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Dérivation impliciteet
Taux de variation instantané
Jacques Paradis
Professeur
Département de mathématiques 2
Plan de la rencontre
Taux de variation instantané (exemple)
Définition : équation implicite
Exemples d’équations implicites
Dérivées de base
Technique de dérivation implicite
Exemples de dérivation implicite
3Département de mathématiques
Taux de variation instantané (exemple)
Du haut d’un pont, une pierre est lancée verticalement vers le haut. La position de la pierre au-dessus du fleuve, en fonction du temps t, est donnée par x(t) = 58,8 + 19,6t – 4,9t2, où t est en secondes et x(t), en mètres.
a) Déterminer la fonction donnant la vitesse de la pierre en fonction du temps.
b) Déterminer la vitesse initiale de la pierre.
c) Déterminer le temps nécessaire pour que la pierre cesse de monter.
d) Calculer la vitesse de la pierre après 4 secondes.
e) Déterminer la hauteur maximale qu’atteindra la pierre.
4Département de mathématiques
Exemple (suite) Du haut d’un pont, une pierre est lancée verticalement vers le
haut. La position de la pierre au-dessus de la rivière , en fonction du temps t, est donnée par x(t) = 58,8 + 19,6t – 4,9t2, où t est en secondes et x(t), en mètres.
f) Déterminer la hauteur du pont.
g) Déterminer la distance totale parcourue par la balle.
h) Déterminer à quelle vitesse la balle touche à l’eau.
i) Déterminer la fonction donnant l’accélération de la pierre en fonction du temps.
k) Représenter la fonction x(t) sur [0 , 6].
Département de mathématiques 5
Définition Une équation implicite est une relation entre
différentes variables où une variable n’est pas explicitée en fonction des autres.
Équations explicites (habituelles): y = x2 - 2x + 3 x = 3y2 – y + 2
Équations implicites: x2 – 2xy + 2y3 = 5x2y (y2 + x)/(y2 – 2xy) =0
Remarque :Il faut noter qu’une équation implicite n’est pas nécessairement une fonction.
Département de mathématiques 6
Exemples Soit x2 – xy + y2 = 3 :
Soit x2 + y2 =25
Soit x3 + y3 = 9xy
Soit x2 – y2 = 16
Remarque : À l’époque de la création du calcul différentiel, presque toutes les expressions algébriques représentant des courbes prenaient la forme implicite.
Département de mathématiques 7
Dérivées de base (1 de 2)
Dérivée de x par rapport à x :
Dérivée de y par rapport à y :
Dérivée de y par rapport à x :
Dérivée de x2 par rapport à x :
d(x)1
dx
d(y)1
dy
dy
dx
2d(x )2x
dx
Département de mathématiques 8
Dérivées de base (2 de 2)
Dérivée de y2 par rapport à y :
Dérivée de y2 par rapport à x :
Dérivée de x2 y2 par rapport à x :
2d(y )2y
dy
2 2d(y ) d(y ) dy dy2y
dx dy dx dx
2 2 2 22 2d(x y ) d(x ) d(y )
y xdx dx dx
2 2 dy2x y x 2y
dx
vu u’ v u v’
u = y2 du/dx du/dy dy/dx
2 22xy 2x yy '
Département de mathématiques 9
Technique de dérivation implicite
Soit une équation implicite : F(x,y) = G(x,y) Exemple : x2 + y2 = 3 + xy
Étape 1 : Calculer la dérivée des deux membres de l’équation
Exemple :
Étape 2 : Isoler dy/dx de l’équation obtenue à l’étape 1.
Exemple :
2 2d(x + y ) d(3 xy) =
dx dx
dy (y 2x) =
dx (2y x)
d F(x,y) d G(x,y) =
dx dx{
Département de mathématiques 10
Exemple Trouver la dérivée de y par rapport à x si
x3 + y3 – 3xy2 = 4.
Département de mathématiques 11
Exemple Trouver l’équation de la tangente et de la normale
à la courbe x2 +y2 = 25 au point (3 , -4).
tangente
normale
Département de mathématiques 12
Exercice Trouver la pente de la tangente au point (1 , 4)
de la courbe y3 + x4 – x2y + y3 = 69.
Département de mathématiques 13
Devoir Exercices 5.1, page 189, nos 1 à 3, 4 (sauf d et e).
Exercices 4.4, page 161, nos 1 à 7
Exercices récapitulatifs, page 164, nos 6 (f est facultatif), 7a, 7b, 7e et 15 Réponses pour le no 6 : d) y’ = –x/y; e) y’ =
Réponse pour le no 7 e)
Exercices récapitulatifs, page 200, no 1 Réponses : a)1 225 m; b) v(t)=-9,8t + 4,9 m/s et a(t) = -9,8 m/s2;
c) 4,9 m/s, -14,7 m/s et -9,8m/s2; d) 1 226,225; e) -155 m/s.
2 4
3 3 2
x y y 2xou ;
x 2xy 3y
2
dy yf) .
dx x y(x y)
( 3,4) ( 3, 4)
dy x 3 3, m , m .
dx y 4 4
Département de mathématiques 14
Exemples de roses et de cardioïde
22 2 2 2x y 4 x y 32 2 2 2x y 16x y
22 2 2 2x y x x 3y
22 2 2 2 2x y 3x 3 x y