Dictionnaire des

Mathmatiques algbre7 analvse geometrie

PRFACE

Le monde scientitque est de plus en plus imprgn de mathmatiques, ou de mathmatique ~ le singulier, rare dans le langage courant, semblant nanmoins prfrable. Cest pourquoi cette discipline a pris une place de choix dans lensei- gnement : tout lve, au cours de ses tudes, y est ncessairement confront. Mais, a la fois Valorise et redoute, elle garde, au-del des rudiments dispenss au collge et au lyce, une aura de mystre : seuls quelques initis ont le privil- ge de faire des recherches en mathmatiques, ou mme simplement davoir une claire vision de ce quelles sont.

Ds sa premire dition (1968-1974) lEncyclopa?diu Univemlis a voulu offrir au public une vue densemble des mathmatiques contemporaines et de leur dve- loppement historique. Lambition de ce projet - les exigences propres la prsentation de cette discipline sajoutant celles qui sont inhrentes toute entre- prise encyclopdique - en rehausse la russite.

Le prsent ouvrage: qui rassemble lessentiel des questions dalgbre. analyse> arith- mtique et thorie des nombres, gomtrie, topologie, algbre topologique et go- mtrie algbrique, offre un vaste panorama qui permet de saisir la dmarche, les acquis, les avances des inventeurs de cette architecture abstraite quest la math- matique. Un second volume runira les interrogations sur les fondements, les articles spcifiques historiques, ainsi que tout ce qui touche aux probabilits, aux statistiques et la plupart des applications.

N Architecture abstraite )), disions-nous. En effet, partir de quelques notions premires, telles qu(( ensemble P, H lment )), N appartenance )), et de quelques axiomes, les structures mathmatiques - dans le cadre desquelles tous calculs et dmonstrations se font - ne se dploient-elles pas progressivement les unes partir des autres, des plus (( simples H (ensemble ordonn, groupe, espace topo- logique...) aux plus o subtiles )) (espace disqu, espace localement annel...) ? L, semble-t-il, rside la beaut mathmatique, ou Plutt la partie la plus abstraite de cette beaut car, sil est de belles thories, il est aussi de jolies formules (eix = - 1) et la formule de Stirling, par exemple), de beaux calculs, de splendides dmonstrations et, bien sr, de manire plus visible, des courbes dont lharmonie nchappe personne.

Bien entendu, la contemplation de cette beaut exige un minimum dc compr- hension, jusquo il convient de hisser son esprit : songeons quen musique OU dans le domaine sportif de srieux entranements sont ncessaires si lon veut trouver vraiment du plaisir jouer dun instrument ou pratiquer un sport, a

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PRFACE

fortiori si lon veut accder aux concerts ou aux comptitions. Mais, au moins a partir dun certain niveau, cette activit, srieuse certes, acquiert une dimension ludique : les mathmatiques, pour qui les aime, ouvrent aussi sur tout un espace de jeux. De sorte que la rsolution dun joli problme peut se rvler aussi dis- trayante que, par exemple, une partie dchecs ou de shogi (un jeu japonais proche des checs). Joie de chercher, joie de trouver, joie de la communion enfin avec une beaut qui, pour abstraite quelle soit, nen suscite pas moins de trs rels plaisirs : qui est capable de faire ainsi des mathmatiques est dans une situation trs voisine de celle de lalpiniste.

Au lecteur, la lectrice, quil ou quelle soit ou non mathmaticien ou math- maticienne, tout lecteur tel que le dfinissait Paul Valry ~ cest--dire G de bonne foi )) autant que (( de mauvaise volont H - de relever le dt...

Mais la mathmatique est aussi et dabord un langage et, de ce point de vue, intresse linguistes et lexicographes. Chaque mot ou locution reoit une dtnition prcise et, ct de termes spcitquement mathmatiques (morphisme, simplexe...), dadjectifs honorant un mathmaticien (euclidien, eulrien, nprien...) ou une mathmaticienne (noethrien...), tgurent un assez grand nombre de substantifs (anneau, clan, corps, distribution, fibre, groupe, lacet, spectre, tribu...) ou dad- jectifs (complet, conforme, spar, simple...) emprunts la langue courante mais avec un sens mathmatique prcis, o laspect mtaphorique est dailleurs parfois prsent (thre, noyau, treillis...). De sorte que, au-del de son aspect faussement sotrique, il y a parfois une certaine posie, voire une posie certaine - osons aller jusque-l ! -, dans le langage mathmatique. Avec une pointe dhumour, un grand bol denthousiasme et une rserve inpuisable de persvrance, chevauchons donc (sur un parabolode hyperbolique, videmment) travers les univers math- matiques pour y dcouvrir les corps algbriquement clos, les endomorphismes dia- gonalisables, les espaces bornologiques, les fonctions holomorphes ou les produits de convolution.

Laventure mathmatique, Commence sans doute depuis quAdam et ve ont pens quils taient deux, na certes pas tni de nous passionner. Le prsent volume de la collection (( Encyclopzdia Universahs H nous rappelle ~ alors que le grand thorme de Fermat vient enfin, aprs plus de trois sicles de travaux, dtre dmontr - quil reste bien des questions simples non rsolues, par exemple celle- ci : existe-t-il une infnit de nombres premiers N jumeaux )), cest--dire de nombres premiers conscutifs dont la diffrence est deux?

Lditeur

INTRODUCTION

Prsenter les mathmatiques contemporaines dans le contexte dune encyclopdie destine au grand public cultiv pouvait paratre une gageure. Le sujet, dont la rputation dinaccessibilit nest plus faire, paraissait devoir tre esquiv. Nanmoins 1EncyclopEdiu Univemdis na pas hsit, dans ce domaine comme dans tous les autres, garder le modle quelle stait donn : lencyclopdie que Diderot et dAlembert ont labore pour lpoque des Lumires. Considrant quil tait du devoir des scientifiques de partager leur savoir avec lensemble du monde cultiv, Diderot et dAlembert ont dcoup le savoir mathmatique qui leur tait contemporain en autant de disciplines et de sous-disciplines, et ont alors demand ses scientifiques de premier ordre de rdiger ces prsentations caractre introductif.

Cest le mme pari qui a t lorigine de la premire conception du traitement des mathmatiques ds ldition de 1968 de 1Encycfopediu Univetxalis : traiter des mathmatiques dans leur forme contemporaine de manire 1 en rendre acces- sibles les concepts fondamentaux, les principaux courants, les rsultats dcisifs des lecteurs possdant une formation scientifque minimale. ce dt, lon doit ce qui constitue la prsentation la plus complte, la plus approfondie de ltat actuel des mathmatiques dans une entreprise encyclopdique de langue franaise. Une telle tentative naurait pu tre conue sans lintervention dcisive de Jean Dieudonn. Cest lui que nous devons llaboration en quelques mois dun dcoupage initial des mathmatiques qui allait constituer la trame de len- treprise pour la premire dition. Il a par ailleurs particip activement, comme auteur, de nombreux articles cls avec le style exceptionnel qui le caractrisait et qui a donn le ton lensemble de loeuvre.

Les mathmatiques sont en effet introduites ici de manire historique, dans la mesure O la gense des concepts contemporains nous a paru constituer le meilleur accs qui puisse y conduire. La prsentation de la partie historique des math- matiques se prolonge par lexpos de ces thories sous leur forme moderne. Le XIX~ sicle constitue un moment charnire dans lvolution des mathmatiques, et leur prsentation sarticule autour de ce constat. Ainsi, lalgbre se rduit dabord la thorie des quations, et cest au XIX~ sicle que vont natre toutes les nouvelles structures. Larticle de synthse sur lalgbre renvoie aux diffrentes entres du dictionnaire. Lvolution des conceptions de la gomtrie est voque dans la grande fresque du pre Russe, Elle dbouche, de manire naturelle, dune part, sur la gomtrie diffrentielle, dautre part, sur ltude des courbes alg- briques, point de dpart de la gomtrie algbrique, qui son tour rencontre la thorie des nombres.

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INTRODUCTION

F i d l e s o n i m p r a t i f d a c t u a h t , I E n c y c l o p E d i u U n i v e r x d i s a v o u l u p a r l a s u i t e r e f l t e r l a t r a n s f o r m a t i o n q u a v a i e n t s u b i e l e s m a t h m a t i q u e s , t o u t c o m m e l e n - s e m b l e d e s d o m a i n e s d e l a P e n s e s c i e n t i t q u e . L a p r i o d e d e 1 9 6 8 r e p r s e n t a i t l a p o g e d u s t r u c t u r a l i s m e e t d u f o r m a l i s m e , q u i s e x p r i m a i e n t e n m a t h m a t i q u e s p a r l a p r d o m i n a n c e a b s o l u e d u b o u r b a k i s m e , l e q u e l m a r g i n a l i s a i t c e r t a i n e s b r a n c h e s d e l a d i s c i p l i n e . L e s d c e n n i e s u l t r i e u r e s d e v a i e n t v o i r c e t i m p r i a l i s m e s e f f r i - t e r , e t d a u t r e s d o m a i n e s d e s m a t h m a t i q u e s , c o m m e l e s m a t h m a t i q u e s a p p l i - q u e s j u s q u a l o r s a b s e n t e s , r e t r o u v e r l e u r d r o i t d e c i t . L d i t i o n d e 1 9 8 4 t i e n t c o m p t e d e c e t t e m u t a t i o n , g r c e u n e m o d i l c a t i o n p o r t a n t s u r p r s d e 3 0 p . 1 0 0 d e s t e x t e s .

D e s q u e l q u e d e u x c e n t c i n q u a n t e a r t i c l e s o u n o t i c e s p u b l i s d a n s l e C o r p u s d e 1 E n c y c i o p E d i a U n i v e r s a l i s a i n s i q u e d a n s l e s d i f f r e n t s v o l u m e s a n n u e l s o u t h - m a t i q u e s , c e D i c t i o n n u i r e r e p r e n d u n i q u e m e n t l e s a r t i c l e s q u i p r s e n t e n t l e s g r a n d s p r o b l m e s d g a g s a u X I X ~ s i c l e e t s u i v e n t l e u r s t r a n s f o r m a t i o n s j u s q u l p o q u e c o n t e m p o r a i n e . L e l e c t e u r p o u r r a s y f a m i l i a r i s e r a v e c l e s n o u v e a u x o b j e t s m a t h - m a t i q u e s d o n t l a p p a r i t i o n d e v a i t c o n s t i t u e r l e s m a t h m a t i q u e s m o d e r n e s . I l y t r o u v e r a u n e p r s e n t a t i o n c o n t e m p o r a i n e d e s t h o r i e s c l a s s i q u e s . U n a u t r e e n s e m b l e d a r t i c l e s , t r a i t a n t d e s q u e s t i o n s p i s t m o l o g i q u e s h i s t o r i q u e s o u d a s p e c t s p l u s c o n t e m p o r a i n s f e r a l o b j e t d u n r e c u e i l u l t r i e u r .

B i e n q u e d o r i g i n e a n c i e n n e , c e r t a i n e s a p p l i c a t i o n s d e s m a t h m a t i q u e s , c o m m e l a n a l y s e n u m r i q u e , f i g u r e r o n t d a n s c e s e c o n d v o l u m e . Q u a n t a u c a l c u l d e s p r o b a b i l i t s , d o n t l a n a i s s a n c e d a t e d u X V I I ~ s i c l e , s a p r s e n t a t i o n a x i o m a t i q u e c o n t e m p o r a i n e , d u e a K o l m o g o r o v , d a t e d e 1 9 3 3 . C e s t l a r a i s o n p o u r l a q u e l l e n o u s e n a v o n s r s e r v , a i n s i q u l a l o g i q u e m a t h m a t i q u e , l e x p o s d a n s c e v o l u m e u l t r i e u r .

C e D i c t i o n n u i r e d e s m u t h m u t i q u e s s e v e u t a i n s i l e r e f l e t d u f o i s o n n e m e n t e t d e l e n c h e v t r e m e n t d e s d i v e r s e s d i s c i p l i n e s m a t h m a t i q u e s . C o m m e l e s o u l i g n a i t s o u v e n t J e a n D i e u d o n n , c e s t c e t t e ( ( i n t e r d i s c i p l i n a r i t H i n t e r n e q u i f a i t l a f o r c e e t l o r i g i n a l i t d e s m a t h m a t i q u e s c o n t e m p o r a i n e s . L e s a r t i c l e s d e l E n c y c / o p ~ d i u U n i v e r s u l i s o n t t e n t d e r e n d r e c o m p t e d u c a r a c t r e c o n s t a m m e n t o u v e r t d e c e t t e d m a r c h e .

J e a n - L u c V E R L E Y

COMMENT UTILISER LINDEX

Plat en fin de volume, cest I?ndex qui donne sa valeur proprement encyclopdique i ce dictionnaire. Cest par lui que toute recherche ou. plus gnralement, toute consultation devraient commencer. Nous avons adopt pour sa constitution un certain nombre de conventions qui nous sont propres. Le lecteur les trouvera dfnies ci-aprs, exemples A lappui, sous la forme dun tableau.

l BARYCENTRE 63 ~ ENTRE prcde dune puce et suivie dun numro de page : signifie que cette entre est le titre dun article du dictionnaire, commenant la page indique

l HILBERT ESPACE DE 596 ALGBRE 22 ERGODIQUE (THiORIE) 332 ce mme type dentre peut tre suivi de rfrences GROUPES - Reprsent&ion linaire

des groupes 559 HARMONIQUE (ANALYSE) 5x7, 592 NORMES (ALGBRES) 726 1

GAUSS CARL FRIEI,R,CH (1777.1855) ~ ALGBRE 14. 17 1

ENTRE simple suivie de rfrences

COMPLEXES (NOMBRES) //6 l DIopHANnENNEs (+PPR~~I~~ATI~NS) 255 1 DIOPHANTIENNES (EQUATIONSj 263, 267 DIVISIBILI~ 290

l SUITES CALCUL INFliwrSIMAL - c&U~ une -

variable 7/ CONVEXIT - Fonctions convexes /46 DISTRIBUTIONS 276 FONCuONS (REPRESENTATION ET

APPROxIMATION DES) 364, 373, 385 LIMITE (N~TT~N DE)

NAPIER JOHN b NEPER .IOHN-

CALCUL SYMBOLIQUE b SYMBOLIQUE CALCUL

ALEMBERT THORME DE D * ALGEBRE THOR,~ FONDAMENTAL DE L

RFRENCE un article long : titre darticle et numro de page lwalisant la partie de texte pertinente au sein de larticle

RFRENCE un arhck court : titre de larticle

RENVOIS dun terme un autre

pour des raisons relevant de lorthographe ou du systme de transcription

pour des raisons dc choix alphabtique

pour des rkms dordre smantique

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AFFINES ESPACE a REPRE

A mme forment un groupe, appel groupe affine de A et not GA(A). Une applica- tion affine u de A dans A est bijective si et seulement si son application linaire asso- ciefest aussi bijective. Ainsi lapplication qui L fait correspondre ,f est un mor- phisme du groupe affine GA(A) dans le groupe linaire GL(E).

4. Soit A et B deux espaces affines de dimensions finies (dim A = q). Pour dfi- nir une application affine de A dans B, il suffit de se donner (q + 1) points affine- ment indpendants dans A et leurs images dans B.

A F F I N E A P P L I C A T I O N JACQUES MEYER

S oit E et F deux espaces vectoriels sur un corps commutatif K et A et B des espaces affines attachs E et F. On dit quune application u de A dans B est une application linaire affine (ou application affine) si, quelle que soit la famille finie dlments (M;, &), pour 1 < i < k, o k est quelconque, de A X K, possdant un barycentre G, u(G) est le barycentre des lments (u(M,), A,) de B X K.

On dmontre les rsultats suivants : 1 . Il existe une application linaire,fet

une seule de E dans F telle que, pour tout M et tout N dans A et pour M = u(M) et N = u(N) :

fG=zKzL

f sappelle lapplication linaire associe ll.

2. La Compose v 0 u de deux appli- cations affines z et v est une application affine et lapplication linaire associe 1 v 0 L est g 0 f (o f et g dsignent les applications linaires associes u et v).

3. Les applications linaires affines bijectives dun espace affine A dans lui-

A F F I N E S E S P A C E & R E P R E

D ans la conception intuitive de lespace usuel, il ny a pas dorigine privilgie ; cest une fois quune origine est choisie que cet espace devient un espace vectoriel. La structure despace affine formalise cette situation partir de la notion de translation associe un vecteur dextrmits donnes, dfini comme bipoint, Plus prcisment, la struc- ture affine se dfinit comme suit.

Espuce @ne. Soit E un espace vectoriel sur un corps commutatif K. Un ensemble A est dit espace attach lespace E sil est muni dune application de A X E dans A, note (M, x ) - M + _x, telle que le groupe additif de E opre simplement transitive- ment sur A, i.e. telle que (M, x) E A X E correspond un point N de A et un seul, tel que N = M + x ; et un couple quelcon- que de points (M, N) de A X A, que lon dsigne sous le nom de bipoint, corres- pond dans E un vecteur .x (appel opra-

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ALGBRE

teur de translation de A) et un seul, tel que N = M + .Y. Ce vecteur .Y se note z Deux bipoiz ABz CD sont dits qui-

pollents si AB = CD. Soit 0 un point quelconque de A. Le

couple (A, 0) sappelle espace affine muni de lorigine 0. Lapplication de A dans E, dfinie par M - .Y = OM, est une

bijection qui permet didentifier lespace A muni de lorigine 0 lespace vectoriel E.

Rciproquement, par lapplication qui a tout couple de vecteurs (.Y, y) de E associe le vecteur x + y, lensemble E devient un espace affine attach lespace vectoriel E. Le vecteur nul de E sappelle origine canonique de lespace affine E.

Si lespace E est de dimension finie, on pose dim (A) = dim (E).

vfk tb linuire ujne. Un sous- ensemble A CA est appel varit linaire affine (ou varit linaire) de lespace affine A si, pour toute famille finie de points de A, tout barycentre de ces points appartient A. Une condition ncessaire et suffisante pour quune partie non vide A de A soit une varit linaire affine est que, en prenant un point 0 quelconque dans A, lensemble des vecteurs G O M 6Z A, soit un sous-espace vectoriel E de lespace vectoriel E auquel est attach A. Le sous-espace E ne dpend dailleurs pas du choix de 0 dans A. Dautre part, on peut montrer que la varit linaire A est un espace affine attach E (qui est appel direction de A). Si E est de dimension finie, on pose : dim (A) = dim (E). tant donn un sous-ensemble B de A, on appelle varit linaire affine engendre

par B la plus petite varit linaire conte- nant B : on montre que cest lintersection de toutes les varits contenant B. Dautre part, la varit linaire affine engendre par (k + 1) points de A nots (ai), pour 1 < i < k + 1, est lensemble des

barycentres des u(. Par dfinition, les (k + 1) points ui sont dits affinement indpendant (ou forment une famille affi- nement libre) si la dimension de la varit linaire quils engendrent est gale k ; si cette dimension est infrieure k, ils sont dits affinement lis.

Rep&e afine. On appelle repre affine dun espace affine A attach un espace vectoriel E de dimension /r la donne dun point 0 de A et dune base 3 de E. Le point 0 est lorigine du repre et les coordonnes dun point M sont les com- posantes de ?%?Sur la base 3. Ainsi, si :

33 = @J,

pour 1 < i < rz, et si :

les Coordonnes de M sont les .Y,. Gomt~ie ujne. La gomtrie affine

est ltude des espaces affines et des varits linaires affines ainsi que des invariants par le groupe affine.

JACQUES MEYER

ALGBRE

L 7 algbre au sens moderne, savoir ltude des structures algbriques indpendamment de leurs ralisations concrtes, ne sest dgage que trs pro- gressivement au cours du XIX~ sicle, en liaison avec le mouvement gnral daxio- matisation de lensemble des mathmati- ques et la proccupation croissante des mathmaticiens de (( substituer les ides au calcul )) ; jusqualors, le propos essentiel de lalgbre avait t la rsolution, par des

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A L G B R E

f o r m u l e s e x p l i c i t e s , d e s q u a t i o n s a l g b r i - q u e s . L e s t e n t a t i v e s i n f r u c t u e u s e s p o u r r s o u d r e l e s q u a t i o n s g n r a l e s d e d e g r s u p r i e u r o u g a l c i n q , a i n s i q u e l e s p r o b l m e s d e l a t h o r i e d e s n o m b r e s , c o n d u i s i r e n t a l o r s l e s m a t h m a t i c i e n s i n t r o d u i r e d e s t r e s m a t h m a t i q u e s d e n a t u r e n o u v e l l e q u i p r s e n t a i e n t e n t r e e u x d e s a n a l o g i e s t r o i t e s d a n s l e u r m a n i e m e n t e t p a r s u i t e r e s s e n t i r l e b e s o i n d e d g a g e r c e q u i p o u v a i t t r e c o m m u n 5 t o u t e s c e s s i t u a t i o n s . I l s f u r e n t a i n s i a m e n s p e n s e r q u e l a N n a t u r e N d e s o b j e t s m a t h m a t i q u e s t u d i s e s t a u f o n d s e c o n d a i r e , e t l e m a t h m a t i c i e n a n g l a i s G e o r g e B o o l e p o u - v a i t d c l a r e r e n 1 8 4 7 : G L a m a t h m a t i q u e t r a i t e l e s o p r a t i o n s c o n s i d r e s e n e l l e s - m m e s , i n d p e n d a m m e n t d e s m a t i r e s d i v e r s e s a u x q u e l l e s e l l e s p e u v e n t t r e a p p l i - q u e s . 1 )

T o u t a u l o n g d u X I X ~ s i c l e v a s e d v e l o p p e r c e p r o c e s s u s d a x i o m a t i s a t i o n d e i a l g i b r e q u i a b o u t i t a u x s t r u c t u r e s a c t u e l l e s . S i , d s 1 8 5 0 , l e s m a t h m a t i c i e n s a n g l a i s o n t d g a g a v e c u n e p a r f a i t e n e t - t e t l a n o t i o n d e l o i d e c o m p o s i t i o n e t l a p p l i q u e n t d e s s i t u a t i o n s V a r i e s ( v e c - t e u r s , m a t r i c e s , a l g b r e d e l a l o g i q u e ) , i l f a u d r a a t t e n d r e 1 9 1 0 p o u r t r o u v e r d a n s l a v a s t e s y n t h s e d e S t e i n i t z l e x p o s a b s t r a i t q u i m a r q u e l e d b u t d e l a l g b r e m o d e r n e p r o p r e m e n t d i t e .

L t u d e d e s g r o u p e s d o m i n e t o u t d a b o r d l e s p r o c c u p a t i o n s d e c e t t e p o - q u e ; i n t r o d u i t e p a r C a u c h y e t s u r t o u t m i s e e n v i d e n c e p a r G a l o i s q u i e n a m o n t r l i m p o r t a n c e d a n s l a t h o r i e d e s q u a t i o n s , c e t t e n o t i o n v a j o u e r u n r l e e s s e n t i e l d a n s p r e s q u e t o u s l e s d o m a i n e s d e s m a t h m a - t i q u e s , e n p h y s i q u e e t e n m c a n i q u e q u a n - t i q u e . L e s t r a v a u x d e s m a t h m a t i c i e n s a l l e m a n d s s u r l e s n o m b r e s a l g b r i q u e s s e r o n t l o r i g i n e d e l t u d e d e s c o r p s e t d e s a n n e a u x c o m m u t a t i f s e t c e s

n o t i o n s a p p a r a t r o n t c o m m e l e s o u t i l s e s s e n t i e l s p o u r t u d i e r l e s c o u r b e s e t s u r - f a c e s a l g b r i q u e s , c o n d u i s a n t l a g o m - t r i e a l g b r i q u e a b s t r a i t e ; a i n s i s i n t r o d u i t l e l a n g a g e g o m t r i q u e e n a l g b r e c o m - m u t a t i v e . L a l g b r e l i n a i r e p r e n d u n e g r a n d e i m p o r t a n c e l o r s q u a p r s u n e a x i o - m a t i s a t i o n c o n v e n a b l e l e s m a t h m a t i c i e n s s a p e r o i v e n t d u c a r a c t r e l i n a i r e d e n o m - b r e u s e s s i t u a t i o n s e t d e l i m p o r t a n c e d u p r o c e s s u s d e l i n a r i s a t i o n . E t c o m m e ( ( l a m a t h m a t i q u e e s t u n o r g a n i s m e d o n t l a f o r c e v i t a l e a p o u r c o n d i t i o n l i n d i s s o l u b l e u n i o n d e s e s p a r t i e s N ( H i l b e r t , C o r z c l u s i o n d e l a c o n f r e n c e d e 1 9 0 0 ) , l a l g b r e a r e j o i n t a v e c s u c c s l a n a l y s e p a r l a c o n s i - d r a t i o n s i m u l t a n e , s u r u n m m e e n s e m - b l e , d e s t r u c t u r e s a l g b r i q u e s e t t o p o l o g i - q u e s ( c o n s t i t u a n t a i n s i l a b r a n c h e d e s m a t h m a t i q u e s a p p e l e a l g b r e t o p o - l o g i q u e ) .

?+

1 . L a t h o r i e d e s g r o u p e s

L a s t r u c t u r e d e g r o u p e

L a s t r u c t u r e d e g r o u p e e s t u n e d e s s t r u c - t u r e s a l g b r i q u e s l e s p l u s s i m p l e s e t , s a n s c o n t e s t e , l a p l u s i m p o r t a n t e d e s m a t h m a - t i q u e s m o d e r n e s . S o n u n i v e r s a l i t n e s a r r t e p a s l : l e p s y c h o l o g u e P i a g e t a m i s e n v i d e n c e l e r l e e s s e n t i e l j o u p a r c e t t e n o t i o n d a n s l e s m c a n i s m e s m m e s d e l a P e n s e , e t H . P o i n c a r a p u d i r e q u e l a n o t i o n d e g r o u p e p r e x i s t e d a n s n o t r e e s p r i t c a r l a g o m t r i e n e s e c o n c e v r a i t p a s s a n s e l l e . C e p e n d a n t , i l a f a l l u p r e s q u e u n s i c l e p o u r q u e s e d g a g e s o u s f o r m e a b s t r a i t e c e t t e n o t i o n .

A x i o m a t i q u e m e n t , u n g r o u p e e s t u n e n s e m b l e m u n i d u n e l o i d e c o m p o s i t i o n

1 3

ALGBRE

interne (,Y, y) - X*y associative [cest-- dire @*y)+.~ = .X+X)] telle quil existe un lment privilgi e, appel lment neu- tre, tel que .5t2 = e*X = .X et telle que tout lment ait un inverse (cest-i-dire pour tout .X il existe un lment y tel que ,~*y = JXX = e). Un tel groupe est dit ablien, ou commutatif, si .~*y = y*x.

Les ensembles usuels de nombres (entiers relatifs, nombres rationnels, nom- bres complexes) sont des groupes abliens pour laddition ; les ensembles des nom- bres rationnels non nuls, ou rels non nuls, sont des groupes abliens pour la multi- plication. Un important exemple de groupe non commutatif est celui des trans- formations de notre espace usuel i trois dimensions qui conservent la distance de deux points (ce sont les dplacements). Elles constituent un groupe non ablien si on convient que le produit S 17 de deux transformations S et 7 est la transforma- tion obtenue en effectuant successivement la transformation T puis la transforma- tion S.

les groupes finis

Le premier exemple de groupe form dlments de nature assez diffrente de celle des nombres est fourni par les travaux de Gauss sur les formes quadratiques u.$ + ~.KY + c_$, O u, b, c sont des entiers relatifs premiers entre eux. Deux telles formes tant dites quivalentes si lon passe de lune lautre par un changement de variable ,Y = ~.y + qy et y = IX + ~y, O~, q, r, s sont des entiers relatifs tels que ps - qr = 1, Gauss dfinit sur lensemble des classes de formes, de discriminant D = @ ~ 4 UC donn, une loi de compo- sition qui en fait un groupe ablien fini. Dans ses Disquisitiones urithmeticue de 180 1, Gauss rencontre galement dautres groupes finis tels que le groupe additif des

entiers modula un entier m ou le groupe multiplicatif des racines w-imes de lunit dans le corps des nombres complexes, mais la notion de groupe napparat pas formu- le avec nettet avant Cauchy. En 1830, dans ses travaux sur la rsolubilit des quations algbriques, Galois ramne ltude dune telle quation celle du groupe (fini) de permutations de ses raci- nes ; ce propos, lauteur introduit les notions fondamentales de sous-groupe dis- tingu et de suite normale. Les groupes finis, et plus prcisment les groupes de permutations, vont tre lobjet presque exclusif de la thorie des groupes pendant de nombreuses annes ; les rsultats les plus profonds obtenus dans ce domaine au XIX~ sicle sont ceux de Jordan (Trait& des substitutions et des iquutions ulgkbriques, Paris, 1870) et de Sylow sur la structure des groupes finis. Beaucoup plus rcemment, en liaison avec des proccupations darith- mtique et de gomtrie algbrique, la thorie des groupes finis a connu un nouvel essor; les dcouvertes les plus spectaculaires de ces dernires annes sont surtout relatives aux caractres et aux reprsentations linaires de ces groupes : travaux de Brauer, Chevalley, Feit- Thomson, Novikov (cf. GROUPES FINIS et reprsentation linaire des GROUPES).

Groupes et gomtrie

Cest Jordan que remonte la premire tude de groupes contenant une infinit dlments, notion qui allait prendre une importance considrable durant la deu- xime moiti du XIX~ sicle. En liaison avec le renouveau des tudes gomtriques et les proccupations axiomatiques de cette poque, la notion de groupe de transfor- mation va prendre un essor considrable avec ltude systmatique des invariants dun tel groupe, i.e. ltude des proprits

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A L G B R E

q u i n e s o n t p a s m o d i f i e s p a r l e s t r a n s f o r - m a t i o n s d u g r o u p e . A i n s i , d a n s n o t r e e s p a c e u s u e l t r o i s d i m e n s i o n s , l e s a n g l e s e t l e s d i s t a n c e s n e s o n t p a s c h a n g s p a r u n d p l a c e m e n t , l e s a n g l e s e t l e s r a p p o r t s d e l o n g u e u r s r e s t e n t i n v a r i a n t s p a r u n e s i m i - l i t u d e , l a n o t i o n d e p a r a l l l i s m e o u l a n a t u r e d u n e c o n i q u e s o n t i n v a r i a n t e s p a r u n e t r a n s f o r m a t i o n l i n a i r e r g u h r e d e s c o o r d o n n e s . C e s t F . K l e i n , d a n s s o n c l b r e ( ( p r o g r a m m e d E r l a n g e n ) ) , d e 1 8 7 2 , q u i d g a g e r a u n p r i n c i p e g n r a l , q u e n o u s n o n c e r o n s s o u s u n e f o r m e v o l o n t a i r e m e n t v a g u e e t i n t u i t i v e : l a d o n n e d u n e s p a c e e t d u n g r o u p e d e t r a n s f o r m a t i o n s o p r a n t s u r c e t e s p a c e d f i n i t u n e ( ( g o m t r i e ) ) , q u i e s t l t u d e d e s p r o p r i t s q u i r e s t e n t i n v a r i a n t e s l o r s q u o n a p p l i q u e l e s t r a n s f o r m a t i o n s d u g r o u p e . A i n s i , l a g o m t r i e m t r i q u e ( r e s p . a f f i n e , r e s p . p r o j e c t i v e ) e s t L t u d e d e s p r o p r i t s i n v a r i a n t e s p a r l e g r o u p e o r t h o - g o n a l ( r e s p . a f f i n e , r e s p . p r o j e c t i f ) e t c e t t e t h o r i e c o n s t i t u e u n l a n g a g e c o m m u n q u i e n g l o b e l a f o i s l e s g o m t r i e s e u c l i d i e n - n e s e t n o n e u c l i d i e n n e s c o n s t r u i t e s c e t t e p O q L K ( C f . G R O U P E S C L A S S I Q U E S , G O M -

T R I E ) ; l a t h o r i e d e l a r e l a t i v i t a l l a i t a t t i r e r l a t t e n t i o n s u r l a g o m t r i e c o n s t r u i t e p a r t i r d u g r o u p e d e L o r e n t z , q u i j o u e u n r l e e s s e n t i e l d a n s l e s t h o r i e s q u a n t i q u e s .

L e s t r a v a u x d e K l e i n a l l a i e n t g a l e m e n t m e t t r e e n v i d e n c e l a n o t i o n d e s g r o u p e s i s o m o r p h e s : e n 1 8 7 7 , K l e i n d c o u v r e q u e l e g r o u p e d e p e r m u t a t i o n d e s r a c i n e s d e l q u a t i o n d u c i n q u i m e d e g r e s t s u b s t a n - t i e l l e m e n t i d e n t i q u e a u g r o u p e d e s t r a n s - f o r m a t i o n s d u p o l y d r e r g u l i e r a p p e l i c o s a d r e ; b i e n q u e t e c h n i q u e m e n t c e t t e n o t i o n d e g r o u p e s i s o m o r p h e s a i t t U t i l i s e p a r G a l o i s e t m m e G a u s s d a n s d e s c a s p a r t i c u l i e r s , e l l e n a p p a r a t s o u s f o r m e g n r a l e q u c e t t e p o q u e . E n f a i t , c e n e s t q u e b e a u c o u p p l u s r c e m m e n t q u e l a

n o t i o n d i s o m o r p h i s m e a p r i s t o u t e s a v a l e u r , a v e c l e s d v e l o p p e m e n t s d e l a x i o - m a t i q u e m e t t a n t e n v i d e n c e l e f a i t q u e t o u t e s t r u c t u r e p o r t e e n e l l e u n e n o t i o n d i s o m o r p h i s m e . C e t t e ( ( i d e n t i f i c a t i o n N d e s g r o u p e s i s o m o r p h e s a l l a i t c o n d u i r e l a t h o r i e d e l a r e p r s e n t a t i o n l i n a i r e d e s g r o u p e s , q u i e s t l a r e c h e r c h e e t l t u d e d e g r o u p e s d e m a t r i c e s i s o m o r p h e s ( o u , d f a u t , h o m o m o r p h e s ) u n g r o u p e d o n n e

L e s t r a v a u x p r c d e n t s s u r l a g o m t r i e a v a i e n t m i s e n v i d e n c e l i m p o r t a n c e d e s N g r o u p e s c o n t i n u s N ; sous l a c t i o n d e S . L i e e t d e s e s l v e s , p u i s d e . C a r t a n . c e t t e n o t i o n a l l a i t t r e l e g e r m e d u n e d e s t h o r i e s L e s p l u s c e n t r a l e s d e s m a t h m a t i - q u e s c o n t e m p o r a i n e s : l a t h o r i e d e s g r o u - p e s d e L i e ( c f . G R O U P E S - G r o u p e s d e L i e ) , t a n d i s q u e l e x e m p l e d e s g r o u p e s c l a s s i - q u e s c o n d u i s a i t l a t h o r i e d e s g r o u p e s a l g b r i q u e s q u i a d m e t d i m p o r t a n t e s a p p l i - c a t i o n s e n g o m t r i e a l g b r i q u e e t e n t h o r i e m o d e r n e d e s n o m b r e s .

2 . l e s o r i g i n e s

d e l a l g b r e c o m m u t a t i v e

C o r p s e t a n n e a u x

L t u d e d e s c o r p s e t d e s a n n e a u x t r o u v e s o n o r i g i n e d a n s l e s t r a v a u x d e l c o l e a l l e m a n d e d u x r x e s i c l e , p r i n c i p a l e m e n t c e u x d e K u m m e r , K r o n e c k e r , D e d e k i n d e t H i l b e r t . A u d p a r t , l e s m o t i v a t i o n s s o n t i c i e s s e n t i e l l e m e n t l a t h o r i e d e s q u a t i o n s p u i s l a t h o r i e a r i t h m t i q u e d e s n o m b r e s a l g b r i q u e s , q u i d c o u l e d e r e c h e r c h e s r e l a t i v e s a u t h o r m e d e F e r m a t ; p l u s t a r d i v e m e n t , e t j u s q u l p o q u e c o n t e m - p o r a i n e , l a g o m t r i e a l g b r i q u e a t g a l e m e n t u n e s o u r c e d i d e s e s s e n t i e l l e s .

L a n o t i o n d a w z e u u d g a g e s o u s f o r m e a b s t r a i t e l e s a n a l o g i e s C o n s t a t e s p a r e x e m -

1 5

ALGBRE

p l e d a n s l e maniement d e s nombres e n t i e r s nombres algbriques ; c e s o n t d e s c o r p s

r e l a t i f s e t d e s polynmes : u n a n n e a u e s t u n Q ( O ) o b t e n u s d e l a f a o n su ivante : s i ( 1 3 e s t

ensemble m u n i d e d e u x l o i s d e composi- u n n o m b r e complexe r a c i n e d u n e q u a -

t i o n i n t e r n e s : t i o n f ( . ~ ) = 0 d e d e g r n , a coefficients

appeles add i t i on e t multiplication r e s p e c - tivement, t e l l e s q u e l a premire s o i t u n e l o i d e g r o u p e a b h e n e t q u e l a s e c o n d e s o i t associative ( L e . ( x y ) z = x ( y z ) ) : o n i m p o s e d e p l u s l e s conditions suivantes d e d i s t r i - b u t i v i t e n t r e l e s d e u x l o i s :

p o u r x , y , 2 quelconques d a n s lanneau. 1 1 e s t commode d e supposer lexistence d u n l m e n t u n i t p o u r l a multiplication. L o r s - q u e , c o m m e d a n s l e c a s d e s nombres rationnels p a r exemple, lensemble d e s lments d ist incts d e llment n e u t r e p o u r l a premiere l o i ( n o t 0 ) e s t u n g r o u p e p o u r l a s e c o n d e l o i , o n d i t q u e l amreau e s t u n c o r p s . I c i o n considrera seulement l e c a s o l a multiplication e s t commutative, e n renvoyant a l a f i n d u chap i t r e 3 l e c a s n o n commutatif.

L a t h o r i e d e s c o r p s

L e s premiers exemples d e c o r p s n o n t r i - v i a u x o n t t introduits p a r l a t h o r i e d e s quations. L e s t r a v a u x d e G a u s s a v a i e n t famiharis l e s mathmaticiens a v e c l e maniement d e s nombres complexes e t A b e l , p u i s G a l o i s , dgagent l i d e dadjonction : i l s considrent l e s c o r p s engendrs p a r l e s r a c i n e s o u l e s coefficients (indtermins) d u n e quat ion m a i s , e n f a i t , s i c e s a u t e u r s dfinissent a v e c p r c i - s i o n lappartenance d u n e quan t i t u n t e l c o r p s , i l s n e considrent p a s explicitement lensemble a i n s i constitu. I l f a u t a t t end re Dedekind ( q u i introduit l e m o t c o r p s ) p o u r u n e t u d e systmatique d e c e r t a i n s c o r p s d u n t y p e a s s e z g n r a l , l e s c o r p s d e

e n t i e r s , irrductible s u r l e c o r p s Q d e s nombres rationnels, o n a p p e l l e Q ( O ) lensemble, q u i e s t u n c o r p s , d e s nombres complexes u 0 + a , 0 + + u , ~ _ , @ o l e s u i s o n t d e s nombres rationnels q u e l - conques.

T o u s l e s c o r p s d e nombres algbriques s o n t d e s sous-corps d u c o r p s d e s nombres complexes ; reprenant u n e i d e d e C a u c h y q u i dfinissait l e s nombres complexes c o m m e c l a s s e s rsiduelles d e polynmes coefficients r e l s m o d u l o l e polynme J ? + l , Kronecker d o n n e , e n 1 8 8 2 , l e s premiers exemples d e c o r p s ( n o n tr iviaux) d f i n i s abstraitement e n montrant q u e , a v e c L e s notations ci-dessus, l e c o r p s Q ( O ) e s t isomorphe a u c o r p s d e s c l a s s e s r s i - d u e l l e s d e polynmes coefficients r a t i o n - n e l s m o d u l o l e polynme Y ( X ) . V e r s l a m m e p o q u e , Dedekind e t W e b e r f o n t r e n t r e r d a n s l a t h o r i e d e s c o r p s l e c a l c u l d e s congruences m o d u l o u n n o m b r e p r e - m i e r (met tan t a i n s i e n vidence l e s p r e - m i e r s c o r p s f i n i s , d j t u d i s p a r G a l o i s ) e t d o n n e n t u n e premire esqu isse d u n e t h o r i e axiomatique d e s c o r p s .

l a f i n d u X I X ~ s i c l e , l e s exemples d e c o r p s d f i n i s abstraitement v o n t s e m u l t i - p l i e r . I l f a u t c i t e r s u r t o u t l e s c o r p s d e nombres p-adiques, introduits p a r H e n s e l e t d o n t limportance d a n s d e nombreuses branches d e s mathmatiques e s t cons id- r a b l e , e t l e s c o r p s d e s r i e s formelles, introduits p a r Vronse e n l i a i s o n a v e c d e s proccupations d e gomtrie algbrique. T o u s c e s exemples a l l a i e n t conduire S t e i - n i t z , e n 1 9 1 0 , dvelopper systmatique- m e n t l a t h o r i e d e s c o r p s e t d e l e u r s extensions s o u s l a f o r m e q u e l l e p o s s d e actuellement.

1 6

ALGBRE

la thorie des idaux

l o r i g i n e d e l a t h o r i e d e s a n n e a u x , o n t r o u v e e s s e n t i e l l e m e n t d e s r e c h e r c h e s d e t h o r i e d e s n o m b r e s . E n 1 8 3 1 , G a u s s a v a i t t a m e n , a p r o p o s d e s e s c l b r e s r e c h e r - c h e s s u r l e s r s i d u s b i q u a d r a t i q u e s , t u d i e r d e s p r o p r i t s d e d i v i s i b i h t d a n s l a n n e a u Z [ ; ] d e s s e n t i e r s d e G a u s s D d e l a f o r m e a + ! J ; , c i e t 1 e n t i e r s r e l a t i f s e t iz = ~ 1 ; i l a v a i t C o n s t a t u n e p a r f a i t e a n a l o g i e a v e c l e s p r o p r i t s c o r r e s p o n d a n - t e s d e l a n n e a u Z d e s e n t i e r s r a t i o n n e l s , c e q u i s e x p l i q u e , d a n s l e l a n g a g e m o d e r n e , p a r l e f a i t q u e c e s d e u x a n n e a u x s o n t p r i n c i p a u x . L e s t r a v a u x d e K u m m e r s u r l e g r a n d t h o r m e d e F e r m a t a l l a i e n t f a i r e a p p a r a t r e d e s a n n e a u x p o u r l e s q u e l s l a s i t u a t i o n e s t s o u v e n t t r s d i f f r e n t e ; i l s a g i t d e s a n n e a u x c y c l o t o m i q u e s a i n s i d f i n i s : p t a n t u n n o m b r e p r e m i e r e t < t a n t u n e r a c i n e p r i m i t i v e p - i m e d e l u n i t , o n a p p e l l e Z [ < ] l e n s e m b l e , q u i f o r m e u n a n n e a u , d e s c o m b m a i s o n s h n a i - r e s a c o e f f i c i e n t s e n t i e r s d e p u i s s a n c e s d e 5 . C o m m e o n l e s a i t , l e t h o r m e d e F e r m a t a f f i r m e q u e l a r e l a t i o n :

d m o n t r e l e t h o r m e d e F e r m a t d a n s d e t r s n o m b r e u x c a s .

L i d e d e K u m m e r e s t e n g r o s L a

s u i v a n t e : s o i t . Y u n l m e n t d e l a n n e a u Z [ c ] q u i a d m e t d e u x d c o m p o s i t i o n s d i f -

f r e n t e s , s o i t , p o u r s i m p l i f i e r :

o l e s l m e n t s _ Y , , _ Y ? , _ Y ~ , . Y ~ s o n t t o u s

p r e m i e r s ; o n s u p p o s e d e p l u s q u e c e s d e u x d c o m p o s i t i o n s n e d i f f r e n t p a s s e u l e m e n t

p a r u n l m e n t i n v e r s i b l e . K u m m e r

d m o n t r e q u o n p e u t r e p r s e n t e r l e s l - m e n t s n o n n u l s d e l a n n e a u c o n s i d r

c o m m e o b j e t s d u n n o u v e l e n s e m b l e m u n i

d u n e m u l t i p l i c a t i o n e t d a n s l e q u e l l a d c o m p o s i t i o n e n f a c t e u r s p r e m i e r s e s t

c e t t e f o i s d f i n i e d e m a n i r e u n i q u e . A i n s i ,

p o u r t o u t l m e n t s # 0 d e Z [ c ] , s o n i m a g e ( x ) , s e r a d c o m p o s a b l e d e m a n i r e u n i q u e e n f a c t e u r s p r e m i e r s ( ( i d a u x D ,

m a i s c e s f a c t e u r s p r e m i e r s n e s o n t p a s

n c e s s a i r e m e n t l e s i m a g e s d e c e r t a i n s I - m e n t s d e l a n n e a u Z [ c ] ; d e m m e , u n l m e n t p r e m i e r d e l a n n e a u Z [ I T , ] n a p a s

n c e s s a i r e m e n t p o u r i m a g e u n X C n o m b r e i d a l H p r e m i e r . L e x i s t e n c e d e d e u x

e s t i m p o s s i b l e p o u r . Y , 1 . z e n t i e r s n o n n u l s d c o m p o s i t i o n s d i s t i n c t e s r e n c o n t r e s

e t p e n t i e r s u p r i e u r o u g a l t r o i s ; e n f a i t , c i - d e s s u s p o u r . Y s e x p l i q u e a i n s i : i l e x i s t e

o n v o i t f a c i l e m e n t a u o n u e u t s e b o r n e r d e s ( ( n o m b r e s i d a u x ) ) p,, p2, p3, p4 t e k

t a b h r c e t t e i m p o s s i b i l i t p o u r p p r e m i e r q u e :

> 3 . I l e s t p r o b a b l e q u e l a ( ( d m o n s t r a - ( X I ) = P l P a @ 2 ) = P 3 P . h t i o n H d e F e r m a t u t i l i s a i t i m p l i c i t e m e n t l e @ 3 ) = P l P 3 , G 4 ) = P 2 P b f a i t , e r r o n d a n s l e c a s g n r a l , q u e , c o m m e d a n s l a n n e a u Z . t o u t l m e n t d e

e t l e s d e u x d c o m p o s i t i o n s d e x s c r i v e n t :

l a n n e a u Z [ Q s c r i t d e m a n i r e uuiqw ( &) = P l P 2 . P 3 P 4 = P l P 3 . P 2 P & u n l m e n t i n v e r s i b l e d a n s l a n n e a u p r s ) c o m m e p r o d u i t d l m e n t s p r e m i e r s . E n

q u i d i f f r e n t s e u l e m e n t p a r l o r d r e d e s

1 8 4 5 , a p r s h u i t a n s d e f f o r t s , K u m m e r f a c t e u r s .

e n i n t r o d u i s a n t s e s ( ( n o m b r e s i d a u x ) j L a n o t i o n d i d a l d u n a n n e a u , s o u s

( q u o n a p p e l ! e m a i n t e n a n t d e s d i v i s e u r s ) g r o u p e a d d i t i f q u i e s t s t a b l e p a r m u l t i p l i -

l u c i ~ : e c o m ) ~ ~ & m e u t l e p r o b l m e d e l a c a t i o n p a r u n l m e n t q u e l c o n q u e d e

d i v i s i o n d a i m s t e s a n n e a u x c y c l o t o m i q u e s e t l a n n e a u , a t i n t r o d u i t e , e n l i a i s o n a v e c

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ALGBRE

les travaux de Kummer, par Dedekind dans le cas des anneaux dentiers algbri- ques (cf. i@u). Dedekind montra que les N nombres idaux N peuvent tre reprsen- ts par les idaux de lanneau, donnant ainsi un exemple de loi de composition entre ensembles dlments. En gnral, un idal nest pas inversible pour la loi de composition ainsi dfinie ; par symtrisa- tion de cette loi, on introduit les idaux fractionnaires qui sont importants en tho- rie des nombres et en gomtrie algbri- que.

Les anneaux auxquels on peut gnra- liser la thorie de Kummer ont t tudis systmatiquement lpoque contempo- raine, conduisant la notion gnrale danneau de Dedekind. Un outil essentiel est ici la notion de valuation dun corps introduite sous forme gnrale par Krull en 193 1 mais dj Utilise antrieurement dans des cas particuliers, par Ostrowski notamment ; les idaux premiers dun anneau de Dedekind sont en correspon- dance biunivoque avec les classes de vahta- tions quivalentes du corps des fractions de cet anneau.

lments entiers

Ltude arithmtique systmatique des corps de nombres algbriques ntait pos- sible quen introduisant une notion di- ment entier jouant, pour un tel corps, le mme rle que les entiers usuels pour le corps des nombres rationnels. Les progrs dans ce domaine furent raliss peu prs simuhanment et indpendamment par Kronecker et Dedekind pendant la seconde moiti du xtxe sicle. La notion dentier ulgkbrique est due Dedekind : un nombre complexe est un entier algbrique sil est racine dun polynme coefficients entiers rationnels dont le coefficient du terme dominant est gal 1 ; les entiers

algbriques dun corps K de nombres algbriques forment un anneau, que Dede- kind appelle un ordre (le mot anneau est de Hilbert). Dans un thorme clbre et profond, Dirichlet dcrit compltement le groupe multiplicatif des lments inversi- bles de lanneau des entiers dun corps de nombres algbriques et ce rsuhat a dimportantes applications arithmtiques, notamment dans ltude des reprsenta- tions des nombres entiers par des formes quadratiques.

Plus gnralement, si A est un anneau contenu dans un corps K, on peut dfinir les lments du corps qui sont entiers sur A ; un tel anneau A est dit (( intgralement clos )) sil est gal lensemble des lments de son corps des fractions qui sont entiers sur lui. Ces anneaux ont pris une grande importance en gomtrie algbrique contemporaine depuis que Zariski et ses lves ont mis en vidence lintrt des varits algbriques dites normales, qui possdent la proprit quen chacun de leurs points lanneau des fonctions ration- nelles dfinies en ce point est intgralement clos.

Gomtrie algbrique

et algbre commutative

Il nest pas question mme desquisser ici lhistoire de la geometrie algbrique, qui tait au dpart ltude des courbes alg- briques, et qui, sous sa forme actuelle, la thorie des schmas, due au mathmati- cien franais A. Grothendieck, est devenue une des branches les plus abstraites et les plus vivantes des mathmatiques contem- poraines ; nous essayerons seulement de montrer, de manire dailleurs bien incom- plte, comment les premiers besoins de cette science ont conduit lintroduction et ltude axiomatique de nouveaux types danneaux.

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ALGBRE

l o r i g i n e , l e p r o p o s d e l a g o m t r i e a l g b r i q u e t a i t e s s e n t i e l l e m e n t l t u d e d e s c o u r b e s d a n s l e p l a n p r o j e c t i f c o m p l e x e e t l a t h o r i e d e s G f o n c t i o n s a l g b r i q u e s 1 1 , d v e l o p p e p a r W e i e r s t r a s s e t R i e m a n n p a r t i r d e s t r a v a u x d A b e l e t J a c o b i , u t i l i s a i t p r e s q u e u n i q u e m e n t d e s m t h o d e s t r a n s - c e n d a n t e s . A v e c R i e m a n n e t D e d e k i n d , l e c e n t r e d i n t r t s e p o r t e s u r l a n n e a u d e s f o n c t i o n s r a t i o n n e l l e s p a r t o u t d f i n i e s ( s a u f l i n f i n i ) ; l e s m a t h m a t i c i e n s d c o u -

v r e n t a l o r s q u e l e s p r o p r i t s g o m t r i q u e s d e l a c o u r b e s e r e f l t e n t d a n s c e t a n n e a u e t q u e l t u d e d e c e s a n n e a u x e t l t u d e g o m t r i q u e v o n t d e p a i r .

H i l b e r t , d a n s s e s t r a v a u x s u r l e s a n n e a u x d e p o l y n m e s p l u s i e u r s v a r i a b l e s , d g a g e l e f a i t i m p o r t a n t q u e t o u s l e s i d a u x d e c e s a n n e a u x s o n t e n g e n d r s p a r u n n o m b r e f i n i d l m e n t s . C e s c o n d i t i o n s d e j n i t u d e a l l a i e n t p r e n d r e u n g r a n d e i m p o r t a n c e a v e c l e s t r a v a u x d e l a m a t h m a t i c i e n n e a l l e m a n d e E . N o e t h e r q u i , v e r s 1 9 2 0 , t u - d i e s y s t m a t i q u e m e n t c e s a n n e a u x ( a p p e l s a c t u e l l e m e n t a n n e a u x n o e t h r i e n s ) . L a g o m t r i e a l g b r i q u e s t a n t p r o g r e s s i v e - m e n t d b a r r a s s e , p e n d a n t l a p r e m i r e m o i t i d u x x c s i c l e , d e t o u t e h y p o t h s e s u r

l e c o r p s d e b a s e e t l a n a t u r e d e s s i n g u l a r i - t s , o n p e u t d i r e , d e p u i s 1 9 4 0 e n v i r o n , q u e t o u t r s u l t a t r e l a t i f a u x a n n e a u x n o e t h - r i e n s a u n e i n t e r p r t a t i o n ( ( g o m t r i q u e ~ 1

d a n s c e c a d r e . D a n s c e t o r d r e d i d e , s i g n a l o n s p a r e x e m p l e u n r s u l t a t i m p o r - t a n t : b i e n q u e l a t h o r i e d e K u m m e r n e s o i t p a s v a l a b l e p o u r l a n n e a u d e s p o l y n m e s n v a r i a b l e s s u r u n c o r p s K , o n p e u t c e p e n - d a n t a s s o c i e r t o u t i d a l d e c e t a n n e a u u n e n s e m b l e b i e n d t e r m i n d i d a u x p r e - m i e r s e t c e u x d e c e s i d a u x p r e m i e r s q u i s o n t m i n i m a u x c o r r e s p o n d e n t a u x c o m p o - s a n t e s i r r d u c t i b l e s d e l e n s e m b l e d f i n i d a n s K l p a r l a n n u l a t i o n d e s p o l y n m e s d e l i d a l . P a r a i l l e u r s , o n p e u t i c i e n c o r e

d o n n e r d e s t h o r m e s d e ( ( d c o m p o s i - t i o n N d e s i d a u x e n i n t r o d u i s a n t d e s n o t i o n s n o u v e l l e s q u i d p a s s e r a i e n t l e c a d r e d e c e t a r t i c l e ( ( ( d c o m p o s i t i o n p r i - m a i r e ) ) ; c f . A ~ E A L I ~ C ~ ~ I M J T A T I F S ) . S i g n a l o n s p o u r t e r m i n e r q u e l a n o t i o n d e d i m e n s i o n , d i r e c t e m e n t i s s u e d e l a g o m - t r i e a l g b r i q u e , a t c o n v e n a b l e m e n t a x i o - m a t i s e p o u r d e s a n n e a u x c o m m u t a t i f s t r s g n r a u x e t e s t t u d i e d e m a n i r e a b s t r a i t e d a n s c e s a n n e a u x .

Anneaux locaux et localisation

L a n n e a u Z , , , ) d e s n o m b r e s r a t i o n n e l s d o n t l e d n o m i n a t e u r n e s t p a s d i v i s i b l e p a r u n n o m b r e p r e m i e r p , o u l a n n e a u d e s g e r m e s d e f o n c t i o n s h o l o m o r p h e s d a n s u n v o i s i - n a g e d e l o r i g i n e d u p l a n c o m p l e x e , p o s - s d e n t u n e p r o p r i t c o m m u n e : i l e x i s t e u n i d a l d e c e t a n n e a u q u i e s t d i s t i n c t d e l a n n e a u e t q u i c o n t i e n t t o u s l e s a u t r e s i d a u x d i s t i n c t s d e l a n n e a u ( d a n s l e p r e - m i e r c a s , c e s t l e n s e m b l e d e s n o m b r e s r a t i o n n e l s d o n t l e n u m r a t e u r e s t d i v i s i b l e p a r p s a n s q u e l e d n o m i n a t e u r l e s o i t e t , d a n s l e s e c o n d c a s , l e n s e m b l e d e s g e r m e s d e s f o n c t i o n s c o n s i d r e s q u i s a n n u l e n t l o r i g i n e ) . D e m a n i r e g n r a l e , o n a p p e l l e a n n e a u l o c a l t o u t a n n e a u p o s s d a n t c e t t e p r o p r i t , e t o n t u d i e c e s a n n e a u x s o u s f o r m e a b s t r a i t e ; l i n t r t d e c e t t e n o t i o n e s t q u e l l e i n c l u t e n p a r t i c u l i e r t o u s l e s a n n e a u x d e g e r m e s d e f o n c t i o n s ( r a t i o n - n e l l e s , d i f f r e n t i a b l e s o u a n a l y t i q u e s ) q u e l o n r e n c o n t r e d a n s l a t h o r i e d e s v a r i t s a l g b r i q u e s , d i f f r e n t i a b l e s o u a n a l y t i q u e s . E n l i a i s o n a v e c l a n o t i o n d e v a l u a t i o n d o n t u n e d e s a p p l i c a t i o n s a d j t S i g n a l e c i - d e s s u s , u n a u t r e e x e m p l e i m p o r t a n t d a n n e a u l o c a l e s t c o n s t i t u p a r l e s a n n e a u x d e v a l u a t i o n : u n s o u s - a n n e a u A d u n c o r p s K , q u i e s t d i s t i n c t d e K , e s t a p p e l u n a n n e a u d e v a l u a t i o n d e K s i , p o u r t o u t . X # 0 q u i n a p p a r t i e n t p a s A %

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ALGBRE

son inverse x appartient A ; ces anneaux correspondent lensemble des lments de K O une valuation de K prend des valeurs suprieures 1.

Reprenons lexemple de lanneau ZwJ ci-dessus pour expliquer dans un cas parti- culier la mthode gnrzdle de localisation. Considrons une quation diophantienne :

P(x,, . . . . X) = 0,

O P est un polynme coefficients entiers rationnels. Pour trouver les solutions enti- res de cette quation, on peut dabord cher- cher les solutions qui appartiennent au corps des quotients Q de lanneau Z, puis, dans une seconde tape, les solutions rationnelles dont le dnominateur nest pas divisible par un nombre premier p, i. e. les solutions qui appartiennent lanneau Ztil, appel lanneau local de Z qui correspond au nombre premier p . Bien entendu, si lquation considre une solution dans Z, cette solution appartiendra tous les anneaux locaux Zwj. Dans le cas dun anneau gnral A, on peut de mme rsou- dre le problme pos dans les anneaux locaux correspondant aux idaux premiers de lanneau. La rsolubilit de lquation dans chacun des anneaux locaux (locahsa- tion) est une condition ncessaire dexis- tence dune solution dans lanneau A. l,tude de la suffisance de ces conditions (en nombre infini dans le cas gnral) sappelle la globalisation ; signalons tout de suite quen gnral la globalisation nest pas possible sous la forme indique ci-dessus.

3. Lalgbre linaire et les origines

de lalgbre non commutative

Structures linaires

Ltude des quations et systmes dqua- tions du premier degr tait relgue au

dbut du XIX~ sicle dans lenseignement lmentaire et nglige des mathmati-

tiens, lorsquune axiomatisation convena- ble montra la puissance des notions nou-

velles ainsi mises en vidence. Sous sa

forme actuelle, lalgbre linaire est une remarquable synthse conduisant un vocabulaire et des rsultats qui sappli-

quent presque universellement dans tous

les domaines des mathmatiques et de la physique contemporaine, tandis que le processus de (( linarisation N apparat

comme essentiel dans de nombreuses bran-

ches des mathmatiques pures et appli- ques. La notion fondamentale est ici celle

despace vectoriel ; elle gnralise les pro- prits de lensemble des vecteurs de notre

espace trois dimensions. Un espuce vectorie/ E sur un corps K est un ensemble

dlments, appels (( vecteurs F), muni

dune loi de groupe ablien note additi-

vement et dune loi externe qui tout couple (a, x) dun lment a du corps K et dun vecteur ,Y de E fait correspondre un

vecteur u.,~ de E de telle sorte que lon ait :

u.(b.x) = (ub).x, pour u, b dans K et x dans E; lx = x, pou tout x de E (1 est llment neutre de K pour la multiplication) ; (u + b ) .x = u.x + b . x , ~IJW a, b dans K et x dans E;

a.(.~ + y) = IZX + b.y, pour L dans K et x, y dans E.

Les applications dun tel espace vecto- riel E dans un autre qui respectent la

structure despace vectoriel, i.e. telles que :

pour a dans K et x, _V dans E, sont dites

linaires.

Une aZgbre E sur un corps K est un K-espace vectoriel E muni dun N pro- duit N qui est une loi E X E -+ E hnaire

par rapport chaque facteur (on dit bilinaire). Si cette loi est associative,

20

ALGBRE

et admet un lment unit, on a une structure danneau.

Par exemple, les nombres complexes forment une algbre sur le corps des nombres rels.

Espaces de dimension finie

La reprsentahon gomtrique des nom- bres complexes introduite par Argand lavait amen implicitement dfinir laddition des vecteurs du plan ; plus gn- raIement, la ncessit dun calcul de nature (( gomtrique )), ou (( intrinsque )) (i.6~ indpendant du choix du systme daxes de Coordonnes), allait conduire Grassmann, M6bius et Hamilton dgager durant la premire moitit du XIX~ sicle, les rgles du calcul vectoriel et, presque simultan- ment, gnraliser les proprits de lespace

ALGBRE

g n r a u x ( s u r l e c o r p s d e s n o m b r e s r e l s ) e t d e s a p p l i c a t i o n s l i n a i r e s d a n s c e s e s p a - c e s , m a i s c e s t l a n a l y s e q u i f o u r n i t l e s p l u s i m p o r t a n t s e x e m p l e s d e s p a c e s v e c t o r i e l s d e d i m e n s i o n i n f i n i e e t c o n d u i s i t s a i s i r t o u t e l a P o r t e d e l a l g b r e l i n a i r e . p r o p o s d e r e c h e r c h e s s u r l e s q u a t i o n s d i f f r e n t i e l l e s e t s u r t o u t l e s q u a t i o n s a u x d r i v e s p a r t i e l l e s , H i l b e r t i n t r o d u i t , 1 l a u b e d u x x s i c l e , l e c l b r e e s p a c e d e S c h m i d t e t u t i l i s e s y s t m a t i q u e m e n t d e s t e c h n i q u e s l i n a i r e s p o u r t u d i e r l e s o p - r a t e u r s d a n s c e t e s p a c e ( c f . e s p a c e d e H I L B E R T ) e t c e s t T o e p l i t z , l v e d e H i l b e r t , q u i d o n n e l a d f i n i t i o n d u n e s p a c e v e c t o - r i e l s u r u n c o r p s q u e l c o n q u e e t t e n d c e s e s p a c e s d e n o m b r e u x r s u l t a t s d a l g b r e l i n a i r e e n c o n s t a t a n t q u i l s s o n t i n d p e n - d a n t s d e l a t h o r i e d e s d t e r m i n a n t s e t s u b s i s t e n t s a n s s u p p o s e r q u e l e s p a c e e s t d e d i m e n s i o n f i n i e . Q u e l q u e s a n n e s p l u s t a r d , B a n a c h a l l a i t t u d i e r s y s t m a t i q u e - m e n t l e s o p r a t e u r s l i n a i r e s e t l a d u a l i t d a n s l e s e s p a c e s v e c t o r i e l s d e f o n c t i o n s ( c f . 5 4 ) , t a n d i s q u A r t i n . E . N o e t h e r e t K r u l l a l l a i e n t m e t t r e e n v i d e n c e l e c a r a c - t r e p r e s q u e e n t i r e m e n t l i n a i r e d e l a l g - b r e m o d e r n e .

A l p o q u e c o n t e m p o r a i n e , o n s e s t a p e r u d e l i n t r t q u i l y a v a i t g n r a - l i s e r l a n o t i o n d e s p a c e v e c t o r i e l e n r e m - p l a c a n t l e c o r p s d e b a s e p a r u n a m ~ c a u ( p a s n c e s s a i r e m e n t c o m m u t a t i f ) , d f i n i s s a n t a i n s i l a n o t i o n d e m o d u l e ( d a n s l e c a s n o n c o m m u t a t i f , i l f a u t d i s t i n g u e r d e s m o d u l e s d r o i t e e t g a u c h e ) . L t u d e d e s m o d u l e s s o u s f o r m e a b s t r a i t e s e s t p a n o u i e s o u s l i n f l u e n c e d e S . M a c L a n e , H . C a r t a n e t S . E i l e n b e r g p o u r a b o u t i r u n e b r a n c h e n o u v e l l e d e l a l g b r e , l a l g b r e h o m o l o g i -

q u e , i s s u e d i r e c t e m e n t d e s p r o b l m e s p o s s p a r l a t o p o l o g i e a l g b r i q u e , e t d o n t l e b u t p r i n c i p a l e s t l t u d e d e s q u e s t i o n s o i n t e r v i e n n e n t d e s r e l a t i o n s d e d p e n d a n c e

l i n a i r e e n t r e l m e n t s d u n m o d u l e . L a l g b r e h o m o l o g i q u e e s t n o n s e u l e m e n t d e v e n u e l o u t i l e s s e n t i e l d e l a t o p o l o g i e a l g b r i q u e m a i s e s t v e n u e f c o n d e r d e n o m b r e u x a u t r e s s e c t e u r s d e s m a t h m a t i - q u e s c o n t e m p o r a i n e s ; sous l a f o r m e a x i o - m a t i q u e q u e l u i o n t d o n n e H . C a r t a n e t E i l e n b e r g , c e t t e s c i e n c e e s t g a i e m e n t 1 l o r i g i n e d e l a t h o r i e d e s c a t g o r i e s a b - l i e n n e s .

Algbres n o n c o m m u t a t i v e s

L e s d b u t s d e l a l g b r e n o n c o m m u t a t i v e a p p a r a i s s e n t t r o i t e m e n t l i s i i l . & b o r a - t i o n d e l a l g b r e l i n a i r e . L o r s q u e H a m i l - t o n c o n s i d r a u n n o m b r e c o m p l e x e l l + L G c o m m e u n c o u p l e o r d o n n ( u . / I ) d e n o m - b r e s r e l s , l e s o p r a t i o n s d a d d i t i o n e t d e m u l t i p l i c a t i o n e n t r e d e t e l s c o u p l e s t a n t c e l l e s q u i s o n t d d u i t e s d u c a l c ~ 1 1 u s u e l s u r l e s n o m b r e s c o m p l e x e s . i l c h e r c h a e n d f i n i s s a n t u n e m u l t i p l i c a t i o n c o n v e n a b l e . S I t e n d r e l e s p r o p r i t s d u c o r p s d e s n o m b r e s c o m p l e x e s d e s ( ( t e r n e s N o u G q u a t e r n e s ) ) , c e s t - A - d i r e i d e s s y s t m e s d e t r o i s o u q u a t r e n o m b r e s r e l s , p o u r c o n s t r u i r e u n e a l g b r e j o u a n t p o u r l e s r o t a t i o n s d e l e s p a c e i t r o i s d i m e n s i o n s l e m m e r l e q u e l e s n o m b r e s c o m p l e x e s p o u r l e s r o t a t i o n s p l a n e s d c c e n t r e 0 . C e s t a i n s i q u i l c o n s t r u i s i t , v e r s l X 4 5 ? l e s q u a - t e r n i o n s , p r e m i e r e x e m p l e d e c o r p s d o n t l a m u l t i p l i c a t i o n n e s t p a s c o m m u t a l i v c . C e s t e n e s s a y a n t d e g n r a l i s c r s a d c o u - v e r t e , e n i n t r o d u i s a n t p a r e x e m p l e l e s b i q u a t e r n i o n s , q u e H a m i l t o n f u t a m e n ; I d g a g e r l e f a i t q u o n p e u t d f i n i r u n e s t r u c t u r e d a l g b r e s u r u n e s p a c e v e c t o r i e l d e d i m e n s i o n f i n i e e n d o n n a n t l a ( ( t a b l e d e m u l t i p l i c a t i o n N d e s l m e n t s d u n e b a s e . L e s m a t r i c e s a l l a i e n t d o n n e r d e n o m b r e u x a u t r e s e x e m p l e s d a l g b r e s n o n c o m m u t a - t i v e s , m a i s c e n e s t q u e n 1 8 7 0 q u e B . P i e r c e d o n n e u n e d f i n i t i o n a x i o m a t i -

2 2

q u e e t i n t r o d u i t l e s n o t i o n s f o n d a m e n t a l e s r e l a t i v e s a u x a f g b r e s d e d i m e n s i o n f i n i e ; d a u t r e p a r t , l e s t r a v a u x d e L i e ( e t d e s o n c o l e ) p r o p o s d e s a l g b r e s q u i p o r t e n t s o n n o m a l l a i e n t d g a g e r l a n o t i o n f o n d a - m e n t a l e d e r a d i c a l e t . C a r t a n a l l a i t m e t t r e e n v i d e n c e l e r f e e s s e n t i e l j o u p a r l e s a l g b r e s s e m i - s i m p l e s . U n e a u t r e a p p l i c a t i o n t r s i m p o r t a n t e d e l a l g b r e n o n c o m m u t a t i v e e s t l a r e p r s e n t a t i o n h n a i r e d e s g r o u p e s e t a l g b r e s , d v e l o p - p e d e 1 8 9 6 1 9 1 0 p a r F r o b e n i u s , B u r n - s i d e e t S c h u r .

4. Algbre topologique

L a c o n t i n u i t d e s o p r a t i o n s a l g b r i q u e s e s t d u s a g e c o u r a n t d a n s l a n a l y s e c l a s s i - q u e : d e p u i s l e d b u t d u X I X ~ s i c l e , e n l i a i s o n a v e c l i n t r o d u c t i o n d e s n o u v e a u x t r e s m a t h m a t i q u e s c o n s i d r s p l u s h a u t , l e s m a t h m a t i c i e n s a l l a i e n t r e n c o n t r e r d a n s d e n o m b r e u x p r o b l m e s d e n a t u r e V a r i e d e s e n s e m b l e s m u n i s d u n e n o t i o n d e c o n v e r g e n c e e t d e l o i s d e c o m p o s i t i o n ( ( c o n t i n u e s p o u r c e t t e n o t i o n d e c o n v e r - g e n c e D . C e m a r i a g e f r q u e n t d e l a l g b r e e t d e l a t o p o l o g i e a c o n d u i t t u d i e r a x i o m a t i q u e m e n t c e s s i t u a t i o n s , i n t r o d u i - s a n t a i n s i d e n o u v e l l e s s t r u c t u r e s t r s u t i l e s e t t r s r i c h e s , q u i j o u e n t u n r l e e s s e n t i e l d a n s d e n o m b r e u s e s t h o r i e s m a t h m a t i - q u e s c o n t e m p o r a i n e s ; t i t r e d e x e m p l e , o n p e u t s i g n a l e r l e s e s p a c e s v e c t o r i e l s t o p o l o g i q u e s e t l e s g r o u p e s t o p o l o g i q u e s .

Espaces vectoriels norms

et espaces vectoriels topologiques

U n e s p a c e v e c t o r i e l n o r m s u r l e c o r p s K d e s n o m b r e s r e l s o u d e s n o m b r e s c o m - p l e x e s e s t u n e s p a c e v e c t o r i e l E s u r l e q u e l e s t d f i n i e u n e f o n c t i o n x . - . 11 .Y 11, v a l e u r s r e l l e s p o s i t i v e s , p o s s d a n t l e s p r o p r i t s

ALGBRE

s u i v a n t e s , q u i g n r a l i s e n t c e l l e d e l a l o n g u e u r d u n v e c t e u r d a n s l e s e s p a c e s d e d i m e n s i o n f i n i e :

a ) i / _ Y i i = 0 s i e t s e u l e m e n t s i x = 0 ;

bl Il ,x + y Il< Il x 11 + Il y 11, pour ,Y, J quel- c o n q u e s d a n s E ;

c) l~a.~~~ = 1 a 1 ~I.Y~I, p o u r a d a n s K e t . Y d a n s E . ( 1 ~ 2 1 e s t i c i l a v a l e u r a b s o l u e o u l e m o d u l e d u n o m b r e r e l o u c o m p l e x e a ) .

L a c o n s i d r a t i o n d e s p a c e s ( ( f o n c t i o n -

n e l s ) ) ( c e s t - - d i r e d e s p a c e s v e c t o r i e l s d o n t l e s l m e n t s s o n t d e s f o n c t i o n s ) m u n i s d u n e n o r m e c o n v e n a b l e e s t d e v e - n u e u n d e s o u t i l s e s s e n t i e l d e l a n a l y s e c o n t e m p o r a i n e .

L a t h o r i e d e s e s p a c e s v e c t o r i e l s n o r -

m s s e s t C o n s t i t u e d e 1 9 0 0 1 9 3 0 a p p r o x i m a t i v e m e n t e t i c i e n c o r e l e s p a c e d e H i l b e r t a j o u u n r l e h i s t o r i q u e c o n s i - d r a b l e . H i l b e r t , a u d b u t d u x x e s i c l e , f u t a m e n i n t r o d u i r e d e u x n o t i o n s d e

c o n v e r g e n c e d i f f r e n t e s s u r l e s p a c e d e s s u i t e s ( . x , J d e n o m b r e s r e l s t e l s q u e l a

s r i e Z . Y ; s o i t c o n v e r g e n t e e t t u d i e

l a c o n : i n u i t d e n o m b r e u s e s a p p l i c a t i o n s l i n a i r e s . Q u e l q u e s a n n e s p l u s t a r d , v e r s 1 9 0 7 - 1 9 0 8 , S c h m i d t , F r c h e t e t R i e s z g n r a h s e n t l e l a n g a g e d e l a g o m t r i e d e s

e s p a c e s d e d i m e n s i o n f i n i e l e s p a c e d e H i l b e r t e t i n t r o d u i s e n t l a n o r m e d a n s c e

c a s p a r t i c u l i e r ; l a n o t i o n d e s p a c e v e c t o - r i e l n o r m g n r a l a p p a r a t a l o r s v e r s 1 9 2 0 d a n s l e s t r a v a u x d e H a h n e t d e B a n a c h .

U n d e s a s p e c t s e s s e n t i e l s d e s p r o b l m e s

s u r l e s e s p a c e s v e c t o r i e l s n o r m s e s t f a t h o r i e d e l a d u a h t t o p o l o g i q u e q u i

o c c u p e d j u n e p l a c e c e n t r a l e d a n s l e s t r a v a u x d e F . R i e s z s u r l e s e s p a c e s d e f o n c t i o n s m t g r a b l e s . p a r t i r d e 1 9 2 7 , H a h n e t B a n a c h a b o r d e n t d e m a n i r e g n r a l e l e p r o b l m e d e l a d u a h t e n m o n t r a n t q u o n p e u t m u n i r l e d u a l d u n

2 3

ALGBRE

espace norm dune structure despace norm (complet) ; itrant cette construc- tion, Hahn pourra poser de manire gn- rale le problme des espaces rflexifs, I. e. qui sont isomorphes leur bidual topolo- gique. Vers 1932, la thorie des espaces norms est i peu prs acheve avec le livre de Banach, Thorie des opnztions linda.

Une notion telle que la convergence simple dune suite de fonctions dans un espace fonctionnel nest pas associe une norme, et il tait ncessaire de considrer sur des espaces vectoriels des notions de convergence plus gnrales que celles dfi- nies par des normes, situation tudie pour la premire fois par Frchet. Mais, sans hypothse restrictive, la thorie gnrale tait trop pauvre ; la notion essentielle qui allait permettre la thorie de spanouir est la convexit, tudie par Banach et ses lves, conduisant von Neumann en 1935 2 dfinir les espaces localement convexes. Des branches essentielles des mathmati- ques contemporaines, la thorie des distri- butions par exemple, utilisent de manire constante la thorie de ces espaces.

Groupes topologiques

La ncessit dtudier des groupes (( conti- nus )) plus gnraux que les groupes de Lie conduisit Schreier en 1927 i dfinir des groupes dits topologiques, tels que la multiplication et le passage linverse soient des oprations continues. Ceux de ces groupes qui, comme les groupes de Lie, sont localement compacts possdent des proprits remarquables dont ltude cons- titue une branche nouvelle de lanalyse, lanalyse harmonique gnralise. En 1933, Hxdr dmontra le thorme suivant, qui est le point de dpart de toute la thorie : il existe sur un tel groupe une mesure qui est invariante par multiphca- tion i gauche par les lments du groupe.

partir de ce rsultat, le mathmaticien

sovitique Pontriaguine construisit sa thorie des caractres pour les groupes

commutatifs localement compacts, dont un des aspects les plus spectaculaires est sans doute le thorme de duaht.

Essayons dexpliquer ce rsultat en quel-

ques mots : un caractre dun groupe topologique G est un homomorphisme continu de G dans le groupe multiplicatif

des nombres complexes de module 1 ; il est clair que lensemble des caractres forme

un groupe commutatif X et on montre que si G est commutatif localement compact,

le groupe X peut tre muni de manire naturelle dune structure de groupe topo-

logique localement compact. Le thorme de dwdht sexprime alors par le fzdit que le groupe G est isomorphe, algbriquement

et topologiquement, au groupe des carac-

tres du groupe X. Issue directement de la thorie des

espaces de Banach, la belle thorie des algbres normes (algbres de Banach),

dveloppe A partir de 1940 par le math- maticien sovitique Gelfand et ses lves,

allait clairer dun jour nouveau la dualit de Pontriaguine et permettre dobtenir dimportants rsuitats sur la reprsenta-

tion linaire des groupes localement com- pacts gnrzmx (et en particulier des gros

pes de Lie).

JEAN-LUC VERLEY

24

A L G B R E D E B O O L E - B O O L E A L G B R E 8 A N N E A U D E

A N A L Y S E H A R M O N I Q U E

ANNEAUX COMMUTATIFS

- H A R M O N I Q U E A N A L Y S E

A L G B R E L I N A I R E & M U L T I L I N A I R E - L I N A I R E & M U L T I L I N A I R E A L G B R E

A L G B R E T O P O L O G I Q U E - T O P O L O G I Q U E A L G B R E

A L G B R E S N O R M E S - N O R M E S A L G B R E S

A L G B R I Q U E S N O M B R E S - N O M B R E S ( T H O R I E D E S ] - N o m b r e s a l g b r i q u e s

A N A L Y S E C O M B I N A T O I R E - C O M B I N A T O I R E A N A L Y S E

A N N E A U D E B O O L E - B O O L E A L G B R E & A N N E A U D E

A N N E A U X C O M M U T A T I F S

D ans tout ce qui suit, on se bornera a considrer des anneaux commutatifs unitaires, cest--dire possdant un lment

unit pour la multiplication, not 1. Les

dfinitions sont celles de larticle suivant,

ANNEAUX ET ALGBRES.

De nombreux cas particuliers

danneaux commutatifs unitaires ont t

tudis au XIX~ sicle, principalement

propos de recherches de thorie des

nombres et de gomtrie algbrique. Intro-

duits lorigine pour tudier la divisibilit

dans de tels anneaux, les idaux, cas

particuliers de modules, se sont rvls

essentiels dans de nombreuses questions.

En fait. la classification des diffrents

1 i

25

ANNEAUX COMMUTATIFS

types danneaux seffectue suivant la struc-

ture de leurs idaux. Larithmtique des anneaux dits

principuux est analogue larithmtique

des nombres entiers ou des polynmes ; plus gnralement, on peut tudier de

manire satisfaisante larithmtique des

UWWUTJX de Dedekind : ici, les proprits de divisibilit, droutantes a priori, sexpri-

ment harmonieusement dans le cadre de

la thorie des idaux. Une autre gnra- lisation possible des anneaux principaux,

qui englobe dailleurs la prcdente, est

lie i des conditions de finitude : tout idal dun anneau principal est form des

multiples dun lment ; plus gnrale- ment, on peut considrer les anneaux dans lesquels tout idal est form des combi-

naisons hnaires ( coefficients dans

lanneau) dun nombre fini dlments, et ces anneaux, appels noethriens, poss-

dent une remarquable proprit de stabi-

lit, dcouverte par Hilbert, savoir que lanneau des polynmes sur un anneau

noethrien est lui-mme noethrien. Pour

terminer, mentionnons ici la classe impor- tante des anneaux locaux, qui possdent un unique idal maximal : cela signifie quil

existe un idal propre contenant tous les autres idaux propres de lanneau ; ces anneaux jouent ml grand rle dans la

thorie des varits algbriques, diffren-

tiables ou analytiques, car les anneaux de germes de fonctions sont de ce type.

Ltude des anneaux locaux est trs lie

des considrations topologiques ; nous renvoyons 1 ce propos aux articles algbre

TOPOLOGIQUE et thorie des NOMBRES Nombres padiques,

Le tableau ci-dessus prcise les rapports entre ces diffrents anneaux, chaque flche

exprimant quune proprit en entrane une autre.

1. Notions fondamentales

Divisibilit

La prsence dans un anneau de diviseurs de zro, cest--dire dlments I et /I, tous deux non nuls, dont le produit est nul, rend illusoire toute thorie satisfaisante de la divisibilit. Les anneaux commutatifs sans diviseurs de zro sont appels des anneaux intgres ou anneaux dintgrit. Nous allons, dans ce qui suit, prciser quelques proprits de la divisibilit dans un tel anneau dintgrit A. Dans toutes ces questions de divisibiht, seul intervient le fait que lensemble A* des lments non nuls de lanneau A est muni dune loi de composition interne (x, y) - xy (la mul- tiplication) associative, commutative, avec un lment unit ; un ensemble muni dune loi possdant ces proprits est appel un rnonoLde, Nous noncerons les dfinitions gnrales relatives la divisibilit dans le cadre dun monode A* quelconque, ce qui sera utile dans la troisime partie.

On dit quun lment h de A* divise un lment a de A*, ou encore que a est

divisib/e par b sil existe un lment c tel que a = bc. Il est clair que cette notion de divisibilit gnralise la notion usuelle de divisibilit dans le monode Z* des entiers relatifs non nuls et possde des proprits analogues : par exemple, si c divise I et si L divise a, alors c divise a.

Dans toutes les questions de divisibilit, un rle essentiel est jou par les unitfL~, qui sont les lments inversibles (ou encore, avec la terminologie ci-dessus, les lments qui divisent llment unit 1) ; si A* est lc monode des lments non nuls dun anneau dintgrit A, ces lments sont aussi appels les units de lanneau : par

26

ANNEAUX COMMUTATIFS

exemple, dans lanneau Z des entiers relatifs, les seules unikks sont les nombres

+ 1 et - 1 et, dans lanneau des poiyn- mes i coefficients dans un corps K, ce sont

les polynmes constants non nuls. Dans tous les cas, on vrifie facilement que les units forment un groupe multiplicatif;

pour un anneau A, la structure de ce groupe est une importante caractristique

arithmtique de A. Deux lments CI et !I, qui diffrent seulement par un lment inversible, cest-i-dire tels que a = ub, u inversible, possdent des proprits de

divisibilit trs analogues et sont dits ussocis. Pour terminer ces dfinitions,

indiquons quun lment a de A* est dit premier, ou irrductibk, sil nest pas inver- sible et si pour toute dcomposiCon a = /TC ; b, c lments de A*, lun des deux facteurs b ou c est inversible, Un des

problmes fondamentaux de la divisibilit dans A* est ltude de la dcomposiCon ventuelle de tout lment comme produit dlments premiers.

Corps des fractions

dun anneau dintgrit

Nous allons dabord dfinir la notion de G fraction )). Pour cela, dsignons par A* lensemble des iments non nuls de A et considrons lensemble A X A* des cou-

ples (.x, _J,), y # 0 ; un tel lment (x, J>) sappelle une (( fraction H de numrateur ,Y et de dnominateur y. Nous allons main- tenant identifier des fractions (,Y, y) et

(.x, y) telles que .x_$ = ,~y, cest-k-dire considrer sur lensemble A X A* la relation dquivalence ainsi dfinie. Lensemble des classes dquivalence forme un ensemble que nous dsignerons par K. On vrifie alors facilement que, si on djinit la somme et le produit de deux (C fractions )) par les formules :

La construction du corps Q des nombres rationnels i partir de lanneau Z des entiers relatifs se gnralise sans difficult

i un anneau dintgrit quelconque. Plus prcisment, on a le rsultat suivant : cc Si A est un anneau dintgrit, il existe un corps K contenant A comme sous-anneau et dont tous les lments sont de la forme .YY , ,Y, y lments de A. De plus, un tel corps K est unique un isomorphisme laissant A fixe prs. H

on obtient sur K, par passage uu quotient, deux oprations qui en font un corps ; cela signifie que, si L et z/ sont des lments de K reprsents par des (( fractions )) (x, J,) et (,Y, y), alors par dfinition, u+u et CM sont les lments de K reprsents par les (( fractions )) (x, y) + (.Y, y) et (.Y, _J,) (_Y, y) et que u + u et w ainsi dfinis dont indpendants du choix des (( fractions 1) reprsentant t et v.

Pour faire comprendre la dmonstra- Le plongement de A dans K seffectue tien, analysons ce quest un nombre ration- maintenant en identifiant tout lment de nel. Un nombre rationnel u est C( dfini H A llment de K dfini par la (( fraction )) par une fraction p/q, O p et q sont des (0, l), dont le numrateur est gal u et le entiers relatifs, mais deux fractions p/q et dnominateur 1 1. Remarquons que, si on

p/q, distinctes, possdant des numra- teurs et des dnominateurs distincts, peu- vent dfinir le wlne nombre rationnel si pq = pq. De plus, si p/q et p/q sont des fractions dfinissant des nombres ration- nels t et ~j, les fractions (pq+pq)/qq et pp/qq dfinissent les nombres rationnels U+V et w. La dmonstration gnrale est Calque sur la construction ci-dessus ; donnons-en lesquisse.

27

ANNEAUX COMMUTATIFS

identifie deux lments u et !I de A leur image dans K, llment de K reprsent par la (( fraction H (u, h) est bien le quotient (dans K) de a par b.

Le corps K que nous venons de cons- truire sappelle le corps des jactions de lanneau A.

ldaux

Rappelons quun id&1 dun anneau A est un sous-groupe additif qui est stable par multiplication par un lment quelconque de A, quil possde certaines proprits. Nous nous contenterons de montrer com- ment on peut tendre aux idaux le langage arithmtique usuel relatif aux nombres entiers.

Les idaux du type le plus simple sont obtenus ainsi : si a est un lment dun anneau A, lensemble des multiples de u, cest--dire lensemble des lments de la forme XI pour x parcourant A, est un idal de A, not (a), et appel lidal principal engendr par u. Un tel idal est propre cest--dire non rduit 0 et diffrent de A tout entier si, et seulement si, a est non nul et non inversible. On verra, dans la deu- xime partie, que tout idal de lanneau Z des entiers relatifs est de ce type. Remar- quons au passage que, dans un anneau dintgrit, deux lments u et h non nuls engendrent le mme idal principal si et seulement sils sont associs, cest--dire si h = wz, c inversible dans lanneau : en effet, si (u) = (!T), il existe des lments u et v tels que h = ua, a = vb, do wu = a ; si a # 0, on a donc w = 1 puisquil ny a pas de diviseurs de zro dans lanneau et ainsi u est inversible. Plus gnralement, si u,, . . . . a,z sont des l- ments de A, lensemble, not (u,, . . . . u,J des lments de la forme x,a, + + .ylan pour ,Y, . . . . .x,~ parcourant A indpendam- ment lun et lautre est un idal ; la

quatrime partie est Consacre ltude des anneaux dans lesquels tout idal est de ce type.

tant donn deux idaux a et b, leur intersection a n b est encore un idal. Gnralisons aux idaux la notion de produit : a et b tant deux idaux, lensem- ble des sommes finies a,b, + + u,&, o les u, et les bj sont des lments de a et b respectivement, est encore un idal, appel produit des idaux a et b et not ab. Le produit ainsi dfini est commutatif, associatif et admet un lment unit qui est lanneau tout entier A = (1) (parfois appel, pour cette raison, idal unit). Si A est un anneau dintgrit, le produit de deux idaux non nuls (cest--dire diff- rents de [O}) est non nul et par suite lensemble M(A) des idaux non nuls est un monode pour cette loi de composition ; le monode M(A) jouera un rle trs important dans la troisime partie. Remar- quons que si a = (u) et b = (!I) sont principaux, alors on a ab = (ub) et par suite lapplication u - (u) est un homo- morphisme du monode A* dans le monode M(A) (limage dun produit est le produit des images, et llment unit a pour image llment unit).

Deux lments ~2 et b de A sont dits congrus ruodulo un i&ul a, et on note :

L G b (mod. a)

si la diffrence a ~ h appartient a ; dans le cas o a = (c) est principal, on retrouve la notion usuelle de congruence modulo c. Considrons lensemble quotient, not A/a, de A par cette relation (cest mani- festement une relation dquivalence). Si et b sont les classes de a et h respecti- vement, on vrifie que a + h et ub sont indpendants des reprsentants u et I choisis et que les deux lois de composition ainsi dfinies font de A/a

28

ANNEAUX COMMUTATIFS

un anneau commutatif unitaire appel uwz~uu quodenf de A par lidal a. Dans le cas O A est lanneau Z des entiers relatifs et a lensemble (ti) des multiples dun entier rz, cet anneau nest autre que lanneau des classes rsiduelles dentiers modulo n.

Un idal II # A est dit premier sil ne contient le produit & de deux lments de A que lorsquil contient au moins lun dentre eux ; dans lanneau Z des entiers, cette condition caractrise les idaux prin- cipaux @) engendrs par un nombre pre- mier p. On voit facilement quun idal est premier si, et seulement si, lanneau quo- tient est sans diviseurs de zro ; ainsi, un exemple important didaux premiers est constitu par les idaux maximaux n (idaux qui ne sont contenus dans aucun autre idal propre) caractriss par le fait que A/p est un corps. Gnralisons main- tenant aux idaux quelconques les propri- ts des idaux principaux de Z engendrs par les puissances des nombres premiers : un idal q est dit primaire si & E q et u 6? q enttanent quune puissance de h appar-

tient q, il rsuhe des dfinitions que si q est primaire, son radical, qui est lensemble des lments dont une puissance appar- tient q, est premier. NOLIS verrons, dans la quatrime partie, limportance des idaux primaires.

lrnmts entiers Soit A un anneau dintgrit contenu dans un corps K. On dit quun lment de K est entier sur ,4 sil est racine dun polynme :

trer que lensemble des lments de K qui sont entiers sur A forme un anneau (qui contient donc A) appel la fermeture integrde de A duns K. Un cas particuli- rement important est celui O K est le corps des fractions de A (cf. mpra) ; si les seuls lments du corps des fractions de A qui sont entiers sur A sont les lments de A, on dit que lanneau A est i&gra/etnent dos. Ces anneaux jouent un rle essentiel dans de nombreuses questions, en thorie des nombres et en gomtrie algbrique notamment.

2. Larithmtique lmentaire

et les anneaux principaux

Un anneau principul est un anneau dint- grit dans lequel tout idal est principal, cest--dire form des multiples dun mme lment, appel g&&ateur de iidal. Ltude de la divisibtht dans un tel anneau est analogue la thorie arithmtique lmentaire des nombres entiers, qui en constitue dailleurs un cas particulier. Ltude de la divisibiht dans lanneau K[X] des polynmes une variable sur un corps K rentre aussi dans ce cadre.

Exemples

o) Montrons que lanneuu Z des entier.~ relat$ est principal. La dmonstration repose sur la proprit suivante de divisi- biht dans cet anneau : tant donn deux entiers rationnels a et b, h > 0, il existe un couple et un seul dentiers rationnels q et I tels que :

xn + apx- + .., + an a = bq + r, O

ANNEAUX COMMUTATIFS

contient des lments strictement positifs puisque avec tout lment 0 il contient son

oppos - 0 = ( - 1) u. Soit b le plus petit lment strictement positif de a ; montrons que tout lment a de a est un multiple de b. En effet, lexistence de la division dans Z permet dcrire u = hq + r, 0 < r < h ; or le multiple hq de h appartient a, donc aussi r = u ~ bq : la dfinition de b ent