Département de Physique Cours · 2020. 2. 24. · Les pionniers de la nouvelle physique (Planck, De Broglie, Einstein, Bohr, Schrödinger, Heisenberg, Dirac, Pauli,:::) se trouvaient

Université de GabèsFaculté des Sciences de GabèsDépartement de Physique

CoursTroisième année LFPh

Mécanique Quantique IPartie 1

Kamel KhirouniNoureddine Bouguila

Année universitaire 2015-2016

2

Table des matières

1 Formalisme de la mécanique quantique 51.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Particules quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2 Particule classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.3 Particule quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Description quantique d’une particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1 Dualité onde-corpuscule : principe de complémentarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.2 Paquet d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.3 Principe 1 : Aspect probabiliste de la fonction d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.4 Principe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.5 Principe 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Description quantique d’une particule libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.1 Nécessité d’un paquet d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.2 Exemple de paquet d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.3 Relation d’incertitude de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Particule dans un potentiel scalaire indépendant du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Outils mathématiques de la mécanique quantique 172.1 Espace des fonctions de carré sommable E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Base orthonormée complète de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1 Base discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2 Base continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.3 Exemples de bases continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.4 Ondes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.5 Deuxième exemple de base continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Espaces des états et notations de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.2 Notation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.3 Opérateurs linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.4 Propriétés des opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.5 Elément de matrice d’un opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3

4 TABLE DES MATIÈRES

2.3.6 Opérateur particulier : projecteur sur un état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3.7 Relations caractéristiques d’une base orthonormée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3.8 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.9 Opérateur adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.10 Opérateur hermétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.11 Représentation matricielle de l’adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4 Equations aux valeurs propres et observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4.1 Valeurs propres et vecteurs propres d’un opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4.2 Recherche des valeurs propres et des kets propres d’un opérateur . . . . . . . . . . . . . . 312.4.3 Opérateur observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5 Ensemble d’observables qui commutent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5.1 Théorème fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5.2 Deuxième théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.5.3 Troisième théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.5.4 Ensemble d’observables qui commutent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.6 Opérateurs unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.6.2 Opérateur unitaire et changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.6.3 Matrice unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.6.4 Valeurs propres et vecteurs propres d’un opérateur unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.6.5 Transformation unitaire sur les opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.6.6 Transformation unitaire infinitésimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Les postulats de la mécanique quantique 413.1 Postulats de la mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1.1 P1 : Vecteur d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.1.2 P2 : Opérateur représentant une grandeur physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.1.3 P3 : Mesure d’une grandeur physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.1.4 Etat après la mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.1.5 P6- Evolution des systèmes dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.1.6 Principe de correspondance et justification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2 Conséquence physique des postulats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2.1 Quantification de certaines grandeurs physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2.2 Valeur moyenne d’une grandeur physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2.3 Compatibilité des grandeurs physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3 Evolution dans le temps de l’état d’un système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4 Cas des systèmes conservatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.4.2 Résolution de l’équation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.4.3 Etats stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.4.4 Constante du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Chapitre 1

Formalisme de la mécanique quantique

1.1 Introduction

La physique élaborée jusqu’au dix-neuvième siècle est nommée physique classique. Elle se basait sur deux disci-plines fondamentales :– la mécanique newtonienne débutée par Galilée et mise au point par Newton.– la théorie électromagnétique mise au point par Maxwell.La mécanique newtonienne élargie par la mécanique statistique et la thermodynamique (mise au point par Boltz-mann) permet avec la théorie de Maxwell de résoudre les phénomènes mécaniques, électriques, de rayonnement,d’optique, ...A la fin du dix-neuvième siècle certains scientifiques avaient l’impression que la physique constituait un édificeachevée et inébranlable. On savait aussi qu’il reste quelques points obscurs qu’on espérait résoudre rapidement.Parmi ces problèmes, on note l’émission du corps noir, l’instabilité de l’atome, l’émission atomique, ...En effet, ces problèmes n’ont pas tardé à trouver leurs solutions mais les événements ne sont pas déroulés commeon l’espérait. Il a fallu mettre en cause certaines théories pour résoudre certains problèmes. Autrement dit , unmonde s’écroulait et un autre allait naître.Les pionniers de la nouvelle physique (Planck, De Broglie, Einstein, Bohr, Schrödinger, Heisenberg, Dirac, Pauli,. . .) se trouvaient manier des concepts et des raisonnements différents de ceux de la physique classique. Ils étaientdevant des phénomènes microscopiques où l’expérience est devancée par la théorie. On manipule des entités quise comportent comme une onde le matin et comme une particule le soir.

1.2 Particules quantiques

1.2.1 Introduction

Les interprétations des phénomènes de la physique classique reposent sur un postulat fondamental indiquant quetoutes les grandeurs physiques qui caractérisent l’état d’un système sont mesurables, en principe avec uneprécision aussi grande que l’on veut et que l’évolution du système obéît à un déterminisme rigoureux.Ce postulat est bouleversé si on a affaire à un système microscopique. On ne peut plus négliger la perturbationintroduite par l’instrument de mesure sur le système. Les incertitudes de mesure sont parfois supérieures auxvaleurs des mesures. On ne peut plus alors décrire l’état dynamique de tel système par la position et la vitesse et lanotion de trajectoire perdra ainsi sa signification fondamentale.

5

6 CHAPITRE 1. FORMALISME DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE

Une autre manière de décrire l’état dynamique consiste à étudier le comportement d’un grand nombre de particulesidentiques et de faire une étude statistique. L’évolution du système sera gouvernée par des lois de probabilité. Il nes’agit plus d’une étude déterministe.Le formalisme de la mécanique quantique établit une description mathématique des états et des varibales dyna-miques. On s’attend de ce formalisme des probabilités d’obtention de telles valeurs et non pas une prédictionprécise. On va décrire la particule par une fonction d’onde (qui permet de définir une probabilité de présence). Elleremplace les notions de position et de vitesse.

1.2.2 Particule classique

En physique classique, on manipule deux types d’entités, la corpuscule et l’onde. Nous allons décrire le compor-tement de ces entités dans l’expérience de Young.Considérons le dispositif de trous de Young de la figure 1.2.

FIGURE 1.1 – Dispositif des trous de Young avec une source de particules classiques.

Dans le cas où la source S émet des particules classiques (des billes) , la répartition sur l’écran est formée par deuxtâches I1 et I2 autour de x1 et x2. Si on ferme l’une des trous la tâche correspondante disparaît. Si I1 et I2 sont lesfonctions de répartition des billes si T1 et T2 est seul ouvert respectivement, la fonction de répartition lorsque lesdeux trous sont ouverts est I = I1 + I2.

FIGURE 1.2 – Dispositif des trous de Young avec une source lumineuse.

1.3. DESCRIPTION QUANTIQUE D’UNE PARTICULE 7

Si la source émet maintenant des ondes électromagnétiques, on sait que lorsque seul T1 est ouvert, on obtientl’intensité I1, lorsque T2 est ouvert on obtient I2. Par contre, lorsque T1 et T2 sont ouverts, on obtient I 6= I1 + I2 eton dit qu’il y a un phénomène d’interférences.

1.2.3 Particule quantique

Si la source émet des particules quantiques (des électrons), on constate que la répartition sur l’écran est analogueà celle obtenue avec des ondes même si on réduit l’intensité d’émission de la source de telle façon qu’elle émetteparticule par particule.Avec cette expérience et d’autres (effet photoélectrique, . . . ) on conclut que les particules quantiques possèdentà la fois un caractère ondulatoire et un caractère corpusculaire. La mécanique quantique unifie les notions d’ondeet de corpuscule et établit un lien entre l’energie E et l’impulsion

−→P d’une part et la fréquennce ν et le vecteur

d’onde−→k d’autre part :

E = hν

−→P = ~

−→k

1.3 Description quantique d’une particule

1.3.1 Dualité onde-corpuscule : principe de complémentarité

De ce qui précède, on conclut que les particules quantiques (notamment la lumière), possède à la fois un caractèreondulatoire et un caractère corpusculaire. Cette dualité onde-corpuscule est appelée principe de complémentaritéde Bohr.

1.3.2 Paquet d’ondes

La description de la particule par une onde plane laisse penser que celle-ci est étendue sur tout l’espace. Or enréalité, comme il apparaît dans l’expérience d’effet photoélectrique, elle est localisée dans une région de l’espace.Par ailleurs, on sait que si on superpose deux ondes possédant de fréquences et de vecteurs d’onde légèrementdifférents, on obtient une localisation. En effet

ψ1(x, t) = Acos(kx−ωt)

ψ2(x, t) = Acos((k+dk)x− (ω+dω)t)

On obtient

ψ = ψ1 +ψ2

= 2Acos(dk2

x− dω

2t)cos((k+

dk2)x− (ω+

dω

2)t)

Comme k+dk2' k et ω+

dω

2' ω, le facteur cos((k+

dk2)x− (ω+

dω

2)t) est une onde plane du type ψ1 dont la

vitesse de phase est vp qui se déduit de la relation

kx−ωt = cte =⇒ kdx−ωdt = 0 =⇒ vp =∂x∂t

=ω

k


FIGURE 1.3 – Superposition de deux ondes faisant apparaître un phénomène de battement

Par contre le facteur cos(dk2

x− dω

2t) a pour effet de moduler l’amplitude de l’onde ψ1. L’enveloppe de modulation

se déplace à la vitesse de groupe donnée par

dk2

x− dω

2t = cte

dk2

dx− dω

2dt = 0

vg =∂x∂t

=∂ω

∂k

Lorsqu’on superpose des ondes de plusieurs fréquences, l’enveloppe de modulation n’est non nulle que dans unerégion de l’espace comme le montre la figure 1.4.Une particule quantique peut être donc décrite par une superposition d’ondes appelée paquet d’ondes qui met enévidence à la fois le caractère ondulatoire et le caractère corpusculaire. Cependant, comme le paquet d’onde estune superposition d’ondes planes, l’élément de base de la description de la particule est l’onde plane appelée enmécanique quantique fonction d’onde. Elle est de type

ψ(−→r , t) = A0 exp j(−→k 0 ·−→r −ωt)

Cette fonction satisfait aux principes suivants :

1.3.3 Principe 1 : Aspect probabiliste de la fonction d’onde

Une particule est décrite par une fonction d’onde ψ(−→r , t) qui a un aspect probabiliste tel que |ψ(−→r , t)|2d3−→rreprésente la probabilité de présence de la particule à l’instant t dans le volume d3−→r entourant le point M devecteur position −→r .

dP (−→r , t) = |ψ(−→r , t)|2d3−→r (1.1)

1.4. DESCRIPTION QUANTIQUE D’UNE PARTICULE LIBRE 9

FIGURE 1.4 – Superposition de plusieurs ondes faisant apparaître un paquet d’ondes

|ψ(−→r , t)|2 est la densité de probabilité de présence.Comme la particule existe quelque part dans l’espace à un instant donné, la somme de toutes les probabilités doitêtre égale à l’unité. ∫∫∫

espaced√(−→r , t) =

∫∫∫espace

|ψ(−→r , t)|2d3−→r (1.2)

= 1

La relation (1.2) est appelée condition de normalisation.

1.3.4 Principe 2

Toute superposition de fonctions d’onde est une fonction d’onde.

1.3.5 Principe 3

Pour des particules soumises à un champ de forces dérivant d’une énergie potentielle V , la fonction d’onde obéit àl’équation de Schrödinger

j~∂ψ

∂t= (− ~2

2m∆+V )ψ (1.3)

La quantité − ~2

2m∆+V est appelée hamiltonien noté H.

1.4 Description quantique d’une particule libre

1.4.1 Nécessité d’un paquet d’onde


Si le potentiel V est nul la fonction d’onde satisfait j~∂ψ

∂t=− ~2

2m∆ψ et on peut chercher une solution de la forme

ψ(−→r , t) = A exp j(−→k ·−→r −ωt)

Une telle solution n’est acceptable que si

ω =~k2

2mE = ~ω

=~2k2

2m

=p2

2m

Ainsi on retrouve que l’énergie cinétique d’une particule libre est égale à l’énergie totale.La densité de probabilité est |ψ(−→r , t)|2 = A2. On conclut qu’on a une répartition uniforme de la probabilité. Ceciest contradictoire au principe de localisation. Nous avons vu qu’on peut soulever cette contradiction en utilisantla notion de paquet d’ondes. Considérons alors que A est une fonction g(k) et que la fonction d’onde est unecombinaison linéaire d’ondes planes.

ψ(−→r , t) =∫∫

espace des kg(k)exp j(kx−ω(k)t)d3−→k

La fonction g(k) caractérise la largeur spectrale, c’est-à-dire la variation du vecteur d’onde autour de k0. Elledésigne le poids attaché à l’onde plane de pulsation ω. On peut l’écrire sous la forme

g(k) = |g(k)|exp(− jϕk)

Ainsiψ(−→r , t) =

∫∫∫espace des k

|g(−→k )|exp j(

−→k ·−→r −ω(k)t−ϕk)d3−→k

La quantité φ = (−→k · −→r −ω(k)t − φk) est la phase stationnaire. Une phase rapidement variable devant |g(

−→k )|

entraîne une fonction d’onde nulle. Pour qu’il ne soit pas ainsi il faut que φ varie lentement devant |g(−→k )|. En

d’autres termes, il faut que∂φ

∂k

)(k=k0)

= 0

Or∂φ

∂k= r− ∂ω

∂kt− ∂ϕk

∂k= 0

D’où

r =∂ω

∂kt− ∂ϕk

∂kLa vitesse de groupe est

vg =∂r∂t

=∂ω

∂k(k = k0)

La vitesse de groupe est la vitesse de déplacement du sommet du paquet d’onde, elle correspond à la vitesse dedéplacement de la particule.


FIGURE 1.5 – Illustration de la vitesse de groupe.

1.4.2 Exemple de paquet d’ondes

Considérons un système à une dimension décrit par la fonction d’onde

ψ(x, t) =∫ +∞

−∞

g(k)exp j(kx−ωt)dk

avec

g(k) =

{A si k ∈ [k0− ∆k

2 ,k0 +∆k2 ]

0 ailleurs

Il en résulte que

ψ(x, t) =1√2π

∫ k0+∆k2

k0− ∆k2

g(k)exp j(kx−ω(k)t)dk

or

ω(k) = ω(k0)︸︷︷︸ω0

+∂ω

∂k

)k0

(k− k0)

ωt− kx = ω0t + vgt(k− k0)− kx

= (ω0t− k0x)+(vgt− x)(k− k0)

et par suite

ψ(x, t) =A√2π

exp j(k0x−ω0t)∫ k0+

∆k2

k0− ∆k2

exp− j(x− vgt)(k− k0)dk

=A√2π

∆k exp j(k0x−ω0t)sin((vgt− x)∆k

2

)(vgt− x)∆k

2

où exp j(k0x−ω0t) est le terme de propagation.

etsin(vgt− x)∆k

2

(vgt− x)∆k2

est le terme d’amplitude.

A l’instant t = 0,

ψ(x,0) =A√2π

∆ksin( x∆k

2

)x∆k

2

exp( jk0x)

La densité de probabilité de trouver la particule au point x à t = 0 est


FIGURE 1.6 – Paquet rectangulaire et fonction d’onde correspondante coincidant avec la fonction sinus cardinal.

P(x,0) = |ψ(x,0)|2

=A2

2π(∆k)2

(sin[ x∆k

2

]x∆k

2

)2

FIGURE 1.7 – Carré de la fonction sinus cardinal et approximation pour calculer son intégrale.

En s’appuyant sur la représentation graphique de la figure 1.7, on peut estimer la valeur de l’intégrale de normali-sation :

∫ +∞

−∞

|ψ(x,0)|2dx =A2

2π(∆k)2

∫ +∞

−∞

(sin x∆k

2x∆k

2

)2

dx

' A2

2π(∆k)2

2π

∆k︷︸︸︷∫ + 2π

∆k

− 2π

∆k

(sin x∆k

2x∆k

2

)2

dx

' A2∆k

= 1


D’où

A =1√∆k

Remarque : Pour calculer l’intégrale de normalisation, nous avons d’abord limité l’intégration à la tâche centrale.

Puis, nous avons assimiler la tâche centrale à un triangle de hauteur 1 et de largeur de base4π

∆k(voir figure 1.7).

1.4.3 Relation d’incertitude de Heisenberg

On a

∆x =2π

∆k∆x∆k = 2π > 1

∆x∆px

~> 1

∆x∆px ' ~

Plus la précision est grande sur la détermination de x moins elle l’est sur px et inversement.En d’autres termes, plus le paquet d’onde est étalé dans l’espace des k (impulsions), plus la fonction d’onde estlocalisée dans l’espace des positions et inversement (voir figure 1.8).

FIGURE 1.8 – Etalement de la fonction d’onde en fonction de la largeur du paquet d’onde.


Par ailleurs

g(k) = g(p~)

= ϕ(p)

ψ(x,0) =1√2π~

∫ +∞

−∞

ϕ(p)ejxp~ d p

La TDF de ψ(x,0) fournit la fonction de distribution ϕ(p).

ϕ(p,0) =1√2π~

∫ +∞

−∞

ψ(x,0)e− jxp~ dx

ψ(x,0) est la fonction d’onde dans la représentation de la coordonnée x.ϕ(k,0) est la fonction d’onde dans la représentation de la quantité de mouvement p = ~k.Comme l’étendue du paquet d’ondes est limitée, il n’a qu’une durée de vie ∆t pour un observateur fixe : pour lui,il ne regarde passer le paquet d’ondes que pendant l’intervalle.

∆t =∆xvg

=1vg

2π

∆k

Comme vg '∆ω

∆k, il vient que

∆t∆ω = 2π

≥ 1

et on a

∆E∆t ≥ ~

1.5 Particule dans un potentiel scalaire indépendant du temps

La fonction d’onde vérifie l’équation de Schrödinger

j~∂ψ

∂t=− ~2

2m∆ψ+V ψ

dont on cherche une solution de la forme ψ = χ(t)ϕ(−→r ). On a

j~ϕ(r)∂χ

∂t=− ~2

2mχ∆ϕ+χV φ

j~.χ

χ=− ~2

2m∆ϕ

ϕ+V ϕ

1.5. PARTICULE DANS UN POTENTIEL SCALAIRE INDÉPENDANT DU TEMPS 15

Cette équation est vraie quelque soit t et r. Elle n’est possible que si chaque membre est constant. On pose

j~dχ

dt1χ= E

j~dχ

χ= Edt =⇒ χ(t) = e− j Et

~

− ~2

2m∆ϕ+V ϕ = Eϕ

Selon l’expression de V on obtient une solution ϕ(−→r ) appelée solution stationnaire de l’équation de Schrödonger.La fonction d’onde globale est

ψ(−→r , t) = ϕ(−→r )e− j Et~

La densité de probabilité est|ψ(−→r , t)|2 = |ϕ(−→r )|2 ∀t

Donc le système ne varie pas au cours du temps ; c’est un état stationnaire.


Chapitre 2

Outils mathématiques de la mécaniquequantique

Entre 1923 et 1927 deux formalismes équivalents de la mécanique quantique ont été élaborés simultanément :♠ Formulation ondulatoire conduite par Schrödinger et basée sur les travaux de Louis de Broglie.♠ Formulation matricielle due à Heisenberg, Born et Jordan.Vers 1927 Dirac montre que ces deux formalismes sont des représentations particulières de l’algèbre des opérateurslinéaires dans un espace vectoriel abstrait celui des vecteurs d’état. Les fondements mathématiques de cette théorieont été élaborés par Hilbert et Neuman.La formulation générale des vecteurs d’état de l’espace de Hilbert permet d’étudier de façon élégante et avec desnotations simples et comporte n’importe quel système quantique.

2.1 Espace des fonctions de carré sommable E

La fonction d’onde solution de l’équation de Schrödinger est tel que∫

espace‖ψ(−→r )‖2d3−→r converge. On dit qu’elle

doit être de carré sommable.Soit E l’espace des fonctions de carré sommable. On se place dans le cas ou l’espace est à une dimension. On a lespropriétés suivantes :♠ Si ψ(x) ∈ E alors λψ(x) ∈ E

♠ Si ψ1(x) ∈ E et ψ2(x) ∈ E alors ψ1(x)+ψ2(x) ∈ E

Démonstration :

∫ +∞

−∞

‖ψ1(x)+ψ2(x)‖2dx =∫ +∞

−∞

‖ψ1(x)‖2dx+∫ +∞

−∞

‖ψ2(x)‖2dx

+∫ +∞

−∞

ψ?1(x)ψ2(x)dx+

∫ +∞

−∞

ψ1(x)ψ?2(x)dx

Comme d’après l’inégalité de Schwartz,∣∣∣∣∫ +∞

−∞

ψ1(x)ψ2(x)dx∣∣∣∣< (∫ +∞

−∞

|ψ21(x)|dx

) 12×(∫ +∞

−∞

|ψ22(x)|dx

) 12

On a ψ1(x)+ψ2(x) de carré sommable, donc appartient à E.On conclut que E est un espace vectoriel.

17

18 CHAPITRE 2. OUTILS MATHÉMATIQUES DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE

On peut définir un produit scalaire sur E par

(φ,ψ) = 〈φ|ψ〉

=∫ +∞

−∞

φ?(x)ψ(x)dx

Tel qu’il est défini, ce produit scalaire vérifie :♣ 〈φ|ψ〉= 〈ψ|φ〉?

♣ 〈λ1φ1 +λ2φ2|ψ〉= λ?1〈φ1|ψ〉+λ?

2〈φ2|ψ〉♣ 〈φ|λ1ψ1 +λ2ψ2〉= λ1〈φ|ψ1〉+λ2〈φ|ψ2〉♣ Si 〈φ|ψ〉= 0 , φ et ψ sont deux fonctions orthogonales.L’espace des fonctions de carré sommable muni du produit scalaire est un espace de Hilbert complet L2.

2.2 Base orthonormée complète de E

2.2.1 Base discrète

Soit ui(i = 1, . . .n) une base orthonormée de E : (〈ui|u j〉= δi j).Le système des ui(x) est complet si et seulement si toute fonction ψ ∈ L2 se décompose d’une manière unique surcette base.

ψ(x) = ∑i

ciui(x)

Il vient que :

〈u j|ψ〉= 〈u j|∑i

ciui〉

= ∑i

ci〈u j|ui〉

= ∑i

ciδi j

= c j

Doncc j = 〈u j|ψ〉

On peut alors écrire :

ψ(x) = ∑i〈ui|ψ〉ui(x)

= ∑i

(∫ +∞

−∞

u?i (y)ψ(y)dy)

ui(x)

=∫ +∞

−∞∑

iu?i (y)ui(x)ψ(y)dy

∑i

u?i (y)ui(x) est une fonction f (x,y) de x et y tel que pour toute fonction ψ(x) on ait

ψ(x) =∫ +∞

−∞

f (x,y)ψ(y)dy

On pose

∑i

u?i (y)ui(x) = δ(x− y) (2.1)

2.2. BASE ORTHONORMÉE COMPLÈTE DE E 19

Et on a

ψ(x) =∫ +∞

−∞

δ(x− y)ψ(y)dy

L’équation 2.1 est appelée relation de fermeture qui traduit que la décomposition de ψ(x) sur les ui(x) est unique.Soient deux fonctions de E

ψ(x) = ∑i

ciui(x)

φ(x) = ∑j

b ju j(x)

On a

〈φ|ψ〉=∫ +∞

−∞

φ?(x)ψ(x)dx

=∫ +∞

−∞∑

jb?ju

?j(x)∑

iciui(x)dx

=∫ +∞

−∞∑

j∑

ib?jciu?j(x)ui(x)dx

= ∑j∑

ib?jci

∫ +∞

−∞

u?j(x)ui(x)dx

= ∑j∑

ib?jciδi j

= ∑j

b?jc j

Donc〈φ|ψ〉= ∑

jb?jc j

En particulier

〈ψ|ψ〉= ∑j|c j|2

2.2.2 Base continue

Soit un ensemble de fonctions gα(x) où α varie d’une manière continue. Cet ensemble peut constituer une base.Les fonctions gα(x) vérifient :

♠ la relation d’orthonormalisation :∫ +∞

−∞

g?α(x)gβ(x)dx = δ(α−β)

♠ la relation de fermeture :∫

espace des α

g?α(x)gα(y)dα = δ(x− y)

δ(α−β) est la fonction de Dirac vérifiant :

•∫ +∞

−∞

δ(x)dx = 1

•∫ +∞

−∞

δ(x−a) f (x)dx = f (a)

Remarque D’après ces définitions, on constate que si α = β, la norme des fonctions gα(x) peut tendre vers l’infinisi l’espace s’étend de −∞ à +∞. Dans ce cas gα(x) n’appartient pas à l’ensemble des fonctions de carré sommablemais on peut montrer qu’elles forment une base. Le plus souvent l’espace physique ne s’étend pas de −∞ à +∞.


Soit ψ(x) =∫

espace des α

cαgα(x)dα

〈gβ|ψ〉=∫ +∞

−∞

g?β(x)ψ(x)dx

=∫ +∞

−∞

∫espace des α

cαgα(x)g?β(x)dαdx

=∫

espace des α

cα

(∫ +∞

−∞

gα(x)g?β(x)dx)

dα

=∫

espace des α

cαδ(α−β)dα

= cβ

De même, si φ(x) =∫

espace des β

bβgβ(x)dβ

〈φ|ψ〉=∫ +∞

−∞

φ?(x)ψ(x)dx

=∫ +∞

−∞

∫espace des β

∫espace des α

b?βg?

β(x)cαgα(x)dxdβdα

=∫

espace des α

cα

(∫espace des β

b?β

[∫ +∞

−∞

g?β(x)gα(x)dx

]dβ

)dα

=∫

espace des α

cα

(∫espace des β

b?β[δ(α−β)]dβ

)dα

=∫

espace des α

cα (b?α)dα

D’où

〈φ|ψ〉=∫

espace des α

cαb?αdα

En particulier si φ(x) = ψ(x)

〈ψ|ψ〉= |ψ(x)|2

=∫

espace des α

cαc?αdα

=∫

espace des α

|cα|2dα

2.2.B

ASE

OR

TH

ON

OR

MÉ

EC

OM

PLÈ

TE

DE

E21

Récapitulation

Base Base discrète ui(x) Base continue gα(x)Relation d’orthonormalisation 〈ui|u j〉= δi j 〈gα|gβ〉= δ(α−β)

Relation de fermeture ∑i

ui(x)u?i (y) = δ(x− y)∫

espace des α

gα(x)g?α(y)dα = δ(x− y)

Développement d’une fonction d’onde ψ(x) ψ(x) = ∑i

ciui(x) ψ(x) =∫

espace des α

gα(x)cαgα(x)dα

Expression des composantes de ψ(x) ci = 〈ui|ψ〉=∫ +∞

−∞

u?i (x)ψ(x)dx ci = 〈gα|ψ〉=∫ +∞

−∞

g?α(x)ψ(x)dx

Produit scalaire 〈ψ|φ〉= ∑i

b?i ci 〈ψ|φ〉=∫

espace des α

b?αcαdα

Carré de la norme 〈ψ|ψ〉= ∑i|ci|2 〈ψ|ψ〉=

∫espace des α

|cα|2dα


2.2.3 Exemples de bases continues

2.2.4 Ondes planes

On considèregp =

1√2π~

ejxp~

avec p varie de −∞ à +∞.On obtient :

〈gp|gp′〉=∫

espaceg?p(x)gp′(x)dx

=1

2π~

∫ +∞

−∞

ej(p′−p)x

~ dx

= δ(p− p′)

De même ∫espace

g?p(x)gp(y)d p =1

2π~

∫ +∞

−∞

ejp(y−x)

~ d p

= δ(y− x))

Par conséquent, l’onde plane vérifie la relation de fermeture et la relation d’orthonormalisation. Il en résulte quetoute fonction ψ(x) de L2 peut se décomposer de façon unique sur la base des ondes planes

ψ(x) =∫ +∞

−∞

ϕ(p)gp(x)d p

=1√2π~

∫ +∞

−∞

ϕ(p)ejxp~ d p

Avec ϕ(p) est la composante de ψ(x) suivant gp(x). Elle est donnée par :

ϕ(p) = 〈gp|ψ(x)〉

=1√2π~

∫ +∞

−∞

e− jpx~ ψ(x)dx

ϕ(p) est donc la transformée de Fourier de ψ(x).

2.2.5 Deuxième exemple de base continue

On considère la fonction

gp(x) = δ(x− x0)

= δx0(x)

x0 joue le rôle de α.Sachant que : ∫

espacef (x)δ(x− x0)dx = f (x0)

il vient que :♠ la relation d’orthonormalisation

2.3. ESPACES DES ÉTATS ET NOTATIONS DE DIRAC 23

∫espace

δ(x− x0)

g(x)︷︸︸︷δ(x− x′0)dx = g(x0)

= δ(x0− x′0)

♠ la relation de fermeture ∫espace

δ(x− x0)δ(x′− x0)dx = δ(x− x′)

Les fonctions δ(x−x0) constituent une base complète et on peut décomposer n’importe quelle fonction d’onde surcette base.

ψ(x) =∫

espacecx0δx0dx0

avec

Cx0 = 〈δx0 |ψ(x)〉

=∫

espaceδ(x− x′0)ψ(x)dx

= ψ(x0)

d’oùψ(x) =

∫espace

ψ(x0)δ(x− x0)dx0

On note plus souvent pour simplifier :ψ(x0) = 〈x0|ψ〉

2.3 Espaces des états et notations de Dirac

2.3.1 Définition

Les fonctions d’onde ψ(x) et ϕ(p) jouent des rôles symétriques dans l’espace des positions et dans l’espace desimpulsions. Les états dynamiques d’un système sont associés à des vecteurs d’état appartenant à un espace vectorielpour lequel on doit choisir une représentation, c’est-à-dire une base complète. Par exemple :• pour la base ui(x), les composantes de ψ(x) sont les ci avec i ∈ I.• pour la base gα(x), les composantes de ψ(x) sont les cα,• pour la base δx0 , les composantes de ψ(x) sont les ψ(x0),• pour la base gp, les composantes de ψ(x) sont les cp.Inversement si on spécifie la base utilisée, la donnée des composantes ci, cα, ψ(x0) ou cp suffit pour caractériserl’état dynamique du système quantique.Définition :

Une représentation est équivalente à choisir une base orthonormée complète sur laquelle se décompose tout élémentψ(x) de L2.

2.3.2 Notation de Dirac

Les vecteurs d’états de E sont appelés " kets " et sont notés |ψ〉, |ϕn〉, · · · |n〉.


En algèbre, à chaque espace vectoriel est associé un espace vectoriel dual grâce à la notion de la fonctionnellelinéaire. Ainsi, E? est l’espace dual de E. Ses éléments sont appelés " bra " et sont notés 〈ψ|,〈ϕn|, · · · 〈n|.Les coordonnées du " ket " sont représentées par une matrice colonne :

|ψ〉 −→

c1c2...

cn

Si |n〉 sont les vecteurs de la base, on a 〈n|ψ〉= cn. Il en résulte que :

〈ψ|n〉= 〈n|ψ〉?

= c?i

Donc c?n est la composante du bra 〈ψ| suivant |n〉.On représente le bra par une matrice ligne :

〈ψ| −→ (c?1,c?2, . . . ,c

?n)

Il existe une correspondance biunivoque entre ket et bra et cette correspondance est antilinéaire.

λ|n〉 −→ 〈n|λ?

〈n|m〉 −→ 〈m|n〉= 〈n|m〉?

Les bras et les kets sont dits conjugués l’un de l’autre.

2.3.3 Opérateurs linéaires

Un opérateur linéaire A agissant sur E est une loi qui associe à tout ket de E un autre ket de E de manière linéaire.A vérifie :

A(λ|ψ〉+µ|φ〉) = λA|ψ〉+µA|φ〉

En plus, on a les propriétés suivantes. Si A et B sont deux opérateurs linéaires :♣ (AB)|n〉= A(B|n〉).♣ AB− BA = [A, B] appelé commutateur de A et B.♣ L’élément de matrice de A entre deux kets quelconques s’écrit :

〈n|A|m〉= 〈n|(A|m〉)

= (〈n|A)|m〉

Exemples

• X =×x

• Px =~j

∂

∂x•


X Px(ψ(x)) = X [~j

∂ψ

∂x]

=~jx

∂ψ

∂x

PxX(ψ(x)) = Pxxψ(x))

=~j(ψ(x)+ x

∂ψ(x)∂x

)

(X P− PX)ψ(x) =−~jψ(x)

[X , P] = j~

D’une manière générale, on a :

[X , Px] = j~

[X , Py] = 0

2.3.4 Propriétés des opérateurs

• [A, B] =−[B, A]• [A, BC] = B[A,C]+ [A, B]C

2.3.5 Elément de matrice d’un opérateur

Soit un opérateur A et une base {(ui)i∈I} de E. L’élément de matrice de A entre deux kets |ui〉 et |u j〉 est

Ai j = 〈ui|A|u j〉

La matrice de cet opérateur est :

(Ai j) =

A11 A12 . . . A1n...

......

...An1 An2 . . . Ann

=

〈u1|A|u1〉〈u1|A|u2〉 . . . 〈u1|A|un〉...

......

...〈un|A|u1〉〈un|A|u2〉 . . . 〈un|A|un〉

Composantes de A|ψ〉

Soit |ψ(x)〉= ∑i

ci|ui〉 un état de E. Calculons les composantes de |ψ′〉= A|ψ〉.


|ψ′〉= A|ψ〉= ∑

jc′j|u j〉

c′j = 〈u j|ψ′〉

= 〈u j|A|ψ〉

= 〈u j|A∑i

ci|ui〉

= ∑i

ci〈u j|A|ui〉

= ∑i

A jici

Remarque : Dans la suite et lorsqu’il n’y a pas de confusion, pour simplifier les notations, on notera A = A .

2.3.6 Opérateur particulier : projecteur sur un état

Si on écrit 〈ϕ|ψ〉, ceci implique le produit scalaire de 〈ϕ| par |ψ〉. Mais si on l’écrit dans l’ordre inverse on obtientun opérateur.En effet, |ψ〉〈ϕ| appliqué à un ket |χ〉 donne |ψ〉〈ϕ|χ〉 où 〈ϕ|χ〉 est un nombre complexe.Soit |ψ〉= ∑

ici|ui〉 et 〈ψ|ψ〉= 1.

Soit l’opérateur Pψ = |ψ〉〈ψ|.Appliquons Pψ à |ϕ〉

Pψ|ϕ〉= |ψ〉〈ψ|ϕ〉Pψ|ϕ〉 est un ket proportionnel à |ψ〉. De plus,

P2ψ|ϕ〉= |ψ〉

=1︷︸︸︷〈ψ|ψ〉〈ψ|ϕ〉

= Pψ|ψ〉

Pψ vérifie les propriétés d’un projecteur, on l’appelle projecteur sur le ket |ψ〉.

2.3.7 Relations caractéristiques d’une base orthonormée

Si l’on a une base orthonormée discrète ou continue on a alors les relations suivantes :

〈ui|u j〉= δi j

〈gα|g′α〉= δ(α−α′)

Si |ψ(x)〉 ∈ E, on a :

|ψ〉= ∑i

ci|ui〉

= ∑i|ui〉〈ui|ψ〉

=

(∑

i|ui〉〈ui|

)|ψ〉


On déduit que :

(∑

i|ui〉〈ui|

)= I= Opérateur Identité

De même, si la base est continue

|ψ〉=∫

α

cα|gα〉dα

=∫

α

|gα〉〈gα|ψ〉dα

=

(∫α

|gα〉〈gα|dα

)|ψ〉

(∫α

|gα〉〈gα|dα

)= I

Ces formules expriment les relations de fermeture dans la notation de Dirac.Applications

•

|ψ〉= I|ψ〉= ∑

i|ui〉〈ui||ψ〉

= ∑i

ci|ui〉

• Si |ψ′〉= A|ψ〉= ∑i

c′i|ψ〉, il vient

c′i = 〈ui|ψ′〉= 〈ui|Aψ〉= 〈ui|AIψ〉= 〈ui|A∑

j|u j〉〈u j|ψ〉

= ∑j〈ui|A|u j〉〈u j|ψ〉

= ∑j

Ai jc j

• Soient |ψ〉= ∑i

ci|ui〉 et |φ〉= ∑j

b j|u j〉


〈φ|A|ψ〉= 〈φ|IAI|ψ〉= 〈φ|∑

k|uk〉〈uk|A∑

`

|u`〉〈u`||ψ〉

= ∑k

∑`

〈φ|uk〉〈uk|A|u`〉〈u`|ψ〉

= ∑k

∑`

b?kAk`c`

2.3.8 Changement de base

Soient deux bases orthonormées de E : {|ui〉} et {|v j〉} avec

〈ui|u j〉= δi j et 〈vi|v j〉= δi j et 〈vi|u j〉= Ti j

Une fonction d’onde |ψ〉 se décompose sur ces deux bases

|ψ〉= ∑i

ci|ui〉

= ∑j

b j|v j〉

avec

b j = 〈v j|ψ〉= 〈v j|∑

k|uk〉〈uk|ψ〉

= ∑k〈v j|uk〉ck

= ∑k

Tjkck

Soit A un opérateur. Cherchons les éléments de matrice de A dans les deux bases.Soient (Ai j) la matrice de A dans {|ui〉} et (A′i j) la matrice de A dans {|v j〉}

A′i j = 〈vi|A|v j〉= 〈vi|IAI|v j〉= ∑

k∑`

〈vi|uk〉〈uk|A|u`〉〈u`|v j〉

= ∑k

∑`

TikAk` S` j︸︷︷︸T ?

j`

car

〈u`|v j〉= 〈v j|u`〉?

= T ?j`


2.3.9 Opérateur adjoint

La correspondance biunivoque entre kets et bras implique une relation de conjugaison analogue entre opérateurs,appelée conjugaison hermétique, qui associe à tout opérateur A un opérateur A+ appelé adjoint de A.

|n′〉= A|n〉 ↔ 〈n′|= 〈n|A+

= 〈An|

Deux opérateurs A et A+ sont adjoints si et seulement si les matrices associées sont adjointes l’une de l’autre.Propriétés• 〈n|A+|m〉= 〈m|A|n〉?

• (A+)+ = A

• (λA)+ = λ?A+

• (A+B)+ = A++B+

• (AB)+ = B+A+

Pour chercher le conjugué d’une expression quelconque on applique larègle suivante :♠ Remplacer A par A+, λ par λ?, 〈n| par |n〉 et inversement.♠ Inverser l’ordre des facteurs.

Exemple

[λ〈n|A|m〉|ω〉〈ψ|]+

⇓

λ? . . . |n〉 . . .A+ . . .〈m| . . .〈ω| . . . |ψ〉

⇓

|ψ〉〈ω| 〈m|A+|n〉λ?︸︷︷︸scalaire

⇓

λ?〈m|A?|n〉|ψ〉〈ω|

2.3.10 Opérateur hermétique

Un opérateur est dit hermétique s’il coincide avec son adjoint :

A = A+

Dans ce cas, on a :

〈n|A|m〉= 〈m|A|n〉?

Anm = A?mn

〈n|A|m〉= 〈An|m〉


Exemples♥ P = |ψ〉〈ψ| et P+ = |ψ〉〈ψ| ; donc P est hermétique.♥ Soient A et B deux opérateurs hermétiques.

(AB)+ = B+A+

= BA

Donc le le produit de deux opérateurs hermétiques n’est pas nécessairement hermétique.♥ X est hermétique.

♥ Soit l’opérateur Px =~j

∂

∂x

〈ψ1|Px|ψ2〉=∫

espaceψ1

?(x)~j

dψ2(x)dd

x

=~j

=0︷︸︸︷

[ψ1?ψ2]

+∞

−∞−∫ +∞

−∞

ψ2dψ?

1dx

dx

= 〈ψ2|Px|ψ1〉?

Donc Px = P+x et par suite Px est hermétique.

♥ ddx

n’est pas hermétique.

♥ d2

dx2 est hermétique.

2.3.11 Représentation matricielle de l’adjoint

♠ On passe de la matrice d’un opérateur à la matrice de son adjoint par une conjugaison complexe suivie parune symétrie par rapport à la diagonale.♠ Un opérateur hermétique est représenté par une matrice tel que deux éléments symétriques par rapport à ladiagonale sont conjugués l’un de l’autre.En particulier, pour i = j, Ai j = A?

i j. Donc les éléments de la diagonale sont réels. par

2.4 Equations aux valeurs propres et observables

2.4.1 Valeurs propres et vecteurs propres d’un opérateur

Le ket |ϕn〉 est vecteur propre de l’opérateur A associé à la valeur propre an s’il satisfait l’équation aux valeurspropres :

A|ϕn〉= an|ϕn〉

L’ensemble des valeurs propres de A est appelé spectre de A.Soit |ψ〉= λ|ϕn〉

2.4. EQUATIONS AUX VALEURS PROPRES ET OBSERVABLES 31

A|ψ〉= A(λ|ϕn〉)= λA|ϕn〉= an(λ|ϕn〉)= an|ψ〉

Donc si |ϕn〉 est vecteur propre associé à an, |ψ〉= λ|ϕn〉 est aussi vecteur propre associé à la même valeur propre.Pour lever cette indétermination on peut normer les vecteurs propres |ϕn〉 : 〈ϕn|ϕn〉= 1.♣ Une valeur propre an est non dégénérée s’il lui correspond un vecteur propre unique (à une constantemultiplicative près).♣ Une valeur propre an est dégénérée d’ordre ou de dégénérescence gn s’il lui correspond gn vecteurspropres linéairement indépendants.

A|ϕαn 〉= an|ϕα

n 〉 ou α = 1,2, . . .gn

L’ensemble de ces vecteurs propres constitue un espace vectoriel de dimension gn, appelé sous-espace propre dela valeur propre an.♣ Toute combinaison linéaire de |ϕα

n 〉 est un vecteur propre de A pour la valeur propre an :

|ψ〉=gn

∑α=1

cα|ϕαn 〉

A|ψ〉=gn

∑α=1

cαA|ϕαn 〉

= an

gn

∑α=1

cα|ϕαn 〉

= an|ψ〉

ExempleProjecteur Pψ = |ψ〉〈ψ| avec 〈ψ|ψ〉= 1

Pψ|ψ〉= |ψ〉〈ψ|ψ〉= |ψ〉

|ψ〉 est vecteur propre associé à la valeur propre non dégénéré 1.Soit |φ〉 un ket orthogonal à |ψ〉.

Pψ|φ〉= |ψ〉〈ψ|φ〉= 0= 0|φ〉

Donc tout ket |φ〉 orthogonal à |ψ〉 est ket propre de Pψ associé à la valeur propre 0.

2.4.2 Recherche des valeurs propres et des kets propres d’un opérateur

Soit un espace de dimension finie et {|ui〉} une représentation de cet espace (base orthonormée).


Soit A un opérateur. Si |ψ〉 est un ket propre de A, on a :

A|ψ〉= a|ψ〉

En projetant sur |ui〉, il vient :

〈ui|A|ψ〉= a〈ui|ψ〉= 〈ui|AI|ψ〉

= 〈ui|A

(∑

j|u j〉〈u j|

)ψ〉

= ∑j〈ui|A|u j〉︸︷︷︸

Ai j

〈u j|ψ〉︸︷︷︸c j

D’où

∑j

Ai jc j = aci

∑j(Ai j−δi ja)c j = 0

On obtient un système d’équations linéaires et homogènes en c j, les composantes de |ψ〉 dans {|ui〉}. Il admet unesolution si et seulement si son déterminant est nul.

det(A−aI) = 0

Donc les valeurs propres de A sont les racines du polynôme caractéristique det(A−aI) = 0Ce résultat est valable aussi pour une base continue.Propriétés des valeurs propres

♣ Tr(A) = ∑i

ai.

♣ det(A) = ∏i

ai

♣ Soit D la matrice de A dans la base propre.

D =

a1 . . . . . ....

......

. . . a j . . ....

......

. . . . . . an

D=α−1Aα où α est la matrice de passage dont les colonnes sont formées par les composantes des vecteurs propresde A dans la base |ui〉.♣ Si A est hermétique, on a :

A|ψ〉= a|ψ〉〈ψ|A|ψ〉= 〈ψ|A+|ψ〉?

= 〈ψ|A|ψ〉?

a = a?

2.4. EQUATIONS AUX VALEURS PROPRES ET OBSERVABLES 33

Donc les valeurs propres d’un opérateur hermétique sont réelles.♣ Deux vecteurs propres d’un opérateur hermétique associés à deux valeurs propres distinctes sont ortho-gonaux.En effet, si

A|ψ〉= a|ψ〉 (2.2)A|φ〉= b|φ〉

(2.3)

Comme A est hermétique

〈φ|A+ = 〈φ|A= b〈φ| (2.4)

D’où en projetant les équations 2.2 et 2.4 respectivement sur |φ〉 et sur 〈ψ|, il vient :

〈φ|A|ψ〉= a〈φ|ψ〉〈φ|A|ψ〉= b〈φ|ψ〉

(a−b)〈φ|ψ〉= 0

Comme a 6= b, on a |ψ〉 et |φ〉 sont orthogonaux.

2.4.3 Opérateur observable

Si la dimension de l’espace vectoriel E est finie, tout opérateur hermétique est diagonisable par une matrice unitaire.Autrement dit, il existe une base de E constituée par les vecteurs propres de A.Si E est de dimension infinie, il n’est pas possible de former une base de E avec les vecteurs propres mais il esttoujours possible de former un système orthonormé de vecteurs propres d’un opérateur hermétique :

{|uαn 〉} , avec n = 1, . . .+∞, α = 1, . . .gn

Par définition, A est une observable si ce système orthonormé forme une base complète dans E.Les {|uα

n 〉} vérifient :♣ la relation de fermeture ∑

n∑α

|uαn 〉〈uα

n |= I

♣ la relation d’orthonormalisation 〈uαn |uα′

n′ 〉= δαα′δnn′

Autre définition : Une observable est un opérateur hermétique dont les vecteurs propres forment un systèmeorthonormé complet dans l’espace des états E.Exemple

Pψ = |ψ〉〈ψ| est une observable. En effet, ∀|φ〉 ∈ E, on peut écrire :

|φ〉= Pψ|φ〉+(I−Pψ)|φ〉Pψ(Pψ|φ〉) = P2

ψ|φ〉= Pψ|φ〉

Donc Pψ|φ〉 est ket propre de Pψ associé à la valeur propre 1.


Pψ(I−Pψ)|φ〉= Pψ|φ〉−P2ψ|φ〉

= 0

Donc (I−Pψ)|φ〉 est ket propre de Pψ associé à la valeur propre 0.Par conséquent, tout ket de E peut se décomposer sur les kets propres de Pψ.

• Considérons l’opérateur Px =− j~∂

∂x. En l’appliquant à une fonction propre φ(x), on obtient :

− j~∂φ(x)

∂x= p0φ(x) =⇒ φp0 = Ne

jp0x~

Avec N =1√2π~

.

φp0(x) représente une onde plane.Comme les fonctions φp0(x) constituent une base complète, on conclut que Px est une observable.

2.5 Ensemble d’observables qui commutent

2.5.1 Théorème fondamental

Si A et B sont deux observables qui commutent et |ψαn 〉 est un ket propre de A associé à an, alors B|ψα

n 〉 estaussi ket propre de A avec la même valeur propre an et réciproquement.Démonstration Si |ψα

n 〉 est ket propre de A, alors A|ψαn 〉= an|ψα

n 〉.

Appliquons B aux deux membres de cette équation

BA|ψαn 〉= an(B|ψα

n 〉)

Puisque [A,B] = 0, on a aussiAB|ψα

n 〉= anB|ψαn 〉

Donc B|ψαn 〉 est un vecteur propre de A pour la valeur propre an.

CommeA|ψα

n 〉= an|ψαn 〉

EtA(λ|ψα

n 〉) = anλ|ψαn 〉

On conclut que :♠ si an est non dégénéréeB|ψα

n 〉est ket propre associé à an.Donc

B|ψαn 〉= b|ψα

n 〉

Par suite |ψαn 〉 est ket propre de B.

♠ si an est dégénéréeB|ψα

n 〉 appartient au sous espace En engendré par le kets propres, {|ψαn 〉}, α = 1, . . .gn, associés à an.

B|ψαn 〉 ∈ En et |ψα

n 〉 ∈ En

2.5. ENSEMBLE D’OBSERVABLES QUI COMMUTENT 35

Réciproquement, s’il existe une base de vecteurs propres communs à A et B, ces deux observables commutent.

A|ψαnm〉= an|ψα

nm〉B|ψα

nm〉= bm|ψαnm〉

Les indices n et m permettent de repérer les valeurs propres an et bm de A et B. L’indice α sert à distinguer lesdifférents vecteurs propres correspondant à la même valeur propre an et bm.Il vient

AB|ψαnm〉= bmA|ψα

nm〉= bman|ψα

nm〉BA|ψα

nm〉= anB|ψαnm〉

= anbm|ψαnm〉

D’où(AB−BA)|ψα

nm〉= 0 ∀|ψαnm〉

Donc[A,B] = 0

2.5.2 Deuxième théorème

Si deux observables A et B commutent, les éléments de matrice de B entre deux vecteurs propres de A correspondantà des valeurs propres différentes sont nuls.Autre énoncé : Soient A et B deux observables qui commutent et |ψα

n 〉 et |ψα′n′ 〉 deux kets propres de A associés à

deux valeurs propres différentes alors 〈ψαn |B|ψα′

n′ 〉= 0.DémonstrationOn a A|ψα

n 〉= an|ψαn 〉. Comme [A,B] = 0, B|ψα

n 〉 ∈ En (où En est le sous-espace de dégénérescence de l’opérateurA pour la valeur propre an), donc

B|ψαn 〉=

α

∑i=1

ci|ψin〉

〈ψα′n′ |B|ψ

αn 〉=

α

∑i=1

ci 〈ψα′n′ |ψ

αn 〉︸︷︷︸

=0

= 0

Autre démonstration

〈ψα′n′ |[A,B]|ψ

αn 〉= 0

= 〈ψα′n′ |AB|ψα

n 〉︸︷︷︸A est hermétique : an réelle

−〈ψα′n′ |BA|ψα

n 〉

= an′〈ψα′n′ |B|ψ

αn 〉−an〈ψα′

n′ |B|ψαn 〉

= (an′ −an)〈ψα′n′ |B|ψ

αn 〉

Comme an 6= an′ ; 〈ψα′n′ |B|ψ

αn 〉= 0.


2.5.3 Troisième théorème

Si deux observables A et B commutent, on peut construire une base orthonormée de l’espace des états constituéepar des vecteurs propres communs à A et B.

2.5.4 Ensemble d’observables qui commutent

Un ensemble d’observables A, B, C,. . . est appelé ensemble complet d’observables qui commutent (ECOC) s’ilexiste une base orthonormée de vecteurs propres communs et si cette base est unique (aux facteurs de phase près).

• Les observables commutent deux à deux.• La donnée des valeurs propres de tous les opérateurs A, B, C,. . . suffit à déterminer un vecteur propre commununique (à un facteur multiplicatif près).

Autre définition d’un ECOC

Soit A une observable et (b) une base de vecteurs propres de A.♠ Si aucune valeur propre de A n’est dégénérée• A chaque valeur propre correspond un seul vecteur propre.• Les vecteurs propres de A sont déterminés de manière unique et ils constituent une base.• A forme à elle seule un ECOC et on a

A|φn〉= an|φn〉

♠ Si au moins une valeur propre de A est dégénérée

• A la valeur propre an dégénérée correspond plusieurs vecteurs propres.• La base formée par les vecteurs propres de A n’est pas unique. On prend alors une autre observable B tel que[A,B] = 0. On peut trouver une base de vecteurs propres communs à A et B. Si tout couple de valeurs propres(an,bm) correspond un seul vecteur de base, A et B forment un ECOC. Sinon, on rajoute une autre observable,. . .

A|φnm〉= an|φnm〉B|φnm〉= bm|φnm〉

Les sous-espaces de A sont distingués par les valeurs propres an. Dans un sous-espace donné de A, les vecteurspropres sont caractérisés par bm.

2.6 Opérateurs unitaires

2.6.1 Définition

Par définition un opérateur U est unitaire si son inverse U−1 est égal à son adjoint.

U−1U =U+U

=UU+

= I

2.6. OPÉRATEURS UNITAIRES 37

Soient |ψ1〉 et |ψ2〉 deux kets de E et |ψ′1〉 et |ψ′2〉 leurs transformés par U .

|ψ′1〉=U |ψ1〉|ψ′2〉=U |ψ2〉

On a

〈ψ′1|ψ′2〉= 〈ψ1|U+U |ψ2〉= 〈ψ1|ψ2〉

La transformation unitaire conserve le produit scalaire et par suite elle conserve la norme.

2.6.2 Opérateur unitaire et changement de base

Soit {|ui〉} une base orthonormée de E et {|u′i〉} sa transformée par U .

|u′i〉=U |ui〉

On a

〈u′i|u′j〉= 〈ui|u j〉= δi j

Donc les kets {|u′i〉} sont orthonormés. En plus, quelque soit |ψ〉 de E, on a U+|ψ〉 ∈ E donc ; U+|ψ〉= ∑i

ci|ui〉.

Appliquons U à cette dernière égalité :

UU+|ψ〉= ∑i

ciU |ui〉

= ∑i

ci|u′i〉

Soit|ψ〉= ∑

ici|u′i〉

Tout ket se décompose sur {|u′i〉}, donc {|u′i〉} constitue une base orthonormée.ThéorèmeUne condition nécessaire pour qu’un opérateur U soit unitaire est que les transformées par U des vecteurs d’unebase orthonormée de E constitue une base orthonormée.Réciproquement, si on a |u′i〉=U |ui〉, 〈u′i|u′j〉= δi j et ∑

i|u′i〉〈u′i|= I alors U est unitaire.

Démonstration

U+U |ui〉=U+|u′i〉= ∑

j|u j〉〈u j|U+|u′i〉

= ∑j|u j〉〈u′j|u′i〉

= ∑j|u j〉δ ji

= |ui〉


Donc U+U = I et par conséquent U est unitaire. On peut démontrer de la même façon que UU+ = I.

2.6.3 Matrice unitaire

Les éléments de matrice d’un opérateur unitaire s’écrivent

Ui j = 〈ui|U |u j〉

Par ailleurs,

δi j = 〈ui|u j〉= 〈ui|U+U |u j〉= ∑

k〈ui|U+|uk〉〈uk|U |u j〉

= ∑k

U?kiUk j

car 〈ui|U+|uk〉= 〈uk|U |ui〉?.Donc

δi j = ∑k

U?kiUk j

2.6.4 Valeurs propres et vecteurs propres d’un opérateur unitaire

Soit |ψn〉 un vecteur propre normé de U .

U |ψn〉= α|ψn〉

On a

〈ψn|U+U |ψn〉= α?α〈ψn|ψn〉

= αα?

Puisque l’opérateur unitaire conserve la norme, on a :

αα? = 1

Par conséquent, les valeurs propres de U sont des nombres complexes de module 1.

α = e jθα , θα réel

Soient |ψn〉 et |ψn′〉 deux vecteurs propres de U , on a :

〈ψn|ψn′〉= 〈ψn|U+U |ψn′〉= e jθn′ e− jθn〈ψn|ψn′〉

Si n 6= n′, on a 〈ψn|ψn′〉 = 0. Donc deux vecteurs propres d’un opérateur unitaire relatifs à deux valeurs propresdifférentes sont orthogonaux.

2.6.5 Transformation unitaire sur les opérateurs

Soit une transformation unitaire U qui transforme une base {|ui〉} en une base {|u′j〉} et soit A un opérateur.

2.6. OPÉRATEURS UNITAIRES 39

Le transformé de A par U est l’opérateur qui a les mêmes éléments de matrice dans la base {|u′j〉} que l’opérateurA dans la base {|ui〉}.On a quelque soient i et j :

|u′i〉=U |ui〉= 〈ui|U+A′U |u j〉

〈u′i|A′|u′j〉= 〈ui|A|u j〉 = 〈ui|U+A′U |u j〉

D’où

A =U+A′U

A′ =UAU+

Remarques♣ Si A est hermétique alors

A = A+

= (U+A′U)+

=U+A′+U

UAU+ = A′+

= A′

donc A′ est hermétique.♣ Les vecteurs propres de A′ sont les transformés par U des vecteurs propres de A pour les mêmes valeurspropres.DémonstrationSoient |φn〉 les vecteurs propres de A.Alors

A|φn〉= an|φn〉 et |φ′n〉=U |φn〉Par suite,

A′|φ′n〉=UAU+|φ′n〉=UAU+(U |φn〉)=UA|φn〉= anU |φn〉

d’où |φ′n〉=U |φn〉

2.6.6 Transformation unitaire infinitésimale

Soit U(ε) un opérateur unitaire dépendant du réel ε.

U(ε) = I+ εG

U(ε)−→ I si ε−→ 0

U+(ε) = I+ εG+

U(ε)U+(ε) =U+(ε)U(ε) = I+ ε(G+G+)


Chapitre 3

Les postulats de la mécanique quantique

Pour résoudre un problème en mécanique quantique on doit définir :• Comment décrire à un instant donné un système physique ?• Comment prévoir les résultats de mesure d’une grandeur physique ?• Comment prévoir l’évolution d’un système à partir de son état à t0 donné ?

3.1 Postulats de la mécanique quantique

3.1.1 P1 : Vecteur d’état

Le vecteur d’état |ψ〉 appartenant à l’espace de Hilbert E définit l’état du système quantique à l’instant t. Ce vecteurd’état vérifie la propriété 〈ψ|ψ〉= 1.

3.1.2 P2 : Opérateur représentant une grandeur physique

A une grandeur physique mesurable A est associée une observable A. Cet opérateur est linéaire et hermétique.RemarqueContrairement à la mécanique classique, la mécanique quantique décrit de façon fondamentalement différentel’état d’un système et les grandeurs associées. Un état est représenté par un ket et la grandeur par un opérateur.

3.1.3 P3 : Mesure d’une grandeur physique

La mesure d’une grandeur physique A ne peut donner comme résultat qu’une des valeurs propres de l’observableA correspondante.Remarque♣ Une mesure de A donne toujours des valeurs réelles puisque A est hermétique.♣ Si le spectre de A est discret, les résultats de mesure sont quantifiés.♣ A étant une observable, les états propres de A vérifient les relations de fermeture et d’orthonormalisation :

A|uαn 〉= an|uα

n 〉

∑n

∑α

|uαn 〉〈uα

n |I

〈uαn |uα′

n′ 〉= δnn′δαα′

Principe de décomposition spectrale

41

42 CHAPITRE 3. LES POSTULATS DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE

Considérons un système physique décrit à l’instant t par le ket |ψ〉 tel que 〈ψ|ψ〉 = 1. On veut prédire le résultatde mesure de la grandeur A dans cet état. On distingue deux cas :♠ Les valeurs propres an sont non dégénérées|ψ〉 se décompose sur les kets propres |un〉

|ψ〉= ∑n

cn|un〉

La probabilité de trouver an est

P (an) = |〈un|ψ〉|2

= c2n

P41 : Lorsqu’on mesure la grandeur physique A sur un système physiquedans l’état |ψ〉 normé, la probabilité P (an) d’obtenir comme résultat lavaleur propre non dégénérée an de l’observable A correspondante est

P (an) = |〈un|ψ〉|2

où |un〉 est le vecteur propre normé de A associé à la valeur propre an.

" ♠ La valeur propre an est dégénéréeSi an est gn fois dégénérée donnant lieu aux vecteurs propres |uα

n 〉, α = 1, . . . ,gn

On a aussi :

|ψ〉= ∑n

gn

∑α=1

cαn |uα

n 〉

La probabilité P (an) de trouver an lors d’une mesure de la grandeur physique A est égale à :

P (an) =gn

∑α=1|〈uα

n |ψ〉|2

=gn

∑α=1|cα

n |2

P42 : Lorsqu’on mesure la grandeur physique A sur un système dansl’état |ψ〉 donné, la probabilité P (an) d’obtenir comme résultat la valeur

propre an de l’observable A correspondante vaut :

P (an) =gn

∑α=1|〈uα

n |ψ〉|2

où gn est le degré de dégénérescence de an et {|uαn 〉} un système

orthonormé de vecteurs formant une base dans (En).

Ce résultat est indépendant du choix de la base dans (En).

Soit Pn =gn

∑α=1|uα

n 〉〈uαn | , avec ∑

nPn = 1, on a :

Pn|ψ〉=gn

∑α=1|uα

n 〉〈uαn |ψ〉

=gn

∑α=1

cαn |uα

n 〉

= |ψn〉

3.1. POSTULATS DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE 43

|ψn〉 est la projection de |ψ〉 sur le sous espace (En).

〈ψn|ψn〉=gn

∑α=1|cα

n |2

= P (an)

Donc la probabilité P (an) de trouver (an) pour la mesure de A est le carré de la norme de |ψn〉= Pn|ψ〉 .Un changement de base dans (En) n’a aucun effet sur P (an).Par ailleurs,

P (an) = 〈ψn|ψn〉= 〈ψn|P+

n Pn|ψn〉P+

n =Pn︷︸︸︷= 〈ψn|P2

n |ψn〉P2

n=Pn︷︸︸︷= 〈ψn|Pn|ψn〉

En utilisant la similitude entre la base continue et la base discrète, on peut généraliser les résultats à une basecontinue.

P43 : Lorsqu’on mesure la grandeur physique A sur un système dansl’état |ψ〉 normé, la probabilité dP (α) d’obtenir un résultat compris entre

α et α+dα vaut

dP (α) = |〈vα|ψ〉|2

où |vα〉 est le vecteur propre correspondant à la valeur propre α de Aassociée à A .

Remarques :♠ Il est nécessaire que l’opérateur A associé à la grandeur physique A soit une observable pour pouvoirdécomposer tout état sur le système des vecteurs propres de A.♠ Soient |ψ〉 et |ψ′〉 deux états tel que |ψ′〉= e jθ|ψ〉, où θ est un réel. Si |ψ〉 est normé, |ψ′〉 l’est aussi.

|〈uαn |ψ′〉|2 = |e jθ〈uα

n |ψ〉|2

= |〈uαn |ψ〉|2

Donc deux vecteurs d’état proportionnel représentent le même état physique.

3.1.4 Etat après la mesure

♣ Si le résultat de la mesure de A donne une valeur a j non dégénérée, l’état du système est décrit par le vecteurpropre |u j〉 correspondant à la valeur propre a j.

Etat immédiatement avant la mesure |ψ〉

↓

On mesure une grandeur physique A dont l’ observable associée A a pourvaleurs propres a1,a2, · · · ,an


↓

Les amplitudes de probabilité sont 〈u1|ψ〉,〈u2|ψ〉, · · · ,〈un|ψ〉

↓

Si la mesure donne comme résultat a j

↓

Le système est juste après la mesure dans l’état |u j〉

Si on effectue une deuxième mesure de A après la première, on trouvera à coup sûr le même résultat a j.♣ Si le résultat de la mesure est la valeur ai dégénérée, la modification du vecteur d’état lors de la mesure est selonle digramme suivant :

Avant la mesure le système est dans l’état

|ψ〉=n

∑i=1

gi

∑α=1

cαi |uα

i 〉

↓

Si la mesure donne comme résultat ai

↓

Le système est juste après la mesure dans l’état correspondant à laprojection normée de |ψ〉 sur le sous-espace propre associé à ai.

gi

∑α=1

cαi |uα

i 〉√gi

∑α=1|cα

i |2=

|ψi〉√〈ψi|ψi〉

=Pi|ψ〉√〈ψ|Pi|ψ〉

P5 : Si la mesure de la grandeur physique A sur le système dans l’état |ψ〉donne le résultat an, l’état du système immédiatement après la mesure est

la projection norméePn|ψ〉√〈ψ|Pn|ψ〉

de |ψ〉 sur le sous espace propre associé

à an.

3.1. POSTULATS DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE 45

3.1.5 P6- Evolution des systèmes dans le temps

L’évolution dans le temps du vecteur d’état |ψ〉 d’un système physique estdéterminée par l’équation de Schrödinger

j~ddt|ψ(t)〉= H|ψ(t)〉

H est l’observable associée à l’énergie totale du système. H est l’opérateur hamiltonien que l’on obtient à partir dela fonction de Hamilton classique

H =−~2

2m∆+V (−→r , t)

V (−→r , t) est l’opérateur associé à l’énergie potentielle qui peut se calculer à partir des forces agissantes sur lesystème physique étudié.

3.1.6 Principe de correspondance et justification

Ce principe indique comment on associe à une grandeur physique A une observable A.

3.1.6.1 Principe

♠ A la position −→r (x,y,z) d’une particule on associe l’observable−→R (X ,Y,Z)

x←→ X

y←→ Y

z←→ Z

X |x0〉= x0|x0〉X possède un spectre continu (x0 ∈]−∞,+∞[). Ceci est cohérent avec l’expérience qui montre que toutes lesvaleurs sont possibles pour la position de la particule.

♠ A l’impulsion −→p (x,y,z) d’une particule on associe l’observable−→P (Px,Py,Pz).

px←→ Px =− j~∂

∂x

py←→ Py =− j~∂

∂y

pz←→ Pz =− j~∂

∂z

Px possède aussi un spectre continu : Px|p0〉= p0|p0〉.Les composantes de

−→R et

−→P vérifient les relations de commutation :

[Ri,R j] = [Pi,Pj] = 0, avec i, j = x,y,z

[Ri,Pj] = j~δi j


Principe :A toute grandeur physique A = f (−→r ,−→p ) on associe l’observable

A = f (−→R ,−→P ).

Toutefois cette procédure pose parfois des problèmes. Par exemple, supposons que dans−→A (−→r ,−→p ) apparaisse un

terme en−→r ·−→p , l’observable−→A (R,P) fait apparaître le produit

−→R ·−→P qui n’est pas hermétique. On remedie à cette

difficulté par une règle de symétrisation qui associe au produit −→r ·−→p l’opérateur−→R ·−→P +

−→P ·−→R

2.

−→r ·−→p =−→r ·−→p +−→p ·−→r

2−→−→R ·−→P +

−→P ·−→R

2

3.1.6.2 Justification

Soit un système physique dans un état |ψ〉. Calculons la probabilité pour trouver le système dans l’état |x0〉.

X |x0〉= x0|x0〉P (x0) = |〈x0|ψ〉|2

=

∣∣∣∣〈x0|(∫ +∞

−∞

|x〉〈x|dx)|ψ〉∣∣∣∣2

=

∣∣∣∣∫ +∞

−∞

〈x0|x〉〈x|ψ〉dx∣∣∣∣2

=

∣∣∣∣∫ +∞

−∞

δ(x− x0)ψ(x)dx∣∣∣∣2

= |ψ(x0)|2

La probabilité P est le carré de la fonction d’onde au point x0. Ceci est en accord avec la mécanique ondulatoire.Calculons la probabilité pour trouver la particule avec l’impulsion p0.

Px|p0〉= p0|p0〉P (p0) = |〈p0|ψ〉|2

=

∣∣∣∣〈p0|(∫ +∞

−∞

|p〉〈p|d p)|ψ〉∣∣∣∣2

=

∣∣∣∣∫ +∞

−∞

〈p0|p〉〈p|ψ〉d p∣∣∣∣2

=

∣∣∣∣∫ +∞

−∞

δ(p− p0)ψ(p)d p∣∣∣∣2

= |ψ(p0)|2

3.2. CONSÉQUENCE PHYSIQUE DES POSTULATS 47

Montrons que ψ(p0) est ψ(x0) sont des transformées de Fourier l’une de l’autre.

ψ(p0) = 〈p0|ψ〉

=∫ +∞

−∞

〈p0|x0〉〈x0|ψ〉dx0

=∫ +∞

−∞

ψ(x0)〈p0|x0〉dx0

Or

X |x0〉= x0|x0〉Px|p0〉= p0|p0〉

− j~ddx|p0〉= p0|p0〉

〈x0|Px|p0〉=− j~ddx〈x0|p0〉

= p0〈x0|p0〉

L’intégration de l’équation différentielle

− j~ddx〈x0|p0〉= p0〈x0|p0〉

donne〈x0|p0〉=

1√2π~

ejp0x0~

D’où alorsψ(p0) =

1√2π~

∫ +∞

−∞

ψ(x0)e−jp0x0~ dx0

De même,

ψ(x0) =1√2π~

∫ +∞

−∞

ψ(p0)ejp0x0~ d p0

On peut montrer à partir du principe de correspondance la relation de Heisenberg ∆x∆p≥ ~ en utilisant la relationde commutation [X ,Px] = j~ .

3.2 Conséquence physique des postulats

Les postulats ci-dessus permettent-ils de répondre aux questions posées par les résultats d’expériences ?

3.2.1 Quantification de certaines grandeurs physiques

Le spectre d’un opérateur hermétique peut être discret. Cela explique qu’une grandeur peut être quantifiée.Si le spectre d’un opérateur A (valeurs propres) est discret, on a une quantification.

3.2.2 Valeur moyenne d’une grandeur physique

Soit un système physique dans l’état |ψ〉, on veut mesurer une grandeur physique A à laquelle est associée l’ob-servable A.Il existe des états où l’on est sûr du résultat obtenu lors d’une mesure de A . Ce sont les états représentés par lesfonctions propres de l’observable A. Par contre, si le système est dans un état quelconque

|ψ〉= ∑i

ci|ui〉


le résultat de mesure s’exprimera comme une superposition linéaire des fonctions propres de A et on ne peut pasconnaître avec certitude les résultats de mesure. On ne peut que faire des prévisions statistiques.

P (ai) = |〈ui|ψ〉|2

= |ci|2

Mesurons A sur un grand nombre de systèmes physiques identiques tous dans l’état |ψ〉. Soit N le nombre demesures et supposons que le spectre de A est discret. Sur N mesures on obtient :

Résultat Nombre d’apparition Probabilité de mesurea1 n1 |〈u1|ψ〉|2a2 n2 |〈u2|ψ〉|2...

......

an nn |〈un|ψ〉|2

La valeur moyenne de A dans l’état |ψ〉 est

〈A〉ψ =n1a1 +n2a2 + . . .+nnan

Nnn

N= P (an) est la probabilité de trouver comme mesure an. Elle est donnée par |〈un|ψ〉|2.

Donc

〈A〉ψ = ∑n

anP (an)

= ∑n

an|〈un|ψ〉|2

= ∑n〈ψ|un〉an〈un|ψ〉

Comme A|un〉= an|un〉 , on a :

〈A〉ψ = ∑n〈ψ|A|un〉〈un|ψ〉

= 〈ψ|A

I︷︸︸︷

∑n|un〉〈un|

|ψ〉= 〈ψ|A|ψ〉

Donc si |ψ〉 est normé alors on a :

〈A〉ψ = 〈ψ|A|ψ〉

3.2.3 Compatibilité des grandeurs physiques

Considérons deux observables A et B associées à deux grandeurs A et B .

3.2.3.1 Commutabilité et compatibilité

3.2. CONSÉQUENCE PHYSIQUE DES POSTULATS 49

Si A et B commutent, on peut trouver un système de vecteurs propres communs à A et B et qui forme une base.

A|unm〉= an|unm〉B|unm〉= bm|unm〉

Soit un système physique dans un état |ψ〉.

|ψ〉= ∑α

cα|uα〉

Effectuons une mesure de A puis une mesure de B .

Le système est dans l’état |ψ〉.

⇓

Mesure de A : on trouve par exemple an (c’est un résultat probable).

⇓

Le système se trouve après la mesure dans l’état |unm〉.

⇓

Mesure de B : on trouve exactement bm (c’est un résultat certain).

⇓

Le système reste après la mesure dans l’état |unm〉.

⇓

Mesure de A pour la deuxième fois : on trouve exactement an (c’est unrésultat certain).

⇓

Le système reste après la mesure dans l’état |unm〉.

Donc si [A,B] = 0, on peut mesurer simultanénent A et B. Le résultat de la mesure est indépendant de l’ordre danslequel la mesure est effectuée. On dit que A et B sont compatibles.

3.2.3.2 Cas où A et B ne commutent pas

Si [A,B] 6= 0, un état propre de l’un n’est pas généralement état propre de l’autre. Si on mesure A on perd lesinformations sur la mesure de B et réciproquement.

Le système est dans l’état |ψ〉.


⇓

Mesure de A : on trouve par exemple ai (c’est un résultat probable).

P (ai) = |〈ui|ψ〉|2

⇓

Le système se trouve après la mesure dans l’état |ui〉 .

⇓

Mesure de B : on trouve exactement b j (c’est un résultat probable) .

P (b j) = |〈v j|ui〉|2

⇓

Le système se trouve après la mesure dans l’état |v j〉 .

⇓

Mesure de A pour la deuxième fois : on trouve exactement aq (c’est unrésultat probable).P (aq) = |〈uq|v j〉|2

⇓

Le système reste après la mesure dans l’état |uq〉 .

On dit que les grandeurs A et B sont incompatibles.

Exemple

[x, px] = j~ , x et px sont des grandeurs incompatibles : on ne peut pas mesurer simultanément x et px.Il y a un grand intérêt à trouver le plus possible des grandeurs compatibles pour un système physique car lesfonctions propres communes aux opérateurs associés décrivent des états où on peut mesurer plusieurs grandeurssimultanément.

3.3 Evolution dans le temps de l’état d’un système

L’évolution temporelle du vecteur |ψ(t)〉 est déterminée par l’équation d’évolution :

j~ddt|ψ〉= H|ψ〉

3.3. EVOLUTION DANS LE TEMPS DE L’ÉTAT D’UN SYSTÈME 51

♠ Cette équation est du premier ordre en t : elle permet de déduire ψ(−→r , t) à partir de ψ(−→r , t0) (la solution d’uneéquation du premier degré est déterminée à une constante près et par suite une seule condition initiale suffit pourdéterminer cette constante).♠ Elle est linéaire et toute superposition de solutions est une solution.♠ La norme de ψ(−→r , t) est

N = 〈ψ|ψ〉

=∫

espaceψ?ψd3−→r

Elle se conserve au cours du temps.

ddt〈ψ|ψ〉= 〈dψ

dt|ψ〉+ 〈ψ|dψ

dt〉

=− j~〈ψ|H|ψ〉+ j~〈ψ|H|ψ〉= 0

♠ On peut écrire que |ψ(t)〉=U(t, t0)|ψ(t0)〉On a :

〈ψ(t)|ψ(t)〉= 〈ψ(t0)|ψ(t0)〉= 〈ψ(t0)|U+U |ψ(t0)〉

Donc U+U = IL’opérateur évolution au cours du temps est un opérateur unitaire.♠ Rattachement avec la mécanique classique : Théorème d’EhrenfestSoit A une observable, la valeur moyenne de A dans l’état |ψ(t)〉 du système est donnée par :

〈A〉ψ = 〈ψ|A|ψ〉, avec 〈ψ|ψ〉= 1ddt〈A〉ψ = 〈dψ

dt|A|ψ〉+ 〈ψ|dA

dt|ψ〉+ 〈ψ|A|dψ

dt〉

=−1j~〈ψ|HA|ψ〉+ 1

j~〈ψ|AH|ψ〉+ 〈ψ|dA

dt)|ψ〉

ddt〈A〉ψ =

1j~〈[A,H]〉ψ + 〈dA

dt〉ψ

C’est le théorème d’Ehrenfest.

Exemple d’application :

Soit un système décrit par H =P2

x

2m+V (x)

• d〈Px〉dt

=1j~〈[Px,H]〉


[Px,H] = [Px,P2

x

2m]+ [Px,V (x)]

= [Px,V (x)]

Comme Px =− j~∂

∂x, [Px,V (x)] =− j~

∂V∂x

d〈Px〉dt

=−〈∂V∂x〉

= 〈Fx〉

C’est le principe fondamental de la mécanique classique.

• d〈x〉dt

=1j~〈[x,H]〉

[x,H] = [x,P2

2m]+

=0︷︸︸︷[x,V (x)]

= j~Px

md〈x〉dt

= 〈Px

m〉

= 〈vx〉

C’est la définition de la vitesse.Remarque : D’une manière générale, on a [x,Pn

x ] = j~nPn−1x

3.4 Cas des systèmes conservatifs

3.4.1 Définition

On appelle système conservatif un système pour lequel l’énergie totale se conserve au cours du temps.La valeur moyenne de l’énergie 〈H〉 pour un système conservatif est constante quel que soit l’état dynamique danslequel se trouve le système.Or

d〈H〉dt

=1j~〈[H,H]〉+ 〈dH

dt〉

= 〈dHdt〉

Pour qu’un système soit conservatif il faut et il suffit que 〈dHdt〉 = 0, c’est-à-dire il faut que H ne dépend pas

explicitement du temps.Pour un système conservatif, l’énergie est une constante du mouvement comme en mécanique classique.

3.4.2 Résolution de l’équation de Schrödinger

3.4. CAS DES SYSTÈMES CONSERVATIFS 53

L’opérateur d’évolution de l’état |ψ(t)〉 d’un système physique tel que |ψ(t)〉= u(t, t0)|ψ(t0)〉 vérifie l’équation deSchrödinger

j~∂

∂tU(t, t0)|ψ(t0)〉= H(t)U(t, t0)|ψ(t0)〉

j~∂U(t, t0)

∂t= H(t)U(t, t0)

avec U(t0, t0) = I• La solution de cette équation en tenant compte de la condition initiale est

U(t, t0) = I− j~

∫ t

t0H(τ)U(τ, t0)dτ

• Pour un système conservatif, H est indépendant du temps, on a :

dU(t, t0)U(t, t0)

=1j~

Hdt

U(t, t0) = e−j~H(t−t0)

Connaissant l’opérateur d’évolution pour un système conservatif, il est possible maintenant de déterminer l’évolu-tion d’un état quelconque |ψ(t)〉 du système. Pour cela, considérons l’équation aux valeurs propres de l’observableH :

H|n,λ〉= En|n,λ〉

où λ regroupe l’ensemble des indices autres que n, nécessaires pour spécifier l’état. λ est en général une suite devaleurs propres d’opérateurs qui forment un ECOC avec H.|ψ(t)〉 se développe sur la base |n,λ〉

|ψ(t)〉= ∑n,λ

Cn,λ(t)|n,λ〉

De même,|ψ(t0)〉= ∑

n,λCn,λ(t0)|n,λ〉

En prenant t0 = 0 comme origine du temps,

|ψ(0)〉= ∑n,λ

Cn,λ(0)|n,λ〉

Or

|ψ(t)〉= u(t,0)|ψ(0)〉= u(t,0)∑

n,λCn,λ(0)|n,λ〉

= ∑n,λ

Cn,λ(0)u(t,0)|n,λ〉

= ∑n,λ

Cn,λ(0)e(− jHt

~ )|n,λ〉

= ∑n,λ

Cn,λ(0)e(− jEnt

~ )|n,λ〉

DoncCn,λ(t) =Cn,λ(0)e

(− jEnt~ )


Donc connaissant |ψ(0)〉, c’est-à-dire les Cn,λ(t0), on connaît |ψ(t)〉

|ψ(t)〉= ∑n,λ

Cn,λ(0)e(− jEnt

~ )|n,λ〉

3.4.3 Etats stationnaires

Un cas particulier important est celui où l’état initial |ψ(0)〉 est un état propre de H.

|ψ(0)〉= ∑n,λ

Cn,λ(0)|n,λ〉

= |n′,λ′〉

DoncCn,λ(0) = δnn′δλλ′

Dans ce cas,

|ψ(t)〉= ∑n,λ

Cn,λ(0)e− jEnt

~ |n,λ〉

= ∑n,λ

δnn′δλ,λ′e− jEnt

~ |n,λ〉

= e−jEn′ t~ |n′,λ′〉

|ψ(t)〉 et |ψ(0)〉 sont physiquement indiscernables. Donc toutes les propriétés physiques à un système qui se trouvedans un état propre de H ne varient pas au cours du temps.Les états propres de H sont appelés pour cette raison états stationnaires. Ils constituent les seuls états stationnairespour le système.

3.4.4 Constante du mouvement

Une constante du mouvement est une grandeur dont la valeur moyenne reste constante dans le temps quelque soitl’état dans lequel se trouve le système. Autrement dit

d〈A〉dt

= 0

Ord〈A〉

dt=

1j~〈[A,H]〉+ 〈dA

dt〉

Dire que A est une constante du mouvement est équivalent à dire quedAdt

= 0 et que [A,H] = 0.

Cas particulier : Pour un système conservatif, H est une constante du mouvement.Si A et H commutent, on peut trouver une base propre commune

H|n,a,λ〉= En|n,a,λ〉A|n,a,λ〉= a|n,a,λ〉

λ désigne les valeurs propres des observables qui forment avec H et A un ECOC.

3.4. CAS DES SYSTÈMES CONSERVATIFS 55

Les états |n,a,λ〉 étant stationnaires demeurent toujours états propres de H et A à tout instant. Les valeurs propresde A sont appelées pour cette raison bons nombres quantiques et peuvent servir à indexer les différentes valeurs del’énergie.

Remarque

• En mécanique classique−→L =−→r ∧−→p ,

−→L se conserve si

d−→L

dt=−→0 .

−→L est une constante du mouvement. On a la même condition en mécanique quantique. Mais comme les opérateursne commutent pas on a alors une condition supplémentaire.• Soit |ψ(t)〉 un état quelconque. La probabilité de trouver la valeur a0 lors d’une mesure de A, constante dumouvement, ne dépend pas du temps.

|ψ(0)〉= ∑n,a,λ

Cn,a,λ(0)|n,a,λ〉

|ψ(t)〉= ∑n,a,λ

Cn,a,λ(t)|n,a,λ〉

AvecCn,a,λ(t) =Cn,a,λ(0)e

− jEnt~

P (a = a0, t0) = ∑n,a,λ|Cn,a0,λ(0)|

2

= P (a = a0, t)

Documents

Département de Physique Cours · 2020. 2. 24. · Les pionniers de la nouvelle physique (Planck, De Broglie, Einstein, Bohr, Schrödinger, Heisenberg, Dirac, Pauli,:::) se trouvaient