COURSPLA-2008

ARTS ET METIERS PARISTECH

PLASTICITE

MISE EN FORME

M. MAYA 2008

Centre de CLUNY

ep

ARTS ET METIERS - PARISTECH

Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY

--------------------------------------------------------------------------------------------------------- M. MAYA Plasticit - Mise en forme Page 2

AVANT PROPOS

Ceci n'est absolument pas le rsultat de mes travaux personnels mais au contraire une simple

concatnation de travaux raliss par diffrentes personnes dans diffrents endroits.

C'est pourquoi je me suis autoris reprendre, parfois in extenso, des termes, des phrases ou des

paragraphes complets trouvs dans les ouvrages cits en rfrence. J'espre que les auteurs des dits

ouvrages, s'ils se reconnaissent, voudront bien m'excuser de crime de lse majest. Je ne suis qu'un modeste

utilisateur de la science dveloppe et approfondie par d'autres.

C'est aussi pourquoi ce document de quelques pages est accompagn d'une bibliographie non

limitative qui permettra au lecteur rest sur sa faim d'assouvir son apptit de connaissance.

Cluny, Novembre 2008

M. MAYA




BIBLIOGRAPHIE

P. BAQUE E. FELDER J. HYAFIL Y. D'ESCATHA

Mise en forme des mtaux

BORDAS 1973

M. BELLET P. MONTMITONNET E. MASSONI J.L. CHENOT

Sminaire de plasticit et mise en forme des mtaux

C.E.M.E.F. Sept. 1990

P. BOISSE

Calculs des stuctures lastiques et plastiques par la mthode des lments finis

ENSMM BESANCON 1989

M. BOIVIN

Cours de plasticit

I.N.S.A. LYON 1983-1984

G. DHATT G. TOUZOT

Une prsentation de la mthode des lments finis

MALOIRE 1981

D. FRANCOIS A. PINEAU A. ZAOUI

Comportement mcanique des matriaux

HERMES 1991

J. LEMAITRE J.L. CHABOCHE

Mcanique des matriaux solides

BORDAS 1985

C. PHILIPPE

Mcanique du comportement des matriaux

C.E.R.E.N.S.A.M. PARIS 1991-1992

F. SIDOROFF

Mcanique et thermodynamique des milieux continus

E.C. LYON 1984

G. VOUILLE S.M. TIJANI

La Mthode des Elments Finis

E.N.S.M. PARIS 1978

P. de BUHAN

Plasticit et calcul la rupture

PRESSE DES PONTS 2007




SOMMAIRE

LOIS DE COMPORTEMENT - ANISOTROPIE 8

1- GENERALITES 8

2- LES ESSAIS MECANIQUES 9

3- MODELES RHEOLOGIQUES 10 3-1 Modles parfaits 11 3-2 Elasticit 11 3-3 Viscolasticit 12 3-4 Plasticit 13

3-4-1 Solide rigide parfaitement plastique 13 3-4-2 Solide lastique linaire parfaitement plastique 13 3-4-3 Solide lastoplastique crouissable 13

3-5 Viscoplasticit 14

4- ANISOTROPIE 14 4-1 Origine de l'anisotropie 14

4-1-1- Anisotropie de structure 15 4-1-2- Anisotropie d'laboration 15

4-2 Exprimentation sur les matriaux anisotropes 15

5- ANISOTROPIE EN ELASTICITE LINEAIRE 16 5-1 Les tenseurs d'lasticit 16 5-2 Convention d'criture 17 5-3 Matriau isotrope 19 5-4 Matriau orthotrope 19 5-5 Matriau isotrope transverse 20

6- UTILISATION DES MATERIAUX ANISOTROPES 21

PLASTICITE 22

1- GENERALITES 22

2- RAPPELS DE MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS 22 2-1 Rappels sur l'tat de contrainte 22

2-1-1 Base principale - Invariants 23 2-1-2 Tenseur dviateur des contraintes 23

2-2 Rappels sur l'tat de dformation 24 2-2-1 Cas des petites dformations 24 2-2-2 Cas des grandes dformations 25 2-2-3 Dviateur du tenseur des dformations actuelles 26

2-3 Relations entre contraintes et dformations 26

3- CRITERES DE PLASTICITE 26 3-1 Position du problme 26 3-2 Surfaces et fonctions de charge 27




3-3 Principe de Hill 28 3-4 Critre de Von-Miss 29

3-4-1 Incompressibilit plastique 30 3-4-2 Contrainte quivalente 30 3-4-3 Expression du coefficient de proportionnalit 30 3-4-4 Dformation actuelle plastique quivalente 31

4- RELATIONS DE HENCKY-MISES 31 4-1 Hypothse d'crouissage 31 4-2 Relations de PRANDTL - REUSS 32 4-3 Relations de HENCKY - MISES 32

5- EXEMPLES 33 5-1 Exemple dans le cas d'un essai de traction 33 5-2 Traction et torsion d'un tube mince 34

LES ETATS D'APPROXIMATIONS 37

1- PLASTICITE PARFAITE 37 1-1 Matriau lastique parfaitement plastique 37 1-2 Matriau rigide parfaitement plastique 38 1-3 Rotule plastique 38

1-3-1 Elastique parfaitement plastique 38 1-3-2 Rigide parfaitement plastique 38

2- LES METHODES D'ENCADREMENT 39 2-1 Rappels 39 2-2 Dfinitions 39 2-3 Thorme statique ou de la borne infrieure 40 2-4 Thorme cinmatique ou de la borne suprieure 40

3- APPLICATIONS A LA MISE EN FORME 42 3-1 Mthode des tranches 42

3-1-1 Ides gnrales 42 3-1-2 Forgeage d'une barre 42

3-2 Mthode de la borne suprieure 45 3-2-1 Choix des dplacements 45 3-2-2 Calcul de l'nergie dissipe 47 3-2-3 Calcul de la force motrice 48 3-2-4 Remarques 48

3-3 Mthode de la borne infrieure 49 3-4 Conclusions 50

THERMOMECANIQUE 51

1- LES LOIS DE CONSERVATION 51 1-1 Expression gnrale d'une loi de conservation 51 1-2 Equation de continuit 52 1-3 Loi fondamentale de la mcanique 53 1-4 Premier principe de la thermodynamique 54 1-5 Deuxime principe de la thermodynamique 55




2- THERMOMECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS 56 2-1 Equation de la chaleur 56 2-2 Thermo-lasticit linaire 57

3- COMPORTEMENT PLASTIQUE 59 3-1 Comportement plastique exprimental 59

3-1-1 Compression hydrostatique 59 3-1-2 Traction uniaxiale 59

3-2 Modlisations courantes 61 3-3 Principaux critres utiliss 61

3-3-1 Forme gnrale d'un critre de plasticit 61 3-3-2 Critre de Tresca 62 3-3-3 Critre de Von Miss 63

3-4 LOIS D'ECOULEMENT 63 3-4-1 Loi de Schmid 63 3-4-2 Principe du travail maximal 64 3-4-3 Loi d'coulement associe au critre de Tresca 65 3-4-4 Loi d'coulement associe au critre de Von Miss 66

4- RHEOLOGIE 67 4-1 Caractristiques rhologiques des mtaux 67

4-1-1 Influence de l'crouissage 67 4-1-2 Influence de l'lasticit 67 4-1-3 Influence de la temprature 68 4-1-4 Influence de la vitesse de dformation 69 4-1-5 Conclusions 69

4-2 Modlisation de la rhologie 70 4-2-1 Prise en compte de l'crouissage 70 4-2-2 Prise en compte de l'anisotropie 71 4-2-3 Modlisation du comportement viscoplastique 73 4-2-4 Modlisation du comportement lasto-viscoplastique 74

LES METHODES VARIATIONNELLES 75

1- DIFFERENTES FORMULATIONS 75 1-1 Introduction 75 1-2 Exemple 75

1-2-1 Approximation du dplacement par une fonction linaire. 76 1-2-2 Approximation du dplacement par une fonction quadratique 77 1-2-3 Conclusions 78

2- FORMULATION INTEGRALE D'UN PROBLEME 78 2-1 Dfinitions 78

2-1-1 Oprateurs 78 2-1-2 Fonctionnelle 79 2-1-3 Produit scalaire 79 2-1-4 Oprateur symtrique 79 2-1-5 Oprateur dfini positif 80

2-2 Thorme du minimum 81 2-2-1 Enonc 81 2-2-2 Dmonstration 81 2-2-3 Remarques 82

2-3 Thorme de la forme bilinaire 83 2-3-1 Enonc 83




2-3-2 Dmonstration 83 2-4 Formulations variationnelles des problmes d'lasticit 84

2-4-1 Thorme des puissances virtuelles 84 2-4-2 Thorme du minimum gnralis 86

2-5 Formes intgrales 86 2-5-1 Gnralits 86 2-5-2 Mthode des rsidus pondrs 87 2-5-3 Forme intgrale faible 87

3 APPLICATION A LA M.E.F. 87 3-1 Prsentation 87 3-2 Discrtisation 88

3-2-1 Forme intgrale 88 3-2-2 Forme variationnelle 89 3-2-3 Conditions aux limites 90

3-3 Cas non linaires 91 3-3-2 Algorithme de Newton-Raphson modifi 92 3-3-3 Mthode de Newton-Raphson 92 3-3-4 Mthode incrmentale 93

3-4 Cas instationnaires 94

FORMULATIONS ELASTOPLASTIQUE ET VISCOPLASTIQUE 95

1- RAPPEL DES EQUATIONS 95 1-1 Thorme des puissances virtuelles 95 1-2 Loi de comportement 96 1-3 Discrtisation temporelle 96

2- INTEGRATION DE LA LOI DE COMPORTEMENT 97 2-1 Dcouplage dviateur - pression 97 2-2 Loi lastoplastique 98

2-2-1 Solution analytique de rfrence 98 2-2-2 Mthodes numriques avec reprojection sur le critre 100

2-3 Solution numrique avec consistance plastique 101 2-3-1 Ecriture d'une quation scalaire 101 2-3-2 Rsolution de l'quation scalaire 103

3- LA VISCOPLASTICITE 104 3-1 Le modle de comportement 104 3-2 Le potentiel viscoplastique 105 3-3 Le modle de frottement 107 3-4 Rsolution analytique 108 3-5 Rsolution numrique 110

3-5-1 Formulation variationnelle 110 3-5-2 Formulation de l'incompressibilit 111 3-5-3 Discrtisation temporelle 111 3-5-4 Discrtisation spatiale 112 3-5-5 Rsolution du systme 113




LOIS DE COMPORTEMENT

ANISOTROPIE

1- GENERALITES

Les quations gnrales de la physique (conservation de la masse, principe fondamental de la mcanique, principes de la

thermodynamique ...) ne suffisent pas pour dterminer les champs de contraintes ou de dplacement dans une structure. Le constat

est le suivant:

Inconnues

tenseur des contraintes 6 inconnues

tenseur des dformations 6 inconnues champ de dplacement

U 3 inconnues

Equations

relations dformations-dplacement

T

UGradUGrad

2

1 6 quations

fdiv

T

rsultante de quations

moment de quationsquilibred' quations 3 quations

Un dficit du nombre d'quations vis vis du nombre d'inconnus apparat. Il est donc ncessaire d'employer des relations

exprimentales pour complter la modlisation. On obtient ainsi les quations de comportement. Ces dernires relient les

contraintes aux dformations et permettent d'avoir suffisamment d'quations pour solutionner le problme.

A ce niveau de l'tude on peut faire deux remarques:

Remarque N1 Les quations prcdentes tant des quations diffrentielles, il est ncessaire de bien prciser

les conditions aux limites pour pouvoir dfinir les constantes d'intgrations. Suivant la nature du problme pos, il peut tre

parfois indispensable de se donner aussi des conditions initiales (comportement fonction du temps, tude dynamique ...).

Remarque N2 Les 6 quations de comptabilit

2 2 2 2lj

k i

lk

j i

ij

k l

ik

j lx x x x x x x x

ne sont pas des

quations supplmentaires. Elles ne sont utilises que pour vrifier l'intgrabilit du champ des dformations.

Pour procder l'identification du comportement d'un matriau, on ne peut que tester des prouvettes. Il faut donc noter

que les informations dont on dispose concernent une structure particulire (l'prouvette) et que les mesures sont globales (effort,

couple, dplacement d'ensemble ...). En dfinitive la loi de comportement labore n'est vrifi que globalement.




2- LES ESSAIS MECANIQUES

La mthode phnomnologique globale est l'tude des relations de cause effet qui existent entre les variables

physiquement accessibles. Elle n'est pas la seule mthode utilisable pour caractriser le comportement du matriau. Pour mmoire

on peut citer l'approche microscopique qui consiste modliser les mcanismes partir d'une tude des liaisons atomiques. On

effectue alors une intgration et une moyennisation des variables microscopiques pour avoir le comportement macroscopique. De

mme on peut faire rfrence la mthode thermodynamique qui utilise des variables internes (potentiels thermodynamiques ...)

associes un milieu continu homognis.

Les variables physiquement accessibles sont :

* les dformations et leurs vitesses. C'est en fait souvent des dplacements que l'on mesure et il convient de

traiter l'information pour aboutir des dformations

* les contraintes. On peut aussi constater que souvent l'information directe est une valeur d'effort. Le passage

une contrainte n'est pas toujours immdiat. On peut d'ailleurs ce niveau s'interroger sur la nature de la contrainte (Cauchy?

Piolat-Kirchoff?).

* la temprature. Ce paramtre n'est pas forcment distribu de faon homogne.

* le temps. Cette variable peut aussi prendre des formes diverses et varies (nombre de cycles ...).

Il faut aussi remarquer que les notions de dformation et de contrainte font apparatre l'aspect tensoriel. En gnral on

accdera une mesure qui n'est qu'une partie d'un tout. Dans la ralit, il faut tablir des relations entre tenseurs.

Les essais effectus sur les prouvettes n'ont pour but que de trouver une relation entre un paramtre de charge Q et un

paramtre de dformation q.

Les essais classiques de caractrisation se font essentiellement en traction ou en traction-compression simples

temprature constante. L'prouvette est soumise une sollicitation axiale. La forme de l'prouvette est calcule de telle sorte que

l'on obtienne un tat de contrainte ou de dformation uniformes dans le volume utile. Il existe plusieurs faons de piloter l'essai.

Dans l'essai d'crouissage en

traction ou compression simples, la vitesse

de dformation est constante. C'est l'essai le

plus couramment utilis.

Dans l'essai de fluage en traction ou

compression simples, on tudie le

comportement de l'prouvette lorsque la

contrainte applique est maintenue

constante. L'volution de la dformation

permet de caractriser le durcissement et la

viscosit du matriau.

Cet essai est souvent ralis une temprature parfaitement contrle ( 1). Pour une contrainte donne, on enregistre la vitesse

de dformation et le temps rupture.

A

B

A

Bt

t t

0




Dans l'essai de relaxation en

traction ou compression simples, on tudie

l'volution des contraintes en imposant une

dformation constante.

Les essais de rupture sont en fait les essais prcdents pousss jusqu' la ruine totale de l'prouvette. Ils peuvent tre

combins avec des sollicitations cycliques. Certains essais ncessitent des prouvettes et des moyens particuliers (essais de

rsilience de type Charpy, essais de tnacit ...).

Dans l'essai de flexion (3 points ou 4 points), on gnre simultanment des contraintes de traction et des contraintes de

compression. Il est frquemment employ pour effectuer des contrles de qualit.

L'essai de torsion est tout particulirement utilis pour l'tude de la dformation haute temprature des alliages

mtalliques. De plus cet essai permet d'accder certaines caractristiques lastiques des matriaux anisotropes.

L'essai de duret trs simple mettre en oeuvre est couramment employ comme moyen de contrle. Des relations

empiriques existent entre la duret et la rsistance la traction, toutefois ces relations sont restrictives.

Enfin, du fait que la loi de comportement d'un matriau ne peut se borne une simple relation entre une seule contrainte,

une seule dformation et le temps, il devient de plus en plus ncessaire de raliser des essais multidimensionnels ou multiaxiaux.

On trouvera ainsi des essais de traction-cisaillement, traction ou compression bi ou triaxiale. Pour les matriaux anisotropes, l'essai

de traction-cisaillement par traction-torsion reprsente un grand intrt. Hlas ces essais sont relativement onreux. Pour mmoire,

on peut mentionner que le L.M.T. (Laboratoire de Mcanique et de Technologie) de Cachan a acquis une machine de traction

triaxiale en 1992 pour la somme de 8 MF.

L'avantage certain de ces derniers essais est qu'ils nous permettent de mieux connatre la relation entre les tats tensoriels

de contrainte et de dformation (ou de vitesse de dformation).

3- MODELES RHEOLOGIQUES

Les rsultats d'essais ne prsentent un intrt que si l'on peut modliser le comportement du matriau. Cette

modlisation, ncessaire pour le calcul prvisionnel, peut tre multiple. On peut ainsi dfinir un modle mathmatique sous forme

d'quations, mais on peut aussi envisager la recherche d'une modlisation analogique. Cette dernire est souvent utilise des fins

didacticielles.

Les rgles de calcul sont les suivantes :

Dans une association en parallle, la contrainte impose l'ensemble est la somme des contraintes imposes

chaque branche et la dformation subie par l'ensemble est gale aux dformations subies par chacune des branches, ces dernires

dformations tant toutes identiques.

i ii

A

B

A

B

t t

0




Dans une association en srie, la contrainte impose l'ensemble est supporte en totalit par chaque lment et

la dformation subie par l'ensemble est la somme des dformations subies par chaque lment.

i ii

La forme de la relation contrainte-dformation nous permettra un tri dans l'une des grandes classes de comportement.

3-1 Modles parfaits

Ces modles sortent du cadre de la mcanique des solides dformables. On parle de solide parfaitement rigide et de fluide

parfait. Ces modles permettent d'approcher les lois de mouvements mais ne peuvent en aucun cas prtendre aider un quelconque

dimensionnement.

Il est noter que la

distinction entre solide, liquide ou

gaz est subjective. Ainsi on peut

envisager de dire que les solides

admettent un tat d'quilibre sous

sollicitation alors que les fluides

subissent un coulement pour toute

sollicitation aussi faible soit-elle.

Comment alors distinguer un

quilibre atteint au bout d'un temps

infini et un coulement infiniment

lent?

De mme, le diagramme

(T,s) d'un corps pur montre

clairement qu'il est difficile de

distinguer l'tat liquide de l'tat

gazeux pour des tempratures

leves.

3-2 Elasticit

La relation d'lasticit se traduit par une dformation essentiellement rversible. On parle d'lasticit

parfaite lorsque la transformation est entirement rversible et qu'il existe une relation biunivoque entre les paramtres de charge Q

et de dformation q 0, qQf .

t t

Ecrouissage Fluage Relaxation

00

s

kJ/K kg

T C

0

100

200

300

400

500

600

374

0 1 2 3 4 5 6 7 8

K

Compression isotherme

isentropiqueDtente

isobareEchauffement




Si de plus la relation est linaire, on obtient l'lasticit linaire. Le modle analogique quivalent est alors le ressort

linaire :

E

Q E q q J Q

Ce modle convient bien pour les mtaux, les roches et les btons lorsque les sollicitations sont faibles (ne pas dpasser la

limite d'lasticit!)

3-3 Viscolasticit

La rponse est fonction de la vitesse d'application de la sollicitation. Il existe des rsistances visqueuses qui font que pour

un paramtre de dformation fix q, le paramtre de chargement Q est une fonction croissante de la vitesse d'application de la

dformation q .

On dit qu'il y a viscosit pure lorsqu'il existe une relation biunivoque entre le paramtre de chargement Q et le paramtre

vitesse d'application de la dformation 0, qQgq . De plus nous pouvons avoir une relation linaire ce qui nous conduit la viscosit linaire avec l'amortisseur linaire comme modle analogique :

Q q

Il est possible d'envisager un modle plus complet en associant en parallle un ressort et un amortisseur. On dfinit ainsi le

modle de Kelvin-Voigt :

/0

21

21

22

11

e1

d

d Et

Et

E

Les applications sont les polymres, le caoutchouc et le bois si la

sollicitation n'est pas trop leve.

t t


0

0

E




3-4 Plasticit

Ce phnomne traduit l'apparition de dformations irrversibles lorsque la charge est suffisamment grande. Il faut

dpasser le seuil de plasticit. Ainsi, aprs cessation des sollicitations, on constate des dformations permanentes stables. Le temps

n'est pas une variable de l'tat de dformation. Ce comportement admet plusieurs formes.

3-4-1 Solide rigide parfaitement plastique

En de du seuil de plasticit, la dformation est nulle. Ds que l'on a atteint le

seuil, appel contrainte d'coulement, la valeur de la dformation est arbitraire, quelle que

soit la vitesse de dformation. Le modle analogique associ est le patin.

s

?

0

s

s

On trouve les applications en mcanique des sols et en mise en forme des mtaux.

3-4-2 Solide lastique linaire parfaitement plastique

En de du seuil de plasticit, le comportement est lastique linaire. Au del,

on retrouve le comportement prcdent. On associe le modle rhologique de Saint-

Venant ce comportement.

)arbitraire(pes

esE

Ce type de comportement permet de traiter des problmes d'analyse limite

(ruine d'une structure par rotule plastique ...) ou pour certain type d'acier faible teneur en carbone.

3-4-3 Solide lastoplastique crouissable

On voit apparatre une dformation permanente au del d'un seuil de contrainte s .

Le comportement est donn par les relations suivantes :

fE

E

pes

es

s

s

Es

t

s

t





Le modle analogique associ est le modle de Saint-Venant gnralis. Il est ralis par des montages sries et parallles

de ressorts et de patins.

La courbe de traction du modle est linaire par morceaux. En supposant

les seuils si rangs dans un ordre croissant, l'quation au seuil d'indice j

est :

sii

i

i

siipi

i

si

m

ji

i

j

i

si

E

E

E

si

si

11

Ce modle prsente la particularit d'avoir une courbe

d'crouissage de dcharge aprs une traction qui se dduit de la courbe

d'crouissage en compression par une homothtie de rapport 2 et de

centre M' symtrique du point de dcharge M par rapport l'origine O.

'sj sisj

ji

j i

i

i j

m

EE

1

Ce comportement se retrouve dans des mtaux et alliages

des tempratures infrieures au quart de leur temprature absolue de

fusion.

3-5 Viscoplasticit

Ce comportement traduit le fait que l'on a des dformations permanentes aprs suppression des sollicitations (plasticit) et

qu'il existe un coulement de fluage sous sollicitation (viscosit). Il est possible de faire apparatre des phnomnes d'lasticit et

ventuellement l'influence de l'crouissage.

4- ANISOTROPIE

4-1 Origine de l'anisotropie

En fait on devrait plutt dire pourquoi on recherche tablir des lois de comportement isotrope. Tous les matriaux sont

anisotropes et, par souci de simplification, le mcanicien essaie d'apporter une loi de comportement isotrope. Une erreur

systmatique est commise, mais suivant le matriau, cette erreur est plus ou moins leve. En gnral le comportement sera

considr comme isotrope, mais il existe des cas o l'erreur associe cette hypothse est beaucoup trop leve pour quelle soit

acceptable.

E E E E E

sss1 i

i1 j

j

j+1 m

's's's

1

2

3

O

M

M'

P

Q

M'Q = 2 M'P




L'isotropie est la caractrisation du fait que la loi de comportement du matriau tudie est indpendante du systme d'axe.

On traduit ainsi l'quivalence de toutes les directions. Dans la ralit l'anisotropie constate peut tre lie soit la structure propre

du matriau, soit son procd d'laboration et de mise en forme.

4-1-1- Anisotropie de structure

On la rencontre naturellement. Parmi les cas les plus frquent on peut citer :

les monocristaux mtalliques. Par la nature mme des liaisons inter-atomiques, le monocristal est anisotrope.

Toutefois, la juxtaposition alatoire d'un grand nombre de monocristaux permet d'obtenir un comportement global de structure

isotrope.

les matriaux composites. Dans cette catgorie on peut inclure en particulier le bton arm et les matriaux

composites stratifis.

les matriaux fibreux naturellement. On trouvera entre autre le bois.

4-1-2- Anisotropie d'laboration

Certains matriaux, considrs initialement comme isotropes perdent cette proprit dans le processus de ralisation. On

peut par exemple citer les profils obtenus par dformations plastiques ainsi que les tles lamines.

Comme on peut le constater, l'anisotropie est bien prsente et il est important d'tre capable d'en tenir compte au niveau

des lois de comportement. On peut faire deux remarques :

* Il ne faut pas confondre l'anisotropie et l'htrognit d'un matriau. Ces deux aspects sont souvent relis et la

confusion est aise. L'htrognit d'un matriau traduit le fait que le comportement du matriau est fonction du point d'tude.

Toujours prsente, cette proprit peut tre remplacer par la notion d'homognit par des processus de moyennisation. On dfinit

alors un comportement moyen sur un ensemble de points. Bien entendu les rsultats seront beaucoup fonctions de l'erreur commise.

Physiquement, on conoit facilement qu'il est possible de dfinir un comportement homogne pour de l'acier (d'autan plus que les

rsultats d'essais sont souvent globaux), par contre on envisage mal le mme type de comportement sur du bton arm. La notion

d'chelle de l'htrognit par rapport aux dimensions de la structure est un paramtre particulirement important pour procder

une homognisation.

* L'anisotropie peut aussi concerner un comportement lastique que tout autre type de comportement. Dans les faits, par

souci de simplicit, on introduira l'anisotropie simplement sur les lois lastiques, mais il ne faut pas penser que seul ce type de

comportement prsente cette caractristique. Ainsi un comportement initial de type lastique isotrope peut trs bien se transformer

en un comportement plastique anisotrope, l'anisotropie provenant du glissement des joins cristallographiques.

4-2 Exprimentation sur les matriaux anisotropes

Les difficults exprimentales sont plus grandes qu'avec les matriaux considrs comme isotropes. Ainsi le rsultat d'un

essai de traction sera dpendant de l'orientation de l'prouvette dans la structure. Ce rsultat restera simple interprter lorsque

l'essai est ralis dans une direction principale d'anisotropie.

L'anisotropie se traduit par exemple par le fait que le chargement de pression hydrostatique Ip n'engendre pas une dformation homogne. Non seulement on aura dans la matrice reprsentant le tenseur des dformations des termes diagonaux

diffrents 332211 , mais en plus on pourra trouver hors de la diagonale des termes non nuls. De mme l'essai de torsion sur prouvette creuse peut conduire des dformations de cisaillement non uniformes sur la

circonfrence.

Il est donc pratiquement toujours ncessaire de faire une modlisation particulire pour pouvoir interprter correctement

les rsultats.

Il est enfin important de noter que le nombre d'essais raliser pour caractriser le comportement d'un matriau anisotrope

est souvent plus lev que pour un matriau isotrope.




5- ANISOTROPIE EN ELASTICITE LINEAIRE

L'lasticit linaire est la loi de comportement la plus couramment employe. D'une part elle reflte bien le comportement

faible dformation de nombreux matriaux, d'autre part de nombreuses lois de comportement sont numriquement traites

comme tant localement linaires. On approche ainsi la loi relle par une suite de segments de droite.

Il est donc tout naturel de s'intresser l'incidence de l'anisotropie sur la rponse d'un matriau lastique linaire.

Il faut toutefois noter que de nombreux paramtres peuvent avoir de l'incidence sur le comportement lastique linaire. La

temprature, du fait de l'agitation molculaire qu'elle engendre, est propice l'apparition de phnomnes irrversibles. A l'inverse,

le phnomne d'crouissage augmente sensiblement la taille du domaine lastique.

5-1 Les tenseurs d'lasticit

Le comportement lastique linaire est caractris par une relation de linarit entre le tenseur des contraintes et le tenseur

des dformations. Cette relation prend la forme suivante :

cescomplaisan destenseur

raideurs destenseur

a

K

a

K

a

K

klijklij

klijklij

Les tenseurs ainsi dtermins reprsentent des applications inverses l'une de l'autre. La connaissance de l'un implique la

connaissance de l'autre. Aussi nous ne nous intresserons qu' l'un des deux, savoir le tenseur des raideurs ou encore tenseur de

rigidit.

Avec nos hypothses, c'est dire thorie du premier ordre pour les contraintes, petites perturbations pour les

dplacements, les tenseurs des contraintes et des dformations sont des tenseurs du second ordre symtriques. Donc le tenseur des

raideurs, qui est un tenseur du quatrime ordre, prsente des particularits :

ijlkijkl

jiklijkl

lkklklijklij

jiijklijklij

KK

KK

K

K

et

et

Ainsi le nombre de fonctions indpendantes caractrisant le tenseur de raideur passe de 81 36.

Pour continuer les simplifications, il suffit de dire que le comportement lastique est un comportement sans dissipation,

c'est dire que toutes les volutions sont rversibles. En particulier la dissipation thermique est nulle. L'application du premier

principe de la thermodynamique nous permet alors d'affirmer que le travail de dformation est gal au potentiel lastique, si la

variation d'nergie cintique est nulle:

W Q W d Udf e df

Ce travail de dformation est donc une fonction d'tat. Sa diffrentielle est une diffrentielle totale exacte et on peut

appliquer les relations d'intgrabilit de Cauchy. Ce travail de dformation a l'expression volumique suivante :

d W

dvd

df

ij ij




La condition de diffrentielle totale exacte nous permet alors d'crire les galits suivantes :

ij

kl

kl

ij

ijkl klijK K

Ainsi le nombre de fonctions indpendantes pour reprsenter le tenseur de raideur passe de 36 21. Dans le cas le plus

gnral, il conviendra donc de trouver les essais de caractrisation de ces 21 fonctions.

Dans la pratique ces fonctions sont dpendantes de la temprature et du temps (vitesse d'application des charges). Comme

on travaille en gnral dans des plages de temprature bien dfinies , relativement limites et que ces fonctions sont faiblement

dpendantes de la temprature, on peut facilement les assimiles des coefficients constants pour une cintique donne.

L'identification de ces coefficients lastiques repose sur l'valuation de la raideur dans des essais statiques (traction-

compression, torsion ...), dans des essais de vibrations ou dans des essais de propagation d'ondes. On constate une diffrence au

niveau des rsultats donns par ces essais. Cet cart s'explique car les mthodes dynamiques ne permettent pas de prendre en

compte certains mouvements internes visqueux et de ce fait donnent des rigidits un peu plus grandes.

5-2 Convention d'criture

Le tenseur de raideur est un tenseur d'ordre 4. Il est donc particulirement dlicat expliciter. Les formules dveloppes

sont relativement lourdes. Il convient donc de trouver une mthode qui permette une simplification d'criture.

La solution rside en des applications linaires. L'une va nous permettre de passer de l'espace vectoriel de dimension 2

associ aux tenseurs d'ordre 2 vers un espace vectoriel de dimension 1 auquel on associera des tenseurs d'ordre 1. Pour le tenseur

des contraintes, cette application se prsente sous la forme suivante :

2112

1331

3223

33

22

11

333231

232221

131211

Par contre pour le tenseur des dformations, on prfre utiliser l'application dfinie par :

211212

133131

322323

33

22

11

333231

232221

131211

22

22

22

Ces transformations sur les tenseurs des contraintes et des dformations induisent l'existence d'une application linaire de

l'espace vectoriel de dimension 4 (associ au tenseur de raideur) vers un espace vectoriel de dimension 2 :

K C




La nouvelle forme du tenseur de raideur permet alors de lui associer une matrice carre (6,6) :

12

31

23

33

22

11

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

12

31

23

33

22

11

cccccc

cccccc

cccccc

cccccc

cccccc

cccccc

Compte tenu des conditions d'intgrabilit de Cauchy sur le travail de dformation, nous avons les relations suivantes :

c c c c c c c c c c

c c c c c c c c c c

c c c c c c c c c c

12 21 14 41 24 42 34 43 45 54

13 31 15 51 25 52 35 53 46 64

23 32 16 61 26 62 36 63 56 65

2 2 2

2 2 2

2 2 2

Ces relations tant au nombre de 15, nous nous retrouvons bien avec 21 coefficients indpendants.

La structure de la matrice C devient alors :

ijij

ijij

ij

YZ

ZX

c

2

Les sous-matrices X, Y et Z tant des matrices (3,3), les matrices X et Y tant symtriques.

Les hypothses supplmentaires portant sur le degr d'anisotropie du matriau vont nous permettent de diminuer le

nombre des coefficients indpendants.

Ces hypothse portent essentiellement sur les symtries et rotations possibles sans changement de la loi de comportement.

L'invariance du comportement dans un certain type de changement de base ne sera en effet vrifi qu'avec des relations

particulires du tenseur de raideur.

Pour mettre en vidence ces relations on rappelle les rgles de transformation des composantes d'un tenseur dans un

changement de bases orthonormes :

kikJJijjIIJJii baebEEaeEEEeee avec,,,, 321321

Pour un tenseur d'ordre 2, on a :

T t e e T E E t b b T T a a tij i jIJ

I J

ij

I

i

J

j IJ IJ

i

I

j

J ij

Pour un tenseur d'ordre 4, on obtient :

T t e e e e T E E E E t b b b b T T a a a a tijkl i j k lIJKL

I J K L

ijkl

I

i

J

j

K

k

L

l IJKL IJKL

i

I

j

J

k

K

l

L ijkl

Remarque La notation prcdente (avec des indices suprieurs et infrieurs) peut choquer premire vue mais cette

notation est en conformit avec les notions de variance et de contravariance. Elle permet des critures avec des simplifications

systmatiques. De plus, dans le cas d'une mtrique non euclidienne, elle seule permettra de prendre en compte correctement les

nouvelles notions de longueur.

Toutefois, dans un souci de simplicit, nous continuerons utiliser des notations avec des indices infrieurs pour les

tenseurs.




5-3 Matriau isotrope

L'hypothse d'isotropie impose que la loi de comportement soit indpendante du repre choisi pour l'exprimer. En d'autre

terme, le tenseur de raideur doit tre invariant pour tout changement de base. On peut alors dmontrer que la seule forme possible

de ce tenseur est :

jkiljlikklijijklK

On obtient ainsi la loi de comportement faisant apparatre les coefficients de Lam :

ij ij kk ij 2

Avec cette forme de relation, on constate que les directions principales de contraintes sont confondues avec les directions

principales de dformations.

Cette loi de comportement ayant dj t tudie, nous nous proposons de regarder de plus prs des comportements de

matriaux prsentant un certain degr d'anisotropie.

5-4 Matriau orthotrope

Un milieu est dit orthotrope pour une proprit donne si cette proprit est invariante par changement de direction

obtenue par symtrie relative deux plans orthogonaux. On remarque qu'alors la symtrie par rapport au troisime plan orthogonal

est automatiquement acquise. Ce mode de comportement est relativement bien ralis pour le bois (dans certains cas), les

composites unidirectionnels et les produits mtalliques lamins.

Supposons que nous ayons une symtrie par rapport au plan de coordonnes x3 0 . La matrice de changement de base

traduisant cette symtrie est :

100

010

001

A

La relation d'indpendance du tenseur de raideur K dans ce changement va se traduire par le fait que toutes les

composantes Kijkl ayant un nombre impair d'indice 3 sont nulles. Ainsi pour la matrice C on obtient :

c c c c c c c c14 24 34 64 15 25 35 65 0

Le tenseur de raideur n'a plus que 13 coefficients indpendants.

Il nous reste maintenant traduire la condition de symtrie par rapport un plan orthogonal, par exemple celui de

coordonnes x1 0 . On aura donc :

04645363526251615 cccccccc

Il ne reste donc que 9 coefficients indpendants pour traduire le comportement de notre matriau. Dans le repre principal

d'orthotropie, la loi peut se mettre sous la forme :




12

31

23

33

22

11

12

31

23

33

32

3

31

2

23

22

21

1

13

1

12

1

12

31

23

33

22

11

100000

01

0000

001

000

0001

0001

0001

G

G

G

EEE

EEE

EEE

Les conditions de symtrie se traduisant par les relations

12

1

21

2

13

1

31

3

23

2

32

3E E E E E E ; ;

Le matriau est donc caractris par 9 coefficients indpendants :

* 3 modules d'lasticit longitudinal E E E1 2 3, et dans les directions de l'orthotropie.

* 3 modules de cisaillement G G G12 23 31, et .

* 3 coefficients de contraction 12 23 31, et .

De plus, des considrations thermodynamiques sur le travail de dformation permettent de dmontrer les ingalits

suivantes :

1 0 1 0 1 0

1 0

12 21 23 32 31 13

12 23 31 21 13 32 21 12 31 31 32 23

; ;

5-5 Matriau isotrope transverse

Un milieu est dit isotrope transverse pour une proprit donne si cette proprit est invariante par changement de

direction obtenue par rotation autour d'un axe privilgi. Dans ce cas, tout plan passant par l'axe privilgi est un plan de symtrie.

Nous pouvons donc remarquer que le milieu est dj orthotrope.

Imaginons par exemple que l'axe E3 soit l'axe d'isotropie. Il est donc ncessaire d'avoir une invariance de la loi de

comportement pour toute rotation dfinie par :

100

0cossin

0sincos

A

On conoit facilement qu'en plus des relations du cas orthotrope, on obtienne de nouvelles relations entre les coefficients

lastiques du tenseur de raideur. On aura par exemple :

222222111212222

112211111212

22211221

22

11211212

cossincossincossinsincoscossincossincossin

cossinsincoscossin

KKKKKK

KAAKAAKAAK pqqppqqppqqp




Ce qui nous donnera :

1122121122

66

22

66

222

122211

22

66

carcossin2cossin4

sincos2cossin

ccccc

ccccc

D'o la relation : 1211662

1ccc

En dfinitive on retrouvera 4 nouvelles quations (dont c c22 11 ). Il n'y a donc plus que 5 composantes indpendantes. Les

quations deviennent :

12

1122313

2

23

1

1321

12

31

23

33

22

11

13

13

1

12

31

13

1

13

1

13

11

12

1

13

1

12

1

12

31

23

33

22

11

12;;;:tant airessupplment relations 4 Les

2

100000

02

10000

0012

000

0001

0001

0001

EGGG

EEEE

G

G

E

EEE

EEE

EEE

6- UTILISATION DES MATERIAUX ANISOTROPES

L'emploi de matriaux anisotrope a tendance se gnraliser. Les mthodes de calcul voluent rapidement et l'aspect

numrique n'est plus une barrire. Toutefois, pour utiliser correctement ces matriaux, il subsiste encore deux difficults.

La premire difficult est lie la dtermination des constantes lastiques. Certes on conoit bien que le nombre de

paramtres dterminer tant plus lev que dans le cas d'un matriau isotrope, il soit ncessaire de faire plus d'expriences de

caractrisation. Mais le nombre d'exprience n'est rien vis vis du mode opratoire. Il ne faut pas perdre de vue que le matriau

possde des directions particulires et que les prouvettes seront rfrences vis vis de ces directions. Par exemple, dans le cas

d'un matriau orthotrope, un essai de traction suivant les trois directions d'orthotropie permettra de dduire les trois modules

d'lasticit longitudinal. Mais quel serait le rsultat d'un essai de traction men suivant une direction quelconque?

La seconde difficult rside dans les calculs de dimensionnement et en particulier dans l'emploi d'un critre. Il est en effet

vident que les critres utiliss dans le cas d'un matriau isotrope ne seront pas adapts au cas anisotrope. Il convient donc de

dfinir de nouveaux critres. Pour un calcul de prdimensionnement, on pourra utiliser un critre dit de "Hill" qui est l'analogue du

critre de Von-Miss. Toutefois, il convient de bien faire attention au phnomne de ruine mis en oeuvre. Ce n'est pas toujours un

dpassement de la limite lastique qui interviendra dans le dimensionnement. On peut par exemple citer le phnomne de

dlaminage des matriaux stratifis ou encore les pertes d'adhsion dans les matriaux composites.




PLASTICITE

1- GENERALITES

Nous envisageons d'tudier un comportement de matriau autre que l'lasticit linaire. Toutefois, afin de simplifier notre

propos, nous considrerons que la viscosit est ngligeable et que les sollicitations imposes ne crent pas de dommages

significatifs (fissurations, dveloppement de micro cavitation, ...).

La non prise en compte des phnomnes de viscosit ne signifie pas ncessairement que les tempratures soient basses. En

effet, bien que l'lvation de la temprature soit un facture favorisant pour la viscosit, cette dernire peut apparatre mme de

faibles tempratures. En fait il convient mieux d'avoir des chargements infiniment lents, qui permettent d'avoir des rponses

asymptotiques stabilises, mais suffisamment rapides pour que le phnomne de viscosit ne puisse pas apparatre.

En ce qui concerne la notion de dommages significatifs elle est tout fait relative. En effet, il ne faut pas oublier que la

plasticit traduit une irrversibilit thermodynamique du processus de charge. Du point de vue microscopique cette irrversibilit a

essentiellement pour origine la coalescence de dfauts voisins. Ce phnomne irrversible est bien entendu un dommage local.

Toutefois, on peut considrer que, les dommages engendrs n'tant pas facilement observables, il n'existe pas de dommages

significatifs.

Dans la suite, nous allons considrer que le comportement gnral lastoviscoplastique d'un matriau est essentiellement

lastoplastique. De plus, afin de ne pas compliquer inutilement l'tude, l'lasticit sera considre comme linaire. Ainsi on pourra

sans ambigut attribuer la plasticit tout aspect non linaire des comportements tudis.

2- RAPPELS DE MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

2-1 Rappels sur l'tat de contrainte

L'tat de contrainte dans un domaine matriel est un tat tensoriel. Dans une tude complte on constate qu'il existe

plusieurs possibilits de reprsentation de cet tat tensoriel. Les diffrences de reprsentation sont lies soit une dtermination

particulire de l'tat de contrainte (Tenseur de CAUCHY, tenseur de PIOLAT-KIRCHOFF 1 ou de BOUSSINEQ, tenseur de

PIOLAT-KIRCHOFF 2 ou de PIOLAT-LAGRANGE, tenseur de KIRCHOFF) soit une thorie plus ou moins simplificatrice.

Ds lors que l'on tudie les possibilit de grandes dformations et de grands dplacements, il convient de bien dissocier

toutes ces reprsentations. Toutefois, toujours dans le but de ne pas alourdir l'expos, nous nous contenterons d'utiliser le tenseur

contrainte dfini dans le cours de Mcanique des Milieux Continus. Ce dernier reprsente le convergence des diffrents tenseurs

pour des tats de dformations et de dplacements faibles (hypothse des petites perturbations).

Quelle que soit la reprsentation tensorielle choisie pour l'tat de contrainte, on peut associer une base principale et dfinir

un tat dviatorique associ.




2-1-1 Base principale - Invariants

Dans une base 321 ,, XXX

, le tenseur des contraintes est de la forme :

321332313232212

131211

,, XXX

Il existe un systme d'axes particulier qui reprsente les "directions propres" de la matrice. Ce repre est appel le repre

principal des contraintes IIIIII NNN

,, . Dans cette base la matrice reprsentant l'tat de contrainte prend une forme diagonale :

IIIIIIIIIII

I

NNN

,,00

00

00

La dtermination des contraintes principales passe par la diagonalisation de la matrice des contraintes. On doit ainsi

rechercher les solutions de l'quation :

00det 32213 IIII

Quelque soit le systme de rfrence 321 ,, XXX

choisit, on doit trouver les mmes valeurs de contraintes principales.

En consquence les quantits I I I1 2 3, et ne doivent pas dpendre du systme d'axes. Ce sont les invariants du tenseur des

contraintes :

IIIIII

scontraintedestenseurdutrace

I

3322111

IIIIIIIIIIII

ikkkii

diagonaleladetermesdescofacteursdessomme

I

22

131133

2

233322

2

12221122

1

IIIIII

ij

scontraintedesmatriceladetdterminan

I

det3

2-1-2 Tenseur dviateur des contraintes

Il est toujours possible de mettre le tenseur des contraintes sous la forme d'une somme d'un tenseur sphrique et d'un

tenseur dviateur de trace nulle :

3

0

1I

strsI

m

m

m I est le tenseur hydrostatique.

s ' est le tenseur dviateur des contraintes.




On a bien videmment :

0avec 1332313

232212

131211

strJs

m

m

m

Pour dcrire un comportement plastique, on utilise souvent le deuxime invariant du tenseur dviateur des contraintes:

ikikikkkii sssssJ2

1

2

1 22

2312232122332222112 2222

1ssssssJ

2312232122113323322222112 66

1 J

On dfinit la contrainte octadrale par la relation :

231223212211332332222211 63

1 oct

On a donc la relation : J oct223

2

2-2 Rappels sur l'tat de dformation

Le processus de plastification fait souvent intervenir le

paramtre temps. On peut arriver un tat de contraintes donn en

suivant plusieurs chemins de chargement. L'tat de dformation

obtenu n'est alors pas le mme. L'histoire du chargement joue un

rle important.

Ainsi, contrairement un comportement lastique linaire,

il convient donc de faire intervenir un paramtre associ la notion

de temps dans la description d'un comportement plastique.

2-2-1 Cas des petites dformations

Le domaine est dcrit l'tat de rfrence par les coordonnes ai l'instant t 0:

OP a Xi i0

L'tat actuel est caractris par les variables de position xi

l'instant t :

iit XxOP

Le dplacement est alors donn par le champ vectoriel

tPPPU 00 )(

1 2

P

Q

Q

P

u

X

X

X

0

t

i

dui

0

t

1

2

3

Trajectoire du point

Trajectoire du point

P

Q




Au voisinage du point Pt , on peut crire :

j

j

i

i

ii

iit

ii

daa

udu

XdudU

dUPUdaaUQQQU

XdaQP

)()()( 000

00

Ce qui nous donne :

00)( QPUgraddU

Relation que l'on peut encore crire :

0000 QPQPrdU

Avec :

)()(2

)()(2

UgradUgradr

UgradUgrad

T

T

Dans le cas d'un repre cartsien, on obtient :

i

k

k

i

ik

i

k

k

i

ik

x

u

x

ur

x

u

x

u

2

1

2

1

2-2-2 Cas des grandes dformations

Il convient dans ce cas de distinguer l'tat actuel de l'tat de rfrence.

Par rapport l'tat actuel, on envisage un accroissement t de la variable temps. On obtient ainsi une diffrentielle

temporelle des fonctions qui caractrisent l'tat thermodynamique

de notre systme d'tude. Le point Pt devient un point P . Entre

ces deux points, nous pouvons dfinir le vecteur dplacement

instantan :

PPU t

On dfinit alors le tenseur des dformations actuelles :

i

k

k

i

ikx

u

x

u

2

1

Cette fois les drivations sont faites partir des coordonnes actuelles.

P

Q

Q

P

u

X

X

X

0

t

i

dui

0

t

1

2

3

P

Q

ui

d( ) ui




Interprtation physique des termes

A l'instant t, on considre un petit lment de longueur l qui est parallle la direction X1 (l'lment originel l0

n'ayant priori aucune relation avec la direction X1). A l'instant t + t, la longueur de l'lment est devenue l + l. On a alors :

l

lLiml

011

12 reprsente la demi-distorsion de l'angle droit 21, XX

l'instant t.

Remarque: on peut tre amen dfinir un tenseur des vitesses de dformations actuelles :

ik

i

k

k

iik

ikx

v

x

v

t

2

1

2-2-3 Dviateur du tenseur des dformations actuelles

De mme que pour le tenseur des contraintes, il est possible d'envisager une dcomposition du tenseur des dformations

actuelles en une partie sphrique et une partie dviatorique :

' Im La partie sphrique caractrise le changement de volume sans changement de forme, alors que la partie dviatorique

caractrise le changment de forme sans changement de volume.

On peut bien entendu associer trois invariants au dviateur du tenseur des dformations actuelles.

2-3 Relations entre contraintes et dformations

Ces relations traduisent la loi de comportement du matriau employ. Comme il n'existe pas une relation universelle,

chacune des expressions donnes est dtermine dans un domaine d'emploi bien dfini. Ce domaine peut tre dfini par de

nombreux paramtres (temps, contraintes, temprature ...).

La premire relation tudie dans un cours de mcanique des milieux continus est la relation de l'lasticit linaire, encore

appele "loi de Hooke". Cette relation reprsente une proportionnalit entre l'tat de contrainte et l'tat de dformation. Dans le cas

d'un matriau homogne isotrope, on a :

IEE

m

31

Cette relation n'est valable que pour un tat de sollicitation faible. Des critres (Von Miss, Tresca, Mohr Caquot ...)

permettent de vrifier la lgitimit de l'emploi de cette formule.

Dans le cas de non vrification du critre, il convient d'utiliser une autre loi de comportement.

3- CRITERES DE PLASTICITE

3-1 Position du problme




Les rsultats d'un essai de traction montrent que le dpassement de la limite lastique fait apparatre des dformations

permanentes, c'est dire des dformations rsiduelles aprs suppression des charges.

Exprimentalement, on constate souvent que la

courbe de dcharge est une droite parallle la droite

correspondante au domaine lastique. On peut ainsi

affirmer que la dformation effective est la somme d'une

dformation lastique et d'une dformation purement

plastique.

pe

Plus gnralement, on crira :

pike

ikik

Avec pour la dformation lastique:

ikmike

ikEE

31

En dfinitive, il reste valuer la dformation plastique pik .

3-2 Surfaces et fonctions de charge

On appelle surface de charge, la surface qui, l'instant t va dlimiter le domaine lastique dans l'espace des contraintes.

Il est noter que la notion de surface doit tre prise au sens large puisque l'espace des contraintes est un espace vectoriel

de dimension 6 (vu la symtrie du tenseur des contraintes). Ainsi la surface de charge aura une dimension 5. Bien entendu cette

notion d'espace vectoriel de dimension suprieure 2 ne va pas faciliter la reprsentation gomtrique.

Dans l'espace des contraintes, un tat de contrainte est reprsent par un point ikP . L'origine du rfrentiel est associ

l'tat de contrainte nul 0 . L'ensemble des points tel que le comportement soit encore lastique est dlimit par une surface qui est la surface de

charge. La relation permettant de dcrire cette surface est la fonction de charge.

L'essai de traction d'un matriau fait

clairement apparatre la notion d'crouissage. La

limite lastique enregistre lors de l'essai est

fonction des chargements antrieurs. En particulier,

on constate que cette limite est la plus grande

valeur de contrainte cre lors des essais antrieurs

si ceux-ci ont dpass la limite lastique existante.

C'est le phnomne d'crouissage.

La surface de charge est donc volutive. L'quation d'une telle surface est de la forme :

,ikf o est un paramtre d'crouissage

ep

e

0




A partir de la surface de charge, une

augmentation de l'tat de contrainte (charge) dplacera la

surface, alors qu'une diminution de l'tat de contrainte

(dcharge) donnera un point l'intrieur de la surface.

On dit qu'il y a un crouissage isotrope si la

dilatation de la surface de charge est uniforme dans toutes

les directions. Dans le cas contraire, l'crouissage est dit

cinmatique.

Cette notion de surface de charge permet de

dfinir des tats de contraintes et de dformations

quivalents.

La contrainte quivalente un tat de contraintes

plastiques quelconques est la contrainte de traction qui se

trouve sur la surface de charge.

La dformation actuelle plastique quivalente est

la dformation qui, associe la contrainte quivalente,

donne un travail plastique gal au travail plastique rel :

pquiquip

ikik

pW ..

La notion de fonction de charge conduit naturellement aux critres de plasticit.

3-3 Principe de Hill

Le principe de Hill, appel encore principe du travail plastique maximal, dit que ltat de

contrainte rel est, parmi lensemble des champs de contrainte statiquement admissible,

celui pour lequel le travail plastique est maximal.

Soit ik un tat de contrainte sur la surface de charge (point Q) et soit ik un accroissement de

contrainte qui cre une dformation plastique pik . Le principe de Hill permet alors d'affirmer que pour tout tat de contrainte lastique

ik* (point P), le travail plastique associ est infrieur au travail plastique associ l'tat de

contrainte ik .

pikikp

ikik ..*

On a donc :

0.

0..

*

*

p

ikikik

p

ikik

p

ikik

Or, dans l'espace des contraintes, *ikik reprsente les composantes du vecteur PQ

.

On a donc la relation :

0.

p

PQ

Cette ingalit conduit la convexit de la surface de charge.

D'autre part, on en dduit une condition importante sur la dformation plastique. Considrons en effet le cas o l'on tend

vers le point Q (situ sur la surface de charge) par deux directions opposes. On dsigne par () le plan tangent en Q la surface de

charge. Les points P et P' tant infiniment proches du point Q, on peut associer des composantes infiniment petites aux vecteurs :

PQ d P Q dik ik

et ' '

O

P(

Surface de charge

Domaine lastique

dformation plastiqueCharge ou

Dcharge ou dformation lastique

ik

ik ik

)

O

P ( ik* )

Q

ik

( ik)

( )ikp

P Q

( )p

IMPOSSIBLE




Ces deux vecteurs appartiennent bien entendu au plan tangent (). D'autre part si on considre que le point P' est le point

symtrique de P par rapport au point Q, on a :

d dik ik '

D'aprs le principe de Hill, on donc :

0. pikikd

Soit :

0. pikikd

Cette relation devant tre vraie quelque soit le point P appartenant au plan tangent (), on en dduit que le vecteur de

composante ik est perpendiculaire () en Q et est dirig vers l'extrieur. C'est la loi de normalit de la dformation plastique.

A partir de la fonction de charge, on a donc :

ik

p

ik

f

Dans cette expression, est un coefficient de proportionnalit qui dpend de ik ikd, et de .

3-4 Critre de Von-Miss

Ainsi que nous l'avons dj remarqu, il y a une relation vidente entre la fonction de charge et le critre de limite

d'lasticit. Examinons plus prcisment le cas du critre de Von-Miss.

Le critre de Von-Miss revient en fait limiter la contrainte octadrique, c'est dire J2 le deuxime invariant du tenseur

dviateur des contraintes.

23122321223322221122 2222

1

2

1

2

1sssssssssssJ ikikikkkii

2312232122113323322222112 66

1 J

Pour tenir compte du phnomne d'crouissage, nous crirons :

222

02 2, JJf ik

Dans cette expression, 0 reprsente la contrainte limite lastique quivalente (associe l'essai de traction).

L'utilisation de la loi de la normalit nous conduit au calcul suivant :

f f

s

s

ik jl

jl

ik

Avec, pour les composantes du tenseur dviateur des contraintes :

jlopopjljlmjljls 3

1

D'o :

jlikklijjlopkpioklijik

jls

3

1

3

1

Ce qui nous donne :

jlikjl

klij

jlik s

f

s

ff

3

1

Mais nous avons les relations :

ik

klij

jl s

f

s

f

( )

P

Q

P'

( )p




0332211222211

sss

s

f

s

f

s

f

s

f

s

fikikjl

jl

ikjlik

jl

D'o le rsultat :

ikikik

ss

ff

On en dduit donc pour la loi de comportement en plasticit :

ikp

ik s

3-4-1 Incompressibilit plastique

La formule prcdente nous permet de calculer la dilatation volumique plastique :

01 Js ikikikp

ik

p

Ainsi la dformation plastique pure est un dviateur. En pratique on constate effectivement que l'quivalent du coefficient

de Poisson a une valeur de 0,5 pour un comportement plastique.

3-4-2 Contrainte quivalente

L'tat de contrainte quivalent tant un tat de traction, le tenseur des contraintes associ est de la forme :

000

000

00qui

Par la fonction de charge, on peut calculer la contrainte quivalente :

2222 26

1, quiik Jf

23122321221133233222221122 62

13 Jqui

3-4-3 Expression du coefficient de proportionnalit

On rappelle que le coefficient de proportionalit est donn par la relation :

ik

p

ik

f

Sachant que d'autre part on a :

pquiquip

ikik

pW ..

On peut en dduire :

ik

ik

p

quiqui

f

.

.

Mais de plus, dans le cas du critre de Von-Miss, on peut crire :

ikikmikikikikmikikikik

ik ssssssf

.




Avec le tenseur dviateur, nous avons :

01Jsikik

On obtient :

2

23

22. quiikik

ik

ik Jssf

Ce qui nous permet d'expliciter le coefficient de proportionnalit :

qui

p

qui

2

3

3-4-4 Dformation actuelle plastique quivalente

Les expressions prcdentes nous permettent d'crire :

qui

p

qui

ikik

p

ik ss

2

3

Ce qui nous donne :

22

2

3

4

9 pquiikik

qui

p

quip

ik

p

ik ss

On obtient donc :

22

'3

4

3

2J

p

ik

p

ik

p

qui

A partir de cette formulation incrmentale, on peut alors donner l'expression de la dformation actuelle plastique

quivalente ou cumule :

t

t

p

qui

p

qui0

4- RELATIONS DE HENCKY-MISES

L'tude prcdente nous a montr que l'on pouvait relier l'tat de dformation plastique un tat quivalent en traction. Il

nous reste maintenant exploiter les rsultats de l'essai de traction pour en dduire une loi de comportement plastique.

4-1 Hypothse d'crouissage

L'quation de la surface de charge est donc :

02, 222

02 JJf ik

Comme nous avons pu le constater, le deuxime invariant du tenseur dviateur des contraintes J2 est une fonction de la

contrainte quivalente qui.

D'autre part, on formule l'hypothse que le paramtre d'crouissage dpent de la dformation plastique quivalente

quip.

On peut donc dire que la surface de charge induit des relations entre la contrainte quivalente et la dformation plastique

quivalente.

pquiquiquipqui hh 1 Ces relations nous permettent de tracer la courbe d'crouissage :




Cette courbe fait en particulier apparatre le module tangent plastique Etp qui est

l'quivalent local dans le domaine plastique du module d'Young.

Dans le cas de l'essai de traction, on a :

000

IIIIIquiIS

F

S

F

Les dformations plastiques engendres sont :

p

P

I

P

I

pP

Il

l

l

l

2

1 (incompressibilit plastique)

La dformation actuelle quivalente plastique est :

22

2

22

3

9

2 pI

p

I

p

qui

p

p

quil

l

4-2 Relations de PRANDTL - REUSS

On a donc :

qui

p

qui

ik

p

ik s

2

3

De plus l'hypothse d'crouissage nous donne :

quip

qui h

On en dduit :

p

t

qui

quiqui

p

quiE

h

'

Ce qui nous permet d'crire :

qui

p

t

qui

ik

p

ikE

s

2

3

Pour avoir la loi de comportement, il faut rajouter la partie lastique :

ikmikqui

p

t

qui

ikikEEE

s

3

1

2

3

Cette loi de comportement du domaine lastoplastique porte le nom de loi de PRANDTL-REUSS.

4-3 Relations de HENCKY - MISES

La loi prcdente est une loi incrmentale. Pour dfinir l'tat de dformation final, on est oblig de connaitre le trajet de

chargement suivi.

L'hypothse la plus simple correspond un chargement radial, c'est dire un chargement proportionnel un seul

paramtre :

qui

( )p

qui




ik

qui

cte i k ,

On peut alors intgrer les incrments de dplacement. Par exemple, pour le calcul de la dformation linaire dans la

direction X1 on a :

3322113322

1111

1

20

E

ht

tqui

qui

Pour la distortion angulaire :

121212

1

2

3

0

E

ht

tqui

qui

A partir de ces formules, on peut dfinir le graphique suivant :

On peut en dduire la relation :

E

h

E qui

qui

S

11

Cette relation nous conduit alors aux formules de Hencky - Miss

t

t

S

qui

Squi

S

t

t

S

qui

Squi

S

t

t

S

qui

Squi

S

t

t

S

qui

Squi

S

t

t

S

qui

Squi

S

t

t

S

qui

Squi

S

t

tij

qui

quiS

qui

Squi

S

ij

ij

E

EEh

E

E

EEh

E

E

EEh

E

E

EEh

E

E

EEh

E

E

EEh

E

IE

h

E

EEh

E

0

0

0

0

0

0

0

2

)(1

2

)(1

2

)(1

2

)(1

2

)(1

2

)(1

2

)(

2

)(1

1212

3131

2323

22333333

11222222

33221111

1

5- EXEMPLES

5-1 Exemple dans le cas d'un essai de traction

Le tenseur des contraintes est de la forme :

qui

e

qui




000

000

00

avec S

F

Les formules prcdentes nous montrent que les directions principales restent fixes. De plus nous avons :

t

t

S

qui

Squi

S

t

t

S

t

t

E

EEh

E

E

00

0

3322

11

2

)(

On peut alors dfinir un coefficient de Poisson rationnel :

EEEh S

qui

Squi

t

t

t

t

2

)(

0

0

11

22

Ce qui nous donne dans un systme d'axe quelconque :

ijS

ij

S

t

tij I

EE

1

1

0

Ces formules rappellent les formules d'lasticit linaire.

5-2 Traction et torsion d'un tube mince

On considre un tube d'paisseur e0 et de longueur l0 en dimensions initiales

00 le . Ce tube tant soumis une sollicitation combine de traction et torsion, les dimensions sont e et l un instant donn. L'tat de contrainte est de la forme :

zr EEE

,,0

00

000

Pour les dformations actuelles on a :

zr EEEl

l

l

r

l

r

r

re

e

,,

20

20

00

Au cours de l'exprience, on mesure la longueur l et l'angle .

Les relations de Prandtl et Reuss nous donnent :

E Er

zE




E

h

l

r

E

h

l

l

qui

quiqui

z

qui

quiqui

zz

1)('

2

3

2

)('

Trs souvent on prend la fonction h sous la forme suivante :

quimemquipqui hA Dans cette formule, les coefficients A et m sont des constantes dtermines exprimentalement.

On obtient :

1' mquiqui mAh

D'o les quations :

EmA

l

rE

mAl

l

qui

m

qui

qui

m

qui

1

2

3

2

2

2

Pour intgrer ces relations, nous allons considrer un chargement en deux tapes.

Premire tape : Traction seule

Les quations nous donnent :

0

1

EmA

l

l m

D'o:

E

ActeE

Al

l

l

l me

ml

l

m

1

00

1ln

Deuxime tape : Traction constante et torsion

La contrainte quivalente est alors :

2

2

22 31622

1

qui

Pour pouvoir intgrer, on effectue le changement de variable :

3u

D'o :

2

2

1

1

u

udqui

On a alors :

223

2 112

uduAm

l

l mm




Ainsi, le couple de torsion contribue un allongement axial non nul. On obtient :

111

ln 21

2

1

mm

um

Am

l

l

D'autre part, on peut calculer l'angle de torsion :

E

uuduAum

l

r mm

1

311

4

3

2

22

32

En considrant que l'on a :

l

r

l

r

l

r

222 00

On obtient :

E

uduuuAm

l

r mu

1

31

2

3

22

32

0

2




LES ETATS D'APPROXIMATIONS

Les tats d'approximations permettent d'obtenir un encadrement numrique de la solution d'un problme mcanique. On

joue sur la dualit contrainte - dformation dans la description de l'nergie de dformation.

En fait on dmontre que pour un problme pos, la solution est soit celle qui minimise une fonctionnelle d'un sous-espace

des tenseurs dformations, soit celle qui maximise une autre fonctionnelle d'un sous-espace des tenseurs contraintes.

Afin de fixer les ides, nous allons traiter un exemple intgrant une loi de comportement plastique.

1- PLASTICITE PARFAITE

1-1 Matriau lastique parfaitement plastique

Les relations de Hencky-Miss sont relativement gnrales et elles permettent de traiter de nombreux problmes.

Toutefois, elles sont d'une mise en oeuvre relativement complique et elles sont mal adaptes la recherche d'une solution

numrique rapide et approche.

L'inconvnient majeur provient de la complexit de la formulation numrique de la loi de comportement. Lorsque l'on

cherche tablir rapidement une solution, il peut tre intressant de changer la modlisation de la loi de comportement. La

formulation la plus simple permettant de prendre en compte le phnomne de plasticit est la modlisation du matriau lastique

parfaitement plastique.

Exprimentalement on constate que les dformations

plastiques engendres par un accroissement de contrainte sont

beaucoup plus leves que les dformations lastiques. On peut donc

considrer que la courbe d'crouissage est approximativement une

droite horizontale (crouissage nul).

Ce modle prsente d'une part l'avantage d'tre scurisant

par rapport la ralit, d'autre part il traduit relativement bien le cas

des matriaux prsentants un palier d'coulement.

Considrons le cas d'une structure hyperstatique laquelle on impose des forces extrieures croissantes

proportionnellement un facteur de charge unique (cas d'un chargement radial). Cette

structure est ralise avec un matriau lastique parfaitement plastique.

Tant que le chargement est relativement faible, les dformations engendres

restent dans le domaine lastique. Le paramtre de charge est alors infrieur une

valeur limite :

e

Ds que l'on dpasse cette valeur limite, la plasticit apparat, mais elle reste contenue par les dformations lastiques.

Progressivement des mobilits internes dues des zones plastifies vont apparatre. A partir d'une valeur seuil pour le paramtre, le

systme se transforme en mcanisme :

s

On obtient alors le phnomne de ruine.

Si on a un chargement n paramtres ( , ... )i i n1 , l'ensemble des chargements seuils forment une surface dans l'espace

n dimensions. C'est la frontire d'coulement du systme.

e

qui

qui

F

p




1-2 Matriau rigide parfaitement plastique

Les dformations lastiques tant trs faibles devant les

dformations plastiques, on peut trs ignorer la phase lastique

dans le chargement. Le modle de loi de comportement devient

alors le modle rigide parfaitement plastique.

Ce modle est encore plus simple que le prcdent car il

ne ncessite aucun calcul de type lastique.

1-3 Rotule plastique

1-3-1 Elastique parfaitement plastique

Considrons le cas d'une poutre droite sollicite en flexion pure (effort tranchant nul). Dans une section d'abscisse x le

moment de flexion est fM . On peut alors associer un tat de contrainte. Si on considre que le chargement est radial, le moment

de flexion est proportionnel au paramtre de chargement . Pour les valeurs du paramtre faibles, l'tat de contrainte est lastique. Lorsque augmente, on atteint la contrainte d'coulement plast

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COURSPLA-2008