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SITI, Dept. IMATH
CSC105
QCM sur les pre-requis
Pour suivre ce cours, vous aurez besoin de certaines connaissances mathematiquesque l’on s’efforcera de vous rappeler au fur et a mesure mais il est fortement conseillede revoir celles qui vous semblent trop lointaines.Voici quelques tests pour vous aider a evaluer votre niveau.Ce sont
soit des questions de cours,
soit des questions de deduction a partir du cours, ne necessitant pas decalcul mais un peu de reflexion pour determiner la bonne reponse et/oueliminer les reponses incorrectes.
soit des questions necessitant quelques calculs intermediaires pourdeduire les resultats (munissez vous de papier et crayons)
Vous devez pouvoir y repondre sans regarder le cours.Si cela n’est pas encore le cas, revoyez le cours, comprenez bien les reponses etrecommencez le QCM dans quelques temps, sans le cours.
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
Instructions pour un QCM :Pour debuter l’exercice, cliquer sur Debut, puispour chaque question, cliquer sur la case de la reponse qui vous semble cor-recte (vous pouvez modifier votre reponse en cliquant sur une autre case),enfin, cliquer sur Fin pour avoir votre note (1 point par question).
Cliquer pour acceder :
Test sur les complexes (quelques rappels)
Test sur les matrices
Test sur les series (quelques rappels)
Test sur l’integration (quelques rappels)
Test sur les equations differentielles
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
Debut du QCM sur les complexes (cliquer sur l’encadre pour commencer)
Soient x , y , r des reels, i l’imaginaire pur et le complexe z = x + i y .
1. Cocher une relation correcte ?
i2 = 1 i2 = −1 i2 = −i
2. Que vaut r , le module de z ?√x2 + y2 x + y x
3. Que vaut θ, la phase de z ? :
y tan(x/y) Atan(y/x)
4. Que vaut z, le complexe conjugue de z ?
x − i y r e− i θ r e2 i θ
5. Que vaut zn (n entier) ?
xn + i yn rnei n θ
rn(cos(nθ) + i sin(nθ))
6. Que vaut z − z ?
2r 2x 2 i y
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
7. Que vaut z z ?
x2 r2 1
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
8. Indiquer la partie relle, Re(z)), et la partie imaginaire, Im(z), de z :
(a) z = (3 + 4i) + (1− 2i){Re(z) = 3Im(z) = 8
{Re(z) = 11Im(z) = −2
{Re(z) = 4Im(z) = 2
(b) z = (3 + 4i)(1− 2i){Re(z) = 3Im(z) = 8
{Re(z) = 11Im(z) = −2
{Re(z) = 4Im(z) = 2
(c) z =3 + 4i1− 2i{
Re(z) = −1Im(z) = 2
{Re(z) = 11Im(z) = −2
{Re(z) = 4Im(z) = 2
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
(d) z = log(rei θ){Re(z) = log(r)cos(θ)Im(z) = log(r)sin(θ){Re(z) = log(r)Im(z) = θ{Re(z) = log(r)Im(z) = log(θ)
9. Cocher les bonnes expressions des complexes representesdans le plan complexe ci-contre (r ∈ R+, θ ∈ R+) R
Im
z
θ
zz
z
z
z1
2
3
4
5 6
r
(a) z2 = reiθ z2 = r z2 = −r z2 = i r z2 = rei π2
(b) z4 = r z4 = −r z4 = i r z4 = reiθ z4 = reiπ
(c) z5 = re−iθ z5 = z∗6 z5 = z∗3 z5 =reiθ+i2π
z5 =reiθ+iπ
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
Fin du QCM (cliquer pour avoir votre score) Pourcentage :
Pour avoir la correction de ce test, cliquezsur et retournez aux pages des
questions du test pour voir les corrections.
Legende de la correction :8 : votre reponse etait incorrecte,4 : votre reponse etait correcte,l indique une solution correcte.
[7]qz1
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
Debut du QCM sur les matrices (cliquer sur l’encadre pour commencer)
1. Soient A =
(2 00 1
)et B =
(2 03 1
). Cocher les reponses correctes :
(a) Que vaut le determinant de A ?
det(A) = 3 det(A) = 2 det(A) = 1 det(A) = 0
(b) Quelles sont les valeurs propres de A ?
aucune 0 1, 2 0, 1, 2
(c) A est-elle inversible ?
oui non
(d) Que vaut le determinant de B ?
det(B) = 3 det(B) = 2 det(B) = 1 det(B) = 0
(e) Quelles sont les valeurs propres de B ?
aucune 0 1, 2 0, 1, 2
(f) B est-elle diagonalisable ?
oui non
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
2. Soient A =
(0 1−1 0
)et B =
(2 14 2
). Cocher les reponses correctes :
(a) Que vaut le determinant de A ?
det(A) = −1 det(A) = 0 det(A) = 1 det(A) = 2
(b) Quelles sont les valeurs propres de A ?
aucune 1 1,−1 i,−i
(c) A est-elle inversible ?
oui non
(d) A est-elle diagonalisable dans R?
oui non
(e) Que vaut le determinant de B ?
det(B) = 4 det(B) = 2 det(B) = 1 det(B) = 0
(f) Quelles sont les valeurs propres de B ?
aucune 1, 2 2, 4 0, 4
(g) B est-elle inversible ?
oui non
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
(h) B est-elle diagonalisable ?
oui non
3. Soient A =
(1 32 0
). Cocher les reponses correctes :
(a) Quelles sont les valeurs propres de A ?
0, 3 1, 3 2, 3 −2, 3
(b) Un vecteur propre associe a la valeur propre 3 est :
(1, 0) (3, 2) (2, 3) (1, 1)
Fin du QCM (cliquer pour avoir votre score) Pourcentage :
Pour avoir la correction de ce test, cliquezsur et retournez aux pages des
questions du test pour voir les corrections.
Legende de la correction :8 : votre reponse etait incorrecte,4 : votre reponse etait correcte,l indique une solution correcte.
[7]qalg
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
Debut du QCM sur les series (cliquer sur l’encadre pour commencer)
1. Etudier la nature (convergente ou divergente) de la serie de terme general un pour
(a) un =43n
convergente divergente
(b) un =1n
convergente divergente
(c) un =(−1)n
nconvergente divergente
(d) un =2n2 − 1
nconvergente divergente
(e) un =2n − 1n3 + 3
convergente divergente
(f) un =2
√2n + 3
convergente divergente
(g) un = cos(1√
2n) convergente divergente
(h) un =sin(an)
n2convergente divergente
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
2. Indiquer le rayon de convergence de la serie entiere
(a)∑n≥0
1n!
xn R = 1 R = +∞ R = 2
(b)∑n≥0
n2xn R = 1 R = +∞ R = 2
(c)∑n≥0
xn
2n R = 1 R = +∞ R = 2
(d)∑n≥0
x3n+1
3n + 1R = 1 R = +∞ R = 3
(e)∑n≥0
n!xn R = 0 R = +∞ R = 1
(f)∑n≥0
n2 + 4n − 1n!
xn R = 1 R = +∞ R = 2
3. Indiquer la somme de la serie entiere
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
(a)∑n≥0
xn
n!= 1
1− xln(1− x) ex
(b)∑n≥0
xn = 11− x
ln(1− x) ex
(c)∑n≥0
1n + 1
xn+1 = cos(x) ln(1− x) ex
(d)∑n≥0
(−1)n
(2n)!x2n = cos(x) ln(1− x) ex
(e)∑n≥0
(−1)n x2n+1
2n + 1= cos(x) sin(x) Arctan(x)
Fin du QCM (cliquer pour avoir votre score) Pourcentage :
Pour avoir la correction de ce test, cliquezsur et retournez aux pages des
questions du test pour voir les corrections.
Legende de la correction :8 : votre reponse etait incorrecte,4 : votre reponse etait correcte,l indique une solution correcte.
[7]qserie
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
Debut du QCM sur l’intgration (cliquer sur l’encadre pour commencer)
Cocher les reponses correctes , a, b et A sont des nombres reels :
1. a 6= 0,∫ A
−Asin(ax)dx =
non definie 0 1 2π
2. a 6= 0,∫ ∞
0sin(ax)dx =
non definie 0 1 2π
3. a 6= 0,∫
sin(ax)cos(ax)dx =
cos(ax)2 cos(ax)(sin(ax))2
2a(cos(ax))2
2a
4. a 6= 0,∫
ei a x dx =
−ei a x
a−i
ei a x
a−a ei a x
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
5. a 6= 0,∫ A
−Aei a x dx =
2sin(a A)
a0
ei a A
a
6.∫
eibx eiax dx =
1a+b (cos((a + b)x) + isin((a + b)x) 1
a+b (sin((a + b)x)− icos((a + b)x)
7. a 6= 0,∫
(x2 + bx + 1)ei a x dx =
[x2 +(b− 2ia )x +1− 2
a2 − bia ]
ei a x
ia+A −[ x3
3 + bx2
2 + x ]ei a x
a+ A
Fin du QCM (cliquer pour avoir votre score) Pourcentage :
Pour avoir la correction de ce test, cliquezsur et retournez aux pages des
questions du test pour voir les corrections.
Legende de la correction :8 : votre reponse etait incorrecte,4 : votre reponse etait correcte,l indique une solution correcte.
[7]qintegr
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
Debut du QCM sur les equations differentielles (cliquer sur l’encadre pour commencer)
On note : A et B des constantes quelconques, y ′(t) = dydt (t), y ′′(t) = d2y
dt2 (t).Cocher les reponses correctes :
1. Quelle est la solution de y ′(t) + y(t) = 0 ?
y(t) = A y(t) = Ae−t y(t) = Aet
2. Quelle est la solution de y ′(t) + y(t) = 3 ?
y(t) = 3 + Ae−t y(t) = 3Ae−t y(t) = Ae−t + 3t
3. Quelle est la solution de y ′(t) + y(t) = t ?
y(t) = t + Ae−t y(t) = t − 1 + Ae−t y(t) = A(t + 1)e−t
4. Quelle est la solution de y ′(t) + y(t) = e−t ?
y(t) = t + Ae−t y(t) = t − 1 + Ae−t y(t) = A(t + 1)e−t
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
5. Quelle est la solution de y ′(t) + y(t) = t + e−t ?
y(t) = t + Ae−t y(t) = t − 1 + Ae−t y(t) =A(t + 1)e−t + t − 1
6. Quelle est la solution de y ′′(t)− 2y ′(t) + y(t) = 0 ?
y(t) = Aeit + Be−it y(t) = Aet + Be−t y(t) =Acos(2t) + Bsin(2t)
7. Quelle est la solution de y ′′(t) + 2y ′(t) + y(t) = 0 ?
y(t) = Aeit + Be−it y(t) = Aet + Be−t y(t) =Acos(2t) + Bsin(2t)
Fin du QCM (cliquer pour avoir votre score) Pourcentage :
Pour avoir la correction de ce test, cliquezsur et retournez aux pages des
questions du test pour voir les corrections.
Legende de la correction :8 : votre reponse etait incorrecte,4 : votre reponse etait correcte,l indique une solution correcte.
[7]qeqd
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
SITI, Dept. IMATH
C’est tout pour le moment en QCM.
Suivez les conseils donnes et continuez reviser
Bon travail
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
Petit rappel de cours sur les complexes
R
Im
+z
r q
x
ySoient i l’unit imaginaire et z un nombre complexe,i est la racine carree canonique de −1 (ou encore i2 = −1).
Les representations :. la representation cartesienne : z = x + i y ,
avec x la partie reelle de z et y sa partie imaginaire,. la representation polaire : z = r eiθ = r (cos(θ) + i sin(θ)),
avec r le module de z et θ sa phase(on rappelle la relation d’Euler : eiθ = cos(θ) + i sin(θ)).
La phase est definie modulo 2π puisque eiθ = ei(θ+2kπ) ∀k ∈ Z
Egalite de 2 complexes : z = x + i y = r eiθ, z′ = x ′ + i y ′ = r ′ eiθ′
. ils ont meme partie reelle et meme partie imaginaire : z = z′ ⇔ (x = x ′, y = y ′)
. ils ont meme module et meme phase (modulo 2π) : z = z′ ⇔ (r = r ′, θ = θ′[2π])
Operations : comme dans R en utilisant i2 = −1 et (x + iy)(x − iy) = x2 + y2 pourdistinguer partie reelle et partie imaginaire, ou les proprietes de l’exponentielle (pour lepolaire).Complexe conjuge z∗ de z = x + i y : z∗ = x − i y = re−i θ
z + z∗ = 2Re(z) = 2x , z − z∗ = 2Im(z) = 2y
z z∗ = |z|2 = r2 ,zz∗
=reiθ
re−iθ= ei2θ
Logarithme de z : log(z) = log(reiθ) = log(r) + iθF. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
Petit rappel de cours sur les suites et series
Suite de fonctions et convergence :(fn) une suite de fonctions definies sur Df et [a, b] ⊂ Df ,Convergence ponctuelle (ou simple) :
. la suite converge ponctuellement (ou simplement) en x ∈ [a, b] si la limn→∞
fn(x)
existe et est finie en x ∈ [a, b].
. si la suite converge ponctuellement en x , ∀x ∈ [a, b], la suite (fn) convergeponctuellement vers la fonction f definie sur [a, b] par f (x) = lim
n→∞fn(x), ce qui
s’ecrit : limn→∞
|fn(x)− f (x)| = 0 ∀x ∈ [a, b]
. Remarque : la continuite des fn n’implique pas la continuite de la limite f .
Convergence uniforme :
. la suite converge uniformement sur [a, b] si limn→∞
supx∈[a,b](|fn(x)− f (x)|) = 0
. si la suite converge uniformement alors elle converge ponctuellement.
. la continuite des fn implique la continuite de la limite f ;donc si les fn sont continues et la limite f est discontinue, la convergence n’est pasuniforme.
. si convergence uniforme alors, pour [a, b] borne,
limn→∞
∫ b
afn(x)dx =
∫ b
alim
n→∞fn(x)dx
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
. si les fn sont C1([a, b]), si (f ′n) converge uniformement vers g sur [a, b], si∃c ∈ [a, b] tq lim
n→∞fn(c) = lc , alors (fn) converge uniformement vers f sur [a, b]
avec g = f ′ et f (c) = lc : la fonction derivee de la limite est egale a la fonctionlimite des derivees.
Serie numerique :
la serie de terme general uk est∞∑
k=0
uk
. la serie est dite convergente si la suite des sommes finies Sn =n∑
k=0
uk converge
versune valeur finie, alors appelee somme de la serie.
. si la serie converge alors limn→∞
un = 0 ; donc si limn→∞
un 6= 0, la serie diverge.
attention : limn→∞
un = 0 n’est pas une condition suffisante de convergence de la
serie.
. si 2 series sont convergentes, la serie somme converge vers la somme dessommes.
. si 2 series sont convergentes, la serie produit converge vers le produit dessommes.
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
Suite geometrique de raison a :
Sn =n∑
k=0
ak =1− an+1
1− a, la serie
∞∑k=0
ak
converge vers1
1− apour |a| < 1
diverge pour |a| ≥ 1
Serie de Riemann∞∑
k=0
1kα
{converge pour α > 1diverge pour α ≤ 1 ,
la serie harmonique∞∑
k=0
1k
diverge donc.
Serie a termes positifs :
. si 0 ≤ un ≤ vn ou siun+1
un≤
vn+1
vn∀n ≥ no alors
∞∑k=0
vk converge⇒∞∑
k=0
uk converge et∞∑
k=0
uk diverge⇒∞∑
k=0
vk diverge
. si 0 ≤ k ≤un
vn≤ k ′ ou si lim
n→∞
un
vn= l 6= 0 alors les 2 series sont de meme
nature.
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
. Regle de d’Alembert : si un > 0 et limn→∞
un+1
un= l alors{
si 0 ≤ l < 1, la serie converge,si l > 1, la serie diverge.
(si l=1 on ne peut conclure par cette regle)
. Regle de Cauchy : si un > 0 et limn→∞
u1/nn = l alors{
si 0 ≤ l < 1, la serie convergesi l > 1, la serie diverge.
(si l=1 on ne peut conclure par cette regle)
Serie a termes complexes : un = an + i bn
. la convergence de∞∑
k=0
uk ⇔ les convergences de∞∑
k=0
ak et∞∑
k=0
bk
. si la serie est absolument convergente (∞∑
k=0
|uk | convergente) alors la serie est
convergente.. en polaire un = ρnvn avec ρn > 0, si, pour tout n entier, |
n∑k=0
vk | ≤ Cte
(indpendante de n) et si la suite (rn) est decroissante de limite 0, alors la serie∞∑
k=0
uk est convergente.
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
Serie entiere : (reelle ou complexe)
. le rayon de convergence de la serie∞∑
k=0
ak zk , est le nombre R ≥ 0 (qui peut etre
infini) tel que la serie converge absolument pour tout z verifiant |z| < R, et divergesinon.
. Lemme d’Hadamard :par le critere de d’Alembert (ou de Cauchy) :
si limn→∞
|an+1
an| = a (ou lim
n→∞u1/n
n = a) alors R = 1/a
. la somme de 2 series entieres, de rayon de convergence respectivement R1 etR2, est une serie entiere de rayon de convergence R = inf (R1,R2) si R1 6= R2, ouR ≥ R1 = R2.
. ∀N entier, la somme finie SN (z) =N∑
k=0
anzn converge uniformement vers
S(z) =∞∑
k=0
ak zk sur [−r , r ] pour tout r , tel que 0 < r < R.
. la fonction S(z) =∞∑
k=0
ak zk est continue et indefiniment continuement derivable
sur ]− R,R[.
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
. la serie pme-derivee S(p)(z) =∞∑
k=0
(k + p)!
p!k!ak zk a meme rayon de convergence
que S(z) =∞∑
k=0
ak zk .
. la serie derivee∞∑
k=1
kak zk−1 a meme rayon de convergence que S(z) =∞∑
k=0
ak zk
et sa somme, fonction derivable sur ]− R,R[ est egale S′(z),
S′(z) =∞∑
k=1
kak zk−1.
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
Petit rappel de cours sur l’integration
Primitives∫
f (x)dx :pour f definie sur I ⊂ R. F , une primitive de f sur I est une fonction derivable verifiant F ′(x) = f (x) pour
tout x interieur I.
. Si F est une primitive de f , F+ Constante est aussi une primitive de f .
Integrales :
Integrale sur un intervalle borne : pour f definie sur [a, b] intervalle borne,
. Si f est continue sur [a, b] (ou continue par morceaux) alors∫ b
a f (x)dx est definie.
. si f admet une primitive F sur [a, b] alors l’integrale∫ b
a f (t)dt = F (b)− F (a)
Integrale generalise :∫∞
a f (x)dx ou∫ b−∞ f (x)dx ou
∫∞−∞ f (x)dx :
. si f definie sur [a,∞[ et | limA→∞
∫ A
af (t)dt | <∞ : l’integrale est convergente
(sinon diverge).
Integrale generalisee :∫ b
a f (x)dx pour f definie sur [a, b[ ou ]a, b] ou ]a, b[
. si f definie sur [a, b[ et | limx→b−
∫ x
af (t)dt | <∞ : l’integrale est convergente
(sinon diverge).
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
Criteres de convergence (ou divergence) :
. Riemann :∫ ∞a
1tα
dt converge pour α > 1 (sinon diverge),∫ b
0
1tα
dt converge pour α < 1 (sinon diverge)
. majoration : si ∀x ∈ [a, b], 0 ≤ f (x) ≤ g(x) alors 0 ≤∫ b
af (t)dt ≤
∫ b
ag(t)dt ,
donc :
si∫ b
ag(t)dt converge alors
∫ b
af (t)dt converge et si
∫ b
af (t)dt diverge,
∫ b
ag(t)dt
aussi.
. comparaison : si f et g definie sur [a, b[ et limx→b−
f (x)
g(x)= 1
alors∫ b
a f (t)dt et∫ b
a g(t)dt sont de meme nature.
Calcul de∫ b
a f (x)dx lorsqu’elle converge :
. par les primitives :∫ b
af (x)dx = F (b)− F (a)
F. Santi : CSC 105 -SITI - IMATH
. par changement de variables :∫ b
af (x)dx =
∫ β
αf (u(t)) u′(t)dt
avec x = u(t) o u est une fonction definie sur [α, β], derivable et bijective de [α, β]sur [a, b] et telle que u(α) = a et u(β) = b.
. par integration par parties :∫ b
au(x)v ′(x)dx = [u(x)v(x)]ba −
∫ b
au′(x)v(x)dx
(decoule de la formule de derivation d’un produit (uv)′ = u′v + uv ′)
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