faut permuter les bornes.

3.4.3 Fonctions continues par morceaux sur un intervalle

Définition (fonction continue par morceaux sur un intervalle)Une fonction f , définie sur un intervalle I, est dite continue par morceaux si, et seulement si, larestriction de f à tout segment inclus dans I est continue par morceaux. On note C M (I,K) l’ensembledes fonctions continues par morceaux définies sur l’intervalle I.

3.4. Fonctions continues par morceaux 51

Exemple 1. La fonction partie entière est continue par morceaux sur R.

Il est encore clair que la somme et le produit de deux fonctions continues par morceaux sur unintervalle l’est encore, de même que le produit d’une telle fonction par une constante.

Proposition (primitive généralisée)Soit f : I −→ K une fonction continue par morceaux et a ∈ I.La fonction F : I −→ K, x 7→ F (x) =

∫ xaf(t)dt est continue.

Une telle fonction n’est pas une primitive de f car elle n’est pas dérivable (du moins, pas partout). Ondit que F est une primitive généralisée de f .

Exemple 2. Pour la fonction f = b·c, voici à quoi ressemble la fonction F : x 7→∫ x

0 btc dt.

fF

On constate que la fonction est continue mais pas tout à fait dérivable. Plus précisément, elle est dérivableen tout point t0 de continuité de f , avec F ′(t0) = f(t0). En un point de discontinuité de f , la fonction Fest dérivable à droite et à gauche, les valeurs des dérivées à droite et à gauche étant les limites à droiteet à gauche de f en t0. Ce résultat est parfaitement général, mais nous le démontrerons pas car horsprogramme.

Démonstration. Il s’agit de démontrer que la fonction F est continue en chaque point x0 de I. Soit doncx0 ∈ I. Choisissons un segment J ⊂ I contenant x0 : la fonction f est continue par morceaux sur cesegment, donc bornée. Notons M un réel tel que, pour tout t ∈ J , on ait |f(t)| 6 M . Alors, pour toutx ∈ J tel que x > x0, on a

∣∣F (x)− F (x0)∣∣ =

∣∣∣∣∫ x

x0

f(t)dt∣∣∣∣ 6 ∫ x

x0

|f(t)|dt 6∫ x

x0

M dt = M(x− x0) = M |x− x0|,

la majoration restant vraie pour x ∈ J tel que x 6 x0 (intégrer de x à x0). Cette majoration prouve queF (x) −→

x−→ x0F (x0), i.e. que F est continue en x0.



Dans tout ce qui suit, sauf mention explicite du contraire, I désigne un intervalle non réduit à unpoint, J une partie non vide de I (on ne suppose pas que J est un intervalle). Faîtes bien attention auxhypothèses !

1. Soit f : I −→ K une fonction et a ∈ I. Si f est dérivable en a, est-elle continue en a ? La réciproqueest-elle vraie ?

2. Soit f : J −→ K une fonction dérivable. Si f est de dérivée nulle, est-elle constante ? La réciproque est-ellevraie ?

3. Soit f : I −→ K une fonction continue. S’il existe deux réels a 6= b ∈ I tels que f(a) = f(b), existe-t-il unréel c ∈ I tel que f ′(c) = 0 ?

4. Soit f : I −→ R une fonction dérivable. On suppose l’existence de deux réels a < b tels que f(a) = f(b).Existe-t-il un réel c ∈ ]a, b[ tel que f ′(c) = 0. Que se passe-t-il si on suppose que f n’est pas dérivablepartout mais seulement dans l’intervalle ]a, b[ ?

5. Soit f : [a, b] −→ K une fonction. On suppose f dérivable sur l’intervalle ]a, b] et l’existence d’un scalaire` ∈ K tel que f ′(x) −→

x→ a`. La fonction f est-elle dérivable en a ? Vérifie-t-elle f ′(a) = ` ?

6. Donner un exemple de fonction f : R −→ R dérivable, telle que f admette une limite finie en +∞ maisque f ′ ne tende pas vers 0 en +∞.

7. Donner un exemple de fonction f : R −→ R dérivable, telle que f ′(x) −→x→+∞

0 et f(x) n’ait pas de limitefinie en +∞.

8. Si la fonction f : R −→ R dérivable vérifie f(x) −→x→+∞

+∞, vérifie-t-elle aussi f ′(x) −→x→+∞

+∞ ?

9. Si la fonction f : R −→ R dérivable vérifie f ′(x) −→x→+∞

+∞, vérifie-t-elle aussi f(x) −→x→+∞

+∞ ?

10. Dessiner une fonction f : [0, 1[ −→ R dérivable, vérifiant f(x) −→x→ 1

+∞, mais f ′(x) 6−→x→+∞ +∞ (oumieux : trouver une formule).

11. Soient f1, . . . , fn : I −→ C des fonctions dérivables. Exprimer la dérivée de la fonction f = f1 · · · fn etcalculer, en tout point x tel que f(x) 6= 0, le quotient f ′(x)

f(x) . Traiter le cas particulier où fi(x) = x− xi.

12. Soit f : R −→ K une fonction dérivable T -périodique (resp. paire, impaire). Sa dérivée f ′ est-elle T -périodique (resp. impaire, paire) ?

13. Soit f : R −→ K une fonction continue T -périodique (resp. paire, impaire) et F une primitive de f . Lafonction F est-elle T -périodique (resp. impaire, paire) ? Que dire des autres primitives de f ?

14. Une fonction f : I −→ K lipschitzienne est-elle continue ?

15. Une fonction continue f : I −→ K est-elle lipschitzienne ?

16. Une fonction f : [a, b] −→ K de classe C 1 est-elle lipschitzienne ?

17. Soit f : I −→ R une fonction continue. Si F est une primitive de f , existe-t-il un réel a ∈ I tel que, pourtout x ∈ I, on ait F (x) =

∫ xaf(t)dt ?

18. Soit f : I −→ K une fonction continue, ainsi que ϕ,ψ : J −→ I deux fonctions dérivables. Quelle est ladérivée de la fonction g : x 7→

∫ ψ(x)ϕ(x) f(t)dt ?

19. Soit f : I −→ K une fonction continue par morceaux et a, b ∈ I. A-t-on∣∣∣∫ ba f ∣∣∣ 6 ∫ ba |f | ?

20. Soit f : I −→ K. On suppose que 0 ∈ I et que f admet un DLn(0). La fonction f est-elle n fois dérivableen 0 ?

21. Soit f : I −→ K. On suppose que 0 ∈ I et que f admet un DLn(0). La fonction f est-elle dérivable en 0 ?

22. Soit f : I −→ K une fonction de classe C n. La fonction f admet-elle un DLn(0) ?


3.5.2 Réponses1.La dérivabilité entraîne la continuité ; la réciproque est fausse.

2. Si J n’est pas un intervalle, la fonction peut être de dérivée nulle sans être constante. En revanche, si elleest constante, sa dérivée est nulle partout.

3.La fonction f n’étant pas supposée dérivable, il n’existe pas nécessairement un tel réel c (ex : f(x) = |x|vérifie f(−1) = f(1)).

4.Oui : c’est le théorème de Rolle. Il suffit même que la fonction soit dérivable dans l’intervalle ouvert ]a, b[ ;pas nécessairement en a ni en b (mais elle doit quand même être continue en ces points pour pouvoirconclure).

5.La fonction n’étant pas supposée continue en a, elle n’a aucune raison d’y être dérivable (ex : f(x) = 0pour x ∈ ]0, 1] et f(0) = 1). En revanche, si elle est continue en a, elle y est dérivable (théorème duprolongement de classe C 1) et vérifie f ′(a) = `.

6.On prend une fonction qui tend vers 0 (par exemple) en oscillant de plus en plus vite f(x) = sin(x2)x

7.Très facile : f(x) = ln(x).

8.Non : même exemple f(x) = ln(x).

9.Oui : choisir un réel A tel que, pour tout x > A, on ait f ′(x) > 1 et intégrer : pour x > A, on af(x)− f(A) > x−A. Ceci n’est valable que si f ′ est continue (pour l’intégrale), i.e. si f est de classe C 1.Le résultat reste vrai en supposant seulement f dérivable : utiliser le théorème des accroissements finis.En choisissant A comme précédemment, on a l’existence, pour tout x > A, d’un réel c ∈ [A, x] tel quef(x)− f(A) = f ′(x)(x− a) > x−A, d’où la même conclusion.

10.On choisit une fonction qui tend vers +∞ sans pour autant être monotone sur aucun intervalle du type[a, 1[. La fonction x 7→ x+2 sin(x) tend vers +∞ en +∞ en oscillant indéfiniment ; il suffit de la composerpar la fonction x 7→ 1

1−x , qui transforme l’intervalle [0, 1[ en l’intervalle [1,+∞[ pour obtenir la fonctioncherchée : f(x) = 1

1−x+2 sin( 11−x ). Même si vous ne trouvez pas de formule, il faut être capable d’imaginer

le dessin pour une telle fonction :

1

11.La formule de dérivée d’un produit se généralise (récurrence immédiate) pour donner

f ′ = f ′1f2 · · · fn + f1f′2f3 · · · fn + · · ·+ f1 · · · fn−1f

′n.

En particulier, en tout point x tel que f(x) 6= 0, on a

f ′(x)f(x) =

n∑i=1

f ′i(x)fi(x) .

Dans le cas où fi(x) = x− xi, on trouve

f ′(x)f(x) =

n∑i=1

1x− xi

.


Attention ! Pour calculer f ′

f (dérivée logarithmique de f), on ne peut pas commencer par poser

g(x) = ln(f(x)

)= ln

(f1(x)

)+ · · ·+ ln

(fn(x)

):

la fonction est à valeurs complexes (et même si elle était à valeurs réelles, elle n’aurait aucune raisond’être à valeurs strictement positives).

12.La dérivée d’une fonction T -périodique (resp. paire, impaire) est T -périodique (resp. impaire, paire) : sevérifie en dérivant une fonction composée.

13.Les primitives d’une fonction f T -périodique le sont encore si, et seulement si, le fonction f est de valeurmoyenne nulle ; toutes les primitives le sont alors. Les primitives d’une fonction impaire sont toutes paires,mais une fonction paire admet une unique primitive impaire : celle qui s’annule en 0.

14.Une fonction lipschitzienne est continue (l’inégalité |f(x)− f(a)| 6 K|x− a| montre que f(x) −→x→ a

f(a)).

15.Une fonction continue n’est pas forcément lipschitzienne : par exemple, la fonction continue f : x 7→ x2

ne l’est pas car le quotient f(x)−f(0)x−0 n’est pas borné (il tend vers +∞ en +∞). Même en supposant

l’intervalle I borné, on ne peut pas conclure : la fonction f : x 7→√x est continue sur le segment [0, 1]

mais pas lipschitzienne : le quotient f(x)−f(0)x−0 tend vers +∞ en 0.

16. Si la fonction est de classe C 1 sur le segment I, la fonction continue |f ′| est bornée. En notant M uneconstante telle que, pour tout x ∈ [a, b], on ait |f ′(x)| 6 M , l’inégalité des accroissements finis montreque f est M -lipschitzienne sur le segment [a, b].

17.Non : toutes les fonctions x 7→∫ xaf sont des primitives de la fonction f , mais on n’obtient en général

pas toutes les primitives de cette façon. Par exemple, la fonction x 7→ sin x − 2 est une primitive de lafonction cos, mais il n’existe aucune réel a tel que sin x − 2 =

∫ xa

cos(t)dt (il faudrait trouver a tel quesin(a) = 2...).

18.En choisissant a ∈ I et en posant F (x) =∫ xaf , on a g(x) = F

(ψ(x)

)− F

(ϕ(x)

), d’où g′(x) =

ψ′(x)f(ψ(x)

)− ϕ′(x)f

(ϕ(x)

).

19. Si a > b, l’inégalité est fausse (le membre de gauche est positif, celui de droite négatif !) ; en revanche, sia < b, elle est vraie (inégalité de la moyenne).

20.Non, pas nécessairement.

21.Oui : si la fonction admet un DLn(0), elle admet un DL1(0) (du moins si n > 1), donc elle est dérivableen 0 (et f ′(0) est égal au coefficient de degré 1 du DL1(0)).

22.Oui : théorème du cours.

Chapitre 4Intégration sur un intervalle quelconque

Dans tout ce chapitre, K désigne R ou C.

4.1 Intégrales impropres convergentes4.1.1 Définition d’une intégrale impropre convergente

Soit f : [a, b[ −→ K une fonction continue par morceaux (a fini, a < b, b fini ou non).

Définition (intégrale impropre sur un intervalle semi-ouvert)On dit que l’intégrale de la fonction f est convergente sur l’intervalle [a, b[ si, et seulement si, la fonctionF : x 7→

∫ xaf(t)dt admet une limite finie lorsque x tend vers b. Si c’est le cas, cette limite est notée∫ b

af(t)dt et appelée intégrale impropre de f sur l’intervalle [a, b[. Dans le cas contraire, on dit que

l’intégrale impropre est divergente.

Exemple 1. L’intégrale impropre de la fonction f : t 7→ e−t est convergente sur l’intervalle R∗+. En effet,pour tout réel x > 0, on a ∫ x

0e−t dt =

[− e−t

]x0 = 1− e−x −→

x→+∞1.

On peut donc parler de l’intégrale impropre∫ +∞

0 e−t dt, et celle-ci vaut∫ +∞

0 e−t dt = 1.

Remarque 1. Par abus de langage, on dira que l’intégrale∫ +∞

0 e−t dt est convergente. Ainsi la questionprécédente est-elle souvent formulée de la façon suivante : « montrer que l’intégrale

∫ +∞0 e−t dt est conver-

gente et la calculer ». Mais il ne faut pas perdre de vue que c’est un abus de langage : en toute rigueur,on n’a le droit d’écrire

∫ baf que lorsque l’on a démontré la convergence de l’intégrale (en particulier, tant

que cette convergence n’est pas établie, il est interdit d’écrire que cette intégrale est égale à une autre,ou inférieure...). On peut aussi dire «l’intégrale

∫ baf existe», ce qui incite à ne pas écrire qu’elle est égale

à autre chose sans avoir démontré auparavant qu’elle «existe».

Exemple 2. L’intégrale impropre∫ 1

0dt

1−t est divergente : en effet, pour tout réel x ∈ [0, 1[, on a∫ x

0

dt1− t =

[− ln(1− t)

]x0 = − ln(1− x) −→

x→ 1+∞.

Remarque 2. Soit f : [a, b] −→ K une fonction continue par morceaux. La fonction f est en particuliercontinue par morceaux sur l’intervalle semi-ouvert [a, b[. On peut alors se poser les questions suivantes :

– l’intégrale de f sur l’intervalle [a, b[ est-elle convergente ?– le cas échéant, cette intégrale (notons-la

∫[a,b[ f) est-elle égale à l’intégrale de f sur le segment [a, b]

(notons-la∫

[a,b] f) ? Ce serait souhaitable, étant donné que l’on note ces deux intégrales de la mêmefaçon :

∫ baf(t)dt.

55

56 Chapitre 4. Intégration sur un intervalle quelconque

C’est bien le cas. En effet, la fonction f étant continue par morceaux sur [a, b], on sait que la fonctionF : x 7→

∫ xaf est continue sur le segment [a, b]. En particulier, F admet une limite finie en b−, qui est

égale à∫

[a,b] f . Donc l’intégrale de f sur l’intervalle [a, b[ est convergente et sa valeur∫

[a,b[ f est égale à∫[a,b] f . Il n’y a donc pas d’ambiguïté à noter

∫ baf(t)dt ces deux intégrales.

Dans le cas particulier des fonctions réelles à valeurs positives, on dispose de la caractérisation simplesuivante :

Proposition (cas des fonctions positives)Soit f : [a, b[ −→ R une fonction à valeurs positives. L’intégrale

∫ baf est convergente si, et seulement

si, la fonction x 7→∫ xaf est majorée.

Démonstration. En effet, la fonction F : x 7→∫ xaf est croissante (car f est positive), donc elle admet une

limite finie en b si, et seulement si, elle est majorée (rappelons que majorée signifie ici majorée par uneconstante, i.e. indépendante de x).

Exemple 3. L’intégrale∫ +∞

0| sin t|1+t2 dt est convergente. En effet, la fonction est à valeurs positives ; pour

tout réel x > 0, on a ∫ x

0

| sin t|1 + t2

dt 6∫ x

0

dt1 + t2

= Arctg x 6π

2 ,

donc la fonction x 7→∫ x

0| sin t|1+t2 dt est majorée.

Un autre cas facile à identifier est le suivant :

Proposition (intégrale faussement impropre)Soit f : [a, b[ −→ K une fonction continue par morceaux (b fini). Si la fonction f admet une limite finieen b, alors l’intégrale de f sur [a, b[ est convergente. On dit que l’intégrale est faussement impropre.

Démonstration. Soit ` cette limite finie et f le prolongement de f au segment [a, b] obtenu en posantf(b) = `. La fonction f est continue par morceaux sur le segment [a, b], donc son intégrale sur l’intervalle[a, b[ est convergente. Or, pour tout x ∈ [a, b[, on a

∫ xaf(t)dt =

∫ xaf(t)dt, donc l’intégrale de f sur

l’intervalle [a, b[ est également convergente.

Exemple 4. La fonction f : [0, 1[ −→ R, t 7→ (1 − t) ln(1 − t) est continue et se prolonge par continuitéen 1 en posant f(1) = 0. Son intégrale sur l’intervalle [0, 1[ est donc convergente (et est égale à l’intégralesur le segment [0, 1] de son prolongement par continuité).

Remarque 3. On définit de la même façon une intégrale convergente sur un intervalle semi-ouvert du type]a, b], exigeant que la quantité

∫ bxf admette une limite finie lorsque x→ a. En cas de convergence, cette

intégrale est notée∫ baf(t)dt (il n’en résulte ici non plus aucune ambiguïté). De même que précédemment,

si la fonction f : ]a, b] −→ K (continue par morceaux, a fini) admet une limite finie en a, alors l’intégralede f sur l’intervalle ]a, b] est convergente (et on dit encore que l’intégrale est faussement impropre).

Exemple 5. L’intégrale∫ 1

0dt√test convergente. En effet, pour tout réel x ∈ ]0, 1], on a

∫ 1

x

dt√t

=∫ 1

x

t−12 dt =

[2t 1

2 ]1x = 2− 2√x −→x→ 0

2.

En particulier, on a∫ 1

0dt√t

= 2.

Théorème (exemples de Riemann)

Soit α un réel.

L’intégrale∫ 1

0

dttα

est convergente si, et seulement si, α < 1.

L’intégrale∫ +∞

1

dttα

est convergente si, et seulement si, α > 1.

4.1. Intégrales impropres convergentes 57

Démonstration. – Le cas α = 1 donne une intégrale divergente dans les deux cas :∫ 1

x

dtt

= − ln x −→x→ 0

+∞ et∫ x

1

dtt

= ln x −→x→+∞

+∞.

– Si α < 1 (donc 1− α > 0), on a∫ 1

x

dttα

= 1− x1−α

1− α −→x→ 0

11− α et

∫ x

1

dttα

= x1−α − 11− α −→

x→+∞+∞.

– Enfin, si α > 1 (donc 1− α < 0), on a∫ 1

x

dttα

= 1− x1−α

1− α −→x→ 0

+∞ et∫ x

1

dttα

= x1−α − 11− α −→

x→+∞

1α− 1 .

Théorème (fonctions exponentielles)

Soit α un réel.

L’intégrale∫ +∞

0eαt dt est convergente si, et seulement si, α < 0.

L’intégrale∫ 0

−∞eαt dt est convergente si, et seulement si, α > 0.

Démonstration. – Le cas α = 0 donne une intégrale divergente dans les deux cas :∫ x

0dt = x −→

x→+∞+∞ et

∫ 0

x

dt = −x −→x→−∞

+∞.

– Si α > 0, on a∫ 0

x

eαt dt = 1− eαx

α−→

x→−∞

1α

et∫ x

0eαt dt = eαx − 1

α−→

x→+∞+∞.

– Enfin, si α < 0, on a∫ 0

x

eαt dt = 1− eαx

α−→

x→−∞+∞ et

∫ x

0eαt dt = eαx − 1

α−→

x→+∞− 1α.

Théorème (logarithme)L’intégrale

∫ 10 ln tdt est convergente.

Démonstration. Pour tout réel x ∈ ]0, 1], on a∫ 1

x

ln tdt =[t ln t

]1x−∫ 1

x

t

tdt = −x ln x− (1− x) −→

x→ 0−1.

Cas d’une intégrale impropre sur un intervalle ouvert ]a, b[Deux problèmes de convergence se posent alors : dans l’intégrale

∫ yxf(t)dt, il faut faire tendre x vers a

et y vers b. On règle le problème de la façon suivante.

PropositionSoit f : ]a, b[ −→ K une fonction continue par morceaux (a < b, finis ou non). S’il existe un réelc ∈ ]a, b[ tel que les intégrales

∫ caf(t)dt et

∫ bcf(t)dt soient convergentes, alors

– c’est vrai pour tout réel c ∈ ]a, b[– la somme

∫ caf(t)dt+

∫ bcf(t)dt ne dépend pas du choix du point c ∈ ]a, b[.


Démonstration. Supposons l’existence d’un tel point c et notons L1 et L2 les valeurs des intégralesimpropres

L1 =∫ c

a

f(t)dt = limx→ a

∫ c

x

f(t)dt et L2 =∫ b

c

f(t)dt = limx→ b

∫ x

c

f(t)dt.

Choisissons un autre point d ∈ ]a, b[. Pour tout réel x ∈ ]a, d], on a∫ d

x

f(t)dt =∫ c

x

f(t)dt+∫ d

c

f(t)dt −→x→ a

L1 +∫ d

c

f(t)dt

et, pour tout réel x ∈ [d, b[ :∫ x

d

f(t)dt =∫ c

d

f(t)dt+∫ x

c

f(t)dt −→x→ b

∫ c

d

f(t)dt+ L2.

Les deux intégrales impropres sont donc convergentes et vérifient∫ d

a

f(t)dt+∫ b

d

f(t)dt =∫ c

a

f(t)dt+∫ d

c

f(t)dt+∫ c

d

f(t)dt+∫ b

c

f(t)dt =∫ c

a

f(t)dt+∫ b

c

f(t)dt.

Définition (intégrale impropre sur un intervalle ouvert)Soit f : ]a, b[ −→ K une fonction continue par morceaux (a < b, finis ou non).On dit que l’intégrale

∫ baf(t)dt est convergente si, et seulement si, il existe un réel c ∈ ]a, b[ tel que

les deux intégrales∫ caf(t)dt et

∫ bcf(t)dt soient convergentes. Si c’est le cas, l’intégrale impropre de f

sur l’intervalle ]a, b[ est la somme∫ caf(t)dt+

∫ bcf(t)dt (qui ne dépend pas du choix de c) ; on la note∫ b

af(t)dt. Dans le cas contraire, on dit que l’intégrale impropre est divergente.

Remarque 4. Si I est un intervalle de bornes a < b (finies ou non, appartenant ou non à I) et f : I −→ Kune fonction continue par morceaux telle que l’intégrale

∫ baf(t)dt converge, on a donc dans tous les cas

(que les bornes a et b appartiennent on non à I) la relation de Chasles : pour tout c ∈ ]a, b[, on a∫ b

a

f(t)dt =∫ c

a

f(t)dt+∫ b

c

f(t)dt.

Exemple 6. L’intégrale∫ +∞−∞

dt1+t2 est convergente. En effet, pour tout réel x, on a∫ x

0

dt1 + t2

= Arctg x −→x→+∞

π

2 et∫ 0

x

dt1 + t2

= −Arctg x −→x→−∞

π

2 .

On a en particulier ∫ +∞

−∞

dt1 + t2

= π.

Exemple 7. Pour tout réel α, l’intégrale∫ +∞

0dttα est divergente : en effet, selon la valeur de α, l’une au

moins des deux intégrales∫ 1

0dttα et

∫ +∞1

dttα est divergente.

Attention! Bien que l’on ait ∫ x

−xtdt =

[t2

2

]x−x

= 0 −→x→+∞

0,

l’intégrale∫ +∞−∞ tdt est divergente : aucune des deux intégrales

∫ 0−∞ tdt et

∫ +∞0 tdt n’est convergente.

LinéaritéQuelle que soit la nature de l’intervalle I (semi-ouvert ou ouvert), il est clair que l’ensemble des fonctionscontinues par morceaux sur I et dont l’intégrale est convergente est un sous-espace vectoriel de C M (I,K).De plus, l’application

∫Iest linéaire : si f et g sont deux fonctions continues par morceaux d’intégrales

convergentes et λ un scalaire, alors ∫I

(f + λg) =∫I

f + λ

∫I

g

(la démonstration est immédiate en intégrant sur un segment puis en passant à la limite).


Cas d’un intervalle non bornéLorsque l’intervalle est du type [a,+∞[ (a fini), il ne suffit pas, pour que l’intégrale

∫ +∞a

f(t)dt converge,que f(t) −→

t→+∞0. Par exemple, 1

t −→t→+∞0 mais l’intégrale

∫ +∞1

dtt diverge. Cette mise en garde est à

rapprocher du résultat analogue dans la théorie des séries numériques : il ne suffit pas que un−→ 0 pourque la série

∑un converge.

Cependant, la situation est plus compliquée que pour les séries numériques : il est possible que l’inté-grale

∫ +∞a

f(t)dt converge sans que l’on ait f(t) −→t→+∞

0.

Exemple 8. Considérons la fonction f définie sur R+ dont le graphe est représenté ci-dessous (la base dutriangle centré en n est égale à 2

n2 ).

x

y

1 2 3 4 5 6 7

1

Pour chaque entier n > 2, l’aire du triangle centré en n est égale à 1n2 . On en déduit que l’intégrale de f

sur R+ est convergente : en effet, pour tout réel x on a, en notant n = dxe, on a∫ x

0f 6

∫ n+ 1n2

0f =

n∑k=2

1k2 6 S,

où S est la somme de la série des 1k2 . La fonction F : x 7→

∫ x0 f étant croissante et majorée, elle admet

une limite finie en +∞, ce qui prouve la convergence de l’intégrale∫ +∞

0 f . Pourtant, la fonction ne tendpas vers 0 en +∞ : pour tout n > 2, on a f(n) = 1.

Remarque 5. En rétrécissant la base du triangle à 2n3 , on peut même avoir celui-ci de hauteur n (avec

une fonction dont l’intégrale converge encore). Ainsi, le fait que l’intégrale de f sur R+ soit convergenten’implique même pas que f soit bornée !

4.1.2 Cas des fonctions positivesDans tout le paragraphe, I désigne un intervalle de R, de bornes a < b (finies ou non).

Théorème (positivité)Soient f : I −→ R une fonction continue par morceaux et positive. Si l’intégrale

∫ baf(t)dt est conver-

gente, on a∫ baf(t)dt > 0.

Démonstration. Immédiate en intégrant sur un segment puis en passant à la limite. Remarquons parailleurs que le résultat reste vrai si la fonction f est seulement presque partout positive.

Remarque 1. Comme conséquence, si les deux fonctions f et g, d’intégrales convergentes, vérifient f 6 g,on a

∫ baf(t)dt 6

∫ bag(t)dt : en effet, la fonction g − f est positive, donc on a

∫ ba

(g − f) > 0, i.e.∫ bag −

∫ baf > 0.

Remarque 2. Rappelons que, les fonctions intégrées n’étant que continues par morceaux, le fait qu’unefonction f positive soit d’intégrale nulle n’implique pas que f soit la fonction nulle : il est possible qu’ellevérifie f(c) > 0 en un point c de discontinuité de f . En revanche, si f est positive, continue et d’intégralenulle, alors f est bien la fonction nulle (la démonstration est identique à celle que vous avez vue l’andernier lorsque l’intervalle d’intégration est un segment).

Pour l’énoncé suivant, on suppose que l’intervalle d’intégration est semi-ouvert.


Théorème (domination, équivalence)Soient f, g : [a, b[ −→ R deux fonctions positives continues par morceaux.

1. Si f(t) ∈ Ob

(g(t)

)et que l’intégrale

∫ bag est convergente, alors l’intégrale

∫ baf est convergente.

2. Si f(t) ∼b g(t), alors l’intégrale∫ baf est convergente si, et seulement si, l’intégrale

∫ bag est

convergente.

Démonstration. Supposons f(t) ∈ O(g(t)

). Choisissons un réel c ∈ [a, b[ et un réel M > 0 tels que, pour

tout t ∈ [c, b[, on ait 0 6 f(t) 6Mg(t). Pour tout x ∈ [c, b[, on a∫ x

c

f 6∫ x

c

Mg = M

∫ x

c

g 6M

∫ b

c

g

(la fonction g est positive et d’intégrale convergente). Comme la fonction f est positive et que la fonctionx 7→

∫ xcf est majorée (par une constante), l’intégrale de f sur l’intervalle [c, b[ est convergente. Elle l’est

aussi sur le segment [a, c], donc l’intégrale de f est convergente sur l’intervalle [a, b[.Supposons maintenant f(t) ∼b g(t). On a en particulier f(t) ∈ Ob

(g(t)

)(donc si g est d’intégrale

convergente, f l’est aussi) et g(t) ∈ Ob

(f(t)

)(donc si f est d’intégrale convergente, g l’est aussi). Les

deux assertions sont donc équivalentes.


0

√t

t2+1 dt est convergente. En effet, la fonction est continue sur l’intervalle(semi-ouvert) [0,+∞[, et vérifie

√t

t2+1 ∼+∞1t3/2 . Comme l’intégrale

∫ +∞1

dtt3/2 est convergente, l’intégrale∫ +∞

1

√t

t2+1 dt l’est aussi, donc l’intégrale∫ +∞

0

√t

t2+1 dt également.

Remarque 3. L’intégrale∫ +∞

01t3/2 dt n’étant pas convergente (à cause du comportement de la fonction au

voisinage de 0), il a fallu faire apparaître l’intervalle [1,+∞[ pour conclure. Dans la pratique, on abrègece genre de rédaction : pour la fonction initiale f , le seul problème qui se posait pour la convergence del’intégrale était au voisinage de +∞. On rédige donc en écrivant : «on a

√t

t2+1 ∼+∞1t3/2 , fonction dont

l’intégrale est convergente au voisinage de +∞, donc l’intégrale de f est convergente au voisinage de+∞».

On dispose bien sûr d’un théorème analogue lorsque l’intervalle d’intégration est semi-ouvert à gauche,de la forme ]a, b]. Lorsque l’intervalle est ouvert aux deux extrémités, il fait faire une étude en chacunedes bornes de l’intervalle.

Exemple 2. Étudions la convergence de l’intégrale∫ 1

0− ln t√t(1−t)

dt.La fonction à intégrer est positive et continue sur l’intervalle ]0, 1[.– Au voisinage de 0, on a t3/4f(t) = − t1/4

√1−t ln t −→

t→ 00, donc f(t) ∈ O0( 1

t3/4 ), fonction dont l’intégrale estconvergente au voisinage de 0.– Au voisinage de 1, on a

√1− tf(t) = − ln t√

t−→t→ 1

0, donc f(t) ∈ O1( 1√1−t ), fonction dont l’intégrale est

convergente au voisinage de 1 (c’est un exemple de Riemann «translaté»).L’intégrale est donc convergente.

Remarque 4. Comme pour les séries numériques, ce n’est pas tant le caractère positif qui importe que lecaractère de signe constant, au moins au voisinage du point en lequel on fait l’étude.

4.1.3 Techniques de calculChangement de variableComme pour l’intégration sur un segment, on dispose d’un théorème de changement de variable. Leshypothèses sont un peu plus restrictives que celles du théorème que vous connaissez déjà, mais n’enrestreignent pas la généralité en pratique.

Pour cet énoncé, nous considérons un intervalle I, de bornes a < b (finies ou non, appartenant ou nonà I), J un intervalle de bornes α et β (on ne précise pas laquelle est la plus petite) et ϕ : J −→ I unebijection de classe C 1 strictement monotone telle que ϕ(u) −→

u→αa et ϕ(u) −→

u→ βb (ainsi, on a α < β si ϕ

est strictement croissante, et β < α si elle est strictement décroissante).


Théorème (changement de variable)Soit f : I −→ K une fonction continue par morceaux. Alors les intégrales∫ b

a

f(t)dt et∫ β

α

f(ϕ(u)

)ϕ′(u)du

sont de même nature (convergentes ou divergentes). En cas de convergence, elles sont égales :∫ b

a

f(t)dt =∫ β

α

f(ϕ(u)

)ϕ′(u)du.

Démonstration. Nous procédons en plusieurs temps.Commençons d’abord par supposer que la fonction f est continue, que l’intervalle I est semi-ouvert, de

la forme I = [a, b[ et que ϕ est strictement croissante (donc on a J = [α, β[). Le théorème de changementde variable (sur le segment [a, ϕ(x)]) montre que, pour tout réel x ∈ [α, β[, on a∫ ϕ(x)

a

f(t)dt =∫ x

α

f(ϕ(u)

)ϕ′(u)du.

– Supposons l’intégrale∫ baf(t)dt convergente : alors la quantité

∫ xaf(t)dt tend vers une limite finie `

lorsque x→ b. Par composition avec la fonction ϕ (qui vérifie ϕ(x) →x→ β

b), on en déduit que

∫ ϕ(x)

a

f(t)dt −→x→ β

`,

i.e. que ∫ x

α

f(ϕ(u)

)ϕ′(u)du −→

x→ β`,

ce qui signifie que l’intégrale∫ βαf(ϕ(u)

)ϕ′(u)du est aussi convergente et a même valeur.

– Réciproquement, supposons l’intégrale∫ βαf(ϕ(u)

)ϕ′(u)du convergente : la quantité

∫ xαf(ϕ(u)

)ϕ′(u)du

tend vers une limite finie ` lorsque x→β. La fonction ϕ−1 étant continue, on a ϕ−1(y) −→y→ b

β d’où, parcomposition : ∫ ϕ−1(y)

α

f(ϕ(u)

)ϕ′(u)du −→

y→ b`,

soit ∫ y

a

f(t)dt −→y→ b

`,

ce qui signifie que l’intégrale∫ baf(t)dt est convergente et a même valeur.

Le cas où I = [a, b[ et la fonction ϕ strictement décroissante se traite de la même façon (on a alorsJ = ]α, β]). Il en est de même des cas où I est semi-ouvert à gauche, de la forme I = ]a, b]. On endéduit alors le résultat dans le cas où l’intervalle I est ouvert, en introduisant un point c ∈ ]a, b[ et entraitant séparément les intégrales sur ]a, c] et sur [c, b[. Enfin, le cas où la fonction f n’est que continuepar morceaux (et non continue) s’en déduit, en découpant l’intervalle d’intégration en autant d’intervallesque nécessaire.

Remarque 1. Ce théorème permet donc de démontrer la convergence d’une intégrale donnée, et decalculer sa valeur. Attention cependant à la rédaction : tant que l’on n’a pas démontré la convergence del’intégrale

∫ baf(t)dt, on ne peut pas parler de sa valeur et dire qu’elle est égale à

∫ βα· · · . On adoptera

alors la rédaction suivante :«le changement de variable t = ϕ(u) transforme l’intégrale I = · · · en l’intégrale J = · · · . On constateque cette dernière est convergente, donc l’intégrale I est aussi convergente, et leurs valeurs sont égales».

Exemple 1. Considérons l’intégrale

I =∫ +∞

e

dtt(ln t)α


(où α est un réel). Le changement de variable t = eu (qui donne dt = eu du) transforme l’intégrale I enl’intégrale

J =∫ +∞

1

duuα

.

Cette intégrale converge si, et seulement si, α > 1, donc l’intégrale I converge si, et seulement si, α > 1.Sous cette hypothèse, on a

I =∫ +∞

1

duuα

=[u1−α

1− α

]+∞

1= 1α− 1 .

Lorsque α 6 1, on n’écrit pas∫ +∞

edt

t(ln t)α =∫ +∞

1duuα : les deux intégrales divergent.


I =∫ 1

0

dt(1− t)α .

Le changement de variable t = 1−u, qui réalise une bijection strictement décroissante de l’intervalle ]0, 1](pour u) vers l’intervalle [0, 1[ (pour t) transforme l’intégrale I en l’intégrale

J =∫ 0

u=1

− duuα

,

i.e.∫ 1u=0

duuα . Cette dernière est convergente si, et seulement si, α < 1, donc c’est aussi le cas de l’intégrale

I (et elles sont alors égales).


I =∫ π

−π

dx5 + 4 cosx.

C’est l’intégrale d’une fonction continue sur le segment [−π, π], donc il n’y a aucun problème de conver-gence. Pour la calculer, la formule cosx = 1−t2

1+t2 (où t = tg x2 ) suggère de «poser» t = tg x

2 , i.e. defaire le changement de variable x = 2 Arctg t. C’est possible car la fonction Arctg réalise une bijection(strictement croissante) de classe C 1 de R sur ]−π, π[. Pour calculer cette intégrale, on la voit donc ar-tificiellement comme une intégrale impropre sur l’intervalle ]−π, π[ (intégrale faussement impropre, doncévidemment convergente). Le changement de variable x = 2 Arctg t donne dx = 2 dt

1+t2 , puis (on peutdirectement écrire les égalités, car on sait que les intégrales convergent)

I =∫ +∞

x=−∞

2 dt1+t2

5 + 4 1−t21+t2

=∫ +∞

−∞

2 dt9 + t2

=[

23 Arctg

(t

3

)]+∞

−∞= 2π

3 .

Remarque 2. Si l’intégrale à calculer avait été∫ 2π

0dx

5+4 cos x , le même changement de variable n’aurait paspu être effectué : lorsque x varie entre π et 2π, il est impossible de l’écrire sous la forme x = 2 Arctg t. Onaurait pu s’en sortir facilement en remarquant que la fonction à intégrer est 2π-périodique ; son intégralesur une période est indépendante de l’intervalle d’intégration choisi, donc cette nouvelle intégrale est égaleà celle que nous venons de calculer.

Intégration par partiesOn dispose, comme pour l’intégrale sur un segment, d’un théorème d’intégration par parties :

Théorème (intégration par parties)Soit I un intervalle d’extrémités a < b (finies ou non) et f, g : I −→ K deux fonctions de classe C 1.On suppose que la fonction fg admet des limites finies en a et b. Alors

1. les intégrales∫ b

a

fg′ et∫ b

a

f ′g sont de même nature ;

2. en cas de convergence, on a l’égalité∫ b

a


]ba−∫ b

a

f(t)g′(t)dt.

4.2. Intégrales absolument convergentes ; fonctions intégrables 63

Démonstration. Commençons par traiter le cas où l’intervalle I est semi-ouvert à droite : I = [a, b[.– Supposons l’intégrale

∫ bafg′ convergente, i.e. que la quantité

∫ xafg′ a une limite finie lorsque x→ b.

Pour tout x ∈ [a, b[, on a (intégration par parties sur un segment) :∫ x

a

fg′ =[fg]xa−∫ x

a

f ′g.

Comme la quantité f(x)g(x) admet par hypothèse une limite finie lorsque x→ b, la quantité∫ xaf ′g aussi,

donc l’intégrale∫ baf ′g est convergente. En passant à la limite lorsque x→ b, on obtient∫ b

a


]ba−∫ b

a

f(t)g′(t)dt.

– Les fonctions f et g jouant des rôles symétriques, la démonstration de la réciproque est identique.Le cas d’un intervalle semi-ouvert à gauche se traite de la même façon. Enfin, le cas d’un intervalle

ouvert se traite en découpant l’intervalle en deux et en utilisant les deux cas précédents.

Dans la pratique, lorsque l’on part d’une intégrale dont on sait déjà qu’elle est convergente, on peutfaire l’intégration par parties (à condition que les limites de fg aux bornes existent et soient finies).Lorsque l’on ne sait pas si l’intégrale de départ est convergente, une intégration par parties permet de lemontrer en la ramenant à une intégrale convergente. Pour cela, il faudra être soigneux dans la rédaction,comme pour le changement de variable. On pourra par exemple écrire : «une intégration par partiestransforme l’intégrale I =

∫ baf(t)g′(t)dt en

[f(t)g(t)

]ba−∫ baf ′(t)g(t)dt. La quantité f(t)g(t) admet une

limite finie en a et b, et l’intégrale∫ baf ′(t)g(t)dt est convergente, donc l’intégrale de départ l’est aussi,

et l’égalité entre les deux membres est vérifiée.»

Exemple 4. Démontrons la convergence de l’intégrale I =∫ +∞

0 te−t dt. Une intégration par partiestransforme l’intégrale I en ∫ +∞

0td(−e−t) =

[− te−t

]+∞0 +

∫ +∞

0e−t dt.

La quantité te−t tend vers 0 en 0 et en +∞, et l’intégrale∫ +∞

0 e−t dt est convergente (c’est du cours),donc l’intégrale I aussi et on a l’égalité

I =∫ +∞

0e−t dt =

[− e−t

]+∞0 = 1.

4.2 Intégrales absolument convergentes ; fonctions intégrables

4.2.1 DéfinitionDans tout ce paragraphe, I désigne un intervalle de R, de bornes a < b (finies ou non) et f : I −→ K

une fonction continue par morceaux.

Définition (intégrale absolument convergente ; fonction intégrable)On dit que l’intégrale

∫ baf(t)dt est absolument convergente si, et seulement si, l’intégrale

∫ ba|f(t)|dt

est convergente. On dit encore que la fonction f est intégrable sur l’intervalle I. On note L1(I,K)l’ensemble des fonctions continues par morceaux et intégrables sur l’intervalle I.

L’ensemble L1(I,K) est un K-espace vectoriel. En effet,– la fonction nulle est clairement intégrable ;– si f et g sont deux fonctions continues par morceaux et intégrables sur I et λ un scalaire, la fonctionf+λg vérifie 0 6 |f+λg| 6 |f |+ |λ||g|, cette dernière étant d’intégrale convergente par somme. Parcomparaison de fonctions positives, on en déduit que l’intégrale

∫I|f + λg| est convergente, donc

que f + λg est encore intégrable.L’application f ∈ L1(I,K) 7→

∫If est linéaire.

Si la fonction est à valeurs complexes, on dispose de la caractérisation suivante :


Proposition (cas des fonctions complexes)Les deux assertions suivantes sont équivalentes :

1. la fonction f est intégrable2. les fonctions <e(f) et =m(f) sont intégrables.

Démonstration. Supposons la fonction f intégrable (i.e. que l’intégrale de |f | est convergente). Des éga-lités 0 6 |<e(f)| 6 |f | et 0 6 |=m(f)| 6 |f |, on tire que les intégrales

∫I|<e(f)| et

∫I|=m(f)| sont

convergentes, i.e. que les fonctions |<e(f)| et =m(f) sont intégrables.Réciproquement, si les fonctions <e(f) et =m(f) sont intégrables, alors les intégrales

∫I|<e(f)| et∫

I|=m(f)| sont convergentes, donc l’intégrale

∫I|<e(f)|+ |=m(f)| l’est aussi par somme, donc l’intégrale∫

I|f | également, car on a 0 6 |f | 6 |<e(f)|+ |=m(f)|. La fonction f est donc intégrable.

Comme pour les séries, un des intérêts de la notion d’absolue convergence est d’entraîner la convergencede l’intégrale :

Théorème (la convergence absolue entraîne la convergence)Si l’intégrale

∫ baf(t)dt est absolument convergente, elle est convergente. De plus, on a∣∣∣∣∣

∫ b

a

f(t)dt

∣∣∣∣∣ 6∫ b

a

|f(t)|dt.

Démonstration. Quitte à découper l’intervalle en deux, il suffit de démontrer le résultat dans chacun descas suivants : I = [a, b[ et I = ]a, b]. Les deux démonstrations étant similaires, nous nous contenterons detraiter le cas I = [a, b[. Pour cela, commençons par traiter le cas des fonctions à valeurs positives. Unetelle fonction vérifie |f | = f , donc si l’intégrale de f est absolument convergente, elle est convergente etelle vérifie

∣∣ ∫ baf(t)dt

∣∣ =∫ ba|f(t)|dt (toutes deux égales à

∫ baf(t)dt).

Traitons maintenant le cas des fonctions à valeurs réelles. Pour cela, introduisons les fonctions f+et f− définies par

f+ = |f |+ f

2 et f− = |f | − f2 .

Ces deux fonctions sont continues par morceaux, à valeurs positives ou nulles et vérifient

0 6 f+ 6 |f | et 0 6 f− 6 |f |.

Par comparaison des fonctions à valeurs positives, on en déduit que les intégrales∫ baf+(t)dt et

∫ baf−(t)dt

convergent (et sont positives). De la relation f = f+ − f−, on déduit que l’intégrale∫ baf(t)dt converge

et vérifie ∫ b

a

f(t)dt =∫ b

a

f+(t)dt−∫ b

a

f−(t)dt.

On a donc ∣∣∣∣∣∫ b

a

f(t)dt

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∫ b

a

f+(t)dt−∫ b

a

f−(t)dt

∣∣∣∣∣6

∣∣∣∣∣∫ b

a

f+(t)dt

∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∫ b

a

f−(t)dt

∣∣∣∣∣=∫ b

a

∣∣f+(t)∣∣dt+

∫ b

a

∣∣f−(t)∣∣dt car f+ et f− sont positives

=∫ b

a

f+(t) + f−(t)dt

=∫ b

a

∣∣f(t)∣∣ dt car |f | = f+ + f−.

4.2. Intégrales absolument convergentes ; fonctions intégrables 65

Traitons enfin le cas des fonctions à valeurs complexes. Pour cela, on écrit la fonction f sous la formef = f1 + if2, où les fonctions f1 et f2 sont à valeurs réelles et continues par morceaux. Les fonctions f1et f2 vérifient |f1| 6 |f | et |f2| 6 |f |. Comme l’intégrale de |f | est convergente, les intégrales de |f1|et |f2|, à valeurs positives, sont convergentes, donc les intégrales de f1 et f2 le sont aussi (cas précédent).Par suite, l’intégrale de f = f1 + if2 est aussi convergente. De plus, pour tout réel x ∈ [a, b[, on a∣∣∣∣∫ x

a

f(t)dt∣∣∣∣ 6 ∫ x

a

∣∣f(t)∣∣dt.

Par passage à la limite, on en déduit que∣∣∣∣∣∫ b

a

f(t)dt

∣∣∣∣∣ 6∫ b

a

∣∣f(t)∣∣dt.


1sin tt2 dt est absolument convergente donc convergente. En effet, pour tout

réel t > 1, on a∣∣ sin tt2

∣∣ 6 1t2 , et l’intégrale

∫ +∞1

dtt2 est convergente.

4.2.2 Fonctions de carré intégrable

DéfinitionUne fonction f : I −→ K, continue par morceaux, est dite de carré intégrable si, et seulement si, lafonction f2 est intégrable.

Remarque 1. Il est équivalent d’exiger que la fonction |f |2 soit intégrable.

L’ensemble de ces fonctions constitue encore un espace vectoriel :

Théorème (l’espace L2(I,K))L’ensemble L2(I,K) des fonctions continues par morceaux de carré intégrables sur I est un K-espacevectoriel. De plus, le produit de deux fonctions de carré intégrable est une fonction intégrable.

Lemme (à retenir)Pour tous réels x, y, on a

xy 6x2 + y2

2 .

Démonstration. L’inégalité s’écrit encore x2 + y2 − 2xy > 0, soit (x− y)2 > 0 : elle est vraie.

Démonstration du théorème. Il est parfaitement clair que la fonction nulle est de carré intégrable, et quesi une fonction f l’est, alors la fonction λf l’est encore pour tout scalaire λ.

Considérons deux fonctions continues par morceaux f, g, de carré intégrable. Alors la fonction fg estcontinue par morceaux, et vérifie, pour tout t ∈ I :

|f(t)g(t)| = |f(t)| · |g(t)| 6 |f(t)|2 + |g(t)|2

2 ,

fonction intégrable par hypothèse. La fonction fg est donc intégrable. On en déduit que la fonction f + gest de carré intégrable, car (f + g)2 = f2 + 2fg + g2, toutes fonctions intégrables.

Dans le cas des fonctions continues à valeurs réelles, on peut définir un produit scalaire sur cetespace de fonctions. Pour cela, convenons de noter L2

c(I,R) l’ensemble des fonctions continues et de carréintégrable de I à valeurs réelles. Il est clair que c’est un sous-espace vectoriel de l’espace L2(I,R).

Proposition (produit scalaire sur l’espace L2c(I,R))

L’application (f, g) 7→ 〈f | g〉 =∫If(t)g(t)dt définit un produit scalaire sur l’espace vectoriel L2

c(I,R).


Démonstration. L’application est clairement bilinéaire (i.e. linéaire par rapport à f et par rapport à g),symétrique (elle vérifie 〈f | g〉 = 〈g | f〉) et positive (pour toute fonction f ∈ L2

c(I,R), on a 〈f | f〉 =∫If2 > 0 car la fonction f2 est positive). Reste à démontrer que, si l’on a 〈f | f〉 = 0, alors f est la

fonction nulle. C’est bien le cas car alors la fonction f2 est positive, continue et d’intégrale nulle surl’intervalle I, donc c’est la fonction nulle.

Remarque 2. On comprend pourquoi, pour obtenir un produit scalaire, on doit se restreindre à neconsidérer que des fonctions continues : si f n’est que continue par morceaux, il est possible que l’intégralede f2 soit nulle sans que la fonction f soit nulle pour autant.

Théorème (inégalité de Cauchy-Schwarz)Soient f, g deux fonctions continues par morceaux sur l’intervalle I, de carré intégrable. On a∣∣∣∣∫

I

fg

∣∣∣∣ 6√∫

I

f2

√∫I

g2.

Démonstration. Dans le cas où les fonctions sont continues, on reconnaît l’inégalité de Cauchy-Schwarzassociée au produit scalaire défini par 〈f | g〉 =

∫Ifg sur l’espace L2

c(I,R). Mais, comme nous l’avonsremarqué, cette formule ne définit pas un produit scalaire sur l’espace L2(I,R) des fonctions qui ne sontque continues par morceaux. Nous allons donc démontrer la formule dans ce cas (la démonstration est enfait la même que dans le cas classique d’un produit scalaire).

Soient donc f, g ∈ L2(I,R). Définissons la fonction P par

∀x ∈ R, P (x) =∫I

(f(t) + xg(t)

)2 dt.En développant, il vient

P (x) =(∫

I

g2)x2 +

(2∫I

fg

)x+

∫I

f2 :

la fonction est polynomiale de degré inférieur ou égal à 2. Pour tout réel x, on a aussi P (x) > 0 (intégraled’une fonction positive).– Si

∫Ig2 = 0, la fonction est en fait une fonction affine, qui ne prend que des valeurs positives. Sa pente

2∫Ifg est nécessairement nulle (sinon, elle tendrait vers −∞ en +∞ ou en −∞). L’inégalité à démontrer

est alors évidente : elle s’écrit 0 6 0.– Sinon, la fonction P est de degré 2 exactement. Comme elle ne change pas de signe, son discriminantest négatif ou nul, ce qui donne

4(∫

I

fg

)2− 4

∫I

f2∫I

g2 6 0,

d’où l’inégalité à démontrer.

4.3 Comparaison d’une série à une intégraleLa théorie des séries numériques et celle de l’intégration des fonctions sur l’intervalle R+ présente de

nombreuses similarités. En particulier, on peut, dans certains cas, faire le lien entre la convergence d’unesérie et la convergence d’une intégrale.

Théorème (comparaison série-intégrale)Soit f : [0,+∞[ −→ R+ une fonction continue par morceaux, décroissante, à valeurs positives. Alorsla série

∑f(n) converge si, et seulement si, l’intégrale

∫ +∞0 f(t)dt est convergente.

Démonstration. La fonction f étant décroissante, on a l’encadrement∫ k+1

k

f 6 f(k) 6∫ k

k−1f

pour tout entier k ∈ N (k > 1 pour l’inégalité de droite).

4.3. Comparaison d’une série à une intégrale 67

t

f(t)

k − 1 k k + 1

f(k)

Par sommation pour k ∈ [[1, n]], on obtient∫ n+1

1f(t)dt 6

n∑k=1

f(k) 6∫ n

0f(t)dt.

En ajoutant l’inégalité∫ 1

0 f(t)dt 6 f(0) 6 f(0), on obtient∫ n+1

0f(t)dt 6

n∑k=0

f(k) 6 f(0) +∫ n

0f(t)dt.

– Supposons la série∑f(n) convergente. Étant à termes positifs, ses sommes partielles sont majorées

par la somme de la série et on obtient ∫ n+1

0f(t)dt 6

∞∑k=0

f(k).

La fonction f étant positive, la fonction F : x 7→∫ x

0 f(t)dt est croissante. Si elle n’admettait pas delimite finie en +∞, elle divergerait vers +∞, ce qui est contradiction avec la majoration ci-dessus. Doncelle admet une limite finie, ce qui signifie que la fonction f est intégrable.– Réciproquement, supposons la fonction intégrable. La fonction f étant positive, les intégrales

∫ n0 f sont

toutes majorées par l’intégrale∫ +∞

0 f . On a donc

n∑k=0

f(k) 6 f(0) +∫ +∞

0f(t)dt :

les sommes partielles de la série à termes positifs∑f(k) sont majorées par une constante. Cette série est

donc convergente.

Remarque 1. Ce théorème s’étend bien sûr au cas où la fonction est définie sur l’intervalle [a,+∞[(a ∈ N∗) : on a alors équivalence entre la convergence de l’intégrale

∫ +∞a

f(t)dt et la convergence de lasérie

∑n>a f(n).

Exemple 1. Soit α un réel strictement positif. Déterminons la nature de la série∑ 1

n(lnn)α (dont le termegénéral n’est défini qu’à partir du rang 2). Pour cela, introduisons la fonction f : t 7→ 1

t(ln t)α , définie surl’intervalle [2,+∞[. Cette fonction est continue, décroissante (car α > 0) et à valeurs positives. La sérieconverge donc si, et seulement si, la fonction f est intégrable. Or, pour tout x > 2, le changement devariable t = eu (qui donne dt = eu du et u = ln t) transforme l’intégrale

I =∫ +∞

2

dtt(ln t)α

enJ =

∫ +∞

u=ln 2

duuα

.

Cette dernière est convergente si, et seulement si, α > 1, donc l’intégrale I est convergente si, et seulementsi, α > 1, et il en est de même de la série

∑ 1n(lnn)α .

Remarque 2. Cette technique de comparaison d’une série à une intégrale permet en outre (sous les mêmeshypothèses) d’obtenir un encadrement du reste (en cas de convergence) ou de la somme partielle (en casde divergence).


Exemple 2. Reprenons l’exemple de la série∑ 1

n(lnn)α , où α est un réel strictement positif. Grâce à ladécroissance de la fonction, on a, pour tout entier k > 3, l’encadrement∫ k+1

k

dtt(ln t)α 6

1k(ln k)α 6

∫ k

k−1

dtt(ln t)α .

t

1t(ln t)α

k − 1 k k + 1

1k(ln k)α

– Supposons α > 1 (l’intégrale et la série convergent). En sommant pour k variant de n à l’infini, onobtient ∫ +∞

n

dtt(ln t)α 6

∞∑k=n

1k(ln k)α 6

∫ +∞

n−1

dtt(ln t)α ,

soit, par le changement de variable t = eu :∫ +∞

u=lnn

duuα

6∞∑k=n

1k(ln k)α 6

∫ +∞

u=ln(n−1)

duuα

,

qui s’écrit encore(lnn)1−α

α− 1 6∞∑k=n

1k(ln k)α 6

(ln(n− 1)

)1−αα− 1 .

Or on a (ln(n− 1)

lnn

)1−α=( lnn+ ln(1− 1

n )lnn

)1−α

=(

1−O(

1n

))1−α−→n→∞

1,

donc (lnn)1−α ∼(

ln(n− 1))1−α. On a donc obtenu un équivalent du reste de la série :

∞∑k=n

1k(ln k)α ∼

(lnn)1−α

α− 1 .

Ce reste tend vers 0 très lentement, ce qui indique une convergence très lente de la série∑ 1

k(ln k)α .– Supposons maintenant α = 1 (l’intégrale et la série divergent). Sommons les encadrements pour kvariant de 3 à n (surtout pas jusqu’à l’infini : il n’y a pas convergence !) : on obtient∫ n+1

3

dtt ln t 6

n∑k=3

1k ln k 6

∫ n

2

dtt ln t ,

soit

ln(ln(n+ 1))− ln(ln 3) 6n∑k=3

1k ln k 6 ln(lnn)− ln(ln 2).

Or on a

ln(ln(n+ 1)) = ln(lnn+ ln(1 + 1n )) = ln(lnn+ o(1)) = ln(lnn) + ln(1 + o( 1

lnn )) ∼ ln(lnn),

d’où l’on déduit l’équivalentn∑k=2

1k ln k ∼ ln(lnn)

4.3. Comparaison d’une série à une intégrale 69

(les constantes sont négligeables devant ln(lnn)). La série diverge mais extrêmement lentement.– Supposons enfin α ∈ ]0, 1[ (l’intégrale et la série divergent toujours). La même sommation que dans lecas α = 1 fournit cette fois-ci ∫ n+1

3

dtt(ln t)α 6

n∑k=3

1k(ln k)α 6

∫ n

2

dtt(ln t)α ,

soit (ln(n+ 1)

)1−α − (ln 3)1−α

1− α 6n∑k=3

1k(ln k)α 6

(lnn)1−α −(

ln 2)1−α

1− α .

On a encore l’équivalent(

ln(n+ 1))α ∼ (lnn)α, d’où l’on tire cette fois-ci

n∑k=2

1k(ln k)α ∼

(lnn)1−α

1− α .

Remarque 3. Cette méthode de comparaison d’une série à une intégrale s’applique encore dans le cas où lafonction f est croissante et à valeurs positives. Dans ce cas, la série et l’intégrale divergent grossièrement,mais on a l’encadrement

∫ kk−1 f(t)dt 6 f(k) 6

∫ k+1k

f(t)dt valable pour tout k, ce qui permet d’obtenirun encadrement de la somme partielle de la série divergente.

Exemple 3. Soit α un réel strictement positif. La fonction t 7→ tα est croissante sur R+. Pour tout entierk > 1, on a donc ∫ k

k−1tα dt 6 kα 6

∫ k+1

k

tα dt,

d’où, par sommation : ∫ n

0tα dt 6

n∑k=1

kα 6∫ n+1

1tα dt,

soitnα+1

α+ 1 6n∑k=1

kα 6(n+ 1)α+1 − 1

α+ 1 .

On en déduit l’équivalentn∑k=1

kα ∼ nα+1

α+ 1 .

En raffinant un peu cette technique de comparaison d’une série à une intégrale, on démontre la

Théorème (formule de Stirling)On a l’équivalent

n! ∼(ne

)n√2πn.

Démonstration (non exigible). Traitée en TD.



1. Que signifie, par définition, que l’intégrale de la fonction f , définie et continue par morceaux sur unintervalle [a, b[, est convergente ?

2. L’intégrale de la fonction ln est-elle convergente sur l’intervalle ]0, 1] ?

3. Soit f : [0,+∞[ une fonction continue par morceaux dont l’intégrale converge. Peut-on en déduire quef(x) −→

x→+∞0 ?

4. Soit f : [0,+∞[ une fonction continue par morceaux telle que f(x) −→x→+∞

0. Peut-on en déduire que

l’intégrale∫ +∞

0 f converge ?

5. Soit f : [0,+∞[ une fonction positive, continue par morceaux, décroissante, dont l’intégrale converge.Peut-on en déduire que f(x) −→

x→+∞0 ?

6. Soit f : R −→ R une fonction continue par morceaux. Si la quantité∫ x−x f admet une limite finie lorsque x

tend vers +∞, peut-on en déduire que l’intégrale∫∞−∞ f converge ?

7. Soit f : R −→ R une fonction continue par morceaux à valeurs positives. Si la quantité∫ x−x f admet une

limite finie lorsque x tend vers +∞, peut-on en déduire que l’intégrale∫∞−∞ f converge ?

8. Soit I un intervalle borné et f : I −→ K une fonction continue par morceaux. Si f est bornée, peut-onaffirmer que l’intégrale

∫If converge ?

9. Soit I un intervalle borné et f : I −→ K une fonction continue par morceaux. Si l’intégrale∫If converge,

peut-on affirmer que f est bornée ?

10. Que sont les exemples de Riemann d’intégrales convergentes ou divergentes ?

11. Soient f, g : [a, b[ −→ K deux fonctions continues par morceaux telles que f ∈ Ob(g). Si l’intégrale∫ bag

converge, peut-on en déduire que l’intégrale∫ baf converge ?

12. Soient f, g : [a, b[ −→ K deux fonctions continues par morceaux telles que f ∈ Ob(g), et f à valeursdans R+. Si l’intégrale

∫ bag converge, peut-on en déduire que l’intégrale

∫ baf converge ?

13. Soient f, g : [a, b[ −→ K deux fonctions continues par morceaux telles que f ∈ Ob(g), et g à valeursdans R+. Si l’intégrale

∫ bag converge, peut-on en déduire que l’intégrale

∫ baf converge ?

14. Qu’est-ce que l’absolue convergence ? La convergence entraîne-t-elle l’absolue convergence ? L’absolueconvergence entraîne-t-elle la convergence ?

15. Soient f, g : [a, b[ −→ R deux fonctions continues par morceaux telles que f ∼b g et f > 0. On supposeque l’intégrale

∫ baf converge ; peut-on en déduire que l’intégrale

∫ bag converge ?

16. Expliquer par un dessin la méthode de comparaison d’une série à une intégrale. Dans quel cas (hypothèsesur la fonction ?) cette méthode s’applique-t-elle ?

17. Soit α > 1. Donner un équivalent du reste Rn de la série∑ 1

nα .

18. Trouver un exemple de fonction f : R+ −→ R+ continue, dont l’intégrale converge, mais telle que la série∑f(n) diverge. Pourquoi le théorème du cours ne s’applique-t-il pas ?

19. Soit f : R+ −→ R+ une fonction continue par morceaux, décroissante, dont l’intégrale converge. Donnerun encadrement faisant intervenir les quantités

∫ +∞0 f et

∑∞n=0 f(n).


4.4.2 Réponses2.Oui (faire une intégration par parties).3.Non : revoir la fonction «pic» du cours.4.Non : par exemple f(x) = 1

x+1 .5.Oui : la fonction étant positive et décroissante, elle converge vers une limite ` > 0. Si cette limite était

strictement positive, on aurait ∫ x

0f >

∫ x

0` = `x −→

x→+∞+∞,

donc l’intégrale divergerait. Donc ` = 0. Noter que le résultat subsiste même en supprimant l’hypothèse«à valeurs positives» : il faut commencer par démontrer que f ne peut ni diverger vers −∞, ni convergervers une limite ` < 0.

6.Non : prendre n’importe quelle fonction impaire dont l’intégrale diverge ; la quantité∫ x−x f est toujours

nulle, donc admet une limite finie.7.Oui : en notant ` la limite, on a, pour tout réel x > 0,∫ x

0f 6

∫ x

−xf 6 `

par positivité de la fonction. La fonction x 7→∫ x

0 f étant croissante et majorée, elle admet une limitefinie en +∞, ce qui signifie que l’intégrale

∫ +∞0 f converge. L’argument est identique pour montrer la

convergence de l’intégrale∫ 0−∞ f .

8.Oui : f bornée signifie f ∈ O(1). La fonction constante égale à 1 a une intégrale convergente sur I (carcelui-ci est borné), donc l’intégrale

∫I|f | converge, donc l’intégrale

∫If aussi.

9.Non : par exemple, f(x) = 1√xsur I = ]0, 1].

11.Non : prendre une fonction g dont l’intégrale est semi-convergente (i.e. telle que∫ bag converge mais pas∫ b

a|g|) et f = |g|.

12.Non : même contre-exemple.

13.Oui : les fonctions |f | et g sont à valeurs positives,∫ bag converge et |f | ∈ Ob(g). L’intégrale

∫ ba|f | est donc

convergente, donc l’intégrale∫ baf est absolument convergente, donc convergente.

15.Oui : on est ramenés au théorème du cours (les fonctions |g| et f sont à valeurs positives, donc l’intégrale∫ ba|g| converge, donc l’intégrale

∫ bag aussi).

16.Elle s’applique lorsque la fonction f est monotone, ce qui permet d’encadrer f(n) par deux intégrales,puis de sommer.

17.En sommant l’encadrement ∫ n+1

n

dttα

6 f(n) 6∫ n

n−1

dttα

(décroissance de la fonction), on obtient l’encadrement

1(α− 1)nα−1 6 Rn 6

1(α− 1)(n− 1)α−1 ,

d’où l’équivalentRn ∼

1(α− 1)nα−1 .

18.La fonction «pic» du cours convient : elle vérifie f(n) = 1 pour tout entier n, donc la série∑f(n) diverge.

C’est l’hypothèse de décroissance de la fonction f qui fait ici défaut.19.On a l’encadrement

∞∑n=0

f(n)− f(0) 6∫ +∞

0f 6

∞∑n=0

f(n)

(sommer l’encadrement f(n+ 1) 6∫ n+1n

f 6 f(n)).


Chapitre 5Espaces vectoriels normés

Dans tout ce chapitre, K désigne R ou C.

5.1 Normes5.1.1 Définitions et exemplesa) Définition

Soit E un K-espace vectoriel.

Définition (norme)Une norme sur E est une application N : E −→ R vérifiant les trois propriétés suivantes :

1. ∀x ∈ E, N(x) > 0, avec égalité si, et seulement si, x = 02. ∀x ∈ E,∀λ ∈ K, N(λx) = |λ|N(x)3. ∀x, y ∈ E, N(x+ y) 6 N(x) +N(y) (inégalité triangulaire).

Un espace vectoriel muni d’une norme est appelé espace vectoriel normé. La norme d’un vecteur estsouvent notée ||x|| au lieu de N(x).

Exemple 1. Si E est un R-espace vectoriel muni d’un produit scalaire noté 〈· | ·〉, la norme || · || définiepar

||x|| =√〈x | x〉

est bien une norme au sens défini ci-dessus.

Remarque 1. Dans un espace vectoriel normé, on a aussi l’autre inégalité triangulaire :∣∣||x|| − ||y||∣∣ 6 ||x+ y||.

En effet, il suffit d’écrire||x|| = ||(x+ y) + (−y)|| 6 ||x+ y||+ ||y||

et||y|| = ||(x+ y) + (−x)|| 6 ||x+ y||+ ||x||

pour obtenir l’encadrement souhaité.

Une norme sur un espace vectoriel permet de mesurer la distance entre deux vecteurs :

Définition (distance)Soit || · || une norme sur l’espace vectoriel E. La distance associée est l’application

d : E × E −→ R+(x, y) 7−→ d(x, y) = ||x− y||

.

Elle vérifie les propriétés suivantes :

73

74 Chapitre 5. Espaces vectoriels normés

1. ∀x, y ∈ E, d(x, y) = 0⇐⇒ y = x

2. ∀x, y, z ∈ E, d(x, z) 6 d(x, y) + d(y, z)

(en effet, il suffit d’écrire que z − x = (z − y) + (y − x)).

b) Normes usuelles sur Kn

Exemple 2. Sur l’espace E = Rn, la norme euclidienne est définie par

∀x = (x1, . . . , xn), ||x||2 =√x2

1 + · · ·+ x2n :

c’est la norme associée au produit scalaire canonique sur Rn.

Exemple 3. Sur l’espace E = Cn, la norme hermitienne est définie par

∀x = (x1, . . . , xn), ||x||2 =√|x1|2 + · · ·+ |xn|2 =

√x1x1 + · · ·+ xnxn.

La seule chose non évidente à vérifier est l’inégalité triangulaire. Pour la vérifier, considérons deux vecteursx et y de Cn. Il s’agit de démontrer que

n∑i=1|xi + yi|2 6

n∑i=1|xi|2 +

n∑i=1|yi|2 + 2

√√√√ n∑i=1|xi|2

√√√√ n∑i=1|yi|2,

soit encore, en développant le membre de gauche, que

2<e(

n∑i=1

xiyi

)6 2

√√√√ n∑i=1|xi|2

√√√√ n∑i=1|yi|2.

Pour cela, il suffit de démontrer que∣∣∣∣∣n∑i=1

xiyi

∣∣∣∣∣ 6√√√√ n∑

i=1xixi

√√√√ n∑j=1

yjyj ,

ce qui s’écrit encore (n∑i=1

xiyi

) n∑j=1

xjyj

6

(n∑i=1

xixi

) n∑j=1

yjyj

,

soit (n∑i=1

xiyi

) n∑j=1

xjyj

6

(n∑i=1

xixi

) n∑j=1

yjyj

,

ou encore ∑16i,j6n

xiyixjyj 6∑

16i,j6nxixiyjyj .

Après suppression des termes correspondant à j = i, égaux des deux côtes de l’inégalité et regroupementdu terme obtenu pour le couple (i, j) (i > j) avec celui obtenu pour le couple (j, i), il reste à démontrerque

0 6∑

16i<j6nxixiyjyj + xjxjyiyi − xiyixjyj − xjyjxiyi,

c’est-à-dire que0 6

∑16i<j6n

|xiyj − xjyi|2,

ce qui est vrai.

5.1. Normes 75

Exemple 4. Sur Kn, l’application || · ||1 définie par

∀x = (x1, . . . , xn) ∈ Kn, ||x||1 = |x1|+ · · ·+ |xn|

est une norme. En effet, les deux premières propriétés sont clairement vérifiées. Démontrons l’inégalitétriangulaire. Pour cela, choisissons deux vecteurs x, y ∈ Kn. On a alors

||x+ y||1 = |x1 + y1|+ · · ·+ |xn + yn| 6 |x1|+ |y1|+ · · ·+ |xn|+ |yn| = ||x||1 + ||y||1.

Dans le cas réel, cette norme n’est pas issue d’un produit scalaire : sinon, on retrouverait le produitscalaire par la formule

〈x | y〉 = ||x+ y||21 − ||x||21 − ||y||212 .

Or, à y fixé, l’application x 7→ ||x+y||21−||x||21−||y||

21

2 n’est pas linéaire !

Exemple 5. Sur le même espace Kn, l’application || · ||∞ définie par :

∀x = (x1, . . . , xn) ∈ Kn, ||x||∞ = max(|x1|, . . . , |xn|)

est également une norme. À nouveau, seule l’inégalité triangulaire n’est pas triviale. Choisissons deuxvecteurs x, y ∈ Kn. Considérons ensuite l’entier p (resp. q) tel que

|xp| = max(|x1|, . . . , |xn|) = ||x||∞ et |yq| = max(|y1|, . . . , |yn|) = ||y||∞.

Pour tout entier i ∈ [[1, n]], on a

|xi + yi| 6 |xi|+ |yi| 6 |xp|+ |yq| = ||x||∞ + ||y||∞.

L’inégalité étant valable pour tout entier i ∈ [[1, n]], on en déduit que

max(|x1 + y1|, . . . , |xn + yn|) 6 ||x||∞ + ||y||∞,

c’est-à-dire la formule ||x+y||∞ 6 ||x||∞+||y||∞. Cette norme n’est pas non plus issue d’un produit scalaire.

c) Normes dans les espaces de fonctions

On peut mesurer la distance entre fonctions de bien des façons différentes. En voici deux, dont nousverrons qu’elles sont bien différentes l’une de l’autre.

Norme uniformeSoit E = B(I,K) l’ensemble des fonctions bornées d’un intervalle I de R (ou réunion d’intervalles) àvaleurs dans K. Notons, pour f ∈ E,

||f ||∞ = supt∈I|f(t)|

(ce qui a bien un sens car la fonction f est bornée). Démontrons que l’application || · ||∞ définit une normesur E.– On a ||f ||∞ > 0 pour toute fonction f ∈ E, avec égalité si, et seulement si, la fonction f est la fonctionnulle.– Pour tout scalaire λ ∈ K, on a également ||λf ||∞ = |λ| ||f ||∞.– Démontrons que l’inégalité triangulaire est également vérifiée. Pour cela, soient f, g deux fonctionsappartenant à E. Pour tout réel t ∈ I, on a

|(f + g)(t)| = |f(t) + g(t)| 6 |f(t)|+ |g(t)| 6 ||f ||∞ + ||g||∞.

Par suite, on asupt∈I|(f + g)(t)| 6 ||f ||∞ + ||g||∞,

soit||f + g||∞ 6 ||f ||∞ + ||g||∞.

Définition (norme uniforme)La norme || · ||∞ sur l’espace E est appelée norme uniforme (ou norme de la convergence uniforme, ounorme infini).


Remarque 2. Si I est un segment de R (rappelons que c’est un intervalle fermé et borné, du type [a, b]),toutes les fonctions continues définies sur I sont bornées. L’application || · ||∞ définit donc une norme surl’espace C ([a, b],K).

Remarque 3. Une fonction périodique définie sur R et continue est également bornée : en effet, si Test une période de f , la fonction est bornée sur le segment [0, T ], donc sur R (elle reprend les mêmesvaleurs que sur le segment [0, T ]...). L’application || · ||∞ définit donc une norme sur l’espace des fonctionsT -périodiques continues.

Norme de la convergence en moyenneRappelons que, si I est un intervalle, on note L1

c(I,K) l’ensemble des fonctions continues définies sur I,à valeurs dans K et intégrables, et que cet ensemble est un K-espace vectoriel.

Proposition (norme de la convergence en moyenne)L’application f 7→ ||f ||1 =

∫I|f | est une norme sur L1

c(I,K), appelée norme de la convergence enmoyenne.

Démonstration. Soient f, g ∈ L1c(I,K) et λ un scalaire. On a :

||λf ||1 =∫I

|λf | = |λ|∫I

|f | = |λ| · ||f ||1

et, pour tout t ∈ I, |f(t) + g(t)| 6 |f(t)|+ |g(t)|, d’où

||f + g||1 =∫I

|f + g| 6∫I

|f |+ |g| =∫I

|f |+∫I

|g| = ||f ||1 + ||g||1.

On a bien sûr ||f ||1 > 0. De plus, si ||f ||1 = 0, i.e. si∫I|f | = 0, alors la fonction |f | est la fonction nulle

(car elle est continue et positive), donc f = 0.

5.1.2 Ouverts, fermésDans la suite, E désigne un K-espace vectoriel muni d’une norme, notée || · ||. La distance associée est

notée d.

Définition (boules et sphères)Soit a un point de E, r un réel strictement positif. La boule ouverte (resp. boule fermée) de centre aet de rayon r est l’ensemble

B(a, r) = x ∈ E | d(a, x) < r

resp.Bf (a, r) = x ∈ E | d(a, x) 6 r.

La sphère de centre a et de rayon r est l’ensemble

S (a, r) = x ∈ E | d(a, x) = r.

B(a, r)

a

r

Bf (a, r)

a

r

S (a, r)

a

r

Figure 5.1 – Boules et sphères

5.1. Normes 77

Définition (partie ouverte)Une partie U non vide de E est dite ouverte si, et seulement si,

∀a ∈ U, ∃ε > 0 | B(a, ε) ⊂ U.

On convient que l’ensemble vide est ouvert.

a

ε

U

Figure 5.2 – Une partie ouverte

Exemple 1. Dans R2 muni de la norme euclidienne, considérons U1 = x = (x1, x2) ∈ R2 | x1 > 0.

a

a1

ε

U1

x10

La partie U1 est un ouvert : en effet, soit a = (a1, a2) ∈ U1 : alors a1 > 0. Posons ε = a1/2 : on aB(a, ε) ⊂ U1.

Exemple 2. Considérons maintenant U2 = x = (x1, x2) ∈ R2 | x1 > 0.

U2

x1

La partie U2 n’est pas un ouvert : en effet, considérons le point O = (0, 0) ∈ U2. Pour tout réel ε > 0, laboule B(O, ε) « déborde » de U2 : le point (− ε2 , 0) appartient à cette boule mais pas à U2.

Exemple 3. Une boule ouverte B(a, r) est ouverte


a

xd

ε

En effet, soit x appartenant à cette boule et d = d(a, x) : on a 0 6 d < r. Alors, pour tout réel ε < r− dla boule B(x, ε) est incluse dans B(a, r) car, si y appartient à cette boule, alors

d(a, y) 6 d(a, x) + d(x, y) < d+ r − d = r.

Exemple 4. Une boule fermée Bf (a, r) n’est pas ouverte : en effet, les points x de la sphère S (a, r) nevérifient pas la condition : toute boule ouverte de centre x et de rayon ε, aussi petit ce dernier soit-il,« déborde » de la boule Bf (a, r).

a

Définition (partie fermée)Une partie A ⊂ E est dite fermée si, et seulement si, son complémentaire U = EA est ouvert.

Exemple 5. L’ensemble vide, la partie U2 = (x1, x2) ∈ R2 | x1 > 0, les boules fermées... sont desfermés.

Attention! Dire que les fermés sont les complémentaires des ouverts ne signifie en aucun cas qu’unepartie est soit ouverte, soit fermée. De même que dans R pour les intervalles, une partie de E n’est engénéral ni ouverte ni fermée.

Proposition (intersections et réunions d’ouverts ou de fermés)Soit E un espace vectoriel normé. Soient A1, . . . , An des ouverts de E et B1, . . . , Bn des fermés de E.Alors– les ensembles A1 ∩ · · · ∩An et A1 ∪ · · · ∪An sont ouverts ;– les ensembles B1 ∩ · · · ∩Bn et B1 ∪ · · · ∪Bn sont fermés.

Démonstration. Démontrons que la partie A = ∪ni=1Ai est ouverte. Pour cela, choisissons un point a ∈ A,et considérons un indice i ∈ [[1, n]] tel que a appartienne à l’ouvert Ai. Il existe un réel ε > 0 tel queB(a, ε) ⊂ Ai. Ce réel vérifie donc B(a, ε) ⊂ A, donc A est ouverte.

Démontrons maintenant que l’ensemble A′ = A1 ∩ · · · ∩An est ouvert. Pour cela, choisissons un pointa ∈ A′. Pour chaque i ∈ [[1, n]], a appartient à l’ouvert Ai, donc il existe un réel εi tel que B(a, εi) ⊂ Ai.Posons ε = min(ε1, . . . , εn). On a alors B(a, ε) ⊂ Ai pour tout i ∈ [[1, n]], donc B(a, εi) ⊂ A′, ce quiprouve que A′ est ouvert.

Le résultat sur les fermés s’en déduit pas passage au complémentaire : en effet, pour montrer queB = ∩ni=1Bi est fermé, il faut montrer que son complémentaire EB est ouvert. Or

EB = E

(n⋂i=1

Bi

)=

n⋃i=1

EBi

est ouvert en tant qu’intersection d’un nombre fini d’ouverts, donc B est fermé. La démonstration estsimilaire pour une l’union.

5.1. Normes 79

Définition (partie bornée)Une partie A de E est dite bornée si, et seulement si, il existe un réel positif R tel que A ⊂ B(O,R).

Exemple 6. Les boules ouvertes et fermées sont bornées ; les parties U1 et U2 des exemples précédents nele sont pas.

Définition (intérieur)Soit A une partie de E. Un point a ∈ A est dit intérieur à A si, et seulement si, il existe un réel ε > 0tel que B(a, ε) ⊂ A.L’ensemble des points intérieurs à A est noté

A : c’est l’intérieur de A (c’est une partie de A).

Remarque 1. Une partie A est donc ouverte si, et seulement si, elle est égale à son intérieur. Dans lesautres cas, l’inclusion

A⊂ A est stricte.

Définition (adhérence)Soit A une partie de E et x un point de E. On dit que x est adhérent à A si, et seulement si, touteboule ouverte de centre x rencontre A.L’ensemble des points adhérents à A est noté A : c’est l’adhérence de A.

a /∈ A

A

a ∈ A

A

Autrement dit : les points de l’adhérence A de A sont les points qui, s’ils n’appartiennent pas néces-sairement à A, en sont aussi proches que possible (à distance nulle). En particulier, tout point de A estadhérent à A. C’est en ces points que l’on pourra parler de limite (éventuelle) d’une fonction définie surla partie A.

Définition (frontière)

La frontière d’une partie A de E est l’ensemble Fr(A) = A\A.

Exemple 7. La frontière de la boule fermée de centre a et de rayon r est la sphère de centre a et derayon r ; c’est aussi la frontière de la boule ouverte B(a, r).

Définition (segment)Soient a, b deux vecteurs de E. Le segment d’extrémités a et b est l’ensemble, noté [a, b], des vecteurspouvant s’écrire sous la forme x = ta+ (1− t)b, où t ∈ [0, 1].

L’application t ∈ [0, 1] 7→ ta+ (1− t)b est une paramétrisation du segment (pour t = 0, on obtient b, pourt = 1, on obtient a, pour t = 1

2 , le milieu de [a, b]).


Définition (partie convexe)Une partie A non vide de E est dite convexe si, et seulement si, pour tous a, b ∈ A, le segment [a, b]est inclus dans A. On convient que l’ensemble vide est convexe.

Exemple 8. L’ensemble E est convexe ; tout sous-espace vectoriel de E est convexe.

Proposition (convexité des boules)Toute boule, ouverte ou fermée, est une partie convexe.

Démonstration. Démontrons le résultat pour la boule ouverte de centre ω et de rayon r > 0, la démons-tration est similaire pour les boules fermées. Soient donc a, b ∈ B(ω, r) : ils vérifient d(ω, a) < r etd(ω, b) < r. Il s’agit de montrer que, pour tout réel t ∈ [0, 1], le vecteur x = ta + (1 − t)b appartientencore à B(ω, r). Pour t = 0 ou t = 1, c’est évident. Dans les autres cas, on a

d(ω, x) = ||x− ω|| = ||ta+ (1− t)b− tω − (1− t)ω|| = ||t(a− ω) + (1− t)(b− ω)||6 t||a− ω||+ (1− t)||b− ω|| car t > 0 et 1− t > 0= td(ω, a) + (1− t)d(ω, b) < tr + (1− t)r car t > 0 et 1− t > 0= r

5.1.3 Suites à valeurs dans E

Dans tout ce paragraphe, E désigne un espace vectoriel normé. On note || · || sa norme et d la distanceassociée.

Définition (convergence d’une suite)Soit (xn)n∈N une suite à valeurs dans E et ` un point de E. On dit que la suite (xn)n converge vers `,on note xn −→

n→∞`, si, et seulement si, la suite numérique d(xn, `) tend vers 0 lorsque n tend vers

l’infini.

En langage formalisé :

xn −→n→∞

`⇐⇒ ∀ε > 0,∃N ∈ N | ∀n > N, d(xn, `) 6 ε.

Théorème (unicité de la limite)Soit (xn)n∈N une suite à valeurs dans E, `1 et `2 deux points de E. Si xn −→

n→∞`1 et xn −→

n→∞`2, alors

`2 = `1.

Démonstration. Raisonnons par l’absurde en supposant `2 6= `1. Posons alors ε = d(`2,`1)3 : c’est un réel

strictement positif.

ε

`1

d `2

5.1. Normes 81

Choisissons deux entiers N1 et N2 tels que, pour tout entier n > N1 (resp. n > N2), on ait d(xn, `1) 6 ε(resp. d(xn, `2) 6 ε) et considérons l’entier N = max(N1, N2) : il vérifie N > N1 et N > N2, donc on a

d(`2, `1) 6 d(xN , `2) + d(xN , `1) 6 ε+ ε = 2 d(`2, `1)3 ,

ce qui est absurde.

On pourra donc, dans le cas où une suite admet une limite, parler de sa limite ; celle-ci sera notée

` = limn→∞

xn.

Définition (suite convergente)Une suite est dite convergente si, et seulement si, elle admet une limite. Dans le cas contraire, elle estdite divergente.

Remarque 1. Cette notion de convergence d’une suite d’éléments de E dépend du choix d’une norme surl’espace vectoriel normé. Il est possible que, pour une certaine norme, la suite (xn)n converge vers unelimite `, mais que ce ne soit plus vrai pour une autre norme.

Exemple 1. Considérons la suite (fn)n de fonctions continues sur R+ définies par :

fn(x) =

0 si x 6 n− 1

n ou x > n+ 1n

n(x− n+ 1n ) si x ∈ [n− 1

n , n]−n(x− n− 1

n ) si x ∈ [n, n+ 1n ]

.

1

n− 1n

nn+ 1

n

Ces fonctions appartiennent toutes à l’espace vectoriel E des fonctions bornées, continues et intégrablessur R+. Considérons les normes || · ||1 et || · ||∞ sur l’espace E. Nous allons prouver que, pour la norme|| · ||1, la suite de fonctions (fn)n converge vers la fonction nulle, alors que ce n’est pas le cas relativementà la norme || · ||∞. En effet, en notant f la fonction nulle, on a, pour tout n :

||fn − f ||1 =∫ +∞

0|fn(t)|dt = 1

n−→n→∞

0,

alors que||fn − f ||∞ = sup

t∈R+

|fn(t)| = 1

qui ne tend pas vers 0. En particulier, on obtient deux (au moins) façons de mesurer la distance entredeux fonctions qui sont fondamentalement différentes.

Exemple 2. Sur le même espace E, considérons maintenant la suite (fn)n de fonctions définies par

fn(x) =

0 si x 6 n

2 ou x > 32n

2n2 (x− n

2 ) si x ∈ [n− 1n , n]

− 2n2 (x− 3n

2 ) si x ∈ [n, 3n2 ]

.


1n

n2

n 3n2

Cette fois-ci, la suite converge vers la fonction nulle f au sens de la norme || · ||∞ car

||fn − f ||∞ = supt∈R+

|fn(t)| = 1n−→n→∞

0,

alors qu’elle ne converge pas vers cette même fonction au sens de la norme || · ||1 car

||fn − f ||1 =∫ +∞

0|fn(t)|dt = 1

2 ,

qui ne tend pas vers 0.

Proposition (convergence des suites extraites)Soit (xn)n une suite d’éléments de E.– Si la suite converge, toute suite extraite de E converge vers la même limite.– Réciproquement, s’il existe un élément ` ∈ E tel que les deux suites extraites (x2n)n et (x2n+1)nconvergent vers `, alors (xn)n converge vers `.

Proposition (opérations linéaires)Soient (xn)n, (yn)n deux suites d’éléments de E et λ un scalaire. On suppose que xn−→ `1 et yn−→ `2.Alors xn + λyn−→ `1 + λ`2.

Démonstration. En effet, pour tout entier n, on a

d(xn + λyn, `1 + λ`2) = ||(xn + λyn)− (`1 + λ`2)||= ||(xn − `1) + λ(yn − `2)||6 ||xn − `1||+ |λ| ||yn − `2|| −→

n→∞0.

Définition (suite bornée)Une suite (xn)n est dite bornée si, et seulement si, il existe un réel M > 0 tel que, pour tout entier n,on ait ||xn|| 6M .

PropositionToute suite convergente est bornée. La réciproque est fausse.

Théorème (caractérisation séquentielle de l’adhérence)Soit A une partie de E et a un point de E. Le point a est adhérent à A si, et seulement si, il existeune suite de points de A qui converge vers a.

Démonstration. Supposons l’existence d’une telle suite (xn)n de points de A et démontrons que a estadhérent à A, i.e. que pour tout ε > 0, l’ensemble A ∩ B(a, ε) est non vide. Soit donc ε > 0 un réel.Choisissons un entier N tel que, pour n > N , on ait d(xn, a) < ε. Alors xN appartient à A est vérified(a, xN ) < ε, donc xN ∈ A ∩B(a, ε).

5.1. Normes 83

Réciproquement, supposons que a soit adhérent à A ; construisons une suite (xn)n de points de A quiconverge vers a. Pour cela, choisissons, pour chaque entier n > 1, un point xn ∈ A ∩ B(a, 1

n ) : la suite(xn)n convient.

Définition (domination et négligeabilité des suites à valeur dans E)Soit (un)n une suite de points de E et (αn)n une suite de réels. On dit que la suite u est– dominée par la suite α si, et seulement si, la suite numérique

(||un||)n est dominée par la suite α. On

note un ∈ O(αn) ou, abusivement, un = O(αn).– négligeable devant la suite α si, et seulement si, la suite numérique

(||un||)n est négligeable devant

la suite α. On note un ∈ o(αn) ou, abusivement, un = o(αn).

5.1.4 Limites et continuitéDans tout ce paragraphe, E et F désignent des espaces vectoriels normés. Leurs normes sont notées

|| · ||E et || · ||F respectivement, les distances associées dE et dF .Commençons par définir la notion de limite d’une fonction à valeurs vectorielles. Pour cela, considérons

une partie A de E, une fonction f : A −→ F , a un point adhérent à A et b un point de F .

Définition (limite d’une fonction vectorielle)On dit que f admet pour limite b en a si, et seulement si,

∀ε > 0,∃η > 0 | ∀x ∈ A,(||x− a||E 6 η =⇒ ||f(x)− b||F 6 ε

).

Comme pour les fonctions à valeurs dans K, on a alors le

Théorème (unicité de la limite)Si la fonction f admet deux limites b1 et b2 en a, alors b1 = b2.

Démonstration. Raisonnons par l’absurde en supposant b2 6= b1. Posons alors ε = ||b2−b1||F3 : c’est un réel

strictement positif. Choisissons deux réels η1 > 0 et η2 > 0 tels que, pour tout point x ∈ A, on ait(||x− a||E 6 η1 =⇒ ||f(x)− b1||F 6 ε

)et

(||x− a||E 6 η2 =⇒ ||f(x)− b2||F 6 ε

).

Posons η = min(η1, η2) et choisissons un point x ∈ A vérifiant ||x−a||E 6 η (il en existe car a est adhérentà A). On a alors

||b1 − b2||F = ||(b1 − f(x)

)+(f(x)− b2

)||F 6 ||b1 − f(x)||F + ||f(x)− b2||F 6 2ε = 2||b2 − b1||F

3 ,

ce qui est absurde.

DéfinitionLorsque la fonction f admet une limite en a, celle-ci est appelée la limite de f ; elle est notée lima fou limx→ a f(x).

Théorème (caractérisation séquentielle de la limite)Soit f : A −→ F une fonction (A : partie de E), a un point adhérent à A et b un élément de F .La fonction f admet pour limite b en a si, et seulement si, pour toute suite (xn)n de points de A quiconverge vers a, on a f(xn)−→ b.

Démonstration. Supposons que f admette pour limite b en a. Soit (xn)n une suite de points de Aqui converge vers a ; démontrons que la suite

(f(xn)

)nconverge vers b. Pour cela, choisissons un réel

ε > 0. Choisissons ensuite un réel η > 0 tel que, pour tout point x ∈ A vérifiant ||x − a||E 6 η, on ait


||f(x)− b||F 6 ε. Choisissons enfin un entier N tel que, pour tout entier n > N , on ait ||xn − a||E 6 η.Alors, pour tout entier n > N , on a ||f(xn)− b||F 6 ε, ce qui prouve que f(xn)−→ b.

Réciproquement, supposons que f n’admette pas pour limite b en a ; construisons une suite (xn)n depoints de A qui converge vers a sans que la suite

(f(xn)

)nne tende vers b. On sait qu’il existe un réel

ε > 0 tel que, pour tout réel η > 0, il existe un point x ∈ A vérifiant ||x − a||E 6 η et ||f(x) − b||F > ε.Choisissons un tel réel ε > 0. Pour tout entier n > 1, choisissons alors un élément xn ∈ A vérifiant||xn − a||E 6 1

n et ||f(xn)− b||F > ε : la suite (xn)n converge vers a mais f(xn) ne tend pas vers b.

Théorème (composition des limites)Soient f : A −→ B et g : B −→ G (A : partie de E et B : partie de F ), a un point adhérent à A, b unpoint adhérent à B et c un point de G. On suppose que– f(x) −→

x→ ab

– g(x) −→x→ b

c.Alors g(f(x)) −→

x→ ac.

Démonstration. Résulte immédiatement de la définition.

Proposition (opérations linéaires)Soient f, g : A −→ F , a un point adhérent à A, λ ∈ K. On suppose f(x) −→

x→ ab1 ∈ F et g(x) −→

x→ ab2 ∈ F .

Alors (f + λg)(x) −→x→ a

b1 + λb2.

Démonstration. Elle est en tout point similaire à celle énonçant le même résultat pour les suites (ou s’endéduit en utilisant la caractérisation séquentielle de la limite).

Définition (domination et négligeabilité des fonctions vectorielles)Soient f : A −→ F , ϕ : A −→ K et a un point adhérent à A. On dit que la fonction f est– dominée par la fonction ϕ si, et seulement si, la fonction numérique ||f || est dominée par la fonction ϕ.

On note f(x) ∈ Oa(ϕ(x)) ou, abusivement, f(x) = Oa(ϕ(x)).– négligeable devant la fonction ϕ si, et seulement si, la fonction numérique ||f || est négligeable devant

la fonction ϕ. On note f(x) ∈ oa(ϕ(x)) ou, abusivement, f(x) = oa(ϕ(x)).

La notion de limite permet ensuite de définir la continuité d’une fonction :

Définition (continuité)Soit f : A −→ F une application et a un point de A. L’application f est dite continue en a si, etseulement si, elle y admet une limite (qui est alors nécessairement f(a)). Elle est dite continue si, etseulement si, elle l’est en tout point de A.

Remarque 1. Si f admet une limite b en a mais que a n’appartient pas à A, on peut prolonger la fonction fen une fonction définie en a également en posant f(a) = b. Ce prolongement, encore noté abusivement f ,est alors continu en a.

Proposition (continuité d’une restriction)Soit f : A −→ F une fonction continue. Toute restriction de f est encore continue.

Théorème (continuité d’une composée)Soient f : A −→ B et g : B −→ G (A : partie de E et B : partie de F ). Soient a ∈ A et b ∈ B.– Si f est continue en a et g continue en b, alors g f est continue en a.– Si f est continue (partout) et g continue (partout), alors g f l’est aussi.

5.1. Normes 85

PropositionSoient f, g : A −→ F , a un point de A et λ ∈ K un scalaire. Si f et g sont continues en a (resp.partout), alors f + λg l’est aussi.

Remarque 2. Dans le cas particulier où les fonctions sont à valeurs dans K (et non dans un espace vectorielnormée F quelconque), on peut les multiplier et les diviser (pourvu que le quotient ne s’annule pas). Onobtient alors que le produit de deux fonctions continues l’est encore, de même que l’inverse d’une tellefonction, pourvu qu’elle ne s’annule pas.

Proposition (continuité, ouverts et fermés)Soit f : E −→ R une application continue. Alors– l’ensemble U = x ∈ E | f(x) > 0 est un ouvert de E– les ensembles V = x ∈ E | f(x) > 0 et W = x ∈ E | f(x) = 0 sont des fermés de E.

Démonstration. Si l’ensemble U est vide, c’est un ouvert. Sinon, il s’agit de démontrer que, pour toutélément a ∈ U , il existe un réel ε > 0 tel que la boule ouverte B(a, ε) soit incluse dans U . Choisissonsdonc un élément a ∈ U . Le réel 1

2f(a) est strictement positif, donc il existe un réel ε > 0 tel que, pourtout x ∈ B(a, ε), on ait

∣∣f(x)− f(a)∣∣ < 1

2f(a). Pour tout x ∈ B(a, ε), on a donc

f(x) = f(a) +(f(x)− f(a)

)> f(a)− 1

2f(a) = 12f(a) > 0,

donc x appartient à U . On a donc bien B(a, ε) ⊂ U .La deuxième assertion s’en déduit : en effet, le complémentaire de V est l’ensemble

V = x ∈ E | −f(x) > 0.

La fonction −f étant continue, cet ensemble est ouvert, ce qui signifie que V est fermé. Enfin, W estl’intersection de V et de l’ensemble V ′ = x ∈ E | f(x) 6 0, qui est fermé pour les mêmes raisons,donc W est fermé.

Remarque 3. En considérant la fonction −f à la place de f , on obtient immédiatement que les ensembles

U = x ∈ E | f(x) < 0 et V = x ∈ E | f(x) 6 0

sont respectivement ouvert et fermé (pourvu que f soit encore continue). Il en est de même si l’on remplacela valeur 0 par un réel quelconque m (remplacer la fonction f par f − m). Si la partie est définie parplusieurs inégalités et non une seule, on utilise les résultats sur les intersections d’ouverts ou de fermés...Autrement dit, il faut retenir que, lorsqu’une partie est définie

– par des inégalités strictes (faisant intervenir des fonctions continues), elle est ouverte ;– par des inégalités larges (faisant intervenir des fonctions continues), elle est fermée.

Si elle fait intervenir à la fois des inégalités strictes et larges, elle n’est en général ni ouverte ni fermée.

Exemple 1. L’ensemble U = (x1, x2, x3) ∈ R3 | x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0, x1 + x2 + x3 < 1 est un ouvertde R3 ; l’ensemble V = (x1, x2, x3) ∈ R3 | x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0, x1 + x2 + x3 6 1 est fermé (c’estl’adhérence de U).

Remarque 4. Si la fonction f (définie sur E) est à valeurs complexes, parler de l’ensemble U = x ∈ E |f(x) > 0 n’a plus de sens ; on peut en revanche toujours considérer l’ensemble W = x ∈ E | f(x) = 0.Celui-ci est toujours fermé : il s’écrit encore sous la forme W = x ∈ E | |f(x)| = 0, où la fonction |f |est continue et à valeurs réelles. La remarque vaut aussi pour l’ensemble W ′ = x ∈ E | f(x) = a.

Définition (application lipschitzienne)Une application f : A −→ F (A : partie de E) est dite lipschitzienne si, et seulement si, il existe unréel k > 0 tel que, pour tous x, y ∈ A, on ait ||f(x)− f(y)||F 6 k||x− y||E .

Proposition (continuité des applications lipschitziennes)Toute application lipschitzienne est continue.


Démonstration. Soit k > 0 un réel vérifiant que, pour tous x, y ∈ A, on ait ||f(x)− f(y)||F 6 k||x− y||E .Soit a un point de A. Pour tout x ∈ A, on a

||f(x)− f(a)||F 6 k||x− a||E −→x→ a

0,

ce qui prouve que f(x) −→x→ a

f(a), autrement dit que f est continue en a. Ceci étant vrai pour tout a ∈ A,la fonction f est continue.

Exemple 2. L’application «norme» : E −→ R est lipschitzienne (donc continue). En effet, pour tousx, y ∈ E, on a alors ∣∣||x|| − ||y||∣∣ 6 ||x− y||.Remarque 5. Si f : E −→ F est une application linéaire, il suffit de trouver une constante k > 0 vérifiant||f(x)||F 6 k||x||E (pour tout x ∈ E) pour prouver que f est lipschitzienne : en effet, pour tous x, y ∈ E,on a

||f(x)− f(y)||F = ||f(x− y)||F 6 k||x− y||E .

5.2 Espaces vectoriels normés de dimension finie5.2.1 Suites et fonctions à valeurs dans E

Dans un espace vectoriel normé E quelconque, la notion de convergence d’une suite (xn)n de pointsde E dépend essentiellement du choix d’une norme sur E, i.e. d’une façon de mesurer la distance. Dansle cas particulier des espaces de dimension finie, cet arbitraire disparaît grâce au

ThéorèmeSoit E un K-espace vectoriel normé de dimension finie. Soient N1 et N2 deux normes sur E. Alors ilexiste deux réels c1, c2 > 0 tels que

∀x ∈ E, N1(x) 6 c1N2(x) et N2(x) 6 c2N1(x).

Démonstration. Ce théorème est admis. Il est d’ailleurs hors programme.

On en déduit immédiatement le résultat suivant

ThéorèmeSoit E un K-espace vectoriel normé de dimension finie. Soient N1 et N2 deux normes sur E. Alors– si une suite (xn)n est convergente au sens de la norme N1, elle l’est aussi au sens de la norme N2 ;– si c’est le cas, sa limite au sens de la norme N1 est la même que sa limite au sens de la norme N2.

Démonstration. Choisissons deux constantes c1, c2 > 0 telles que, pour tout x ∈ E, on aitN1(x) 6 c1N2(x)et N2(x) 6 c2N2(x). Considérons une suite (xn)n de vecteurs de E.– Supposons la suite (xn)n convergente au sens de la norme N1 et notons ` sa limite. Pour tout entier n,on a

N2(xn − `) 6 c2N1(xn − `) −→n→∞

0,

ce qui prouve que N2(xn−`) −→n→∞

0, i.e. que la suite converge aussi vers la limite ` au sens de la norme N2.– L’autre implication se traite de la même façon, en utilisant l’inégalité N1 6 c1N2.

Remarque 1. C’est ce théorème qui est au programme (mais évidemment pas sa démonstration, puisqu’elleutilise le théorème précédent).

De cette façon, la question de la convergence de la suite (xn)n vers une limite ` ∈ E ne dépend pasdu choix d’une norme sur E. On pourra donc choisir la norme la plus adaptée pour traiter le problème.En particulier, si E = Kp, on pourra choisir parmi les normes || · ||1, || · ||2 ou || · ||∞ (ou d’autres encore).

Dans le cas où E est un espace vectoriel normé de dimension p (espace quelconque, pas nécessaire-ment Kp), munissons-le d’une base B = (ε1, . . . , εp). Chaque vecteur x ∈ E est alors repéré par la famille(x1, . . . , xp) ∈ Kp de ses coordonnées dans la base B. Grâce à ce choix d’une base, travailler avec unvecteur de E revient à travailler avec un vecteur de Kp. En particulier, on peut définir plusieurs normessur E, par ((x1, . . . , xp) désigne toujours la famille des coordonnées de x dans la base B) :

5.2. Espaces vectoriels normés de dimension finie 87

– ||x||1 = |x1|+ · · ·+ |xp| ;– ||x||2 =

√|x1|2 + · · ·+ |xp|2 ;

– ||x||∞ = max(|x1|, . . . , |xp|).Le théorème précédent assure que, pour étudier la convergence d’une suite, on peut choisir l’une quel-conque de ces trois normes (ou d’autres encore).

Remarque 2. Il est facile, pour chacune de ces trois normes, de trouver des constantes telles que décritesdans le théorème d’équivalence des normes. En effet, pour tout vecteur x (de coordonnées x1, . . . , xp), ona (en notant k l’indice qui réalise le maximum ; indice qui dépend bien sûr du vecteur x)

||x||∞ = |xk| =√|xk|2 6

√|x1|2 + · · ·+ |xp|2 = ||x||2,

||x||22 = |x1|2 + · · ·+ |xp|2 6 |x1|2 + · · ·+ |xp|2 + 2∑i<j

|xi| · |xj | =(|x1|+ · · ·+ |xp|

)2 = ||x||21,

(d’où ||x||2 6 ||x||1), et||x||1 = |x1|+ · · ·+ |xp| 6 |xk|+ · · ·+ |xk| = p||x||∞.

Dans toute la suite de ce paragraphe, E est un espace vectoriel normé de dimension finie p, munid’une base B = (ε1, . . . , εp). Les coordonnées d’un vecteur x dans cette base sont notées x1, . . . , xp.

Théorème (convergence et coordonnées)Soient (xn)n∈N une suite de vecteurs de E et ` un vecteur de E. Notons (x1,n, . . . , xp,n) les coordonnéesde xn dans cette base. On a l’équivalence :

xn −→n→∞

`⇐⇒ ∀k ∈ [[1, p]], xk,n −→n→∞

`k.

Autrement dit : pour étudier la convergence d’une suite (en dimension finie), on peut se contenter d’étudierce qui se passe «coordonnée par coordonnée» (une base de E étant fixée) ; en cas de convergence, lescoordonnées de la limite sont les limites des coordonnées.

Démonstration. Munissons l’espace E de la norme ||x|| = max16k6p |xk|. La suite (xn)n converge vers ` si,et seulement si, la suite numérique (||xn− `||)n converge vers 0, i.e. si, et seulement si, la suite numérique(max16k6p |xk,n − `k|)n∈N converge vers 0, ce qui équivaut à dire que chacune des suites numériques(|xk,n − `k|)n∈N converge vers 0, autrement dit que chaque suite numérique (xk,n)n converge vers lescalaire `k.

Exemple 1. Soit, pour tout n, An =[an bncn dn

]une matrice de M2(K). La suite de matrices (An)n est

convergente si, et seulement si, chacune des quatre suites (an)n, (bn)n, (cn)n et (dn)n est convergente. Si

c’est la cas, alors An −→n→∞

[a∞ b∞c∞ d∞

], où a∞ = lim an . . .

Le même argument vaut pour les fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie.

ThéorèmeSoit f : A −→ E, où A est une partie d’un espace vectoriel normé F . Soit a un point adhérent à Aet b un vecteur de E. Notons f1, . . . , fp les fonctions coordonnées de la fonction f dans la base B. Ona l’équivalence :

f(x) −→x→ a

b⇐⇒ ∀k ∈ [[1, p]], fk(x) −→x→ a

bk.

Ici encore, pour étudier la limite éventuelle d’une fonction à valeurs dans E, il suffit de d’étudier lesfonctions coordonnées de f .

Exemple 2. Si, pour tout t, on a A(t) =[a(t) b(t)c(t) d(t)

], la fonction (matricielle) A admet une limite en t0

si, et seulement si, c’est le cas pour chacune des quatre fonctions a, b, c, d ; la limite est alors . . .


En termes de continuité, on obtient :

ThéorèmeSoit f : A −→ E, où A est une partie d’un espace vectoriel normé F . Soit a un point de A.La fonction f est continue en a si, et seulement si, chaque fonction coordonnée fk est continue en a.

Définition (fonction polynomiale)Une fonction f : A −→ K (A : partie de E) est dite polynomiale si, et seulement si, il existe une base Bde E telle que l’expression de f(x) soit un polynôme en les coordonnées de x exprimées dans la base B.

Les formules de changement de base étant linéaires, il est immédiat de constater que, si c’est le cas,pour toute base B de E, l’expression de f(x) est un polynôme en les coordonnées de x exprimées dansla base B (mais en changeant de base, les formules pour calculer f(x) en fonction des coordonnéeschangent...).

Proposition (continuité des fonctions polynomiales)Toute fonction polynomiale est continue.

Démonstration. Choisissons une base B de E et munissons E de la norme ||x||∞ = max16i6n |xi| (où les xisont les coordonnées de x exprimées dans la base B). Chaque application pi : x 7→ xi est 1-lipschitziennedonc continue : en effet, pour tous x, y ∈ E, on a∣∣pi(x)− pi(y)

∣∣ = |xi − yi| 6 max16j6n

|xj − yj | = ||x− y||∞.

Une application polynomiale n’étant rien d’autre qu’une combinaison linéaire de produits d’applica-tions pi, elle est encore continue.

Exemple 3. Soit A ∈Mn(R) une matrice. Considérons l’application

f : Mn,1(R) −→ RX 7−→ XTAX

(où l’on identifie la matrice XTAX, de taille (1, 1), à son unique coefficient). La quantité f(X) est unpolynôme en les coefficients xi de la matrice colonne X, donc la fonction f est continue.

Proposition (continuité de l’application déterminant)L’application déterminant det : Mn(K) −→ K est continue.

Démonstration. Le déterminant d’une matrice est une combinaison linéaire de produits de coefficients decette matrice ; l’application déterminant est donc polynomiale, donc continue.

CorollaireL’ensemble GLn(K) des matrices inversibles est un ouvert.

Démonstration. Son complémentaire est l’ensemble M ∈Mn(K) | det(M) = 0, qui est donc un fermé.

Remarque 3. En particulier, si une suite (Mn)n de matrices inversibles converge, sa limite A n’est pasnécessairement une matrice inversible ! Par exemple, pour tout n > 0, la matrice 1

n Ip est inversible ;la limite de cette suite de matrices est la matrice nulle. En revanche, si aucune des matrices Mn n’estinversible, la limite ne peut pas être non plus inversible (on a det(Mn) = 0 pour tout n, donc det(A) = 0par passage à la limite).

Remarque 4. Une fonction rationnelle (i.e. le quotient de deux fonctions polynomiales) est donc elle aussicontinue.


5.2.2 Fonctions continues sur des parties fermées bornéesDans ce paragraphe, E désigne un espace vectoriel normé de dimension finie.

Théorème (extrema d’une fonction numérique définie sur un fermé borné)Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie, A une partie fermée, bornée et non vide de E etf : A −→ R une fonction continue. Alors l’application f est bornée et atteint ses bornes.

C’est-à-dire qu’il existe deux éléments a, b ∈ A vérifiant : ∀x ∈ A, f(a) 6 f(x) 6 f(b). Le nombre f(a)(resp. f(b)) est le minimum (resp. maximum) de la fonction f ; il est atteint en a (resp. en b), et peut-êtreen d’autres points également !

Remarque 1. Ce théorème généralise celui que vous connaissez déjà concernant les fonctions d’une variableréelle : une fonction (à valeurs réelles) continue définie sur un segment (qui est bien une partie ferméeet bornée) est bornée et atteint ses bornes. Une autre façon de formuler ce résultat est : «l’image d’unsegment par une application continue est un segment». À ne pas confondre avec le théorème des valeursintermédiaires, moins fort, dont une formulation possible est : «l’image d’un intervalle par une applicationcontinue est un intervalle».

Pour démontrer ce résultat (dont la démonstration est non exigible), commençons par énoncer unlemme (hors-programme).

LemmeDe toute suite bornée de E on peut extraire une suite convergente.

Démonstration. Indiquons l’idée de la preuve dans le cas où E = R. La suite étant bornée, on peut trouverun segment I0 = [a0, b0] contenant tous les termes de la suite. Divisons ce segment en deux moitiés demême longueur : l’une au moins de ces deux moitiés contient encore une infinité de termes de la suite.Notons I1 = [a1, b1] cette moitié. En recommençant le procédé, on construit une suite (In)n de segmentsemboîtés tels que chacun de ces segments contienne une infinité de termes de la suite. En notant an < bnles deux extrémités du segment In, on dispose d’une suite (an)n croissante, une suite (bn)n décroissante,telles que bn − an tende vers 0 (la longueur du segment est divisée par deux à chaque étape). Les suitessont donc adjacentes et convergent vers une limite commune `. Par construction, ce réel ` appartient àtous les In.

Construisons maintenant une suite extraite de u convergeant vers cette limite `. Pour cela, on choisitpour premier terme u0. Ensuite, le segment I1 contient une infinité de termes de la suite, donc on choisitun entier ϕ(1) > 0 tel que uϕ(1) ∈ I1. Puis un entier ϕ(2) > ϕ(1) tel que uϕ(2) ∈ I2... Par construction,on a an 6 uϕ(n) 6 bn pour tout entier n, d’où uϕ(n) −→

n→∞`.

Le cas où E = R2 se traite de façon analogue, à ceci près qu’à chaque étape, au lieu de découper unsegment en deux, on découpe un carré en quatre ; dans R3, on découpe un cube en huit...

Le cas où E = Cn se ramène, en séparant parties réelle et imaginaire, au cas où E = Rn.Enfin, le cas E quelconque (de dimension fini) se ramène au cas E = Kn via le choix d’une base et

l’utilisation de coordonnées.

Démonstration du théorème (non exigible). Commençons par montrer que l’ensemble f<A> est majoré.Si ce n’était pas le cas, on pourrait trouver, pour tout entier n, un élément xn ∈ A tel que f(xn) > n.La suite (xn)n étant à valeurs dans A, elle est bornée, donc on peut en extraire une suite (xϕ(n))nconvergente. Notons ` la limite de cette suite. Comme l’ensemble A est fermé, cette limite appartientencore à A. La continuité de f en ` implique alors que f(xϕ(n)) −→

n→∞f(`), ce qui contredit le fait que

f(xϕ(n)) −→n→∞

+∞.Cet ensemble étant majoré, il admet une borne supérieure, notée M . Il s’agit de montrer que cette

borne supérieure est en fait le plus grand élément de l’ensemble f<A>. Pour cela, on utilise que, pourtout n > 0, le réel M − 1

n n’est pas un majorant de l’ensemble f<A>, donc on peut trouver un élémentxn ∈ A tel que f(xn) >M− 1

n . On extrait encore une suite (xϕ(n))n convergente de cette suite ; sa limite `appartient à A. L’encadrement M − 1

ϕ(n) 6 f(xϕ(n)) 6M montre, par passage à la limite, que f(`) = M ,autrement dit que M est bien une valeur atteinte par la fonction f , donc que c’est son maximum.

La démonstration est identique pour le minimum.


5.2.3 Continuité des applications linéaires

Théorème (continuité des applications linéaires en dimension finie)Soient E,F deux espaces vectoriels normés de dimensions finies. Toute application linéaire f : E −→ Fest lipschitzienne, donc continue.

Démonstration. Notons || · ||E et || · ||F les normes de E et F .Choisissons une base B = (e1, . . . , ep) de E et considérons la norme définie sur E par :

||x1e1 + · · ·+ xpep||B = max(|x1|, . . . , |xp|).

Pour tout vecteur x = x1e1 + · · ·+ xpep appartenant à la boule unité B = x ∈ E | ||x||B 6 1 de E, ona en particulier |xi| 6 1 pour tout i. Par suite, pour tout vecteur x ∈ B, on a

||f(x)||F = ||x1f(e1) + · · ·+ xpf(ep)||F 6 |x1|||f(e1)||F + · · ·+ |xp|||f(ep)||F 6 ||f(e1)||F + · · ·+ ||f(ep)||F .

Notons M la constante M = ||f(e1)||F + · · · + ||f(ep)||F . Pour tout vecteur x non nul de E, le vecteur1||x||Bx appartient à B, donc vérifie ||f

( 1||x||Bx

)||F 6M , d’où l’on déduit ||f(x)||F 6M ||x||B (la majoration

restant valable pour x = 0).Choisissons maintenant une constante c > 0 telle que || · ||B 6 c|| · ||E . Pour tout x ∈ E, on a

||f(x)||F 6M ||x||B 6 cM ||x||E .

Par linéarité, on en déduit que, pour x, y ∈ E, on a

||f(x)− f(y)||F = ||f(x− y)||F 6 cM ||x− y||E :

l’application f est cM -lipschitzienne (donc continue).

Remarque 1. Seule l’hypothèse de dimension finie de l’espace E de départ nous a servi ; le résultat restevrai même si F est de dimension infinie. En revanche, l’hypothèse de finitude de la dimension de E estessentielle.

Exemple 1. Soit (Mn)n une suite de matrices appartenant à Mp(K). On suppose que

Mn −→n→∞

A ∈Mp(K).

Alors, pour toute matrice P ∈ GLn(K), on a

P−1MnP −→n→∞

P−1AP.

En effet, l’applicationΦ : Mp(K) −→ Mp(K)

M 7−→ P−1MP

est linéaire, donc continue.Cet argument très simple est à retenir et à savoir réutiliser.

Exemple 2. Sur l’espace E = C ([0, 1],R) muni de la norme || · ||1, considérons l’application linéaireΦ : E −→ R définie par Φ(f) = f(0). Considérons également la suite de fonctions (fn)n définies par ledessin ci-dessous.

fn1

1n

1


Notons f la fonction nulle. La suite de fonctions (fn)n converge vers la fonction f : en effet, on a

||fn − f ||1 =∫ 1

0|fn(t)− 0|dt = 1

2n −→n→ 00.

Cependant, la suite(Φ(fn)

)nne converge pas vers Φ(f) = 0 : en effet, pour tout n, on a Φ(fn) = 1. La

fonction Φ n’est donc pas continue, bien que linéaire.

Proposition (continuité des applications bilinéaires en dimension finie)Soient E,F,G trois espaces vectoriels normés de dimensions finies. Toute application bilinéaire B :E × F −→ G est continue.

Démonstration. Notons à nouveau || · ||E , || · ||F et || · ||G les normes de E, F et G.Choisissons une base B = (e1, . . . , en) de E et une base C = (ε1, . . . , εp) de F et munissons E et F desnormes définies par

||x1e1 + · · ·+ xnen||B = max(|x1|, . . . , |xn|) et ||y1ε1 + · · ·+ ypεp||C = max(|y1|, . . . , |yp|).

Pour tout (x, y) ∈ E × F vérifiant ||x||B 6 1 et ||y||C 6 1, on a en particulier |xi| 6 1 et |yj | 6 1 pouri ∈ [[1, n]] et j ∈ [[1, p]]. Pour un tel couple, on a

||B(x, y)||G =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣B( n∑i=1

xiei,

p∑j=1

yjεj

)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣G

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣n∑i=1

p∑j=1

xiyjB(ei, εj)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣G

6n∑i=1

p∑j=1|xiyj |||B(ei, εj)||G

6n∑i=1

p∑j=1||B(ei, εj)||G = M

Par suite, pour x 6= 0 et y 6= 0, on a∣∣∣∣∣∣ x||x||B

∣∣∣∣∣∣B

6 1 et∣∣∣∣∣∣ y||y||C

∣∣∣∣∣∣C6 1, d’où∣∣∣∣∣∣∣∣B( x

||x||B,

y

||y||C

)∣∣∣∣∣∣∣∣G

6 1,

ce qui s’écrit encore||B(x, y)||G 6M ||x||B||y||C ,

l’inégalité étant encore vraie si x = 0 ou y = 0 (car B(0, y) = B(x, 0) = 0). En choisissant deux constantesc1, c2 > 0 telles que || · ||B 6 || · ||E et || · ||C 6 || · ||F et en notant M ′ = c1c2M , on a aussi

||B(x, y)||G 6 c1c2M ||x||E ||y||F = M ′||x||E ||y||F .

Soit maintenant a un vecteur de E et b un vecteur de F . Pour tout couple (x, y) ∈ E × F , on a

||B(x, y)−B(a, b)||G = ||B(x, y)−B(x, b) +B(x, b)−B(a, b)||G6 ||B(x, y)−B(x, b)||G + ||B(x, b)−B(a, b)||G= ||B(x, y − b)||G + ||B(x− a, b)||G6M ′||x||E ||y − b||F +M ′||x− a||E ||b||F −→

(x,y)→(a,b)0,

ce qui prouve que B est continue en (a, b). Ceci étant vrai pour tout (a, b) ∈ E × F , l’application B estcontinue.

Exemple 3. Si E est un espace vectoriel de dimension finie, l’espace L(E) en est encore un. L’applicationbilinéaire (f, g) 7→ f g est donc continue. Par suite, si fn−→ f et gn−→ g, alors fn gn−→ f g.



1. Soit (un)n une suite de vecteurs d’un K-espace vectoriel normé E et ` un vecteur de E. Quels lienslogiques y a-t-il entre les deux assertions suivantes :i) ||un − `|| −→

n→∞0 ii) ||un|| −→

n→∞||`||.

2. Dessiner les boules Bf (0, 1) de R2 pour les trois normes || · ||2, || · ||1 et || · ||∞.

3. Soit F un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel normé E. On suppose que B(0, 1) ⊂ F . Démontrerque F = E.

4. Soient x1, x2 deux vecteurs d’un K-espace vectoriel normé E, et r1, r2 deux réels strictement positifs.a) Calculer la distance du vecteur y = 1

r1+r2(r2x1 + r1x2) (interprétation géométrique de ce vecteur ?)

aux vecteurs x1 et x2.b) Démontrer que la boule Bf (x1, r1) rencontre la boule Bf (x2, r2) si, et seulement si, ||x1−x2|| 6 r1 +r2.

5. Pour tout polynôme P =∑∞n=0 anX

n ∈ R[X] (somme finie bien sûr), on pose

||P ||1 =∞∑n=0|an|, ||P ||∞ = sup

n∈N|an|.

a) Justifier que ce sont deux normes sur R[X]. Trouver une constante A telle que, pour tout P ∈ R[X],on ait ||P ||∞ 6 A||P ||1.b) Pour tout entier n, on pose Pn = (1 + X + · · · + Xn−1)/n. Étudier la convergence de la suite (Pn)npour chacune des deux normes.c) Existe-t-il une constante B telle que, pour tout polynôme P ∈ R[X], on ait ||P ||1 6 B||P ||∞.

6. Soit a un vecteur d’un K-espace vectoriel normé E. Démontrer que l’application sa : x 7→ a + x estcontinue.

7. On considère un produit scalaire 〈· | ·〉 sur un espace E et on munit celui-ci de la norme associée. Soit aun vecteur de E. L’application sa : x 7→ 〈a | x〉 est-elle continue ?

8. Soit A une partie dense d’un K-espace vectoriel normé E (i.e. que tout vecteur x ∈ E est limite d’unesuite d’éléments de A). Soient f, g : E −→ K deux fonctions continues telles que, pour tout x ∈ A, on aitf(x) = g(x). Démontrer que f = g.

9. Démontrer que l’application f : [0, 1] −→ R, x 7→√x, n’est pas lipschitzienne.

10. Peut-on parler de la convergence d’une suite de polynômes sans faire référence à la norme utilisée pourparler de limite ? Même question en supposant tous les polynômes considérés de degré inférieur ou égalà une constante d.

11. Parmi les applications suivantes, définies sur Mp(K), indiquer lesquelles sont continues :i) trace ii) déterminant iii) rang iv) transposition

12. Soient E,F deux espaces vectoriels normés. Est-il vrai que toute application linéaire de E dans F estcontinue ?

13. Soient E,F deux espaces vectoriels normés et f ∈ L(E,F ). Quels liens logiques y a-t-il entre les assertionssuivantes :i) l’application f est continue ii) l’application f est continue en 0.



5.3.2 Réponses1.La première entraîne la seconde (car

∣∣||un|| − ||`||∣∣ 6 ||un − `||) ; la réciproque est fausse (sauf si ` = 0).

2. – La boule Bf (0, 1) pour la norme || · ||1 est l’ensemble des (x, y) ∈ R2 tels que |x| + |y| 6 1. On étudieséparément les quatre quarts de plan définis par les signes de x et y. Dans le quart de plan défini parx, y > 0, l’inégalité s’écrit x+ y 6 1. Dans le quart de plan x > 0, y 6 0, l’inégalité s’écrit x− y 6 1...– Pour la norme || · ||∞, cette même boule est l’ensemble des (x, y) ∈ R2 tels que max(|x|, |y|) 6 1, i.e.|x| 6 1 et |y| 6 1.

1

1

boule pour la norme || · ||1

1

1

boule pour la norme || · ||2

1

1

boule pour la norme || · ||∞

3. Soit x un vecteur non nul de E : alors le vecteur y = 12||x||x est de norme 1

2 , donc appartient à B(0, 1),donc à F , donc x appartient à F .

4. a) Le vecteur y est le barycentre de x1, affecté du coefficient r2 et de x2, affecté du coefficient r1. Il vérifie||xi − y|| = ri

r1+r2||x1 − x2|| (pour i ∈ 1, 2).

b) Si les deux boules se rencontrent, tout point z appartenant à leur intersection vérifie ||xi − z|| 6 ri,d’où

||x1 − x2|| = ||(x1 − z) + (z − x2)|| 6 ||x1 − z||+ ||z − x2|| 6 r1 + r2.

Réciproquement, si cette inégalité est vérifiée, le point y de la question a) appartient à l’intersection.

5. a) Tout revient en définitive à manipuler des sommes finies. Mais attention : bien que chaque somme soitune somme finie, l’indice N à partir duquel les coefficients an sont tous nuls dépend de N . Lorsque l’ona affaire à deux polynômes, on commencera par choisir un entier N tel que, pour tout n > N , on aitan = bn = 0... La constante A = 1 convient (remarquer que, les an étant nuls à partir d’un certain rang,le sup définissant ||P ||∞ est en fait un max).b) La suite (Pn)n converge vers le polynôme nul pour la norme || · ||∞ mais pas pour la norme || · ||1.c) S’il existait une telle constante B, l’inégalité ||Pn||1 6 B||Pn||∞ montrerait que la suite (Pn)n convergevers le polynôme nul pour la norme || · ||1, ce qui n’est pas.

6.L’application sa est 1-lipschitzienne.

7.L’application sa est ||a||-lipschitzienne.

8. Si x est un vecteur de E, choisir une suite (an)n d’éléments de A telle que an−→x. Utiliser la continuitéde f et de g pour passer à la limite dans la relation f(an) = g(an), valable pour tout entier n.

9. S’il existait une constante K > 0 telle que, pour tous x, y ∈ [0, 1], on ait |f(x) − f(y)| 6 K|x − y|, onaurait, pour tout x ∈ ]0, 1],

√xx 6 K, d’où une contradiction (pourquoi ?).

10.Non pour la première question : l’espace K[X] est de dimension infinie, donc il est possible que la suite depolynômes soit convergente pour une certaine norme et divergente (ou convergente, mais vers une autrelimite) pour une autre norme. En revanche, si l’on travaille dans Kd[X] qui est de dimension finie, la notionde convergence ne dépend pas du choix d’une norme, ni la valeur de la limite en cas de convergence.

11.Les deux premières sont continues car polynomiales ; la troisième ne l’est pas. En effet, pour tout entier n,on a rg( 1

n Ip) = p, mais 1n Ip−→ 0, de rang 0. La dernière l’est car linéaire en dimension finie.

12.En dimension infinie, non (voir l’exemple 2 du paragraphe 5.2.3). Si E est de dimension finie, oui.

13.La première assertion entraîne évidemment la seconde. La seconde entraîne aussi la première. En effet,soit x un vecteur quelconque de E. On a

f(x+ h) = f(x) + f(h) −→h→ 0

f(x) + f(0) = f(x)

grâce à la continuité de f en 0, donc f est continue en x. Ceci étant vrai pour tout x, f est continue.

Chapitre 6Suites et séries de fonctions

Dans tout le chapitre, K désigne soit R, soit C. Les fonctions, sauf mention du contraire, sont à valeursdans K.

6.1 Suites de fonctions6.1.1 Convergence simple

Soit (fn)n∈N une suite de fonctions définies sur un intervalle I, et f une fonction définie elle aussisur I.

Définition (convergence simple)On dit que la suite (fn)n∈N converge simplement vers la fonction f si, et seulement si, pour tout x ∈ I,fn(x) −→

n→∞f(x).

Exemple 1. Pour tout n > 1, définissons la fonction fn sur R par :

∀x ∈ R, fn(x) =(

1 + x

n

)n.

Pour tout réel x (et tout entier n tel que xn > −1, ce qui est vérifié dès que n est «grand»), on a(

1 + x

n

)n= en ln(1+ x

n ) = en( xn+o( 1n )) = ex+o(1) −→

n→∞ex,

donc la suite de fonctions (fn)n>1 converge simplement vers la fonction exponentielle. Mais la qualité del’approximation de ex par fn(x) dépend beaucoup de x...

x

y exp

f1

f3

f10

Exemple 2. Considérons la suite (fn)n de fonctions définies sur le segment [0, 1] par :

fn(x) =

1− nx si x ∈ [0, 1n ]

0 si x ∈ [ 1n , 1]

.

95

96 Chapitre 6. Suites et séries de fonctions

fn

1

1n

1f

La suite de fonctions (fn)n converge simplement vers la fonction f définie par

f(x) =

1 si x = 00 si x ∈ ]0, 1]

.

En effet,– si x = 0, pour tout entier n, fn(0) = 1 −→

n→∞1

– si x est strictement positif, pour tout entier n > 1x , on a x > 1

n donc fn(x) = 0 −→n→∞

0.On voit en particulier que, même si chaque fonction fn est continue, la limite simple f n’est plus néces-sairement continue.

Exemple 3. Considérons la suite (fn)n de fonctions définies sur le segment [0, 1] par :

fn(x) =

2n2x si x ∈ [0, 1

2n ]2− 2n2x si x ∈ [ 1

2n ,1n ]

0 si x ∈ [ 1n , 1]

.

fn

n

fp

p

12n

1n

1

Cette suite de fonctions converge simplement vers la fonction nulle. En effet :– si x = 0, pour tout entier n, fn(0) = 0 −→

n→∞0

– si x est strictement positif, pour tout entier n > 1x , on a x > 1

n donc fn(x) = 0 −→n→∞

0.Pourtant, pour tout entier n > 1, on a fn( 1

2n ) = n...

6.1.2 Convergence uniformeLa notion de convergence simple est assez pauvre. Une autre notion plus intéressante est celle de

convergence uniforme. Considérons à nouveau une suite (fn)n∈N de fonctions définies sur un intervalle I,et f une fonction définie elle aussi sur I.

Définition (convergence uniforme)On dit que la suite (fn)n∈N converge uniformément vers la fonction f si, et seulement si,

∀ε > 0,∃N ∈ N | ∀n > N, ∀x ∈ I, |fn(x)− f(x)| 6 ε.

Autrement dit : les fonctions fn − f sont bornées à partir d’un certain rang, et on a ||fn − f ||∞ −→n→∞

0,où || · ||∞ désigne la norme uniforme sur l’espace des fonctions bornées de I à valeurs dans K.

6.1. Suites de fonctions 97

Exemple 1. La suite de fonctions (fn)n définies sur le segment [0, 1] par

∀n ∈ N, ∀x ∈ [0, 1], fn(x) = xn(1− x)n

converge uniformément vers la fonction nulle. En effet, pour tout x ∈ [0, 1], on a 0 6 x(1− x) 6 14 , d’où

0 6 fn(x) 6 14n , ce qui prouve que ||fn||∞ −→

n→∞0.

1

14

Exemple 2. La suite de fonctions (fn)n de l’exemple 3 du paragraphe précédent ne converge pas unifor-mément vers la fonction nulle : pour tout entier n > 1, on a ||fn||∞ = n, qui ne tend pas vers 0.

La convergence uniforme est reliée à la convergence simple par la

Proposition (convergence simple et convergence uniforme)Si une suite de fonctions (fn)n converge uniformément vers une fonction f , elle converge aussi simple-ment vers f . La réciproque est fausse.

Démonstration. En effet, pour tout réel x ∈ I, on a |fn(x)−f(x)| 6 ||fn−f ||∞. Si cette dernière quantitétend vers 0, alors fn(x) −→

n→∞f(x). L’exemple précédent montre que la réciproque est fausse.

Un des avantages de la convergence uniforme est de conserver la continuité des fonctions :

Théorème (continuité d’une limite uniforme)Soit (fn)n une suite de fonctions définies sur un intervalle I. On suppose que

1. la suite (fn)n converge uniformément vers une fonction f ;2. toutes les fonctions fn sont continues.

Alors la fonction f est continue.

Démonstration. Soit a ∈ I : montrons que f est continue en a. Soit ε > 0 un réel.1. Choisissons un entier N tel que, pour tout n > N , on ait ||fn − f ||∞ 6 ε (convergence uniforme) ;2. choisissons ensuite un réel η > 0 tel que, pour tout x ∈ [a− η, a+ η]∩ I, on ait |fN (x)− fN (x)| 6 ε

(continuité de fN en a).Alors, pour tout x ∈ [a− η, a+ η] ∩ I, on a

|f(x)− f(a)| =∣∣(f(x)− fN (x)

)+(fN (x)− fN (a)

)+(fN (a)− f(a)

)∣∣6∣∣f(x)− fN (x)

∣∣+∣∣fN (x)− fN (a)

∣∣+∣∣fN (a)− f(a)

∣∣6 3ε,

ce qui prouve la continuité de f en a. Ceci pour tout a ∈ I.

Exemple 3. Les fonctions fn de l’exemple 2 du paragraphe précédent sont toutes continues, alors que lalimite simple est discontinue en 0. La convergence ne peut donc pas être uniforme.

Remarque 1. La continuité est une notion locale : pour démontrer que f est continue, nous avons démontréqu’elle est continue en chaque point a de son ensemble de définition. Pour cela, nous avons besoin quela convergence de la suite de fonctions soit uniforme au voisinage de a et pas nécessairement sur toutl’intervalle I. Dans la pratique, il arrive que la convergence de la suite de fonctions soit uniforme sur toutsegment inclus dans I, mais pas dans I tout entier.


Exemple 4. Bosse glissanteConsidérons la suite de fonctions (fn)n définies par fn(x) = 1

1+(x−n)2 .

x

yf0 fn fp

La suite de fonctions converge simplement vers la fonction f nulle (à x fixé, on a fn(x) −→n→∞

0). Laconvergence n’est pas uniforme : pour tout entier n, on a ||fn − f ||∞ = 1. Mais la convergence estuniforme sur tout segment [a, b] de R. En effet, si [a, b] est un tel segment, la fonction fn est croissantesur le segment [a, b] dès que n > b. Pour n > b, on a alors

||fn|[a,b]||∞ = fn(b) −→n→∞

0.

Théorème (continuité d’une limite uniforme, version convergence uniforme sur tout segment)Soit (fn)n une suite de fonctions définies sur un intervalle I. On suppose que

1. la suite (fn)n converge vers une fonction f , uniformément sur tout segment [a, b] ⊂ I ;2. toutes les fonctions fn sont continues.

Alors la fonction f est continue.

Le résultat découlera immédiatement du lemme suivant :

LemmeSoit f une fonction définie sur un intervalle I de R. La fonction f est continue si, et seulement si, sarestriction à chaque segment inclus dans I l’est.

Démonstration. Si la fonction f est continue, sa restriction à tout segment l’est encore. Réciproquement,supposons que la restriction de f à tout segment soit continue ; montrons que f l’est encore. Pour cela,considérons un point x0 ∈ I et montrons que f est continue en x0.– Premier cas : le point x0 est intérieur à l’intervalle I. On choisit alors un segment [a, b] ⊂ I tel quea < x0 < b.

a x0 b

η η

η1 η1

Soit ε un réel strictement positif. La continuité de la restriction f |[a,b] affirme l’existence d’un réel η > 0tel que, pour tout x ∈ [x0 − η, x0 + η] ∩ [a, b], on ait |f(x) − f(x0)| 6 ε. L’inégalité |f(x) − f(x0)| 6 εn’est pas forcément vraie pour tout x ∈ [x0 − η, x0 + η] ∩ I car cet intervalle peut déborder du segment[a, b]. Mais en choisissant un réel η1 6 η tel que [x0 − η1, x0 + η1] reste inclus dans [a, b], on a bien|f(x)− f(x0)| 6 ε pour tout x ∈ [x0 − η1, x0 + η1] ∩ I, ce qui prouve que f est continue en x0.– Deuxième cas : le point x0 est une borne de l’intervalle I, par exemple sa borne inférieure. Notons acette borne. On choisit un deuxième réel b ∈ I : on a x0 = a ∈ [a, b] ⊂ I. Soit ε > 0. On choisit un réelη > 0 tel que, pour tout x ∈ [x0−η, x0+η]∩[a, b], on ait |f(x)−f(x0)| 6 ε, puis un réel η1 6 min(η, b−a).Pour tout réel x ∈ [x0 − η, x0 + η] ∩ I, on a encore |f(x)− f(x0)| 6 ε : la fonction est continue en x0.

Étant continue en chaque point de son ensemble de définition, elle est continue.

Exemple 5. On sait que, pour tout réel x, on a (1 + xn )n −→

n→∞ex. Autrement dit, la suite de fonctions

(fn)n définies par fn(x) = (1 + xn )n converge simplement vers la fonction f définie parf(x) = ex. La

convergence est-elle uniforme ? Sûrement pas : la fonction fn − f n’est bornée pour aucune valeur de n.


Mais nous allons démontrer que la convergence est uniforme sur tout segment [a, b] ⊂ R+. En posantδn(x) = f(x) − fn(x) pour x > 0, il s’agit de montrer que ||δn||∞ −→

n→∞0. La première idée pour étudier

ce problème est d’étudier les variations de δn. Pour tout x > 0, on a δ′n(x) = ex − (1 + xn )n−1, dont le

signe n’est pas facile à déterminer. Pour étudier δn, il est plus commode d’écrire

δn(x) = ex − en ln(1+ xn ) = ex

(1− e−x+n ln(1+ x

n ))

= ex(

1− eϕn(x)),

où ϕn(x) = −x+n ln(1+ xn ) pour x > 0 (au passage, on sait déjà que δn(x) > 0 : cela résulte de l’inégalité

e xn > 1 + xn , élevée à la puissance n). Cette fois-ci, le calcul du signe de la dérivée est aisé : on a

ϕ′n(x) = −1 + n1n

1 + xn

= −xn+ x

6 0,

donc la fonction ϕn est décroissante. Comme ϕn(0) = 0, on a, pour tout x ∈ [a, b], ϕn(b) 6 ϕn(x) 6 0,d’où

0 6 1− eϕn(x) 6 1− eϕn(b).

Multipliant par l’inégalité 0 6 ex 6 eb, on obtient

0 6 δn(x) 6 δn(b).

On a donc ||δn|[a,b]||∞ = δn(b) −→n→∞

0, donc la suite (fn)n converge uniformément vers la fonction f surle segment [a, b].

6.1.3 Intégration et passage à la limite : cas d’un segmentLa première raison d’utiliser des suites de fonctions est l’approximation d’intégrales : si la suite de

fonctions (fn)n converge vers la fonction f sur le segment [a, b], peut-on en déduire que∫ bafn −→

n→∞

∫ baf ?

La réponse est négative en général, comme le montre l’exemple 3 du paragraphe 6.1.1 : la suite defonctions converge simplement vers la fonction nulle ; pourtant, pour tout n, on a∫ 1

0fn(t)dt = 1 6−→n→∞

∫ 1

00 dt.

Cependant, on dispose du

Théorème (intégrale d’une limite uniforme sur un segment)Soit (fn)n une suite de fonctions continues sur un segment [a, b]. On suppose que la suite (fn)n convergeuniformément vers une fonction f . Alors∫ b

a

fn(t)dt −→n→∞

∫ b

a

f(t)dt.

Démonstration. En effet, pour tout n ∈ N, on a∣∣∣∣∣∫ b

a

f(t)dt−∫ b

a

fn(t)dt

∣∣∣∣∣ 6∫ b

a

|f(t)− fn(t)|dt 6∫ b

a

||f − fn||∞ dt = (b− a)||f − fn||∞ −→n→∞

0.

Exemple 1. Pour tout réel x > 0, on a∫ 1

0tx(

1 + t

n

)ndt −→

n→∞

∫ 1

0txet dt.

Pour le démontrer, il suffit de montrer que la suite de fonctions continues définies par gn(t) = tx(1 + t

n

)nconverge uniformément vers la fonction définie par g(t) = txet sur le segment [0, 1]. Nous avons déjà vuque la suite de fonctions (fn)n définie par fn(t) = (1 + t

n )n convergeait uniformément vers la fonction fdéfinie par f(t) = et sur [0, 1]. Pour tout t ∈ [0, 1], on a alors

|gn(t)− g(t)| = |txfn(t)− txf(t)| = tx|fn(t)− f(t)| 6 1× ||fn − f ||∞,

ce qui prouve que ||gn − g||∞ 6 ||f − fn||∞. Par suite, on a ||gn − g||∞ −→n→∞

0 : la suite (gn)n convergeuniformément vers la fonction g.


6.1.4 Intégration et passage à la limite : cas d’un intervallePour démontrer le théorème précédent, on a utilisé que la longueur b− a de l’intervalle d’intégration

était finie. Cet argument devient faux dans le cas d’un intervalle d’intégration non borné ; le théorèmedevient faux lui aussi.

Exemple 1. Considérons la suite de fonctions fn définies sur R+ par :

fn(x) =

xn2 si x ∈ [0, n]2n −

xn2 si x ∈ [n, 2n]

0 si x > 2n.

fn

n 2n

1n

La suite de fonctions converge uniformément vers la fonction nulle (pour tout n, on a ||fn||∞ = 1n ) et les

fonctions fn sont toutes intégrables. Pourtant,∫ +∞

0fn = 1 6−→n→∞

∫ +∞

00.

Pour traiter ces cas des intégrales sur un intervalle non borné, on dispose d’un autre théorème :

Théorème (convergence dominée)Soit (fn)n une suite de fonctions, continues par morceaux et intégrables sur un intervalle I. On supposeque

1. la suite de fonctions converge simplement vers une fonction f continue par morceaux sur I ;2. il existe une fonction ϕ, continue par morceaux et intégrable sur I telle que, pour tout entier n,

on ait |fn| 6 ϕ (hypothèse de domination).Alors

1. la fonction f est intégrable sur I2. on peut intervertir la limite et le symbole

∫:∫

I

f = limn→∞

∫I

fn.

Démonstration. Ce théorème est admis (démonstration hors programme).

Remarque 1. L’hypothèse de domination est l’hypothèse essentielle à vérifier pour pouvoir appliquerle théorème. Il ne faut cependant pas oublier de vérifier que la limite simple f est encore continue parmorceaux (ce qui n’est pas une conséquence des autres hypothèses). Il n’est en revanche pas nécessaire devérifier l’intégrabilité de f , qui résulte des hypothèses : en effet, par passage à la limite, on a |f(t)| 6 ϕ(t)pour tout t.

Remarque 2. Il est indispensable que la fonction ϕ ne dépende pas de n !

Exemple 2. Soit, pour tout entier n ∈ N, Wn =∫ π

2

0(cos t)n dt (intégrale de Wallis). Démontrons que

Wn −→n→∞

0.

x

y

1

π2


Notons, pour tout n, fn la fonction définie sur [0, π2 ] par fn(t) = (cos t)n. La suite de fonctions convergesimplement vers la fonction f définie par

f(0) = 1 et f(t) = 0 pour t ∈]0, π2

](en effet, pour tout t ∈

]0, π2

], on a 0 6 cos t < 1). La fonction f est continue par morceaux et la

convergence est dominée (pour tout entier n, |fn(t)| 6 1, fonction intégrable sur le segment [0, π2 ], et quine dépend pas de n). On peut donc appliquer le théorème pour conclure que

Wn −→n→∞

∫ π2

0f =

∫ π2

00 = 0

(la fonction f n’est pas nulle mais elle est nulle presque partout).

Exemple 3. Démontrons que ∫ n

0

(1− x

n

)ndx −→

n→∞1.

Le premier problème est que les intervalles d’intégration ne sont pas tous les mêmes. On règle ce pro-blème en ne considérant que des fonctions définies sur R+ (éventuellement nulles en dehors d’un certainintervalle). Plus précisément, pour chaque n > 1, on définit la fonction fn par :

fn(x) =

(1− xn )n si x ∈ [0, n]

0 si x > n

Chacune de ces fonctions est continue par morceaux, intégrable sur R+, et vérifie que∫ n

0

(1− x

n

)ndx =

∫R+

fn.

x

y

ffn

n

La suite de fonctions converge simplement vers la fonction f : x 7→ e−x, continue par morceaux. En effet,à x fixé, on a fn(x) =

(1− x

n

)n pour tout n suffisamment grand (n > x plus précisément) ; c’est donc cetteformule qu’il faut utiliser pour étudier la limite éventuelle de fn(x) lorsque n tend vers l’infini. Comme(du moins pour x > 0)

n ln(

1− x

n

)∼n→∞ −n

x

n−→n→∞

−x,

on a bien fn(x) −→n→∞

e−x (pour x = 0, c’est évident).De plus, la convergence est dominée par la fonction f : pour tout entier n > 1, on a– (1− x

n ) 6 e− xn , d’où fn(x) 6 f(x) pour x ∈ [0, n] ;– fn(x) = 0 6 f(x) pour x > n.

Cette fonction f qui domine toutes les fn est intégrable, donc on peut appliquer le théorème :∫ n

0

(1− x

n

)ndx =

∫R+

fn −→n→∞

∫R+

e−x dx = 1.

Remarque 3. Une autre façon de s’affranchir du problème lié aux intervalles d’intégration qui ne sont pastous les mêmes consiste parfois à faire un changement de variable. Ici, le changement x = nu transformel’intégrale en

In =∫ 1

0n(1− u)n du.

Pour étudier cette suite d’intégrales, on pose gn(u) = n(1−u)n pour u ∈ [0, 1]. Il est facile de constater que,pour tout u ∈ ]0, 1], gn(u) −→

n→∞0, alors que gn(0) −→

n−→∞+∞ : cette suite de fonctions ne converge donc


pas simplement sur le segment [0, 1]. Cependant, sur l’intervalle semi-ouvert ]0, 1], la suite de fonctionsconverge simplement vers la fonction nulle. On décide donc de voir l’intégrale In comme une intégralesur l’intervalle ]0, 1] et non comme une intégrale sur le segment [0, 1]. On cherche ensuite une fonctionψ : ]0, 1] −→ R, continue par morceaux et intégrable, telle que |gn(u)| 6 ψ(u) pour tout n > 1 et toutu ∈ ]0, 1]. Si on trouve une telle fonction ψ, alors on pourra écrire que

In =∫ 1

0gn(u)du −→

n→∞

∫ 1

0g(u)du,

où g est la fonction nulle. Il est donc impossible de trouver une telle fonction ψ puisque l’on a vu queIn−→ 1 ! Dans cet exemple, la méthode du changement de variable ne permet donc pas de déterminer lalimite de la suite (In)n.

6.1.5 DérivationPour terminer ce paragraphe sur les suites de fonctions, nous nous demandons si la limite d’une suite

de fonctions dérivables l’est encore. Sous la seule hypothèse de convergence simple, nous avons vu que lalimite n’était même pas toujours continue. En revanche, la convergence uniforme permet de conclure :

Théorème (dérivabilité de la limite)Soit (fn)n une suite de fonctions de classe C 1 sur un intervalle I. On suppose que

1. la suite (fn)n converge simplement vers une fonction f ;2. la suite (f ′n)n converge uniformément vers une fonction h.

Alors la fonction f est de classe C 1, et sa dérivée est f ′ = h. La conclusion subsiste si la convergencede la suite (f ′n)n est uniforme sur tout segment [a, b] ⊂ I.

Autrement dit : la limite est dérivable, et on a (lim fn)′ = lim(f ′n).

Démonstration. Supposons la convergence de la suite (f ′n)n uniforme sur tout segment [a, b] ⊂ I. Soita ∈ I un réel. Posons, pour tout x ∈ I, g(x) =

∫ xah(t)dt. Sur le segment [a, x], la suite de fonctions

continues (f ′n)n converge uniformément vers la fonction h, donc on a∫ x

a

f ′n(t)dt −→n−→∞

∫ x

a

h(t)dt = g(x),

et ∫ x

a

f ′n(t)dt = fn(x)− fn(a) −→n→∞

f(x)− f(a).

On a donc f(x) = g(x) + f(a) pour tout x ∈ I. Or la fonction g est de classe C 1, de dérivée g′ = h, doncil en est de même de la fonction f .

Remarque 1. Sous les hypothèses du théorème, la convergence de la suite de fonctions (fn)n est enfait uniforme sur tout segment [a, b] ⊂ I. En effet, pour tout x ∈ [a, b], on a, avec les notations de ladémonstration et en notant gn(x) = fn(x)− fn(a) =

∫ xaf ′n(t)dt :

|gn(x)− g(x)| =∣∣∣∣∫ x

a

f ′n(t)− h(t)dt∣∣∣∣ 6 |x− a|||(f ′n − h)|[a,b]||∞ 6 |b− a|||(f ′n − h)|[a,b]||∞,

d’où|fn(x)− f(x)| 6 |fn(a)− f(a)|+ |b− a|||(f ′n − h)|[a,b]||∞.

Cette majoration étant vraie pour tout x ∈ [a, b], on a

||(fn − f)|[a,b]||∞ 6 |fn(a)− f(a)|+ |b− a|||(f ′n − h)|[a,b]||∞,

donc ||(fn−f)|[a,b]||∞ −→n→∞

0 : la suite (fn)n converge uniformément vers la fonction f sur le segment [a, b].

Si les fonctions fn sont de classe C p, on peut espérer que la limite l’est encore.

6.2. Séries de fonctions 103

Théorème (régularité de la limite)Soit (fn)n une suite de fonctions de classe C p sur un intervalle I. On suppose que

1. pour tout entier k ∈ [[0, p− 1]], la suite (f (k)n )n converge simplement ;

2. la suite (f (p)n )n converge uniformément (sur tout segment inclus dans I).

Alors la fonction f est de classe C p et, pour tout entier k ∈ [[0, p]], on a

f (k) = limn→∞

f (k)n .

Démonstration. Notons `k la limite de la suite (f (k)n )n pour tout k ∈ [[0, p]].

La suite (f (p−1)n )n converge simplement vers la fonction `p−1 et la suite de ses dérivées converge vers

la fonction `p, uniformément sur tout segment. Le théorème précédent affirme que la fonction `p−1 est declasse C 1, de dérivée `′p−1 = `p, et la remarque suivant la démonstration montre que la convergence de lasuite (f (p−1)

n )n est en fait uniforme sur tout segment. L’application du même théorème montre alors quela fonction `p−2 est de classe C 1, de dérivée `′p−2 = `p−1 (donc que `p−2 est de classe C 2 avec `′′p−2 = `p),et que la convergence de la suite (f (p−2)

n )n est en fait uniforme sur tout segment... On finit par obtenirque la fonction `0 est de classe C p, que `′0 = `1 = lim f ′n, que `′′0 = `2 = lim f ′′n ...

6.2 Séries de fonctionsNous étudions maintenant le cas des séries de fonctions. Étudier une série de fonctions

∑fn revient

en fait à étudier la suite de ses sommes partielles (Fn)n, donc tous les résultats relatifs aux suites defonctions s’appliquent encore, transposés aux séries de fonctions. Mais, pour ces dernières, on disposeaussi d’un nouveau type de convergence.

6.2.1 Convergence simple, convergence uniforme, convergence normaleSoit (fn)n∈N une suite de fonctions définies sur un intervalle I et F une fonction définie elle aussi

sur I.

Définition (convergence simple d’une série de fonctions)On dit que la série de fonctions

∑fn converge simplement vers la fonction F si, et seulement si, pour

tout x ∈ I, la série numérique∑fn(x) converge vers le scalaire F (x).

Exemple 1. Considérons, pour tout entier n > 1, la fonction fn définie sur ]−1, 1[ par fn(x) = xn. Lasérie de fonctions

∑fn converge simplement vers la fonction F : x 7→ 1

1−x .

Exemple 2. Posons, pour tout réel x et tout entier n, fn(x) = xn

n! . La série de fonctions∑fn converge

simplement vers la fonction exponentielle. En effet, pour tout réel x, on a

ex =∞∑n=0

xn

n! .

Définition (convergence uniforme)On dit que la série de fonctions

∑fn converge uniformément vers la fonction F si, et seulement si, la

suite (Fn)n des sommes partielles converge uniformément vers la fonction F .

Exemple 3. Considérons, pour tout entier n > 1, la fonction fn définie sur R+ par fn(x) = (−1)nn+x .

La série de fonctions converge simplement : en effet, à x fixé, la suite numérique ( 1x+n )n décroît vers 0

et la série est alternée. Notons F la somme de cette série de fonctions : le théorème des séries alternéesnous indique que, pour tout réel x > 0 et tout entier n, on a∣∣Fn(x)− F (x)

∣∣ 6 1n+ 1 + x

61

n+ 1 .


On a ainsi ||Fn − F ||∞ 6 1n+1 , donc la convergence est uniforme.

Exemple 4. Reprenons l’exemple 1. La somme partielle de la série est définie par

∀x ∈ ]−1, 1[ , Fn(x) =n∑k=0

xk = 1− xn+1

1− x .

On a donc ∣∣Fn(x)− F (x)∣∣ = |x|

n+1

1− x .

Cette différence n’est pas bornée sur l’intervalle ]−1, 1[ (elle tend vers l’infini en 1), donc il ne peut yavoir convergence uniforme. Cependant, si l’on travaille sur un segment [a, b] ⊂ ]−1, 1[, on a cette fois-ciconvergence uniforme : en effet, en notant c = max(|a|, |b|), on a, pour tout x ∈ [a, b] :

∣∣Fn(x)− F (x)∣∣ = |x|

n+1

1− x 6|c|n+1

1− b ,

donc||(Fn − F )|[a,b]||∞ 6

|c|n+1

1− b −→n→∞0.

La proposition suivante résulte immédiatement du résultat analogue pour les suites de fonctions :

Proposition (la convergence uniforme implique la convergence simple)Si une série de fonctions converge uniformément vers une fonction F , elle converge simplement verscette fonction F . La réciproque est fausse.

Convergence normaleSoit (fn)n∈N une suite de fonctions définies sur un intervalle I. On suppose que toutes les fonctions fnsont bornées, ce qui permet de définir la norme ||fn||∞ pour tout entier n.

Définition (convergence normale)On dit que la série de fonctions

∑fn est normalement convergente si, et seulement si, la série numérique∑

||fn||∞ est convergente.

Remarque 1. Dans la pratique, pour montrer qu’une série de fonctions converge normalement, on n’a pastoujours besoin de calculer explicitement la norme ||fn||∞ de chaque fonction : il suffit de trouver, pourtout entier n, un réel αn tel que

– pour tout x ∈ I, on ait |fn(x)| 6 αn– la série numérique

∑αn converge.

On a alors ||fn||∞ 6 αn et, par comparaison de séries à termes positifs, la série∑||fn||∞ converge.

Exemple 5. Considérons la suite de fonctions∑fn définies sur R par

∀n > 1, ∀x ∈ R, fn(x) = 1n2 + x2 .

Chaque fonction fn est bornée et vérifie ||fn||∞ = fn(0) = 1n2 : terme général d’une série convergente. La

série de fonctions converge normalement.

Exemple 6. Considérons la suite de fonctions∑fn définies sur R+ par

∀n > 1, ∀x > 0, fn(x) = x2e−nx.

Chaque fonction fn est bornée (continue, de valeur nulle en 0 et de limite nulle en +∞), mais n’estpas monotone, donc on ne peut pas connaître directement ||fn||∞. On peut cependant supposer que lafonction (qui est à valeurs positives) commence par être croissante, atteint son maximum, puis décroîtvers 0 en +∞.


x

y

2n

4e−2

n2 fn

La question est donc de calculer ce maximum. Pour cela, on dérive : pour tout x > 0, on a

f ′n(x) = 2xe−nx − nx2e−nx = x(2− nx)e−nx,

qui est du signe de 2− nx (puisque x > 0). La fonction est donc croissante sur [0, 2n ] et décroissante sur[ 2

n ,+∞[. On en déduit que ||fn||∞ = f( 2

n ) = 4e−2

n2 : terme général d’une série convergente. La série defonctions

∑fn converge normalement.

Exemple 7. Aucune des fonctions fn : x 7→ xn

n! n’est bornée sur R, donc la série de fonctions∑fn ne

converge pas normalement. En revanche, si l’on étudie la série de fonctions sur un segment [a, b] et nonsur R entier, la convergence est normale. En effet, pour tout x ∈ [a, b] et tout entier n, on a

∣∣xnn!∣∣ 6 Mn

n! ,où M = max(|a|, |b|), donc

||fn|[a,b]||∞ 6Mn

n! .

La série∑

Mn

n! étant convergente, la série de fonctions converge normalement sur le segment [a, b].

Théorème (la convergence normale implique la convergence uniforme)Soit

∑fn une série de fonctions. Si la série converge normalement, elle converge simplement et uni-

formément vers une fonction F . La réciproque est fausse.

Démonstration. Supposons que la série de fonctions converge normalement et notons, pour tout entier n,Mn = ||fn||∞ : la série

∑Mn converge. Pour tout réel x, la série

∑fn(x) est convergente (car absolument

convergente). Notons F (x) la somme de la série et Fn(x) la somme partielle de rang n. Pour tout x ∈ I,on a ∣∣Fn(x)− F (x)

∣∣ =

∣∣∣∣∣n∑k=0

fk(x)−∞∑k=0

fk(x)

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∞∑

k=n+1fk(x)

∣∣∣∣∣ .De plus, pour tout k, on a |fk(x)| 6Mk : terme général d’une série convergente. On peut donc écrire∣∣∣∣∣

∞∑k=n+1

fk(x)

∣∣∣∣∣ 6∞∑

k=n+1|fk(x)| 6

∞∑k=n+1

Mk = Rn+1

(reste d’ordre n d’une série numérique convergente). Cette inégalité étant vérifiée pour tout x ∈ I, on a

||Fn − F ||∞ 6 Rn+1 −→n→∞

0,

ce qui prouve la convergence uniforme de la suite (Fn)n vers F (i.e. la convergence uniforme de la sériede fonctions

∑fn).

Pour la réciproque, il suffit de considérer la suite de fonctions définies par fn(x) = (−1)nn+x sur R+ :

nous avons vu que la convergence de cette suite de fonctions était uniforme, mais elle n’est pas normale,car ||fn||∞ = 1

n : terme général d’une série divergente.

Dans la pratique, lorsque l’on cherchera à montrer la convergence uniforme d’une série de fonctions,on commencera par étudier la convergence normale.


6.2.2 Continuité d’une série de fonctionsLa première question que nous nous posons à propos des séries de fonctions est celle de la continuité :

si la série de fonctions converge (simplement) et que toutes les fonctions sont continues, la somme de lasérie est-elle encore continue ? La réponse est en général négative, comme le montre l’exemple suivant.

Exemple 1. Considérons la série de fonctions (fn)n définies sur l’intervalle [0, 1] par fn(x) = xn − xn+1.Les fonctions sont toutes continues, et la somme partielle de la série (télescopique) vérifie

∀n ∈ N, ∀x ∈ [0, 1], Fn(x) =n∑k=0

fk(x) = 1− xn+1.

La somme F de la série est donc définie par

F (1) = 0 et ∀x ∈ [0, 1[ , F (x) = 1 :

elle est discontinue.

Théorème (continuité de la somme d’une série de fonctions)Soit

∑fn une série de fonctions définies sur un intervalle I. On suppose que

1. chaque fonction fn est continue2. la série de fonctions converge uniformément.

Alors la somme F de la série de fonctions est continue.

Remarque 1. Le théorème s’applique en particulier si la série de fonctions converge normalement (carelle converge alors uniformément).

Démonstration. Notons Fn la somme partielle de la série de fonctions : avec les hypothèses de l’énoncé,chaque fonction Fn est continue et la suite de fonctions (Fn)n converge uniformément vers la fonction F ,donc celle-ci est continue.

Exemple 2. Considérons la série de fonctions∑fn définies sur R par :

∀n > 1, ∀x ∈ R, fn(x) = einx

n2 .

Ces fonctions sont toutes continues et bornées et vérifient ||fn||∞ = 1n2 pour tout entier n > 1. La série∑ 1

n2 étant convergente, la série de fonctions∑fn converge normalement sur R, et sa somme F est

continue.

Dans la pratique, on utilise souvent ce théorème sous la variante suivante :

Théorème (continuité d’une série de fonctions, version convergence uniforme sur tout segment)Soit

∑fn une série de fonctions définies sur un intervalle I. On suppose que

1. chaque fonction fn est continue2. la série de fonctions converge uniformément sur tout segment de I.

Alors la somme F de la série de fonctions est continue.

Remarque 2. Ici encore, le théorème s’applique en particulier si la convergence de la série de fonctionsest normale sur tout segment.

Démonstration. En effet, la continuité étant une notion locale, il suffit, pour qu’une fonction F soitcontinue, que sa restriction à tout segment [a, b] inclus dans I soit continue. Cette continuité sur lessegments de I résulte du théorème précédent.


Exemple 3. Considérons la série de fonctions∑fn définies sur l’intervalle I = R∗+ par :

∀n > 1, ∀x > 0, fn(x) = (−1)n

nx.

Chaque fonction fn est continue, et la fonction |fn| est décroissante, donc ||fn||∞ = lim0 |fn| = 1 : la sérien’est pas normalement convergente. À x > 0 fixé, la série

∑fn(x) vérifie les hypothèses du théorème des

séries alternées, donc la série converge (i.e. que la série de fonctions converge simplement). Notons Fn lasomme partielle de rang n et F la somme de cette série de fonctions : le théorème des séries alternéesmontre que, pour tout x > 0, le reste Rn(x) = F (x) − Fn(x) vérifie |Rn(x)| 6 1

(n+1)x . Pour montrer laconvergence uniforme de la série de fonctions, il faut majorer cette quantité par an indépendant de x (etqui tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini). On calcule donc

supx∈R∗+

1(n+ 1)x = lim

x→ 0

1(n+ 1)x = 1,

quantité qui ne tend pas vers 0 : il n’y a pas convergence uniforme non plus. Mais, si au lieu de fairevarier x dans tout l’intervalle R∗+, on se contente de le faire varier dans un segment [a, b] ⊂ R∗+ (donca > 0), on a cette fois-ci

supx∈[a,b]

1(n+ 1)x = 1

(n+ 1)a ,

qui tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini. La série de fonctions∑fn converge donc uniformément sur

le segment [a, b]. Ceci étant vrai pour tout segment [a, b] ⊂ R∗+, le théorème précédent s’applique, doncla somme F de la série de fonctions est continue.

6.2.3 Intégration terme à terme sur un segmentLa deuxième question que nous nous posons est celle de l’intégration : si la série de fonction

∑fn

converge vers une fonction f , à quelle condition peut-on écrire que∫If =

∑∞n=0

∫Ifn ? Pourvu que l’on

travaille sur un segment, la convergence uniforme est ici encore une condition suffisante.

Théorème (intégration terme à terme sur un segment)Soit

∑fn une série de fonctions continues définies sur un segment [a, b]. Si la série de fonctions converge

uniformément vers une fonction F , alors1. la série numérique

∑(∫ bafn)converge ;

2. on a l’égalité ∫ b

a

∞∑n=0

fn(t)dt =∞∑n=0

(∫ b

a

fn(t)dt).

Démonstration. Pour tout entier n, on a (en notant Fn la somme partielle de la série de fonctions) :∣∣∣∣∣∫ b

a

F (t)dt−n∑k=0

∫ b

a

fk(t)dt

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∫ b

a

F (t)dt−∫ b

a

n∑k=0

fk(t)dt

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∫ b

a

(F (t)− Fn(t)

)dt

∣∣∣∣∣6∫ b

a

∣∣F (t)− Fn(t)∣∣dt 6 (b− a)||F − Fn||∞ −→

n→∞0.

On a doncn∑k=0

∫ b

a

fk(t)dt −→n→∞

∫ b

a

∞∑k=0

fk(t)dt,

ce qui signifie que la série∑∫ b

afn converge, et que sa somme est égale à

∫ baF .


Exemple 1. Considérons la fonction ϕ, définie sur le segment [0, 1], par

∀x ∈ ]0, 1] , ϕ(x) = −x ln(x) et ϕ(0) = 0

et la suite (fn)n de fonctions, définies elles aussi sur l’intervalle [0, 1], par

∀n ∈ N, ∀x ∈ [0, 1], fn(x) = ϕ(x)n

n! .

La fonction ϕ est continue sur le segment [0, 1], donc bornée. Soit M > 0 une constante telle que, pourtout x ∈ [0, 1], on ait |ϕ(x)| 6M . Alors, pour tout entier n et tout réel x ∈ [0, 1], on a

|fn(x)| 6 Mn

n! ,

donc||fn||∞ 6

Mn

n! .

Comme la série∑

Mn

n! converge, la série de fonctions∑fn converge normalement sur le segment [0, 1].

Sa somme f vérifie

∀x ∈ ]0, 1] , f(x) =∞∑n=0

ϕ(x)n

n! = eϕ(x) = e−x ln x = x−x

(et f(0) = eϕ(0) = 1). La convergence étant normale, elle est en particulier uniforme, donc on peutintégrer terme à terme pour obtenir l’égalité∫ 1

0x−x dx =

∞∑n=0

∫ 1

0

(−x ln x)n

n! ,

les intégrales apparaissant n’étant pas des intégrales généralisées sur l’intervalle ]0, 1], mais bien desintervalles sur le segment [0, 1] (du prolongement par continuité en 0 des fonctions). Calculons, pourchaque entier n, l’intégrale

∫ 10 (−x ln x)n dx. Pour cela, calculons plus généralement l’intégrale In,p =∫ 1

0 xn(ln x)p dx (pour n > 1 pour que la fonction intégrée se prolonge par continuité en 0). Pour p > 1,

une intégration par parties donne

In,p =∫ 1

0xn(ln x)p dx =

∫ 1

0(ln x)p d

(xn+1

n+ 1

)=[xn+1(ln x)p

n+ 1

]1

0−∫ 1

0

xn+1

n+ 1p

x(ln x)p−1 dx

= 0− p

n+ 1

∫ 1

0xn(ln x)p−1 dx = − p

n+ 1In,p−1.

On en déduit que

In,p = (−1)p p!(n+ 1)p In,0 = (−1)pp!

(n+ 1)p+1 ,

l’égalité étant encore vraie pour n = p = 0 (I0,0 =∫ 1

0 1dx = 1). En particulier, on obtient l’égalité∫ 1

0

(−x ln x)n

n! = (−1)nIn,nn! = 1

(n+ 1)n+1 ,

d’où l’on tire l’égalité ∫ 1

0x−x dx =

∞∑n=1

1nn.

6.2.4 Intégration terme à terme sur un intervalleLorsque l’intervalle de définition I n’est plus un segment, la convergence uniforme, ni même normale,

de la série de fonctions ne suffit plus pour intégrer terme à terme.


Exemple 1. Considérons la suite (fn)n>1 de fonctions définies sur l’intervalle I = R par

∀x ∈ R, fn(x) = 1x2 + n2 .

Pour tout entier n, on a ||fn||∞ = 1n2 , donc la série de fonctions converge normalement et sa somme F

est continue. En notant Fn la somme partielle de rang n, on a Fn 6 F pour tout entier n. Or∫ +∞

−∞Fn(x)dx =

n∑k=1

∫ +∞

−∞

dxx2 + k2 =

n∑k=1

π

k−→n→∞

+∞.

Si la fonction F était intégrable, on aurait∫ +∞−∞ F >

∫ +∞−∞ Fn pour tout entier n, ce qui est absurde.

Dans cette situation, nous disposons d’un autre théorème permettant d’intervertir les symboles∑

et∫:

Théorème (intégration terme à terme d’une série de fonctions)Soit (fn)n une suite de fonctions continues par morceaux et intégrables sur un intervalle I. On supposeque

1. la série de fonctions∑fn converge simplement vers une fonction F continue par morceaux sur I ;

2. la série numérique∑∫

I|fn| converge.

Alors1. la fonction F est intégrable sur I ;2. on peut intervertir le symbole

∑et le symbole

∫:∫

I

∞∑n=0

fn =∞∑n=0

∫I

fn.


Remarque 1. Il n’est pas utile de vérifier la convergence de la série numérique∑∫

Ifn, qui résulte des

hypothèses : en effet, pour tout entier n, on a∣∣ ∫Ifn∣∣ 6 ∫

I|fn|. Par hypothèse, la série numérique

∑∫I|fn|

converge, donc la série numérique∑|∫Ifn| converge. Autrement dit, la série numérique

∑∫Ifn converge

absolument, donc elle converge.

Exemple 2. Démontrons que, pour tout entier p > 1, on a∫ +∞

0

tp

et − 1 dt = p!+∞∑n=1

1np+1 .

Soit p > 1 un entier. Pour tout réel t > 0, on a

tp

et − 1 = e−t tp

1− e−t = e−ttp∞∑n=0

e−nt =∞∑n=1

tpe−nt

car e−t ∈ ]0, 1[. Posons fn(t) = tpe−nt : la fonction fn est continue sur R∗+, intégrable (admet une limitefinie en 0, négligeable devant t−2 au voisinage de +∞). Son intégrale Ip,n vérifie

Ip,n =∫ +∞

0tpe−nt dt =

∫ +∞

0tp d

(−e−nt

n

)=[−tpe−nt

n

]+∞

0+ p

n

∫ +∞

0tp−1e−nt dt = p

nIp−1,n.

Une récurrence immédiate donne alors

Ip,n = p!npI0,n = p!

np+1 .

La série numérique∑n>1

∫ +∞0 |fn| =

∑n>1

p!np+1 converge, donc on peut appliquer le théorème d’inté-

gration terme à terme :


– la fonction F : t 7→ tp

et−1 est intégrable sur R∗+– on a l’égalité ∫ +∞

0

tp

et − 1 dt = p!+∞∑n=1

1np+1 .

Remarque 2. Dans cet exemple, on peut aussi appliquer le théorème de convergence dominée à une suitede fonctions (la suite des sommes partielles de la série). En effet, en gardant les mêmes notations et ennotant Fn =

∑nk=1 fk la somme partielle de rang n de la série de fonctions, on a :

– la suite (Fn)n>1 converge simplement vers la fonction F– pour tout entier n > 1, on a 0 6 Fn 6 F (les fonctions fn sont toutes à valeurs positives).

Cette fois-ci, pour avoir l’hypothèse de domination, il faut en outre prouver que la fonction F est inté-grable. C’est bien le cas : elle est continue, prolongeable par continuité en 0 et dominée par t−2 en +∞.Le théorème de convergence dominée donne donc∫ +∞

0F = lim

n→∞

∫ +∞

0Fn.

Or, pour tout entier n > 1, on a ∫ +∞

0Fn =

∫ +∞

0

n∑k=1

fk =n∑k=1

∫ +∞

0fk

(c’est une somme finie), donc on obtient∫ +∞

0F = lim

n→∞

n∑k=1

∫ +∞

0fk =

∞∑k=1

∫ +∞

0fk.

6.2.5 Dérivation terme à termeIntéressons-nous maintenant à une question de régularité plus forte que la continuité : si les fonctions fn

sont toutes dérivables et que la série de fonctions∑fn converge vers une fonction f , cette fonction f

est-elle encore dérivable ? Le cas échéant, a-t-on f ′ =∑∞n=0 f

′n ?

Théorème (dérivation terme à terme)Soit

∑fn une série de fonctions de classe C 1 définies sur un intervalle I de R. On suppose que

1. la série de fonctions∑fn converge simplement vers une fonction F sur l’intervalle I

2. la série de fonctions∑f ′n converge uniformément sur tout segment de I.

Alors1. la fonction F est de classe C 1

2. sa dérivée F ′ vérifie

F ′ =∞∑n=0

f ′n.

Démonstration. En posant Fn =∑nk=0 fk, on a :

1. la suite de fonctions (Fn)n converge simplement vers la fonction F sur l’intervalle I ;2. la suite de fonctions (F ′n)n converge uniformément sur tout segment de I.

Le théorème de dérivation d’une suite de fonctions affirme que la fonction F est de classe C 1 et vérifie

F ′ = limn→∞

F ′n = limn→∞

( ∞∑k=0

fk))′

= limn→∞

∞∑k=0

f ′k =∞∑k=0

f ′k.


On peut étendre ce théorème aux fonctions de classe C p :

Théorème (dérivation terme à terme, cas des fonctions de classe C p)Soit

∑fn une série de fonctions de classe C p définies sur un intervalle I de R. On suppose que

1. pour tout k ∈ [[0, p− 1]], la série de fonctions∑f

(k)n converge simplement ;

2. la série de fonctions∑f

(p)n converge uniformément sur tout segment de I.

Alors1. la fonction f est de classe C p

2. pour tout entier k ∈ [[1, p]], sa dérivée d’ordre k vérifie

f (k) =∞∑n=0

f (k)n .

Démonstration. Il suffit, comme dans la version p = 1, d’appliquer le théorème connu à la suite (Fn)ndes sommes partielles.

Exemple 1. Fonction ζ de RiemannConsidérons, pour tout n > 1, la fonction fn définie sur l’intervalle I = ]1,+∞[ par

∀n > 1, ∀x > 1, fn(x) = 1nx.

La série de fonctions converge simplement sur l’intervalle I ; sa somme est notée ζ.Pour chaque entier n, la fonction fn est de classe C∞ ; sa dérivée d’ordre k est donnée par

f (k)n (x) = (− lnn)k

nx

(en effet, on a fn(x) = e−x lnn). Cette série de fonctions ne converge normalement pour aucun entier k(on a ||f (k)

n ||∞ = (lnn)kn , terme général d’une série divergente). Étudions la convergence normale sur un

segment [a, b] ⊂ I (donc vérifiant a > 1). Pour réel x ∈ [a, b], on a

∣∣f (k)n (x)

∣∣ 6 (lnn)k

na∈ O

(1nα

),

où α est un réel quelconque vérifiant 1 < α < a. La propriété α > 1 assure la convergence de la série∑ 1nα , donc la convergence normale de la série de fonctions

∑f

(k)n sur le segment [a, b]. Ceci étant vrai

pour tout entier k (et tout segment [a, b] ⊂ I), la fonction ζ est de classe C∞ et, pour tout entier k, sadérivée d’ordre k vérifie

ζ(k)(x) =∞∑n=1

(− lnn)k

nx.



1. On considère la suite (fn)n de fonctions définies par fn(x) = xn. La suite (fn)n est-elle simplementconvergente (le cas échéant, vers quelle fonction) sur les intervalles suivants :i) [0, 1[ ii) [0, 1] iii) [0, 2].La convergence est-elle uniforme ?

2. Soit (fn)n une suite de fonctions continues définies sur un segment [a, b]. On suppose que la série defonctions

∑fn converge simplement sur le segment [a, b]. Le raisonnement suivant est-il correct ? S’il

comporte des erreurs, combien et lesquelles ?«Chaque fonction |fn| est continue sur le segment [a, b], donc est bornée et atteint ses bornes. Notons

α ∈ [a, b] un réel tel que||fn||∞ = fn(α).

Comme la série de fonctions converge simplement, la série numérique∑fn(α) converge, ce qui signifie

que la série de fonctions∑fn converge normalement.»

3. Soit (fn)n une suite de fonctions convergeant simplement vers une fonction f sur un intervalle I. Pourchacune des propriétés suivantes des fonctions fn, indiquer si la fonction f la vérifie encore.i) les fonctions fn sont continues ii) les fonctions fn sont croissantesiii) les fonctions fn sont bornées.

4. Pour tout entier n > 1, on considère la fonction fn définie sur R+ par (faire un dessin) :– fn est affine par morceaux et continue sur l’intervalle [0, 2

n ], avec fn(0) = fn( 2n ) = 0 et fn( 1

n ) = n2

– fn(x) = 0 pour x > 2n .

Sur l’intervalle R∗+, on a 0 6 fn(x) 6 1x2 pour tout entier n > 1, et la fonction x 7→ 1

x2 est intégrable car2 > 1. La suite de fonctions converge simplement vers la fonction nulle sur R∗+, donc

∫ +∞0 fn −→

n→∞0.

a) La conclusion de cette «démonstration» est-elle correcte ?b) Détailler chaque point du raisonnement pour indiquer s’il est ou non correct.

5. Donner un exemple de suite (fn)n de fonctions continues, définies sur R+, intégrables, vérifiant 0 6 fn 6 1pour tout entier n, qui converge simplement vers la fonction nulle, mais telle que

∫ +∞0 fn ne converge pas

vers 0. Trouver même un exemple pour lequel∫ +∞

0 fn−→+∞.

6. Soit I un intervalle borné (pas nécessairement fermé) et (fn)n une suite de fonctions continues sur I,intégrables, vérifiant 0 6 fn 6 1 pour tout entier n, qui converge simplement vers la fonction nulle.Peut-on en déduire que

∫Ifn−→ 0 ?

7. Soit∑fn une série de fonctions définies sur un intervalle I (qui n’est pas un segment). Quels liens logiques

y a-t-il entre les deux assertions suivantes ?i) La série de fonctions converge simplement sur tout segment J inclus dans Iii) La série de fonctions converge simplement sur I.

8. Soit∑fn une série de fonctions définies sur un intervalle I (qui n’est pas un segment). Quels liens logiques

y a-t-il entre les deux assertions suivantes ?i) La série de fonctions converge normalement sur tout segment J inclus dans Iii) La série de fonctions converge normalement sur I.

9. Soit, pour tout entier n ∈ N, fn : x 7→ e−nx.a) Sur quel intervalle I la série de fonctions

∑fn converge-t-elle simplement ? Quelle est la somme de la

fonction ?b) La convergence de la série de fonctions est-elle uniforme ? Normale ? Et sur les segments ?

10. Soit∑fn une série de fonctions continues définies sur l’intervalle [0, 1]. On suppose que, pour tout réel

a ∈ ]0, 1[, la série de fonctions converge normalement sur le segment [0, a].a) Y a-t-il convergence normale sur l’intervalle [0, 1[ ?b) La fonction somme est-elle continue sur l’intervalle [0, 1[ ?c) La fonction somme a-t-elle une limite en 1 ?

11. Peut-il exister une fonction ϕ : [0, 1[ −→ R+, continue par morceaux et intégrable, telle que, pour toutcouple (n, t) ∈ N× [0, 1[, on ait ntn 6 ϕ(t) ?


6.3.2 Réponses1. i) Sur l’intervalle [0, 1[, la suite (fn)n converge simplement vers la fonction nulle. La convergence n’est

pas uniforme : pour tout entier n, on a ||fn − 0||∞ = supx∈[0,1[ |xn| = 1, qui ne tend pas vers 0.ii) Sur l’intervalle [0, 1], a suite (fn)n converge simplement vers la fonction f définie par f(x) = 0si x ∈ [0, 1[ et f(1) = 1. La limite n’étant pas continue, alors que les fn le sont, la convergence ne peutêtre uniforme.iii) Sur l’intervalle [0, 2], la suite (fn)n ne converge pas simplement (pour tout réel x > 1, fn(x) −→

n→∞+∞).

2.Ce raisonnement comporte deux graves erreurs. Tout d’abord, s’il est vrai que la fonction |fn| atteint sonmaximum en un réel α ∈ [a, b], ceci s’écrit ||fn||∞ = |fn(α)| (et non fn(α)). Or, on sait par hypothèseque, pour tout x ∈ [a, b], la série

∑fn(x) converge, mais on ne sait rien sur la série

∑|fn(x)| ! Ce point

peut se corriger si on ajoute l’hypothèse (fréquente en pratique, mais pas toujours vérifiée quand même)que les fonctions fn sont toutes positives (ou négatives, ou du moins à partir d’un certain rang n).

Deuxième erreur : pour tout entier n, il existe bien un tel réel α tel que fn(α) = ||fn||∞, mais ce réeln’a aucune raison d’être le même pour toutes les fonctions fn ! On le note donc αn. Et même si, pourtout x, la série

∑fn(x) converge, la série

∑fn(αn) n’a aucune raison de converger...

3. i) La suite de fonctions (fn)n définies par fn(x) = xn sur l’intervalle [0, 1] converge simplement vers lafonction f : x 7→ 0 si x ∈ [0, 1[ et f(1) = 1. Les fonctions fn sont toutes continues ; pas la fonction f .ii) Si les fonctions fn sont toutes croissantes, la fonction f l’est encore : en effet, pour x 6 y ∈ I, on afn(x) 6 fn(y) pour tout entier n ; il suffit de passer à la limite sur n.iii) La fonction f n’est pas nécessairement bornée : prenons par exemple les fonctions fn définies sur Rpar : fn(x) = x si x ∈ [−n, n], fn(x) = 0 si |x| > n. Les fonctions fn sont toutes bornées (pour toutentier n, on a ||fn||∞ = n). Elles convergent simplement vers la fonction f : x 7→ x, qui n’est pas bornée(en effet, à x fixé, on s’intéresse à fn(x) lorsque n devient grand : pour calculer la limite, c’est donc laformule avec n > |x| qu’il faut utiliser).

4. a) Pour tout entier n > 1, on a∫ +∞

0 fn = 1 (aire d’un triangle), donc la conclusion est fausse.b) – Pour x ∈

]0, 1

n

], on a fn(x) = n3x 6 1

x2 .– Pour tout x ∈ [ 1

n ,2n ], on a fn(x) = −n3(x− 1

n ) 6 1x2 (vérification sans difficulté).

– Pour x > 2n , on a bien sûr 0 6 fn(x) 6 1

x2 .– La suite de fonctions (fn)n converge simplement vers la fonction nulle (à x fixé, on s’intéresse à ce quise passe pour n grand, donc à la formule fn(x) = 0...).– Mais la fonction x 7→ 1

x2 n’est pas intégrable ! (ou du moins, elle l’est sur [1,+∞[ mais pas sur ]0, 1]).

5.Une fonction «bosse glissante» qui se déplace vers la droite convient bien. Par exemple fn(x) = 0 pourx ∈ [0, n] ∪ [n+ 2,+∞[, fn(x) = x− n pour x ∈ [n, n+ 1] et fn(x) = n + 1− x pour x ∈ [n + 1, n+ 2].La suite converge simplement vers la fonction nulle sur R+ (à x fixé, on a fn(x) = 0 pour n > x), lesfonctions fn sont toutes intégrables (d’intégrale égale à 1), mais

∫ +∞0 fn ne tend pas vers 0. En modifiant

légèrement la fonction comme l’explique le dessin, on a même∫ +∞

0 gn = n−→+∞.

fn

n n+ 1 n+ 2

gn

n n+ 1 2n 2n+ 1

6.Cette fois-ci, contrairement à l’exercice précédent, on peut conclure que∫Ifn −→

n→ 0: en effet, la convergence

est dominée par la fonction constante égale à 1, qui est bien intégrable car I est un intervalle borné.

7.Ces deux assertions signifient exactement la même chose : la convergence simple s’intéresse à ce qui sepasse point par point, sans se préoccuper de ce qui se passe pour les points voisins. On ne dit donc jamaisqu’une série de fonctions converge simplement sur tout segment : on dit qu’elle converge simplement (enprécisant si besoin l’intervalle sur lequel a lieu la convergence simple).

8. Si la série de fonctions converge normalement sur I, elle converge normalement sur tout segment de I.En effet, si J est un segment inclus dans I, on a ||fn|J ||∞ 6 ||fn||∞ pour tout entier n, donc si la série∑||fn||∞ converge, il en est de même de la série

∑||fn|J ||∞.

La réciproque est fausse : par exemple, pour la suite de fonctions définies sur [0, 1[ par fn(x) = xn, ona convergence normale sur tout segment [a, b] ⊂ [0, 1[ (car ||fn|[a,b]||∞ = bn avec 0 < b < 1), mais pasconvergence normale sur [0, 1[ (car ||fn||∞ = 1).


9. a) La série de fonctions converge simplement sur R∗+ ; la somme est définie par F (x) = 11−e−x .

b) L’intervalle de définition est I = R∗+. Pour tout entier n, on a ||fn||∞ = 1 : il n’y a pas convergencenormale sur I. On a également

|Fn(x)− F (x)| =∣∣∣∣1− e−(n+1)x

1− e−x − 11− e−x

∣∣∣∣ = e−(n+1)x

1− e−x −→n→ 0+∞ :

aucune des fonctions Fn − F n’est bornée, donc il n’y a pas non plus convergence uniforme.Sur un segment [a, b] ⊂ R∗+, on a maintenant ||fn|[a,b]||∞ = fn(a) par décroissance de fn. C’est la

terme général d’une série convergente, donc la série converge normalement (donc uniformément) sur toutsegment.

10. a) L’exemple précédent montre que l’on n’a pas nécessairement convergence normale sur l’intervalle [0, 1[.b) La convergence normale ayant lieu sur tout segment inclus dans ]0, 1[, le théorème du cours affirmeque la fonction somme est malgré tout continue sur cet intervalle.c) Dans l’exemple de l’exercice précédent toujours, la somme est définie par f(x) = 1

1−x pour toutx ∈ [0, 1[ : elle n’admet pas de limite finie en 1.

11. Si une telle fonction existait, le théorème de convergence dominée impliquerait que∫

[0,1[ ntn dt −→

n→∞

∫[0,1[ 0 dt =

0 (car la suite de fonctions t 7→ ntn converge simplement vers la fonction nulle sur cet intervalle). Or,pour tout n, on a

∫ 10 nt

n dt = nn+1 , qui ne tend pas vers 0. Une telle fonction ϕ ne peut donc exister.

Chapitre 7Fonctions à valeurs vectorielles ; courbesparamétrées

Dans ce chapitre, nous cherchons à étendre les notions et résultats concernant la dérivation desfonctions à valeurs réelles au cas des fonctions à valeurs dans un R-espace vectoriel E de dimensionfinie. Ces fonctions restent des fonctions d’une variable réelle. Lorsque E est de dimension 2 ou 3, unetelle fonction représente le déplacement d’un mobile ponctuel dans un plan ou dans l’espace (la variableest alors le temps).

7.1 Dérivation des fonctions à valeurs vectorielles

7.1.1 Définitions et caractérisation par les coordonnées

Soit I un intervalle de R, E un R-espace vectoriel de dimension finie et f : I −→ E une fonction.

DéfinitionLa fonction f est dite dérivable en a ∈ I si, et seulement si, la fonction taux d’accroissement en a

τa : t 7→ f(t)− f(a)t− a

,

définie sur I \ a, admet une limite ` en a. Si c’est le cas, cette limite est notée f ′(a) est appeléedérivée de f en a.

Rappelons que τa(t) −→t→ a

` signifie que ||τa(t)− `|| −→t→ a

0. Cette notion dépend a priori du choix d’unenorme sur l’espace E. En fait, E est de dimension finie, donc nous avons vu (admis) que, si τa(t) −→

t→ a`

au sens d’une certaine norme sur l’espace E, c’est aussi vrai au sens de toute norme sur E.

En notant J l’ensemble des points de I en lesquels la fonction f est dérivable, la dérivée de la fonction fest la fonction f ′ : J −→ E, a 7→ f ′(a). Cette fonction est aussi notée D(f) ; le vecteur dérivé de f ena ∈ J est alors noté D(f)(a). On note aussi, abusivement, df

dt la fonction f ′ (ou dfdx lorsque la variable

est notée x).

PropositionSi la fonction f est dérivable en a ∈ I, elle y est aussi continue. La réciproque est fausse.

Démonstration. Puisque le quotient f(t)−f(a)t−a admet une limite ` lorsque t tend vers a, le numérateur

tend vers 0 lorsque t tend vers a, ce qui signifie que f est continue en a.

115

116 Chapitre 7. Fonctions à valeurs vectorielles ; courbes paramétrées

Proposition (linéarité de la dérivation)Soient f, g : I −→ E deux fonctions et λ un scalaire. Si f et g sont dérivables en a, alors λf + g l’estaussi, et

(λf + g)′(a) = λf ′(a) + g′(a).

Démonstration. Résulte immédiatement de la linéarité de la limite.

La proposition précédente s’applique évidemment au cas où les fonctions f et g sont dérivables surtout l’ensemble J ⊂ I : il en est alors de même de λf + g, et on a (λf + g)′ = λf ′ + g′. Autrementdit : l’ensemble D1(J,E) des fonctions dérivables de J à valeurs dans E est un sous-espace vectoriel del’espace vectoriel F (J,E) de toutes les fonctions de J dans E, et l’opérateur D de dérivation est linéaire.

Attention! La réciproque est fausse : il est possible que la fonction λf + g soit dérivable, sans que fni g le soit !

Définition (fonction de classe C 1)Une fonction f : I −→ E est dite de classe C 1 si, et seulement si, elle est dérivable et que sa dérivée f ′est une fonction continue. On note C 1(I, E) l’ensemble des fonctions de classe C 1 de I à valeurs dans E.

Cet ensemble est un sous-espace vectoriel de l’espace D1(I, E). On définit ensuite par récurrence lesdérivées successives de la fonction f (pourvu qu’elles existent) ; la dérivée d’ordre k est notée f (k), ouDk(f), ou encore dkf

dtk lorsque la variable est notée t ; la fonction f est dite de classe C k si, et seulementsi, elle est k fois dérivable et que sa dérivée d’ordre k est une fonction continue. La fonction f est dite declasse C∞ (ou indéfiniment dérivable) si, et seulement si, elle est de classe C k pour tout entier k.

En général, on choisit une base de l’espace vectoriel E, qui permet de repérer chaque vecteur par sescoordonnées dans la base choisie. On dispose alors du

ThéorèmeSoit B = (e1, . . . , en) une base de E et f : I −→ E une fonction. Notons f1, . . . , fn les fonctionscoordonnées de la fonction f dans la base B (i.e. les fonctions telles que, pour tout réel t ∈ I, on aitf(t) = f1(t)e1 + · · ·+ fn(t)en).La fonction f est dérivable si, et seulement si, les fonctions f1, . . . , fn sont toutes dérivables ; si c’estle cas, les coordonnées de la fonction f ′ sont les fonctions f ′1, . . . , f ′n.

Démonstration. Résulte immédiatement du théorème analogue concernant la limite d’une fonction àvaleurs vectorielles en un point a.

Comme première conséquence, on obtient le

Théorème (caractérisation des fonctions constantes)Soit f : I −→ E une fonction dérivable, où I est un intervalle.La fonction f est constante si, et seulement si, sa dérivée f ′ est la fonction nulle.

Démonstration. Choisissons une base B de E et notons f1, . . . , fn les coordonnées de la fonction f danscette base : ce sont des fonctions dérivables à valeurs réelles. La fonction f est constante si, et seulementsi, chacune des fonctions fi l’est, ce qui équivaut à ce que chacune des dérivées f ′i soit nulle, i.e. à lanullité de l’application f ′.

Remarque 1. Notons que, pour tout t, f(t) est un vecteur. La notion de fonction croissante ou décroissanten’a donc aucun sens dans ce cadre (si t1, t2 ∈ I, l’assertion f(t1) 6 f(t2) n’a aucun sens).

7.1. Dérivation des fonctions à valeurs vectorielles 117

Attention! Le fait que I soit un intervalle (sans «trou») est essentiel ! Par exemple, la fonctionf : R∗ −→ R définie par f(x) = Arctg x + Arctg 1

x est dérivable, de dérivée nulle, mais elle n’est pasconstante : elle vérifie f(−1) = −π2 , alors que f(1) = π

2 . La raison en est que son ensemble de définitionn’est pas un intervalle : il y a un trou en 0. En revanche, sur chacun des intervalles R∗− et R∗+ (surlesquels f est définie et dérivable), le théorème s’applique : la fonction est constante sur chacun de cesdeux intervalles.

7.1.2 Compositions

Si f : I −→ est une fonction, on peut la composer à droite (f ϕ, où ϕ est une application définied’un intervalle J de R à valeurs dans I) ou à gauche (u f , où u est une application de E dans un autreespace vectoriel F ). Examinons comment se comporte la dérivabilité vis-à-vis de ces deux compositions.

Théorème (composition par une application linéaire)Soit f : I −→ E une fonction dérivable et u : E −→ F une application linéaire (E,F : espaces vectorielsnormés de dimension finie). Alors l’application u f : I −→ F est dérivable, de dérivée donnée par(u f)′ = u f ′.

Démonstration. Choisissons une base B = (e1, . . . , ep) de E et une base C = (ε1, . . . , εn) de F . Notonsf1, . . . , fp les coordonnées de la fonction f dans la base B, ainsi que ai,j les coefficients de la matrice Ude u dans les bases B et C . Pour tout x ∈ I et i ∈ [[1, n]], la ième coordonnée du vecteur u(f(x)) est égale∑pj=1 ai,jfj(x). Chacune des fonctions fj étant dérivable, la fonction

∑pj=1 ai,jfj l’est aussi, de dérivée

égale à∑pj=1 ai,jf

′j . La fonction u f est donc dérivable ; les coordonnées de sa fonction dérivée sont les

fonctions∑pj=1 ai,jf

′j . La fonction (u f)′ est donc égale à la fonction u f ′.

Remarque 1. Dans le cas particulier où E = F = R, l’application linéaire u est du type x 7→ αx (α ∈ R).Le théorème précédent s’écrit alors : (αf)′ = αf ′.

Pour la composée dans l’autre sens :

ThéorèmeSoit f : I −→ E une fonction dérivable et ϕ : J −→ I une fonction dérivable (I, J : intervalles de R ;E : espace vectoriel normé de dimension finie). Alors la fonction f ϕ : J −→ E est dérivable, dedérivée donnée par (f ϕ)′ = ϕ′ × f ′ ϕ.

Démonstration. Choisissons à nouveau une base B de E et notons fi la ième coordonnée de la fonction fdans cette base B. Alors la ième coordonnée de la fonction f ϕ est la fonction fi ϕ. Elle est dérivable(car fi et ϕ le sont), de dérivée donnée par (fi ϕ)′ = ϕ′ × f ′i ϕ. Les coordonnées de la fonctionf ϕ étant toutes dérivables, la fonction f ϕ l’est aussi ; de plus, le calcul des coordonnées montre que(f ϕ)′ = ϕ′ × f ′ ϕ.

Remarque 2. En se ramenant aux coordonnées, on montre de la même façon que, si les fonctions f et ϕsont de classe C k, il en est de même de la fonction f ϕ.

On peut généraliser le premier résultat sur la composition de la façon suivante :

Théorème (composition par une application bilinéaire)Soient f, g : I −→ E deux applications dérivables et B : E ×E −→ R une application bilinéaire. Alorsl’application h : I −→ R définie par h(t) = B

(f(t), g(t)

)est dérivable et, pour tout réel t ∈ I, on a

h′(t) = B(f ′(t), g(t)

)+B

(f(t), g′(t)

).


Démonstration. Soit t0 ∈ I. Pour tout réel t ∈ I \ t0, on a

h(t)− h(t0)t− t0

=B(f(t), g(t)

)−B

(f(t0), g(t0)

)t− t0

=B(f(t), g(t)

)−B

(f(t), g(t0)

)+B

(f(t), g(t0)

)−B

(f(t0), g(t0)

)t− t0

=B(f(t), g(t)− g(t0)

)+B

(f(t)− f(t0), g(t0)

)t− t0

= B

(f(t), g(t)− g(t0)

t− t0

)+B

(f(t)− f(t0)

t− t0, g(t0)

)−→t→ t0

B(f(t0), g′(t0)

)+B

(f ′(t0), g(t0)

)car on a f(t) →

t→ t0f(t0), g(t)−g(t0)

t−t0 −→t→ t0

g′(t0), f(t)−f(t0)t−t0 −→

t→ t0f ′(t0) et que l’application B est continue

(car bilinéaire en dimension finie).

Comme exemple d’application bilinéaire, on dispose du produit scalaire (si E est euclidien) et dudéterminant (lorsque E est de dimension 2). On en déduit

Corollaire (1)Soit E un espace euclidien et f, g : I −→ E deux applications dérivables. Alors l’application p : I −→ Rdéfinie par p(t) = 〈f(t) | g(t)〉 est dérivable, de dérivée donnée par

p′(t) = 〈f ′(t) | g(t)〉+ 〈f(t) | g′(t)〉.

Corollaire (2)Soit E un espace de dimension 2 et f, g : I −→ E deux applications dérivables. Pour toute base Bde E, l’application d : I −→ R définie par d(t) = detB

(f(t), g(t)

)est dérivable, de dérivée donnée par

d′(t) = detB

(f ′(t), g(t)

)+ detB

(f(t), g′(t)

).

7.2 Arc paramétrésDans tout ce paragraphe, E est un R-espace vectoriel de dimension 2 ou 3.

7.2.1 Paramétrage et trajectoire

Définition (arc paramétré)Une courbe paramétrée est une application f : I −→ E, où I est un intervalle (éventuellement épointé)de R. Lorsque I est un «vrai» intervalle (i.e. sans «trou»), on parle d’arc paramétré.Si E est un plan, on parle de courbe plane ; si c’est l’espace, on parle de courbe gauche.

En pratique, les éléments de l’espace E sont appelés points plutôt que vecteurs.

Définition (trajectoire)Le support (ou la trajectoire) de la courbe f est l’ensemble Γ des points atteints par la courbe, c’est-à-dire l’image de la fonction f .

Exemple 1. Soit P un plan muni d’une base B dans laquelle nous exprimons les coordonnées. Considérons

la courbe f1 : t 7→ M(t)(

2t+ 3−t+ 2

)(t ∈ R). Soit M

(xy

)un point de la trajectoire Γ1 : il existe un réel t

tel que x = 2t + 3 et y = −t + 2. On en déduit que t = 2− y, donc que x = −2y + 7 : la trajectoire est

incluse dans la droite (affine) D d’équation x+ 2y − 7 = 0. Réciproquement, soit M0

(x0y0

)un point de

7.2. Arc paramétrés 119

cette droite D . Ce point appartient-il à la trajectoire Γ1 de la courbe paramétrée ? Pour le démontrer, ilfaut trouve un réel t tel que x0 = 2t+ 3 et y0 = −t+ 2. Posons t = 2− y0 : de l’égalité x0 + 2y0 − 7 = 0,on tire que x0 = 2t+ 3, donc un tel réel t existe bien. Ainsi la trajectoire est-elle la droite D .

Notons A(

32

)le point de paramètre t = 0 et ~u

(2−1

): les formules indiquent qu’un point M appar-

tient à la trajectoire si, et seulement si, il existe un réel t tel que −−→AM = t~u : le vecteur ~u est un vecteurdirecteur de la droite.

x

y

~e2

~e1

A = M(0)

Γ1

~u

Remarque 1. Bien que tous les points de la trajectoire Γ2 de la courbe f2 : t 7→ M(t)(

2t2 + 3−t2 + 2

)appartiennent encore à la même droite D , on n’a cette fois-ci pas Γ2 = D : en effet, si M0

(x0y0

)est un

point de cette droite D , on ne peut trouver un réel t tel que x0 = 2t2 + 3 et y0 = −t2 + 2 que si y0 6 2(on pose alors t =

√2− y0). La trajectoire est cette fois-ci la demi-droite issue de A dirigée par ~u. Noter

que, pour ce paramétrage de la trajectoire Γ2, on a M(−t) = M(t) pour tout réel t : la courbe passe deuxfois par chaque point lorsque t varie.

Exemple 2. Considérons maintenant la courbe f3 : t 7→M(t)(−1 + 2 cos(3t− 2)

2 + 2 sin(3t− 2)

). SoitM

(xy

)un point

appartenant à la trajectoire Γ3 : il existe t tel que x = −1 + 2 cos(3t − 2) et y = 2 + 2 sin(3t − 2), donc

(x + 1)2 + (y − 2)2 = 4 : le point M appartient au cercle C de centre Ω(−1

2

)et de rayon 2, donc la

trajectoire Γ3 est incluse dans ce cercle. Réciproquement, soit M0

(x0y0

)un point appartenant au cercle

C : il vérifie (x0 + 1)2 + (y0 − 2)2 = 4, donc il existe un réel θ (non unique) tel que x0 + 1 = 2 cos θ ety0 − 2 = 2 sin θ. En posant t = θ+2

3 , on a trouvé un réel t tel que M = f3(t), donc M appartient à Γ3.

x

y

Ω

M(0) M(0.2)

M(0.5)

Définition (points multiples)Un point M appartenant à la trajectoire Γ de la courbe est dit simple si, et seulement si, il existe ununique réel t ∈ I tel que M = f(t), multiple dans les autres cas (double, triple. . .).


Exemple 3. Choisissons une base B d’un plan P , dans lequel nous exprimons les coordonnées. Considérons

la courbe définie sur R par M(t)(t3 − 3tt2

). Ses éventuels points doubles sont obtenus pour les valeurs

t2 6= t1 du paramètre vérifiant M(t2) = M(t1). En équations, on cherche t2 6= t1 tels que

t31 − 3t1 = t32 − 3t2 et t21 = t22.

Ce système est équivalent à

t31 − t32 − 3(t1 − t2) = 0 et t21 − t22 = 0,

soit, en divisant par t1 − t2 (qui est non nul) :

t21 + t1t2 + t22 − 3 = 0 et t1 + t2 = 0.

En notant s = t1 + t2 et p = t1t2, et en remarquant que t21 + t1t2 + t22 = (t1 + t22) − t1t2 = s2 − p, lesystème équivaut donc à

s2 − p− 3 = 0 et s = 0,i.e. s = 0 et p = −3. Les deux réels t1, t2 sont donc les racines du polynôme X2− 3, i.e. ±

√3. La courbe

admet donc un unique point double qui est M(−√

3) = M(√

3), de coordonnées (0, 3).

Interprétation cinématiqueLe paramètre t représente le temps, le point M(t) est la position d’un mobile (ponctuel) au temps t,le vecteur −→M ′(t) est le vecteur vitesse à l’instant t, le vecteur −→M ′′(t) est le vecteur accélération. Lemouvement est dit

– uniforme si, et seulement si, le vecteur −→M ′(t) est de norme constante ;– rectiligne (resp. plan) si, et seulement si, la trajectoire est incluse dans une droite affine (resp. unplan affine) ;

– à accélération centrale si, et seulement si, il existe un point A ∈ E tel que pour tout t ∈ I, levecteur −→M ′′(t) soit colinéaire au vecteur

−−−−→AM(t) (l’accélération du mobile est colinéaire à la force

qui lui est appliquée, toujours dirigée vers le point A).

Remarque 2. Une droite affine D de E n’est pas un sous-espace vectoriel de E (ne contient en généralpas le vecteur nul) ; c’est l’ensemble obtenu lorsque l’on translate une droite vectorielle D : elle peut sedécrire sous la forme

D = A+ ~u, ~u ∈ D,où A est un point quelconque de D et D une droite vectorielle. La remarque vaut aussi pour les plansaffines.

~0

DA

A+ ~u D

~u

~u

Figure 7.1 – Droite vectorielle et droite affine

7.2.2 Tangentes

DéfinitionOn dit que le paramètre t0 ∈ I est régulier si, et seulement si, le vecteur vitesse −→M ′(t0) est non nul.Un paramètre non régulier est appelé stationnaire.La courbe f est dite régulière si, et seulement si, tout paramètre t ∈ I l’est.

Exemple 1. Soit f : R −→ R2, t 7→M(t)(t2

t3

). Pour tout t ∈ R, on a −→M ′(t)

(2t3t2)

: tout paramètre t 6= 0

est régulier, le paramètre 0 est stationnaire.


DéfinitionSi M ∈ Γ est un point simple et t0 son paramètre (i.e. l’unique t ∈ I tel que f(t) = M), alors M estdit régulier (resp. stationnaire) si, et seulement si, le paramètre t0 l’est.

DéfinitionSoit f : I −→ E un arc paramétré et t0 ∈ I. Notons M0 = M(t0). On dit que– l’arc f admet une demi-tangente en t+0 (ou en M+

0 si M0 est un point simple) si, et seulement si, lafonction vectorielle t 7→ 1

||−−−−−→M0M(t)||

−−−−−→M0M(t) admet une limite en t+0 . Si c’est le cas, soit ~u+ cette limite :

c’est un vecteur unitaire. La demi-tangente à f en t+0 (ou en M+0 ) est la demi-droite [M0, ~u

+). On abien sûr une définition analogue pour la demi-tangente en t−0 .– l’arc f admet une tangente en t0 (ou en M0) si, et seulement si, les deux demi-tangentes existent etsi ~u+ et ~u− sont colinéaires (donc égaux ou opposés). La tangente à f en t0 (ou M0) est alors la droite(M0, ~u

+).

Exemple 2. Soit f : R −→ R2, t 7→M(t)(tt2

)et t0 = 0. Alors

−−−−−→M0M(t)

(tt2

)et ||−−−−−→M0M(t)|| = |t|

√1 + t2,

donc1

||−−−−−→M0M(t)||

−−−−−→M0M(t) −→

t→ 0+~u+(

10

)et 1

||−−−−−→M0M(t)||

−−−−−→M0M(t) −→

t→ 0−~u−(−10

).

~u+~u−

Figure 7.2 – Deux demi-tangentes opposées

Exemple 3. Soit f : R −→ R2, t 7→M(t)(t2

t3

). Alors

−−−−−→M0M(t)

(t2

t3

)et ||−−−−−→M0M(t)|| = t2

√1 + t2, donc

1||−−−−−→M0M(t)||

−−−−−→M0M(t) −→

t→ 0+~u+(

10

)et 1

||−−−−−→M0M(t)||

−−−−−→M0M(t) −→

t→ 0−~u−(

10

)= ~u+.

~u+ = ~u−

Figure 7.3 – Deux demi-tangentes égales

Exemple 4. Soit h : R −→ R2, t 7→M(t)(t|t|

)et t0 = 0. Alors

−−−−−→M0M(t)

(t|t|

)et ||−−−−−→M0M(t)|| =

√2|t|, donc

1||−−−−−→M0M(t)||

−−−−−→M0M(t) −→

t→ 0+~u+

(√2

2√2

2

)et 1

||−−−−−→M0M(t)||

−−−−−→M0M(t) −→

t→ 0−~u−

(−√

22√2

2

).


~u+~u−

Figure 7.4 – Deux demi-tangentes mais pas de tangente

On constate, sur ces trois exemples, que la situation «normale» est celle où la fonction f est dérivableen t0, et que ce paramètre est régulier. C’est une conséquence du théorème suivant :

ThéorèmeSi t0 est un paramètre régulier de la courbe f , alors celle-ci admet en t0 une tangente, dirigée par levecteur −→M ′(t0).

Démonstration. La fonction f admet en t0 le développement limité suivant

f(t) = f(t0) + (t− t0)−→f ′(t0) + o(t− t0).

On en déduit que

1||−−−−−→M0M(t)||

−−−−−→M0M(t) = (t− t0)

−→f ′(t0) + o(t− t0)

||(t− t0)−→f ′(t0) + o(t− t0)||

= t− t0|t− t0|

·−→f ′(t0) + o(1)||−→f ′(t0) + o(1)||

.

Cette quantité tend vers le vecteur−→f ′(t0)||−→f ′(t0)||

lorsque t tend vers t+0 , vers l’opposé de ce vecteur lorsque ttend vers t−0 . La courbe admet donc deux demi-tangentes opposées, donc une tangente, dirigée par levecteur vitesse.

7.2.3 Plan d’étude d’une courbe paramétrée planeSoit f : I −→ E une courbe paramétrée, le point M(t) = f(t) étant donné par ses coordonnées x(t)

et y(t) dans une base B du plan.

Réduction de l’intervalle d’étudeAprès avoir éventuellement déterminé le domaine de définition de la courbe, on commence par étudierles périodicités, parités, symétries éventuelles des fonctions t 7→ x(t) et t 7→ y(t) par les substitutionst← 1

t ... pour réduire l’intervalle d’étude. Par exemple,– si les fonctions x et y sont T -périodiques, on a x(t+ T ) = x(t) et y(t+ T ) = y(t) pour tout t, doncM(t + T ) = M(t) : la courbe repasse périodiquement par les mêmes points. On peut se contenterd’étudier la courbe sur un intervalle de longueur T (on obtient ainsi la totalité de la trajectoire) ;

– si les fonctions x et y sont respectivement paires et impaires, alors le point M(−t) est le symétriquedu point M(t) par rapport à l’axe (Ox). On peut donc se contenter d’étudier la courbe pour lesvaleurs de t positives, puis d’effectuer une symétrie par rapport à l’axe (Ox) pour obtenir l’intégralitéde la trajectoire. En effet, si t est un paramètre négatif, le point M(t) est le symétrique du pointM(−t), qui a déjà été tracé puisque −t est positif ;

– si les fonctions x et y vérifient x( 1t ) = x(t) et y( 1

t ) = −y(t) pour tout réel t 6= 0. Alors le pointM( 1

t ) est le symétrique du pointM(t) par rapport à la droite (Ox). Chaque point de la formeM(t)avec |t| > 1 est alors le symétrique par rapport à (Ox) du point M(u), où u = 1

t vérifie |u| 6 1. Ilsuffit donc d’étudier la courbe pour t ∈ [−1, 1] ; la partie de la trajectoire obtenue pour |t| > 1 s’endéduit par symétrie par rapport à (Ox)...

VariationsOn étudie ensuite les variations conjointes des fonctions x et y de façon à dresser un tableau de variations.


Points doublesSi le tracé laisse supposer l’existence de points doubles, on peut éventuellement les chercher, voire préciserles tangentes en ces points : comment sont-elles placées l’une par rapport à l’autre ?

Exemple 1. Étudions la courbe paramétrée définie par f : t 7→M(t)(t3 − 3tt2

)pour t ∈ R.

La fonction t 7→ x(t) est impaire, alors que la fonction t 7→ y(t) est paire, donc le point M(−t) est lesymétrique du point M(t) par rapport à l’axe (Oy). On peut donc se contenter d’étudier la courbe pour tvariant dans R+ ; en symétrisant cette partie de la trajectoire, on obtient la totalité de la trajectoire Γ.

Pour tout réel t > 0, on a x′(t) = 3t2 − 3 = 3(t− 1)(t+ 1) et y′(t) = 2t, d’où le tableau des variationsconjointes de x et y :

t 0 1 +∞

x′(t) −3 − 0 +

x(t) 0K −2 J

+∞

y(t)0 J

1 J+∞

y′(t) 0 + 2 +

Nous avons déjà étudié l’existence d’un point double sur cette courbe : il est obtenu pour les paramètres±√

3 et a pour coordonnées (0, 3). On peut préciser l’allure de la courbe en ce point double en étudiant

les tangentes : elles sont dirigées par les vecteurs −→M ′(√

3)(

62√

3

)et −→M ′(−

√3)(

6−2√

3

). Le tracé de la

courbe est le suivant (en trait plein, la partie de la trajectoire obtenue pour t ∈ R+ ; en pointillés l’autrepartie, obtenue par symétrie) :

x

y

M(1)

M(0)

M(2)

Exemple 2. Étudions maintenant la courbe paramétrée définie par f : t 7→ M(t)(

sin 2tcos t

)(courbe de

Lissajous).La fonction x : t 7→ sin 2t est π périodique et la fonction y : t 7→ cos t est 2π-périodique, donc la

fonction f est 2π-périodique : M(t + 2π) = M(t) pour tout réel t. On peut donc se contenter d’étudierla courbe sur un intervalle de longueur 2π (que nous ne choisissons pas encore).

La fonction x est impaire alors que la fonction y est paire, donc le point M(−t) est le symétrique dupoint M(t) par rapport à l’axe (Oy) ; il suffit, pour obtenir la totalité de la trajectoire, de tracer la partiede la courbe correspondant à t > 0. Ainsi, si l’intervalle initial d’étude, de longueur 2π, est choisi égal à[−π, π] (qui donne la totalité de la courbe), on peut encore réduire cet intervalle à [0, π] (qui ne donneque la moitié de la courbe ; on obtient l’autre par symétrie).

On peut encore essayer de découper cet intervalle en deux pour réduire davantage l’étude : si t ∈ [0, π],son symétrique par rapport au milieu de l’intervalle est π−t. On constate par ailleurs que x(π−t) = −x(t)et y(π − t) = −y(t) : le point M(π − t) est le symétrique par rapport à l’origine du point M(t). On peutdonc réduire l’intervalle d’étude à [0, π2 ] : la partie de la trajectoire obtenue pour t décrivant l’intervalle[π2 , π] s’obtient par symétrie par rapport à l’origine.

Essayons encore de réduire l’intervalle : on compare cette fois-ci le point M(π2 − t) au point M(t). Onn’obtient cette fois-ci aucune relation intéressante.


Étudions les variations de x et y sur l’intervalle [0, π2 ] : pour tout réel t, on a

x′(t) = 2 cos 2t et y′(t) = − sin t.

Le tableau des variations conjointes est le suivant :

t 0 π4

π2

x′(t) 2 + 0 − −2

x(t) 0 J1

K 0

y(t)1

K√

22 K 0

y′(t) 0 − −√

22 − −1

On en déduit le tracé de la courbe (en trait plein, la partie de la trajectoire obtenue pour t variantdans [0, π2 ]) :

x

y

M(0)

M(π4 )

M(π2 )

Chapitre 8Intégrales à paramètres

Nous avons déjà étudié le problème des intégrales dépendant d’un paramètre entier n : étant donnéeune suite de fonctions (fn)n définies sur un intervalle J (continues par morceaux et intégrables), nousavons cherché si l’on pouvait déterminer la limite (en cas de convergence) de la suite (

∫Jfn)n. En modifiant

légèrement les notations et en écrivant f(n, t) au lieu de fn(t), nous avons cherché la limite de la suite

n 7→∫J

f(n, t)

lorsque le paramètre entier n tendait vers l’infini. Généralisons le problème : on s’intéresse maintenantnon plus à une intégrale qui dépend d’un paramètre entier n, mais d’un paramètre réel. Pour chaqueréel x appartenant à un certain intervalle J , on dispose donc d’une intégrale notée g(x). Les questionsque nous nous posons sont :

– la fonction g : x 7→ g(x) est-elle continue ?– est-elle dérivable ? Le cas échéant, comment calculer sa dérivée ?Fixons les notations pour les deux paragraphes qui suivent : I et J sont deux intervalles de R et

f : I × J −→ K(x, t) 7−→ f(x, t)

est une fonction de deux variables.

8.1 Continuité

Théorème (continuité sous le signe∫)

On suppose que1. pour tout réel t ∈ J , la fonction x 7→ f(x, t) est continue2. pour tout réel x ∈ I, la fonction t 7→ f(x, t) est continue par morceaux et intégrable sur J3. il existe une fonction ϕ : J −→ R+, continue par morceaux et intégrable sur J , telle que, pour

tout couple (x, t) ∈ I × J , on ait |f(x, t)| 6 ϕ(t) (hypothèse de domination).Alors la fonction g : x 7→

∫Jf(x, t)dt est continue sur I.

Démonstration (non exigible). Commençons par remarquer que la fonction g est bien définie sur l’inter-valle I car, pour tout x ∈ I, la fonction t 7→ f(x, t) est continue par morceaux et intégrable. Soit a unpoint de I ; démontrons la continuité de la fonction g en a. Pour cela, choisissons une suite (xn)n depoints de I qui converge vers a et notons fn la fonction définie sur J par fn(t) = f(xn, t). Alors :

– La suite de fonctions (fn)n converge simplement vers la fonction t 7→ f(a, t) : en effet, pour toutréel t ∈ J , on a fn(t) = f(xn, t) −→

n→∞f(a, t) par continuité de la fonction x 7→ f(x, t).

– La fonction t 7→ f(a, t) est continue par morceaux et intégrable sur J .– La convergence est dominée par la fonction ϕ.

125

126 Chapitre 8. Intégrales à paramètres

Le théorème de convergence dominée montre donc que∫Jfn(t)dt −→

n→∞

∫Jf(a, t)dt. Ceci étant vrai pour

toute suite (xn)n de points de I qui converge vers a, on en déduit, par caractérisation séquentielle, que lafonction g est continue en a. Ceci est par ailleurs vrai pour tout a ∈ I, donc la fonction g est continue.

Exemple 1. Considérons la fonction g définie par

g(x) =∫ 1

0

e−x2(1+t2)

1 + t2dt.

Posons f(x, t) = e−x2(1+t2)

1+t2 .– Pour tout réel t ∈ [0, 1], la fonction x 7→ f(x, t) (définie sur I = R) est continue.– Pour tout réel x ∈ R, la fonction t 7→ f(x, t) est continue sur J = [0, 1] (et intégrable : c’est un

segment !).– Pour tout couple (x, t) ∈ R× [0, 1], on a

∣∣f(x, t)∣∣ 6 1

1 + t2= ϕ(t),

où la fonction ϕ est continue (et intégrable sur le segment [0, 1]).La fonction g est donc continue.

Remarque 1. Il arrive que l’on soit pas en mesure de trouver une fonction ϕ qui domine |f(x, t)| pour toutx ∈ I, mais que l’on soit capable de trouver une fonction ϕK qui domine |f(x, t)| pour tout x ∈ K, où Kest un segment inclus dans I. Le théorème précédent prouve alors que la fonction x 7→

∫Jf(x, t)dt est

continue sur le segment K. Par suite, si pour tout segment K inclus dans I, on est en mesure de trouverune fonction ϕK telle que |f(x, t)| 6 ϕK(t) pour tout x ∈ K, alors l’intégrale à paramètre est continuesur tout segment K inclus dans I, i.e. qu’elle est continue sur I. C’est ce qu’on appelle l’hypothèse dedomination de f sur tout segment.

Exemple 2. Considérons la fonction F définie par

F (x) =∫ +∞

0

e−xt

1 + tdt.

Posons f(x, t) = e−xt1+t .

– Pour tout réel t ∈ J = R∗, la fonction x 7→ f(x, t) est continue sur I = R∗+.– Pour tout réel x ∈ R∗+, la fonction t 7→ f(x, t) est continue et intégrable sur R+ (dominée par 1

t2 auvoisinage de +∞, car x > 0 ! Pour x = 0, la fonction n’est pas intégrable...).

– La majoration∣∣f(x, t)

∣∣ 6 11+t , valable pour tout (x, t) ∈ R∗+ × R+, ne permet pas de conclure car

la fonction t 7→ 11+t n’est pas intégrable.

Démontrons la domination sur tout segment [a, b] ⊂ I = R∗+. Soit [a, b] un tel segment (donc a > 0).Pour tout (x, t) ∈ [a, b]×R+, on a alors

∣∣f(x, t)∣∣ 6 e−at

1+t , fonction continue et intégrable sur R+. On peutdonc conclure que la restriction de la fonction F au segment [a, b] est continue. Ceci étant vrai pour toutsegment [a, b] ⊂ R∗+, la fonction F est continue sur R∗+

Exemple 3. Considérons enfin la fonction g définie sur R+ par

g(x) =∫ +∞

0xe−tx dt.

Posons f(x, t) = xe−xt.– Pour tout réel t > 0, la fonction x 7→ f(x, t) = xe−xt est continue.– Pour tout réel x > 0, la fonction t 7→ f(x, t) = xe−xt est continue sur R+ et intégrable (dominée

par 1t2 au voisinage de +∞). Pour x = 0, la fonction t 7→ f(0, t) est la fonction nulle ; elle est encore

intégrable.Cependant, la fonction g n’est pas continue : pour tout x > 0, un calcul direct de primitive montre queg(x) = 1, alors que g(0) = 0. La raison est que l’hypothèse de domination n’est ici pas vérifiée.

8.2. Dérivabilité 127

8.2 Dérivabilité

Théorème (dérivabilité sous le signe∫: formule de Leibniz)

On suppose que1. pour tout réel t ∈ J , la fonction x 7→ f(x, t) est de classe C 1 (i.e. que la fonction x 7→ ∂f

∂x (x, t)existe et est continue)

2. pour tout réel x ∈ I, les fonctions t 7→ f(x, t) et t 7→ ∂f∂x (x, t) sont continues par morceaux et

intégrables sur J3. il existe une fonction ϕ : J −→ R+, continue par morceaux et intégrable sur J , telle que, pour

tout couple (x, t) ∈ I × J , on ait ∣∣∣∣∂f∂x (x, t)∣∣∣∣ 6 ϕ(t)

(hypothèse de domination).Alors la fonction g : x 7→

∫Jf(x, t)dt est de classe C 1 sur I et, pour tout x ∈ I, on a

g′(x) =∫J

∂f

∂x(x, t)dt.

Remarque 1. Il n’est pas utile de dominer la fonction f ; seule la domination de sa dérivée partielle ∂f∂x

est exigée.

Remarque 2. Comme pour le théorème de continuité sous le signe∫, on peut se contenter d’une domination

de la dérivée partielle ∂f∂x sur tout segment.

Démonstration (non exigible). Soit a un point de I ; démontrons que la fonction g est dérivable en a,avec g′(x) =

∫J∂f∂x (x, t)dt. Pour tout x ∈ I \ a, on a

g(x)− g(a)x− a

=∫J

f(x, t)− f(a, t)x− a

dt.

Introduisons la fonction δ définie sur I × J par

δ(x, t) =f(x,t)−f(a,t)

x−a si x 6= a∂f∂x (a, t) si x = a

et posonsh(x) =

∫J

δ(x, t)dt :

pour tout x 6= a, on a g(x)−g(a)x−a = h(x). Si l’on montre que la fonction h est continue en a, alors le taux

d’accroissement g(x)−g(a)x−a aura une limite en a, égale à

∫Jδ(a, t)dt =

∫J∂f∂x (a, t)dt, ce qui démontrera la

formule. Pour cela, remarquons que– pour tout t ∈ J , la fonction x 7→ δ(x, t) est continue– pour tout x ∈ I, la fonction t 7→ δ(x, t) est continue par morceaux et intégrable sur J– pour tout x 6= a et tout t ∈ J on a, par inégalité d’accroissements finis :

|δ(x, t)| 6 supu∈[a,x]

∣∣∣∣∂f∂x (u, t)∣∣∣∣ 6 ϕ(t)

– cette inégalité reste vraie pour x = a.On peut donc appliquer le théorème de continuité sous le signe

∫pour conclure à la continuité de la

fonction h, en particulier au point a, ce qui prouve la formule de Leibniz. Une deuxième application duthéorème de continuité montre ensuite que la fonction g′, vérifiant

g′(x) =∫J

∂f

∂x(x, t)dt,

est elle aussi continue, donc que la fonction g est de classe C 1.


Exemple 1. Reprenons l’exemple 1 du paragraphe 8.1 :

g(x) =∫ 1

0

e−x2(1+t2)

1 + t2dt.

La fonction f est dérivable par rapport à x, avec

∂f

∂x(x, t) = −2xe−x

2(1+t2).

– Pour tout réel t ∈ [0, 1], la fonction x 7→ −2xe−x2(1+t2) est continue.– Pour tout réel x, la fonction t 7→ −2xe−x2(1+t2) est continue et intégrable sur [0, 1].– Soit M > 0 un réel. Pour tout couple (x, t) ∈ [−M,M ]× [0, 1], on a∣∣− 2xe−x

2(1+t2)∣∣ 6 2M = ψ(t),

où la fonction ψ est intégrable sur le segment [0, 1].La fonction g est donc dérivable sur le segment [−M,M ] et vérifie

g′(x) =∫ 1

0−2xe−x

2(1+t2) dt

pour tout réel x ∈ [−M,M ]. Ceci étant vrai pour tout M > 0, la fonction est dérivable sur R (et laformule précédente est valable pour tout réel x). On peut alors écrire

g′(x) = −2e−x2∫ 1

t=0e−(xt)2

xdt changement de variable t = u

x(si x 6= 0)

= −2e−x2∫ x

u=0e−u

2du la formule reste vraie si x = 0

Notons h(x) =∫ x

0 e−u2 du : on a donc

g′(x) = −2h′(x)h(x).

Il existe donc un scalaire λ tel que, pour tout réel x, on ait g(x) + h(x)2 = λ. En faisant x = 0 dans laformule, on trouve

λ = g(0) + h(0)2 =∫ 1

0

dt1 + t2

=[

Arctg t]1

0= π

4 .

Par ailleurs, pour tout réel x et tout t ∈ [0, 1], on a

0 6e−x2(1+t2)

1 + t26 e−x

2

d’où, par intégration :0 6 g(x) 6 e−x

2.

On en déduit que g(x) −→x→+∞

0, donc que h(x)2 −→x→+∞

π4 . Or h(x) −→

x→+∞

∫ +∞0 e−u2 du, d’où l’on déduit

que ∫ +∞

0e−u

2du =

√π

2

(intégrale de Gauss), résultat que l’on retient généralement sous la forme équivalente

∫Re−u

2du =

√π .

Le théorème s’étend aux dérivées successives :

8.3. Fonction Γ 129

Théorème (dérivabilité sous le signe∫: cas des fonctions de classe C n)

On suppose que1. pour tout réel t ∈ J , la fonction x 7→ f(x, t) est de classe C n (i.e. que la fonction x 7→ ∂nf

∂xn (x, t)existe et est continue)

2. pour tout réel x ∈ I et tout k ∈ [[0, n]], la fonction t 7→ ∂kf∂xk

(x, t) est continue par morceaux etintégrable sur J

3. pour tout k ∈ [[1, n]], il existe une fonction ϕk : J −→ R+, continue par morceaux et intégrablesur J , telle que, pour tout couple (x, t) ∈ I × J , on ait∣∣∣∣∂fk∂xk

(x, t)∣∣∣∣ 6 ϕk(t)

(hypothèse de domination).Alors la fonction g : x 7→

∫Jf(x, t)dt est de classe C n sur I et, pour tout x ∈ I et tout k ∈ [[1, n]], on a

g(k)(x) =∫J

∂fk

∂xk(x, t)dt.

Démonstration. Les hypothèses prouvent que la fonction g est de classe C 1 et que, pour tout x ∈ I, on a

g′(x) =∫J

∂f

∂x(x, t)dt

(application du théorème précédent). On peut alors appliquer à nouveau ce théorème à cette nouvelleintégrale à paramètre : on obtient que la fonction g′ est de classe C 1 (i.e. que g est de classe C 2), avec

g′′(x) =∫J

∂2f

∂x2 (x, t)dt.

On procède de même jusqu’à la dérivée nème.

Remarque 3. Comme pour le théorème précédent, on peut se contenter d’une domination sur tous lessegments de I.

8.3 Fonction ΓPour tout réel x > 0, la fonction t 7→ tx−1e−t est continue et intégrable sur R∗+ : en effet,– elle l’est sur l’intervalle [1,+∞[ car négligeable devant t−2

– elle l’est aussi sur ]0, 1] car positive et équivalente en 0 à tx−1, avec x− 1 > −1.

Définition (fonction Γ)La fonction Γ est la fonction définie sur R∗+ par

Γ(x) =∫ +∞

0tx−1e−t dt.

PropositionLa fonction Γ est de classe C∞.

Démonstration. Posons f(x, t) = tx−1e−t = e−t+(x−1) ln t. Pour tout entier n ∈ N, on a

∂fn

∂xn(x, t) = (ln t)ntx−1e−t.

– Pour tout entier n et tout réel t > 0, la fonction x 7→ (ln t)ntx−1e−t est continue sur R∗+.


– Pour tout entier n et tout réel x > 0, la fonction x 7→ (ln t)ntx−1e−t est continue et intégrablesur R∗+ (négligeable devant t−2 au voisinage de +∞ ; négligeable devant t x2−1 au voisinage de 0,avec x

2 − 1 > −1).Reste à montrer la domination. Pour cela, travaillons sur un segment [a, b] ⊂ R∗+ (i.e. x varie dans [a, b]).Pour t ∈ ]0, 1], on a ln t 6 0 et x− 1 > a− 1, d’où (x− 1) ln t 6 (a− 1) ln t, soit encore tx−1 6 ta−1. Demême, pour t > 1 (et toujours x ∈ [a, b]), on a tx−1 6 tb−1 (car ln t > 0 cette fois-ci). Introduisons doncla fonction ϕ définie par

ϕ(t) =ta−1e−t si t ∈ ]0, 1]tb−1e−t si t > 1

.

La fonction ϕ est continue sur R∗+, intégrable (elle l’est sur chacun des intervalles ]0, 1] et [1,+∞[) etvérifie ∀(x, t) ∈ [a, b]× R, |f(x, t)| 6 ϕ(t). Le théorème de continuité sous le signe

∫montre donc que la

fonction Γ est continue sur le segment [a, b]. Ceci étant vrai pour tout segment [a, b] inclus dans R∗+, elleest continue sur R∗+.

De même, en posant

ϕn(t) =| ln t|nta−1e−t si t ∈ ]0, 1](ln t)ntb−1e−t si t > 1

,

on obtient une domination de∣∣∂fn∂xn (x, t)

∣∣ par ϕn(t), qui est continue et intégrable. La version du théorèmeconsacrée aux fonctions de classe C n s’applique : la fonction Γ est de classe C n. Ceci étant vrai pour toutentier n, elle est de classe C∞.

Il résulte de ce qui précède que, pour tout entier n et tout réel x > 0, on a

Γ(n)(x) =∫ +∞

0(ln t)ntx−1e−t dt.

Proposition (relation fonctionnelle de la fonction Γ)Pour tout réel x > 0, on a

Γ(x+ 1) = xΓ(x).

Démonstration. Soit x > 0. Intégrons par parties :

Γ(x+ 1) =∫ +∞

0txe−t dt =

∫ +∞

0tx d

(− e−t

)=[− txe−t

]+∞t=0

+∫ +∞

0xtx−1e−t dt = xΓ(x)

(l’intégration par parties est licite : le terme entre crochets admet bien une limite finie en 0 et en +∞).

Proposition (fonction Γ et factorielle)Pour tout entier n ∈ N, on a

Γ(n+ 1) = n!.

Démonstration. Il suffit de remarquer que

Γ(1) =∫ +∞

0e−t dt = 1 = 0!

et d’utiliser la relation de récurrence précédente.

PropositionLa valeur de Γ( 1

2 ) est Γ( 12 ) =

√π.

8.3. Fonction Γ 131

Démonstration. La définition donneΓ(1/2) =

∫ +∞

0

e−t√tdt.

Le changement de variable t = u2 (qui est bijectif et de classe C 1 de R∗+ sur R∗+) donne dt = 2udu, puis

Γ(1/2) =∫ +∞

u=0

e−u2

u2udu = 2

∫ +∞

0e−u

2du =

√π.

Proposition (équivalent en 0 de Γ(x))Au voisinage de 0, on a

Γ(x) ∼ 1x.

Démonstration. En effet,Γ(x) = Γ(x+ 1)

x∼0

Γ(1)x

= 1x.

En particulier, Γ(x) tend vers +∞ en 0 (donc ne peut pas se prolonger par continuité en 0).



Dans les questions suivantes, lorsque l’on demande une domination, on considère toujours que x est leparamètre et t la variable d’intégration. On demande donc d’effectuer une domination par une fonctionde t, dans laquelle le paramètre n’apparaît plus. On attend bien sûr que la fonction dominante soitintégrable...

1. L’intervalle d’intégration J étant égal à R, dominer f(x, t) = f(t)eixt, où f est une fonction continue parmorceaux intégrable sur R.

2. L’intervalle d’intégration J étant égal à R, dominer f(x, t) = f(t)e−xt, où f est une fonction continuepar morceaux intégrable sur R.

3. L’intervalle d’intégration étant J = ]0, 1], dominer f(x, t) = sin(xt)et−1 sur tout segment [a, b] ⊂ R.

4. L’intervalle d’intégration étant J = R, dominer f(x, t) = t(t2+x2)(1+t2) sur les segments inclus dans R∗+.

Peut-on obtenir une domination sur R+ ?

5. On pose, pour tout réel x ∈ I = R et t ∈ J = ]0,+∞[,

f(x, t) = x

1 + x2t2.

a) Dominer la fonction f sur tout segment [a, b] inclus dans R∗+.b) Tracer sur le même graphique la fonction (de t) pour différentes valeurs de x.c) À t > 0 fixé, étudier les variations de la fonction x 7→ f(x, t). En déduire que toute fonction ϕ définiesur J vérifiant |f(x, t)| 6 ϕ(t) pour tout réel x ∈ I vérifie ϕ(t) > 1

2t . A-t-on domination sur R ?d) Calculer, par un calcul direct, F (x) =

∫ +∞0 f(x, t)dt pour tout réel x. Existe-t-il un réel a > 0 pour

lequel on a domination sur le segment [−a, a] ?

6. Soit f : I × J −→ K une fonction– continue par rapport à sa première variable– continue par morceaux et intégrable par rapport à sa seconde variable.

On suppose que, pour tout segment [a, b] ⊂ J , on peut trouver une fonction ϕ : J −→ R+, continue parmorceaux et intégrable, telle que

∀(x, t) ∈ I × [a, b], |f(x, t)| 6 ϕ(t).

Peut-on en déduire que la fonction g : x 7→∫If(x, t)dt est continue ?


8.4.2 Réponses1.On a |f(x, t)| 6 |f(t)| = ϕ(t) : fonction intégrable. La domination est valable pour tout x ∈ R.

2.Pour tout x > 0, on a |f(x, t)| 6 |f(t)| = ϕ(t) : fonction intégrable. Pour x < 0, la fonction t 7→ e−xtf(t)n’a aucune raison d’être intégrable.

3.On utilise que, pour tout réel t > 0, on a et 6 1 + t, d’où et − 1 > t > 0, puis∣∣∣∣ sin(xt)et − 1

∣∣∣∣ 6 | sin(xt)|t

6|xt|t

= |x|.

En faisant varier x dans le segment [a, b], on en déduit la domination |f(x, t)| 6 M = max(|a|, |b|),fonction constante donc intégrable puisque l’intervalle d’intégration est borné.

4.Faisons varier x dans le segment [a, b], a > 0. On a, pour tout réel t, t2 + x2 > t2 + a2 > 0, d’où

|f(x, t)| 6 |t|(a2 + t2)(1 + t2) = ϕ(t).

Cette fonction ϕ est intégrable sur R car dominée par 1t2 au voisinage de ±∞. On ne peut pas obtenir

de domination sur R+ : en effet, une fonction ψ solution devrait en particulier vérifier

ψ(t) > |f(0, t)| = 1t(1 + t2) ∼0

1t.

La fonction t 7→ 1t n’étant pas intégrable sur ]0, 1], la fonction ψ ne pourrait être intégrable.

5. a) Soit [a, b] un segment inclus dans R∗+ (donc a > 0). Pour tout réel t > 0, on a 1 +x2t2 > 1 + a2t2, d’où

|f(x, t)| 6 b

1 + a2t2= ϕ(t),

fonction intégrable sur R∗+.b) Voici à quoi ressemblent les fonctions (pour x > 0 du moins) : elles sont toutes décroissantes et tendentvers 0 en +∞. Plus x est grand, plus la valeur à l’origine est grande. Plus x est petit (proche de 0), plusla fonction tend lentement vers 0 en +∞. En pointillés, la fonction t 7→ 1

2t , qui apparaît à la questionsuivante.

c) Soit t > 0 fixé. La fonction x 7→ f(x, t) est dérivable, de dérivée donnée par

∂f

∂x(x, t) = 1− x2t2

(1 + x2t2)2 .

La fonction x 7→ f(x, t) est donc décroissante sur l’intervalle]−∞,− 1

t

], croissante sur l’intervalle

[− 1t ,

1t

]et enfin décroissante sur l’intervalle

[ 1t ,+∞

[. Comme elle tend vers 0 en ±∞, elle vérifie

f(− 1t , t) 6 f(x, t) 6 f( 1

t , t)

pour tout réel x. Si une fonction ϕ vérifie ϕ(t) > |f(x, t)| pour tout réel x, elle vérifie en particulierϕ(t) > |f( 1

t , t)| =12t . Une telle fonction ϕ ne peut donc pas être intégrable sur J = R∗+, donc on n’a pas


domination sur R.d) Un calcul de primitive donne immédiatement F (x) = π

2 pour x 6= 0, et F (0) = 0. La fonction F n’estdonc pas continue en 0. Par suite, il n’existe aucun réel a > 0 tel que l’on ait domination sur le segment[−a, a] : en effet, une telle domination entraînerait la continuité de F sur ce même intervalle, donc en 0en particulier.

6.Non ! Lorsque l’on se contente de l’hypothèse de domination sur tout segment, c’est le paramètre (x)que l’on fait varier dans un segment au lieu de le faire varier dans tout l’intervalle I. Ici, c’est la va-riable d’intégration que l’on fait varier dans un segment au lieu de la faire varier dans tout l’intervalled’intégration...

Chapitre 9Séries entières

9.1 Série entière d’une variable complexeSoit (an)n∈N une suite de nombres complexes.

DéfinitionLa série entière associée à la suite (an)n est la série de fonctions (de la variable complexe)∑

(z 7→ anzn).

En pratique, on notera (abusivement)∑anz

n une série entière (au lieu de∑

(z 7→ anzn)).

9.1.1 Rayon de convergenceLa première question que nous nous posons au sujet d’une série entière est celle de son ensemble de

définition, i.e. de l’ensemble des nombres complexes z tels que la série∑anz

n converge. Notons que 0appartient toujours à cet ensemble de définition.

Proposition (lemme d’Abel)Soit

∑anz

n une série entière. On suppose trouvé un réel r > 0 tel que la suite (anrn)n soit bornée.Alors, pour tout nombre complexe z vérifiant |z| < r, la série

∑anz

n converge absolument (doncconverge).

Démonstration. Choisissons un réel M > 0 tel que, pour tout entier n, on ait |anrn| 6 M . Soit z unnombre complexe tel que |z| < r. Alors, pour tout entier n, on a

|anzn| =∣∣∣an (z

r

)nrn∣∣∣ = |anrn|

∣∣∣zr

∣∣∣n 6M∣∣∣zr

∣∣∣n ,terme général d’une série géométrique convergente (car

∣∣ zr

∣∣ < 1). La série∑anz

n est donc absolumentconvergente, donc convergente.

PropositionSoit

∑anz

n une série entière. Il existe un unique nombre R ∈ R+ ∪ +∞ tel que– pour tout nombre complexe z vérifiant |z| < R, la série

∑anz

n converge absolument– pour tout nombre complexe z vérifiant |z| > R, la série

∑anz

n diverge grossièrement.

Démonstration. Notons tout d’abord que les deux conditions imposées à R impliquent clairement que, siun tel réel R existe, il est unique. Démontrons son existence en procédant par disjonction des cas.

– S’il n’existe aucun réel r > 0 tel que la suite (anrn)n soit bornée, la série∑anz

n diverge grossière-ment pour tout z 6= 0, donc R = 0 convient.

135

136 Chapitre 9. Séries entières

– Si la suite (anrn)n est bornée pour tout réel r > 0, alors elle converge absolument pour toutcomplexe z (il suffit de choisir un réel r > |z| et d’utiliser le lemme d’Abel), donc R = +∞ convient.

– Sinon, il existe un réel r1 > 0 tel que la suite (anrn1 )n soit bornée et un réel r2 > 0 tel que la suite(anrn2 )n ne le soit pas. Pour tout réel r > r2, la suite (anrn)n n’est pas bornée non plus. L’ensemble

A = r > 0 | (anrn)n soit bornée

est donc une partie non vide (contient r1) et majorée (par r2) de R∗+ ; à ce titre, elle admet une bornesupérieure. Notons-la R.

– Soit z un nombre complexe tel que |z| < R. Le réel R étant le plus petit des majorants de A, lenombre |z| ne peut pas être un majorant de A, donc il existe un réel r ∈ A tel que |z| < r. Par lelemme d’Abel, la série

∑anz

n converge absolument.– Soit z un nombre complexe tel que |z| > R. Alors |z| /∈ A, donc la suite (an|z|n)n n’est pas bornée,donc la série

∑anz

n diverge grossièrement.

Définition (rayon de convergence)Le réel R défini ci-dessus est appelé rayon de convergence de la série

∑anz

n et noté RCV(∑anz

n) ;le disque (ouvert)

D(0, R) = z ∈ C | |z| < R

est appelé disque de convergence de la série∑anz

n. Si R = +∞, ce «disque» est égal à C.

Remarque 1. Si le rayon de convergence est nul, le disque de convergence est vide !

Pour tout nombre complexe z appartenant au disque ouvert de convergence, la série∑anz

n converge(absolument). On ne peut en revanche rien dire de la convergence en un nombre z vérifiant |z| = R : lasérie peut converger pour certaines valeurs de z et diverger pour d’autres.

R

cercle d’incertitude

CVA

divergence grossière

Exemple 1. Série exponentielleLe terme général de la série

∑zn

n! est bornée pour tout nombre complexe z, donc le rayon de convergencede cette série entière est égal à +∞.

Exemple 2. Série géométriqueLe terme général de la série

∑anzn (où a est un complexe non nul) est borné si, et seulement si, |az| < 1,

i.e. |z| < 1|a| ; le rayon de convergence est égal à 1

|a| . Ici, la série ne converge pour aucun nombre complexe zappartenant au cercle d’incertitude (si |z| = 1

|a| , le terme général de la série ne tend pas vers 0).

Exemple 3. Le terme général de la série∑

zn

n est borné si, et seulement si, |z| < 1 donc le rayon deconvergence est égal à 1. Ici, la série converge pour z = −1 (série harmonique alternée) mais diverge pourz = 1 (série harmonique). En utilisant la transformation d’Abel (cf. feuille d’exercices sur les séries), onpeut montrer que la série converge en tout point z 6= 1 du cercle d’incertitude.

Exemple 4. Le terme général de la série∑n!zn n’est borné pour aucun nombre complexe z 6= 0, donc

le rayon de convergence de cette série est nul (elle converge néanmoins pour z = 0, comme toute sérieentière).

9.1. Série entière d’une variable complexe 137

Remarque 2. Si z0 est un nombre complexe tel que la suite (anzn0 )n soit bornée, alors le rayon deconvergence de la série entière est au moins égal à |z0|. C’est en particulier le cas si la série

∑anz

n0

converge.À l’inverse, si z0 est tel que la série

∑anz

n0 diverge, le rayon de convergence vérifie R 6 |z0|.

Exemple 5. La série entière∑

zn

n diverge en z = 1, donc son rayon vérifie R 6 1. La même série convergeen z = −1, donc on a aussi R > 1. Le rayon de convergence est donc R = 1.

Définition (somme d’une série entière)Soit

∑anz

n une série entière de rayon de convergence R > 0. La somme de cette série entière estl’application

S : z 7→∞∑n=0

anzn

définie sur le disque ouvert de convergence.

Même si la série converge en certains points du cercle d’incertitude, par convention, la fonction «sommede la série entière» n’est définie que sur le disque ouvert.

Proposition (comparaison des rayons de convergence)Soient S =

∑anz

n et T =∑bnz

n deux séries entières.– Si an ∈ O(bn), alors RCV(S) > RCV(T ).– Si an ∼ bn, alors RCV(S) = RCV(T ).

Démonstration. Supposons an ∈ O(bn). Si RCV(T ) = 0, l’inégalité est évidente. Sinon, pour tout nombrecomplexe z tel que |z| < RCV(T ), la série

∑bnz

n converge absolument, donc la série∑anz

n aussi parcomparaison des séries à termes positifs, donc le disque ouvert de convergence de la série T est inclusdans le disque ouvert de convergence de la série S, i.e. RCV(S) > RCV(T ).Supposons maintenant an ∼ bn. On a en particulier an ∈ O(bn) et bn ∈ O(an), donc RCV(S) = RCV(T ).

Utilisation de la règle de d’AlembertDans le cas où les termes an sont tous non nuls (du moins à partir d’un certain rang), on peut utiliserla règle de d’Alembert pour déterminer le rayon de convergence de la série entière : si le quotient|an+1z

n+1||anzn| = |an+1|

|an| |z| admet une limite lorsque n tend vers l’infini, la valeur de cette limite permet desavoir, en fonction de z, si cette série numérique converge ou non.

Exemple 6. Déterminons le rayon de convergence de la série entière∑

n2+1n3+1z

n.Pour tout nombre complexe z non nul, on a, en notant zn = n2+1

n3+1zn,

|zn+1||zn|

=((n+ 1)2 + 1

)(n3 + 1

)(n2 + 1

)((n+ 1)3 + 1

) |z| −→n→∞

|z|.

Par suite, si |z| < 1, la série converge absolument, alors qu’elle diverge grossièrement si |z| > 1, donc lerayon de convergence est égal à 1.

Exemple 7. Déterminons le rayon de convergence de la série∑ 1

n2+1z2n. Bien que tous les coefficients

a2n+1 de la série entière soient nuls, on peut malgré tout utiliser la même technique.Soit z un nombre complexe non nul et zn = 1

n2+1z2n. On a

|zn+1||zn|

= (n+ 1)2 + 1n2 + 1 |z2| −→

n→∞|z2|,

donc la série numérique∑ 1

n2+1z2n converge absolument si |z2| < 1 (i.e. si |z| < 1), alors qu’elle diverge

grossièrement si |z| > 1. Le rayon de convergence est encore égal à 1.


Définition (série dérivée)Soit S =

∑anz

n une série entière. La série entière dérivée de S est la série entière∑

(n+ 1)an+1zn.

Proposition (rayon de convergence de la série dérivée)Soit S =

∑anz

n une série entière. Le rayon de convergence de la série dérivée de S est égal à celuide S.

Démonstration. Notons R le rayon de convergence de la série S. Remarquons que, si z 6= 0, la série∑(n+ 1)an+1z

n

converge si, et seulement si, la série ∑(n+ 1)an+1z

n+1

converge, i.e. si, et seulement si, la série ∑nanz

n

converge. Si R = 0, le rayon de convergence R′ de la série dérivée est également nul, car an ∈ O(nan). Ilsuffit donc de traiter le cas R > 0, ce que nous supposons désormais.– Soit z 6= 0 un nombre complexe vérifiant |z| < R. Choisissons un réel r ∈ ]|z|, R[ : on sait que la série∑anr

n converge absolument. De plus, on a

nanzn = n

(zr

)nanr

n ∈ O(anrn)

car∣∣ zr

∣∣ < 1, donc la série∑nanz

n converge absolument. On en déduit que R′ > R.– On a en outre an ∈ O(nan), donc R′ 6 R, d’où l’égalité.

9.1.2 Somme, produit de séries entières

PropositionSoient S =

∑anz

n et T =∑bnz

n deux séries entières et λ un complexe.– Si λ 6= 0, le rayon de convergence de la série entière

∑(λan)zn est égal à RCV(S).

– Le rayon de convergence de la série entière∑

(an + bn)zn est– égal à min

(RCV(S),RCV(T )

)si ces deux rayons sont distincts

– supérieur ou égal à ce rayon si ils sont égaux.

Démonstration. La première propriété est évidente : si λ 6= 0, la série∑

(λan)zn converge si, et seulementsi, la série

∑anz

n converge (et on a alors∑∞n=0 λanz

n = λ∑∞n=0 anz

n).Démontrons la propriété pour la somme. Pour tout z vérifiant |z| < R0 = min

(RCV(S),RCV(T )

), les

deux séries convergent absolument, donc la série∑

(an + bn)zn aussi, donc le rayon de convergence decette série entière est au moins égal à R0.

Supposons les deux rayons de convergence distincts, par exemple RCV(S) < RCV(T ). Alors, pourtout z vérifiant RCV(S) < |z| < RCV(T ), la série

∑bnz

n converge absolument, alors que la série∑anz

n

diverge grossièrement, donc la série∑

(an + bn)zn diverge également grossièrement. Le rayon de conver-gence de la série somme est donc au plus égal à RCV(S), d’où l’égalité.

Dans le cas où les deux rayons de convergence sont égaux, le rayon peut être strictement supérieur(par exemple, si bn = −an pour tout n : la série somme est la série nulle, dont le rayon de convergenceest infini...).

9.1. Série entière d’une variable complexe 139

PropositionSoit S =

∑anz

n une série entière et R son rayon de convergence.Les séries entières

∑a2nz

2n et∑a2n+1z

2n+1 ont un rayon de convergence au moins égal à R. De plus,pour tout nombre complexe z vérifiant |z| < R, on a

∞∑n=0

anzn =

∞∑n=0

a2nz2n +

∞∑n=0

a2n+1z2n+1.

Remarque 1. Même si la dernière formule paraît très naturelle (la somme totale de la série est égale à lasomme des termes de rang pair additionnée à la somme des termes de rang impair), elle est en généralfausse pour les séries numériques : par exemple, bien que la série

∑ (−1)nn converge, on ne peut pas écrire

∞∑n=1

(−1)n

n=∞∑n=1

(−1)2n

2n +∞∑n=0

(−1)2n+1

2n+ 1 :

les deux séries à droite du signe = divergent !

Démonstration. Soit z un nombre complexe tel que |z| < R : la suite (anzn)n est bornée, donc sa suiteextraite (a2nz

2n)n aussi, donc le rayon de convergence de la série∑a2nz

2n est au moins égal à |z|. Ceciétant vrai pour tout z tel que |z| < R, la rayon de cette série est au moins égal à R. L’argument estidentique pour la série

∑a2n+1z

2n+1.La série entière

∑a2nz

2n est en fait la série∑bnz

n, où bn = an si n est pair, alors que bn = 0 si nest impair. De même, la série entière

∑a2n+1z

2n+1 est la série∑cnz

n, avec cn = an si n est impair etcn = 0 sinon. La série somme de ces deux séries entières est donc égale à la série

∑(bn+cn)zn =

∑anz

n,ce qui justifie la dernière égalité.

Remarque 2. Le même argument montre que chacune des trois séries entières∑a3nz

3n,∑a3n+1z

3n+1

et∑a3n+2z

3n+2 a un rayon de convergence au moins égal à R, et que pour tout nombre complexe zvérifiant |z| < R, on a

∞∑n=0

anzn =

∞∑n=0

a3nz3n +

∞∑n=0

a3n+1z3n+1 +

∞∑n=0

a3n+2z3n+2.

On généralise immédiatement à une séparation des indices selon la congruence modulo un entier p quel-conque.

Définition (série produit)Soient S =

∑anz

n et T =∑bnz

n deux séries entières.La série entière produit (de Cauchy) de S et T est la série entière U =

∑cnz

n où, pour tout entier n,

cn =n∑k=0

akbn−k.

PropositionSoient S, T deux séries entières et U la série entière produit.Le rayon de convergence de la série entière U vérifie RCV(U) > min

(RCV(S),RCV(T )

). De plus, pour

tout z vérifiant |z| < min(

RCV(S),RCV(T )), on a

U(z) = S(z)T (z).

Démonstration. Soit z un nombre complexe vérifiant |z| < min(

RCV(S),RCV(T )). Les deux séries nu-

mériques∑anz

n et∑bnz

n sont absolument convergentes, donc la série produit∑xn l’est aussi où,

pour tout n,

xn =n∑k=0

akzkbn−kz

n−k =n∑k=0

akbn−kzn = cnz

n.


Ainsi, la série numérique∑cnz

n converge. Ceci étant vrai pour tout z tel que |z| < min(

RCV(S),RCV(T )),

le rayon de convergence de la série produit U vérifie bien RCV(U) > min(

RCV(S),RCV(T )). De plus,

pour tout z tel que |z| < min(

RCV(S),RCV(T )), on a

∞∑n=0

xn =( ∞∑n=0

anzn

)( ∞∑n=0

bnzn

),

soitU(z) = S(z)T (z).

Remarque 3. Contrairement au cas de la somme, il est possible que RCV(S) 6= RCV(T ) mais que RCV(S)ne soit pas égal au minimum de ces deux rayons de convergence. Par exemple, les séries

S =∑

zn et T = 1− z

ont pour rayons de convergence respectifs 1 et +∞. Le terme cn de la série produit est

cn =n∑k=0

an−kbk,

avec ak = 1 pour tout k, et b0 = 1, b1 = −1 et bk = 0 pour k > 2. On a donc c0 = 1 et cn = 0 pour n > 1,donc le rayon de convergence de la série produit est encore égal à +∞ : il est strictement supérieur auplus petit des deux rayons précédents.

9.1.3 Continuité de la fonction sommeSoit S =

∑anz

n une série entière de rayon de convergence R > 0 et D son disque ouvert de conver-gence. La série entière définit une fonction f : D −→ C. L’ensemble de départ étant une partie d’unespace vectoriel normé, on peut se demander si cette fonction est continue.

Proposition (convergence normale sur les fermés bornés)Soit S =

∑anz

n une série entière de rayon de convergence R > 0. Pour toute partie fermée et bornéeKincluse dans le disque ouvert de convergence, la série S converge normalement sur K.

Démonstration. Soit K une telle partie (non vide).

R

m

z0

K

L’application z 7→ |z| est continue (car 1-Lipschitzienne) sur K, donc elle admet un maximum, noté m :il existe z0 ∈ K tel que |z0| = m et |z| 6 m pour tout z ∈ K. Comme z0 ∈ K ⊂ D, on a m < R, donc lasérie numérique

∑|anmn| converge. Pour tout z ∈ K, on a |anzn| 6 |anmn|, donc la série de fonctions

converge normalement sur K.

Proposition (continuité sur le disque ouvert de convergence)Soit S =

∑anz

n une série entière de rayon de convergence R > 0. La fonction f somme de la sérieentière est continue sur son disque ouvert de convergence.

9.2. Série entière d’une variable réelle 141

Démonstration (hors programme). Il suffit pour cela de montrer qu’elle est continue sur tous les fermésbornés K inclus dans le disque ouvert de convergence. Cela résulte de la proposition précédente et dufait que, si une série de fonctions

∑fn est normalement convergente et que toutes les fn sont continues,

alors la somme de la série de fonctions l’est aussi (nous admettrons que ce résultat, démontré pour lesfonctions d’une variable réelle, reste vrai pour les fonctions d’une variable complexe).

9.2 Série entière d’une variable réelleJusqu’à la fin du chapitre, nous considérons encore une série entière

∑anz

n (dont les coefficients ansont complexes), mais nous limitons à considérer la fonction de la variable réelle associée. On notera alors∑ant

n plutôt que∑anz

n. Le seul cas intéressant est celui où le rayon de convergence R de la sérieentière est strictement positif. L’intervalle ouvert de convergence est alors l’intervalle ]−R,R[.

9.2.1 Régularité

Théorème (dérivation terme à terme)Soit

∑ant

n une série entière de rayon de convergence R > 0.Sa somme f est de classe C∞ sur l’intervalle ouvert ]−R,R[. De plus, pour tout p ∈ N, on a

∀t ∈ ]−R,R[ , f (p)(t) =∞∑n=0

(n+ 1)(n+ 2) · · · (n+ p)an+ptn

=∞∑n=p

n(n− 1) · · · (n− p+ 1)antn−p.

En particulier, pour tout entier p, on a

ap = f (p)(0)p! .

Démonstration. Posons, pour tout entier n, fn : t 7→ antn. Cette fonction est dérivable, de dérivée la

fonction f ′n : t 7→ nantn−1.

Le rayon de convergence de la série dérivée∑

(n + 1)an+1tn =

∑n>1 nant

n−1 est égal à R. Sur toutsegment de l’intervalle ]−R,R[,

– la série de fonctions∑fn converge simplement

– la série de fonctions∑n>1 f

′n converge normalement

donc la fonction f =∑∞n=0 fn est dérivable (sur l’intervalle ]−R,R[) et sa dérivée est donnée par

∀t ∈ ]−R,R[ , f ′(t) =∞∑n=1

f ′n(t) =∞∑n=1

nantn−1 =

∞∑n=0

(n+ 1)an+1tn.

On procède ensuite par récurrence en utilisant que le rayon de convergence est invariant par dérivation.La fonction f est donc de classe C n pour tout entier n, i.e. de classe C∞. La formule pour le coefficient aps’obtient en faisant t = 0 dans la formule donnant f (p)(t) (ne pas oublier que 00 = 1...).

Exemple 1. Considérons la série entière∑tn. Son rayon de convergence est égal à 1 et sa somme f vérifie

∀t ∈ ]−1, 1[ , f(t) =∞∑n=0

tn = 11− t = (1− t)−1.

Cette fonction f est donc de classe C∞ sur l’intervalle ]−1, 1[ (ce qui est évident) et, pour tout toutentier p et tout réel t ∈ ]−1, 1[, on a

f (p)(t) =∞∑n=0

(n+ 1) · · · (n+ p)tn =∞∑n=0

(n+ p

p

)p!tn.


Une récurrence immédiate donne par ailleurs f (p)(t) = p!(1− t)−p−1, d’où l’on déduit

∀p ∈ N, ∀t ∈ ]−1, 1[ ,∞∑n=0

(n+ p

p

)tn = 1

(1− t)p+1 ,

qui s’écrit encore

∀t ∈ ]−1, 1[ ,∞∑n=p

(n

p

)tn−p = 1

(1− t)p+1 .

Théorème (primitivation)Soit

∑ant

n une série entière de rayon de convergence R > 0. Notons f la somme de cette série entière(définie sur l’intervalle ouvert ]−R,R[).Le rayon de convergence de la série entière

∑ ann+1 t

n+1 est égal à R et, pour tout réel t ∈ ]−R,R[, on a

∞∑n=0

ann+ 1 t

n+1 = F (t),

où F est l’unique primitive de f vérifiant F (0) = 0.

Démonstration. La série dérivée de la série∑ an

n+1 tn+1 est la série

∑ant

n, donc ces deux séries ont mêmerayon de convergence.

Soit x ∈ ]−R,R[. La série de fonctions converge normalement sur le segment [0, x] (ou [x, 0] si x < 0),donc on peut intégrer terme à terme entre 0 et x :

F (x) =∫ x

0f(t)dt =

∫ x

0

∞∑n=0

antn =

∞∑n=0

∫ x

0ant

n =∞∑n=0

ann+ 1x

n+1.

Exemple 2. Le rayon de convergence de la série∑tn est égal à 1 ; pour tout réel t ∈ ]−1, 1[, on a

∞∑n=0

tn = 11− t .

Par intégration, on en déduit que, pour tout réel t ∈ ]−1, 1[, on a

− ln(1− t) =∞∑n=0

tn+1

n+ 1 =∞∑n=1

tn

n.

9.2.2 Fonctions développables en série entière

DéfinitionSoit f : I −→ C une fonction définie au voisinage de 0. On dit que f est développable en série entièreau voisinage de 0 si, et seulement si, il existe une série entière

∑ant

n de rayon de convergence R > 0et un réel r 6 R tel que

]−r, r[ ⊂ I et ∀t ∈ ]−r, r[ , f(t) =∞∑n=0

antn.

Une telle fonction est alors nécessairement de classe C∞ dans l’intervalle ]−r, r[ et vérifie f (n)(0) = n!anpour tout entier n. En particulier, on a le

Théorème (unicité du développement en série entière)Si une fonction f , définie au voisinage de 0, est développable en série entière au voisinage de 0, il existeune unique série entière dont f est la somme au voisinage de 0.


Réciproquement, toutes les fonctions de classe C∞ définies au voisinage de 0 ne sont pas développablesen série entière au voisinage de 0 (cf. feuille d’exercices pour des contre-exemples). La propriété pour unefonction f d’être développable en série entière au voisinage de 0 est donc encore plus forte que d’être declasse C∞ au voisinage de 0.

DéfinitionSoit f : I −→ C une fonction définie au voisinage d’un point a ∈ R. On dit que f est développable ensérie entière au voisinage de a si, et seulement si, la fonction g : t 7→ f(a + t), définie au voisinagede 0, est développable en série entière au voisinage de 0.

Quitte à faire une translation sur la variable, nous nous limiterons à étudier les fonctions développablesen série entière au voisinage de l’origine.

Définition (série de Taylor)Soit f : I −→ C une fonction de classe C∞ définie au voisinage de 0. La série de Taylor de f est lasérie entière ∑ f (n)(0)

n! tn.

Si une fonction f définie au voisinage de 0 et de classe C∞ est développable en série entière auvoisinage de 0, l’unique série entière dont f peut être la somme au voisinage de 0 est la série de Taylorde f .

Attention! Si le rayon de convergence de la série de Taylor est R > 0 et que l’intervalle ]−R,R[ estinclus dans l’intervalle de définition de la fonction f , on n’a pas nécessairement f(t) =

∑∞n=0

f(n)(0)n! tn

pour tout réel t ∈ ]−R,R[ ! Parfois, cette égalité n’est vérifiée que dans un intervalle ]−r, r[ ⊂ ]−R,R[,parfois même pour t = 0 uniquement !

Développements en série entière usuels

a) Exponentielle

Nous savons que, pour tout t ∈ R, nous avons

et =∞∑n=0

tn

n! .

La fonction exponentielle est donc développable en série entière au voisinage de l’origine.

b) Fonctions hyperboliques

Pour tout réel t, on a ch t = et+e−t2 et sh t = et−e−t

2 , d’où

ch t =∞∑n=0

1 + (−1)n

2n! tn et sh t =∞∑n=0

1− (−1)n

2n! tn,

soit

∀t ∈ R, ch t =∞∑p=0

1(2p)! t

2p et sh t =∞∑p=0

1(2p+ 1)! t

2p+1.

c) Fonctions circulaires

Nous avons aussi démontré que, pour tout réel t, on avait

cos t =∞∑p=0

(−1)p

(2p)! t2p et sin t =

∞∑p=0

(−1)p

(2p+ 1)! t2p+1.

Rappelons que nous en avons déduit que la formule ez =∑∞n=0

zn

n! était valable pour tout nombrecomplexe z.


d) Logarithme

Nous avons démontré dans l’exemple 2 du paragraphe 9.2.1 que, pour tout réel t ∈ ]−1, 1[, on avait

ln(1− t) = −∞∑n=1

tn

n.

En remplaçant t par −t, on obtient

∀t ∈ ]−1, 1[ , ln(1 + t) =∞∑n=1

(−1)n+1tn

n.

L’égalité reste par ailleurs valable pour t = 1. En effet, notons fn(t) = (−1)n+1tn

n . Pour tout réel t ∈ [0, 1],la série

∑fn(t) est alternée et |fn(t)| décroît vers 0. La série est donc convergente, et le reste Rn(t) =

f(t)−∑nk=1 fk(t) vérifie ∣∣Rn(t)

∣∣ 6 |fn+1(t)| = tn+1

n+ 1 61

n+ 1 .

On en déduit que ||Rn|[0,1]||∞ −→n→∞

0, donc la série de fonctions∑fn converge uniformément sur le

segment [0, 1]. Sa somme est donc continue (en particulier au point 1). Comme on sait que, pour toutréel t ∈ ]−1, 1[, on a f(t) = ln(1 + t), on en déduit que

f(1) = limt→ 1

f(t) = limt→ 1

ln(1 + t) = ln 2.

e) Fonction puissance α

Rappelons que, pour α ∈ R, on définit le coefficient binomial généralisé par(α

k

)= α(α− 1) · · · (α− k + 1)

k! si k ∈ N∗ et(α

0

)= 1.

Dans le cas α = n ∈ N, on reconnaît la définition des coefficients binomiaux classiques, dont on sait qu’ilsvérifient

(nk

)= 0 dès que k > n. Dans le cas α /∈ N, aucun coefficient

(αk

)n’est nul.

Lorsque α = n ∈ N, on a, pour tout réel x,

(1 + x)n =n∑k=0

(n

k

)xk =

∞∑k=0

(n

k

)xk

la somme étant en fait une somme finie puisque(nk

)= 0 dès que k > n+1. Pour α non entier, on a encore

le

ThéorèmeSoit α un réel tel que α /∈ N.Le rayon de convergence de la série entière

∑(αn

)tn est égal à 1 et, pour tout t ∈ ]−1, 1[, on a

(1 + t)α =∞∑n=0

(α

n

)tn.

Démonstration. Notons f : t 7→ (1+ t)α. Pour tout entier n, sa dérivée d’ordre n est donnée par f (n)(t) =α(α− 1) · · · (α− n+ 1)(1 + t)α−n, donc on a f(n)(0)

n! =(αn

). Étudions donc la série entière

∑(αn

)tn.

– Soit t un réel non nul. Pour tout entier n, on a∣∣∣( αn+1)tn+1

∣∣∣∣∣(αn

)tn∣∣ =

∣∣∣∣α(α− 1) · · · (α− n)(n+ 1)! · n!

α(α− 1) · · · (α− n+ 1) t∣∣∣∣ = |α− n|

n+ 1 |t| −→n→∞|t|

donc la série converge absolument si |t| < 1, alors qu’elle diverge grossièrement si |t| > 1. Le rayon deconvergence de cette série entière est égal à 1.


– Notons g la somme de cette série entière. Pour tout réel t ∈ ]−1, 1[, on peut dériver terme à terme ; onobtient

g′(t) =∞∑n=1

n

(α

n

)tn−1.

Or, pour tout entier n > 1, on a

n

(α

n

)= n

α(α− 1) · · · (α− n+ 1)n! = α(α− 1) · · · (α− n+ 1)

(n− 1)! = α

(α− 1n− 1

).

Par suite, on a

g′(t) = α

∞∑n=1

(α− 1n− 1

)tn−1,

donc

(1 + t)g′(t) = α

∞∑n=1

(α− 1n− 1

)tn−1 + α

∞∑n=1

(α− 1n− 1

)tn

= α

( ∞∑n=0

(α− 1n

)tn +

∞∑n=1

(α− 1n− 1

)tn

)

= α

∞∑n=1

((α− 1n

)+(α− 1n− 1

))tn + α

= α

∞∑n=1

(α

n

)tn + α = αg(t)

(un calcul immédiat montre que la formule(α−1n

)+(α−1n−1)

=(αn

)reste valable même lorsque α /∈ N). La

fonction g est solution de la même équation différentielle du premier ordre que la fonction f , elle vérifie lamême condition initiale g(0) = 1. Par unicité d’une solution au problème de Cauchy, on a donc g = f ,i.e.

∑∞n=0

(αn

)tn = (1 + t)α pour tout réel t ∈ ]−1, 1[.

Remarque 1. En prenant α = −1, on trouve(−1n

)= (−1)(−2) · · · (−n)

n! = (−1)n.

Le théorème précédent s’écrit donc1

1 + t=∞∑n=0

(−1)ntn,

relation valable pour tout réel t ∈ ]−1, 1[ : on retrouve la somme bien connue de la série géométrique.

f) Arctangente

En remplaçant t par t2 dans la formule précédente, on obtient

11 + t2

=∞∑n=0

(−1)nt2n,

égalité valable pour tout réel t ∈ ]−1, 1[. La convergence étant normale sur tout segment inclus dans]−1, 1[, on peut intégrer terme à terme pour obtenir

∀x ∈ ]−1, 1[ , Arctg x =∞∑n=0

(−1)n x2n+1

2n+ 1 .

Le même argument que pour le développement de ln(1 + t) montre que la convergence de cette série defonctions est uniforme sur le segment [−1, 1], donc la somme f est définie sur ce segment et y est continue.Par passage à la limite, l’égalité ci-dessus, vraie pour tout x ∈ ]−1, 1[, reste vraie en x = ±1.



Dans les questions 1 à 5, on considère une série entière S =∑anz

n à coefficients complexes. Quepeut-on dire du rayon de convergence de la série entière sous les hypothèses suivantes :

1. Les coefficients an sont nuls à partir d’un certain rang. Que peut-on dire de la somme de la série entière ?2. La suite (an)n converge vers 0.3. La suite (an)n converge vers un complexe ` non nul.4. La suite (|an|)n diverge vers +∞.5. On suppose que, pour tout entier n, an 6= 0. Soit R > 0 un réel. L’équivalence suivante est-elle vraie ? À

défaut, l’une des deux implications est-elle vraie ?∣∣∣∣ anan+1

∣∣∣∣ −→n→∞R⇐⇒ RCV(S) = R.

6. Quel lien y a-t-il entre le rayon de convergence de la série entière∑anz

n et celui de la série entière∑(−1)nanzn ?

7. On suppose trouvé un complexe z0 tel que la série numérique∑anz

n0 soit semi-convergente. Quel est le

rayon de convergence de la série entière∑anz

n ?8. Soit p ∈ N. Exprimer le rayon de convergence de la série entière T =

∑npanz

n en fonction du rayon deconvergence de la série entière

∑anz

n.9. Donner un exemple de séries entières S et T telles que RCV(S+T ) 6= min(RCV(S),RCV(T )). Même chose

pour le produit.10. On suppose la suite (an)n périodique de période 2 et non nulle. Calculer le rayon de convergence de la

série entière∑anz

n, ainsi que la somme de cette série entière en fonction de a0 et a1. Généraliser au casd’une suite p-périodique.

11. Soit R le rayon de convergence de la série∑anx

n. On suppose que la série∑|an|Rn converge. Quel est

le domaine de définition de la somme S de la série entière (de la variable réelle) ? Cette somme est-ellecontinue sur tout son ensemble de définition ?

12. La fonction f définie sur R par :

f(0) = 1 et ∀x 6= 0, f(x) = sin xx

est-elle de classe C∞ ?13. Soit f une fonction développable en série entière à l’origine. Que peut-on dire des coefficients de son

développement si f est paire ? Si elle est impaire ?14. Existe-t-il des fonctions polynomiales périodiques ? Des fonctions développables en série entière pério-

diques ?15. Une fonction polynomiale est-elle développable en série entière à l’origine ? Et une fonction rationnelle ?16. On suppose trouvée une suite (an)n de complexes et un réel r ∈ ]0, 1[ vérifiant

∀t ∈ ]−r, r[ ,∞∑n=0

antn = 1

1− t .

Peut-on en déduire les coefficients an ?17. Soient

∑anz

n et∑bnz

n deux séries entières de rayons de convergence strictement positifs. On supposequ’il existe un infinité de réels x vérifiant

∞∑n=0

anxn =

∞∑n=0

bnxn.

Peut-on en déduire que an = bn pour tout n ?18. Soit f une fonction de classe C∞ sur un voisinage ]−R,R[ de 0, vérifiant

∀n ∈ N, f (n)(0) = n!.

La fonction f est-elle développable en série entière à l’origine ?


9.3.2 Réponses1.Pour tout complexe z, la série

∑anz

n est à support fini donc converge ; le rayon de convergence est infini.La somme de la série entière est une fonction polynomiale.

2.Pour z = 1, le terme général an1n = an de la série est borné, donc RCV(S) > 1. Il peut être strictementsupérieur à 1 (exemple : an = 1

n! , pour lequel le rayon est infini) ou égal à 1 (exemple : an = 1n ).

3.Pour z = 1, le terme général an1n converge donc est borné, donc RCV(S) > 1. Pour tout z vérifiant|z| > 1, on a

∣∣anzn∣∣ = |an| · |z|n −→n→∞

+∞, donc RCV(S) 6 1. On a donc RCV(S) = 1.

4.Pour z = 1, le terme général anzn = an n’est pas borné, donc RCV(S) 6 1. Il peut être égal à 1 (exemple :an = n), strictement inférieur à 1 (exemple : an = 2n ; le rayon est égal à 1

2 ), voire nul (exemple :an = n!).

5. Seule l’implication =⇒ est vraie. En effet, supposons∣∣∣∣ anan+1

∣∣∣∣ −→n→∞R. Soit z ∈ C vérifiant |z| > R. Alors

(en supposant R 6= 0) : ∣∣∣∣an+1zn+1

anzn

∣∣∣∣ =∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ · |z| −→n→∞

∣∣∣ zR

∣∣∣ > 1,

donc la série numérique∑anz

n diverge, ce qui prouve que RCV(S) 6 R. On démontre de la même façonque, si |z| < R, la série

∑anz

n converge, ce qui prouve que RCV(S) > R, d’où l’égalité.

Le cas R = 0 se traite de façon plus simple encore : pour tout z 6= 0, on a∣∣∣∣an+1z

n+1

anzn

∣∣∣∣ −→n→∞+∞, donc la

série diverge pour tout z 6= 0.L’autre implication est fausse : en effet, la série entière

∑anz

n, où an = 1 si n est pair et an = 2 si n

est impair, vérifie que RCV(S) = 1, bien que le quotient∣∣∣∣ anan+1

∣∣∣∣ n’ait pas de limite (il est alternativement

égal à 2 et 12 ).

6. Ils sont égaux. En effet, si R1 (resp. R2) est le rayon de convergence de la première (resp. seconde) sérieentière, on a :

– la suite(|(−1)nanRn1 |

)n

= (|anRn1 |)n est bornée, donc R2 > R1 ;– pour tout z vérifiant |z| > R1, la suite

(|(−1)nanzn|

)n

= (|anzn|)n n’est pas bornée, done R2 6 R1.

7.Le rayon est R = |z0|. En effet,– la suite (anzn0 )n est bornée (car la série associée converge), donc R > |z0| ;– la série

∑|anzn0 | diverge, donc R 6 |z0| (sinon, la série

∑anz

n0 convergerait absolument).

8.La série dérivée de S :∑

(n+ 1)an+1zn a même rayon de convergence que S. Ce rayon est aussi celui de

la série entière∑

(n+ 1)an+1zn+1, i.e. de la série entière

∑n>1 nanz

n. Autrement dit : les séries entières∑anz

n et∑nanz

n ont même rayon de convergence. Par une récurrence immédiate, pour tout entier p,les séries entières

∑anz

n et∑npanz

n ont même rayon de convergence.

9.Revoir les exemples du cours.

10.La suite est bornée, donc pour z = 1, le terme général an1n est borné, donc RCV(S) > 1. Si a0 6= 0,pour z vérifiant |z| > 1, le terme général anzn n’est pas borné car |a2nz

2n| = |a0||z|2n −→n→∞

+∞, doncRCV(S) 6 1. L’argument est identique si a1 6= 0. Comme la suite est 2-périodique et non nulle, on aa0 6= 0 ou a1 6= 0, donc RCV(S) = 1 dans tous les cas. Pour tout z vérifiant |z| < 1, on a alors

S(z) =∞∑n=0

anzn =

∞∑n=0

a2nz2n +

∞∑n=0

a2n+1z2n+1 = a0

∞∑n=0

z2n + a1z

∞∑n=0

z2n = a0 + a1z

1− z2 .

L’argument est identique pour une suite p-périodique ; on trouve alors (pour tout z vérifiant |z| < 1)

S(z) = a0 + a1z + · · ·+ ap−1ap−1

1− zp .


11.On sait que la série (de la variable réelle) converge dans l’intervalle ]−R,R[ ; la question est donc de savoirsi elle converge en ±R. La réponse est oui : on a pour tout entier n∣∣an(±R)n

∣∣ = |an|Rn,

qui est le terme général d’une série convergente. Les séries∑an(±R)n convergent donc absolument, donc

convergent. La somme est par ailleurs continue sur le segment [−R,R] car il y a convergence normale surce segment : pour tout x ∈ [−R,R] et tout entier n, on a∣∣anxn∣∣ 6 |an|Rn,qui est encore le terme général d’une série convergente.

12.En utilisant le développement de la fonction sinus en série entière, on trouve

f(x) =∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)!x2n

pour tout réel x. La fonction f est donc développable en série entière à l’origine, et son développementcoïncide avec la fonction f partout, donc f est de classe C∞.

13. Soit r > 0 un réel tel que

∀x ∈ ]−r, r[ , f(x) =∞∑n=0

anxn,

où les an sont les coefficients du développement de f . Pour tout x ∈ ]−r, r[, on a aussi

f(x) = f(−x) =∞∑n=0

an(−x)n =∞∑n=0

(−1)nanxn.

Par unicité du développement, on en déduit que (−1)nan = an pour tout entier n, donc que an = 0 pourtout n impair. De même, si f est impaire, on a an = 0 pour tout n pair.

14.Une fonction polynomiale non constante tend vers ±∞ en +∞, donc ne peut être périodique (maisles fonctions constantes sont bien polynomiales et périodiques). En revanche, il existe de nombreusesfonctions développables en série entière périodiques (et non constantes) : par exemple, les fonction sin etcos.

15. – Une fonction polynomiale est évidemment développable en série entière à l’origine (les coefficients de lasérie entière sont les coefficients du polynôme ; ils sont nuls à partir d’un certain rang, donc le rayon deconvergence est infini).– Une fonction rationnelle f qui admet 0 pour pôle ne peut être développable en série entière à l’origine :elle n’est pas bornée au voisinage de 0. Si 0 n’est pas pôle, écrivons le dénominateur de la fractionrationnelle sous la forme

Q = λ(a1 −X) · · · (ap −X)(les ak tous non nuls, éventuellement confondus pour certains). Pour tout x proche de 0, on a

f(x) = P (x)a1 · · · apλ

11− x

a1

× · · · × 11− x

ap

,

donc développable en série entière à l’origine (produit de telles fonctions).

16.Oui : on a trouvé un développement en série entière de la fonction t 7→ 11−t à l’origine. Par unicité du

développement en série entière, on a an = 1 pour tout n, puisque l’on a aussi

∀t ∈ ]−1, 1[ ,∞∑n=0

tn = 11− t .

17.Quitte à faire la différence, la question est : si la somme de la série entière∑cnx

n (avec cn = an − bn)s’annule une infinité de fois, a-t-on cn = 0 pour tout n ? La réponse est non (exemple : la fonction sinus).

18.Pas nécessairement : on trouve dans la feuille d’exercices une fonction ϕ de classe C∞ définie sur R,vérifiant ϕ(n)(0) = 0 pour tout entier n, et non développable en série entière à l’origine. Par suite, lafonction f : t 7→ 1

1−t +ϕ(t), définie sur l’intervalle ]−1, 1[, est de classe C∞, vérifie f (n)(0) = n! pour toutentier n, et n’est pas développable en série entière à l’origine.

Chapitre 10Équations différentielles

Comme d’habitude, K désigne R ou C.

10.1 Équations linéaires du premier ordreDans cette première partie, nous rappelons, souvent sans démonstration, les résultats du cours de

première année.

DéfinitionUne équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients continus est une équation du type

y′(t) + a(t)y(t) = b(t),

où a et b sont deux fonctions continues définies sur l’intervalle I et où l’inconnue est la fonction y. Lafonction b est le second membre de l’équation différentielle.Une solution de cette équation est une fonction ϕ : I −→ K, dérivable, vérifiant

∀t ∈ I, ϕ′(t) + a(t)ϕ(t) = b(t).

10.1.1 Équation homogène

DéfinitionLorsque le second membre b de l’équation différentielle est nul, on dit que l’équation est homogène.

ThéorèmeSoit a : I −→ K une fonction continue et (E0) l’équation homogène y′(t) + a(t)y(t) = 0.L’ensemble des solutions S (E0) de l’équation (E0) est un K-espace vectoriel de dimension 1 ; une baseen est fournie par la fonction

ϕ : t 7→ e−A(t),

où A est une primitive de la fonction a.

Principe de la démonstration. À toute fonction ϕ : I −→ K dérivable, on associe la fonction

ψ : t 7→ ϕ(t)eA(t).

On vérifie que la fonction ϕ est solution de l’équation différentielle si, et seulement si, la fonction ψ estde dérivée nulle, i.e. constante (car définie sur un intervalle).

149

150 Chapitre 10. Équations différentielles

10.1.2 Équation avec second membre

ThéorèmeSoient a, b : I −→ K deux fonctions continues, (E ) l’équation y′(t) + a(t)y(t) = b(t). Alors

1. L’équation (E ) admet au moins une solution.2. Si ϕ0 est une telle solution, l’ensemble S (E ) des solutions de (E ) est

S (E ) = ϕ0 + S (E0) = ϕ0 + ϕ,ϕ ∈ S (E0).

Remarque 1. En pratique, une fois trouvée une solution ψ (non nulle !) de l’équation homogène, on chercheune solution «particulière» ϕ0 de l’équation avec second membre sous la forme ϕ0 = λψ (méthode de«variation de la constante»).

Exemple 1. Considérons l’équation (E ) : y′(t) + ty(t) = t.L’équation homogène associée est

(E0) : y′(t) + ty(t) = 0.

Les solutions de l’équation (E0) sont les fonctions de la forme

t 7→ λe− t22 , λ ∈ K.

On cherche donc une solution ϕ0 de l’équation avec second membre sous la forme

ϕ0(t) = λ(t)e− t22 .

Alorsϕ′0(t) = (λ′(t)− tλ(t))e− t

22 ,

donc la fonction ϕ0 est solution de (E ) si, et seulement si :

∀t ∈ R, (λ′(t)− tλ(t) + tλ(t))e− t22 = t,

soit λ′(t) = te t22 . Ainsi, la fonction λ : t 7→ e t

22 convient ; donc la fonction

ϕ0 : t 7→ e t22 e− t

22 = 1

est une solution de l’équation (E ). L’ensemble des solutions de l’équation (E ) est donc

S (E ) =t 7→ 1 + λe− t

22 , λ ∈ K

.

Remarque 2. Ici, la méthode de la variation de la constante est inutile : on voit facilement que la fonctionconstante égale à 1 est solution de l’équation avec second membre.

Théorème (condition initiale ; problème de Cauchy)Soient a, b deux fonctions continues définies sur l’intervalle I.Pour tout couple (t0, y0) ∈ I × K, l’équation différentielle y′(t) + a(t)y(t) = b(t) admet une uniquesolution ϕ vérifiant la condition initiale ϕ(t0) = y0.

Démonstration. Soit ϕ0 une solution particulière de l’équation différentielle. Les solutions sont les fonc-tions de la forme t 7→ ϕ0(t) + λe−A(t), il s’agit de trouver un nombre λ ∈ K vérifiant

ϕ0(t0) + λe−A(t0) = y0.

Le problème admet une unique solution, donnée par λ =(y0 − ϕ0(t0)

)eA(t0).

Remarque 3. Géométriquement, ce théorème signifie que les graphes des solutions réalisent une partitionde l’ensemble I ×K : les courbes remplissent I ×K et ne peuvent se croiser.

10.1. Équations linéaires du premier ordre 151

Exemple 2. Considérons l’équation différentielle définie sur R

y′(t) + 4t1 + t2

y(t) = 1(1 + t2)2 .

La fonction A : t 7→ 2 ln(1 + t2) est une primitive de la fonction a : t 7→ 4t1+t2 , donc les solutions de

l’équation homogène sont les fonctions de la forme

t 7→ λe−2 ln(1+t2) = λ

(1 + t2)2 , λ ∈ K.

On cherche ensuite une solution particulière sous la forme ϕ0(t) = λ(t)(1+t2)2 . Remplaçant dans l’équation, on

trouve que cette fonction est solution de l’équation avec second membre si, et seulement si, la fonction λvérifie λ′(t) = 1, donc λ(t) = t convient. En définitive, les solutions de l’équation sont les fonctions

t 7−→ t+ λ

(1 + t2)2 , λ ∈ K.

Figure 10.1 – partition du plan par les solutions de l’équation y′(t) + 4t1+t2 y(t) = 1

(1+t2)2

10.1.3 Raccord de solutionsLorsque l’équation différentielle, définie sur un intervalle I, s’écrit sous la forme

α(t)y′(t) + β(t)y(t) = γ(t),

on commence par la mettre sous la forme

y′(t) + β(t)α(t)y(t) = γ(t)

α(t)

(forme résolue) sur chacun des intervalles sur lesquels la fonction α ne s’annule pas. On cherche ensuiteà « recoller » certaines de ces solutions de façon à obtenir des fonctions continues et dérivables surl’intervalle I.

Exemple 1. Considérons l’équation (E ) : ty′(t) = y(t), définie sur I = R. Pour appliquer les résultats del’étude précédente à cette équation, on commence par la mettre sous la forme

y′(t)− 1ty(t) = 0,

qui en limite l’étude à chacun des intervalles R∗+ et R∗−. Sur chacun de ces intervalles, les solutions sontde la forme t 7→ at, a ∈ K.

Cherchons, s’il en existe, les solutions définies sur R de cette équation.Anayse : si ϕ est une telle solution, alors c’est aussi une solution de l’équation (E ) sur chacun desintervalles R∗− et R∗+, donc il existe deux scalaires a1 et a2 tels que

∀t < 0, ϕ(t) = a1t et ∀t > 0, ϕ(t) = a2t.


– Cette fonction doit être continue en 0, ce qui n’impose aucune restriction sur a1 et a2 et on a ϕ(0) = 0.– La fonction doit être dérivable en 0. Or

limt>→ 0

ϕ(t)− ϕ(0)t− 0 = lim

t>→ 0

a2t

t= a2 et lim

t<→ 0

ϕ(t)− ϕ(0)t− 0 = lim

t<→ 0

a1t

t= a1.

Par suite, cette fonction ϕ est dérivable si, et seulement si, a2 = a1.Syntèse : réciproquement, les fonctions de la forme t 7→ at, a ∈ K sont solutions de l’équation (E ) sur R.

Les solutions définies sur R de l’équation (E ) sont donc les fonctions de la forme

t 7→ at, a ∈ K.

Exemple 2. Considérons maintenant l’équation (E ) : ty′(t) = 2y(t), définie sur I = R. Formellement,l’étude est similaire à celle de l’exemple précédent, à ceci près que les solutions, sur R∗− comme sur R∗+,sont maintenant de la forme

t 7→ at2, a ∈ K.Étudions les éventuels raccords en 0.Analyse : si une fonction ϕ est solution de l’équation sur R, il existe a1, a2 ∈ R tels que

∀t < 0, ϕ(t) = a1t2 et ∀t > 0, ϕ(t) = a2t

2.

La continuité en 0 n’impose aucune condition sur a1 et a2 et on doit avoir, par continuité, ϕ(0) = 0. Deplus, on a alors

limt>→ 0

ϕ(t)− ϕ(0)t− 0 = lim

t>→ 0

a2t2

t= 0 et lim

t<→ 0

ϕ(t)− ϕ(0)t− 0 = lim

t<→ 0

a1t2

t= 0,

ce qui montre que les coefficients a1 et a2 peuvent être choisis de façon arbitraire, non nécessairementégaux, et que la fonction ϕ ainsi construite est dérivable.Synthèse : pour tous réels a1, a2, la fonction ϕ définie par

ϕ(t) =

a1t

2 si t < 00 si t = 0a2t

2 si t > 0, a1, a2 ∈ K

est solution de l’équation différentielle sur R (et ce sont les seules). En particulier, les fonctions de laforme t 7→ at2 sont des solutions de l’équation, mais ce ne sont pas les seules.

Exemple 3. Soit (E ) l’équation t2y′(t) = −y(t) + 1.On étudie l’équation homogène y′(t) + 1

t2y(t) = 0 sur R∗− et sur R∗+. Sur ces intervalles, les solutions

sont les fonctions t 7→ λe 1t , λ ∈ K. Comme par ailleurs la fonction constante égale à 1 est évidemment

solution de l’équation avec second membre, sur l’intervalle R∗− comme sur l’intervalle R∗+, on trouve queles solutions sont, sur chacun de ces deux intervalles, les fonctions de la forme t 7→ 1 + λe

1t , λ ∈ K.

Étudions les raccords en 0.Analyse : si ϕ est une solution de (E ) définie sur R, il existe deux constantes λ1 et λ2 telles que :

∀t < 0, ϕ(t) = 1 + λ1e1t et ∀t > 0, ϕ(t) = 1 + λ2e

1t .

La continuité de ϕ en 0 impose ϕ(0) = 1, λ2 = 0 mais aucune condition sur λ1. La dérivabilité en 0n’impose aucune condition supplémentaire non plus : la fonction ainsi est évidemment dérivable à droiteen 0 ; elle vérifie en outre (en posant x = −1/t, qui tend vers +∞ lorsque t tend vers 0−) :

∀t < 0, ϕ(t)− ϕ(0)t

= λ1e

1t

t= −λ1xe−x −→

x→+∞0.

Synthèse : réciproquement, la fonction ϕ définie par

∀t < 0, ϕ(t) = 1 + λ1e1t et ∀t > 0, ϕ(t) = 1

est solution sur R de l’équation (E ) (et ces fonctions sont les seules solutions).

Remarque 1. Il est ici faux de dire que pour tout t0 ∈ R et pour tout y0 ∈ K, il existe une uniquesolution ϕ de (E ) telle que ϕ(t0) = y0 : en effet, pour y0 6= 1 et t0 > 0, il n’existe aucune telle fonction ;en revanche, pour y0 = 1 et t0 6 0, il en existe une infinité.

10.2. Systèmes différentiels 153

Figure 10.2 – raccord des solutions de l’équation t2y′(t) = −y(t) + 1

10.2 Systèmes différentiels

10.2.1 Définition et résultats généraux

Définition (système différentiel)Un système différentiel est une équation différentielle du type

X ′(t) = A(t)X(t) +B(t),

oùA : I −→Mn(K) et B : I −→Mn,1(K)

sont des fonctions continues (I : intervalle de R).Une solution de ce système différentiel est une fonction X : I −→ Mn,1(K), dérivable, vérifiantX ′(t) = A(t)X(t) +B(t) pour tout réel t ∈ I.Le système est dit homogène si, et seulement si, le second membre B est nul.

En notant xk les fonctions coordonnées de la fonction X à valeurs vectorielles, le système s’écrit encore

∀t ∈ R,

x′1(t) = a11(t)x1(t) + a12(t)x2(t) + · · ·+ a1n(t)xn(t) + b1(t)x′2(t) = a21(t)x1(t) + a22(t)x2(t) + · · ·+ a2n(t)xn(t) + b2(t)

...x′n(t) = an1(t)x1(t) + an2(t)x2(t) + · · ·+ ann(t)xn(t) + bn(t)

,

d’où la terminologie de système différentiel.

Exemple 1. Soient a1, . . . , an : R −→ K des fonctions continues et, pour tout réel t,

A(t) =

a1(t). . .

an(t)

.Le système différentiel X ′(t) = A(t)X(t) s’écrit sous forme très simple :

x′1(t) = a1(t)x1(t)x′2(t) = a2(t)x2(t)

...x′n(t) = an(t)xn(t)

.


Les solutions sont les fonctions du type

t 7→ X(t) =

λ1eA1(t)

λ2eA2(t)

...λneAn(t)

,où les λi sont des scalaires et, pour chaque i, Ai une primitive de la fonction ai.

Comme dans le cas des équations différentielles scalaires (lorsque l’inconnue est une fonction à valeurdans K et non à valeurs vectorielles), il est naturel de s’intéresser au système homogène associé. Ondispose alors du théorème suivant :

ThéorèmeSoit (E ) un système différentiel et (E0) le système différentiel associé. Soit X0 une solution du systèmedifférentiel (E ). Alors l’ensemble S (E ) des solutions du système (E ) est

S (E ) = X0 + S (E0).

Autrement dit : en ajoutant à X0 une solution du système homogène, on obtient une solution du sys-tème (E ), et toute solution du système (E ) peut s’écrire sous la forme X = X0 + X1, où X1 est unesolution du système homogène.

Démonstration. La fonction X0 vérifie X ′0(t) = A(t)X0(t)+B(t) pour tout réel t ∈ I. Soit X1 une solutiondu système homogène : elle vérifie X ′1(t) = A(t)X1(t) pour tout t. Par suite, pour tout réel t, la fonctionX = X0 +X1 est dérivable et vérifie

X ′(t) = X ′0(t) +X ′1(t) = A(t)X0(t) +B(t) +A(t)X1(t) = A(t)X(t) +B(t) :

elle est solution du système (E ).Réciproquement, siX2 est une solution du système (E ), on vérifie tout aussi simplement que la fonction

X2−X0 est solution du système homogène (E0) ; la fonctionX2 s’écrit sous la formeX2 = X0 + (X2 −X0).

Il est évident que le système homogène admet au moins une solution (la solution nulle ! Il est mêmeévident que l’ensemble S (E0) est un espace vectoriel). Pour le système avec second membre, c’est enrevanche beaucoup moins évident. Pour cela, nous disposons du

Théorème (problème de Cauchy)Soit (E ) : X ′(t) = A(t)X(t)+B(t) un système différentiel (A,B définies et continues sur un intervalle I).Pour tout t0 ∈ I et tout X0 ∈Mn,1(K), il existe une unique solution du système différentiel vérifiantla condition initiale X(t0) = X0.


Nous en déduisons le

ThéorèmeL’ensemble S (E0) des solutions du système homogène est un espace vectoriel de dimension n.De plus, si X1, . . . , Xn sont des solutions de ce système, les trois assertions suivantes sont équivalentes :

1. la famille (X1, . . . , Xn) est une base de S (E0)2. il existe un réel t0 ∈ I tel que la famille de vecteurs

(X1(t0), . . . , Xn(t0)

)soit une base deMn,1(K)

3. pour tout réel t0 ∈ I, la famille de vecteurs(X1(t0), . . . , Xn(t0)

)est une base de Mn,1(K).


Démonstration. Le théorème précédent affirme que, pour tout réel t0 ∈ I, l’application

Φ : S (E0) −→ Mn,1(K)X 7−→ X(t0)

est bijective. Comme elle est linéaire, c’est un isomorphisme, donc dim(S (E0)) = dim(Mn,1(K)) = n.Considérons maintenant n solutions X1, . . . , Xn et démontrons l’équivalence des trois assertions.

3) =⇒ 2) est évident.2) =⇒ 1) Soit t0 ∈ I un réel tel que la famille de vecteurs

(X1(t0), . . . , Xn(t0)

)soit une base de Mn,1(K) ;

montrons que la famille de fonctions (X1, . . . , Xn) est une base de S (E0). Comme elle est de bon cardinal,il suffit de démontrer qu’elle est libre. Soient λ1, . . . , λn des scalaires tels que λ1X1 + · · · + λnXn = 0(fonction nulle). On a en particulier λ1X1(t0)+· · ·+λnXn(t0) = 0 (vecteur nul), donc λ1 = · · · = λn = 0 :la famille est libre.1) =⇒ 3) Supposons que (X1, . . . , Xn) est une base de S (E0). Soit t0 ∈ I un réel : montrons que lafamille

(X1(t0), . . . , Xn(t0)

)est une base de Mn,1(K). Il suffit ici encore de démontrer que cette famille

est libre. Soient donc λ1, . . . , λn des scalaires tels que λ1X1(t0) + · · · + λnXn(t0) = 0. Considérons lafonction X = λ1X1 + · · · + λnXn : c’est une solution du système (E0), qui vérifie la condition initialeX(t0) = 0. Comme la fonction nulle est aussi une solution qui vérifie cette même condition initiale, c’estque X est la fonction nulle. La famille de fonctions (X1, . . . , Xn) étant libre, on en déduit que les λi sonttous nuls.

Remarque 1. Cette situation est vraiment très spécifique aux solutions des équations différentielles : engénéral, si f1, . . . , fn sont des fonctions indépendantes à valeurs vectorielles, les vecteurs f1(t0), . . . , fn(t0)n’ont plus aucune raison d’être indépendants !

Remarque 2. Les deux théorèmes précédents sont purement théoriques : il ne fournissent pas de méthodepour trouver les solutions du système différentiel (ni même une seule...). Cependant, lorsque l’on connaîtune base (X1, . . . , Xn) de l’ensemble S (E0) des solutions de l’équation homogène, on peut chercher unesolution X de l’équation avec second membre sous la forme

X(t) = λ1(t)X1(t) + · · ·+ λn(t)Xn(t),

où les λi sont des fonctions dérivables (les nouvelles inconnues). L’équation s’écrit alors

λ′1(t)X1(t) + λ1X′1(t) + · · ·+ λ′n(t)Xn(t) + λn(t)X ′n(t) = A(t)

(λ1(t)X1(t) + · · ·+ λn(t)Xn(t)

)+B(t),

soit, puisque chaque fonction Xi est solution du système homogène :

λ′1(t)X1(t) + · · ·+ λ′n(t)Xn(t) = B(t).

D’après le théorème précédent, on sait que, pour chaque t ∈ I, la famille(X1(t), . . . , Xn(t)

)est une

base de Mn,1(t) ; l’équation précédente est donc équivalente à «pour tout i ∈ [[1, n]], λ′i(t) est la ième

coordonnée du vecteur B(t) dans la base(X1(t), . . . , Xn(t)

)». Ceci permet des déterminer les λ′i(t) puis,

par primitivation, les λi(t), donc une solution de l’équation avec second membre.Cette méthode ne figure cependant pas au programme ; on doit donc vous indiquer comment procéder

pour trouver une solution de l’équation avec second membre.

Exemple 2. Considérons le système différentielx′(t) = t

t2 + 1x(t) + 1t2 + 1y(t) + t2 − 1

y′(t) = −1t2 + 1x(t) + t

t2 + 1y(t) + 2t

Le système homogène s’écrit x′(t) = t

t2 + 1x(t) + 1t2 + 1y(t)

y′(t) = −1t2 + 1x(t) + t

t2 + 1y(t)

Posons z(t) = x(t) + iy(t) : la fonction z est dérivable, de dérivée z′(t) = x′(t) + iy′(t). Par suite, la

fonction X : t 7→[x(t)y(t)

]est solution du système homogène si, et seulement si, la fonction z vérifie

z′(t) = t

t2 + 1(x(t) + iy(t)

)− it2 + 1

(x(t) + iy(t)

)= t− it2 + 1z(t).


La fonction t 7→ ln√t2 + 1− iArctg t étant une primitive de la fonction t 7→ t− i

t2 + 1 , la fonction

zλ : t 7→ λe√t2+1−i Arctg t = λ

√t2 + 1

(cos(Arctg t)− i sin(Arctg t)

)est solution de la nouvelle équation (ceci pour tout λ ∈ C). Par ailleurs, pour tout réel t, on a cos(Arctg t) 6= 0,et

sin(Arctg t)cos(Arctg t) = tg(Arctg t) = t.

Comme on a par ailleurs cos2(Arctg t) + sin2(Arctg t) = 1, on obtient cos2(Arctg t)(1 + t2) = 1, puis

cos(Arctg t) = 1√t2 + 1

et sin(Arctg t) = t√t2 + 1

(car Arctg t ∈]−π2 ,

π2[). En définitive, les deux fonctions

z1 : t 7→ 1− it et zi : t 7→ t+ i

sont solutions de l’équation en z. En revenant à l’équation initiale, on obtient deux solutions du sys-tème (E0) : les fonctions

X1 : t 7→[

1−t

]et X2 : t 7→

[t1

].

Ces deux fonctions sont clairement linéairement indépendantes (par exemple car les vecteurs X1(0)et X2(0) le sont), donc elles forment une base de l’espace des solutions de (E0).

Cherchons maintenant une solution de l’équation avec second membre. Comme expliqué plus haut,on la cherche sous la forme X(t) = λ1(t)X1(t) + λ2X2(t), où λ1 et λ2 sont deux fonctions dérivables (lesnouvelles fonctions inconnues). On a alors

X ′(t) = λ′1(t)X1(t) + λ1(t)X ′1(t) + λ′2(t)X2(t) + λ2(t)X ′2(t).

Sachant que X1 et X2 sont solutions de l’équation homogène (E0), on en déduit que cette fonction X estsolution du système (E ) si, et seulement si, elle vérifie

λ′1(t)X1(t) + λ′2(t)X2(t) = B(t),

soit λ′1(t) + tλ′2(t) = t2 − 1−tλ′1(t) + λ′2(t) = 2t

Le système linéaire (aux inconnues λ′1(t), λ′2(t)) est de Cramer, il admet pour unique solution

λ′1(t) =

∣∣∣∣t2 − 1 t2t 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 t−t 1

∣∣∣∣ = −t2 − 1

t2 + 1 = −1 et λ′2(t) =

∣∣∣∣ 1 t2 − 1−t 2t

∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 t−t 1

∣∣∣∣ = t3 + t

t2 + 1 = t.

On peut par exemple choisir λ1(t) = −t et λ2(t) = t2

2 : la fonction

X : t 7→ λ1(t)X1(t) + λ2(t)X2(t) =

−t+ t3

23t2

2

est solution de l’équation avec second membre. En définitive, les solutions du système linéaire sont lesfonctions de la forme

t 7→

−t+ t3

2 + λ1 + λ2t

3t2

2 − λ1t+ λ2

, λ1, λ2 ∈ R.


10.2.2 Systèmes différentiels à coefficients constantsExaminons dans ce paragraphe le cas où la matrice A est à coefficients constants et où le second

membre B est nul. L’équation est homogène ; l’espace des solutions est un espace vectoriel de dimension n(la taille de la matrice A). On peut naturellement s’intéresser aux vecteurs propres de la matrice A. Ceux-ci fournissent des solutions du système différentiel :

PropositionSoit C un vecteur propre de la matrice A, associée à la valeur propre λ. Alors la fonction X : t 7→ Ceλtest solution du système X ′ = AX.

Démonstration. En effet, pour tout réel t, on a

X ′(t) = λCeλt = ACeλt = AX(t).

En particulier, dans le cas où la matrice A est diagonalisable, on obtient le

ThéorèmeSupposons la matrice A diagonalisable et notons (C1, . . . , Cn) une base de vecteurs propres de A (levecteur propre Ck étant associé à la valeur propre λk). Notons, pour tout k ∈ [[1, n]], Xk la fonctionXk : t 7→ Ckeλkt. Alors la famille (X1, . . . , Xn) est une base de solutions du système différentielX ′(t) = AX(t).

Démonstration. D’après la théorème précédent, chacune des fonctions Xk est solution du système diffé-rentiel. Cette famille de fonctions est par ailleurs libre : en effet, les vecteurs de Mn,1(K)

X1(0) = C1, . . . , Xn(0) = Cn

sont indépendants. Comme l’espace des solutions est de dimension n, c’en est une base.

Exemple 1. Résolvons le système différentiel X ′ = AX, où

A =

0 1 −21 0 −21 −1 0

.Le calcul du polynôme caractéristique donne χA = −X(X + 1)(X − 1), scindé à racines simples, donc Aest diagonalisable (et les espaces propres sont tous de dimension 1). En examinant les noyaux de A−λ I3,où λ est une valeur propre, on trouve facilement que les trois colonnes

C1 =

221

, C2 =

110

et C3 =

132

sont des vecteurs propres associés aux valeurs propres respectives 0, 1 et −1. Les solutions du systèmesont les fonctions du type

t 7→ X(t) = α1C1e0t + α2C2et + α3C3e−t2α1 + α2et + α3e−t

2α1 + α2et + 3α3e−tα1 + 2α3e−t

.Remarque 1. Une autre façon de procéder pour résoudre le système différentiel consiste à diagonalisereffectivement la matrice A. Dans l’exemple précédent, la matrice

P =

2 1 12 1 31 0 2

,


vérifie P−1AP = diag(0, 1,−1). En posant Y (t) = P−1X(t), on a X(t) = PY (t), donc X ′(t) = PY ′(t).Le système différentiel s’écrit donc PY ′(t) = APY (t), soit Y ′(t) = P−1APY (t), i.e. Y ′(t) = DY (t) :y

′1(t) = 0y′2(t) = y2(t)y′3(t) = −y3(t)

.

Les solutions de ce système sont les fonctions du type

t 7→ Y (t) =

α1α2etα3e−t

,où α1, α2, α3 sont des constantes. Les solutions du système différentiel initial sont alors les fonctionst 7→ X(t) = PY (t) ; on retrouve bien sûr les mêmes solutions que par la méthode précédente.

Exemple 2. Résolvons le système différentiel

X ′(t) =[2 10 2

]X(t),

i.e. le système x′1(t) = 2x1(t) + x2(t)x′2(t) = 2x2(t)

La deuxième équation équivaut à l’existence d’un scalaire α2 tel que, pour tout réel t, on ait x2(t) = α2e2t.Il s’agit donc de résoudre l’équation différentielle

x′1(t) = 2x1(t) + α2e2t.

Les solutions de l’équation homogène sont les fonctions de la forme t 7→ α1e2t (α1 ∈ K), et on vérifiefacilement que la fonction t 7→ α2te2t est solution de l’équation avec second membre. Les solutions dusystème différentiel sont donc les fonctions du type

t 7→ X(t) =[(α1 + α2t)e2t

α2e2t

]= α1

[e2t

0

]+ α2

[te2t

e2t

].

Exemple 3. Résolvons maintenant le système différentiel X ′ = AX, où

A =

5 −6 23 −4 22 −5 4

.Le polynôme caractéristique est maintenant χA = (X−1)(X−2)2. La matrice A−2 I3 étant de rang 2, sonnoyau est de dimension 1, strictement inférieur à la multiplicité algébrique de la valeur propre 2, donc An’est pas diagonalisable. Son polynôme caractéristique étant scindé, elle est cependant trigonalisable. Plusprécisément, notons f l’endomorphisme canoniquement associé à la matrice A. En choisissant un vecteurpropre ε1 (resp. ε2) de f associé à la valeur propre 1 (resp. 2) et ε3 un vecteur indépendant des deuxprécédents, on sait que la matrice T de f dans la base C = (ε1, ε2, ε3) est de la forme

T =

1 0 ∗0 2 ∗0 0 2

.On trouve facilement que ε1 = (1, 1, 1) et ε2 = (2, 2, 3) conviennent. Cherchons à choisir ε3 de façonà ce que la troisième colonne de T soit (si possible) égale à

[012

]. Géométriquement, cela signifie que le

vecteur ε3 doit vérifier f(ε3) = ε2 + 2ε3, i.e. (f − 2 Id)(ε3) = ε2. Matriciellement, cela revient à résoudrele système (A− 2 I3)X = C2, où C2 est la matrice colonne du vecteur ε2 dans la base canonique, i.e.3 −6 2

3 −6 22 −5 2

X =

223

.

10.3. Équations linéaires du deuxième ordre 159

On trouve que la colonne C3 =[−1

052

]est solution de ce système, donc que le vecteur ε3 = (−1, 0, 5

2 )

vérifie f(ε3) = ε2 + 2ε3, puis que la famille (ε1, ε2, ε3) est libre, donc une base de K3. En notant

P =

1 2 −11 2 01 3 5

2

,on a donc une matrice inversible, qui vérifie

P−1AP =

1 0 00 2 10 0 2

= T.

Notons Y = P−1X : la fonction X est solution du système X ′ = AX si, et seulement si, la fonction Yest solution du système Y ′ = TY , qui s’écrity

′1 = y1y′2 = 2y2 + y3y′3 = 2y3

.

Les solutions de la première équation sont les fonctions t 7→ α1et (α1 ∈ K) ; le système formé par les deuxdernières équations a déjà été résolu (au changement de notations près) : ses solutions sont les fonctionsde la forme t 7→

(y2(t), y3(t)

)=((α2 + α3t)e2t, α3e2t) (α2, α3 ∈ K). Les solutions du système en Y sont

donc les fonctions de la forme

t 7→ Y (t) =

α1et(α2 + α3t)e2t

α3e2t

,donc les solutions du système initial sont les fonctions de la forme

t 7→ X(t) = PY (t) =

α1et + (2α2 − α3 + 2α3t)e2t

α1et + 2(α2 + α3t)e2t

α1et + (3α2 + 5α32 + 3α3t)e2t

.10.3 Équations linéaires du deuxième ordre

Soit I un intervalle non réduit à un point de R et a, b, c : I −→ K trois fonctions continues. Onconsidère l’équation différentielle linéaire du second ordre (E ) :

x′′(t) + a(t)x′(t) + b(t)x(t) = c(t).

L’équation homogène associée à (E ) est l’équation (E0) :

x′′(t) + a(t)x′(t) + b(t)x(t) = 0.

Une solution de l’équation différentielle (E ) est une fonction ϕ : I −→ K, deux fois dérivable, vérifiant

∀t ∈ I, ϕ′′(t) + a(t)ϕ′(t) + b(t)ϕ(t) = c(t).

On a, comme pour les équations du premier ordre et les systèmes différentiels, la description suivantede l’ensemble des solutions :

ThéorèmeSoit (E ) une équation différentielle linéaire du second ordre et (E0) l’équation homogène associée.Soit ϕ0 une solution de l’équation (E ). Alors l’ensemble S (E ) des solutions de (E ) est

S (E ) = ϕ0 + S (E0).

Cependant, dans le cas général, les solutions d’une telle équation sont beaucoup plus difficiles àdéterminer que les solutions d’une équation du premier ordre. Commençons par revenir sur le cas quevous avec étudié l’an dernier.


10.3.1 Cas des équations à coefficients constantsRappelons que, lorsque l’équation homogène est à coefficients constants :

(E0) : ax′′(t) + bx′(t) + cx(t) = 0

(a, b, c : constantes, a 6= 0), on introduit l’équation caractéristique (Ec) : ar2 + br + c = 0. On disposealors du

ThéorèmeSoient r1, r2 les deux racines de l’équation caractéristique.– si r2 6= r1, les deux fonctions ϕ1 : t 7→ er1t et ϕ2 : t 7→ er2t forment une base de l’espace des solutions

de l’équation homogène (E0) ;– si r2 = r1(= r), les deux fonctions ϕ1 : t 7→ ert et ϕ2 : t 7→ tert forment une base de l’espace des

solutions de l’équation homogène (E0).

Remarque 1. Lorsque les deux racines sont complexes conjuguées, de la forme α± iβ (α, β ∈ R), les deuxfonctions

ϕ1 : t 7→ eαt cos(βt) et ϕ2 : t 7→ eαt sin(βt)forment aussi une base de l’espace des solutions de l’équation homogène.

Dans certains cas particuliers, on sait par ailleurs trouver une solution de l’équation avec secondmembre :PropositionSi le second membre est de la forme f : t 7→ αert (α, r ∈ K), l’équation avec second membre admetune solution de la forme

ϕ0 : t 7→ λtdert,

où d est l’ordre de multiplicité de r en tant que racine de l’équation caractéristique.

Exemple 1. Considérons l’équation différentielle

(E ) : x′′(t)− x′(t)− 2x(t) = ch t.

L’équation caractéristique est r2− r− 2 = 0 ; elle admet pour racines r1 = −1 et r2 = 2 (on cherche deuxnombres dont la somme vaut 1 et le produit −2). Les fonctions t 7→ e−t et t 7→ e2t forment donc une basede l’espace des solutions de l’équation homogène.

Pour chercher une solution de l’équation avec second membre, on remarque que ch t = 12et + 1

2e−t et

on utilise le principe de superposition des seconds membres : si on sait trouver une solution ϕ1 pour lesecond membre 1

2et et une solution ϕ2 pour le second membre 1

2e−t, alors la fonction ϕ0 = ϕ1 + ϕ2 est

une solution pour le second membre ch t.– Pour le second membre 1

2et, on remarque que 1 n’est pas racine de l’équation caractéristique, donc

l’équation admet une solution de la forme ϕ1(t) = λet. Pour une telle fonction, on a ϕ′′1(t)−ϕ′1(t)−2ϕ1(t) = −2λet, donc λ = − 1

4 convient.– Pour le second membre 1

2e−t, −1 est cette fois-ci racine simple de l’équation caractéristique, donc

il existe une solution de la forme ϕ2(t) = µte−t. Le calcul donne ϕ′′2(t)− ϕ′2(t)− 2ϕ2(t) = −3µe−t,donc on prend µ = − 1

6 .La fonction ϕ0 : t 7→ −1

4 et − 16 te−t est solution de l’équation (E ). L’ensemble des solutions est donc

S (E ) =t 7→ −1

4 et − t

6e−t + λe−t + µe−2t, λ, µ ∈ R

.

Exemple 2. Considérons maintenant l’équation différentielle

(E ) : x′′(t) + 4x(t) = cos t+ sin 2t.

L’équation caractéristique est r2 + 4 = 0, qui admet pour racines r1 = 2i et r2 = −2i. Les solutions del’équation homogène sont donc les fonctions de la forme t 7→ λ cos 2t+ µ sin 2t, λ, µ ∈ K.

Pour trouver une solution de l’équation avec second membre, on utilise encore le principe de super-position des seconds membres, en écrivant

cos t+ sin 2t = eit + e−it

2 + e2it − e−2it

2i .


– Pour le second membre eit

2 , il existe une solution de la forme ϕ1(t) = λeit (car i n’est pas racinede l’équation caractéristique). De même, il existe une solution de la forme ϕ2(t) = µe−it pour lesecond membre e−it

2 . Il existe donc une solution de la forme ϕ3(t) = λeit + µe−it pour le secondmembre cos t ; cette solution peut aussi s’écrire sous la forme ϕ3(t) = α cos t + β sin t. On a alorsϕ′′3(t) + 4ϕ3(t) = 3α cos t+ 3β sin t. On prend donc α = 1

3 et β = 0 pour obtenir une solution.– Le même raisonnement montre que, pour le second membre sin 2t, il existe une solution de la formeϕ4(t) = γt cos 2t+ δt sin 2t. On a alors

ϕ′′4(t) + 4ϕ4(t) = −4γ sin(2t) + 4δ cos(2t);

on choisit donc γ = − 14 et δ = 0.

L’ensemble des solutions est cette fois-ci

S (E ) =t 7→ 1

3 cos t− t

4 cos 2t+ λ cos 2t+ µ sin 2t, λ, µ ∈ K.

De façon plus générale, la même méthode que celle exposée ci-dessus montre la

PropositionSi le second membre est de la forme f : t 7→ α cosωt+ β sinωt, l’équation avec second membre admetune solution de la forme

ϕ0 : t 7→ td(λ cosωt+ µ sinωt

),

où d est l’ordre de multiplicité de iω en tant que racine de l’équation caractéristique.

10.3.2 Du second au premier ordreNous allons voir comment l’équation linéaire scalaire

(E ) : x′′(t) + a(t)x′(t) + b(t)x(t) = c(t)

(la fonction inconnue est une fonction numérique) du second ordre se ramène en fait à une équationvectorielle (la fonction inconnue est à valeurs vectorielles) du premier ordre. Pour cela, considérons une

fonction x deux fois dérivable sur l’intervalle I et posons X(t) =[x(t)x′(t)

]. La fonction X est alors dérivable

et sa dérivée vérifie X ′(t) =[x′(t)x′′(t)

].

– Supposons la fonction x solution de l’équation (E ). Alors, pour tout réel t ∈ I, on a

X ′(t) =[

x′(t)−a(t)x′(t)− b(t)x(t) + c(t)

]=[

0 1−b(t) −a(t)

]X(t) +

[0c(t)

],

donc la fonction X est solution du système différentiel

(S ) : Y ′(t) = A(t)Y (t) +B(t),

où A(t) =[

0 1−b(t) −a(t)

]et B(t) =

[0c(t)

].

– Réciproquement, supposons la fonction X solution du système (S ) : pour tout réel t ∈ I, on a[x′(t)x′′(t)

]=[

0 1−b(t) −a(t)

] [x(t)x′(t)

]+[

0c(t)

];

la deuxième ligne du système dit en particulier que la fonction x est solution de l’équation (E ).Ainsi, l’équation (E ), du second ordre, est équivalente au système différentiel (S ), du premier ordre.

On en déduit immédiatement le

Théorème (problème de Cauchy)Pour tout t0 ∈ I et tous x0, x

′0 ∈ K, il existe une unique solution ϕ de l’équation (E ) vérifiant la

condition initialeϕ(t0) = x0 et ϕ′(t0) = x′0.


Démonstration. C’est une conséquence directe du fait que le problème de Cauchy

X ′(t) = A(t)X(t) +B(t) et X(t0) =[x0x′0

]admet une unique solution.

En particulier, on a

ThéorèmeL’ensemble S (E0) des solutions de l’équation homogène associée à (E ) est un K-espace vectoriel dedimension 2.

Démonstration. C’est évidemment un espace vectoriel ; le théorème précédent affirme que, pour toutt0 ∈ I, l’application

Φ : S (E0) −→ K2

ϕ 7−→(ϕ(t0), ϕ′(t0)

)est un isomorphisme.

Comme dans le cas des systèmes différentiels, ce théorème est purement théorique : il ne donne pasde moyen de trouver explicitement une base de l’espace des solutions de l’équation homogène. Mais onpeut chercher des solutions de l’équation sous forme simple : fonction polynomiale, fonction puissance,fonction développable en série entière...

Remarque 1. Dans le cas d’une équation à coefficients constants ax′′(t) + bx′(t) + cx(t) = 0 (qui s’écritencore x′′(t) + b

ax′(t) + c

ax(t) = 0), le système différentiel associé s’écrit X ′(t) = AX(t), où

A =[

0 1− ca − b

a

].

Celle-ci étant à coefficients constants, on peut chercher à déterminer ses valeurs et vecteurs propres pourrésoudre le système différentiel. Le polynôme caractéristique de la matrice A est

χA = X2 + b

aX + c

a;

ses racines (i.e. les valeurs propres de A) sont les racines de l’équation caractéristique ar2 + br + c = 0de l’équation différentielle. Ceci explique pourquoi les fonctions t 7→ erit apparaissent comme solutionsde l’équation différentielle (les ri étant les racines de l’équation caractéristique).

Exemple 1. Déterminons les solutions de l’équation différentielle (définie sur R)

(E0) : y′′(t)− 2t2 + 1y(t) = 0.

Il faut commencer par trouver une solution (non nulle) de cette équation différentielle. L’équation s’écritencore (t2 + 1)y′′(t) − 2y(t) = 0, ce qui incite à chercher une solution polynomiale. Si ϕ0 est une tellesolution (que l’on peut supposer, par linéarité de l’équation, de coefficient dominant égal à 1) et d sondegré, alors

(t2 + 1)ϕ′′0(t)− 2ϕ0(t) =(d(d− 1)− 2

)td + termes de degré < d.

Comme on veut que cette fonction soit nulle, on doit avoir d(d − 1) = 2, d’où d = 2 (l’autre solution«algébrique», d = −1, ne convient pas). Si cette équation admet une solution polynomiale non nulle, celle-ci est donc nécessairement de degré 2. On cherche alors une solution sous la forme ϕ0 : t 7→ t2 + at+ b ;on trouve facilement que ϕ0 : t 7→ t2 + 1 est solution de l’équation (E0). On cherche ensuite une deuxièmesolution ϕ1 sous la forme ϕ1 : t 7→ λ(t)ϕ0(t), où λ est une fonction deux fois dérivable (méthode de lavariation de la constante). Pour tout réel t, on a

ϕ′1(t) = λ′(t)ϕ0(t) + λ(t)ϕ′0(t) et ϕ′′1(t) = λ′′(t)ϕ0(t) + 2λ′(t)ϕ′0(t) + λ(t)ϕ′′0(t).


Reportant dans l’équation, on obtient que la fonction ϕ1 est solution de l’équation (E0) si, et seulementsi, pour tout réel t, on a

(t2 + 1)ϕ0(t)λ′′(t) + 2(t2 + 1)ϕ′0(t)λ′(t) +[(t2 + 1)ϕ′′0(t)− 2ϕ0(t)

]︸︷︷︸=0

λ(t) = 0,

ce qui s’écrit(t2 + 1)2λ′′(t) + 4t(t2 + 1)λ′(t) = 0,

soitλ′′(t) + 2 2t

t2 + 1λ′(t) = 0.

Ceci est vérifié dès que λ′(t) = e−2 ln(t2+1) = 1(t2+1)2 (c’est une possibilité, pas la seule, mais on cherche

une solution non colinéaire à ϕ0, pas toutes). Il suffit donc de prendre pour λ une primitive de la fonctiont 7→ 1

(t2+1)2 . Or

∫ dt(t2 + 1)2 =

∫t2 + 1− t2

(t2 + 1)2 dt =∫ dtt2 + 1 −

12

∫t

2tdt(t2 + 1)2 = Arctg t− 1

2

∫td(−1t2 + 1

)= Arctg t+ t

2(t2 + 1) −12

∫ dtt2 + 1 = 1

2 Arctg t+ t

2(t2 + 1) ,

donc la fonction λ : t 7→ 12 Arctg t + t

2(t2+1) convient, i.e. que la fonction t 7→ t2+12 Arctg t + t

2 estsolution de l’équation (E0). Son double, la fonction ϕ1 : t 7→ (t2 + 1) Arctg t+ t est aussi solution de (E0),indépendante de ϕ0. Comme la fonction a : t 7→ (t2 + 1) ne s’annule pas, on sait que l’ensemble dessolutions définies sur R forme un espace de dimension 2. Une base en est fournie par les fonctions ϕ0et ϕ1, donc l’ensemble des solutions est l’ensemble

S (E0) =t 7→ λ(t2 + 1) + µ

((t2 + 1) Arctg t+ t

), λ, µ ∈ K

.

Exemple 2. Considérons l’équation différentielle

(E ) : (t2 + 1)y′′(t) + 4ty′(t) + 2y(t) = 12t2 + 2.

Commençons par chercher les solutions de l’équation homogène (E0). La méthode du degré montre qu’iln’existe pas de solution polynomiale de cette équation (le degré d d’une telle solution devrait vérifierd2 + 3d + 2 = 0...). Cherchons une solution sous forme un peu plus générale : somme de série entière.Soit S =

∑anz

n une série entière de rayon de convergence R > 0 et f la somme (définie dans l’intervalle]−R,R[) de cette série entière. Pour tout réel t ∈ ]−R,R[, on a

f ′(t) =∞∑n=0

nantn−1

f ′′(t) =∞∑n=0

n(n− 1)antn−2 =∞∑n=0

(n+ 1)(n+ 2)an+2tn

,

d’où

tf ′(t) =∞∑n=0

nantn et t2f ′′(t) =

∞∑n=0

n(n− 1)antn,

d’où

(1 + t2)f ′′(t) + 4tf ′(t) + 2y(t) =∞∑n=0

(n(n− 1)an + (n+ 1)(n+ 2)an+2 + 4nan + 2an

)tn.

Par unicité du développement en série entière (de la fonction nulle ici), on en déduit que la fonction f estsolution de l’équation différentielle (sur l’intervalle ]−R,R[) si, et seulement si, pour tout entier n, on a

(n+ 1)(n+ 2)an+2 = −(n2 + 3n+ 2)an,


i.e. an+2 = −an. En choisissant a0 = 1 et a1 = 0, on obtient a2n = (−1)n et a2n+1 = 0 pour tout entier n,i.e. la série entière

∑(−1)nz2n, de rayon de convergence R = 1. La somme f1 de cette série entière, définie

sur l’intervalle ]−1, 1[, est donc solution de l’équation homogène (E0). Or, pour tout t ∈ ]−1, 1[, on a

f1(t) =∞∑n=0

(−1)nt2n = 11 + t2

,

et la fonction t 7→ 11+t2 est définie sur R. On vérifie immédiatement que cette fonction est en fait solution

sur R de l’équation (E0). De même, en prenant a0 = 1 et a1 = 0, on trouve une autre solution, définiesur R, de l’équation (E0) : la fonction f2 : t 7→ t

1+t2 . Ces deux solutions ne sont pas colinéaires, doncforment une base de l’espace des solutions de (E0).

Cherchons maintenant une solution de l’équation avec second membre. Comme l’image d’un polynômede degré d par l’application P 7→ (X2 + 1)P ′′ + 4XP ′ + 2P est encore un polynôme de même degré, onpeut chercher une solution polynomiale de degré 2 : f(t) = at2 + bt + c. Cette fonction est solution del’équation si, et seulement si,

∀t ∈ R, 2a(t2 + 1) + 4t(2at+ b) + 2(at2 + bt+ c) = 12t2 + 2,

ce qui est vérifié si, et seulement si, a = 1, b = c = 0. On obtient donc la description de toutes lessolutions :

S (E ) =t 7→ t2 + λ+ µt

1 + t2, λ, µ ∈ K

.

Remarque 2. Lorsque l’équation différentielle s’écrit sous la forme

a(t)y′′(t) + b(t)y′(t) + c(t)y(t) = d(t)

(a, b, c, d : fonctions continues sur l’intervalle I), on se ramène aux hypothèses des théorèmes énoncés endivisant par a(t), i.e. en écrivant l’équation sous la forme

y′′(t) + b(t)a(t)y

′(t) + c(t)a(t)y(t) = d(t)

a(t) .

Mais cette division n’est possible que si la fonction a ne s’annule pas ! Dans le cas où elle s’annule, il fautse limiter à chercher les solutions sur un sous-intervalle J ⊂ I sur lequel la fonction a ne s’annule pas.Sur un tel sous-intervalle, on sait que l’espace des solutions de l’équation homogène est de dimension 2 ;que le problème de Cauchy admet une et une seule solution... Sur l’intervalle I, ces résultats peuventêtre en défaut.

Exemple 3. Étudions l’équation différentielle homogène

(E ) : ty′′(t) + 2y′(t) + ty(t) = 0.

Commençons par chercher une solution ϕ1, somme d’une série entière de rayon de convergence R > 0, del’équation homogène (E ) :

∀t ∈ ]−R,R[ , ϕ1(t) =∞∑n=0

antn.

On a alors (en convenant que a−1 = 0), pour tout t ∈ ]−R,R[ :

ϕ1(t) =∞∑n=0

an−1tn−1

ϕ′1(t) =∞∑n=0

nantn−1 =

∞∑n=0

(n+ 1)an+1tn

ϕ′′1(t) =∞∑n=0

n(n− 1)antn−2 =∞∑n=0

n(n+ 1)an+1tn−1

d’où

tϕ′′1(t) + 2ϕ′1(t) + tϕ1(t) =∞∑n=0

[n(n+ 1)an+1 + 2(n+ 1)an+1 + an−1

]tn.


La fonction ϕ1 est solution de l’équation (E ) si, et seulement si, la somme de cette série entière estidentiquement nulle, i.e. si, et seulement si, on a n(n + 1)an+1 + 2(n + 1)an+1 + an−1 = 0 pour toutentier n, ce qui s’écrit encore

∀n ∈ N, an+1 = −1(n+ 1)(n+ 2)an−1.

La condition a−1 = 0 donne alors a2n+1 = 0 pour tout n ; la relation donne aussi

a2n = −12n(2n+ 1)a2n−2

pour tout n > 1. On en déduit facilement que

a2n = (−1)n

(2n+ 1)!a0

pour tout entier n. En prenant a0 = 1, on trouve donc la série entière∑ (−1)n

(2n+ 1)! t2n,

de rayon de convergence infini. La fonction ϕ1 définie par

∀t ∈ R, ϕ1(t) =∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)! t2n = sin t

t

(du moins pour t 6= 0 pour la dernière formule) est donc solution de (E ) sur R. Cherchons maintenantune deuxième solution de (E ) sous la forme

ϕ2(t) = λ(t)ϕ1(t),

où λ est une fonction deux fois dérivable. La fonction ϕ1 s’annulant en de nombreux points, il est clairqu’une fonction ϕ2 solution de (E ) ne pourra pas s’écrire partout sous cette forme. Commençons parchercher une telle solution sur l’intervalle ]0, π[ (par exemple). On a alors, pour tout t ∈ ]0, π[ :

tϕ2(t) = λ(t) sin ttϕ′2(t) + ϕ2(t) = λ′(t) sin t+ λ(t) cos ttϕ′′2(t) + 2ϕ′2(t) = λ′′(t) sin t+ 2λ′(t) cos t− λ(t) sin t,

donctϕ′′2(t) + 2ϕ′2(t) + tϕ2(t) = λ′′(t) sin t+ 2λ′(t) cos t.

Ainsi, la fonction ϕ2 est solution de l’équation homogène sur ]0, π[ si, et seulement si :

∀t ∈ ]0, π[ , λ′′(t) + 2cos tsin t λ

′(t) = 0.

Il suffit pour cela que la fonction λ vérifie

∀t ∈ ]0, π[ , λ′(t) = e−2 ln(sin t) = 1(sin t)2 ,

ce qui est assuré dès que∀t ∈ ]0, π[ , λ(t) = − cotg t.

La fonction ϕ2 définie sur ]0, π[ par :

∀t ∈ ]0, π[ , ϕ2(t) = −cos tsin t ϕ1(t) = −cos t

t

est donc solution de l’équation homogène. En fait, cette fonction est définie sur chacun des intervalles R∗−et R∗+, et on vérifie immédiatement qu’elle est solution de l’équation (E ) sur chacun de ces intervalles.

Sur chacun des intervalles, l’équation homogène s’écrit sous la forme

y′′(t) + 2ty′(t) + y(t) = 0

donc l’ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension 2 (et les fonctions ϕ1 et ϕ2 en formentune base). Sur R en revanche, les solutions sont les multiples de la fonction ϕ1 : l’espace des solutionsdéfinies sur R est de dimension 1 et non 2.


10.4 Solutions approchées : méthode d’EulerLes équations différentielles d’ordre 1 ne sont pas toutes linéaires : une équation différentielle (du

premier ordre) se présente de façon générale sous la forme

y′(t) = f(t, y(t)

)où f est une fonction de deux variables.

On ne sait en général pas trouver explicitement les solutions d’une telle équation (même si des théo-rèmes de nature théorique affirment que, sous certaines hypothèses de régularité de la fonction f , il existetoujours une unique solution aux problèmes de Cauchy associé à cette équation). Dans ce cas, on peutchercher à trouver une solution approchée. Plus précisément, on cherche à trouver, sur un intervalle [a, b],des valeurs approchées de la solution ϕ de l’équation différentielle vérifiant la condition initiale ϕ(a) = y0.

Pour cela, on commence par subdiviser l’intervalle [a, b] en n sous-intervalles de longueur h = b−an

(avec n « grand ») et on cherche une approximation numérique des valeurs ϕ(tk) de la fonction ϕ enchacun des points tk = a+ k · h.

t0 t1

y1

y0 = y(t0)y(t1) −→

Figure 10.3 – méthode d’Euler

Au temps t = t0 = a, la condition initiale impose que la fonction ϕ prenne la valeur y0. De plus,la donnée de l’équation différentielle nous permet de calculer ϕ′(t0) : c’est ϕ′(t0) = f(t0, y0). Si n estchoisi suffisamment grand (donc h suffisamment petit), la solution ϕ restera « proche » de sa tangentesur l’intervalle [t0, t1], donc ϕ(t1) devrait être proche de

y0 + ϕ′(t0)(t1 − t0),

c’est-à-dire de y0 + f(t0, y0)h. On pose donc

y1 = y0 + f(t0, y0)h

(qui n’est qu’une valeur approchée de ϕ(t1)). On peut ensuite recommencer le procédé : au temps t1,la solution ϕ prend la valeur y1, ce qui va nous permettre de calculer la valeur (approchée) prise par lafonction ϕ au temps t2 : c’est

y2 = y1 + f(t1, y1)h.

On continue ainsi de proche en proche, jusqu’à la détermination de la valeur approchée yn prise par lafonction au temps tn.

La Figure 10.4 montre les résultats fournis pour l’étude sur l’intervalle [−1, 4] de la solution ϕ del’équation différentielle y′(t) = ty(t)2 vérifiant la condition initiale ϕ(−1) = −1.

10.4. Solutions approchées : méthode d’Euler 167

(a) n = 10 (b) n = 50

Figure 10.4 – méthode d’Euler avec différents pas



1. Parmi les problèmes suivants, quelles sont ceux pour lesquels le cours affirme l’existence et l’unicité d’unesolution ?a) (t2 + 1)x′(t) + 2tx(t) = sin t, x(1) = 0.b) 2tx′(t) + (t2 + 1)x(t) = cos t, x(1) = 0.c) 2tx′(t) + (t2 + 1)x(t) = cos t, x(0) = 0.

d)x′(t) = −x(t)− y(t)y′(t) = 2x(t)− 3y(t) ,

x(0) = 1y(0) = 0

e)x′(t) = −x(t)− y(t)y′(t) = 2x(t)− 3y(t) ,

x(0) = 1x′(0) = 0

f)x′(t) = −x(t)− y(t)y′(t) = 2x(t)− 3y(t) ,

x(0) = 1y(1) = 0

g) x′′(t)− sh tx′(t) + 2tx(t) = et, x(1) = π, x′(1) = 0.h) x′′(t)− sh tx′(t) + 2tx(t) = et, x(0) = 0, x(1) = π.

2. Quelle traduction géométrique donner de l’existence et unicité d’une solution au problème de Cauchydans le cas d’une équation différentielle linéaire du premier ordre ? Et pour une équation du second ordre ?

3. Quelle est la dimension de l’espace des solutions définies sur R de l’équation tx′(t) = 2x(t) ?

4. Soient a, b deux fonctions continues définies sur R et (E ) l’équation différentielle a(t)x′(t) + b(t)x(t) = 0.L’ensemble des solutions de (E ) est-il un espace vectoriel ? Quelles sont ses dimensions possibles ensupposant que la fonction a s’annule en le seul point t0 ? Et si a s’annule en deux points distincts ? Enune infinité ?

5. Soient a, b, c trois fonctions continues définies sur R. L’ensemble des solutions de l’équation différentiellea(t)x′(t) + b(t)x(t) = c(t) peut-il être vide ?

6. Soient a, b deux fonctions continues définies sur R et (E ) l’équation différentielle x′(t) = a(t)x(t) + b(t).La connaissance de deux solutions x1 et x2 distinctes de (E ) permet-elle de retrouver toutes les solutionsde (E ) ? Même question avec une équation de la forme x′′(t) = a(t)x′(t) + b(t)x(t) + c(t).

7. Soit A ∈ Mn(K) et U un vecteur propre de A associé à la valeur propre λ. Exhiber une solution dusystème différentiel X ′(t) = AX(t).En supposant trouvée une base (U1, . . . , Un) de vecteurs propres de A, exprimer les solutions du systèmedifférentiel.

8. Soit t 7→ A(t) ∈ Mn(K) une fonction de classe C 1. On suppose trouvée, pour tout t, une matriceP (t) ∈ GLn(K) telle que P (t)−1A(t)P (t) = D(t) soit diagonale. Le changement de fonction inconnueX(t) = P (t)Y (t) nous aidera-t-il à résoudre le système différentiel X ′(t) = A(t)X(t) ?

9. Soit P ∈Mn(K) une matrice vérifiant P 2 = P . Donner les solutions du système différentiel X ′ = PX.

10. Soient a, b deux fonctions continues définies sur R. Pourquoi les solutions de l’équation

x′′(t) + a(t)x′(t) + b(t)x(t) = 0

ne peuvent-elles toutes être impaires ? Peuvent-elles être toutes paires ?


10.5.2 Réponses1. a) Oui.

b) Sur l’intervalle R∗+, l’équation peut se mettre sous forme résolue et le théorème s’applique.c) Le théorème ne s’applique pas car en t = 0, la fonction devant x′(t) s’annule.d) Oui.e) Non : x(0) = 1, x′(0) = 0 est une condition initiale d’équation différentielle du second ordre, pas desystème différentiel...f) Non : pour une condition initiale, il faut imposer la valeur des fonctions x et y au même instant t0.g) Oui.h) Non : ce n’est pas ici un problème avec condition initiale mais un problème aux limites. Pour ce typede problème, il n’y a pas toujours existence ni unicité d’une solution.

2.Pour une équation du premier ordre (supposée définie sur un intervalle I et sous forme résolue), le théorèmesignifie exactement que, par tout point de I×R passe la courbe d’une et d’une seule solution de l’équationdifférentielle : les courbes ne se croisent pas et remplissent le plan. Pour une équation du second ordre,par tout point de I × R, il passe une infinité de solutions. Plus précisément, par chaque point passe uneet une seule courbe de solution dont la tangente en ce point est imposée (et il y a une infinité de façonsde choisir la tangente...).

3. Il est de dimension 2 : les solutions sont les fonctions f de la forme

f(t) =λt2 pour t 6 0µt2 pour t > 0

, λ, µ ∈ R.

4.L’ensemble des solutions est bien un espace vectoriel, en particulier car il n’est pas vide (la fonction nulleest solution).– Si la fonction a s’annule en le seul point t0, le cours nous apprend que, sur chacun des intervalles]−∞, t0[ et ]t0,+∞[, l’espace des solutions est de dimension 1. Si la fonction ϕ (resp. ψ) est une basede l’ensemble des solutions sur l’intervalle ]−∞, t0[ (resp. ]t0,+∞[), toute solution f définie sur R s’écritsous la forme

f(t) =λϕ(t) pour t < t0

µψ(t) pour t > t0

où λ et µ sont deux constantes quelconques, et f(t0) est défini par continuité. L’espace des solutions estdonc de dimension 2 au plus. Mais parmi toutes les fonctions définies par les formules ci-dessus, toutes nesont pas nécessairement solution : la continuité de f en t0 impose une première relation linéaire entre λet µ (qui éventuellement est du type 0× λ+ 0×µ = 0, i.e. aucune relation), de même que la dérivabilitéen t0. L’espace des solutions est donc de dimension au plus égal à 2. Avec deux points d’annulation dela fonction a, on trouve une espace des solutions de dimension au plus égal à 3 (trois intervalles, donctrois constantes à choisir, avec éventuellement des contraintes linéaires), et avec une infinité de pointsd’annulation, un espace des solutions de dimension éventuellement infinie.

5.Oui : c’est par exemple le cas s’il existe un réel t0 tel que a(t0) = b(t0) = 0 et c(t0) 6= 0.

6.La fonction ϕ = x2 − x1 est solution non nulle de l’équation homogène (E0), donc forme une base del’ensemble des solutions de (E0), donc les solutions de (E ) sont les fonctions de la forme

x1 + λϕ = x1 + λ(x2 − x1) = (1− λ)x1 + λx2, λ ∈ R.

La même méthode marche avec une équation du second ordre en posant ϕ = x2 − x1 et ψ = x3 − x1, àcondition que ces deux fonctions ne soient pas colinéaires ; elles forment alors une base de l’espace dessolutions de (E0) et on termine comme pour l’équation du premier ordre.

7.La fonction X : t 7→ Ueλt est solution. En effet, on a AU = λU , d’où

X ′(t) = λUeλt = AUeλt = AX(t).

Si la famille (U1, . . . , Up) est une base de vecteurs propres de A (la matrice colonne Uk étant associée àla valeur propre λk), la famille de fonctions (X1, . . . , Xn) définies par Xk(t) = Ukeλkt est alors une basede l’espace des solutions du système différentiel.


8.Dans la cas d’une matrice A à coefficients constants, la matrice P l’est aussi, donc on a X ′(t) = PY ′(t),et le système devient Y ′(t) = DY (t), que l’on sait résoudre. Ici, on obtient X ′(t) = P (t)Y ′(t)+P ′(t)Y (t),donc le système devient Y ′(t) =

(D(t)−P (t)−1P ′(t)

)Y (t), qui n’est pas plus simple ! Seul cas intéressant :

la matrice A dépend de t, mais la matrice de passage P qui diagonalise n’en dépend pas. Alors la méthodemarche encore.

9.En notant (U1, . . . , Ur) une base de Im(P ) et (Ur+1, . . . , Un) une base de Ker(P ), la question précédentemontre immédiatement que les solutions du système sont les fonctions de la forme

X : t 7→(λ1U1 + · · ·+ λrUr

)et +

(λr+1Ur+1 + · · ·+ λnUn

),

i.e. les fonctions de la forme

t 7→ Y1et + Y0, Y1 ∈ Im(P ), Y0 ∈ Ker(P ).

10. Si toutes les solutions étaient impaires, elles vérifieraient toutes x(0) = 0, donc le problème de Cauchyx(0) = 1, x′(0) = 0 n’aurait aucune solution. De même, si elles étaient toutes paires, elles vérifieraienttoutes x′(0) = 0, ce qui est impossible pour les mêmes raisons.

Chapitre 11Calcul différentiel à plusieurs variables

11.1 Dérivées partielles ; fonctions de classe C 1

Soit U un ouvert (non vide) de Rp (p 6 3 pour rester conforme au programme) et f : U −→ Rn unefonction (n 6 3 ici encore pour respecter le programme). Les espaces Rp et Rn étant des espaces vectorielsnormés, nous savons ce que signifie la continuité de f : au voisinage de chaque point a ∈ U , la fonctionprend des valeurs «proches» de f(a) (si le vecteur h est «proche» du vecteur nul, alors a+ h est encoreun point de U (car U est ouvert) et f(a+h) est «proche» de f(a)). Nous cherchons à donner, toujours auvoisinage de a, une approximation meilleure que celle fournie par la continuité, i.e. par une applicationconstante : on cherche à approcher, au voisinage de a, la fonction f par une fonction affine (pour h prochedu vecteur nul, f(a+h) est proche de f(a)+L(h), où L est une application linéaire). Cette approximationdoit généraliser ce que l’on connaît dans les cas des fonctions de R dans R : pour h proche de 0, f(a+ h)est proche de f(a) + f ′(a)h, et l’application h 7→ f ′(a)h est bien une application linéaire. La difficulté estque, contrairement à ce qui se passe pour les fonctions d’une seule variable (il y a essentiellement deuxfaçons d’approcher a : par la droite et par la gauche), il y a beaucoup de façons d’approcher un point alorsque p (dimension de l’espace de départ) est supérieure ou égale à 2 (de nombreuses directions, maison peut aussi approcher a en «tournant autour»...).

11.1.1 Dérivées partiellesConvenons de noter (ε1, . . . , εp) la base canonique de Rp et (e1, . . . , en) celle de Rn. Ces deux espaces

sont muni de leur produit scalaire canonique.Soit f : U −→ Rn (U ouvert non vide de Rp) et a = (a1, . . . , ap) un point de U . Comme U est ouvert,

il existe un réel δ > 0 tel que la boule B(a, δ) soit incluse dans U : pour tout point x tel que ||x− a|| < δ,on a encore x ∈ U . On peut alors définir l’application partielle

fk : x ∈ ]ak − δ, ak + δ[ 7→ fk(x) = f(a1, . . . , ak−1, x, ak+1, . . . , ap)

obtenue en fixant toutes les variables, sauf celle d’indice k.

DéfinitionOn dit que la fonction f admet une dérivée partielle en a suivant sa kème variable si, et seulement si,l’application partielle fk est dérivable en ak. On note alors ∂kf(a) cette dérivée.

Par définition, si cette dérivée partielle existe, elle est égale à

∂kf(a) = limxk→ ak

f(a1, . . . , ak−1, xk, ak+1, . . . , ap)− f(a1, . . . , ak, . . . , ap)xk − ak

= limh→ 0

f(a1, . . . , ak−1, ak + h, ak+1, . . . , ap)− f(a1, . . . , ak, . . . , ap)h

.

On l’obtient donc en fixant toutes les variables sauf celle d’indice k (on obtient alors une fonction d’uneseule variable) et en dérivant par rapport à cette variable.

171

172 Chapitre 11. Calcul différentiel à plusieurs variables

Notation : Pour cette raison, de même que l’on rencontre la notation dfdx (a) pour f ′(a), on pourra

noter∂f

∂xk(a)

la dérivée partielle ∂kf(a). Bien sûr, si les variables qui permettent d’exprimer la fonction f sont notéest1, . . . , tp, la notation sera ∂f

∂tk(a).

Exemple 1. Considérons la fonction f définie sur R2 par f(x, y) = sin(x + y2). La fonction admet enchaque point de R2 une dérivée par rapport à chacune de ses variables ; celles-ci sont données par

∂1f(x, y) = ∂f

∂x(x, y) = cos(x+ y2) et ∂2f(x, y) = ∂f

∂y(x, y) = 2y cos(x+ y2).

Propriétés de la dérivation partielleLes propriétés suivantes résultent immédiatement des résultats analogues pour les fonctions d’une variableréelle.Soient f, g deux fonctions définies sur un ouvert U de Rp, a ∈ U , λ, µ deux réels. On suppose que f et gadmettent en a une dérivée partielle par rapport à la kème variable. Alors la fonction λf +µg admet aussiune dérivée partielle par rapport à la kème variable et

∂k(λf + µg)(a) = λ∂kf(a) + µ∂kg(a)

Si, de plus, les fonctions f et g sont à valeurs réelles, alors– la fonction fg admet en a une dérivée partielle par rapport à la kème variable donnée par

∂k(fg)(a) = f(a)∂kg(a) + ∂kf(a)g(a);

– si la fonction f est non nulle au voisinage de a, alors la fonction 1f , définie au voisinage de a, admet

en a une dérivée partielle par rapport à la kème variable donnée par

∂k

(1f

)(a) = − 1

f2(a)∂kf(a).

DéfinitionUne fonction f : U −→ Rn est dite polynomiale (resp. rationnelle) si, et seulement si, chacune de ses ncoordonnées est polynomiale (resp. rationnelle) en ses p variables.

PropositionLes fonctions polynomiales et rationnelles sont dérivables en tout point par rapport à chacune desvariables.

Démonstration. En effet, pour tout point a, la fonction partielle fk est polynomiale ou rationnelle (à uneseule variable !), donc dérivable.

Attention! Contrairement à ce qui se passe pour les fonctions d’une variable réelle (la dérivabilité en-traîne la continuité), la situation est plus compliquée pour les fonctions de plusieurs variables : l’existence,en un point a ∈ U , de dérivées partielles n’entraîne pas la continuité en ce point. Nous verrons un peuplus loin que ce problème disparaît si l’on impose une condition de régularité plus forte que l’existenced’une dérivée suivant un vecteur (ou des dérivées partielles).

Exemple 2. Considérons la fonction f : R2 −→ R définie par :

f(x1, x2) = x1x22

x21 + x4

2si (x1, x2) 6= (0, 0), f(0, 0) = 0.

Pour tout réel x1 6= 0, on af(x1, 0)− f(0, 0)

x1= 0 −→

x1→ 00

11.1. Dérivées partielles ; fonctions de classe C 1 173

donc f admet une dérivée partielle par rapport à x1 en (0, 0), donnée par ∂1f(0, 0) = 0. De même, pourtout x2 6= 0, on a

f(0, x2)− f(0, 0)x2

= 0 −→x2→ 0

0,

donc ∂2f(0, 0) = 0. Pourtant, f n’est pas continue en (0, 0) : en effet,

f(t2, t) = t4

2t4 = 12 6−→t→ 0 0 = f(0, 0).

Remarque 1. Contrairement aux apparences, cette fonction f n’est pas rationnelle ! En effet, sur l’ouvertR2 \ (0, 0), c’est une fonction rationnelle (donc elle admet en tout point a 6= (0, 0) des dérivées partiellespar rapport à x1 et x2), mais pour la définir sur R2, il a fallu la prolonger par une formule différenteen (0, 0). Ce prolongement n’est plus une fonction rationnelle.

11.1.2 Développements limités ; fonctions de classe C 1

DéfinitionSoit U un ouvert de Rp, f : U −→ Rn une fonction et a un point de U . On dit que f admet undéveloppement limité à l’ordre 1 au voisinage de a si, et seulement si, il existe une application linéaire Ltelle que

f(a+ h) = f(a) + L(h) + o(||h||).

Une telle application linéaire L est alors unique : c’est la différentielle de f en a, notée df(a), encoreappelée application linéaire tangente à f en a.

L’unicité résulte de ce que si deux applications linéaires L1 et L2 vérifient cette propriété, alors, pardifférence, on a L1(h)− L2(h) ∈ o(||h||). En prenant h = tεk, avec t−→ 0, on obtient

t(L1 − L2)(εk) ∈ o(t),

donc le vecteur(L1 − L2)(εk) est le vecteur nul. Ceci étant vrai pour tout k, l’application L1 − L2 est

l’application nulle.

z = f(x, y)

a = (x0, y0)

x

y

z

f(a)

z = f(a) + df(a)(x− x0, y − y0)

Figure 11.1 – Approximation locale d’une surface par l’application linéaire tangente

Exemple 1. Une application linéaire de R dans R étant une homothétie vectorielle, on retrouve la notionclassique de développement limité à l’ordre 1 pour les fonctions de R dans R : c’est une fonction pourlaquelle il existe un réel ` tel que

f(a+ h) = f(a) + `h+ o(h).


Il est équivalent de demander que la fonction f soit dérivable en a ; ce réel ` est alors le nombre dérivé f ′(a)et l’application linéaire tangente est h 7→ f ′(a)h.

PropositionSi la fonction f admet un DL1(a), elle est continue en a. Elle admet de plus une dérivée partielle en apar rapport à chaque variable, donnée par

∂kf(a) = df(a)(εk).

Démonstration. La continuité de f en a résulte de ce que l’application linéaire L est continue (on en estdimension finie), donc vérifie L(h) −→

h→ 00. Pour la dérivée partielle par rapport à la kème variable : on écrit

(a1, . . . , ak−1, ak + t, ak+1, . . . , ap) = a+ t(0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) = a+ tεk,

d’oùf(a1, . . . , ak−1, ak + t, ak+1, . . . , ap)− f(a)

t= df(a)(tεk) + o(||tεk||)

t

= tdf(a)(εk) + o(t)t

−→t→ 0

df(a)(εk)

ce qui prouve l’existence de la dérivée par rapport à la kème variable et donne sa valeur.

En particulier, cette notion de développement limité est plus forte que celle de l’existence des dérivéespartielles en a qui, comme on l’a vu, n’entraîne pas la continuité de f en a. Dans la pratique, on manipulerades fonctions qui vérifient des conditions plus contraignantes, qui entraînent en particulier la continuité.

DéfinitionUne fonction f : U −→ Rn (U : ouvert non vide de Rp) est dite de classe C 1 si, et seulement si :– pour tout point a ∈ U , les p dérivées partielles ∂kf(a) = ∂f

∂xk(a) existent

– les p fonctions dérivées partielles ∂kf = ∂f∂xk

(de U dans Rn) sont continues.On note C 1(U,Rn) l’ensemble de ces fonctions.

Il est clair que l’ensemble des fonctions de classe C 1 est un sous-espace vectoriel de l’ensemble desfonctions de U dans Rn.

Le théorème important concernant les fonctions de classe C 1 est le suivant :

ThéorèmeSoit f : U −→ Rn (U : ouvert non vide de Rp) une fonction de classe C 1. Elle admet en tout pointa ∈ U un développement limité à l’ordre 1, donné par

f(a+ h) = f(a) +p∑k=1

hk∂kf(a) + o(||h||) = f(a) +p∑k=1

hk∂f

∂xk(a) + o(||h||).

En particulier, une application de classe C 1 est continue, alors que ce n’est pas nécessairement le caspour une application qui admet des dérivées partielles par rapport à chaque variable.

Démonstration. Nous admettrons l’existence de ce développement limité (la démonstration n’est pas exi-gible). Démontrons que celui-ci est bien donné par la formule de l’énoncé. Pour cela, notons L l’applicationlinéaire tangente à f au point a (i.e. telle que f(a+h) = f(a)+L(h)+o(||h||)). La dérivée partielle ∂kf(a)est donnée par

∂kf(a) = limt→ 0

f(a+ tεk)− f(a)t

= limt→ 0

L(tεk) + o(||tεk||)t

= limt→ 0

tL(εk) + t o(1)t

= L(εk).

Par linéarité, pour tout vecteur h = (h1, . . . , hp) ∈ Rp, on a alors

L(h) = L(

p∑k=1

hkεk

)=

p∑k=1

hkL(εk) =p∑k=1

hk∂kf(a),

ce qui donne l’expression du développement limité de f en a en fonction des dérivées partielles de f .

11.1. Dérivées partielles ; fonctions de classe C 1 175

Proposition (cas des applications linéaires)Soit f : Rp −→ Rn une application linéaire. La fonction f est de classe C 1 et, pour tout a ∈ Rp, sadifférentielle au point a est

df(a) = f.

Démonstration. L’application f est de classe C 1 car polynomiale de degré 1. Pour tout a ∈ Rp et h ∈ Rp,on a

f(a+ h) = f(a) + f(h) = f(a) + f(h) + o(||h||) :la différentielle de f en a est df(a) = f (autrement dit : au voisinage de chaque point a, l’approximationlinéaire de la fonction f est donnée par la fonction f elle-même...).

Notation différentielleNotons (ε1, . . . , εp) la base canonique de Rp. Convenons de noter ε∗k l’application (linéiare) qui, à chaquevecteur, associe sa kème coordonnée (dans la base canonique) : pour tout vecteur x ∈ Rp, on a

x =p∑k=1

ε∗k(x)εk.

Ces applications étant linéaires, elles vérifient dε∗k(a) = ε∗k pour tout a ∈ Rp. En physique, où vousn’utiliser pas de fonctions mais des grandeurs, vous noterez dxk au lieu de dε∗k (puisque la fonction ε∗kcalcule précisément la kème coordonnée ; le point a en lequel la différentielle est calculée n’est pas indiqué,ce qui est sans importance puisque la différentielle est la même partout). La formule précédente indiqueque, si la fonction f : U −→ Rn est de classe C 1, on a, pour tout a ∈ U et tout vecteur h ∈ Rp, la relation

df(a)(h) =p∑k=1

∂f

∂xk(a)hk =

p∑k=1

∂f

∂xk(a)ε∗k(h) =

p∑k=1

∂f

∂xk(a)dxk(h).

La différentielle de f en a est donc l’application linéaire

df(a) =p∑k=1

∂f

∂xk(a)dxk

où il faut bien comprendre que, dans cette écriture, dxk est une application linéaire (celle qui calculela kème coordonnée d’un vecteur). En omettant d’écrire le point a en lequel sont calculées les dérivéespartielles et la différentielle de f , on obtient l’écriture

df =p∑k=1

∂f

∂xkdxk.

Il faut la comprendre en le sens suivant (qui est celui que vous lui donnez en physique !) : si h estun accroissement «infinitésimal» des variables, l’accroissement «infinitésimal» qui en résulte est df(h),donné par la formule

df(h) =p∑k=1

∂f

∂xk(a)hk

puisque dxk(h) = hk... Le seule chose qui change est le sens que vous donnez aux symboles : en phy-sique, dxk représente déjà l’accroissement «infinitésimal» de la variable xk, et df est l’accroissement quien résulte.

Cas des applications à valeurs réellesSi f et g sont deux applications de classe C 1 à valeurs réelles, on peut en effectuer le produit. Celui-ciest alors de classe C 1 et les dérivées partielles sont données par

∀a ∈ U, ∂fg∂xk

(a) = f(a) ∂g∂xk

(a) + g(a) ∂f∂xk

(a)

(le fait que cette application soit bien de classe C 1 résulte du fait que, si f et g sont de classe C 1,les fonctions f et g sont en particulier continues). Autrement dit, l’ensemble C 1(U,R) des fonctions declasse C 1 sur U est plus qu’un espace vectoriel : c’est une algèbre.


11.1.3 Dérivées d’ordre supérieurSoit U un ouvert non vide de Rp et f : U −→ Rn une fonction de classe C 1. On dispose de p

applications «dérivées partielles» ∂f∂xi

, dont on peut étudier la dérivabilité (par rapport à chacune des pvariables). Lorsque cette dérivée existe, on notera

∂2f

∂xj∂xi= ∂

∂xj

(∂f

∂xi

)la dérivée par rapport à xj de la dérivée par rapport à xi. On peut donc calculer (lorsqu’elles existent) p2

dérivées partielles secondes.

DéfinitionLa fonction f : U −→ Rn est dite de classe C 2 si, et seulement si, les p2 dérivées partielles secondes

∂2f

∂xi∂xj, 1 6 i, j 6 p

existent et sont continues. On note C 2(U,Rn) l’ensemble de ces fonctions.

L’ensemble des applications de classe C 2 est un sous-espace vectoriel de C 1(U,Rn), dans le cas parti-culier n = 1 (fonctions à valeurs réelles), c’en est même une sous-algèbre. Les fonctions polynomiales etrationnelles sont toutes de classe C 2.

Le théorème essentiel concernant les fonctions de classe C 2 est le suivant :

Théorème (Schwarz)Soit f une fonction de classe C 2 définie sur l’ouvert U de Rp. Alors

∀(i, j) ∈ [[1, p]]2, ∂2f

∂xi∂xj= ∂2f

∂xj∂xi.

Nous admettrons ce théorème (démonstration hors programme).Pour une telle fonction, il n’y a donc que p(p+1)

2 dérivées partielles secondes possibles, et non p2 commeannoncé plus haut.

Dérivées partielles d’ordre k > 3Lorsque la fonction est de classe C 2, les dérivées partielles secondes peuvent à leur tour admettre desdérivées partielles : ce sont alors les dérivées partielles d’ordre 3, et ainsi de suite...

On adopte la

DéfinitionLa fonction f , définie sur l’ouvert U de Rp, est dite de classe C k si, et seulement si, toutes ses dérivéespartielles d’ordre k existent et sont continues. Elle est dite de classe C∞ si, et seulement si, elle est declasse C k pour tout entier k.

Le théorème de Schwarz se généralise : lorsque l’on dérive r fois une fonction de classe C k (r 6 k), ilest inutile de préciser l’ordre des dérivations : il suffit d’indiquer combien de fois on a dérivé par rapportà la première variable et combien de fois par rapport à la seconde.

11.2 Composition11.2.1 Règle de la chaîne

Soit f une fonction définie sur un ouvert U de Rp et à valeurs dans Rn. Pour étudier la fonction, ilest souvent commode de se ramener à l’étude de fonctions d’une seule variable. C’est par exemple ce quel’on fait lorsque l’on s’intéresse aux dérivées partielles : on fixe toutes les variables sauf une, et on dérivepar rapport à cette variable. On étudie ainsi f en se «déplaçant de façon rectiligne dans l’espace desvariables». Mais au peut aussi se déplacer en suivant une courbe dans l’espace des variables, i.e. étudier

11.2. Composition 177

une composée de la forme t 7→ f(ϕ1(t), . . . , ϕp(t)

), où Φ : t 7→

(ϕ1(t), . . . , ϕp(t)

)est un arc paramétré

dont le support est inclus dans U . On est alors amené à s’intéresser à la dérivée de cette fonction (d’uneseule variable réelle).

Proposition (règle de la chaîne)Soit U un ouvert de Rp et f : U −→ Rn une fonction de classe C 1. On considère également un arcparamétré Φ : t ∈ I 7→

(ϕ1(t), . . . , ϕp(t)

)∈ U . Alors la fonction g = f Φ : t 7→ f

(ϕ1(t), . . . , ϕp(t)

)est

de classe C 1, sa dérivée est donnée par

∀t ∈ I, g′(t) =p∑k=1

ϕ′k(t)∂kf(Φ(t)

)=

p∑k=1

ϕ′k(t) ∂

∂xkf(Φ(t)

).

Démonstration. Soit t0 ∈ I. Au voisinage de ce point, la fonction Φ, de classe C 1, admet le développementlimité suivant :

Φ(t0 + h) = Φ(t0) + hΦ′(t0) + o(h) = Φ(t0) +(ϕ′1(t0)h, . . . , ϕ′p(t0)h

)+ o(h),

donc on a

g(t0 + h) = f(Φ(t0 + h)

)= f

(Φ(t0) + hΦ′(t0) + o(h)

)= f

(Φ(t0)

)+

p∑k=1

hϕ′k(t0) ∂

∂xkf(Φ(t0)

)+ o

(hΦ′(t0) + o(h)

)= f

(Φ(t0)

)+

p∑k=1

hϕ′k(t0) ∂

∂xkf(Φ(t0)

)+ o

(h).

On en déduit queg(t0 + h)− g(t0)

h−→h→ 0

p∑k=1

ϕ′k(t0) ∂

∂xkf(Φ(t0)

),

ce qui prouve que g est dérivable en t0 et que

g′(t0) =p∑k=1

ϕ′k(t0) ∂

∂xkf(Φ(t0)

).

Cette formule étant vraie pour tout t0 ∈ I, la fonction g′ apparaît comme somme de produit de fonctionscontinues, donc g est de classe C 1.

Comme application de cette règle, nous donnons une caractérisation des fonctions constantes grâceaux dérivées partielles. Comme pour les fonctions d’une seule variable, nous avons besoin que l’ensemblede définition U soit «d’un seul tenant» pour que la caractérisation soit correcte. Techniquement, nousimposerons aussi une autre condition (le théorème reste vrai sous des hypothèses plus faibles, mais estbeaucoup plus difficile).

Théorème (caractérisation des fonctions constantes)Soit U un ouvert convexe de Rp et f : U −→ Rn une fonction de classe C 1. La fonction f est constantesi, et seulement si, ses dérivées partielles sont toutes nulles.

Rappelons que l’ouvert U est dit convexe si, et seulement si, pour tous a, b ∈ U , le segment

[a, b] =a+ t(b− a), t ∈ [0, 1]

est inclus dans U .

Démonstration. Il est parfaitement clair que, si f est constante, ses dérivées partielles sont toutes nulles.Réciproquement, supposons les dérivées partielles de f toutes nulles et montrons que f est constante. Ilsuffit pour cela de montrer que, pour tous a, b ∈ U , on a f(a) = f(b). Pour cela, considérons la fonctiong définie sur [0, 1] par

∀t ∈ [0, 1], g(t) = f(a+ t(b− a)).


Elle vérifie g(0) = f(a) et g(1) = f(b). Elle est de classe C 1 par composition ; sa dérivée est donnée par

g′(t) =p∑k=1

(bk − ak) ∂f∂xk

(a+ t(b− a)

)= 0.

La fonction g étant définie sur un intervalle, elle est constante, donc vérifie g(0) = g(1).

11.2.2 Changement de variablesLa règle de la chaîne apparaît en particulier lorsque l’on étudie une fonction f de plusieurs variables

(disons x et y), et que l’on veut exprimer ces variables en fonction d’autres variables (disons u et v). Si l’onécrit x et y sous la forme x = ϕ(u, v) et y = ψ(u, v), la fonction f : (x, y) 7→ f(x, y) donne naissance à unefonction g : (u, v) 7→ f

(ϕ(u, v), ψ(u, v)

). Pour calculer les dérivées partielles de cette nouvelle fonction g,

on utilise la règle de la chaîne (une variable est fixée, on dérive par rapport à l’autre). On obtient

∂g

∂u(u, v) = ∂ϕ

∂u(u, v)∂f

∂x

(ϕ(u, v), ψ(u, v)

)+ ∂ψ

∂u(u, v)∂f

∂y

(ϕ(u, v), ψ(u, v)

)et

∂g

∂v(u, v) = ∂ϕ

∂v(u, v)∂f

∂x

(ϕ(u, v), ψ(u, v)

)+ ∂ψ

∂v(u, v)∂f

∂y

(ϕ(u, v), ψ(u, v)

).

Abusivement, comme on a posé x = ϕ(u, v), on écrit ∂x∂u au lieu de ∂ϕ

∂u ; les points en lesquels les fonctionssont calculés étant sous-entendus. Ainsi, les formules précédentes s’écrivent

∂g

∂u= ∂x

∂u

∂f

∂x+ ∂y

∂u

∂f

∂y

et∂g

∂v= ∂x

∂v

∂f

∂x+ ∂y

∂v

∂f

∂y.

En physique, où f et g représentent la même grandeur, vous écrivez même ∂f∂u au lieu de ∂g

∂u .Les deux exemples suivants de changement de variables sont essentiels.

Changement de variable affineIl s’agit d’un changement de variable de la forme

x = au + bv + x0y = cu + dv + y0

Ce changement de variable est bijectif si, et seulement si, la matrice[a bc d

]est inversible (si ce n’est pas

le cas, seuls les couples (x, y) appartenant à une droite affine pourront s’écrire sous la forme précédente,et ce d’une infinité de façons).

Si la fonction f est définie sur un ouvert U du plan, on crée une nouvelle fonction g par

g(u, v) = f(au+ bv + x0, cu+ dv + y0).

Cette fonction est définie sur l’ensemble

V = (u, v) ∈ R2 | (au+ bv + x0, cu+ dv + y0) ∈ U = Φ−1〈U〉,

en notant Φ l’application (u, v) 7→ (au+ bv+ x0, cu+ dv+ y0). Les notations détaillées ci-dessus donnent

∂g

∂u= ∂x

∂u

∂f

∂x+ ∂y

∂u

∂f

∂y= a

∂f

∂x+ c

∂f

∂y

et∂g

∂v= ∂x

∂v

∂f

∂x+ ∂y

∂v

∂f

∂y= b

∂f

∂x+ d

∂f

∂y.

11.2. Composition 179

Coordonnées polairesOn écrit cette fois-ci x et y sous la forme

x = ρ cos θy = ρ sin θ

On impose parfois ρ > 0 (c’est alors ρ =√x2 + y2, et θ est une mesure de l’angle (~e1,

−−→OM)

), mais ce

n’est pas une nécessité. Les formules de changement de variable donnent cette fois-ci

∂g

∂ρ= ∂x

∂ρ

∂f

∂x+ ∂y

∂ρ

∂f

∂y= cos θ∂f

∂x+ sin θ∂f

∂y

et∂g

∂θ= ∂x

∂θ

∂f

∂x+ ∂y

∂θ

∂f

∂y= −ρ sin θ∂f

∂x+ ρ cos θ∂f

∂y.

Remarque 1. Si l’on veut, à l’inverse, calculer les dérivées partielles ∂f∂x et ∂f

∂y en fonction des dérivéespartielles ∂g

∂ρ et ∂g∂θ , il semble qu’il faille commencer par trouver les formules pour le changement de

variables réciproque : exprimer ρ et θ en fonction de x et y. Si ce n’est pas trop difficile pour ρ (du moins,en imposant la restriction ρ > 0), ça l’est moins pour θ (ce n’est pas Arctg y

x ! Du moins, pas pour tousx, y, même en supposant x 6= 0 : sinon, on aurait θ ∈

]−π2 ,

π2[pour tout couple (x, y)...).

x

y

θ 6= Arctg yx

En réalité, ce n’est pas utile : les formules s’écrivent sous la forme[∂g∂ρ∂g∂θ

]=[

cos θ sin θ−ρ sin θ ρ cos θ

][∂f∂x∂f∂y

].

La matrice (2, 2) a pour déterminant ρ, qui est non nul (sauf au point (0, 0)) ; elle est donc inversible, cequi permet d’exprimer les formules dans l’autre sens, sans avoir besoin de calculer ρ et θ en fonction de xet y. On trouve facilement

∂f

∂x= cos θ∂g

∂ρ− sin θ

ρ

∂g

∂θet ∂f

∂y= sin θ∂g

∂ρ+ cos θ

ρ

∂g

∂θ

11.2.3 Équations aux dérivées partiellesLe sujet est beaucoup plus difficile que celui des équations différentielles et nous n’en ferons aucune

théorie. Nous nous contenterons de montrer comment un changement de variables peut, dans certainscas, transformer une telle équation en une autre que l’on sait résoudre.

Exemple 1. Résolvons l’équation aux dérivées partielles

∂f

∂x(x, y)− 3∂f

∂y(x, y) = 0

grâce à un changement de variable. Pour cela, il serait commode de trouver un changement de variableaffine

x = au + bvy = cu + dv

pour lequel la fonction g définie par g(u, v) = f(x, y) vérifierait ∂g∂u = ∂f

∂x − 3∂f∂y . Or les formules sont

∂g

∂u= ∂x

∂u

∂f

∂x+ ∂y

∂u

∂f

∂y= a

∂f

∂x+ c

∂f

∂y


Il suffit donc de prendre a = 1 et c = −3 (et, par exemple, b = 0 et d = 1 pour avoir une matriceinversible). L’équation à résoudre est équivalente, via ce changement de variable, à l’équation ∂g

∂u = 0,donc les solutions sont les fonctions de la forme g(u, v) = h(v) (indépendantes de u), où h est une fonctionde classe C 1. Revenant à l’équation de départ, on voit que les solutions sont les fonctions de la formef : (x, y) 7→ f(x, y) = h(3x+ y).

Exemple 2. Résolvons maintenant l’équation aux dérivées partielles

x∂f

∂y(x, y)− y ∂f

∂x(x, y) = af(x, y),

où a est une constante. Passons maintenant en coordonnées polaires : en notant

x = ρ cos θ et y = ρ sin θ

et g(ρ, θ) = f(x, y), les formules sont

∂g

∂ρ= cos θ∂f

∂x+ sin θ∂f

∂yet ∂g

∂θ= −ρ sin θ∂f

∂x+ ρ cos θ∂f

∂y.

Il faudrait pour bien faire en déduire l’expression de ∂f∂x et ∂f

∂y en fonction de ∂g∂u et ∂g

∂v pour les reporterdans l’équation. Ici, c’est inutile : l’équation s’écrit

∂g

∂θ(ρ, θ) = ag(ρ, θ).

Pour chaque ρ > 0 fixé, la fonction ϕρ : θ 7→ g(ρ, θ) est donc de classe C 1 et vérifie ϕ′ρ(θ) = aϕρ(θ).Il existe donc un réel (qui dépend de ρ ; notons-le λ(ρ)) tel que ∀θ, ϕρ(θ) = λ(ρ)eaθ. Comme on a parailleurs g(ρ, θ + 2π) = g(ρ, θ), la fonction ϕρ doit vérifier doit être 2π-périodique, ce qui n’est possibleque si λ(ρ) = 0. La fonction g est donc la fonction nulle (et f aussi).

Remarque 1. Le fait que l’on ne trouve que la fonction nulle comme solution est lié au fait que l’oncherche des solutions définies sur un domaine trop grand. Si l’on avait cherché les solutions définies surle demi-plan x > 0 par exemple, on aurait pu se contenter de faire varier θ dans l’intervalle

]−π2 ,

π2[

par exemple, et la condition de périodicité aurait disparu. On aurait alors trouvé comme solutions lesfonctions de la forme g : (ρ, θ) 7→ λ(ρ)eaθ (où λ est une fonction de classe C 1 quelconque), ce qui auraitfourni pour solutions du problème initial les fonctions de la forme f : (x, y) 7→ λ(

√x2 + y2)eaArctg y

x .

Exemple 3. L’équation des ondes à une dimension s’écrit

∂2u

∂x2 −1v2∂2u

∂t2= 0.

Pour la résoudre, introduisons deux nouvelles variables α et β, définies par

α = x+ vt et β = x− vt

et considérons la fonction f définie par f(α, β) = u(x, t). Le fait que le changement de variable soit exprimésous la forme «les nouvelles variables en fonction des anciennes» permet d’obtenir directement les dérivéespartielles de u en fonction des dérivées partielles de f , ce qui nous intéresse pour la substitution. Lesformules donnent

∂u

∂x= ∂α

∂x

∂f

∂α+ ∂β

∂x

∂f

∂β= ∂f

∂α+ ∂f

∂βet ∂u

∂t= ∂α

∂t

∂f

∂α+ ∂β

∂t

∂f

∂β= v

∂f

∂α− v ∂f

∂β

que l’on écrit symboliquement sous la forme

∂

∂x= ∂

∂α+ ∂

∂βet ∂

∂t= v

∂

∂α− v ∂

∂β

On utilise ces résultats pour calculer les dérivées partielles secondes :

∂2u

∂x2 = ∂

∂x

(∂u

∂x

)= ∂

∂α

(∂u

∂x

)+ ∂

∂β

(∂u

∂x

)= ∂

∂α

(∂f

∂α+ ∂f

∂β

)+ ∂

∂β

(∂f

∂α+ ∂f

∂β

)= ∂2f

∂α2 +2 ∂2f

∂α∂β+ ∂2f

∂β2

11.3. Fonctions à valeurs réelles 181

et, de même,∂2u

∂y2 = v2(∂2f

∂α2 − 2 ∂2f

∂α∂β+ ∂2f

∂β2

).

Par suite, la fonction u est solution de l’équation des ondes si, et seulement si, la fonction f est solutionde l’équation

∂2f

∂α∂β= 0.

Ceci équivaut à l’existence d’une fonction λ, de classe C 1, telle que ∂f∂α (α, β) = λ(α) (en dérivant par

rapport à β, on trouve 0, donc cette fonction est constante par rapport à β ; elle n’a aucune raison del’être par rapport à α), qui équivaut à sont tour à l’existence de deux fonctions ϕ,ψ, de classe C 2, tellesque f(α, β) = ϕ(α) +ψ(β) (ϕ : primitive de λ ; ψ : «constante» d’intégration, qui n’est constante que parrapport à α). Les solutions de l’équation des ondes sont donc les fonctions de la forme

u(x, t) = ϕ(x+ vt) + ψ(x− vt),

où ϕ et ψ sont deux fonctions de classe C 2 quelconques.

11.3 Fonctions à valeurs réelles11.3.1 Gradient

Soit f : U −→ R (U : ouvert non vide de Rp) une fonction de classe C 1.

DéfinitionLe gradient de l’application f en a est le vecteur, noté −−→gradf(a), ou ∇f(a), défini par

−−→gradf(a) =(∂f

∂x1(a), . . . , ∂f

∂xp(a)).

Pour tout point a ∈ U et tout h ∈ Rp, on rappelle que la différentielle df(a)(h) est donnée par

df(a)(h) =p∑j=1

∂f

∂xj(a)hj .

Ce vecteur vérifie donc

PropositionPour tout a ∈ U et tout vecteur h ∈ Rp, on a

df(a)(h) = 〈∇f(a) | h〉.

Les points en lesquels le gradient est nul généralisent les points en lesquels la dérivée d’une fonctionest nulle.

Définition (point critique)Un point a ∈ U est appelé point critique de f si, et seulement si, le vecteur gradient de f en a est nul.La valeur f(a) est alors appelée valeur critique de l’application f . Si a n’est pas un point critique, ondit que c’est un point régulier de f .

Un point critique est donc un point en lequel toutes les dérivées partielles sont nulles.

Interprétation géométrique du gradientConsidérons une fonction f de classe C 1 définie sur un ouvert U de R2. Son graphe est la surface d’équationz = f(x, y) de R3. Soit a = (a1, a2) ∈ U un point régulier. Cherchons la direction de la ligne de plusgrande pente de cette surface au point (a, f(a)). Pour ce faire, considérons un mobile se déplaçant sur lasurface, situé en (a, f(a)) à l’instant t = 0, et dont le déplacement horizontal se fait à vitesse constante


(égale à 1 par exemple) dans la direction du vecteur v = (v1, v2) ∈ R2 (vecteur unitaire si l’on veut quela norme de la vitesse horizontale soit égale à 1). Autrement dit, le mobile décrit la courbe paramétréede l’espace (cf. Fig. 11.2)

x(t) = a1 + tv1, y(t) = a2 + tv2, z(t) = f(x(t), y(t)

)= f(a+ tv).

Nous nous intéressons à la façon de choisir le vecteur v pour que l’altitude z(t) augmente, au voisinage

z = f(x, y)

a

x

y

z

f(a)

v

z = f(a+ tv)

Figure 11.2 – Ligne de plus grande pente ascendante

de t = 0, le plus rapidement possible. Autrement dit, on cherche à maximiser la dérivée de cette quantitéen t = 0. Or on a

z′(0) = df(a)(v) = 〈∇f(a) | v〉.Le vecteur v étant unitaire, cette quantité est maximale lorsque v est colinéaire et de même sens que levecteur ∇f(a). On a donc :

PropositionEn un point a régulier de la fonction f , le vecteur ∇f(a) dirige la ligne de plus grande pente de lasurface d’équation z = f(x, y) au point (a, f(a)) ; il est dirigé dans le même sens que la ligne de plusgrande pente ascendante.

11.3.2 Courbes planes définies implicitementNous avons étudié les courbes planes définies par une représentation paramétrique. Nous avons, dans

certains cas, déterminé une équation cartésienne de la trajectoire.

Exemple 1. La trajectoire de la courbe paramétrée t 7→ (2t + 1, t − 2) a pour équation cartésiennex = 2y + 5 : un point M(x, y) appartient a cette trajectoire si, et seulement si, ses coordonnées vérifientx = 2y + 5.

Exemple 2. La trajectoire de la courbe paramétrée t 7→ (cos t, sin t) a pour équation x2 + y2 = 1.

Le problème qui nous intéresse dans ce paragraphe est celui de l’étude d’une courbe qui serait donnéepar une équation cartésienne et non par une paramétrisation. Les points M(x, y) appartenant à cettecourbe sont donc donnés implicitement, en tant que solution d’une équation, et non explicitement, pardes formules (un paramétrage). Le cadre est le suivant : U est un ouvert non vide de R2 et f : U −→ Rune fonction de classe C 1. On note

Γ =

(x, y) ∈ U | f(x, y) = 0

:

c’est la courbe de niveau 0 de l’application f (intersection de la surface d’équation z = f(x, y) avec leplan d’équation z = 0).

Commençons par remarquer que cet ensemble Γ ne correspond pas toujours à ce que l’on a envie denommer «courbe plane».


Exemple 3. Si f(x, y) = x2 + y2 + 1, l’ensemble Γ est vide.

Exemple 4. Si f(x, y) = 0, l’ensemble Γ est R2.

Exemple 5. Si f(x, y) = xy, l’ensemble Γ est la réunion de la droite d’équation x = 0 et de la droited’équation y = 0 : on a plutôt envie de dire que c’est la réunion de deux courbes.

Nous admettrons le théorème suivant.

ThéorèmeSoit U un ouvert de R2 et f : U −→ R une fonction de classe C 1. On note

Γ =

(x, y) ∈ U | f(x, y) = 0.

On considère un point M0 = (x0, y0) de Γ tel que ∇f(M0) 6= −→0 . Alors il existe un voisinage V dupoint M0 tel que l’ensemble Γ ∩ V admette une paramétrisation de classe C 1 régulière.

V

Γ

M0

Figure 11.3 – Paramétrisation locale régulière de Γ

Remarque 1. C’est la condition ∇f(M0) qui faisait défaut dans les deux exemples précédents : dans lepremier, la fonction ∇f était nulle ; dans le second, elle ne l’était pas, mais le point M0 = (0, 0) étaitun point critique. Au voisinage de ce point, Γ n’a pas l’allure locale de la trajectoire d’un arc paramétrérégulier (c’est en revanche vrai au voisinage de chaque autre point de Γ).

Remarque 2. Le fait que la courbe admette localement une paramétrisation régulière ne signifie pas qu’unetelle représentation est de la forme y = ϕ(x). Par exemple, si f(x, y) = x, le point (0, 0) appartient àla courbe Γ de niveau 0 (la droite d’équation x = 0). Cette courbe n’admet pas de représentation de laforme y = ϕ(x), même localement ! En revanche, dans ce cas, elle en admet une de la forme x = ϕ(y)(fonction nulle).

L’existence d’une paramétrisation locale de Γ permet de préciser son allure au voisinage de M0 :

ThéorèmeSous les hypothèses du théorème précédent, le vecteur ∇f(M0) est normal à Γ en M0.

Démonstration. Choisissons une paramétrisation locale régulière t 7→ M(t) =(ϕ1(t), ϕ2(t)

)de Γ au

voisinage de M0. Quitte à faire une translation sur le paramètre t, on peut supposer que M(0) = M0.Pour tout réel t proche de 0, on a M(t) ∈ Γ, donc f

(ϕ1(t), ϕ2(t)

)= 0. Dérivons : on obtient, en t = 0, la

relationϕ′1(0)∂f

∂x(x0, y0) + ϕ′2(0)∂f

∂y(x0, y0) = 0,

soit〈−→M ′(0) | ∇f(M0)〉 = 0.

Le vecteur −→M ′(0) dirigeant la tangente à Γ en M0, celle-ci est normale au vecteur ∇f(M0).


Γ

M0

∇f(M0)

Figure 11.4 – Normale à Γ en un point régulier

Exemple 6. Prenons f(x, y) = (x − a)2 + (y − b)2 − R2 : la courbe de niveau 0 est le cercle de centreΩ = (a, b) et de rayon R. Soit M0 = (x0, y0) un point de Γ : il vérifie

∇f(M0) =(2(x0 − a), 2(y0 − b)

)= 2−−−→ΩM0.

Ω

M0

∇f(M0) = 2−−−→ΩM0

Figure 11.5 – Normale à un cercle

Informatiquement, pour déterminer une ligne de niveau, on commence par créer un maillage bidimen-sionnel (Mi,j)i,j de points. Si le maillage est suffisamment serré, on trouvera parmi ceux-ci des points surla courbe de niveau (ou proches de celle-ci) ; il s’agira alors de relier ces points entre eux.

En Python, une façon commode de créer ce maillage est de commencer par créer deux tableaux x et y.On crée ensuite le maillage par Mi,j = (xi, yj). La fonction meshgrid du module numpy permet de créerles tableaux X et Y des abscisses et ordonnées de ce maillage. On utilise ensuite la fonction contour dumodule matplotlib pour tracer les lignes de niveaux. Par exemple, pour représenter plusieurs courbesde niveau de la fonction f : (x, y) 7→ y4 − x4 − 0, 9y2 + x2, on écrit

1 import numpy as np2 import matplotlib . pyplot as plt3 x = np. linspace ( -1.2 ,1.2 ,100)4 y = np. linspace ( -1.2 ,1.2 ,100)5 X,Y = np. meshgrid (x,y)67 def f(x,y):8 return (y**4 - x**4 - 0.9*y**2 + x**2)9

10 plt. figure ( figsize =(8 ,8)) # pour avoir la même é chelle en x et y11 fig = plt. contour (X,Y,f(X,Y), levels =[ -0.2 , -0.1 ,0 ,0.1 ,0.2])12 plt. clabel (fig , fontsize =10) # affichage des niveaux des courbes13 plt.show ()

On obtient le tracé de la figure 11.6. On constate une irrégularité du tracé au voisinage du point (0, 0),où deux branches de la ligne de niveau se croisent : c’est un point critique de la fonction.

11.3.3 Surfaces définies implicitementNous admettrons que les résultats énoncés pour les courbes planes s’étendent aux surfaces :


1.0 0.5 0.0 0.5 1.0

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

-0.2

00 -0

.200

-0.1

00

-0.100

-0.100

-0.100

0.0

00 0

.000

0.00

0

0.000

0.100

0.100

0.100

0.100

0.200

0.2

00

0.2

00

0.200

Figure 11.6 – Courbes de niveau de la fonction (x, y) 7→ y4 − x4 − 0, 9y2 + x2

ThéorèmeSoit U un ouvert de R3 et f : U −→ R une fonction de classe C 1. On note

Σ =

(x, y, z) ∈ U | f(x, y, z) = 0.

On considère un point M0 = (x0, y0, z0) de Σ tel que ∇f(M0) 6= −→0 . Alors il existe un voisinage V dupoint M0 tel que l’ensemble Σ ∩ V «soit une surface».

L’étude des surfaces paramétrées n’étant pas au programme, il est difficile d’être plus précis sur laconclusion du théorème. Disons simplement que, pour définir une surface paramétrée, on a besoin de deuxparamètres : Φ(u, v) =

(ϕ1(u, v), ϕ2(u, v), ϕ3(u, v)

). On définit alors la notion de surface paramétrée de

classe C 1 (la fonction Φ est de classe C 1) régulière (les dérivées partielles ∂Φ∂u et ∂Φ

∂v sont non nulles etnon colinéaires). La conclusion précise du théorème précédent devrait être «l’ensemble Σ∩ V admet uneparamétrisation de classe C 1 régulière».

Remarque 1. Le fait qu’il existe une paramétrisation locale régulière de la surface ne signifie pas que cettesurface admet localement une équation de la forme z = ϕ(x, y) : il se peut très bien que, localement, lemorceau de surface étudié soit vertical.

Courbes tracées sur une surfaceSoit Σ une surface définie implicitement par une équation f(x, y, z) = 0, où f : U −→ R est une fonctionde classe C 1. Une courbe paramétrée Φ : t 7→

(ϕ1(t), ϕ2(t), ϕ3(t)

)est dite tracée sur la surface si, et

seulement si, le point Φ(t) appartient à Σ pour tout t. En équations, cela s’écrit f(ϕ1(t), ϕ2(t), ϕ3(t)

)= 0.


Si la courbe est de classe C 1, on peut dériver l’égalité précédente, la règle de la chaîne donne

ϕ′1(t)∂f∂x

(Φ(t)

)+ ϕ′2(t)∂f

∂y

(Φ(t)

)+ ϕ′3(t)∂f

∂z

(Φ(t)

)= 0.

En notant M0 = Φ(t0), cette égalité s’écrit encore

〈∇f(M0) | −→Φ ′(t0)〉 = 0 :

le vecteur vitesse à la courbe est orthogonal au gradient de f en M0. En supposant le paramètre t0régulier, la tangente en M0 à cette courbe est donc située dans le plan passant par M0 et normal à∇f(M0).

Définition (plan tangent)Soit Σ une surface définie implicitement par l’équation f(x, y, z) = 0 et M0 un point régulier de Σ. Leplan tangent à Σ en M0 est le plan passant pas M0 et normal à ∇f(M0).

C’est donc le plan dans lequel sont contenues toutes les tangentes (en M0) des courbes tracées sur Σpassant par M0. Il a pour équation

(x− x0)∂f∂x

(M0) + (y − y0)∂f∂y

(M0) + (z − z0)∂f∂z

(M0) = 0.

Cas d’une surface d’équation z = g(x, y)Soit U un ouvert de R2 et g : U −→ R une fonction de classe C 1. On notant f(x, y, z) = g(x, y) − z,Σ peut aussi être vue comme Σ = M | f(M) = 0, la fonction f étant de classe C 1. De plus, tous lespoints de cette surface Σ sont réguliers : en effet, ∂f∂z = −1 ne s’annule jamais. Par suite, la surface a enchaque point M0 = (x0, y0, g(x0, y0)) un plan tangent ; celui-ci a pour équation

(x− x0)∂f∂x

(M0) + (y − y0)∂f∂y

(M0) + (z − z0)∂f∂z

(M0) = 0,

soitz − z0 = (x− x0)∂g

∂x(x0, y0) + (y − y0)∂g

∂y(x0, y0).

11.3.4 ExtremaComme pour les fonctions d’une variable réelle, l’étude des points où la dérivée (ici, les dérivées par-

tielles) d’une fonction s’annule(nt) donne des renseignements sur les éventuels extrema de cette fonction.Comme pour les fonctions d’une variable réelle encore, il faudra être soigneux dans l’application desrésultats.

ThéorèmeSoit f : U −→ R (U : ouvert de Rp) une fonction de classe C 1 et a un point de U . Si la fonction fadmet un extremum local en a, alors a est un point critique de f . La réciproque est fausse.

Démonstration. Traitons le cas où la fonction f présente en a en maximum local, l’autre cas se traitantde la même façon. Choisissons un réel ε > 0 tel que B(a, ε) ⊂ U (l’ensemble U est ouvert) et que, pourtout vecteur h vérifiant ||h|| < ε, on ait f(a+ h) 6 f(a) (la fonction f présente en a un maximum local).Alors, chacune des fonctions ϕk : t 7→ f(a+ t~εk) (où les vecteurs ~εk sont les vecteurs de la base canoniquede Rp), définie sur l’ouvert ]−ε, ε[, admet un maximum local en t = 0. Chacune de ces fonctions estdérivable en t = 0, avec

ϕ′k(0) = ∂f

∂xk(a).

Toutes les dérivées partielles de f en a sont donc nulles : a est un point critique de f .

La fonction f : (x, y) 7→ xy fournit un contre-exemple à la réciproque : il est immédiat de constaterque ∇f(0, 0) = 0, mais la quantité f(x, x2) = x3 n’est pas de signe constant au voisinage de x = 0, doncf ne peut admettre de minimum ou de maximum local en (0, 0).


Attention! Cette propriété (un point en lequel f présente un extremum local est un point critique)n’est vraie que parce que l’ensemble U est ouvert, de même que la propriété analogue pour les fonctionsd’une variable réelle n’est vérifiée qu’en un point intérieur à l’intervalle de définition.

Exemple 1. Considérons la fonction f définie sur le carré

A = (x, y) ∈ R2 | 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1

parf(x, y) = x− 2y + 3.

Il est immédiat de constater que, pour tout point a ∈ A, on a ∇f(a) = (1,−2) 6= 0 : la fonction f n’admetaucun point critique. Elle est pourtant de classe C 1 et admet un minimum et un maximum (car définiesur un fermé borné de R2). Ces minimum et maximum ne peuvent donc être atteints en un point du carréouvert

U = (x, y) ∈ R2 | 0 < x < 1, 0 < y < 1,donc ils sont atteints en un point de la frontière. Il est immédiat de constater que, pour tout (x, y) ∈ A,on a 1 = f(0, 1) 6 f(x, y) 6 f(1, 0) = 4, donc le minimum (resp. maximum) est atteint en le pointa = (0, 1) (resp. b = (1, 0)).

x

z

yf(0, 1)f(1, 1)

f(1, 0)f(0, 0)

Figure 11.7 – Extrema d’une fonction affine

Exemple 2. Considérons la fonction f : R2 −→ R(x, y) 7−→ x2y2 + x2 + y2 + 10xy

.

En tout point (x, y), le gradient de f est égal à

∇f(x, y) = (2xy2 + 2x+ 10y, 2x2y + 10x+ 2y).

Les points critiques sont ceux qui vérifient2xy2 + 2x+ 10y = 02x2y + 10x+ 2y = 0 L2 ← L2 − L1

⇐⇒

2xy2 + 2x+ 10y = 02xy(x− y) + 8(x− y) = 0

⇐⇒

xy2 + x+ 5y = 0(xy + 4)(x− y) = 0

⇐⇒

x = y2x3 + 12x = 0 ou

xy = −4x+ y = 0 .

On trouve trois solutions : les couples (0, 0), (2,−2) et (−2, 2).– Étude en (0, 0) : on doit déterminer, pour (x, y) voisin de (0, 0), le signe de la quantité

f(x, y)− f(0, 0) = x2 + y2 + 10xy + x2y2.

Tous les termes de cette expression tendent vers 0 en (0, 0), mais ceux de degré le plus élevé tendent« plus vite » que les autres. Les termes à étudier en priorité sont donc ceux de degré 2, soit

x2 + y2 + 10xy.

Pour étudier le signe de cette expression, on la met sous forme canonique, en reconnaissant en x2 + 10xyla début du carré de x+ 5y : on a

x2 + y2 + 10xy = (x+ 5y)2 − 24y2 =(x+ (5 + 2

√6)y)(x+ (5− 2

√6)y).


Cette expression n’est pas de signe constant selon la région du plan délimitée par les deux droites d’équa-tions x + (5 + 2

√6)y = 0 et x + (5 + 2

√6)y = 0 dans laquelle on se situe, ce qui laisse supposer que

f(x, y)− f(0, 0) n’est pas de signe constant au voisinage de (0, 0) (sans pour autant en être un preuve).Pour démontrer que la fonction ne présente en (0, 0) ni minimum, ni maximum, on doit trouver des points(x, y) aussi proches de (0, 0) que l’on veut en lesquels la quantité f(x, y) − f(0, 0) est parfois positive,parfois négative. Pour cela, on regarde encore le signe de l’expression polynomiale de degré 2 : on constateque cette quantité est positive sur la droite d’équation y = x et négative sur la droite d’équation y = −x.On calcule donc

f(x, x)− f(0, 0) = 12x2 + x4 ∼0 12x2 > 0 au voisinage de x = 0

etf(x,−x)− f(0, 0) = −8x2 + x4 ∼0 −8x2 6 0 au voisinage de x = 0.

Par suite, f n’admet aucun extremum en (0, 0).

f(a)

a

z

Figure 11.8 – Point col (ou point selle)

– Étude en a = (2,−2). On s’intéresse maintenant au signe de la quantité f(2 + x,−2 + y) − f(2,−2)pour (x, y) voisin de (0, 0). On calcule

f(2 + x,−2 + y)− f(2,−2) = 5x2 + 5y2 − 6xy + 4x2y − 4xy2 + x2y2.

Ici encore, on s’intéresse dans un premier temps au signe de la quantité 5x2 + 5y2 − 6xy regroupant lestermes de plus bas degré. La mise sous forme canonique est maintenant

5x2 + 5y2 − 6xy = 5(x− 3

5y)2

+ 165 y

2.

Cette quantité est toujours positive, ce qui laisse présager que la quantité f(2 +x,−2 + y)− f(2,−2) est,au moins au voisinage de (0, 0), positive (sans le prouver ici non plus). Pour le vérifier, il est utile de passeren coordonnées polaires : x = ρ cos θ, y = ρ sin θ. La condition « (x, y) proche de (0, 0) » s’exprimera alorspar « ρ proche de 0 ». On obtient

f(2 + x,−2 + y)− f(2,−2) = ρ2[5 cos2 θ + 5 sin2 θ − 6 cos θ sin θ

+ ρ(4 cos2 θ sin θ − 4 cos θ sin2 θ + ρ cos2 θ sin2 θ

)]= ρ2

[5− 3 sin 2θ︸︷︷︸

>2

+ρ(4 cos2 θ sin θ − 4 cos θ sin2 θ + ρ cos2 θ sin2 θ

)︸︷︷︸borné au voisinage de ρ=0

].

La quantité entre crochets est somme d’une quantité minorée par 2 et d’une quantité qui tend vers 0lorsque ρ tend vers 0, donc est strictement positive au voisinage de ρ = 0. On obtient donc

f(2 + x,−2 + y)− f(2,−2) > 0

pour (x, y) voisin de (0, 0), donc la fonction admet en a = (2,−2) un minimum local. Ce minimum estmême strict car l’inégalité est stricte pour ρ proche de 0 et non nul.


a

f(a)

z

Figure 11.9 – Minimum local

– Étude en b = (−2, 2) : il suffit de remarquer que f(y, x) = f(x, y) pour tout couple (x, y) pour conclureque f présente en b également un minimum strict local.



1. On considère la fonction f définie sur R2 par f(x, y) = 2x + y, a = (0, 0) et ~u = (1, 2). Que vaut ladifférentielle daf(~u) ?

2. Soit f : R2 −→ R définie par f(x, y) = x sin(y) + 2x2y. Calculer ∂f∂y

(x, x) et ∂f∂x

(y, x).

3. Soit f : R2 −→ R une fonction de classe C 1. On définit les fonctions g, h : R −→ R par g(x) = f(x, x) eth(x) = f(x2, x). Calculer g′(x) et h′(x).

4. Soit f : R2 −→ R une fonction de classe C 1 vérifiant f(y, x) = f(x, y) pour tout (x, y). Quelle relationa-t-on sur les dérivées partielles de f ?

5. Déterminer les points critiques de la fonction f : (x, y) 7→ 2y − xy + x2. La fonction présente-t-elle ence(s) point(s) un extremum local ? Global ?

6. Soit f : R2 −→ R une fonction de classe C 2 admettant un minimum global en (0, 0). Que peut-on dire

du signe de ∂f2

∂x2 (0, 0) ?

7. Soit f : R2 −→ R une fonction de classe C 1. On suppose la fonction périodique par rapport à chacune deses deux variables. Justifier qu’elle admet un minimum et un maximum globaux, et expliquer commentles trouver.

8. Soit f : R2 −→ R une fonction de classe C 1 et Bf la boule unité fermée. Soit c ∈ Bf un point. Quelle(s)implication(s) logique(s) y a-t-il entre les assertions

1. f(c) = maxx∈Bf f(x)2. ∇f(c) = 0.


11.4.2 Réponses1.On a

daf(~u) = 1× ∂f

∂x(0, 0) + 2× ∂f

∂y(0, 0) = 4.

2.L’erreur à ne pas commettre est de commencer par calculer f(x, x) puis de dériver par rapport à y (ce quidonnerait 0 !). Il faut commencer par calculer ∂f

∂yen un point générique (x, y), puis appliquer le résultat

au point (x, x) (i.e. faire y = x dans le résultat). On trouve

∂f

∂y(x, x) = sin x+ 4x2 et ∂f

∂x(y, x) = sin x+ 4xy.

3.On ag(x) = f

(u(x), v(x)

)avec u(x) = v(x) = x,

doncg′(x) = u′(x)∂f

∂x

(u(x), v(x)

)+ v′(x)∂f

∂y

(u(x), v(x)

)= ∂f

∂x(x, x) + ∂f

∂y(x, x)

et, de même,h′(x) = 2x∂f

∂x(x2, x) + ∂f

∂y(x2, x).

4.Pour y voir plus clair, utilisons les notations ∂1f (resp. ∂2f) la dérivée partielle de f par rapport à sapremière (resp. deuxième) variable, qui vérifient donc

∂1f(x, y) = limt→ 0

f(x+ t, y)− f(x, y)t

et ∂2f(x, y) = limt→ 0

f(x, y + t)− f(x, y)t

.

Par hypothèse, on af(x+ t, y)− f(x, y)

t= f(y, x+ t)− f(y, x)

t,

d’où, en passant à la limite lorsque t→ 0 :

∂1f(x, y) = ∂2f(y, x),

soit encore, avec les notations habituelles :

∂f

∂x(x, y) = ∂f

∂y(y, x).

5.On trouve un unique point critique : (x, y) = (2, 4). Pour tout (u, v), on a

f(2 + u, 4 + v)− f(2, 4) = u(u− v),

qui n’est pas de signe constant au voisinage de (0, 0) ; donc f n’admet aucun extremum local (ni global)en ce point.

6.L’application partielle ϕ : x 7→ f(x, 0) admet aussi un minimum global en 0. Elle vérifie donc ϕ′′(0) > 0(en effet, si on avait ϕ′′(0) < 0, on aurait ϕ′′(x) < 0 pour x voisin de 0, donc ϕ′ serait décroissante auvoisinage de 0, donc positive au voisinage gauche de 0 et négative à droite. On aurait alors ϕ croissante au

voisinage gauche de 0 et décroissante à droite, ce qui contredit le minimum en 0). Or ϕ′′(0) = ∂f2

∂x2 (0, 0),donc cette dernière est positive ou nulle.

7.Notons T1 et T2 les deux périodes : les valeurs prises par la fonctions f sont les valeurs prises lorsque lecouple (x, y) décrit [0, T1] × [0, T2] (qui se répètent périodiquement). La fonction étant continue sur cefermé borné, elle est bornée et atteint ses bornes (en des points qui se répètent aussi périodiquement).Les extréma sont atteints en des points critiques. Pour trouver ceux-ci, on peut se borner à les chercherdans le rectangle [0, T1]× [0, T2]. L’avantage par rapport à ce qui se passe habituellement lors de l’étudesur un tel fermé est qu’il n’y a pas à faire en plus l’étude sur la frontière : en effet, celle-ci n’est présenteque de manière artificielle pour réduire le domaine d’étude.


8.Aucune des deux assertions n’entraîne l’autre. Par exemple, pour f(x, y) = x2 + y2, tout point c de lasphère unité vérifie f(c) = 1 = max(x,y)∈Bf f(x, y), et pourtant le gradient ne s’y annule pas. Cependant,si le point c appartient à la boule ouverte et que la fonction vérifie f(c) = maxx∈Bf f(x), elle vérifie aussif(c) = maxx∈B f(x), donc c est un point critique de f .

La réciproque est également fausse : l’unique point critique de f est c = (0, 0), point en lequel lafonction admet son minimum.

Annexe APrimitives usuelles

La table A.1 sur la page suivante contient les primitives usuelles à connaître. Il est indispensable desavoir les retrouver très rapidement (par exemple, une primitive de la fonction x 7→ 1√

a2−x2 peut êtreretrouvée, connaissant une primitive de la fonction t 7→ 1√

1−t2 , en faisant le changement de variablet = x/a).

– Les primitives de 1sin et 1

cos se retrouvent en posant t = tg x2 et en remarquant que

21− t2 = 1

1− t + 11 + t

.

– On retrouve les primitives de 1cos2 et 1

sin2 parce qu’on connaît les dérivées de tg et cotg.

– tg et cotg sont de la forme u′

u.

– 2aa2 − x2 = 1

a− x+ 1a+ x

est facile à intégrer.– ln, Arcsin et Arctg s’intègrent par parties.

Toutes les autres sont à connaître absolument.

193

194 Annexe A. Primitives usuelles

Fonc

tion

Intervalle

Prim

itive

Fonc

tion

Intervalle

Prim

itive

exR

ex

chx

Rshx

shx

Rchx

1co

s2x

=1

+tg

2x

]−π 2

+kπ,π 2

+kπ

[tgx

cosx

Rsin

x1

sin2x

=1

+co

tg2x

]kπ,(k

+1)π

[−

cotgx

sinx

R−

cosx

xα(α∈C\−

1)

R∗ +

xα

+1

α+

11 x

R∗ −

ouR∗ +

ln|x|

1sin

x]kπ,(k

+1)π

[ln∣ ∣ tgx 2

∣ ∣tgx

]−π 2

+kπ,π 2

+kπ

[−

ln|c

osx|

1co

sx]−

π 2+kπ,π 2

+kπ

[ln∣ ∣ tg(

x 2+

π 4)∣ ∣

cotgx

]kπ,(k

+1)π

[ln|s

inx|

]−∞,−|a|[

1x

2+a

2(a∈R∗ )

R1 a

Arc

tgx a

1a

2−x

2ou

]−|a|,|a|[

1 2aln∣ ∣ ∣ ∣x

+a

x−a

∣ ∣ ∣ ∣ou

]|a|,

+∞

[

1√a

2−x

2(a∈R∗ )

]−|a|,|a|[

Arc

sinx |a|

lnx

R∗ +

xlnx−x

Arc

sinx

[−1,

1]x

Arc

sinx

+√

1−x

2A

rctgx

Rx

Arc

tgx−

1 2ln

(1+x

2 )

Table A.1 – primitives usuelles

Annexe BDéveloppements limités usuels

La table B.1 contient les développements limités usuels à connaître. Rappelons que la notation(αk

)(α ∈ R ou α ∈ C) désigne le nombre(

α

k

)= α(α− 1) · · · (α− k + 1)

k!

avec la convention(0k

)= 1. Les développements limités de 1

1+x et 11−x sont des cas particulier de (1 +x)α

(avec α = −1) ; ils ont été insérés en raison de leur importance.

ex =n∑k=0

xk

k! + O(xn+1) = 1 + x+ x2

2 + · · ·+ xn

n! + O(xn+1)

ch x =n∑k=0

x2k

(2k)! + O(x2n+2) = 1 + x2

2 + x4

24 + · · ·+ x2n

(2n)! + O(x2n+2)

sh x =n∑k=0

x2k+1

(2k + 1)! + O(x2n+3) = x+ x3

6 + x5

120 + · · ·+ x2n+1

(2n+ 1)! + O(x2n+3)

cosx =n∑k=0

(−1)k x2k

(2k)! + O(x2n+2) = 1− x2

2 + x4

24 − · · ·+ (−1)n x2n

(2n)! + O(x2n+2)

sin x =n∑k=0

(−1)k x2k+1

(2k + 1)! + O(x2n+3) = x− x3

6 + x5

120 − · · ·+ (−1)n x2n+1

(2n+ 1)! + O(x2n+3)

(1 + x)α =n∑k=0

(α

k

)xk + O(xn+1) = 1 +

(α

1

)x+

(α

2

)x2 + · · ·+

(α

n

)xn + O(xn+1)

11 + x

=n∑k=0

(−1)kxk + O(xn+1) = 1− x+ x2 − · · ·+ (−1)nxn + O(xn+1)

11− x =

n∑k=0

xk + O(xn+1) = 1 + x+ x2 + · · ·+ xn + O(xn+1)

ln(1 + x) =n∑k=1

(−1)k+1

kxk + O(xn+1) = x− x2

2 + x3

3 + · · ·+ (−1)n+1xn

n+ O(xn+1)

Arctg x =n∑k=0

(−1)k

2k + 1x2k+1 + O(x2n+3) = x− x3

3 + x5

5 + · · ·+ (−1)n x2n+1

2n+ 1 + O(x2n+3)

Table B.1 – développements limités usuels

195

196 Annexe B. Développements limités usuels

Annexe CDéveloppements en série entière usuels

La table C.1 contient les développements en série entière usuels. Ces développements donnent, partroncature, les développements limités de la table B.1.

Développement Rayon de convergence Convergence aux bornes

ex =∞∑k=0

xk

k! R = +∞

ch x =∞∑k=0

x2k

(2k)! R = +∞

sh x =∞∑k=0

x2k+1

(2k + 1)! R = +∞

cosx =∞∑k=0

(−1)k x2k

(2k)! R = +∞

sin x =∞∑k=0

(−1)k x2k+1

(2k + 1)! R = +∞

11 + x

=∞∑k=0

(−1)kxk R = 1

11− x =

∞∑k=0

xk R = 1

(1 + x)α =∞∑k=0

(α

k

)xk R = 1 dépend de α

ln(1 + x) =∞∑k=1

(−1)k+1

kxk R = 1 en x = 1

Arctg x =∞∑k=0

(−1)k

2k + 1x2k+1 R = 1 en x = ±1

Table C.1 – développements en série entière usuels

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Cours de mathématiquespc.fermat.free.fr/cours/analyse.pdf · 2 Chapitre1. Suitesnumériques Théorème (convergencedessuitesextraites) Soit uune suite à valeurs dans K et ‘∈K.La