Le théodolite cumulateur

La principale caractéristique du théodolite cumulateur est qu'il a deux plateaux. Le plateau supérieur est solidaire de la lunette ou de l'alidade. Une vis de rappel du mouvement horizontal et une vis de blocage contrôlent son mouvement. Le plateau inférieur, quant à lui, contient le cercle horizontal, aussi appelé le limbe. Il est entouré d'un anneau moleté qui peut être tourné par l'opérateur lorsque les deux plateaux sont libres. On retrouve la flasque de centrage directement sous le plateau inférieur. Cette partie est fixée à l'embase de l'instrument. La flasque de centrage contient une vis de blocage et une vis de rappel du mouvement horizontal, permettent de le libérer ou d'initialiser le cercle inférieur. Les vis de blocage et de rotation du limbe ont des formes différentes de celles de l'alidade. On peut donc les différencier au toucher.

Le théodolite cumulateur a, par construction, la possibilité d'accumuler les angles. Il est ainsi possible d'améliorer la qualité des observations angulaires en faisant la somme des angles. Les erreurs de coïncidence sont donc éliminées pour les observations intermédiaires. 

1 Description d'un théodolite cumulateurVoici une liste des principales composantes d'un théodolite cumulateur. 1 plaque de fixation 2 plaque ressort 3 vis calante 4 vis de réglage pour la vis calante 5 nivelle circulaire 6 anneau pour le déplacement des cercles 7 plomb optique 8 barrette de fixation 9 nivelle d'alidade 10 vis de réglage pour la nivelle d'alidade 11 oculaire de la lunette 12 miroir d'éclairage 13 vis de réglage de l'index du cercle vertical 14 anneau moleté d'oculaire 15 boîtier du cercle vertical 16 bouton de réglage avec pointe de centrage et viseur 17 viseur 18 monture de l'objectif 19 vis de blocage de la lunette 20 bague de mise au point 21 microscope de lecture 22 vis de basculement 23 bouton du micromètre 24 vis de rotation de l'alidade 25 vis de blocage de l'alidade 26 vis de blocage du limbe 27 vis de rotation du limbe 28 flasque de centrage 29 bouton de verrouillage avec vis de blocage.

L'embase est le socle de l'instrument et on y retrouve les composantes suivantes: Les trois vis calantes (3) servent à niveler l'instrument pour définir un plan de

référence horizontal. La plaque ressort (2) maintient les vis calantes sur la plaque de base (1). La nivelle circulaire (5) sert au calage grossier. L'instrument repose dans la cuvette de centrage de l'embase. Son système de

verrouillage est activé par la rotation d'un bouton (29). Lorsque la flèche gravée sur le bouton pointe vers le bas l'instrument est fixé à l'embase. Lorsqu'elle pointe vers le haut, l'instrument peut être séparé ou placé dans l'embase.

La partie inférieure de l'instrument se compose de: La flasque de centrage (28). Système d'axe de rotation. Cercle horizontal est en verre divisé en intervalle de lo.

L'alidade est l'élément supérieur tournant de l'instrument. Ses parties principales sont: Les montants avec l'optique de lecture des cercles. Le boîtier du cercle vertical (15). La nivelle d'alidade (9) pour le calage vertical de l'axe de rotation. Le plomb optique (7) pour le centrage de l'instrument sur le point de station au sol. La vis de blocage de la rotation de l'alidade (25). La vis de basculement de la lunette (19). La vis de fine rotation (24). La vis de fin basculement (22). Le cercle vertical est lié à la lunette par l'axe de basculement. Le miroir (12) orientable et inclinable sur le montant gauche sert à l'éclairage des

cercles. Il peut être enlevé et remplacé par une lampe alimentée par une batterie. Sur le chemin des rayons lumineux d'observation des cercles se trouve un micromètre

optique commandé par un bouton (23) fixé au montant droit. la lecture des deux cercles est effectuée dans un microscope dont l'oculaire (21) est

tout à côté de celui de la lunette. La netteté des traits de division est obtenue en tournant l'oculaire du microscope de lecture.

L'oculaire (11) de la lunette peut s'ajuster et on peut noter les dioptries nécessaires à la correction de chaque observateur.

Pour la mesure optique des distances le réticule est muni de fils stadimétriques 1:100. La netteté de l'image de la lunette est obtenue avec la bague de mise au point (20). Le petit miroir à l'intérieur de la lunette sert à éclairer la croix du réticule lors de

travaux de nuit. La lumière est fournie par la lampe d'éclairage des cercles. L'intensité lumineuse est réglée par rotation du bouton (16) sur l'axe de basculement. Pour les travaux de jour il est préférable que le fil repère sur le bouton soit parallèle à l'axe de la lunette.

  2 Caractéristiques techniques 

image renversée (T1A) ou droite (T1AE)grossissement  28 X 

ouverture libre de l'objectif  40 mm champ à 1000 m  29 m visée minimale 1,5 (T1A) et 2,2 m (T1AE)

constante stadimétrique 100

longueur de la lunette 150 mm sensibilité de la nivelle circulaire 8'/2 mmsensibilité de la nivelle d'alidade  30"/2 mm 

précision du centrage l" cercles en verre 360o

intervalle de division des cercles de verre  1o intervalle du micromètre   20" 

lecture par estimation 5"diamètre du cercle horizontal  72,6 mm

diamètre du cercle vertical 65 mm 

3 Utilisation d'un théodolite

Voici les principales étapes nécessaires à la mise en station d'un instrument, telles que décrites dans les livres fournies avec l'instrument.

3.1 Installation du trépied

Ouvrir le trépied. Fixer le fil à plomb dans la vis sous le trépied. Mettre le trépied en station de façon que son plateau soit grossièrement horizontal. Lorsque la vis de fixation est à peu près au centre de l'ouverture circulaire du plateau,

le fil à plomb doit se trouver à moins de 2 cm du point de station. Enfoncer uniformément dans le sol les pattes du trépied. Corriger l'horizontalité du plateau en allongeant ou raccourcissant une ou deux jambes

du trépied. Avant de placer l'instrument sur le trépied, s'assurer que les vis de blocage du trépied

sont bien serrées.

3.2 Fixation du théodolite sur le trépied Ouvrir l'étui de l'instrument en tirant fortement vers l'extérieur les extrémités de la

courroie de transport. Dégager les crochets et retirer la coiffe. Basculer vers le haut les deux leviers sur le côté des supports et dégager les crochets. Soulever l'instrument, le placer sur le trépied et l'y fixer immédiatement en serrant

modérément la vis de fixation. Refermer l'étui pour le maintenir propre. Si le trépied est mis en station avec l'instrument fixé dessus, maintenir celui-ci d'une

main lors de l'enfoncement des pattes dans le sol, afin d'amortir les chocs.

3.3 Centrage de l'instrument au-dessus du point avec le fil à plomb Desserrer légèrement la vis de fixation du trépied et amener l'instrument jusqu'à ce que

le fil à plomb pende exactement au-dessus du point de la station. Resserrer modérément la vis de fixation et ranger le fil à plomb. Par temps calme le fil

à plomb peut centrer l'instrument à environ 2 mm du point.

3.4 Centrage de l'instrument au-dessus du point avec le plomb optique   Le plomb optique sert au centrage de l'instrument au-dessus du point, pour des hauteurs

d'instrument courantes (entre 1 et 2 m). Lorsque le point stationné est bien défini et en procédant minutieusement, l'erreur moyenne du centrage est d'environ 0,3 mm.

Centrer tout d'abord la bulle de la nivelle circulaire avec les vis calantes. Tirer l'oculaire du plomb optique jusqu'à ce que l'image de la croix du réticule et celle

du repère de station soient aussi nettes et exemptes de parallaxe que possible. Desserrer légèrement la vis de fixation du trépied, déplacer l'instrument parallèlement

à lui-même sur son trépied jusqu'à ce qu'il soit centré, puis resserrer modérément la vis de fixation.

Tourner de 180o l'alidade. Si la croix du réticule s'écarte du point de station d'une valeur inadmissible, desserrer

la vis de fixation et déplacer l'instrument, parallèlement à lui-même, au milieu de cet écart.

Le centrage est correct si, lors de la rotation de l'alidade, le centre de la croix du réticule reste sur le point de station ou décrit un cercle autour de celui-ci.

3.5 Nivellement de l'instrument

Éviter d'exposer la nivelle d'alidade aux rayons directs du soleil. En effet, le point de centrage des nivelles change si une partie de la nivelle est au soleil alors que l'autre partie est à l'ombre.

Se souvenir également que lors de la rotation des vis calantes la bulle se déplace dans la même direction que le pouce de la main gauche.

Centrer la bulle de la nivelle circulaire à l'aide des trois vis calantes. La vis de blocage de l'alidade étant desserrée, amener l'oculaire du plomb optique au-

dessus d'une vis calante. Centrer la bulle de la nivelle d'alidade en tournant les deux autres vis calantes

simultanément et en sens opposé. Tourner l'alidade de 180o. Éliminer la moitié d'un écart éventuel de la bulle en tournant les mèmes vis calantes.

Cette position correspond au point de calage de la nivelle. Tourner l'alidade de 90o et centrer la bulle sur son point de calage déterminé

précédemment en agissant sur la première vis calante. Répéter ces opérations jusqu'à ce que la bulle de la nivelle d'alidade occupe cette

même position (point de calage) pour n'importe quelle direction. Vérifiez si l'instrument est toujours centré au-dessus du point. Il faut que

l'instrument soit bien nivelé et bien centré au-dessus du point. Recommencez les étapes 3.4 et 3.5 autant de fois que nécessaire.

3.6 Mise au point de la lunette et pointé Diriger la lunette vers le ciel ou un arrière-plan clair et uniforme puis tourner l'oculaire

de la lunette jusqu'à ce que le réticule apparaisse net et bien noir. La lecture de l'anneau des dioptries permet à un observateur donné de retrouver

immédiatement la mise au point qui convient à son oeil. Après avoir desserré la vis de blocage de l'alidade et la vis de blocage de la lunette,

pointer la lunette vers la cible à l'aide du viseur mécanique (16 et 17). Serrer modérément ces deux vis de blocage et placer la croix du réticule à peu près sur

la cible avec la vis de fine rotation de l'alidade et la vis de fin basculement de lunette. Tourner la bague de mise au point de la lunette jusqu'à ce que l'image du point visé

apparaisse nette et sans parallaxe, c'est-à-dire qu'elle reste fixe par rapport aux fils du

réticule lorsque l'observateur déplace légèrement la tête devant l'oculaire. Une parallaxe éventuelle s'élimine en tournant la bague de mise au point.

Lors d'une mesure de direction tourner la vis de fine rotation de l'alidade pour placer exactement sur la cible le fil vertical simple ou le fil vertical double du réticule suivant la nature du point visé.

Lors d'une mesure d'un angle vertical, tourner la vis de fin basculement de la lunette pour placer exactement sur la cible le fil horizontal du réticule.

3.7 Lectures horizontales

La mesure simple d'un angle, c'est-à-dire la mesure de l'angle entre deux directions, est utilisée principalement lors des cheminements polygonaux. Si une précision de 30" est suffisante, on ne mesure qu'en position CG (cercle à gauche) de la lunette (viseur en haut). Pour des précisions plus élevées, on mesure l'angle dans les deux positions de la lunette et on en calcule la moyenne. L'effet des erreurs résiduelles instrumentales se trouve ainsi éliminé. La mesure d'un angle dans les deux positions de la lunette s'effectue et se calcule comme suit:   Position CG cible gauche , position CG cible droite: angle CG = lecture sur cible droite - lecture sur cible gauche. Position CD cible droite , Position CD cible gauche: angle CD = lecture sur cible droite - lecture sur cible gauche. Angle moyen = (angle CG + angle CD) /2.

Pour comprendre le mouvement du théodolite cumulateur il suffit de se rappeler les points suivants:

On peut faire tourner l'anneau moleté (6) et le cercle horizontal seulement lorsque les vis de blacage de l'alidade et du limbe sont desserrées.

Le plateau inférieur (limbe) permet de changer la direction initiale (visée arrière). Le plateau supérieur, quant à lui, sert à lire une direction sur une cible (visée avant).

Initialisation du gisement

Il est souvent intéressant d'orienter le cercle horizontal de façon à lire pour direction origine une valeur prédéterminée, par exemple zéro ou le gisement de cette direction.

1. Orientez le miroir d'éclairage pour que les fenêtres d'affichage du microscope de lecture soient visibles. 2. Libérez l'alidade et le limbe pour amener grossièrement la valeur angulaire (Az) initiale avec l'anneau moleté. 3. Bloquez la vis d'alidade. 4. Amenez la lecture prédéterminée des minutes et des secondes avec le bouton du micromètre. 5. Tournez la vis de l'alidade pour amener la graduation angulaire exactement entre l'index double. 6. Dirigez la lunette vers la cible 1. 7. Bloquez le limbe et faites un pointé exact avec sa vis de rotation. 8. Ne touchez plus aux vis de blocage et de rotation du limbe pour toutes les autres lectures de cette mise en station. 9. Ce gisement est inscrit dans le carnet de notes.

Lecture des gisements observés sur les cibles

10. Libérez l'alidade pour permettre la visée d'une cible. 11. Lorsque la cible est proche, l'alidade est bloquée et sa vis de rotation permet de viser précisément la cible. 12. Tournez la vis du micromètre pour amener l'angle exact entre l'index double. 13. Inscrivez la valeur du gisement dans le carnet de notes. 14. L'angle entre les deux cibles s'obtient en faisant la différence entre les deux gisements. 15. Pour lire une autre direction, allez à l'étape 10.

  Lecture horizontale: 5o13'35" 3.8 Mesurage de la distance zénithale   Si une précision de l' suffit, mesurer en position CG seulement. Sinon, basculer la lunette en position CD et répéter la mesure.   La mesure en position CG correspond à l'angle zénithal , en position CD à (36Oo- l'angle zénithal). L'angle vertical est calculé à partir des mesures du cercle vertical de la manière suivante: En lunette directe (CG) une lecture verticale  de 83o23'l0" équivaut à un angle vertical de 90o- 83o23'l0" = +6o36'50" . En lunette renversée (CD) une lecture verticale de 276o36'20"  équivaut à une lecture de 83o23'40" (360o - 276o36'20") en lunette directe, donc à un angle vertical de   90o- 83o23'l0"  = +6o36'20".   Le calcul de la somme des distances zénithales (CG + CD) sert de contrôle. La somme être toujours constante à environ ±10". Son écart par rapport à 360o peut être éliminé par un ajustement adéquat.   Pour effectuer la lecture de la distance zénithale: 1. Orientez le miroir d'éclairage pour que les fenêtres d'affichage du microscope de lecture soient visibles. 2. Ajustez le trait gradué des degrés de la fenêtre supérieure (V) au milieu de l'index double. 3. Faites la lecture des minutes et des secondes.

Distance zénithale: 84o41'15" 

3.9 Rangement du théodolite

Ouvrir l'étui avant d'enlever l'instrument de son trépied. Faire basculer les deux crochets de fixation vers l'extérieur. À l'instrument, desserrer les vis de blocage. Fermer le miroir d'éclairage. Placer la lunette verticale. Serrer modérément la vis de blocage de la lunette verticale. Aligner les marques rouges du montant droit et de l'embase. Serrer légèrement la vis de blocage de l'alidade. Saisir l'instrument d'une main et dévisser la vis de fixation du trépied. Placer immédiatement l'instrument dans son étui: les barrettes (8) doivent reposer sur

les supports de l'étui. Enclencher les crochets sur les barrettes. Placer la coiffe. Placer les crochets sous le bord du socle et verrouiller simultanément les deux côtés.

Si l'instrument a été mouillé, enlevez l'étui le plus tôt possible pour qu'il sèche rapidement.

LE CHAÎNAGE

Introduction

1 Les techniques de chaînage     1.1 Le chaînage supporté     1.2 Le chaînage suspendu

        1.2.1 Le chaînage suspendu, par cultellation         1.2.2 Le chaînage suspendu en pente

2 Les différents types de graduations des rubans    2.1 Graduations millimètres intérieures     2.2 Graduations millimétriques extérieures     2.3 Graduations millimétriques complètes

3 Les fautes lors d'un chaînage

4 Les erreurs accidentelles lors d'un chaînage     4.1 Le défaut de verticalité du jalon     4.2 L'incertitude sur la lecture du ruban     4.3 L'incertitude sur les observations de température     4.4 L'incertitude sur la tension appliquée au ruban     4.5 L'incertitude sur la lecture de l'angle d'inclinaison lors d'un chaînage en pente

5 Les corrections d'erreurs systématiques lors d'un chaînage    5.1 Correction pour l'erreur d'étalonnage     5.2 Correction pour l'erreur d'alignement     5.3 Correction pour la réduction à l'horizontale     5.4 Correction de l'erreur causée par la dilatation thermique     5.5 Correction de l'erreur due à l'élasticité du ruban     5.6 Correction de l'erreur due à la chaînette

6 Calcul de la distance entre deux points

7 Exemple de chaînage

8 Exercices

IntroductionAutrefois les arpenteurs utilisaient une véritable chaîne composée de maillons pour mesurer une distance entre deux points. C'est pourquoi cette opération s'appelle un chaînage. Aujourd'hui la chaîne a été remplacée par un ruban à mesurer, généralement fabriqué en acier. Ces rubans sont étalonnés en mètres (SI) ou en pieds. Les rubans utilisés en arpentage ont habituellement des longueurs de 30, 50 ou 100 mètres.

Il existe d'autres méthodes pour mesurer une distance. Le télémètre électronique transmet une série d'ondes à une vitesse constante. Celle-ci est réfléchie sur un prisme et revient vers son point de départ. Le temps entre l'émission et la réception permet de calculer la distance entre le télémètre et son prisme. On peut également obtenir une distance par calcul (méthode d'intersection). Sur des distances relativement courtes (inférieures à 30 mètres) les meilleures précisions sont obtenues par un chaînage.

Il semble facile de mesurer une distance avec un ruban. Cependant les résultats obtenus varient en fonction des conditions d'observation. Il faut donc utiliser une bonne technique de mesurage et corriger les observations adéquatement.  

 1 Les techniques de chaînage  Le chaînage s'effectue par deux opérateurs, le chaîneur arrière (celui qui occupe initialement le point de départ et qui tient le zéro du ruban) et le chaîneur avant (celui qui a avance vers le point en déroulant le ruban). Pour des mesures longues, les chaîneurs doivent effectuer plusieurs portées ayant la longueur nominale du ruban. Par exemple, pour mesurer une distance de 187 mètres avec un ruban de 30 mètres, il faudra 6 portées de 30 mètres et une autre de 7 mètres. Le chaîneur arrière doit vérifier l'alignement du chaîneur avant pour chaque nouvelle portée. Ce dernier utilise alors un jalon ou une fiche qu'il implante dans la ligne à mesurer, au bout de son ruban (il est plus facile de procéder à l'alignement avec des fiches parce qu'elles sont plus minces que les jalons). On ramasse les fiches lors du chaînage de retour.

Tout au long du mesurage, le chaîneur arrière aligne le chaîneur avant avec des signes de main vers la gauche ou vers la droite. De plus il doit noter le nombre de portées complètes effectuées. La dernière portée est rarement complète. Le chaîneur arrière met en coïncidence l'origine (zéro) du ruban avec le point de départ du chaînage. Le chaîneur avant dépose le ruban sur le point d'arrivée. Il fait signe au chaîneur arrière de lâcher la tension puis il tire sur le ruban pour amener une graduation exacte sur le point. C'est donc le chaîneur arrière qui applique la tension et effectue la lecture sur la longueur excédentaire. Il doit ajouter cette lecture à la valeur du trait exact lue par le chaîneur avant.

La présence d'obstacles peut empêcher l'alignement d'une portée. Dans ce cas, les opérateurs peuvent implanter une portée non alignée. Ils doivent alors mesurer l'écart d'alignement entre la portée non alignée et la ligne de chaînage. Cette mesure est perpendiculaire à la ligne de chaînage.   La technique de chaînage adoptée dépend des conditions dans lesquelles la mesure doit être effectuée. Le principal paramètre est la topographie du terrain. Selon le

terrain on peut faire un chaînage supporté horizontal ou en pente, ou un chaînage suspendu horizontal, en pente ou par cultellation (fragmenté).  

 

1.1 Chaînage supporté

Cette technique ne peut être utilisée que dans des conditions idéales que l'on retrouve surtout en laboratoire ou sur une route horizontale. De plus il ne doit pas y avoir d'obstacles entre les deux points à mesurer. On peut aussi mesurer avec une chaîne supportée lorsque le terrain a une pente uniforme entre les points. Il suffira alors de corriger les observations pour les ramener à l'horizontale.  

1.2 Chaînage suspendu

Il est bien rare que les conditions idéales (surface plane, horizontale et sans obstacles ) prévalent lors de la prise de mesures. Souvent les chaînages doivent être effectués sur une surface relativement plane mais comportant des obstacles. Les opérateurs doivent alors suspendre le ruban au-dessus des obstacles suffisamment haut pour que le ruban ne soit pas en contact avec eux. Il est préférable d'utiliser des jalons. On placera le zéro sur le jalon placé à côté du premier point. L'autre jalon sera placé vis-à-vis la graduation indiquant la longueur nominale du ruban. Les opérateurs peuvent combiner des portées de chaîne supportée avec des portées de chaîne suspendue à condition de l'indiquer clairement dans les notes. Les portées de chaîne suspendue devront être corrigées par calcul afin d'éliminer l'effet de la chaînette.  

1.2.1 Chaînage suspendu par cultellation (fragmenté)

En plus des obstacles, il arrive souvent que les chaînages doivent être effectués sur un terrain accidenté. Le chaînage par cultellation consiste à morceler le travail en sections horizontales. Dans ce cas-ci, c'est la pente qui oblige le chaîneur avant à suspendre la chaîne dans les airs.

Le chaîneur arrière met en coïncidence le zéro de la chaîne avec le point au sol. Le chaîneur avant suspend le ruban au-dessus du sol à la même élévation que le chaîneur arrière. La longueur de la portée est habituellement inférieure à la longueur du ruban. Elle dépend de la pente sur laquelle le chaînage s'effectue. Plus la pente est forte, plus les portées sont courtes et plus le nombre de portées augmente.

Comme pour la technique précédente, le chaîneur avant doit indiquer le point au sol avec un jalon et appliquer la tension standard. Il doit également se soucier de l'alignement si plus d'une portée est nécessaire. Le chaînage fragmenté est toujours effectué en descendant la pente.  

1.2.2 Chaînage suspendu en pente

En terrain accidenté, on peut mesurer une distance par le chaînage en pente. Pour chaque portée, on évalue l'angle d'inclinaison du ruban avec un  inclinomètre. Celui-ci est assez précis pour la plupart des travaux. L'inclinomètre peut aussi servir à contrôler l'horizontalité du chaînage puisqu'une nivelle y est intégrée.  Pour un chaînage de plus grande précision, le théodolite peut remplacer l'inclinomètre.  

2 Les différents types de graduations des rubans

Il existe trois types de rubans gradués (SI), chacun ayant sa propre technique de lecture. Le premier genre étant le plus vieux et le dernier le plus récent.  

2.1 Graduations millimètres intérieures  Le ruban est gradué aux mètres (ou décimètres) sur toute sa longueur. Pour compléter la lecture des graduations millimétriques sont situées entre le zéro et le premier mètre (ou décimètre). Dans ce cas, l'opération s'effectue en deux (2) étapes. D'abord le chaîneur arrière met approximativement le zéro du ruban en coïncidence avec le point arrière. Le chaîneur avant localise alors la graduation supérieure la plus proche du point à mesurer.  Le chaîneur arrière tire et applique la bonne tension. Il note la graduation lue par le chaîneur avant et prend la lecture sur le

point arrière. Pour obtenir la mesure, la lecture du chaîneur arrière doit être soustraite de la valeur obtenue par le chaîneur avant. C'est le type de graduations qui peut occasionner le plus d'erreurs de lectures.  

2.2 Graduations millimétriques extérieures  Tout comme dans le cas des graduations millimétriques intérieures ce ruban est gradué aux mètres (ou décimètres) sur toute sa longueur. Les graduations millimétriques sont situées sur le mètre (ou décimètre) excédentaire. Il origine au zéro du ruban et est gradué dans le sens opposé du reste du ruban. La manière de procéder est similaire au cas précédent. D'abord le chaîneur arrière met approximativement le zéro du ruban en coïncidence avec le point arrière. Le chaîneur avant localise alors la graduation inférieure la plus proche du point à mesurer. Puis il tire jusqu'à ce que la graduation soit en coïncidence avec le point avant.   Le chaîneur arrière note la graduation lue par le chaîneur avant et prends ensuite la lecture sur le mètre excédentaire. Pour obtenir la valeur finale, la lecture du chaîneur arrière doit être ajoutée à celle du chaîneur avant. Le seul désavantage est qu'il faut faire des lectures aux deux bouts du ruban.  

2.3 Graduations millimétriques complètes  C'est le mode de lecture le plus simple. Le chaîneur arrière met en coïncidence le zéro du ruban avec le point arrière. Le chaîneur avant prend la lecture sur le ruban, vis-à-vis le point avant, en prenant soin d'appliquer la tension adéquate. Il peut noter les observations lui-même dans le carnet de notes.  

3 Les fautes lors d'un chaînage  Les fautes sont dues à un oubli ou à la maladresse des opérateurs. Elles peuvent être évitées par une attention constante sur le travail à effectuer. Les fautes les plus courantes sont les suivantes :

Mauvaise identification de l'origine. Cette faute peut survenir lorsque le ruban comporte un mètre excédentaire. Il ne faut pas confondre la lecture extrême du mètre excédentaire avec l'origine du ruban.

Oubli d'inscrire une portée. Cette faute peut survenir lorsque la distance chaînée comporte plus d'une portée. Chaque portée effectuée doit être inscrite au fur et à mesure dans le carnet d'arpentage pour éviter cette faute.

Mauvaise lecture due à l'inversion des chiffres. Cette faute peut survenir lorsque le ruban est à l'envers par rapport à l'opérateur. Le chaîneur peut lire 46 au lieu de

64. Cette faute peut être évitée en vérifiant une graduation voisine. Par exemple si la graduation voisine indique 63, le chaîneur constatera aussitôt sa faute et corrigera sa lecture.

Mauvaise tension. Cette faute survient si les opérateurs oublient d'appliquer la tension sur la chaîne ou appliquent une tension inadéquate.

Mauvaise transcription. Cette faute survient lorsque le chaîneur transcrit incorrectement la lecture dans le carnet d'arpentage. Une attention particulière évite ce type de faute.  

4 Les erreurs accidentelles lors d'un chaînagePar définition, une erreur est l'inexactitude qui découle de l'imperfection des instruments et de nos sens. Les erreurs sont généralement petites mais leur accumulation peut devenir importante.

Les erreurs accidentelles sont difficiles à éliminer et à quantifier parce qu'elles sont de nature aléatoire. De plus elles peuvent avoir des valeurs positives ou négatives. Pour quantifier une erreur accidentelle, il faut procéder à une analyse de précision. Seule une bonne technique et un travail minutieux permettent de minimiser ce type d'erreurs. La seule consolation, face aux erreurs accidentelles, est qu'elles ont tendance à s'annuler entre elles.  

4.1 Le défaut de verticalité du jalon

Malgré les efforts fournis pour poser un jalon verticalement il existe toujours un angle, si petit soit-il, entre e jalon et la verticale du lieu. Cette erreur angulaire provoque une erreur linéaire plus grande dans le haut du jalon que dans le bas. Il est donc toujours préférable de faire les lectures dans le bas du jalon pour minimiser cette erreur.  

4.2 L'incertitude sur la lecture du ruban

Ici on ne parle pas de faute de lecture mais plutôt d'une certaine imprécision de fabrication du ruban. En effet certaines graduations peuvent amener des lectures trop courtes alors que d'autres provoquent des lectures trop longues. Par exemple, si le système de marquage du ruban est précis à 0.1 mm près, une lecture de 20 mètres pourrait avoir une valeur située de 19.9999 m alors que la graduation à 15 m mesurerait en réalité 15.0001 m.  

4.3 L'incertitude sur les observations de température

Ceci résulte de l'imprécision des thermomètres. Un thermomètre précis au degré peut indiquer une valeur de 19 ou 21 degrés alors que la température réelle est de 20 degrés.  

4.4 L'incertitude sur la tension appliquée au ruban

Malgré tous les efforts pour appliquer une tension uniforme lors d'un chaînage il peut arriver que les chaîneurs appliquent une tension inférieure ou supérieure à la tension d'étalonnage. Seule l'expérience peut arriver à minimiser ces erreurs.  

4.5 L'incertitude sur la lecture de l'angle d'inclinaisonlors d'un chaînage en pente

 Par exemple, lorsqu'on utilise un inclinomètre précis à 0o10' près, ceci implique nécessairement une erreur lors de la correction. En effet si l'inclinaison est de 5o et que l'inclinomètre indique  5o10' , les corrections seront faites pour un angle de  5o10' et non avec la vraie valeur de  5o00'. La correction sera donc trop grande par rapport à la réalité.  

5 Les corrections d'erreurs systématiques lors d'un chaînage

Les erreurs systématiques sont difficiles à éliminer, mais sont assez faciles à quantifier. Bien qu'il soit difficile d'éliminer la source d'une erreur systématique, il est relativement facile de corriger la mesure par une correction appropriée. Cette section présente les différentes sources d'erreur systématique et les corrections à effectuer pour les annuler.  

5.1 Correction pour l'erreur d'étalonnage

Aucun ruban ne possède de traits parfaitement exacts. L'écart entre la valeur vraie et la valeur inscrite sur le ruban pour une graduation donnée est ce que l'on nomme l'erreur d'étalonnage. Pour être en mesure de calculer l'erreur d'étalonnage, il faut que les traits utilisés soient étalonnés. L'étalonnage consiste à comparer le ruban à un étalon connu avec une plus grande précision.   La correction d'étalonnage Ce est donnée par la relation suivante :

 

où: Le : Valeur étalonnée du trait     Ln : Valeur nominale du trait (inscrite sur le ruban).     L : Longueur mesurée  

Notez que la formule de correction considère l'erreur comme étant répartie proportionnellement sur toute la chaîne. Cette affirmation est relativement exacte. Pour des travaux de grande précision il est important de faire étalonner le ruban aux graduations utilisées.   Le signe de la correction est très important. Si la correction d'étalonnage est négative alors Le < Ln. La longueur indiquée est trop grande et la distance doit être réduite. Si la correction est positive, la mesure est trop petite et la distance doit être augmentée.   Si la longueur mesurée est égale à la longueur nominale, donc si on utilise la chaîne sur toute sa longueur, l'équation devient:

5.2 Correction pour l'erreur d'alignement

L'erreur d'alignement peut sembler être une erreur de type aléatoire. Or c'est bien d'une erreur systématique qu'il s'agit puisque la correction d'alignement s'applique toujours dans le même sens et est toujours négative. Si on considère que e est perpendiculaire à la ligne de visée, on peut calculer D par le théorème de Pythagore. La correction d'alignement devient alors:  

  où D : Distance dans l'alignement     L : Longueur mesurée     e : Écart d'alignement mesuré perpendiculairement à la ligne de chaînage.  

5.3 Correction pour la réduction à l'horizontale

Lorsqu'un chaînage n'est pas horizontal, il faut apporter une correction que l'on nomme réduction à l'horizontale. Cette correction est toujours négative. La distance horizontale réduite Dh est donnée par la relation suivante :

où L : Longueur mesurée en mètres.   : Angle d'inclinaison par rapport à l'horizontale.   La correction pour la réduction à l'horizontale est donc:  

 

5.4 Correction de l'erreur causée par la dilatation thermique

Lorsqu'un chaînage n'a pas été effectué à la température d'étalonnage (20°C), il faut apporter une correction pour éliminer le biais introduit par la dilatation thermique du matériau que l'on nomme correction de température. Si la température d'observation est supérieure à 20°C, le ruban est dilaté et la mesure doit être augmentée. Dans le cas contraire (T < 20°C), le ruban est contracté et la mesure doit être réduite. La correction de température est donnée par la relation suivante :  

où L : Longueur mesurée en mètres.     k: Coefficient de dilatation thermique du matériau.     T :Température d'observation.     T0 :Température d'étalonnage = 20 oC.   Le coefficient de dilatation thermique est une caractéristique du matériau qui compose le ruban. Les coefficients de l'acier et de l'invar sont respectivement de 11 p.p.m./°C et ~1 p.p.m./°C. Comme l'invar est un alliage d'acier et de nickel, son coefficient varie en fonction de la proportion respective de ces deux métaux.  

5.5 Correction de l'erreur due à l'élasticité du ruban  Lorsqu'un chaînage n'a pas été effectué à la tension d'étalonnage, il faut apporter une correction pour éliminer le biais introduit par l'élasticité du ruban. L'élasticité du ruban est une caractéristique du matériau dont il est constitué. L'élasticité est

quantifiée par une grandeur physique que l'on nomme module d'élasticité E ou module de Young. La correction d'élasticité est donnée par la relation suivante :  

où P : Tension réelle appliquée au ruban (Kg)     P0 :Tension d'étalonnage (habituellement = 9 Kg)     L : Longueur du ruban en (mètres)     A : Section du ruban (mm2)     E : Module d'élasticité (Kg/mm2).  

5.6 Correction de l'erreur due à la chaînette

Lorsqu'un chaînage a été effectué avec un ruban suspendu, une correction doit être apportée à la mesure pour éliminer le biais introduit par la courbure de la chaîne, ce que l'on nomme la chaînette. La chaînette prend la forme d'une courbe qui tend vers la parabole. La correction de chaînette est la différence entre la longueur de la courbe (valeur observée) et la ligne droite entre deux (2) points (corde). La correction de chaînette est donnée par la relation suivante :  

où w : Poids unitaire du ruban (Kg/mètre)     L : distance observée en mètres     P : Tension appliquée sur le ruban (Kg).

Cette relation est valable pour une ou plusieurs chaînettes. Plusieurs chaînettes peuvent apparaître si le ruban est en contact à plus de deux endroits. La correction de chaînette est toujours négative puisque la corde est toujours inférieure à la distance observée.  

6 Calcul de la distance entre deux pointsConnaissant maintenant toutes les erreurs impliquées dans un chaînage, on peut calculer la distance entre deux points en appliquant les corrections aux valeurs observées:  

où : L Longueur mesurée sur une portée     Ce: Correction d'étalonnage     Ca: Correction d'alignement     Ch: Correction pour réduction à l'horizontale     CT: Correction pour la température     CP: Correction pour la tension     Cc: Correction pour la chaînette.  

7 Exemple de chaînageQuelle est la distance entre deux points sachant que les conditions d'observations sont les suivantes:   L'erreur d'alignement (e) est de 0.2 m. Une première longueur de 30 m a été mesurée et l'inclinomètre indiquait que l'angle au-dessus de l'horizon était de 10o ( 1 = 10). Une autre longueur indiquait 18.539 m alors que l'angle sous l'horizon était de 7o (

2 = 7). La température d'observation était de 18 oC (T=18). La tension appliquée lors du chaînage était produite par une masse de 8 kg (P=8). Le ruban n'était pas supporté à longueur lors des observations (appliquer les corrections de chaînette).

Les caractéristiques du ruban sont les suivantes : Le = 30.001 m To = 20 oC k = 11 x 10-6 / oC Po = 9 kg A = 3.5 mm2 E = 20000 kg/mm2 w = 0.025 kg/m.  

Solution:

   D = D1 +D2 = 29.5325 + 18.3970 = 47.9294.

Considérant les conditions d'observations et les caractéristiques du ruban, la distance entre les deux points est de 47.9294 mètres. 

8 ExercicesExercice 1 (961024)

La distance entre 2 points est égale à 25.432. Quelle devrait être la lecture effectuée sur votre ruban, si les conditions de mesurage sont les suivantes:

Longueur nominale du ruban: 30 m Température d'étalonnage: 20 C Coefficient de dilatationt hermique: 11 ppm/ C Tension d'étalonnage: 9 kg. Lors du mesurage la chaîne était supportée aux extrémités seulement, au-dessus des points mesurés (pas de chaînage supporté).

Valeur réelle du 30 mètres: 29.995 m Écart d'alignement: 0.080 m Angle d'inclinaison: 5    Température: 7 C Section: 3.8 mm²    Module d'élasticité: 18000 kg/mm² Tension appliquée: 12.0 kg   Poids unitaire: 0.038 kg/m

Réponse: L = 25.543077 m

Exercice 2 (980928)

Vous devez déterminer la distance entre deux points, A et B, par un chaînage aller et un chaînage retour. Après l'aller vous brisez votre chaîne et devez en prendre une autre pour le retour. Connaissant les caractéristiques de chaque chaîne et les observations s'y rapportant, calculez la distance moyenne AB, l'écart entre les deux distances calculées (aller - retour). Si vous deviez avoir une précision de 1/5000, est-ce que le chaînage est assez précis?

N.B.: Les chaînages sont suspendus et horizontaux. L'alignement est parfait.    

Chaînage Aller Chaînage Retour

Longueur étalonnée 30.0035 29.997

T (C) 15 18

T0 (C) 20 20

P (kg) 9 5

P0 (kg) 9 5

A (mm2) 3 2

E (kg/mm2) 20000 19500

w (kg/m) .02 .0167

k (p.p.m.) 10.8 10.8

Longueur mesurée (1) 30.000 30.000

Longueur mesurée (2) 30.000 30.000

Longueur mesurée (3) 30.000 30.000

Longueur mesurée (4) 10.000 10.020

Réponses: AB Aller = 99.989384 m; AB Retour = 99.969720 m; AB Moyenne = 99.979557; Écart = 0.019674 m; Précision = 1/5082, donc assez précis.

Exercice 3 (970304)

Vous avez effectué un chaînage suspendu en pente entre les points A et B. Quelle est la distance AB si les conditions d'observations étaient les suvantes:

Pente AB = 10o Longueur mesurée AB = 30.000 Température (T) = 28 oC Tension appliquée = 10 kg.

Les caractéristiques du ruban sont les suivantes: Longueur étalonnée AB = 30.0143 m Température d'étalonnage (T0): 20 oC Coefficient de dilatationt hermique: 11 ppm/ C Tension d'étalonnage (P0): 9 kg. Poids unitaire (w): 0.020 kg/m Section: 3.0 mm² Module d'élasticité (E) = 22000 kg/mm² .

Réponse: AB = 29.5571 m

Exercice 4 (011108)

Connaissant les caractéristiques d’un ruban et les conditions d’observations, calculez la distance entre les points, sachant que :lecture observée sur le ruban = 28.529 m;température d’étalonnage = 20C;température d’observation = 5C;tension d’étalonnage = 9 kg;tension appliquée lors de la mesure = 7.5 kg;angle vertical = 10 sous l’horizon;poids unitaire 0.03 kg/m;module d’élasticité = 20000 kg/mm2;section = 3 mm²;coefficient de dilatation thermique = 11 ppm/C.

Réponse   : Distance = 28.0747 m

Exercice 5 (001026)

Vous chaînez une distance entre les points A et B. Vous avez mesuré exactement 5 longueurs avec une chaîne de 30 mètres, en chaînage suspendu, sur un terrain horizontal, à une température de 15C, en appliquant un tension de 6 kg. Déterminez la distance entre A et B, connaissant les caractéristiques de votre ruban : A = 3.2 mm2, k=10.8 ppm, Po = 5 kg, E = 19800 kg/mm2, w= 0.018 kg/m et To = 20C.

Réponse   : Distance AB = 149.944 m

Exercice 6 (000222)

Calculez la distance entre les points A et B sachant que vous avez noté 3 portées de 30 m et une portée de 15.678 m. Les observations sont faites lors de chaînages suspendus horizontaux. L’alignement est considéré comme parfait.Les caractéristiques du ruban sont : longueur étalonnée 29.997 m; section = 2.2 mm2; poids unitaire = 0.015 kg/m; tension d’étalonnage = 50 N (équivaut à une masse de 5.1 kg); température d’étalonnage 20C; module d’élasticité = 20000 kg/mm2; coefficient de dilatation thermique = 11.6 ppm/C.Les conditions lors du mesurage sont : température = 25C; tension appliquée 6 kg.

Réponse   : Distance AB = 105.654 m

Exercice 7 (990929)

Calculez la distance entre deux points, après avoir effectué un chaînage suspendu et connaissant les caractéristiques du ruban utilisé (poids unitaire = 0.025 kg/m, section = 3 mm2, module d’élasticité = 20000 kg/mm2, température d’étalonnage = 20C, tension d’étalonnage = 5 kg, coefficient de dilatation thermique = 11.8 ppm).

Température observée = 18C, longueur étalonnée = 30.0026 m, erreur d’alignement = 0.010 m, distance observées : L1 = L2 = L3 = 30 m et L4 = 18.345 m, tension appliquée = 8 kg, Pente = -6%.

Réponse   : Distance = 108.127 m

Exercice 8 (990222)

Vous effectuez un chaînage horizontal suspendu sans tenir compte de la température ni de la correction de chaînette. Quelle serait la différence entre vos résultats et la vraie distance, si vous avez mesuré 4 portées de 30 m. La température est de –20C alors que la température d’étalonnage est de 20C; la tension applique est égale à la tension d’étalonnage, produite par une masse de 5 kg; le poids unitaire est de 0.020 kg/m; le coefficient de dilatation thermique est de 12 ppm/C.

Réponse   : Différence = -0.130 m

Exercice 9 (970311)

Vous mesurez une longueur de 247.80 m (avant correction de température) lorsque la température ambiante est de 23C et que la tension appliqué était de 8 kg. Quelle est la distance réelle entre les points si le chaînage a été effectué à plat sur une surface horizontale, et que les caractéristiques du ruban sont :

Température d’étalonnage = 20C; coefficient de dilatation thermique du ruban k = 11 ppm/C; tension d’étalonnage = 9 kg; A = 3.5 mm2; E = 20000 kg/mm2.

Réponse   : Distance = 247.805 m

Exercice 10 (970304)

Vous mesurez une longueur de 342.30 m (avant correction de température) lorsque la température ambiante est de 23C. Quelle aurait été la distance mesurée (avant correction de température) si la température avait été de 15C ? Le coefficient de dilatation thermique du ruban est k = 11 ppm/C.

Réponse   : Distance = 342.330 m

Exercice 11 (961023)

Connaissant les caractéristiques de votre ruban et les conditions lors du mesurage, déterminez

la distance mesurée (après toutes les corrections).Longueur nominale du ruban : 30 mTempérature d'étalonnage : 20 °CCoefficient de dilatation thermique : 11 ppm/°CTension d'étalonnage : 9 kgLongueur mesurée : 29.617 m                            Valeur réelle du 30 mètres : 30.001 mÉcart d'alignement : 0.099 m                              Angle d'inclinaison : 20°Température : 14°C                                           Section : 5.8 mm2

Module d'élasticité : 28000 kg/mm2                   Tension appliquée : 7.5 kgPoids unitaire : 0.021 kg/m

Réponse   :

Distance = 27.8210 m Le chainageEXERCICE DE CHAÎNAGE

Le but de ce laboratoire est de comprendre toutes les étapes nécessaires à la réalisation d'un chaînage de qualité.

Tout d'abord, il y aura démontration des techniques de base. Ensuite, les étudiants iront sur le terrain pour expérimenter avec des conditions réelles. Ils auront à déterminer la distance entre deux points. L'écart entre l'aller et le retour devra être acceptable, soit D/2500, où D est la distance déterminée (avant les corrections). Ensuite il faudra calculer la distance corrigée pour tous les paramètres (tension, température, chaînette, pente, etc.).  

Les mesures angulaires

Introduction

1 Système de référence global vs système de référence local

2 Orientation d'une ligne     2.1 Les unités angulaires     2.2 L'azimut     2.3 Le gisement     2.4 La course

3 Exercices de transformations angulaires     3.1 Réponses

4 Exercices supplémentaires

5   Liens intéressants  

Introduction Les observations en topométrie sont constituées principalement par des mesures de distances et d'angles ainsi que par des observations accessoires comme la mesure de la température et de la pression atmosphérique. Le but de la topométrie est de prendre les mesures nécessaires pour dresser une carte topographique d'un secteur, localiser des bâtiments et des limites de propriété, implanter des structures (routes et bâtiments), effectuer une description technique, etc.

Dans cette section nous verrons les différents systèmes de notations angulaires ainsi que les techniques instrumentales nécessaires pour déterminer les valeurs angulaires.

1 Système de référence global

vs système de référence local

Le système de référence employé en topométrie est un système orthogonal défini de la manière suivante:

La direction positive de l'axe des X (abscisse) coïncide avec la direction Est. La direction positive de l'axe des Y (ordonnée) est orientée vers le Nord. La direction positive de l'axe des Z (cote) pointe vers le zénith.

Les directions angulaires établies par rapport au Nord sont appelés des azimuts. Si le système de coordonnées employé ne coïncide pas avec les directions Est et Nord, c'est un système local. Les directions angulaires ainsi déterminées seront appelées des gisements.  

L'origine altimétrique (origine de l'axe Z) peut être définie arbitrairement dans un système local. Conventionnellement elle correspond au niveau moyen des mers (NMM) dans un système global.  

La planimétrie consiste à établir la position de points en référence au plan XOY. La détermination d'azimuts et de distances permet de résoudre les problèmes de planimétrie. L'altimétrie permet de calculer la cote des points. On procède généralement par nivellement pour déterminer ces valeurs.

2 Orientation d'une ligneIl existe plusieurs systèmes de notations angulaires en topométrie. Nous verrons ici les principales, soit les azimuts, les gisements et les courses.

2.1 Les unités angulaires

En Amérique du Nord, les mesures angulaires sont exprimées en degrés, minutes et secondes. On sait que qu'il faut 360 degrés pour effectuer une rotation complète et 180 degrés pour un demi-tour. Chaque degré est divisé en 60 minutes, donc 1o = 60'. Chaque minute est divisée en 60 secondes, donc 1' = 60". Il y a donc 3600" dans un degré. Voici( un exemple pour convertir un angle (en degrés, minutes et secondes) en degrés décimaux et vice versa:

Transformez la valeur de 23o36'47" en degrés décimaux: D = 23 + 36/60 + 47/3600 = 23 + 0.6 + 0.0131 = 23.6131o.

Transformez la valeur de 57.8932o en degrés, minutes et secondes: entier (57.8932) = 57o (57.8932-57)*60 = 53.592' donc 53' (53.592-53)*60 = 35.5" 57.8932 = 57o53'35.5".

2.2 L'azimut

L'azimut d'une ligne est l'angle que fait cette ligne avec le méridien (Nord astronomique), dans le sens horaire. Il est facile de comparer l'orientation d'une ligne avec un rapporteur d'angle. Si le 0 est orienté vers le Nord, le 90 sera vers l'Est, le 180 vers le Sud et le 270 vers l'Ouest.

Voici un tableau des principaux azimuts:  

Azimut Orientation

0o00'00" Nord

90o00'00"

Est

180o00'00"

Sud

270o00'00"

Ouest

45o00'00"

Nord Est

135o00'00"

Sud

Est

225o00'00"

Sud

Ouest

315o00'00"

Nord Ouest

Un tour d'horizon est divisé en 4 quadrants: Le quadrant 1 (N.E.) comprend les azimuts entre 0o et 90o. Le quadrant 2 (S.E.) se situe entre les azimuts 90o et 180o. Le quadrant 3 (S.W.) fait référence aux angles entre 180o et 270o. Finalement le quadrant 4 (N.W) comprend les angles entre 270o et 360o.

2.3 Le gisement

Le gisement d'une ligne est l'angle que fait cette ligne avec le Nord conventionnel. On peut fixer le Nord conventionnel selon nos besoins. Il ne concorde pas nécessairement avec le Nord astronomique ou l'orientation du méridien local.

2.4 La course

La course d'une ligne est l'angle aigu (plus petit que 90o) mesuré à partir de la direction Nord ou Sud. Le tableau suivant est un exemple de conversion de Gisements ou d'Azimuts en Courses.  

Quadrant Gisement ou Azimut (1) Opération Course

1 (N.E.) 45o32'43" (1) + 0o N45o32'43"E

2 (S.E.) 154o26'33" 180o - (1) S25o33'27"E

3 (S.W.) 231o09'58" (1) - 180o S51o09'58"W

4 (N.W.) 285o47'25" 360o - (1) N74o12'35"W

3 Exercices de transformations angulaires1. Avec votre rapporteur d'angle, tracez les directions suivantes et identifiez la course correspondante (exemple: 187o = S7oW, il faut identifier l'angle de 7o par rapport à la direction Sud). 315o 128o 258o 54o.

2. Transformez les azimuts suivants en courses et en degrés décimaux: 10o25'46" 154o23'17" 244o14'07" 231o37'28" 0o09'01" 220o46'19" 57o19'46" 332o33'25" 288o56'14" 214o02'08" 25o06'32" 73o41'57".

3. Transformez les azimuts (degrés décimaux) en degrés, minutes et secondes. Trouvez les courses correspondantes. 195.5316o 257.6745o 189.0494o 69.5413o 265.3279o 30.1452o 217.7845o 80.7672o 103.4214o.

4. À l'aide de votre rapporteur d'angle, tracez les gisements suivants, deux à deux. Calculez le plus petit angle entre ces gisements et indiquez si l'angle est dans le sens horaire ou dans le sens anti-horaire. 359o38'24" et 28o23'45" -36o36'55" et 216o24'48" -309o33'24" et 275o19'23" -5o00'00" et 46o21'00" -270o19'23" et 250o29'56" -55o48'22" et 235o49'35" -0o00'00" et 183o02'35" -135o25'35" et 300o24'19".

3.1 Réponses

1. N45oW; S52oE; S78oW; N54oE. 2. N10.4294oE; S25.6119oE; S64.2353oW; S51.6244Wo; N0.1503oE; S40.7719oW; N57.3294oE; N27.4431oW; N71.0628oW; S34.0356oW; N25.1089oE; N73.6992oE. 3. S15o31'54"W; S77o40'28"W; S9o02'58"W; N69o32'29"E; S85o19'41"W; N30o08'43"E; S37o47'04"W; N80o46'02"E; S76o34'43"E. 4. 28o45'21" horaire; 179o47'53" horaire; 34o14'01" anti-horaire; 41o21'00" horaire; 19o49'27" anti-horaire; 179o58'47" anti-horaire; 176o57'25" anti-horaire; 164o58'44" horaire.

4 Exercices supplémentaires4.1 (961024)Calculez les courses qui correspondent à ces gisements: 117o45'22"; 74o10'23"; 257o13'54"; 310o00'34".

Réponses: S.62o14'38"E.; N.74o10'23"E.; S.77o13'54"W.; N.49o59'26"W.

4.2 (980928)Tranformez les gisements en courses et les courses en gisements. @AB = 45o38'16"; @AC = 268o57'03"; @AD = 272o27'32"; @AE = 132o13'29"

N.10 28'58"E.; N.80 32'11"W.; S.35 21'38"E.; S.49 00'42"W.   Réponses: N.45o38'16"E.; S.88o57'03"W.; N.87o32'28"W.; S.47o46'31"W. 10o28'58"; 279o27'49"; 144o38'22"; 229o00'42".

4.3 (981020)Calulez les courses correspondantes aux gisements suivants: 33o35'48"; 268o25'25"; 147o58'29"; 327o01'19"; 181o42'41"

Réponses: N.33o35'48"E.; S.88o25'25"W.; S.32o01'31"E.; N.32o58'41"W.;  S.1o42'41"W.

4.4 (020124)Démontrez comment transformer une course (N. 23.5428 W.) en gisement (degrés, minutes et secondes). Détaillez les calculs.

Réponse :336°27'26"

4.5 (011108)Calculez la course AB (en degrés, minutes et secondes) qui correspond au gisement suivant : @AB = 104.5629°.

Réponse :S. 75°26'14" E.

4.6 (010125)Trouvez les courses correspondantes aux gisements 93°12'22" et 275°24'50"

Réponse :S. 86°47'38" E. et N. 84°35'10" W.

4.7 (010921)Calculez la course magnétique (degrés, minutes et secondes) qui correspond à l’azimut magnétique de

264.1539°. Détaillez tous les calculs.

Réponse :S. 84°09'14.04" W.

4.8 (001026)À quelles courses correspondent les azimuts suivants?271°04'20"; 18°37'28"; 190°30'47"; 92°14'45".

Réponse :N. 88°55'40" W.N. 18°37'28" E.S. 10°30'47" W.S. 87°45'15" E.

4.9 (000222)Calculez la course qui correspond au gisement suivant : 290°37'52".Transformez 40°17'06" en degrés décimaux.Transformez 47.9825° en degrés, minutes et secondes.Calculez le gisement qui correspond à la course S. 86°55'29" E.

Réponse :N. 69°22'08" W.40.2850°47°58'57"93°04'31"

4.10 (991019)Transformez les gisements en courses et les courses en gisements.126°32'43"; 88°19'20"; 300°11'35"; 267°24'51", N. 10°28'45" E.; N. 5°59'10" W.; S. 45°00'18" W.; S. 10°43'00" E.Calculez l’angle entre les deux droites dont les courses sont : S. 45°00'18" W.; S. 10°43'00" E.

Réponse :S. 53°27'17" E.; N. 88°19'20" E.; N. 59°48'25" W.; S. 87°24'51" W.10°28'45"; 354°00'50"; 225°00'18";169°17'00"Angle = 55°43'18"

5 Liens intéressantsL'azimut magnétique est l'angle que fait une ligne avec le nord magnétique. L'angle qui existe entre le nord astronomique et le nord magnétique est appelé la déclinaison magnétique. Dans la région de Québec, la déclinaison magnétique est d'environ 17 degrés vers l'Ouest. Ceci signifie que l'aiguille d'une boussole, attirée par le nord magnétique, est de 17 degrés trop vers l'Ouest. Le vrai Nord est donc à 17degrés plus vers l'Est. Voici des informations supplémentaires concernant la relation entre le nord magnétique et le méridien:

La boussole avec sa déclinaison magnétique Déclinaison magnétique

À la poursuite du pôle magnétique nord

À la poursuite du pôle magnétique nord

Calcul de coordonnées et solution de triangles

Introduction

1 Calcul de la distance entre deux points

2 Calcul du gisement entre deux points

3   Le rayonnement

4   La loi des sinus     4.1 Cas 1: 2 angles et un côté opposé connus (A a B)     4.2 Cas 2: 2 angles et un côté inclus connus (B C a)     4.3 Cas 3: 2 côtés et un angle opposé connus (A a b)

5   La loi des cosinus     5.1 Cas 3: 2 côtés et un angle opposé connus (A a b)     5.2 Cas 4: 2 côtés et un angle inclus connus (a b C)     5.3 Cas 5: 3 côtés connus (a b c)

6 Exercices

7 Exercices supplémentaires

IntroductionCe module introduit les notions nécessaires pour faire des calculs de coordonnées. Les gisements, couplés aux distances, permettent de calculer les coordonnées des points dans un système de référence local. Inversément, si on connaît les coordonnées de deux points, il est facile de déduire la distance et le gisement entre ces points.

En topométrie, on peut généralement résoudre les problèmes en les décomposant en triangles. C'est alors facile de solutionner tous les cas d'intersection, en faisant appel aux lois du sinus et du cosinus.

1 Calcul de la distance entre deux pointsPour faciliter la visualisation de la méthode de calcul utilisée, un système d'axes auxiliaire a été tracé. Son origine passe par le premier point (A) et ses axes X' et Y' sont

respectivement parallèles aux axes X et Y. La projection de la droite AB sur l'axe Y' permet de tracer un triangle rectangle. Ses côtés ont une valeur de (YB - YA) et (XB -XA).  

Pour calculer la distance entre deux points dont les coordonnées sont connues, il suffit maintenant d'utiliser le théorème de Pythagore :

.

Exemple: Calculez la distance entre les points A et B si les coordonnées des points sont:

XA = 127, YA = 127, XB = 460 ET YB = 323.

Solution:

2 Calcul du gisement entre deux pointsComme nous l'avons déjà vu, l'orientation d'une ligne peut être définie comme une course, un gisement ou un azimut. Par définition le gisement est l'angle entre l'axe Y' ou Y, dans le sens horaire, par rapport à la droite AB. La fonction arc tangente permet de calculer le gisement entre deux points dont les coordonnées sont connues. Il faut ajouter 180o si (YB - YA) est négatif et 360o si le gisement calculé est négatif. Notez que les gisements sont notés par le symbole "@".

.

Exemple: Calculez les gisements @AB et @BA si les coordonnées des points sont:

XA = 127, YA = 127, XB = 460 ET YB = 323.

Solution:

Notez qu'il y a une différence de 180o entre les gisements AB et BA. Ceci correspond à la valeur angulaire d'un demi-tour.

3 Le rayonnement

Le rayonnement c'est un relèvement effectué à partir d'un point connu avec une observation linéaire et une observation angulaire. Géométriquement, c'est une localisation par coordonnées polaires. Cette méthode de relèvement est la plus courante.

Soit AB la distance horizontale observée entre le point d'origine connu (point A) et le point relevé par rayonnement (point B). Soit @AB, le gisement observé à partir du point d'origine A, vers le point relevé B et (XA, YA), les coordonnées planimétriques du point d'origine A. Alors les coordonnées (XB, YB) du point B relevé par rayonnement, sont obtenues par :

XB = XA + AB sin @AB YB = YA + AB cos @AB.

Pour solutionner graphiquement, positionnez le point A par rapport à un système d'axes (X0 et Y0 peuvent être différents de zéro). Placez votre rapporteur d'angle, centré sur A, de façon à ce que le zéro degré pointe vers le haut de la feuille. Tracez une droite dans l'orientation du gisement AB. Sur cette droite, mesurez une longueur AB. Mesurez les coordonnées du point B (XB et YB) avec votre échelle.  

4 La loi des sinusÀ cause d'obstacles il est parfois impossible de mesurer directement certaines distances ou certains angles. Il faut alors procéder par intersection. Bien qu'il existe plusieurs solutions, l'utilisation des lois des sinus et des cosinus permet de régler efficacement ce type de problèmes.

La loi du sinus est très simple et permet de calculer facilement les éléments manquants d'un triangle. Le cas type est une intersection où deux angles ont été mesurés. L'ambiguïté propre à la loi des sinus est alors réglée,

sachant que la somme des angles intérieurs d'un triangle est égale à 180o.

Voici comment s'énonce la loi du sinus:

Si un seul angle est mesuré, sachant que le sinus d'un angle A est égal au sinus de (180o - A), il faut vérifier quelle solution est la bonne. Heureusement elle est souvent facile à identifier. Dans ce cas, on peut aussi utiliser la loi des cosinus pour trouver la solution unique.

4.1 Cas 1: 2 angles et un côté opposé connus (A a B)

Dans ce cas, une rivière traverse les droites AC et AB. La seule mesure linéaire qu'on peut prendre est a. Les angles sont observés à partir des sommets A et B.

Soit A = 26o, B = 36.5o et a = 57, calculez les éléments C, b et c du triangle.

Solution graphique: Tracez un angle B = 36.5o. Sur le côté BC, mesurez une distance a = 57 (à l'échelle 1:1000). Déplacez votre rapporteur d'angle sur le côté BA jusqu'à ce que l'angle A = 26o arrive sur la fin du segment BC. Mesurez graphiquement l'angle C, ainsi que les côtés b et c, avec votre échelle. Selon votre précision graphique, vous devriez avoir: C = 117o , b = 77 et c = 115. Vous connaissez maintenant les valeurs approximatives des réponses demandées.

Solution numérique: La première étape consiste à calculer l'angle C. Sachant que la somme des angles est égale à 180o, C = 180o - A - B = 180o - 26o - 36.5o = 117.5o.

Maintenant il devient facile de résoudre le triangle.

4.2 Cas 2: 2 angles et un côté inclus connus (B C a)

Dans ce cas, le point A est inaccessible. On veut localiser un clocher d'église par exemple, ou encore une rivière traverse les droites AC et AB. La seule mesure linéaire qu'on peut prendre est a.

Soit B = 36.5o, C = 117.5o et a = 57, calculez les éléments C, b et c du triangle. Contrairement au cas 1, les angles sont observés à partir des sommets B et C.

Solution graphique: Tracez un angle B = 36.5o. Sur le côté BC, mesurez une distance a = 57 (à l'échelle 1:1000). Tracez un angle C = 117.5o. Mesurez graphiquement l'angle A, ainsi que les côtés b et c, avec votre échelle. Selon votre précision graphique, vous devriez avoir: A = 26o , b = 77 et c = 115.  

Solution numérique: La première étape consiste donc à calculer l'angle A. Sachant que la somme des angles est égale à 180o:

A = 180o - B - C = 180o - 117.5o - 36.5o = 26o.

On se retrouve alors dans les conditions du cas 1. La loi des sinus permet de trouver les côtés b et c rapidement.

   

4.3 Cas 3: 2 côtés et un angle opposé connus (A a b)

À cause d'un lac il est impossible de mesurer directement la distance entre les

points A et B. Pour positionner correctement le point B il est possible de mesurer l'angle A, ainsi que les distances a et b.

Soit A = 43o, a = 390 et b = 350, calculez les éléments B, C, et c du triangle.

Solution graphique: Tracez un angle A = 43o. Sur le côté AC, mesurez une distance b = 350 (à l'échelle 1:5000). Centré sur le point C, tracez un cercle de rayon a = 390. Il existe deux solutions, à l'intersection de la droite AB et du cercle de rayon a = 390. Choisissez la solution qui correspond à la réalité. Mesurez graphiquement l'angle B, l'angle C, ainsi que le côté c, avec votre échelle. Selon votre précision graphique, vous devriez avoir: B = 37o , C = 99o et c = 564.

Solution numérique:

donc B = 37o44'16" ou B =142o15'44". Une ambiguïté existe. Il faut donc savoir quelle solution est exacte. Graphiquement on peut constater que B = 37o44'16". On peut aussi utiliser la loi du cosinus pour obtenir une réponse sans équivoque.

Sachant que la somme des angles est égale à 180o: C = 180o - A - B = 180o - 43o - 37o44'16" = 99o15'44".

La loi des sinus permet de trouver le côté c manquant:

5 La loi des cosinusLa loi des cosinus est un peu plus complexe à calculer que celle des sinus, mais elle est indispensable lorsqu'on n'a pas mesuré d'angle. Généralement on l'utilise lorsque deux côtés sont observés. On peut l'énoncer de deux façons, en fonction de l'inconnue. Dans le premier cas, on calcule un angle après avoir observé trois distances:

Dans le deuxième cas, on calcule le côté opposé à l'angle lorsqu'un angle et les deux côtés adjacents sont observés:

5.1 Cas 3: 2 côtés et un angle opposé connus (A a b)

Dans le cas 3 il était impossible de mesurer le côté c. La loi des cosinus peut facilement remplacer celle des sinus pour ce genre de problème.

Soit A = 43o, a = 390 et b = 350, calculez les éléments B, C, et c du triangle.

Solution graphique: (identique à la solution précédente) Tracez un angle A = 43o. Sur le côté AC, mesurez une distance b = 350 (à l'échelle 1:5000). Centré sur le point C, tracez un cercle de rayon a = 390. Il existe deux solutions, à l'intersection de la droite AB et du cercle de rayon a = 390. Choisissez la solution qui correspond à la réalité. Mesurez graphiquement l'angle B, l'angle C, ainsi que le côté c, avec votre échelle. Selon votre précision graphique, vous devriez avoir: B = 37o , C = 99o et c = 564.

Solution numérique:

Il suffit de résoudre ce système de 2ième ordre pour obtenir la valeur de c = 564.393 ou c = -52.446. La valeur négative est automatiquement rejetée puisque cela ne peut exister. On conclue donc que c = 564.393.

donc B = 37o44'16".

Sachant que la somme des angles est égale à 180o, C = 180o - A - B = 180o - 43o - 37o44'16" C = 99o15'44".

5.2 Cas 4: 2 côtés et un angle inclus connus (a b C)

C'est sans doute le cas le plus fréquent en topométrie. On n'a qu'à occuper un sommet du triangle et mesurer les deux côtés directement de ce sommet. Il n'y a donc pas de perte de temps. Pour résoudre ce triangle on observe donc

un angle C et on mesure les deux côtés adjacents, a et b.

Soit a = 345, b = 400 et C = 103o, calculez les éléments A, B, et c du triangle.

Solution graphique: Tracez un angle C = 103o. Sur le côté BC, mesurez une distance a = 345 (à l'échelle 1:5000). Sur le côté AC, mesurez une distance b = 400. Tracez la droite AB. Mesurez graphiquement les angles A et B, ainsi que le côté c, avec votre échelle. Selon votre précision graphique, vous devriez avoir: A = 35o , B = 42o et c = 585.

Solution numérique:

c = 584.048.

On peut solutionner le reste avec la loi des sinus. Il n'y aura aucune ambiguïté puisque A et B doivent être inférieurs à 90o. En effet, si C = 103o, alors la valeur maximale de l'angle A ou de l'angle B est de 180o -103o = 77o.

donc A = 35o08'21".

Sachant que la somme des angles est égale à 180o, B = 180o - A - C = 180 - 35o08'21" - 103o = 41o51'39".

5.3 Cas 5: 3 côtés connus (a b c)

Ici nous voyons la possibilité de déterminer des angles en effectuant des mesures linéaires seulement. Selon les observations, les angles pourront être calculés.

Soit a = 260, b = 580 et c = 570, calculez les éléments A, B, et C du triangle.

Solution graphique: Tracez un côté AC = b = 580 (à l'échelle 1:5000). Centré sur le point A tracez un rayon = AB = c = 570.

Centré sur le point C tracez un rayon = BC = a = 260. Les solutions se trouvent à l'intersection des deux cercles. Peu importe le triangle solution choisi, les angles auront la même valeur. Mesurez graphiquement les angles A, B et C. Selon votre précision graphique, vous devriez avoir: A = 26o, B = 79o et C = 75o.

Solution numérique:

,donc A = 26o06'54".

,

donc C = 60o34'07"

Sachant que la somme des angles est égale à 180o: B = 180o - A - C = 180o - 26o06'54" - 60o34'07" = 93o18'59".

6 Exercices

1. Soit (XA, YA) et (XB, YB) les coordonnées planimétriques des points A et B. Des sommets A et B on a observé les gisements @AC et @BC. Si XA = 13, YA = 13, XB

= 46, YB = 33, @AC = 14o32'04" et @BC=277o21'04", calculez les coordonnées du point C (faites la solution graphique).   Réponse: XC = 19.085, YC = 36.472  

2. Si XA = 13, YA = 13, XB = 46, YB = 33, b = AC = 25 et a =BC=30, calculez les coordonnées de C (faites la solution graphique).   Réponse: XC = 16.382, YC = 37.770

3. Voici un exemple de relèvement effectué à partir de deux (2) points connus, A et B. De chacun de ces points on observe un  gisement ou une distance. Comme la droite AC peut couper le cercle (dont le centre est à B) à deux endroits différents, C1 et C2, il existe deux solutions possibles. Une solution serait unique si la droite AC était tangente au cercle, donc si l'angle C était égal à 90o.

Dans ce cas les éléments suivants du triangle sont connus: A, a et c.

Si XA = 13, YA = 13, XB = 46, YB = 33, @AC = 17o55'40" et BC=27, calculez les coordonnées des points C1 et C2. Faites le croquis à l'échelle.   Réponse: XC1 = 19.034 et YC1 = 31.650, XC2 = 24.935, YC2 = 49.889. 

7 Exercices supplémentaires

7.1 (020124)Connaissant les coordonnées des points A (100, 100) et B (120, 95), les angles BAD (25°10'24") et DAC (32°10'24"), la distance AC = 20 et sachant que D est sur la droite BC, calculez les coordonnées du point D. Faites un croquis à l’échelle. 

Réponse :D (117,5402, 103.4531)

7.2 (000922)Connaissant les coordonnées des points A et B, ainsi que les données nécessaires au positionnement des points C et D, calculez les coordonnées du point E, situé à l’intersection des droites AB et CD.XA = 18; YA = 39; XB = -24; YB = 30; BC = 12; @BC = 190°32'09"; DA = 13; @DA = 162°19'34".

 

Réponse :E (-7.631, 33.508)

7.3 (990929)Tracez le croquis qui représente le problème suivant, à l’échelle 1/500. Positionnez-y les axes X et Y. Dans un triangle, vous connaissez les coordonnées d’un point A, soit XA = 12, YA = 5. Sachant que le point B est plus haut que le point A (YB>YA) et que A = 80°; AB = 50 m; BC = 100 m; @AC = 220, calculez les coordonnées des points B et C.

 

Réponse :B ( -31.301, 30.000), C (-49.527, -68.325)

7.4 (991012)Données du problème : @BC = 170°; @DA = 355°; @BD = 240°; BD = 80 m; AC = 120 m; BC = 35 m. Calculez la distance AD en solutionnant avec des triangles. Le croquis n’est pas à l’échelle.

 

Réponse :92.170 m

7.5 (970311)Quelle est la distance entre le point C et la droite AB?

X Y

A 50 30

B 15 23

C 12 26

Réponse :C – AB =3.530

7.6 (970304)Connaissant les coordonnées des points A et B vous mesurez les distances AC = 8 et BC = 4. Calculez les deux gisements possibles de A vers C (@AC1 et @AC2).

X Y

A 3 8

B 10 1

Réponse :@AC1 = 112°11'07.3"@AC2 = 157°48'52.7"

7.7 (980928)Avec le carnet de notes suivant, calculez les coordonnées du point B.

De À @ Dist Notes

A       (0,0)

  B 43o18'20"    

  C 99o07'18" 18.909  

         

B        

  C   18.837  

Réponse : Il existe 2 solutions: B1(14.4856, 15.3687) et B2(0.0883, 0.0936).

7.8 (980303)Connaissant les coordonnées des points A et B, déterminez les coordonnées du point C si les gisements observés sont les suivants: @CA = 320o et @CB = 30o.

 Point  X (m) Y (m)

A  500.000 700.000 

B  900.000  800.000

Réponse : C (702.7565, 458.3642).

 

 

Technique de mesurage d'angles par accumulation

Introduction

1 La marche-à-suivre

2 Exemple de carnet de notes

3 Exemple de calcul des coordonnées

IntroductionAvec les théodolites répétiteurs il est possible d'améliorer la précision des angles en faisant la somme de plusieurs lectures. Prenons un exemple où le gisement arrière est 0o00'00" et le gisement avant mesure 30o01'20". On pourrait répéter plusieurs fois ces mesures pour en faire la moyenne. La technique d'accumulation utilise cependant les deux plateaux pour obtenir la somme des mesures angulaires, au fur et à mesure des observations. Voici une liste détaillée des opérations pour utiliser cette méthode.

1 La marche-à-suivreToujours commencer les observations en lunette directe.

En lunette directe:

Étape 1:

En lunette directe, placez le gisement 0o00'00" sur la cible 1. Débloquez l'alidade (plateau du haut) et visez la cible 2. Bloquez l'alidade et faites

l'appoint avez la vis associée à l'alidade. Notez l'angle 30o01'20" et faites une marque "/" pour indiquer que vous avez fait une lecture d'angle en direct.

Étape 2: Débloquez le limbe et visez la cible 1. Bloquez le limbe et faites l'appoint avec la vis

d'ajustement associée au limbe. La lecture sur la cible 1 devrait être encore à 30o01'20" (si c'est la première fois dans

l'étape 2). Débloquez l'alidade et visez la cible 2. Bloquez l'alidade et faites l'appoint avec la vis

d'ajustement associée à l'alidade. Lisez la valeur angulaire (60o03'00" si c'est la première fois dans l'étape 2). Faites une marque "/".

Après 4 répétitions on devrait avoir un angle total d'environ 120o05'20". Renversez la lunette. L'angle devrait être le même qu'en lunette directe.

En lunette renversée:

Étape 3:

Débloquez le limbe. Amenez la lunette sur la cible 1. Bloquez le limbe et faites l'appoint. La valeur

angulaire devrait être encore à 120o05'20, si c'est la première fois que vous êtes à l'étape 3.

Débloquez l'alidade et visez la cible 2. Bloquez l'alidade et faites l'appoint. Après chaque angle en renversé faites un "\" sur un "/" de façon à former un "X".

Répétez l'étape 3 autant de fois que nécessaire, afin de compléter tous les "X". Notez la lecture finale.

Pour calculer l'angle moyen, faites le calcul suivant: angle moyen = (Lecture finale + 360o * n)/i où i: nombre d'angles accumulés     n: nombre de fois que vous avec passé au-dessus de 360o. Il est possible de déterminer le nombre de fois que vous avez passé au-dessus de 360o par la formule suivante:

n = entier((Premier angle * i - lecture finale)/360).Maintenant l'angle moyen est calculé ainsi:

angle moyen = (Lecture finale + 360o * n)/i.

2 Exemple de carnet de notesVoici un exemple détaillé de carnet de notes. Pour le premier angle les observations sont décrites en détails. C'est pour aider l'étudiant à voir toutes les opérations nécessaires pour observer un angle par accumulation. L'astérisque (*) qui précède certains gisements indiquent qu'il faut débarrer le limbe pour amener le gisement sur la première cible. La façon normale de prendre les notes est utilisée pour les autres observations angulaires.  

De À Gisement    Distance Remarques

25         (0.000,0.000)

  E 0o00'00" D 22.538  

  A 88o10'00" D 43.800 Angle = 88o10'00"

  E *88o10'00" D    

  A 176o21'10" D    

  E *176o21'10" R    

  A 264o31'00" R    

  E *264o31'00" R    

  A 352o41'20" R    

          n = entier(( 88o10'00" * 4 - 352o41'20")/360) = 0 angle E-25-A = (352o41'20" + 0o00'00")/4 =  88o10'20" 

angle interne = 88o10'20"  @25-A = 0o00'00" + 88o10'20" = 88o10'20" 

           

E          

  25 0o00'00" D 22.542  

  16 266o00'20" D 43.712 Angle = 266o00'20"

    XX    

  16 344o02'40" R    

          n = entier((266o00'20"*4 - 344o02'40")/360) = 2 angle 25-E-16 = (344o02'40"+ 2*360o)/4 = 266o00'40" 

angle interne = 93o59'20" @E-16 = 180o00'00" + 266o00'40" = 86o00'40" 

           

16          

  E 0o00'00" D 43.715  

  A 273o29'50" D 24.129 Angle = 273o29'50"

    XX    

  A 14o00'00" R    

          n = entier((273o29'50" * 4 - 14o00'00")/360) = 3 angle E-16-A =(14o00'00" + 3 * 360o)/4= 273o30'00"

angle interne = 86o30'00" @16-A = 266o00'40" + 273o30'00" = 179o30'40" 

           

A          

  16 0o00'00" D 24.129  

  25 268o39'40" D 43.807 Angle = 268o39'40"

    XX      

  25 354o37'20" R    

          n = entier((268o39'40" * 4 - 354o37'20")/360) = 2 angle 16-A-25 =(354o37'20"+ 2 * 360o)/4 = 268o39'20" 

angle interne = 91o20'40" @A-25 = 359o30'40" + 268o39'20" = 268o10'00" 

           

          Somme des angles internes = 88o10'20" +93o59'20" + 86o30'00" +91o20'40" = +360o00'20"

Erreur de fermeture angulaire = 0o00'20" On peut aussi comparer les gisements 25-A et A-25:

@A-25 = 268o10'00" et @25-A = 88o10'20"  Erreur de fermeture angulaire = 0o00'20"

3 Exemple de calcul des coordonnées Du carnet de notes précédent on peut compiler les résultats dans le tableau. Ainsi le calcul des coordonnées sera simplifié.

   Gisement

@i

 Distance di

Départ di sin @i

Latitude di cos @i Xi-1 + xi Yi-1 + yi Pt

De À deg min sec   xi yi Xi Yi  

  25             0,0000 0,0000 25

25 E 0 0 0(22.538+22.542)/2=

22,5400 0,0000 22,5400 0,0000 22,5400 E

E 16 86 0 40(43.712+43.715)/2 =

43,7135 43,6076 3,0408 43,6076 25,5808 16

16 A 179 30 40(24.129+24.129)/2 = 

24,1290 0,2059 -24,1281 43,8135 1,4527 A

A 25 268 10 0(43.800+43.807)/2 =

43,8035 -43,7811 -1,4014 0,0324 0,0513 25

4 Exercices

4.1 (980928)Sachant que AB = 159.382, @AB = 10o00'40" et XA=0, YA=0, calculez les coordonnées du point C avec le carnet de notes suivant. N.B.: Mesures d'angles par accumulation.  

De À Lectures angulaires horizontales

A    

  B 10o00'40"

  C 68o38'30"

    XX

  C 244o32'20"

     

B    

  A 0o00'00"

  C 278o03'10"

     XX

  C 32o13'00"

Réponse: C(231.4426, 90.5008)

4.2 (011108)Connaissant la position du point A (0, 0) et le gisement AB = 9521'40", vous avez mesuré ce qui suit :

De À Gisement ( ' ") Distance (m)

A

B 31225'20" 33.002

C 35500'40" 38.624

XXX

C 20756'20"

B

A 20756'20" 33.008

C 12750'40"

La polygonationIntroduction

1 Calcul des coordonnées d'un polygone     1.1 Prise de notes et calculs d'un polygone ouvert     1.2 Prise de notes et calculs d'un polygone fermé mathématiquement     1.3 Prise de notes et calculs d'un polygone fermé géométriquement

2 Écart de fermeture angulaire     2.1 Écart de fermeture angulaire acceptable

3 Écart de fermeture linéaire     3.1 Écart de fermeture linéaire absolu     3.2 Écart de fermeture linéaire relatif     3.3 Écart de fermeture linéaire acceptable

4 Exercice

IntroductionLa polygonation s'effectue en observant les longueurs et les gisements sur une série de droites consécutives. C'est un outil se base qui permet de rattacher tous les détails de levés dans un même système. Les sommets du polygone sont souvent matérialisés par des repères permanents (tige de métal, repère géodésique, etc.) ou des repères temporaires (piquets de bois, clous).

Il existe deux types de polygones: ouverts ou fermés. Ils commencent tous sur un point connu (on peut aussi établir à (0, 0) les coordonnées du premier point). Un polygone ouvert se termine sur un point inconnu alors que le polygone fermé se termine sur un point connu. Le polygone peut être fermé mathématiquement ou géométriquement. On parle de polygone fermé mathématiquement lorsque le point connu de la fin est différent du premier point observé.

Même si les polygones ouverts sont quelques fois utilisés pour l'arpentage des routes, on devrait les éviter puisqu'ils ne permettent pas de détecter les erreurs et les fautes. La seule méthode pour vérifier un cheminement ouvert est de reprendre les observations et les calculs. Pour les polygones fermés on peut vérifier les erreurs sur les distances et les gisements. De plus ils permettent d'estimer la précision des résultats.

Afin de procéder à l'ajustement d'un cheminement polygonal, il faut d'abord en calculer l'erreur de fermeture. L'erreur de fermeture consiste à déterminer l'écart linéaire ou angulaire entre les valeurs calculées et connues du point ou de la ligne de fermeture.

1 Calcul des coordonnées d'un polygoneLa façon la plus évidente de visualiser un polygone est de s'imaginer qu'on marche du point initial vers chacun des autres points. De chaque point on lit l'orientation des côtés adjacents du polygone sur une boussole. Le déplacement est mesuré dans chacune de ces directions.

Par définition, les départs (x) et les latitudes (y) sont les différences de coordonnées entre deux points consécutifs d'un polygone.

1.1 Prise de notes et calculs d'un polygone ouvert

Le carnet de notes suivant illustre un cas de polygone ouvert. On place souvent la direction 0o00'00" sur le premier côté observé et on mesure la distance entre les deux premiers points. Cette mise en station est facultative. On peut aussi placer l'instrument sur la station 2. Il faut alors faire une visée arrière sur le point 1 avec un gisement de 180o. On observe ensuite la distance et le gisement entre les points 2 et 3.

On déplace l'instrument sur la station 3 et on effectue une visée arrière sur le point 2 (le gisement de 3 vers 2 est égal au gisement de 2 vers 3 +180o). On lit le gisement de 3 vers 4 et on mesure la distance entre ces points. Cette procédure est répétée pour chaque nouvelle station.  

De À Gisement Distance Remarques

2        

  1 180o00'00" 300.000 (0.000,0.000)

  3 102o00'00" 190.005  

3        

  2 282o00'00" 189.995  

  4 158o00'00" 205.002  

4        

  3 338o00'00" 204.998  

  5 125o30'00" 299.997  

5        

  4 305o30'00" 300.003  

  6 242o01'20" 315.000  

En prenant l'information dans le carnet de notes, on peut localiser chaque station instrumentale. Pour calculer les coordonnées des points il est avantageux de remplir la grille contenant les informations suivantes:  

De ÀGisement 

@i

Distance  di

Départ  xi = 

di sin @i

Latitude  yi= 

di cos @i

Xi =  Xi-1 + xi

Yi =  Yi-1 + yi

  1         0.000 0.000

1 2 0o00'00" 300.000 0.000 300.000 0.000 300.000

2 3 102o00'00" 190.000 185.848 -39.503 185.848 260.497

3 4 158o00'00" 205.000 76.794 -190.073 262.642 70.424

4 5 125o30'00" 300.000 244.235 -174.211 506.877 -103.787

5 6 242o01'20" 315.000 -278.186 -147.776 228.691 -251.562

1.2 Prise de notes et calculs d'un polygone fermé mathématiquement

Dans ce cas, les deux premiers et les deux derniers points du polygone sont connus. Les deux premiers servent à orienter le polygone avec un gisement déjà connu. Les deux derniers servent à comparer le dernier gisement observé avec celui calculé.

 

De À Gisement Distance Remarques

2       (-123.000,301.700)

  1 132o07'40" 300.000 (100.000,100.000)

  3 54o07'40" 190.005  

3        

  2 234o07'40" 189.995  

  4 110o07'40" 205.004  

4        

  3 290o07'40" 204.996  

  5 77o41'30" 300.501  

5       (517.000,406.500) connues

  4 257o41'30" 300.499  

  6194o09'00" (obs.)

194o08'47" (calculé)315.0500 (440.000,101.000)

  

De ÀGisement 

@i

Distance  di

Départ  xi = 

di sin @i

Latitude  yi = 

di cos @i

Xi =  Xi-1 + xi

Yi =  Yi-1 + yi

  2         -123.000 301.700

2 3 54o07'40" 190.000 153.962 111.336 30.962 413.036

3 4 110o07'40" 205.000 192.480 -70.544 223.442 342.493

4 5 77o41'30" 300.500 293.593 64.058 517.035 finale 406.551 finale

Comparons les gisements de la droite 56: @56 par le polygone mesuré = 194o09'00" alors que @56 par les coordonnées connues = 194o08'47". L'erreur angulaire est donc de 13", soit 194o09'00" - 194o08'47". De plus les coordonnées connues du point 5 sont légèrement

différentes de celles calculées. Il y a un écart de 0.035 en X et de 0.051 en Y. La distance entre les deux positions est donc de 0.062 m.

1.3 Prise de notes et calculs d'un polygone fermé géométriquement

Ici les observations s'effectuent autour du polygone complet. De chaque station on observe les deux autres stations adjacentes.   

De À Gisement Distance Remarques

1        

  2 0o00'00" 300.010  

  6 137o44'20" 339.998  

2        

  1 180o00'00" 299.090 (0,0)

  3 102o00'00" 190.001  

3        

  2 282o00'00" 189.999  

  4 158o00'00" 204.990  

4        

  3 338o00'00" 205.010  

  5 125o30'00" 300.008  

5        

  4 305o30'00" 299.992  

  6 242o01'20" 315.020  

6        

  5 62o01'20" 314.080  

  1 317o43'00" 340.002  

  

De ÀGisement 

@i

Distance  di

Départ  xi = 

di sin @i

Latitude  yi = 

di cos @i

Xi =  Xi-1 + xi

Yi =  Yi-1 + yi

  1         0.000 0.000

1 2 0o00'00" 300.000 0.000 300.000 0.000 300.000

2 3 102o00'00" 190.000 185.848 -39.503 185.848 260.497

3 4 158o00'00" 205.000 76.794 -190.073 262.642 70.424

4 5 125o30'00" 300.000 244.235 -174.211 506.877 -103.787

5 6 242o01'20" 315.000 -278.186 -147.776 228.691 -251.562

6 1 317o43'00" 340.000 -228.751 251.541 -0.060 -0.022

Le gisement entre les premier et dernier points devrait être égal au début et à la fin du polygone. Par exemple, si le gisement 1-6 = 137o44'20" au début des observations, le gisement 6-1 devrait être égal à 137o44'20" + 180o = 317o44'20". Le dernier gisement observé nous permet de calculer l'écart entre la valeur calculée et la valeur observée.

Notez qu'il y a un écart angulaire de 80" entre le gisement 1-6 observé à la fin et au début, soit: 317o53'00" - 180o = 137o43'00" et 137o44'20". De plus il y a une distance de 0.064 m entre le point 1 fixé à (0,0) et le point 1 calculé après avoir cheminé sur le polygone (-0.060,-0.022).

2 Écart de fermeture angulaireL'écart de fermeture angulaire d'un polygone fermé est la différence entre les valeurs connue et calculée du gisement de la ligne de fermeture. On peut aussi déduire l'erreur de fermeture angulaire en fonction des angles intérieurs. La somme des angles intérieurs d'un polygone fermé est définie par :

où n = nombre de côtés du polygone Ai = angle intérieur observé à la station i.

À cause des erreurs instrumentales et des erreurs des observateurs, la somme calculée des angles intérieurs diffère légèrement de la valeur théorique. La différence entre la somme calculée et la somme observée est appelée l'erreur de fermeture angulaire:

.Lorsqu'on ne connaît pas de technique d'ajustement de polygone on peut utiliser un ajustement angulaire moyen. Celui-ci divise l'erreur uniformément sur chaque sommet.  La correction à appliquer à chacun des angles intérieurs observés est déterminée par :

.Par exemple, si les trois angles observés d'un triangle sont: A = 67°26'37", B = 55°45'26" et C = 56°46'57", la somme des angles intérieurs du triangle est égale à = 179°59'00". L'erreur de fermeture angulaire donc de -1' d'arc. La correction à appliquer à chaque angle est de 60"/3 = +20". Les angles ajustés seront donc : A = 67°26'57", B = 55°45'46" et C = 56°47'17".

2.1 Écart de fermeture angulaire acceptable

Selon le type de théodolite et le nombre de stations observées, on peut estimer l'erreur angulaire acceptable de la façon suivante:

Considérant qu'il faut mesurer deux gisements pour déterminer un angle, on peut considérer que l'erreur angulaire de chaque angle est:

Ea (1 angle) = 21/2 k = 1.4 koù k : le degré d'appréciation, ou la plus petite graduation de l'instrument n: le nombre de côtés du polygone.

Si le polygone compte "n" côtés,

Ea = (2n)1/2 k = 1.4 k n1/2.

Pour savoir si l'erreur de fermeture d'un polygone est acceptable, on doit comparer la somme théorique des angles internes avec la somme observée. Si l'erreur de fermeture angulaire est plus grande que celle estimée, le polygone ne satisfait pas les critères de fermeture. Il faut alors mesurer à nouveau tous les angles des sommets du polygone.

3 Écart de fermeture linéaireIl est important, lors de travaux d'arpentage, d'obtenir une précision comparable des angles et des distances. Par exemple une erreur angulaire de 20" sur une longueur de 100 mètres apportera une erreur linéaire de 0.01 m, soit 100 * sin(0o00'20").

L'écart linéaire de fermeture est la distance planimétrique entre les valeurs connues des coordonnées du point de fermeture et les valeurs calculées des coordonnées de ce même point en fonction des observations polygonales.

3.1 Écart de fermeture linéaire absolu

L'écart linéaire de fermeture ou écart absolu est obtenu par la relation suivante :

,où : (Xf, Yf) : coordonnées calculées du point de fermeture (Xc, Yc) : coordonnées connues du point de fermeture ou coordonnées du premier point d'un polygone géométriquement fermé.

En théorie, dans un polygone fermé, la somme des départs et des latitudes est égale à zéro :

et 

.

Cependant, à cause des erreurs d'observations, ces sommes ne sont pas tout à fait nulles. Ceci amène une erreur sur la valeur des coordonnées du point de fermeture. Les coordonnées calculées du point de fermeture sont obtenues par :

et  .

3.2 Écart de fermeture linéaire relatif

Pour calculer l'erreur de fermeture d'un polygone il faut donc comparer les coordonnées déterminées de la station avec les coordonnées connues. La distance entre ces points, divisée par la longueur totale des côtés du polygone, est égale à l'écart relatif :

où P : périmètre du polygone di : longueur du côté i du cheminement polygonal.

Par exemple, si les coordonnées du premier point sont (0, 0) et que les coordonnées finales (calculées avec les observations du polygone) du même point sont (-0,032, 0.054), sachant que le périmètre du polygone mesure 548 m, quelle est la précision du relevé? La distance entre le point initial et le point final mesuré est de 0.063 m sur une distance de 548 m, la précision est donc de 1/8700.

3.3 Écart de fermeture linéaire acceptable

L'erreur de fermeture linéaire permise est égale à la longueur du périmètre multiplié par la précision désirée. Par exemple si on désire une précision de 1/5000 et que la longueur du périmètre est de 1400 m, une erreur de fermeture linéaire de 0.28 mètre sera acceptée, soit 1400/5000.

La topométrie urbaine exige une précision de 1/10000 alors qu'on peut se contenter de 1/5000 dans les zones rurales. Des travaux spécifiques peuvent exiger des critères de précision différents. Si l'imprécision est trop grande il faut recommencer les observations angulaires et linéaires.

4 Exercices4.1 Calculez l'écart de fermeture linéaire absolu, l'écart de fermeture linéaire relatif et l'écart de fermeture angulaire du polygone suivant, sachant que les coordonnées du point 1 sont (100.000, 100.000). Que pensez-vous de la précision de ce polygone si vous avez utilisé un théodolite dont la plus petite graduation est à 20" près. S'il faut reprendre des mesures, est-ce que ce sera des mesures linéaires ou angulaires?

De

ÀGisement

Dist.

1785o

15'20"

 

  20o00'00"

54.300

23

107o12'40"

36.100

3456o

31'20"

49.600

4590o

00'00"

19.200

56

185o39'20"

53.400

67

254o08'00"

51.600

71

265o13'40"

40.000

 

  Réponses:Écart de fermeture linéaire absolu: 0.501 m. Écart de fermeture linéaire relatif: 1/608.

Écart de fermeture angulaire: 0o01'40".En supposant que l'instrument utilisé a une précision de lecture de 20", on peut penser que chaque angle a une imprécision acceptable de 21/2 * 20" = 28", puisqu'il y a deux observations angulaires pour déterminer un angle. Comme il y a 7 sommets dans le polygone, on peut espérer une imprécision totale de 71/2 * 28" = 75". Comme l'écart angulaire trouvé est de 0o01'40" = 100", il faudra utiliser votre jugement pour savoir si vous devez faire une reprise du travail.

Cependant l'écart de 0.5 mètre est totalement inacceptable puisque l'erreur de fermeture linéaire relative est de 1/608. Il faut donc vérifier si une erreur grossière s'est glissée sur le terrain. Une vérification rapide des distances est donc recommandée. Après avoir trouvé la distance fautive il faudra la mesurer à nouveau précisément.

4.2 (011108)

Connaissant les données suivantes, faites un croquis à l’échelle et calculez la distance BC. Gisement AD = 120, distance AD = 53, gisement DC = 80, distance DC = 45, gisement AB = 50 et gisement CB = 320.

Réponse   : BC = 72.304

4.3 (010921)

Déterminez les coordonnées (X, Y, Z) du point B, sachant que la distance (horizontale) BC = 88.145 m et que le gisement AB = 11825'58". Faites un croquis à l’échelle, dans le plan horizontal. Sachant que l’angle vertical AB est de 1015'03" au-dessus de l’horizon, quel serait l’angle vertical CB? 

X (m) Y (m) Z (m)

A 1812.462 1721.374 84.267

C 1801.718 1752.185 57.984

Réponse   : B (1866.317, 1692.215, 95.342)Vert CB = 2258'07.14"

4.4 (000222)

Déterminez la distance entre les points C et D, sachant que les coordonnées du point A sont XA = 0 et YA = 0. Faites un croquis à l’échelle 1 :2500. Distance AB = 303 m; @AB = 10754'00"; @AC = 505'30"; @AD = 7345'20"; @BC = 29732'10"; @BD = 34402'40"

Réponse   : C – D = 237.234 m

4.5 (991110)

Calculez les coordonnées du polygone suivant. Calculez l’erreur de fermeture linéaire absolue et relative, ainsi que l’erreur de fermeture angulaire. Les coordonnées du point 1 sont X1 = 0 et Y1 = 0.

 

De À Gisement Distance

1 4 15933'20"

1 2 4322'20" 132.456

2 3 11947'40" 58.219

3 4 20751'00" 209.608

4 1 33934'00" 125.923

Réponse   : 1 (0.000, 0.000), 2 (90.962, 96.283), 3 (141.485, 67.355), 4 (43.565, -117.975), 1 (-0.397, 0.025)Erreur de fermeture linéaire absolue : 0.397 mErreur de fermeture linéaire relative : 1/1324Erreur de fermeture angulaire : 40"

Le nivellement

Introduction

1 Le nivellement géométrique    1.1 Normes de précision du nivellement géométrique    1.2 Procédure pour chaque mise en station du niveau    1.3 La méthode pour le nivellement par cheminement        1.3.1 Carnet de notes: Nivellement par cheminement    1.4 La méthode des trois fils        1.4.1 Carnet de notes: Nivellement à 3 fils    1.5 Profils de lignes centrales

2 Le nivellement trigonométrique

3 Exercices supplémentaires  

Introduction

Le nivellement est un procédé qui permet de déterminer la hauteur d'un point par rapport à un niveau de référence. Celui-ci est le niveau moyen des mers (N.M.M.) qui représente une surface équipotentielle ou le géoïde.

La verticale d'un lieu est la direction de la gravité en ce point, elle est comparable à la direction d'un fil à plomb. Si les points A et B sont séparés de plusieurs kilomètres, la courbure terrestre fait que les verticales convergent. À cause de la courbure terrestre, des changements de densité des masses et des masses cachées sous la surface de la terre, toutes les lignes verticales ne sont pas parallèles, même lorsque les points sont rapprochés.

Généralement, cependant, les variations de gravité sont petites et ces lignes peuvent être considérées comme parallèles pour la plupart des applications, spécialement en topométrie. Les relevés qui ne tiennent pas compte des variation de gravité considèrent que le niveau de référence est un plan.

Une ligne horizontale est perpendiculaire à la verticale du lieu. Les niveaux permettent de déterminer la différence d'élévation entre deux points. On peut obtenir cette différence d'élévation en comparant les altitudes des points par rapport au N.M.M. Ces différences d'élévation sont déterminées par des nivellements géométrique ou trigonométrique.

1 Le nivellement géométrique

1.1 Normes de précision du nivellement géométrique

Pour estimer la précision d'un nivellement il faut effectuer un aller et un retour. La différence entre les résultats obtenus lors de ces expériences doit rencontrer les normes selon le type de précision désirée.  

Précision Écart permis

Spécial ± 3 mm

1er ordre ± 4 mm 

2e ordre ± 6 mm 

3e ordre ± 8 mm 

4e ordre ± 10 mm 

où K est la distance parcourue en kilomètres.  

1.2 Procédure pour chaque mise en station du niveau

Le nivellement géométrique s'effectue à l'aide d'un niveau. Voici la procédure détaillée pour chaque installation de niveau:

On installe d'abord le niveau à une distance de 10 à 80 mètres du premier point dont l'élévation est connue (altitude aRrière = alt R).

On fait une lecture sur la mire placée sur ce point d'élévation connue (visée aRrière = R).

On calcule l'élévation de la ligne de niveau: Alt N = alt R + R. Pour éliminer l'erreur de calage du niveau, la distance entre l'instrument et chacune des

deux mires doit être comparable (10%). Ceci permet d'augmenter considérablement la précision du nivellement.

Une mire avant est placée dans la direction du point à déterminer, sur un point tournant (PT). On fait une lecture sur cette mire (visée aVant = V). L'altitude du PT est calculée par:

alt TP = Alt N - V = alt R + R - V.

Maintenant que l'élévation du TP est connue, on déplace le niveau et on recommence la procédure en considérant le TP comme le point d'élévation connue. En résumé, à chaque installation d'instrument il faut faire une lecture de mire sur un point d'élévation connue (R), puis une lecture de mire sur le point à déterminer (V). La différence d'élévation entre les deux mires est égale à R - V.  

La dénivelée observée sera:

Dénivelée = +R -V.

Pour connaître l'élévation du point d'arrivée par rapport au point de départ,

Alt arrivée = alt départ + dénivelée.  

1.3 La méthode pour le nivellement par cheminement

Pour cette méthode, les lectures sont effectuées seulement sur le fil niveleur, sur la visée arrière et la visée avant. On calcule la dénivelée entre le point de départ d'arrivée et on évalue la distance parcourue sur une carte. Ce type de nivellement s'effectue aussi pour tracer des profils de ligne centrale de routes. Les altitudes sont alors calculées à chaque chaînage piqueté.

1.3.1 Carnet de notes: Nivellement par cheminementVoici un exemple de carnet de notes pour un nivellement par cheminement.  

Visée arrière  R (+) (mm)

Visée avant V (-) (mm)

Dénivelée (m)

Remarques

2866 0535   850R

2681 0488   12:49

2711 0902   V1 18C

1797 1445    

1635 1348    

1718 0964   12:59

=13408 =5682 7.726 m T13

 

1.4 La méthode des trois fils

La méthode des trois fils permet de vérifier les données au fur et à mesure que le travail progresse. De plus, la distance entre le point nivelé et l'instrument est calculée. Sur le terrain il

faut lire la hauteur de chacun des fils du réticule. Dans l'ordre on lit le fil stadimétrique inférieur, fil niveleur et fil stadimétrique supérieur. La façon de calculer la dénivelée change selon la constante stadimétrique du niveau. Par exemple, lorsque la constante stadimétrique est inférieure ou égale à 200, on utilise seulement le fil niveleur pour calculer la dénivelée. Cependant, si la constante est supérieure à 200 (soit 300 ou 400), on fera la moyenne des trois lectures de la mire afin de compiler la dénivelée. On calcule la somme des lectures. Celle-ci doit être très proche de la lecture moyenne * 3, sinon il y a une erreur de lecture ou de calcul. On détermine la distance en calculant la différence entre les fils haut et bas, multipliée par la constante stadimétrique de l'instrument. Habituellement, celle-ci est égale à 100. Puisque les lectures sur la mire sont en millimètres et que la constante est de 100, la différence de lecture en centimètres est égale à la distance en décimètres. Les critères de précision sont au nombre de 4:

La lecture du fil niveleur doit être supérieure à 20 cm au-dessus du sol. La différence obtenue entre le fil niveleur et chacun des fils stadimétriques doit être

inférieure ou égale à 2 millimètres (10 mm pour les mires graduées à tous les 5 mm). Les portées ne doivent pas dépasser une longueur de 80 m. À l'intérieur d'une même station, les distances mire-instrument doivent être égales

(±10%). Cependant une différence minimale de 3 mètres a été imposée afin d'éviter des déplacements fréquents d'instrument lorsque les portées sont très courtes.  

1.4.1 Carnet de notes: Nivellement à 3 fils

Date: 93/07/26

Opérateur: R. Plante 

Coups arrière  Coups avant

No Lect.   Dif. dif. Lect. Dif.   Remarques

  2733   133 -   0394 141 -   12:49

  2866   134 +   0535 140 +   V1

1 3000 8599 267 +1 267 0675 1604 281 -1 281 18C

                 

  2440   241 -   0259   229 -    

2 2681   241 +   0488   228 +    

  2922 8043 482 +0 749 0716 1463 457 -1 738  

                 

  2432   279 -   0618   284 -    

  2711   279 +   0902   286 +    

3 2990 8133 558 +0 1307 1188 2708 570 +2 1308  

                 

  1608   189 -   1256   189 -    

  1797   188 +   1445   189 +    

4 1985 5390 377 -1 1684 1634 4334 378 +0 1686  

                 

  1525   110 -   1234   114 -    

  1635   109 +   1348   115 +    

5 1744 4904 219 -1 1903 1463 4045 229 +1 1915  

                 

  1665   53 -   0915   49 -    

  1718   54 +   0964   51 +    

6 1772 5155 107+1 2010 1015 2894 100 +2 2015 13:11

                 

centre = 13408 40224 +0 centre = 5682 17049 +3    

  X3 =       X3=        

  40224       17046        

  +0       +3        

dh = (40224-17049)/3 = 7.725 m      Si constante stadimétrique > 200

dh = 13408-5682 = 7.726 m     Si constante stadimétrique < ou = 200

K =(2010+2015=4025mm) X 100

= 0.4025 kmÉcart permis (4e ordre) = 32 mm * .63

= 20 mm.

1.5 Profils de lignes centrales

Lors de la localisation d'autoroutes, de voies ferrées, etc., des piquets sont placées à des intervalles réguliers le long de la ligne centrale. Ces intervalles sont de 10 m, 20 m ou 30 m, selon le cas. Il faut déterminer l'élévation de chacun de ces points.  

L'exemple qui suit permet de visualiser la relation entre la prise de notes et le chaînage effectué le long d'une ligne centrale.

Nivellement par cheminement:

   

Point R (+) AN V (-) I (-) Altitude

BM22 0.710 AN5 = 104.010     103.300

1+000       0.759 103.251

1+020       0.814 103.196

1+040       1.165 102.845

1+060       1.230 102.780

1+080       1.489 102.521

1+100       2.073 101.937

1+120 R6 = 1.987 AN6 = 103.245 V5 = 2.752   101.258

1+140       2.051 101.194

1+160       1.736 101.509

1+180       1.488 101.757

1+200       1.300 101.945

1+220       1.429 101.816

1+240 R7 = 1.682 AN7 = 103.530 V6 = 1.397   101.848

2 Le nivellement trigonométrique

On peut mesurer indirectement une dénivelée en déterminant l'angle vertical et la distance entre deux points. Connaissant l'altitude d'un point A et la hauteur du théodolite (HI) au-dessus de ce point, les altitudes des points B, B' et B" seront :

altitude B' = altitude A + HI

altitude B = altitude A + HI + AB tan VAB

altitude B" = altitude A + HI + AB tan V'AB.

Exemple:

Altitude A = 102.457 m

HI = 1.3 m,

VAB = -15 et V'AB = +12,

AB = 125.753

Altitude B' = altitude A + HI = 102.457 + 1.3 = 103.757

Altitude B = altitude B' + 125.753 tan (-15) = 103.757 - 33.695 = 70.062

Altitude B" = altitude B' + 125.753 tan (12) = 103.757 +26.730 = 130.487.  

3 Exercices supplémentaires

3.1 (981207)  

Vous devez déterminer la hauteur d'une tour par nivellement trigonométrique. Cependant la partie inférieure est cachée par des arbres. Vous observez donc le sommet de l'édifice et une cible située à mi-hauteur. Calculez la hauteur de l'édifice sachant que la distance entre la tour et l'instrument est de100 mètres et que les angles verticaux sont V1 = 38 degrés et V2 = 29 degrés.

Réponse : 45.395 m.

3.2 (020124)

Vous faites du nivellement trigonométrique pour déterminer la hauteur d’un édifice. Vous êtes à une distance de 35 mètres de cet édifice, l’angle vertical vers le sommet est de 30° au-dessus de l’horizon et l’angle vertical vers la base est de 10° sous l’horizon. Pour vérifier votre hauteur, vous faites une autre station instrumentale, un peu plus près. Cette fois-ci vous observez des angles de 35° au-dessus de l’horizon et de 12° sous l’horizon. Déterminer la hauteur de l’édifice et la nouvelle distance entre l’instrument et l’édifice. Calculez également la différence d’élévation de l’instrument entre ces deux mises en station.

Réponse :H = 26.3787 mD2 = 28.8998 mDH = -0.0286 m

Calculs d'aire et de volumeIntroduction

1 Calcul d'aire avec la méthode des coordonnées

2 Calcul de volume

2.1 La méthode des sections transversales

2.2 La méthode des prismes tronqués

3 Exercice de calcul d'aires et de volume  

Introduction

On a souvent besoin de mesurer des volumes de terre ou de roches, d'évaluer la capacité de réservoirs, etc. Les calculs de volume sont effectués à partir de mesures sur le terrain, sur des cartes topographiques ou par des méthodes photogrammétriques. Ensuite l'évaluation est faite en utilisant les formules de la moyenne des bases, du prismatoïde et du prisme tronqué.  

Avant de calculer les volumes il faut d'abord être capable d'évaluer des aires. Nous verrons ici la théorie la plus efficace, appelée la méthode des coordonnées.  

1 Calcul d'aire avec la méthode des coordonnées

Lorsque les coordonnées des sommets d'un polygone sont connues, il est très facile de calculer l'aire du polygone. Il suffit de faire la somme des départs multipliés par les latitudes adjacentes et de diviser le tout par deux. La valeur absolue oblige la réponse à être positive:

où n est le nombre de sommets du polygone

Yn+1 = Y1

Y0 = Yn.

Par exemple, calculez l'aire d'un polygone fermé si les coordonnées des sommets sont: [1.0;0.0], [0.5;1.2], [1.1;1.5] et [2.5;1.0] .

2 Calcul de volume

2.1 La méthode des sections transversales

Lorsqu'on veut calculer les remblais et déblais nécessaires à l'aménagement de la route projetés, on effectue le nivellement en travers de la route à tous les chaînages piquetés.

Le volume entre deux sections, s1 et s2 , peut se calculer de différentes façons.  

La formule de la moyenne des bases conclue que le volume est égal à la surface moyenne multipliée par la distance horizontale entre les sections:

La formule du prismatoïde est plus précise que la précédente. Elle s'énonce ainsi:

où s1 et s2 : surfaces des deux bases

sm : surface de la section médiane

h: distance horizontale entre les sections s1 et s2.  

2.2 La méthode des prismes tronqués

Ici il faut construire un quadrillage et déterminer l'altitude de chacun des sommets. Ensuite il faut pondérer l'altitude de chaque sommet en fonction du nombre de carrés qu'il touche. Sachant que chaque carré a 4 sommets il faut calculer l'aire d'un carré. Le volume se calcule ainsi:

Si chaque carré a une aire A = 100 m², en consultant le tableau suivant on peut constater que la somme des dzipi = -37.5. Le volume sera égal à V = 100/4 * (-37.5) = -937.5 m³. Il faudra donc ajouter 937.5 m³ de remblai pour réaliser le projet.  

Z avant  les travaux

Z après  les travaux

dz =Zavant - Zaprès p dz p

a1 9.4 10 -0.6 1 -0.6

a2 10.5 11 -0.5 2 -1.0

a3 11.9 12 -0.1 2 -0.2

a4 9.9 13 -3.1 2 -6.2

a5 13.4 14 -0.6 2 -1.2

a6 12.7 15 -2.3 1 -2.3

b1 13.1 12 1.1 2 2.2

b2 14.8 13 1.8 4 7.2

b3 12.6 14 -1.4 4 -5.6

b4 11.6 15 -3.4 3 -10.2

b5 15.3 16 -0.7 2 -1.4

b6 15.8 17 -1.2 1 -1.2

c1 12.8 14 -1.2 2 -2.4

c2 13.7 15 -1.3 4 -5.2

c3 15.8 16 -0.2 3 -0.6

c4 18.1 17 1.1 1 1.1

d1 17.3 16 1.3 2 2.6

d2 16.1 17 -0.9 3 -2.7

d3 17.9 18 -0.1 1 -0.1

e1 15.7 18 -2.3 2 -4.6

e2 18.3 19 -0.7 2 -1.4

f1 17.4 20 -2.6 1 -2.6

f2 19.9 21 -1.1 1 -1.1

3 Exercices de calcul d'aires et de volume

3.1

Calculez les altitudes des points de chaque section transversale, ainsi que le volume de matériau au-dessus du niveau 105 m.  

  R (+) AN V (-) I(-) Altitudes

  2.92 108.30       105.38

Chaînage 1+050

         

-12 m       2.21  

-9 m       2.40  

-3 m       2.13  

0 m       2.48  

3 m       2.35  

6 m       2.27  

9 m       1.96  

12 m       1.85  

           

Chaînage 1+080

         

-12 m       1.40  

-9 m       1.36  

-3 m       1.28  

0 m       1.96  

3 m       1.33  

6 m       1.21  

9 m       1.34  

12 m       1.45  

Réponse :V = 1066.1 m³

3.2 (010125)

Calculez le prix de vente du terrain suivant (polygone fermé géométriquement), sachant que chaque mètre carré vaut 20$.

Réponse :Prix = 3 337 100 $

3.3 (001214)

Calculez l’aire du polygone fermé suivant :

Point    X    Y1    0.0    0.02    1.4    6.53    7.2    10.34    4.9    8.1

Réponse :Aire = 12.265

3.4 (000216)

Calculez l’aire du polygone fermé géométriquement, connaissant les coordonnées des sommets :

Point    X    Y1    18.000    32.0002    45.000    206.0003    178.000    240.0004    200.000    20.000

Réponse :Aire = 31000

3.5 (990420)

Calculez l’aire du polygone fermé suivant, sachant que X1=Y1=0. Utilisez les données du carnet de notes.

De    À    Gisement (° ' ")    Distance (m)1    2    30°02'20"    48.9242    3    71°13'40"    65.2213    4    112°46'00"    79.4574    5    212°25'30"    83.1465    6    283°39'00"   52.3196    7    325°58'10"   31.943

Réponse :Aire = 9191.282

3.6 (991110)

Calculez l’aire du polygone fermé suivant :

Point    X    Y    1    20    70    2    60    60    3    110    80    4    130    40    5    90    10    6    40    10    7    10    30

Réponse :Aire = 5700

3.7 (970524)   Calculez l'aire du polygone fermé ABCDA.

Observations notées dans le carnet de notes:  

De À Gisement (degrés) Distance

A B 45 100

B C 160 80

C D 250 60

Réponse : 4757.3756

3.8 (981207)   Vous avez relevé le polygone suivant. Calculez l'aire du polygone, sachant que les coordonnées du point 1 sont: X1 = 100 et Y1 = 100.  

De ÀGisement 

(o ' ")Distance (m)

1  2  60  23  00  134.578 

2  3  163  45  20  342.573 

3  4  258 34  10  193.588 

  Réponse : 51402.89

3.9 (970524)  

En utilisant la méthode des prismes tronqués, calculez le volume de remblai ou de déblai nécessaire pour réaliser les travaux d'aménagement suivants, si chaque carré du schéma a une aire égale à 100 m2:

Point Z avant les travaux Z après les travaux

a2 101.5 102

a3 103.7 103

b1 104.2 101

b2 100.8 102

b3 99.5 103

b4 101.6 104

c1 100.3 102

c2 104.1 103

c3 103.5 104

c4 106.0 105

d1 100.8 103

d2 104.1 104

e1 106.3 104

e2 102.2 105

Réponse : -447.5 mètres cubes, donc il faut remblayer avec 447.5 mètres cubes.

3.10 (000922)

Calculez les altitudes des points de chaque section transversale, ainsi que le volume de matériau au-dessus du niveau 105 m.

 Réponse :Volume = 1066.1

3.11 (000418)

Calculez le volume total (en indiquant s’il s’agit d’un remblai ou d’un déblai), avec la formule de la moyenne des bases et avec la formule du prismatoïde, sachant que vous avez déterminé les élévations suivantes :

Réponse :Moyenne des bases, V = 206.85, déblaiPrismatoïde, V = 133.5, déblai

3.12 (990420)

Sachant que chaque carré mesure 8 X 8 m, calculez l’élévation d’un plan horizontal qui permettrait d’équilibrer les remblais et les déblais, connaissant l’élévation des points suivants :

A B C D E1 10.42 10.27 9.26 8.22 5.112 8.26 7.24 6.74 9.28 7.443 6.34 5.29 8.44 5.734 3.46 5.84 3.595 2.57 4.17

Réponse :Élévation = 69.603

3.13 (961212)

En utilisant la méthode des prismes tronqués, calculez le volume de remblai ou de déblai nécessaire pour réaliser les travaux d’aménagement suivants où chaque carré mesure 10 X 10 m :

Réponse :V = -447.5 m3, remblai

Introduction

Ces exercices permettront de rafraîchir vos notions de topométrie.

Problème 1:

Vous connaissez les coordonnées de 3 points situés sur un cercle A (100, 100), B (135, 200) et C (150, 300). Faites la solution graphique et calculez les coordonnées du centre du cercle (X0,Y0) ainsi que le rayon (R), à l'aide des deux méthodes suivantes:1 - par calcul topométrique, le centre est situé à l'intersection des deux médiatrices des segments AB et BC;2 - par calcul mathématique, le rayon est déduit de: R^2 = (Xi - X0)^2 + (Yi - Y0)^2.

Comment se vérifier (savoir si la réponse est bonne): Calculez la distance entre le point O (centre du cercle) et chacun des points connus. Si cette distance est identique, c'est le rayon et il n'y a pas d'erreur de calcul.

Problème 2:

Connaissant les coordonnées de deux poinst A (200, 410) et B (650, 200) situés sur un cercle, ainsi que le gisement de la tangente BC (12º00'00"), trouvez les coordonnées du centre du cercle ainsi que le rayon.

Vérifiez-vous avec la même méthode que pour le problème 1.

Problème 3:

Calculez les coordonnées d'un point E, situé à l'intersection des deux droites AB et CD, sachant que les coordonnées des points sont: A(30, 17), B(102, 43), C(62, 59), D(95,13). Trouvez la distance et le gisement entre les points D et E

Pour vérification, le gisement DE doit être identique au gisement DC. Le gisement AE doit être identique au gisement. AB.

Problème 4:

Vous désirez  localiser un clocher d'église (C) à partir de deux points au sol, A et B. Connaissant les coordonnées des points A(100, 100) et B(152, 75), et ayant mesuré les gisements suivants @AC = 55º et @BC = 12º, calculez les coordonnées du point C.

Pour vérification, vérifiez si @AC = 55º et @BC = 12º.