Département de Génie Mécanique MEMOIRE DE MASTER · MEMOIRE DE MASTER PRESENTE POUR OBTENIR LE DIPLOME DE MASTER Spécialité : Mécanique Option: Maintenance Industrielle PAR

RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTÈRE DE L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR

ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITÉ KASDI MERBAH OUARGLA

FACULTE DES SCIENCES ET DE TECHNOLOGIE ET DES SCIENCES

DE LA MATIERE

Département de Génie Mécanique

MEMOIRE DE MASTER PRESENTE POUR OBTENIR LE DIPLOME

DE MASTER

Spécialité : Mécanique

Option : Maintenance Industrielle

PAR

DEBBACHE Abdellatif

BENGLIA Mohammed Bakar

___________________

Optimisation Multi-Passe des Régimes de Coupe

En Chariotage

___________________

Soutenu juin 2011

Devant le jury :

S.ZIARI M.A.A UNIVERSITE D’OUARGLA Pré Président

M.BOUKHATEM M.A.A UNIVERSITE D’OUARGLA Exami Examinateur

R.BELAKROUM M.C.A UNIVERSITE D’OUARGLA Examin Examinateur

A. BELLOUFI M.A.B UNIVE UNIVERSITE D’OUARGLA En Encadreur

ANNEE UNIVERSITAIRE 2010 / 2011

Dédicace

À la science,

À nos parents,

À nos familles,

À nos amis.

Remerciement

Remerciement

Premièrement nous remercions le dieu notre créateur.

Nous remercions particulièrement notre promoteur Mr Belloufi Abderrahim

pour son aide précieuse, sa patience et ses encouragements.

Nous voulons également remercier Mr Ziari Saber pour nous avoir fait

l’honneur de présider le jury de notre mémoire

Nos remerciements vont également aux Mrs M. BOUKHATEM et

R.BELAKROUM pour s’être intéressé à ce travail et d’avoir bien voulu n’honorer

de leur présence dans ce jury.

Nos remerciements s’adressent également à : Mr Tejini Zakaria, Mr Abdullah

islam Kafi et Mr Salah Tlili.

Nos remerciements s’adressent également à tous ce qui n’ont aidé et n’ont

permis de faire aboutir ce travail,

Table des Matières

Table des matières

Introduction générale………………………………………………………………………………...1

Chapitre I

Généralité sur le Tournage

I.1 Introduction ......................................................................................................................................... 2

I.2 Définitions........................................................................................................................................... 2

I.2.1 Le tournage .................................................................................................................... 2

I.2.2 Principe de tournage ...................................................................................................... 3

I.2.3 Les tours ........................................................................................................................ 3

I.2.4 Classification des machines de tour .............................................................................. 4

I.2.4.1 Les tours parallèles à charioter et à fileter .............................................................. 4

I.2.4.2 Les tours à copier .................................................................................................... 4

I.2.4.3 Les tours semi-automatiques .................................................................................. 4

I.2.4.4 Les tours automatiques ........................................................................................... 5

I.2.4.5 Les tours automatiques multibroches ..................................................................... 5

I.2.4.6 Les tours à commande numérique .......................................................................... 5

I.2.5 Différentes opérations de tournage: ............................................................................. 5

I.2.5.1 Chariotage ............................................................................................................... 5

I.2.5.2 Alésage ................................................................................................................... 6

I.2.5.3 Dressage .................................................................................................................. 6

I.2.5.4 Perçage .................................................................................................................... 6

I.2.5.5 Rainurage ................................................................................................................ 6

I.2.5.6 Chanfreinage ........................................................................................................... 7

I.2.5.7 Tronçonnage ........................................................................................................... 7

I.2.5.8 Filetage ................................................................................................................... 7

I.3 Conditions de coupe en tournage ........................................................................................................ 7

I.3.1 Vitesse de coupe ............................................................................................................ 8

I.3.2 Vitesse d’avance fV , Avance par tour f .................................................................... 9

I.3.2.1 Les types d’avances ................................................................................................ 9

I.3.3 Profondeur de passe « a » ............................................................................................ 10

I.4 Paramètres géométriques de coupe ................................................................................................... 11

I.5 Éléments d’outil ................................................................................................................................ 11

I.5.1 Faces et arêtes de l’outil .............................................................................................. 12

I.5.2 Angles de l’outil .......................................................................................................... 13

Table des Matières

I.5.3 Outil de coupe à plaquette rapportée ........................................................................... 14

I.6 Matériaux de l'outil ........................................................................................................................... 15

I.7 Paramètres techno-économiques d'usinage ....................................................................................... 16

I.7.1 Temps d'usinage .......................................................................................................... 16

I.7.2 Coût d'usinage ............................................................................................................. 17

I.8 Durée de vie d’un outil de coupe ........................................................................................................ 17

I.8.1 Principaux modèles mathématiques de 1'usure ........................................................... 18

I.8.1.1 Loi de Taylor ........................................................................................................ 18

I.8.1.2 Loi de Gilbert ........................................................................................................ 19

I.8.1.3 Loi de Kronenberg ................................................................................................ 19

I.8.1.4 Loi de König-Depiereux ....................................................................................... 20

I.9 Conclusion ........................................................................................................................................ 20

Chapitre II

Modélisation Multi-Passe des Conditions de Coupe en Tournage

II.1 Introduction ....................................................................................................................................... 21

II.2 Formulation mathématique d’un problème d’optimisation ............................................................... 21

II.2.1 Formulation mathématique d’un problème d'optimisation non linéaire ...................... 21

II.3 Optimisation des systèmes non linéaires .......................................................................................... 22

II.4 Problèmes d'optimisation non linéaire des conditions de coupe en tournage .. ................................ 22

II.4.1 Critères d'optimisation ................................................................................................. 23

II.4.1.1 Coût de production .............................................................................................. 23

II.4.1.2 Temps de production ........................................................................................... 23

II.4.2 Formulation de la fonction objective ........................................................................... 23

II.4.2.1 Critère de coût de production .............................................................................. 23

II.4.2.2 Critère de temps de production ........................................................................... 24

II.4.2.3 Les contraintes .................................................................................................... 24

II.4.2.3.1 Choix de la profondeur de coupe ................................................................. 24

II.4.2.3.2 Choix de l’avance ........................................................................................ 25

II.4.2.3.3 Choix de la vitesse de coupe ........................................................................ 25

II.5 Modélisation multi-passe des conditions de coupe en tournage ...................................................... 27

II.5.1 La première méthode proposée pour la modélisation multi-passes « programmation

dynamique » ............................................................................................................................. 28

II.5.1.1 Optimisation des nombres de passes ................................................................... 29

II.5.2 La deuxième méthode proposée pour la modélisation multi-passes .......................... 33

II.5.2.1 Critère du temps de production en tournage multi-passes .................................. 33

Table des Matières

II.5.2.1.1 Détermination du temps de coupe ............................................................... 34

II.5.2.2 Critère du coût de production en tournage multi-passes ..................................... 35

II.5.2.3 Contraintes .......................................................................................................... 36

II.6 Conclusion ........................................................................................................................................ 36

Chapitre III

Optimisation Multi-Passe des Conditions de Coupe en Tournage

III.1 Introduction ....................................................................................................................................... 37

III.2 Exemple d’application ...................................................................................................................... 37

III.3 Formulation mathématique d’un modèle d’optimisation a passe simple .......................................... 37 III.3.1 Critère de temps de production .................................................................................. 37

III.3.2 Critère de coût de production ...................................................................................... 38

III.3.3 Résolution des problèmes ........................................................................................... 38

III.3.4 Interprétation des représentations graphiques ............................................................. 40

III.3.5 Résultats obtenu .......................................................................................................... 41

III.3.5.1 Interprétation des résultats obtenus .................................................................... 41

III.4 Formulation mathématique d’un modèle d’optimisation multi-passe............................................... 41

III.4.1 Premier méthode « programmation dynamique » ....................................................... 41

III.4.1.1 Résolution des problèmes .................................................................................. 42

III.4.1.2 Représentation graphique multi-passe ............................................................... 44

III.4.1.2.1 Interprétation des représentations graphiques ............................................ 44



III.4.1.2.4 Interprétation des résultats ......................................................................... 51

III.4.2 Deuxième méthode ...................................................................................................... 52

III.4.2.1 Critère de temps de production .......................................................................... 52

III.4.2.2 Critère de coût de production............................................................................. 52

III.4.2.3 Représentation graphique multi-passe deuxième méthode ................................ 53

III.4.2.3.1 Interprétation de Représentation graphique ............................................... 53



III.4.2.4 Résolution de problème ..................................................................................... 55

III.4.2.5 Résultats obtenue par la deuxième méthode ..................................................... 57

III.4.2.6 Interprétation des résultats ................................................................................. 57

III.5 Conclusion ........................................................................................................................................ 57

Conclusion générale………………………………………………………………………………..58

Liste des Figures

Liste des figures

Chapitre I


Figure I.1 Procedure de tournage……………………………………...……….……….. 2

Figure I.2 Principe de tournage…………………………………...…………………….. 3

Figure I.3 Composantes de tour………………………………………………………… 4

Figure I.4 Chariotage…………………………………………………………………… 5

Figure I.5 Alésage………………………………………………………………………. 6

Figure I.6 Dressage……………………………………………………………………... 6

Figure I.7 Perçage………………………………………………………………………. 6

Figure I.8 Rainurage……………………………………………………………………. 6

Figure I.9 Chanfreinage………………………………………………………………… 7

Figure I.10 Tronçonnage…………………………………………………………………. 7

Figure I.11 Filetage………………………………………………………………………. 7

Figure I.12 Conditions de coupe…………………………………………………………. 8

Figure I.13 Vitesse de coupe……………………………………………………………... 8

Figure I.14 Vitesse d’avance fV , Avance par tour f ………………………………... 9

Figure I.15 Différente types d'avance ............................................................................... 10

Figure I.16 Les profondeurs de passe……………………………………………………. 10

Figure I.17 Paramètres géométriques de coupe….............................................................. 11

Figure I.17 Arêtes et parties actives d’un outil de tournage….………………………...... 12

Figure I.19 Mouvement relatif outil/ pièce en tournage…………………………………. 13

Figure I.20 Angles du taillant (outil en main)……………………………………………. 14

Figure I.21 Angles du taillant (outil en travail)………………………………………….. 14

Figure I.22 Plaquettes …………………………………………………………………… 15

Figure I.23 Domaines d’emploi des divers matériaux à outil coupant…………………... 16

Figure I.24 Paramètres de temps technologique…………………………………………. 16

Figure I.25 Critère d’usureV B …………………………………………………………... 18

Chapitre II

Modélisation Multi-Passe des Conditions de Coupe en Tournage

Figure II.1

Schéma représentant la programmation dynamique lorsque la profondeur de

coupe totale est devisée en 7 sections………………………………………………

28

Liste des Figures

Figure II.2 Organigramme de la méthodologie pour l’optimisation multi-passes…………… 32

Chapitre III


Figure III.1 Organigramme de la méthodologie pour l’optimisation passe simple…......... 39

Figure III.2 Représentation graphique de la fonction objectif en deux critères………...... 40

Figure III.3 Organigramme de l’optimisation multi-passes ……………………………... 43

Figure III.4 La variation de la fonction objectif en fonction de cV et f …………………. 44

Figure III.5 La variation de la fonction objectif en fonction de ca et V ……………...…..

45

Figure III.6 La variation de la fonction objectif en fonction de a et f …………………..

46

Figure III.7 Représentation graphique de la fonction objectif en fonction de cV et f …... 53

Figure III.8 Représentation graphique de la fonction objectif en fonction de ca et V …… 55

Figure III.9 Représentation graphique de la fonction objectif en fonction de a et f ……. 45

Figure III.10 Organigramme de la méthodologie pour l’optimisation multi-passes………. 56

Liste des tableaux

Liste des tableaux

Chapitre I


Tableau I.1 Valeurs approximative de n pour A.R.E.S…………………..…….………… 19

Tableau I.2 Valeurs approximative de n pour carbure………………………..………….. 19

Chapitre III


Tableau III.1 Les paramètres d’usinage………………………………………………….. 37

Tableau III.2 Les conditions de coupe optimale pour passe simple (Critère de coût) ….. 41

Tableau III.3 Les conditions de coupe optimale pour passe simple (Critère de temps)…. 41

Tableau III.4 les valeurs optimale de cV et f obtenu par le critère de temps.................... 45

Tableau III.5 les valeurs optimale de cV et f obtenu par le critère de coût……………... 45

Tableau III.6 paramètres d’usinage optimal pour N=4 (Critère de coût)……………….. 48

Tableau III.7 paramètres d’usinage optimal pour N=4 (Critère de temps)……………… 48

Tableau III.8 paramètres d’usinage optimal pour N=8 (Critère de coût)……………….. 49

Tableau III.9 paramètres d’usinage optimal pour N=8 (Critère de temps)……………… 49

Tableau III.10 paramètres d’usinage optimal pour N=10 (Critère de coût)……………… 50

Tableau III.11 paramètres d’usinage optimal pour N=10 (Critère de temps)...................... 50

Tableau III.12 paramètres d’usinage optimal pour N=12 (Critère de coût)……………… 51

Tableau III.13 paramètres d’usinage optimal pour N=12 (Critère de temps)…………… 51

Tableau III.14 Paramètres optimal d’usinage obtenu par deuxième méthode (critère de

coût)…………………………………………………………………………

57

Tableau III.15 Paramètres optimal d’usinage obtenu par deuxième méthode (critère de

temps)………………………………………………………………………..

57

Nomenclature

Symbole Unité Désignation

Me Mouvement de coupe

Mf Mouvement d’avance

cV m/min Vitesse de coupe

N tr/min Vitesse de broche

D

mm Diamètre de la pièce

fV mm/min La vitesse d’avance

f mm/tour Avance par tour

a mm Profondeur de passe

pa mm Profondeur de coupe

fa mm Engagement de l’arête.

h mm Épaisseur de coupe.

b mm Largeur de coupe.

Db mm Largeur nominale de coupe

rk rad Angle de direction d’arête.

rad Angle de dépouille

rad Angle de taillant

rad Angle de coupe

mt min temps de coupe

cst min Temps de changement d’outil

rt min Temps de retour

ht min Temps de montage et démontage de la pièce

uT min Le temps d'usinage unitaire

lu mm Longueur usinée e mm Distance de sécurité

L mm Longueur totale de déplacement de l'outil

0C $/min Coût de machine

tC $/arrêt Coût d'une arrête de coupe

uC $ Coût d'usinage unitaire

V B mm L’usure en dépouille

n Exposant de TAYLOR

vC Constante dépendant du couple outil/pièce

K mm Constant de durée de vie

k , x , y Exposants dépendants de la nuance de l’outil

1 2 3a ,a ,a Constants empiriques

, , ,pC b c d Coefficients spécifiques et exposantes de la puissance de la machine

maxP kW La puissance maximale pour toutes les opérations

, , ,fC x y z Coefficients spécifiques et exposantes de la force de coupe

maxF N La force maximale de coupe pour toutes les opérations

, , ,sC e g i Coefficients spécifiques et exposantes de la rugosité de surface résultante

maxR µm La rugosité maximale autorisée de surface

, , ,mC m p q Coefficients spécifiques et exposantes de la température de coupe

Nomenclature

max

d

C°

mm

Le maximum autorisé de température de coupe

La profondeur d’incrément

cD mm La profondeur de coupe totale

N Nombre des incréments

tT min Le temps de production total

tC $ Le coût de production total

k L’indice indiquant le numéro d’une passe quelconque

DMOP mm La profondeur de coupe pour l’usinage à passe simple est optimale

DMAXP mm La profondeur de coupe maximale admissible

UOP La fonction objectif pour les opérations de finition

u La fonction objectif pour les opérations d’usinage

met min Le temps de coupe en ébauche

mft min Le temps de coupe en finition

ea mm Profondeur de passe en ébauche

ceV m/min Vitesse de coupe en ébauche

ef mm/tr L’avance par tour en ébauche

fa mm Profondeur de passe en finition

cfV m/min Vitesse de coupe en finition

ff mm/tr L’avance par tour en finition

m Nombre de passe d’ébauche

Introduction générale

1

Introduction générale

L'obtention des formes requises d'une pièce par enlèvement de matière est encore à ce jour

le procédé de fabrication le plus répondu. Malgré les progrès réalisés par les procédés de mise en

forme des matériaux (formage, fonderie...).L’usinage se révèle nécessaire pour l'obtention des

produits finaux [1]. L'objectif principal de l'usinage est l'augmentation du taux de productivité

par la diminution du temps et du coût de production. Pour atteindre cet objectif on utilise les

méthodes d'optimisation des conditions de coupe [2]

La résolution du problème d’optimisation des conditions de coupe a un intérêt considérable

dans le domaine de la production mécanique puisqu'elle permet l'utilisation rationnelle des

moyens de fabrication (Machine-outil, outillage...) [3].

Dans ce travail, nous proposons une méthode d'optimisation non linéaire permettant de

rechercher les conditions de coupe optimales (la vitesse de coupe, l'avance et la profondeur de

passes) pour le processus de tournage multi-passe.

Le travail réalisé et présenté dans ce mémoire s'articule de la façon suivante :

Le premier chapitre porte sur une recherche bibliographique sur le procédé de tournage

dans un premier temps permet de rappeler les principales notions de base de tournage, ensuite les

différents phénomènes liés au procédé, ainsi que les paramètres technico-économiques.

Le chapitre II s’intéresse à la modélisation multi-passe d’un problème d’optimisation des

conditions de coupe. Nous utilisons deux méthodes différentes pour la formulation d’un

problème d’optimisation des conditions de coupe en tournage.

Dans le chapitre III, nous utilisons la programmation non linéaire pour l’optimisation des

conditions de coupe en tournage en se basons sur les modèles d’optimisation développés dans le

chapitres II.

Chapitre I Généralité sur le Tournage

2

I.1 Introduction

L’usinage par enlèvement de matière consiste à réduire progressivement les dimensions de

la pièce par enlèvement du métal à froid et sans déformation en utilisant un outil. La quantité de

matière enlevée est dite copeaux et l’instrument avec lequel est enlevée la matière est appelé

outil de coupe. L’opérateur utilise des machines dites machines-outils pour réaliser l’usinage

d’une pièce.

Dans ce chapitre nous présentons généralité sur le tournage, qui contient des définitions,

les conditions de coupe et la géométrie d’outil en plus les paramètres techno-économiques de

production (temps, coût).

I.2 Définitions

I.2.1 Le tournage

Le tournage est un procédé de fabrication mécanique par coupe (enlèvement de matière)

mettant en jeu des outils à arête unique. La pièce est animée d’un mouvement de rotation

(mouvement de coupe), qui est le mouvement principal du procédé, l’outil est animé d’un

mouvement complémentaire de translation (rectiligne ou non) appelé mouvement d’avance,

permettant de définir le profil de la pièce.

La combinaison de ces deux mouvements, ainsi que la forme de la partie active de l’outil,

permettent d’obtenir des usinages de formes de révolution (cylindres, plans, cônes ou formes de

révolution complexes). [4]

Figure I. 1 Procedure de tournage [5]


3

I.2.2 Principe de tournage

La pièce est animée d'un mouvement circulaire uniforme c'est le mouvement de coupe Me .

L'outil est animé d'un mouvement de translation parallèle ou oblique par rapport à l'axe de

rotation c'est le mouvement d'avance Mf .

Dans son mouvement, la pointe de l'outil décrit une ligne appelée génératrice qui

transforme la pièce en un solide de révolution, en faisant varier le déplacement de l'outil

(mouvement radial) il sera possible d'obtenir tous les solides de révolution tels que cylindre,

cône, sphère, etc.

Le tournage permet également le façonnage des formes intérieures par perçage, alésage,

taraudage [6].

Figure I. 2 Principe de tournage [6]

I.2.3 Les tours

Les tours (voir Figure. I.3) permettent de réaliser des surfaces de révolution et hélicoïdales

(filetage) : cylindres, cônes et plans (génératrice perpendiculaire à l'axe de révolution).

L'utilisation principale des ces machines est l'usinage des arbres. La pièce, généralement tenue

par le mandrin, a un mouvement de rotation (mouvement de coupe) transmis par la broche.

L'outil peut se déplacer en translation suivant deux directions. Ces deux directions,

perpendiculaires entre elles, appartiennent à un plan auquel l’axe de la broche est parallèle. Le

premier mouvement de translation est parallèle à l'axe de la broche. Le deuxième mouvement de

translation est perpendiculaire à l'axe de la broche. [7]


4

I.2.4 Classification des machines de tour

Les machines outils les plus courantes utilisées pour le tournage sont:

I.2.4.1 Les tours parallèles à charioter et à fileter

Ces machines sont utilisées pour les travaux unitaires ou de petites et moyennes séries sur

des pièces très simples. Ces tours sont peu flexibles. Seules les surfaces dont les génératrices

sont parallèles ou perpendiculaires à l’axe de la broche sont réalisables en travail

d’enveloppe. [8]

I.2.4.2 Les tours à copier

Ils permettent l’usinage de pièces par reproduction, à partir d’un gabarit, grâce à un

système de copiage hydraulique qui pilote le déplacement du chariot transversal. C’est une

machine assez flexible qui peut convenir pour des travaux de petites à grandes séries. La

génératrice des surfaces de révolution peut être quelconque. [8]

I.2.4.3 Les tours semi-automatiques

Ce sont des tours équipés d’un traînard semblable à celui d’un tour parallèle avec une

tourelle hexagonale indexable munie de 6 postes d’outils animée d’un mouvement longitudinal

contrôlé par des butées. Les outillages spécialement conçus pour la machine permettent des

opérations simples et précises. La commande de ces tours peut être manuelle ou en partie

Figure I.3 Composantes de tour. [7]


5

automatique. La flexibilité de ces machines est très limitée. On les utilisera pour des travaux de

moyenne série. [8]

I.2.4.4 Les tours automatiques

Plusieurs outils sont montés tangentiellement à la pièce. Les mouvements sont obtenus par

des cames qui donnent la vitesse d’avance et la course de chaque outil. Une came est spécifique

à une opération et à une pièce. Ces tours sont entièrement automatiques. Ces machines n’ont

aucune flexibilité. Elles conviennent pour les très grandes séries. [8]

I.2.4.5 Les tours automatiques multibroches

Ce type de tour comportera par exemple huit broches. Huit outils soit un par broche

travaillent en même temps et effectuent une opération différente. Ce sont les broches qui

tournent d’un huitième de tour pour présenter la pièce devant l’outil suivant. Lorsque les broches

ont effectuées un tour complet la pièce est terminée. Il est possible de travailler dans la barre. Sur

ce type de tour les réglages sont longs et le temps de passage d’une série à l’autre immobilise la

machine. Ce tour sera réservé pour les grandes et très grandes séries à des pièces de dimensions

réduites à cause de l’espacement entre les broches. [8]

I.2.4.6 Les tours à commande numérique

Comme en copiage la génératrice de la pièce peut être quelconque mais ici la trajectoire de

l’outil est obtenue par le déplacement simultané de deux axes dont les positions successives sont

données par un calculateur travaillant à partir d’un programme propre à la pièce. Ces tours sont

équipés d’un magasin d’outils et éventuellement d’un système de chargement des pièces. La

flexibilité de ces machines est très grande et particulièrement bien adapté pour le travail unitaire

ou les petites séries répétitives. [8]

I.2.5 Différentes opérations de tournage:

I.2.5.1 Chariotage

Opération qui consiste à usiner une surface cylindrique ou conique extérieure.

Figure I.4 Chariotage [8]


6

I.2.5.2 Alésage

Opération qui consiste à usiner une surface cylindrique ou conique intérieure.

Figure I.5 Alésage [8]

I.2.5.3 Dressage

Opération qui consiste à usiner une surface plane perpendiculaire à l’axe de la broche

extérieure ou intérieure.

Figure I.6 Dressage [8]

I.2.5.4 Perçage

Opération qui consiste à usiner un trou à l’aide d’une forêt.

Figure I.7 Perçage [8]

I.2.5.5 Rainurage

Opération qui consiste à usiner une rainure intérieure ou extérieure pour le logement d’un

circlips ou d’un joint torique par exemple.

Figure I.8 Rainurage [8]


7

I.2.5.6 Chanfreinage

Opération qui consiste à usiner un cône de petite dimension de façon à supprimer un angle

vif.

Figure I.9 Chanfreinage [8]

I.2.5.7 Tronçonnage

Opération qui consiste à usiner une rainure jusqu’à l’axe de la pièce afin d’en détacher un

tronçon.

Figure I.10 Tronçonnage [8]

I.2.5.8 Filetage

Opération qui consiste à réaliser un filetage extérieur ou intérieur.

Figure I.11 Filetage [8]

I.3 Conditions de coupe en tournage

Les paramètres de coupe sont choisis mécaniques de la matière à usiner et de l'outil. Ils

sont indépendants de la machine utilisée et des caractéristiques géométriques de la pièce et de

l'outil.


8

I.3.1 Vitesse de coupe

La pièce est entraînée sur le tour à une certaine vitesse /rad s (soit N / mintr ), cette

vitesse angulaire étant communiquée par la broche de la machine via le porte-pièce. Compte

tenu du diamètre de la pièce au point d’usinage situé sur un diamètre D , la vitesse relative de la

pièce en ce point par rapport à l’outil (supposé fixe par rapport à la machine) vaut [4] :

/ min1000

c

D NV m

(I-1)

Cette vitesse est appelée vitesse de coupe soit, avec les unités traditionnelles de la

fabrication mécanique

cV : vitesse de coupe / minm

D : Diamètre de la pièce mm

N : Fréquence de rotation / mintr

Il convient d’observer que la vitesse de coupe n’est constante que si la vitesse de broche et

le diamètre de la pièce demeurent inchangés. En dressage, par exemple où l’outil se déplace en

direction du centre, la vitesse de coupe varie continuellement si la rotation de la pièce s’effectue

à une vitesse de broche constante. Or, pour une productivité maximale et une meilleure qualité

des surfaces obtenues, il est souhaitable de maintenir la vitesse de coupe constante. Sur un grand

Figure I.12 Conditions de coupe [9]

Figure I.13 Vitesse de coupe [4]


9

nombre de tours modernes, la vitesse de broche augmente au fur et à mesure que l’outil approche

de l’axe, afin de compenser ainsi la diminution de diamètre. Mais dans le cas de très petits

diamètres, cette compensation se révèle impossible du fait de la plage de vitesse limitée

qu’autorisent les machines. De même, lorsqu’une pièce, comme cela est souvent le cas, présente

des diamètres différents ou est de forme conique ou courbe, la fréquence de rotation doit être

corrigée en fonction du diamètre, pour maintenir la vitesse de coupe constante. [4]

Le préparateur choisit cette vitesse de coupe en fonction, notamment :

des matériaux de la pièce et de l’outil

de la lubrification

de la durée de vie souhaitée pour l’outil.

I.3.2 Vitesse d’avance fV , Avance par tour f

La vitesse d’avance fV / minmm est la vitesse à laquelle la machine déplace l’outil par

rapport au bâti.

L’avance par tour f ( /mm tr ) est la valeur du déplacement de l’outil, lorsque la pièce a

effectué une révolution. C’est une donnée clé pour la qualité de la surface usinée. L’avance

influe non seulement sur l’épaisseur des copeaux, mais également sur la manière dont ils se

brisent. [4]

fV f N / minmm (I-2)

fV : vitesse d’avance / minmm

f : L’avance mm

N : Fréquence de rotation / mintr

Figure I.14 Vitesse d’avance fV , Avance par tour f [4]

I.3.2.1 Les types d’avances

On distingue trois sortes d'avance


10

a) Avance longitudinal

On appelle avance longitudinale si l'outil se déplace parallèlement à l'axe de l'ébauche.

b) Avance transversale

On appelle avance transversale si l'outil se déplace perpendiculairement à l'axe de l'ébauche.

c) Avance oblique

On appelle avance oblique si l'outil se déplace sous un angle par rapport à l'axe de l'ébauche.

I.3.3 Profondeur de passe « a »

La profondeur de passe notée a en (mm), correspond à la longueur de l’arête de coupe

engagée dans la matière, dans le cas de la coupe orthogonale, et à la différence entre le rayon de

la pièce avant et après usinage, dans le cas du tournage. La profondeur de coupe est toujours

mesurée perpendiculairement à la direction de l’avance et non pas suivant l’arête de l’outil. [9,11]

Figure I.16 Les profondeurs de passe. [8]

Figure I.15 Différente types d'avance [10]


11

I.4 Paramètres géométriques de coupe

La distance entre la surface de la pièce et la surface engendrée est appelée profondeur de

passe a . Cependant, afin d’arriver à la dimension finale de la pièce, on doit souvent effectuer

plusieurs passes. La passe est définie comme la couche de matière de la pièce qui doit être

enlevée par un passage unique de l’outil de coupe. La partie de matière usinée entre la surface de

la pièce et la surface finale désirée (après avoir effectué toutes les passes nécessaires) est appelée

surépaisseur d’usinage. On appelle la coupe la couche de matière qui est enlevée par une action

unique de la partie active et transformée en copeaux. Ces différents paramètres sont illustrés à la

figure I.17 [12]

Figure I.17 Paramètres géométriques de coupe [12]

pa : Profondeur de coupe.

fa : Engagement de l’arête.

f : Avance.

h : Épaisseur de coupe.

b : Largeur de coupe.

Db : Largeur nominale de coupe.

rk : Angle de direction d’arête.

D : Point principal de l’arête.

I.5 Éléments d’outil

Il existe une grande diversité d’outils de coupe. Toutefois, les principaux éléments des

différents outils sont semblables. Ainsi, afin de simplifier la compréhension de différents éléments

définissant un outil quelconque, nous nous baserons sur un outil de coupe en tournage. Les

définitions peuvent ensuite être déduites pour tout autre type d’outil. [10]


12

I.5.1 Faces et arêtes de l’outil

Un outil coupant est constitue d'un corps d'outil et peut comporter une ou plusieurs

parties actives, intersection de deux surfaces ( 1A , 1A Figure I. 18). La partie active peut être

constitue du même matériau que le corps, on parle alors d'outils monoblocs (carbures et aciers

rapides) ou d'un matériau différent (inserts rapportes ou plaquettes pour les carbures, les cermets,

les céramiques, les polycristallins de bore ou de diamant). La (figure I. 18) précise le vocabulaire

relatif aux différentes parties actives d'un outil de tournage.

En plus de cette description de la géométrie locale des outils, il existe une norme (ISO

1831) permettant de décrire les différentes parties constitutives des outils de tournage à

plaquettes rapportées, systématiquement utilisés aujourd'hui. Cette description indique une large

part des caractéristiques des outils, à l'exception de la géométrie locale des brise-copeaux frittés

sur les faces de coupe, et à l'exception de la composition des plaquettes et de leurs revêtements.

Ce sont en fait les deux points clés qui font la spécificité des fabricants d'outils (impossible à

normaliser). [6]

Figure I.18 Arêtes et parties actives d’un outil de tournage [ 6]

La partie de l’outil impliquée directement dans la coupe est appelée taillant. Elle est limitée

par trois faces, la face de coupe le long de laquelle glisse le copeau et les deux faces de dépouille

(principale et secondaire) le long desquelles passent les surfaces coupée et engendrée.

On appelle une arête un bord de la face de coupe destiné à l’enlèvement de matière. Dans

un outil de tournage simple, on peut distinguer une arête principale, intersection entre la face de

coupe et la face de dépouille principale, et une arête secondaire, intersection entre la face de


13

coupe et la face de dépouille secondaire. La jonction des arêtes principale et secondaire forme le

bec de l’outil. Il peut être droit, arrondi ou représenter l’intersection vive des deux arêtes. [10]

Généralement, un outil possède un mouvement de coupe et un mouvement d'avance.

On en déduit des lors un vecteur résultant du mouvement relatif outil/ pièce exprime par le

vecteur eV . A partir de la, on peut définir deux systèmes d'angles d'un outil de coupe. On définit

soit les angles d'outil « en main » par rapport à la direction supposée de coupe eV (repère

nécessaire à la fabrication des outils), soit les angles d'outils « en travail » par rapport à la

direction réelle de coupe cV (repère nécessaire pour connaître les angles effectifs durant la coupe).

A l'aide de ces repères, on établit une série de plans et d'angles normalisés permettant de décrire

la géométrie locale des outils.

Figure I.19 Mouvement relatif outil/ pièce en tournage. [5]

I.5.2 Angles de l’outil

Pour faciliter l’explication des phénomènes de la coupe il est nécessaire de définir les

angles ayant la plus grande influence sur les dits phénomènes. La (figure I.20) illustre, dans le

système de référence outil en main, les trois angles principaux du taillant, l’angle de dépouille ,

l’angle de taillant et l’angle de coupe . [5]

Figure I.20 Angles du taillant (outil en main) [5]


14

La (figure I.21) illustre ces mêmes angles dans les systèmes de référence outil en travail :

outil à taille en bout (gauche) et outil à taille de côté ou latérale (droite).

Globalement, l’angle de dépouille influe sur le frottement entre l’outil et la pièce et donc la

durée utile de l’outil. L’angle de coupe a une influence sur la manière dont s’écoule le copeau sur

la face de coupe et ainsi les efforts de coupe, la puissance consommée, les dégagements de chaleur

etc. L’angle de taillant affecte la résistance à la rupture du taillant. La somme de ces trois angles

est toujours égale à 90º.

90 (I-3)

Dans le cas où la somme est supérieure à 90º, on parle de coupe négative (γ négatif). [5]

I.5.3 Outil de coupe à plaquette rapportée

Les outils de tournage actuels sont constitués la plupart du temps d’un porte-plaquette

muni d’un dispositif de fixation de la plaquette et d’une plaquette interchangeable constituée

d’une matière plus dure et comportant plusieurs arêtes de coupe.

Le changement d’arête de coupe intervient lorsque l’arête en service a atteint un degré

d’usure qui l’empêche de respecter les tolérances des cotes à réaliser, ou la rugosité spécifiée, ou

encore qui risque d’entraîner la rupture à plus ou moins brève échéance.

Pour effectuer le choix d’un outil de tournage, les paramètres à prendre en compte sont les

suivants [4]:

matière de la pièce, usinabilité.

configuration de la pièce : forme, dimension, surépaisseurs d’usinage.

limitations : tolérances, état de surface.

machine : type, puissance, conditions d’utilisation et caractéristiques.

stabilité, rigidité de la prise de pièce et de la pièce.

Figure I.21 Angles du taillant (outil en travail) [5]


15

Figure I. 22 Plaquettes [4]

I.6 Matériaux de l'outil

La partie active des outils de coupe et donc les matériaux servant à leur constitution

doivent posséder certaines propriétés:

une bonne résistance mécanique au frottement - résistance à 1'usure.

une bonne résistance aux chocs - ténacité.

une bonne résistance à la pénétration - dureté.

une bonne résistance à la chaleur - garder ces propriétés à haute température (par

exemple dureté à chaud).

une bonne résistance à la pression.

une grande stabilité chimique vis-à-vis du matériau usine et de 1'atmosphère

environnante (air, liquide de coupe, etc.).

une faible adhésion avec le matériau usine sous haute pression et haute

température.

un bas prix d'achat et de mise en forme, ainsi que 1'abondance des éléments de

composition. [6]

Le diagramme (figure I. 23) est donné à titre indicatif pour situer les différents domaines

des matériaux à outil. Il est représentatif des conditions normales d'utilisation de ces outils,

en ébauche, pour les aciers et les fontes. Il ne peut être utilisé pour choisir les conditions de

coupe. [4]


16

Figure I.23 Domaines d’emploi des divers matériaux à outil coupant [4]

I.7 Paramètres techno-économiques d'usinage

Le coût d'usinage et le temps d'usinage sont les paramètres techno-économiques d'usinage

.Ces les paramètres qui déterminent 1'important économique des pièces usinées. [10]

I.7.1 Temps d'usinage

Le temps d'usinage unitaire est le temps nécessaire à la réalisation d'une passe sur une

pièce. II s'exprime par la relation :

mu m cs r h

tT t t t t

T

(Min) (I-4)

cst (Temps outil) : temps de changement d'outil y compris le temps de réaffûtage si nécessaire,

T : Durée de vie de 1'outil de coupe.

rt : Temps de retour.

ht : Temps de montage et démontage de la pièce.

mt (Temps technologique) : temps de machine (temps de coupe avec une avance), puisque :

On déterminer le temps technologique comme suite :

lu : Longueur usinée

Figure I.24 Paramètres de temps technologique. [10]


17

e : Distance de sécurité

fV : vitesse d'avance

Longueur totale de déplacement de l'outil :

L lu e (I-5)

Temps technologique d'usinage d'une pièce :

m

f

Lt

V (I-6)

1000m

c

D Lt

V f

(I-7)

I.7.2 Coût d'usinage

Généralement, la formule du coût d'usinage sous la forme :

Coût total =frais fixes + coût machine + coût outil

Le coût d'usinage unitaire est le coût nécessaire à la réalisation d'une passe sur une pièce, il

s’écrit comme suit:

0 0 0m

u m cs t r h

tC C t C t C C t t

T

(I-8)

uC : Coût d'usinage unitaire.

0C : Coût de machine en $/ min.

tC : Coût d'une arrête de coupe en $/ arrête.

I.8 Durée de vie d’un outil de coupe

Compte tenu de la complexité du phénomène, il n'existe pas de loi mathématique simple

permettant de calculer la "durée de vie" de 1'outil.

La durée de vie d'un outil est caractérisée par le temps mis pour atteindre la valeur limite

du critère d'usure considérée dans des conditions de coupe données.

Généralement on choisit comme critère d'usure 1'un des trois critères suivants :

Défaillance brutale due à la déformation plastique de 1'arête. Ce critère n'est employé

que pour les outils en acier rapide ou les outils en céramique.

Usure frontale, employé pour tous les outils, caractérisés soit par 1'usure frontale

moyenne soit par 1'usure frontale maximale.

Usure en cratère, employé seulement pour les outils en carbure métallique, caractérisé par

la profondeur du cratère. [6]

La durée de vie est mesurée sur l’usure en dépouille dans la zone b (figure I.25) V B en mm .


18

En fait la durée de vie de 1'outil est fonction des différents paramètres, soit:

Les conditions de coupe

Le matériau et la géométrie de 1'outil

Le matériau et 1'état physique de la pièce

La lubrification

Généralement seules les conditions de coupe sont prises en considération et on établit des

lois d'usure pour des outils parfaitement définis pour un matériau usiné donne et dans des

conditions de lubrification déterminées. [13]

On arrive donc des lois d'usure de la forme :

V , ,c pT f f a

(I-9)

Remarque : La vitesse de coupe étant en fait le paramètre le plus important on trouve aussi

des lois d'usure sous la forme :

cT f V (I-10)

I.8.1 Principaux modèles mathématiques de 1'usure

I.8.1.1 Loi de Taylor

Ce modèle établi par TAYLOR en 1906 est caractérisé par 1'équation :

n

V cT C V (I-11)

T : Durée de vie d’outil

n : Exposant de TAYLOR,

Figure I.25 Critère d’usure V B [6]


19

vC : Constante dépendant du couple outil/pièce.

L’exposant n , souvent appelé coefficient de Taylor, il est influencé par le matériau de

1'outil, le matériau usiné, ainsi que le type d'usinage.

On peut prendre les valeurs de n données par les tableaux suivants [13]

Usinages effectues avec des outils en A.R.E.S (Tableau I.1).

Tableau I.1 Valeurs approximative de n pour A.R.E.S [13]

Aciers Fontes grises Fontes

malleables

Alliages

d'Aluminium

Tournage -8,5 -10 -8,5 -2,5

Perçage -5 -8,5 -8,5 -2,5

Usinages effectues avec des outils en carbure (Tableau I.2).

Tableau I.2 Valeurs approximative de n pour carbure. [13]

Aciers Fontes grises Fontes

malleables

Alliages

d'Aluminium

Tournage - 4,5 -5 -5 -2,5

Perçage -3,5 -2,5 -2,5 -2,5

Bien que l’influence de 1'avance et de la profondeur de passe ne soient pas prises en

considération ce modèle est toujours très employé.

Si l’on met l’équation . n

v cT C V sous la forme :

log log logC VT n V C (I-12)

On obtient une loi linéaire dans un repère en coordonnées bilogarithmiques.

I.8.1.2 Loi de Gilbert

Ce modèle, qui date de 1950, est en fait une généralisation de la loi de Taylor pour prendre

en considération 1'influence de 1'avance et de la profondeur de passe. II est caractérisé par

l’équation:

T= K. . .k x y

cV f a

(I-13)

K : dépend de la nuance de l'outil et du matériau usiné,

k , x et y : Exposants dépendants de la nuance de l’outil. [14]

I.8.1.3 Loi de Kronenberg

Ce modèle, qui date de 1968 ne prend pas en compte l‘influence de 1'avance et de la

profondeur de passe, tout comme la loi de Taylor. II est caractérisé par l’équation :

. n

V cT K C V (I-14)

K : est une constante.


20

Il est à noter que la constante C et le coefficient n , n'ont pas les mêmes valeurs que dans la

loi de Taylor. [6,13]

I.8.1.4 Loi de König-Depiereux

Dans ce modèle, qui date de 1969, on tient compte de I ‘influence de l’avance et de la

profondeur de passe. II est caractérisé par l’équation :

exp . .T V f a (I-15)

Ce modèle conduit à une représentation correcte de la loi d'usure et son type exponentiel

est en accord avec les courbes expérimentales qui déterminent l'usure des outils.

Compte tenu des dispersions liées aux essais d’usure, le modèle simple de Taylor est

suffisamment représentatif, il est couramment utilisé

Ces différents constants sont déterminés à l’aide d’essais de coupe où l’on pousse l’usure

de l’outil jusqu’à l’obtention de la valeur maxi du critère d’usure considéré [13]

I.9 Conclusion

Nous avons présenté dans ce chapitre de notre étude le procédé de tournage ainsi que les

paramètres techno-économiques, pour pouvoir réaliser une modélisation multi-passe du

problème d’optimisation des conditions de coupe.

Chapitre II Modélisation Multi-Passe des Conditions de Coupe en Tournage

21

II.1 Introduction

Une opération de coupe multi-passes implique plusieurs passes d'ébauche et des passes de

finition. Cela rend le problème de la détermination des conditions optimales de coupe plus

difficile et compliqué ce qui gérer un problème d’optimisation.

Tout problème d’optimisation comporte une étape essentielle: c’est la modélisation

mathématique. Elle consiste en trois étapes :

Identification des variables de décisions (souvent désignées par un vecteur nx )

ce sont les paramètres sur lesquels l’utilisateur peut agir pour faire évoluer le

système considéré.

Définition d’une fonction coût (appelée fonction objectif)

Description des contraintes imposées aux variables de décision.

Le problème d’optimisation consiste alors à déterminer les variables de décision

conduisant aux meilleures conditions de fonctionnement du système (ce qui revient à minimiser

ou maximiser la fonction objectif), tout en respectant les contraintes d’utilisation définies à la

dernière étape. [15]

Dans ce chapitre nous allons présentés la formulation et la modélisation mathématique

d’un problème d’optimisation multi-passe des conditions de coupe en tournage.

II.2 Formulation mathématique d’un problème d’optimisation

Un problème d'optimisation est exprimé comme une fonction objectif à une ou plusieurs

variables, pour être maximisée ou minimisée sous un certain nombre de contraintes indiquées.

Les fonctions de contraintes définissent le domaine acceptable des variables pour le processus

d'optimisation. Les telles contraintes, pouvant être de types égalité ou inégalité, permettent la

limitation des domaines sur les variables, dans la recherche de la (ou les) solution(s) optimale(s).

[16]

II.2.1 Formulation mathématique d’un problème d'optimisation non linéaire

Un programme mathématique est un problème d'optimisation d'une fonction objectif de n

variables, en présence de m contraintes. Si au moins une contrainte ou la fonction objective est

non linéaire. On a un programme non linéaire.


22

Minimiser

Sous les contraintes :

0 1,...,

0 1,...,

i

i

n

f x f

g x i n

h x j m

x s

(II-1)

Où:

nx : Vecteur de composantes 1 2, ,...,T

nx x x qui sont les inconnues du problème.

f x La fonction objectif ou critère économique.

0 1,...,ig x i n : L'ensemble des contraintes d'égalité du problème.

0 1,...,jh x j m : L’ensemble des contraintes d’inégalité du problème. [17,18]

II.3 Optimisation des systèmes non linéaires

La grande difficulté d'un problème de conception provient du fait qu'il s'agit d'un problème

d'optimisation non linéaire et implicite dans les variables de conception. Les méthodes

d'approximation les plus populaires pour résoudre les problèmes non linéaires étant la méthode

de gradient, méthode de pénalité intérieure et méthode de Newton-Raphson…etc. [18]

II.4 Problèmes d'optimisation non linéaire des conditions de coupe en tournage :

Le tournage est un procédé d'usinage par enlèvement de matière très complexe. La

modélisation de ce procédé revient toujours à un problème de programmation non linéaire. Ce

qui conduit à la définition de la fonction « objectif » et des contraintes liées aux conditions et au

comportement de la coupe. [19]

Les variables définissant les conditions de coupe en tournage sont des grandeurs

géométriques et cinématique intervenant dans la dynamique de coupe et la nature du milieu dans

lequel est effectuée la coupe (lubrification). Les variables retenues pour une opération de

tournage sont:

L’avance par tour f en /mm tr et La profondeur de passe a en ( mm ) et La vitesse de

coupe cV en / minm .

Le problème de choix des conditions de coupe consiste à déterminer les valeurs des

variables de coupe ( ,f a et cV ) pour chaque opération élémentaire d’usinage en prenant en

compte les limites de performances des éléments de la cellule élémentaire d’usinage (C.E.U.) qui

se traduisent par des contraintes établies à partir de lois de coupe et qui font intervenir les

variables de coupe avec lesquelles le domaine des solutions réalisables est borné. D’une manière


23

générale, la détermination des paramètres de coupe nécessite une bonne connaissance des

facteurs d’incidence relatifs au couple outil-matière, à l’opération d’usinage et à

l’environnement. [19,20]

II.4.1 Critères d'optimisation

Parmi, les principaux critères d'optimisation nous pouvons citer:

Le coût de production

Le temps de production

II.4.1.1 Coût de production

La minimisation du coût de production reste l'objectif principal dans les procédés de

production mécanique lors de l'élaboration d'un produit quelconque. [21]

II.4.1.2 Temps de production

Dans le domaine de la fabrication mécanique, l'expérience a montré que le temps de

production est l’une des principales données vu son importance pour la détermination des

régimes de coupe. En fonction de cette dernière, nous pouvons noter deux points essentiels.

Plus les régimes de coupe sont réduits, plus les temps nécessaires à l'exécution des

différentes opérations sont élevés et par conséquent l'augmentation du prix de revient.

L'augmentation du régime de coupe provoque l'usure rapide des outils, d'où leurs

changements assez fréquents conduit à une augmentation du prix de revient.

De ces deux déductions, il ressort que pour réaliser des produits dans les meilleurs délais

(temps d'exécution), il faut réduire le temps de production, tout en essayant de garder le coût le

moins élevé possible. [21,22]

II.4.2 Formulation de la fonction objective

II.4.2.1 Critère de coût de production

Le coût de production par pièce pour une opération d’usinage contient la somme des coûts

pour l’outillage, l’usinage, le temps de changement d’outil, le temps de montage et démontage de

la pièce et le temps du retour rapide.

0 0 0. .mu m cs t r h

tC c t c t c c t t

T

(II-2)

Le temps de coupe par passe mt est donné par :

. .

1000m

c

D Lt

V f

(II-3)


24

Où, cV et f sont respectivement, la vitesse de coupe et la vitesse d’avance « variables d’usinage»

tandis que, D et L sont respectivement le diamètre extérieur et la longueur de la partie de la

pièce à usinée.

L’équation de la duré de vie de l’outil « modèle de Taylor » est de la forme :

31 2 aa a. . .V f a T K (II-4)

Où, 1a 2 3a ,a et K son des constantes empiriques, et le pas de la profondeur de coupe pour

une passe donnée. [22]

Ainsi, le coût de production est donné par :

1 a3 /a3 a1 a3 /a3 a2/a3 1/a31 1

0 0 0. . . . . . . . .u c c cs t h rC C AV f AV f a K C t C C t t (II-5)

Avec :

. .

1000

D LA

II.4.2.2 Critère de temps de production

Le temps total exigé pour produire une pièce est la somme des temps nécessaires pour

l’usinage, le changement d’outil, le retour rapide d’outil et le temps de montage et démontage de

la pièce.

hrm

csmU ttT

tttT

. (II-6)

En remplaçant mt et T par leurs expressions respectives dans l’équation de temps

d’usinage précédent, On obtient le temps de production sous la forme suivant :

1 a3 /a3 a1 a3 /a3 a2/a3 1/a31 1. . . . . . .u c c cs h rT AV f AV f a K t t t (II-7)

II.4.2.3 Les contraintes

L’optimisation de la fonction objectif nécessite souvent des limitations pratiques des

conditions de coupe (puissance de coupe, force de coupe, température, l’état de surface, gammes

des vitesses et des avances, etc..).[21.22]

Les limitations additionnelles sont nécessaires pour la stabilité du processus de coupe et le

respect de la qualité de la pièce à usiner. [18,21]

II.4.2.3.1 Choix de la profondeur de coupe

La profondeur de coupe a un effet important sur la durée de vie de l’outil. Ce pendant,

celle ci en général est plutôt affecté par la variation de la vitesse de coupe et de l’avance que par

la profondeur de coupe.


25

Le compromis le plus favorable entre la durée de vie de l’outil et le taux d’enlèvement du

métal se réalise pour les plus grandes valeurs admissibles de la profondeur de coupe.

Dans les opérations d’ébauche, le travail avec des grandes valeurs de profondeur de coupe

entraîne une diminution de la durée de vie de l’outil. La sélection de la profondeur de coupe

maximale dépend de [22]

la matière et la géométrie de l’outil.

la force de coupe.

la puissance de machine disponible.

la stabilité du système Pièce-Machine-outil et la précision dimensionnelle

l’exigence des états des surfaces usinées.

La matière et la géométrie d’outil sont déterminées à partir du taux d’enlèvement des

coupeaux et par la flexion sous les forces appliquées à celui-ci.

Généralement la première considération est assurée par les fabricants des outils. La

deuxième considération devient significative quand la flexion et les vibrations sont importantes.

Le broutement est un facteur majeur responsable pour la limitation de la profondeur de coupe à

cause de ses effets sur l’état de la surface, la précision dimensionnelle, la durée de vie de l’outil,

et la durée de vie de la machine. [22]

II.4.2.3.2 Choix de l’avance

Les variations de l’avance ont une influence très importante sur la durée de vie de l’outil en

comparaison avec la variation de la profondeur de coupe.

L’avance dans une opération de finition est limitée par l’exigence de l’état de surface et

peut souvent être prédit à un certain degré en se basant sur la surface finie et le rayon du bec

d’outil. Néanmoins, une avance surestimée est généralement obtenue et peut être ajustée en

tenant compte de la matière d’outil, la matière de la pièce, le lubrifiant et les angles de coupe.

II.4.2.3.3 Choix de la vitesse de coupe

La vitesse de coupe a un plus important effet sur la durée de vie de l’outil que la

profondeur de coupe et l’avance.

Il y a certaines combinaisons préférées entre l’avance, la vitesse de coupe et la profondeur

de coupe qui facilitent l’enlèvement des coupeaux. Ils dépendent principalement du type de la

matière d’outil et de la pièce. Ces données peuvent être fournies par les fabricants des outils de

coupe sous forme de logiciels.

Les contraintes physiques suivantes sont considérées pour la formulation du problème:


26

a) Limitation sur l'intervalle des vitesses de coupe

La vitesse de coupe doit être comprise dans les limites de validité du modèle de la loi de la

durée de vie établie pour la couple outil-matière [18,21] :

min maxc c cV V V (II-8)

b) Limitation sur l'intervalle des avances

L’avance par tour f doit être comprise entre deux valeurs extrêmes programmables sur la

machine-outil, soit [18,21] :

min maxf f f (II-9)

c) Limitation sur la puissance de coupe

La puissance nécessaire à la coupe doit être inférieure à une puissance limite, soit [18] :

max. . .b c d

p cC V f a P (II-10)

, , ,pC b c d : Coefficients spécifiques et exposantes de la puissance de la machine.

maxP : Le maximum autorisé de puissance pour toutes les opérations.

d) Limitation sur l’effort de coupe

L’effort de coupe doit être inférieur à une force de coupe limite, soit [19]:

max. . .x y z

f cC V f a F (II-11)

, , ,fC x y z : Coefficients spécifiques et exposantes de la force de coupe.

maxF : Le maximum autorisé de la force de coupe pour toutes les opérations.

e) Limitation sur l’état de surface

L’état de surface résultante d’usinage doit être inférieur à une rugosité maximale imposée,

soit [19] :

max. . .e g i

s cC V f a R (II-12)

, , ,sC e g i : Coefficients spécifiques et exposantes de la rugosité de surface résultante.

maxR : Le maximum autorisé de rugosité de surface.

f) Limitation sur la température de coupe

Le facteur de contrôle est la température d’interface outil-copeau qui doit être inférieure à

une température max , soit [19] :


27

max. . .m p q

m cC v f a (II-13)

, , ,mC m p q : Coefficients spécifiques et exposantes de la température de coupe.

max : Le maximum autorisé de température de coupe

Toutes les équations mentionnées ci dessus déterminant les contraintes ont été développées

par des données expérimentales collectées pour les études de l’usinage des aciers ordinaires [22].

D’après le remplacement des exposants et les constants dans les équations des contraintes

et prendre une seul fonction objectif (fonction de coût) en obtenu le problème suivant [22] :

1 a3 /a3 a1 a3 /a3 a2/a3 1/a31 1

0 0 0

0.91 0.78 0.75

max

0.1013 0.725 0.75

max

0.4 0.2 0.105

max

1,52 1 0,25

max

min

. . . . . . . . .

0,0373. . .

844. . .

74,96. . . 17.8

14,785. . .

u c c cs t h r

c

c

c

c

c

U x C C AV f AV f a K C t C C t t

V f a P

V f a F

V f a

V f a R

V

max

min max

i

i

c cV V

f f f

(II-14)

II.5 Modélisation multi-passe des conditions de coupe en tournage

Dans les opérations de tournage, un processus de coupe peut éventuellement être complété

par une passe unique ou par plusieurs passes. Une opération de coupe multi-passe implique

plusieurs passes d'ébauche et des passes de finition. Les paramètres d'usinage peuvent être

déterminées en fonction de l'expérience de l'opérateur de la machine ou en suivant le guide de

coupe fournies par le fabricant de l'équipement.

Toutefois, ces données ne sont pas garanties pour être optimal. Par conséquent, le

développement de modèles mathématiques pour les opérations multi-passes de tournage est

devenu un outil utile pour déterminer les conditions de coupe optimales. [21].


28

II.5.1 La première méthode proposée pour la modélisation multi-passes « programmation

dynamique »

Dans cette partie nous allons aborder l’optimisation des conditions d’usinage multi-passes.

Et utilisons la méthode élaborée par J.S Agapiou. Basée sur la programmation dynamique pour

laquelle nous avons introduit des modifications et développé un programme.

La valeur optimale du nombre de passes, la vitesse, l’avance et la profondeur de coupe

pour chaque passe sont obtenues par le processus multi-passe. C’est un problème à quatre

variables où le nombre de passe et la profondeur de coupe pour chaque passe sont déterminés à

l’aide de la procédure de programmation dynamique et où la vitesse de coupe optimale et

l’avance pour chaque passe sont déterminées en utilisant La programmation non linéaire. [22]

Le concept de la programmation dynamique est très utile pour le traitement du problème

multi-passe dans lequel chaque passe est indépendante des passes antérieures, comme dans le cas

des opérations de tournage.

Figure II.1 Schéma représentant la programmation dynamique lorsque la profondeur de coupe totale est

devisée en 7 sections. [22]

La variable de décision qui est la profondeur de coupe a à enlever par passe i est

représentée par ,d i j et la variable d’état qui est le diamètre de la pièce à la passe i est

représenté par iD .Le ,d i j signifie que la profondeur de coupe commence au diamètre iD et

contient j sections de dimension d .

Par conséquent la profondeur de coupe totale cD est devisée en N sections égales qui sont

les N états de décision discrets pour la programmation dynamique. [22]


29

L’incrément minimal (pas) de la profondeur de coupe est :

/cd D N (II-15)

II.5.1.1 Optimisation de nombre de passes

En générale lorsque la passe débute de la section i et se termine à la section q la fonction

optimale pour le critère de coût est donnée par :

, ,uu i j C i j (II-16)

Avec j i q

j : est le nombre de sections de taille d .

Cependant, l’optimisation à simple passe est généralement considérée pour les quelques

premières étapes de la procédure de la programmation dynamique ou « a » peut être enlevée en

une seule passe.

Le coût de production par passe est donné par :

(a /a ) 11 33 2 3 3

1 1

0

1/a 1 a /a 1/a

0 0

( , ) . . ( , ). ( , )

. ( , ). ( , ). ( , ). .( . ) .

u c

c cs t r

C i j C AV i j f i j

AV i j f i j d i j K C t C C t

(II-17)

Le temps de production est donné par :

3 1 3 2 3 31/a 1 a /a 1 a /a 1/a1 1

0( , ) . ( , ). ( , ) . ( , ). ( , ). ( , ). .u c c cs rT i j C V i j f i j AV i j f i j d i j K t t (II-18)

Avec 1000

),(.. jiLDA i et , .d i j a j d

La longueur de coupe reste toujours constante pour toutes les passes d’usinage ,L i j L

Le diamètre pour chaque passe est donné par [22] :

02 . 2 .iD D N j i d D q d (II-19)

Et 1 2 .i iD D j d

Pour l’usinage multi-passes où M passes sont utilisées pour effectuer le processus de

tournage, le coût de production total et le temps de production total sont donnés par :

0 0 0

1

( , ).( ( , ) ) ( . ) .

( , )

Mm k

t m k r cs t h

k k

t i jC C t i j t C t C C t

T i j

(II-20)

1

( , )( , ) .

( , )

Mm k

t m k r cs h

k k

t i jT t i j t t t

T i j

(II-21)

k : est l’indice indiquant le numéro d’une passe quelconque.

Le temps machine pour chaque passe est :


30

.( ) . ( , )( , )

1000. ( , ) . ( , )

i k km k

k k

D L i jt i j

V i j f i j

(II-22)

Les étapes des itérations dynamiques sont représentées par une matrice triangulaire inférieure de

dimension N N .Les éléments ,i j de la matrice représentent respectivement la section du

diamètre de démarrage et le nombre des sections usinées pour une passe quelconque.

La représentation schématique de la procédure de programmation dynamique est donnée

par le diagramme de la (figure II.1) où CD est divisé en sept sections égales 7N .

Il est connu qu’au-dessous d’une certaine valeur de profondeur de coupe DMOP , pour un

couple spécifique outil-matière, l’usinage à passe simple est optimal. La valeur maximale de la

profondeur de coupe DMAXP est aussi connue. [22]

La matrice triangulaire inférieure pour l’exemple décrit dans la figure (II.1) est donnée

par :

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

, 0 0 0

0 0

0 0

0 0

X

X

X

U i j X X X X

X X X X X

X X X X X

X X X X X

Où X représente les valeurs de la fonction objective, les éléments de la diagonale

représentent les passes simples possibles. Les éléments 2,1 , 3,1 , 3,2 sont nuls puisque la

profondeur de coupe pour une seule passe donnée est inférieure à DMOP et les éléments

6,6 , 6,7 et 7,7 sont nuls puisque la profondeur de coupe pour une seule passe donner est

supérieure à DMAXP .

De la même manière, les vitesses de coupe et les avances sont aussi rangées dans deux

matrices triangulaires inférieures séparées.

En utilisant la stratégie de la programmation dynamique, en supposant que l’optimum est

obtenue à partir de la ém ei section,1 i N jusqu’au diamètre final (interne) de la section, les

étapes de la programmation dynamique suivantes sont nécessaires.

Etape 1 : Pour la profondeur de coupe inférieure à DMOP tel que :


31

, .d i i i d DMOP , on calcule les fonctions objectif correspondantes ( )UOP i pour des

opérations de finition d’une seule passe est on continue avec les pas suivants.

Etape 2 : Pour des profondeurs de passe .DMOP i d DMAXP , on calcule les fonctions

objectif correspondantes ,u i i pour des opérations d’une seule passe de finition. [22]

Etape 3 : Par la suite on évalue les calculs des fonctions objectif pour des opérations de

plusieurs passes telle que :

),()()( riuriUOPiUOP (II-23)

Pour 1,2,.....,r p

Avec min 1, /p i DMAXP d (II-24)

UOP i r : est la fonction objectif minimal allant de la section i r jusqu’à la première

section, ( , )u i r elle est la fonction objectif d’une seule passe allant de la section (i) à la section

i r avec une profondeur de coupe .a r d .

Etape 4 : On continue ce processus (première étape à la troisième étape) Pour 1,2,...,i N

L’approche basée sur la programmation dynamique est décrite par le diagramme de la figure

(II-2).

1

Début

Entrée les données 0 , , , , DMOP, N, , , , c cD L D DMAXP V i j f i j

/ , 0, 0cd D N i k

1, . , :k k a k d SF passes de finitions

'k k

Calcule

( )UOP k a DMOP


32

Oui

Non

Oui

Oui Non

Non

Figure II.2 : Organigramme de la méthodologie pour l’optimisation multi-passes

On remarque comment les sections optimales sont sélectionnées et la formulation

mathématique de ces fonctions est comme suit :

L’optimum aux sections 1 à 3 est obtenue avec une seule passe, puisqu’il est supposé que :

, , 1,2,3D i i DMOP i et par conséquent ces sections formant une seule branche.

A la éme4 section l’optimum est obtenue par l’équation (II.26) pour 4i et 1,2,3r qui

donne les résultats en quatre branches :

2 4,2 4 1 4,3 3 4,1UOP u UOP UOP u UOP u (II-25)

L’optimum est donné par la fonction :

' min 1, /k i DMAXP d

' 1k

1

Calcul ( ')UOP k

. :a i d SR passes ébauches

a DMAXP

1i i

' ' 1; '.k k a k d

Calcule ( , ')UOP UOP i k

( , ') ( ' 1)OPW UOP i k UOP k

( ')OWP UOP k

' 1i k

, , , , , ,k k k uk uk u ua V f c t T C

( ')OWP UOP k

'k N

0i


33

4 3 4,1UOP UOP u (II-26)

)1,4(u représente la branche à partir de la éme4 section connectée à la ém e3 section, tant que

3UOP correspond à la branche de la ém e3 section qui est connectée au diamètre final 0D .Après

cela la profondeur de coupe est augmentée de la valeur d pour l’étape de l’itération suivante.

En répétant la procédure à chaque itération on obtient les résultats suivants pour

l’optimum à la5éme , 6éme et 7éme section

5 2 5,3UOP UOP u (II-27)

6 4 6,2UOP UOP u

(II-28)

7 5 7,2UOP UOP u

(II-29)

La ém e6 section n’est pas connectée à 0D puisque 6,6d est plus grand que DMAXP . [22]

De même la ém e7 section n’est pas connectée à la ére1 section et à 0D puisque 7,6d et

7,7d sont plus grands que DMAXP .On remplaçant (II.27) dans (II.29) on aura :

7 7,2 5,3 2UOP u u UOP (II-30)

L’équation (II.30) donne le nombre de passes optimum 3M , deux passes pour les

opérations d’ébauches et une passe pour la finition avec les profondeurs de coupe

respectivement :

7,2 2 , 5,3 3 , 2,2 2d d d d d d

Avec une profondeur de coupe totale

2 3 2 7cD d d d d

II.5.2 La deuxième méthode proposée pour la modélisation multi-passes

La stratégie de tournage multi-passes utilisée dans cette méthode est basée sur les

profondeurs de passe égales pour l'opération d’ébauche, et la dernière passe pour l'opération de

finition. Cette stratégie est adoptée donc pour simplifier l'analyse mathématique et résoudre le

problème de tournage multi-passes. [23]

II.5.2.1 Critère du temps de production en tournage multi-passes

Le temps de production dans le cas du tournage multi-passes est calculé par la formule

suivante :

me mft me cs mf cs r h

e f

t tT t t t t t t

T T (II-31)


34

Ou : 1

1m

r r r r

i

t t t m t

II.5.2.1.1 Détermination du temps de coupe

a) Temps de coupe en ébauche

Le temps de coupe totale pour m passes d’ébauche est calculé par la formule suivante :

1 2

1

... ...i i m

m

me me me me me

i

t t t t t

1 1 2 2

1 0 2 1 1 1 = ... ...1000 1000 1000 1000

i i m m

i i m m

e ce e ce e ce e ce

L D L D L D L D

f V f V f V f V

(II-32)

Où :

1

1 0

1

2 , 2,...,i

i j

j

D D a i m

(II-33)

b) Temps de coupe en finition

La passe finale est obtenue après la ièmem passe d’ébauche, le temps de coupe de finition

est :

1

1000

f m

mf

f cf

L Dt

f V

(II-34)

La vitesse de coupe et l’avance sont optimisées pour les passes d’ébauche afin que :

1 2

*

*

1 2

...

...

c c ce

e

V V V

f f f

(II-35)

On considérant le cas de tournage longitudinal (pour simplifier), le diamètre est décomposé

comme suit :

1 0 1 1

1

...m

i m

i

D D D D

1

0 0 1 0

1

2 ... 2m

j

j

D D a D a

(II-36)

A partir de la stratégie de profondeur de coupe égale par passe, c'est, 1 2 ... ea a a

l'équation (II-36) est simplifiée comme suit :

1 0

1

1 ,m

i e

i

D mD m m a

(II-37)

Alors :


35

0

1

11000i

m

me e

i ce e

Lt mD m m a

V f

(II-38)

Donc le temps de production pour une opération d’ébauche est donnée par :

1 2

3 3 3 3

0

0 1 1 a a1 1

1 a a a a

11

10001000

me

te e r cs

ice e

ce e e

L mD m m aLT mD m m a t t

V fK V f a

(II-39)

Dans le cas de la passe de finition, le diamètre de la pièce après les m passes 1mD est

donné par :

1 0 2m eD D ma (II-40)

Si le diamètre final après finition est LD et la profondeur de passe utilisé est fa , alors

02 2L f eD a D ma (II-41)

Donc le temps de production pour une opération de finition est donnée par :

1 2

3 3 3 3

a a1 11 1

a a a a

2 21000

1000

tf L f r L f cs

cf f

cf f f

L LT D a t D a t

V fK V f a

(II-42)

Alors, le temps de production totale est :

1 2

3 3 3 3

1 2

3 3 3 3

0

0 a a1 11 1

1 a a a a

a a1 11 1

a a a a

11

10001000

2 21000

1000

me

t e r cs

ice e

ce e e

L f r L f cs h

cf f

cf f f

L mD m m aLT mD m m a t t

V fK V f a

L LD a t D a t t

V fK V f a

(II-43)

La fonction objectif dans l'équation (II.43) montre que les sept variables, , , ,ce e eV f a

, ,cf f fV f a et m doivent être optimisés.

II.5.2.2 Critère du coût de production en tournage multi-passes

Le coût de production dans le tournage multi-passes est calculé par la formule suivante :

1 2

3 3 3 3

1 2

3 3 3 3

0 0

0 1 a a1 11 1

a a a a

0 1 0a a1 11 1

a a a a

1 1

10001000

2 21

10001000

e e

t

e ce

ce e e

L f L f

r h

f cf

cf f f

L mD m m a L mD m m aC C C

f VK V f a

L D a L D aC C C m t t

f VK V f a

(II-44)

Avec : 1 0 cs tC C t C


36

II.5.2.3 Contraintes

Les contraintes prises en considération dans l’usinage multi-passes sont les mêmes que

celles de l’usinage à passe simple, avec deux contraintes supplémentaires qui sont :

0

max

2 2 0

0

e L fD ma D a

m m

(II-45)

II.6 Conclusion

Nous avons fixé pour objectif de ce chapitre d’utiliser la programmation non linéaire pour

l’optimisation des conditions de coupe en tournage multi-passe, avec les critères de la

minimisation du temps de production et la minimisation du coût de production. Nous avons

utilisé deux méthodes pour la formulation d’un modèle d’optimisation multi-passe des

paramètres de coupe en tournage.

Chapitre III Optimisation Multi-Passe des Conditions de Coupe en Tournage

37

III.1 Introduction

Dans ce chapitre, nous utilisons la programmation non linéaire, pour résoudre les deux

problèmes d’optimisation des conditions de coupe : problème à passe simple et problème multi-

passe pour le procédé de tournage, avec les deux critères : temps et coût de production.

III.2 Exemple d’application

Nous proposons d’étudier une opération de chariotage sur une pièce brute (matériau)

Les dimensions et les paramètres d’usinage illustré dans le tableau si dessous :

Tableaux III. 1 Les paramètres d’usinage

Paramètre Valeur Paramètre Valeur

L 203 mm Rt 0.13 min/ passe

D 152 mm ht 1.5 min/ passe

minV 30 / minm max 500 C

maxV 200 / minm 1a 0.29

minf 0.254 /mm tr 2a 0.35

maxf 0.762 /mm tr 3a 0.25

maxSF 2,5 m K 193.3

maxSR 8 m cst 0.5 min/ arrête

maxP 5 KW 0C 0.1 $ / min

maxF 1100 N tC 0.5 $ / arrète

III.3 Formulation mathématique d’un modèle d’optimisation des conditions de coupe à

passe simple

III.3.1 Critère du temps de production

Comme nous avons vu dans le chapitre précédent le temps de production s’exprime

comme suit :

1 a3 /a3 a1 a3 /a3 a2/a3 1/a31 1. . . . . . .u c c cs h rT AV f AV f a K t t t (III-1)

Ou

96,8871000

DLA

Après le remplacement des exposants de la durée de vie par leurs valeurs et les autres

paramètres du temps, nous avons obtenu la fonction suivante :

1 1 8 3 0,16 1,496,887. . 3,465.10 . . 1,63u c cT V f V f a (III-2)


38

Donc le problème d’optimisation des conditions de coupe (critère du temps de production)

devient sous cette forme:

1 1 8 3 0,16 1,4

0,91 0,78 0,75

max

0,1013 0,725 0,75

max

0,4 0,2 0,105

max

1,52 1 0,25

max

Minimiser 96,887 . . 3,465.10 . . 1,63

Sous Contraintes

0,0373. . .

844. . .

75. . .

14,785. . .

0,254 0,762

3

u c c

c

c

c

c

T V f V f a

V f a P

V f a F

V f a

V f a R

f

0 200cV

(III-3)

III.3.2 Critère du coût de production

1 1 8 3 0,16 1,49,688 . 3,81.10 . . 0,163u c cC V f V f a

(III-4)

Donc le problème d’optimisation des conditions de coupe (critère du coût de production)

devient sous cette forme:

1 1 8 3 0,16 1,4

0,91 0,78 0,75

max

0,1013 0,725 0,75

max

0,4 0,2 0,105

max

1,52 1 0,25

max

minimiser 9,688 . . 3,81.10 . . 0,163

sous contraintes

0,0373. . .

844. . .

75. . .

14,785. . .

0,254 0,762

30

u c c

c

c

c

c

C V f V f a

V f a P

V f a F

V f a

V f a R

f

200cV

(III-5)

III.3.3 Résolution des problèmes :

La méthodologie de la résolution des problèmes d’optimisation des conditions de coupe en

tournage est présentée par l’organigramme suivant :


39

Figure III.1 Organigramme de la méthodologie d’optimisation à passe simple

Dans la simulation sur Matlab, on utilise la fonction « fmincon » qui permet la résolution

des problèmes d’optimisation non linéaires avec contraintes d’inégalité et d’égalité qui peuvent

être non linéaires.

Début

Variables d’entrée (dimensions, paramètres

de coût, paramètres de temps)

Modélisation de problème

Formulation de la fonction objectif

Critère de cout Critère de temps

Les contraintes

La limitation et les valeurs initiales

Optimisation

avec la fonction

« fmincon »

Solution optimal * * * *, , ,c u uV f C T


40

L’utilisation de la fonction « fmincon » exige la déclaration de la fonction-objectif et les

contraintes représentant le problème dans des « m.file » qui sont appelées dans le programme

principale, ce programme comporte les limitations des variables « ,lb ub » et des points initiales

0 0

1 2,x x .

Ce programme donne la possibilité d’appeler les critères et les contraintes à chaque

application dans la syntaxe de la fonction « fmincon ».

Cette fonction donne après l’exécution la valeur optimale des variables 1 2,X x x qui

exprimer les valeurs optimaux de la vitesse de coup et la vitesse d’avance, et aussi la valeur de

la fonction-objectif qui exprimer la valeur du temps ou du coût de production selon le critère

choisi.

Figure III.2 Représentation graphique de la fonction objectif en fonction des conditions de coupe.

III.3.4 Interprétation des représentations graphiques

Le choix de la méthode d’optimisation convenable nécessite de savoir avec précision la

nature de la fonction objectif.

Si la vitesse de coupe et la vitesse d’avance augmentent, le coût de production unitaire

« uC » augmente en raison de l’usure rapide d’outil de coupe.

On remarque que pour les grandes valeurs de l’avance et de la vitesse de coupe on obtient

un coût maximum, Par contre pour des petites valeurs de l’avance et de la vitesse de

coupe on obtient un temps minimum.


41

III.3.5 Les résultats

Les résultats obtenus sont regroupés dans les tableaux suivants

Tableau III.2 Les conditions de coupe optimales pour passe simple (Critère du coût de production)

a mm / mincV m /f mm tour uC uT

4.58 93.2547 0.3647 0.6692 4.6802

4.58 93.2547 0.3647 0.6692 4.6802

1 157.9854 0.3715 0.4563 3.3973

Coût et temps totaux de production 1.7947 12.7577

Tableau III.3 Les conditions de coupe optimales pour passe simple (Critère du temps de production)

a mm / mincV m /f mm tour uC uT

4.58 111.3636 0.4776 0.7387 3.8094

4.58 111.3636 0.4776 0.7387 3.8094

1 174.5348 0.4323 0.4685 3.0752


III.3.5.1 Interprétation des résultats obtenus

L’usinage se fait avec deux passes d’ébauche et une passe de finition.

Les valeurs de la vitesse de coupe dans le cas d’optimisation du coût de production sont

plus petites que les valeurs de la vitesse de coupe dans le cas d’optimisation du temps de

production.

Les valeurs de l’avance dans le cas d’optimisation du coût de production sont plus petites

que les valeurs de l’avance dans le cas d’optimisation du temps de production.

Le choix du temps de production comme objectif d’optimisation donne des résultats

meilleurs que celles trouvées dans le cas de la minimisation du coût de production.

III.4 Formulation mathématique d’un modèle d’optimisation multi-passe

III.4.1 Premier méthode « programmation dynamique »

Après le remplacement du paramètre d’usinage illustré dans le tableau III.1 nous obtenons

la formule du temps et du coût de production pour une passe.

Le temps de production par passe est donnée par :

1 1 8 3 0,16 1,4( , ) 96,887. ( , ). ( , ) 3,465 10 ( , ). ( , ). ( , ) 0.13u c cT i j V i j f i j V i j f i j a i j (III-6)

Le coût de production par passe est donnée par :


42

1 1 8 3 1,6 1,4( , ) 9,688 ( , ). 3,81 10 ( , ). ( , ). ( , ) 0.013u c cC i j V i j f V i j f i j a i j (III-7)

Ou l’expression du temps de production totale et de coût de production totale pour M

passe donnée par :

1

( , ) 1.5M

t u k

k

T T i j

(III-8)

1

( , ) 0.15M

t u k

k

C C i j

(III-9)

Les contraintes utilisées sont les mêmes contraintes de l’optimisation des conditions de

coupe à passe simple.

III.4.1.1 Algorithme de résolution du problème

La méthodologie de résolution du problème par la première méthode est illustrée par

l’organigramme suivant :

Variables d’entrées , , ,cN D DMAXP DMOP


Début

/cd D N

( )a vec i

1


43

Figure III.3 Organigramme d’optimisation multi-passes des conditions de coupe en tournage

Première méthode « programmation dynamique ».

0i

1i i 1:J r

min 1, /r i DMAXp d

Optimisation

Avec la fonction

« minf con »

Valeurs optimal * *, , ,cV i j f i j

Processus de la programmation dynamique , ,t tM T C

1i

Critère de cout Critère de temps

Les contraintes

Les limitations et les points initiaux

1


44

III.4.1.2 Représentations graphiques de la fonction objectif

Figure III.4 Variation de la fonction objectif en fonction de cV et f

III.4.1.2.1 Interprétation des représentations graphiques

Si la vitesse de coupe et l’avance augmentent, le coût de production unitaire « uC »

augmente en raison de l’usure rapide d’outil de coupe.

Les valeurs minimums du coût de production correspondent à des valeurs moyennes de la

vitesse de coupe puisque l’usure n’est pas importante.


un coût maximum et un temps minimum, Par contre pour des petites valeurs de l’avance

et de la vitesse de coupe on obtient un temps maximum.


45

Figure III.5 Variation de la fonction objectif en fonction de ca et V


Si la vitesse de coupe et la profondeur de passe augmentent, le coût de production

unitaire « uC » augmente en raison de l’usure rapide d’outil de coupe.

Si la vitesse de coupe et la profondeur de passe augmentent, le temps de production « uT »

augmente.

Si en remarque les valeurs du coût de production et du temps de production dans les deux

graphes on constate que l’augmentation de la profondeur de passe à une grande influence

sur le coût de production.


46

Figure III.6 Variation de la fonction objectif en fonction de a et f


Si l’avance diminue et la profondeur de passe augmente, le temps de production « uT »


Le coût de production augmente si la profondeur de passe augmente quelque soit la

valeur de l’avance.

III.4.1.3 Résolution du problème

Pour notre cas d’application nous divisons la profondeur de coupe totale 10.16CD mm

en 4,8 ,10 et 12 sections égales.

Après la résolution du problème d’optimisation (Optimisation avec la programmation non

linéaire) avec les deux critères (temps et coût de production) pour les différentes profondeurs de

coupe possibles pour des opérations d’ébauche max 8SR m et de finition max 2.5SF m les

valeurs des vitesses d’avances et de coupe sont :


47

Tableau III.4 Les valeurs optimales de cV et f (Critère du temps de production)

a mm

Opération ébauche maxSR = 8m Opération finition maxSF =2.5m

/f mm tour / mincV m /f mm tour / mincV m

0.85 0.7620 149.9275 0.4956 185.9109

1.02 0.7620 142.9210 0.4633 183.2816

1.27 0.7620 134.9290 0.4274 180.1694

1.69 0.7448 126.6131 0.3846 176.1924

2.03 0.6962 124.8128 0.3595 173.6871

2.54 0.6409 122.6463 0.3310 170.6724

3.05 0.5991 120.9056 0.3094 168.2499

3.38 0.5768 119.9391 0.2979 166.9049

3.81 0.5519 118.8222 0.2850 165.3507

4.07 0.5329 117.3729 0.2782 164.5001

4.24 0.5049 114.8363 0.2740 163.9751

5.08 0.4611 110.6807 0.2563 161.6759

Tableau III.5 Les valeurs optimales de cV et f (critère de coût de production)

a mm

Opération ébauche maxSR = 8m Opération finition maxSF =2.5m

/f mm tour / mincV m /f mm tour / mincV m

0.85 0.7620 114.7877 0.4056 162.9633

1.02 0.7620 118.2820 0.3674 157.3365

1.27 0.7313 119.3514 0.3262 150.8359

1.69 0.6262 112.9564 0.2793 142.7598

2.03 0.5669 109.0414 0.2540 138.2035

2.54 0.5020 104.4356 0.2540 143.3932

3.05 0.4545 100.8105 0.2540 147.7742

3.38 0.4299 98.8398 0.2540 150.2924

3.81 0.4028 96.5887 0.2540 153.2819

4.07 0.3887 95.3692 0.2540 154.9553

4.24 0.3716 93.8663 0.2540 156.0017

5.08 0.3446 91.3841 0.2540 160.7090


48

Nous résolvons le problème par la programmation dynamique pour les deux critères (temps

et coût de production) et ont considérons que :

( , ) ( , ) où ( , ) ( , )u uu i j C i j u i j T i j

La valeur de DMOP correspond à la valeur optimale maximale inférieure à DMAXP

Etape1 : 4N

En premier lieu on divise la profondeur de coupe totale en 4 sections égales avec :

La profondeur de passe optimal 3.81DMOP mm

La profondeur de passe maximal 5.08DMAXP mm

Après exécution du programme on trouve les résultats suivants :

uop 1 u 1,1

uop 2 uop 1 u 2, 1

uop 3 uop 1 u 3,2

uop 4 uop 2 u 4,2

Donc uop 4 u 1,1 + u (2,1) u 4,2

Et le nombre de passe optimal est 3M , deux passes pour l’ébauche et une passe pour la

finition avec les profondeurs de passes : 5.08mm, 2.54mm et 2.54mm.

Tableau III.6 Paramètres d’usinage optimal pour N=4 (Critère du coût de production)

Nombre

.de passes a mm /f mm tour / mincV m $uC minuT

1 5.08 0.3446 91.3841 0.5232 3.2038

2 2.54 0.5020 104.4356 0.3304 2.0424

3 2.54 0.2540 143.3932 0.5923 2.9941


Tableau III.7 Paramètres d’usinage optimal pour N=4 (Critère du temps de Production)

Nombre

.de passes a mm /f mm tour / mincV m $uC minuT

1 5.08 0.4611 110.6807 0.6054 2.2791

2 2.54 0.6409 122.6463 0.3659 1.5338

3 2.54 0.3310 170.6724 0.7455 2.3030


Etape 2 : 8N

La profondeur de passe optimale 3.81DMOP mm

La profondeur de passe maximale 5.08DMAXP mm

En exécutant le programme on trouve :


49

uop 1 u 1, 1

uop 2 u 2, 2

uop 3 u 3, 3

uop 4 uop 1 u 4, 3

uop 5 uop 1 u 5, 4

uop 6 uop 5 u 6, 1

uop 7 uop 5 u 7, 2

uop 8 uop 4 u 8, 4

Donc uop 8 u 1,1 (4,3) u 8, 4u .

Et le nombre de passes optimal est 3M , deux passes pour l'ébauche et une passe pour la

finition avec les profondeurs de passes : 5.08 mm, 3.81 mm et 1.27 mm.


Nombre

de passes a mm /f mm tour / mincV m $uC minuT

1 5.08 0.3446 91.3841 0.5232 3.2038

2 3.81 0.4028 96.5887 0.4333 2.6623

3 1.27 0.3262 150.8359 0.3571 2.2030



Nombre


1 5.08 0.4611 110.6807 0.6054 2.2791

2 3.81 0.5519 118.8222 0.5131 1.8604

3 1.27 0.4274 180.1694 0.4044 1.6107


Etape 3 : 10N





50

uop 1 u 1, 1

uop 2 u 2, 2

uop 3 u 3, 3

uop 4 uop 1 u 4, 3

uop 5 uop 1 u 5, 4

uop 6 uop 1 u 6, 5

uop 7 uop 3 u 7, 4

uop 8 uop 3 u 8, 5

uop 9 uop 5 u 9, 4

uop 10 uop 5 u 10, 5

Donc uop 10 u 1,1 (5,4) u 10, 5u

Le nombre de passes optimal est 3M , deux passes pour l'ébauche et une passe pour la



Nombre


1 5.08 0.3446 91.3841 0.5232 3.2038

2 4.07 0.3887 95.3692 0.4526 2.7787

3 1.02 0.3674 157.3365 0.3068 1.9004



Nombre


1 5.08 0.4611 110.6807 0.6054 2.2791

2 4.07 0.5329 117.3729 0.5365 1.9388

3 1.02 0.4633 183.2816 0.3363 1.4472


Etape 4: 12N





51

uop 1 u 1, 1

uop 2 u 2, 2

uop 3 u 3, 3

uop 4 u 4, 4

uop 5 uop 1 u 5, 4

uop 6 uop 1 u 6, 5

uop 7 uop 1 u 7, 6

uop 8 uop 2 u 8, 6

uop 9 uop 3 u 9, 6

uop 10 uop 5 u 10, 5

uop 11 uop 6 u 11, 5

uop 12 uop 6

u 12, 6

Donc : uop 12 u 1,1 u (6,5) u 12, 6

Et le nombre de passes optimal est 3M , deux passes pour l'ébauche et une passe pour la



Nombre


1 5.08 0.3446 91.3841 0.5232 3.2038

2 4.24 0.3801 94.6208 0.4650 2.8639

3 0.85 0.4056 162.9633 0.2705 1.6817



Nombre


1 5.08 0.4611 110.6807 0.6054 2.2791

2 4.24 0.5188 116.1078 0.5486 1.9975

3 0.85 0.4956 185.9109 0.2896 1.3268


Qui nous donne un coût et un temps de production totale respectivement égales à : 1.4087

$, 9.2494 min (pour le critère de coût).Et 1.5936 $, 7.1034 min (pour le critère de temps).

III.4.1.3.1 Interprétation des résultats

L’influence du nombre de sections N utilisée par la technique de la programmation dynamique

est observée en comparant les résultats des tableaux précédents pour les deux critères pour N= 4,

8, 10, 12


52

En augmentant le nombre de sections N de 4 à 8 il en résulte une diminution du coût et du

temps de production total pour les deux critères respectivement de 9.03 % et 1.94 %, 10.3%et

4.8% de même l’augmentation du nombre de sections de 8 à 10 provoque une réduction du coût

et du temps de production totale d’environ de 2 % et 1.94 % (pour le critère du coût de

production), 2.67% et1.17% (pour le critère du temps de production) par contre si on augmente

le nombre de sections de 10 à 12 on obtient une légère diminution du coût et du temps totale.

Finalement on constate que le nombre de passes optimal et les conditions d’usinages

correspondantes en respectant toutes les limitations des contraintes pour une profondeur de

coupe totale égale à 10.16 mm est obtenue avec le nombre de sections N égale à 12.

III.4.2 Deuxième méthode

III.4.2.1 Critère du temps de production

Le temps de production totale est :

1 1 10 3 0.16 1.4

1 1 10 3 0.16 1.4

0.637 152 1 2.28 10 152 1

0.637 131.68 2 2.28 10 131.68 2 0.13 1.63

u e ce e e ce e e

f cf f f cf f f

T m m a V f m m a V f a

a V f a V f a m

(III-10)

III.4.2.2 Critère du coût de production

Le coût de production totale est :

1 1 10 3 0.16 1.4

1 1 10 3 0.16 1.4

0.0637 152 1 2.5 10 152 1

0.0637 131.68 2 2.5 10 131.68 2 0.013 0.163

u e ce e e ce e e

f cf f f cf f f

C m m a V f m m a V f a

a V f a V f a m

(III-11)

III.4.2.3 Les contraintes

Les contraintes utilisées sont les mêmes contraintes de l’optimisation des conditions de

coupe à passe simple avec une contrainte supplémentaire.

La contrainte supplémentaire d’égalité devient comme suite :

0 002 2

L Le f c

D D D Dma a Où D

Donc :

10.16 0e fma a


53

III.4.2.4 Représentation graphique multi-passe deuxième méthode

Figure III.7 Représentation graphique de la fonction objectif en fonction de cV et f

III.4.2.4.1 Interprétation de Représentation graphique

Si la vitesse de coupe et l’avance augmentent, le coût de production unitaire « uC »


Les valeurs minimums du coût de production correspondent à des valeurs moyennes de la

vitesse de coupe puisque l’usure n’est pas importante.


un coût maximum et un temps minimum, Par contre pour des petites valeurs de l’avance

et de la vitesse de coupe on obtient un temps maximum.


54

Figure III.8 Représentation graphique de la fonction objectif en fonction de ca et V


Si la vitesse de coupe et la profondeur de passe augmentent, le coût de production

unitaire « uC » augmente en raison de l’usure rapide d’outil de coupe.

Si la vitesse de coupe et la profondeur de passe augmentent, le temps de production « uT »

augmente.

Si en remarque les valeurs du coût de production et du temps de production dans les deux

graphes on constate que l’augmentation de la profondeur de passe à une grande influence

sur le coût de production.


55

Figure III.9 Représentation graphique de la fonction objectif en fonction de a et f


Si la l’avance diminue et la profondeur de passe augmente, le temps de production « uT »


Le coût de production augmente si la profondeur de passe augmente quelque soit la

valeur de l’avance.

III.4.2.5 Résolution du problème

La méthodologie de la résolution des problèmes de première méthode par l’organigramme

suivant :


56

Figure III.10 Organigramme de la méthodologie d’optimisation multi-passes des conditions de coupe en

tournage.

Début

Variables d’entrées (dimensions, paramètres de u uT et C )


Une opération de finition

Critère de temps ou de cout d’usinage total

Les limitations et les points initiaux

Optimisation avec

la fonction

«fmincon »

Valeurs optimal * * * * * *, , , , , , ,t t ce e e cf f fC ou T V f a V f a m

Une opération d’ébauche

Contraintes des opérations d’ébauche +finition


57

III.4.2.6 Les résultats

Tableau III.14 Paramètres optimal d’usinage obtenu par deuxième méthode (critère du coût de

production)

( / min)

ceV

m

( / )

ef

mm tr

( )

ea

mm

( / min)

cfV

m

( / )

ff

mm tr

( )

fa

mm m

92.9346 0.3613 4.6550 162.9634 0.4056 0.85 2

Le coût de production totale tC ($)

1.4289

Le temps de production totale tT (min)

9.3608

Tableau III.15 Paramètres optimal d’usinage obtenu par deuxième méthode (critère du temps de

production)

( / min)

ceV

m

( / )

ef

mm tr

( )

ea

mm

( / min)

cfV

m

( / )

ff

mm tr

( )

fa

mm

m

113.2716 0.4881 4.6550 185.9109 0.4956 0.85 2

Le coût de production totale tC ($)

1.6186

Le temps de production totale tT (min)

7.1807

III.4.2.7 Interprétation des résultats

Le nombre de passe en ébauche m et les profondeurs de passes pour les opérations

d’ébauche et de finition ea et fa obtenues par les deux critères d’optimisation sont les mêmes.

Comme tout les résultats obtenues précédemment les valeurs des vitesses de coupe dans les

opérations d’ébauche est plus faible que celles des opérations de finition.

D’autre part on remarque que les vitesses de coupe et d’avance obtenues par le premier

critère (coût de production) sont plus faibles que les vitesses de coupe et d’avance obtenues par

le deuxième critère (temps de production),

III.5 Conclusion

On peut conclure que :

Les valeurs du coût et du temps de production obtenues par le processus d’optimisation à

passe simple sont plus élevées que les valeurs obtenues par le processus multi-passe.

Les valeurs des paramètres techno-économique obtenues par les deux méthodes

d’optimisation multi-passe sont presque les mêmes.

Conclusion générale

58

Conclusion générale

Dans le plus part des opérations d’usinage en tournage l’obtention des dimensions finale

de la pièce on doit souvent effectuer par plusieurs passes de coupe, ou les paramètres d’usinage

peuvent être déterminé en fonction de l’expérience de l’opérateur de la machine ou suivant le

guide de coupe fournier par le fabricant de l’équipement.

Le développement de modèles mathématique pour les opérations multi-passe de tournage

est devenu un outil utile pour déterminer les conditions de coupe optimal.

Ce travail concerne l’utilisation de la programmation non linéaire pour l’optimisation

multi-passe des conditions de coupe en tournage. Pour atteindre cet objectif nous avons utilisé

deux critères différents : minimisation du temps production et du coût de production.

Pour la résolution du problème nous avons élaboré trois programmes en langage

MATLAB, permettent de trouver les conditions de coupe optimales pour les différents cas :

Optimisation à passe simple et optimisation multi-passe avec les deux méthodes.

Dans notre étude les deux méthodes utilisées pour résoudre le problème multi-passe en

chariotage donnent des résultats comparables meilleurs que les résultats obtenus à l’optimisation

à passe simple.

Bibliographie

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[2] M. Assas, N. Belhattab, M. Djenane, «Optimization of Metal Working Based on Combined

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Résumé

Résumé

L’une des tendances actuelles de la production mécanique est de chercher à obtenir une

pièce de qualité requise avec un coût minimum dans des délais les plus courts possible.

L’utilisation des techniques d’optimisation est d’un grand intérêt pour ce type de problème.

Dans ce mémoire, nous avons présenté deux méthodes d’optimisation multi-passe des

conditions d’usinage utilisant comme critères d’optimisation la minimisation du coût et du

temps de production pour le processus de tournage. Les deux méthodes proposées basé

respectivement sur le processus de la programmation dynamique et un critère combiné pour

des opérations d’ébauche et une de finition.

Mots clés : Optimisation, Conditions de coupe, Programmation dynamique, Programmation

non linéaire.

Abstract

One of the current tendencies of the mechanical production is to seek to obtain a part of

necessary quality with a minimum cost within times the shortest possible. The use of the

techniques of optimization is of a great interest for this type of problem.

In this memory, we presented two methods of multi-passes optimization of the

conditions of machining using like criteria of optimization the minimization of the cost and

the time of production for the process of turning. Two methods suggested based respectively

on the process of the dynamic programming and a criterion combined for operations of

outline and one of completion.

Keys words: Optimization, Cutting conditions, Dynamic programming, Nonlinear

programming.

: الملخص

اقتصاديت (قغع) االتجاهاث الحاليت لإلوتاج و البحث في مجال الصىاعت الميكاويكيت الحصىل على مىتجاث أحذ مه

. لها فعاليت كبيشة في هزا المجالاألمثلتإن استعمال تقىياث . و راث جىدة عاليت

إلى استعمال عشيقتيه لتحسيه ششوط التصىيع بعذة تمشيشاث على ماكيىت الخشاعت تغشقىا, في هزي المزكشة

الغشيقتان المغشوحتان تشتكضان على التىالي على البشمجت .باستعمال معياسيه هما تخفيض التكلفت و صمه التصىيع

.الذيىاميكيت و على معياس يتضمه الشبظ بيه عملياث التخشيه و اإلوهاء

.، البشمجت الغيش خغيت البشمجت الذيىاميكيت، ششوط القغعاألمثلت، : الكلمات المفتاحية

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