Erwan Jahier • Christophe Jorssen Physique · 2019. 7. 29. · La rapidité est mesurée par le temps nécessaire pour que la réponse indicielle entre dans une bande de 5 % autour

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PhysiqueMarc Cavelier • Julien Cubizolles • Guillaume Delannoy

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PhysiquePCSI

Marc Cavelier est Professeur en classe préparatoire scientifique au lycée Chateaubriand à Rennes.Julien Cubizolles est Professeur en classe préparatoire scientifique au lycée Louis-le-Grand à Paris.

Guillaume Delanoy est professeur en classe préparatoire scientifique au lycée Chateaubriand à Rennes.Christophe Jorssen est professeur en classe préparatoire scientifique au lycée Jacques Decour à Paris.Erwan Jahier est professeur en classe préparatoire scientifique au lycée Chateaubriand à Rennes.

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Activité 1.Équations différentiellesd’ordre 1

Activité 2.Équations différentiellesd’ordre 2

Activité 3.Mouvement d’une planète

Activité 4.Étude d’un pendule

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ISBN : 978-2-311-40674-0

Conception de couverture : Hung Ho Thanh

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La loi du 11 mars 1957 n’autorisant aux termes des alinéas 2 et 3 de l’article 41, d’une part, que les « copies ou reproductionsstrictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective » et, d’autre part, que les analyseset les courtes citations dans un but d’exemple et d’illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle,faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite » (alinéa 1er de l’article 40). Cettereprésentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par lesarticles 425 et suivants du Code pénal. Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresserau Centre français d’exploitation du droit de copie : 20 rue des Grands Augustins, F-75006 Paris.

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© Vuibert – juin 2019 – 5 allée de la 2e DB, 75015 Paris

SOMMAIREPartie 1. Signaux physiques 15

Chapitre 1 Oscillateur harmonique17

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1. Loi de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. Étude dynamique du système masse-ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3. Aspect énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4. Validation expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5. Une approche de la méthode du physicien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Fiche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Aide à la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Chapitre 2 Propagation d’un signal51

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1. Notion de signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2. Ondes progressives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3. Superposition d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4. Interférences d’ondes mécaniques ou acoustiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5. Battements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6. Ondes stationnaires mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7. Diffraction à l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

8. Polarisation rectiligne de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Chapitre 3 Optique géométrique103

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

1. Sources de lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

2. Indice d’un milieu transparent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3

SOMMAIRE

3. Modèle de l’optique géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4. Réflexion et réfraction de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5. Objets et images d’objets par un système optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6. Image d’un objet par un miroir plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7. Conditions de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8. Lentilles minces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

9. Approche documentaire : l’appareil photographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

10. À propos de l’œil humain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Chapitre 4 Introduction au monde quantique153

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

1. « Dualité » onde-particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

2. Fonction d’onde et probabilité de résultat de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

3. Relation d’indétermination de Heisenberg spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

4. État fondamental de l’oscillateur harmonique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

5. Quantification de l’énergie et confinement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6. Rappel/complément : les trois processus élémentaires d’interaction atome-photon . . . . . 180

7. Ouverture : indétermination et mesure en physique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Chapitre 5 Circuits dans l’ARQS199

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

1. Aspect microscopique : conduction électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

2. Potentiel et tension électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

3. Approximation des régimes quasi stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

4. Description des dipôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

5. Quelques dipôles électrocinétiques modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

6. Circuits électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

7. Lois de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

8. Deux autres dipôles modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

9. Dipôle équivalent à l’association de deux conducteurs ohmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

4

SOMMAIRE

Chapitre 6 Circuits linéaires du premier ordre239

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

1. Régime libre d’un circuit R C série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

2. Réponse à un échelon de tension d’un dipôle R C série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

3. Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

Chapitre 7 Oscillateurs amortis277

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

1. Deux systèmes modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

2. Régime libre des oscillateurs harmoniques amortis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

3. Réponse à un échelon des oscillateurs harmoniques amortis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

4. Prévisions à partir du portrait de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

5. Régime sinusoïdal forcé des oscillateurs amortis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

6. Résonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

7. Électrocinétique en notation complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

Chapitre 8 Filtrage linéaire327

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

1. Signaux périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

2. Généralités sur la transformation de signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

3. Quadripôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

4. Filtres linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

5. Quelques filtres du premier et du deuxième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

6. Réalisation d’opérations élémentaires à l’aide de filtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

7. Approche documentaire : le sismomètre, un exemple de filtrage mécanique . . . . . . . . . . . 348


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

5

SOMMAIRE

Partie 2. Mécanique 365

Chapitre 9 Cinématique367

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

1. Description du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

2. Mouvement d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

3. Systèmes de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

4. Exemples de mouvements fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

5. Mouvement d’un solide dans deux cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

6. Limites de la cinématique newtonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

Chapitre 10 Loi de la quantité de mouvement421

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

1. État de mouvement d’un objet matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

2. Lois de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

3. Mouvements caractéristiques des principales forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458

Chapitre 11 Énergétique du point matériel467

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468

1. Puissance et travail d’une force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468

2. Théorèmes de la puissance et de l’énergie cinétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

3. Énergies potentielle et mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473

4. Mouvement conservatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

Chapitre 12 Mouvement de particules chargées511

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512

1. Force de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512

6

SOMMAIRE

2. Mouvement d’une particule chargée dans un champ électrostatique uniforme . . . . . . . . . 518

3. Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétostatique uniforme . . . . . . . . 522

4. Dynamique relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534

Chapitre 13 Loi du moment cinétique541

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542

1. Moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542

2. Éléments dynamiques : moment d’une force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547

3. Loi du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553

4. Exemples d’utilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555

5. Approche énergétique du mouvement d’un solide en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577

Chapitre 14 Mouvement dans le champ d’une forcecentrale conservative 585

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586

1. Forces centrales conservatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586

2. Lois générales de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589

3. Énergie potentielle effective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591

4. Mouvement dans un champ de force newtonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593

5. Cas du mouvement circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614

Partie 3. Thermodynamique 621

Chapitre 15 Description macroscopique de la matière623

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624

1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624

2. Éléments de langage en thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624

3. Modélisations macroscopiques de la matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636

7

SOMMAIRE

4. Changements d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662

Chapitre 16 Description microscopique de la matière677

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678

1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678

2. Modèle du gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684

3. Pression et température cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689

4. Énergie interne et capacité thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707

Chapitre 17 Premier principe de la thermodynamique719

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720

1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720

2. Échange d’énergie par transfert thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724

3. Échange d’énergie via les forces de pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726

4. Premier principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 730

5. Enthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754

Chapitre 18 Deuxième principe de la thermodyna-mique

765

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766

1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766

2. Deuxième principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768

3. Fonction d’état entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 770

4. Bilans d’entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795

8

SOMMAIRE

Chapitre 19 Machines dithermes803

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804

1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804

2. Fondamentaux des machines dithermes fermées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805

3. Machines avec écoulement : systèmes ouverts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 810

4. Cas concret no 1 : un cycle moteur à vapeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816

5. Cas concret no 2 : un cycle frigorifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831

Chapitre 20 Statique des fluides843

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844

1. Forces volumiques et surfaciques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844

2. Statique dans le champ de pesanteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 849

3. Facteur de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852

4. Résultante des forces de pression sur les parois d’une cuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856

5. Poussée d’Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858

6. Équivalent volumique des forces de pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 861

7. Équation locale de la statique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875

Partie 4. Induction et forces de Laplace 885

Chapitre 21 Champ magnétique887

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888

1. Introduction : le champ magnétique autour de nous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888

2. Notion de cartes de champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889

3. Étude de quelques distributions de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896

4. Dipôle magnétique – Moment magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 900

5. Annexe : code Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914

9

SOMMAIRE

Chapitre 22 Forces de Laplace923

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924

1. Force de Laplace sur un élément de courant filiforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924

2. Barre conductrice en translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925

3. Spire en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927

4. Action d’un champ extérieur sur un aimant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934

5. Effet moteur d’un champ tournant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 940


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947

Chapitre 23 Lois de l’induction955

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956

1. Observations expérimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956

2. Flux d’un champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 961

3. Loi de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963

4. Loi de modération de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 969


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974

Chapitre 24 Circuit fixe dans un champmagnétique quidépend du temps

979Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 980

1. Cas d’une unique bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 980

2. Deux bobines en interaction : inductance mutuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988

3. Application au transformateur de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 991

4. Activité numérique : couplage par inductance mutuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013

10

SOMMAIRE

Chapitre 25 Circuit mobile dans un champ magnétiquestationnaire 1021

Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022

1. Conversion de puissance mécanique en puissance électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022

2. Conversion de la puissance électrique en puissance mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036


Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046


Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063

11

Remerciements

Les auteurs souhaitent particulièrement remercier leur famille pour leur soutien sans faille au cours deslongues heures de travail passées à l’élaboration de ce livre, les techniciens de laboratoire qui ont tou-jours répondu présent lorsqu’il s’agissait de réaliser des expériences, aux protocoles parfois exotiques,servant d’illustrations (en particulier Arnaud Barnich, Jean-François Dondon, Fouad Lahmidani, Jean-Luc Mathias) et enfin les collègues et parents qui ont accepté de relire, souvent en des temps records, lesépreuves (en particulier Mélanie Cousin, Alice Di Fabio, Olivier Frantz, Germain Jorssen, Marie-FrançoiseMarmonier, Georges Michel, Fabien Morin, Christelle Poux, Julien Rochet, Cécile Rouppert) et qui ontpermis, par leurs remarques, d’améliorer considérablement la qualité de ce que le lecteur trouvera dansces pages.

Nous tenons également à remercier les éditions Vuibert pour la confiance qu’ils nous ont accordée. Mercià Sébastien Mengin pour sa patience et sa disponibilité.

Merci enfin à ceux qui nous ont gracieusement permis d’utiliser des documents qu’ils ont produits : GuyDesroches, Antoine Heidmann, Bernard Multon, Jean-François Roch et Stanislas Zanko.

Nous accueillerons avec reconnaissance toutes les remarques pour les erreurs qui subsisteraient danscet ouvrage, à l’adresse suivante : [email protected]

Les auteurs

12

COURSTout le cours avec des rubriques claires pour un meilleur repérage des points importants à retenir, des conseils méthodologiques et de nombreux exemples et démonstrations

FICHES DE SYNTHÈSE Des fiches de synthèse à la fin de chaque chapitre pour retenir l’essentiel

PICTOS DE REPÉRAGES

Pour un meilleur repéragedes définitions

Conseils méthodologiques pour acquérir les bons réflexes et éviter les pièges

Attention ! pour mettre en valeur les points de vigilance

Code pythonpour s’entraîner sur le logiciel

AIDE À LA RÉSOLUTIONDes aides à la résolution des exercices en cas de blocage à la lecture de l’énoncé

CORRIGÉSTous les corrigés détaillés pour comprendre chaque étape de résolution

Mode d’emploiCet ouvrage, parfaitement conforme au programme de physique en PCSI, vous propose les outils adaptés à la réussite de votre première année.

ENTRAÎNEMENTUn entraînement intensif avec quatre typologies d’exercices : Vrai/faux, application, approfondissement et problèmes types concours.Trois niveaux de difficulté clairement identifiés et un temps indicatif de réalisation de l’exercice , et 25 min.

EXERCICESEXERCICESEXERCICESVrai ou faux ?

Vrai Faux

a) La rapidité est mesurée par le temps nécessaire pour que la réponseindicielle entre dans une bande de 5 % autour de la valeur consigne etn’en sorte plus.

b) La fonction de transfert en boucle fermée se calcule par la formule de

Black FTBF(p ) =FTCD(p )

1−FTCD(p )FTCR(p ).

c) La forme canonique d’une fonction de transfert présente un produit dedeux polynômes, l’un sous la forme pα et le second possédant uneconstante égale à 1.

d) Un système sensible aux perturbations peut néanmoins être précis. e) Un système sans dépassement n’est pas rapide. f) Un système est instable si sa fonction de transfert globale présente des

racines dont certaines sont à parties réelles positives et d’autres àparties réelles négatives.

g) Un système dont le temps de réponse est inférieur à 0,1 s peut êtrequalifié de très rapide.

h) Tout système bouclé représente un asservissement. i) Un système dont la fonction de transfert globale présente un pôle nul

est instable.

j) La FTBO du schéma-blocs suivant vaut K1H2H3K5.

K1 −+ H2 H3 K4

K5

105

EXER

CICE

S

COURSCOURSCOURS1. Introduction à la commande des systèmes1.1. Problématique de l’ingénieurUn système asservi est un système assurant le pilotage d’une grandeur physique de sortie d’un processus,par mesure de la grandeur et ajustement permanent des grandeurs de commande du processus, en vuede suivre la consigne (figure 4.1).

Le processus est constitué d’une chaîne de composants véhiculant et transformant une énergie impor-tante, aboutissant sur la variation de la grandeur de sortie. L’énergie transformée par le processus pro-vient d’une source extérieure ; la grandeur de commande ne transmet pas d’énergie significative.

−+ Partie Commande Processus

Capteur

Grandeurconsigne Écart

Grandeur decommande

Grandeurasservie

Grandeurmesurée

Perturbations

Figure 4.1. Structure d’un système asservi.

La structure classique d’un système asservi comporte donc une partie commande, déterminant la gran-deur de commande du processus, le processus et un capteur mesurant la grandeur physique asservie. Lasoustraction de la mesure à la consigne définit un écart, que la partie commande interprète pour corrigerla grandeur de commande du processus.

Exemple

Régulation du chauffage d’une maison :• grandeur asservie : la température ;• processus : la maison, sa chaudière et ses radiateurs ;• capteur : la sonde de température ;• partie commande : le thermostat.

Asservissement d’altitude d’un avion de ligne :• grandeur asservie : l’altitude ;• processus : l’avion, ses gouvernes et leurs mécanismes d’entraînement ;• capteur : l’altimètre ;• partie commande : le calculateur de bord.

Les systèmes asservis sont partout autour de nous. Durant les trente dernières années, la société modernea vu la convergence des systèmes d’information et des systèmes techniques. Les véhicules embarquentdésormais tous un calculateur de bord gérant le confort à bord, pilotant le moteur (injection électro-nique) et assistant la conduite (ABS, ESP, etc.). Les asservissements sont présents sur des applications

78

FICHE

SYNTHÈSELa modélisation des systèmes asservis vise à proposer une représentation mathématique du comporte-ment dynamique d’un système réel permettant de prévoir et améliorer ses performances.

Conseils méthodologiquesLa démarche s’articule autour de cinq phases :

1. Identifier l’organisation du système et les grandeurs physiques échangées, sous forme d’unschéma-blocs.

2. Modéliser les composants et phénomènes réels sous la forme d’une équation différentielledans le domaine temporel.

3. Traduire l’expression de ces équations et des signaux d’entrée dans le domaine de Laplace.4. Déterminer l’expression de la sortie dans le domaine de Laplace.5. Déterminer les performances du système.

La modélisation des composants et des phénomènes relève des équations propres aux champs discipli-naires concernés. Sous réserve d’hypothèses, elle débouche sur une équation différentielle. Citons parexemple une équation d’ordre 1 :

ω(t ) +τdω

dt(t ) = K u (t ).

Les équations temporelles de comportement sont traduites dans le domaine de Laplace afin de facili-ter l’expression du comportement global. Chaque dérivée est symbolisée par une multiplication par p .L’équation précédente devient :

(1+τp )Ω(p ) = K U (p ),

ce qui permet d’exprimer la fonction de transfert liant la sortie à l’entrée :

H (r p ) =Ω(p )U (p )

=K

1+τp.

Une fois le schéma-blocs exprimé dans le domaine de Laplace, le comportement global d’un systèmeasservi est caractérisé par deux fonctions de transferts :

• la fonction de transfert en boucle ouverte : FTBO(p ) ;• la fonction de transfert en boucle fermée : FTBF(p ).

La FTBO est la multiplication de la chaîne directe (FTCD(p )) par la chaîne de retour (FTCR(p )), en par-tant de la sortie du soustracteur jusqu’à son entrée (seule la boucle est prise en compte) : FTBO(p ) =FTCD(p )×FTCR(p ). La FTBO ne sera utilisée qu’au chapitre 6.La FTBF représente le comportement global. Elle se calcule facilement à l’aide de la formule de Black :

FTBF(p ) =FTCD(p )

1+FTCD(p )×FTCR(p ).

L’expression de la FTBF permet de déterminer la sortie S (p ) à une entrée E (p ) :

S (p ) = FTBF(p )× E (p ).

103

Partie 1

SIGNAUX PHYSIQUES

Chapitre 1

Oscillateur harmonique1. Loi de Hooke — 2. Étude dynamique du systèmemasse-ressort — 3. Aspect énergétique — 4. Validationexpérimentale — 5. Une approche de la méthode du physicien

Objectifs et compétences du programmeCapacitésexigibles

Exercicesassociés

Travailréalisé

• Établir et reconnaître l’équationdifférentielle qui caractérise unoscillateur harmonique. La résoudrecompte tenu des conditions initiales.

→ Exercices 1, A, C, D

• Caractériser le mouvement enutilisant les notions d’amplitude, dephase, de période, de fréquence, depulsation.

→ Exercices 2, 3, B, D

• Contrôler la cohérence de la solutionobtenue avec la conservation del’énergie mécanique, l’expression del’énergie potentielle élastique étant iciaffirmée.

→ Exercices 3, D

Robert Hooke (1635 – 1703) scientifique anglaisRobert Hooke est connu pour avoir construit la première pompe à air quipermettra à un de ses collègues (Robert Boyle) d’étudier le comportementdes gaz. Il mène aussi quelques travaux en optique.Il restera dans l’histoire des sciences en raison de la loi de l’élasticité qu’ildécouvre en 1660 : il énonce, en latin, ut tension sic vis soit telle extension,telle force, ce que l’on traduit de manière contemporaine par « l’allongementest proportionnel à la force ».

17

COURSCOURSCOURSOn rencontre dans la nature un grand nombre de situations dans lesquelles un phénomène se repro-duit identique à lui-même, au bout d’un certain temps : on parle de phénomènes périodiques. Certainssystèmes mécaniques présentent la particularité d’osciller autour d’une position particulière. Nous choi-sissons, dans ce premier chapitre, d’introduire l’ensemble constitué d’une masse accrochée à un ressortdont l’autre extrémité est fixe, système parmi les plus simples vérifiant cette propriété d’oscillation.

1. Loi de Hooke1.1. Manipulons...

a. Longueur à vide. b. Ressort comprimé. c. Ressort étiré.

Figure 1.1. Quelques manipulations qualitatives.

Commençons par manipuler un ressort (cela peut être, par exemple, le ressort présent dans certainsstylos à bille). Lorsque l’on n’exerce aucun effort sur le ressort (voir figure 1.1a), il possède une certaineforme que l’on peut typiquement caractériser par une longueur. On parle de longueur à vide du ressort.Notons-là `0.

Accrochons l’une des extrémités du ressort à un bâti fixe et cherchons à modifier sa longueur `.

• On peut d’abord comprimer le ressort, c’est-à-dire imposer ` < `0 (voir figure 1.1b). On constateque la force qu’exerce le ressort sur notre main s’oppose à cette compression.

• On peut aussi l’étirer, c’est-à-dire imposer ` > `0 (voir figure 1.1c). On constate que la force qu’exercele ressort sur notre main s’oppose à cet étirement.

• Si l’on recommence les expériences précédentes en étirant ou en comprimant davantage le ressort,on constate que plus la longueur du ressort s’éloigne de sa longueur à vide, plus l’action exercéepar le ressort sur notre main est importante.

Si l’on change de ressort (pensons, par exemple, à ceux présents dans les amortisseurs de voiture), l’actionà exercer pour le comprimer ou l’étirer change aussi. On peut donc penser qu’un deuxième paramètreest nécessaire pour caractériser un ressort : on parlera de raideur.

1.2. Modélisons...Cherchons à traduire mathématiquement les observations précédentes.

1.2.1. Vecteur force et composante

L’action mécanique exercée par le ressort se modélise par une force, représentée par un vecteur, que nousnoterons

#»F . Pour caractériser entièrement ce vecteur, nous devons préciser sa direction, son sens et sa

norme.

18

Chapitre 1 – Oscillateur harmonique

COUR

S

L’expérience montre que la direction de l’action est donnée par la direction de l’axe du ressort. Introdui-sons le vecteur unitaire #»ex « parallèle » au ressort, orienté du bâti vers son autre extrémité. On peut alorsécrire

#»F sous la forme :

#»F = Fx

#»ex .

Les informations concernant le sens et la norme sont ainsi entièrement contenues dans la grandeur Fx ,appelée composante de

#»F selon #»ex .

À retenir.

Le vecteur #»ex est unitaire : cela signifie que ‖#»ex ‖ = 1. Ce vecteur est sans dimension et sans unité.Pour que l’expression que nous venons d’écrire soit homogène, il est nécessaire que les deuxmembresde l’égalité aient la même dimension. Le vecteur #»

F ayant la dimension d’une force, la composanteFx a donc aussi la dimension d’une force. Sa valeur sera exprimée en newton ([Fx ] =N).

Telle que nous l’avons définie, Fx peut tout aussi bien être une grandeur positive que négative : il s’agitd’une grandeur algébrique. Si Fx > 0, alors le sens de la force est le même que celui de #»ex tandis que, siFx < 0, alors le sens de la force est opposé à celui de #»ex (voir figure 1.2).

`0

`

#»F = Fx

#»ex

#»ex

a. Le ressort est comprimé : Fx > 0.

`0

`

#»F = Fx

#»ex

#»ex

b. Le ressort est étiré : Fx < 0.

Figure 1.2. Fx est une grandeur algébrique.

À retenir.

La norme ‖#»F ‖ du vecteur #»

F est une grandeur positive. On a ‖#»F ‖= |Fx | et Fx =±‖#»

F ‖.

RemarqueLa norme ‖#»

F ‖d’une force contient moins d’informations que sa composante Fx puisqu’elle ne renseignepas sur le sens de

#»F . Notons néanmoins que la donnée de Fx est indissociable du vecteur unitaire #»ex , qu’il

faut donc systématiquement introduire.

À retenir.

Dans le secondaire, la notation Fx désigne très souvent la norme #»

F . Dans le supérieur, cette

convention est très peu utilisée. Nous le soulignons de nouveau : Fx est une grandeur algébrique.

19

Physique PCSI

1.2.2. Variations de la force en fonction de l’allongement

Revenons à nos observations pour tenter de déterminer le signe de Fx . À la lumière du paragraphe précé-dent, on peut directement conclure que Fx > 0, si ` < `0, et Fx < 0, si ` > `0. De plus, on a Fx = 0, si `= `0.Fx est donc une fonction décroissante de la variable ` (au moins dans le voisinage de `0).

À retenir.

Lorsqu’il s’agit de modéliser une situation, le physicien cherche d’abord à construire la théorie la plussimple rendant compte de l’observation.

La question qui se pose ici est alors : quelle forme mathématique peut-on donner à la fonction Fx desorte qu’elle respecte les observations précédentes ? Le choix le plus simple consiste à postuler que Fx

est une fonction affine de la longueur du ressort :

Fx (`) =−k (`− `0).

À retenir.

Le coefficient k est appelé raideur du ressort et s’exprime en newton par mètre dans le systèmeinternational ([k ] =N ·m−1).

`0

−k

0 `

Fx

Figure 1.3. Représentation graphique des variations deFx en fonction de la longueur du ressort `.

`00 `

Fx

Figure 1.4. Représentation graphique identique à cellede la figure 1.3 : le ressort y a été ajouté ainsi que la force

exercée par le ressort.

Résumons notre modélisation de l’action exercée par le ressort sur l’une de ses extrémités.

Loi 1.1. Loi de Hooke

L’action qu’exerce un ressort, de longueur à vide `0 et de raideur k , sur son extrémité M , située à ladistance ` de son autre extrémité O , est modélisée par une force dite force de rappel dont l’expression

20


COUR

S

est :#»F =−k (`− `0)

#»ex , où #»ex =# »

O M

‖# »

O M ‖ .

2. Étude dynamique du système masse-ressort2.1. Présentation du problèmeDans ce paragraphe, nous allons nous intéresser au mouvement d’un objet de masse m accroché à l’unedes extrémités d’un ressort, de raideur k et de longueur à vide `0, dont l’autre extrémité O est accrochéeà un bâti fixe. Dans la suite, nous supposons que la seule action que subit l’objet est celle exercée par leressort (nous verrons plus tard comment il est possible, en pratique, de réaliser cela de manière appro-chée).

2.2. Mise en équation du problèmeConseils méthodologiques

La mise en équation d’un problème de mécanique commence toujours par les étapes suivantes.• On définit le système étudié : il s’agit ici de l’objet de masse m que l’on assimile à son centre

d’inertie M .• On définit le référentiel dans lequel on se place pour étudier le mouvement : on choisit le

référentiel du laboratoire que l’on suppose galiléen dans les conditions de l’expérience.• On réalise un « bilan des forces » : on recense l’ensemble des forces qui s’appliquent sur le

système étudié. Dans ce problème, seule la force de rappel du ressort#»F est prise en compte.

• On représente schématiquement la situation physique (voir figure 1.5) en introduisant lesnotations nécessaires.

O M#»ex`0

`

#»F

0 xM

Figure 1.5. Point M soumis à la force de rappel #»F d’un ressort étiré (` > `0).

21

Physique PCSI

2.2.1. Loi d’évolution : deuxième loi de Newton

À retenir.

L’évolution dans le temps du système est gouvernée, dans un référentiel galiléen, par la deuxièmeloi de Newton qui s’écrit :

d#»p

dt=

#»F , où #»p est la quantité de mouvement du système.

Notons #»v le vecteur vitesse instantané du point M . Par définition :

#»p =m #»v .

Or, dans le cas qui nous intéresse, la masse est constante :

d#»p

dt=

d(m #»v )dt

=md#»v

dt.

La deuxième loi de Newton se réécrit donc sous la forme :

md#»v

dt=

#»F ,

ou encore,m #»a =

#»F ,

en introduisant le vecteur accélération instantanés #»a =d#»v

dt.

RemarqueDans la suite, on omettra souvent l’adjectif « instantané » pour qualifier les vecteurs vitesse et accéléra-tion.

2.2.2. Description du mouvement du point M sur un axe de direction constante

Le mouvement s’effectue uniquement le long de l’axe (O , #»ex ) de direction constante : le mouvement estdit rectiligne.

Dans le repère (O , #»ex ), repérons le point M par son abscisse xM . Le vecteur position s’écrit alors# »

O M =(xM − xO )

#»ex , soit :# »

O M = xM#»ex ,

l’abscisse xO du point O , origine du repère, étant nulle.

Le vecteur vitesse #»v du point M s’écrit, par définition :

#»v =d

# »

O M

dt.

Dans notre cas, on a successivement :

#»v =d(xM

#»ex )dt

=dxM

dt#»ex ,

puisque le vecteur #»ex est un vecteur constant. La composante vx du vecteur vitesse selon #»ex s’écrit donc :

vx =dxM

dt.

22


COUR

S

À retenir.

• La composante vx est une grandeur algébrique. Lorsque vx > 0, l’abscisse xM du point Mcroît au cours du temps tandis qu’elle décroît lorsque vx < 0.

• Une vitesse est homogène au rapport d’une longueur par un temps, ce qui se note :

dim vx =LT = LT−1.

L’unité de vitesse dans le système international est le mètre par seconde : [vx ] =m · s−1.

Le vecteur accélération #»a du point M s’écrit, par définition :

#»a =d#»v

dt.

Dans notre cas, on a :#»a =

d(vx#»ex )

dt=

dvx

dt#»ex .

La composante ax du vecteur accélération selon #»ex s’écrit donc :

ax =dvx

dt,

ou encore :

ax =d

dt

dxM

dt

=

d2 xM

dt 2,

oùd2 xM

dt 2est la dérivée seconde de xM par rapport au temps, c’est-à-dire la dérivée de la dérivée de xM .

À retenir.

• La composante ax est une grandeur algébrique. Lorsque ax > 0, la composante vx de la vitessedu point M croît au cours du temps, tandis qu’elle décroît lorsque ax < 0.

• Une accélération est homogène au rapport d’une longueur par un temps élevé au carré, ce quise note :

dim ax =LT2= LT−2.

L’unité d’accélération dans le système international est le mètre par seconde au carré : [ax ] =m · s−2.

2.2.3. Expression de la force de rappel en fonction de l’abscisse du point M

La loi de Hooke que nous avons énoncée à la section précédente s’écrit :#»F =−k (`− `0)

#»ex .

Or, il est possible d’expliciter la longueur du ressort selon :

`= ‖# »

O M ‖=Æ(xM − xO )2 =

qx 2

M = |xM |= xM ,

en tenant compte du fait que xM est nécessairement positif (le point M se situe « après » O quand on sedéplace sur l’axe (O , #»ex ) dans le sens de #»ex ). La longueur du ressort s’exprime donc très simplement enfonction de l’abscisse du point M :

`= xM .

23

Physique PCSI

Dès lors, on peut récrire la force de rappel du ressort sous la forme#»F = Fx

#»ex avec :

Fx =−k (xM − `0).

2.2.4. Équation différentielle vérifiée par l’abscisse du point M

Compte tenu de toutes les simplifications que nous avons établies précédemment, l’égalité vectorielledonnée par la deuxième loi de Newton peut se réduire à :

max = Fx ,

soit :

md2 xM

dt 2=−k (xM − `0),

soit :d2 xM

dt 2+

k

mxM =

k

m`0.

À retenir.

Cette égalité est une équation différentielle : elle lie la fonction du temps xM à sa dérivée seconded2 xM

dt 2. Elle est dite :

• du deuxième ordre (elle fait intervenir la dérivée seconde de la fonction xM ) ;• linéaire (l’un des membres de l’égalité est une somme dont chaque terme est constitué par lafonction xM ou une de ses dérivées, multipliée par un coefficient) ;

• à coefficients constants (les coefficients apparaissant dans la somme sont constants) ;• à second membre constant.

2.2.5. Pulsation propre

À retenir.

Il est commode d’introduire la grandeur ω0 appelée pulsation propre du système masse-ressort etdéfinie par :

ω0 =

√√ k

m.

Dans ces conditions, l’équation différentielle précédente se réécrit :

d2 xM

dt 2+ω2

0 xM =ω20`0.

Deux grandeurs physiques peuvent être additionnées à condition d’être homogènes, c’est-à-dire à condi-tion qu’elles aient la même dimension. Appliquons ce principe aux deux termes de l’addition :

dim

d2 xM

dt 2

= dim(ω2

0 xM ).

24


COUR

S

Or, d’une part,d2 xM

dt 2est une accélération, soit dim

d2 xM

dt 2

= LT−2 ; d’autre part :

dim(ω20 xM ) = (dimω0)

2 dim xM = (dimω0)2L.

Ainsi :dimω0 =T−1.

La pulsation propreω0 est donc homogène à l’inverse d’un temps. On verra que son unité est le radianpar seconde ([ω0] = rad · s−1), le radian étant une unité sans dimension.

2.2.6. Position d’équilibre

Un système mécanique occupe une position d’équilibre si sa vitesse et son accélération y sont nulles.Cherchons à l’aide de l’équation différentielle précédente la position d’équilibre xM ,e du point M . Enannulant l’accélération du point M , on obtient :

xM ,e = `0.

À retenir.

Le point M possède donc une seule position d’équilibre qui correspond à sa position lorsque le ressorta une longueur égale à sa longueur à vide.

2.2.7. Changement de variable : allongement du ressort

O M#»ex`0

`

0 x

Figure 1.6. Nouvelle origine du repère : repérage de la position du point M via l’allongement.

Posons x = xM −xM ,e , soit x = xM −`0. x est l’allongement du ressort. Réaliser ce changement de variablerevient à changer l’origine du repère en la plaçant de telle sorte qu’elle coïncide avec le point M lorsqu’ilse trouve dans sa position d’équilibre (voir figure 1.6).

À retenir.

L’allongement x = xM − xM ,e du ressort est une grandeur algébrique : si x > 0, le ressort est étiréet, si x < 0, le ressort est comprimé.

Remarquons ensuite quedxM

dt=

d(x + xM ,e )dt

=dx

dtpuisque xM ,e est une constante. De même,

d2 xM

dt 2=

d2(x + xM ,e )dt 2

=d2 x

dt 2.

25

Physique PCSI

2.2.8. Masse accrochée à un ressort : un oscillateur harmonique

Compte tenu du changement de variable précédent, l’équation différentielle se réécrit :

d2 x

dt 2+ω2

0(xM − xM ,e ) = 0, soit :d2 x

dt 2+ω2

0 x = 0.

Il s’agit toujours d’une équation différentielle du deuxième ordre, linéaire, à coefficients constants mais,cette fois, le second membre est nul.

À retenir.

d2 x

dt 2+ω2

0 x = 0 est l’équation différentielle qui caractérise un oscillateur harmonique (non amorti, enrégime libre).

2.3. Évolution du système au cours du temps2.3.1. Fonctions solutions de l’équation différentielle

Une manière de lire l’équation différentielle caractéristique de l’oscillateur harmonique est de dire quel’allongement x est une fonction qui est telle que sa dérivée seconde lui est proportionnelle. « Peu » defonctions présentent cette particularité : on peut songer aux fonctions exponentielles et aux fonctionssinus ou cosinus. Intuitivement, on s’attend à ce que le mouvement du point M soit oscillant autour desa position d’équilibre. On cherche donc x sous la forme d’une fonction périodique.

À retenir.

L’allongement s’exprime selon :x (t ) = A cos(ω0t +ϕ),

où :• A est une constante positive, homogène à une longueur (dim A = L), appelée amplitude de x ;• ϕ est une constante, comprise entre −π et π, sans dimension (dimϕ = 1), appelée phase àl’origine des temps de x .

La représentation graphique de cette fonction est donnée dans la figure 1.7.

À retenir.

t 7→ x (t ) est une fonction périodique de période T0, appelée période propre de l’oscillateur et définiepar :

T0 =2π

ω0.

Cela signifie que le mouvement se reproduit, identique à lui-même, au bout d’une durée multiple entièrede T0. T0 est homogène à un temps (dim T0 = T) et s’exprime en seconde dans le système international([T0] = s). On introduit également la fréquence propre f0 définie par :

f0 =1

T0=ω0

2π.

26


COUR

S

T0 2T0 3T0 4T0

−A

A

A cosϕT0

T0

0 t

x

Figure 1.7. Représentation graphique des variations de x en fonction de t , avec ϕ = −π/3.Le signe de la valeur de la dérivée à l’instant initial (−ω0A sinϕ) permet de savoir si la fonction

est « initialement » croissante ou décroissante.

f0 est homogène à l’inverse d’un temps (dim f0 =T−1) et s’exprime en hertz dans le système international([ f0] =Hz= s−1).

Montrons que cette fonction est bien solution de l’équation différentielle. Commençons par calculer sadérivée première :

dx

dt(t ) =−Aω0 sin(ω0t +ϕ).

Conseils méthodologiques

Il s’agit d’un cas particulier de dérivation d’une fonction composée. La notation de Leibniz de ladérivation d’une fonction est pratique pour retrouver rapidement le résultat général :

dx

dt(t ) = A

d[cos(ω0t +ϕ)]d(ω0t +ϕ)

d(ω0t +ϕ)dt

= Ad cos u

du

d(ω0t +ϕ)dt

,

en posant u =ω0t +ϕ. On en déduit :

dx

dt(t ) = A[−sin(u )]ω0 = A[−sin(ω0t +ϕ)]ω0 =−Aω0 sin(ω0t +ϕ).

Calculons ensuite sa dérivée seconde en dérivant sa dérivée première :

d2 x

dt 2(t ) =

d

dt

t 7→ −Aω0 sin(ω0t +ϕ)

(t ) =−Aω2

0 cos(ω0t +ϕ).

On constate que :

d2 x

dt 2(t ) +ω2

0 x (t ) =−Aω20 cos(ω0t +ϕ) +ω2

0A cos(ω0t +ϕ) = 0.

x (t ) = A cos(ω0t +ϕ) est donc bien solution de l’équation différentielle, quelles que soient les valeurs deA et de ϕ.

27

Physique PCSI

Remarques• Nous avons montré que les fonctions t 7→ A cos(ω0t +ϕ) étaient des solutions de l’équation diffé-

rentielle. Le cours de mathématiques montrera que ce sont les seules.• Il est fréquent en physique de confondre la notation d’une fonction avec la notation de sa valeur.

Par exemple, on notera très souvent A cos(ω0t +ϕ) au lieu de t 7→ A cos(ω0t +ϕ). Cela a pour butd’alléger les notations. La plupart du temps, selon le contexte, il n’y a pas d’ambiguïté sur la naturemathématique des objets manipulés.

−A

A

A cosϕ

0 t

x

0 T0

8

T0

4

3T0

8

T0

2

5T0

8

3T0

4

7T0

8

T0

`0

Figure 1.8. Évolution de la forme du ressort au cours d’une période du mouvement.

2.3.2. Conditions initialesReste à savoir quelle(s) valeur(s) donner aux constantes A etϕ afin que la fonction x décrive correctementl’évolution de l’allongement du ressort en fonction du temps.

À retenir.

Les valeurs de A et de ϕ sont imposées par la donnée de conditions initiales, c’est-à-dire, dans notre

cas, par la donnée de l’allongement initial x (0) et de la vitesse initialedx

dt(0).

Posons x (0) = x0 etdx

dt(0) = v0 (ces deux grandeurs sont algébriques). Pour que la fonction x (t ) = A cos(ω0t+

ϕ) convienne, il faut que :(x (0) = A cosϕ = x0

dx

dt(0) =−Aω0 sinϕ = v0

soit

(A cosϕ = x0

A sinϕ =− v0

ω0

.

Expression de l’amplitude A

Pour déterminer l’expression de A, sommons les égalités précédentes élevées au carré :

A2 cos2ϕ+A2 sin2ϕ = x 20 +

− v0

ω0

2

,

28


COUR

S

soit, en utilisant l’identité cos2ϕ + sin2ϕ = 1, A = ±√√√

x 20 +

v 20

ω20

. Conformément à sa définition, nous ne

retenons que la valeur positive de l’amplitude :

A =

√√√x 2

0 +v 2

0

ω20

.

Expression de la phase à l’origine des tempsϕ

La phase ϕ est l’angle, compris entre −π et π, qui vérifie :

cosϕ =x0Æ

x 20 + (v0/ω0)2

sinϕ =− v0/ω0Æx 2

0 + (v0/ω0)2

RemarqueUne expression explicite de ϕ est possible mais elle utilise un outil mathématique hors programme : lafonction arctan (notée tan−1 sur les calculatrices). On montre que, pour x0 6= 0 :

ϕ =−arctanv0

x0ω0+

0 si x0 > 0

π si x0 < 0 et si −v0 ¾ 0

−π si x0 < 0 et si −v0 ¶ 0

.

Si x0 = 0, cosϕ = 0, ce qui implique que ϕ =±π2

. On a alors ϕ =π

2, si v0 < 0 et ϕ =−π

2, si v0 > 0.

2.3.3. Quelques conditions initiales particulières

•x0 > 0 et v0 = 0 :

x (t ) = A cos(ω0t +ϕ) est solution de l’équation différentielle. Les conditions initiales imposent :

x (0) = A cosϕ = x0

dx

dt(0) =−ω0A sinϕ = 0

Dans ces conditions, sinϕ = 0, ce qui implique que ϕ = 0 ou ϕ = ±π. Or, x0 > 0, ce qui impose quecosϕ > 0. Donc ϕ = 0. On en déduit que x0 = A cos 0= A. Finalement :

x (t ) = x0 cos(ω0t ).

29

Physique PCSI

Exemple

Déterminons l’expression de x (t ) pour x0 < 0 et v0 = 0.La situation est la même que précédemment : sinϕ = 0, ce qui implique que ϕ = 0 ou ϕ = ±π.Or, x0 < 0, ce qui impose que cosϕ < 0. Donc ϕ = ±π (le signe est au choix). On en déduit quex0 = A cos(±π) =−A. Finalement :

x (t ) =−x0 cos(ω0t ±π).

T0 2T0 3T0 4T0

−x0

x0

0 t

x

Figure 1.9. Représentation graphique de x (t ) pour x0 > 0et v0 = 0.

T0 2T0 3T0 4T0

x0

−x0

0 t

x

Figure 1.10. Représentation graphique de x (t ) pour x0 <0 et v0 = 0.

•x0 = 0 et v0 > 0 :

x (t ) = A cos(ω0t +ϕ) est solution de l’équation différentielle. Les conditions initiales imposent :

x (0) = A cosϕ = 0

dx

dt(0) =−ω0A sinϕ = v0

Dans ces conditions, cosϕ = 0, ce qui implique queϕ =±π2

. Or, v0 > 0, ce qui impose que sinϕ < 0. Donc

ϕ =−π2

. On en déduit que A =− v0

ω0 sin(−π/2) = +v0

ω0. Finalement :

x (t ) =v0

ω0cos

ω0t − π

2

=

v0

ω0sin(ω0t ).

À retenir.

Profitons de cet exemple pour rappeler que la représentation graphique de x donne également des

informations sur sa dérivéedx

dt, qui n’est rien d’autre que la vitesse vx du point M . En effet, le

nombre dérivé possède une interprétation graphique : il s’agit du coefficient directeur (ou pente) dela tangente.

30


COUR

S

Sur la figure 1.11, nous avons placé en quelques points un skieur dont les skis sont parallèles à la tangente.Lorsque la pente de la tangente (la vitesse) est positive, le skieur remonte la piste de ski à l’aide d’un téléski

. Lorsque la pente de la tangente (la vitesse) est négative, le skieur descend la piste . Lorsque lapente (la vitesse) est nulle, le skieur est à l’horizontale. Plus la pente est élevée en valeur absolue, plus lavitesse est grande en valeur absolue.

T0

− v0

ω0

v0

ω0

0 t

x

Figure 1.11. Représentation graphique de x (t ) pour x0 = 0 et v0 > 0. Le skieur remontant lapente indique une vitesse positive, le skieur descendant la pente indique une vitesse négative.

2.3.4. Expressions alternatives des solutions de l’équation différentielle

Nous avons privilégié l’écriture des solutions de l’équation différentielle sous la forme x (t ) = A cos(ω0t +ϕ), mais il est également possible de les écrire sous trois formes équivalentes suivantes :

• x (t ) = A sin(ω0t +ϕ′) où A etϕ′ sont respectivement l’amplitude et la phase à l’origine des temps ;• x (t ) =λcos(ω0t ) +µsin(ω0t ) où λ et µ sont des constantes réelles ;• x (t ) =αeiω0 t +βe−iω0 t où α et β sont des constantes complexes.

Selon le contexte, il sera plus ou moins avantageux, d’un point de vue calculatoire, de choisir telle ou telleexpression de x .

2.3.5. Intégration numérique de l’équation différentielle

Le problème qui nous occupe ici présente la particularité de posséder une solution analytique explicite.C’est loin d’être toujours le cas. Aussi, le physicien a souvent recours à l’outil informatique afin d’obte-nir une solution numérique et de la représenter graphiquement. Nous présentons ici un script écrit enPython permettant de résoudre l’équation différentielle numériquement. Il sera possible de l’adapterdans des contextes moins simples.

RemarqueLe lecteur ne cherchera pas, dans un premier temps, à rentrer dans le détail du code mais à s’en servircomme d’une base avec laquelle il sera judicieux de « jouer ».

31

Physique PCSI

Script Python

# -*- coding: utf-8 -*-import numpy as npimport scipy as spimport matplotlib.pyplot as plt# La bibliothèque integrate de scipy fournit une fonction odeint qui# permet de résoudre numériquement une équation différentielle.from scipy.integrate import odeint# Définition de l’équation différentielle sous la forme imposée par odeint.# w est une liste de deux éléments (dans notre cas) qui contient, dans l’ordre,# les valeurs précédentes de x et de v.# t est la date de l’instant où l’on souhaite calculer x et v.def eqdiff(w,t):

x, v = w# dx/dt = v# dv/dt = -omega0**2 * xreturn [v, -omega0**2 * x]

# Periode propre (en s)T0 = 1.# Pulsation propre (en rad/s)omega0 = 2 * np.pi / T0# Conditions initiales (x en m, v0 en m/s)x0, v0 = -0.25, -0.5# Paramètres pour l’intégrateur numérique d’équations différentielles# (ode solver: ordinary differential equations solver)# datefin : date de l’instant d’arrêt de l’intégration (en s)# numpoints : nombre de points où seront calculées les valeurs de x et de vdatefin, numpoints = 10.0, 250# t : tableau des dates où seront calculées les valeurs de x et de v# Il s’agit d’un découpage uniforme de l’intervalle [0, datefin]# réalisé à l’aide de linspace.t = np.linspace(0, datefin, numpoints)# Les conditions initiales doivent être fournies sous la forme d’une listew0 = [x0, v0]# Appel à la fonction odeintwsol = odeint(eqdiff, w0, t)# A la fin de l’appel, wsol est un ndarray à deux dimensions.# wsol[:,0] contient les valeurs calculées de x aux différentes dates t# wsol[:,1] contient les valeurs calculées de v aux différentes dates tx = wsol[:,0]; v = wsol[:,1]# Il ne reste plus qu’à tracer les deux courbes.plt.plot(t, x, ’k-’, label = ’x (m)’)plt.plot(t, v, ’k--’, label = ’v (m/s)’)plt.legend()plt.xlabel(’t’)plt.show()

3. Aspect énergétique3.1. À propos de l’énergieL’énergie est une grandeur omniprésente en physique. Il est pourtant bien difficile d’en donner une défi-nition. Dans le cadre de ce chapitre introductif, retenons les choses suivantes.

32


COUR

S

Figure 1.12. Fenêtre ouverte par le script Python représentant les variations de x et de ven fonction du temps. Les valeurs ont été obtenues par intégration numérique de l’équation

différentielle.

À retenir.

• L’énergie est une grandeur physique associée à l’état d’un système : c’est un attribut du sys-tème.

• L’énergie est une grandeur conservative. Cela signifie que l’énergie ne peut être ni créée, nidétruite. Elle ne peut être qu’échangée par transfert entre un système et un autre.

• Il existe différents types d’énergie. Citons l’énergie cinétique Ec , l’énergie potentielle Ep , l’éner-gie mécanique Em , l’énergie interne U , etc.

• Il existe deux types de transfert d’énergie : le travail, qui peut être mécanique, électrique,magnétique, chimique... et le transfert thermique.

• La variation E(B )−E(A) de l’énergie E d’un système entre deux états A et B , notée ∆A→BE,résulte nécessairement d’un échange d’énergie avec l’extérieur du système par transfert :

∆A→BE=WA→B +QA→B ,

où WA→B est l’énergie reçue par le système par travail et QA→B est l’énergie reçue par lesystème par transfert thermique.

RemarqueÀ la variation de l’énergie, notée à l’aide de l’opérateur ∆, correspond un transfert noté sans ∆. Cetteremarque de notation est très importante et sera sans cesse évoquée au cours de deux années de classespréparatoires.

3.2. Évolution de l’énergie mécanique du systèmemasse-ressort

Revenons au mouvement qui nous intéresse dans ce chapitre.

À retenir.

Le système constitué par le point M et le ressort (on parle de système masse-ressort) possède :• Une énergie due à sonmouvement que l’on appelle énergie cinétique et qui vaut, par définition :

Ec =1

2m v 2.

• Une énergie due à la déformation du ressort que l’on appelle énergie potentielle élastique et

33

Physique PCSI

qui vaut, par définition,Ep ,e =

1

2k (`− `0) =

1

2k x 2.

RemarqueLa dimension d’une énergie (quelle qu’elle soit) se détermine facilement par la formule définissant l’éner-gie cinétique :

dimE= dim

1

2m v 2

= dim m (dim v )2 =M(LT−1)2 =ML2T−2.

L’unité d’énergie est le joule ([E] = J = kg ·m2 · s−2).

L’énergie mécanique Em du système masse-ressort s’écrit, par définition :

Em = Ec +Ep ,e ,

soit :

Em =1

2m v 2+

1

2k x 2.

En utilisant les expressions de x et de v établies précédemment, on a :

Em =1

2m [−ω0A sin(ω0t +ϕ)]2+

1

2k [A cos(ω0t +ϕ)]2,

soit, en se rappelant queω0 =

√√ k

m:

Em =1

2m

k

mA2 sin2(ω0t +ϕ) +

1

2k A2 cos2(ω0t +ϕ) =

1

2k A2.

À retenir.

On constate que l’énergie totale du système masse-ressort est une constante au cours du temps (voirfigure 1.13). Sa valeur est imposée par les conditions initiales :

Em =1

2m v 2

0 +1

2k x 2

0 .

RemarqueL’énergie totale d’un système ne peut varier que s’il y a échange d’énergie avec l’extérieur du système. Ily a deux possibilités pour que l’énergie totale reste constante : soit il n’y a pas d’échange d’énergie avecl’extérieur, soit il y a des échanges qui se compensent. Nous montrerons dans un chapitre ultérieur que,dans le cas considéré ici, il n’y a pas d’échange d’énergie avec l’extérieur.

4. Validation expérimentaleLe système que nous avons considéré dans ce chapitre est un système modèle. En appliquant les lois dela physique, nous avons prédit son mouvement. Afin de valider expérimentalement cette prédiction, ilest nécessaire de construire un système physique réel s’approchant au plus du système modélisé et deréaliser des mesures sur celui-ci.

34


COUR

S

T0

1

2k A2

1

2k A2 cos2ϕ

0 t

Em

Ec

Ep

Figure 1.13. Évolution temporelle des énergies cinétique et potentielle élastique : la somme deces énergies est une constante.

La construction d’un système masse-ressort ne présente pas beaucoup de difficultés. Ce qui est moinsaisé, en revanche, c’est de faire en sorte que les frottements soient négligeables. Une méthode consisteraità réaliser l’expérience sur une surface glissante comme de la glace. En laboratoire, on préfère simulerl’absence de frottement en utilisant un dispositif soufflant de l’air sous l’objet : on parle de banc à coussind’air. Le dispositif utilisé est photographié dans la figure 1.14 : la position du mobile est repérée à l’aided’une fourche optique. L’évolution de la position, mesurée en fonction du temps, est représentée dans lafigure 1.15.

Figure 1.14. Dispositif expérimental.

2 4 6

−2 ·10−2

2 ·10−2

0 t (s)

x (m)

Figure 1.15. Nuage de points correspondant à l’acqui-sition de la position du mobile de masse m = 75±1 g àdifférents instants de dates régulièrement espacées (rai-

deur du ressort : k = 0,9±0,1 N ·m−1).

On constate qualitativement que le mouvement du mobile est bien oscillant. Afin de vérifier quantita-tivement la compatibilité entre le modèle prévoyant une loi horaire de la forme x (t ) = A cos(ω0t +ϕ)et l’expérience, on peut utiliser un logiciel de modélisation. Le logiciel fournit A = 23,8±0,3 mm, ω0 =202,5±0,2 ° · s−1 et ϕ = 212,3±0,9° et donne un « écart expérience-modèle » de 8, 6 %, ce qui est accep-

35

Physique PCSI

Figure 1.16. Capture d’écran du logiciel de modélisation(Regressi) : le modèle est en trait plein.

10 20 30

−2 ·10−2

2 ·10−2

0 t (s)

x (m)

Figure 1.17. Nuage de points correspondant à une acqui-sition plus longue.

table. La valeur attendue deω0 est :

√√ 0, 9

75 ·10−3 = 3,5±0,4 rad · s−1 = 2,0±0,3 ·102 ° · s−1 (l’incertitude sur

cette grandeur a été calculée à partir des incertitudes sur les valeurs de k et de m). Elle est compatibleavec la valeur donnée par le logiciel de modélisation. On peut donc conclure que la prédiction du modèleest compatible avec l’expérience.

Poussons la curiosité jusqu’à observer ce qu’il se passe pour une expérience de durée plus longue (voirfigure 1.17). Cette fois, pas besoin de logiciel de modélisation, il suffit de regarder qualitativement l’alluredu nuage de points pour conclure qu’une modélisation par une fonction sinusoïdale ne conviendra pas.Le modèle élaboré dans ce chapitre ne sera donc pas compatible avec une expérience de durée pluslongue : il faudra l’adapter en tenant compte, par exemple, des forces de frottements. C’est ce que nousferons dans un chapitre ultérieur.

5. En guise de conclusion : une approche de laméthode du physicien

La physique est une science expérimentale qui repose sur des allers-retours constants entre théorie etexpérimentation. Ces interactions peuvent grosso modo se répartir en trois niveaux de conceptualisationet d’abstraction.

Approche qualitative Des phénomènes naturels sont observés et identifiés. L’expérimentation joue unrôle d’investigation et d’exploration en recensant les propriétés qualitatives des phénomènes. Lesmodèles permettent éventuellement d’identifier des phénomènes en se fondant sur des théoriesdéjà connues et permettent de concevoir et d’interpréter les expériences.

Approche quantitative Les propriétés observées et leurs corrélations suggèrent des relations entre pro-priétés. L’expérience permet d’élaborer des modèles en mesurant quantitativement les propriétésdes phénomènes observés.

Approche théorique L’interprétation des phénomènes est généralisée à d’autres phénomènes semblables(éventuellement pas encore observés). La théorie guide l’expérience. Les expériences jouent le rôlede justification a posteriori de la théorie, testent la validité de la prédiction du modèle et prouventl’existence d’objets prédits par la théorie.

36

FICHE

SYNTHÈSELoi de Hooke

La force de rappel qu’un ressort exerce sur le point M est donnée par la loi de Hooke :#»F =−k (`− `0)

#»ex ,

où k est la raideur du ressort, `0 sa longueur à vide, ` sa longueur et #»ex un vecteur unitaire orientéde l’autre extrémité du ressort vers le point M .

Dans le cas d’un point matériel de masse constante se déplaçant le long d’un axe (O , #»ex ), la deuxième loide Newton s’écrit simplement :

md2 xM

dt 2= Fx ,

où xM est l’abscisse du point M et Fx la composante (algébrique) selon #»ex de la résultante des forcess’exerçant sur M .

Pulsation, période et fréquences propres du système masse-ressort

La pulsation propre ω0 associée au mouvement d’une masse m accrochée à un ressort de raideurk vaut :

ω0 =

√√ k

m.

On définit aussi la période propre T0 =2π

ω0et la fréquence propre f0 =

ω0

2π.

La position d’équilibre d’un point M accroché à un ressort horizontal et ne subissant pas de frottementcorrespond à la position qu’il occupe lorsque le ressort n’est ni comprimé ni étiré. L’allongement x duressort est l’écart (algébrique) à cette position d’équilibre.

Équation différentielle de l’oscillateur harmonique

Le système masse-ressort horizontal non amorti est un oscillateur harmonique. L’allongement x estsolution de l’équation différentielle :

d2 x

dt 2+ω2

0 x = 0,

que l’on obtient à l’aide de la deuxième loi de Newton.

37

Solutions de l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique

Les solutions de l’équation différentielle sont de la forme :x (t ) = A cos(ω0t +ϕ),

où A est l’amplitude (positive) du mouvement et ϕ la phase à l’origine du temps.Les valeurs de A et de ϕ sont déterminées en utilisant les conditions initiales, c’est-à-dire les valeursde x et de v à l’instant de date t = 0.

Aspect énergétique du système masse-ressort horizontal

L’énergie mécanique Em du système masse-ressort horizontal est la somme de son énergie cinétiqueEc =

1

2m v 2 et de son énergie potentielle élastique Ep ,e =

1

2k x 2.

L’énergie mécanique est constante au cours du mouvement.

38

EXERCICESEXERCICESEXERCICESVrai ou faux ?

Vrai Faux

a) La force de rappel exercée par un ressort est constante.

b) Considérons le schéma suivant représentant une force#»F .

#»ex

#»F = Fx

#»ex

On a : Fx < 0.

c) La pulsation propre d’un système masse-ressort est définie par

ω0 =

√√ k

m.

d) L’équation différentielle d’un oscillateur harmonique s’écrit :dx

dt+ω0 x = 0.

e) La solution générale de l’équation différentielle vérifiée par unoscillateur harmonique peut s’écrire sous la formex (t ) = A sin(ω0t +ϕ).

f) Si x (0) = x0 et v (0) = 0, avec x0 < 0, alors l’allongement du ressort peuts’écrire sous la forme x (t ) = x0 cos(ω0t ).

g) La position d’un point M accroché à un ressort est donnée par

xM (t ) = `0 +A sin

2π f0t +π

3

. Cela revient à la même chose d’écrire

xM (t ) = `0 +A cos

2πt

T0+π

3

.

h) Si l’amplitude du mouvement d’un système masse-ressort estmultipliée par deux, son énergie mécanique est multipliée par quatre.

Exercices d’application du chapitre 1

Exercice 1 Voir plus loin « Aide à la résolution » 5 min.On considère un système masse-ressort. On adopte les notations de la figure 1.6. On note x l’allongementet #»a = ax

#»ex l’accélération du mobile. Représenter graphiquement les variations de ax en fonction de x .

39

EXER

CICES

Physique PCSI

Exercice 2 Voir plus loin « Aide à la résolution » 15 min.Un dispositif a réalisé l’acquisition de l’allongement d’un ressort au cours du temps. Les résultats sontprésentés graphiquement dans la figure 1.18.

0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4

−5

0

5

P1

P2

P3

P4

t (min)

x(c

m)

Figure 1.18. Évolution temporelle de la position d’un oscillateur.

1. On cherche à exprimer l’allongement sous la forme x (t ) = A sin(2π f0t +ϕ). Déterminer graphique-ment les valeurs numériques de A, f0 et ϕ.

2. Représenter le système masse-ressort aux instants correspondant aux points P1, P2, P3 et P4. Repré-senter qualitativement les vecteurs vitesse et accélération.

Exercice 3 Voir plus loin « Aide à la résolution » 15 min.Un système masse-ressort a un mouvement dont l’amplitude est de 12,3±0,5 cm et la période de 1,2±0,1 s.À l’instant de date t1, on mesure son énergie cinétique et son énergie potentielle. On trouve Ec (t1) =1,2±0,1 ·10−1 J et Ep ,e (t1) = 4,2±0,1 ·10−1 J. Les incertitudes données sont les estimations de type B desincertitudes-types sur les grandeurs, associées à une loi rectangulaire de densité de probabilité. Détermi-ner les meilleures estimations de la masse et de la constante de raideur ainsi que l’intervalle de confianceà 95 % associé. On pourra se servir du logiciel gum_mc, téléchargeable gratuitement à l’adresse http://jeanmarie.biansan.free.fr/gum_mc.html.

Exercices d’approfondissement du chapitre 1

Exercice A Voir plus loin « Aide à la résolution » 10 min.La figure 1.19 présente l’astronaute Tamara Jernigan en train d’utiliser un BMMD (Body Mass Measu-rement Device) au cours d’une mission en orbite autour de la Terre. Il s’agit essentiellement d’un siègepouvant se translater vers l’avant ou vers l’arrière et lié au bâti par des ressorts. Quel est l’intérêt d’un teldispositif ? On pourra consulter avec profit la page du site du CNES suivante : https://cnes.fr/fr/quest-ce-que-limpesanteur.

Exercice B Voir plus loin « Aide à la résolution » 5 min.L’élongation x d’un ressort est donnée (en centimètres) par : x (t ) = 5, 0 cos(2π× 0, 5× t )− 3, 2 sin(2π×0, 5× t ), où t est en secondes.

40


Figure 1.19. Tamara Jernigan assise dans son BMMD.

1. Quelle est la fréquence du mouvement ?2. Déterminer les expressions de la vitesse vx et de l’accélération ax .

Exercice C Voir plus loin « Aide à la résolution » 15 min.On dispose au laboratoire d’un ensemble de masses marquées et d’un ressort, dont on cherche à déter-miner la raideur k . Proposer un protocole permettant de mesurer k en exploitant l’équilibre vertical dusystème masse-ressort.

Exercice D Voir plus loin « Aide à la résolution » 30 min.

#»ex

−L/2 L/2−`/2 `/20

GM1 M2

O1

O2

`

L

a. Schématisation du dispositif à l’équilibre.

#»ex

−L/2 L/2xG − `/2 xG + `/2xG

0

GM1 M2

O1

O2

`1 ` `2

L

b. Schématisation du dispositif.

Figure 1.20. Masse accrochée à deux ressorts.

On considère le dispositif constitué par un mobile de masse m = 51 g, posé sur un banc à « coussin d’air »et accroché à deux points fixes O1 et O2 par l’intermédiaire de deux ressorts R1 et R2 de caractéristiquesidentiques. On note k leur raideur et `0 leur longueur à vide. Lorsque la soufflerie du banc à coussind’air est en fonctionnement, on admet que tout se passe comme si le mobile n’était soumis qu’à l’actionmécanique des ressorts. Le mouvement du mobile est rectiligne selon la direction

# »

O1O2.

Les notations sont introduites sur les schémas des figures 1.20a et 1.20b. On repère la position du mobilepar la position de son centre d’inertie G . L’origine du repère est prise lorsque le point G se trouve aumilieu du banc, les ressorts ayant alors la même longueur (voir figure 1.20a).

1. a. Exprimer la force#»F1 exercée par le ressort R1 sur le mobile en fonction de `1, `0, k et #»ex . En

déduire son expression en fonction de k , xG , `, L , `0 et #»ex .

41

EXER

CICES

Physique PCSI

b. Exprimer de même la force#»F2 exercée par le ressort R2 sur le mobile en fonction de `2, `0, k

et #»ex . En déduire son expression en fonction de k , xG , `, L , `0 et #»ex .2. Montrer que l’équation différentielle vérifiée par xG peut s’écrire sous la forme :

d2 xG

dt 2+ω2

0 xG =ω20 xG ,e .

On précisera les expressions deω0 et de xG ,e .3. a. Montrer que la fonction xG (t ) = A cos(ω0t ) + B sin(ω0t ), où A et B sont deux constantes

réelles, est solution de l’équation différentielle. Préciser la dimension de A et de B .

b. On pose xG (0) = x0 etdxG

dt(0) = v0. Déterminer les expressions de A et de B en fonction de x0,

v0 et/ouω0. Vérifier la dimension de B .4. On admet que l’énergie potentielle élastique associée au système constitué par le mobile et les

deux ressorts peut s’écrire :Ep = k x 2

G .

Montrer que l’énergie mécanique du système est constante et exprimer cette constante en fonctionde x0, v0, m et k .

1 2 3

−5 ·10−2

5 ·10−2

0 t (s)

xG (m)

Figure 1.21. Variation de la position du mobile au coursdu temps.

0, 5 1 1, 5 2

−0, 4

−0, 2

0, 2

0, 4

F1

F2

F

0 t (s)

(N)

Figure 1.22. Variations des forces et de leur résultanteau cours du temps.

5. Les figures 1.21 et 1.22 présentent certaines mesures effectuées au cours de l’acquisition ou qui ensont déduites.

a. Déterminer graphiquement les valeurs de x0 et de T0.b. En déduire une mesure de la raideur des ressorts.c. On note

#»F1 = F1

#»ex ,#»F2 = F2

#»ex ,#»F =

#»F1+

#»F2 = F #»ex . La figure 1.22 présente l’évolution de F1, F2 et

F au cours de l’acquisition.Déterminer l’abscisse de la position d’équilibre. Pour quelle raison le mobile ne reste-t-il pasdans sa position d’équilibre lorsqu’il y passe ?

d. Sur un schéma, positionner le mobile, les ressorts et en représenter les vecteurs-force#»F1 et

#»F2

à l’instant de date 0,5 s. On ne tiendra compte que du signe de xG et pas de sa valeur précise. Onintroduira une échelle de représentation des vecteurs force. Représenter, sans souci d’échelle,les vecteurs vitesse et accélération (on précisera la méthode utilisée pour déterminer le sensde ces vecteurs).

e. La figure 1.23 présente l’évolution de l’abscisse du point G sur un intervalle de temps pluslong.

i. Qu’observe-t-on ? Comment peut-on le justifier ?

42


2 4 6 8 10

−5 ·10−2

5 ·10−2

0 t (s)

xG (m)

Figure 1.23. Évolution au cours du temps de l’abscisse xG du point G sur un intervalle de 10 s.

ii. Le logiciel de traitement de données propose la modélisation suivante :

xG (t ) = e−t /τ[A cos(ω0t ) +B sin(ω0t )].

Conclure quant à la validité du modèle choisi dans ce problème pour décrire la situationexpérimentale envisagée.

43

EXER

CICES

AIDE À LA RÉSOLUTIONDES EXERCICES



Exercices d’application du chapitre 1Exercice 1Il s’agit d’écrire l’équation différentielle vérifiée par x et d’utiliser la définition du vecteur accélération.

Exercice 2La figure donne accès à une mesure graphique de la période et de l’amplitude de x (t ). Le signe et la valeurde la vitesse s’obtient à l’aide des tangentes au graphe de x en fonction de t . L’accélération est liée defaçon simple à la position (voir l’exercice 1).

Exercice 3L’énergie mécanique s’exprime en fonction de k et de A. La meilleure estimation d’une grandeur est appe-lée « Estimateur » dans gum_mc. Consulter l’aide à la page : http://jeanmarie.biansan.free.fr/telechargement/lazarus/gum_mc/aide/Aide_GUM_MC.html.

Exercices d’approfondissement du chapitre 1Exercice APenser à une méthode indirecte de mesure de la masse.

Exercice BLa solution x (t ) de l’équation différentielle peut s’exprimer de plusieurs façons, en particulier sous laforme x (t ) = A cos(ω0t ) +B sin(ω0t ). Attention aux unités.

Exercice CL’équilibre vertical impose la prise en compte du poids de la masse. La position d’équilibre du systèmemasse-ressort est modifiée par rapport à celle du cours. L’exploitation d’un nuage de points expérimen-taux s’effectue souvent à l’aide d’une régression linéaire.

Exercice DAttention à l’orientation du ressort fixé en O2 : vérifier physiquement l’expression proposée de

#»F2.

44

CORRIGÉS

CORR

IGÉS

Corrigés des Vrai/Fauxa) Faux. La force de rappel exercée par un ressort est une fonction affine de sa longueur (ou une fonctionlinéaire de son allongement).

b) Faux.#»F a le même sens que #»ex : Fx > 0.

c) Vrai.

d) Faux. L’équation différentielle d’un oscillateur harmonique est du deuxième ordre :d2 x

dt 2+ω2

0 x = 0.

e) Vrai.

f) Vrai. Néanmoins on préfère prendre une amplitude positive et introduire un déphasage : x (t ) =−x0 cos(ω0t±π).

g) Faux. Cela revient au même d’écrire xM (t ) = `0+A sin

2πt

T0+π

3

ou bien xM (t ) = `0+A sin

2π f0t +

π

3

.

h) Vrai. L’énergie mécanique est proportionnelle à l’amplitude du mouvement au carré.

Corrigés des exercices d’applicationdu chapitre 1

Exercice 1La deuxième loi de Newton appliquée à la masse s’écrit m #»a =

#»F où

#»F =−k (`−`0)

#»ex =−k x #»ex . Le mouve-

ment étant rectiligne, on a #»a = ax#»ex . Ainsi, max =−k x , soit ax =−

k

mx , soit, en introduisant la pulsation

propre :ax =−ω2

0 x .

On en déduit que ax : x 7→ −ω20 x est une fonction linéaire de x de pente −ω2

0. Voir la figure 1.24 pour sareprésentation graphique.

Exercice 21. On mesure, sur la figure 1.25, 2T0 = 0, 42− 0, 02 = 0,40 min, soit T0 = 0,20 min = 12 s et 2A = 8− (−8) =

16 cm, soit A = 8 cm. On en déduit f0 =1

T0, soit f0 = 8,3 ·10−2 Hz. À l’instant initial, x (0) = 6 cm. Or, x (0) =

A sinϕ, soit sinϕ =x (0)

A=

6

8=

3

4.

2. Voir les figures 1.26.

45

Physique PCSI

−ω20

0 x

ax

Figure 1.24. Variations de ax en fonction de x .

0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4

−5

0

5

P1

P2

P3

P4

2T0

2A

t (min)

x(c

m)

Figure 1.25. Détermination graphique des paramètresde l’oscillateur harmonique.

O M

0x#»v

#»a

a. Position P1.

O M

0x

#»v #»a

b. Position P2.

O M

0 x

#»v#»a

c. Position P3.

O M

0 x#»v

#»a

d. Position P4.

Figure 1.26. Vecteurs vitesse et accélération pour différentes positions de la masse.

Exercice 3L’énergie mécanique du système masse-ressort est constante. On a montré que Em =

1

2k A2. Or, par défi-

nition, Em = Ec + Ep ,e . On en déduit que k =2[Ec (t1) +Ep ,e (t1)]

A2. Par ailleurs, T0 =

2π

ω0= 2π

sm

k, soit

m =k T 2

0

4π2. Afin de déterminer les meilleures estimations ainsi que les incertitudes associées, on utilise le

logiciel gum_mc. Il donne k = 7±2 ·101 N ·m−1 et m = 2,6±0,1 kg.

Corrigés des exercices d’approfondissementdu chapitre 1

Exercice AL’astronaute se trouvant en orbite autour de la Terre est en impesanteur : l’utilisation d’une balance afinde mesurer la masse est impossible. Le BMMD permet de mesurer indirectement la masse en mesurant

la période des oscillations du système astronaute-siège-ressorts : T0 =2π

ω0= 2π

pmk , soit m =

k T 20

4π.

46

CORR

IGÉS


Exercice B1. L’allongement est exprimé sous la forme x (t ) = λcos(2π f t ) + µsin(2π f t ). Par identification, on af = 0,5 Hz (t étant en secondes).

2. La vitesse est la dérivée première de la position : vx =dxM

dt. Or, la position est égale, à une constante

additive près s’annulant après dérivation, à l’élongation : xM = `0+ x . Donc, vx (t ) =dx

dt(t ) =−5, 0×2π×

0, 5 sin(2π×0, 5× t )−3, 2×2π×0, 5 cos(2π×0, 5× t ) =−5, 0πsin(2π×0, 5× t )−3, 2πcos(2π×0, 5× t ) (enm · s−1).L’accélération est la dérivée seconde de la position, ce qui correspond à la dérivée première de la vitesse :

ax =dvx

dt. Ainsi, ax (t ) =−5, 0π2 cos(2π×0, 5× t ) +3, 2π2 sin(2π×0, 5× t ) (en m · s−2).

RemarqueIl est aussi possible de remarquer que, d’une part, ω0 = 2π× 0, 5 (en rad · s−1) et, d’autre part, que ax =−ω2

0 x d’après la deuxième loi de Newton. Ainsi, ax =−(2π×0, 5)2[5, 0 cos(2π×0, 5×t )−3, 2 sin(2π×0, 5×t )](en m · s−2). On retrouve bien entendu le même résultat.

Exercice C

#»P

#»F

Figure 1.27. Schéma du montage.

0, 1 0, 2 0, 3

−2

−1

0 `(m)

Fz (N)

Figure 1.28. Nuage de points de mesures (les incerti-tudes sont matérialisées par des « barres d’erreur ») et

modélisation.

On réalise le montage de la figure 1.27. L’une des extrémités du ressort est attachée à une potence. Onattache à l’autre extrémité différentes masses marquées de masse (mi )1¶i¶N (on dispose de N masses).Pour chaque masse, on mesure à l’aide d’un réglet la longueur `i du ressort lorsque le système est àl’équilibre. On obtient un ensemble de couples de mesures (`1, m1), . . . , (`N , mN ) (et les incertitudesassociées).

À l’équilibre, d’après la première loi de Newton appliquée à la masse marquée indexée par i , on a#»Fi +

#»Pi =

#»0 , où

#»Fi est la force de rappel du ressort et

#»Pi =mi g #»ez est le poids de la masse marquée. On en déduit que

#»Fi =−#»

Pi =−mi g #»ez . Notons Fz ,i la composante de#»Fi selon #»ez :

#»Fi = Fz ,i

#»ez . On a alors Fz ,i =−mi g . On peutdonc obtenir, à l’aide des mesures, un ensemble de couples (`1, Fz ,1), . . . , (`N , Fz ,N ) (et les incertitudesassociées).

On reporte ces valeurs dans un logiciel de modélisation (par exemple, Regressi). On cherche une modéli-sation de la forme F (`) =−k (`−`0) (il s’agit d’une régression linéaire), les paramètres k et `0 étant ajustéspar le logiciel de modélisation.

47

Physique PCSI

Nous donnons ci-dessous un exemple de réalisation.Le réglet dont on dispose est gradué par pas de 1 mm. Donc l’estimation de type B de l’incertitude-

type sur une mesure d’abscisse est1 mmp

12= 0,3 mm. Mesurer une longueur revient à mesurer une dif-

férence d’abscisses : l’incertitude-type sur cette différence s’obtient en sommant quadratiquement lesincertitudes-types :

p0, 32+0, 32 = 0,4 mm. L’incertitude élargie correspondant à un intervalle de confiance

à 95 % s’obtient en multipliant l’incertitude-type précédente par un facteur 2 : 2× 0, 4 = 0,8 mm. La tolé-rance sur les masses est renseignée par le constructeur : nous disposons de masses dont la tolérance estde 5 % sur la masse. Cela implique une estimation de type B de l’incertitude-type sur une masse mi de la

forme5 %×mp

3et une incertitude élargie égale à 2

5 %×mp3

pour un intervalle de confiance à 95 %.

Tableau 1.2. Mesure statique de la raideur d’un ressort.

1 2 3 4 5mi (g) 10,0±0,6 20,0±1,2 50±3 100±6 200±12`i (cm) 13,20±0,08 13,90±0,08 15,40±0,08 19,40±0,08 26,00±0,08Fz ,i (10−3 N) −98±6 −196±12 −490±30 −981±60 (−19,6±1,2) ·102

Le logiciel de modélisation propose une relation de la forme Fz =−k (`− `0) avec k = 14,9±2,0 N ·m−1 et`0 = 125±3 ·10−3 m.

Exercice D1. a. D’après la loi de Hooke,

#»F1 = −k (‖# »

O1M1‖ − `0)# »

O1M1

‖# »

O1M1‖. Or

# »

O1M1

‖# »

O1M1‖= #»ex et ‖# »

O1M1‖ = `1. Donc

#»F1 =−k (`1− `0)

#»ex .

Par ailleurs, `1 = |xM1− xO1

|= xM1− xO1

=

xG −`

2

− −L

2= xG −

`

2+

L

2.

Ainsi,#»F1 =−k

xG − `2 +

L

2− `0

#»ex .

b. D’après la loi de Hooke,#»F2 = −k (‖# »

O2M2‖− `0)# »

O2M2

‖# »

O2M2‖. Or

# »

O2M2

‖# »

O2M2‖= −#»ex et ‖# »

O2M2‖ = `2. Donc#»F2 =

+k (`2− `0)#»ex .

Par ailleurs, `2 = |xM2−xO2

|=−(xM2−xO2

) =−

xG +`

2

+

L

2=−xG−

`

2+

L

2. Ainsi,

#»F2 = k

−xG −

`

2+

L

2− `0

#»ex .

2. On se place dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen dans les conditions de l’expérience. Onétudie le système constitué par le mobile. Étant donné les hypothèses formulées dans l’énoncé, les seulesactions mécaniques à considérer sont les forces de rappel

#»F1 et

#»F2. De plus, le mouvement étant rectiligne

dans la direction# »

O1O2 colinéaire à #»ex , les vecteurs position, vitesse et accélération s’écrivent# »

OG = xG#»ex ,

#»v =dxG

dt#»ex et #»a =

d2 xG

dt 2#»ex . La deuxième loi de Newton donne m #»a =

#»F1+

#»F2, soit, en ne retenant que les

composantes selon #»ex :

md2 xG

dt 2=−k

xG −

`

2+

L

2− `0

+k

−xG −

`

2+

L

2− `0

,

soit après simplification et réarrangement :

d2 xG

dt 2+

2k

mxG = 0.

On obtient bien la forme demandée en posantω0 =

√√2k

met xG ,e = 0.

48

CORR

IGÉS


3. a. Calculons d’abord la dérivée de xG :dxG

dt(t ) =−Aω0 sin(ω0t )+Bω0 cos(ω0t ). Calculons ensuite la

dérivée seconde de xG :d2 xG

dt 2(t ) =

d

dt

dxG

dt

=−Aω2

0 cos(ω0t )−Bω20 sin(ω0t ). On constate que

d2 xG

dt 2=

−ω20 xG (t ), ce qui signifie que xG est bien solution de l’équation différentielle

d2 xG

dt 2+ω2

0 xG = 0.

A et B sont homogènes à une longueur. En effet, une égalité, pour être homogène, doit avoir ses deuxmembres de même dimension. Or dim xG = L. Donc A cos(ω0t ) et B sin(ω0t ) sont homogènes à unelongueur. Or, les fonctions cos et sin sont sans dimension. Ainsi, dim A = dim B = L.

b. xG (0) = A cos(0) +B sin(0) = A. Donc A = x0.dxG

dt(0) = Bω0 cos(0) = Bω0. Donc Bω0 = v0, soit B =

v0

ω0.

On a dim B =dim v0

dimω0=

LT−1

T−1= L, ce qui est cohérent.

4. Par définition,Em = Ec+Ep . Or, d’une part, par définition,Ec =1

2m

dxG

dt

2

, soitEc (t ) =1

2m [−x0ω0 sin(ω0t )+

v0 cos(ω0t )]2, soit :

Ec (t ) =1

2mx 2

0ω20 sin2(ω0t )−2x0ω0v0 sin(ω0t )cos(ω0t ) + v 2

0 cos2(ω0t )

.

D’autre part, Ep = k x 2G , soit Ep (t ) = k

x0 cos(ω0t ) +

v0

ω0sin(ω0t )

2

, soit :

Ep (t ) = k

x 2

0 cos2(ω0t ) +2x0v0

ω0cos(ω0t )sin(ω0t ) +

v 20

ω20

sin2(ω0t )

.

En utilisant le fait queω0 =

√√2k

m, on a alors

Em (t ) =1

2m x 2

0

2k

msin2(ω0t )− 1

2m2x0

√√2k

mv0 sin(ω0t )cos(ω0t ) +

1

2m v 2

0 cos2(ω0t )

+k x 20 cos2(ω0t ) +2k x0v0

sm

2kcos(ω0t )sin(ω0t ) +k v 2

0

m

2ksin2(ω0t ),

soit

Em = k x 20 [sin2(ω0t ) + cos2(ω0t )]+

1

2m v 2

0 [cos2(ω0t ) + sin2(ω0t )]

+ (−x0v0

p2k m + x0v0

p2k m )cos(ω0t )sin(ω0t ),

soit finalement, compte tenu de l’identité trigonométrique cos2 θ + sin2 θ = 1 :

Em (t ) =1

2m v 2

0 +k x 20 .

L’énergie mécanique est donc constante.5. a. On obtient x0 par lecture de la valeur de xG à l’instant initial : x0 =−5,8 cm. On mesure 3T0 = 2,4 s,soit T0 = 0,8 s.

b. Par définition,ω0 =2π

T0. De plus,ω0 =

√√2k

m, soit k =

2π2m

T 20

. On en déduit que k =2× (3, 14)2×50 ·10−3

(0, 8)2'

1,5 N ·m−1.c. i. La position d’équilibre correspond à une résultante des forces nulle. On constate, par exemple, queF (0,2 s) = 0. On en déduit que la position d’équilibre a pour abscisse xG (0,2 s) = 0.ii. On constate que la pente de la tangente à la courbe (extrapolée) représentative de xG (t ) en t = 0,2 sn’est pas nulle. Cela signifie que la vitesse n’est pas nulle : le mobile passe par sa position d’équilibre maisne s’y immobilise pas.

49

Physique PCSI

d. À t = 0,5 s, on lit graphiquement que F1 = −0,36 N et que F2 = 0,2 N : |F1|> F2. En raison de leur signe,les deux forces sont de sens opposés. Par ailleurs, on lit xG (0,5 s) = 3,2 cm : le mobile se trouve à droitedu point O . La vitesse correspond à la pente de la tangente à la courbe représentative de xG (t ). Or, àt = 0,5 s, cette pente est négative : le mobile se déplace vers les xG décroissants (#»v a un sens opposé à #»ex ).Enfin, d’après la deuxième loi de Newton, l’accélération est colinéaire, de même sens que la résultantedes forces. Or, F =−0,15 N < 0 : l’accélération a un sens opposé à #»ex .e. i. On constate que l’amplitude diminue avec le temps. Cela peut s’expliquer par la présence de frot-tements.ii. Le modèle n’est pas compatible avec l’expérience, si cette dernière dure trop longtemps. On ne peutplus alors négliger les frottements. Le modèle semble en revanche compatible pour les expériences decourte durée.

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Erwan Jahier • Christophe Jorssen Physique · 2019. 7. 29. · La rapidité est mesurée par le temps nécessaire pour que la réponse indicielle entre dans une bande de 5 % autour