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Diffrences nies pour la rsolution numrique des quations de la mcanique des uidesRISSER Laurent 4 fvrier 2006

Table des matires1 2 Introduction Rappels sur les quations aux Drives Partielles 2.1 Classication mathmatique . . . . . . . . . 2.1.1 Transformations non singulires . . . 2.1.2 EDP hyperboliques . . . . . . . . . . 2.1.3 EDP parabolique . . . . . . . . . . . 2.1.4 EDP elliptiques . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Problme bien pos . . . . . . . . . . 2.2 Systmes dquations . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Exemple de systme linaris . . . . 2.2.2 Systmes dquations dordre un . . . 2.2.3 Systme dEDP dordre deux . . . . . 2.3 Exemples dEDP intressantes . . . . . . . . 2.3.1 Equation donde linaire dordre un . 2.3.2 Equation de Burgers non-visqueuse . 2.3.3 Equation de Burgers . . . . . . . . . 2.3.4 Equation de Tricomi . . . . . . . . . 2.3.5 Equation de Poisson . . . . . . . . . 2.3.6 Equation dadvection-diffusion . . . . 2.3.7 Equation de Korteweg-de-Vries . . . 2.3.8 Equation dHelmoltz . . . . . . . . . 7 9 9 9 10 13 14 15 15 15 16 16 16 16 16 17 17 17 17 17 17 19 19 20 20 21 22 23 23 24 24 24 24 25 25 26 27 27

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Rappels sur les diffrences nies 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Construction de schmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Exemple de schma pour une quation diffrentielle 3.2.3 Exemple de schma pour une EDP simple . . . . . . 3.3 Erreur de troncature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Erreurs des la discrtisation . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Forme conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les quations de la mcanique des uides 4.1 Navier-Stokes compressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Cas incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Diffrences entre le cas compressible et le cas incompressible 4.4 Classication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

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Diffrences nies pour quations modles 5.1 Equation donde dordre . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Mthode de Lax . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Schmas explicites dEuler . . . . . . . . . . . 5.1.3 Schma explicite rgressif . . . . . . . . . . . 5.1.4 Schma dEuler implicite . . . . . . . . . . . . 5.1.5 Schma Leep Frog (saute mouton) . . . . . . 5.1.6 Autres schmas . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Prsentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Mthode de Crank-Nicolson . . . . . . . . . . 5.2.3 Gnralisation de Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Equation de la chaleur 5.3.1 Adaptation des schmas . . . . . . . . . . 5.3.2 Mthode ADI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Equation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Formule cinq points . . . . . . . . . . . . . . (linaire) . . . . . . . . . . . 5.5 Equation de transport 5.5.1 Schma explicite FTCS (Roache 1972) . . . . 5.5.2 Schma implicite de Crank-Nicolson . . . . . 5.6 Equation de transport . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Equation de Burgers non linaire . . . . . . . . . . . . 5.7.1 Schma implicite de Bridley-Mc Donald (1974) Rsolution numrique de Navier-Stokes incompressible 6.1 Prsentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Ecoulement stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Mthode de la compressibilit articielle . . 6.2.2 Mthode Marker And Cell (MAC) . . . . . . 6.2.3 Stabilit du schma MAC . . . . . . . . . . 6.3 coulement instationnaire . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Mthode de projection . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Mthode de projection implicite . . . . . . . 6.3.3 Mthode SIMPLE . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4 Fonction de courant, vorticit . . . . . . . .

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Mthodes spectrales 7.1 Approximation pseudo-spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Calcul pratique de lapproximation pseudo-spectrale des drives . . . . . . . . 7.3 Mthodes pseudo-spectrales pour la rsolution dquations aux drives partielles. 7.4 Lanti-aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Chapitre 1

IntroductionVous tes vous dj demand un jour ce qutait un modle ? Cest une reprsentation simplie de la ralit physique. Par simplication, on entend la ngligence des phnomnes peu inuants lchelle tudie. Par exemple si lon tudie lcoulement de lair autour dune automobile, on ne prend pas en compte le mouvement de chaque particule de lair. On moyenne sur de petits volumes la vitesse et la pression induits par les particules. Ces volumes sont petits par rapport la taille de lobjet tudi mais trs grands par rapport a lchelle microscopique. La mcanique des uides fourni une multitude de modles pour tudier des uides plus ou moins visqueux, compressibles ou incompressibles, stationnaires ou instationnaires. Dans le cadre de ce cours, nous allons tudier des mthodes numriques qui permettent de rsoudre les modles couramment rencontrs en mcanique des uides non compressibles. Avant de rentrer dans le vif du sujet, positionons ces mthodes par rapport aux mthodes exprimentales et thoriques En toute logique, lapproche exprimentale est la plus raliste. Cependant elle est la plus coteuse. Elle peut aussi poser des problmes dchelle. Par exemple, lanalogie des Reynolds nest pas toujour respectable. De mme, elle pose des difcult lies aux mesures. Les outils de mesures sont intrusifs ce qui peut fausser les rsultats et poser des difcults daccs certaines zones. Les conditions limites ne sont pas non plus forcment idales. Enn, les tudes paramtriques sont longues. Lapproche thorique demande de modliser le phnomne physique tudi. En supposant que le modle est bon lchelle tudie, cette approche a la grande qualit de fournir une solution exacte. Son principal dfaut est quil est souvent ncessaire de simplifer la gomtrie ainsi que la physique de lobjet tudi et son environnement. De mme, les problmes non linaires ne sont pas traits. Tout comme lapproche thorique, lapproche numrique demande de modliser le phnomne physique tudi. Contrairement la premire, elle permet de prendre en compte des quations bien plus complexes dont les non linaires (les quations de Navier-Stokes par exemple). De mme, une gomtrie plus complexe et lvolution en temps peut tre prise en compte. Lapproche thorique a cependant aussi des limites. Elle implique des erreurs lies la discrtisation (troncature et convergence) et la rsolution (arrondis). Elle pose aussi des problmes lis aux conditions limites. On peut signaler que bien des phnomnes ne sont pas encore modliss. Enn, il faut bien avoir en tte que les machines qui vont rsoudre le problme nont pas une mmoire et une cadence dhorloge innie. On doit donc tudier des domaines de taille et de nesse raisonnable.

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Concentrons nous maintenant sur la mcanique des uides numrique. Les quations, typiquement des EDP sont un modle de la ralit. Les solutions exactes des modles de la mcanique des uides, typiquement des EDP, sont trs rares. Il est donc souvent ncessaire de discrtiser ces quations pour produire un rsultat approch sur ordinateur. Les uides sont dcrits par diffrentes quations suivant que lon