Cours du 25 octobre

Exceptionnellement, le cours prévu pour le mercredi 25 octobre se donnera

Mardi le 24 octobre

de 18h30 à 20h20 à la salle 2751 du Pavillon Adrien-Pouliot

• Solution itérative de systèmes linéaires.– Méthodes de Jacoby et de Gauss-Seidel.

• Application à l’infographie.

Rappel...

Mx(k+1) = (M - A)x(k) + b, k = 0, 1, 2,…

Aujourd’hui

• Sous-espaces de Rn:– Définition;– Sous-espaces associés à une matrice;– Bases;– Coordonnées;– Dimension;– Rang.

8. Sous-espaces de Rn

• Espaces et sous-espaces vectoriels.

• Sous-espaces: souvent liés à une matrice A.

• Nous donnent des indications sur l’équation Ax = b.

Définition: sous-espace de Rn

Un sous-espace de Rn est un ensemble H dans Rn ayant les trois propriétés:

a. Le vecteur zéro est dans H.

b. Pour chaque u et v dans H, la somme u + v est dans H.

c. Pour chaque u dans H et chaque scalaire c, le vecteur cu est dans H.

Soit une matrice A m n, l’espace des colonnes (ou image) de A est l’ensemble, dénoté Col A, de toutes les combinaisons linéaires des colonnes de A. En langage mathématique, on écrit

Définition: espace des colonnes

Col A = {b| et b = Ax pour un quelconque }mRb nRx

b est-il dans Col A?

• Il faut déterminer si le système Ax = b a une solution (i.e. s’il est compatible).

• Méthode: matrice augmentée [A b] et réduction sous forme échelon.

Définition: noyau de A

Soit une matrice A m n, le noyau de A est l’ensemble, dénoté Nul A, de toutes les solutions de l’équation matricielle homogène Ax = 0. En langage mathématique, on écrit

Nul A = {x| et Ax = 0}nRx

Noyau d’une matrice

Le noyau d’une matrice A m n est un sous-espace de Rn. De même, l’ensemble de toutes les solutions d’un système Ax = 0 de m équations linéaires homogènes à n inconnues est un sous-espace de Rn.

x est-il dans Nul A?

• Facile!

• On fait Ax. Si Ax = 0, alors x est dans Nul A.

Nul A et Col A

• Nul A: définition implicite, on doit vérifier chaque vecteur.

• Col A: définition explicite, on peut construire les vecteurs en combinant linéairement les colonnes de A.

Définition: base

Une base pour un sous-espace H de Rn est un ensemble linéairement indépendant dans H qui engendre H.

Base pour Col A

Les colonnes pivot d’une matrice A forment une base pour Col A.

Définition: coordonnées B de x

Supposons que l’ensemble B = {b1, ... , bp} soit une base d’un sous-espace H. Pour chaque x dans H, les coordonnées de x relativement à la base B (ou les coordonnées B de x) sont les coefficients c1, ... , cp tels que x = c1b1 + ... + cpbp,

Coordonnées B de x (suite)

est appelé le vecteur de coordonnées de x relativement à la base B.

p

B

c

c

1

x

et le vecteur dans Rp

Définition: dimension

La dimension d’un sous-espace non-nul H, dénotée dim H, est le nombre de vecteurs dans une base quelconque de H. La dimension du sous-espace zéro, {0}, est définie comme étant égale à 0.

Définition: rang d’une matrice

Le rang d’une matrice A (Rang A) est la dimension de l’espace des colonnes de A.

Rang d’une matrice

Les dimensions des espaces des colonnes et des espaces des lignes d’une matrice A m n sont égales. Cette dimension commune, le rang de la matrice A, est aussi égale au nombre de positions pivot de A et satisfait l’équation

rang A + dim Nul A = n

Théorème sur les bases

Soit H un sous-espace de Rn de dimension p. Tout ensemble linéairement indépendant contenant exactement p éléments dans H est automatiquement une base pour H. Également, tout ensemble de p éléments de H qui engendre H est automatiquement une base pour H.

Prochain cours...

• Déterminants:– définition;– propriétés;– règle de Cramer;– calcul de l’inverse d’une matrice;– aire et volume;– transformations linéaires.