Cours Levy

Processus de Lvy et calcul stochastique

Rhodes Rmi

18 novembre 2010

Table des matires

1 Quelques rappels sur les processus de Poisson 5

1.1 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Processus de Poisson composs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Processus de Lvy 11

2.1 Lois infiniment divisibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 La formule de Lvy-Khintchine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Processus de Lvy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.1 Modifications des processus de Lvy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.2 Proprit de Markov forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Subordinateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Dcomposition dIt-Lvy 21

3.1 Sauts des processus de Lvy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Mesures alatoires de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3 Intgration de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4 Dcomposition dIt-Lvy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Intgration stochastique 27

4.1 Classe dintgrands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2 Thorie L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3 Extension de la thorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.4 Formules dIt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5 Changement de mesures et martingales exponentielles 35

5.1 Exponentielle de Doleans-Dade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.2 Martingales exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3

4 TABLE DES MATIRES

5.3 Changement de mesures-Thorme de Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.4 Thorme de reprsentation des martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6 Equations diffrentielles stochastiques 41

6.1 Existence et unicit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.2 Proprit de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.3 Formule de Feynman-Kac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7 Quelques applications en finance 45

7.1 Probas risque neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7.2.1 Modle de Merton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7.2.2 Processus variance-gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7.2.3 Modle NIG (Normal Inverse Gaussian) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7.3 Problmes de couverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7.4 Mthodes de transformes de Fourier pour le pricing doptions . . . . . . . . . . 51

Chapitre 1

Quelques rappels sur les processus dePoisson

1.1 Processus de Poisson

Ces processus sont trs utiliss pour modliser des temps darrive alatoires de clients, si-nistres,...

Dfinition 1. Un processus de Poisson N de paramtre > 0 est un processus de comptage

t 0, Nt =n1

1I{Tnt} (1.1)

associ une famille (Tn;n N) (avec T0 = 0) de va reprsentant les temps darrives, telle queles va (Tn+1 Tn;n N) sont iid de loi exponentielle de paramtre .Proposition 1. Si N est un processus de Poisson alors

1) la somme (1.1) est presque srement finie pour tout t 0.2) les trajectoires de N sont constantes par morceaux, avec des sauts de taille 1 seulement,

3) les trajectoires sont cdlg,

4) t > 0, IP(Nt = Nt) = 1,5) t > 0, Nt suit une loi de Poisson de paramtre t :

n N, IP(Nt = n) = et (t)n

n!.

En particulier on a :

E[Nt] = t = Var[Nt], E[eiuNt ] = exp(t(eiu 1)),

6) n 1, Tn une loi gamma de paramtre (n, ) de densit :

fTn(x) =(t)n1

(n 1)!et1I{t>0}.

7) N est accroissements indpendants et stationnaires.

5

6 CHAPITRE 1. QUELQUES RAPPELS SUR LES PROCESSUS DE POISSON

FIGURE 1.1 Simulation dun processus de Poisson

Une dfinition quivalente des processus de Poisson est :

Dfinition 2. Soit N un processus stochastique (issu de 0) valeurs relles et cdlg. N est unprocessus de Poisson ssi :

1) N est un processus croissant, constant par morceaux, ne faisant que des sauts de taille 1,

2) t, s 0, la va Nt+s Nt est indpendant de la tribu engendre par les (Nu; 0 u t),3) t, s 0, la va Nt+s Nt a mme loi que Ns.

On retrouve alors les va Tn en les dfinissant comme les sauts du processus N :

T0 = 0, Tn = inf{t > Tn1;Nt NTn1 > 0} pour n 1.Ce sont des temps darrt par rapport la filtration naturelle du processus N .

Thorme 1. Comportement asymptotique Si N est un processus de Poisson dintensit > 0alors, lorsque t tend vers + :

p.s.Ntt et

t

(Ntt )

loi N (0, 1).

Exercice 1. Montrer que la somme de 2 processus de Poisson indpendants est encore un proces-sus de Poisson. Quelle est son intensit ?

Exercice 2. Montrer que, sachant Nt = k (k 1), la loi du k-uplet (T1, . . . , Tk) est celle dunk-chantillon de v.a. iid de loi uniforme sur [0, t].

Exercice 3. Proposer un algorithme de simulation de processus de Poisson bas sur lexercice 2.

1.2. PROCESSUS DE POISSON COMPOSS 7

Exercice 4. Si N est un processus de Poisson dintensit , montrer que les lois marginales duprocessus

Pt =1

(Ntt )

convergent vers celle dun mouvement brownien standard.

1.2 Processus de Poisson composs

Dfinition 3. Un processus de Poisson avec intensit > 0 et loi de sauts Z est un processusstochastique dfini par

Xt =Ntk=1

Zk,

o (Zn)n est une suite de va iid valeurs dans Rd de loi Z et N est un processus de Poisson deparamtre indpendant de la suite (Zn)n.

En dautres mots, un processus de Poisson compos est un processus constant par morceauxqui saute aux instants de sauts dun processus de Poisson standard, et dont les tailles de sauts sontdes variables i.i.d. dune loi donne.

Citons quelques exemples de phnomnes susceptibles dtre dcrits par des processus de Pois-son composs :

arrives davion dans un aroport : chaque avion transporte un certain nombre de passagers, arrives de clients aux caisses dun supermarch : chaque client dpense une certaine somme

dargent, trafic routier : chaque accident correspond un certain nombre de personnes blesses, Assurance-sinistre : chaque sinistre est associ un cot de rparation des dgts.Un processus de Poisson compos est clairement un processus cdlg et constant par morceaux.

Sa fonction caractristique est donne par :

Xt(u) = exp(t

Rd

(ei(u,y) 1)Z(dy)). (1.2)

Proposition 2. Soit X un processus de Poisson compos. Alors X est accroissements indpen-dants et stationnaires.

Exercice 5. Montrer la formule (1.2).

Exercice 6. Donner une CNS pour quun processus de Poisson compos admette un momentdordre 1 (resp. 2) et calculer ce moment.

Exercice 7. Proposer un algorithme de simulation de processus de Poisson compos bas surlexercice 2.


FIGURE 1.2 Simulation de processus de Poisson composs

1.2. PROCESSUS DE POISSON COMPOSS 9

FIGURE 1.3 Un processus de Poisson compos correctement renormalis (vu en "temps grand")converge en loi vers un mouvement brownien

Chapitre 2

Processus de Lvy

2.1 Lois infiniment divisibles

SoitX une variable alatoire valeurs dansRd de loi X . On dit queX est infiniment divisiblesi, pour tout n N, il existe des va iid Y (n)1 , . . . , Y (n)n telles que

Xloi= Y

(n)1 + + Y (n)n .

Soit X(u) = E[ei(u,X)] la fonction caractristique de X .

Proposition 3. Se valent :1. X est infiniment divisible,

2. pour tout n, X a une racine n-ime qui est la fonction caractristique dune variablealatoire.

Preuve. 1) implique 2). Il suffit de prendre la fonction caractristique de Y (n)1 .

2) implique 1). Soit Y (n)1 , . . . , Y(n)n des copies indpendantes de loi associe Y telle que

X(u) = (Y (u))n. Alors il est facile de voir que

Xloi= Y

(n)1 + + Y (n)n

laide des fonctions caractristiques.

Exemple 1. Variables gaussiennes Les lois gaussiennes sont infiniment divisibles.

Exemple 2. Loi de Poisson On prend d = 1. On dfinit une variable X par

n N, IP(X = n) = n

n!e.

On note X P (). On a E[X] = Var(X) = et

X(u) = e(eiu1).

On en dduit que X est infiniment divisible car X(u) = (Y (u))n avec Y P (/n).

11

12 CHAPITRE 2. PROCESSUS DE LVY

Exemple 3. Loi de Poisson compose On considre une suite (Zn)n de va iid valeurs dans Rdde loi Z . Soit N une loi de Poisson de paramtre indpendante de la suite (Zn)n. On dfinitune variable X par

X =Nk=1

Zk.

On a

X(u) = exp(

Rd(ei(u,y) 1)Z(dy)

).

On en dduit que X est infiniment divisible car X(u) = (Y (u))n avec Y P (/n). On noteraX PC(, Z) et on remarque que X(u) = (Y (u))n o Y P (/n, Z). Donc X estinfiniment divisible.

2.2 La formule de Lvy-Khintchine

Soit une mesure de Borel sur Rd \ {0}. On dira que est une mesure de Lvy siRd\{0}

(1 z2)(dz) < +.

Cest une mesure -finie. Cest quivalent de dire queRd\{0}

z2

1 + z2(dz) < +.

Thorme 2. Formule de Lvy-Khintchine Soit X une va valeurs dans Rd. Alors X est infi-niment divisible sil existe b Rd, une matrice A Rdd et une mesure de Lvy tels que

u Rd, X(u) = exp(i(b, u) 1

2(u,Au) +

Rd\{0}

(ei(u,z) 1 i(u, z)1I{|z|1}

)(dy)

).

(2.1)Rciproquement, toute application de la forme ci-dessus est la fonction caractristique dune vainfiniment divisible sur Rd.

Preuve. On ne dmontre que la deuxime partie du thorme. La partie la plus difficile rsulterade la dcomposition dIt-Lvy.

Tout dabord, on montre que le membre de droite est une fonction caractristique. Pour sim-plifier les notations, on suppose d = 1. Soit (n)n une suite dcroissante vers 0et on dfinit pourtout n N :

n(u) = exp(i(b

An

z(dz), u) 12

(u,Au) +

[n,n]c

(ei(u,z) 1)(dy))

o lensemble An est dfini par An = [1, 1] [n, n]c. Dans ce cas, n est la fonction carac-tristique dune loi X qui est la somme dune constante, dune loi normale N(0, A) et dune loide Poisson compose P (, Z) avec = ([n, n]c) et Z = 1.

2.2. LA FORMULE DE LVY-KHINTCHINE 13

On vrifie ensuite quen(u) X(u)

quand n o X est la fonction donne par (2.2). Pour appliquer le thorme de continuit deLvy, il suffit de montrer que X est continue en 0. Pour cela, le seul terme ncessitant vrificationest lintgrale que lon dcompose en :

Rd\{0}

(ei(u,z) 1 i(u, z)1I{|z|1}

)(dy)

=

|z|1

(ei(u,z) 1 i(u, z))(dy) +

|z|>1

(ei(u,z) 1)(dy)

En utilisant les majorationsei(u,z) 1 i(u, z) u2z2 pour |z| 1 et ei(u,z) 1 2 pour

|z| > 1 et les proprits dintgrabilit de la mesure de Lvy, on peut facilement appliquer lethorme de convergence domine et en dduire

Rd\{0}

(ei(u,z) 1 i(u, z)1I{|z|1}

)(dy) 0

quand u 0. Donc X est bien la fonction caractristique dune va X . On peut directementvrifier quelle est infiniment divisible laide des fonctions caractristiques.

On remarque que la loi de X a t obtenue comme limite en loi dune suite de va qui sont lasomme dune gaussienne et dune loi de Poisson compose indpendantes.

Le "cut-off" z1I{|z|1} peut-tre chang. Par exemple on peut choisir z1+|z|2 pourvu que lonmodifie b en consquence. Une fois que le choix du cut-off a t fait, le triplet correspondant(b, A, ) est appel la caractristique de la loi X .

Si X est une loi infiniment divisible, on peut donc crire

X(u) = e(u)

o est de la forme

(u) = i(b, u) 12

(u,Au) +

Rd\{0}

(ei(u,z) 1 i(u, z)1I{|z|1}

)(dy).

La fonction est appel le symbole de Lvy de X .

Exercice 8. Montrer que le symbole de Lvy de X vrifie

u Rd, |(u)| C(1 + |u|2)o C > 0.

Exemple 4. Lois -stables Une classe importante de lois infiniment divisibles est donne par leslois ayant pour triplet caractristique (0, 0, ) o

(dz) =C

|z|d+dz

avec 0 < < 2. La loi correspondante est dite -stable.


2.3 Processus de Lvy

Soit X = (Xt; t 0) un processus stochastique dfini sur un espace de probabilit (,F , IP).On dit que X est accroissements indpendants si, pour tout n N et pour tous 0 t1 tn 0, la va Xt+sXs a mme loi que XtX0.Dfinition 4. On dit que X est un processus de Lvy (issu de 0) si :

1) X0 = 0 preque srement,

2) X est accroissements indpendants et stationnaires,

3) X est stochastiquement continu : pour tout > 0 et t 0 :

limh0

IP(|Xt+h Xt| >

)= 0.

On peut remarquer que 1) et 2) implique quil suffit de vrifier 3) pour t = 0.

Proposition 4. Si X est un processus de Lvy, alors Xt est une loi infiniment divisible pour toutt 0.

Preuve. Pour tout n N, on peut crire

Xt =nk=1

(X knt X k1

nt).

Pour conclure, on remarque ensuite que les variables {X knt X k1

nt; 1 k n} sont iid par

indpendance et stationnarit des accroissements.

Thorme 3. Si X est un processus de Lvy, alors

u Rd, Xt(u) = et(u)

o est le symbole de Lvy de X1.

Preuve. Pour u Rd et t 0, on dfinit u(t) = Xt(u). Comme X est stochastiquementcontinu, lapplication t 7 u(t) est continue. De plus, comme X est un PAIS, on a pour t, s 0 :

u(t+ s) = E[ei(u,Xt+s)] = E[ei(u,Xt+sXt)]E[ei(u,Xt)] = E[ei(u,XsX0)]E[ei(u,Xt)] = u(t)u(s).

Comme u est continue, elle est ncessairement de la forme u(t) = Ceta. Or u(0) = 1, doncC = 1, et u(1) = E[ei(u,X1)] = e(u), donc A = (u). Le rsultat suit.

Thorme 4. Formule de Lvy-Khintchine pour les processus de Lvy Soit X un processusde Lvy. Alors il existe b Rd, une matrice A Rdd et une mesure de Lvy tels que u Rd,t 0

E[ei(u,Xt)] = exp(t(i(b, u) 1

2(u,Au) +

Rd\{0}

(ei(u,z) 1 i(u, z)1I{|z|1}

)(dy)

)). (2.2)

2.3. PROCESSUS DE LVY 15

Exercice 9. Montrer que la somme de 2 processus de Lvy indpendants est encore un processusde Lvy.

Proposition 5. Si X = (Xt; t 0) est un processus stochastique et sil existe une suite(Xn =

(Xnt ; t 0))n

de processus de Lvy telle que :

1) Xnt converge en probabilit vers Xt pour tout t 0,2) pour tout > 0, limn lim supt0 IP

(|Xnt Xt| > ) = 0,alors X est un processus de Lvy.

Preuve. On a X0 = 0 ps car on peut trouver une sous-suite de (Xn0 )n qui converge presquesrement vers X0. Pour s, t 0, on a :

E[ei(u,Xt+sXt)] = limn

E[ei(u,Xnt+sXnt )] = limn

E[ei(u,Xns Xn0 )] = E[ei(u,XsX0)].

On prouve de la mme faon lindpendance des accroissements.

Il reste montrer que X est stochastiquement continu. Soit > 0. On a pour t 0IP(|Xt| > ) IP(|Xt Xnt | >

2) + IP(|Xnt | >

2)

do

lim supt0

IP(|Xt| > ) lim supt0

IP(|Xt Xnt | >

2) + lim sup

t0IP(|Xnt | >

2)

lim supt0

IP(|Xt Xnt | >

2)

Pour conclure, il suffit de prendre la limite en n et dutiliser le 2.Exemple 5. Mouvement brownien. Tout mouvement brownien B = (Bt; t 0) est un processusde Lvy. On a :

E[ei(u,Bt)] = eti(b,u)t2

(u,Au).

Exemple 6. Processus de Poisson Le processus de Poisson N dintensit est un processus deLvy. Pour tout t 0, la loi de Nt est donne par :

IP(Nt = k) = et(t)k

k!.

Exemple 7. Processus de Poisson compos. Soit (Zn)n une suite de va iid valeurs dans Rd deloi Z . Soit N un processus de Poisson dintensit , indpendant de la suite (Zn)n. Le processusde Poisson compos Y est dfini par :

Yt =Ntk=1

Zk.

Pour tout t 0, on a Y PC(t, Z). Cest un processus de Lvy. Son symbole de Lvy estdonne par :

(u) =

Rd/{0}

(ei(u,z) 1)Z(dz).

Cest un processus dont les trajectoires sont constantes par morceaux. Les discontinuits sontdonnes par les instants de sauts du processus de Poisson N , tandis que la loi des sauts est Z .Cest un processus trs utilis dans les risques dassurances.


Exemple 8. Processus de Lvy stables rotationnellement invariants. Ce sont les processus deLvy ayant pour symbole

(u) = |u|

pour un 0 < 2 appel indice de stabilit et > 0. Une des raisons de leur importance estquils prsentent des proprits dauto-similarit : les processus (Y(ct); t 0) et (c1/Yt; t 0)ont mme loi.

2.3.1 Modifications des processus de Lvy

Dans ce qui suit, on dira quune filtration (Ft)t satisfait les hypothses usuelles si elle estcomplte (ie F0 contient tous les vnements de probabilit nulle) et si elle est continue droite,ie Ft = Ft+ o Ft+ =

s>tFs. Dans la suite, si X est un processus de Lvy alors FX dsigne la

filtration naturelle complte engendre par le processus X .

Proposition 6. Si X est un processus de Lvy avec symbole , alors pour tout u Rd, Mu =(Mu(t); t 0) est une martingale (complexe) par rapport FX , o

Mu(t) = exp(i(u,Xt) t(u)

).

Thorme 5. Tout processus de Lvy admet une modification cdlg, qui est encore un processusde Lvy avec les mmes caractristiques.

On ne considrera maintenant que des processus de Lvy cdlg. Leur filtration naturelle sa-tisfait alors les hypothses usuelles.

2.3.2 Proprit de Markov forte

Thorme 6. Proprit de Markov forte. Si X est un processus de Lvy et si est un tempsdarrt adapt la filtration FX , alors, sur { < +}

1) le processus X = (Xt+ X ; t 0) est un processus de Lvy indpendant de la tribuFX ,

2) pour tout t 0, Xt a mme loi que Xt,3) X est trajectoires cdlg et est F+t adapt.

Preuve. On fait la preuve dans le cas o est born. Soit A F et n N. Pour 1 j n,on considre uj Rd et 0 = t0 t1 tn et les martingales Muj(t) = exp

(i(uj, Xt)

t(uj)). On a :

E[1IA exp

(i

nj=1

(uj, XtjXtj1)

)]= E

[1IA exp

(i

nj=1

(uj, X+tj X+tj1))]

= E[1IA

nj=1

Muj( + tj)

Muj( + tj1)

nj=1

tjtj1(uj)]

2.4. SUBORDINATEURS 17

o u(t) = E[ei(u,Xt)]. On remarque que pour 0 < a < b < +

E[1IA

Muj( + b)

Muj( + a)

]= E

[1IA

1

Muj( + a)E[Muj( + b)|F+a]

]= IP(A).

En rptant cet argument dans la premire galit, on obtient :

E[1IA exp

(i

nj=1

(uj, XtjXtj1)

)]= IP(A)

nj=1

tjtj1(uj). (2.3)

En particulier, pour n = 1 et u1 = u et t1 = t, on obtient

E[ei(u,Xt ] = E[ei(u,Xt)]

do 2.

La formule (2.3) permet facilement de vrifier que X est un processus de Lvy. Pour la conti-nuit stochastique, a rsulte de E[ei(u,Xt ] = E[ei(u,Xt)] en faisant tendre t vers 0. (2.3) permetaussi de voir que X est indpendant de F .

A laide de la proprit de Markov forte, on peut montrer (exercice)

Thorme 7. Si X est un processus de Lvy valeurs relles, croissant (presque srement) et nefaisant que des sauts de taille 1, alors X est un processus de Poisson.

Thorme 8. Si X est un processus de Lvy cdlg valeurs relles, presque srement trajec-toires constantes par morceaux, alors X est un processus de Poisson compos. La rciproque esttrivialement vraie.

Preuve. Soit Nt = #{0 s t;Xs 6= Xs}. Comme X est trajectoires constantes parmorceaux, N est fini pour tout t fini. Cest donc un processus de comptage. De plus

Nt Ns = #{s < r t;Xr 6= Xr} = #{s < r t;Xr Xs 6= Xr Xs}.On en dduit que N a des accroissements indpendants et stationnaires. Cest donc un processusde Poisson. Soit (Tn)n la suite de ses temps darrives. On dfinit Zn = XTn XTn. Il ne resteplus qu montrer que les (Zn)n sont iid. Comme X est trajectoires constantes par morceaux, ona Zn = XTn XTn1 . Or si lon applique la proprit de Markov forte, il est facile de voir que les(Zn)n sont iid. Par exemple, on montre quils ont mme loi. Soit n N. Daprs la proprit deMarkov forte, le processus (Xt+Tn1 XtTn1 : t 0} est un processus de Lvy ayant mme loique le processus X , et est indpendant de FTn1 . On en dduit

IP(Zn A) = IP(XTn XTn1 A) = IP(XT1 X0 A) = IP(Z1 A).Lindpendance se montre de la mme faon.

2.4 Subordinateurs

Un subordinateur est un processus de Lvy 1-dimensionnel qui est presque srement croissant.Ils sont utiliss, entrautres, pour modliser des volutions alatoires du temps.


Thorme 9. Si le processus de Lvy T est un subordinateur, alors son symbole de Lvy est de laforme :

(u) = ibu+

+0

(eiuz 1)(dz),

o b 0 et la mesure de Lvy satisfait :

(], 0[) = 0 et

0

(1 z)(dz) < +.

Rciproquement, toute application de la forme ci-dessus est le symbole de Lvy dun subordina-teur. La paire (b, ) est appele la caractristique du subordinateur T .

Remarque : pour tout t 0, lapplication z 7 E[ezTt ] est analytique sur la rgion {z; 0) :

Tt = {s > 0;Cs = t}.

On lappelle ainsi car t 7 Tt est linverse gnralis dun processus gaussien. On peut montrerque

E[euTt ] = exp( t(2u+ 2 )).

En inversant, cette formule on peut montrer que Tt a une densit donne par :

fTt(s) =t2piets3/2 exp ( 1

2(t22s1 + 2s)

)pour tous s, t 0.

2.4. SUBORDINATEURS 19

Exemple 12. Gamma subordinateur. Soit T un subordinateur ayant pour transforme de La-place (a, b > 0)

E[euTt ] =(1 +

u

b

)at= exp

( ta ln(1 + ub

)).

Il admet pour densit

fTt(x) =bat

(at)xat1ebx1Ix0

et est appel gamma subordinateur. Pour voir que cest un subordinateur, il suffit dtablir

(u) = a ln(1 +u

b) =

0

(1 euz)az1ebzdz.

Soit X un processus de Lvy et T un subordinateur dfinis sur le mme espace de probabilit.On suppose que X et Z sont indpendants. On dfinit un nouveau processus Z par la formuleZt = XTt pour t 0.Thorme 10. Z est un processus de Lvy ayant pour symbole

Z = T (X).

Preuve. Il est clair que Z0 = 0 presque srement. Commenons par montrer que Z est accrois-sements stationaires. Soit t1 < t2 et crivons Pt1,t2 pour dsigner la loi jointe de (Tt1 , Tt2) :

IP(Zt2 Zt1 A) =IP(XTt2 XTt1 A)=

0

0

IP(Xs2 Xs2 A)Pt1,t2(ds1, ds2)

=

0

0

IP(Xs2s1 A)Pt1,t2(ds1, ds2)

=

0

0

IP(Xu A)P0,t2t1(u)=IP(Zt2t1 A).

Lindpendance des accroissements sobtient par un raisonnement similaire, cest dire en condi-tionnant par rapport la loi de T .

Pour montrer la continuit stochastique, on fixe a > 0 et > 0. On peut trouver > 0 tel que

0 < h < IP(|Xh| > a) /2et > 0 tel que

0 < h < IP(|Th| > ) /2.On a donc pour 0 < h < :

IP(|Z(h)| > a) =IP(|XTh| > a) =

0

IP(|Xu| > a)PTh(du)

=

0

IP(|Xu| > a)PTh(du) +

IP(|Xu| > a)PTh(du) sup

0uIP(|Xu| > a) + IP(|Th| > )

/2 + /2 = .


Finalement :

E[ei(u,Zt)] =E[ei(u,XTt )] =

0

E[ei(u,Xs)]PTt(ds)

=

0

esX(u)PTt(ds) = E[eTt(X(u))]

=etT (X(u)).

Chapitre 3

Dcomposition dIt-Lvy

3.1 Sauts des processus de Lvy

Si X est un processus de Lvy, on dfinit le processus de sauts associ

4X = (4Xt; t 0) avec4Xt = Xt Xt.

Cest clairement un processus adapt mais ce nest pas, en gnral, un processus de Lvy.

Proposition 7. Si X est un processus de Lvy alors, pour chaque t 0 on a 4Xt = 0 presquesrement.

Preuve. Soit (tn)n une suite croissante de nombres rels positifs tels que tn t lorsque n.Comme X est cdlg, on a limnXtn = Xt presque srement. Comme X est stochastiquementcontinu, on a limnXtn = Xt en probabilit, donc Xt = Xt presque srement.

Remarque : par contre et en gnral, presque srement le processus4X nest pas nul. De plus,le rsultat prcdent nest en aucun cas valide si lon remplace t par un temps darrt.

La difficult quand on manipule des processus de Lvy est quil est tout fait possible davoirsimultanment

0st|4Xs| = presque srement

et 0st

|4Xs|2

22 CHAPITRE 3. DCOMPOSITION DIT-LVY

Pour tout , la fonction densemblesA 7 N(t, A)() est une mesure de comptage surB(Rd/{0}).Ainsi

A 7 E[N(t, A)]est une mesure borlienne sur B(Rd/{0}). 0n notera () = E[N(1, )] appel mesure dintensitdu processus X .

On dira galement que lensemble A est born infrieurement si 0 6 A.Lemme 1. Si A est born infrieurement et borlien, alors N(t, A) An1;4Xt A}.Comme X est cdlg, on a A1 > 0 presque srement et limn

An = presque srement. En

effet, dans le cas contraire, la suite (An )n aurait un point daccumulation. Ceci est incompatibleavec le fait que X soit cdlg (exo). Ainsi pour tout t 0

N(t, A) =n1

1IAn t 0 presque srement donc limt0 IP(A t) = 0. Do

limt0

IP(N(t, A) = 0) = 1.

On va montrer que si A et B sont disjoints et borns infrieurement, alors les processus(N(t, A))t0 et (N(t, B))t0 sont indpendants. La dmonstration se gnralise un nombre finiquelconque densembles disjoints. Soit u, v R.

Si u = v, alors t 7 N(t, A B) est un processus de Poisson dintensit(A B) = E[N(t, A B)] = E[N(t, A)] + E[N(t, B)] = (A) + (B).

Do

E[eiuN(t,A)+ivN(t,B)] = E[eiuN(t,AB)] = et(AB)(eiu1) = E[eiuN(t,A)]E[eivN(t,B)].

3.2. MESURES ALATOIRES DE POISSON 23

Si u 6= v. On pose Xt = uN(t, A) + vN(t, B). Comme prcdemment, on montre que cest unprocessus de Lvy. De plus il est trajectoires constantes par morceaux. Daprs le thorme8,cest un processus de Poisson compos :

Xt =

N tk=1

Zk.

Les temps de sauts deX sont ceux du processusN(t, AB).N est donc un processus de Poissondintensit (A) + (B). La loi Z des sauts ne peut prendre que 2 valeurs u ou v. De plus

N(t, A) =

N tk=1

1I{Zk=u}.

En prenant lesprance, on en dduit t(A) = ((A) + (B))IP(Zk = u). De mme t(B) =((A) + (B))IP(Zk = v).

E[eiuN(t,A)+ivN(t,B)] = exp(t((A) + (B))

(ei(u,z) 1)Z(dz)

)= E[eiuN(t,A)]E[eivN(t,B)].

On en dduit facilement lindpendance annonce laide des fonctions caractristiques. Lemme argument sapplique aux cas de plusieurs ensembles disjoints. En fait, les arguments dela preuve permettent galement de montrer que les processus de Poisson N(, A) et N(, B) sontindpendants.

3.2 Mesures alatoires de Poisson

Soit (S,A) un espace mesurable et (,F , IP) un espace probabilis.Dfinition 6. Soit une mesure finie sur (S,A). Une mesure alatoire de Poisson N sur (S,A)est est une collection de variables alatoires (M(B);B A) telle que :

1) pour tout B A tel que (B) < +, N(B) suit une loi de Poisson de paramtre (B),2) siA1, . . . , Am sont des ensembles disjoints deA, les variables alatoiresN(A1), . . . , N(Am)

sont indpendantes,

3) pour tout , lapplication A 7 N(A, ) est une mesure de comptage sur (S,A).

Nous avons vu que si X est un processus de Lvy alors la quantit

N([0, t] A) = #{0 s t;4Xs A}

est une mesure alatoire de Poisson surR+(Rd/{0}) dintensit dtd avec () = E[N([0, 1], A)].Pour t 0 etA born infrieurement, on dfinit la mesure alatoire de Poisson compense N par :

N(t, A) = N(t, A) t(A).

Remarque : Il est clair que N(t, A) est un raccourci de notation pour crire N([0, t] A).


3.3 Intgration de Poisson

SoitN une mesure alatoire de Poisson dintensit dt surR+(Rd/{0}). Si f : Rd Rnest une fonction Borel-mesurable et si A B(Rd/{0}) vrifie (A) < +, on dfinit pour toutt 0 et lintgrale de Poisson de f par

A

f(z)N(t, dz) =zA

f(z)N(t, {z}).

On remarque que la dfinition ci-dessus ne pose pas de problme car la somme est une sommealatoire finie.

Si N est associe un processus de Lvy, cette intgrale concide avecA

f(z)N(t, dz) =

0stf(4Xs)1IA(4Xs)

car N(t, {z}) = #{0 s t;4Xs = {z}}. De plus, le processus t 7Af(z)N(t, dz) est un

processus stochastique adapt et cdlg. On remarque aussi que si est une mesure de Lvy alors

0 6 A (A) < +de sorte que

Af(z)N(t, dz) est bien dfini ds lors que A est born infrieurement.

On supposera dsormais que N est associe un processus de Lvy.

Thorme 12. Soit A un ensemble borlien born infrieurement. Alors :

1) pour tout t 0, Af(z)N(t, dz) suit une loi de Poisson compose caractrise par :

E[

exp(i(u,

A

f(z)N(t, dz)))]

= exp(t

A

(ei(u,f(z)) 1)(dz)).

2) si f L1(A, ) on a :

E[

A

f(z)N(t, dz)]

= t

A

f(z)(dz).

3) si f L2(A, ) on a :

Var(

A

f(z)N(t, dz)) = t

A

|f(z)|2(dz).

Preuve. Si f est une fonction tage de la forme f(z) =n

j=1 cj1IAj avec cj Rn pour tout j etles Aj borliens et disjoints. On a

E[

exp(i(u,

A

f(z)N(t, dz)))]

= E[

exp(i(u,

j

cjN(t, Aj)))]

=j

E[

exp(i(u, cj)N(t, Aj)

)]=j

exp(t(

expi(u,cj)1)(Aj))= exp

(t

A

(expi(u,f(z))1)(dz)).

3.4. DCOMPOSITION DIT-LVY 25

Le rsultat gnral suit par approximation par des fonctions tages. 2) et 3) rsulte de 1) pardiffrentiation.

Corollaire 1. SoitA un ensemble borlien born infrieurement. Le processus t 7 Af(z)N(t, dz)

est un processus de Poisson compos.

Preuve. en exercice. Il faut calculer

E[

exp(i(u,

A

f(z)N(t, dz)))|Fs]

en utilisant le thorme prcdent pour en dduire que cest un processus accroissements ind-pendants et stationnaires. La continuit stochastique se dduit de celle de N .

Pour tout f L1(A, ) on dfinit lintgrale de Poisson compenseA

f(z)N(t, dz) =

A

f(z)N(t, dz) tA

f(z)(dz).

Le processus t 7 Af(z)N(t, dz) est une martingale cdlg. Daprs le thorme 12, on a :

E[

exp(i(u,

A

f(z) N(t, dz)))]

= exp(t

A

(ei(u,f(z)) 1 i(u, f(z)))(dz)).

De plus, si f L2(A, ) on a :

E(

A

f(z) N(t, dz)2) = t

A

|f(z)|2(dz).

Proposition 8. Si A,B sont borns infrieurement et si f L2(A, ), g L2(B, ), on a :

A

f(z) N(t, dz),

B

g(z) N(t, dz) = tAB

f(z)g(z)(dz).

3.4 Dcomposition dIt-Lvy

Thorme 13. Dcomposition dIt-Lvy. Si X est un processus de Lvy alors il existe b Rd,un mouvement brownien B, une matrice de covariance A Rdd et une mesure alatoire dePoisson indpendante N on R+ (Rd/{0}), dont lintensit est une mesure de Lvy , tels que,pour tous t 0 :

Xt = bt+ A1/2Bt +

|z|


Proposition 9. Si le "cutoff" est fix, le triplet caractristique (b, A, ) dun processus de Lvy estunique.

Exercice 11. En dduire quun processus de Lvy X satisfait0st

|s|2 < +

presque srement.

Chapitre 4

Intgration stochastique

4.1 Classe dintgrands

Soit (,F , IP) un espace probabilis muni dune filtration (Ft)t satisfaisant les hypothsesusuelles.

Dfinition 7. Soit (S,A) un espace mesur et une mesure finie sur (R+ S,B(R+) A).Une Ft-mesure alatoire de Poisson N sur (R+ S,B(R+)A) est une collection de variablesalatoires (M(B);B B(R+)A) telle que :

1) pour tout B B(R+)A tel que (B) < +, N(B) suit une loi de Poisson de paramtre(B),

2) siA1, . . . , Am sont des ensembles disjoints deA, les variables alatoiresN(A1), . . . , N(Am)sont indpendantes,

3) pour tout , lapplication A 7 N(A, ) est une mesure sur (S,A).4) Pour tout 0 s < t et A A, la variable N((s, t], A) est indpendante de la tribu Fs.

En particulier, toute mesure de Poisson sur (R+ S,B(R+)A) est adapte par rapport safiltration naurelle complte.

Dans la suite, nous considrons N une Ft-mesure alatoire de Poisson sur R+ B(Rd/{0})dintensit dtd, o est une mesure de Lvy. Soit N sa mesure alatoire de Poisson compense.

Soit E un borlien de Rd et 0 < T < +. Soit P la plus petite tribu engendre par toutes lesapplications F : [0, T ] E R satisfaisant les conditions suivantes :

1) pour tout 0 t T , lapplication (z, ) 7 F (t, z, ) est B(Rd/{0})Ft-mesurable,2) pour tout z Rs/{0} et , lapplication t 7 F (t, z, ) est continue gauche.P est appele la tribu prvisible et tout processus P mesurable est dit prvisible. On peut

tendre la notion ci-dessus R+ au lieu de [0, T ]. On dfinitH2(T, ) comme lespace vectoriel detoutes les classes dquivalence dapplications F : [0, T ]E R qui concident dtddIPpresque srement, et qui satisfont :

1) F est prvisible,

27

28 CHAPITRE 4. INTGRATION STOCHASTIQUE

2) T

0

Rs/{0} E[|F (t, z)|2] dt d(z) < +

Lespace H2(T, ) et naturellement muni du produit scalaire , T,

F,GT, = T

0

Rs/{0}

E[F (t, z)G(t, z)] dt d(z).

On notera T, la norme associe.Lemme 2. Lespace H2(T, ) est un espace de Hilbert.

Preuve. Il suffit de voir que cest un sous-espace ferm de L2([0, T ]E, dtddIP). Cecirsulte simplement du fait que toute limite en mesure de processus prvisibles est prvisible.

On dfinit S(T, ) comme le sous-ensemble de H2(T, ) form de tous les processus simples.Un processus F est dit simple sil existe n,m N, des temps 0 t1 t2 tm+1 = T ,des borliens disjoints A1, . . . , An de Rs/{0} tels que (Ai) < + pour tout i = 1, . . . , n, et desva Fi(tj) Ftj -mesurable (1 j m et 1 i n) tels que

F =mj=1

ni=1

Fi(tj)1I(tj ,tj+1]1IAi .

Tout processus simple est continu gauche et prvisible.

Lemme 3. S(T, ) est dense dans H2(T, ).

Preuve. en exercice. Il faut adapter les arguments utiliss pour le mouvement brownien.

4.2 Thorie L2

Soit F un processus simple de la forme

F =mj=1

ni=1

Fi(tj)1I(tj ,tj+1]1IAi .

On dfinit alors

IT (F ) =

T0

Rd/{0}

F (r, z) dN(dr, dz) =

n,mi,j=1

Fi(tj)N((tj, tj+1, Aj)

Il est direct de vrifier que lintgrale dfinie ci-dessus est linaire sur S(T, ). De plus

Proposition 10. Pour tout T > 0 et F S(T, ), on a

E[ T

0

Rd/{0}

F (r, z) dN(dr, dz)]

= 0

et

E[( T

0

Rd/{0}

F (r, z) dN(dr, dz))2]

=

T0

Rd/{0}

E[|F (t, z)|2]dt d(z).

4.2. THORIE L2 29

Preuve. Soit F un processus simple de la forme

F =mj=1

ni=1

Fi(tj)1I(tj ,tj+1]1IAi

Comme t 7 N(t, Ai) est une Ft-martingale centre et que Fi(tj) est Ftj -mesurable, on a

E[Fi(tj)N((tj, tj+1, Ai)] = E[E[Fi(tj)N((tj, tj+1, Ai)|Ftj ]

]= E

[Fi(tj)E[N((tj, tj+1, Ai)|Ftj ]

]= E

[Fi(tj)E[N((tj, tj+1, Ai)]

]= 0.

Par linarit on en dduit que E[ T

0

Rd/{0} F (r, z) dN(dr, dz)

]= 0.

De mme, on a pour j < j et i, i

E[Fi(tj)N((tj, tj+1, Ai)Fi(tj)N((tj , tj+1, Ai)]= E

[Fi(tj)N((tj, tj+1, Ai)Fi(tj)E[N((tj , tj+1, Ai)|Ftj ]

]= 0

et pour j = j :

E[Fi(tj)N((tj, tj+1, Ai)Fi(tj)N((tj, tj+1, Ai)]= E

[Fi(tj)Fi(tj)E[N((tj, tj+1, Ai)N((tj, tj+1, Ai)|Ftj ]

]= E

[Fi(tj)Fi(tj)E[N((tj, tj+1, Ai)N((tj, tj+1, Ai)]

]= E

[Fi(tj)

2](tj+1 tj)(Ai)i,i ,

o i,i dsigne le symbole de Kroenecker.

En sommant sur les valeurs de i, i et j, j et en utlisant les deux galits ci-dessus on obtient :

E[( T

0

Rd/{0}

F (r, z) dN(dr, dz))2]

=n

i,i=1

mj,j=1

E[Fi(tj)N((tj, tj+1, Ai)Fi(tj)N((tj , tj+1, Ai)]

=ni=1

mj=1

E[Fi(tj)

2](tj+1 tj)(Ai)

=

T0

Rd/{0}

E[|F (t, z)|2]dt d(z).

On en dduit que lapplication IT : S(T, ) H2(T, ) est une isomtrie linaire, qui seprolonge donc H2(T, ) tout entier. Ce prolongement sera encore not IT . Par densit de S(T, )dans H2(T, ), il vrifie :


Thorme 14. Lintgrale stochastique IT satisfait les proprits suivantes :

1) F,G H2(T, ) et , R, IT (F + G) = IT (F ) + IT (G),2) F H2(T, ), E[IT (F )] = 0 et E

[(IT (F ))

2]

= FT, ,3) F,G H2(T, ), E[IT (F )IT (G)] = F,GT,4) F H2(T, ), le processus (It(F ); 0 t T ) est une cdlg Ft-martingale de carr

intgrable.

Lemme 4. Si F H2(T, ) et si (An)n est une suite croissante de sous-ensembles borliens deRd/{0} telle quenAn = E Rd/{0} alors

limn

E[

sup0tT

t0

An

F (r, z) N(dr, dz) t

0

E

F (r, z) N(dr, dz)2] = 0.

Preuve. Cest une consquence directe de lingalit de Doob pour les martingales et du thormede convergence domine.

4.3 Extension de la thorie

Comme dans le cas du mouvement brownien, on peut tendre cette intgrale aux classes dqui-valence de fonctions F : [0, T ](Rd/{0}) R qui sont gales dtddIP presque srementqui vrifient :

1) F est prvisible,

2) IP( T

0

Rd/{0} |F (t, z)|2dt (dz) < +

)= 1.

Comme cette extension repose sur les mmes arguments que dans le cas du mouvement brow-nien, nous ne dtaillons pas plus ce point.

4.4 Formules dIt

Commenons par un exemple simple. On considre une intgrale stochastique de Poisson dela forme

Xt = X0 +

t0

A

K(r, z)N(dr, dz), (4.1)

o A est born infrieurement et K est un processus prvisible valeurs relles.

Proposition 11. Si X est une intgrale stochastique de Poisson du type (4.1) alors, pour toutefonction f C(R) et tout t 0, on a presque srement :

f(Xt) = f(X0) +

t0

A

[f(Xr +K(r, z)) f(Xr)

]N(dr, dz).

4.4. FORMULES DIT 31

Preuve. On dfinit le processus de Poisson compos Lt =AzN(t, dz). Remarquons tout dabord

que N(t, A B) est la mesure de saut associe au processus L car

4Lt =zA

zN({t} {z}) =z

z1IA(z)N({t} {z}),

donc pour z0 6= 0, on a1I{4Ls=z0} = 1IA(z0)N({t} {z0}).

On en dduit

#{0 s t;4Ls B} =

0st1I{4LsB}

=

0st

zB

1I{4Ls=z}

=

0st

zB

1IA(z)N({t} {z})

= N(t, A B).Une consquence directe est que pour tout processus F H2(T, ), on a : t

0

A

F (r, z)N(dr, dz) =

0st1IA(4Ls)F (s,4Ls).

Do

f(Xt) f(X0) =

0stf(Xs) f(Xs)

=

0stf(Xs + 1IA(4Ls)K(s,4Ls)) f(Xs)

=

t0

A

(f(Xs +K(s, z)) f(Xs)

)N(ds, dz).

Montrons maintenant la formule dIt-Lvy dans le cas gnral. Soit (,F , IP) un espace pro-babilis muni dune filtration (Ft)t satisfaisant les hypothses usuelles. Soit B = (Bt; t 0) unFt-mouvement brownien standard d-dimensionnel. SoitN uneFt-mesure alatoire de Poisson surR+B(Rd/{0}) dintensit dt d, o est une mesure de Lvy. Soit N sa mesure alatoire dePoisson compense.

Soit b : [0, T ] Rd et : b : [0, T ] Rdd des processus Ft-adapt prvisible telsque

E T

0

|b(r)|2 + |(r)|2dr < +,

et H,K : [0, T ] (Rd/{0}) Rd des processus prvisibles tels que H H2(T, ). Onconsidre le processus, pour 0 t T

Xt = X0+

t0

b(r) dr+

t0

(r) dBr+

t0

|z|


Thorme 15. Si X est une intgrale stochastique de type Lvy comme ci-dessus, alors, pourtoute fonction f C2(Rd) et t 0, on a avec probabilit 1 :

f(Xt) f(X0) = t

0

xf(Xr), b(r) dr + t

0

xf(Xr), (r) dBr

+1

2

t0

Tr(2xxf(Xr)(r)(r)

) dr+

t0

|z|1

[f(Xr +K(r, z)

) f(Xr)]N(dr, dz)+

t0

|z|

4.4. FORMULES DIT 33

Alors

f(Xt) f(X0) = t

0

xf(Xr), b(r) dr + t

0

xf(Xr), (r) dBr

+1

2

t0

Tr(2xxf(Xr)(r)(r)

) dr+

t0

|z|a

[f(Xr +K(r, z)

) f(Xr)]N(dr, dz)Preuve. Soit L le processus de Poisson compos dfini par Lt =

t0

|z|a zN(dr, dz). On consi-

dre ses temps de sauts (ou darrives) (Tn)n. Alors :

f(Xt) f(X0) =+n=0

[f(XtTn+1) f(XtTn)

]=

+n=0

[f(XtTn+1) f(XtTn+1)

]+

+n=0

[f(XtTn+1) f(XtTn)

]Pour Tn < t < Tn+1, on a :

Xt = XTn +

tTn

b(r) dr +

tTn

(r) dBr.

On peut donc appliquer la formule dIt pour le mouvement brownien, ce qui permet de traiter lecas de la deuxime somme. De plus

f(XtTn+1) f(XtTn+1) =f(XtTn+1 +K(Tn+1,4LTn+1)) f(XtTn+1),

do

+n=0

[f(XtTn+1) f(XtTn+1)

]=

+n=0

[f(XtTn+1 +K(t Tn+1,4LtTn+1)) f(XtTn+1)

]=

0st

[f(Xs +K(s,4Ls)) f(Xs)

]=

t0

A

[f(Xs +K(s, z)) f(Xs)

]N(ds, dz).

Le rsultat est dmontr.

Corollaire 2. Si X est une intgrale stochastique de type Lvy comme ci-dessus, alors presquesrement :

0sT|4Xt|2 < +.


Corollaire 3. Si X est une intgrale stochastique de type Lvy comme ci-dessus, alors, pour toutefonction f C2(Rd) et t 0, on a avec probabilit 1 :

f(Xt) f(X0) = t

0

xf(Xr), dXr+ 12

t0

Tr(2xxf(Xr)(r)(r)

) dr+

0st

(f(Xr) f(Xr) 4Xr, xf(Xr)

)Thorme 16. Ingalit de Burkholder-Davies-Gundy. Soient H H2(T, ) valeurs dansRd et : [0, T ] Rdd tel que

E T

0

|(r)|2 dr < +.

Soit M la martingale dfinie par

Mt =

t0

(r) dBr +

t0

Rd/{0}

H(r, z) N(dr, dz).

Alors, pour tout p > 0, il existe une constante Cp > 0 telle que

1

CpE( T

0

|(r)|2 dr +

0tT|4Mt|2

)p/2 E

[sup

0tT

(Mt)p]

et

E[

sup0tT

(Mt)p] CpE( T

0

|(r)|2 dr +

0tT|4Mt|2

)p/2.

Chapitre 5

Changement de mesures et martingalesexponentielles

Soit b : [0, T ] R et : b : [0, T ] R des processus Ft-adapt prvisible tels que

E T

0

|b(r)|2 + |(r)|2dr < +,

et H,K : [0, T ] (R/{0}) R des processus prvisibles tels que H H2(T, ). Onconsidre le processus, pour 0 t T

Xt = X0+

t0

b(r) dr+

t0

(r) dBr+

t0

|z| 0} > 1 presque srement. (5.1)Proposition 12. Sous lhypothse (5.1), alors Zt < + presque srement.

Preuve. On doit prouver que le produit infini converge. On pose0st

(1 +4Xs)e4Xs = A(t)B(t)

35

36 CHAPITRE 5. CHANGEMENT DE MESURES ET MARTINGALES EXPONENTIELLES

oA(t) =

0st;|4Xs|1/2

(1 +4Xs)e4Xs

etB(t) =

0st;|4Xs|

5.2. MARTINGALES EXPONENTIELLES 37

5.2 Martingales exponentielles

Le but de cette section est de dterminer des conditions qui assurent que eX est une martingale,o X a t dfini en dbut de chapitre.

Thorme 18. On suppose, de plus, que

E[ t

0

|z|1|K(r, z)|(dz)dr

]< +.

Le processus X est une martingale si et seulement si

b(t) +

|z|1

K(t, z) (dz) = 0,

presque srement pour Lebesgue presque tout t 0.

Preuve. Un sens est trivial. Montrons la rciproque et supposons que X soit une martingale. On aE[Xt Xs|Fs] = 0. On en dduit

E[ ts

b(r) dr +

ts

|z|1

K(t, z) (dz)dr|Fs] = 0,

do1

h

s+hs

E[b(r) +|z|1

K(t, z) (dz)|Fs] dr = 0.

Le rsultat suit en passant la limite quand h 0 et en utilisant le thorme de drivation deLebesgue.

Corollaire 4. eX est une martingale si et seulement si :

b(t) +1

22(t) +

|z|


Exemple 14. Cas poissonnien. On suppose que X est de la forme

Xt =

t0

b(r) dr +

t0

K(r)N(dr)

o N est un processus de Poisson dintensit . Pour que eX soit une martingale, il faut queb(t) = (eK(t) 1), do

eXt = exp( t

0

K(r)N(dr) +

t0

(eK(r) 1) dr).

Exercice 12. Montrer que eY concide avec lexponentielle de Doleans-Dade si et seulement si Yest une intgrale brownienne.

5.3 Changement de mesures-Thorme de Girsanov

Si Q est une mesure de probabilit sur (,F , IP) muni dune filtration (Ft)t (satisfaisant leshypothses habituelles), on note Qt la restriction de Q Ft.

On rappelle que si Q 0.Lemme 6. Le processus M = (Mt; 0 t T ) est une martingale sous Q si et seulement siMeX = (Mte

Xt ; 0 t T ) est une martingale sous P .

Preuve. Soit A Fs. Alors

EP [MteXt1IA] = EPt [MteXt1IA] = EQt [Mt1IA] = EQ[Mt1IA] = EQ[Ms1IA] = EP [MseXs1IA].

Lautre sens se montre de la mme manire.

Thorme 19. Girsanov. Soit X une intgrale de type Lvy telle que eX soit une martingale, ieX est de la forme

Xt =

t0

b(r) dr +

t0

(r) dBr +

t0

|z|

5.3. CHANGEMENT DE MESURES-THORME DE GIRSANOV 39

Pour L H2(T, ), on dfinit

M(t) =

t0

z 6=0

L(r, z) N(dr, dz).

On dfinitU(r, z) = (eH(r,z) 1)1I|z|


La mthode est similaire pour N . On a :

NteXt =

t0

NreXr(r) dBr + t

0

|z| 0 fix. Si M = (Mt; 0 t T )est une martingale de carr-intgrable par rapport la filtration (Ft)t alors il existe a R, unprocessus prvisible F : [0, T ] R tel que

E T

0

|F (r)|2 dr < +

et H H2(T, ) tel que pour tout 0 t T :

Mt = a+

t0

F (r) dBr +

t0

Rd/{0}

H(r, z) N(dr, dz).

Le triplet (a, F,H) est uniquement dtermin par M aux ensembles de mesure nulle prs.

Chapitre 6

Equations diffrentielles stochastiques

6.1 Existence et unicit

Soit (,F , IP) un espace probabilis equipp dune filtration (Ft)t satisfaisant les hypothsesusuelles. Soit B = (Bt; t 0) un mouvement brownien standard d-dimensionnel et une mesurealatoire de PoissonN surR+(Rd/{0}). On suppose queB etN sont indpendants et tous deuxsont (Ft)t-adapts. On note lintensit de N et N la mesure de Poisson compense associe.

On cherche rsoudre lEDS

Xt =X0 +

t0

b(Xr) dr + t

0

(Xr) dBr + t

0

|z| 0 telle que pour tout x, x Rd :

|b(x) b(x)|2 + |(x) (x)|2 +|z| 0 telle que pour tout x Rd :

|b(x)|2 + |(x)|2 +|z|

42 CHAPITRE 6. EQUATIONS DIFFRENTIELLES STOCHASTIQUES

Thorme 21. Sous les hypothses (CL) et (CC), il existe une unique solution lEDS (6.1).

Ide de preuve. 1) on considre dabord le cas o G = 0 et E[X20 ] < +. Il suffit alors dutiliserla mthode du point fixe de Picard. La mthode est similaire au cas du mouvement brownien. Dansce cas on montre que la solution vrifie

E[

sup0st

|Xs|2] C(t)(1 + E[|X0|2]).

2) si G = 0 et E[X20 ] = +. On dfinit une suite (Xn0 )n par Xn0 = X01I|X0|n. On appliquele 1) pour chaque n, ce qui permet de construire une suite de processus Xn solution de (6.1) aveccondition initiale Xn0 . Il est facile de voir que la suite (X

n)n vrifie

IP(supt0|Xmt Xnt | > ) 0

quand n,m . En particulier, elle converge vers un processus adapt cdlg X solution de(6.1).

3) Soit P le processus de Poisson compos dfini pour t 0 par

Pt =

t0

|z|1

xN(dr, dz).

Soit (Tn)n les temps darrives de P . Lide est de construire, laide du 2), une solution X (6.1), sur lintervalle de temps [0, T1[, intervalle sur lequel on peut considrer que G = 0. Ensuiteon pose XT1 = XT1+G(T1,4PT1) et on rsoud (6.1) sur [T1, T2[ avec condition initiale XT1 ...etainsi de suite. Le processus X ainsi construit est une solution de (6.1). Lunicit se montre de lamme faon.

6.2 Proprit de Markov

Thorme 22. La solution de (6.1) est un processus de Markov homogne.

Preuve. Soit f une fonction borne sur Rd. Il faut montrer que

E[f(Xt+s)|Fs] = E[f(Xt)|X0 = Xs].

Pour cela, on note Xs,xt (t s) la solution de (6.1) partant de x linstant s. Cest un processus(Bs+u Bs, N(]s, s + u], A);u 0, A B(Rd/0))-mesurable, donc indpendant de Fs, qui amme loi que X0,xts (par stationnarit des accroissements du brownien et de la mesure de Poisson).Par unicit de la solution, on a presque srement :

Xs,X0,xs

t+s = X0,xt+s.

DoncE[f(Xt+s)|Fs] = E[f(Xs,X

0,xs

t+s )|Fs] = E[f(X0,X0t )|X0 = X0,xs ]

6.3. FORMULE DE FEYNMAN-KAC 43

6.3 Formule de Feynman-Kac

Soit L loprateur dfini pour toute fonction f C2b (Rd) par

Lf(x) =b(x), xf(x)+ 12

Trace[(x)(x)2xxf(x)

]+

|z|

44 CHAPITRE 6. EQUATIONS DIFFRENTIELLES STOCHASTIQUES

Chapitre 7

Quelques applications en finance

7.1 Probas risque neutre

On considre un actif risqu {St; t 0} adapt une filtration {Ft; t 0}, et un actif nonrisqu {S0t ; t 0} qui crot selon la formule des intrts composs

t 0, S0t = S0ert

o r est le taux dintrt instantan.

On dfinit le processus actualis {St; t 0} par St = ertSt.Thorme 24. Si le march est libre darbitrage, il existe une mesure de probabilitQ quivalente IP sous laquelle lactif ractualis S est une martingale.

Un march est dit complet si tout actif contingent peut tre rpliqu par un porte-feuille auto-financ.

Thorme 25. Si le march est complet si et seulement sil existe une unique mesure de probabilitQ quivalente IP sous laquelle lactif ractualis S est une martingale.

Une telle mesure est alors appele mesure de risque neutre. Si Q existe mais nest pas unique,le march est dit incomplet.

On suppose que lactif risqu satisfait lEDS

dSt = St dXt + St dt

o X est un processus de Lvy. On peut alors utiliser les exponentielles de Doleans-Dade pourmodliser S. Clairement, pour que les prix du stock soit non ngatif, il faut imposer la conditionXt > 1. We set c = 1. On impose galement la condition suivante sur la mesure deLvy associe la mesure alatoire de Poisson N reprsentant les sauts de X +

c

(x2 x) d(x) < + < +.

En particulier, les returns possdent des moments dordre 2.

45

46 CHAPITRE 7. QUELQUES APPLICATIONS EN FINANCE

Daprs la dcomposition dIto-Lvy, on peut crire

Xt = mt+ Bt +

t0

+c

zN(dr, dz),

o 0 et m R. En utilisant la formule dIt, on a :

d ln(St) = dBt+(m+1222) dt+

+c

ln(1+z) N(dr, dz)+

+c

[ln(1+z)z] (dz)dt

On cherche maintenant dterminer des mesures de probabilitQ quivalentes IP par rapportauxquelles lactif risqu ractualis est une martingale. Pour cela on va chercher des mesures deprobbilits Q sous la forme

dQ = eYT dIP

o Y est un processus dIt-Lvy de la forme

dYt = G(t) dt+ F (t) dBt +

R

H(t, z) N(dt, dz)

avec H H2(T, ). On suppose que les coefficients, G,F,H sont tels que le processus eY soitune martingale. Ainsi G est uniquement dtermin par F et H daprs le corollaire 4. On peutdonc bel et bien dfinir une nouvelle mesure de probabilit Q par

dQ = eYT dIP.

De plus, daprs le thorme de Girsanov,

BQt = Bt t

0

F (r) dr

est un mouvement brownien sous Q et

NQ(t, E) = N(t, E) Q(t, E)est une Q-martingale o

Q(t, E) =

t0

E

(eH(r,z) 1)(dz)dr.

Lemme 7. Le compensateur de NQ(t, E) est t

0

EeH(r,z)(dz)dr.

Preuve. En appliquant la formule dIt, on obtient

NQ(t, E)2 =(N(t, E) Q(t, E))2

=

t0

E

(N(r, E) Q(r, E) + 1)2 (N(r, E) Q(r, E))2 N(dr, dz)

+

t0

E

[(N(r, E) Q(r, E) + 1)2 (N(r, E) Q(r, E))2

2(N(r, E) Q(r, E))] (dz)dr 2

t0

(N(r, E) Q(r, E))

E

(eH(r,z) 1)(dz)dr,

7.1. PROBAS RISQUE NEUTRE 47

qui peut se rcrire sous la forme

NQ(t, E)2 =2

t0

NQ(r, E)N(dr, E) + N(t, E)

+ 2

t0

NQ(r, E)(E)dr 2 t

0

NQ(r, E)(E)dr + t(E)

2 t

0

NQ(r, E)Q(r, E)dr

=2

t0

NQ(r, E)NQ(dr, E) + NQ(t, E) + Q(t, E)dr + t(E)

=2

t0

NQ(r, E)NQ(dr, E) + t

0

E

eH(r,z)(dz)dr.

On peut alors rcrire le prix de lactif ractualis en fonctions de ces nouveaux processus pourobtenir :

d ln(St) = dBQt

1

222dt+

+c

ln(1 + z) NQ(dr, dz)

+

+c

[ln(1 + z) z]eH(t,z) (dz)dt

+(m + r + F (t) +

+c

z(eH(t,z) 1) (dz))dt

Posons

C(t) = m + r + F (t) + +c

z(eH(t,z) 1) (dz).En appliquant la formule dIt-Lvy, on obtient :

dSt =St dBQt +

+c

Stz NQ(dr, dz) + StC(t)dt.

Ainsi, lactif ractualis St est uneQ-martingale locale si et seulement siC(t) = 0 ps. Cest mmeune martingale si lon impose la condition

t > 0, t

0

+c

z2EQ[eH(r,z)](dz)dr < +.

Il est important de remarquer que la conditionC = 0 possde (en gnral) une infinit de solutions(F,H). En effet, si f L1(R, ) et si (F,H) est une solution, alors le couple(

F +

R

f d, ln(eH fz

))

est aussi solution. Donc il existe une infinit de mesureQ, quivalentes IP, sous lesquelles lactifractualis est une martingale. Dune faon gnrale, les modles dactif de type Lvy sont doncdes marchs incomplets.

Remarque importante : Il existe 2 cas particuliers o le march est complet


1. Cas brownien (cad = 0 et > 0) : dans ce cas F (t) = rm

ps.2. Cas poissonien (cad = 0 et = 1 avec > m+ ( r)/) : dans ce cas on pose

H(t) = H(t, 1) = ln

(r + (m)

)ps.

7.2 Exemples

En principe, un processus de Lvy peut avoir simultanment une composante de diffusion nonnulle et des sauts dactivit infinie (mesure de Lvy non intgrable en 0) . Cependant, les petitssauts ont un comportement similaire une diffusion et sont donc redondants avec la composantebrownienne, du point de vue de la modlisation de la dynamique des prix. En particulier, un telmodle serait difficile calibrer. Par consquent, les modles de Lvy exponentiels considrsdans la littrature financire sont de deux types. Le premier type, ce sont des modles de diffusionavec sauts o on combine une partie de diffusion non nulle avec un processus de sauts dacti-vit finie. Le processus volue principalement comme une diffusion, tandis que les discontinuitsmodlisent de grands mouvements inattendus et relativement rares dans les prix.

La seconde catgorie de modles est celle des processus sans terme de diffusion. Dans ce cas,les petits sauts frquents sont ncessaires pour gnrer des trajectoires ralistes : on parle alors desmodles purement discontinus dactivit infinie : les sauts arrivent constamment.

Les modles prsents ci-dessous sont du type Lvy exponentiels, cest--dire que lactif risquSt est dcrit par

St = S0ert+Xt

o r est le taux dintrt de lactif non risqu et le processus X est un Lvy satisfaisant tel queeX est une martingale (condition dabsence darbitrage). Cest donc lvolution des prix sous laproba risque neutre que lon sintresse. Si le processus de Lvy X scrit

Xt = t+ Bt +

t0

|z|1

ez(dz) < + et = 2/2R

(ez 1 z1I|z|

7.2. EXEMPLES 49

Lavantage de ce modle est davoir une formule en srie pour la densit de proba du log-prix :

pt(x) = et

+k=0

(t)k exp( (xtk)2

2(2t+k2)

)k!

2pi(2t+ k2).

7.2.2 Processus variance-gamma

Lun des exemples les plus simples de processus de Lvy avec intensit infinie de sauts est leprocessus gamma, un processus aux accroissements indpendants et stationnaires tel que pour toutt, la loi pt de Xt est la loi gamma de paramtres et ct :

pt(x) =ct

(ct)xct1ex.

Le processus gamma est un processus de Lvy croissant dont la fonction caractristique a uneforme trs simple

E[eiuXt ] =(1 iu

)ct.

On dmontre facilement que la mesure de Lvy du processus gamma a une densit donne par

(dx) =cex

x1I{x>0}

A partir du processus gamma, on peut construire un modle avec sauts trs populaire : le processusvariance gamma, qui est obtenu en changeant lchelle de temps dun mouvement brownien avecdrift par un processus gamma :

Yt = Xt + BXt .

Lutilisation de Y pour modliser le logarithme du prix daction est habituellement justifie endisant que le prix suit un mouvement Brownien gometrique sur une chelle de temps stochastiquedonne par le processus gamma. Le processus variance gamma est un autre exemple du processusde Lvy avec intensit infinie de sauts, et sa fonction caractristique est donne par

E[eiuYt ] =(

1 +2u2

2 iu

)t.

Le paramtres ont linterprtation intuitive suivante : est un paramtre dchelle, est le para-mtre dasymtrie (skewness) et est le paramtre de kurtosis du processus (paisseur des queuesde la densit).

7.2.3 Modle NIG (Normal Inverse Gaussian)

Le processus de log-prix est obtenu en subordonnant un mouvement brownien t + Bt parun subordinateur inverse gaussien (voir lexemple 11). Il est utilis en finance car la densit deprobabilit du subordinateur est connue sous forme analytique. Ceci rend le processus subordonnplus facile tudier et simuler.


7.3 Problmes de couverture

Dans un march incomplet, la rplication exacte nest pas possible et le problme de couverturedevient un problme dapproximation du pay-off YT de loption par le portefeuille de couverture.On peut essayer doptimiser la stratgie de couverture en contrlant lerreur rsiduelle. La couver-ture par maximisation dutilit consiste chercher la stratgie de couverture qui maximise lutilitterminale du vendeur de loption

maxE[U(c+

T0

r dXr YT)]

o U est une fonction convexe concave.

Un inconvenient de cette approche est quelle correspond une rgle de pricing et couver-ture non-linaire : la couverture pour un portefeuille contenant une option A et une option B neconcide pas avec la couverture de A plus la couverture de B.

La couverture quadratique donne, quant elle, un ratio de couverture linaire. Elle consiste minimiser la distance L2 entre le pay-off et la valeur terminale du portefeuille de couverture :

minE[(c+

T0

r dXr YT)2]

.

Le portefeuille de couverture optimal (sil existe) est la projection L2 de Y sur le sous-espace(linaire) dactifs rplicables. Par contre, elle pnalise les gains et les pertes de la mme faon.Dans la suite de cette section on va se concentrer sur la couverture quadratique. De plus, onsupposera que les prix de tous les actifs sont des martingales.

On suppose que lactif risqu Xt est un processus dIt-Lvy martingale

Xt = X0 +

t0

(r) dBr +

t0

R

(r, z)N(dr, dz)

o : B est un mouvement brownien standard, N est une mesure alatoire de Poisson de compensateur dt , et sont des processus cdlg adapts qui remplissent les conditions dintgrabilit :

|(r, z)|2 (z)Ar,(z) (dz) < + et E

T0

(2r + Ar) dr < +.Le pay-off de loption Y est de carr intgrable E[Y 2] < +. En particulier, la martingale

Yt = E[Y |Ft]admet une reprsentation de type It-Lvy :

Yt = Y0 +

t0

Y (r) dBr +

t0

R

Y (r, z)N(dr, dz).

Lerreur de couverture est dfinie par :

(c, ) = c+

T0

(r) dXr Y

= c E(Y ) + T

0

((r)(r) Y (r)) dBr + T

0

R

((r)(r, z) Y (r, z))N(dr, dz).

7.4. MTHODES DE TRANSFORMES DE FOURIER POUR LE PRICING DOPTIONS 51

Do :

E[(c, )2] = (cE[Y ])2 + T

0

(E[((r)(r)Y (r))2]+

R

((r)(r, z)Y (r, z))2(dz))dr,

quantit qui est minimise pour

c = E[Y ], t =t

Yt +

RY (t, z)(t, z)(dz)

2t +R2(t, z)(dz)

,

pourvu que 2t +R2(t, z)(dz) soit non singulire.

7.4 Mthodes de transformes de Fourier pour le pricing dop-tions

Soit X un processus de Lvy tel que eX soit une martingale. Pour calculer le prix dun calleuropen

C(K) = erTE[(S0e

rT+XT K)+

]= S0E

[(eXT Ke

rT

S0

)+

] def= S0E

[(eXT e)

+

],

on cherche calculer sa transforme de Fourier par rapport au log-strike ajust en fonctionde lexposant de Lvy de X : T (v). Le prix du call rsultera alors des mathodes dinversion deFourier. Or ceci ne peut pas tre fait directement car la fonctionC() nest pas intgrable (elle tendvers une constante positive lorsque tend vers ). Lide est donc de recentrer cette fonctionet de calculer la transforme de (en prenant S0 = 1)

gT (k) = E[(eXT e)

+

] (1 ek)+.Proposition 13. Soit X un processus stochastique tel que eX soit une martingale et

E[e(1+)Xt ] < + t (7.1)

pour un certain > 0. Alors la transforme de Fourier de la fonction gT est donne par

gT (v) =

R

eivgT ()d =T (v i) 1iv(1 + iv)

.

Le prix du call se calcule alors en inversant la transforme de Fourier :

C(K) = (S0 KerT )+ + S02pi

R

eiv ln(KerT /S0)T (v i) 1

iv(1 + iv)dv.

Proof. We have

gT () =

R

(ex ek)(1Ix 1I0)T (dx)


o T est la loi de XT . La condition (7.1) permet de calculer gT en changeant lordre dintgra-tion.

gT (v) =

R

d

R

T (dx)eiv(ex e)(1Ix 1I0)

=

R

T (dx)

0x

eiv(e ex) d

=

R

T (dx)(1 exiv + 1

ex

iv(iv + 1)+

e(iv+1)x

iv(iv + 1)

).

Le premier terme du membre de droite disparat car eX est une martingale et les 2 restants donnentle rsultat.

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