Cours Mecanisme (VF 2015).pdf

Module :

Théorie des mécanismes

Pr Ahmed El Khalfi

FST Fès

Plan du cours

• Type de liaisons

• Liaisons simples et composées

• Liaisons parfaites

• Modélisation de l'effort mécanique de contact d'une liaison : torseur

cinématique et torseur statique d'une liaison. Dualité des torseurs.

Pression de contact

• Modélisation d'un mécanisme : graphe d'un mécanisme, schéma

cinématique, …

• Mécanisme de liaisons en parallèles, en série

• Introduction à la mécanique de contact

Pr. A. El Khalfi 2

L’objectif du module Théorie des mécanismes est maîtriser le

comportement d'un mécanisme afin :

• d'obtenir une précision voulue de mise en position d'une

pièce par rapport à une autre,

• d'éviter une usure prématurée, un coincement, ou un

montage impossible,

• de connaître précisément la position relative de chaque

liaison, entre elles ainsi que les torseurs d'action mécanique

correspondants.

Objectifs du module

Pr. A. El Khalfi 3

• de localiser, quand elles existent, les inconnues de liaison

(inconnues hyperstatiques) que l'on ne peut pas déterminer

uniquement par application du principe fondamental de la statique

(ou de la dynamique) à ce mécanisme.

• de proposer, éventuellement, des modifications pour rendre le

mécanisme isostatique (sans inconnue hyperstatique).

• de savoir à quelles conditions géométriques de position relative des

liaisons correspondent les inconnues hyperstatiques (le degré

d'hyperstaticité d'un mécanisme peut dépendre de sa position et

évoluer).

Pr. A. El Khalfi 4

Liaisons mécaniques

Hypothèses

Hypothèses :

• Les pièces modélisées par des solides indéformables.

• Les liaisons sans frottement donc parfaites.

• Les liaisons sans jeu donc sans mobilités parasites.

• Les liaisons à contact bilatéral, c'est-à-dire des liaisons dans

lesquelles le contact est supposé maintenu si le sens des actions

mécaniques est inversé. Cette hypothèse concerne les liaisons

ponctuelle, linéaire rectiligne et appui plan.

• Les pièces sont de masse nulle, les effets d'inertie étant nuls, on

pourra écrire le principe fondamental de la statique pour tout sous

ensemble de pièces d'un mécanisme

Pr. A. El Khalfi 6

Est-ce qu’une liaison ?• On appelle liaison mécanique l'ensemble des mouvements qui peuvent exister

entre deux solides ayant une zone commune de contact.

Montage de la

scie sauteuse :

Pour modéliser une liaison il faut tenir compte des caractéristiques technologiques

(fonctions, jeu, …) en plus des caractéristiques géométriques,

Pr. A. El Khalfi 7

Surface de contact élémentaire

Parallélépipède rectangle Cylindre Sphère

Cône Tore

Surfaces

planes

Surface

planeSurface

cylindriqueSurface

sphérique

Surface

torique

Surface plane

Surface

conique

• De point de vue géométrique, la forme de la surface de contact définit

le type de liaison entre les solides en contact.

• Les surfaces géométriques élémentaires obtenues à partir des

principaux procédés d'usinage sont : le plan, le cylindre, la sphère, …

Pr. A. El Khalfi 8

Type de contact

• Contact plan/sphère ponctuel

• Contact plan/cylindre linéaire rectiligne

• Contact plan/plan contact plan ou appui plan

• Contact cylindre/sphère linéaire annulaire

• Contact cylindre/cylindre surface cylindrique

ou pivot glissant

• Contact sphère/sphère surface sphérique ou

rotule / sphérique

Pour étudier modéliser la liaison entre solides, il faut identifier la nature

des surfaces des éléments en contact :

Rmq : Le contact surfacique peut être de type :

• plane Ex : Base de cône sur parallélépipède

• cylindrique Ex : cylindre dans cylindre (de mêmes diamètres)

• conique Ex : cône dans cône (de mêmes conicités)

• sphérique

Pr. A. El Khalfi 9

Exemples de contact

Contact sphère-plan Contact ponctuel

Zone de contact

La zone de contact est ici un point le contact est dit alors ponctuel

Contact cylindre- cylindre

Contact = un point

Zone de contact

=

Surface cylindrique

La zone de contact est une surface cylindriquePr. A. El Khalfi 10

Contact entre l’excentrique et la chape de la scie sauteuse

Exemples de contact

La surface cylindrique de l’excentrique est en contact avec la surface cylindrique de la

chape La surface de contact est surfacique cylindrique (cylindre/cylindre)

Excentrique

Chape

La surface de contact est surfacique plane (plan sur plan)

Excentrique

Chape

Pr. A. El Khalfi 11

Mouvements d'un solide libre

• Mouvement élémentaires possibles : translation et rotation

• Un solide libre dans l’espace subit au maximum six mouvements

élémentaires indépendants, appelés degré de liberté (d.d.l.)

Pr. A. El Khalfi 12

Liaison et mouvement d’un solide

De point de vue cinématique, on dit qu’il existe une liaison entre deux

solides (en contact direct ou non) à chaque fois que un ou plusieurs

mouvement (ou degrés de libertés) sont supprimés

Pr. A. El Khalfi 13

Exemple

Mobilités ou ddl Tx Ty Tz Rx Ry Rz

Liaison

excentrique-chape

0 0 0 0 1 0

Pour l’assemblage de la chape et l’excentrique

de la scie sauteuse permet un seul mouvement

qui est la rotation autour de l’axe y

La liaison réalisée entre ces deux ensembles possède un seul degré de

liberté : une rotation autour de l’axe y

Pr. A. El Khalfi 14

Degré de mobilité et mouvements relatifsLe degré de mobilité subsistants dans un contact entre deux solides S1 et S2

correspondent aux mouvements relatifs indépendants autorisés au sein de ce contact :

• Aux paramètres X, Y, Z sont associés des mouvements relatifs de translation

• Aux paramètres θx, θy, θz sont associés des mouvements relatifs de rotation

Dans la base R, six mvts peuvent donc être mis en évidence:

• 3 rotations Rx, Ry et Rz autour d’axes parallèles respectivement à (ox), (oy) et (oz)

• 3 translations Tx, Ty et Tz dans les directions respectives (ox), (oy) et (oz)

Pr. A. El Khalfi 15

Vitesses de pivotement et roulement

Soient les solides 1 et 2 en contact ponctuel en M et en mouvement l’un

par rapport à l’autre.

Le torseur cinématique entre 2 et 1 a pour expression en M :

𝜏𝑀2∕1 =Ω2∕1

𝑉2∕1(𝑀, 𝑛 2 1, 𝑡 2 1) : Repère local dans le plan tangent 𝜋

Le vecteur rotation peut s’écrire :

Ω2∕1 = Ω𝑝,2∕1𝑛 2 1 + Ω𝑟,2∕1 𝑡 2 1

• Ω𝑝,2∕1: Vitesse de pivotement

• Ω𝑟,2∕1: Vitesse de roulement

𝜋: plan tangent en M aux deux

solides et la normale au plan P

en M

Pr. A. El Khalfi 16

Conditions de maintien de contact

• Condition cinématique de maintien du contact : Il faut que la vitesse

soit constamment contenue dans le plan 𝜋 , c.à.d. :

𝑉𝑀,2∕1. 𝑛 2 1 = 0

• Condition de roulement sans glissement :

𝑉𝑀,2∕1 = 0

Pr. A. El Khalfi 17

Surfaces axoides

• Dans ce cas, le point M appartient à l’axe central du torseur

cinématique du mouvement de S2/S1. Comme il n’y a pas de

glissement, l’axe central est aussi l’axe instantané de rotation de S2

par rapport à S1, est porté par cet axe dans le plan π

• Le lieu des positions successives de l’air sur chacun des solides

définit les "surfaces axoïdes"

• La vitesse de glissement étant nulle

mais il peut y avoir roulement des

deux solides l’un sur l’autre.

Pr. A. El Khalfi 18

Type de contact et imperfections du contact

Contact unilatéral / Contact bilatéral

- Contact unilatéral est un contact est un contact qui varie dans le temps;

Exemple : un livre posé sur une table. Le livre peut être :

• posé (il y a contact avec la table)

• ou enlevé (pas de contact avec la table)

On parle alors de contact unilatéral

- Techniquement, s’il y a impossibilité d’enlever le livre de la table alors

le contact devient contact bilatéral ou contact permanent

Pr. A. El Khalfi 20

Imperfections du contactLe contact réel entre solides peut faire apparaître des imperfections :

défauts micro et macro-géométriques, rugosité, problème de forme, ..

Autres imperfections possibles : déformations dues aux efforts,

frottement qui entraîne de l’usure et des pertes d’énergies

Pr. A. El Khalfi 21

Jeu dans un contact de solides

• Les jeux sont nécessaires au bon fonctionnement du mécanisme.

• les jeux sont nécessaires au montage et ils autorisent des petits

déplacements radiaux et angulaires.

• Les jeux interdisent donc une coïncidence parfaite des surfaces, par

conséquent les jeux constituent une imperfection.

Pr. A. El Khalfi 22

Contact réel / contact parfait

La difficulté de prendre en compte tous ces

imperfections dans le calcul des mécanismes nous

conduit à considérer : le modèle de liaison parfaite

Pr. A. El Khalfi 23

Liaisons simples

Une liaison simple est obtenue par le contact de deux surfaces

simples : plan, cylindre, sphère

Les surfaces de contact sont appelées : surfaces fonctionnelles

Pr. A. El Khalfi 24

Liaisons composées

Une liaison composée est obtenue par une association cohérente de

plusieurs liaisons élémentaires :

Association Appui plan + Linéaire

rectiligne + Ponctuelle liaison

complète

Association linéaire annulaire

+Appui plan liaison pivot

Association rotule +

ponctuelle liaison

sphérique à doigt

Association appui

plan+Linéaire

rectiligne liaison

glissière

Pr. A. El Khalfi 25

Pr. A. El Khalfi 26

Liaisons directes / indirectes

• Une liaison directe est une liaison qui n’implique que les solides

concernés par le contact.

• Une liaison indirecte nécessite des éléments technologiques (éléments

de construction : boulons, goupilles, …) pour assurer le contact.

Exemple : La liaison d'encastrement

entre les pièces 1 et 2 est garantie par

l’ensemble vis-écrou 3

Pr. A. El Khalfi 27

Eléments de construction

Pr. A. El Khalfi 28

Pr. A. El Khalfi 29

Liaisons parfaites

Liaison parfaite

Une liaison entre solides est dite parfaite lorsque on vérifie les hypothèses

suivantes :

• les possibilités de mouvement relatif sont étudiées à partir des

surfaces de contact géométriquement parfaites.

• les surfaces de contact permettent un jeu fonctionnel nul.

• le contact entre solides est supposé sans frottement.

Pr. A. El Khalfi 31

Modélisation d’une liaison parfaite

Une liaison parfaite est régie par une ou plusieurs équations de type :

• Géométrique si elle relie des paramètres géométriques non

indépendants : x (déplacement) et q (rotation)

• Mécanique si elle relie des composantes de forces ou de couples en

faisant intervenir les lois de certaines résistances passives : adhérence

ou frottement, résistance au roulement, résistance de l’air,...

• Cinématique si elle relie les vitesses entre elles : pignons, roulements

sans glissement,...

Pr. A. El Khalfi 32

Torseur cinématique d'une liaison

AA

cV

)2/1(

APVV AP

Une liaison peut être paramétré par un torseur cinématique :

A : centre de la liaison

En utilisant la loi de distribution des vitesses :

Le torseur cinématique en un point P quelconque est :

APVVAAPP

Résultante du torseur

Moment du torseur

Pr. A. El Khalfi 33

Hypothèses :

• Le contact S1/S2 est parfait; ni adhérence,

ni frottement

• La force élémentaire 𝑑 𝑓 de l'effort (21)

est perpendiculaire à la surface élémentaire

ds entourant le point de contact P

• L'action mécanique résultant du contact

S2/S1 est modélisée par le torseur statique

Torseur mécanique d'une liaison

AS

S

AA

sfdAP

fd

M

R

)12(


Pr. A. El Khalfi 34

En utilisant la loi de distribution des moments :

APRMM AP

APR

R

M

R

M

R

AAPP

SfdR

avec

Le torseur statique en un point P quelconque est :

Pr. A. El Khalfi 35

En résumé :Torseurs cinématique et mécanique

.

Pr. A. El Khalfi 36

Dualité des torseurs cinématique et mécanique

.

• Pour une liaison parfaite les phénomènes de frottement et de

dissipation sont négligés

• La puissance développée par les actions mécaniques de liaison est

donc nulle

• Ceci implique que le co-moment des torseurs cinématique et

mécanique est nul :

On déduit :

On dit que les deux torseurs cinématique et

mécanique sont réciproques ou dualesPr. A. El Khalfi 37

Conséquence

.

On considère :

• Nombre d'inconnues (Ns) statiques par liaison est : Ns ≤6

• Nombre d’inconnues cinématiques (Nc) ou degré de mobilité (ddl) par

liaison est : Nc ≤6

• Les nombre Ns et Nc sont indépendants

• L'équation du co-moment :

𝑉𝑥 𝑅𝑥 + 𝑉𝑦 𝑅𝑦 + 𝑉𝑧 𝑅𝑧 + 𝜔𝑥 𝑀𝑥 + 𝜔𝑦 𝑀𝑦 + 𝜔𝑧 𝑀𝑧 = 0

Chacun des 6 monômes doit être nul, il suffit donc que l'un des deux

termes du monôme soit nul. On déduit que : Ns+Nc=6

• Les torseurs cinématique et mécanique sont réciproques, on peut donc

formuler la proposition suivante : Là où il n'existe aucune action

mécanique transmissible il y a possibilité de mouvement

Pr. A. El Khalfi 38

Liaisons normalisées

Nature du contact :Surface cylindrique + appui plan

yx

zZ

x y

z

x y

z

Degrés de liberté

0

0

0 0

0

Rx

1-Liaison pivot

Liaison pivot d’axe x

Pr. A. El Khalfi 40

Exemples de liaison pivot

Pr. A. El Khalfi 41

Exemple

Arbre épaulé dans un alésage

Pr. A. El Khalfi 42

Exemples

Pr. A. El Khalfi 43

Z

x yx

z

X

Y

x y

z Z

Degrés de liberté

Tx

Ty

0

Rx

Ry

Rz

Le contact est ponctuel

de type sphère-plan

2-Liaison ponctuelle

Pr. A. El Khalfi 44

x y

z

Degrés de liberté

Tx

Ty

0

Rx

0

Rz

Z

x y

z

yx

z

Nature du contact : Ligne

3-Liaison linéaire rectiligne

Liaison linéaire rectiligne de normale z d’axe x

Pr. A. El Khalfi 45

Exemple

• Systèmes de bridage de pièces cylindriques (exemple Vé

réglable)

• Le contact entre les plans du vé et la pièce cylindrique à

usiner est un contact linéique.

Pr. A. El Khalfi 46

yx

z

x y

z

Degrés de liberté

Tx

0

0

Rx

Ry

Rz

Z

x y

z

Le contact est une ligne

circulaire de type sphère-cylindre

4-Liaison linéaire annulaire d’axe x

Pr. A. El Khalfi 47

Exemple

Roulement à rotule : Permet un rotulage important, ils

sont montés par paire pour réaliser une liaison pivot, dont

un des roulements est libre axialement dans l’alésage.

Pr. A. El Khalfi 48

x y

z

Degrés de liberté

Tx

Ty

0

0

0

Rz

Z

x yx

z

y

z

Le contact est plan de type Plan-

Plan de normale Z

appui plan de normale Z

5-Liaison appui plan de normale Z

Pr. A. El Khalfi 49

yx

zZ

x y

z

x y

z

Degrés de liberté

0

0

0 Rz

Ry

Rx

6-Liaison rotule

Le contact est sphérique de type

sphère-sphère Rotule

Pr. A. El Khalfi 50

7-Liaison à doigt

Pr. A. El Khalfi 51

Le contact est une surface cylindrique

de type cylindre-cylindre

Liaison pivot glissant d’axe x

yx

zZ

x y

z

x y

z

Degrés de liberté

Tx

0

0 0

0

Rx

8-Liaison pivot glissant

Pr. A. El Khalfi 52

Exemple

Pr. A. El Khalfi 53

Nature du contact :Surface hélicoïdale

x y

z

Degrés de liberté

Tx

0

0 0

0

Rx

yx

zZ

x y

z

9-Liaison hélicoïdale

Liaison hélicoïdale d’axe x

Liaison hélicoïdale apparaît entre deux solides, si au cours de leurs mouvements relatifs, les deux solides peuvent glisser et tourner selon une même droite commune.

Pr. A. El Khalfi 54

• Le degré de liberté est 1

• Torseur cinématique: { wx,0,0 ; Vx,0,0 } en tout point de l'axe (A,x) avec Vx=k wx

• Torseur mécanique : { 0 ,Y,Z ; 0,My,Mz } en tout point de l'axe (A,x) avec X=k Mx

Pr. A. El Khalfi 55

Exemple

Etau ou Vis à billes

La translation et la rotation sont proportionnelles

et possèdent une direction commune

Les deux mouvements sont conjugués

Pr. A. El Khalfi 56

yx

zZ

x y

z

x y

z

Degrés de liberté

Tx

0

0 0

0

0

10-Liaison glissière d’axe x

Le contact est surfacique de type

surface-surface planes sécantes

Pr. A. El Khalfi 57

Exemple

Pr. A. El Khalfi 58

Type de contact

NOM DE LA LIAISON SURFACES GENERALEMENT ASSOCIEES A L'ASSEMBLAGE DEFINIE PAR

Pivot Cylindre creux / Cylindre plein + plan \ plan.

Cylindre creux / Cylindre plein + contact ponctuelSon axe de rotation

Glissière 1 paire de plans non parallèles (ou plus) / 1 paire de plans

Plan / Plan + contact linéiqueSon axe de translation

Hélicoïdale Filetage / taraudageSon axe de translation et de rotation conjuguées

Pivot glissant Cylindre creux / Cylindre pleinSon axe de rotation et de translation

Appui plan Plan / Plan Sa normale au plan

Rotule Sphère creuse / sphère pleine Son centre

Linéaire rectiligne Plan et arête

Plan et génératrice de cylindre

La normale au plan.+

La direction de la droite de contact

Linéaire circulaire Sphère et cylindre

Son axe de translation+

Son centre

Ponctuelle Plan et sphère

Plan et pointe de cône

Sa normale au plan de contact

Pr. A. El Khalfi 59

Liaison complète ou Encastrement

De point de vue cinématique, une liaison complète n’autorise aucun

degré de mobilité entre deux solides en contact direct ou indirect

Liaison Complète

Pr. A. El Khalfi 61

Liaison complète par adhérence

• Surfaces assurant la MIP : Surfaces planes

• Eléments assurant le MAP : Boulon H - Vis H

• Surfaces assurant la MIP :

Surfaces cylindriques

• Eléments assurant le MAP :

Boulon

• Surfaces assurant la MIP : Surfaces cylindriques

• Eléments assurant le MAP : Ecrou et rondelle à encoches

MIP : MIse en Position - MAP : MAintien en Position Pr. A. El Khalfi 62

Eléments de construction

Ecrous

Rondelle

Boulons

Pr. A. El Khalfi 63

Vis

Pr. A. El Khalfi 64

Liaison complète par obstacle

• Surfaces assurant la MIP : Surfaces

cylindriques

• Eléments assurant le MAP : Goupille

cylindrique montée serrée

• Surfaces assurant la MIP : Surface

cylindrique + surface plane

• Eléments assurant le MAP : Clavette

parallèle+ rondelle+ vis

Lorsque l’adhérence ne suffit plus pour transmettre l’effort, le plus souvent, on

ajoute au dispositif réalisant les fonctions techniques 1 et 2, un élément dont

l’unique objectif est de transmettre l’effort en s’intercalant comme obstacle

Goupille

Pr. A. El Khalfi 65

Goupilles & clavettes

• Goupille cylindrique exigent des usinages avec des

ajustements très précis

• Goupille conique : La forme conique permet le maintien de

la goupille dans son logement par "coincement«

• Goupille cannelée : Goupillage économique. Le plus

souvent, trois cannelures à 120°, assurent le maintien par

déformation élastique.

• Goupille élastique : Goupillage économique. Obtenue par

enroulement d’une tôle d’acier, elle se maintien dans son

logement par déformation élastique.

Le rôle des goupilles est d’assurer une liaison complète par obstacle

Pr. A. El Khalfi 66

Une clavette est une pièce qui a pour fonction de lier en rotation deux

pièces (liaison de moyeux)

Clavette

Une clavette

Pr. A. El Khalfi 67

• Clavette parallèle : Le logement (rainure) peut être à bouts

droits ou à bouts ronds, le second étant plus onéreux.

• Clavette disque : Fraisage de l’arbre très simple donc peu

onéreux

Pr. A. El Khalfi 68

Les cannelures

Les cannelures permettent de réaliser une liaison complète et de

transmettre des couples importants

Véritables clavettes taillées dans l’arbre

Pr. A. El Khalfi 69

Les formes spéciales

Pas de pièce supplémentaire pour réaliser l’obstacle, les deux pièces à

assembler possèdent des formes autres que cylindriques de révolution.

• Surfaces assurant la MIP : Embout carré + Surface plane (épaulement)

• Eléments assurant le MAP : Rondelle + Ecrou H

Pr. A. El Khalfi 70

Liaisons complètes permanentes

Assemblage par ajustement serré

Montage par

presse

Pr. A. El Khalfi 71

Liaison complète : la soudure

• De tous les procédés de base d’assemblage, le soudage est l’un des plus

important, il existe de nombreuses méthodes pour souder deux pièces.

• Lorsqu’un métal d’apport de composition différente des deux pièces à

assembler est utilisé, on ne parle plus de soudage, mais de brasage.

Soudage en angle : 1- Métal

de base, 2- Cordon de

soudure, 3- Source

d'énergie, 4- Métal d'apport

Pr. A. El Khalfi 72

Liaison complète : Le collage

L’ajustement entre les pièces à coller doit être précis. C’est un procédé

rapide

Pr. A. El Khalfi 73

Pr. A. El Khalfi 74

Pr. A. El Khalfi 75

Exemples de liaisons complètes indémontables

Pr. A. El Khalfi 76

Résumé de liaisons


Pr. A. El Khalfi 78


Pr. A. El Khalfi 79


Pr. A. El Khalfi 80

Modélisation de mécanisme

Exemples

Moteur

Plateforme

CompresseurCardan

Pompe Equilibreuse

HondaGrinder

Scie

Pr. A. El Khalfi 82

../../Program Files/Meca3d SolidWorks/Exemples/Documents/equilibreuse.doc

../../Program Files/Meca3d SolidWorks/Exemples/Documents/equilibreuse.doc

Un mécanisme

Un mécanisme est un ensemble de pièces mécaniques reliées entre elles

par des liaisons cinématiques dans le but de réaliser une ou plusieurs

fonctions

Un mécanisme est doté :

• d'éléments {q1} menant ou pièces d’entrée qui permettent d'animer le

mécanisme et lui fournissent l’énergie motrice nécessaire

• d'éléments {q2} menés ou pièces de sortie par lesquelles l’énergie sort du

mécanisme

• d'éléments {q3} liés au bâti (éléments de fixation)

Pr. A. El Khalfi 83

Un mécanisme

On distingue deux types de mécanismes :

• Les mécanismes de transmission d'effort sans mvt où le mvt

d’entrée et le mvt de sortie sont de même nature Mécanisme

de positionnement (exemple : montage d'usinage)

• Les mécanismes de transformation de mvt où le mvt d’entrée et

le mvt de sortie sont différentsMécanisme de transmission

de mouvement (exemples : réducteur, bielle-manivelle)

Pr. A. El Khalfi 84

• Un signal d'entrée ou de sortie peut être une grandeur physique :

effort, vitesse, fréquence, impulsions, …

Fonctionnel d'un mécanisme

• La fonction d'un mécanisme est de transformer les signaux d'entrée

(mvt ou autres) en signaux de sortie.

Mécanisme

e(t)

s(t)

L'aspect fonctionnel d’un mécanisme se concrétise par une "loi d'entrée-

sortie" qui peut être une relation géométrique, cinématique, mécanique ou

énergétique, … entre les paramètres d'entrée et de ceux sortie :

Loi E/S : s(t)=f(e(t))Pr. A. El Khalfi 85

Modélisation d’un mécanisme

Modéliser un mécanisme, c’est :

• Concevoir un système mécanique doté d’une fonction particulier.

• Proposer des solutions d’amélioration sur un système mécanique

existant pour le rendre plus perfectionné.

• Il est plus souvent difficile de réaliser en une seule liaison la fonction

souhaitée. Généralement, il est nécessaire de combiner plusieurs

liaisons élémentaires pour ale but souhaitée.

Pr. A. El Khalfi 86

Exemple de mécanisme : Borne réglable

Structurer l'ensemble de ses pièces par l'intermédiaire de liaisons afin de

rendre la borne réglable opérationnel pour un travail précis

BORNE RÉGLABLE

Pour réaliser ce mécanisme, il faut :

• Comprendre d'abord le fonctionnel du mécanisme

• Réaliser une étude rigoureuse de l’équilibre de tout le mécanisme

vue

assembléevue

éclatée

Pr. A. El Khalfi 87

Accouplements : mécanisme ou pas ?

Les accouplements sont des éléments de liaison entre un arbre moteur et un

arbre récepteur et ils permettent de compenser les défauts d’alignement des

arbres reliés.

• Les accouplement ne sont pas des mécanismes car ils ne comportent

que deux éléments et ils sont incapables de transformer un mouvement

• Leur vitesse de sortie est inférieure ou égale à leur vitesse d’entrée

(embrayage, coupleur)

• Les efforts appliqués à l’élément d’entrée sont transmis sans

changement à la sortiePr. A. El Khalfi 88

Exemple d'application des accouplements

Pr. A. El Khalfi 89

Analyse des mécanismes

Analyser un mécanisme : c'est proposer des solutions de calcul

cinématique, mécanique ou énergétique entre les différents

éléments d’entrée et de sortie du mécanisme

Pour calculer un mécanisme, trois approches sont proposées :

• Approche cinématique : mettre en évidence les mouvements relatifs

des composants du mécanisme

• Approche mécanique (ou statique) : mettre en évidence les efforts

mécaniques pour étudier l'équilibre de chaque composant

• Approche énergétique : mettre en évidence les puissances transmises

par le mécanisme

Pr. A. El Khalfi 90

Classe d'équivalence ou groupe cinématique

• Les éléments d’un système mécanique

n’ayant pas de mouvements relatifs

entre eux, définissent ce qu'on appelle :

Classe d'équivalence.

• Chaque élément d'un mécanisme ne

peut-être que dans une et une seule

classe d'équivalence

• L'ensemble des classes d'équivalences forme le mécanisme entier.

• Les classes d'équivalence sont connus en théorie des mécanismes par

GROUPES CINÉMATIQUES" ou "SOUS-ENSEMBLES

CINÉMATIQUES" et elles représentent des entités cinématiques

indépendantes du mécanisme,

Pr. A. El Khalfi 91

Graphe des liaisons d'un mécanisme

Soit un mécanisme composé de

Ns groupes cinématiques et Nl

liaisons

Le graphe des liaisons est une représentation

graphique dans laquelle les groupes cinématiques

(sommets) sont reliés par les différentes liaisons

possibles (lignes) :

Pr. A. El Khalfi 92

Exemple mécanisme : un vélo

Classes d'équivalences :

• 0 : le sol

• 1 : roue avant

• 2 : Roue arrière

• 3 : Fourche + guidon

• 4 : Cadre + selle

Liaisons :

• L1 : liaison ponctuelle de au point A de normale z

• L2 : liaison ponctuelle de au point B de normale z

• L3 : liaison pivot d’axe (C, y)

• L4 : liaison pivot d’axe (D, y)Pr. A. El Khalfi 93

Graphe d’une borne réglable

Embase : {3, 6, 7, 4, 8 }

Vis de manœuvre : {5 }

Après avoir dénombré les différentes classes

d'équivalences, on affecte les liaisons mécaniques qui

les relient entre elles. A chaque contact entre deux

classes, il y a une liaison. Le résultat de l'étude sur

l'exemple le graphique ci-dessus :

Cale : {1 }

Pion : {2 }

Pr. A. El Khalfi 94

Exclus des classes d'équivalence, les éléments de construction (boulons,

rivets, goupilles, roulements, ressorts, ….) et les pièces déformables tels

que :

Pr. A. El Khalfi 95

Schéma cinématique minimal

• Le schéma cinématique est une représentation graphique dans laquelle les sommets décrivent les liaisons et les lignes représentent solides du mécanisme.

• Un schéma cinématique est dit "minimal" lorsque le graphe cinématique ne représente que les groupes cinématiques (pas tous les solides) avec les liaisons du mécanisme

Pr. A. El Khalfi 96

Pourquoi un schéma cinématique ?

Le schéma cinématique :

• peut être représenté en 2D ou en 3D

• représente le comportement cinématique du mécanisme

• permet d’aider le concepteur à comprendre le fonctionnement du

mécanisme et visualiser le paramétrage du mécanisme

• permet de faciliter le calcul des torseurs cinématiques et

mécaniques du mécanisme

Pr. A. El Khalfi 97

x

y

METHODE D’ELABORATION

ETAPE 1 : REPERER LES GROUPES CINEMATIQUES

ETAPE 2 : ETABLIR LE GRAPHE DES LIAISONS

31

2 4

ETAPE 3 : IDENTIFIER LES LIAISONS ENTRE LES GROUPES

Glissière

Hélicoïdale

PivotPivot

glissant

ETAPE 4 : CONSTRUIRE LE SCHEMA CINEMATIQUE MINIMAL

- Choisir un point de vue de représentation (plan x,y)

- Repérer la position relative des liaisons (au centre du contact réel)

Plus besoin du plan…

Construction d’un schéma cinématique

Pr. A. El Khalfi 98

Schéma cinématique

METHODE D’ELABORATION

ETAPE 1 : REPERER LES GROUPES CINEMATIQUES

ETAPE 2 : ETABLIR LE GRAPHE DES LIAISONS

31

2 4

ETAPE 3 : IDENTIFIER LES LIAISONS ENTRE LES GROUPES

Glissière

Hélicoïdale

PivotPivot

glissant

ETAPE 4 : CONSTRUIRE LE SCHEMA CINEMATIQUE MINIMAL

- Choisir un point de vue de représentation (plan x,y)

- Placer les liaisons sur les points identifiés

précédemment

- Repérer la position relative des liaisons (au centre du contact réel)

- Relier les liaisons entre elles en

respectant les blocs (couleurs)

- Terminer l’habillage du schéma

Plus besoin du plan…

Glissière

Hélicoïdale

Pivot

glissantPivot

Les classes d'équivalence sont représentées

par des traits qui symbolisent les "jonctions

matière" entre les différentes liaisons

Pr. A. El Khalfi 99

Graphe des liaisons et schéma cinématique

Pr. A. El Khalfi 100

Exemple de mécanisme : Serre-jointLe serre-joint est un outil permettant de maintenir en position

(d'immobiliser) une ou plusieurs pièces entre elles afin de leur apporter

une modification comme : soudage, collage, perçage, ….


Structure d'un mécanisme

Les mécanismes spatiaux :

• Les axes de rotation sont

quelconques

• les éléments se meuvent dans

l’espace

Les mécanismes sphériques :

• Tous les axes de rotation sont

concourants,

• les éléments n’effectuent que des

rotations

Les mécanismes plans :

• Les axes de rotation sont parallèles

• les mouvements des éléments sont

coplanaires et normaux aux axes de

rotation.


Classification des mécanismes

Hypothèses de travail

Pour modéliser un système mécanique ou mécanisme, on utilise le plus

souvent les hypothèses suivantes :

• Les pièces du mécanisme sont considérés indéformables

• Les liaisons entre pièces solides sont sans jeu

• Les surfaces de contact entre pièces solides sont géométriquement

parfaites

• Le contact entre différents pièces solides sont de type : plan, sphère,

cylindre, hélicoïde, …

Un mécanisme modélisé dans ces conditions est appelé : Modèle

cinématique


Chaine fermée d’un mécanisme

Une chaine fermée est un chemin fermé extrait d'un graphe qui part

d'un sommet et y revient sans passer plus d'une fois par un même

sommet

Une chaîne est dite complexe

lorsque elle est constituée de

plusieurs cycles


Cyclomatique d’un mécanisme

• Le nombre cyclomatique g d’un mécanisme est le nombre de

cycles indépendants que constitue le graphe cinématique.

• La théorie des graphes montre que le nombre g ne dépend que

du nombre Nsolides des groupes cinématique et du nombre

Nliaisons de liaisons :

𝜸 = 𝑵𝒍𝒊𝒂𝒊𝒔𝒐𝒏𝒔 – 𝑵𝒔𝒐𝒍𝒊𝒅𝒆𝒔 + 𝟏


Exemple

• Les deux chaînes fermées indépendantes sont : 1-2-5-1 et 2-3-4-5-2

• Il existe une troisième chaîne fermée, 1-2-3-4-5-1, mais déduite des

deux précédentes.

• Le nombre cyclomatique définit le nombre minimal de chaîne à

étudier pour décrire le mécanisme.

𝑵𝒔𝒐𝒍𝒊𝒅𝒆𝒔 = 𝟓 𝒆𝒕 𝑵𝒍𝒊𝒂𝒊𝒔𝒐𝒏𝒔 = 𝟔 𝜸 = 𝟐


Mécanisme à cycles

Exemple : Le mécanisme "Réducteur" présenté ci-dessous par son

schéma cinématique et son graphe des liaisons qui montre un seul cycle :

On parle de mécanisme à cycles lorsque le graphe des liaisons vérifie :

• Le nombre de cyclomatique du mécanisme est supérieur à zéro

• Chaque sommet du graphe des liaisons appartient au moins à un cycle

•L(1/0)= "liaison pivot "

•L(2/0)= "liaison pivot "

•L(1/2)="contact ponctuel"


Mécanisme à seul cycle

Un mécanisme en chaîne fermée est un mécanisme à un seul cycle et

n'ayant pas de groupe cinématique en dehors de la chaîne

𝑁𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑒𝑠 = 𝑁𝑙𝑖𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛𝑠


Mécanisme à graphe complexe

Un mécanisme est dit complexe lorsque le graphe des liaisons vérifie :

• Le nombre cyclomatique est supérieur à zéro

• Le graphe comporte au moins un solide ne fait partie d'aucun cycle

Mécanisme : Borne réglable :g=6-5+1=2

Le faite que le solide 5 n’appartient à aucun cycle, ceci n'affecte pas le

nombre cyclomatique, puisqu’il apporte à la fois un sommet et une liaison


Mécanisme à chaîne ouverte

Un mécanisme à chaine ouverte est un mécanisme dont le graphe des

liaisons est de nombre cyclomatique nul

Exemple : Cas des bras articulés utilisés en robotique


Mobilité ou DDL d'un mécanisme

• La mobilité d’un mécanisme est le nombre minimal de paramètres

indépendants nécessaires pour décrire sa cinématique.

• La mobilité d'un mécanisme n’est pas égale à la somme des mobilités

de chacune de ses liaisons.

• Le graphe des liaisons peut être utilisé pour déterminer la mobilité et

les paramètres indépendants du mécanisme.

• Pour un mécanisme à chaines fermés, il est possible d’écrire des

équations supplémentaires de fermeture (d'après théorie des graphes)

permettant de réduire le nombre de mobilité du mécanisme


Modélisation des mécanismes

à chaines fermées

Analyse géométrique

Pour l'étude géométrique d'un mécanisme en boucle fermée, il suffit

d'écrire la relation vectorielle reliant les points caractéristiques de chaque

solide

Cette relation vectorielle projetée sur le repère de travail, permet d’écrire

3 équations scalaires reliant les différents paramètres géométriques du

mécanisme. Pour d'un mécanisme plan (2D), le nombre d’équation se

réduit à deux.

Oi étant le point caractéristique du solide Si


Analyse cinématique

• La cinématique est l'étude des mouvements possibles entre

solides sans tenir compte des causes qui les provoquent

• Hypothèse : Eléments du mécanisme sont des solides

indéformables ou groupes cinématiques

• Un groupe cinématique (par abus on l'appelle solide

indéformable) correspond à un groupe de pièces n'ayant pas

mvt entre elles au cours du fonctionnement normal, appelées

Groupes de pièces cinématiquement lié ou groupes

cinématiques


Détermination du nombre d'équations

• Les chaînes fermées indépendantes du mécanisme étant dénombrées

• le mécanisme est déterminé par l'application de la loi de bouclage

cinématique appliquée sur chacune des chaînes :

• c : torseur cinématique

• e : indice de la chaine fermée

• i : indice des éléments de la chaine fermée

Pour un cycle e, on a :

𝑖

𝜏𝑐 𝑖 (𝑖 + 1) 𝑒 = 0


• Il y a autant d'équations torsorielles indépendantes que de

chaînes fermées indépendantes.

• Pour un mécanisme de g chaines fermées, le nombre Nc

d’équations cinématiques à résoudre est :

𝑁𝑐 = 6 𝛾

Car chaque chaine fermée possède 6 équations cinématiques (6 composantes).


Exemple

L'exemple ci-dessous présente deux chaines fermées :

• 𝜏 𝐿1 + 𝜏 𝐿2 + 𝜏 𝐿5 = 0• 𝜏 𝐿2 + 𝜏 𝐿3 + 𝜏 𝐿4 + 𝜏 𝐿5 = 0

Au total :

𝑁𝑐 = 6𝛾 = 6 𝑥 2= 12 équations à résoudre

Si l'on somme les 2 équations précédentes, on obtient :

𝜏 𝐿1 + 𝜏 𝐿2 + 𝜏 𝐿3 + 𝜏 𝐿4 + 𝜏 𝐿5 = 0qui correspond à la troisième chaîne fermée trouvée, 1-2-3-4-5-1

Nsolides=5 et Nliaisons=6 g=2

Chaînes fermées

indépendantes :

1-2-5-1 et 2-3-4-5-2


Système d’inconnues cinématiques d’une chaine fermée

Le nombre d'inconnues cinématiques 𝐼𝑐 d'un mécanisme est la somme des

mobilités de chacune des liaisons présentes dans le mecanisme :

Si Rang[NC]=IC implique la solution du système est nulle, on a alors :

• tous les paramètres cinématiques sont nuls

• le mécanisme forme une structure rigide; aucun mvt n'est possible

Le système des équations

cinématiques peut s'écrire :


La mobilité ou d.d.l. d'un mécanisme est le nombre de mouvements

indépendants que permet le mécanisme. Elle est calculée par la relation :

Mobilité ou d.d.l d'un mécanisme

Rang (Nc)m

=

h

Nc

Ra

ng

(N

c)

Ic

Ic

0

m = IC - Rang[NC]

h = NC – Rang[NC]

m = IC - Rang[NC]

m ≥ 0

Rang[NC] ≤ min(IC,NC)

Nombre

d'équationsNombre

d'inconnues


Mobilité, c’est quoi exactement ?

Paramètres d'entrée du

mécanisme

Un mécanisme peut posséder plusieurs mobilités ou au contraire aucune

auquel cas il est immobile

La mobilité m d'un mécanisme correspond généralement aux paramètres

d'entrée du mécanisme permettant de construire la loi entrée-sortie du

mécanisme


• La mobilité utile 𝑚𝑢 est le nombre de mouvements à fournir (via un

actionneur, par exemple) au mécanisme pour le mettre en mouvement

• La mobilité interne 𝑚𝑖 est le nombre de mouvements indépendants ne

faisant intervenir aucun des paramètres d'entrée-sortie

Mobilité utile et mobilité interne

• La mobilité du mécanisme est :

𝑚 = 𝑚𝑢 + 𝑚𝑖

• Les mobilités utile et interne relèvent de l'interprétation

technologique que l'on donne aux différents mouvements possibles

trouvés au sein du mécanisme

• La théorie des mécanismes seule ne permet pas de faire de

distinction !


Mécanisme : Bielle- manivelle –piston

• mu =1

• mi = 0

• Mobilité : m=1


http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Cshaft.gif

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Cshaft.gif

Indice de mobilité d'un mécanisme à chaines fermé

L’indice de mobilité d'un mécanisme à chaines fermées est défini par la

relation : 𝐼𝑐 −𝑁𝑐

Le nombre [𝐼𝑐 −𝑁𝑐] est un entier relatif, peut être positif ou négatif


Liaisons parallèles et liaisons en série

Liaisons en parallèle

Une chaine de liaisons entre deux solides est dite "en parallèle" si chacune

des liaisons permet de relier directement les deux solides.

Le graphe traduisant cette

définition a la forme suivante :

Dans ce cas, on a égalité des torseurs cinématiques

𝝉𝒄 𝑳𝟏 = 𝝉𝒄 𝑳𝟐 = ⋯ = 𝝉𝒄 𝑳𝒏


Liaison équivalente pour une chaine à liaisons en parallèles

Une liaison est dite équivalente à un ensemble de liaisons cinématiques en

parallèles situées entre les solides Sp et Sq s'elle autorise le même

mouvement relatif Sp/Sq que chacune des liaisons.

𝝉𝒄 𝒑 ∕ 𝒒 𝑳𝒆𝒒 = 𝝉𝒄 𝑳𝟏 = 𝝉𝒄 𝑳𝟐 = ⋯ = 𝝉𝒄 𝑳𝒏

Le torseur cinématique de la liaison équivalente est :


Liaisons en série

Une chaine de n liaisons est dite "en série" s’elles réalisent entre les

solides Sp et Sq une chaine ouverte de liaisons disposées l'une à la suite de

l'autre par l'intermédiaire de (n-1) solides

Le graphe traduisant cette définition a la forme suivante :


Liaison équivalente pour une chaine à liaisons en série

Une liaison est dite équivalente à un ensemble de liaisons cinématiques en

série situées entre les solides Sp et Sq s'elle autorise le même mouvement

relatif Sp/Sq que l'ensemble des liaisons.

𝝉𝒄 𝒑 ∕ 𝒒 𝑳𝒆𝒒 = 𝝉𝒄 𝑳𝟏 + 𝝉𝒄 𝑳𝟐 +⋯+ 𝝉𝒄 𝑳𝒏



Bouclage cinématique d'une chaine fermée

Une chaine est fermée si les deux solides extrêmes sont reliés directement

entre eux par une liaison

Le graphe traduisant cette définition a la forme suivante :

Relation du bouclage cinématique

𝝉𝒄 𝑳𝟏 + 𝝉𝒄 𝑳𝟐 +⋯+ 𝝉𝒄 𝑳𝒏 = 𝟎



Applications

Calcul d'une chaine en série

Le mécanisme ci-dessous présente 2 liaisons positionnées en série:

• L1 : une liaison rotule

• L2 : une liaison plane

𝐴𝐵 = 𝑎𝑦 + 𝑏𝑧

Déterminer la nature de la liaison équivalente

R(A,x,y,z) est un repère ortho. lié

au corps S1 de la pompe


Solution

L1 la liaison rotule (centrée en A) entre

le solide S1 et S2

L2 la liaison plane (centrée en B) entre

le solide S1 et S0 (le bâti)

𝜏𝑐(1/2) 𝐿1/𝐴 =

𝜔𝑥1 0𝜔𝑦1 0

𝜔𝑧1 0

𝐴

𝜏𝑐(1/2) 𝐿2/𝐵 =

0 𝑉𝑥2

0 𝑉𝑦2

𝜔𝑧2 0

𝐵

Exprimons les torseurs cinématiques de chacune des liaisons au

même point (par exemple le point A) :

𝑉 (𝐴) = 𝑉𝑥2

𝑉𝑦2

0

𝑉 (𝐵)

+ 00𝜔𝑧2

Ω L2

⋀ 0−𝑎−𝑏

𝐵𝐴

= 𝑉𝑥2 + 𝑎𝜔𝑧2

𝑉𝑦2

0

𝜏𝑐(1/2) 𝐿2/𝐴 =

0 𝑉𝑥2 + 𝑎𝜔𝑧2

0 𝑉𝑦2

𝜔𝑧2 0

𝐴


Les 2 liaisons sont positionnées en série, la relation fermeture

cinématique du système mécanique s’écrit donc :

𝜔𝑥 𝑉𝑥𝜔𝑦 𝑉𝑦𝜔𝑧 𝑉𝑧

𝐴

=

𝜔𝑥1 0𝜔𝑦1 0

𝜔𝑧1 0

𝐴

+

0 𝑉𝑥2 + 𝑎𝜔𝑧2

0 𝑉𝑦2

𝜔𝑧2 0

𝐴

𝜏𝑐(1/2) 𝐿𝑒𝑞/𝐴 = 𝜏𝑐(1/2) 𝐿1/𝐴 + 𝜏𝑐(1/2) 𝐿2/𝐴

𝜔𝑥 𝑉𝑥𝜔𝑦 𝑉𝑦𝜔𝑧 𝑉𝑧

𝐴

=

𝜔𝑥1 𝑉𝑥2 + 𝑎𝜔𝑧2

𝜔𝑦1 𝑉𝑦2

𝜔𝑧1 + 𝜔𝑧2 0

On déduit :

Le torseur présente cinq inconnues cinématiques non nulles, avec trois

degrés de liberté en rotation et 2 degrés de liberté en translation La

liaison équivalente est une liaison ponctuelle


y

z

S2 :

Arbre

S1 :

Alésage

S3 :

Clavette• L1 : appui plan de normale (ox)

• L2 : appui plan de normale (ox)

• L3 : encastrement

• L4 : pivot glissant d'axe (oy)O

Calcul d’un assemblage avec clavette

Calculer la liaison équivalentePr. A. El Khalfi 135

Corrigé

𝜏𝑐(1/3) 𝐿∗ = 𝜏𝑐(1/3) 𝐿1 = 𝜏𝑐(1/3) 𝐿2 =

𝜔𝑥 00 𝑉𝑦0 𝑉𝑧

𝑂

Les liaisons appui-plan L1 et L2 sont en parallèles et ont la même normale

(ox), le torseur cinématique de la liaison équivalente s'écrit :

• Torseur de la liaison L3 : 𝜏𝑐(3/2) 𝐿3 =

0 00 00 0

𝑂

• Torseur de la liaison L4 :

𝜏𝑐(1/2) 𝐿4 = 0 0𝜔𝑥4 𝑉𝑦4

0 0

𝑂

La chaine étant fermée avec des liaisons L1 , L2 , L3 et L4 qui sont en série

la loi cinématique de fermeture s'écrit donc :

𝜏𝑐(1/3) 𝐿∗ + 𝜏𝑐(1/3) 𝐿3 + 𝜏𝑐(1/3) 𝐿4 = 0


On déduit :

𝜔𝑥 00 𝑉𝑦0 𝑉𝑧

𝑂

+ 0 00 00 0

𝑂

= 0 0𝜔𝑥4 𝑉𝑦4

0 0

𝑂

On a donc :

Leq est une liaison glissière de direction (oy)

𝜔𝑥 = 0 0 = 00 = 𝜔𝑥4 𝑉𝑦 = 𝑉𝑦4

0 = 0 𝑉𝑧 = 0

𝑂

• On constate que deux équations de type (0=0) ne servent pas à la

résolution du mécanisme

• Ces deux équations définissent le nombre d'hyperstatisme du

mécanisme on dit que le degré d'hyperstatisme du mécanisme est

égal à 2

• Le nombre d'hyperstatisme définit le nombre de degré de liberté pour

garantir un montage et un fonctionnement sans contraindre le

mécanismePr. A. El Khalfi 137

Hyperstatisme / isostatismed'un mécanisme

Un mécanisme hyperstatique / isostatique

• Un mécanisme est dit hyperstatique lorsque les liaisons

cinématiques du mécanisme interdisent de façon surabondante

des degrés de liberté en vue d’obtenir les mouvements de sortie

attendus.

• Un mécanisme est dit isostatique lorsque les liaisons

cinématiques du mécanisme interdisent de façon optimale des

degrés de liberté en vue d'obtenir les mouvements de sortie

attendus.

• Un système en chaîne ouverte est toujours isostatique


Hyperstatisme d'un mécanisme dans le système des inconnus cinématiques

L'hperstatisme h d'un mécanisme est le nombre de conditions

géométriques et/ou dimensionnelles qu'il faut imposer au mécanisme

pour que celui-ci fonctionne correctement :

• Lorsque h = 0, on qualifie le système d’isostatique.

• Lorsque h > 0, on qualifie le système d’hyperstatique.

m = IC - Rang[NC]

h = NC – Rang[NC]

Pour un mécanisme à chaines fermées le système des inconnues

cinématiques s’écrit :


Exemple d’interprétation de l’hyperstatismeIl s'agit d'un mécanisme constitué de deux pièces de géométrie parfaite.

Pour que le mécanisme fonctionne correctement, il faut que :

• les axes des deux alésages soient parallèles deux conditions

géométriques.

• l’entraxe des deux cylindres du solide 1 soit le même que l’entraxe des

deux alésages du solide 0 1 condition dimensionnelle

Il faut donc imposer 3 conditions Degré d’hyperstatisme est 3

La pièce 1 est guidée par

rapport à la pièce 0 par deux

liaisons "pivot glissant"


Exemple

En éliminant certaines liaisons (mobilité) le mécanisme devient enfin

hyperstatique


Mécanisme hyperstatique et isostatique ?

Mécanisme isostatique

• Bonne connaissance des surfaces de contact

• Montage facile

• Cotation simplifiée

• Fabrication aisée

Mécanisme hyperstatique

• Rigidité

• Stabilité

Calcul : L=1400 , D=20 , F = 1 kN

• Isostatique : flèche = 34mm

• Hyperstatique : flèche = 9 mmPr. A. El Khalfi 143

Avantages et inconvénients des mécanismes hyperstatiques

- Pour un mécanisme hyperstatique :

• Chaque hyperstaticité correspond à une contrainte

géométrique forte.

• La mise en position des pièces doit être plus précise pour

permettre le montage.

Le système est alors plus rigide

- La contrepartie des mécanismes hyperstatiques est qu’ils

sont plus difficiles à réaliser et donc plus coûteux.


Remarque

• Un mécanisme hyperstatique est souvent plus rigide qu'un

mécanisme isostatique, ce qui est un facteur de précision de

position d'une pièce par rapport à une autre.

• Une telle construction est généralement employée pour des

mécanismes de transmission d'actions mécaniques

importantes.


• Lors de la conception d’un mécanisme d’hyperstaticité h, il faut

prendre des précautions pour mettre en place les h conditions

géométriques à respecter : coaxialité, distance, parallélisme,

perpendicularité, ….

• La recherche du degré d'hyperstatisme étant faite sur un schéma

où les liaisons sont parfaites où les frottement et les jeu sont

négligeables et les solides sont indéformables.

• Pour construire un mécanisme réellement hyperstatique, le

constructeur doit interpréter les conclusions de l'étude théorique

faite en fonction des solutions technologiques envisagées : le

solide est-il réellement rigide, le jeu du modèle de liaison est-il

réellement négligeable, …

Difficultés des mécanismes hyperstatiques


Avantages et inconvénients des mécanismes isostatiques

Avantages :

• Un système isostatique est plus économique puisqu’il n’est pas

nécessaire de lui imposer des contraintes géométriques coûteuses.

• Il est possible de quantifier les inconnues de liaison permettant ainsi

de dimensionner les différents composants du mécanisme.

• Il est plus facile à réaliser du point de vue des contraintes

dimensionnelles et géométriques

• Se prête facilement aux calcul mécanique

Inconvénients :

• Il est souvent moins rigide qu’un mécanisme hyperstatique


Calcul de l'hyperstatisme d'un mécanisme

Le degré d’hyperstatisme h d'un mécanisme est déterminé par :

h = NC - Rang[NC]

Le degré d'hyperstatisme est :

h ≥ 0 , en effet

Rang[NC] ≤ min(IC,NC)

Par un calcul cinématique, si on a :

𝜔𝑥 = 0 0 = 00 = 𝜔𝑥4 𝑉𝑦 = 𝑉𝑦4

0 = 0 𝑉𝑧 = 0

𝑂

Nc=6 Rang[Nc]=4 h=2Pr. A. El Khalfi 148

• Si h0 : Le mécanisme est dit hyperstatique Il y a donc

dépendance entre les équations issues du bouclage cinématique

(équations sous forme 0=0)

• Si h=0 : Le mécanisme est dit isostatique les 6 équations

issues du bouclage cinématique sont indépendantes


Le degré de mobilité m et le degré d'hyperstatisme h d'un mécanisme sont

liés par la relation :

En résumé Formules de mobilité

m – h =IC - NC = IC-6g

• IC : le nombre d'inconnues cinématiques

• Nc : nombre d'équations cinématiques (=6g)

• g : le nombre de cylomatique du mécanisme

o Mécanisme à une boucle

m – h = IC - 6

o Mécanisme plan

m – h = IC - 3 g

o Indice de mobilité du mécanisme

mc= m - h= IC - NC


o Le système du bouclage cinématique :

m = IC - Rang[NC] et h = NC – Rang[NC]


Approche statique des mécanismes

Approche statique

On considère le mécanisme de graphe cinématique suivant :

On appelle action mécanique toute cause susceptible :

• de maintenir un corps au repos

• de créer un mouvement

• de déformer un corps

• Ns : Nombre de sommets

(pièces) du graphe

• NL : Nombre de lignes

(liaisons) du graphe


Nombre d'équations & d'inconnues

L'approche statique consiste à étudier le mouvement ou l'équilibre

de chacune des pièces du mécanisme par rapport à un référentiel

(par exemple :la Bâti)

• Nm : Nombre d'équations

Nm = 6 (Ns-1)

Pour le mécanisme étudié on

dénombre Ns-1 solides


Torseur des actions mécaniques transmissibles d'une liaison

AS

S

AA

sfdAP

fd

M

R

)12(

• Le contact S1/S2 est parfait : aucune

adhérence et ni frottement

• La force élémentaire df de l'effort (21)

est perpendiculaire à la surface élémentaire

ds entourant le point de contact P

• L'action mécanique résultant du contact

S2/S1 est modélisée par le torseur statique t



En utilisant la loi de distribution des moments :

APRMM AP

APRM

R

M

R

AAPP

0

SfdRavec

Le torseur statique en un point P quelconque est :


L'hypothèse des liaisons parfaites entraine que le torseur des actions

mécaniques transmissibles et le torseur cinématique sont

réciproques :

Hypothèse de liaison parfaite

Pour une liaison parfaite e donnée à k inconnues cinématiques

6-k inconnues d'actions mécaniques transmissibles

𝜏𝑐(𝑖/𝑗) 𝑒 . 𝜏𝑠(𝑗 → 𝑖) 𝑒 = 0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑐ℎ𝑎𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑖𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑒


Système d'équations

L'équilibre étant établit pour chaque solide, le système d'équations s'écrit :

Forces dynamiques

Poids - Couple ou effort, moteur ou

résistant - actions externes ou internes

dues à des éléments déformables - ...

Le nombre Im :

• est le nombre d'inconnues d'actions mécaniques transmissibles par les

liaisons du mécanisme.

• est la somme des inconnues d'actions mécaniques transmissibles par

chacune des liaisons.Pr. A. El Khalfi 158

Exemple

A0

0

0

1

1

11

Z

Y

X

s

B0

0

0

2

2

22

Z

Y

X

s

Liaison rotule Liaison rotule

Equilibre au point A

2

2

21

21

21

2

2

2

2

2

1

1

121

2

2

2

2

2

)12(22

0

0

000

0

0

0

0

0

0)()(

lY

lZ

ZZ

YY

XX

lY

lZ

Z

Y

X

Z

Y

X

lY

lZ

l

Z

Y

X

BARBMAM

AsAs

Posons : l=AB

Il y a 5 équations utiles et 6 inconnues

Le système est hyperstatique de degré 1

Cette équation ne peut être

utilisée (elle correspond à la

mobilité du système)

y

xz


On constate que :

• Le système comporte 5 équations avec six inconnues

• le Rang est égal à 5

• Il faut donc fixer un paramètre pour pouvoir calculer les autres

On dit alors que le système est hyperstatique de degré 1

• Le système comporte une équation surabondante de forme (0=0)

• Cette équation représente la mobilité du mécanisme (m=1)


Mécanisme isostatique

• Un mécanisme est isostatique si le PFD suffit à déterminer

toutes les inconnues des liaisons

• Le mécanisme isostatique est un mécanisme dont les

liaisons réduisent les mobilités pour obtenir la cinématique

désirée


Exemple

A0

0

0

1

1

11

Z

Y

X

s

B0

0

00

2

22

Z

Ys

Liaison rotuleLiaison

pivot-glissant

Equilibre au point A

2

2

21

21

1

2

2

2

2

1

1

121

2

2

2

2)12(22

0

0

00000

0

0

0

0

0

0

0

)()(

lY

lZ

ZZ

YY

X

lY

lZ

Z

Y

Z

Y

X

lY

lZ

l

Z

YBARBMAM

AsAs

Posons : l=AB

y

xz

Cette équation ne peut être

utilisée (elle correspond à la

mobilité du système)

Il y a 5 équations pour 5 inconnues de

liaisonMécanisme isostatique

S1 S2


Hyperstatisme - isostatisme

- Un système mécanique est isostatique si le nombre d'inconnues

statiques est égal au nombre d'équations indépendantes issues du

P.F.D

- Un système est hyperstatique si le nombre d'inconnues des

liaisons Im est supérieur au nombre Rang(Nm) d'équations

indépendantes :

h=Rang(Nm)-Im


Résolution d'un mécanisme hyperstatique

Dans le cas d'un mécanisme hyperstatique, la résolution du

problème statique, à l’aide seulement du P.F.D, est impossible.

On propose :

• rendre le système isostatique

• utiliser des équations supplémentaires : relations géométriques,

lois sur le frottement, compatibilité cinématique, …

• utiliser des hypothèses simplificatrices : mécanisme plan,

composantes négligées, …

• garder le système hyperstatique et trouver un autre moyen pour

calculer les efforts

• garder le système hyperstatique et s’assurer que les inconnues

hysperstatiques soient négligeables


Quelle approche faut-il privilégier ?

Pour une recherche de mobilité et de degré d'hyperstatisme,

l'approche cinématique est à privilégier car :

• Les grandeurs manipulées sont observables et mesurables

• Le nombre d'équations à manipuler est en général bien

inférieur à celui obtenu par l'approche statique

L'approche statique est privilégiée pour dimensionner les

composants d'un mécanisme, il suffit de connaître les torseurs

d'actions mécaniques transmissibles par les liaisons.


Degré d'hyperstatisme

Le système d'équation s'écrit sous la forme :

Le degré d'hyperstatisme h d'un mécanisme est :

h = Im - Rang[Nm]

Le nombre h est toujours positif car Rang[Nm] ≤ min(Im,Nm)

avec

Rang[Nm] ≤ min(Im,Nm)


Mobilité d'un mécanisme

La mobilité d'un mécanisme peut aussi être défini comme :

m = Nm - Rang[Nm]

Le nombre m exprime le nombre d'équations de forme (0=0) ne

servant pas à la résolution pour l'équation homogène associée

Rang (Nm)h

=

m

Nm

Ra

ng

(N

m)

Im

Im

Eff

orts

ext


Relation utile

𝑂𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑡 ∶ 𝑚 − ℎ = 6(𝑛 − 1) − 𝐼𝑚

𝑃𝑜𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑙𝑖𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑗, 𝑜𝑛 𝑎 ∶ Icj + Imj = 6

𝑃𝑜𝑢𝑟 𝑛 𝑙𝑖𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛𝑠, 𝑜𝑛 𝑎 ∶ Icj + Imj n

j= Ic + Im = 6n

On déduit finalement que :

m− h = 6(n− 1) − Im = Ic − 6

• Cette formule est utile pour calculer le degré d’hyperstatisme d'un mécanisme

connaissant sa mobilité et la nature de ses liaisons.

• Par contre, pour identifier les inconnues hyperstatiques dans le système, il faut

obligatoirement dresser tout le système et détecter les inconnues incalculables.

𝑚− ℎ = 𝑁𝑚 − 𝑅𝑎𝑛𝑔(𝑁𝑚) − 𝐼𝑚 − 𝑅𝑎𝑛𝑔(𝑁𝑚) = 𝑁𝑚 − 𝐼𝑚

𝑂𝑟 𝑁𝑚 = 6 (𝑛 − 1)


Indice de mobilité

On a :

mC = Nm-Im= 6 (NS-1)-(6NL-IC)= IC- 6(NL-NS+1) =IC-NC

𝑁𝑚 = 6(𝑁𝑠 − 1)

𝐼𝑚 = 𝐼𝑚𝑒

𝑁𝐿

𝑒

= (6− 𝐼𝐶𝑒)

𝑁𝐿

𝑒

= 6𝑁𝐿 − 𝐼𝐶

L'indice de mobilité est :


Résumé

L’étude cinématique et l’étude statique conduisent à la

même valeur de l’indice de mobilité à condition

qu’il y ait dualité entre le torseurs cinématiques et

ceux des efforts transmissibles des liaisons. Cette

dualité est acquise lorsque les liaisons sont parfaites


En résumé

Approche cinématique Approche dynamique

Nombre de pièces d'un

mécanisme

Ns

Nombre de liaisons Nl

Nombre cyclomatique g=Nl-Np+1

Nombre d'équations Nc=6g Nm=6(Ns-1)

Nombre d'inconnues Ic Im

Indice de mobilité Ic - Nc Nm - Im

Mobilité d'un mécanisme m = IC - Rang[NC] m = Nm - Rang[Nm]

Degré d'hyperstaticité h = NC - Rang[NC] h = Im - Rang[Nm]

Approche globale Ic - Nc = m - h Nm - Im = m - h


Modèle cinématique


Méthode générale de résolution d'un problème de statique


Mécanisme à chaine ouverte

Mécanisme à chaine ouverte• Un mécanisme peut être à chaine ouverte, c’est-à-dire le graphe des

liaisons n’est pas bouclé, c’est généralement le cas des manipulateurs

et robots.

• Un graphe est dit ouvert s'il existe un ou plusieurs sommets par

lesquels ne passe aucun cycle


Chaîne ouverte : Une chaine de

liaisons est dite ouverte s'il n'existe pas

de boucle. En partant du bâti, on va de

solide en solide jusqu’au solide final.

Un mécanisme à chaîne ouverte de solides

est, le plus souvent, un robot. Le premier

solide étant le bâti et le dernier l'élément de

préhension ou pince.


Etude statique d’une chaine ouverteSupposons que la chaine ouverte ci-contre soit dans une

configuration d’équilibre

Etudions successivement l’équilibre des sous-ensembles :

𝑆𝑛 , 𝑆𝑛, 𝑆𝑛−1 , 𝑆𝑛, 𝑆𝑛−1, 𝑆𝑛−2 , … , 𝑆𝑛, 𝑆𝑛−1, … , 𝑆1

Le sous-ensemble 𝑆𝑛, … , 𝑆1 est soumis

• au torseur mécanique 𝜏𝑠𝐿𝑛 par la liaison 𝐿𝑛

• à l’action des efforts extérieurs 𝜏𝑒𝑥𝑡

L’équilibre du sous-ensemble 𝑆𝑛, … , 𝑆1 permet d’écrire :

𝜏𝑠𝐿𝑛 = 𝜏𝑒𝑥𝑡


Même raisonnement est valable pour les sous-ensembles :

𝑆𝑛, 𝑆𝑛−1 , 𝑆𝑛, 𝑆𝑛−1, 𝑆𝑛−2 , … , 𝑆𝑛, … , 𝑆1

A l’équilibre :

• 𝜏𝑠𝐿𝑒𝑞 𝑆𝑛,𝑆𝑛−1 = 𝜏𝑒𝑥𝑡

• 𝜏𝑠𝐿𝑒𝑞 𝑆𝑛,𝑆𝑛−1,𝑆𝑛−2 = 𝜏𝑒𝑥𝑡

• …

• 𝜏𝑠𝐿𝑒𝑞 𝑆𝑛,…,𝑆1 = 𝜏𝑒𝑥𝑡
