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PC 17/18

DS 1 -- Référentiels non galiléens – Statique des fluides (22/09/2017 – 4h)

Extrait des Instructions générales des concours

Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal

présentées seront pénalisées.

Si les résultats ne sont pas soulignés ou encadrés, il sera retiré 1 point /20 à la note finale.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa

copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Toute réponse non justifiée ne donnera pas lieu à l’attribution de points.

Toute application numérique ne comportant pas d’unité ne donnera pas lieu à l’attribution de points.

Les différents exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l’ordre choisi par le candidat. Il

prendra toutefois soin de bien numéroter les questions.

Vous numéroterez toutes vos pages. Si vous rendez 5 pages, vous devez numéroter 1/5, 2/5, 3/5, etc.

Aucune sortie n’est autorisée avant 17h

Résolution de Pb 1 : Ballooning (< 30 min) (inspirée d’un article de PLScience)

L’image ci-dessous illustre ce que l’on appelle le « Ballooning » : le vol en ballons gonflés à l’Hélium. Le

dispositif représenté est censé pouvoir transporter une personne adulte.

Le nombre de ballons de la photo est-il suffisant pour transporter une personne ?

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Problème 2 : Etude d’un ressort dans deux référentiels (Petites Mines 2002)

A. Etude dans le référentiel R du laboratoire

Le mouvement est étudié dans le référentiel du laboratoire assimilé à un référentiel galiléen et associé à

un repère kjiO ,,; .

ir

jr

x

y

, ok l M

kr

reur

eq

uur

q

O

Un palet M de masse m peut se mouvoir sans frottement dans le plan (O, x, y) horizontal (table à coussin

d’air par exemple). Le champ de pesanteur est suivant la verticale OZ : kgg .

La masse m est accrochée à l’extrémité d’un ressort de longueur à vide l0 , de raideur k, dont l’autre

extrémité est fixée en O.

La position de M est repérée dans la base ji, par jyixOM ou dans la base qeer , par rerOM .

A.1. Faire un bilan des forces. Montrer qu’il y a conservation du moment cinétique 0L par rapport à O.

A.2. A t = 0, la masse est lâchée sans vitesse initiale, avec iltOM 02,1)0( .

A.2.1. Calculer 0L . Quelle est la nature de la trajectoire ?

A.2.2. Déterminer l’évolution temporelle de la longueur du ressort )()( tOMtl . Préciser

l’intervalle de variation de la longueur du ressort.

A.3. On lance le palet d’un point iltOMOM 10 )0( , avec une vitesse initiale jlv 10 ,

orthogonale à 0OM . Dans la suite, on travaillera en coordonnées polaires dans le plan (O, x, y).

A.3.1. Préciser 0L en fonction de r et q , puis en fonction des conditions initiales et des vecteurs de

base. On notera L le module de 0L .

A.3.2. Rappeler l’expression de l’énergie potentielle élastique. Doit-on tenir compte de l’énergie

potentielle de pesanteur pour étudier le mouvement ?

Montrer qu’il y a conservation de l’énergie mécanique Em.

Préciser l’expression de Em :

en fonction des conditions initiales

en fonction de r, r , q , m, k et l0

A.3.3. Montrer que l’énergie mécanique peut s’écrire : )(2

12

rEdt

drmE effm

.

Préciser l’expression de Eeff(r). Tracer l’allure de Eeff(r).

A.3.4. La masse peut-elle s’éloigner indéfiniment du pôle d’attraction ?

A.3.5. La vitesse de la particule peut-elle s’annuler au cours de son mouvement ?

A.3.6. La particule peut-elle passer par le centre d’attraction au cours de son mouvement ?

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A.4. On cherche à déterminer une condition entre l1 et pour avoir un mouvement circulaire. A.4.1. Montrer que dans ce cas le mouvement est uniforme.

A.4.2. Déterminer l1 en fonction de k, l0 et . Discuter physiquement le résultat.

B. Etude dans un référentiel 𝑅′ en rotation uniforme autour d’un axe fixe

Le mouvement est étudié dans le référentiel 𝑅′ en rotation uniforme autour d’un axe Oz fixe, de vecteur

rotation Ω⃗⃗ = ωk⃗ , et associé au repère (𝑂; 𝑒𝑟⃗⃗ ⃗, 𝑒𝜃⃗⃗⃗⃗ , �⃗� ). Ce repère est donc fixe dans le référentiel 𝑅′.

ir

jr

x

y

, ok l

Mkr

t

O

reur

eq

uur

On considère une particule M de masse 𝑚 pouvant se mouvoir sans frottements le long de l’axe (𝑂, 𝑒𝑟⃗⃗ ⃗). Le

champ de pesanteur est toujours suivant la verticale OZ : 𝑔 = −𝑔�⃗� .

La masse 𝑚 est accrochée à l’extrémité d’un ressort (point M) de longueur à vide 𝑙0, de raideur 𝑘, dont

l’autre extrémité est fixée en O. La position de M est repérée dans la base (𝑒𝑟⃗⃗ ⃗, 𝑒𝜃⃗⃗⃗⃗ ) par 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑟𝑒𝑟⃗⃗ ⃗.

B.1. Préciser les expressions vectorielles des forces d’inertie dans la base (𝑒𝑟⃗⃗ ⃗, 𝑒𝜃⃗⃗⃗⃗ , �⃗� ).

B.2. Montrer que la force d’inertie d’entraînement dérive d’une énergie potentielle, d’expression :

𝐸𝑝𝑖𝑒 = −1

2𝑚𝜔2𝑟2

B.3. En est-il de même pour la force d’inertie de Coriolis (ou complémentaire) ? Justifier la réponse.

B.4. Déterminer l’énergie potentielle totale 𝐸𝑝(𝑟).

B.5. Déterminer la longueur 𝑙2 correspondant à la position d’équilibre dans le référentiel 𝑅′. A quelle

condition sur 𝜔 le résultat est-il possible ? Cet équilibre est-il stable ? Quel est alors le mouvement dans le

référentiel du laboratoire ?

B.6. Comparer 𝑙2 à 𝑙1 de la partie précédente. Conclusion ?

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Problème 3 : Etude d’un sismographe horizontal (CCP TSI 2011) Quelques indications en fin d’énoncé pour la question II.8.

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Aide II.8. Il s’agit ici de définir la masse linéique 𝜆 de la barre, par la relation 𝑑𝑚 ≝ 𝝀𝑑𝑟. La barre étant

homogène, 𝜆 est une constante. En déduire l’expression de 𝜆 en fonction de 𝑚 et 𝐿.

Après calculs (à faire !), on doit trouver le moment :

𝑀𝑖𝑒 =𝑚

2𝐿𝑎(𝑡) cos 𝜃

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Problème 4 : Etude expérimentale d’un moteur asynchrone (CCP PSI 2017)

La Figure 1 représente le montage expérimental. Le moteur asynchrone est alimenté par un

alternostat. Ce dernier délivre une tension sinusoïdale de fréquence 50 Hz, de valeur efficace

réglable entre 0 et 220 V. La sonde différentielle délivre une tension utension(t), représentant la

tension u(t) après atténuation d’un facteur 100. Cela permet d’enregistrer la tension délivrée au moteur sans saturer le logiciel d’acquisition (LatisPro). Une pince ampère-métrique est placée en

un point du circuit d’alimentation et délivre une tension ucourant(t) proportionnelle au courant i(t).

Le coefficient de proportionnalité vaut 0,1 V ∙ A−1.

Remarques : pour des raisons liées à l’environnement expérimental, les tests ont été effectués à des

tensions efficaces inférieures à 220V. Par ailleurs, aucune connaissance sur le moteur asynchrone

n’est nécessaire pour répondre aux questions suivantes.

En régime sinusoïdal, on s’intéresse à la puissance moyenne reçue par le moteur :

𝑃𝑚𝑜𝑦 ≝ ⟨𝑢(𝑡)𝑖(𝑡)⟩

la moyenne étant calculée sur une période. On admet que cette puissance moyenne reçue par le

moteur dépend du déphasage Δφ≝φu- φi entre le courant et la tension qui l’alimentent :

𝑷𝒎𝒐𝒚 =𝑼𝑰

𝟐𝐜𝐨𝐬(𝚫𝝋)

et des amplitudes 𝑈 et 𝐼 de la tension à ses bornes et du courant qui le traverse.

Le terme cos(Δ𝜑) s’appelle le « facteur de puissance ».

Les trois figures nécessaires au traitement de cette partie se trouvent dans le document réponse, à

rendre avec la copie. La figure 13 présente un enregistrement de ucourant(t) et utension(t) en régime permanent, pour différents régimes de fonctionnement du moteur. La figure 14 est un zoom de la

figure 13. La figure 15 représente le facteur de puissance en fonction de la puissance moyenne

reçue par le moteur.

Q1. A partir des figures 13 et 14, déterminer avec le maximum de précision le facteur de

puissance et la puissance électrique moyenne consommée par le moteur lors de cet

enregistrement. On fera apparaître explicitement sur ces figures les grandeurs relevées. On

précisera éventuellement les difficultés rencontrées pour extraire les données nécessaires à la

détermination des deux grandeurs recherchées.

ucourant(t)

u(t) Moteur

Pince ampère-métrique

Alternostat

So

nd

e différen

tielle

utension(t)

i(t)

Figure 1 – Dispositif expérimental d’étude du moteur asynchrone (acquisition non représentée)

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La figure 15 a été tracée d’après huit autres enregistrements similaires à celui présenté sur les

figures 13 et 14. Chaque point correspond à un régime de fonctionnement du moteur.

Q2. Rajouter sur la figure 15 le point correspondant aux mesures effectuées à la question

précédente. On souhaite à présent estimer un ordre de grandeur des incertitudes de mesure sur

le facteur de puissance et la puissance moyenne consommée par le moteur :

repérer la source d’incertitude dominante sur la mesure du déphasage, puis estimer sa

valeur. Donner alors l’intervalle dans lequel se trouve la valeur expérimentale de ∆φ ;

pour estimer l’incertitude sur cos(∆φ), calculer les cosinus des bornes de l’intervalle précédent, et en déduire l’incertitude sur le facteur de puissance ;

estimer les incertitudes relatives sur U, puis sur I ;

en déduire la source d’incertitude principale sur la puissance moyenne ;

en déduire l’incertitude sur la puissance moyenne ;

finalement, dessiner les barres d’incertitudes au niveau du point ajouté sur la figure 15.

Fin de l’énoncé

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DOCUMENT REPONSE (à rendre avec la copie)

Fig

ure 2

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