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2008 - Grard Lavau -
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DETERMINANTS
PLAN I : Dfinition
1) Dterminant 2 22) Forme multilinaire alterne3) Dterminant 3
34) Dterminant n n
II : Calcul des dterminants :
1) Dterminant d'une matrice diagonale2) Dterminant d'une matrice
triangulaire3) Dterminant de la transpose d'une matrice4)
Dterminant par blocs diagonaux5) Dveloppement par rapport une
colonne6) Exemples de calculs7) Dterminant d'un produit de
matrices8) Dterminant de l'inverse d'une matrice9) Influence d'un
changement de base
III : Applications des dterminants1) Critre d'indpendance2)
Formules de Cramer3) Inverse d'une matrice4) Base directe et
indirecte
Le corps
de rfrence considr est un souscorps de (ou plus gnralement, un
corps) decaractristique nulle. Il s'agit le plus souvent de ou
euxmmes.
I : Dfinition
1Dterminant 2 2
On cherche quelle condition deux vecteurs de 2 ab et
a 'b' sont linairement dpendants.
Si, par exemple
a '
b ' est non nul, il existe tel que :a = a 'b = b '
D'o, en liminant , ab ' ba ' = 0. Inversement, si cette
condition est ralise, avec par exemple anon nul, on obtient :
a ' = a .a '/ ab' = b.a '/ a
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On reconnat dans la quantit ab ' ba ' le dterminant des deux
vecteurs, nota a 'b b ' , dj introduit
dans le chapitre Gomtrie lmentaire qu'on trouvera dans le
fichier GEOMELEM.PDF.
On parle aussi de dterminant de la matrice
a a '
b b ' .
Les proprits de l'application dterminant dfinie par (V, V')
Det(V,V') sont les suivantes :i) Cette application est linaire en V
(V' fix) et en V' (V fix). Elle est dite bilinaire.ii) Det(V,V') =
Det(V',V). Elle est dite alterne ou antisymtrique.
2 Forme multilinaire alterne Dbut de partie rserve aux MPSI
a) Considrons un espace vectoriel E sur un corps = ou , et une
application de E n dans .Cette application est dite multilinaire
si, pour tout V 1, V 2, ..., V i1, V i+1, ... V n, l'application
portantsur la ime composante V i est linaire ;
(V 1,..., V i,...,V n) = (V 1,...,V i,...,V n)(V 1,...,V i + V
i',...,V n) = (V 1,...,V i,...,V n) + (V 1,...,V i',...,V n)
Ainsi le produit scalaire est bilinaire. Le produit de n rels
est multilinaire. Plus gnralement, leproduit de n formes linaires
sur un espace vectoriel est une forme nlinaire. En fait,
lamultilinarit permet de dvelopper une expression comme un
produit.
On fera bien la diffrence entre application linaire et
multilinaire. Dans le premier cas :(V1, V2, ..., Vn) = (V 1, V 2,
..., V n)(V 1 + V 1', ..., V i + V i', ..., V n + V n') = (V 1,
..., V i, ..., V n) +
(V 1', ..., V i', ..., V n')alors que dans le second :
(V1, V2, ..., Vn) = n (V 1, V 2, ..., V n)(V 1 + V 1', ..., V i
+ V i', ..., V n + V n') = (W 1, ..., W i, ..., W n)
la somme tant prise sur tout les W, W i dcrivant le couple (V i,
V i'). Il y a 2 n termes dans la somme.
b) Cette mme application est dite alterne ou antisymtrique si :
i j, (...,V i,...,V j,...) = (...,V j,...,V i,...)
les autres variables restant gales.
PROPOSITION :
Soit une forme multilinaire. est alterne si et seulement si
:(...,V i1 ,V,V i+1 ,...,V j1 ,V,V j+1 ,...) = 0 pour toute valeur
des vecteurs et des indices i et j.
Dmonstration :Si est alterne, en prenant V i = V j = V dans la
dfinition, on obtient le rsultat demand.Inversement : Prenons V = V
i + V j. En utilisant la multilinarit, on obtient :
(...,V i,...,V i,...) + (...,V i,...,V j,...) + (...,V j,...,V
i,...) + (...,V j,...,V j,...) = 0qui se rduit : (...,V i,...,V
j,...) + (...,V j,...,V i,...) = 0. Ce qui prouve que est
alterne.
EXEMPLE : Cherchons les formes bilinaires alternes sur un espace
vectoriel de dimension 2, debase ( e1, e2). Posons C = (e1,
e2).
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On a alors :(ae 1 + be 2, a 'e1 + b'e2) = aa '(e1, e1) + ab
'(e1, e2) + ba '(e2, e1) + bb '(e2, e2)
en utilisant la multilinarit(ae 1 + be 2, a 'e1 + b'e2) = C( ab
' ba ')
en utilisant l'alternance.
Ainsi toutes les formes bilinaires alternes sont
proportionnelles au dterminant.
PROPOSITION :Soit une permutation de n lments. Alors : (V(1) ,
V(2) , ..., V(n)) = () (V 1 , V 2 , ..., V n) o () dsigne la
signature de .
Dmonstration :Elle se fait immdiatement par rcurrence sur le
nombre de transpositions qui composent .Fin de la partie rserve aux
MPSI. Retour la partie commune MPSI, PCSI, PTSI.
3 Dterminant 3 3Soit ( e1, e2, e3) une base d'un espace
vectoriel de dimension 3. Cherchons (ae 1 + be 2 + ce3, a 'e1 +b
'e2 + c'e3, a"e1 + b"e2 + c"e3), avec trilinaire alterne. Posons C
= (e1, e2, e3). On a alors :(ae 1 + be 2 + ce3, a 'e1 + b'e2 +
c'e3, a"e1 + b"e2 + c"e3) =
ab 'c" (e1,e2,e3) + ab "c' (e1,e3,e2) + a 'bc" (e2,e1,e3) +a
'b"c (e2,e3,e1) + a"bc ' [e3,e1,e2] + a"b 'c [e3,e2,e1]
Remarquons maintenant que :(V,V',V") = (V',V,V") = (V',V",V) =
... (V",V,V')
(Ceci est un cas particulier du rsultat montr en 2, relatif aux
permutations).
On peut alors exprimer toutes les quantits en fonction de C. On
obtient :(ae 1 + be 2 + ce3, a 'e1 + b'e2 + c'e3, a"e1 + b"e2 +
c"e3) =
(ab 'c" + a 'b"c + a"bc ' ab "c' a 'bc" a"b'c)C
On peut vrifier que la partie entre parenthse est effectivement
trilinaire alterne. Il s'agit du
dterminant 3 3. On le notea a ' a"b b ' b"c c ' c"
4 Dterminant n n
Dbut de partie rserve aux MPSI Cherchons les formes nlinaires
alternes sur un espace de dimension n muni d'une base ( e1, ...,
en).
On considre n vecteurs V j = i=1
n
a ij ei. On a :
(V 1, ..., V n) = ( i=1
n
a i1 ei, ..., i=1
n
a in ei)
=
a(1)1 ...a(n)n (e(1), ..., e(n))
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II : Calcul des dterminants
1 Dterminant d'une matrice diagonale1 0 ... 00 1 ... 0... ...0 0
... 1
= 1
En effet, le seul terme non nul dans la dfinition du dterminant
est obtenu pour = Id.En utilisant la multilinarit, on en dduit que
:
a 1 0 ... 00 a 2 ... 0... ...0 0 ... a n
= a 1a 2 ...a n
a 1 0 00 a 2 00 0 a 3
= a 1a 2a 3
2 Dterminant d'une matrice triangulairea 11 a 12 ... a 1n0 a 22
... a 2n... ...0 0 ... a nn
= a 11a 22...a nn
a 1 ... ...0 a 2 ...0 0 a 3
= a 1a 2a 3
En effet, en utilisant la dfinition du dterminant, le seul terme
de la somme ()a(1)1 ...a(n)n pouvanttre non nul est celui pour
lequel (1) = 1, (2) = 2, ..., (n) = n. = Id et () = 1. Le rsultat
estidentique si la matrice est triangulaire infrieure.
On se ramne une matrice triangulaire au moyen des techniques
suivantes :i) Multiplier une colonne (ou une ligne) par multiplie
le dterminant par ii) Remplacer la colonne V j par V j + Vk ne
change pas la valeur du dterminant.iii) Plus gnralement, ajouter
d'autres colonnes une colonne donne ne change pas la
valeur du dterminant.iv) Si l'une des colonnes ou l'une des
lignes est nulle, le dterminant est nul.v) Si deux colonnes ou deux
lignes sont proportionnelles, le dterminant est nul.vi) Si l'on
permute deux colonnes ou deux lignes, le dterminant change de
signe.
Exemple :1 2 1 32 1 0 2
1 1 1 10 1 0 2
=
1 0 0 02 5 2 8
1 3 0 40 1 0 2
en effectuant C2 C2 2C 1C3 C3 C 1C3 C3 3C 1
= 2
1 0 0 02 1 5 8
1 0 3 40 0 1 2
en effectuant C 2 C3 et en mettant 2 en facteur
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= 2
1 0 0 02 1 0 0
1 0 3 40 0 1 2
en effectuant C3 C3 + 5C 2C4 C4 + 8C 2
= 2
1 0 0 0
2 1 0 01 0 3 00 0 1 2/3
en effectuant C 4 C4 43C3
= 2 1 1 3 23
= 4
3 Dterminant de la transpose d'une matricePROPOSITIONdet( t A) =
det(A)
Dmonstration :(Faire un calcul direct pour n = 2 ou 3 )Nous
utiliserons la dfinition du dterminant :
det( tA) =
() a 1(1)...a n(n)
Le terme gnral du produit a 1(1)...a n(n) est a i(i). Posons =
1. On a a i(i) = a( j) j en posant (i) = j.Quand i varie de 1 n, il
en est de mme de j. La somme prcdente est donc gale :
det( tA) =
() a(1)1 ...a(n)n
Comme () = () et qu' chaque correspond un et seul , on peut
crire :
det(t
A) = () a(1)1 ...a(n)nqui n'est que l'expression du dterminant
de A. Ainsi : det( tA) = det(A). Cette proprit estimportante car
elle signifie que tout ce que nous disons ou dirons sur les
colonnes d'un dterminantest galement vrai pour les lignes. Par
exemple, le dterminant est une forme multilinaire alternedes lignes
qui le composent.
4 Dterminant par blocs diagonaux Dbut de partie rserve aux
MPSI
Il s'agit de calculer un dterminant de la forme D =A CO B
o A est une matrice carre p p , B une matrice carre ( n p) (n
p), C une matrice p (n p) et Ola matrice ( n p) p nulle.
Notons V 1, ..., V p les colonnes de A, constitues de p
composantes, et considrons D comme unefonction f (V 1, ..., V p).
Il n'est pas difficile de montrer que f est une forme
p-multilinaire alterne de(V 1, ..., V p). Par exemple, multiplier V
i par un scalaire revient dans D multiplier par la colonneentire i
(i.e. la colonne V i de A et les zros situs en dessous). En
utilisant la linarit de D parrapport cette colonne, on peut mettre
en facteur.On utilise alors la proprit caractristique des formes
multilinaires alternes :
f (V 1, ..., V p) = det(V 1, ..., V p) f (e1, ..., e p)
o e1, ..., e p est la base canonique de
p
pour conclure que :
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D = det(A)I p CO B
avec I p matrice identit.
On raisonne de mme sur B, mais en considrant cette foisI p C
O Bcomme forme ( n p)-linaire des
lignes de B, de sorte que l'on obtient :I p CO B = det(B)
I p CO I n p
(On utilise les lignes de B et non les colonnes car on a besoin
que les n p vecteurs utiliss dans Bsoient complts par des 0 pour
montrer le caractre multilinaire altern de la fonction de B,
commeon l'a fait pour A avec les colonnes).
EnfinI p CO I n p = 1 puisqu'il s'agit d'une matrice
triangulaire termes diagonaux gaux 1.
On a donc bien A CO B = det(A) det(B)
Fin de la partie rserve aux MPSI. Retour la partie commune MPSI,
PCSI, PTSI.
5 Dveloppement par rapport une ligne ou une colonne Dbut de
partie rserve aux MPSI
Considrons det(V 1, ..., V j, ..., V n) o V j = i=1
n
a ij ei. On a, utilisant la multilinarit et le caractre
altern du dterminant :
det(V 1, ..., V j, ..., V n) = det(V 1, ..., i=1
n
a ij ei, ..., V n)
= i=1
n
a ij det(V 1, ..., V j1 , ei, V j+1, ..., V n)
= i=1
n
a ij
a 11 ... a 1, j1 0 a 1, j+1 ...... ...
a i11 ... a i1, j1 0 a i1, j+1 ...a i1 ... a i, j1 1 a i, j+1
...
a i+11 ... a i+1, j1 0 a i+1, j+1 ...
... ...a n1 ... a n, j1 0 a n, j+1 ...
= i=1
n
(1) j1 a ij
0 a 11 ... a 1, j1 a 1, j+1 ...... ...
0 a i11 ... a i1, j1 a i1, j+1 ...1 a i1 ... a i, j1 a i, j+1
...0 a i+11 ... a i+1, j1 a i+1, j+1 ...
... ...0 a n1 ... a n, j1 a n, j+1 ...
en permutant la colonne j avec toutes celles qui prcdent
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= i=1
n
(1) j1 (1) i1 a ij
1 a i1 ... a i, j1 a i, j+1 ...0 a 11 ... a 1, j1 a 1, j+1
...
... ...0 a i11 ... a i1, j1 a i1, j+1 ...
0 a i+11 ... a i+1, j1 a i+1, j+1 ...... ...
0 a n1 ... a n, j1 a n, j+1 ...en permutant la ligne i avec
toutes celles qui prcdent
= i=1
n
(1) i+ j a ij
a 11 ... a 1, j1 a 1, j+1 ...... ...
a i11 ... a i1, j1 a i1, j+1 ...a i+11 ... a i+1, j1 a i+1, j+1
...
... ...a n1 ... a n, j1 a n, j+1 ...
en remarquant qu'on avait un dterminant par blocs 1 1 et ( n1)
(n1)
Notons M ij le dterminant ( n1) (n1)
a 11 ... a 1, j1 a 1, j+1 ...... ...
a i11 ... a i1, j1 a i1, j+1 ...a i+11 ... a i+1, j1 a i+1, j+1
...
... ...a n1 ... a n, j1 a n, j+1 ...
. On remarque qu'il est
constitu des lignes 1, 2, ..., i1, i+1, ... n de la matrice
initiale. Autrement dit, M est obtenu partirdu dterminant initial
en supprimant la colonne j et la ligne i. Ce dterminant s'appelle
mineur duterme ( i, j). On a alors :
det(V 1, ..., V j, ..., V n) = i=1
n
(1) i+ j a ij M ij
La quantit C ij = (1) i+ j M ij s'appelle cofacteur du terme (
i, j), de sorte qu'on crit galement :
det(V 1, ..., V j, ..., V n) = i=1
n
a ij C ij
Exemple :1 2 1 3
2 1 0 21 1 1 10 1 0 2
=2 1 2
1 1 10 1 2
1 2 32 1 20 1 2
en dveloppant par rapport la troisime colonne
= (4 + 2 2 2) (2 + 6 8 + 2) == 2 + 2 = 4
On choisit videmment de prfrence des colonnes possdant un grand
nombre de 0.
Comme det(A) = det tA, le calcul peut se faire galement en
considrant les lignes. On dveloppesuivant une ligne d'une manire
analogue une colonne.Fin de la partie rserve aux MPSI. Retour la
partie commune MPSI, PCSI, PTSI.
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Exemple 3 : Calculer D =abc 2a 2a
2b bca 2b2c 2c cab
On ajoute les deux dernires lignes la premire :
D =a+b+c a +b+c a +b+c
2b bca 2b2c 2c cab
= ( a+b+c)1 1 1
2b bca 2b2c 2c cab
On retranche la premire colonne aux autres :
D = ( a+b+c)1 0 0
2b bca 02c 0 cab
= ( a+b+c)3
Exemple 4 : Calculer
Dn =
a+b ab 0 0 ... 01 a+b ab 0 ... 00 1 a+b ab ... 0
... ... ...0 0 ... 0 1 a+b
On dveloppe par rapport la premire colonne. On obtient :Dn =
(a+b)D n1 ab Dn2 suite rcurrente linaire
En utilisant D 1 = a+b, D 2 = a 2+b+b2 et donc D 0 = 1, on
obtient :si a = b : D n = (n+1) a n
si a b : D n = an+1 bn+1
a bFin de la partie rserve aux MPSI. Retour la partie commune
MPSI, PCSI, PTSI.
7 Dterminant d'un produit de matricesPROPOSITIONSoient A et B
deux matrices carres. Alors det(AB) = det(A) det(B)
Dmonstration :(Faire un calcul direct pour n = 2 ou 3
)Considrons A et B deux matrices n n. On peut les considrer comme
les matrices de deuxendomorphismes de n, f et g. On note ( e1, ...,
en) la base canonique de
n . La jme colonne de A estgale f (e j) ; celle de B est gale
g(e j) ; celle de AB est gale f o g(e j). La fonction dfinie par
:
(V 1, ..., V n) = det( f (V 1), ..., f (V n))est une forme
nlinaire alterne. Elle est donc proportionnelle det(V 1, ..., V n),
le coefficient deproportionnalit tant (e1, ..., en). On a donc
:
(V 1, ..., V n) = (e1, ..., en).det(V 1, ..., V n)det( f (V 1),
..., f (V n)) = det( f (e1), ..., f (en)).det(V 1, ..., V n)
Or det( f (e1), ..., f (en)) n'est autre que det(A). Ainsi :det(
f (V 1), ..., f (V n)) = det(A).det(V 1, ..., V n)
Prenons maintenant V i = g(ei). On obtient :det( f (g(e1)), ...,
f (g(en))) = det(A).det( g(e1), ..., g(en))
Or det( f (g(e1)), ..., f (g(en))) = det(AB)et det( g(e1), ...,
g(en)) = det(B)
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Ainsi det(AB) = det(A).det(B)
8 Dterminant de l'inverse d'une matricePROPOSITION
Soit A une matrice carre inversible. Alors det(A 1) =
1det(A)
Soit A une matrice inversible. Si l'on applique en particulier
ce qui a t prouv prcdemment A etA1, on obtient :
det(AA 1) = det(A)det(A 1)or AA 1 = I et det(I) = 1.
Ainsi det(A 1) = 1det(A)
Nous montrerons plus loin qu'une matrice est inversible si et
seulement si son dterminant est nonnul. Un sens de l'implication
vient donc d'tre montr.
9 Influence d'un changement de baseSoit E un espace vectoriel de
dimension n, de base initiale ( e1, ..., en). Notons det e le
dterminantrelatif cette base. Soit une nouvelle base ( 1, ..., n).
Notons det le dterminant relatif cettenouvelle base. Soit P la
matrice de passage de la base e la base . Quel rapport y atil entre
det e etdet et P ?
u En ce qui concerne les vecteurs (V 1, ..., V n). Notons (V e)
la matrice des composantes des V i dans
la base e et (V ) la matrice des composantes des V i dans la
base . On a : (V e) = P(V ). Donc :det e(V) = det(V e) = det(PV ) =
det(P)det(V ) = det(P)det (V)
Ainsi le dterminant d'une famille de vecteurs dpend de la base
choisie. Parler de dterminant d'unsystme de vecteurs sans parler de
base de rfrence est un nonsens. Dans n , la base de rfrenceest par
dfaut la base canonique.
Le dterminant reste inchang si P est telle que det(P) = 1.
L'ensemble des matrices de dterminant1, muni du produit des
matrices forme un sousgroupe du groupe des matrices inversibles,
appel
groupe spcial n( ) (ou groupe unimodulaire).
u En ce qui concerne les endomorphismes, soit M la matrice
associe f dans la base e, et N lamatrice associe f dans la base .
On a :
M = PNP 1 donc det(M) = det(P)det(N)det(P 1) = det(N)Ainsi, le
dterminant d'une matrice associe f ne dpend pas de la base choisie.
On peut donc parlerdu dterminant de f , sans prciser la base. Les
rgles vues au 7) et 8) s'noncent ici :
det( f o g) = det( f ).det( g)
det( f 1) = 1det( f )
pour f inversible.
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det est un morphisme de (L(E), o ) (ou n( )) dans ( ,.). C'est
un morphisme de groupe de
(GL(E), o ) (ou " ! " ! n( # # )) dans ( $ $ *,.). Le noyau de
ce morphisme n'est autre que le groupe des
endomorphismes (ou des matrices) de dterminant 1, le groupe
spcial linaire %' &%' & (E) (ou (' ) ( ' ) n( 0 0 )pour les
matrices).
u Interprtation gomtrique :Soit donn une base ( e1, ..., en).
Alors le dterminant d'un systme de vecteurs (V 1, ..., V n) dans
cettebase s'interprte comme le volume (algbrique) du paralllpipde
d'artes (V 1, ..., V n), le volumeunit tant dfini comme celui du
paralllpipde construit selon ( e1, ..., en). Le dterminant
serapositif lorsque la base (V 1, ..., V n) aura mme orientation
(voir plus bas) que la base ( e1, ..., en).
V1
V2
V1
V2V3
Cette application (V 1, ..., V n) volume(V 1, ..., V n) est en
effet multilinaire et alterne. Elle estdonc proportionnelle au
dterminant. Valant 1 sur la base ( e1, ..., en), elle est gale au
dterminantdfini relativement cette base. Le volume dpend videmment
de l'unit choisie pour le mesurer. Demme, le dterminant d'un systme
de vecteurs dpend de la base dans lequel on le calcule.
Soit maintenant un endomorphisme f . Celui-ci transforme un
systme de vecteurs (V 1, ..., V n) devolume det(V) (o V est la
matrice des composantes des (V 1, ..., V n) dans une base ( e1,
..., en)) en unsystme de vecteurs ( f (V 1), ..., f (V n)), de
volume det(MV) (o M est la matrice de f dans la base ( e1,...,
en)). On voit que det( f ) = det(M) est le rapport des deux
volumes. Autrement dit, det(M) est lefacteur par lequel est
multipli le premier volume pour obtenir le second volume dans
latransformation f . Si les volumes dpendent de l'unit choisie, il
n'en est pas de mme de leur rapport,qui est intrinsque aux deux
paralllpipdes. C'est pourquoi le dterminant de f , rapport de
deuxvolumes, ne dpend pas de la base choisie.
III : Applications des dterminants
1 Critre d'indpendance
PROPOSITION : i) Soit E un espace vectoriel de dimension n muni
d'une base (e 1 , e 2 , ..., en), et soit (V 1 , V 2 , ..., V n)
une famille de n vecteurs. Ces vecteurs forment un systme libre si
et seulement sidet (V 1 , ..., V n) est non nul.
ii) Soit A une matrice n n. Alors A est inversible si et
seulement si det(A) est non nul.iii) Soit f un endomorphisme d'un
espace vectoriel E, muni d'une base (e1 , e 2 , ..., e n). Alors
f
est inversible si et seulement si det(f) est non nul.
Ces trois proprits sont en fait trois versions du mme thorme.
Prouvons le i).
Dmonstration :
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Si le systme est libre, alors la matrice forme des coefficients
est une matrice de rang n, doncinversible, et le dterminant d'une
matrice inversible est non nul. Rciproquement, si le systme est
li, alors l'un des vecteurs est combinaison linaire des autres ;
par exemple, V 1 = i=2
n
i V i. Alors :
det(V 1, ..., V n) = i=2
n
i det(V i, V 2, ..., V n)
et chaque dterminant de la somme de droite est nul, puisque V i
apparat deux fois.
EXEMPLE : Condition d'indpendance des vecteurs V 0, ..., V n1
suivants :
11
...1
a 1a 2
...a n
a 12a 22
...a n2
...
a 1
n1
a 2n1
...a n
n1
Considrons une relation de liaison :0V0 + ... + n1Vn1 = 0
Elle s'crit :
0 + 1 a 1 + ... + n1 a 1n1 = 00 + 1 a 2 + ... + n1 a 2n1 = 0...0
+ 1 a n + ... + n1 a nn1 = 0
Il s'agit donc de dterminer les polynmes P(X) = 0 + 1X + ... +
n1Xn1 s'annulant en a 1, ..., a n. Siles a i sont distincts, alors
P admet n racines. Etant de degr au plus n1, il est nul et tous
sescoefficients sont nuls. Les vecteurs colonnes sont linairement
indpendants.Si deux a i sont gaux, P s'annule en au plus n1 racines
et il est possible de trouver un tel polynme
non nul, par exemple
(X a i), le produit tant pris sur les racines distinctes. Il
existe donc une
relation de liaison.Ainsi (V 0, ..., V n1) est libre si et
seulement si les a i sont distincts.
Dbut de partie rserve aux MPSI Cette proprit peut-tre retrouve
en calculant le dterminant suivant :
1 a 1 a 12 ... a 1n1
1 a 2 a 22 ... a 2n1
... ...1 a n a n2 ... a nn1
Ce dterminant s'appelle dterminant de Vandermonde (1735-1796).
Il s'agit d'un polynme des n
variables a 1, a 2, ..., a n, dont tous les monmes sont de degr
global(n1) n
2. On remarque qu'il se
factorise par ( a j a i) puisque, si a j = a i, il possde deux
lignes identiques. Or le produit des ( a j a i), i
< j, est luimme un polynme de degr (n1)n2.
Il est donc gal au dterminant de Vandermonde,
une constante prs. Or les deux expressions possdant le terme a
2a 32...a nn1, la constante est gale
1. Ainsi, le dterminant est gal i < j
(a j a i). Il est donc nul si et seulement si il existe i et j
distincts
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tels que a i = a j, autrement dit, s'il existe deux lignes
identiques. Cela donne aussi la condition deliaison des
vecteurs.
On peut galement procder par rcurrence sur n en considrant que
le dterminant est un polynmeen a n de degr n1. Si les a i sont
distincts, ce polynme s'annule en n1 racines distinctes a n = a 1,
...,
a n = a n1 et se factorise donc par ( a n a 1)...( a n a n1), le
coefficient dominant tant un Vandermondede rang n1.Fin de la partie
rserve aux MPSI. Retour la partie commune MPSI, PCSI, PTSI.
2 Formules de Cramer(On se limite la dimension 2 ou 3 en
PCSI)
Considrons un systme de n quations n inconnues j=1
n
a ij x j = bi , 1 i n. Soit A la matrice des
coefficients ( a ij), X le vecteur de composantes ( xi) et B le
vecteur de composantes ( bi). Le systmeest quivalent AX = B. Il
admet une solution unique si et seulement si A est inversible,
c'estdire, si det(A) est non nul. Notons (V 1, V 2, ..., V n) les
colonnes de la matrice A. Que vaut
det(V 1, ...,V i1, B, V i+1, ..., V n) ? Remplaons B par j=1
n
x jV j et utilisons le fait que le dterminant est
multilinaire altern. On obtient xi det(A). On obtient ainsi les
formules de Cramer :
xi =det(V 1, ...,V i1, B, V i+1, ..., V n)
det(A)
EXEMPLE : En dimension 2, on a :
ax + by = ecx + dy = f
Les solutions sont :
x =
e b f d a bc d
= ed bf ad bc
y =
a ec f a bc d
= af cead bc
Mais en pratique, la mthode de Gauss est plus efficace pour
rsoudre un systme.
3 Inverse d'une matrice Dbut de partie rserve aux MPSI Soit A
une matrice carre inversible. On se propose de dterminer
explicitement le terme gnral deA1.
Mthode 1 :Pour cela, considrons X et Y lments de 1 1 n tels que
AX = Y. Si on considre X comme inconnueet Y comme paramtre, la
rsolution de ce systme conduit X = A 1Y. Or, nous pouvons
utiliserles formules de Cramer pour cette rsolution. Notons V 1, V
2, ..., V n les colonnes de A. D'aprs leparagraphe prcdent, on a
:
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xi =det(V 1, ...,V i1 , Y, V i+1, ..., V n)
det(A)Dveloppons le numrateur de cette expression par rapport la
colonne i :
xi =1
det(A) k =1
n
yk (1) i+k Mki
o M ki est le mineur du terme ( k ,i), obtenu en supprimant de
det(V 1, ...,V i1, Y, V i+1, ..., V n) lacolonne i (donc le Y) et
la ligne k . Puisqu'on supprime la ime colonne Y, la valeur
explicite de cettecolonne n'intervient pas et on peut tout autant
considrer que ce mineur provient dedet(V 1, ..., V i1, V i, V i+1,
..., V n). Ainsi, M ki n'est autre que le mineur de terme ( k ,i)
de la matrice Ainitiale. Posons C ki = (1) k +i Mki le cofacteur
correspondant. On a donc :
xi =1
det(A) k =1
n
Cki yk
Si on compare cette expression avec X = A 1Y qui conduit :
xi = k =1n
(A1)ik yk
on obtient :
(A1)ik =Cki
det(A)On notera l'intervertion des indices k et i dans la
formule prcdente. Appelons Com(A) la matricedont le terme gnral (
i,k ) est le cofacteur C ik . Cette matrice s'appelle comatrice de
A. On obtientdonc A 1 est divisant la transpose de Com(A) par
det(A).
A = 1det(A)
t Com(A)
Mthode 2 :Notons C ij le cofacteur du terme a ij. La matrice de
terme gnral (C ij) s'appelle comatrice de A. Lamthode de
dveloppement de la colonne j permet d'crire :
det(A) = i=1
n
a ij C ij
On se pose la question suivante : pour k j, que vaut i=1
n
a ik C ij ?
Cette somme est identique la prcdente, une fois que l'on a
remplac les termes a ij par les termes
a ik . Il est donc gal au dterminant d'une matrice obtenue
partir de la matrice A en remplaant lacolonne j par la colonne k
(cela ne modifie pas les cofacteurs C ij, qui ne dpendent pas de a
ij). Maisalors, la nouvelle matrice obtenue possde deux colonnes
identiques, la j et la k . Son dterminant estdonc nul.
Ainsi : i=1
n
a ik C ij = kj det(A) o kj = 1 si k = j
= 0 si k j
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Les considrations prcdentes permettent d'exprimer l'inverse
d'une matrice l'aide des cofacteurs.
En effet, posons b ij = C ji. La matrice B est la transpose de
la comatrice et i=1
n
b ji a ik = kj det(A).
Cette galit exprime le fait que BA = det(A) I.
Si det(A) est non nul, A est inversible et son inverse est gale
la transpose de la comatrice, divisepar le dterminant de A. Cette
mthode n'est cependant pas la plus rapide pour calculer
l'inversed'une matrice.
EXEMPLE : pour une matrice 2 2, l'inverse de
a b
c d est gale 1
ad bc
d b
c aFin de la partie rserve aux MPSI. Retour la partie commune
MPSI, PCSI, PTSI.
4 Base directe et indirecteDans cette partie, 2 2 = 3 3 . On
pourra rflchir aux questions suivantes :
Quelle diffrence entre une droite et un axe ? Dans le plan,
comment est dfini le sens trigonomtrique ? Quels sont les repres
usuels utiliss pour les crans d'ordinateurs (n de lignes et de
colonnes) ? Dans l'espace de dimension 3, comment est dfini
gomtriquement le produit vectoriel ? Comment est fait un
tirebouchon ? Quel sens possde cette phrase (lue dans la revue Pour
La Science ) ? "La plupart des comtes sedplacent dans le sens
trigonomtrique par rapport au soleil." Comment distingueton la
gauche de la droite ?
On remarquera que, pour l'ensemble de ces questions, une
convention arbitraire a t choisie, etqu'une autre convention, et
une seule autre , aurait pu tre prfre. On dira qu'il y a deux
faons
diffrentes d'orienter le plan ou l'espace. Cette situation est
gnrale.
Considrons un espace vectoriel de dimension n, (n = 2 ou 3 en
PCSI) , muni d'une base arbitraire(e1, ..., en). Soit ( 1, ..., n)
une autre base. La matrice de passage P de e est inversible.
Sondterminant est non nul. Ou bien det(P) > 0 et nous dirons que
les deux bases dfinissent la mmeorientation de l'espace, ou bien
det(P) < 0, et nous dirons que les deux bases dfinissent
desorientations diffrentes de l'espace.
Il n'y a que deux orientations possibles. En effet, soit ( e)
une base, ( e') et ( e") deux autres bases ayantune orientation
diffrente de celle de ( e). Montrons que ( e') et ( e") ont mme
orientation. On a en
effet
det(P ee ') < 0
det(P e"e) < 0 det(P e"e') = det(P e"ePee ') > 0
Le choix (arbitraire) d'une de ces deux orientations dfinit une
orientation de l'espace de dimensionn. Les bases de cette classe
sont dites directes, les bases de l'autre classe sont dites
indirectes. Iln'existe aucun moyen de privilgier une base par
rapport l'autre.
Voici quelques notions mathmatiques ou physiques dpendant de
l'orientation de l'espace dedimension 2 ou 3 : La dfinition du sens
trigonomtrique Le produit vectoriel Le champ magntique B (le
vecteur B, dpendant de l'orientation, est dit axial) Le moment
cintique mOM V et le moment dynamique mOM a
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Le moment d'un diple magntique (petite boucle de circuit de
surface S parcourue par un courantI. = IS o S est orient
orthogonalement la boucle en fonction du sens du circuit. Les
couples Les vecteurs de rotation Le rotationnel
Voici quelques notions n'en dpendant pas : L'orthogonalit Le
gradient, la divergence Le champ lectrique E (Le vecteur E , ne
dpendant pas de l'orientation, est dit polaire) Les forces,
vitesses et acclrations
EXEMPLE D'APPLICATIONSDe mme qu'il existe en physique la notion
d'homognit des units, permettant de testerrapidement la validit
d'une formule, il existe galement la notion d'homognit du caractre
axialou polaire des vecteurs. Ci-dessous, les vecteurs axiaux sont
en rouge, les vecteurs polaires en bleus.Nous notons galement en
rouge les produits vectoriels. On a alors :
Vecteur axial = Vecteur polaire Vecteur polaireVecteur polaire =
Vecteur polaire Vecteur axialVecteur axial = Vecteur axial Vecteur
axial
On a galement, concernant le rotationnel : Rot Vecteur polaire =
Vecteur axial Rot Vecteur axial = Vecteur polaire
u Force lectrostatique F = q E : galit de deux vecteurs
polaires
u E = grad V : galit de deux vecteurs polaires
u F = qv B (force de Lorentz) ou d F = idl B (force de Laplace)
: galit de deux vecteurspolaires. qv ou idl sont polaires, B est
axial, mais le produit vectoriel des deux est polaire. Ainsi, siun
des membres est un vecteur polaire et si l'autre membre contient un
vecteur axial et si le rsultatest polaire, il faudra ncessairement
qu'intervienne un produit vectoriel.
u d B = 04
idl ur 2
(loi de Biot et Savart) : galit de deux vecteurs axiaux.
u C = B (couple s'appliquant sur un diple magntique plong dans
un champ magntique) :galit de deux vecteurs axiaux.
u L'orientation peut galement s'appliquer des quantits
scalaires. On parle alors de pseudo-scalaires dont le signe dpend
du choix arbitraire de l'orientation :
B. d l = 0
D
J . d S (Thorme d'Ampre)
u rot E = Bt (une des quations de Maxwell) : galit entre deux
vecteurs axiaux
u 1
0 rot B = J +
0 E
t (une autre quation de Maxwell) : galit entre deux vecteurs
polaires
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u C = OM F (couple cr en M par une force F par rapport O) :
galit de deux vecteurs axiaux
u V = OM (vitesse d'un point M tournant par rapport O la vitesse
angulaire ) galit dedeux vecteurs polaires.
Le fait qu'une rflexion S (symtrie par rapport un plan en
dimension 3, ou plus gnralement parrapport un hyperplan en
dimension quelconque) transforme une base directe en base indirecte
etintervertit donc l'orientation de l'espace a des consquences
importantes sur les vecteurs polaires etles vecteurs axiaux. Un
vecteur polaire est un "vrai" vecteur ; il sera donc symtris comme
on s'yattend : sa composante parallle au plan de symtrie sera
invariante, sa composante orthogonale ceplan sera change de
signe.
Mais un vecteur axial n'est pas un "vrai" vecteur. Il est dfini
par exemple comme produit vectorielde deux vecteurs polaires u et
v. Or, si l'on dcompose chacun de ces vecteurs en une
composanteparallle au plan et une composante orthogonale, on a
:
u = u // + u
v = v // + v
u v = (u // + u ) (v // + v )= u // v // + u v // + u // v (en
tenant compte du fait que u v = 0)
ortho- paralallle augonal planau plan
On vrifiera alors que S( u v) est diffrent de S( u) S(v). En
effet :S(u v) = u // v // + u v // + u // v
alors queS(u) S(v) = ( u // u ) (v // v )
= u // v // u v // u // v = S( u v)En physique, si l'on souhaite
utiliser les symtries d'un systme tout en gardant la mme
orientationde l'espace, on est amen considrer que u v est transform
en S( u) S(v) et on est conduit largle suivante : La composante du
vecteur axial orthogonale au plan est invariante, la composante
parallle est change en son oppose . Ce sera le cas du vecteur
champ magntique B par exemple.
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