Daniel Bernoulli Mécanique des Milieux Continus mercredi 17 juin 2015... · Notion de solide fS (P) P,(dS ) ∂S M ,(dV ) fv (M) (S) Un solide (S) est en équilibre sous l'action

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Daniel Bernoulli

Conservatoire National des Arts et Métiers Région Centre-Val de Loire

Ecole de calculs IN2P3 2015

Mécanique des Milieux Continus

Vecteur Force

Vecteur Contrainte

Opérateur des Contraintes


Notion de solide

)(Pf S )(, dSP

S∂

)(, dVM

)(Mfv

(S) Un solide (S) est en équilibre

sous l'action de deux types de forces extérieures :

Densité volumique )(Mf v (en N/mm3 )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dVMfdVgMgdVMgMdmMdP v==== ρρ( ) ( ) gMMfv ρ=

Densité surfacique (en N /mm² )

)(Pf s

)(PfS

( ) ( )SdF P f P dS=��


Notion de coupure

π

)( 1S

)( 2S

dF

n

)( 2S

)(, dSP

)( 2S

Un plan � partage le solide (S) en deux parties )( 1S et )( 2S

n vecteur unitaire orthogonal au plan �


Vecteur contrainte

0

( )( , ) lim

dS

dF PT P n

dS→=

��

��

�

Vecteur contrainte au point P relativement à la direction n

),(),( nPTnPT −−=

' '( , ) . ( , ) .T P n n T P n n=��

��

� �

Propriétés :


Contrainte Normale et Contrainte Tangentielle

n

),( nPTnT

tTP

dS

( , ) n tT P n T n T= +��

� � ��

Tn Contrainte normale

Tt Contrainte tangentielle


Opérateur des contraintes coupure suivant axe 1

Richard Hooke

1x��

2x��

1n x=� ��

( )1,T P x��

��

P

1x��

1 11 1 12 2 13 3( , )T P x x x xσ σ σ= + +��

��

•facette

:

Facette



1x��

2x��

2n x=� ��

( )2,T P x��

��

P

2x 3232221212),( xxxxPT σσσ ++=

•facette

:

Facette



Richard Hooke

1x��

2x��

3n x=� ��

( )3,T P x��

��

P

3x��

3 31 1 32 2 33 3( , )T P x x x xσ σ σ= + +��

��

•facette

:

Facette


Opérateur des contraintes coupure axe quelconque

Richard Hooke

1x��

2x��

n�

P

n�

1 1 2 2 3 3( , )T P n T x T x T x= + +��

� ��

:

Facette

Avec 1 1 2 2 3 3n n x n x n x= + +

� ��

( , )T P n��

�


Mise en évidence de l’opérateur des contraintes

313212111111 .),(.),( nnnnxPTxnPTT σσσ ++===



En appliquant le théorême de Cauchy il est aisé de montrer

( ) ( ) ( )3,2,13,2,132

3

2

1

333231

232221

131211

,,3

2

1

xxxxxx

n

n

n

T

T

T

xxx

=

σσσσσσσσσ

Système d ’équations qui sous forme matricielle s’écrit


Opérateur des contraintes

Jacques Bernoulli

colonne

( )321 ,,3

2

1

xxxT

T

T

3,2,1

3

2

1

.

xxx

n

n

n

( )[ ]Pσ

( )

( ), ,1 2 3

11 12 13

21 22 23

31 32 33x x x

P

σ σ σσ σ σ σ

σ σ σ

= ��

=

( , )T P n��

�

n�

( , ) ( )T P n P nσ =

��

� �

Représentant matriciel de

Représentant matriciel de

Opérateur des contraintes (ou tenseur ou matrice ..!!)


Symétrie de l’opérateur des contraintes

Sir George Gabriel Stokes

1221 .),(.),( xxPTxxPT = ⇒ 2112 σσ =

2332 .),(.),( xxPTxxPT = ⇒ 3223 σσ =

3113 .),(.),( xxPTxxPT = ⇒ 1331 σσ =

En appliquant le théorème de Cauchy :

Donc le représentant matriciel de l’opérateur des contraintes

est une matrice 3x3 symétrique

( )

( ), ,1 2 3

11 12 13

21 22 23

31 32 33x x X

P

σ σ σσ σ σ σ

σ σ σ

= ��


Exemple

( )1 2 3

7

, ,

5 2 0

( ) 2 3 0 10

0 0 0x x x

P Paσ = − ��

Faire une représentation graphique

de cet état de contrainte

autour du point P


Exemple

Torricelli Evangelista

1x

P 1xn ≡522x��

[ ][ ]( ) ( ) ( )

27

17

,,

7

,,,,

11 102105

0

2

5

10

0

0

1

000

032

025

)(),(

321321321

xxxPxPT

xxxxxxxxx

+=

=

−== σ

Pour un facette de normale l’axe 1

1x��


Ecrouissage Dislocations


Pour un facette de normale l’axe 2

[ ][ ]( ) ( ) ( )

27

17

,,

7

,,,,

22 103102

0

3

2

10

0

1

0

.

000

032

025

)(),(

321321321

xxxPxPT

xxxxxxxxx

−=

−=

−== σ

2x

1x

2xn ≡

P

-3

2

à 107 Pa


Exemple


P

1x

2x-2

2

-2

2

3

-3

-5 5

Afin de mieux visualiser la réalité physique de l’opérateur des contrainte

il faut isoler un élément de volume autour du point P

P

2-3

-5 5

P-2

2

-2

2

Effet des contraintes normales Effet des contraintes tangentielles

2


Contraintes et Directions principales

Thomas Watt

Le représentant matriciel de l’opérateur des contraintes étant une matrice 3x3 symétrique,

Il existe donc trois valeurs propres et vecteurs propres orthogonaux

A partir de ( )

( ), ,1 2 3

11 12 13

21 22 23

31 32 33x x x

P

σ σ σσ σ σ σ

σ σ σ

= ��

Il existe une base orthonormée ( ), ,1 2 3X X X��

Dans laquelle, le représentant matriciel

de l’opérateur des contraintes devient :

( )

( ), ,1 2 3

1

2

3

0 0

0 0

0 0X X X

P

σσ σ

σ

= ��


Exemple

( )

( ), ,1 2 3

6 2 0

2 3 0

0 0 0x x x

Pσ = ��

P

1x

-2

2

-2

2

-3

3

-6 6

2

1X

°≈ 27θ

1x

2x2X

( )

( ), ,1 2 3

7 0 0

0 2 0

0 0 0X X X

Pσ = ��

-2

2

-7

72

1X

2X


Utilité de la connaissance des contraintes et directions principales

Coulomb Charles

1 2 3Suivant X , X et X le materiau ne travaille qu'en traction ou compression��

Si ( )

( ), ,1 2 3

1

2

3

0 0

0 0

0 0X X X

P

σσ σ

σ

= ��

Alors si matériau fragile ( )i eMax σ σ≤

Sinon rupture dans un plan orthogonal à 3X��

Et si matériau ductile ( )i J eSup σ σ σ− ≤

Sinon plan de glissement à 45° des directions Xi��

Xj��

et


Conclusion

Voir exemples d’application avec RDM 6

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