1 Cours-Transfert de chaleur

Projet No 1

Objectif : Introduction aux méthodes de différences finies et à Excel Durée du travail 2 semaines

Sur une conduite métallique de section carrée (de coté a), dont la température de paroi externe est Tp , on installe une ailette de forme carrée de coté b et d'épaisseur W.

Cette ailette échange sa chaleur avec l’air environnant à la température Ta et le coefficient de transfert de chaleur sur toute la surface de l'ailette vaut h (il y a donc de la convection à l’extremité de l’ailette). On souhaite étudier l'effet de la conductivité du matériau sur le champ de température, l’efficacité et le rendement de cette de l'ailette. Choisissez un No de conditions géométriques et de frontière dans le Tableau ci-après et par la méthode de différences finies (avec le maillage indiqué page 3 ):

a) Déterminer le profil de température dans l'ailette pour les deux valeurs de la

conductivité de l'ailette: k1=19 W/(m.K) et k2=49 W/(m.K). Pour chaque cas, présenter le schéma des isothermes.

2 b) Pour les deux valeurs de la conductivité, déterminer le rendement de l'ailette et

comparer cette valeur à celle obtenue analytiquement pour une ailette circulaire de dimension similaire (tube de diamètre a, avec ailette de diamètre b et d’épaisseur W).

c) Pour les deux valeurs de la conductivité, calculer l’efficacité.

Remarque : - On supposera négligeable le gradient de température dans l’épaisseur de l’ailette. On demande de préparer un rapport comprenant:

- la démonstration des équations de bilan pour les différents types de nœuds - les résultats des calculs - le bilan macroscopique - le schéma des isothermes avec commentaires - les calculs a) du rendement et la comparaison avec l'ailette circulaire b) de l’efficacité

No

(conditions)

W

(mm)

x=y

a (mm)

= 12 x

b (mm)

= 28 x

Tp/Ta (OC)

h (W/m2/K)

1 1 2 24 56 205 / 20 40

2 1 2 24 56 165 / 20 30

3 1 2 24 56 125 /20 20

4 1 2 24 56 205 / 10 40

5 1 2 24 56 165 / 10 30

6 1 2 24 56 125 / 10 20

7 2 3 36 84 200 / 20 40

8 2 3 36 84 160 / 20 30

9 2 3 36 84 120 /20 20

10 2 3 36 84 200 / 10 40

11 2 3 36 84 160 / 10 30

12 2 3 36 84 120 / 10 20

13 3 4 48 112 200 / 15 40

14 3 4 48 112 160 / 15 30

15 3 4 48 112 120 /15 20

16 3 4 48 112 210 / 20 40

17 3 4 48 112 170 / 20 30

3 Aide à la résolution du projet

a) Considérons le maillage ci-dessous avec les indices i (ligne) et j (colonne)

Commentaire : vous devez obligatoirement utiliser ce maillage 15 x 9

Le problème présente plusieurs lignes de symétrie et on peut limiter la résolution uniquement à 1/8 de l’ailette.

b) On distingue 7 types de nœuds ; pour chaque type, l’équation (exprimée en Ti,j =) est la même.

4

Type 1 : Tous les nœuds internes et sur les frontières de la zone pointillée. Prenez un nœud quelconque de cette zone et faites le bilan de chaleur sur le volume de contrôle ci-dessous. On prendra la convention des flux entrants :

1 2 3 4 5 6 0q q q q q q

Démontrez que l’expression de la température en fonction des températures des nœuds environnants (i-1, i+1, j-1 j+1) et de la température de l’air est donnée par :

21, 1, , 1 , 1

,

2

4 2

i j i j i j i j a

i j

T T T T T h xT avec

kW

5 Obtenez les équations pour tous les autres types de nœuds.

Types 2, 3 et 4 sur les lignes ci-contre :

Type 5 : i=1, j=9

Type 6 : i=15, j=9 Pour chaque type, identifier le volume de contrôle pertinent, faites le bilan de chaleur et obtenez l’expression de la température en fonction des températures des nœuds environnant (i-1, i+1, j-1 j+1) et de la température de l’air.

Type 7 : Il s’agit des nœuds sur la frontière (à la paroi de la conduite) pour laquelle la température est connue :

,i j PT T

Rappel: au travers d’une ligne de symétrie, le flux est nul Réponses :

21, 1, , 1 , 1

,

1, , 1 1,

,

1, , 1

,

, 1 1, , 1

,

1,8 2

1,9

21:

4 2

2 2( )2 :

4 2( )

3 :2

2 24 :

4 2

5 :

i j i j i j i j a

i j

i j i j i j a

i j

i j i j a

i j

i j i j i j a

i j

T T T T T h xType T

kW

T T T T h xType T

k

T T TType T

T T T TType T

T TType T

,9

14,9

15,9

2

26 :

12

a

a

T

T T

Type T

6 c) Après avoir obtenu les équations sous forme générique (avec i, j, i+1, j-1),

vous devez écrire dans Excel les équations de tous les nœuds en utilisant les vrais indices. (voir ci-dessous).

Remarque : les noms de toutes les variables doivent être définis afin de garder les équations sous forme littérale (i.e. équation dans la cellule L20).

d) La suite de la résolution avec le Solveur est identique à celle faite à l’exercice 4.2. (remarque : les cellules des températures à la paroi restent constantes et ne sont pas utilisées par le Solveur).

7

e) Tracé des isothermes: Les températures étant déterminées, pour tracer les isothermes

1. Il faut reporter ces températures dans des cellules reproduisant la géométrie de l’ailette (1/4 d’ailette comme ci-dessous)

2. Sélectionnez toutes les cellules et faites le graphique Surface/Contour

8 3. Pour obtenir (pour ¼ d’ailette):

1 3 5 7 9

11

13

15

S1

S3

S5

S7

S9

S11

S13

S15

180.0-200.0

160.0-180.0

140.0-160.0

120.0-140.0

100.0-120.0

80.0-100.0

60.0-80.0

40.0-60.0

20.0-40.0

0.0-20.0

Si il n’y a pas assez d’isothermes présentées, changez les paramètres dans :

9 Sous Excel 2007 ou 2010, la procédure est différente :

10 Pour la moitié de l’ailette, on obtient:

1 3 5 7 9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

S1

S3

S5

S7

S9

S11

S13

S15

190.0-200.0

180.0-190.0

170.0-180.0

160.0-170.0

150.0-160.0

140.0-150.0

130.0-140.0

120.0-130.0

110.0-120.0

100.0-110.0

90.0-100.0

80.0-90.0

70.0-80.0

60.0-70.0

50.0-60.0

40.0-50.0

30.0-40.0

20.0-30.0

Bilan macroscopique : Il faut comparer : - la chaleur qui entre par conduction dans l’épaisseur W au travers de la ligne AB (située à ½ maille de la paroi afin de faciliter le calcul du flux entrant par conduction) - -avec la chaleur qui sort par convection sur les surfaces situées à la droite de AB et délimitées par le trait (surfaces dessus dessous + extrémité de l’ailette).