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DES PISTES DE TRAVAILEN MATHÉMATIQUESPOUR LES MAÎTRES SUPPLÉMENTAIRES
BRUNO CANIVENC, ESPE
SEPTEMBRE 2016
PLAN
• Quelles formes d’aide en mathématiques?
• Pistes en numération
• Pistes en résolution de problème
1) Quelles formes d’aide en mathématiques?mathématiques?
Un cadre général :les fonctions de l’étayage (Bruner)
• Enrôlement
• Maintien de l’orientation
• Réduction des degrés de liberté• Réduction des degrés de liberté
• Mise en évidence des caractéristiques de la tâche
• Contrôle de la frustration
• Présentation de modèles
Quelles formes d’aide en mathématiques ? (1)
• Risque de glissement dans la reformulation des consignes, prévoir des aides a priori
… ne pas donner la technique; prévoir des questions intermédiaires et des supports éventuelsintermédiaires et des supports éventuels
• Intérêt et limite du métacognitif et du métalangage : pas trop tôt, en situation
… parler de ce qu’on fait en le faisant, en le montrant…
• Importance du travail de la technique et du sens construit pas à pas
… faire et comprendre, petit à petit, un peu plus…
Quelles formes d’aide en mathématiques ? (2)
Intérêt des situations de rappel :
• mises en commun intermédiaires
… pour le moment, vous avez calculé… et maintenant
que va-t-on faire?...que va-t-on faire?...
• dévolution après coup de l’enjeu d’apprentissage avec dépersonnalisation des solutions et institutionnalisation locale
• décontextualisation en vue de l’institutionnalisation
… « je montre les 4 voitures avec mes doigts » devient
« je montre le nombre de voitures du début »…
Quelles formes d’aide en mathématiques ? (3)
Institutionnalisation progressive, par étapes, avec
• identification de l’objet de savoir et de sa raison d’être
… maintenant, on peut savoir combien il y a d’objets dans la boîte, même si on ne les voit pas ! …… maintenant, on peut savoir combien il y a d’objets dans la boîte, même si on ne les voit pas ! …
• Identification du type de tâche et de la technique étudiée
… on a appris à calculer le nombre d’objets dans la boîte quand on en enlève de la boîte… on fait…
• du lien entre la leçon et l’exercice,
On fait ainsi évoluer le contrat didactique
Quelles formes d’aide en mathématiques ? (4)
• Le langage outil et objet d’apprentissage
• L’accompagnement langagier plus important dans• L’accompagnement langagier plus important dansles étapes progressives de la manipulation versl’abstraction : c’est le professeur qui décrit latechnique et donne petit à petit les mots pourdécrire la situation et qui incite à les utiliser sansavoir trop d’exigences de formulation pour toustrop vite
Quelques formes d’aide en mathématiques ? (5)
• Importance d’une vision de la continuité des apprentissages avec des étapes cruciales
• Risque de négociations à la baisse, en particulier avec des micro-tâches et des jeux : l’étayage doit aider à prendre en charge la complexité, pas la faire prendre en charge la complexité, pas la faire disparaître
• Ne pas chercher à traiter toutes les erreurs car perte de sens du travail et lassitude
• Gérer les tensions réussite/apprentissage, éducation/instruction
• Vigilance sur la dérive vers l’individualisation
Ce que dit le programme de maternelle 2015
« Une école qui organise des modalités spécifiques d’apprentissage » (paragraphe 2 de l’introduction) :
• Apprendre en jouant
• Apprendre en résolvant des problèmes
• Apprendre en s’exerçant• Apprendre en s’exerçant
• Apprendre en se remémorant et en mémorisant
« Découvrir les nombres et leur utilisation » et « Explorer des formes, des grandeurs, des suites organisées » constituent le domaine « Construire les premiers outils pour structurer sa pensée »
Le programme 2015
Compétences travaillées
• Chercher
S’engager dans une démarche de résolution de problèmes en
observant, en posant des questions, en manipulant, en
expérimentant, en émettant des hypothèses, si besoin avec
l’accompagnement du professeur après un temps de recherche
autonome. Tester, essayer plusieurs pistes proposées par soi-autonome. Tester, essayer plusieurs pistes proposées par soi-
même, les autres élèves ou le professeur.
• Modéliser
Utiliser des outils mathématiques pour résoudre des problèmes
concrets, notamment des problèmes portant sur des grandeurs
et leurs mesures. Réaliser que certains problèmes relèvent de
situations additives, d’autres de situations multiplicatives, de
partages ou de groupements. Reconnaitre des formes dans des
objets réels et les reproduire géométriquement
Le programme 2015Compétences travaillées
• Représenter
Appréhender différents systèmes de représentations (dessins,
schémas, arbres de calcul, etc.). Utiliser des nombres pour
représenter des quantités ou des grandeurs. Utiliser diverses
représentations de solides et de situations spatiales
• Raisonner
Anticiper le résultat d’une manipulation, d’un calcul, ou d’une
mesure. Raisonner sur des figures pour les reproduire avec des
instruments. Tenir compte d’éléments divers (arguments
d’autrui, résultats d’une expérience, sources internes ou
externes à la classe, etc.) pour modifier son jugement. Prendre
progressivement conscience de la nécessité et de l’intérêt de
justifier ce que l’on affirme
Le programme 2015
Compétences travaillées
• Calculer
Calculer avec des nombres entiers, mentalement ou à la main,
de manière exacte ou approchée, en utilisant des stratégies
adaptées aux nombres en jeu. Contrôler la vraisemblance deadaptées aux nombres en jeu. Contrôler la vraisemblance de
ses résultats.
• Communiquer
Utiliser l’oral et l’écrit, le langage naturel puis quelques
représentations et quelques symboles pour expliciter des
démarches, argumenter des raisonnements.
Le programme 2015
« Au cycle 2, le sens et l’automatisation se construisent simultanément.
La compréhension est indispensable à l’élaboration de savoirs solides que les
élèves pourront réinvestir et l’automatisation de certains savoir-faire est le
moyen de libérer des ressources cognitives pour qu’ils puissent accéder à des
opérations plus élaborées et à la compréhension. Tous les enseignements sont
concernés. En mathématiques par exemple, comprendre les différentes
opérations est indispensable à l’élaboration de ces savoirs que les élèves
réinvestissent . En parallèle, des connaissances immédiatement disponibles
(comme les résultats des tables de multiplication) améliorent considérablement
les capacités de « calcul intelligent », où les élèves comprennent ce qu’ils font
et pourquoi ils le font. » Introduction du programme 2015
Le programme 2015
Nombres et Calcul
• La connaissance des nombres entiers et du calcul est un
objectif majeur du cycle 2. Elle se développe en appui sur les
quantités et les grandeurs, en travaillant selon plusieurs axesquantités et les grandeurs, en travaillant selon plusieurs axes
• des résolutions de problèmes contextualisés
• l’étude de relations internes aux nombres
• l’étude des différentes désignations orales et/ou écrites
• l’appropriation de stratégies de calcul
• une bonne connaissance des nombres inférieurs à 1000 et de
leurs relations
2) Des pistes en numération2) Des pistes en numération
Des pistes en numération
• Déterminer un cardinal, dénombrer
• Mémoriser des décompositions
• Mémoriser la suite numérique• Mémoriser la suite numérique
• Comprendre le fonctionnement de lanumération décimale de position
• Maîtriser des compétences en calcul mental
Déterminer le cardinal d’une collection
Plusieurs procédures à pratiquer et sur lesquelles
construire des automatismes :
• Reconnaissance immédiate de petites quantités jusqu’à
3 ou 4 (maternelle)3 ou 4 (maternelle)
• Reconnaissance globale de collections organisées
(constellations, doigts, carte de 10, boîte de Picbille,
boulier, abaque …) à poursuivre
• Dénombrement
• Estimation
Maîtriser les principes du dénombrement (Gelman)
La connaissance de la comptine est préalable et cinq principes régissent le dénombrement :
• Abstraction : toutes sortes d’éléments peuvent être rassemblés et dénombrés ensemble (c’est la notion rassemblés et dénombrés ensemble (c’est la notion de collection et de désignation)
• Correspondance terme à terme
• Suite stable des mots nombres
• Cardinal (dernier mot nombre)
• Indifférence à l’ordre des objets (mais problème d’énumération)
L’énumération
La boîte avec fentes : une situation de découverte aucycle 1 et de remédiation au cycle 2 pour centrer lesélèves sur l’organisation du parcours de la collection(« Le nombre au cycle 2 » page 28)
Des compétences déjà travaillées en maternelle
• Activités de reconnaissance et productionimmédiates de collections organisées
• Bonne connaissance de la suite (à partir de 1, jusqu’àm, à partir de n, à l’envers)m, à partir de n, à l’envers)
• Correspondance suites orale et écrite
• Mémorisation de quelques décompositionsadditives (album à calculer)
• Mémorisation des premiers doubles
Mémorisation de la suite numérique
• Activités de récitation, en lien avec des comptines,en jouant sur la segmentation
• Programmer au CP des comptines de MS et GS pourles élèves qui n’ont pas été scolarisés ou n’en ont pasles élèves qui n’ont pas été scolarisés ou n’en ont pasprofité
• Activités pour consolider, approfondir (ouapprendre?) la suite numérique :
o La marionnette qui se trompe
o Le jeu du tambour
o Le jeu de l’escalier
Comprendre le système de numération (1)
• Rôle déterminant du cycle 2 dans la construction de la
notion de dizaine, centaine, millier d’unités
• Importance de la manipulation effective de matériel• Importance de la manipulation effective de matériel
de numération pour percevoir la dizaine comme un
regroupement de dix unités et comme un tout (idem
pour la centaine) et de la verbalisation pour atteindre
l’abstraction.
Comprendre le système de numération (2)
Importance du travail effectif de manipulation autour
de groupements et échanges pour la distinction
valeur/quantité liée à la place du chiffre dans
l’écriture du nombre :
o jeux du type de celui du Banquier avec échange 1 pour 5
dans un premier temps, puis 1 pour 10
o jeux du type de celui de Carrelages où les élèves doivent
recouvrir exactement des rectangles avec des carreaux
unités et des barres de 10 carreaux (10x1 et 5x2) en
passant commande
Comprendre le système de numération (3)Concevoir la dizaine en manipulant
• Les « uns » qui demeurent : bûchettes avec élastique, perlesenfilées sur un fil…(dans la dizaine que l’on constitue, chaqueunité reste présente)
• Les « uns » qui s’échangent, mais restent visibles : échange decarreaux contre une barre, de barres contre un grand carré, degrands carrés contre un cube (matériel multi-bases). Le dix, lecarreaux contre une barre, de barres contre un grand carré, degrands carrés contre un cube (matériel multi-bases). Le dix, lecent… portent un nom (barre, carré)
• Les «uns» qui disparaissent mais laissent une trace symbolique :boîte de Picbille ; principe de l’argent, les 1 ont disparu dans lebillet sur lequel est inscrit le 10, un pas vers l’abstraction
• Les « uns » qui disparaissent et se transforment en un autre «un » en changeant de couleur ou de forme : cubes ou jetons decouleurs selon une règle d’échange (matériel Montessori/Faure,jeu du banquier…)
Numération entière au cycle 2
• Deux supports complémentaires au cycle 2 :
- la frise numérique linéaire,- la frise numérique linéaire,
- le tableau avec des lignes de dizaines pour
s’approprier l’ordre et la régularité dans l’écriture des
nombres
Numération entière au cycle 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 4940 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
Numération entière au cycle 2
• L’importance de la reconnaissance immédiate est bien
connue pour les premiers nombres et souvent travaillée à
partir des doigts, de la constellation du dé et parfois
d’autres matériels (cartes à 10, boîte de Picbille…)
• La reconnaissance immédiate de paquets de 10 ou de
deux paires de mains (« je vois 3 paquets de 10 ou 3deux paires de mains (« je vois 3 paquets de 10 ou 3
paires de mains, on me montre donc 30 ») est souvent
moins systématisée, elle est pourtant une aide précieuse
pour reconnaître 35 sans dénombrer les 35 éléments
présentés, pour peu qu’on entraîne par ailleurs la
récitation de la suite à partir de n et de 10 en 10
Numération entière au cycle 2
• Difficultés dans l’écriture des nombres compris
entre 70 et 99 atténuées par l’introduction
simultanée des dizaines 60 et 70 d’une part, 80 et
90 d’autre part.
• Penser aussi à l’utilisation des cartons du type de
ceux utilisés dans la pédagogie Montessori :
carrés des unités, rectangles des dizaines,
rectangles plus grands des centaines, etc… qui se
placent l’un sur l’autre pour ne pas « perdre » le 0
de la dizaine quand on écrit 64 à partir de 60 et 4,
il est seulement caché !
Numération entière du cycle 2 à la sixième
4
6 06 0
2 0 0
5 0 0 0
Numération entière au cycle 2
• Trop grande importance accordée dans les manuels
et dans les évaluations de classe à la question :
« quel est le nombre de dizaines dans 325? »
• L’énorme difficulté de vocabulaire plaide pour
utiliser longtemps une formulation du type :
• « combien y a-t-il de paquets de 10 en tout? »
• « combien y a-t-il de dizaines en tout? ».
• Cette compétence est essentielle pour la suite
(changement d’unités), construisons de la
compréhension à l’aide d’images mentales.
Relations arithmétiques entre nombresLes programmes énoncent trois types de relations différentes mais complémentaires :
• double, moitié ou demi, triple, quart : ces expressions ne sont pas forcément reliées aux fractions. En effet, elles font appel à des relations fondamentales entre les nombres qui doivent être connues : la moitié de 30 est 15 ; le quart de 80 est 20 ;
• relations entre des nombres d’usage courant les • relations entre des nombres d’usage courant : les décompositions additives et multiplicatives des nombres 100, 1 000 doivent faire l’objet d’une attention particulière. Par exemple : 100 = 20 × 5 ; 100 = 4 × 25 ; 100 = 10 × 10 ; 100 = 75 + 25 ; 100 = 50 + 50 ; ≪25 est le quart de 100 ≫ ; 100 : 4 = 25
• la notion de multiple : peut être abordée dès le CE2. Elle permet de mettre en évidence une caractéristique de certains nombres (par exemple, ≪ dans 30, il y a 6 fois le nombre 5 ≫). Le travail sur la division dépend de la qualité de cet apprentissages.
Le calcul mental (1)
• Compléments à 10 et à la dizaine supérieure
• Compter de 10 en 10, de 2 en 2, de 5 en 5
• Additions et soustractions (d’un nombre à 1 chiffre
dans la dizaine, hors de la dizaine; d’une dizaine, dedans la dizaine, hors de la dizaine; d’une dizaine, de
plusieurs dizaines…)
• Décompositions additives (entraînement avec la
passation de commandes auprès d’une marionnette
qui ne connaît que les nombres à 1 chiffre)
• Tables au programme
• Doubles et moitiés
Le calcul mental (2)
• Distinction claire entre résultat automatisé (faitnumérique) et procédure automatisée
• Intérêt d’une pratique régulière
• Importance des moments d’institutionnalisation destechniques et des domaines de validité de cestechniques et des domaines de validité de cestechniques
• Importance du travail d’entraînement pour construiredes automatismes
• Au cycle 2, sur le temps de calcul mental, activités denumération
• Première approche de « petits problèmes simples »
Le calcul mental (3)
• Intérêt d’installer des « faits numériques » par une pratique régulière du calcul mental
• Au cycle 3, on devra pouvoir calculer mentalement
45 + 17 en disant par exemple : 45 + 17 en disant par exemple :
45 + 17 = 45 + 10 + 7 = 55 + 5 + 2 = 60 + 2
ou 45 + 17 = 45 + 20 – 3
ou 45 + 17 = 45 + 5 + 12
Il faut entraîner ces décompositions au CE1 avec « 17 allé à 20 », puis « 17 = 20 – ? » et « 17 = 5 + ? » puis en ajoutant des dizaines
Le calcul mental (4)
Entraînement à des activités de mémorisation denombres présentés sous différentes formes,accompagnées d’un traitement :
• écriture en chiffres d’un nombre dit,
• passage de représentation avec doigts ouconstellations à l’écriture en chiffres,
• donner le plus grand de trois nombres,
• ranger trois nombres du plus petit au plus grand,
• écrire le suivant, le précédent,
• écrire la dizaine supérieure, inférieure
Le calcul mental (5)
• Activités pour explorer les tables d’addition et
soustraction :
• Décompositions des premiers nombres puis
• Décomposition des nombres supérieurs à 10 en
« du » (2d 3u)« du » (2d 3u)
• Jeux de cartes, de dominos, de loto
• Recherche de terme(s) manquant(s) :
o 8 + 7 = ? 9 – 3 = ?
o 9 + ? = 14 7 allé à 14 8 - ? = 5 ? – 7 = 4
o deux nombres dont la somme est 18? dont la différence
est 6 ?
Le calcul en ligne (1)
Le programme de 2015 distingue
– le calcul mental,
– le calcul en ligne,
– le calcul posé– le calcul posé
– et le calcul instrumenté
C’est une modalité de calcul écrit ou partiellement écrit, avec un énoncé donné à l’oral ou à l’écrit et une réponse écrite.
Le calcul en ligne (2)
• Exemples de calculs en ligne :
o 58 + 17 = 68 + 7 = 75
o 19 + 7 = 19 + 1 + 6 = 26
• Comme le calcul mental, le calcul en ligne donne lieu à des temps d’institutionnalisationà des temps d’institutionnalisation
• Au tableau et sur la trace écrite, le signe = est bien employé, sur l’écrit de recherche pas toujours !
• Le calcul en ligne et le calcul mental se complètent, par exemple en résolution de problème quand un calcul posé n’est pas indispensable, mais que l’élève ne peut mémoriser toutes les étapes intermédiaires du calcul
Les cases voisines
52
3
53
3
5
36
54
6
55
12
61
54
5
27
46
6
4
4
42
31
5
31
44
44
42
44
3
5
Colorier de la même couleur 3 cases voisines dont la somme est 10
41
34 4 24
44 3
3
3 52
3
09
1
3
17 6
12
346 4
2
3 33
3
42
3
30 4 3
84 1
4
44
1 4 2 45
est 10
Des pistes
en résolution de problèmeen résolution de problème
Des problèmes en maternelle, vraiment?
Les mathématiques en maternelle s ’apprennent
- par l ’imprégnation,
- par la répétition,
- et par la résolution de problème
Pierrard Alain : Faire des mathématiques à l ’école maternelle, Sceren,
Académie de Grenoble (2002, réédition 2011)
Des pistes en résolution de problème
• Qu’est-ce qu’un problème?
• Que dit le programme de 2015?
• Résoudre des problèmes en verbalisant
• Une vraie progression pour le sens desopérations
• Une place donnée aux problèmes pourapprendre à chercher
Résoudre des problèmes
• Un problème peut être défini commeétant la donnée
d'une situation initiale (ensemble d'informations) et
d'un but à atteindre (question ou consigne).
• Pour atteindre ce but, l'élève doit élaborer une suite
d'actions ou d'opérations ; traitement nécessitant d'actions ou d'opérations ; traitement nécessitant
l'utilisation de notions ou d'outils mathématiques. Pour
qu'il y ait problème, la réponse ne doit pas être
disponible directement dans les informations données,
mais doit être possible à construire par l'élève.
Jean Brun
Résoudre des problèmes• « Au cycle 2, la résolution de problèmes est au centre de l’activité
mathématique des élèves, développant leurs capacités à chercher,
raisonner et communiquer.
• Les problèmes permettent d’aborder de nouvelles notions, de consolider
des acquisitions, de provoquer des questionnements.
• Ils peuvent être issus de situations de vie de classe ou de situations
rencontrées dans d’autres enseignements, notamment Questionner lerencontrées dans d’autres enseignements, notamment Questionner le
monde.
• Ils ont le plus souvent possible un caractère ludique.
• On veillera à proposer aux élèves dès le CP des problèmes pour
apprendre à chercher qui ne soient pas de simples problèmes
d’application à une ou plusieurs opérations mais nécessitent des
recherches avec tâtonnements »
Introduction du programme de 2015
Quelques lignes directrices (1)
• Au-delà des difficultés de lecture « normales » aucycle 2, l’enjeu de la lecture (ou de l’écoute) del’énoncé du problème réside dans la constructiond’une représentation mentale de la situation quidevra, ensuite, être opérationnalisée. Elle sedevra, ensuite, être opérationnalisée. Elle seprécisera au fur et à mesure de la résolution…
• Ce n’est pas la lecture de l’énoncé ou l’étuded’une opération qui doit être la clé de laprogression, mais la progressivité dans l’étudedes différentes situations des catégories deproblèmes additifs ou multiplicatifs (Vergnaud)
Quelques lignes directrices (2)
• Intérêt de prendre du temps pour « entrer » dans lasituation de référence (recherche de l’état final dans lejeu de la boîte), pour savoir mettre des mots dessus,de manière à construire un langage d’évocation dede manière à construire un langage d’évocation decette situation. Y revenir souvent !
• Progressivement, décontextualiser et recontextualiser(garage puis bus ou/et personnes dans un ascenseur…)
Quels problèmes résoudre ?• Liés aux techniques de dénombrement : énumération
• Liés aux fonctions du nombre: mémoire d’une quantité, mémoire
d’une position, comparaison de quantités ou de positions,
et pour l’anticipation,
• Liés au champ additif : augmentation/retrait, réunion,
comparaisoncomparaison
• Liés au champ multiplicatif : proportionnalité, partage,
groupement
• Liés aux autres domaines : formes et grandeurs, temps, espace
et des problèmes pour apprendre à chercher,
dans n’importe quel domaine mathématique : numérique,
orientation, géométrie, logique…
Problèmes liés aux fonctions du nombre (1)
Activité « Wagons » ou « Le couvert » MS/GS
• Activité fondamentale pour le nombre comme mémoire
d’une quantité.
• Les élèves doivent aller chercher à l’autre bout de la• Les élèves doivent aller chercher à l’autre bout de la
pièce « juste assez » de voyageurs pour occuper les
places dessinées dans le wagon, ou « juste assez » de
couverts pour que tout le monde puisse manger.
• Plusieurs réalisations nécessaires avant l’apparition, puis
la diffusion de la technique de dénombrement de la
collection initiale. Ne pas forcer la procédure, on tuerait
l’activité !
Problèmes liés aux fonctions du nombre (2)
Activité « Train des lapins » (GS)
• Activité fondamentale pour le nombre comme mémoired’une position.
• Un lapin est posé dans un des wagons du «trainmodèle» (train d’environ 25 wagons). Après avoir observémodèle» (train d’environ 25 wagons). Après avoir observéleur «train modèle», les élèves doivent se déplacer jusqu’àleur «train personnel» et placer un lapin dans le mêmewagon que celui du «train modèle».
• La validation se fait individuellement en mettant encorrespondance l’un en dessous de l’autre son « trainpersonnel » et le » train modèle ».
• Poursuite avec 2 ou 3 lapins (compter à partir de lalocomotive ou d’un autre lapin)
Les 4 grands types de problèmes du champ additif étudiés au cycle 2
• 1) transformation de collection
- j’ai 8 billes, j ’en perds 2, combien en ai-je à
la fin?
- j’avais 7 billes, j’en ai maintenant 10, - j’avais 7 billes, j’en ai maintenant 10,
combien m’en a-t-on donné? …
• 2) transformation de position
je suis sur la case 8, je recule de 2, sur quelle
case est-ce que j’arrive? …
Les 4 grands types de problèmes du champ additif étudiés au cycle 2
• 3) réunion/séparation de collections
j’ai 2 billes dans une main et 6 dans
l ’autre, combien en ai-je en tout? …
• 4) comparaison d ’états• 4) comparaison d ’états
- tu as 8 billes, j’ai 2 billes de moins que
toi, combien ai-je de billes? …
- j’ai 8 ans, j’ai 3 ans de moins que ma
sœur, quel est l’âge de ma sœur?
Situation de référence pour la transformation de collection (1)
« Ajouter ou retirer 1 » en MS et « Ajouter ou retirer de 1
à 3 » en GS
- l ’enseignant place 1 à 3 voitures dans une boîte opaque.
Puis, il ajoute 1 voiture et demande de montrer avec ses
doigts puis de dire le nombre de voitures présentes dans
la boîte maintenant.
- même situation avec des nombres compris entre 1 et 5
en retirant 1 objet.
Situation de référencepour la transformation de collection (2)
• « Ces jetons, c’est comme ceux, c’est à la place de ceux qui sont
dans la boîte », « Les doigts de cette main, c’est comme les
voitures qui étaient dans la boîte au début, ils représentent les
voitures qui étaient dans la boîte au début » …
• Représentations « papier » très ressemblantes, dans un premier
temps, aux objets avec lesquels a été effectuée la manipulation et
nouvel accompagnement langagier (« ce trait, c’est comme… »,
« ce rond, c’est à la place de… », « ce petit carré, il représente une
voiture… » …
Situation de référencepour la transformation de position
Déplacer un pion sur une piste graduée (type jeu de
l ’oie)
• On cherche la position finale ou le déplacement ou la
position initiale.position initiale.
• La situation est abordée dès la MS/GS, d ’abord en
avançant, puis avec un dé « avance/recule » et un dé
indiquant la valeur du déplacement.
• Les procédures évoluent progressivement vers l’addition
ou la soustraction au CP.
Les 3 grands types de problèmes du champ multiplicatif étudiés au cycle 2
• la proportionnalité simple avec présence de l’unité:problèmes de multiplication, de partage (recherche de la valeurd’une part), de groupement (recherche du nombre de parts)
1kg coûte 3€, combien coûtent 5kg? : calcul du prix total ,1kg coûte 3€, combien coûtent 5kg? : calcul du prix total ,
calcul du prix à l ’unité ou calcul du nombre de kg;
• la comparaison multiplicative :
tu as 3 billes, moi, j ’en ai 5 fois plus; combien ai-je de billes ?
• un produit de mesures : problèmes schématisables par untableau à double entrée ou l ’aire d ’un rectangle
- tu as 3 pantalons et 4 pulls. Combien de tenues différentes?
- nombre de carreaux sur une page quadrillée de 25 sur 60?
Des difficultés en lecture ... ou en maths ?
• Apprendre à lire des énoncés : une piste datée
historiquement et qui n ’a pas fait ses preuves
• Un travail « méthodologique » n’a de sens qu’en lien
avec une résolution effective d ’exercicesavec une résolution effective d ’exercices
• Faciliter la construction de représentations mentales et
le lien avec des situations de référence
• Susciter la sélection et l’interprétation des données,
leur organisation et structuration en vue de leur
opérationnalisation (Jean Julo)
Une place donnéeaux problèmes pour apprendre à chercher
• Apport précieux pour casser une représentation de
l’activité mathématique vue comme reconnaissance et
application systématique de connaissances,
représentation qui est un obstacle majeur dès le cyclereprésentation qui est un obstacle majeur dès le cycle
2 (chercher « avec » sa tête et pas seulement « dans »
sa tête des choses déjà vues, selon les expressions de
Roland Charnay).
• Ils sont inscrits dans les programmes 2015 et ils sont
fortement recommandés par les travaux de didactique
des mathématiques.
Exemples d’énoncés de problèmes pour apprendre à chercher (1)
• « Trouver plusieurs tours différentes de quatre cubes
de quatre couleurs différentes (puis le maximum). »
(Ermel CP)
• « Dans un magasin,on peut acheterdes œufspar• « Dans un magasin,on peut acheterdes œufspar
boîtes de 6 œufs ou de 10 œufs. Marion veut acheter
66 œufs. Combien de boîtes doit-elle prendre? Il y a
plusieurs solutions, cherche-les. Même question
possible avec 74 ou 88.» (Ermel CE1)
• Au pays des CinqTrois : que payer avec des pièces de
3 et de 5 ? En rendant la monnaie ou pas?
Exemples d’énoncés de problèmes pour apprendre à chercher (2)
• « Dans ce bar, on peut prendre des repas à 8€ ou à
12€. Mardi, après le départ des clients, le patron a
104€ danssa caisse. Cherchecombiende repasont104€ danssa caisse. Cherchecombiende repasont
été servis. » (d ’après Ermel CE1)
• « Sur la bande numérique, si j’ajoute 14; 15 et 16, je
trouve 45. Est-ce que je peux trouver d’autres
nombres qui se suivent dont la somme vaut 45? »
• « Différentes façons de payer 34€ avec des pièces de
2€ et billets de 5€ »
Conclusion provisoire
Les élèves vont s’approprier les nombres etcomprendre leur écriture par le biais d’un rapport auréel construit grâce aux langages,
en manipulant,en manipulant,
en calculant,
en résolvant des problèmes,
en construisant des automatismes…
ce qui les outille et les prépare, par ailleurs, àcomprendre à quoi on « joue » quand on résout desproblèmes en mathématiques !
Le maître supplémentaire permet …
• Un accompagnement dans la dévolution, en suscitantdes reformulations et la construction de liens avec desconnaissances antérieures,
• Une meilleure mobilisation sur la tâche,
• Une manipulation parfois prolongée et avec un temps• Une manipulation parfois prolongée et avec un tempsplus grand de verbalisation pour les élèves faibles,avec des exigences progressives,
• Des mises en commun intermédiaires différenciées
• Des institutionnalisations progressives,
• …
Éléments de bibliographie (1)
• Nouveaux documents d’accompagnement du programme
2015 en ligne : le calcul aux cycles 2 et 3, le calcul en ligne
au cycle 2, grandeurs et mesure au cycle 2, initiation à la
programmation aux cycles 2 et 3. A venir en géométrie
• Problèmes additifs et soustractifs CP-CE1, Sceren Nord-Pas • Problèmes additifs et soustractifs CP-CE1, Sceren Nord-Pas
de Calais (2009)
• Livres du maître des collections Cap Maths, Opérations
Maths, Pour comprendre les maths, J’apprends les maths...
• Aider les élèves en difficulté en mathématiques CP/CE1, 2
tomes, Berdonneau, Hachette Éducation (2007)
Éléments de bibliographie (2)
• Le nombre au cycle 2, Sceren (2010), en ligne : document d’accompagnement du programme 2008 toujours intéressant !
• Vers les maths GS, éditions Access
• Album à calculer, GS, Brissiaud, Retz• Album à calculer, GS, Brissiaud, Retz
• Apprentissages numériques en GS, au CP, au CE1, au
CE2, Ermel, Hatier
• Activités numériques à la maternelle, Descaves et
Vignaud, Hachette Education (2006)
• …
