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    15-Jul-2015

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<p>Diffrences nies pour la rsolution numrique des quations de la mcanique des uidesRISSER Laurent 4 fvrier 2006</p> <p>Table des matires1 2 Introduction Rappels sur les quations aux Drives Partielles 2.1 Classication mathmatique . . . . . . . . . 2.1.1 Transformations non singulires . . . 2.1.2 EDP hyperboliques . . . . . . . . . . 2.1.3 EDP parabolique . . . . . . . . . . . 2.1.4 EDP elliptiques . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Problme bien pos . . . . . . . . . . 2.2 Systmes dquations . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Exemple de systme linaris . . . . 2.2.2 Systmes dquations dordre un . . . 2.2.3 Systme dEDP dordre deux . . . . . 2.3 Exemples dEDP intressantes . . . . . . . . 2.3.1 Equation donde linaire dordre un . 2.3.2 Equation de Burgers non-visqueuse . 2.3.3 Equation de Burgers . . . . . . . . . 2.3.4 Equation de Tricomi . . . . . . . . . 2.3.5 Equation de Poisson . . . . . . . . . 2.3.6 Equation dadvection-diffusion . . . . 2.3.7 Equation de Korteweg-de-Vries . . . 2.3.8 Equation dHelmoltz . . . . . . . . . 7 9 9 9 10 13 14 15 15 15 16 16 16 16 16 17 17 17 17 17 17 19 19 20 20 21 22 23 23 24 24 24 24 25 25 26 27 27</p> <p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>3</p> <p>Rappels sur les diffrences nies 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Construction de schmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Exemple de schma pour une quation diffrentielle 3.2.3 Exemple de schma pour une EDP simple . . . . . . 3.3 Erreur de troncature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Erreurs des la discrtisation . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Forme conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les quations de la mcanique des uides 4.1 Navier-Stokes compressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Cas incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Diffrences entre le cas compressible et le cas incompressible 4.4 Classication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3</p> <p>. . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . .</p> <p>4</p> <p>. . . .</p> <p>. . . .</p> <p>. . . .</p> <p>. . . .</p> <p>. . . .</p> <p>. . . .</p> <p>. . . .</p> <p>. . . .</p> <p>. . . .</p> <p>. . . .</p> <p>5</p> <p>Diffrences nies pour quations modles 5.1 Equation donde dordre . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Mthode de Lax . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Schmas explicites dEuler . . . . . . . . . . . 5.1.3 Schma explicite rgressif . . . . . . . . . . . 5.1.4 Schma dEuler implicite . . . . . . . . . . . . 5.1.5 Schma Leep Frog (saute mouton) . . . . . . 5.1.6 Autres schmas . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Prsentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Mthode de Crank-Nicolson . . . . . . . . . . 5.2.3 Gnralisation de Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Equation de la chaleur 5.3.1 Adaptation des schmas . . . . . . . . . . 5.3.2 Mthode ADI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Equation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Formule cinq points . . . . . . . . . . . . . . (linaire) . . . . . . . . . . . 5.5 Equation de transport 5.5.1 Schma explicite FTCS (Roache 1972) . . . . 5.5.2 Schma implicite de Crank-Nicolson . . . . . 5.6 Equation de transport . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Equation de Burgers non linaire . . . . . . . . . . . . 5.7.1 Schma implicite de Bridley-Mc Donald (1974) Rsolution numrique de Navier-Stokes incompressible 6.1 Prsentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Ecoulement stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Mthode de la compressibilit articielle . . 6.2.2 Mthode Marker And Cell (MAC) . . . . . . 6.2.3 Stabilit du schma MAC . . . . . . . . . . 6.3 coulement instationnaire . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Mthode de projection . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Mthode de projection implicite . . . . . . . 6.3.3 Mthode SIMPLE . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4 Fonction de courant, vorticit . . . . . . . . </p> <p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>29 29 29 32 32 34 34 35 35 35 35 35 35 36 38 39 39 40 41 42 42 42 43 45 45 45 45 46 48 50 50 52 53 54 59 59 60 61 62</p> <p>6</p> <p>. . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . .</p> <p>. . . . . . . . . .</p> <p>7</p> <p>Mthodes spectrales 7.1 Approximation pseudo-spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Calcul pratique de lapproximation pseudo-spectrale des drives . . . . . . . . 7.3 Mthodes pseudo-spectrales pour la rsolution dquations aux drives partielles. 7.4 Lanti-aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>4</p> <p>6</p> <p>Chapitre 1</p> <p>IntroductionVous tes vous dj demand un jour ce qutait un modle ? Cest une reprsentation simplie de la ralit physique. Par simplication, on entend la ngligence des phnomnes peu inuants lchelle tudie. Par exemple si lon tudie lcoulement de lair autour dune automobile, on ne prend pas en compte le mouvement de chaque particule de lair. On moyenne sur de petits volumes la vitesse et la pression induits par les particules. Ces volumes sont petits par rapport la taille de lobjet tudi mais trs grands par rapport a lchelle microscopique. La mcanique des uides fourni une multitude de modles pour tudier des uides plus ou moins visqueux, compressibles ou incompressibles, stationnaires ou instationnaires. Dans le cadre de ce cours, nous allons tudier des mthodes numriques qui permettent de rsoudre les modles couramment rencontrs en mcanique des uides non compressibles. Avant de rentrer dans le vif du sujet, positionons ces mthodes par rapport aux mthodes exprimentales et thoriques En toute logique, lapproche exprimentale est la plus raliste. Cependant elle est la plus coteuse. Elle peut aussi poser des problmes dchelle. Par exemple, lanalogie des Reynolds nest pas toujour respectable. De mme, elle pose des difcult lies aux mesures. Les outils de mesures sont intrusifs ce qui peut fausser les rsultats et poser des difcults daccs certaines zones. Les conditions limites ne sont pas non plus forcment idales. Enn, les tudes paramtriques sont longues. Lapproche thorique demande de modliser le phnomne physique tudi. En supposant que le modle est bon lchelle tudie, cette approche a la grande qualit de fournir une solution exacte. Son principal dfaut est quil est souvent ncessaire de simplifer la gomtrie ainsi que la physique de lobjet tudi et son environnement. De mme, les problmes non linaires ne sont pas traits. Tout comme lapproche thorique, lapproche numrique demande de modliser le phnomne physique tudi. Contrairement la premire, elle permet de prendre en compte des quations bien plus complexes dont les non linaires (les quations de Navier-Stokes par exemple). De mme, une gomtrie plus complexe et lvolution en temps peut tre prise en compte. Lapproche thorique a cependant aussi des limites. Elle implique des erreurs lies la discrtisation (troncature et convergence) et la rsolution (arrondis). Elle pose aussi des problmes lis aux conditions limites. On peut signaler que bien des phnomnes ne sont pas encore modliss. Enn, il faut bien avoir en tte que les machines qui vont rsoudre le problme nont pas une mmoire et une cadence dhorloge innie. On doit donc tudier des domaines de taille et de nesse raisonnable.</p> <p>7</p> <p>Concentrons nous maintenant sur la mcanique des uides numrique. Les quations, typiquement des EDP sont un modle de la ralit. Les solutions exactes des modles de la mcanique des uides, typiquement des EDP, sont trs rares. Il est donc souvent ncessaire de discrtiser ces quations pour produire un rsultat approch sur ordinateur. Les uides sont dcrits par diffrentes quations suivant que lon se place dun point de vue Lagrangien ou Eulerien. Le premier consiste tudier le mouvement de chaque particule dun uide, alors que le second consiste dcrire le uide par ses caractristiques globales que sont la densit volumique, la vitesse et la pression. Nous nous focaliserons ici sur le point de vue Eulerien. Il est important dtre conscient que le traitement dun problme de grande complexit implique un grand nombre de points dans le maillage. Il est donc ncessaire de possder de bonnes capacits en terme de mmoire et de rapidit CPU. On peut constater quavec le temps, les cadences processeur et la taille de la RAM ne cessent daugmenter. A ceci sajoute lamlioration constante de lefcacit des algorithmes de rsolution dEDP. Il est donc possible de traiter des problmes de plus en plus nement.</p> <p>8</p> <p>Chapitre 2</p> <p>Rappels sur les quations aux Drives PartiellesLes lois de la nature sont souvent gouvernes par des EDP. Il est donc important de comprendre le comportement physique des modles ainsi que le caractre mathmatique des quations.</p> <p>2.1 Classication mathmatiqueOn distingue EDP linaire et EDP non linaire. Les EDP linaires ne contiennent aucun produit de variable avec elle mme ou une de ses drives alors que les EDP linaires peuvent en possder. Par exemple : Equation de propagation donde (linaire) : " G ! </p> <p>Equation de Burgers (non linaire) : C A 9 7 5 DB@! 86</p> <p>avec qui dpend de et de et une constante. Nous nous focalisons ici sur les EDP linaires. Les EDP non linaires seront lobjet dtude des derniers chapitres de ce cours. La classication des EDP linaires se fait sur la base dune quation dordre 2 standard :4 3 2 ) &amp; ( ( $ $ ' ( $ ' $ 0 1( $ 0 $ ' %# </p> <p>(1)</p> <p>sont fonctions de . Cest une quation linaire. Le type de lEDP o dpend de son discriminant, : alors, lEDP est hyperbolique. alors, lEDP est parabolique. alors, lEDP est elliptique.</p> <p>2.1.1 Transformations non singuliresC W U FB9 V7 C A 9 DB@! 7</p> <p>Supposons une transformation de le jacobien de la transformation :CDB@! 7 A 9 Y C W U DB9 V7 Y X X</p> <p>Calcul de lquation transforme : 9</p> <p> b Sc W ( P ( W a `` U U</p> <p>`</p> <p>`</p> <p>( W W</p> <p>I ) # P &amp; H C A 9 FBE! 7 ( U ` ` U ` `</p> <p>4 9 3 9 2 9 ) 9 &amp; 9 # </p> <p>T RG S G Q RG</p> <p>vers</p> <p>(variables indpendantes) non singulire.</p> <p>Le discriminant de (2) est :C ) # P H &amp; 7 H I X H C W ( P ( W V7 C ) # P H &amp; 7 U U I </p> <p>2.1.2 EDP hyperboliquesPrsentation Lexemple le plus simple dEDP hyperbolique est lquation de propagation dune onde (advection) : S H ! H Y Y H " H Y Y</p> <p>secondes :2 1.8</p> <p>secondes :1.4</p> <p>Q H</p> <p>or</p> <p>donc lquation transforme est du mme type que lquation initiale.</p> <p>) H ( W 0 ( W ( U ) ( W ) H ( U 0</p> <p>I P H</p> <p>&amp; ( W W ' U &amp; W ( U U &amp; </p> <p>H W # U # H U #</p> <p>avec : </p> <p>1.6</p> <p>1.4</p> <p>1.2</p> <p>1</p> <p>0.8</p> <p>0.6</p> <p>0.4</p> <p>0.2</p> <p>0 5</p> <p>4</p> <p>3</p> <p>2</p> <p>1</p> <p>0</p> <p>1</p> <p>2</p> <p>1.2</p> <p>1</p> <p>0.8</p> <p>0.6</p> <p>0.4</p> <p>0.2</p> <p>0 5</p> <p>4</p> <p>3</p> <p>2</p> <p>1</p> <p>0</p> <p>1</p> <p>2</p> <p>10</p> <p> W</p> <p>$</p> <p>C W U 5 FB9 V7 H 6</p> <p>U $ </p> <p> H W</p> <p> $ $ $ </p> <p> $</p> <p>( $ W U</p> <p> mmes calculs pour , , En remplaant dans (1), on trouve :</p> <p> $ </p> <p>( 1( $</p> <p>( $ H</p> <p>U $ </p> <p> W</p> <p> $</p> <p> C $ 7 $ U $ $ X</p> <p>(2)</p> <p>3</p> <p>4</p> <p>5</p> <p>3</p> <p>4</p> <p>5</p> <p>Une des caractristiques des fonctions rgies par une EDP hyperbolique linaire est que leur nergie ne sattnue pas au l du temps.</p> <p>Interprtation par caractristiques Une caractristique interprte la vitesse et direction laquelle est transporte linformation au cours du temps. Pour une quation :</p> <p>et</p> <p>prop.</p> <p>Par exemple :! 4 C B9 7 ! 9 H ) </p> <p>Cette quation rgit la propagation dune onde sonore vitesse en milieu uniforme dans le temps et lespace. Les courbes caractristiques de ce problme sont les courbes intgrales de :)</p> <p>11</p> <p>C A 9 DB@! 7 W</p> <p>A ! W C A 9 7 FBE! DU</p> <p>on cherche les coordonnes caractristiques et telles que le long de ces carctristiques. Pour (3), on aA U W U</p> <p>! H " )</p> <p>! 2 A 2</p> <p>C A 9 7 5 FBE! 86</p> <p>$ !#" !</p> <p>)</p> <p>C !7</p> <p>55 76 4 2 3 0 2 1 )</p> <p>) # I</p> <p>H ) I</p> <p># H &amp;</p> <p>( 1( $</p> <p> &amp;</p> <p> $ &amp; (</p> <p>" 2 ! 2</p> <p>%('&amp;</p> <p> H</p> <p> %# $</p> <p>I a</p> <p>H "</p> <p>secondes :1 0.9</p> <p>0.8</p> <p>0.7</p> <p>0.6</p> <p>0.5</p> <p>0.4</p> <p>0.3</p> <p>0.2</p> <p>0.1</p> <p>0 5</p> <p>4</p> <p>3</p> <p>2</p> <p>1</p> <p>0</p> <p>1</p> <p>2</p> <p>3</p> <p>4</p> <p>5</p> <p>(3) ,</p> <p>et avec :</p> <p> )</p> <p>On dit que linformation se propage le long des caractristiques. (ie : en prenant comme C.I. un Dirac en et ailleur, on va observer son dplacement le long des caractristiques) Domaine born Pour que le problme soit bien pos, il faut xer les valeurs de la fonction l o les caractristiques sont entrantes.</p> <p>Intuitivement, on voit bien que si lon impose une Condition au Bord l o la caractristique est sortante, linformation ne rentre pas dans le domaine tudi. Cette condition est donc inutile. Paralllement, l o les caractristiques sont entrantes (C.I. incluses), linformation au bord pntre dans le domaine. 12</p> <p> !</p> <p>2.1.3 EDP paraboliquePrsentation Une EDP parabolique modlise des problmes de propagation dissipative. Un schma classique est celui de la diffusion (conduction de la chaleur) : H C " BB9 7 Y Y " Y Y</p> <p>remarque : Beaucoup de formes rduites de Navier-Stokes sont gouvernes par des EDP paraboliques. Interprtation par caractristiques Ici, les caractristiques ( ) sont nulles. Elles ne jouent donc pas le mme rle que pour les quations hyperboliques et navancent en rien pour lexp...</p>