Transfert de Chaleur et de Masse - … · Ecoulements interns Ecoulements interns Ecoulement interne - ecoulement con n e par des surfaces I Ecoulement dans des tubes cylindriques,

Objectifs

Ecoulements internes et calcule de h et de temperature

Objectifs

I Mettre en evidence les differences entre ecoulements externes et internes

I Calcul de h local et moyen

I Calcul de temperature locale et moyenne

I Calcul de concentration de masse locale et moyenne

Adil Ridha (Universite de Caen) Transfert de Chaleur et de Masse 2008-2009 1 / 28

Ecoulements interns Ecoulements interns

Ecoulement interne - ecoulement confine par des surfaces

I Ecoulement dans des tubes cylindriques, conduits, canal ferme.

I A l’encontre d’ecoulement externes, les ecoulements internes se differencient par :I Le developpement de la couche limite est assujetti aux surfaces delimitant l’espace de l’ecoulement.I Les grandeurs caracteristiques : vitesse/temperature/concentration sont des grandeurs moyennes,

vitesse moyenne um/ temperature moyenne Tm/ concentration moyenne CA,m. Il ne s’agit pas alorsde U∞, T∞, CA,∞.

I Dans la region d’entree (0 < x ≤ è) : les profils de u,T ,CA sans dimensions, varient avec x .

I Pour l’ecoulement etabli : les profils sans dimensions ne varient plus avec x .


Ecoulements interns Les couches limites

Les ecoulement internes conduisent aux couches limites differentes

I Trois couches limites :1. Couche limite hydrodynamique.2. Couche limite thermique.3. Couche limite de concentration.

I Chaque couche limite se distingue par une longueur d’entree, è .

I Comportements differents de l’ecoulement, transfert thermique et de transfert de masse pourles couches limites en developpement ou dans l’etat entierement etabli.

I Ils existent des correlations differentes pour la region d’entree et pour la region d’etatentierement etabli. Verifiez donc la zone dans laquelle le probleme est a resoudre.


Ecoulements interns Longueur d’entree hydrodynamique

Longueur d’entree hydrodynamique, è - (I), pensez aux couches limites !

I On se refere a la longueur d’entree des qu’il y a une region de couche limite endeveloppement : on a besoin de è pour determiner la correlation a utiliser.

I è depend du regime de l’ecoulement : laminaire ou turbulent.

I Le nombre critique de Reynolds pour la transition a la turbulence pour un conduit cylindriquede section circulaire :

ReD,c ≈ 2300


Ecoulements interns Longueur d’entree hydrodynamique

Longueur d’entree hydrodynamique, è - (II)

I Longueur d’entree laminaire avec une vitesse uniforme a l’entree :

è = 0, 05D ReD .

I Longueur d’entree turbulente : è = 10D.

I Il s’agit d’une longueur approximativement independante de Re.I Le pre - facteur varie effectivement de 10 a 60 , mais ici nous l’avons pose egale 10.


Ecoulements interns Parametres de calcul

parametres importantes intervenant dans le calcul

I Le nombre de Reynolds : ReD =umD

ν=ρumD

µ

I Debit massique : m =

Zρu(r , x)dAc

Rappel : on utilise le symbole n pourle debit massique en transfert de masse

I Debit massique (incompressible) :

m =

Zρu(r , x)dAc = ρumAc

I Vitesse moyenne :

um =m

ρAc=

1

Ac

Zu(r , x)dAc

I Remarque : Pour des ecoulements en regime permanent avec des sections droites (Ac ) uniformes, lavitesse moyenne um ne depend plus des x , ni pour les ecoulements en developpement ni pour lesecoulements etablis.


Ecoulements interns Parametres de calcul

Calcul de la vitesse moyenne

I Il nous faut les grandeurs Ac , dAc et u(r ,m).I Pour des tubes de section circulaires

I Sections droites : dAc = 2π rdr , Ac = πD2/4. (c’est evident mon cher Watson)

I Profil de vitesse ( toujours ecoulement etabli) :I En considerant le bilan de la quantite de mouvement dans un volume elementaire de controleI En considerant les equations de Navier-Stokes pour d’ecoulements unidirectionnels.

I Le calcul s’avere difficile pour l’ecoulement dans les regions de la longueur d’entree.I On peut se referer aux livres specialises ou effectuer le calcul numerique par des logiciels appropries.


Ecoulements interns Profil de vitesse

Profil de vitesse en ecoulements entierement etablis

I Tubes circulaires :

I Vitesse moyenne : um = −r2o

8µ

dp

dx, (voir notes de cours de dynamiques des fluides reels)

I Vitesse moyenne calculee a partir de debit massique : quelque soit la forme de la section droite (Ac ),on peut determiner um sans connaissant le gradient de pression :

um =m

ρAc

I Profil de vitesse :u(r)

um= 2

"1−

„r

ro

«2#


Ecoulements interns Perte de charge

Gradient de pression, frottement parietal et perte de charge

I Ecoulement visqueux =⇒ frottement visqueux =⇒ perte de charge.

I Pour choisir une pompe/un ventilateur ou un compresseur approprie dans une applicationindustrielle, on doit determiner/estimer d’abord (dp/dx).

I Pour determiner la perte de charge, determiner le coefficient de frottement Cf (ou lecoefficient de Darcy ou de Moody f ) :

f ≡ −(dp/dx)D

12ρu2

m

= 4Cf .

I Chercher f du diagramme de Moody.I Ou le calculer de correlations :

I Ecoulement laminaire : f = 64/ReD

I Ecoulement turbulent :

(f = 0, 316Re

−1/4D ReD . 2× 104

f = 0, 184Re−1/5D ReD & 2× 104

I Alors, la perte de charge : ∆p = −Z p2

p1

dp = fρu2

m

2D

Z x2

x1

dx = fρu2

m

2D(x2 − x1)

ou f est obtenu des formules precedentes ou du digramme de Moody.

I Puissance requise de pompe : P = ∆p × debit volumique = ∆p × (m/ρ)


Ecoulements interns Perte de charge

Remarque important sur le calcul de um

Dans le cas d’ecoulement turbulent ou um n’est pasconnue a priori, le calcul de la perte charge requiert un

procedure iteratif (ou de calcul de racines sous scilab) carf depend de um.


Ecoulements interns Diagramme du Moody

Diagramme du Moody


Couche limite thermique

Couche limite thermique

ℓe,t

ϕs

Conditions a la surface

Figure (couche limite dans un conduit circulaire) basee sur

Tparoi > Tfluide entrant avec : T∗ =Ts(x)− T (x , r)

Ts(x)− Tm(x)

I T varie avec x meme dans la region entierement etablie, Tfluide tend toujours d’approcherTparoi

I A l’encontre de T , la temperature sans dimension (T∗) reste constante dans la regionentierement etablie.


Couche limite thermique La longueur d’entree thermique

Longueur d’entree thermique, è,t - (I), pensez aux couches limites thermiques !

I Les correlations sont differentes pour la region d’entree et pour les regions entierementetablies.

I Determiner la correlation requiert la longueur d’entree è,t .

I è,t depend du regime de l’ecoulement : laminaire ou turbulent.

I Le nombre critique de Reynolds pour la transition a la turbulence est :

ReD,c ≈ 2300


Couche limite thermique La longueur d’entree thermique

La longueur d’entree thermique - (II)

I Longueur d’entree laminaire : en admettant une vitesse uniforme a l’entree , l’on obtient :

è,t = 0, 05D ReDPr .

II Longueur d’entree turbulente : è,t = 10D.

I Il s’agit d’une longueur independante de Re et Pr .I On obtient la meme longueur que pour la couche limite hydrodynamique.


Couche limite thermique Flux thermique local et temperature

Flux thermique local et temperature moyenne

I Le flux thermique local est une fonction des x :

ϕ(x) = h (Ts(x)− Tm(x))

I Temperature moyenne est obtenue de :

Tm =1

mcp

Zρu cp TdAc

u et Tsont des vitesse et temperatures locales

I La surface elementaire dAc de section droite est obtenue de la geometrie du probleme.

I calcul de Tm requiert u(x , r) et T (x , r)I Comment calculer T :

I Soit par un bilan d’energie dans un volume elementaire de controle sous forme d’un anneau.I Soit par la resolution de l’equation d’energie.

I Ces deux methodes sont difficiles dans la region d’entree.

I Mais conduisent a une solution analytique dans la region entierement etablie.

I Remarque : Pour calculer Tm il est suffisant d’effectuer un bilan d’energie a travers unesection droite toute entiere.

I Remarque : Comment calculer Tm est presente dans l’annexe suivant


Couche limite thermique Flux thermique local et temperature

Bilan d’energie sur une section toute entiere - seule la valeur moyenne Tm est relevant

Hypotheses - ecoulement presque incompressibledΦconv = dΦparoi

I Dissipation et generation interne del’energie sont tous les deux negligeables.

I Conduction thermique axiale au sein defluide est negligeable par rapport al’advection thermique - une hypothesejustifiee pour un grand nombre de Peclet,PeD = umD/α.

I Pas de forces exterieures.

I Fluide incompressible, cv = cp .

I Proprietes constantes (moyennees).

I Energie interne massique : e

Bilan de l’energie applique au vol. de controle

I Premier principe applique au volume decontrole :

d(me)(x + dx)− d(me)(x)| {z }variation de l’energie interne

= +dΦparoi

I Il vient :d(me)

dxdx = dΦparoi = dΦconv

I Soit : mde

dxdx = dΦconv

I Ou : dΦconv = ϕ(x)Pdx = mcpdTm

I Pour tout le tube :

Φconv = mcp (Tm,s − Tm,e) .

I Loi de Newton appliquee localement :dΦconv = h(Pdx) (Ts(x)− Tm(x))

I D’ou :dTm

dx=

P

mcph (Ts(x)− Tm(x))

I P : perimetre du conduit.


Couche limite thermique Calcul de Tm

Calcul de Tm

Uniforme temperature de surface, Ts constante

I Rappel de l’equation de Tm(x) :dTm

dx=

P

mcph (Ts(x)− Tm(x))

I h est la valeur locale de coefficient de transfert thermique par convection.

I Il vient en integrant l’eq. de Tm :

Tm(x) = Ts − (Ts − Tm,e) exp

»−

Px

mcph

–

I La valeur moyenne h sur l’intervalle [0, x] est donnee par : h =1

x

Z x

0hdx

Uniforme flux a la surface, ϕconv = ϕs = constant

I Rappel de l’equation de Tm(x) :dTm

dx=

P

mcph (Ts(x)− Tm(x)) =

P

mcpϕs

I Il vient en integrant l’eq. de Tm :

Tm(x) = Tm,e +Pϕs

mcpx


Couche limite thermique Calcul de Tm

Variation de la temperature moyenne

O

T

∆Ts

∆T

e=

Ts,e

−T

m,e

Tm(x)

Tm(x)

Ts(x)

Ts(x)

Flux ϕs constant

(Ts(x) − Tm(x))

(Ts(x) − Tm(x))

Region d’entree

Ts constante

Region entierement etablie

Tm(x) = Ts − (Ts − Tm,e) exp

[− Px

mcp

h

]Tm(x) = Tm,e +

Pϕs

mcp

x

x


Region thermiquement etablie

Region entierement etablie thermiquement

I Pour le probleme hydrodynamique (en region etablie) u(r , x) ≡ u(r).

I Pour le probleme thermique, l’echange de chaleur est present le long du conduit ce quiimplique que T = T (r , x)

I Mais un profil relatif de temperature ne changeant pas avec x peut etre obtenu :

∂

∂x

»Ts(x)− T (r , x)

Ts(x)− Tm(x)

–ree,t

= 0, ree,t ≡ region entierement etablie thermiquement (∗)

I Une telle condition peut se realiser soit pour un flux uniforme, ϕs , ou soit pour unetemperature uniforme a la surface, Ts .

I Derivatives du ce rapport de temperatures par rapport a r est aussi independant de x :

∂

∂r

„Ts(x)− T (r , x)

Ts(x)− Tm(x)

«˛r=ro

=− ∂T/∂r |r=ro

Ts(x)− Tm(x)6= f (x)

I Loi de Fourrier : ϕs = −λ∂T

∂y

˛y=0

= −λ∂T

∂r

˛r=ro

I Loi de Newton de refroidissement : ϕs = h(Ts − Tm)

I Alors, l’eq. (*) implique :h

λ6= f (x)

I Conclusion : dans une region d’ecoulement entierement etablie, avec proprietes constantes,le coefficient local de transfert thermique est constant, c-a-d, independant des x .


Region thermiquement etablie

Variation le long du tube de coefficient de transfert thermique

OO x

h

xree,t

hree,t

I h est constant dans la region entierement etablie thermiquement.

I Le nombre de Nusselt est aussi constant, Nu =hD

λ.


Correlations Correlation dans la region d’entree

Correlations - region d’entree

Ecoulement laminaire, temperature constante a la surface

I La correlation de Hausen : NuD =hD

λ= 3, 66 +

0, 0668(D/L)ReDPr

1 + 0, 04 [(D/L)ReDPr ]2/3

presuppose une longueur d’entree ce qui rendre son application non pratique.

I Cette difficulte est surmontee par la correlation de Sieder et Tate :

NuD = 1, 86

„ReDPr

L/D

«1/3 „ µ

µs

«0,14

,

2664Ts = constante

0, 48 < Pr < 1.67× 104

0, 0044 <

„µ

µs

«< 9, 75

3775I Elle est recommandee par Whitaker pour

„ReDPr

L/D

«1/3 „ µ

µs

«0,14

& 2.

I Pour des valeurs inferieures a cette limite, on utilise

NuD = 3, 66 Ts = constante

valable dans la region entierement etablie thermiquement.

I Toutes les proprietes, sauf µs , sont a evaluer a la temperature moyenne

Tm =1

2(Tm,e + Tm,s)



Correlations (I) - Ecoulement turbulent dans des tubes circulaires

I Correlation de Dittus–Boelter :

NuD = 0, 023Re4/5D Prn,

2666664n = 0, 4 si Ts > Tm

n = 0, 3 si Ts < Tm

0, 7 ≤ Pr ≤ 160

ReD ≥ 104

L

D& 10

3777775Correlations - Ecoulement turbulent dans des tubes circulaires

I Correlation a utiliser pour une difference de temperature (Ts − Tm) moderement petite.

I Correlation de Sieder et Tate (recommandee) :

NuD = 0, 027Re4/5D Pr1/3

„µ

µs

«0,14

,

26640, 7 < Pr < 1.67× 104

ReD & 104

L

D& 10

3775I Toutes les proprietes, sauf µs , sont a evaluer a la temperature Tm.

I Les deux precedentes correlations s’appliquent pour des conditions de constante temperaturede surface Ts et constant flux thermique ϕs .



Correlations (II) - Ecoulement turbulent dans des tubes circulaire

Correlation plus recentes

I Correlation de Petukhov, Kirilov, et Popov :

NuD =(f /8)ReDPr

1, 07 + 12, 7(f /8)1/2`Pr2/3 − 1

´ , »0, 5 < Pr < 2000

104 < ReD < 5× 106

–

I Le facteur de frottement f est determine du diagramme de Moody, ou pour des tubes lissesde :

f = (1, 82 log10 ReD − 1, 64)−2

I Correlation de Gnielinski :

NuD =(f /8) (ReD − 1000) Pr

1 + 12, 7(f /8)1/2`Pr2/3 − 1

´ , »0, 5 < Pr < 2000

2300 < ReD < 5× 106

–

I Pour des tubes lisses, utiliser : f = (0, 79 ln ReD − 1, 64)−2

I Toutes les proprietes sont a evaluer a la temperature Tm.

I Les deux precedentes correlations s’appliquent pour des conditions de constante temperaturede surface Ts et constant flux thermique ϕs .


Correlations Metals liquides

Correlations (III) - Metals liquides en ecoulements turbulent entierement etabli

I Flux constant ϕs , correlation de Skupinski, :

NuD = 4, 82 + 0, 0185Pe0,827D ,

24 ϕs = constant, Pe = RePr

3, 6× 103 < ReD < 9, 05× 105

102 < PeD < 104

35I Temperature constante a la surface Ts , correlation de Seban et Shimazki :

NuD = 5, 0 + 0, 025Pe0,8D , Ts = constante, PeD > 100


Correlations Tubes non circulaires

Tubes non circulaires, diametre hydraulique Dh = 4Ac/P

Le nombre de Nusselt pour des tubes non circulaires, ecoulement laminaire entierement etabli

(Flux uniforme, ϕs) (Temperature uniforme, Ts)


Correlations Tube annulus

Espace annulaire entre des tubes concentriques : “Anneux”

Echange thermique entre deux fluides

I Surface interieure :

ϕs = hi (Ts,i − Tm)

I Surface exterieure :

ϕs = ho (Ts,o − Tm)

Nombres de Nusselt differents

I Nui ≡hiDh

λ

I Nuo ≡hoDh

λI Avec, le diametre hydraulique :

Dh =4×

ˆ(π/4)

`D2

o − D2i

´˜πDi + πDo

= Do − Di

I Nombres de Nusselt Nui et Nuo , pour unecoulement laminaire entierement etabli dansl’anneux avec l’une des surfaces isoleeadiabatiquement et l’autre a une temperatureconstante.


Correlations Tube annulus

Ecoulement laminaire entierement etabli avec flux thermiques

Nui =Nuii

1− (ϕo/ϕi )θ∗i

Nuo =Nuoo

1− (ϕi/ϕo)θ∗o

Coefficients d’influence (Nuii ,Nuoo , θ∗i , θ∗o ) pour un ecoulement

entierement etabli dans l’espace du tube anneux circulaire avecflux thermiques uniformes aux surfaces interieure et exterieure


Correlations Transfert de masse

Transfert de masse dans des tubes circulaires

I De la meme maniere utilisant la temperature moyenne Tm, on utilise ici la masse volumiquemoyenne :

ρA,m =2

umr2o

Z ro

0uρArdr

I Par analogie, couche limite de concentration entierement etablie existe quand

∂

∂x

»ρA,s(x)− ρA(r , x)

ρA,s(x)− ρA,m(x)

–ree,c

= 0

I Le flux de masse de l’espece A :

n′′A,s = hm`ρA,s − ρA,m

Í La valeur de hm est obtenue de correlation appropriee faisant intervenir le nombre de

Sherwood ShD , defini par

ShD =hmD

DAB

I En utilisant l’analogie entre le transfert de chaleur et le transfert de masse, la correlationappropriee peut etre deduite simplement en remplacant NuD par ShD et Pr par Sc.


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