Determination des paramètres de propagation du rayonnement

Master science de la matière Stage 2013�2014Ecole Normale Supérieure de Lyon Génolini YoannUniversité Claude Bernard Lyon I M2 Physique

Determination des paramètres de propagation durayonnement cosmique galactique

Résumé : La mesure toujours plus précise du spectre à haute énergie des rayons cosmiques est une op-portunité incontournable pour acquérir des renseignements sur la physique de la galaxie et de l'univers.Le modèle de transport par di�usion communément utilisé pour la propagation du rayonnement cosmiquedans la galaxie présente un certain nombre de paramètres libres qu'il convient d'estimer le plus précisé-ment possible si l'on souhaite obtenir des informations sur la composition des sources de ces rayons, leuraccélération, et l'histoire de leur propagation dans le milieu interstellaire. Au sein d'un modèle de propaga-tion, ces paramètres sont essentiels dans le domaine d'astrophysique très actif de la détection indirecte dematière noire. La variété des propriétés nucléaires des rayons cosmiques permet de montrer que la mesuredu rapport de certains noyaux ou radio-isotopes est particulièrement utile. Nous verrons que le rapport B/C(Bore sur Carbone) mesuré à haute énergie (>10 GeV) permet une mesure du coe�cient de di�usion. Lesdonnées futures du spectromètre AMS02 permettront d'a�ner cette mesure.

Mots clefs : Rayonnement cosmique, Voie Lactée, Di�usion, Rapport bore sur carbone (B/C).

Stage encadré par :Pierre Salati et Pasquale [email protected], [email protected]

tel. +33 (0)4 50 09 16 69, +33 (0)4 50 09 16 87Cosmic Rays Alpine CollaborationLAPTH9 Chemin de Bellevue,74940 Annecy-le-Vieux

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July 25, 2014

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Remerciements

Je souhaite remercier tous les membres permanents et stagiaires du LAPTh pour leur soutien et leurbonne humeur ! Particulièrement Pierre Salati et Pasquale Serpico qui ont toujours été présents pour répondreavec pertinence à mes questions. Merci à Mathieu Boudaud et Antje Putze qui m'ont aussi initié à la physiquedes rayons cosmiques. À Pierre Aubert pour son génie de l'informatique et sa patience ! Je remercie aussi DavidMaurin pour m'avoir fourni les tableaux de sections e�caces de spallation indispensables à mes calculs. Mercià Sandy, Vivian, Kin, Jean Philippe, l'équipe AMS... pour participer à la bonne ambiance qui règne dans lelabo !! À très bientôt en thèse !

Contents

1 Un modèle naïf 21.1 Voyage galactique d'un rayon cosmique chargé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Le Leaky Box Model ou modèle de la boite qui fuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Ce que peuvent nous apprendre les abondances des noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Limites du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Le modèle di�usif 52.1 Slab model avec halo difusif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Approche microscopique de la propagation et modélisation macroscopique de la di�usion . 52.2 Application au modèle Slab à haute énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1 Ce qu'il reste de l'équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.2 Équation de propagation et forme de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Résolution de la propagation à haute énergie et détermination des paramètres du modèle 123.1 Les observables et inconnues de la propagation des rayons cosmiques . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1.1 Les �ux des noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.1.2 Les sections e�caces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.1.3 Ce qu'il nous reste à déterminer.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Résultats pour la cascade des noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2.1 Principe de la résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2.2 Résultats pour un ajustement global des données (Ai = 0 pour les secondaires) . . . . . . 143.2.3 On revient sur l'hypothèse Ai = 0 pour les secondaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Annexes 224.1 Nouvelles données AMS02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.2 Résultats sur l'ajustement global pour les �ux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Détermination des paramètres de propagation du rayonnement cosmique galactique Génolini Yoann

Introduction

L'étude des rayons cosmiques au cours de ce dernier siècle a permis d'élargir considérablement notreconnaissance sur les caractéristiques de la galaxie et de ses objets. N.Copernic (1473-1543), G. Galilée (1564-1642) et J. Kepler (1571-1630), pionniers de l'astronomie ne se seraient jamais doutés que, bien au-delà duspectre visible, des particules très énergétiques traversent la Voie Lactée pour venir s'écraser en silence dansl'atmosphère terrestre. La découverte de ce rayonnement eut lieu voici plus d'un siècle lorsque V.Hess, à l'aidede ballons [Hess, 1912], montra que le taux d'ionisation de l'atmosphère augmentait avec l'altitude. On prédisaità cette époque que celui-ci diminuerait puisqu'il était expliqué par la radioactivité terrestre. V.Hess déclara:"The results of the present observations are most easily explained by the assumption that radiation with veryhigh penetrating power enters the atmosphere from above". Il obtint le prix Nobel en 1936. Depuis cette date,de nouvelles techniques de détection ont été développées et le modèle standard des particules a été complété.Ainsi, nous savons aujourd'hui que ces radiations sont en fait des particules stables du modèle standard tellesque des photons, des électrons, des protons et toutes sortes de noyaux plus lourds.

L'importance de ces particules dans la galaxie n'est plus à démontrer puisque la densité d'énergie desrayons cosmiques est du même ordre de grandeur que celle du fond de rayonnement cosmologique (CMB) ou en-core du champ magnétique galactique. Cependant, à l'heure actuelle, les rayons cosmiques nous cachent encorede nombreux mystères. Tout d'abord leur spectre : le �ux des rayons cosmiques observés sur Terre varie sur 32ordres de grandeur et l'énergie sur 14 ordres de grandeur. Il est de 104 particule.m−2.s−1 à 1 MeV et inférieurà 1 particule.km−2.siècle−1 à 10 EeV. Pour cette énergie, les débats sont encore ouverts sur les mécanismesresponsables de telles accélérations. La forme du spectre en loi de puissance brisée ("knee" et "ankle") estaussi avidement discutée, et suggérerait une transition entre di�érents processus de production. De nombreusesquestions demeurent également sur les sources primaires de ces rayons. Bien que les pulsars ou les supernovaesoient fréquemment utilisés pour répondre à ces questions, d'autres sources "exotiques" ne sont pas exclues.Les rayons cosmiques sont composés à 90% de protons et 9% de noyaux d'hélium, mais il se pourrait bien queles informations les plus précieuses à leur compréhension se cachent dans le 1% restant (électrons, positrons,photons, noyaux, anti-noyaux, neutrinos..).

Sur cette dernière idée repose l'engouement des dix dernières années pour la construction de détecteurstoujours plus performants. Dans le domaine des rayons cosmiques chargés, des expériences embarquées dans desballons stratosphériques tels ATIC-Advanced Thin Ionization Calorimeter-(4 vols en Antartique entre 2000 et2008), TRACER-Transition Radiation Array for Cosmic Energetic Radiation-(4 vols entre 1999 et 2006) ou en-core CREAM-Cosmic Ray Energetics and Mass-(6 vols en Antartique entre 2004 et 2010) ont permis d'explorerles spectres à haute énergie (GeV-TeV) des noyaux lourds. D'un autre coté, des expériences embarquées sursatellite comme FERMI-LAT-Large Area Telescope-(2008-2013), le spectromètre PAMELA-Payload for An-tiMatter Exploration and Light nuclei-Astrophysics-(2006-encore opérationnel)), ou plus récemment AMS02-Alpha Magnetic Spectrometer-(2011-encore opérationnel) se sont intéressés d'abord aux particules légères (élec-trons/positrons), et complètent désormais les données sur les noyaux lourds. Ces derniers font plus particulière-ment l'objet de mon attention et je les appellerai par la suite "les rayons cosmiques".

L'explication de l'ensemble des données collectées nécessite des modèles phénoménologiques souples pou-vant tenir compte de toute trace de nouvelle physique. L'isotropie observée dans le �ux des rayons cosmiqueschargés (pour des énergies supérieures au MeV) est à l'origine du modèle désormais communément accepté dedi�usion des rayons cosmiques dans la galaxie. En e�et les rayons cosmiques sont des noyaux complètementionisés qui interagissent avec le champ magnétique galactique. Dans le cas d'un régime faiblement turbulent,l'équation de propagation se ramène à une équation de di�usion. Ainsi la propagation homogénéise les direc-tions de détection. La connaissance de cette équation passe par la mesure de ses paramètres et notamment ducoe�cient de di�usion.

Plusieurs possibilités sont ouvertes pour la résolution de l'équation de propagation. Certains codes sebasent sur une résolution numérique GALPROP [Strong and Moskalenko, 1998] ou DRAGON, d'autres sur unerésolution semi-analytique USINE. C'est ce dernier type de résolution qui fait l'objet d'intérêt de ce stage. Leseul code utilisé n'étant pas encore disponible publiquement, l'objectif est pour moi de recoder en partie larésolution, de manière à m'approprier les mécanismes de propagation et de discuter les premiers résultats.

Dans un premier temps, à l'aide d'un modèle naïf, je montrerai comment il est possible d'utiliser lesdonnées sur les �ux, et en particulier le rapport bore sur carbone, pour déduire les paramètres de propagationdu modèle. En étudiant les limites de ce dernier, je montrerai comment le rendre plus proche de la réalité.En�n j'exposerai la stratégie numérique adoptée pour déterminer, à partir des �ux mesurés, les paramètres dumodèle et l'abondance des sources pour les di�érents noyaux.

1


1 Un modèle naïf

Cette partie présente un modèle simple qui permet de comprendre les principaux intérêts des études quisuivent. Suivons tout d'abord un rayon cosmique de sa production jusqu'à sa détection, avant de présenter lemodèle simple utilisé dans un premier temps.1

1.1 Voyage galactique d'un rayon cosmique chargé

La production : Dès la découverte des rayons cosmiques, le soleil fut rapidement exclu comme étant lasource principale de ces radiations ionisantes, puisqu'aucune corrélation entre le jour et la nuit n'était observée.Le soleil reste néanmoins la plus proche source de rayons cosmiques et témoigne du fait que les étoiles produisentet accélèrent des particules chargées. Cependant, les énergies atteintes par ces particules ne dépassent guère100 MeV/nucléon2, et bien que cette composante soit dominante à basse énergie (<100 MeV/nucléon), ellene permet pas d'expliquer la présence de rayons cosmiques au-delà du GeV/nuc. L'accélération des noyauxà des énergies supérieures est très probablement d'origine galactique. Les ondes de chocs magnétiques et lareconnexion magnétique au sein d'objets bien plus énergétiques que le soleil seraient les principaux responsablesde l'accélération à de telles énergies.

Les objets astrophysiques les plus évidents sont les restes de supernovae qui rayonnent des rayons X etgamma avec un spectre loin de l'équilibre thermique. Ce rayonnement prouverait l'accélération de particulesjusqu'à des énergies de 100TeV. L'accélération à de telles énergies ne peut avoir lieu lors de l'explosion carles pertes adiabatiques subies par les particules sont trop importantes pour atteindre les niveaux d'énergieobservés. Les processus physiques mis en jeu lors de l'accélération peuvent être variés, mais le plus populaireest le mécanisme de Fermi.

D'autres sources de production de rayons cosmiques galactiques ont été proposées à l'instar des pulsars,des "galactic superbubbles", ou encore de la matière noire. Dans le cas classique des supernovae, le spectredes particules accélérées (Ek>GeV/nuc) dépend assez intuitivement de leur énergie et de leur charge. Ces deuxquantités in�uent sur la trajectoire de la particule dans un champ électromagnétique. Il est de la forme :

Q (Ek) ∝ R−α (1)

avec R(Ek) = p/(Ze) la rigidité des particules et α compris entre 2.0 et 2.5.

La di�usion : Comme évoqué dans l'introduction, l'apparente isotropie du �ux des rayons cosmiquesest une indication du caractère di�usif de leur propagation. Le champ magnétique turbulent est à l'origine decette di�usion. Ainsi la trajectoire d'un rayon cosmique s'apparente à une marche aléatoire, la particule restantpiégée dans le champ magnétique galactique pendant plusieurs milions d'années.

Interactions avec le milieu interstellaire (ISM): Pendant leur voyage les rayons cosmiques rentrenten interaction avec les nuages de gaz de l'ISM. Les pertes subies peuvent être continues ou catastrophiques.Pour les noyaux, les pertes continues sont principalement de deux types : pertes par ionisation dans le milieuinterstellaire neutre et par l'interaction coulombienne dans le milieu interstellaire complètement ionisé. Lespertes catastrophiques proviennent de la collision entre un noyau du milieu interstellaire et un noyau du rayoncosmique et conduisent le plus souvent à sa destruction (fragmentation en noyaux plus petits). On parle de spal-lations des rayons cosmiques sur le milieu interstellaire pour désigner les réactions nucléaires qui se produisentlors de la collision. Dans la plupart des cas la réaction conserve l'énergie cinétique par nucléon. Deux grandeurspermettent de caractériser ces interactions : la section e�cace de réaction (ou section inélastique totale) notéeσtoti ou σi -qui est la probabilité avec laquelle un noyau i disparaît quand il interagit avec un noyau du milieuinterstellaire- la section e�cace de production notée σj→i -qui est reliée à la probabilité d'obtenir un noyau iaprès interaction d'un noyau j avec le milieu interstellaire. 3

1.2 Le Leaky Box Model ou modèle de la boite qui fuit

Le modèle de propagation le plus simple qui soit doit tenir compte du con�nement des rayons cosmiqueset de leur échappement. Ceci peut être fait en prenant le modèle de la boite qui fuit ou Leaky Box Model

1Cette partie s'appuie sur le cours de David Maurin et Richard Taillet, celui de Rolf Walder, les notes de cours de M.KachelrieBet l'examen de physique des particules de Pierre Salati.

2L'unité d'énergie communément utilisée pour les rayons cosmiques est l'énergie cinétique par nucléon. Elle est pratique puisquecette énergie est conservée au cours des processus de fragmentation des noyaux décrits un peu plus loin.

3Le lien entre les deux quantités ne peut être fait que théoriquement : σi = 1n!

∑pn..∑p2

∑p1σi→pn+..+p2+p1 + (1 −

1n!)∑p σi→p+..+p+p où on somme sur tous les produits (ou paire de produits) p

2


(LBM). Dans ce modèle, on suppose que la densité d'un rayon cosmique i à une énergie donnée Ni(Ek) esthomogène au sein d'une boite qui fuit avec un temps caractéristique τesc. L'équation d'évolution de la densitéest donc :

dNi(Ek)

dt=−Ni(Ek)τesc

+Qi (Ek) , (2)

où Qi (Ek) est le terme source du noyau i. En ajoutant la contribution des pertes catastrophiques provenantde l'ISM exclusivement composé d'hydrogène, on obtient l'équation :

dNidt

=−Niτesc

− σivinHNi +∑j 6=i

σj→ivjnHNj +Qi (3)

Avec nH la densité d'hydrogène du milieu interstellaire galactique qui est d'environ 1atome.cm−3, et vi la vitessedu noyau i. Cette équation devient en régime stationnaire :

0 =−Niτesc

− σivinHNi +∑j 6=i

σj→ivjnHNj +Qi (4)

À priori nous n'avons jusqu'ici aucune connaissance de τesc. Mais regardons de plus près la mesure desabondances des noyaux..

1.2.1 Ce que peuvent nous apprendre les abondances des noyaux

Certaines expériences de spectrométrie ont permis de mesurer l'abondance relative4 des rayons cosmiquespour chaque élément et de la comparer aux abondances des di�érents éléments dans le système solaire [1].

Figure 1: Abondances relative des rayons cos-miques comparées avec celles du système so-laire [Israel et al., 2005]

On constate tout d'abord que les noyaux avec unnombre pair de protons et de neutrons sont plus abon-dants. Cette variation provient d'une di�érence de stabil-ité prédite par la physique nucléaire. La di�érence prin-cipale entre les deux courbes est l'écart entre les abon-dances pour le groupe Li-Be-B (Z=3-5) et le groupe Sc-Ti-V-Cr-Mn (Z=21-25). Ceux-ci sont six ordres de grandeurplus abondants dans les rayons cosmiques que dans le sys-tème solaire. Il s'agit ici d'une conséquence de la propa-gation [Meneguzzi et al., 1971] au cours de laquelle ces noy-aux sont formés par spallation. Les noyaux plus lourdsse fragmentent en noyaux plus légers. Ces noyaux sontdits secondaires alors que ceux dont l'abondance dans lesrayons cosmiques correspond grossièrement à celle observéedans le système solaire sont supposés primaires, c'est à direque la majorité des noyaux proviennent directement de lasource.

Cette di�érence entre stabilité thermodynamique et cinétique peut être exploitée pour déterminer lesparamètres de propagation, dans notre modèle simple τesc. Considérons un système simple à deux noyaux : unnoyau primaire "le carbone" et un noyau secondaire "le bore". Les équations dans le modèle LBM s'écrivent :

0 =−NCτesc

− σCvCnHNC +QC (5)

0 =−NBτesc

− σBvBnHNB + σC→BvCnHNC (6)

On fait l'hypothèse ici que le bore est essentiellement formé par spallation du carbone et qu'il n'a donc pas desource primaire. L'équation (6) permet directement de calculer le rapport B/C, et on obtient :

NBNC

=σC→BvCnH1

τesc + σBvBnH(7)

On remarque que ce rapport est indépendant du spectre à la source du carbone QC et nous permet doncd'obtenir directement des informations sur τesc(Ek). En remarquant que pour une énergie cinétique par nucléon

4L'abondance relative est proportionnelle à l'intégrale du �ux fonction de l'énergie

3


donnée vC = vB , on peut introduire le grammage moyen λ = ρHvτesc avec nH = ρH

mH. ρH étant la densité

en masse de l'ISM supposé ici contenir seulement de l'hydrogène. Le grammage moyen s'exprime en g.cm−2

et correspond à la masse moyenne qu'aurait collecté le noyau s'il était équipé d'un petit �let d'un centimètrecarré5. Dans ces notations on obtient pour le rapport B/C :

NBNC

=σC→BλmH

1 + σBλmH

(8)

Ce rapport est une fonction monotone croissante de λ, donc lorsque NBNC

est maximal, λ est maximal.

Figure 2: Mesure du rapport B/C en fonction de l'énergie cinétique par nucléon Ek.

Les données expérimentales du B/C sont rapportées sur le graphe [2].Le B/C présente un maximum de 0.35 à une énergie d'environ 1 GeV/nuc. À cette énergie on peut

calculer λmax et on trouve 10 g.cm−2 6. On peut aussi, à partir de cette valeur, donner le temps caractéristiquede résidence des noyaux dans la galaxie qui est l'ordre de τesc = λmax/(ρHc) = 10Myrs. Étant donné l'épaisseurdu disque galactique de h = 200pc, le temps de résidence des rayons cosmiques serait de τ = h/c = 600 ans s'ilsse dirigeaient tout droit vers l'extérieur du disque. Cette di�érence peut s'expliquer seulement si la propagationdes rayons cosmiques ressemble à une marche aléatoire, et suggère de plus que l'accélération et la propagationpeuvent être traitées séparément(τacc 6 104 − 105ans).

Une prescription utilisée dans ce modèle pour expliquer la forme en bosse du B/C est de prendre τescB =constante au-dessous d'une certaine rigidité, typiquement 5 GV. Ainsi λ croit avec v(Ek), et donc le rapportB/C croît également. Au delà de cette rigidité, on prend τesc ∝ Ek−γ , qui fait diminuer le rapport B/C pourγ > 0.

1.2.2 Limites du modèle

Bien que peu réaliste, ce modèle a été le premier à être utilisé et a donné de bons résultats sur lesabondances observées pour les espèces stables. Les abondances étaient expliquées par une unique fonction τesc

ajustée sur les données. Cependant, ce modèle est mis en défaut sur plusieurs points. D'abord la prescriptiondonnée pour le temps d'échappement moyen n'est qu'une description qui n'explique rien. On aimerait que desmodèles plus complexes permettent de la prédire et de relier ainsi paramètres de propagation et géométrie de

5Le grammage dans le cadre du LBM ne constitue qu'un simple paramétrage du temps. Cette notion prend en revanche toutson sens dans le cas général où la densité n'est pas constante dans la boite.

6Il faut mettre ici en avant la grande sensibilité du résultat avec les sections e�caces λmax = 0.35/(σC→BmH

− 0.35 σBmH

), d'oùdλdσ

≈ 0.35mH(σC→B−0.35σB)2

≈ 10g.cm−2.mbarn−1.

4


la galaxie. Or, d'autre part, l'analyse des abondances relatives des secondaires radioactifs et non radioactifsindique que le temps de con�nement est plus grand que celui prédit par le LBM. Cette constatation nouspermet d'a�rmer que les noyaux ne di�usent pas seulement dans le disque galactique, mais dans une régionplus étendue que l'on appelle halo di�usif ou halo magnétique. D'autres hypothèses telles que la forme du halomagnétique, ou l'homogénéité des sources peuvent être facilement détaillées pour décrire au mieux la géométriedu halo galactique.

2 Le modèle di�usif

Les modèles de di�usion permettent de tenir compte de la dépendance spatiale des sources, de la densitédes rayons cosmiques et de la densité du milieu interstellaire. La galaxie peut être vue comme un disque �n danslequel résident toutes les sources astrophysiques, au centre d'un large halo di�usif magnétique. Ces modèlessont plus proches de la réalité et permettent une interprétation physique plus aisée des di�érentes contributions.Ils reproduisent avec précision les �ux d'antiprotons et de radio-isotopes, et peuvent également inclure descontributions exotiques (à l'instar de la matière noire) au sein du halo di�usif.7

2.1 Slab model avec halo difusif

La géométrie choisie pour le halo magnétique de la galaxie est réalisée par un plan in�ni ou Slab. Lamatière est distribuée de manière homogène sur un plan in�ni d'épaisseur in�nitésimale 2h et de densité sur-facique µ ≈ 2.4mg/cm2 [Ferrière, 1998] (soit environ la densité surfacique d'une feuille de papier) et située aucentre d'un halo di�usif de demi épaisseur H, comme sur la �gure [3a]. Un modèle encore plus proche de la

Figure 3: a-Modèle simpli�é de la galaxie avec halo di�usif. La matière est distribuée de façon homogène surun plan in�ni d'épaisseur in�nitésimale 2h.b-Modèle cylindrique de la galaxie avec halo di�usif. Le rayon duhalo est souvent pris égal à 20 kpc. La matière est distribuée dans un disque d'épaisseur 2h, avec h = 100 pc

réalité consiste à prendre une géométrie cylindrique pour le halo di�usif [3b] avec un rayon R = 20 kpc. Lesystème solaire est situé à R = 8.5 kpc au centre de ce halo. La distribution au sein du disque de matière n'estpas uniforme mais en anneau, avec une distribution radiale de la forme :

q(r) ∝ r2 exp(−A( r

B− 1)

)Les résultats [4] de ces études [Taillet and Maurin, 2003] plus complexes montrent que la majorité des rayonscosmiques détectés sur terre provient de sources su�samment lointaines pour qu'en première approximation onpuisse considérer une distribution de matière homogène en gommant les sous-structures. De plus, un corollairede la porté �nie de la di�usion et de l'homogénéité des sources, est qu'il est possible d'étendre la géométrie àl'in�ni sans changer les résultats. En première approximation le modèle Slab est donc justi�é.

2.1.1 Approche microscopique de la propagation et modélisation macroscopique de la di�usion

Après avoir �xé la géométrie de la galaxie, il faut se donner une équation de transport pour les rayonscosmiques. L'approche la plus rigoureuse consiste à écrire les équations qui régissent l'évolution d'une densité

7Cette partie qui s'appuie sur le cours de Richard Taillet et David Maurin, la review de[Castellina and Donato, 2011], l'article de [Jones et al., 2000].

5


Figure 4: Contours contenant les sources produisant 99% des rayons cosmiques détectés sur Terre sont issus, pourplusieurs valeurs de H, pour des protons (à gauche) et des noyaux de Fer (à droite) [Taillet and Maurin, 2003]

de particules microscopiques chargées interagissant avec les champs électromagnétiques E, B. Cette densité ditede Klimontovich décrit complètement le système et s'écrit :

Wα(x,v, t) =

N∑i=1

δ3(x− xi(t))δ3(v − vi(t)) (9)

où l'indice α permet de considérer di�érentes sortes de particules (de charges qα). Dans le cas de leur seuleinteraction avec le champ électromagnétique, cette densité véri�e le système :

∂Wα

∂t+ v.

∂Wα

∂x+

qαmα

(e+v × b

c).∂Wα

∂v= 0 (10)

∇× b =1

c

∂e

∂t+

4π

c

∑β

qβ

∫dvvWβ (11)

∇× e = −1

c

∂b

∂t(12)

∇e = 4π∑β

qβ

∫dvvWβ (13)

Dans ces équations e et b sont les champs électromagnétiques microscopiques. En pratique une description sidétaillée est inutile, et on est amené à moyenner ces équations sur des éléments de �uide mésoscopiques. Ens'assurant que l'échelle d'intégration est su�sante pour pouvoir négliger les corrélations de paires sur le volumed'intégration, on peut montrer que la densité des particules fα = 〈Wα(x,v, t)〉 obéit à l'équation de transportde Vlasov :

∂fα∂t

+ v.∂fα∂x

+qαmα

(E +v ×B

c).∂fα∂v

= 0 (14)

qui n'est autre que la conservation de la densité le long de la trajectoire des particules. La trajectoire desparticules est simplement donnée par les équations du mouvement :

xα = vα =pαγmα

(15)

pα = qα(E +p×B

γmc) (16)

Les plasmas du milieu interstellaire sont partiellement ionisés, ainsi les champs électriques aux grandeséchelles sont rapidement court-circuités, et ne survivent que les champs magnétostatiques et les �uctuationsélectromagnétiques. La trajectoire des particules dans un champ magnétique statique est hélicoïdale. Les�uctuations électromagnétiques sont responsables du changement aléatoire de leur direction. On peut montrerque si ces �uctuations proviennent d'une onde électromagnétique, alors la déviation des particules est maximale

6


(résonnante) lorsque la longueur d'onde correspond au rayon de Larmor de la particule. Cette déviation estcaractérisée par µ le cosinus de l'angle entre l'ancienne et la nouvelle trajectoire.

L'équation de Vlasov peut être alors transformée en une équation de Fokker-Planck8 et qui pour des�uctuations du seul champ magnétique prend la forme :

∂fα∂t

+ v.∂fα∂x− ∂

∂µ

(Kµ

∂fα∂µ

)= 0 (17)

Dans le système de coordonnées mixtes où l'impulsion est mesurée dans le référentiel du plasma se déplaçant àla vitesse u(x) dans la galaxie et la position dans le référentiel de la galaxie, l'équation devient :

∂fα∂t

+ (v + u(x))

(∂fα∂x

)− ∂

∂µ

(Kµ

∂fα∂µ

)= 0 (18)

On remarque l'apparition d'un terme supplémentaire. Dans le cadre de l'approximation de la di�usion, c'est àdire en ne conservant que la composante isotrope de la densité dans l'espace des phases, on obtient :

∂fα∂t

+ u.∇xfα −1

3(∇x.u)p

∂fα∂p−∇xDx∇xfα = 0 (19)

Dans cette équation on a intégré sur l'angle de déviation µ, ce qui nous a permis d'introduire le coe�cient dedi�usion spatiale Dx

9.Il peut être montré que pour ce type de di�usion dite résonnante le coe�cient de di�usion spatial ne

contient plus qu'une composante (di�usion homogène et isotrope) qui dépend en loi de puissance de la rigiditéde la particule R :

Dx = D0x.β.Rδ

Dans le cas d'une turbulence magnétique de type Kolmogorov, mesurée par exemple pour le vent solaire,D ∝ R1/3.

Dans l'équation (19), la partie di�usive ne provient que des �uctuations du champ magnétostatique. Orceci est vrai uniquement si ces ondes sont au repos dans le référentiel considéré. Or dans le référentiel de lagalaxie, ces ondes sont en mouvement, et ces �uctuations sont bien électromagnétiques. La di�usion a donclieu aussi dans l'espace des impulsions. Dans le cas d'une di�usion isotrope l'équation d'évolution de la densitéprend la forme :

∂fα∂t

+ u.∇xfα −1

3(∇x.u)p

∂fα∂p−∇x.(Dx∇xfα)−∇p.(Dp∇pfα) = 0 (20)

où on note Dp le coe�cient de di�usion dans l'espace des impulsions (ou réaccélération)10. L'équation secomplique, mais nous avons omis dans notre démarche les termes de pertes continues et catastrophiques, ainsique le terme de source et les termes de production par spallation. En les rajoutant à la main, il vient :

∂fα∂t

+ u.∇xfα −1

3(∇x.u)p

∂fα∂p

+∇p(b(p)fα) + σαvαnISMfα +fατα−∇x.(Dx∇xfα)−∇p.(Dp∇pfα) =

qα +

Zmax∑Zβ>Zα

σβ→αvβnISMfβ +fβτβ

(21)

Dans cette équation τα et τβ sont les temps de vie respectifs du noyau α si celui-ci est radioactif, et du noyauparent β si α provient de la désintégration de β. Il en résulte donc un système d'équations di�érentiellescouplées, particulièrement compliqué à résoudre dans le cas général. Quelques hypothèses simpli�catrices enaccord avec le modèle Slab nous permettent de mieux appréhender le problème.

2.2 Application au modèle Slab à haute énergie

Face à la diversité des processus physiques intervenant dans la propagation, une première étude nécessitedes approximations pour véri�er si l'essentiel de la physique est comprise. Pour ce faire évaluons les tempscaractéristiques des di�érents processus et comparons les à celui qui caractérise la di�usion des particules ausein du halo magnétique.

8Pour obtenir cette équation il faut supposer que la densité de probabilité suit le "detailed balance".9Une relation entre Dx et Kµ existe, et dépend du modèle de di�usion que l'on choisit.

10Une relation entre Dx et Dp peut être établie[Seo and Ptuskin, 1994a].

7


2.2.1 Ce qu'il reste de l'équation

À partir de l'équation de propagation (21), et de la description micro-physique de chaque terme, il estpossible de donner un ordre de grandeur des temps intervenant dans chaque processus. On distingue quatretypes de phénomènes :

(i) Le transport des noyaux qui provient de la di�usion des noyaux sur les inhomogénéités magnétiquesavec et sans convection (vent convectif de u = 20km.s−1) :

τdiff =hH

2Dxτdiff+conv =

h

2u(1− exp

uzH

Dx)

(ii) Les pertes en énergie qui peuvent être de plusieurs types :- Pertes par expansion adiabatique des éléments de �uide pour un vent convectif de u = 20km.s−1.

τadia =Ek

|dEkdt |adia=

3h

V c

Ek + E0

(Ek + 2E0)

- Pertes par ionisation du milieu interstellaire :

τion =Ek

(dEkdt )ion

Avec l'expression de |dEkdt |ion tirée de [Strong and Moskalenko, 1998].- Pertes par collision élastique de coulomb avec les éléments ionisés du plasma :

τcoulomb =Ek

|dEkdt |coulomb

Avec l'expression de |dEkdt |coul tirée de [Strong and Moskalenko, 1998].

(iii) La réaccélération di�usive qui dépend de la vitesse d'Alvèn des ondes MHD prise à VA = 30km.s−1

τreac =p2

Dp= Dx

3δ(4− δ2)(4− δ)4V 2

A

Expression théorique tirée de [Seo and Ptuskin, 1994b] qui établit un lien entre Dx et Dp.

(iv) Les phénomènes de destruction et de production des noyaux qui proviennent de :-La spallation :

τspal =mHh

viµσtoti

pour un noyau i, µ étant la densité surfacique de la galaxie.- La radioactivité(β+,β−) :

τradio = τvieγ

- La capture électronique. Cette désintégration se déroule en deux étapes : Premièrement le noyau arracheun électron au milieu interstellaire (EC-lim-capt), ensuite un proton du noyau capture l'électron pour seconvertir en neutron (EC-lim-désint). Ce processus est donc limité par l'une ou l'autre de ces étapes.

τEC−lim−dsint = τECvie γ τEC−lim−capt =mHh

viµσtotattach

L'expression de σtotattach est prise de [Letaw et al., 1984].

La �gure [5] présente les temps caractéristiques dé�nis ci-dessus et leur évolution en fonction de l'énergie ciné-tique par nucléon. Les di�érents temps calculés ont été pris pour le carbone. Pour les processus de radioactivitéβ ou de capture électronique (EC) les temps de désintégration les plus rapides ont été utilisés11.

11Concernant les temps de désintégration, il faut avoir à l'esprit qu'un noyau non relativiste met environ 20Myr avant d'êtredétecté. Ainsi les noyaux dont les durées de vie sont "trop courtes" par rapport au temps de di�usion ne doivent pas être considérésdans la propagation, mais contribuent directement à l'abondance des noyaux �ls. Au contraire, un noyau dont la durée de vie estsupérieure au temps de di�usion peut être considéré comme stable. On reviendra sur ces notions par la suite.

8


On remarque que la gamme de temps couverte par les processus de propagation est immense, et s'étale de10 milles ans à plusieurs millions d'années. Pour pouvoir connaître l'in�uence d'un processus sur la propagationil faut comparer son temps caractéristique à celui du transport des rayons cosmiques.

En se plaçant au dessus de 10 GeV/nuc, on note que la convection n'a presque plus d'in�uence par rapportà la propagation, le régime de transport peut être considéré comme purement di�usif. De plus, on remarque queles seuls processus à prendre en compte dans la propagation à ces énergies sont la spallation et la radioactivitéβ 12, les autres mécanismes étant de loin beaucoup plus lents.

Figure 5: Temps caractéristiques des processus intervenant dans la propagation des rayons cosmiques.

2.2.2 Équation de propagation et forme de la solution

Regardons ce que l'équation de propagation devient dans le cas simple où l'on ne tient compte que de ladi�usion spatiale, de la spallation et de la désintégration β.

∂fα∂t

+ σαvαnISMfα +fατα− ∇x.(Dx∇xfα) = qα +

Zmax∑Zβ>Zα

σβ→αvβnISMfβ +fβpereτβ

(22)

On rappelle que fα est la densité dans l'espace des phases et dépend donc de la position x et del'impulsion p. L'isotropie du �ux, stipulée par l'hypothèse de di�usion, permet d'écrire fα(x,p, t) = fα(x, p, t) =fα(x, Ek, t). De plus la géométrie du Slab, qui s'étend à l'in�ni suivant les dimensions latérales, impose unedépendance spatiale uniquement suivant la verticale z, de sorte que fα(x, Ek, t) = fα(z, Ek, t).

Dans le modèle Slab, la matière du disque galactique est répartie suivant un plan in�niment minced'épaisseur h. Tous les processus d'interaction avec la matière sont donc con�nés au sein du plan z = 0. On entient compte en multipliant ces termes par δ(z)h.

Les sources des rayons cosmiques sont supposées être localisées dans le temps et dans l'espace. Cependant

12Les noyaux instables sont formés par spallation et sont donc secondaires.

9


le temps de production de chaque source est très inférieur au temps de propagation, et on suppose que les sourcessont réparties aléatoirement dans le plan galactique. De ce fait on peut se placer en régime stationnaire(dumoins en dessous 10 TeV [Taillet et al., 2004]), et l'équation se simpli�e alors :

(δ(z)h)σαvnISMfα +fατα− ∂

∂z.(Dx

∂

∂zfα) = (δ(z)h)qα + (δ(z)h)

Zmax∑Zβ>Zα

σβ→αvnISMfβ +fβpereτβ

(23)

Nous allons dans un premier temps simpli�er cette équation en la résolvant pour les noyaux stables seule-ment. Le problème est symétrique par rapport au plan galactique en z=0, et fα est une fonction paire de z.On peut se contenter de chercher la solution pour z > 0. La résolution procède en deux étapes comme proposédans [Jones et al., 2000] :

1-Pour z > 0, l'équation s'écrit :

∂

∂z.(Dx

∂

∂zfα) = Dx

∂2

∂z2fα = 0 D'où : fα(z, p) = A(p)z +B(p)

En imposant la condition au bord du halo di�usif fα(z = H, p) = 0, et en notant : fα(z = 0, p) = f0α(p), onobtient :

fα(z, p) = f0α(p)(H − z)H

(24)

2-On intègre l'équation (23) autour du plan z=0 :∫ +ε

−ε(23)dz→ hσαvnISMf

0α − [Dx

∂

∂zfα(z = ε)−Dx

∂

∂zfα(z = −ε)] = hqα + h

Zmax∑Zβ>Zα

σβ→αvnISMf0β

La fonction étant paire, fα(+ε) = fα(−ε) mais f ′α(+ε) = −f ′α(−ε)

→ hσαvnISMf0α − 2Dx

∂

∂zfα(z = ε) = hqα + h

Zmax∑Zβ>Zα

σβ→αvnISMf0β

En faisant tendre ε vers 0 et en utilisant le résultat (24), on obtient la relation de continuité :

hσαvnISMf0α +

2Dx

Hf0α = hqα + h

Zmax∑Zβ>Zα

σβ→αvnISMf0β

En dé�nissant la densité du disque galactique par µ = ρHh = mHnISMh et en posant Qα = qαhmHvµ on obtient

la densité de particules dans l'espace des phases au niveau du plan galactique :

f0α(p) =Qα +

∑ZmaxZβ>Zα

σβ→αf0β

2DxmHvµH + σα

(25)

On transforme maintenant cette expression de manière à introduire le �ux Iα(Ek) qui s'exprime en nombrede particules par (m2.s.GeV.sr), et qui est relié à fα(p) par Iα(Ek)dEk = vfα(p)p

2dp.

D'où : f0α =I0α(Ek)

Aα p2

Avec Aα le nombre de nucléons du noyau α. Ainsi la relation (25) devient :

I0α(Ek) =Qα +

∑ZmaxZβ>Zα

σβ→αAαAβI0β

σdiffα + σα(26)

où σdiffα = 2DxmH/(vµH) est homogène à une section e�cace, et Qα est désormais dé�nie par Qα =p2AαqαhmH/vµ.

10


La spallation engendrant une �ssion et non une fusion le �ux du noyau α dépend des �ux de tous les noy-aux β plus lourds. La résolution d'un tel système est de type cascade si on connaît le �ux du noyau le pluslourd.

La situation se complique un peu dès que l'on rajoute la radioactivité. On distingue ainsi deux autrescas de noyaux :

(Stableβ → Stableα cf équation (26) ), Stableβ → Instableα, Instableβ → Stableα

qui se résolvent en suivant les étapes 1 puis 2 décrites précédemment.

Dans le cas où le noyau produit par spallation est radioactif, le �ux prend la forme :

I0α(Ek) =Qα +

∑ZmaxZβ>Zα

σβ→αAαAβI0β

σdiff−rad + σα(27)

où σdiff−radα = 2mHvµ

√Dxτα

coth ( Hλα ) avec λα =√Dxτα la longueur typique de di�usion avant désintégration.

L'intensité des noyaux produits d'un noyau radioactif père βp s'exprime comme :

I0α(Ek) =Qα +

∑ZmaxZβ>Zα

σβ→αAαAβI0β + σprodI0βp(Ek)

σdiffα + σα(28)

Avec :

σprod =2mHDx

vµH

[H

λβpcoth (

H

λβp)− 1

]= σdiffβp

[H

λβpcoth (

H

λβp)− 1

]On remarque l'absence du facteur Aα

Aβpdevant I0βp du fait que pour la désintégration β, Aα = Aβp . Lorsque λ

tend vers l'in�ni, c'est à dire que les noyaux radioactifs redeviennent stables, les équations (28) et (27) redonnentl'équation (26).Les solutions (25), (26) et (27) sont la base de la résolution en cascade proposée dans la partie suivante.

Avant d'aller plus loin revenons un instant sur les raisons qui nous ont fait abandonner le Leaky BoxModel (LBM) pour le modèle di�usif. Pour un système à deux noyaux par exemple, il semble que la descriptionplus précise de la galaxie avec les approximations faites sur les phénomènes à haute énergie ne modi�ent en rienl'expression du �ux par rapport au LBM. Ce reparamétrage a néanmoins le mérite de relier la dépendance deτesc aux grandeurs géométriques et physiques du problème, avec : τesc = hH/(2Dx). Pour le bore sans termesource par exemple :

I0B(Ek) =σC→B

ABAC

I0C2DxmHvµH + σB

⇔ NB(Ek) =σC→BNC1

τescB vnH+ σB

De plus le modèle di�usif est évolutif et permet de rajouter d'autres phénomènes à basse énergie pourrendre le modèle plus complet. Ainsi la prescription de τesc utilisée dans le LBM peut s'expliquer dans le modèledi�usif par l'ajout d'un vent convectif constant suivant z. À partir de l'équation (29) :

δ(z)hσαvnISMfα + uzdfαdz− 1

3(duzdz

)p∂fα∂p− ∂

∂z.(Dx

∂

∂zfα) = δ(z)hqα + δ(z)h

Zmax∑Zβ>Zα

σβ→αvnISMfβ (29)

et en négligeant le terme de pertes adiabatiques pour plus de clarté, on obtient [Jones et al., 2000]:

I0α(Ek) =Qα +

∑ZmaxZβ>Zα

σβ→αAαAβI0β

2mH

vµ

uz

1− exp(−uzHDx )+ σα

(30)

On trouve donc que la solution (30) n'est autre que (25) avec un coe�cient de di�usion e�ectif :

D′x =Huz

1− exp (−uzHDx )

11


qui tend vers Dx lorsque uzH/Dx << 1 à haute énergie et tend vers uzH lorsque uzH/Dx >> 1.

Comme dans le LBM τesc = hH/(2D′x), on retrouve les deux comportements asymptotiques :

• Pour uzH/Dx << 1 → τesc ∝ Ek−γ .

• Lorsque uzH/Dx >> 1 → τesc = cste.

qui caractérisent le choix phénoménologique de τesc dans le LBM.À l'aide des solutions que nous avons dégagées, nous allons maintenant nous atteler à la résolution de ce

système d'équations.

3 Résolution de la propagation à haute énergie et détermination des

paramètres du modèle

Dans la partie précédente nous avons trouvé des solutions pour le modèle de di�usion Slab. Il s'agitmaintenant de résoudre ce système d'équations algébriques couplées pour déterminer les inconnues du problème.Mais quelles sont-elles ? Mais d'abord qu'est-il possible de mesurer.

3.1 Les observables et inconnues de la propagation des rayons cosmiques

3.1.1 Les �ux des noyaux

Comme présenté dans l'introduction, nombreuses sont les expériences qui, embarquées à bord de ballonsou de satellites, ont pu sonder les caractéristiques des rayons cosmiques. Les détecteurs permettent en généralde mesurer deux quantités :

-Le couple (A,Z). Celui-ci permet d'identi�er le noyau. Le problème majeur est l'incertitude sur ces valeursqui est d'autant plus grande que le noyau est lourd. Le problème vient de la reconstruction de l'énergie déposéedans le calorimètre qui est proportionnelle à Z2. La séparation isotopique est encore plus di�cile, puisqu'ellenécessite non seulement la connaissance de Z, mais aussi la détermination précise de la vitesse β connue à l'aidedu temps de vol ou de l'e�et Cherenkov.

-L'énergie. Cette information est essentielle, puisque tous les phénomènes physiques de la propagation ontune forte dépendance en énergie. L'unité choisie dans ce rapport est l'énergie cinétique par nucléon (GeV/nuc)qui s'avère pratique lorsqu'on tient compte des réactions nucléaires au cours desquelles celle ci est conservée.

Il est alors possible d'obtenir expérimentalement le �ux I0i (Ek) du noyau i en fonction de l'énergiecinétique par nucléon Ek. La di�culté de reconstruction de la masse dans les expériences réalisées jusqu'alors,n'a pas permis la mesure des �ux isotopiques, mais seulement celle de chaque élément (Z). Tous les résultatspubliés ont été soigneusement regroupés dans une base de données interactive "Cosmic Ray Data Base" (CRDB)[Maurin et al., 2013] en accès libre sur le web.

Figure 6: Mesure de l'intensité des noyaux de carbone dans les rayonscosmiques [Maurin et al., 2013].

Quelques remarques s'imposent surl'allure générale des spectres mesurésqui présentent des caractéristiques com-munes. Prenons par exemple le spec-tre du carbone [6], on remarque qu'enéchelle log-log le �ux est plutôt plat àbasse énergie (<1 GeV), puis décroit enloi de puissance constante au delà de10 GeV. De plus, on constate qu'à faibleénergie, le �ux mesuré est bien di�érentd'une expérience à l'autre. Ces vari-ations proviennent des �uctuations del'intensité du vent solaire qui empêcheles particules les moins énergétiquesd'atteindre la Terre. Elles sont souventmodélisées par un potentiel électrosta-tique à symétrie sphérique centré sur le

12


soleil. Ce phénomène est connu sous le nom de modulation solaire. Toutes ces caractéristiques persistent sil'on choisit la rigidité comme échelle d'énergie. C'est l'allure de ces �ux qui nous a motivés à décrire le spectred'injection à la source par l'équation (1).

3.1.2 Les sections e�caces

Les sections e�caces d'interaction avec le milieu interstellaire apparaissent explicitement dans les so-lutions de l'équation de propagation. Deux types de sections e�caces sont à distinguer : la section e�caceinélastique totale et la section e�cace inélastique de spallation.

La section e�cace inélastique totale d'un noyau avec le milieu interstellaire peut être calculée à par-tir des sections e�caces inélastiques σi+j de ce noyau i avec chacun des éléments j du milieu interstellaire. Leterme de destruction par collision prend la forme :

µ

hmσi =

∑j∈ISM

njσi+j

où m est la masse moléculaire moyenne de l'ISM et nj est la densité particulaire de l'élément j dans l'ISM.Sachant d'une part que le milieu interstellaire est composé essentiellement d'hydrogène et d'hélium, et d'autrepart que ces sections e�caces sont connues seulement à quelques pourcent près, on peut se contenter de neprendre en compte que l'interaction avec l'hydrogène et l'hélium, ce qui donne pour le terme de destruction :

µ

hmv

(σi+H +XHeσi+He

1 +XHeIi(Ek)

)(31)

où XHe est la fraction en nombre d'hélium par rapport à l'hydrogène. Bien qu'elle soit mal connue, et évolueraitdans la galaxie, on peut lui choisir une valeur intermédiaire entre le résultat 0.06 fourni par la nucléosynthèseprimordiale et la limite maximale estimée à 0.1. Dans la suite, je choisirai arbitrairement la valeur 0.0713.Des paramétrages basés sur le peu de mesures existantes permettent ensuite de calculer ces sections e�cacesinélastiques σi+He et σi+H , à l'instar des formules de [Tripathi et al., 1997].

Les sections e�caces inélastiques de spallation peuvent être traitées de manières identiques, de sorte quele terme de production du noyau j devient :

µ

hmv∑i

σi+H→j +XHeσi+He→j1 +XHe

Ii(Ek)

Ces sections e�caces sont également très mal connues, et il faut se �er à des formules semi-empiriques.En réalité, une subtilité supplémentaire intervient dans le calcul de ces sections e�caces. Certains noyaux

produits par spallation sont instables et ont une durée de vie si courte qu'ils disparaissent avant de se déplacer.Au lieu de considérer un processus de création en deux étapes passant par ces noyaux intermédiaires (ou"fantômes" comme les nomme David Maurin dans sa thèse[Maurin, 2001]), on peut inclure de manière e�ectiveleur participation dans les sections e�caces de production des noyaux �ls. Un noyaux est classé "fantômes" sison temps de vie est très inférieur au temps de propagation, et ce malgré la dilatation de Lorentz. On choisitalors comme fantômes les noyaux dont la durée de vie est inférieure à une année. Même pour une énergie de1TeV/nuc (limite des mesures sur le spectre des noyaux), la durée de vie atteint 103 ans et reste très inférieureau temps de propagation de 104 ans à cette énergie. Dans les calculs e�ectués par la suite une table de valeurscompilées [Maurin et al., 2001], à partir des sections e�caces de [Webber et al., 2003], est utilisée.

3.1.3 Ce qu'il nous reste à déterminer..

Les seuls paramètres libres qu'il reste des équations de propagation interviennent dans le coe�cient dedi�usion et le terme source. Le premier de la forme :

Dxi(Ek) = D0xβRδi (32)

13On pourrait étudier l'in�uence systématique du choix de ce paramètre.

13


La rigidité ne dépendant que de l'énergie et de la charge du noyau, les deux paramètres libres sont l'indicespectral δ et la normalisation D0x. Ils seront ajustés par la suite.

Le terme source de chaque noyau i et prend la forme :

Qi(Ek) = AiRαii (33)

En vertu de l'équation (26),on peut voir que l'intensité Ii(Ek) est proportionnelle à R(αi−δ) à haute énergie. Or,les �ux mesurés pour les noyaux primaires (Partie 3.1.1), décroissent bien en loi de puissance avec de surcroîtla même pente αi− δ à haute énergie. On peut alors faire l'hypothèse raisonnable que le spectre d'injection desnoyaux primaires a la même pente à haute rigidité, quel que soit l'élément, de sorte que :

Qi(Ek) = AiRαi (34)

Ainsi les paramètres libres pour les termes sources sont α et la normalisation Ai.

3.2 Résultats pour la cascade des noyaux

3.2.1 Principe de la résolution

La résolution numérique des équations de propagation (26), (27) et (28), pour tous les noyaux passe parla diagonalisation d'un système triangulaire, qui nous incite à utiliser une approche type cascade. Pour celail faut se donner le premier noyau de la chaîne (le plus lourd) qui sera le point de départ de la résolution. Jechoisis le fer(Fe) qui est le noyau le plus lourd formé au sein des étoiles et dont l'abondance est loin d'êtrenégligeable. Ainsi on peut supposer que le fer ne comporte qu'une composante primaire, et n'est donc pas créépar spallation de noyau plus lourd.

Les paramètres libres de notre analyse, sont donc les normalisations Ai des spectres d'injection, l'indicespectral source α commun à tous les noyaux, et δ (propagation) ainsi que la normalisation D0x du coe�cientde di�usion.

On dispose [Maurin et al., 2013] d'une mesure des �ux de tous les noyaux pour dont la charge, Z 6 ZFeavec souvent quelques points seulement dans la gamme d'énergie étudiée (>10 GeV). Le �ux du fer étant in-dépendant de celui des autres noyaux, il su�t à priori de déterminer le jeu de paramètres (AFe, α, D0x et δ)ajustant au mieux les données du fer. Les valeurs ainsi dérivées sont cependant entachées d'une large erreur, àcause de la dégénérescence entre α et δ. À haute rigidité, l'intensité est en e�et proportionelle Ii(Ek) à R(α−δ)

Pour briser cette dégénérescence, on peut imaginer d'ajuster globalement les données en rajoutant lesnoyaux secondaires pour lesquels Ai = 0. Leur �ux est dominé par la spallation des espèces primaires et, d'aprèsl'équation (26), varie comme Ii ∝ R(α−2δ).

Nous sommes dès lors conduits à considérer le rapport de l'abondance d'un noyau secondaire, commele bore (B) à celle d'un noyau primaire parent comme le carbone (C). D'après ce qui précède, ce rapportB/C ≡ IB/IC est proportionel R−δ à haute rigidité. Il dépend donc de manière cruciale de l'indice spectralδ et l'on retrouve le résultat de la partie 1.2.1 à condition d'identi�er γ et δ. Le rapport B/C est facilementmesurable puisqu'il n'est pas sensible à l'acceptance du détecteur.

Au cours de mon stage, j'ai construit de bout en bout un programme en C++ qui permet la recherchede la meilleure combinaison de paramètres pour un certain jeu de données. Ce programme cherche à minimiserle χ2 global dans l'espace des paramètres α, D0x et δ via la routine de minimisation MINUIT, qui fait partiede la librairie ROOT. La normalisation des spectres à la source des primaires Ai est realisée en minimisant unχ2 interne portant sur le �ux mesuré de chaque noyau, les paramètres α, D0x et δ étant �xés. Le spectre à lasource des noyaux purement secondaire est pris nul.Je reviendrai ultérieurement sur cette hypothèse forte.

3.2.2 Résultats pour un ajustement global des données (Ai = 0 pour les secondaires)

On utilise dans un premier temps les mesures des �ux de tous les noyaux ZBe 6 Z 6 ZFe etcelles du B/C. Pour les premiers, toutes les données disponibles sont empruntées à la base de donnée CRDBalors que les mesures du rapport B/C proviennent des observations préliminaires d'AMS02 publiées à l'ICRC2013(International Conference of Cosmic Rays). Le programme cherche ensuite à minimiser le χ2 global:

χ2Global = χ2

Flux + χ2B/C

=∑N

∑i

(INexpi − INth(Ek,i, α,D0x, δ))2

(σNi )2+∑i

(IB/Cexpi − IB/Cth (Ek,i, α,D0x, δ))2

(σB/Ci )2

14


où N parcourt les di�érents noyaux et i les points des expériences associées. Les résultats sont présentés �gure[7]. Le résultat de l'ajustement sur les �ux est présenté en annexe 4.2.

χ2min/ddl

χ2Global

3457551−3 ≈ 6.3

χ2B/C

4810−3 ≈ 7

Paramètres Valeur pour χ2min

α −2.21± 0.01D0x(kpsc

2.Myr−1) 1.56.10−2 ± 1.10−3

δ 0.690± 0.02

Figure 7: a-Résultats de l'ajustement global pour le B/C. b-Mesure de la qualité de l'ajustement par la valeurdu meilleur χ2

On constate que le χ2Global n'est pas très bon(>1), tout comme celui du B/C. Cependant, les données sur

les �ux de tous les noyaux sont plutôt bien interceptées par les modèles théoriques INth(Ek, α,D0x, δ), alors quepour le B/C ce n'est pas le cas au delà de 30 GeV (cf �gure[7]).Il y a donc visiblement un désaccord dans notre modèle entre les paramètres mesurés grâce à un ajustement des�ux des noyaux, et ceux mesurés grâce à un ajustement du B/C. Nous le véri�ons en estimant les paramètresα, D0x et δ d'une part par minimisation de χ2

Flux seul et d'autre part, par minimisation de χ2B/C seul. Les

résultats sont présentés dans la �gure [8], avec leurs contours à 1σ.

Ajustement : χ2min/ddl

χ2Flux

3381541−3 ≈ 6.27

χ2B/C

1.5010−3 ≈ 0.21

Paramètres χ2minFlux χ2

minB/C

α −2.11± 0.02 −1.2± 0.6D0x(kpc

2.Myr−1) (1.11± 0.09)10−2 (1.1± 0.2)10−1

δ 0.80± 0.02 0.41± 0.03

Figure 8: Comparaison des résultats du meilleur ajustement pour le B/C et pour le �ux de tous les noyaux. Lecontour à 1σ dans l'espace des paramètres projeté sur (δ, Dox) n'apparaît pas pour cause de non convergencenumérique.

Ceux-ci n'occupent pas la même région suivant qu'il soient déterminés par le minimum du χ2 sur les �uxou sur le B/C. Cette observation con�rme le désaccord supposé. De plus, la taille et l'orientation des contours,indiquent que le B/C est essentiellement sensible à δ pratiquement pas à α et D0x. Bien que le domaine del'espace des phases soit plus réduit pour les �ux, l'orientation des ellipses montre qu'ils sont par contre plussensibles à α et D0x.

15


Remarque : Il est à noter que la forme des ellipses associée à χ2Flux permet de rendre compte de

la corrélation entre les paramètres de propagation. Le coe�cient de di�usion Dx varie comme D0xβRδ. À Dx

constant, augmenter D0x revient donc à diminuer δ . On véri�e en e�et que D0x et δ sont anti-corrélés. Demême, comme dans notre gamme d'énergie les spectres sont proportionnels à R(α−δ), augmenter δ revient àaugmenter α. C'est bien ce que l'on constante dans le plan α, δ de la �gure [8].

Les contours à 1 sigma sont plus réduits lorsqu'ils sont obtenus à partir des �ux. Ceci provient descontraintes imposées conjointement par tous les noyaux. Ce fait est illustré sur la �gure [9], où les �ux dedi�érentes espèces sont ajustés de manière indépendante.

Ajustement : χ2min/ddl

χ2Flux

3381541−3 ≈ 6.27

χ2Fe−Si

518250−3 ≈ 2.10

χ2Fe

19287−3 ≈ 2.28

Noyau (i) χ2i /χ

2Fe−Si Noyau (i) χ2

i /χ2Fe−Si

Fe 4.10−1 K 4.10−3

Mn 5.10−3 Ar 9.10−2

Cr 9.10−3 Cl 1.10−2

V 1.10−2 S 7.10−2

Ti 2.10−2 P 7.10−3

Sc 1.10−2 Si 2.10−1

Ca 5.10−2

Figure 9: Comparaison des résultats de l'ajustement global pour : le fer (Fe), les noyaux allant du fer au silicium(Fe-Si), et tous les noyaux (Fe-Be=Flux).

On remarque que le minimum se déplace dans l'espace des paramètres, en même temps que le contourà 1σ rétrécit, en fonction du nombre de noyaux utilisés. L'ajustement par le χ2 est en fait dominé par lesnoyaux dont les données sont les plus fournies et précises. Ceci est illustré dans le cas d'un ajustement globalcomprenant les noyaux allant du fer au silicium. En regardant le χ2 individuel du �ux de chaque noyauinclus dans l'ajustement (cf tableau), on constate que les noyaux primaires (Fe,Ar,S,Si) dominent en tirant lesparamètres en leur faveur, les �ux de ces noyaux étant les mieux mesurés. Si le modèle et les données étaientexacts, on observerait un rétrécissement concentrique de la région à 1σ autour d'un minimum commun. Ainsi untel rétrécissement de l'espace des paramètres peut provenir d'une hypothèse inexacte faite dans le modèle. Lesparamètres correspondant au minimum du χ2

Flux seraient alors sur-déterminés. Plusieurs hypothèses peuventêtre envisagées pour tenter de rendre les données compatibles :

• Nous savons que les sections e�caces sont encore mal déterminées, et ont sans doute un e�et systématiquessur le χ2 dans l'espace des paramètres, qui pourrait être étudié.

• Le modèle considéré est simpliste, et est une première correction au régime purement di�usif. Un modèleplus sophistiqué est à considérer, où l'on tiendrait compte d'autres processus tels que la réaccélération,la convection et d'autres types de pertes continues. Cela permettrait d'étendre l'analyse à basse énergie(∼ 1GeV/nuc). En faisant varier l'énergie de coupure notre modèle a cependant le mérite de tester enmême temps l'hypothèse d'un régime purement di�usif et l'incertitude sur les sections e�caces.

16


• L'universalité de l'indice spectral α pour les sources primaires est une hypothèse forte qui mérite sansdoute d'être remise en question.

• En�n la contribution de sources primaires pour des noyaux dits secondaires peut être également envisagéecomme il le sera dans la partie 3.2.3.

On se contentera ici de tester l'universalité de l'indice spectral. La valeur de α déterminée par l'ajustementdu B/C seul n'est pas en accord avec les modèles d'accélération communément admis, et s'accorde très malà un ajustement des �ux des noyaux. Celle déterminée par l'ajustement des �ux seuls est, quant à elle, plusphysique. En fait, des valeurs comprises dans l'intervalle [−2.5,−2.0] restent cohérentes avec les données des �uxet un processus d'accélération de type Fermi. A�n de tester l'hypothèse d'universalité, on réalise un ajustementoptimal du B/C en fonction des paramètres restant D0x et δ, pour un jeu de valeurs α donnés. Puis, on véri�eà postériori la cohérence de ce jeu de valeurs par un ajustement des �ux à partir les paramètres de propagationD0x et δ trouvés précédemment.

Les résultats de cette analyse sont présentés �gure [10].

α χ2minB/C/ddl (D0x, δ)

2.0 7.3710−3 ≈ 1.05 ((3.5± 0.6)10−2, 0.48± 0.04)

2.1 7.4810−3 ≈ 1.07 ((3.3± 0.5)10−2, 0.48± 0.04)

2.2 7.5110−3 ≈ 1.07 ((3.3± 0.5)10−2, 0.48± 0.04)

2.3 7.4610−3 ≈ 1.06 ((3.3± 0.5)10−2, 0.48± 0.03)

2.4 7.3710−3 ≈ 1.05 ((3.5± 0.5)10−2, 0.48± 0.03)

2.5 7.2510−3 ≈ 1.04 ((3.6± 0.5)10−2, 0.48± 0.03)

Figure 10: Comparaison des résultats obtenus pour le meilleur ajustement du B/C pour un indice spectral αdonné.

On constate que les paramètres de propagation déterminés de cette manière sont quasi-indépendantsdes valeurs physiques de α. La valeur de δ est estimée de manière univoque, alors qu'il reste une petitedégénérescence sur la valeur du paramètre D0x. Le test d'auto-cohérence du modèle consiste maintenant àdéterminer α à partir des valeurs extrêmes trouvées pour les paramètres de propagation. Les résultats sontprésentés dans le tableau [1] :

(D0x, δ) α χ2minFlux/ddl

2.8.10−2, 0.53 −2.333± 0.003 3540/(541− 3) = 6.583.3.10−2, 0.48 −2.359± 0.003 3586/(541− 3) = 6.673.6.10−2, 0.48 −2.352± 0.003 3607/(541− 3) = 6.704.1.10−2, 0.44 −2.382± 0.003 3658/(541− 3) = 6.80

Table 1: Test d'auto-cohérence du modèle, on véri�e que la valeur de α estimée par l'ajustement des �ux desnoyaux est incluse dans l'intervalle physique [-2.0,-2.5].

Les valeurs de α trouvées pour les di�érents couples (D0x, δ) sont toutes incluses dans l'intervalle [−2.5,−2.0].Sans remettre en cause l'hypothèse d'universalité, on peut donner une valeur de α à 1σ :

α = −2.35± 0.03

Cependant les valeurs des meilleurs χ2Flux/ddl restent mauvaises pour l'ajustement des �ux. Plusieurs possibil-

ités peuvent être envisagées pour tenter d'améliorer ce résultat :

• L'indice spectral α peut dépendre des noyaux.

• La loi spectrale est fausse, et il est nécessaire d'en considérer une autre.

• La loi spectrale est fausse et peut dépendre des noyaux...

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Pour tester la première hypothèse, on véri�e si l'ajustement peut être amélioré en procédant avec la mêmeméthode, mais en estimant α grâce aux �ux de certains noyaux seulement. On utilise uniquement les noyauxprimaires dont les �ux sont bien mesurés et sont les plus sensibles à la variation de α. Les résultats sont présentésdans le tableau [2] :

Minimisation du χ2 α χ2min/ddl

χ2Fe −2.43± 0.01 202/(87− 1) = 2.3χ2Si −2.46± 0.01 213/(53− 1) = 4.1χ2O −2.291± 0.006 1208/(60− 1) = 20.1

Table 2: Test d'universalité de la puissance d'injection α estimée par l'ajustement des �ux de certains noyaux pri-maires. Tous les ajustements prennent comme paramètres de propagation le couple (D0x, δ) = (3.3.10−2, 0.48).

On remarque que les di�érents α trouvés ne sont pas cohérents entre eux si on s'en tient à l'incertitudestatistique. Cependant on remarque aussi que la mesure de l'ajustement par le χ2

min/ddl n'est améliorée quedans le cas du fer et du silicium, et reste supérieure à 1. Pour l'oxygène en revanche χ2

min/ddl est bien supérieurà 1, ce qui normalement est synonyme d'un très mauvais ajustement aux données. La grande valeur de χ2

O étaitmoyennée par d'autres valeurs bien plus petites dans le calcul de χ2

minFlux/ddl.Cette grande valeur χ2

O met en lumière le fait que nous utilisons jusqu'ici un grand nombre de donnéesprovenant de di�érentes expériences qui ne sont pas forcément cohérentes entre elles : les mesures de l'unene sont pas forcément dans les barres d'erreur d'une autre. Pour savoir si l'écart systématique entre deuxexpériences est dominant, on estime α en réalisant un ajustement de l'oxygène pour di�érentes expériences. Lesdonnées les plus précises pour les énergies considérées proviennent des expériences CREAM-II(2005/12-2006/01)et ATIC02(2003/01). Les résultats sont présentés dans le tableau [3] :

Minimisation du χ2 α χ2min/ddl

χ2O CREAM-II −2.45± 0.06 23.7/(9− 1) = 2.96χ2O ATIC02 −2.36± 0.01 12.8/(13− 1) = 1.06χ2Fe CREAM-II −2.6± 0.1 7.39/(8− 1) = 1.06χ2Fe ATIC02 −2.47± 0.04 5.60/(6− 1) = 1.12χ2Fe CREAM-II+ATIC02 −2.53± 0.03 19/(14− 1) = 1.5

Table 3: E�et des systématiques entre expériences sur la détermination de la puissance d'injection α estiméepar l'ajustement du �ux de certains noyaux primaires. Tous les ajustements prennent comme paramètres depropagation le couple (D0x, δ) = (3.3.10−2, 0.48).

On remarque plusieurs choses :

• Les résultats des di�érentes expériences sont compatibles dans le cas du fer où les ajustement pour lesdeux jeux de données sont bons : χ2

min/ddl ≈ 1.

• Si on compare pour une même expérience(ATIC02 par exemple), l'estimation de α par le fer ou parl'oxygène, on trouve une di�érence de 3σ qui serait une première indication de la violation de l'hypothèsed'universalité.

• Les deux expériences a�chent la même tendance dans la détermination de α. L'indice spectral est plusmou pour CREAM et plus dur pour ATIC02.

• Le mauvais χ2 obtenu pour l'oxygène par l'ajustement des données de CREAM-II peut être une indicationque la loi d'injection des sources n'est pas une simple puissance de α, mais une loi en puissance briséecomme le proclament certaines expériences.

• En�n l'ajustement sur la combinaison des données de ATIC02 et de CREAM-II pour le fer, s'avère moinsbon que pour un jeu de données unique. Cela prouve que les valeurs élevées du χ2

Global ou χ2Flux(proche

de 7) proviennent du fait que les systématiques entre les di�érentes expériences ne sont pas comprises etprises en compte de la même manière. Cela conduit à la surdétermination statistique de α.

Pour répondre à la problématique que l'on s'était posée sur l'universalité de l'indice d'injection α, on conclutque l'on ne peut pas se �er à son estimation par l'ajustement simultané des �ux de plusieurs expériences sansse heurter à sa surdétermination. De plus les données d'une même expérience ne donnent pas d'incertitudestatistique su�samment petite pour trancher avec certitude sur la non-universalité de α. Il est donc nécessaired'attendre des résultats plus précis sur les �ux des noyaux que ne devrait pas tarder à fournir le spectromètreAMS02.

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3.2.3 On revient sur l'hypothèse Ai = 0 pour les secondaires.

Dans l'étude précédente nous avions émis l'hypothèse forte qu'il n'existait pas de source primaire pourles noyaux dit "secondaires". On rappelle que ces noyaux sont dits secondaires car leur abondance relative dansles rayons cosmiques est bien plus importante que dans le système solaire. Imposer que Ai = 0 pour ces espèces,reste néanmoins une hypothèse très forte sur la physique de la galaxie entrevue par notre seul environnementproche. Relâchons cette contrainte dès à présent et analysons les résultats en suivant la même logique queprécédemment. Les résultats pour l'ajustement global(par minimisation de χ2

Global) sont présentés �gure [11].

χ2min/ddl

χ2Global

3261551−3 ≈ 5.95

χ2B/C

1410−3 ≈ 2

Paramètres Valeur pour χ2min

α −1.93± 0.05D0x(kpsc

2.Myr−1) 1.1.10−2 ± 1.10−3

δ 0.94± 0.04

Figure 11: a-Résultats de l'ajustement global pour le B/C. b-Mesure de la qualité de l'ajustement par la valeurdu meilleur χ2

On constate que le χ2Global est un peu meilleur que celui de l'étude précédente (Figure [7]). Celui pour le

B/C est nettement meilleur, bien que l'ajustement ne soit pas parfait surtout autour de 10 GeV. Une sélectionarbitraire des données à des énergies supérieures à 30 GeV donnerait de meilleurs résultats.

De la même manière que précédemment, on peut se demander si le relâchement de la contrainte Ai = 0sur les secondaires rend compatible les données du B/C avec celles des noyaux, ou si une hypothèse du modèleintroduit toujours une surdétermination des paramètres. Nous le véri�ons en estimant les paramètres α, D0x etδ en minimisant indépendemment χ2Flux et χ2

B/C . Les résultats à un sigma sont présentés sur la �gure [12].

On remarque que le domaine de l'espace des paramètres occupé par les contours à 1σ est bien réduit dansle cas du B/C, et se rapproche de celui donné par un ajustement sur les �ux uniquement. En marginalisantles incertitudes sur deux paramètres, on constate que pour chaque paramètre les intervalles de con�ance serecoupent, et sont compatibles entre les deux ajustements. De plus l'ajustement donne une valeur de χ2

B/C < 1

bien meilleure que lorsque AB = 0(abondance à la source du bore) puisque cette liberté permet d'expliquerla brisure de pente du B/C observée à haute énergie. Ce résultat est prometteur, et une partie de mon futurtravail consistera à contraindre inférieurement la valeur de AB grâce aux nouvelles données d'AMS02. On peutaussi avec ces nouvelles libertés dans les abondances réexaminer l'universalité de l'indice d'injection α.

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χ2min/ddl

χ2Flux

3236541−3 ≈ 6.01

χ2B/C

1.5010−3 ≈ 0.21

Paramètres χ2minFlux χ2

minB/C

α −2.00± 0.02 −2.11± 0.16D0x(kpsc

2.Myr−1) (9.6± 0.8)10−3 (2.3± 0.9)10−2

δ 0.90± 0.03 0.78± 0.15

Figure 12: Comparaison des résultats du meilleur ajustement pour le B/C et pour le �ux de tous les noyaux.

Conclusion

De nombreuses questions restent encore ouvertes sur la modélisation de la propagation des rayons cos-miques galactiques. Rappelons celles qui ont été citées au cours de ce rapport.Concernant le terme source, la loi de puissance utilisée pose des questions sur l'universalité de l'indice spec-tral α, et sur le choix même de la forme spectrale utilisée. Le rôle des sections e�caces dans les calculs depropagation est vraisemblablement primordial, et les conséquences systématiques de leurs imprécisions méritentd'être étudiées. La présence d'une contribution primaire dans les noyaux dits secondaires est une hypothèseassez motivante qui permettrait d'expliquer la forme du B/C. En�n la dégénérescence entre l'indice spectral dedi�usion δ et ces contribution serait aussi à envisager.Ces hypothèses pourront être testées plus en profondeur au cours du travail de thèse, en actualisant l'analysegrâce aux nouvelles données tirées d'expériences récentes (PAMELA,AMS02).

L'analyse de ces hypothèses sera aussi refaite dans un modèle plus complet de manière à contraindre aumieux les paramètres de propagation via les données sur le B/C. Cela pourra m'amener à étudier les impactssur la détermination des paramètres de la combinaison de plusieurs canaux (B/C, �ux absolu des positons,antiprotons). La connaissance de ces paramètres étant cruciale sur la recherche indirecte de matière noire, desconclusions dans ce domaine seront alors tirées.

Ce travail de stage m'a beaucoup apporté sur la connaissance des processus physiques de la propagationdes rayons cosmiques, et j'ai hâte d'approfondir ce travail au LAPTh. À la �n de mon stage, PAMELA a publiéde nouvelles données sur le B/C et sur les �ux du bore et du carbone que je pourrai utiliser dès la rentrée !

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4 Annexes

4.1 Nouvelles données AMS02

Figure 13: Comparaison des données préliminaires d'AMS02(ICRC-2013) aux anciennes données du B/C. Lesincertitudes sont sensiblement réduites.

4.2 Résultats sur l'ajustement global pour les �ux

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Documents

Determination des paramètres de propagation du rayonnement