Cours Maths Fi 9

S5 Info-MIAGE 2011-2012 Mathmatiques Financires Les bases de lvaluation des investissements

Universit de Picardie Jules Verne Anne 2011-2012UFR des Sciences

Licence mention Informatique parcours MIAGE - Semestre 5Mathmatiques Financires

LES BASES DE LEVALUATION DES INVESTISSEMENTS

Les professionnels de la finance sont quotidiennement confronts des problmes dvaluation,concernant aussi bien des actifs financiers (actions, obligations, ...) que des actifs rels matriels (immeublesterrains, ...) ou immatriels (brevets, marques, capital humain, ...). Ces problmes interviennent rgulirement,par exemple ds quune entreprise tablit son bilan, ou ponctuellement, par exemple pour une oprationdinvestissement ou dacquisition dune autre entreprise. La plupart des techniques dvaluation repose sur latechnique de lactualisation. La thorie de la finance nous apprend en effet que la valeur dun actif est gale la somme des flux de profit futurs actualiss.

Ce chapitre est une introduction lvaluation des investissements. Il montre que la mathmatiquefinancire est linstrument privilgi du dcideur dune entreprise. Une connaissance claire et crtitique desmthodes actuarielles de choix dinvestissement est alors utile.

I - Les critres dvaluation des investissements

Dun point de vue financier, lanalyse dun investissement se rduit lanalyse de ses consquencesmontaires. A partir dun ensemble de flux rpartis dans le temps, il faut prendre la dcision de lancer leprojet, ou au contraire dy renoncer. Le plus souvent, on considre que la ralisation dun projet implique undcaissement initial en date 0, not I0, et que son exploitation engendre des flux de trsorerie F1, F2, ..., Fn endate 1, ..., n. Ces flux sont gnralement positifs (encaissements), mais il faudra considrer le cas o certainsdentre eux sont ngatifs (dcaissements).

Pour dcider, il faut disposer de mthodes permettant de mesurer limpact du projet sur lentreprise entermes de cration de valeur, en comparant les dcaissements aux encaissements, sachant que ces flux sontrpartis dans le temps (souvent plusieurs annes). Ces mthodes utilisent les procds dactualisation ou decapitalisation des flux et vont permettre de comparer des montants montaires dats. Dautres critres dechoix dinvestissement existent (taux de rendement comptable, dlai de rcupration), qui ne reposent pas surces techniques et qui peuvent conduire des dcisions discutables.

1) La valeur actuelle nette (VAN)Pour actualiser des flux, il faut disposer dun taux, appel taux dactualisation, et non plus taux dintrt,

dans la mesure o les oprations dinvestissement ne donnent pas lieu au versement dun intrt contractuel.Supposons dans un premier temps que ce taux est connu afin de dfinir la VAN.

DfinitionConsidrons un taux dactualisation, not r, exprim en base annuelle et supposons que les flux

dexploitation sont aussi annuels, en date 1 an, ..., n ans. La VAN est dfinie comme la valeur actualise endate 0 de lensemble des encaissements et des dcaissements, soit

V0r I0 F11 r F2

1 r2 Fn

1 rn

La dcision dinvestissement dpend du signe de la VAN. Si V0 est positif, linvestissement cre de lavaleur pour lentreprise, et est donc intressant. Lorsque la VAN est ngative, il doit tre rejet.

La formule prcdente sapplique des flux annuels avec un taux annuel, mais aussi des flux depriodicit quelconque pourvu que le taux retenu soit exprim en taux quivalent et dans la mme base que ladure sparant les flux.

ExempleCalcul de la VAN dun investissement de cot initial I0 1000 rapportant sur cinq ans les flux suivants :

Stphane Ducay 1


F1 F2 F3 F4 F5200 300 350 350 150

On a V00.12 1000 20010.12 300

10.122 350

10.123 350

10.124 150

10.125 25.60 , et de mme,

V00.10 24.91. Avec un taux de 12 %, la VAN est ngative et le projet nest pas intressant. Si le tauxdactualisation retenir est de 10 %, alors le projet cre de la valeur.

Voir aussi lexercice 1.

Taux dactualisation et taux dintrt psychologiqueLe taux dactualisation peut tre interprt comme permettant de quantifier le rapport dchange entre des

revenus montaires survenant des dates diffrentes. Considrant la date 0 et une date future T, et supposonsquun agent conomique soit disposer changer un capital C0 vers en date 0 contre un capital CT vers endate T. On suppose CT C0 0. on peut donc toujours crire

CTC0

1 , avec 0.

prsente les proprits dun taux dintrt. Cette variable caractrise la faon dont un agent conomiquedprcie le futur. On appelle donc un taux dintrt psychologique. Il peut varier en fonction des individus,des dures ou encore des montants engags. Il permet aussi de prendre en compte le risque du projet oulinflation anticipe. Lorsque la dcision dinvestir se fait en dehors de toute contrainte concurrentielle, le tauxdactualisation et le taux dintrt psychologique sont gaux. On analyse galement le taux dactualisationcomme une mesure du degr de prfrence pour le prsent (ou de dprciation du futur). Plus le taux estlev, plus les flux futurs sont dprcis, et donc plus grande est la prfrence pour le prsent.

Lexprience montre que le taux est souvent une fonction du terme annonc (illustration dans lexercice4). On peut donc considrer que lexpression de la VAN est rserve au cas particulier dun tauxdactualisation constant quelle que soit lchance. Une expression plus gnrale de la VAN serait donc

V0r1, r2, . . . , rn I0 F11 r1

F21 r22

Fn1 rnn

Dans cette expression, chaque flux est actualis un taux dpendant de la date doccurence de ce flux. Cettemthode dvaluation est similaire celle retenue pour calculer la valeur de march dune obligation danslaquelle les flux sont actualiss laide des taux zro-coupon (non abord dans ce cours).

Cette dernire expression est plus prcise, mais moins facile mettre en oeuvre car il faut dterminerautant de taux dactualisation quil y a de flux.

2) Le taux de rendement interne (TRI)Dans sa dfinition financire, un projet dinvestissement se rduit un chancier dencaissements et de

dcaissements. Dans le chapitre prcdent, nous avons travaill sur des chroniques de flux afin de dterminerdes taux effectifs. Applique un projet dinvestissement, cette mthode permet de dfinir le TRI, encoreappel TIR (taux interne de rentabilit).

DfinitionLe TRI est un taux effectif. Il est dfini comme le taux actuariel qui galise la valeur actuelle des

encaissements et des dcaissements. En le notant x, on a doncI0 F11 x

F21 x2

Fn1 xn

En considrant la VAN, on a donc V0x 0. Le TRI se dfinit donc galement comme le tauxdactualisation qui annule la VAN.

Le problme de la dtermination du TRI x est analogue celle dun taux effectif (voir chapitre prcdent).

Le TRI et la dcision dinvestirIl nest pas ncessaire de disposer dun taux dactualisation pour calculer un TRI. Cependant, la dcision

dinvestir ou de ne pas investir ncessite que lon connaisse le taux dactualisation requis par linvestisseur,afin de le comparer au TRI obtenu. Pour montrer cela, partons du critre de la VAN et considrons deux tauxdactualisation ra et rb diffrents et tels que

V0ra 0 et V0rb 0

Stphane Ducay 2


Si la VAN est une fonction strictement dcroissante du taux dactualisation, le TRI se situe lintersectionde la courbe de la VAN et de laxe des abscisses. Notons r le taux dactualisation retenu par linvestisseur. Sila VAN est positive, alors r x ; si la VAN est ngative, alors r x.

Autrement dit, sous lhypothse dune VAN strictement dcroissante, la rgle de selection dun projetdinvestissement, compte tenu du taux dactualisation r retenu par linvestisseur, est :

- si x r, alors la VAN est positive et le projet est intressant ;- si x r, alors la VAN est ngative et le projet est rejeter.

II - Analyse critique de la VAN et du TRI

Les deux critres de la VAN et du TRI reposent sur des dfinitions simples et ne prsentent, premirevue, pas de difficults dapplication particulires. En fait, ce nest pas tout fait le cas.

1) Divergence possible entre VAN et TRIMalgr la proximit de leur dfinition, il peut arriver que lapplication du critre de la VAN et du critre

du TRI ne conduisent pas la mme dcision lors de la comparaison de deux projets alternatifs.Considrons par exemple deux projets mutuellement exclusifs A et B dont les courbes dvolution de la

VAN en fonction du taux dactualisation sont reprsentes ci-dessous.

Le taux dactualisation requis sur ces projets est not r Compte tenu de la dfinition du TRI (valeur quiannuel la VAN), ra et rb sont les TRI respectifs des projets A et B. Ils ont tous les deux suprieurs r, ce quisignifie que les deux projets sont crateurs de valeur. Le fait quils soient mutuellement exclusifs obligelentreprise choisir. Puisque ra rb, le projet B doit tre prfr au projet A selon ce critre. Si lon se rfreau calcul de la VAN au taux r, on saperoit que la VAN du projet A est suprieure celle du projet B, etdonc A doit tre prfr B.

Les deux critres conduisent donc des choix diffrents, et les mathmatiques financires ne permettentpas de choisir. Cest la thorie microconomique qui permet de le faire en disant que pour maximiser lasatisfaction des actionnaire, il faut maximiser la VAN plutt que le TRI.

Stphane Ducay 3


2) Limpact de flux ngatifsDans le chapitre prcdent, on a dj voqu lexistence et lunicit dune solution lquation du taux

effectif. Le cas du TRI de projets dinvestissement est plus complexe dans la mesure o la srie de flux actualiser peut prendre des formes varies, et en particulier faire apparatre des alternances dencaissements etde dcaissements.

ExempleConsidrons un projet dinvestissement dans un complexe dexploitation minier. Lacquisition de ce

complexe se ferait 1 500 et permettrait de produire des flux annuels dexploitation constants sur vingt ans,dun montant de 800. Dans la dtermination des flux, il convient de prendre galement en compte les cotsdentretien, qui se montent 3 000 tous les cinq ans. Enfin, au bout de vingt ans, le gisement sera puis et lecontrat prvoit la restauration du site dont le cot est valu 8 000.

Calcul de la VAN au taux dactualisation de 6%Notons x le taux dactualisation. La VAN de ce projet peut tre dcompose en plusieurs parties :

- la valeur actuelle des flux dexploitation qui forme une rente constante sur 20 ans :A 800 1 1 x

20

x- la valeur actuelle des dcaissements dentretien du site qui forme une rente des trois flux constants

espacs de 5 ans ; en notant X 1 x5 1 le taux quivalent de priode 5 ans, on obtient :B 3 000 1 1 X

3

X 3 000 1 1 x15

1 x5 1- la valeur actuelle des autres flux (dcaissement initial et frais de remise en tat du site) :

C 1 500 8 000 1 x20 1 500 8 0001 x20

Lexpression de la VAN du projet en fonction du taux x est donne par A B C, soit :V0x 1 500 800

1 1 x20x 3 000

1 1 x15

1 x5 1

8 0001 x20

Pour un taux dactualisation de 6 %, nous avons une VAN de 12.75 0. Plus gnralement, la forme decette courbe pour des taux dactualisation positifs est reprsente sur le graphique ci-dessous.

0.1 0.2 0.3 0.4

-200

0

200

400

x

VAN

On peut vrifier que la VAN maximum 433.88 est obtenue pour un taux dactualisation 12.89 %, quelleest croissante sur lintervalle 0 , 0.1289 et dcroissante sur lintervalle 0.1289 , .

Calcul du ou des TRI du projetEn rsolvant lquation V0x 0, on trouve deux solutions : 5.92 % et 31.06 %. Il y a donc deux TRI.

Cet exemple montre que la VAN peut prendre des formes varies, entranant lexistence de TRI multiples,qui de ce fait deviennent difficilement interprtables. Il met en doute la possibilit dappliquer ces critres tout type de projets. Une amlioration des mthodes dvaluation financire de projets dinvestissement estpossible. Nous nen abordons que quelques aspects dans la suite.

3) La prise en compte dun taux de placementRappelons que lemploi des techniques actuarielles suppose quil est possible de rinvestir les revenus au

taux dactualisation. Cette hypothse affecte autant le TRI que la VAN. On peut contourner ce biais enmodifiant la dfinition de ces deux critres afin de prendre en compte des possibilits futures derinvestissement des flux positifs. Retenons le taux dactualisation not r et analysons un projet de cot initialI0 dont lexploitation est prvue sur n annes.

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Tous les flux dexploitation sont positifsOn suppose que les flux Fi sont positifs pour i 1, . . . ,n. On estime que ces flux pourront tre rinvestis

sur le march financier au taux t. Chaque flux va donc pouvoir tre capitalis ce taux t jusqu lchance.On obtient donc en date n la valeur capitalise :

F11 tn1 F21 tn2 FnOn peut alors calculer la VAN et le TRI par rapprochement de la valeur acquise de ces flux et dudcaissement initial I0. On obtient pour la VAN :

V0r, t I0 F11 tn1 F21 tn2 Fn 1 rn

formule que lon simplifie en notant F la valeur capitalise des flux en date n (expression entre crochets)V0r, t I0 F 1 rn I0 F1 rn

Pour le taux de rendement, not y, lquation rsoudre est V0y, t 0, soit I0 F1 yn 0, ce qui

donne

y FI0

1n

1

Le taux y ainsi calcul est appel taux de rendement lchance (TRE). Voir exercice 5.

Cas flux dexploitation ngatifsIl se peut que certains flux dexploitation soient ngatifs ; ceux-ci ne peuvent donc pas tre placs et

doivent tre financs. On retient comme taux de financement le cot moyen pondr du capital (CMPC, nondfini dans ce cours). Dans ce cas, la dmarche dvaluation consiste constater chaque fin de priode si lesflux cumuls et capitaliss sont positifs ou ngatifs. Le taux de capitalisation retenir est le taux definancement pour les flux ngatifs et le taux de placement pour les flux positifs. On obtient ainsi une valeuracquise en fin de vie que lon pourrait appeler valeur acquise nette.

ExempleUn investissement exploitable sur cinq ans donne lieu la squence de flux suivants

Dates (annes) 0 1 2 3 4 5Flux 10 000 1 000 2 000 7 000 7 000 5 000

Le taux de financement de lentreprise est de 6 %. Les excdents de trsorerie peuvent tre placs 4 %.En date 1, ayant financ son dcaissement initial au taux de 6 %, lentreprise prsente une dette de

10 000 1.06 10 600Elle affecte le flux 1 ce remboursement et ne doit plus que 9 600, montant qui doit tre financ jusquen

date 2. Le solde cette date de lopration de financement et du flux 2 (ngatif) donne une dette de9 600 1.06 2 000 12 176

En date 3, la dette devient : 12 176 1.06 7 000 5 906.56En date 4, lentreprise se retrouve pour la premire fois avec un excdant de trsorerie. En effet, sa dette

slve 5 906.56 1.06 6 260.95, qui peut tre rembours par le flux 4 de 7 000. Le solde de trsorerieest positif, gal 7 000 6 260.95 739.05, et peut tre plac 4 %.

En date 5, la valeur acquise nette du projet est739.05 1.04 5 000 5 768.61

Elle est positive ; le projet est donc intressant.

On voit donc sur cet exemple que le calcul se fait priode aprs priode en capitalisant le solde detrsorerie de linvestissemnt un taux de financement ou de placement, selon quil est ngatif ou positif.Applique lexemple prcdent (voir paragraphe II-2)), cette technique aurait conduit (avec des taux de 6 %et 4 %) une valeur acquise nette de 1 073 et donc rejeter le projet.

Remarquons que le taux de placement futur est normalement inconnu au moment de lanalyse du projet.En faisant lhypothse que les taux terme implicites la structure des taux (non dfinis dans ce cours)constituent des estimateurs des taux futurs, il est possible de les utiliser comme taux de placement pour lecalcul de la valeur acquise des flux.Stphane Ducay 5


III - Exercices

Exercice 1Un particulier tudie la possibilit dinvestir dans lachat dun appartement usage locatif. Le prix dachat

est de 120 000 . Les loyers sont verss trimestriellement raison de 2 340 pendant les trois premiresannes et 2 460 les annes suivantes. Le particulier envisage de revendre lappartement au bout de six ansen ralisant une plus-value de 10 %.

Cet investissement est-il intressant si le taux dactualisation requis pour cette opration est de 8 % enbase annuelle ?

Exercice 2 - QCMUne entreprise envisage dinvestir un million deuros afin de rendre plus performante lune de ses chanes

de production. On estime que les flux dexploitation supplmentaires gnrs par cet investissement,comptabiliss la fin de chaque anne, seront de 130 000 par an pendant dix ans, puis nuls ensuite. Pour untaux dactualisation de 4%, la valeur actuelle nette (VAN) de cet investissement est, 100 prs :

a) 52 000 b) 54 400 c) 300 000 d) 560 800

Exercice 3 - QCMUn investissement de 90 000 est rgl la date 0. Les flux annuels dexploitation prvus sont les

suivants :

Dates 1 2 3 4 5 6Revenus 15 000 20 000 30 000 20 000 10 000 5 000

Le taux de rendement interne (TRI) de cet investissement est :a) 6 % b) 17 % c) 3,4 % d) 3,55 %

Exercice 41) Un particulier est dispos changer 10 000 aujourdhui contre 15 000 dans trois ans ou 25 000

dans cinq ans. Quel est son taux dintrt psychologique trois ans ? cinq ans ? Les rsultats serontexprims en taux annuels quivalents.

2) Serait-il dispos engager un projet dinvestissement qui le conduirait investir 5 000 en date 0,sachant que cet investissement lui rapporterait 4 000 dans trois ans et 5 800 dans cinq ans ?

Exercice 51) Un projet dinvestissement de cot initial 600 rapporte des flux dexploitation annuels constants gaux

100 pendant dix ans. Ce projet est analys en retenant un taux dactualisation de 8 %. Calculer la VAN. Leprojet est-il intressant ?

2) On suppose que les flux dexploitation peuvent tre rinvestis sur le march financier au taux de 5 %.Calculer dans ces conditions la VAN et le TRE.

Exercice 6On considre deux projets dinvestissement immobiliers A et B de mme dure de vie : dix ans. Les

donnes projetes sur dix ans sont les suivantes :A B

Loyers annuels constants 13 10Prix dachat de limmeuble 100 90Prix de revente en fin de priode 120 135

1) Calculer le TRI de ces deux projets. Quel projet doit tre retenu ?2) Calculer les TRE des deux projets en supposant que le taux de rinvestissement des loyers perus reste

constant sur les dix ans, 4 %. Commenter.

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