Ecole Nationale Supérieure d'Arts et Métiers

Campus de CLUNY

Notation indicielle Page 1

Notations indicielles

Voici quelques exemples détaillés de notation indicielle, en supposant travailler dans un espace à trois

dimensions.

Définition d’un vecteur, par exemple le vecteur position d’un point de l’espace :

3

1

332211

i

iiii ExExExExExOM

Produit scalaire de deux vecteurs ii EaA et ii EbB

333322331133332222221122331122111111

3

1

332211

3

1

3

1

3

1

3

1

.........

...

...

EbEaEbEaEbEaEbEaEbEaEbEaEbEaEbEaEbEaBA

EbEaEbEaEbEaBA

EbEaEbEaEbEaBA

i

iiiiii

i j

jjii

j

jj

i

iijjii

Produit scalaire de deux vecteurs avec utilisation du symbole de Kronecker dans le cas d’une base

orthonormée :

332211

333332233113233222222112133112211111

3

1

332211

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

...

..................

......

.....

bababaBA

bababababababababaBA

bababaBA

baEbEaEbEaEbEaBA

i

i

iiiiii

i i j

ijji

j

jjii

j

jj

i

iijjii

Divergence d’un vecteur, par exemple la divergence du vecteur vitesse jiiii xvvavecEvV d’un point

de l’espace :

3

3

2

2

1

13

1 x

v

x

v

x

v

x

v

x

vVdiv

i i

i

i

i

Gradient d’une fonction scalaire, par exemple la fonction pression en un point de l’espace ixpp :

3

3

2

2

1

1

3

1

Ex

pE

x

pE

x

pE

x

pE

x

ppgrad

i

i

i

i

i

Démonstration indicielle d’une formule, par exemple la divergence d’un vecteur multiplié par un scalaire :

pgradVVdivpx

pv

x

vp

x

vpVpdiv

i

i

i

i

i

i ..

Cette démonstration est à comparer avec une démonstration n’utilisant pas la notation indicielle :

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Notation indicielle Page 2

pgradVVdivpx

pv

x

pv

x

pv

x

v

x

v

x

vpVpdiv

x

pv

x

pv

x

pv

x

vp

x

vp

x

vpVpdiv

x

pv

x

vp

x

pv

x

vp

x

pv

x

vp

x

vp

x

vp

x

vpVpdiv

..

.

.

3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

3

3

2

2

1

1

Gradient d’une fonction vectorielle, par exemple le tenseur gradient d’un vecteur déplacement

jiiii xuuavecEuU d’un point de l’espace :

33

3

3

23

2

3

13

1

3

32

3

222

2

212

1

2

31

3

121

2

111

1

1

3

1

3

3

2

2

1

1

3

1

3

1

EEx

uEE

x

uEE

x

u

EEx

uEE

x

uEE

x

u

EEx

uEE

x

uEE

x

uUgrad

EEx

uEE

x

uEE

x

uUgrad

EEx

uEE

x

uUgrad

i

ii

ii

ii

i j

ji

j

iji

j

i

Mais sur cet exemple, il est plus simple d’utiliser la notation matricielle :

iEx

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

EEEx

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

Ugrad

3

3

2

3

1

3

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

3213

3

2

3

1

3

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

,,

Produit scalaire de deux tenseurs, par exemple produit scalaire du tenseur des contraintes M avec le

tenseur des déformations M :

333332323131232322222121131312121111

3

1

3

1

MM

MMi j

ijijijij

Produit contracté de deux tenseurs, par exemple la traduction de la loi de comportement linéaire entre le

tenseur des contraintes et le tenseur des déformations A :

333332323131232322222121131312121111

3

1

3

1

.........

..

ijijijijijijijijijij

k l

klijklklijklijlkjiijkljiijjiij

AAAAAAAAA

AAEEEEAAEEEE

Dans cet exemple, les indices i et j sont des indices parlants et ils peuvent prendre n’importe quelle valeur entre

1 et 3. Donc en définitive on retrouve 9 équations identiques à la dernière écriture. On peut réaliser

l’importance de travailler sur une formulation contractée.