Upload
hapho90
View
776
Download
4
Embed Size (px)
Citation preview
19/02/2009
1
Mécanique des structures et des solides ‐ IV
Introduction : Lignes d’influence19.02.2009
Cour 1: Introduction aux lignes d’influence
• Isostaticité et hyperstaticité• Degré d’hyperstaticitéDegré d hyperstaticité• Déplacement et travail virtuel• Théorème des déplacement virtuels• Les lignes d’influence dans les systèmes isostatiques
19.02.2009 IMAC, EPFL Switzerland
Isostaticité et hyperstaticité
• Une structure est dite isostatique (ou statiquementdéterminée) si l’on peut faire l’analyse statique complète parles seules équations d’équilibre. Elle sera dite hyperstatique(ou statiquement indéterminée) dans le cas contraire
Iso/hyperstat ic itéDegréTravai l v irtue lThéorèmeLignes d’ in f luence
19.02.2009 IMAC, EPFL Switzerland
19/02/2009
2
Degré d’hyperstaticité
• Le nombre d’inconnues est lié aux conditions d’appui et aux conditions de liaison entre les éléments d’une structure.
Iso/hyperstat ic itéDegréTravai l v irtue lThéorèmeLignes d’ in f luence
• Dans une structure hyperstatique, le nombre d’inconnues surabondant s’appelle le degré d’hyperstaticité.
19.02.2009 IMAC, EPFL Switzerland
Degré d’hyperstaticité
Détermination du degré d’hyperstaticité:• Pour déterminer le degré d’hyperstaticité d’une structure, il
suffit d’y pratiquer le nombre de coupures simplesstrictement nécessaire pour la transformer en une structureisostatique puis décompter le nombre de ces coupures
Iso/hyperstat ic itéDegréTravai l v irtue lThéorèmeLignes d’ in f luence
isostatique, puis décompter le nombre de ces coupures.
Coupure simple:• C’est la suppression d’une seule liaison.• Une coupure simple abaisse le degré d’hyperstaticité d’une
unité.
19.02.2009 IMAC, EPFL Switzerland
Coupures simples
• Introduire un degré de liberté nouveau dans la structure– On doit associer à toute coupure simple la force interne qui lui
correspond
Iso/hyperstat ic itéDegréTravai l v irtue lThéorèmeLignes d’ in f luence
19.02.2009 IMAC, EPFL Switzerland
Coupures simples
→ 1 DLL
Coupure complète
→ 3 DLL
19/02/2009
3
Déplacement et travail virtuels
Déplacement virtuel:• On appelle déplacement virtuel un déplacement
hypothétique, arbitraire et très petitTravail virtuel:
L il d l f F d l l i i ll δ d
I so/hyperstat ic itéDegréTravai l virtuelThéorèmeLignes d’ in f luence
• Le travail de la force F dans la translation virtuelle δu, ou dumoment M dans la rotation virtuelle δθ, s’appelle le travailvirtuel δW:
19.02.2009
W F u
W M
δ δ
δ δθ
= ⋅
= ⋅IMAC, EPFL Switzerland
Déplacement et travail virtuels
Déplacement virtuel rigide:• On dit qu’un déplacement est rigide si le système se déplace
en bloc, sans se déformer, comme s’il était rigide
Iso/hyperstat ic itéDegréTravai l virtuelThéorèmeLignes d’ in f luence
Déplacement virtuel compatible avec les appuis:• On dit qu’un déplacement est compatible avec les appuis s’il
respecte les conditions d’appui– (les réactions ne travaillent pas)
19.02.2009 IMAC, EPFL Switzerland
Théorème des déplacements virtuels
Théorème:• Lorsqu’un système en équilibre subit un déplacement virtuel
rigide, la somme des travaux virtuels de toutes les forces et detous les moments doit être nulle
I so/hyperstat ic itéDegréTravai l v irtue lThéorèmeLignes d’ in f luence
Remarques:– Le théorème a peu d’applications pratiques mais il sert de base à la
détermination des lignes d’influence.
19.02.2009
0Wδ =∑
IMAC, EPFL Switzerland
19/02/2009
4
Théorème des déplacements virtuels
• Utilisation du théorème pour le calcul d’une force interne(cas d’une structure isostatique):
1. Introduire la coupure simple qui extériorise cette force(la structure est ainsi transformée en mécanisme de degré 1)
Iso/hyperstat ic itéDegréTravai l v irtue lThéorèmeLignes d’ in f luence
( g )
2. Appliquer un champ de déplacements compatible avec les appuis(ne dépendant que d’un seul paramètre)
3. Les seules forces en action sont les forces extérieures et la forceinterne extériorisée
4. Rechercher l’inconnue de l’équation d’équilibre :
19.02.2009
0Wδ =∑
IMAC, EPFL Switzerland
Théorème des déplacements virtuels
Exemple:• Rechercher la composante verticale By de la réaction d’appui en B
PP
I so/hyperstat ic itéDegréTravai l v irtue lThéorèmeLignes d’ in f luence
19.02.2009
B
A
a a ab
IMAC, EPFL Switzerland
Théorème des déplacements virtuels
Exemple:• Rechercher la composante verticale By de la réaction d’appui en B
PP
½
I so/hyperstat ic itéDegréTravai l v irtue lThéorèmeLignes d’ in f luence
19.02.2009
B
A
a a ab By
1
1½
IMAC, EPFL Switzerland
0
W F u
W MW
δ δ
δ δθδ
= ⋅
= ⋅
=∑
19/02/2009
5
Théorème des déplacements virtuels
Exemple:• Rechercher la composante verticale By de la réaction d’appui en B
PPW F uδ δ ⎫= ⋅⎪
I so/hyperstat ic itéDegréTravai l v irtue lThéorèmeLignes d’ in f luence
19.02.2009
B
A
a a ab By
1
1½ 0
1 1 1 023 302 2
y
y y
W M Déplacement VirtuelW
W P P B
P PB B
δ δθδ
δ
⎪⎪= ⋅ ⎬⎪= ⎪⎭−= − × − ×− + ×− =
− = ⇒ =
∑∑
IMAC, EPFL Switzerland
Théorème des déplacements virtuels
Quel est l’utilité de la méthode des déplacements virtuels sides logiciels avancés peuvent obtenir la même réponse… !?
I so/hyperstat ic itéDegréTravai l v irtue lThéorèmeLignes d’ in f luence
19.02.2009
AFIN DE COMPRENDRE ET
VÉRIFIER LES RÉSULTATS!!!
IMAC, EPFL Switzerland
Les lignes d’influence
• Charges mobiles: Ponts, Ponts roulants, etc.
Iso/hyperstat ic itéDegréTravai l v irtue lThéorèmeLignes d’ inf luence
19.02.2009
• Effet statique évolue avec la position de la charge• ! Intéressant: Étude de la variation d’un effet en fonction de
la position de la charge– Effets étudiés : une réaction d’appui, une sollicitation, une déformation,
etc.
IMAC, EPFL Switzerland
19/02/2009
6
Les lignes d’influence
• Définition: Une ligne d’influence est une courbe qui donne lavaleur d’un effet à une position fixe pour toute position de lacharge
I so/hyperstat ic itéDegréTravai l v irtue lThéorèmeLignes d’ inf luence
19.02.2009
Exemple:– La ligne d’influence du moment de flexion au point C est la courbe qui
donne la valeur deMc en fonction de la position x de la charge
IMAC, EPFL Switzerland
Les lignes d’influence
Exemple:– Ligne d’influence d’une réaction d’appui
I so/hyperstat ic itéDegréTravai l v irtue lThéorèmeLignes d’ inf luence
19.02.2009
Recherchons la valeur de la réaction en A→ RA en fonction de la position x de la charge P
Équation d’équilibre :
IMAC, EPFL Switzerland
( )1AXR P L= −
Les lignes d’influence
• Pour une charge P unitaire (P=1), la ligne d’influence de laréaction en A aura l’allure suivante:
Iso/hyperstat ic itéDegréTravai l v irtue lThéorèmeLignes d’ inf luence
19.02.2009
Remarque: Lorsque la charge P est située sur le porte‐à‐faux près de l’appui B, la réaction en A est négative (soulèvement)
IMAC, EPFL Switzerland
19/02/2009
7
Les lignes d’influence
Application du théorème des déplacements virtuels• L’application de ce théorème permet d’obtenir facilement
l’allure de la ligne d’influence d’un effort interne ou d’une réaction d’appui
• Systèmes isostatiques: On peut aussi obtenir les valeurs
I so/hyperstat ic itéDegréTravai l v irtue lThéorèmeLignes d’ inf luence
19.02.2009
• Systèmes isostatiques: On peut aussi obtenir les valeurs numériques de l’effet étudié
Revenons à l’exemple précèdent:
IMAC, EPFL Switzerland
Les lignes d’influence
• Faisons une coupure simple au niveau de l’appui A, cette coupureextériorise la force de réaction RA
• Imposons au droit de l’appuiA un déplacement vertical virtuel vA
I so/hyperstat ic itéDegréTravai l v irtue lThéorèmeLignes d’ inf luence
19.02.2009
• En appliquant le théorème des déplacements virtuels
IMAC, EPFL Switzerland
0A A AA
PR P y R yν ν⎛ ⎞⋅ − ⋅ = ⇒ = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
Les lignes d’influence
On constate que:• Pour une charge unitaire: P=1• Et pour un déplacement virtuel unitaire: vA=1
I so/hyperstat ic itéDegréTravai l v irtue lThéorèmeLignes d’ inf luence
19.02.2009
On retrouve la ligne d’influence obtenue précédemment paréquilibre
IMAC, EPFL Switzerland
19/02/2009
8
Les lignes d’influence
Convention de signes…– Sens positif des efforts intérieurs sur les faces d’unemême coupe S
I so/hyperstat ic itéDegréTravai l v irtue lThéorèmeLignes d’ inf luence
19.02.2009 IMAC, EPFL Switzerland
En résumé, la ligne d’influence se trouve en :
Théorème des déplacement virtuels
S1
Iso/hyperstat ic itéDegréTravai l v irtue lThéorèmeLignes d’ inf luence
S2 S3
19.02.2009
MS11
ψ
IMAC, EPFL Switzerland
MS3
ψ
ψ
ψ1
En résumé, la ligne d’influence se trouve en :
Théorème des déplacement virtuels
S1
Iso/hyperstat ic itéDegréTravai l v irtue lThéorèmeLignes d’ inf luence
S2 S3
19.02.2009
VS11+
IMAC, EPFL Switzerland
1
VS31
1 ‐+‐
+
19/02/2009
9
En résumé, la ligne d’influence se trouve en :
Théorème des déplacement virtuels
S1
Iso/hyperstat ic itéDegréTravai l v irtue lThéorèmeLignes d’ inf luence
S2 S3
19.02.2009 IMAC, EPFL Switzerland
1+ ‐ RS2
Les lignes d’influence
En résumé, la ligne d’influence se trouve en :
1. Effectuer une coupure simple (au droit de l’effort recherché)2. Donner un déplacement virtuel = 1 compatible avec les appuis et
correspondant à l’effort recherché
I so/hyperstat ic itéDegréTravai l v irtue lThéorèmeLignes d’ inf luence
19.02.2009
• Moment → Rotation unitaire• Effort tranchant → Déplacement unitaire de la poutre• Réaction d’appuis → Déplacement unitaire de l’appui
3. Résultats sous forme graphique ou analytique
…Signe– Pour les réaction d’appuis… donner un déplacement opposé à l’effort– Le signe de l’effort sera donc donné par la ligne d’influence
IMAC, EPFL Switzerland